Math & Sens - Construire la multiplication- extrait by Van In Fondamental

Collection dirigée par Françoise Lucas Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.

2,5/14 ans

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Construire la multiplication et les tables

la multiplication et les tables

Les mémoriser une fois pour toutes !

Construire

Ce guide structuré est un outil indispensable pour construire la multiplication, qui est une opération complexe, et assurer une construction et une mémorisation intelligente des tables. Il couvre les apprentissages de 2,5 ans à 14 ans et se compose de 3 parties liées. La matière : pour mieux la connaitre, comprendre ses enjeux, les obstacles sur lesquels buttent les élèves, ses liens avec les compétences ainsi que les liens entre compréhension et mémorisation. LE matériel : pour - soutenir les apprentissages en général, selon des critères de qualité explicités et doublement illustrés à la fois par les activités de l’ouvrage et par des activités des autres ouvrages de la collection Math&Sens. - soutenir l’apprentissage de la multiplication et des tables en particulier. La construction et l’utilisation des matériels spécifiques sont largement explicités. LES ACTIVITéS : « prêtes à l’emploi » de la maternelle au premier degré du secondaire, explicitant des « comment faire » à discuter en concertation et rendant compte de démarches d’élèves observées dans les classes pour en montrer la faisabilité. Cette nouvelle édition présente de nombreux enrichissements : un organigramme des essentiels, sous forme d’affiche, planifiant les apprentissages sur la multiplication et les tables du cycle 1 au cycle 5 ; un index reprenant les termes-clés de la multiplication et des tables classés par domaine ; de nouvelles activités sur « table de » et « table par » pour le cycle 8/10 ; des activités au 1er degré différencié du secondaire ainsi qu’une amplification et actualisation du chapitre consacré à la mémorisation, grâce à la collaboration de Céline VAN DAMME.

Construire la multiplication et les tables

Guide méthodologique

et documents reproductibles en ligne Claudine BERGER René COULON Martine de TERWANGNE Françoise LUCAS

Accès gratuit à des documents reproductibles en ligne comprenant : le matériel nécessaire aux activités ; les descriptifs complets des nouvelles activités dont le plan est fourni dans l’ouvrage ; des supports-jeux pour mémoriser les tables analysées en profondeur ; l’intégralité du contenu des 3 cahiers élèves en couleurs (cycles 5/8, 8/10 et 10/12).

Avec la collaboration de Céline Van damme

Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle ou en équipe école, selon l’entrée qui correspond le mieux à vos besoins !

De Boeck ISBN 978-2-8041-9650-9 572871

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vanin.be

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Construire la multiplication et les tables

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Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même « nœud-matière » et d’un même réseau de compétences.

■ Résoudre des problèmes, pas de problème ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 5/8 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 8/10 ans Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 10/12 ans

■ Construire la multiplication et les tables Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/14 ans ■ Oser les fractions dans tous les sens Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 5/12 ans

■ Mobiliser les opérations avec bon sens ! Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans ■ Explorer les grandeurs – se donner des repères Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans ■ Élucider la numération pour mieux calculer Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans ■ Apprivoiser l'espace et le monde des formes Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne 2,5/12 ans

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2,5/14 ans

Construire la multiplication et les tables

Guide méthodologique et documents reproductibles en ligne

Claudine BERGER René COULON Martine de TERWANGNE Françoise LUCAS Avec la collaboration de Céline VAN DAMME

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Le présent ouvrage suit la règle typographique qui impose l’accentuation des majuscules. Il tient compte également des simplifications orthographiques proposées par le Conseil Supérieur de la langue française et approuvées par l’Académie française en 1990. Une collection dirigée par Françoise LUCAS, professeure de mathématiques en Haute École et formatrice en formation continue et complémentaire pour les enseignants du fondamental et du début du secondaire. Cet ouvrage a été réalisé avec l’équipe d’auteurs suivante : • Claudine BERGER, institutrice primaire, a été animatrice pédagogique dans les écoles libres. • René COULON, instituteur primaire, a été animateur pédagogique et inspecteur dans les écoles libres. • Martine de TERWANGNE, institutrice primaire, chercheuse au GEM, formatrice en formation continue des enseignants du fondamental. Cette réédition s’est enrichie sur la question de la mémorisation avec la collaboration de Céline VAN DAMME, institutrice maternelle et primaire, régente en mathématiques, animatrice pédagogique pour les écoles secondaires libres et actuellement formatrice en formation continue des enseignants du début du secondaire. Voici le code qui vous donnera accès aux documents reproductibles en ligne liés au présent ouvrage.

Pour activer ce matériel complémentaire, rendez-vous sur www.vanin.be/myvanin et suivez-y la procédure d’inscription. • Une fois votre accès activé, vous pourrez consulter le matériel complémentaire aussi souvent que vous le désirez et aussi longtemps que la version imprimée du présent ouvrage ne sera pas remplacée par une nouvelle édition. • L’accès au matériel complémentaire ne peut être utilisé que par une seule personne. • L’accès au matériel complémentaire vous est fourni gratuitement à l’achat de l’ouvrage « Construire la multiplication et les tables ». Aucune indemnité ne sera exigible en cas de non fonctionnement ou d’indisponibilité du site hébergeant le matériel complémentaire ou du matériel complémentaire en lui-même, pour quelque raison que ce soit. • En cas de non-fonctionnement et/ou de question, nous sommes à votre disposition par courriel à l’adresse support@vanin.be.

