Capítulo
6
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS INTRODUCCIÓN En el capítulo 5 descubrimos la relación entre el proceso de integración y las sumas de Riemann SP = a ƒ sck d ¢xk n
k=1
asociadas con una partición P del intervalo cerrado finito [a, b]. Ahí aprendimos que, para una función continua f en [a, b], el límite de SP cuando la norma de la partición 7P 7 se aproxima a cero es el número La
b
ƒ sxd dx = Fsbd - Fsad
donde F es cualquier antiderivada de f. Aplicamos esto a los problemas en que se nos pidió calcular el área entre el eje x y la gráfica de y = ƒ sxd para a … x … b y para determinar el área comprendida entre dos curvas. En este capítulo veremos cómo la aplicación de estos conceptos nos permite determinar volúmenes, longitudes de curvas planas, centros de masa, áreas de superficies de volúmenes, trabajo y fuerzas de fluido sobre paredes planas. Todas estas medidas son límites de sumas de Riemann de funciones continuas en intervalos cerrados, esto es, integrales definidas que pueden evaluarse mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.
6.1
Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje En esta sección se definirán volúmenes de sólidos cuyas secciones transversales son regiones planas. La sección transversal de un sólido S es la región plana formada por la intersección de S con un plano (figura 6.1). Suponga que queremos determinar el volumen de un sólido S como el de la figura 6.1. Para empezar, ampliaremos la definición que da la geometría clásica de un cilindro, para aplicarlo a los sólidos cilíndricos con base arbitraria (figura 6.2). Si se conocen el área de la base, A, y la altura h del sólido cilíndrico, su volumen es Volumen = área de la base * altura = A # h. Esta ecuación constituye la base para definir los volúmenes de muchos sólidos no cilíndricos a partir del método por partes. Si la sección transversal del sólido S en cada punto x del intervalo [a, b] es una región R(x) de área A(x), y A es una función continua de x, podemos definir y calcular el volumen del sólido S como una integral definida de la manera siguiente:
396