MathEx - 3e - extrait by Van In Fondamental

Laurence Tistaert Résoudre des situations mathématiques demande une maîtrise des techniques de base et un entraînement rigoureux de la part des élèves. Mathex 3re est un livre d’exercices de maths qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

MAthEx 3 année

Mathex 3re, c’est : U Plus de 2500 exercices qui couvrent toutes les maths de 3e année U Des exercices classés selon une difficulté croissante U Des rappels théoriques en début de chapitres U De l’algèbre, de la géométrie et de la trigonométrie U Les réponses aux exercices sont placées en fin d’ouvrage Mathex est donc le compagnon indispensable pour réussir ses maths en 3e année !

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9681-3 573074

vanin.be

3 année e

Laurence Tistaert

Mathex3.indb 1

15/09/2017 14:20

Existent aussi dans la même collection MathEx 1re année MathEx 2e année

Couverture : Primo&Primo Mise en pages : Nord Compo © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition 2017 ISBN 978-2-8041-9681-3 D/2017/0074/065 Art. 573074/01

Mathex3.indb 2

15/09/2017 14:20

Avant-propos Professeur de mathématique depuis plus de 20 ans, je constate que l’élève s’entraîne de moins en moins par écrit. Il me semble que bien maîtriser les techniques de base est indispensable pour pouvoir résoudre des situations mathématiques plus complexes.

C’est avec un entraînement rigoureux que l’élève peut maîtriser ces techniques mathématiques et apprécier davantage cette discipline : il va comprendre l’importance de la rédaction de chaque étape amenant à la solution de l’exercice. MATHEX 3e est un livre d’exercices mathématiques qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

L’élève peut : • lire les exemples et le rappel théorique pour les matières qui lui posent un problème ou qu’il veut approfondir ; • choisir des séries d’exercices en fonction de ses difficultés et de la matière qu’il voit ; • apprendre à respecter des consignes et à rédiger des résolutions d’exercices ; • s’entraîner davantage par écrit, en rédigeant les étapes sur une feuille annexe (voir plus bas) ; • revoir et approfondir certaines notions et techniques mathématiques ; • aller plus loin dans la résolution de certains exercices ; • se corriger grâce au solutionnaire en fin d’ouvrage.

iti

Les parents peuvent : • lire et s’aider du rappel théorique et des exemples nécessaires pour accompagner leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage des maths ; • choisir des séries d’exercices en fonction du niveau ou des difficultés de leur(s) enfant(s) ; • s’aider du corrigé pour évaluer la progression de leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage.

Éd

L’enseignant peut : • utiliser ce livre comme outil d’exercices pour son cours ; • continuer à utiliser ses propres introductions et sa propre méthodologie ; • compléter le contenu théorique comme il l’entend. Chaque chapitre de MATHEX 3e est composé, d’une part, d’un bref rappel théorique de certaines notions accompagné d’exemples avec une résolution complète, et, d’autre part, d’activités avec une multitude de séries d’exercices. Ces dernières sont proposées par gradation croissante de difficulté, afin que chaque élève puisse progresser à son rythme. À noter que certaines séries dépassent le programme de troisième année de l’enseignement général. MATHEX 3e, ce sont donc des centaines d’exercices couvrant le programme de la troisième année de l’enseignement général avec les rappels théoriques indispensables. Tout pour réussir ses maths ! Bon entraînement ! Laurence Tistaert

Mathex3.indb 3

15/09/2017 14:20

Rappels de 2e année................................................................................................................................. 5

Chapitre 2

Les Racines carrées ................................................................................................................................... 25

Chapitre 3

Pythagore .................................................................................................................................................................... 39

Chapitre 4

Les puissances à exposants entiers ........................................................................ 55

Chapitre 5

Les polynômes.................................................................................................................................................... 62

Chapitre 6

La factorisation ................................................................................................................................................ 77

Chapitre 7

Inéquations .............................................................................................................................................................. 89

Chapitre 8

Les fractions algébriques ............................................................................................................ 97

Chapitre 9

Graphique d’une fonction et fonction du premier degré ......................................................................................106

Chapitre 10

La trigonométrie ......................................................................................................................................121

Chapitre 11

Les angles du cercle............................................................................................................................131

Chapitre 12

Les figures semblables..................................................................................................................139

Chapitre 13

Thalès – Proportions – Triangles semblables ................................149 160

Éd

iti

Les corrigés

Chapitre 1

Sommaire

Mathex3.indb 4

15/09/2017 14:20

Chapitre 3

Pythagore Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle.

1 Le théorème de Pythagore à travers la géométrie a) • Tracer un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3 ; 4 et 5 cm. Le triangle est rectangle.

16 cm2

• Tracer un carré à partir de chaque côté du triangle

9 cm2

iti

4 cm

3 cm

5 cm

Éd

25 cm2

b) Déterminer l’aire de chaque carré. Aire côté 3 cm = 9 cm2

Aire côté 4 cm = 16 cm2

Aire côté 5 cm = 25 cm2

c) Lien entre les aires et les côté du triangle rectangle : 25 cm2

16 cm2

↓

9 cm2 ↓

(5 cm)

= (4 cm)

(3 cm)2

Le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Mathex3.indb 39

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

2 Le théorème de Pythagore « Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit. » • le triangle

• le théorème : Formule

côté de l’angle droit

A 2

po hy

AB = AC + BC

l’hypoténuse : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle.

Exemple

côté de l’angle droit

AB = AC + BC (12) 2 = x 2 + 8 2 144 = x 2 + 6 4 144 – 6 4 = x 2 80 = x 2

e us én

80 = x

iti

4 5= x

3 La réciproque de Pythagore

Éd

« Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. » AB ?= AC + BC ? 144 = 25 + 100

? 10

144 ≠ 125 Non, le triangle ABC n’est pas rectangle car l’égalité n’est pas respectée.

4 Relation métrique dans un triangle rectangle a) Théorème de la hauteur « Dans un triangle rectangle, le carré de la hauteur relative à l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. » 40

Mathex3.indb 40

15/09/2017 14:22

Pythagore

Chapitre 3

B 2

H A

BH = AH ⋅ HC

hauteur

hypoténuse

Exemple : Détermine la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse : A

AH = CH ⋅ HB

AH = 5 ⋅ 4 2

AH = 20

AH =

5 C

AH = 2 5

b) Théorème des côtés de l’angle droit

AB = CB ⋅ HB

B 2

AC = CB ⋅ CH

« Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produit de la longueur de l’hypoténuse par la projection orthogonale de ce côté sur l’hypoténuse. »

Exemple : Détermine la longueur CB du triangle rectangle ABC suivant : 11

H B

•

iti

Éd

x2 = AB ⋅ HB x2 = 18 ⋅ 7 x2 = 126 x = 126

• HB = AB – AH HB = 18 – 11 HB = 7

x = 3 14

5 Distance entre deux points dans un plan cartésien Pour calculer la distance entre deux points dans un graphe cartésien, on utilise la formule suivante (principe de Pythagore) : Soit les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB). La distance entre A et B est : AB =

(x – x ) + (y – y ) 2

Mathex3.indb 41

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore y B(xB ; yB)

yB – yA

A(xA ; yA)

AB = ( xB – y A ) + ( y B – y A ) 2

xB – xA C

AB = AC + BC

AB =

(x – x ) + (y – y ) 2

Exemple : Détermine la distance du segment [MN] si tu sais que les coordonnées des points sont : M(2 ; 2) et N(6 ; 5). Algébriquement :

Graphiquement : y

yB – yA = 5 – 2

42 + 3 2

MN = 16 + 9

xB – xA = 6 –2 C

MN =

M(2 ; 2)

( 6 – 2 ) + (5 – 2)

N(6 ; 5)

MN =

MN = 5

ACTIVITÉ 1 – EXERCICES SUR LE THÉORÈME DE PYTHAGORE Exercice 1 • Dans chaque situation suivante, écris l’égalité de Pythagore. a)

iti

Éd

...............................................................................

................................................................

...............................................................................

................................................................

...............................................................................

................................................................

Exercice 2 • Détermine la longueur du côté inconnu dans les triangles rectangles suivants. a)

M ? O

7 12

A 9

C ? B

• Egalité : .......................................................... • Egalité : .......................................................... • Egalité : .......................................................... • Calcul : ........................................................... • Calcul : ........................................................... • Calcul : ...........................................................

