MathEx - 2e - extrait by Van In Fondamental

Laurence Tistaert

Résoudre des situations mathématiques demande une maîtrise des techniques de base et un entraînement rigoureux de la part des élèves. Mathex 2e est un livre d’exercices de maths qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

MAthEx 2 année

Mathex 2e, c’est : U Plus de 5000 exercices qui couvrent toutes les maths de 2e année U Des exercices classés selon une difficulté croissante U Des rappels théoriques en début de chapitres U De l’algèbre ET de la géométrie U Les réponses aux exercices sont placées en fin d’ouvrage Mathex est donc le compagnon indispensable pour réussir ses maths en 2e année !

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9837-4 598277

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vanin.be

Nouvelle édition revue et corrigée

18/03/2021 15:36

2 année e

Laurence Tistaert

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Existent aussi dans la même collection MathEx 1re année MathEx 3e année

Couverture : Primo&Primo Mise en pages : Nord Compo © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2021, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 3e édition ISBN 978-2-8041-9837-4 D/2021/0078/188 Art. 598277/01

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Avant-propos Professeur de mathématique depuis plus de 20 ans, je constate que l’élève s’entraîne de moins en moins par écrit. Il me semble que bien maîtriser les techniques de base est indispensable pour pouvoir résoudre des situations mathématiques plus complexes.

C’est avec un entraînement rigoureux que l’élève peut maîtriser ces techniques mathématiques et apprécier davantage cette discipline : il va comprendre l’importance de la rédaction de chaque étape amenant à la solution de l’exercice. MATHEX 2e est un livre d’exercices mathématiques qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

L’élève peut : • lire les exemples et le rappel théorique pour les matières qui lui posent un problème ou qu’il veut approfondir ; • choisir des séries d’exercices en fonction de ses difficultés et de la matière qu’il voit ; • apprendre à respecter des consignes et à rédiger des résolutions d’exercices ; • s’entraîner davantage par écrit, en rédigeant les étapes sur une feuille annexe (voir plus bas) ; • revoir et approfondir certaines notions et techniques mathématiques ; • aller plus loin dans la résolution de certains exercices ; • se corriger grâce au solutionnaire en fin d’ouvrage.

iti

Les parents peuvent : • lire et s’aider du rappel théorique et des exemples nécessaires pour accompagner leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage des maths ; • choisir des séries d’exercices en fonction du niveau ou des difficultés de leur(s) enfant(s) ; • s’aider du corrigé pour évaluer la progression de leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage.

L’enseignant peut : • utiliser ce livre comme outil d’exercices pour son cours ; • continuer à utiliser ses propres introductions et sa propre méthodologie ; • compléter le contenu théorique comme il l’entend. Chaque chapitre de MATHEX 2e est composé, d’une part, d’un bref rappel théorique de certaines notions accompagné d’exemples avec une résolution complète, et, d’autre part, d’activités avec une multitude de séries d’exercices. Ces dernières sont proposées par gradation croissante de difficulté, afin que chaque élève puisse progresser à son rythme. À noter que certaines séries dépassent le programme de deuxième année de l’enseignement général et que, par ailleurs, pour éviter toute confusion avec la lettre x, le signe d’opération de la multiplication est remplacé par un point (.). MATHEX 2e, ce sont donc des centaines d’exercices couvrant le programme de la deuxième année de l’enseignement général avec les rappels théoriques indispensables. Tout pour réussir ses maths ! Bon entraînement ! Laurence Tistaert

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Sommaire Vocabulaire algébrique ...................................................................................................................... 5

Chapitre 2

Les entiers ........................................................................................................................................................................ 9

Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers.................................................. 17

Chapitre 4

Le PGCD et le PPCM ............................................................................................................................... 24

Chapitre 5

La division euclidienne .................................................................................................................... 34

Chapitre 6

Les fractions ............................................................................................................................................................ 38

Chapitre 7

Opérations sur les fractions .................................................................................................. 55

Chapitre 8

Les puissances ..................................................................................................................................................... 74

Chapitre 9

La notation scientifique................................................................................................................ 93

Chapitre 10

La distributivité ............................................................................................................................................... 95

Chapitre 11

Les produits remarquables .................................................................................................107

Chapitre 12

La mise en évidence...........................................................................................................................117

Chapitre 13

Les équations ...................................................................................................................................................123

Les problèmes avec équations ....................................................................................134 Le signe « − » devant des parenthèses........................................................138

iti

Chapitre 15

Chapitre 14

Chapitre 1

Exercices récapitulatifs ................................................................................................................141

Chapitre 17

Angles et droites remarquables du triangle.................................144

Chapitre 18

Proportionnalité........................................................................................................................................156

Chapitre 19

Projection parallèle ............................................................................................................................161

Chapitre 20

Les transformations du plan ...........................................................................................164

Les corrigés

........................................................................................................................................................................................................