Pour toute information sur notre fonds, consultez notre site web : vanin.be

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert - Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN. Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 4e édition – 1re réimpression 2018 ISBN 978-2-8041-9650-9 D/2017/0074/036 Art. 572871/02

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REMERCIEMENTS

Nous remercions chaleureusement les enseignants grâce à qui cette édition a pu être enrichie de nouvelles activités menées en classe : • Tamara MORALEZ FERNADEZ et Amandine GASPARD, à l’école Saint-Lambert II de Herstal ; • Valérie ACKERMANS, au premier degré différencié au collège Saint-Vincent (Saint-François) à Ixelles.

En outre, dans les documents reproductibles se trouvent les cahiers de recherche conçus pour les cycles 5-8, 8-10 et 10-12 par l’équipe des enseignants de l’école Sainte-Julienne de Romsée avec René Coulon et Françoise Lucas : • Christine BAGUETTE et Didier SPRONCK du cycle 5-8 ; • Sylvie HEUSSCHEN et Luc MORNARD du cycle 8-10 ; • Françoise BOVY et Léon VERPOORTEN du cycle 10-12.

REMERCIEMENTS

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SOMMAIRE

INTRODUCTION 1. 2. 3.

Math et Sens : une nouvelle collection Construire les tables : un guide structuré Le projet

LA MATIÈRE

LE MATÉRIEL

N 111

Table des matières Matériel didactique en mathématiques Matériel pour les tables

1. 2.

Table des matières Comment s’y retrouver ? La carte-matière à la loupe Obstacles, difficultés Enjeux de l’apprentissage des tables Mémoriser : quelques mises au point Liens avec les compétences

1. 2. 3. 4. 5. 6.

LES ACTIVITÉS

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Table des matières Regard didactique sur les activités Activités en continuité 1.1. Les sens de la multiplication se construisent 1.2. La structure multiplicative s’exprime 1.3. Des relations se tissent dans et entre les tables 1.4. Les produits s’organisent quand Pythagore s’en mêle 1.5. Le sens des propriétés de la multiplication se renforce 1.6. Les produits se repèrent sur des tableaux 1.7. Les tables de multiplication s’entrainent 1.8. Des bricolages : on devient de savants artistes

Éd

1. 2.

141

BIBLIOGRAPHIE

297

TABLES DES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES

301

INDEX

305

Sommaire

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INTRODUCTION

MATH & SENS : UNE COLLECTION QUI SE RENOUVELLE

Son originalité réside dans sa visée « verticale » de la maternelle à la fin du primaire. Chaque livre de la collection s’attaque de manière articulée ■

au développement d’un même réseau de compétences mathématiques, à la construction d’un ou de plusieurs « nœud-matière » ressources à ces compétences.

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La collection s’inscrit résolument dans une pédagogie du SENS, au triple « sens » du terme.

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Fabrication de signification par les enfants en recherche sur des matériaux « interpellants » et « parlants » qui leur donnent le véritable goût des maths. Continuité avec retours « cycliques » sur les mêmes compétences et matières dont le développement s’amplifie dans une même orientation, clairement perçue par les enfants. Construction des « pourquoi ? », des « à quoi ça sert ? » c’est-à-dire de l’utilité et de la pertinence des outils que l’enfant élabore, par de fréquentes analyses et prises de recul.

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Math & Sens rejoint l’ambition de l’école actuelle de former des enfants réellement compétents.

Il s’agit de passer d’ensembles de savoirs ponctuels, souvent étudiés pour eux-mêmes, à une réorganisation de ceux-ci autour de concepts fondamentaux ressources au déploiement de compétences.

Le concept de compétence dans l’enseignement s’est précisé et stabilisé au cours des trente dernières années. Toutes les définitions se rejoignent pour faire valoir trois pôles en interaction.

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Le sujet compétent, ici, l’enfant avec son potentiel, est celui qui va pouvoir mobiliser, c’est-à-dire aller chercher et METTRE EN RELATION de façon PERTINENTE, certaines ressources pour atteindre le but recherché : la résolution de situations problèmes. Parmi ces ressources qui peuvent être de divers ordres (cognitives, matérielles, relationnelles, affectives, psychologiques, motrices…), il y a notamment les matières qui ne seront réellement mobilisables que si LE SENS en a été construit par l’enfant, par l'élève. Math & Sens propose des outils pour les enseignants au service de l’apprentissage de l’enfant. ■

Un cadre théorique explicitant les contenus mathématiques à enseigner et les choix méthodologiques favorisant la construction de SENS.

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Des situations de recherche avec du matériel pour les enfants et des activités d’apprentissage analysées, opérationnelles pour plusieurs cycles en continuité.

