Guía Metodológica Función Cuadrática

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Tema: Funciones Polinomiales

Guía Metodológica Función de Segundo Grado

FUNCIONES POLINOMIALES

Funciones de Segundo Grado Dos

MATEMĂ TICA I MM-110 UNAH-CUROC

FunciĂłn CuadrĂĄtica Ejercicio NÂş 1: de la forma đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ Trace la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 y determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : • Rango de đ?‘“ đ?‘Ľ : • Concavidad de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ : • Cuadrantales de đ?‘“ đ?‘Ľ : a) Intersecto con el eje đ?‘Ľ b) Intersecto con el eje đ?‘Ś • Corrimiento: c) Vertical d) Horizontal • VĂŠrtice en el punto: (â„Ž, đ?‘˜) • Tabla numĂŠrica. (Sugerencia: como mĂ­nimo 5 pares ordenados antes del vĂŠrtice y 5 pares ordenados despuĂŠs del vĂŠrtice) • Eje de simetrĂ­a x = h • Intervalo donde la funciĂłn es creciente • Intervalo donde la funciĂłn es decreciente • Punto mĂĄximo o punto mĂ­nimo 1. El Dominio de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ Para determinar el dominio de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4, debemos recordar la definiciĂłn: 1. Si la expresiĂłn es un polinomio 2. Si la expresiĂłn tiene un denominador 3. Si la expresiĂłn tiene un radical Como la expresiĂłn es un polinomio la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ son todos los reales.

∴ El dominio de la funciĂłn đ?‘“ WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

đ?‘Ľ son todos los Reales. 2

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Funciones de Segundo Grado Dos 2. El rango de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’

Para determinar el rango de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4, debemos observar el punto mĂĄximo o mĂ­nimo del grĂĄfico. Dicho punto lo obtendremos en: đ?’š = đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4

đ?&#x;’đ?’‚đ?’„>đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;’đ?’‚

Si: đ?‘Ž = −4 đ?‘? = −15 đ?‘?=4 Entonces

đ?‘Ś=

BCD>E F BC

4 −4 4 − 15 đ?‘Ś= 4 −4 đ?‘Ś=

-

289 16

∴ El rango de la funciĂłn đ?‘“ WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

đ?‘Ľ es: −∞,

-LM NO

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3. La concavidad de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ La concavidad de đ?‘“(đ?‘Ľ) es: đ?‘†đ?‘– đ?‘Ž > 0 đ??żđ?‘Ž đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž â„Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘†đ?‘– đ?‘Ž < 0 đ??żđ?‘Ž đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž â„Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘?đ?‘Žđ?‘—đ?‘œ Si observamos la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 vamos a poder determinar el valor de đ?‘Ž = −4 ∴ Como đ?‘Ž = −4 y đ?‘Ž < 0 la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ es cĂłncava hacia abajo

Nota: Ver grĂĄfico

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Funciones de Segundo Grado Dos 4. Cuadrantales de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ a. Intersecto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0

⊼� �=0

đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ś = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 0 = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 (Sugerencia: Lo podemos resolver por tanteo especial o la fĂłrmula cuadrĂĄtica)

∴El intersecto con el eje đ?‘Ľ es: ⊼ đ?‘ĽN = (−4, 0) 1 ⊼ đ?‘Ľ- = a , 0b 4

b. Intersecto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0

Nota: Ver gråfico ⊼� �=0

đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 (Sugerencia: Sustituir el valor de la đ?‘Ľ = 0 en la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ ) đ?‘“ 0 = −4 0 đ?‘“ 0 =4

-

− 15 0 + 4

∴El intersecto con el eje đ?‘Ś es: ⊼ đ?‘Ś = 0, 4 Nota: Ver grĂĄfico

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5. VĂŠrtice de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ en el punto (đ?’‰, đ?’Œ) đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 Si: đ?‘Ž = −4 đ?‘? = −15 đ?‘?=4 Entonces: −đ?‘? â„Ž= 2đ?‘Ž −(−15) â„Ž= 2(−4) 15 â„Ž=− 8

đ?‘˜=

BCD>E F BC

4 −4 4 − 15 đ?‘˜= 4 −4 289 đ?‘˜= 16 ∴El vĂŠrtice de la funciĂłn es: đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’ = − Ng , -LM L

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NM

Nota: Ver grĂĄfico

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Funciones de Segundo Grado Dos 6. Corrimiento de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ •

Corrimiento: a) Corrimiento Vertical: La grĂĄfica se corriĂł

-LM NO

unidades hacia arriba.

Corrimiento Vertical en 289 đ?‘Ś= 16

b) Corrimiento Horizontal: La grĂĄfica se corriĂł

NL g

unidades hacia la izquierda.