Chapitre 16

184

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Chapitre 2

Les entiers 1 Rappel a) Tout nombre entier est constitué de deux parties :

Ex : – 7

a) un signe + ou –

b) une valeur absolue

b) La valeur absolue c’est le nombre sans son signe. | a | = a et | – a | = a

c’est la distance qui sépare ce nombre de zéro sur une droite graduée

c) L’opposé d’un nombre : l’opposé de a est – a car a + (– a) = 0 et – (5) = –5 et – (–5) = 5 d) • 0 est un nombre à la fois positif et négatif ; • est absorbant dans la multiplication ; • est neutre dans addition et soustraction ; • n’est jamais diviseur.

2 Addition et soustraction d’entiers Pour calculer la somme de deux nombres entiers de signes différents

on conserve le signe commun

on donne à la somme le signe du terme ayant la plus grande valeur absolue

on additionne les valeurs absolues

on soustrait les valeurs absolues (la plus grande moins la plus petite)

Exemples :

(+8) + (+2) = +10

(+7) + (–5) = +2

(– 10) + (– 4) = –14

(+13) + (–15) = –2

iti

Pour calculer la somme de deux nombres entiers de même signe

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Chapitre 2

Les entiers

3 Multiplication et division d’entiers Pour diviser deux entiers, il faut

chercher le signe du produit

chercher le signe du quotient + + : + + + + + : – – – – – : – + – – – : + – +

+.+

+.–

–

–.–

–.+

–

effectuer le produit des valeurs absolues 12 . (– 3) =

– 36

– 12 . (– 3) =

– 12 . 3 =

– 36

12 = 3 −12 = 3 −12 = 3 12 = −3

12 : (–3) =

–4

12 : 3 =

– 12 : (–3) =

– 12 : 3 =

–4

effectuer le quotient des valeurs absolues

12 . 3 =

Pour multiplier deux entiers, il faut

N.B. Pour calculer le produit de plusieurs facteurs : – si l’un des facteurs est nul, le produit est nul ; – si aucun des facteurs n’est nul, alors :

• on détermine d’abord le signe du produit : ■ si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ; ■ si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

iti

• on détermine ensuite la valeur absolue du produit en calculant le produit des valeurs absolues des facteurs.

4 Priorités des opérations avec les entiers Parenthèses Exposants MultiplicationDivision

AdditionSoustraction

Dans le sens de la lecture Dans le sens de la lecture

– (5 + 3 . 2) – [2 . [3 + (–5)]] Parenthèses

4 . (–2) + 5 . 3 + 15 : (– 5) – (–1)

MultDivision

= – (5 + 6) – [2 . (–2)]

= – 8 + 15 + (–3) – (–1)

AddiSoustr

Parenthèses

= – (11) – (– 4) = –11 + 4

= –8 +15 – 3 +1 AddiSoustr

= –7

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Les entiers

Chapitre 2

ACTIVITÉ 1 • ADDITION ET SOUSTRACTION D’ENTIERS Exercice 1 • Effectue les sommes et les différences d’entiers suivantes. Série 1

Série 2

a) 32 – (–3) = ............................................................................................... a) –125 + 35 = ........................................................................................... b) 17 + (–8) = .............................................................................................. b) –225 – 49 = ............................................................................................ c) 115 – (–32) = ......................................................................................... c) 175 – 38 = ................................................................................................ d) – 8 – 0 = ..................................................................................................... d) 49 – 107 = ............................................................................................... e) – 0 – 12 = .................................................................................................. e) 19 – 23 = ..................................................................................................

f) 12 – 12 = ................................................................................................... f) –56 – 35 = ................................................................................................ g) –12 – 12 = ............................................................................................... g) – 48 – 12 = .............................................................................................. h) –5 – (–5) = ............................................................................................... h) –53 + 53 = ..............................................................................................

i) (–3) + (–8) = ............................................................................................. i) 168 – 213 = ............................................................................................. j) 25 – (– 42) = ............................................................................................. j) –85 + 120 = .............................................................................................

Série 3

Série 4

a) – 4 + 13 – 20 = .................................................................................... a) – (–5) – 3 + 2 – 3 = .......................................................................... b) –7 + (–3) – 9 = ..................................................................................... b) 12 – (–2) + (–7) = .............................................................................. c) 16 – 8 – 10 = ......................................................................................... c) 17 + 5 – (–3) + (–2) = .....................................................................

d) –13 – (–8) + 5 = .................................................................................. d) 42 – 5 – (–3) – (–8) = ..................................................................... e) 51 – (–1) – (–2) = ............................................................................... e) –15 – (–15) + 7 = ...............................................................................

f) –19 – 8 + 27 = ...................................................................................... f) –108 – 12 + 15 = ............................................................................... g) 25 – 0 + 9 – 11 = .............................................................................. g) – (–17) – 2 – 6 + (–7) = ................................................................ h) –17 + 3 – 5 = ........................................................................................ h) 144 – 13 + (–8) = ..............................................................................

iti

i) –25 – 3 – 9 – 11 = .............................................................................. i) –59 + 3 – (–5) – 11 = .......................................................................

j) –12 – 18 – (–12) = .............................................................................. j) –19 – 15 – 7 = .......................................................................................