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De nombreuses démarches, réactions et productions d’enfants, d'élèves analysées.

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Des documents reproductibles, nombreux, complémentaires et prêts à l’emploi sur le site en ligne (rendez-vous sur www.vanin.be/myvanin).

Le répertoire d’activités d’apprentissage proposé ne se veut pas exhaustif. Il cherche à couvrir les aspects les plus essentiels de la construction visée (matières et compétences) et à proposer des approches dynamiques sollicitant la réflexion et la mise en relation. Chaque enseignant stimulé par ce répertoire pourra se l’approprier, l’adapter à son contexte, l’amplifier d’idées nouvelles et complémentaires.

INTRODUCTION

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Math & Sens propose : D’une part, des outils pour l’ensemble des enseignants, du maternel et du primaire, par matière :  un cadre de réflexion théorique éclairant les choix méthodologiques faits et les contenus mathématiques développés,  des situations de recherche pour les enfants et des activités d’apprentissage opérationnelles pour plusieurs cycles en continuité,  des analyses de réactions et productions d’enfants,  des pistes d’évaluation formative, et toute autre indication qui serait utile à l’enseignant....

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D’autre part, et selon la compétence et la matière visées en apprentissage, des outils à l’usage des élèves, structurés par cycle et disponibles sur le site myvanin.be.  sous forme de cahiers de recherche et de structuration, avec situations d’entrainement et référentiel à organiser, conçus pour être utilisés par les enfants accompagnés de leur enseignant, et leur permettant de vivre et d’organiser leurs apprentissages dans un support structuré et attrayant, et de les rendre ainsi plus conscients et autonomes,  ou sous forme de documents reproductibles annexés à l’outil méthodologique et fournis par l’enseignant à ses élèves en fonction des besoins.

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Pour chaque « nœud-matière » (sauf la Résolution de problèmes), et pour concrétiser la verticalité et la continuité des apprentissages, un seul outil enseignant couvre, selon les nécessités propres à la matière, les 3 ou 4 cycles de l’enseignement maternel et primaire. Ce guide méthodologique est complété de documents reproductibles, à trouver sur myvanin.be par l’enseignant pour les enfants en fonction des besoins. Le répertoire d’activités d’apprentissage proposé ne se veut pas exhaustif. Il cherche à couvrir les aspects les plus essentiels de la construction visée (matière et compétence). Chaque enseignant stimulé par ce répertoire pourra l’amplifier d’idées nouvelles et complémentaires.

Âge théorique

3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans 10 ans 11ans 12 ans

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Les outils qui s’adressent directement à l’élève sont, quant à eux, découpés par matière et par cycle*.

Belgique

Ac 1M 2M 3M 1P 2P 3P 4P 5P 6P cycle 1

Suisse

France

cycle 2 cycle 1

INTRODUCTION

cycle 3

cycle 2 apprentissages fondamentaux

cycle 3 approfondissements

1M 2M 1P 2P 3P 4P 5P 6P cycle 2

cycle 3

P = primaire

EE = école enfantine

cycle 4

MPS MMS MGS CP CE1 CE2 CM1 CM2

cycle 1

cycle 2

M = maternel

cycle 4

1EE 2EE 1P 2P 3P 4P 5P 6P

cycle 1 apprentissages premiers Québec

cycle 3

Ac = Accueil

cycle 4

PS, MS, GS = petite, moyenne, grande section CP cours préparatoire CE cours élémentaire CM cours moyen

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2. CONSTRUIRE LES TABLES : UN GUIDE STRUCTURÉ Ce document commence par un sommaire présentant les grands chapitres abordés : il est délibérément succinct, afin de montrer l’organisation générale. Une table des matières complète et détaillée figure en tête de chaque partie. Elle est repérable facilement car elle figure sur un fond orange.

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Dans le chapitre « LES ACTIVITÉS », sans doute celui qui vous intéresse en priorité, vous trouverez des séries de propositions qui se présentent généralement sous cette forme :

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Compétences Déroulement Matière

Ces activités sont opérationnelles pour vos classes.

Pour les utiliser au mieux et en découvrir toutes les richesses, vous pouvez consulter les chapitres cadrant ce répertoire d’activités :  LA MATIÈRE explicite chacun des aspects du concept de multiplication, décrit les obstacles et difficultés à dépasser ainsi que les enjeux de l’apprentissage qui conduiront à un autre type de mémorisation. Ce chapitre détaille les articulations riches entre la matière et les compétences.  LE MATÉRIEL développe les qualités indispensables pour un matériel didactique de qualité, riche et varié, en mathématiques. Le chapitre vous présente aussi la manière de réaliser tous les outils nécessaires.  LES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES via le site myvanin.be constituent une banque de matrices reproductibles destinées à faciliter le travail de la préparation des activités.