Mathex3.indb 42

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore d)

T ? X

T ?

? Z

Série 1

Exercice 3 • À partir du triangle dessiné, détermine les valeurs manquantes dans le tableau après avoir écrit l’égalité de Pythagore. Série 2 p

Égalité : .....................................

Égalité : ........................................

8 6 ➀ ................................ 14 13 ................................ ➁ 20 ................................ 15 ➂

➀ ➁ ➂

➃

➄ ................................

iti

Série 3

................................

Éd d

3 2

................................

5 3

................................

5 2

1 4

3 8

................................

➄

................................

11 2

3 2

Égalités : ................................................................................................................................

................................................................................................................................

Exercice 4 • Détermine la valeur de chaque côté du triangle après avoir trouvé la valeur de x. a)

A 15

x = ......

C x – 5 = ...... B

Égalité : ..................................................................................................................................................................... Valeur de x : .........................................................................................................................................................

Mathex3.indb 43

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore X x = ...... Y

Valeur de x : .........................................................................................................................................................

x – 4 = .... N

Égalité : .....................................................................................................................................................................

x + 2 = ....

Valeur de x : .........................................................................................................................................................

x + 10 = ....

Égalité : .....................................................................................................................................................................

O d)

Égalité : .....................................................................................................................................................................

x+8 = ......

E 12

Valeur de x : .........................................................................................................................................................

G x = .... F L x = ....

x – 6 = ....

Valeur de x : .........................................................................................................................................................

Égalité : .....................................................................................................................................................................

R 3x + 6 = ....

Égalité : .....................................................................................................................................................................

Valeur de x : .........................................................................................................................................................

3x = ....

Série 1

Égalité : ..............................................

.........................

....................................................................

.........................

....................................................................

.........................

2 3

.........................

1 2

3 4

.........................

3 5

.........................

Éd

iti

Exercice 5 • Complète le tableau suivant à partir du dessin donné.

Mathex3.indb 44

15/09/2017 14:22

Pythagore

Chapitre 3

Série 2 x

Égalité : ..............................................

10 6

6 4

…… ……

....................................................................

4 2

……

2 3

……

5 3

……

3 3

6 3

……

7 3

....................................................................

Exercice 6 • Calcule la diagonale [XY] dans le parallélépipède rectangle suivant. E

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

Exercice 7 • Calcule la diagonale [XY] du cube de 5 cm d’arête. D

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

iti

Éd

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

........................................................................................

.............................................................................................

Exercice 8 • Quelle est la longueur d’un côté d’un carré dont une diagonale mesure 18 cm ? ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice 9 • Détermine la plus longue distance qu’un joueur peut courir en ligne droite sur un terrain de jeu de 100 m sur 50 m ? (dessin + calcul) Dessin :

............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................

Mathex3.indb 45

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

Exercice 10 • Calcule la hauteur d’un triangle équilatérale de 8 cm de côté. (dessin + calcul) Dessin :

Exercice 11 • Un sportif veut escalader une tour mais il ne connait pas sa mesure. Aide-le à déterminer la hauteur de cette tour avant qu’il ne commence son expédition. ......................................................................................................................................................................

60 m 1,75 m 45 m

Exercice 12 • Quelle doit être la longueur d’une échelle pour atteindre une hauteur de 6 m au mur et si elle est posée au sol à 2 m du mur. (dessin + calcul) Dessin :

iti

............................................................................................................................................................................................

Éd

............................................................................................................................................................................................

Exercice 13 • Emeline place une échelle de 5 m sous la fenêtre de la chambre de son amie Fatima. À quelle distance du mur, doit-elle la placer pour pouvoir atteindre la fenêtre située à 4 m du sol ? (dessin + calcul) Dessin :

Mathex3.indb 46

15/09/2017 14:22

Pythagore

Chapitre 3

Exercice 14 • Un moineau posé au sol veut aller manger une cerise au sommet d’un arbre de 4 m dont le pied est situé à 20 m de lui. Quelle distance l’oiseau doit-il parcourir ? (dessin + calcul) Dessin :

Exercice 15 • Lors d’un orage, le tronc d’un arbre a été brisé par la foudre à 6 m du sol. Du coup, le pied de l’arbre se situe à 8 m de sa cime (son sommet). On suppose que le tronc de l’arbre est perpendiculaire au sol. Détermine la hauteur de l’arbre avant l’orage. (Dessin + calcul)

Dessin :

Exercice 16 • Une poutre est posée contre un mur perpendiculairement au sol. Elle mesure 26 dm et est haute de 24 dm. Cette poutre glisse du mur de 20 cm. Détermine, par rapport à la distance de départ, de quelle longueur elle glisse au sol. ............................................................................................................................................................................................

iti

............................................................................................................................................................................................

Éd

Exercice 17 • Un ouvrier d’une société d’électricité doit tendre un fil entre deux poteaux qui ont pour hauteurs respectives 9 m et 12 m. Ils sont disposés à 24 m l’un de l’autre. Le fil doit être bien tendu. Quelle est la longueur de ce fil ? (dessin + calcul) Dessin :

Mathex3.indb 47

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

Exercice 18 • Calcule l’aire d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 13 m et un côté de l’angle droit 10 m. (dessin + calcul) Dessin :

Exercice 19 • Un rectangle dont la longueur mesure 15 cm a une aire de 120 cm2. Calcule la longueur de ses diagonales. (dessin + calcul) Dessin :

............................................................................................................................................................................................

Exercice 20 • Calcule l’aire du trapèze rectangle XYZT sachant que XY = 5 cm ; YZ = 3 cm et XT = 4 cm. Y

............................................................................................................................................................................................

iti

............................................................................................................................................................................................

Éd

ACTIVITÉ 2 – EXERCICES SUR LA RÉCIPROQUE DE PYTHAGORE Exercice 1 • À partir du triangle ABC suivant, détermine, si dans les cas proposés, il est rectangle :

B C

∆ rectangle oui ou non

............................................................

3 5

5 2

............................................................

4 3

............................................................

Mathex3.indb 48

15/09/2017 14:22

Pythagore

Chapitre 3

Exercice 2 • Des ouvriers ont dressé un poteau qui s’élève exactement à 8 m du sol. Un tendeur de 9 m, accroché au sommet du poteau, s’écarte du pied de ce dernier de 4 m. Le poteau est-il vertical ? (dessin + calcul) Dessin :

Exercice 3 • La droite AH est-elle une hauteur du triangle ABC ? (calculs)

............................................................................................................................................................................................

5 cm

6 cm

............................................................................................................................................................................................

H 3 cm C

............................................................................................................................................................................................

4 cm

............................................................................................................................................................................................

Exercice 4 • Une diagonale d’un losange mesure 7 cm et un de ces côtés 5 cm. Ce losange est-il un carré ? (dessin + calcul) Dessin :

............................................................................................................................................................................................

iti

............................................................................................................................................................................................

Éd

Exercice 5 • Dans le rectangle ci-dessous détermine si le triangle EFC est rectangle. A

Exercice 6 • Soit un carré ABCD de 12 cm de côté. Le point E est le milieu de [AB] et le point F, un point de [BC] tel que BF = 3 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ? Si c’est le cas, détermine en quel sommet. (dessin + calcul) Dessin :

Mathex3.indb 49

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

Exercice 7 • ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne AB = 4 cm ; BC = 3 cm et BF = 6 cm. Le triangle AFC est-il rectangle ? H

D A

............................................................................................................................................................................................

Exercice 8 • Construis un triangle MAT tel que MA = 6,8 cm, AT = 10,5 cm et MT = 8,1 cm. Le triangle est-il rectangle ? Justifie par un calcul.

Dessin :

Exercice 9 • Le triangle ABC suivant est-il rectangle ? Justifie par un calcul. ............................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................

iti

x+6

............................................................................................................................................................................................

Éd

............................................................................................................................................................................................

ACTIVITÉ 3 – RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Exercice 1 • Trouve les égalités possibles à partir du dessin suivant : Pythagore

Hauteur relative à l’hypoténuse

Côté de l’angle droit

• ....................................................... • .......................................................................... • ............................................................ Z

• .......................................................

• ............................................................

• .......................................................

Mathex3.indb 50

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore Exercice 2 • Dans les triangles suivants, détermine la hauteur relative à l’hypoténuse. a)

A b)

H 5C

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

...............................................................