Corrimiento Horizontal en 15 đ?‘Ľ=−

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7. Tabla numĂŠrica de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ (Sugerencia: como mĂ­nimo 5 pares ordenados antes del vĂŠrtice y 5 pares ordenados despuĂŠs del vĂŠrtice)

đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 9 9 9 đ?‘“ a− b = −4 a− b − 15 a− b + 4 2 2 2 9 19 đ?‘“ a− b = − 2 2 đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 đ?‘“(−1) = −4(−1)- − 15(−1) + 4 đ?‘“(−1) = 15

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đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 1 1 1 đ?‘“ a− b = −4 a− b − 15 a− b + 4 2 2 2 11 đ?‘“(−1) = 2 đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 1 1 1 đ?‘“ a b = −4 a b − 15 a b + 4 2 2 2 5 đ?‘“(−1) = −

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8. Eje de simetrĂ­a de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ en đ?’™ = đ?’‰ Calcularemos el valor de đ?’‰ −đ?‘? 2đ?‘Ž −(−15) â„Ž= 2(−4) 15 â„Ž=− 8 â„Ž=

∴El eje de simetrĂ­a

de la funciĂłn es: Ng đ?‘Ľ=− L Eje de simetrĂ­a đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’™=− đ?&#x;–

9. Intervalo donde la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es creciente: −∞, −

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đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;–

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10. Intervalo donde la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es decreciente: −

11. Punto mĂĄximo de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es: đ?‘ˇđ?‘´ = −

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đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;–

đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;— đ?&#x;–

,

đ?&#x;?đ?&#x;”

, +∞

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12. Transformar la función 𝒇 𝒙 = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒 en la forma canónica 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑚𝑥 + 𝑏 - + 𝑘 Forma canónica 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ - + 𝑘 Forma canónica ℎ=− ℎ=− 𝑘=

𝑏 𝑚 15 8

289 16

𝑎 = −4

-

15 289 𝑓 (𝑥 ) = −4 n𝑥 − a− bo + 8 16 𝑓 (𝑥 ) = −4 a𝑥 +

𝑓 (𝑥 ) = −4(8𝑥 + 15)- +

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15 - 289 b + 8 16 289 16

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13. Trazo de la función 𝒇 𝒙 = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒

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Sistema de Ecuaciones Lineales y CuadrĂĄticos en Dos Variables Ejercicio NÂş 1: de la forma

đ?’š = đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ đ?’š = đ?’Žđ?’™ + đ?’ƒ

Determine el conjunto soluciĂłn en forma grĂĄfica y algebraica para el sistema

đ?‘Ś + 2đ?‘Ľ - = 3đ?‘Ľ + 5 đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› â‹• 1 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 10 đ??¸đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› â‹• 2

Forma Algebraica: đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ - + 3đ?‘Ľ + 5 t đ?‘Ś = 5 − 3đ?‘Ľ MĂŠtodo de igualaciĂłn: đ?‘Ś=đ?‘Ś −2đ?‘Ľ - + 3đ?‘Ľ + 5 = 5 − 3đ?‘Ľ −2đ?‘Ľ - + 3đ?‘Ľ + 5 − 5 + 3đ?‘Ľ = 0 −2đ?‘Ľ - + 6đ?‘Ľ = 0 2đ?‘Ľ (−đ?‘Ľ + 3) = 0 Primera SoluciĂłn 2đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ľ=0

Segunda SoluciĂłn −đ?‘Ľ + 3 = 0 đ?‘Ľ=3

Sustituir đ?‘Ľ = 0 en la ecuaciĂłn # 2 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 10. 6(0) + 2đ?‘Ś = 10 2đ?‘Ś = 10 đ?‘Ś=5 Par ordenado đ??´ = (0, 5)

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Sustituir đ?‘Ľ = 3 en la ecuaciĂłn # 2 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 10. 6(3) + 2đ?‘Ś = 10 18 + 2đ?‘Ś = 10 2đ?‘Ś = 10 − 18 2đ?‘Ś = −8 đ?‘Ś = −4 Par ordenado đ??ľ = (3, −4) Conjunto SoluciĂłn:

đ?&#x;Ž, đ?&#x;“ , đ?&#x;‘, −đ?&#x;’

Datos para construir la grĂĄfica de la ecuaciĂłn #1: đ?‘Ś = −2đ?‘Ľ - + 3đ?‘Ľ + 5 y

yN

B

L

CĂĄlculo del vĂŠrtice: â„Ž, đ?‘˜ = − , − đ?‘? â„Ž=− 2đ?‘Ž 3 â„Ž=− 2(−2) 3 â„Ž= 4

4đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘˜= 4đ?‘Ž

4(−2)(5) − (3)đ?‘˜= 4(−2) đ?‘˜=

−40 − 9 −8

đ?‘˜=

49 8

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Tabla numérica: 𝑥

𝑦 = −2𝑥 - + 3𝑥 + 5

−2

𝑦 = −2(−2)- + 3(−2) + 5 = −9

−1

𝑦 = −2(−1)- + 3(−1) + 5 = 0

(−1, 0)

3 4

3 3 𝑦 = −2 a b + 3 a b + 5 = 9 4 4

3 49 a , b 4 8

1

𝑦 = −2(1)- + 3(1) + 5 = 6

(1, 6)

2

𝑦 = −2(2)- + 3(2) + 5 = 3

(1, 3)

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Par Ordenado (−2, −9)

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Datos para construir la grĂĄfica de la ecuaciĂłn #2: 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 10 Tabla numĂŠrica: đ?‘Ľ

đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 5

−2

đ?‘Ś = −3(−2) + 5 = 11

(−2, 11)

−1

đ?‘Ś = −3(−1) + 5 = 8

(−1, 8)

0

đ?‘Ś = −3(0) + 5 = 5

(0, 5)

1

đ?‘Ś = −3(1) + 5 = 2

(1, 2)

2

đ?‘Ś = −3(2) + 5 = −1

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Par Ordenado

(1, −1)

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