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Organisation

Démarches possibles d'enfants

Réflexions et outils méthodologiques

Titre de l’activité

Vous le constatez donc, les différents chapitres sont complémentaires. À vous de voir quelle porte d’entrée vous ouvrez :  Commencer par lire les parties plus théoriques peut sembler difficile, car bon nombre d’exemples donnés sont issus d’activités menées au départ des matériels décrits…  Commencer par lire les parties plus pratiques (construction du matériel, activités) peut aussi paraitre ardu, vu la diversité et l’effort d’imagination que cela représente…  Effectuer un va-et-vient entre les deux permettra probablement la meilleure exploitation de chacune des parties.

Dès lors, installez-vous bien, prenez du papier quadrillé, un crayon, veillez à ce qu’on ne vous dérange pas (trop), et… bonne découverte !

INTRODUCTION

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3. LE PROJET 3.1. Naissance du projet « Ils ne connaissent pas leurs tables ! » Y a-t-il une seule école où cette phrase n’a jamais été prononcée ? Mais, où est le problème ?

La mémorisation ? C’est vrai qu’il est souhaitable d’en arriver là pour la plus grande partie des produits, mais à condition que ce soit le résultat de tout un travail qu’il ne faudrait surtout pas négliger ! Et de quelle mémorisation parlons-nous ? De celle qui fait appel à la mémoire immédiate ou de celle qui s’est donné des points de repères pour reconstruire ce qui est oublié ? Car, vous l’avez bien souvent constaté, la mémoire n’est pas une alliée totalement fiable !

Ainsi donc, les tables, ça se construit !

Et c’est ça que je ressentais intimement, la première fois que l’on m’a confié un groupe-cycle 6/8, où pas mal d’enfants étaient en difficultés ! Je souffrais de mon impuissance devant leur incompréhension : comment arriver à percevoir ce qu’ils s’imaginent (si toutefois ils s’imaginent quelque chose !) lorsqu’un produit est évoqué ? Quels repères ont-ils ? En ont-ils seulement ? Il fallait donc que j’organise mon travail dans l’idée d’une construction commune.

Et comme je n’avais vraiment pas « la bosse des maths », je me suis aidée en imaginant un premier support structuré et structurant, qui amènerait les enfants à ne pas se perdre dans le dédale des produits : les cartestables étaient nées. Ensuite sont venues d’autres idées de matériaux qui, utilisés en parallèle avec ces cartes, permettaient de garder trace des découvertes. Les référentiels se construisaient. Au début, je ne savais pas précisément tout ce que cela permettrait de réaliser. C’est en utilisant ces matériels avec les enfants que nous en avons, ensemble, découvert les richesses. Que de fois ne les ai-je entendus s’exclamer de plaisir : « Dis, Madame, tu sais ce que je viens de découvrir ? »...

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Suite aux nombreux partages avec mes collègues animateurs pédagogiques, l’outil s’est enrichi d’un autre matériel structurant (tableau de Pythagore), de possibilités d’activités nouvelles, de publications intéressantes dont la logique s’harmonisait avec celle de mes outils, et de divers apports théoriques qui donnent place et sens à la construction mathématique. Claudine BERGER

C’est ainsi que, petit-à-petit est né le désir de consigner tout cela dans un document pouvant servir à nos collègues institutrices, instituteurs, eux aussi confrontés à la difficile tâche de l’enseignement des tables de multiplication. Ce document, vous l’avez entre les mains...

3.2. Auteurs et collaborateurs Devant l’ampleur de la tâche, et la rigueur mathématique nécessaire, un travail d’équipe s’imposait. Des personnes aux compétences complémentaires se sont un jour croisées. Le groupe-auteurs était né : Claudine BERGER : institutrice primaire pendant 20 ans, animatrice pédagogique pendant 6 ans, occasionnellement formatrice dans le cadre de la formation continuée du fondamental.

INTRODUCTION

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René COULON : instituteur primaire pendant 26 ans, animateur pédagogique pendant 9 ans, occasionnellement formateur dans le cadre de la formation continuée du fondamental, inspecteur dans les écoles libres. Martine de TERWANGNE : institutrice primaire depuis plus de 30 ans avec une expérience de 5 ans de direction avec classe en cycle, chercheuse au GEM (Groupe d’Enseignement Mathématique), formatrice dans le cadre de la formation continuée du fondamental.

Françoise LUCAS : professeure de mathématiques dans les Hautes Écoles pendant 29 ans, détachée au service pédagogique de la Fédération de l’Enseignement Fondamental dans le réseau Catholique (FedEFoC) pendant 9 ans, formatrice dans le cadre de la formation continuée et de la formation complémentaire des enseignants du fondamental et du premier degré du secondaire.

Les compléments apportés à cette réédition au sujet de la mémorisation sont le fruit de la collaboration, pour des formations destinées aux enseignants du premier degré différencié (1DD) et du premier degré commun (1DC) du secondaire, entre Françoise LUCAS et

Céline VAN DAMME : bachelière institutrice maternelle, primaire et agrégée en mathématiques et physique pour l’enseignement secondaire inférieur ; enseignante en mathématiques et sciences avec des adultes et des adolescents dans des filières communes, générales et professionnelles ; conseillère pédagogique à la Fédération de l’Enseignement Secondaire Catholique (FESeC) ; formatrice dans le cadre de la formation continue des enseignants du fondamental et du secondaire.

