Guía de Metodológica

Tema: Funciones Trigonometricas

Guía Metodológica Función Seno

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FunciĂłn Seno

Ejercicio NÂş 6.1.1: de la forma đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚ đ??Źđ??˘đ??§ đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ + đ?’… Trace la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ y determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : Rango de đ?‘“ đ?‘Ľ : Cuadrantales de đ?‘“ đ?‘Ľ : a) Intersecto con el eje đ?‘Ľ b) Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: c) Vertical: d) Horizontal: Punto MĂĄximo: Punto MĂ­nimo: Amplitud: Periodo: Frecuencia: Ciclo del grĂĄfico: Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase.

Sea la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ž sin đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘‘ y la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ vamos a

identificar: đ?‘Ž=1 đ?‘?=1 •

đ?‘?=0 đ?‘‘=0

Amplitud = đ?’‚

đ??´đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = 1 = 1 •

Periodo =

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ = •

đ?&#x;?đ??… đ?’ƒ

2đ?œ‹ = 2đ?œ‹ 1

Frecuencia = đ?’ƒ

Frecuencia = 1

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

2

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

Ciclo del gråfico: •

đ??…

đ?’™đ?’?Kđ?&#x;? = + đ?&#x;?đ?’?đ??… đ?&#x;?

donde đ?’? ∈ ℤ

Q

đ?‘ĽOKP = + 2đ?‘›đ?œ‹ R

đ?‘ĽOKP =

donde đ?‘› ∈ ℤ đ?’™đ?’?Kđ?&#x;? =

Punto MĂ­nimo:

Punto MĂ­nimo:

•

0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2đ?œ‹

Punto MĂĄximo:

Punto MĂĄximo:

•

đ?&#x;Ž ≤ đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ ≤ đ?&#x;?đ??…

Ciclo del grĂĄfico:

UQ R

đ?&#x;‘đ??… đ?&#x;?

+ đ?&#x;?đ?’?đ??… donde đ?’? ∈ ℤ

+ 2đ?‘›đ?œ‹ donde đ?‘› ∈ ℤ

Corrimientos: o Vertical: đ?’… đ?’„ o Corrimiento horizontal o desfase: −

đ?’ƒ

Corrimientos: • •

Vertical: đ?‘‘ = 0 W Y Corrimiento horizontal o desfase: − = − = 0

•

Cuadrantales:

X

P

o Intersecto con el eje đ?’š: ⊼đ?’š đ?’™ = đ?&#x;Ž o Intersecto con el eje đ?’™: ⊼đ?’™ đ?’š = đ?&#x;Ž Cuadrantales: •

Intersecto con el eje �: ⊼\ � = 0

====≍

⊼\ = 0,0

đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ đ?‘“ 0 = sin 0 đ?‘“ 0 =0

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

3

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

Intersecto con el eje �: ⊼_ � = 0

====≍

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

⊼_ = đ?‘ĽOKP = đ?‘›đ?œ‹, 0 donde đ?‘› ∈ ℤ

đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ 0 = sin đ?‘Ľ sin đ?‘Ľ = 0 Sea đ?‘Ľ = đ?œƒ El seno de đ?œƒ se hace cero en: Cuadrantal

đ?‘› 0 1 2 3 â‹Ž đ?‘›

đ?œƒOKP đ?œƒYKP = đ?œƒP đ?œƒPKP = đ?œƒR đ?œƒRKP = đ?œƒU đ?œƒUKP = đ?œƒc đ?œƒOKP

=0 =1∗ đ?œ‹ =2∗ đ?œ‹ =3∗ đ?œ‹ â‹Ž = đ?œƒOKP = đ?‘›đ?œ‹

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

đ?‘ĽOKP đ?‘ĽP = 0 đ?‘ĽR = đ?œ‹ đ?‘ĽU = 2đ?œ‹ đ?‘Ľc = 3đ?œ‹ â‹Ž đ?‘ĽOKP = đ?‘›đ?œ‹ donde đ?‘› ∈ ℤ