Exercice 2 • Complète les pointillés. Série 1

Série 2

a) – 8 + ..................................................................................................... = 5 a) 12 + ..................................................................................................... = 7 b) – 8 – .............................................................................................. = – 25 b) ................................................................................................. + 15 = 42 c) 12 + .................................................................................................... = 19 c) ...................................................................................................... – 6 = 76 d) 5 – ..................................................................................................... = – 8 d) 91 + .................................................................................................. = 80 e) 12 – .................................................................................................... = 15 e) 91 – ................................................................................................... = 80 f) – 7 – .................................................................................................. = – 4 f) –17 + ............................................................................................ = – 30 g) – 7 – .............................................................................................. = – 13 g) 53 + .................................................................................................. = 23 h) –15 + ........................................................................................... = – 13 h) 72 – .............................................................................................. = – 54 i) –15 + ............................................................................................. = – 18 i) .................................................................................................... + 13 = 75 j) 13 – ....................................................................................................... = 6 j) ................................................................................................ – (– 9) = 27

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Chapitre 2

Les entiers

ACTIVITÉ 2 • MULTIPLICATION ET DIVISION D’ENTIERS Exercice 1 • Effectue les produits et les quotients d’entiers suivants. Série 1

Série 2

Série 3

a) 13 . (–2) = ................................................... a) –17 . 3 = ...................................................... a) 48 : 6 = ......................................................... b) – 5 . (–2) = .................................................. b) –15 . (–8) = ............................................... b) 36 : (–6) = .................................................. c) 12 . (–2) = ................................................... c) – 3 . (–1) . 0 = ........................................... c) 50 : (–5) = ................................................... d) – 7 . (– 4) = ................................................. d) – 8 . (–2) . 9 = .......................................... d) 10 : (– 1) = .................................................. e) – 8 . (–12) = ............................................... e) – 7 . (–3) = .................................................. e) –10 : (–10) = ............................................

f) – 50 . 2 = ...................................................... f) – 4 . (–2) . (–5) = ..................................... f) 75 : (–5) = .................................................... g) – 8 . (–25) = ............................................... g) –17 . (–3) . 2 = ....................................... g) 72 : (–9) = .................................................. h) 75 . (–3) = .................................................. h) 42 . 2 . (–5) = .......................................... h) – 49 : (–7) = ............................................... i) 2 . (–56) = .................................................... i) –3 . (–2) . (–1) . (– 4) = ....................... i) 56 : (–8) = ....................................................

Série 5

Série 6

a) 3 . (–2) : (–3) = ....................................... a) 4 . 2 : (–2) . 5 = ..................................... b) 16 : 4 : (– 4) = ......................................... b) – 3 . (–2) : (–1) = ................................... c) 55 : (–11) . 3 = ........................................ c) 17 . 2 : (–17) = ........................................

−30 = ........................................................... −10 −75 = .......................................................... b) 25 −42 c) = ........................................................... 3 15 = .............................................................. d) −3 −39 e) = .......................................................... −13 1000 f) = ........................................................ 100 225 g) = .......................................................... −5 −129 = ....................................................... h) 3 −51 i) = ............................................................ −17 169 j) = .............................................................. 13

d) 17 . (– 3) . 2 = ......................................... d) – 16 . (– 2) . (–5) : (–8) = ................

Série 4

j) 4 . (–11) = .................................................... j) 17 . (–3) . (–2) = ...................................... j) –121 : 11 = .................................................

e) 66 . 2 : 132 = .......................................... e) 15 : (–3) . 7 . 2 = ..................................

iti

f) – 8 . 7 : (–2) = ........................................... f) 51 . (–3) . (–2) = ..................................... g) 12 : (– 4) . 3 = ......................................... g) 156 : (–3) . 0 = ....................................... h) 72 : (–9) . (–1) = .................................... h) 42 . 3 : (–2) = .......................................... i) 54 . 2 : (–2) = ............................................ i) 13 . (–3) . (–1) : (–39) = .................... j) –36 : (–6) . (–5) = ................................... j) 160 : (–8) : (–2) . (–1) = ....................