A H

...............................................................

..................................................................

Exercice 3 • Dans les triangles suivants, détermine la longueur d’un des côtés de l’angle droit. b) A

A x

............................................................

D3B

............................................................

A x

..................................................... .....................................................

..................................................................................................................................................................................................

C D

.....................................................

............................................................

..................................................................................................................................................................................................

Exercice 4 • Complète le tableau suivant après avoir déterminé toutes les relations métriques possibles. (Calculs !) h

Côté de l’angle droit

• .......................................................

Hauteur relative à l’hypoténuse

• ....................................................... • ............................................................................... • ...............................................

Éd

Les égalités : Pythagore

iti

• ...............................................

• .......................................................

.................................

3 2

.................................

Mathex3.indb 51

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

Exercice 5 • Un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ABC mesure 18 cm et la hauteur relative à l’hypoténuse 9 cm. Calcule l’aire de ce triangle. (dessin + calculs) Dessin :

Exercice 6 • Dans un triangle rectangle XYZ, la hauteur issue du sommet de l’angle droit détermine sur l’hypoténuse des segments de longueurs respectivement égales à 7 cm et 28 cm. Calcule l’aire de ce triangle. (dessin + calculs)

Dessin :

............................................................................................................................................................................................

Exercice 7 • Dans le rectangle XYZT, XH ⊥ TY . Calcule le périmètre de ce rectangle.

............................................................................................................................................................................................

iti

Éd

............................................................................................................................................................................................

ACTIVITÉ 4 – DISTANCE ENTRE DEUX POINTS DANS UN GRAPHE CARTÉSIEN Exercice 1 • Calcule la longueur de [AB] après avoir déterminé les coordonnées des points A et B. y

B(… ; …)

1 0

A(… ; …) 1

............................................................................................................................................................

Mathex3.indb 52

15/09/2017 14:22

Pythagore

Chapitre 3

Exercice 2 • Sur un graphe cartésien, place les points M(2 ; 5) et P(6 ; 2) et calcule le longueur de [MP]. y

1 ............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

Exercice 3 • Sans placer les points sur un graphe, calcule la longueur des segments suivants :

a) [AB] si A(–5 ; 3) et B(2 ; –1) → ........................................................................................................................................................................................

b) [RS] si R(1 ; –2) et S(1 ; 4) → ............................................................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

c) [MN] si M(5 ; –1) et N(4 ; –2) → .................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

d) [ZT] si Z(0 ; –8) et T(–3 ; 4) → ..........................................................................................................................................................................................

e) [OP] si O(–5 ; –2) et P(–3 ; 4) → .....................................................................................................................................................................................

Éd

iti

Exercice 4 • Dans un graphe cartésien, place les points M(6 ; 6) ; D(–4 ; 2) et R(2 ; –1). • Le triangle MDR est-il rectangle. Justifie par calculs. y

1 ..................................................................................................................................

Mathex3.indb 53

15/09/2017 14:22

Chapitre 3

Pythagore

Exercice 5 • Dans en repère cartésien, place les points A(2 ; 4), B(5 ; 5), C(6 ; 2) et D(3 ; 1) Détermine la nature du quadrilatère ABCD à l’aide de calculs. ..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

→ le quadrilatère ABCD est .......................................................................................................................................................................................................

Exercice 6 • Prouve, à l’aide de calculs que le triangle AMT est un triangle isocèle.

..................................................................................................................................

1 0

..................................................................................................................................

M.........

Éd

.........

iti

A.........

..................................................................................................................................

Mathex3.indb 54

15/09/2017 14:22

Chapitre 4

Les puissances à exposants entiers 1 Rappels • Une puissance est un produit de facteurs tous égaux entre eux. l’exposant

= a ⋅ a ⋅ a ⋅…⋅ a

la base

x facteurs a

Une puissance

• L’inverse d’un nombre

1 L’inverse du nombre réel non nul a se note a–1 et vaut . a –1 1 5 2 –1 1 Exemple : = ou ( – 3) = – a–1 = 3 2 5 a Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1. a–1 ⋅ a =

1 ⋅ a=1 a

Exemple : ( – 3) –1 =

–1 –1 car – 3 ⋅ =1 3 3

! Le signe « – » écrit sous forme d’exposant signifie « INVERSE ».

2 Les propriétés des puissances

Éd

iti

• Puissance d’un produit : (a · b)n = an · bn Exemple : (2a)3 = 2a ⋅ 2a ⋅ 2a = 23 ⋅ a3

(a ≠ 0)

= 8 a3

• Puissance d’un quotient : a b

rse

inve

1 (2a)– 3 = 2– 3 a – 3 (2a)– 3 = (2a)3 1 = 3 3 1 = 3 3 2 a ou 2a 1 = 3 1 = 3 8a 8a

an bn rse

Exemple :

2 3

2 2 2 3 3 3 23 = 3 3 8 = 27 =

2 3

–3

inve

2 2– 3 –3 3 3 33 = 3 ou 2 27 = 8

–3

3 2

33 23 27 = 8 =

Mathex3.indb 55

15/09/2017 14:22

Chapitre 4

Les puissances à exposants entiers

• Puissance d’une puissance : (an)p = an·p rse

Exemple : (2 ) = 2 ⋅ 2 = 26 3 2

inve

(2 ) = 2

= 2– 6 1 = 6 2 1 = 64

= 64

1 (23 )2 1 = 6 2 1 = 64

(2 ) =

3 ⋅ ( – 2)

3 –2

an = an – p ap

23 2⋅ 2⋅ 2 Exemple : 4 = 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2 2 = 23– 4 inverse = 2–1 1 = 2

= 24 – 3 =2

• Quotient de puissances de même base : 24 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2 Exemple : 3 = 2 2⋅ 2⋅ 2

Exemple : 71 = 7

a0 = 1

Exemple : 70 = 1

iti

• Cas particuliers : a1 = a

1 a

Éd

a–1 =

er se

= 128

–3 + – 4 1 1 2– 3 ⋅ 2– 4 = 3 ⋅ 4 2 ⋅ 2 = 2– 3+( – 4) 2 2 = 2– 7 1 = 7 ou 1 2 = 7 2 1 = 1 128 = 128

= 23+ 4 = 27

inv

3 + 4

Exemple : 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

inv

er se

• Produit de puissances de même base : an · ap = an + p

Exemple : 7–1 =

inverse

2– 7 25 Exemple : –5 = 7 2 2 = 25– 7 inverse = 2– 2 1 = 2 2 1 = 4

1 7

3 La notation scientifique

L’écriture scientifique est une forme d’écriture des nombres très petits ou très grands. Elle permet de raccourcir l’écriture de ces nombres. L’écriture scientifique se compose toujours • d’un nombre décimal plus grand ou égal à 1 et strictement plus petit que 10 ; • d’une puissance de 10 avec un exposant appartenant à l’ensemble des entiers.

Mathex3.indb 56

15/09/2017 14:22

Les puissances à exposants entiers

Chapitre 4

a . 10n 1 ≤ a < 10

n∈

Exemple :

3000 = 3. 103 34,785 = 3,4785. 101 0,00002056 = 2,056. 10–5

ACTIVITÉ 1 – LES PUISSANCES À EXPOSANTS ENTIERS

Exercice 1 • Transforme les expressions suivants de manière à ne plus avoir d’exposants négatifs (a, b ∈ 0). Série 2

Série 1

1 ......................................................................................................... = ............... a– 4

a 8b –1 ..................................................................................................... = ............... 2 3a – 3 b) ....................................................................................................... = ............... b –5

c) ab–2 = ..........................................................................................................

c) (ab)–3 = ......................................................................................................

d) a–3b–2 = .....................................................................................................

d) ab–3 = .........................................................................................................

e) a–2b–4 = .....................................................................................................

e) a–3b = .........................................................................................................

a) a–5 = ............................................................................................................

Éd

iti

f) a–5 = ............................................................................................................. a –5 g) ......................................................................................................... = ............... b– 3 1 h) .................................................................................................. = ............... –3 –2 a b 1 i) ...................................................................................................... = ............... a6 b –5 a3 j) ........................................................................................................... = ............... b– 4

f) 3a–2b3 = ..................................................................................................... g) 5–1a3b–2 = ................................................................................................ h) 2–1a–3b–5 = .............................................................................................. a– 2 .................................................................................................... = ............... 3 b– 4 4 a3 j) ......................................................................................................... = ............... 3b –5 i)

–1

Exercice 2 • Calcule et réduis les expressions suivantes sans laisser d’exposants négatifs (a, b ∈ 0). Série 1

a) 2–2 = .............................................................. b) 3–2 · 4 = .....................................................