4

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

5

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

6

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ = sin đ?‘Ľ

−2đ?œ‹ 3đ?œ‹ − 2 −đ?œ‹ đ?œ‹ − 2 0 đ?œ‹ 2 đ?œ‹ 3đ?œ‹ 2 2đ?œ‹ •

đ?‘“ −2đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?‘“ − 2 đ?‘“ −đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ − 2 đ?‘“ 0 đ?œ‹ đ?‘“ 2 đ?‘“ đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?‘“ 2 đ?‘“ 2đ?œ‹

= sin −2đ?œ‹ = 0 3đ?œ‹ = sin − =1 2 = sin −đ?œ‹ = 0 đ?œ‹ = sin − = −1 2 = sin 0 = 0 đ?œ‹ = sin =1 2 = sin đ?œ‹ = 0 3đ?œ‹ = sin = −1 2 = sin 2đ?œ‹ = 0

Par ordenado đ?‘Ľ, đ?‘Ś

ObservaciĂłn

−2đ?œ‹, 0 3đ?œ‹ − ,1 2 −đ?œ‹, 0 đ?œ‹ − , −1 2 0, 0 đ?œ‹ ,1 2 đ?œ‹, 0 3đ?œ‹ , −1 2 2đ?œ‹, 0

Intercepto Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Desfase Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto

Dominio đ?’‡ đ?’™ : đ?‘šđ?’†đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’”

Dominio đ?‘“ đ?‘Ľ : đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ •

Rango đ?’‡ đ?’™ : − đ?’‚ + đ?’…, đ?’‚ + đ?’…

Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : − 1 + 0, 1 + 0 Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : −1,1

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

7

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ejercicio NÂş 6.1.2: de la forma đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚ đ??Źđ??˘đ??§ đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ + đ?’… Q

Trace la gråfica de la función � � = 2sin 2� + + 2 y determine lo que a U continuación se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : Rango de đ?‘“ đ?‘Ľ : Cuadrantales de đ?‘“ đ?‘Ľ : e) Intersecto con el eje đ?‘Ľ f) Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: g) Vertical: h) Horizontal: Punto MĂĄximo: Punto MĂ­nimo: Amplitud: Periodo: Frecuencia: Ciclo del grĂĄfico: Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase.

Sea la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ž sin đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘‘ y la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

vamos a identificar:

•

Amplitud = đ?’‚

Q U

+ 2

đ?œ‹ 3 đ?‘‘ = √2

đ?‘Ž=2 đ?‘?=2

đ?‘?=

đ??´đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = 2 = 2 •

Periodo =

đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ = •

đ?&#x;?đ??… đ?’ƒ

2đ?œ‹ =đ?œ‹ 2

Frecuencia = đ?’ƒ

Frecuencia = 2

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

8

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

𝟎 ≤ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟐𝝅

Ciclo del gráfico:

Ciclo del gráfico:

𝜋 3

0 ≤ 2𝑥 + ≤ 2𝜋

𝜋 𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋 − 3 3 𝜋 5𝜋 − ≤ 2𝑥 ≤ 3 3 𝜋 5𝜋 − ≤𝑥≤ 6 6

0−

•

𝝅

𝒙𝒏K𝟏 = + 𝟐𝒏𝝅

Punto Máximo:

Punto Máximo:

𝟐

Q

Q

U

R

donde 𝒏 ∈ ℤ

2𝑥 + = + 2𝑛𝜋

𝜋 𝜋 + 2𝑛𝜋 − 2 3 3𝜋 − 2𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 6 𝜋 𝑥= + 𝑛𝜋 12 𝜋 𝑥OKP = + 𝑛𝜋 12 2𝑥 =

donde 𝑛 ∈ ℤ •

𝒙𝒏K𝟏 =

Punto Mínimo:

Punto Mínimo:

Q

UQ

U

R

2𝑥 + =

𝟑𝝅 𝟐

+ 𝟐𝒏𝝅 donde 𝒏 ∈ ℤ

+ 2𝑛𝜋 3𝜋 𝜋 + 2𝑛𝜋 − 2 3 9𝜋 − 2𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 6 7𝜋 𝑥= + 𝑛𝜋 12 7𝜋 𝑥OKP = + 𝑛𝜋 12 2𝑥 =

donde 𝑛 ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

9

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

Corrimientos: o Vertical: đ?’… đ?’„ o Corrimiento horizontal o desfase: −

đ?’ƒ

Corrimientos: •

Vertical: đ?‘‘ = 2 DirecciĂłn hacia arriba

•

Corrimiento horizontal o desfase: −

•

Cuadrantales:

đ?œ‹ 3

R

=−

đ?œ‹ 6

o Intersecto con el eje đ?’š: ⊼đ?’š đ?’™ = đ?&#x;Ž o Intersecto con el eje đ?’™: ⊼đ?’™ đ?’š = đ?&#x;Ž Cuadrantales: •

Intersecto con el eje �: ⊼\ � = 0

====≍

⊼\ = 0, 3 + 2

đ?œ‹ + 2 3 đ?œ‹ = 2sin 2 0 + + 2 3 đ?œ‹ = 2sin + 2 3 3 =2 + 2 2 = 3+ 2

đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ + đ?‘“ 0 đ?‘“ 0 đ?‘“ 0 đ?‘“ 0

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

10

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

Intersecto con el eje đ?‘Ľ: ⊼_ đ?‘Ś = 0 ====≍ PP Pq ⊼_ = đ?‘ĽOKP = + đ?‘›đ?œ‹, 0 ; đ?‘ĽOKP = + đ?‘›đ?œ‹, 0 donde đ?‘› ∈ ℤ Rc

Rc

đ?œ‹ đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ + + 2 3 đ?œ‹ đ?‘Ś = 2sin 2đ?‘Ľ + + 2 3 0 = 2sin 2đ?‘Ľ +

sin 2đ?‘Ľ +

đ?œ‹ + 2 3

đ?œ‹ 2 =− 3 2 Q

Sea 2đ?‘Ľ + = đ?œƒ U

El seno de đ?œ˝ sea igual −

đ?&#x;? đ?&#x;?

Caso #1 donde sin đ?œƒ = − đ?’?

: R

R

: Tercer Cuadrante

đ?œ˝đ?’?Kđ?&#x;?

0

đ?œƒYKP = đ?œƒP =

5đ?œ‹ 4

1

đ?œƒPKP = đ?œƒR =

5đ?œ‹ 13đ?œ‹ + 1 ∗ (2đ?œ‹) = 4 4

2

đ?œƒRKP = đ?œƒU =

5đ?œ‹ 21đ?œ‹ + 2 ∗ (2đ?œ‹) = 4 4

3

đ?œƒUKP = đ?œƒc =

5đ?œ‹ 29đ?œ‹ + 3 ∗ (2đ?œ‹) = 4 4

â‹Ž đ?‘›

â‹Ž đ?œƒOKP = đ?œƒOKP =

5đ?œ‹ 5đ?œ‹ + đ?‘› ∗ (2đ?œ‹) = + 2đ?‘›đ?œ‹ 4 4 donde đ?‘› ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

11

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original sin 2𝑥 + 𝜃=

vQ c

𝜋 = 𝜃 3 𝜋 5𝜋 2𝑥 + = + 2𝑛𝜋 3 4 5𝜋 𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 4 3 15𝜋 − 4𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 12 11𝜋 𝑥 = + 𝑛𝜋 24