Exercice 2 • Complète le tableau suivant. x

–3

–4

–7

x.y

(–x) . y

– (x . y)

x . (–y)

(–x) . (– y)

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Les entiers

Chapitre 2

ACTIVITÉ 3 • PRIORITÉS DES OPÉRATIONS AVEC LES ENTIERS Bien respecter les étapes : 1. Parenthèses 2. Exposants 4. AdditionSoustraction

3. MultiplicationDivision

Exercice 1 • Effectue en respectant bien les priorités des opérations. Série 1

Série 2

Série 3

a) 17 – 3 . 4 = ............................................... a) 5 – 3 + 5 . 6 = ........................................ a) 13 + [5 : (–5)] = ..................................... b) – 5 . 4 + 25 = ........................................... b) 58 – 6 : (–3) = ......................................... b) –25 : 5 + 3 . 13 = ................................ c) 18 : 6 – 1 = ................................................ c) 74 : 2 – 7 = ................................................ c) (69 : 3 + 2) – 24 = ...............................

d) 72 : 12 – 6 = ............................................ d) 25 . 2 : (–5) + 1 = ................................ d) 13 + 3 . 5 – 2 . 0 = ............................ e) (17 + 3) . 11 = ........................................ e) 10 . 10 + 7 . 3 = ................................... e) 49 : 7 – 5 . (–2) = ................................. f) 45 – (5 . 4) = ............................................. f) (45 : 9) – (7 + 3) = ............................... f) 55 . (–1) : 11 – 45 = ...........................

g) –18 + (5 . 3) = ........................................ g) 1 + 5 . (–6) . (–3) = ............................. g) (33 . 2) + (55 – 9) = ........................... h) 75 – 4 . 10 = ............................................ h) (5 + 9) . 2 = .............................................. h) 6 + 12 : 4 – 8 = ..................................... i) –13 – 2 . 9 = .............................................. i) 8 . 4 . (–1) + 13 – 5 = ........................ i) (36 : 6 + 5) – (3 . 2) = ........................

j) 16 – 4 . 4 = ................................................. j) [5 + (–3)] . 8 = .......................................... j) 55 – 5 . 11 = .............................................. Série 4

Série 5

a) (7 . 25 – 3) : 4 – 9 = ........................................................................ a) (8 – 3) . 2 + 15 : 5 = .......................................................................

b) – 12 – 3 . [25 : (–5) – 38 : 19] = ........................................... b) (16 : 4 : 2) – 45 : (–9) = ............................................................... c) 8 . (37 – 5 . 6) – 14 = ..................................................................... c) 480 : 8 – (75 : 5) + 12 = ..............................................................

d) – 9 + (–15 . 8 – 9) : 3 = ............................................................... d) (8 + 15 . 2 – 5 : 5) – 81 : (–9) = ........................................... e) (15 + 6 . 7) : 3 – (–18) = .............................................................. e) 121 + 89 – (– 5 . 2 + 9) = ........................................................... f) 13 + (81 – 12) : 3 = .......................................................................... f) – (13 . 2 + 4) – [(45 : 5 + 1) . 2] = ........................................

iti

g) 16 – (3 . 10 : 6) + 5 = .................................................................... g) (7 . 3) + (15 : 5 – 9) – 3 . 0 . 2 = ......................................... h) –13 – (9 + 16 : 4) + 11 . 11 = ................................................ h) – (5 . 0 . 5 . 9) . (3 . 2 . 8 . 1) = ..............................................

i) 12 : (–3) + 5 . [12 : (– 4)] = .......................................................... i) 12 : (–12) + (–5) : 5 + 8 : (–8) = ............................................. j) (12 + 3 . 0) – 7 = ................................................................................. j) 72 : (–9) + 8 . 5 . 2 – (3 + 9) = ................................................

Exercice 2 • Complète avec une des quatre opérations mathématiques. a) (– 4) .......................................................................................... (–2) = 8 f) (–6) ......................................................................................... (–2) = – 4 b) (– 4) ........................................................................................ (–2) = –6 g) (– 4) ............................................................................................. 2 = – 6 c) (–1) ............................................................................................. (–1) = 1 h) (– 4) .............................................................................................. 2 = –2 d) (–1) ......................................................................................... (–1) = –2 i) (–2) ................................................................................................. 5 = –7 e) (–6) .......................................................................................... (–2) = 3 j) 9 ................................................................................................ (–1) = 10

POUR ALLER PLUS LOIN a) [3 – (–2)] . (–5) + 2 . [5 – (–9)] = ..................................................................................................................................................................................... b) 2 . [(–3 . 0) + 5 . 2] – [3 . (–2) + 5 : (–1)] = ............................................................................................................................................................ 13

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Chapitre 2

Les entiers

c) 50 – [–3 – 7 + (–2) – (–8) + (–7) – 11] = ................................................................................................................................................................... d) [5 . 2 . (–1) : (–2) + 3] . (4 . 2 . 0 . 5) = ..................................................................................................................................................................... e) 17 – 25 + 3 . (–3) – 15 : (–5) – 7 = ............................................................................................................................................................................... f) 18 . 2 + 3 – 5 . (–1) + 9 . 12 : 4 – 17= ....................................................................................................................................................................... g) 15 . 15 : (–9) – 169 : (–13) = ............................................................................................................................................................................................. h) –(7 + 3 . 2 – 5) – 2 . [3 + 5 – 9 : (–3)] = ................................................................................................................................................................... i) (150 : 3) + [49 : (–7) + 5 . (–2)] = .................................................................................................................................................................................... j) –153 + 215 : 5 – 13 . 2 + 5 . [15 : (–3) – 2 . (5 + 1 . 0)] = .......................................................................................................................