Série 2

Série 3

1 ........................................................ = ......... 9 –4 –2 b) ................................................... = ............... 3

a) (3 2)2 = ............... ....................................................

–2

b) 3– 2 2 = ............... .....................................................

c) (–3)–2 = ........................................................

c) (– 2– 2 )

d) (– 3)–3 = ......................................................

d) – 5 · 2–5 = .................................................

e) 5–3 = .............................................................. 1 f) ............................................................. = ............... 5– 2

e) (2 3)– 2 = ............... ..................................................

e) (3– 2 ) – 2 = …………… ....................................................

f) 5–1 · 5 = .......................................................

f) – (– 5)–2 = ..................................................

–3

= …………… .................................................

c) 3( 2)– 2 = ............... ................................................... 3 2

.................................................... = ...............

Mathex3.indb 57

15/09/2017 14:22

Chapitre 4

Les puissances à exposants entiers –2

g) 22 · 3–3 = ................................................... 2 ........................................................... = ............... 4– 2 2– 3 i) .............................................................. = ............... 2– 9 5– 4 j) ............................................................. = ............... 5– 3 h)

2 .................................................. = .............. 2 –4 –2 h) – .............................................. = ............... 5 – 4– 3 i) ......................................................... = ............... 3– 2 2–5 = ............... j) ..................................................... –3 ( – 2) g)

g) – (– 5)–3 = ................................................. 23 ............................................................ = ............... 2– 7 2– 3 i) ......................................................... = ............... 3 ⋅ 22 3–1 j) ....................................................... = ............... ( 3)2 h)

Série 4

Série 5

3a ...................................................................................................... = ............... 2– 3 2– 2 a – 3 b) .................................................................................................. = ............... 2– 4 a

a) 24 · 3–2 · 2–3 · 3–1 = ..........................................................................

c) (4 a3 b – 2 ) – 2 = …………… ..........................................................................................

d) (4 a – 3 ) 2 = …………… ................................................................................................. –5 – 2a e) .................................................................................................. = ............... 3– 2 a – 4 (4 a)– 2 f) .................................................................................................... = ............... 5–1

d) a3b–3 · a–5b–2 = ....................................................................................

g) 2–3a–5b = ..................................................................................................

g) ( a2 ) 2 ⋅ b –5 ⋅ ( a – 2 ) 3 = …………… ....................................................................... 3– 2 a –1 h) ................................................................................................... = ............... 4 –1 a5 (– 3)– 9 i) .................................................................................................... = ............... (– 3)– 6

b) (22a8b9)3 = ..............................................................................................

22 ⋅ 4 – 2 ................................................................................................ = ............... 2– 3

e) – (– 2a2b – 3 ) – 2 = …………… .................................................................................. f)

3a2b = ............... ........................................................................................ b– 4

–2

2a2 .................................................................................................. = ............... (4 a)– 2 –b i) .................................................................................................... = ............... – 3b – 4 – 2a – 3 b j) .............................................................................................. = ............... 23 a – 6 b – 3

j) ((– 2)2 ) – 3 = ............... ...............................................................................................

Série 6

iti

a) (– 3a)2 · (3a)–2 = ................................................................................ –4

b) 15a b = ....................................................................................... 25a9 b –1 –5a – 4 c) 25a –5 = ......................................................................... 2a3 4

Éd

d) (– 4 a – 3 b3 ) 2 ⋅ (3a –5 b3 ) – 3 = .......................................................... −2

10a – 3 ( b 4 ) = ...................................................................................... (−5)2 a – 3 b – 3 –3 –2 a2 – 2a f) = .......................................................................... b b –1 3 –2 (– 2a4 b –5 ) (2a – 3 b 4 ) g) ⋅ = ........................................................ − 3 16a – 3 ( a3 ) 0 4 5 –2 h) a b = ....................................................................................... a2 3 (– 3a2 ) 2a – 4 i) ⋅ = ................................................................................ – 2a6 9a e)

j) – b – 4 ⋅ ( 4 b2 )

–3

= ..................................................................................

Série 7 a) (10a3 b – 2 ) – 2 =

.................................................................................... 2

–b 4 b) 3 a b a = ........................................................... 2 –2 2a b 3 5–1 b –5 a4 c) = ............................................................................................... 5– 3 b 6 –1 (–5a – 4 ) d) = ........................................................................................... – 2 (2a3 ) –2 2 e) (3a – 2b – 3 ) – 2 = ....................................................................... 3 –1

–4

f) (– 5a)2 · (25a)–1 = .............................................................................. –3

–2

a b b g) a = ................................................ b b a a 2 2 3 –2 2a –1b h) 2a b = ............................................................ 3ab2 3a – 2b – 3 ab –1 i) 4 a3 b –1 ⋅ = ................................................................................. 2a – 2b j) 2( a – 4 ) – 2 ⋅ (2a – 3 b) 2 = ........................................................................

Mathex3.indb 58

15/09/2017 14:23

Les puissances à exposants entiers

Chapitre 4

Exercice 3 • Détermine l’exposant de la puissance de 10 afin de respecter l’égalité. Série 2

a) 2,5. 10..... = 2 500

a) 475. 10..... = 4,75

b) 2,5. 10..... = 0,25

b) 1254. 10..... = 12,54

c) 0,07. 10..... = 70

c) 0,475. 10..... = 4,75

d) 4,1315. 10..... = 413,15

d) 0,003. 10..... = 30

e) 0,0022. 10..... = 220

e) 12,48. 10..... = 1,248

f) 12. 10..... = 12 000

f) 0,047. 10..... = 4,7

g) 42,53. 710..... = 4,253

g) 12 587. 10..... = 125,87

h) 547. 10..... = 0,547

h) 15. 10..... = 15 000

i) 216,5. 10..... = 21 650

i) 1 387. 10..... = 1,387

j) 47. 10..... = 0,0047

j) 0,478 7. 10..... = 478,7

Série 1

Exercice 4 • Calcule : Série 1

Série 2

a) a) 72 433. 10–3 = ...........................................................................

l) b) 54 327. 10–3 = ...........................................................................

b) b) 33. 102 = ........................................................................................

m) c) 22 530. 10–4 = ...........................................................................

c) c) 0,0347. 103 = .............................................................................

n) d) 3 327,43. 10–2 = ......................................................................

d) d) 1,23. 10–3 = .................................................................................

o) e) 235,03. 10–5 = ...........................................................................

e) e) 443,32. 10–2 = ...........................................................................

k) a) 425 000. 10–2 = ........................................................................

iti

ACTIVITÉ 2 – LA NOTATION SCIENTIFIQUE Exercice 1 • Écris les nombres suivants en notation scientifique. Série 2

a) a) 0,0012 = .........................................................................................

a) a) 163 000 000 = ..........................................................................

b) b) 438 = .................................................................................................

b) b) 0,00047923 = ...........................................................................

c) c) 12,53 = ............................................................................................

c) c) 0,000051 = ..................................................................................

d) d) 1 475,2 = .......................................................................................

d) d) 98 = ....................................................................................................

e) e) 250 000 = .....................................................................................

e) e) 0,048325405 = ........................................................................

Éd

Série 1

Mathex3.indb 59

15/09/2017 14:23

Chapitre 4

Les puissances à exposants entiers

Exercice 2 • Écris la solution en notation scientifique après avoir transformé le premier facteur en écriture scientifique et avoir réduit ensuite les puissances de 10 (ex : 48,5. 105 = 4,85. 101. 105 = 4,85. 106). Série 2

a) 482. 105 = …………….…….……. = .................................................

a) 300. 10–8 = …………….…….……. = ................................................

b) 12 678. 10–4 = …………….…….……. = .......................................

b) 0,453. 106 = …………….…….……. = ............................................

c) 0,048. 109 = …………….…….……. = ............................................

c) 12 543,7. 102 = …………….…….……. = ....................................

d) 5 400 000. 103 = …………….…….. = ........................................

d) 0,000000483. 1011 = …………….…= .....................................

e) 0,00005. 10–3 = …………….…….……. = ....................................

e) 47 000 000. 10–6 = …………….……. = ....................................