𝑥OKP =

PPQ

R R

si

Rc

+ 𝑛𝜋

𝟏𝟏𝝅 + 𝒏𝝅 𝟐𝟒 11𝜋 11𝜋 = 𝑥P = + 0(𝜋) = 24 24

𝒏

𝒙𝒏K𝟏 =

0

𝑥YKP

1

𝑥PKP = 𝑥R =

11𝜋 35𝜋 + 1 ∗ (𝜋) = 24 24

2

𝑥RKP = 𝑥U =

11𝜋 59𝜋 + 2 ∗ (𝜋) = 24 24

3

𝑥UKP = 𝑥c =

11𝜋 83𝜋 + 3 ∗ (𝜋) = 24 24

donde 𝑛 ∈ ℤ

Caso #2 donde sin 𝜃 = − 𝒏

R R

: Cuarto Cuadrante

𝜽𝒏K𝟏

0

𝜃YKP = 𝜃P =

7𝜋 4

1

𝜃PKP = 𝜃R =

7𝜋 15𝜋 + 1 ∗ (2𝜋) = 4 4

2

𝜃RKP = 𝜃U =

7𝜋 23𝜋 + 2 ∗ (2𝜋) = 4 4

3

𝜃UKP = 𝜃c =

7𝜋 31𝜋 + 3 ∗ (2𝜋) = 4 4

⋮

⋮ 𝜃OKP = 𝜃OKP =

7𝜋 7𝜋 + 𝑛 ∗ (2𝜋) = + 2𝑛𝜋 4 4 donde 𝑛 ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

U

=−

+ 2𝑛𝜋:

2𝑥 +

𝑛

Q

12

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original sin 2𝑥 + 𝜃=

qQ c

Q U

=−

R R

si

+ 2𝑛𝜋:

𝜋 2𝑥 + = 𝜃 3 𝜋 7𝜋 2𝑥 + = + 2𝑛𝜋 3 4 7𝜋 𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 4 3 21𝜋 − 4𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 12 17𝜋 𝑥 = + 𝑛𝜋 24 𝑥OKP =

PqQ Rc

+ 𝑛𝜋

𝟏𝟕𝝅 + 𝒏𝝅 𝟐𝟒 17𝜋 17𝜋 = 𝑥P = + 0(𝜋) = 24 24

𝒏

𝒙𝒏K𝟏 =

0

𝑥YKP

1

𝑥PKP = 𝑥R =

17𝜋 41𝜋 + 1 ∗ (𝜋) = 24 24

2

𝑥RKP = 𝑥U =

17𝜋 65𝜋 + 2 ∗ (𝜋) = 24 24

3

𝑥UKP = 𝑥c =

17𝜋 89𝜋 + 3 ∗ (𝜋) = 24 24

donde 𝑛 ∈ ℤ

Intersecto con el eje 𝑥: ⊥_ ⁄𝑦 = 0

⊥_ = |𝑥OKP =

PPQ

⊥_ = |𝑥OKP =

PqQ

Rc Rc

+ 𝑛𝜋, 0} + 𝑛𝜋, 0}

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

donde 𝑛 ∈ ℤ

13

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

14

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

15

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

22đ?œ‹ 24 13đ?œ‹ − 24 10đ?œ‹ − 24 7đ?œ‹ − 24 4đ?œ‹ − 24 2đ?œ‹ 24 11đ?œ‹ 24 14đ?œ‹ 24 17đ?œ‹

24 20đ?œ‹ 24

đ?‘“

đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“

U

+ 2

đ?œ‹ + 2 3

22đ?œ‹ 22đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 − + + 2=2+ 2 24 24 3 13đ?œ‹ 13đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + + 2=0 24 24 3 10đ?œ‹ 10đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘“ − = 2sin 2 − + + 2=2− 2 24 24 3 7đ?œ‹ 7đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + + 2=0 24 24 3 4đ?œ‹ 4đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + + 2= 2 24 24 3 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 2=2+ 2 24 24 3 11đ?œ‹ 11đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 2=0 24 24 3 14đ?œ‹ 14đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 2=2− 2 24 24 3 17đ?œ‹ 17đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 2=0 24 24 3 20đ?œ‹ 20đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 2= 2 24 24 3

đ?‘“ −

−

Q

•

Par ordenado đ?‘Ľ, đ?‘Ś 22đ?œ‹ ,2 + 2 24 13đ?œ‹ − ,0 24 10đ?œ‹ − ,2 − 2 24 7đ?œ‹ − ,0 24 4đ?œ‹ − , 2 24 2đ?œ‹ ,2 + 2 24 11đ?œ‹ ,0 24 14đ?œ‹ ,2 − 2 24 17đ?œ‹ ,0 24 20đ?œ‹ , 2 24 −

ObservaciĂłn Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Desfase Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Fin del periodo