ACTIVITÉ 4 – SUITE DE NOMBRES ET DÉNOMBREMENT

Exercice 1 • Complète, de manière logique, les suites de nombres ci-dessous.

16 14

625

125

Opération effectuée

3125

6e nombre de la suite

Suite logique

0 25

Exercice 2 • Complète la suite des nombres et détermine le lien par une expression algébrique 14

→(

)

→(

)

→(

)

iti

→(

)

→(

)

→(

)

→(

)

→(

)

677

458330 → (

)

148

4 2

283

Exercice 3 • Suite de figures carrées

Carré numéro

Nombre de cases 14

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Les entiers

Chapitre 2

a) Dessine le 5e et 6e carrés et complète le tableau. b) Calcule le nombre de petites cases carrées dans les figures : n° 7 : n° 8 : n° 9 : n° 10 : c) Quel est le numéro du carré qui comprend 225 petites cases ? d) Combien de petites cases comporte la ne figure carrée ?

Exercice 4 • (CE1D – 2011) • Lors d’un défilé officiel, l’organisation prévoit des motards pour escorter les voitures. L’organisateur annonce ceci : « Un motard ouvre la route au convoi, un autre ferme la marche et chaque voiture est accompagnée de deux motards, un de chaque côté.

.......

a) Calcule le nombre de motards qui escortent 7 voitures.

b) Calcule le nombre de voitures que peuvent escorter 38 motards.

c) Trois élèves ont expliqué comment ils calculaient le nombre de motards à partir du nombre de voitures.

– Élève 1 : « J’ai ajouté 6 au nombre de voitures. »

– Élève 2 : « Je multiplie le nombre de voitures par 2 et j’ajoute 2 au résultat obtenu. »

– Élève 3 : « J’ajoute 1 au nombre de voitures et je multiplie la somme obtenue par 2. » L’un d’entre-eux s’est trompé. – Identifie-le : élève n°….

iti

– Justifie ton choix :

d) Si la lettre a désigne le nombre de voitures. Entoure l’expression qui traduit le mieux le raisonnement

« Je retire 2 au nombre de voitures, je multiplie le résultat obtenu par 2 et j’ajoute 6 au produit obtenu. » a−2×2+6

(a − 2) × 2 + 6

(a − 2 × 2) + 6

a − 2 × (2 + 6)

Exercice 5 • Les figures suivantes sont formées avec des craies. Ce sont les trois premières figures d’une longue série.

a) Complète le tableau suivant

n, le nombre de triangles

…

Nombre de craies Calcul 15

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Chapitre 2

Les entiers

b) Détermine le nombre de craies nécessaires pour former la figure comportant 28 triangles. Écris ton calcul. ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Nombre de craies : ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

c) Détermine le nombre maximum de triangles que l’on peut former si on dispose de 107 craies. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Nombre de triangles :

iti

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Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers 1 Addition et soustraction

On additionne ou soustrait uniquement les coefficients des termes semblables (même lettre et même exposant) entre eux. 5a + 1 = 5a + 1

1a + 1a = 2a

1a2 + 1a2 = 2a2

2a + 1a2 = 2a + a2

6a2 – 8a2 – 2 = –2a2 – 2

2a + 1a = 3a

4a2b – 2a2 = 4a2b – 2a2

1a = a

2 Multiplication et division La multiplication

La division (a et b sont des entiers non nuls)

a) On cherche le signe du produit

a) On cherche le signe du quotient b) On simplifie les nombres par le PGCD

c) On multiplie les lettres entre elles

c) On simplifie les lettres entre elles

Exemple : 1a . 1b = ab

Exemple : 15a : 5 = 3a

b) On multiplie les coefficients entre eux

–2a . 3b = –(2 . 3) . (a . b) = –6ab

iti

–5c . (–2a2) = + (5 . 2) . (c . a2) = 10a2c

–2x . (–3y) . (–5z) = –(2 . 3 . 5) . (x . y . z)

= –30xyz

1. a =1 1. a

30ac 30 : 15ac 2c = = 15ab 15 : 15ab b −45a2 45 : 3 . a . a 15a = = = 15a −3a 3:3. a 1

3 Priorités des opérations Si il y a un « – » devant une parenthèse, cela signifie qu’il faut prendre l’OPPOSÉ de chaque terme qui se trouve dans la parenthèse réduite. Exemple :