Série 1

Exercice 3 • La distance entre la Lune et la Terre est de 384 400 000 m. Exprime cette distance en notation scientifique.

............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice 4 • Le poids d’un moustique est d’environ 0,000 001 07 kg.

Exprime ce poids en notation scientifique.

iti

Éd

Exercice 5 • Selon la théorie du « Big Bang », la formation de l’univers se serait produite il y a 15 milliards d’années, sous l’effet d’une immense explosion, produisant les étoiles. Exprime cette grandeur en notation scientifique. ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Mathex3.indb 60

15/09/2017 14:23

Les puissances à exposants entiers

Chapitre 4

Exercice 6 • Sachant que la distance Terre-Lune est de 384 400 km et que la fusée Apollo 11 a effectué le trajet en 1969 avec Neil Amstrong en 8 jours et 3 heures, détermine la vitesse moyenne de la fusée en km/h (solution en notation scientifique). ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice 7 • Calcul le nombre de secondes qui s’écoulent dans une année de 365 jours et exprime le résultat en notation scientifique.

Éd

iti

Mathex3.indb 61

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes 1 Monôme

Contre exemple :

∈ℝ0

∈ℝ0 3 x

∈ℝ0

n’est pas un monôme car

∈ℕ = 3 x –1 x variable ∈ℝ0

∈ℝ0

∈ℕ ∈ℕ 2 x1 ; 7 x0

∈ℕ 3 ∈ℕ Exemple : –5 x 2 ; ; x1 2

• Un monôme à une variable est une expression algébrique répondant aux 3 critères suivants : • le coefficient ∈ ℝ0 (a) a . xn est un monôme • la variable ∈ ℝ (x) • le degré de la variable ∈ ℕ (n)

• Un monôme constant est un monôme dont le degré de la variable est 0. Exemple : 6 est un monôme constante car 6 = 6 x0 = 6 . 1 = 6

Exemple : 4 x2 et –

• Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même variable et le même degré. 3 2 x sont des monômes semblables 2

3 x 4 et –3 x 4

Éd

Exemple :

iti

• Des monômes opposés sont des monômes semblables qui ont des coefficients opposés.

coefficients opposés

2 Polynôme • Un polynôme est une somme des monômes. Un polynôme en variable x se note P(x). Exemple : P ( x ) = 3 x 3 + 5 x 2 –

1 x + 3 + 6 x 3 + 5x 5 2

• Un polynôme réduit est un polynôme qui n’a plus de monômes semblables. Exemple : P ( x ) = 9 x 3 + 5 x 2 –

1 x + 3 + x5 2

Mathex3.indb 62

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

• Un polynôme complet est un polynôme dont tous les degrés de la variable sont représentés à partir du plus élevé. Exemple : P(x) = 5x 5 + 3x 4 – 2x 3 + x 2 – 7x 1 + 1x 0

• Un polynôme ordonné est un polynôme dont les degrés de la variable sont classés par ordre décroissant. Exemple : P ( x ) = 3 x 3 –

ordre décroissant 4 2 x + 5 x 1 + 2x 0 3

• Le degré du polynôme est l’exposant le plus élevé de la variable du polynôme une fois réduit.

Exemple : P(x) = 5x3 + 3x4 + 2x2 – 3x4 + 5x + 2

= 5x 3 + 2x2 + 5x + 2 → P(x) est du 3e degré par rapport à x.

Exemple : P(x) = 4x2 + 7x – 3 terme indépendant

• Le terme indépendant d’un polynôme est le monôme constant c’est-à-dire le terme dont le degré de la variable est 0.

Exemple : P(x) = 4x2 + 7x –3 P(2) = 4 . (2)2 + 7 . (2) – 3

= 27

• La valeur numérique d’un polynôme en un nombre réel est la valeur obtenue en remplaçant la variable du polynôme par le nombre réel.

3 Somme ou différence de polynômes

Éd

iti

• Pour additionner ou soustraire des polynômes, il faut : • Réduire et ordonner les polynômes. • Appliquer les règles des suppressions des parenthèses (prendre l’opposé de chaque terme si la parenthèse est précédée du signe « – »). • Réduire les termes semblables.

Exemple : Soit P1(x) = x4 – 3x2 + 7 et P2(x) = 9x2 – 5x3 + 7x4 – 3 P1(x) + P2(x) = (x4 – 3x2 + 7) + (7x4 – 5x3 + 9x2 – 3) = x4 – 3x2 + 7 + 7x4 – 5x3 + 9x2 – 3 = 8x4 – 5x3 + 6x2 +4 P1(x) – P2(x) = (x4 – 3x2 + 7) – (7x4 – 5x3 + 9x2 – 3) = x4 – 3x2 + 7 – 7x4 + 5x3 – 9x2 + 3

On distribue le « – » à tous les termes de la parenthèse.

= –6x4 + 5x3 – 12x2 + 10

• Le degré du polynôme « somme » est, au plus, égal au degré du polynôme « terme » ayant le degré le plus élevé.

Mathex3.indb 63

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

4 Produit de polynômes • Pour multiplier des polynômes, il faut toujours : • Réduire et ordonner les polynômes • Appliquer es règles de distributivité et des puissances • Réduire et ordonner la solution par ordre décroissant Exemple : Soit P1(x) = 3x2 + 2 et P2(x) = 3x4 – 5x3 + x + 2x2 P1(x) . P2(x) = (3x2 + 2) . (3x4 – 5x3 + x + 2x2) = 9x6 – 15x5 + 12x4 – 7x3 + 4x2 + 2x

= 9x6 – 15x5 + 6x4 + 3x3 + 6x4 – 10x3 + 4x2 + 2x

Exemple : P1(x) . P2(x)

+ 9x6 9x6

3x3 + + 0x3 + – 10x3 / – 7x3 +

3x2 2x2 0x2 0x2 4x2 / / 4x2

+ 0x + 2 + x + 0 + 0x + 0 + 2x2 / / / / / / / + 2x + 0

+ 6x – 15x5 + 0x4 + 0x5 + 6x4 – 15x5 + 12x4 4

–

• 3x

• Pour multiplier des polynômes en disposition pratique, il faut toujours réduire, ordonner et compléter chaque polynôme afin de pouvoir aligner les degrés.

• Le degré du polynôme « produit » égale la somme des degrés des polynômes « facteurs ».

iti

5 La division de polynômes – la division polynomiale

Éd

a) Rappel : la division euclidienne D

25 –24 1 r

d 3 8q

25 = 3 ⋅ 8 + 1

D → Dividende d → diviseur q → quotient r → reste D=d⋅q+r et r < d

b) division polynomiale • Vocabulaire : D(x) est le polynôme Dividende d(x) est le polynôme diviseur q(x) est le polynôme quotient r(x) est le polynôme reste 64

Mathex3.indb 64

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

• Formule : la relation euclidienne nous permet d’écrire l’égalité suivante : D(x) = d(x) . q(x) + r(x) et degré de r(x) < degré de d(x) • Pour effectuer le quotient de deux polynômes, il faut : – réduire, ordonner et compléter D(x) et d(x) – appliquer les règles de la division écrite jusqu’à ce que le degré du polynôme reste soit plus petit que le degré du polynôme diviseur • Exemple : D(x) = 2x3 – 9x2 + 13x – 6

– (2x – 3x ) 2

2x – 3

Brouillon pour q(x)

x – 3x + 2

2x 3

– 6x + 13x

– (6x2 + 9x)

–6x 2

4x – 6

– (4x – 6)

= x2 = –3x = 2

2x3 – 9x2 + 13x – 6

d(x) = 2x – 3

→ D(x) = 2x3 – 9x2 + 13x – 6 d(x) = 2x – 3 q(x) = x2 – 3x + 2 r(x) = 0

D(x) = d(x) . q(x) + r(x) 2x3 – 9x2 + 13x – 6 = (2x – 3) . (x2 – 3x + 2) + 0

iti

c) À savoir ! • le degré de r(x) = degré de d(x) – 1 • le degré de q(x) = degré de D(x) – degré de d(x) • le nombre de termes de q(x) = degré de q(x) + 1