La plupart des activités de cet ouvrage ont été réalisées dans les classes de Claudine Berger, René Coulon et Martine de Terwangne. De nouvelles activités ont été réalisées dans les classes de

Tamara MORALES FERNANDEZ et Amandine GASPARD à l’école Saint Lambert II de Herstal Valérie ACKERMANS, au premier degré différencié au collège Saint Vincent (-Saint François) à Ixelles

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Pour découvrir au mieux la continuité des apprentissages proposés dans ce livre et en « multiplier » les richesses, nous vous invitons aussi à travailler en équipe. En effet, les activités proposées ne sont nullement exhaustives : il reste encore beaucoup à inventer dans le domaine de l’usage de ces matériaux. Et c’est dans le feu de l’action de la classe ainsi que lors des concertations entre enseignants que les idées germeront ! Vive le partage en équipe !

3.3. Intérêt de l’outil

L’outil prend place dans une perspective globale de l’apprentissage de la multiplication. Il articule les contenus-matières et les compétences demandés par les nouveaux programmes. Il offre à l’enseignant la réunion en un seul document, d’une réflexion théorique approfondie, de séries d’activités, et des outils matériels et méthodologiques correspondants. Il met l’accent sur le développement de compétences particulières associées à la maitrise de la structure multiplicative et notamment de la table de multiplication. Oui, mais, comment ? ■

L’apprenant est prioritairement sollicité dans la construction et l’exercice de compétences mathématiques de résolveur de problèmes.

INTRODUCTION

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L’accent est mis sur la nécessaire construction de la table de multiplication. L’enfant est reconnu comme acteur de ses apprentissages : pouvoir faire des découvertes sur le sens des opérations mathématiques, les exprimer et les organiser dans des référentiels évolutifs. Toutes ces activités engendrent plaisir d’apprendre et motivation.

■

Les apprentissages s’échelonnent sur une durée plus longue qu’une seule année, et même au-delà d’un cycle, en poursuivant avec ce même matériel. L’importance réservée à une bonne maitrise de la structure multiplicative tout au long de la scolarité apparait au fil des activités proposées.

■

Le support matériel est d’une aide précieuse pour la plupart des enfants : par la manipulation des cartes rectangulaires des produits lors de découpages, associations, comparaisons... ils bénéficient d’un support à leur réflexion. Ils s’en détacheront progressivement car cette réflexion deviendra certitude. Ils pourront toutefois y recourir, soit mentalement, soit matériellement, quand le besoin s’en fera sentir.

■

En utilisant ce matériel, la logique de construction des propriétés de la multiplication et des techniques qui en découlent se découvre petit à petit.

■

L’enfant va apprendre dans quelle structure, toujours identique, ces produits s’enracinent. Et ça, c’est l’option fondamentale du livre : un réseau de liens existe, formant une structure très cohérente.

■

Ce réseau s’appuie sur :

 les relations entre les produits d’une même table, appelées liens internes.  les relations privilégiées entre certaines tables constituant une famille (ex : 2 ×, 4 ×, 8 ×), appelées liens externes.

La construction de ce réseau est une aide à l’indispensable mémorisation des tables.

3.4. Logos

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Renvoi aux numéros d’activités permettant de travailler • les contenus matière développés • les obstacles décrits Plan de l’activité

Réflexions et outils méthodologiques

structure de chaque activité

Démarches possibles d’enfants

Renvoi à un autre tome de la collection

Renvoi au site myvanin.be (pour plus d’informations, rendez-vous sur www.vanin.be/myvanin)

INTRODUCTION

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LA MATIÈRE

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COMMENT S’Y RETROUVER ? 1.1 D’hier à aujourd’hui… une évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La matière comme référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Les compétences, moteur de la mise en relation des matières . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Carte conceptuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LA CARTE MATIÈRE À LA LOUPE 2.1 Multiplication et liens avec d’autres opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sens divers de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Vocabulaire et symboles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tableaux organisateurs des multiplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Procédures de calcul mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Algorithmes de calcul écrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Preuves de la multiplication écrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Nombres naturels particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Multiplication et division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Sens divers de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Division avec ou sans reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Propriétés de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 Tableaux organisateurs des divisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OBSTACLES, DIFFICULTÉS 3.1 Dépasser l’addition répétée pour penser multiplicativement . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Se convaincre de la commutativité de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Penser la double distributivité de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Construire la multiplication par des nombres non entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Comparer des grandeurs : établir des rapports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Penser agrandissements et réductions multiplicativement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Percevoir et utiliser deux sens de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Distinguer dans la division avec reste, le quotient et le reste . . . . . . . . . . . . . . . . ENJEUX DE L’APPRENTISSAGE DES TABLES 4.1 Les tables de multiplication : un objet emblématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Utilité première des tables de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Utilité de l’étude intelligente des tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MÉMORISER : QUELQUES MISES AU POINT 5.1 Comment s’organise la mémoire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Quelques pistes suggérées à travers nos activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Compréhension et mémorisation, deux gestes mentaux complémentaires . . . . . 5.4. Compréhension, mémorisation et autres gestes mentaux dans l’apprentissage . 5.5. Éclairage des neurosciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Les conditions pour soutenir la mémorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Des outils de mémorisation des tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LIENS AVEC LES COMPÉTENCES 6.1 Concept de compétence : une longue évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Concept de compétence dans le monde de l’éducation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Connaissances et compétences : une articulation utile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Architecture d’une compétence : évolution des pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Compétences : formulations diverses dans les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Compétences et matière : une double articulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 65 68 70 73 76 80 82 83 83 86 91 92 93 93 94 94 95 96 96 99 101 106 107