Dominio đ?’‡ đ?’™ : đ?‘šđ?’†đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’”

Dominio đ?‘“ đ?‘Ľ : đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ •

Rango đ?’‡ đ?’™ : − đ?’‚ + đ?’…, đ?’‚ + đ?’…

Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : − 2 + 2, 2 + 2 Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : −2 + 2, 2 + 2

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

16

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ejercicio NÂş 6.1.3: de la forma đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚ đ??Źđ??˘đ??§ đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ + đ?’… Q

Trace la gråfica de la función � � = 2sin 2� + + 1 y determine lo que a continuación R se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : Rango de đ?‘“ đ?‘Ľ : Cuadrantales de đ?‘“ đ?‘Ľ : o Intersecto con el eje đ?‘Ľ o Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: o Vertical: o Horizontal: Punto MĂĄximo: Punto MĂ­nimo: Amplitud: Periodo: Frecuencia: Ciclo del grĂĄfico: Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase.

Sea la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ž sin đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘‘ y la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

vamos a identificar:

•

Amplitud = đ?’‚

Q R

+1

đ?œ‹ 2 đ?‘‘=1

đ?‘Ž=2 đ?‘?=2

đ?‘?=

đ??´đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = 2 = 2 •

Periodo =

đ?&#x;?đ??… đ?’ƒ

đ?œ‹ đ?œ‹ đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ = 2 = 2 4 •

Frecuencia = đ?’ƒ

Frecuencia = 2

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

17

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

𝟎 ≤ 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟐𝝅

Ciclo del gráfico:

Ciclo del gráfico:

𝜋 2

0 ≤ 2𝑥 + ≤ 2𝜋

𝜋 𝜋 ≤ 2𝑥 ≤ 2𝜋 − 2 2 𝜋 3𝜋 − ≤ 2𝑥 ≤ 2 2 𝜋 5𝜋 − ≤𝑥≤ 4 4

0−

•

𝝅

𝒙𝒏K𝟏 = + 𝟐𝒏𝝅

Punto Máximo:

Punto Máximo:

𝟐

Q

Q

R

R

donde 𝒏 ∈ ℤ

2𝑥 + = + 2𝑛𝜋

𝜋 𝜋 + 2𝑛𝜋 − 2 2 𝜋−𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 2 2𝑥 =

𝑥 = 𝑛𝜋 𝑥OKP = 𝑛𝜋 donde 𝑛 ∈ ℤ •

𝒙𝒏K𝟏 =

Punto Mínimo:

Punto Mínimo:

Q

UQ

R

R

2𝑥 + =

𝟑𝝅 𝟐

+ 𝟐𝒏𝝅 donde 𝒏 ∈ ℤ

+ 2𝑛𝜋 3𝜋 𝜋 + 2𝑛𝜋 − 2 2 3𝜋 − 𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 2 𝜋 𝑥 = + 𝑛𝜋 2 𝜋 𝑥OKP = + 𝑛𝜋 2 2𝑥 =

donde 𝑛 ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

18

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos •

Corrimientos: o Vertical: đ?’… đ?’„ o Corrimiento horizontal o desfase: −

đ?’ƒ

Corrimientos: •

Vertical: đ?‘‘ = 1

DirecciĂłn hacia arriba

•

Corrimiento horizontal o desfase: −

•

Cuadrantales:

đ?œ‹ 2

R

=−

đ?œ‹ 4

o Intersecto con el eje đ?’š: ⊼đ?’š đ?’™ = đ?&#x;Ž o Intersecto con el eje đ?’™: ⊼đ?’™ đ?’š = đ?&#x;Ž

Cuadrantales: � � = 2sin 2� + •

Q R

+1

Intersecto con el eje �: ⊼\ � = 0

====≍

⊼\ = 0,3

đ?œ‹ +1 2 đ?œ‹ = 2sin 2 0 + +1 2 đ?œ‹ = 2sin + 2 2 =2 1 +1 =3

đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ + đ?‘“ 0 đ?‘“ 0 đ?‘“ 0 đ?‘“ 0