Éd

d) Division par (x – a) ou méthode d’Horner Horner est un mathématicien qui invente une grille qui permet de diviser un polynôme P(x) par un diviseur de type (x – a). • plan de la grille d’Horner : ! les polynômes doivent être réduits, ordonnés et complétés ! coefficient de D(x) terme indépendant a du diviseur x – a coefficient de q(x)

r(x)

D(x) = q(x) . (x – a) + r(x) • diviseur x – a : si d(x) = (x + 2), alors a = –2, car x – (–2) si d(x) = (x – 2), alors a = 2, car x – 2

Mathex3.indb 65

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

Exemple : D(x) = x3 – x2 + x – 4 d(x) = x – 2 Division polynomiale x–2

Brouillon q(x) x3

x +x+3

– (x – 2x ) 3

x2 + x

– (x – 2x)

3x – 4

– (3x – 6)

= x2

1x3 – 1x2 + 1x – 4 : (x – 2) grille :

= x = 3

Conclusion : D(x) = d(x) . q(x) + r(x) x3 – x2 + x – 4 = (x – 2) . (x2 + x + 3) + 2

1 –1 1

–4

2 .

terme indépendant

x3 – x2 + x – 4

Division méthode Horner

Conclusion : D(x) = d(x) . q(x) + r(x) x3 – x2 + x – 4 = (x – 2) . (1x2 + 1x + 3) + 2

e) La loi du reste (uniquement pour diviseur (x – a)).

• C’est une propriété qui permet de savoir s’il y a un reste ou non dans la division sans devoir l’effectuer.

D(a) = 0 Il s’agit de remplacer dans le polynôme D(x), la variable x par la valeur a du diviseur (x – a). • Si D(a) = 0, alors la division est exacte. • Si D(a) = nombre, alors ce nombre est le reste de la division.

« Le reste de la division d’un polynôme en x par (x – a) est égal à la valeur numérique de ce polynôme en x = a (a ∈ ℝ) ». Exemple : D(x) = x3 – x2 + x – 4

iti

d(x) = x – 2 ↔ a = 2

Loi du reste : D(2) = 23 – 22 + 2 – 4

Éd

=8–4+2–4 =2

La division n’est pas exacte et il y a un reste = 2.

ACTIVITÉ 1 – LES MONÔMES Exercice 1 Écris un monôme ...............................................................

de variable x

de degré 3

...............................................................

s T

1 5

2 3,3

...............................................................

3 4

...............................................................

de coefficient –2 1 4

Mathex3.indb 66

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

Exercice 2 • Détermine parmi les expressions algébriques suivantes quelles sont celles qui sont des monômes. Justifie à chaque fois ta réponse. a) –5x2

b) 3

c) 1 x

d) 3 x 2

e) 3x–3

−3 2x i) –5,2 h)

6 x −2

Exercice 3 • Calcule la valeur numérique des monômes ci-dessous. Si x = 1

Si x = 2

Si x = –1

Si x = –3

Si x = –2

a) 2x

........................................

b) –3x

........................................

c) 4x

........................................

3 2 x 2 2 e) − x 5

........................................

iti

ACTIVITÉ 2 – LES POLYNÔMES

Éd

Exercice 1 • Calcule la valeur numérique des polynômes suivants. 1 2

Si x = 1

Si x = –1

Si x = –2

Si x = 2

Si x = –

..................................

d) C(x) = x2 + 2x + 1

..................................

e) D(x) = 3x – 5x

..................................

Polynômes

a) P(x) = 2x2 + 1

b) A(x) = x + 3x 2 c) B( x ) = – x + 3 3 2

f) E(x) = – x + 10 3

g) F(x) = –2x + 3x – 1 1 h) G( x ) = x 2 + 3 x 2 4 1 i) H ( x ) = x 3 + 5 2 3

j) I(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 1 3 k) J ( x ) = 5 x 2 + 2x – 2

Mathex3.indb 67

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

Exercice 2 Soit P(x) = –5x3 + 3x2 – 4x + 7 a) Quel est le nombre de termes de ce polynôme ? .......................................................................................................................................... b) Le polynôme est-il complet ? Justifie. ...................................................................................................................................................................... c) Quel est le degré de ce polynôme ? .......................................................................................................................................................................... d) Quel est le terme indépendant ? .................................................................................................................................................................................. e) Calcule la valeur de ce polynôme si x = –1 ..........................................................................................................................................................

Exercice 3

Soit P(x) = 2x2 – (x2 + 5x) + 2x5 – 3 + x4 a) Réduis et ordonne le polynôme. ................................................................................................................................................................................... b) Quel est le degré du polynôme ? ................................................................................................................................................................................. c) Le polynôme est-il complet ? Justifie. ......................................................................................................................................................................

d) Quel est le terme indépendant ? ..................................................................................................................................................................................

e) Calcule la valeur du polynôme si x = –2 .................................................................................................................................................................

Exercice 4 • Réduis et ordonne les polynômes suivants. Série 1

Série 2

a) 2 . (4x – 3) = ........................................................................................ a) 5x3 – 4x2 + 3x3 – 5x + 4x2 + 5x2 = .................................... b) –3x . (5x – 2) = ................................................................................... b) 2x – 3 – (3x + 5x2) = .....................................................................

c) 5x2 . (–3x – 1) = ................................................................................. c) x3 + 3x – 4x3 + 3x2 + 1 = ...........................................................

d) – x . (4x2 + 5x) = ............................................................................... d) 2x2 – (x2 + 4x) + 2x2 – 3 = ........................................................ e) –7x . (2x – 3 + x2) = ....................................................................... e) 5x – (x – 5x2 + 3) – (3 – 2x2 + x) = .................................... f) (x + 1) . (x – 1) = ............................................................................... f) 8x3 + 25x – (60x3 – 42x) = ....................................................... g) (3x – 1) . (2 – 5I) = .......................................................................... g) (3 – x)2 + 2 . (x – 1) – 4x2 = .....................................................

iti

h) (x2 – 5) . (3x – 2) = .......................................................................... h) (2x – 4)2 – (2 – x)2 = ....................................................................... i) (8x5 + 1) . (3 – x) = ......................................................................... i) 4x . (2 – 3x) – 6x2 + 5 = .............................................................

Éd

j) ( – x + 3) . (–3 – x) = ..................................................................... j) – (3 . 2x + 7x – x2) + 3x2 . (x – 3) = ..................................

Exercice 5 • Réduis, ordonne, détermine le degré et calcule les valeurs numériques de chaque polynôme réduit si x = 0 ; –1 ; 1 et 2. P1(x) = 3x2 – (3x2 – 3x + 5)

P4(x) = 3x5 + 4 . (–2x2 + 2x3) – (3x2 – x)

P2(x) = (x2 – 2x + 1) – (1 – 4x)

P5(x) = (x3 – 2) + 3x . (x2 – 5)

P3(x) = (3x2 – 5) . 2 + 4x – 10

P6(x) = x2 + x2 – 3x3 + 2x – 1

Polynôme réduit, ordonné P1(x) = 3x – 5 P2(x) = x2 + 2x P3(x) = 6x2 + 4x – 20 P4(x) = 3x5 + 8x3 – 11x2 + x P5(x) = 4x3 – 15x – 2 P6(x) = –3x3 + 2x2 + 2x – 1

Degré polynôme

Valeurs numériques x=0

x = –1

x=1

x=2

...................................

Mathex3.indb 68

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

ACTIVITÉ 3 – OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES Exercice 1 • À partir des polynômes suivants, détermine les polynômes en effectuant les opérations demandées. A(x) = 4x2 – 5x + 2 ; B(x) = 5x2 – 4 ; C(x) = –8x + 6 Calcule : a) – A(x) = ........................................................................................................ i) C(x) – A(x) = ............................................................................................ b) – B(x) = ........................................................................................................ j) – B(x) – C(x) = ........................................................................................ c) – C(x) = ........................................................................................................ k) – A(x) – C(x) = ........................................................................................ d) A(x) + B(x) = ............................................................................................ l) A(x) + B(x) – C(x) = ............................................................................

e) A(x) – B(x) = ............................................................................................. m) – C(x) – B(x) + A(x) = ........................................................................ f) A(x) – C(x) = ............................................................................................ n) 2 . A(x) – 3 . B(x) = ............................................................................ h) B(x) – A(x) = .............................................................................................