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LE MATÉRIEL

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MATÉRIEL DIDACTIQUE

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1.1.

113 113 114 117 117 119

1.4.

2.1.

2.2.

Cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Cartes neutres (unicolores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Cartes avec symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tableaux organisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Carré de 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Carré mosaïque de 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Tableaux de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autre matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Roue de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3.

MATÉRIEL POUR LES TABLES

1.3.

112

1.2.

Partir d’objets de l’environnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ce qui nous fait dire oui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Ce qui nous fait dire non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qu’est-ce qu’un matériel pensé pour l’apprentissage ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Levier permettant de franchir l’obstacle amené par la consigne . . . . . . . . 1.2.2. Support aux interactions entre les apprenants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Facilitateur pour se faire des images mentales et construire des abstractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Outil de validation de ce qui se construit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un matériel didactique qualifié de « concret » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Du concret et de l’abstrait… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Le matériel didactique peut-il être qualifié de concret ? . . . . . . . . . . . . . . . Un ou des matériels : pour qui et pour quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Un matériel identique pour chaque enfant ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Un matériel permanent tout au long de la séquence d’apprentissage ? . . . 1.4.3. Un matériel individuel ou collectif au cours d’une séquence d’apprentissage ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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LE MATÉRIEL

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LES ACTIVITÉS

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1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

143 143 144 145 149 151

Matière et compétence visée en construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déroulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réflexions et outils méthodologiques pour l’enseignant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démarches possibles d’enfants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ACTIVITÉS EN CONTINUITÉ Exceptionnellement dans ce chapitre, une table supplémentaire détaillée se trouve en page 152 Les sens de la multiplication se construisent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La structure multiplicative s’exprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des relations se tissent dans et entre les tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les produits s’organisent quand Pythagore s’en mêle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le sens des propriétés de la multiplication se renforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les produits se repèrent sur des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les tables de multiplication s’entrainent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des bricolages : on devient de savants artistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

REGARD DIDACTIQUE SUR LES ACTIVITÉS

154 171 194 227 254 264 275 292

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REGARD DIDACTIQUE SUR LES ACTIVITÉS

Il est à noter dès le départ, que notre choix pédagogique est de travailler sous forme de résolution de problèmes. Tout ce qui suit est donc fonction de cela.

1.1. MATIÈRE ET COMPÉTENCE VISÉE EN CONSTRUCTION

Le descriptif de chaque activité commence par préciser l’intention d’apprentissage en termes de compétence spécifique et de matière.

1.1.1. La matière est un objectif incontournable d’apprentissage. En mathématiques, les concepts et les théorèmes (re)construits par l’enfant et qui prennent sens en résolvant des situations complexes deviennent des ressources mobilisables. C’est cette matière construite et prenant sens qui rend l’enfant compétent (n’hésitez pas à consulter le chapitre 1. La matière, points 6.3, p. 97 et 6.6, p. 105).

La rubrique Matière en construction énumère les concepts et théorèmes mathématiques relatifs à la multiplication et aux tables, principalement. Ce qu’ils recouvrent est explicité dans le chapitre 2. La carte matière à la loupe. 1.1.2. La compétence spécifique n’est pas visée pour elle-même comme un fragment isolé, mais est travaillée de manière à participer au développement de compétences générales comme :« Calculer sur les nombres », « Résoudre des problèmes ».

Nous utilisons les énoncés de compétence des programmes (forme prédictive des compétences, cf. p. 104) les plus en adéquation avec l’intention d’apprentissage qui a motivé la conception de l’activité.

Pour la Belgique, nous renvoyons aux pages des Socles de compétences porteuses d’énoncés équivalents ou proches. Exemple (SC. p. 27 ; 3.1.3. ; 1re Compétence).