–(2x) = –2x

–(–9a) = 9a

–(–5x + 3y) = 5x – 3y

–(3a + 5) = –3a – 5

–(3a + 5a) = –(8a) = –8a

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Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers

Si il y a un « . » devant une parenthèse, cela signifie qu’il faut distribuer le facteur qui se trouve devant cette parenthèse aux termes de la parenthèse réduite. (Voir aussi chapitre 8 : La distributivité.) Exemple :

4 . (3x + 2x) = 4 . (5x) = 20x

–a . (3x + 2x) = – a . (5x) = – 5ax

– b . (3x + 1) = – 3bx – b

Ne pas oublier de toujours respecter les priorités des opérations : 1. Parenthèses 2. Exposants 3. MultiplicationDivision (dans le sens de la lecture) 4. AdditionSoustraction (dans le sens de la lecture) Exemple :

= 3x + 3 – (2x – 5) – 18x = 3x + 3 – 2x + 5 – 18x = –17x + 8

AS AS

e) 45a : 15 – 3 . 2a + (5 . 3a) = 45a : 15 – 3 . 2a + 15a = 3a – 6a + 15a = 12a

P MD AS

b) 5a . 2 + 5a – (3 . 5a) = 5a . 2 + 5a – 15a = 10a + 5a – 15a =0

d) 3x + 3 – (2x – 5) – 6 . 3x

a) 5a – (3a – b) = 5a – 3a + b = 2a + b

c) 12x . 2 + 5x . (3y – 1)

iti

= 24x + 5x . 3y – 5x . 1 = 24x + 15xy – 5x = 19x + 15xy

ACTIVITÉ 1 • ADDITION ET SOUSTRACTION Exercice 1 • Effectue. Série 1

Série 2

Série 3

a) a + a = ............................................................ a) 7a – 9a =........................................................ a) 15ab – 7ab =.............................................. b) 2a + 3a =....................................................... b) 13 – 8a = ....................................................... b) 12a2 – 8a2 = ................................................ c) –5a + 6a =..................................................... c) –17a + 5a = ................................................. c) 5a – 9b = ........................................................ d) –3a – 2a2 = .................................................. d) 42a – 7a = .................................................... d) 17a2 + 5a = ................................................. e) –5a + 2 = ....................................................... e) 5a + 7 = .......................................................... e) –16abc – 12ab =..................................... f) 4a – 7a =......................................................... f) 4a – 9a =......................................................... f) 15ac – 26ac =............................................. g) 9a – 8a = ....................................................... g) 12 + 5a = ...................................................... g) 13b3 – 50b3 = ............................................ h) 5a – 5a = ....................................................... h) –6a + 27a = ................................................ h) 12ab2 – 5ab = ........................................... i) 13a – 2a = ...................................................... i) –13a – 5a = ................................................... i) 5x2y – 3a = ..................................................... j) –6a + 12a = .................................................. j) 11a + 11a = .................................................. j) 12x3 – 21x3 = ............................................... 18

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Le calcul littéral de base avec les entiers

Série 4

Série 5

Chapitre 3

Série 6

a) 12a – 5 + 7a = ........................................... a) –(6x + 3 – 7x) =......................................... a) 4 – (2a + 5) = .............................................. b) 14a2 + 3a – 9a2 = .................................... b) –(4a + 3a + a) = ....................................... b) a – (2b – 6a – b) =.................................. c) 6b – 5b + 9b = ........................................... c) –(15 – 16 + 6x) = ..................................... c) 6 – (4 – 2b) = ............................................... d) 13b2 – (–5ab) + 12b2 = ...................... d) –(5 – 2x + 1) = ........................................... d) 6x – (3 + 4x) = ........................................... e) –6a2 + 3a2 – 25a = ................................. e) –(–7y – y + 4) = ......................................... e) 2b – (–5 – 9 – b) =.................................. f) 7a + (–12a) – 7a =................................... f) –(2b + 3 – 8b) = ........................................ f) 5 – (–3a – 8) =............................................. g) 16ab + 15ab2 – 3ab2 = ...................... g) –(2x – 6x + 9x) =...................................... g) 12c – (4c – 3c) = ......................................

h) –6ax + 13ax – 9 = .................................. h) –(4 – 7 + 2) =.............................................. h) 11 – (13 + a) = .......................................... i) 17b + 5ac – 13b = ................................... i) –(a – 2a + 9a) = .......................................... i) 9a – (–5a – 5) = ..........................................

j) –6ab – 9ab – 15ab = ............................. j) –(–8b + b – 16b) = ................................... j) 3y – (2y + 3 – 2y) = .................................