Exercice 2

g) B(x) – C(x) = ............................................................................................. o) –2 . C(x) + 2 . A(x) = ........................................................................

Si P1(x) = 4x2 + 2x3 – 5x – 10 P2(x) = –3x + 5 P3(x) = –2x + 3x2 – 3 Calcule

a) P1(x) – P3(x) = ...................................................................................................................................................................................................................................

b) –2 . P1(x) – 3 . P2(x) = ................................................................................................................................................................................................................

+ 4x2 + 1

– 3x2 + 7

4x2 – 8 + 7x

– x2 + 3x3 – 1

B(x)

C(x)

D(x)

F(x)

G(x)

H(x)

I(x)

J(x)

K(x)

L(x)

2x2

A(x) E(x)

Éd

– x2 + x – 3

iti

Exercice 3 • Détermine les polynômes de A(x) à L(x) et propose ta réponse sous la forme d’un polynôme réduit et ordonné.

2x + 2x – 4 3

A(x) = .................................................................... E(x) = ..................................................................... I(x) = .......................................................................

B(x) = ..................................................................... F(x) = ..................................................................... J(x) = ...................................................................... C(x) = .................................................................... G(x) = .................................................................... K(x) = .................................................................... D(x) = .................................................................... H(x) = .................................................................... L(x) = .....................................................................

Exercice 4 • Détermine les polynômes de A(x) à L(x) et propose ta réponse sous la forme d’un polynôme réduit et ordonné. –

5x2

– 3x2 + 6

4x2 – 6x + 7

3x3 – 5x2 – 2

3x2 – 2

A(x) = .................................... B(x) = ..................................... C(x) = .................................... D(x) = ....................................

– x + 2x – 5

E(x) = ..................................... F(x) = ..................................... G(x) = .................................... H(x) = ....................................

2x – x + 1

I(x) = ....................................... J(x) = ...................................... K(x) = .................................... L(x) = .....................................

Mathex3.indb 69

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

Exercice 5 Quel polynôme faut-il ajouter à 3x + 5 pour obtenir 4x – 1 ? ...................................................................................................................

Exercice 6 Quel polynôme faut-il ajouter à 2x2 + x – 3 pour obtenir 2x3 – x + 2 ? .............................................................................................

Exercice 7 Quel polynôme faut-il soustraire à 5x2 – 7x + 3 pour obtenir 3x2 – 10x + 4 ? ............................................................................

Exercice 8 Quel polynôme faut-il soustraire à 2x3 – x + 2 pour obtenir 3x – 1 ? ..................................................................................................

Série 1

Série 2

Exercice 9 • Effectue et donne une solution sous forme d’un polynôme réduit et ordonné.

Série 3

........................................................................................

a) 4x . (3x – 1) = .......................................... a) (4x – 1) (4x + 1) = ................................ a) (x2 – 5) . (2x2 + 3) = ............................ ........................................................................................

........................................................................................

b) 2x2 . (x + 5 – x2) = ................................ b) (a + b) (a – c) = ....................................... b) (5x3 – 3) . (2x2 + x) = .......................... ........................................................................................

........................................................................................

c) –4 . (5x3 – 3) = ........................................ c) (3 – x) . (2 + x) = .................................... c) (8x – 5x4) . (–3x – x2) = ..................... ........................................................................................

........................................................................................

d) – x2 . (x2 + 1) = ........................................ d) (2x + 3) . (4x – 1) = ............................. d) (x3 – 3x + 1) . (5x4 – x3) = ............... ........................................................................................

3 5 . x + 6 = ......................................... e) 4 6

........................................................................................

Éd

........................................................................................

1 x + 1 . (7 – x ) = ............................. e) (x3 – 1) . (4x3 – 2x + 1) = ................ 2

iti

........................................................................................

Exercice 10 • Calcule et donne une solution sous forme d’un polynôme réduit et ordonné. a) (2x – 5)2 + 3x2 = ................................................................................... d) (4x – 1) . (x + 2) – (3 – 2x) = ..................................................... b) (2x + 4) . (3x + 5) + 4x . (x – 1) = ......................................... e) (5 – x)2 – (3x + 2) . (x – 1) = ...................................................... c) 3 . (2x + 1) + 2 . (3x2 – x + 4) = .............................................

Exercice 11 • Détermine les polynômes de A(x) à J (x) et propose ta réponse sous la forme d’un polynôme réduit et ordonné. . 2x3 + 2

– 5x3 + 2x – 1

4x2 – 5

–7+x

A(x) = ........................ B(x) = ......................... C(x) = ........................ D(x) = ........................ E(x) = ......................... .........................................

x+3

3x + 1 .........................................

.........................................

F(x) = ......................... G(x) = ........................ H(x) = ........................ I(x) = ........................... J(x) = .......................... .........................................

.........................................

Mathex3.indb 70

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

Exercice 12 • Voici 3 polynômes. P1(x) = 3x2 – 7x + 2x3 – 10 +2x + x2 P2(x) = –3x + 5 P3(x) = –2x + 1 + 3x2 – 4 a) Réduis et ordonne les 3 polynômes. b) Calcule P3(x) . P2(x) = ................................................................................................................................................................................................................ – 2 . P1(x) + (P2(x))2 = ............................................................................................................................................................................................ P1(x) . P3(x) = ................................................................................................................................................................................................................

Exercice 13 • Voici un jardin. x

3x + 1

5x + 7

a) Calcule l’aire de la partie blanche (pelouse) : .................................................................................................................................................... b) Calcule le périmètre du carré vert (terrasse) : ....................................................................................................................................................

Exercice 14 • Pour chaque situation, détermine l’aire de la partie colorée et simplifie le polynôme obtenu.

iti

Éd

x–5

x+3 10

x+5

x Aire colorée = ......................................................................................

Aire colorée = ......................................................................................

Exercice 15 • Pour chaque figure, détermine en fonction de x … … a) la longueur des arrêtes du cube (L(x)) … b) l’aire totale des faces du cube (A(x)) … c) le volume du cube (V(x))

Mathex3.indb 71

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

3x – 1

2x + 3

a) L(x) = .............................................................. a) L(x) = .............................................................. a) L(x) = .............................................................. b) A(x) = ............................................................. b) A(x) = ............................................................. b) A(x) = ............................................................. c) V(x) = .............................................................. c) V(x) = .............................................................. c) V(x) = ..............................................................

Exercice 16 • Exprime en fonction de x, le volume du parallélépipède rectangle suivant. V(x) = .......................................................................................................................................................................

2x + 2

x+1

x–1

• Calcule le volume de ce solide si x = 2 ........................................................................................................................................................................

Exercice 17 • Soit les polynômes suivants.

C(x) = – x3 – x2 + 1

E(x) = – x3 + 3x2 – 2

B(x) = 3x – 1

D(x) = 3x2 – 1

F(x) = x3 – 3x2 – 2x + 1

A(x) = x2 – x + 2

Effectue et écris le polynôme sous forme réduite et ordonné. 1) A(x) + D(x) = .............................................. 6) – C(x) + E(x) + F(x) = ........................... 11) – E(x) – B(x) – A(x) = ........................ ........................................................................................

........................................................................................

iti

2) A(x) . D(x) = ................................................ 7) E(x) . B(x) = ................................................. 12) (B(x))2 – D(x) = ...................................... ........................................................................................

........................................................................................

Éd

3) – A(x) + E(x) = .......................................... 8) 2D(x) . B(x) = ............................................. 13) A(x) . F(x) = .............................................. ........................................................................................

........................................................................................

4) F(x) – E(x) = ................................................. 9) – F(x) + 2C(x) = ....................................... 14) (B(x) – A(x)) . D(x) = ......................... ........................................................................................

........................................................................................

5) C(x) . D(x) = ................................................ 10) 3A(x) . 2D(x) = ...................................... 15) A(x) . B(x) – F(x) = ..............................

........................................................................................