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

19

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

� � = 2sin 2� + •

đ?œ‹ +1 2

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

Intersecto con el eje đ?‘Ľ: ⊼_ đ?‘Ś = 0 ===≍ Q RQ ⊼_ = đ?‘ĽOKP = + đ?‘›đ?œ‹, 0 , đ?‘ĽOKP = + đ?‘›đ?œ‹, 0 donde đ?‘› ∈ ℤ U

đ?œ‹ đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ + +1 2 đ?œ‹ đ?‘Ś = 2sin 2đ?‘Ľ + +1 2 0 = 2sin 2đ?‘Ľ + sin 2đ?‘Ľ +

U

đ?œ‹ +1 2

đ?œ‹ 1 =− 2 2 Q

Sea 2đ?‘Ľ + = đ?œƒ R

đ?&#x;?

El seno de đ?œ˝ sea igual − : đ?&#x;?

P

Caso #1 donde sin đ?œƒ = − : Tercer Cuadrante R

đ?’?

đ?œ˝đ?’?Kđ?&#x;?

0

đ?œƒYKP = đ?œƒP =

7đ?œ‹ 6

1

đ?œƒPKP = đ?œƒR =

7đ?œ‹ 19đ?œ‹ + 1 ∗ (2đ?œ‹) = 6 6

2

đ?œƒRKP = đ?œƒU =

7đ?œ‹ 31đ?œ‹ + 2 ∗ (2đ?œ‹) = 6 6

3

đ?œƒUKP = đ?œƒc =

7đ?œ‹ 43đ?œ‹ + 3 ∗ (2đ?œ‹) = 6 6

â‹Ž đ?‘›

â‹Ž đ?œƒOKP = đ?œƒOKP =

7đ?œ‹ 7đ?œ‹ + đ?‘› ∗ (2đ?œ‹) = + 2đ?‘›đ?œ‹ 6 6 donde đ?‘› ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

20

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original sin 2𝑥 + 𝜃=

qQ ~

+ 2𝑛𝜋:

𝒏

𝜋 = 𝜃 2 𝜋 7𝜋 2𝑥 + = + 2𝑛𝜋 2 6 7𝜋 𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 6 2 14𝜋 − 6𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 6 𝜋 𝑥 = + 𝑛𝜋 3 2𝑥 +

Q

𝑥OKP = + 𝑛𝜋 U

−1

donde 𝑛 ∈ ℤ

Q R

P

= − si R

𝝅 + 𝒏𝝅 𝟑 𝜋 2𝜋 = 𝑥Y = + (−1)(𝜋) = − 3 3

𝒙𝒏K𝟏 = 𝑥•PKP

0

𝑥YKP = 𝑥P =

𝜋 𝜋 + (0)(𝜋) = 3 3

1

𝑥PKP = 𝑥R =

𝜋 4𝜋 + (1) ∗ (𝜋) = 3 3

2

𝑥RKP = 𝑥U =

𝜋 7𝜋 + (2) ∗ (𝜋) = 3 3

3

𝑥UKP = 𝑥c =

𝜋 10𝜋 + 3 ∗ (𝜋) = 3 3

P

Caso #2 donde sin 𝜃 = − : Cuarto Cuadrante R

𝒏

𝜽𝒏K𝟏 11𝜋 𝜋 = 𝜃Y = + (−1) ∗ (2𝜋) = − 6 6

−1

𝜃•PKP

0

𝜃YKP = 𝜃P =

11𝜋 11𝜋 + (0) ∗ (2𝜋) = 6 6

1

𝜃PKP = 𝜃R =

11𝜋 23𝜋 + 1 ∗ (2𝜋) = 6 6

2

𝜃RKP = 𝜃U =

11𝜋 35𝜋 + 2 ∗ (2𝜋) = 6 6

3

𝜃UKP = 𝜃c =

11𝜋 47𝜋 + 3 ∗ (2𝜋) = 6 6

⋮ 𝑛

⋮ 𝜃OKP = 𝜃OKP =

11𝜋 11𝜋 + 𝑛 ∗ (2𝜋) = + 2𝑛𝜋 6 6 donde 𝑛 ∈ ℤ

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

21

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Ahora vamos a trabajar con la ecuación original sin 2𝑥 + 𝜃=