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1.2. ORGANISATION

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Le dispositif pédagogique à mettre en place pour qu’une situation soit vécue en activité d’apprentissage demande de penser au matériel, aux groupements d’enfants et à la gestion du temps. 1.2.1. La rubrique Matériel vous donne chaque fois les outils nécessaires : matériel de manipulation, supports structurants, etc… pour permettre l’activité. Nous précisons pour chacune s’il s’agit d’un matériel individuel, de groupe, ou pour le collectif de classe, ainsi que les numéros de matrices à photocopier. N’hésitez pas à consulter le chapitre précédent, Le matériel, point 1.3, p. 121. 1.2.2. La rubrique Temps vous en propose une estimation nécessaire à l’activité. La règle générale voulant que tout apprentissage prenne du temps, il est inutile d’aller trop vite. L’estimation indiquée sur certaines fiches peut donc ne pas correspondre au vécu de votre classe. 1.2.3. La rubrique Espace est fonction du nombre d’enfants, de la taille du local et du mobilier disponible. Pratiquer l’alternance des groupes de manière opportune participe à la construction sociale et intellectuelle de chaque enfant grâce à la confrontation des idées, des avis et des découvertes. Pour réussir cela, on favorisera souvent les groupes hétérogènes : ils sont plus porteurs de richesses et de complémentarité.

1. Éléments constituant les activités

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1.3. CONSIGNES Exprimer une consigne clairement est un exercice difficile. Il existe principalement deux grandes catégories de consignes : les consignes ouvertes et les consignes fermées. Voici les principales caractéristiques des unes et des autres : 1.3.1. Consigne ouverte

Elle doit permettre à l’enfant de se mettre au travail vers un but, sans lui révéler ni lui suggérer de manières d’y arriver. Le vocabulaire utilisé doit être rigoureux sans être simpliste. Dans cet ouvrage, elle vous est proposée dans un langage que nous avons voulu le plus clair possible. Elle peut bien sûr être exprimée avec d’autres mots, toutefois qu’on garde le même sens, et que soit respecté son caractère ouvert, afin de permettre la plus grande variété de recherches. C’est de cette variété partagée qu’émergeront des choses intéressantes, tant pour l’enfant que pour l’enseignant. En effet, celui-ci peut ainsi découvrir ce que chaque enfant porte en lui comme connaissance sur le sujet. Car ce n’est qu’en partant de là où est l’enfant, et pas de ce que l’enseignant suppose que l’enfant sait ou devrait savoir, que le développement de la compétence pourra s’effectuer.

La consigne peut être écrite ou dessinée au TN, donnée à chacun individuellement sur papier, dite oralement, ou les trois ensemble. L’enfant plus auditif sera touché par la parole, celui qui est plus visuel le sera par l’écrit, celui qui est plus kinesthésique, retiendra dans les gestes qui accompagnent votre parole ou dans les éléments du dessin, les informations nécessaires à sa compréhension. L’écrit reste toutefois un repère non négligeable, car il peut être lu et relu : des éléments qui n’apparaissaient pas au début peuvent se dévoiler à l’enfant en cours de travail.

Quoi qu’il en soit, il faut éviter d’entrer dans une foule d’explications sur la consigne même. En effet, l’enfant qui sait que vous donnerez des compléments d’informations ne s’investira pas dans une recherche réelle, personnelle. Il n’enclenchera pas de démarche d’évocation. Il attendra. Trop expliquer, c’est empêcher d’apprendre !

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Quand l’enfant se met au travail, il entreprend une tâche. Mais l’enseignant sait que l’apprenant qui s’active à cette tâche va mettre en œuvre des compétences qu’il souhaite voir développer : le libellé de la consigne recouvre donc l’engagement dans une tâche (rôle de l’enfant), et implicitement la sollicitation de compétences diverses (souhait de l’enseignant).

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Exemple avec le matériel des tables : « Classez les cartes. » 1.3.2. Consigne fermée

Elle demande l’effectuation de quelque chose en en précisant souvent le chemin. Elle ne permet plus les recherches tous azimuts, mais dirige dans une voie plus étroite. Elle n’est pas première dans une activité d’apprentissage. Elle émane souvent :   

144

de découvertes faites par certains enfants, que l’enseignant voudrait voir expérimenter par tous ; de contraintes amenées en cours d’activité pour permettre aux apprenants de développer, à coup sûr, la compétence visée ; du constat que quelque chose est bloqué dans le processus d’apprentissage.

LES ACTIVITÉS

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Lorsque l’enseignant l’utilise, c’est par choix conscient : il vise grâce à elle, à ce que chaque apprenant soit expérimentateur d’une chose précise qu’il ressent comme utile ou nécessaire à la bonne compréhension. Exemple avec le matériel des tables : « Classez les cartes par hauteur constante et base croissante, toutes les cartes étant juxtaposées dans l’ordre croissant, de la gauche vers la droite. »

1.4.1. Des étapes successives indissociables

■ ■

Recherche individuelle Partage en groupe Partage en collectif de classe

■

1.4. DÉROULEMENT

Lors d’une activité de construction, cette alternance se répètera peut-être plusieurs fois. Ce nombre dépendra beaucoup de la disponibilité des enfants. Il est à noter cependant que leur disponibilité lors d’une activité d’apprentissage de recherche et construction n’est absolument pas à comparer à celle qu’ils auraient lors d’une « leçon » plus frontale. L’attention, l’intérêt, la motivation peuvent rester en éveil durant longtemps, car ils vont de découverte en découverte, et désirent aboutir. Même chez des enfants de 6 ans, il est possible de pratiquer une activité d’apprentissage de deux heures sans lassitude.