Exercice 18 • Exprime en fonction de x et sous la forme d’un polynôme réduit, le périmètre et l’aire • 1) d’un carré de côté x + 5 • 2) d’un rectangle de L = 3x + 7 et , ℓ = x + 2 • 3) d’un triangle équilatéral de côté 7x – 1 et de hauteur x + 4 ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Mathex3.indb 72

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

Exercice 19 • Trouve le polynôme … 1) … qu’il faut ajouter à 4x2 – 6x + 2 pour obtenir x2 – 5x + 2 comme somme : ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

2) … par lequel il faut multiplier 5x + 1 pour obtenir 10x2 – 13x – 3 comme produit. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

3) … qu’il faut soustraire à 5x3 – 3x2 + 2x – 1 pour obtenir 2x2 + 3x – 10 comme différence. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

4) … qu’il faut diviser par x – 3 pour obtenir 2x2 – 3x + 1 comme quotient. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

5) … par quel il faut diviser 14x2 + 19x – 3 pour obtenir 7x – 1 comme quotient.

6) … qu’il faut soustraire à 10x3 + 3x – 3 pour obtenir 17x3 – 5x + 10 comme différence.

7) … par lequel il faut multiplier 2x2 + 3x – 1 pour obtenir 6x3 + 7x2 – 6x + 1 comme produit.

Exercice 20 • Pour quelle valeur de x, l’aire du rectangle est-elle égale à 44 ? ..........................................................................................................................................................................................................

2x + 1

Exercice 21 • Pour quelle valeur de x, l’aire de la partie colorée est-elle égale à 83 ? 2x + 3 x

...................................................................................................................................................................................................

iti

...................................................................................................................................................................................................

x+2

...................................................................................................................................................................................................

Éd

...................................................................................................................................................................................................

ACTIVITÉ 4 – LA DIVISION POLYNOMIALE ET MÉTHODE D’HORNER Exercice 1 • Sans effectuer la division, complète le tableau suivant. D(x) dividende en x

d(x) diviseur du quotient degré en x de q(x)

1re terme de q(x)

Nombre de termes de q(x)

Degré de r(x)

x2 – x – 3

x–1

..............................................

................................

............................................

........................................

5x + 3x – 5x

x+2

..............................................

................................

............................................

........................................

3x – 5x + 9

x +1

..............................................

................................

............................................

........................................

4x – 3x + 2x – 1

2x – x + 1

..............................................

................................

............................................

........................................

7x – 3x + 9

7x – 3

8x6 – 3x5 + 2x – 1 4x4 + 2x2 – 5 9x5 – 2x4 + 3

3x – 2

..............................................

................................

............................................

........................................

..............................................

................................

............................................

........................................

..............................................

................................

............................................

........................................

Mathex3.indb 73

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

Exercice 2 • Détermine le quotient et le reste des divisions suivantes et note ta réponse sous la forme D(x) = d(x) . q(x) + r(x). Série 1 f) (6x3 + 15x2 – x – 5) : (2x + 3)

......................................................................................................................................

b) (–10x + 6x – 10x + 2x – 1) : 2x

g) (6x2 + 11x – 4) : (2x – 1)

......................................................................................................................................

c) (–6x – 9x – 15x) : (–3x)

h) (12x4 + 6x3 – 19x2 + 4x – 18) : (3x2 + 2)

......................................................................................................................................

d) (14x + 13x + 5x + 4) : (2x + 1)

i) (2x2 – 5x – 3) : (x – 3)

......................................................................................................................................

e) (5x – 22x – 17x + 11 + 2) : (x – 5)

j) (x3 – 2x2 + x – 6) : (x + 2)

......................................................................................................................................

Série 2

a) (10x5 + 29x4 + 25x3 + x2 – 7x + 1) : (5x2 + 7x + 2)

a) (12x3 + 8x2 + 28x + 3) : 4x

b) (6x5 – 7x3 – 6x2 – 3x + 9) : (2x2 – 3)

c) (2x5 + 7x4 + 13x3 + 17x2 + 11) : (x2 + 1)

d) (2x7 – 5x6 + 6x5 – 16x4 + 6x3 + 3x2 + 3x) : (x3 + 3x – 1)

iti

e) (12x3 – 2x2 – 38x – 10) : (2x + 3)

Éd

Exercice 3

• Le quotient de la division exacte d’un polynôme par 3x – 4 est 2x2 + 1. Quel est ce polynôme ?

P(x) = ............................................................................................................................................................................................................................................................... • Quel est le diviseur du polynôme 28x2 – 5x – 3 si la division est exacte et si le quotient vaut 7x – 3 ?

d(x) = ............................................................................................................................................................................................................................................................... • Détermine le quotient et le reste de la division polynomiale si D(x) = 6x3 + 17x2 – x – 4 et d(x) = 3x + 1. q(x) = ...................................................................................................................... r(x) = .......................................................................................................................

Exercice 4 • Détermine le quotient et le reste de la division du polynôme D(x) par le diviseur x – a en utilisant la méthode de Horner. a) (3x2 – 5x – 5) : (x + 1) ..................................................................... c) (3x2 + x – 4) : (x – 1) ........................................................................ ......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

b) (2x2 – x – 17) : (x + 2) ..................................................................... d) (2x2 – 3x – 1) : (x – 3) ..................................................................... ......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Mathex3.indb 74

15/09/2017 14:23

Les polynômes

Chapitre 5

e) (5x2 + 19x – 4) : (x + 4) ................................................................. h) (3x2 – 10x – 3) : (x – 4) .................................................................. ......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

f) (2x2 – 3x – 25) : (x + 3) .................................................................. i) (6x2 – 23x – 38) : (x – 5) ............................................................... ......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

g) (x2 – x – 30) : (x + 5) ........................................................................ j) (3x2 – 5x – 7) : (x + 2) ..................................................................... ......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Exercice 5 • Effectue les quotients suivants et note les réponses sous la forme D(x) = d(x) . q(x) + r(x) (méthode Horner). a) (x3 + 8x2 + 8x – 35) : (x + 5) ..............................................................................................................................................................................................

b) (3x4 + 3x3 + 2x2 – 8x + 3) : (x + 1) ................................................................................................................................................................................ c) (x4 – x3 + 2x2 – 3x + 1) : (x – 1) ....................................................................................................................................................................................... d) (5x4 – 18x3 + 9x2 + 7x – 15) : (x – 3) ..........................................................................................................................................................................

e) (2x3 + 9x2 + 7x – 6) : (x + 2) .............................................................................................................................................................................................. f) (3x4 – 6x3 + 2x2 – 7x – 4) : (x – 2) .................................................................................................................................................................................

g) (2x3 + 17x2 + 29x – 6) : (x + 6) ........................................................................................................................................................................................ h) (x3 – 2x2 + x – 6) : (x + 2) ...................................................................................................................................................................................................... i) (x5 – x3 + 2x + 3) : (x – 1) ...................................................................................................................................................................................................... j) (7x4 – 25x3 – 13x2 + 4x) : (x – 4) ....................................................................................................................................................................................

L = 8x A = 40x

Aire de face = ? H = 3x

ℓ=?

V = 21x – 15x – 3x 3

......................................................................................................................................

Éd

iti

Exercice 6 • Trouve la valeur manquante pour chaque situation.

H = 12x

A = 18x3

base = ?

L = 4x2 + 2x – 1 Aire = 12x3 + 14x2 + x – 2 ℓ = ?

......................................................................................................................................

Mathex3.indb 75

15/09/2017 14:23

Chapitre 5

Les polynômes

Exercice 7 • Détermine la hauteur d’un triangle si tu sais que sa base vaut 2x + 6 et son aire 3x2 + 7x – 6. ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice 8 • Déterminer la longueur d’un rectangle si tu sais que sa largeur vaut 2x + 3 et son aire 10x3 + 21x2 + 7x – 3

• Que vaut sa longueur et sa largeur si x = 3 ?

..................................................................................................................................................................

a) (x3 + 5x2 + 3x – 1) : (x + 2)

Exercice 9 • Sans effectuer la division, détermine si celle-ci est exacte ou non. Si oui, précise le quotient par un calcul.

..................................................................................................................................................................

b) (7x4 – 2x3 – 8x2 + 4x – 1) : (x – 1)

..................................................................................................................................................................

iti

..................................................................................................................................................................

Éd

c) (2x4 + 6x3 – 5x2 – 10x + 15) : (x + 3) d) (7x3 – 11x2 – 7x + 12) : (x – 2) e) (2x3 + 9x2 + 4x – 3) : (x + 1) f) ( – x4 + 9x3 – 20x2 – x – 6) : (x – 4)

.................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................

g) (–5x3 + 15x2 + 3x – 11) : (x – 3)

Mathex3.indb 76

15/09/2017 14:23

iti

Éd VA N

iti

Éd VA N