PPQ ~

R

P

= − si R

+ 2𝑛𝜋:

𝜋 2𝑥 + = 𝜃 2 𝜋 11𝜋 2𝑥 + = + 2𝑛𝜋 2 6 11𝜋 𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 − 6 2 22𝜋 − 6𝜋 2𝑥 = + 2𝑛𝜋 12 2𝜋 𝑥 = + 𝑛𝜋 3 𝑥OKP =

Q

RQ U

+ 𝑛𝜋

donde 𝑛 ∈ ℤ

𝒏 −1

𝟐𝝅 + 𝒏𝝅 𝟑 2𝜋 𝜋 = 𝑥Y = + (−1)(𝜋) = − 3 3

𝒙𝒏K𝟏 = 𝑥•PKP

0

𝑥YKP = 𝑥P =

2𝜋 2𝜋 + 0(𝜋) = 3 3

1

𝑥PKP = 𝑥R =

2𝜋 5𝜋 + 1 ∗ (𝜋) = 3 3

2

𝑥RKP = 𝑥U =

2𝜋 8𝜋 + 2 ∗ (𝜋) = 3 3

3

𝑥UKP = 𝑥c =

2𝜋 11𝜋 + 3 ∗ (𝜋) = 3 3

Intersecto con el eje 𝑥: ⊥_ ⁄𝑦 = 0 Q

⊥_ = |𝑥OKP = + 𝑛𝜋, 0} U

⊥_ = €𝑥OKP

2𝜋 = + 𝑛𝜋, 0• 3

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

donde 𝑛 ∈ ℤ

22

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

23

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

Geometría y Trigonometría MM-111 UNAH-CUROC

24

GeometrĂ­a y TrigonometrĂ­a MM-111 UNAH-CUROC

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Seno Dos

Determine la tabla numĂŠrica y graficar 4 puntos antes y 4 puntos despuĂŠs del desfase de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

đ?‘Ľ

đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ = 2sin 2đ?‘Ľ +

−đ?œ‹ 2đ?œ‹ 3 đ?œ‹ − 2 đ?œ‹ − 3 đ?œ‹ − 4

đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“

0 đ?œ‹ 3 đ?œ‹ 2 2đ?œ‹

3 3đ?œ‹ 4

đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“ đ?‘“

đ?œ‹ +1 = 3 2 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + +1 = 0 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + + 1 = −1 2 2 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + +1 = 0 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ − = 2sin 2 − + +1 = 1 4 4 2 đ?œ‹ 0 = 2sin 2 0 + +1 = 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + +1 = 0 3 3 2 đ?œ‹ đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + + 1 = −1 2 2 2 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + +1 = 0 3 3 2 3đ?œ‹ 3đ?œ‹ đ?œ‹ = 2sin 2 + +1 = 1 4 4 2

� � = 2sin 2� + •

R

đ?œ‹ +1 2

đ?‘“ −đ?œ‹ = 2sin 2 −đ?œ‹ +

−

Q

+1 Par ordenado đ?‘Ľ, đ?‘Ś −đ?œ‹, 3 2đ?œ‹ ,0 3 đ?œ‹ − , −1 2 đ?œ‹ − ,0 3 đ?œ‹ − ,1 4 −

0, 3 đ?œ‹ ,0 3 đ?œ‹ , −1 2 2đ?œ‹ ,0 3 3đ?œ‹ ,1 4

ObservaciĂłn Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Desfase Punto MĂĄximo Intercepto Punto MĂ­nimo Intercepto Fin del periodo

đ?œ‹ +1 2

Dominio đ?’‡ đ?’™ : đ?‘šđ?’†đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’”

Dominio đ?‘“ đ?‘Ľ : đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ •

Rango đ?’‡ đ?’™ : − đ?’‚ + đ?’…, đ?’‚ + đ?’…

Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : − 2 + 1, 2 + 1 Rango đ?‘“ đ?‘Ľ : −1,3

WILFREDO ANTONIO ESTRADA SANCHEZ

25