ACTIVITÉ 2 • MULTIPLICATION ET DIVISION

Pour la division, a, b, c, x, y et z sont des entiers non nuls (car zéro ne peut jamais être diviseur !). Série 1

Série 2

Série 3

a) b . a = ............................................................... a) –3a . (–5b) = ............................................... a) 7a . 3bc = ......................................................

b) a . b = ............................................................... b) –2a . a = ......................................................... b) –5x . 3b =......................................................

c) –a . (–b) =....................................................... c) a . a = ................................................................ c) 7x . (–7x) = .................................................... d) –a . c =............................................................. d) 5a . 2 =............................................................ d) 4ax . 3bx = ................................................... e) –a . (–b) . (–c) = ........................................ e) –2a . (–3b) = ............................................... e) –9a . (–5ab) = ............................................ f) b . c =................................................................. f) 5a . 3a = .......................................................... f) 13ac . 13c = .................................................

iti

g) –(–a) . (–b) = ............................................... g) 6a . (–2b) = .................................................. g) –16a . 5ab = ............................................... h) a . (–b) =......................................................... h) 5a . (–2a) = .................................................. h) 17x . 3xy = ...................................................

i) y . x = .................................................................. i) 7a . (–8a) = .................................................... i) –5xy . 12xy =................................................ j) –x . y = ............................................................... j) –6ab . (–5a) = .............................................. j) 20x . 5ax = ..................................................... Série 4

Série 5

Série 6

a) 10a2x . (–5x2) = ......................................... a) x . y . z =......................................................... a) –2ax . (–3) . (–5b) = .............................. b) 16bx . (–2x) = ............................................ b) x . (–y) . (–z) =............................................ b) –3x . (–2) . (–6a) = ................................. c) 13ab . 2c = ................................................... c) –x . (–y) . z = ................................................ c) 10a . 10b . 10c = .................................... d) –5c . (–a) = ................................................... d) –x . (–y) . (–z) =......................................... d) –10a . 3x . 2z =........................................ e) –2xy . 3xz = ................................................. e) –a . b . c =..................................................... e) 5ac . (–1) . (–5x) =.................................. f) 5ab . 3ab = ................................................... f) –ab . c . (–z) =............................................. f) –6ab . (–3c) . 2 = ..................................... g) 10x . (–5xz2) = ........................................... g) –a . (–c) . b = .............................................. g) –5 . (–3a) . (–7b) = ................................ h) 3x2 . 7ax = .................................................... h) –b . (–a) . z = .............................................. h) 10x . 11y . (–y) =..................................... i) 12a2b . (–5ab2) = ...................................... i) x . (–a) . c =.................................................... i) 8xy . (–2) . 4z = .......................................... j) –9x2y2 . (–7xy) = ......................................... j) z . (–c) . (–b) = ............................................. j) 5a . (–7b) . 3 =............................................

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Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers Série 7

Série 8

a) –15a : 3 =................................................................................................... b) –16ab : 4b =............................................................................................ c) –25c : (–5c) =...........................................................................................

15ab = ........................................................................................................ 5a

105ab = .................................................................................................... −15ac

12ab = ........................................................................................................ − 4a

d) − 144 xy = ............................................................................................... 12 y

e) –13c : (–13) = .........................................................................................

e) −75c = ....................................................................................................... −5

d) –12x : (–4) = ............................................................................................

f) –72a : (–9) = ............................................................................................. f) 77 xy ......................................................................................................... = 7x −125abc = ......................................................................................... −25ac h) 5y : (–1) =................................................................................................... h) −33bc = .................................................................................................... 11c −

g) –10b : 5b =............................................................................................... g)

i) 13x : x = ........................................................................................................ i) 38 xz = ......................................................................................................... −19 z

j) 81a : (–9a) = .............................................................................................. j) 150 xy = ...................................................................................................... 50 xy

ACTIVITÉ 3 • PRIORITÉS DES OPÉRATIONS Série 1

Série 2

iti

a) 9a + 31a – 5 . 6a =............................................................................ a) 3 . (2x – 1) = ............................................................................................ b) –8a . 2 + 5a = ........................................................................................ b) 5 . (3 + 2x) = ...........................................................................................

c) 13b – 3b – (5 . 2b) =......................................................................... c) –6 . (2 – 5a) =.......................................................................................... d) 12a + 3a – 2 . (–5a) = ..................................................................... d) 10 . (6 + 3a) =........................................................................................ e) 16b : (–4) + 3b = ................................................................................. e) –2 . (–3 – 6x) = ...................................................................................... f) –12a . (–3) + 5a = ................................................................................ f) (2a + 1) . 3 = ............................................................................................ g) –6a . (–3) + 4a . 2 =.......................................................................... g) (–a + b) . 2 = ........................................................................................... h) 9a : 3 + 5 . 2a = ................................................................................... h) (5 – 3x) . (–5) =...................................................................................... i) –7a . 3 – 6a . (–2) = ............................................................................ i) (b + 3c) . a =.............................................................................................. j) –(5a . 2) – 8a =........................................................................................ j) (–5a – 1) . (–2) = ....................................................................................

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Le calcul littéral de base avec les entiers

Série 3

Chapitre 3

Série 4

a) –5a . 2b + 3a = ..................................................................................... a) 17a2 + 3 . (a2 + 1) = .......................................................................... b) –17a – (5a + 3a) = ............................................................................. b) 5xy + 3xy . (–2) – (5x + 3y) = .................................................... c) –50a : (–2) + 13a – b =................................................................... c) 4x2 + 4x . x – 2 . (5x2 – 3) = ........................................................ d) 4 – (3a + 7) – 5a = ............................................................................. d) 5 . (3x – 2) + 15 . (–x) + (–8) . (–5) = ................................. e) 12x . (–3) – 3 – (2x + a) = ............................................................ e) 7a . (x + 2) – (7x + 3ax) = ............................................................

f) 6a + (3b – 2) + 4 . 3a = .................................................................. f) 122 : (–2) + 33 . (2 – x) =.............................................................. g) 15 : (–3) + 12a – (a + 5) = .......................................................... g) 6a – (5a + 3 – 2b) – (6b + 9a) = ............................................

h) 7y . 2 + 5x . 3 – (5x + 3y) = ....................................................... h) 15ab + 3a . (2b + 6) – 5 . (a – 3ab) = ............................... i) 13 . 2a – 5y : 5 + 2x – 1 = ............................................................ i) –4a + 2 . (a – 5) – (–6a – 3a – 2) =........................................

POUR ALLER PLUS LOIN

j) –(3x + 7) – (2 – 4x) – (–2 – 9x) = ............................................. j) –50 : (–2) – a . (3b + 4) – (5b + 6ab) = .............................

a) –[–3 + 5a . (–2) + 6] + 2a . (–5) – 13 = ................................................................................................................................................................... b) (15a + 1) . 2 + 6 – [3a – 2 – (5 + a)] = .................................................................................................................................................................... c) 3ab + 5a . (3b – 2) – (–6a . b) + 77 : 11 = ...........................................................................................................................................................

iti

d) –[–(–3b + 2a) – (5a – 3 . 2b)] + 4b = ........................................................................................................................................................................ e) 7a2b – 5b + [2 – 6a2 . 3b + 2 . (–8b)] = ..................................................................................................................................................................

f) –(3a + 5a2) – 7a . a + 12a : (–6) = ................................................................................................................................................................................ g) 5a – 7 . (–a) + 4 . (2a – 6) + 3 = ................................................................................................................................................................................... h) –5xy + 7x . (–3y – 2x) + 4x . 3x = ................................................................................................................................................................................ i) 75 . (a – b) – 15a – 6a : (–2) = .......................................................................................................................................................................................... j) 6bc – [a . (2b + c) – c . (3a – 5b)] = ............................................................................................................................................................................. k) 4a – (b + 2a) – a . a + 5b . (–2a) = .............................................................................................................................................................................. l) –(a – 3) – (–a – 3) + (–a – 3) – (–a + 3) = ................................................................................................................................................................ m) 40 : (–2) – (–5x) – (2x – 6) + 7 : (–7) = ................................................................................................................................................................... n) 4y . (–4) – 5x . (–2) – (7x – 3y) + y = ......................................................................................................................................................................... o) –4x – [7x + 2 – (3x + 1) – 3x] – [x – (2x + 7 – 1) – 3 . (–2x)] = ...........................................................................................................

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Chapitre 3

Le calcul littéral de base avec les entiers

ACTIVITÉ 4 • PROBLÈMES Exercice 1 • Voici le plan de la chambre de Seydi (rectangle ABCD). Il place un tapis dans le coin gauche de la pièce. En observant le dessin, DÉTERMINE ce qu’il peut calculer à partir des expressions suivantes.

y E

3 z

b) x

→ .....................................................

c) 3z

→ .....................................................

d) 2 . (3 + z)

→ .....................................................

e) (y + 3) . 2 + 2x

→ .....................................................

f) x – z

→ .....................................................

g) x . (y + 3)

→ .....................................................

a) y + 3

h) x . (y + 3) – 3z

→ .....................................................

Exercice 2 • Les expressions suivantes correspondent à des périmètres de rectangles. TRACE, dans chaque colonne, chaque rectangle si a = 1 cm et b = 2 cm. Périmètre (2) = (4a + 6b)

Périmètre (3) = 8b

iti

Périmètre (1) = 2 . (a + b)

DÉTERMINE, pour chaque rectangle, une expression de son aire. Aire figure 1 = ...................................... Aire figure 1 = ...................................... Aire figure 1 = ......................................

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Le calcul littéral de base avec les entiers

Chapitre 3

Exercice 3 • Ecris, pour chaque solide, une expression algébrique réduite au maximum représentant l’aire totale du solide et de son volume. Aire totale =

Forme 1

Volume =

Aire totale =

2a + 4

Forme 2

Volume =

Aire totale =

3a + 3

Forme 3

Volume =

iti

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