L’enseignant veillera toutefois à permettre à chacun de suivre son rythme : un enfant rêveur n’est pas toujours un enfant inintéressé. Il est nécessaire à chaque apprenant de se trouver des zones d’intimité respectée : s’il semble se couper de l’activité, une observation discrète permettra de voir s’il se remet au travail ensuite. Il est possible de le rejoindre et de lui suggérer : Que vas-tu faire maintenant ? Ce type de question montre à l’enfant qu’il est respecté dans son rythme, et lui permet de se reconnecter par l’action.

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Lors d’une activité d’entrainement, on peut maintenir cette alternance entre les trois étapes, mais en privilégiant surtout le travail individuel pour permettre à l’enfant de devenir plus performant. Par ailleurs, l’enfant doit se préparer progressivement à des situations d’évaluation sommative où il devra faire preuve seul de ses compétences.

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À chaque étape, des traces écrites seront réalisées : elles sont conservées, organisées, structurées par l’enfant pour construire progressivement un référentiel qui évoluera encore plus tard, au cours de l’année, du cycle. 1.4.2. Chaque étape reprise à la loupe ■

Recherche individuelle

Il est demandé un travail individuel afin  

de faire émerger le plus de représentations possibles, de permettre à chacun de s’investir dans le travail de construction,

en vue d’un partage plus riche en groupe, mais aussi pour enrayer la dynamique de leadership de celui qui « sait » avant les autres.

1. Éléments constituant les activités

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Ce temps se déroule dans le silence. C’est le moment où chacun interpelle la situation avec ses propres acquis afin d’y rechercher des éléments permettant la réalisation de la tâche. Sa durée est variable d’une activité à l’autre, mais généralement assez courte, sans quoi elle décourage les élèves qui ne voient pas comment démarrer leur recherche : elle est généralement comprise entre dix et quinze minutes. Le rôle de l’enseignant durant cette étape est : de prélever le plus d’indices possibles permettant de donner sens à ce que fait chacun. Pour cela, l’enseignant s’intéresse : — aux mimiques, gestes, procédures mises en œuvre et parfois abandonnées… — aux traces laissées sur le papier, ou dans l’organisation du matériel par l’enfant, — aux expressions verbales lors de certains échanges en aparté.



de repérer les enfants qui semblent être bloqués afin de leur permettre de se lancer dans la recherche.



Tous les indices prélevés seront très précieux au moment de l’échange en collectif de classe : en effet, bien souvent, des enfants effectuent des choses dont ils ne perçoivent pas la portée… d’où le fait qu’ils oublient de l’exprimer lors du partage. Si l’enseignant s’en souvient, il pourra suggérer à l’enfant en question d’expliquer ce qu’il a fait ou découvert, et permettra ainsi à tous d’en profiter. Il suffit parfois de cela pour relancer un groupe qui est en panne… Il est utile de se faciliter le travail en notant brièvement les indices prélevés. Cette façon de faire libère la mémoire afin de centrer son attention sur ce qui est à observer. C’est le moment idéal pour favoriser certains échanges afin de mieux comprendre ce que fait un enfant. Grâce à ce contact personnalisé, l’enseignant peut écouter celui qui est en difficulté : c’est discret, et l’élève sent qu’il peut s’exprimer plus aisément dans ce contact plus intime.

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Pour cela, favoriser l’échange individuel discret : en se plaçant à la hauteur de l’enfant, lui demander de dire ce qu’il a compris, partir de sa perception, l’exprimer peut-être d’une autre façon, afin de favoriser un déclic pour s’aventurer au début d’un chemin. Si rien ne semble être compris, lui demander ce qu’il voit, et partir de là pour lui permettre de démarrer. En effet, l’enfant perçoit toujours quelque chose. Par une question judicieuse au départ de ce qu’il dit avoir perçu et éventuellement interprété, lui permettre d’entr’ouvrir une porte, de tirer sur un fil, bref d’enclencher une recherche. Il est important de repérer les enfants qui ont peur de mal faire : la peur inhibe l’énergie, et la croyance de ne pas être capable finit par prendre le dessus, tant chez l’apprenant que chez les autres. Cette croyance l’enferme dans un cercle vicieux dont il ne se libérera vraisemblablement que par la réussite. Il est donc important de mettre tout en œuvre pour lui permettre de se lancer dans l’activité.

Pendant cette étape de recherche individuelle, l’enseignant parcourt le local. Son attitude est à la fois discrète et vigilante. Les enfants doivent savoir et surtout sentir, que l’enseignant ne juge pas. Il est d’ailleurs important de leur en faire part. Les apprenants doivent en effet être autorisés à essayer ce qu’ils croient pouvoir les mener à la résolution de la difficulté. Leur dire en cours de recherche que la démarche utilisée ne conduira pas à la solution, c’est leur enlever la possibilité de s’en rendre compte par eux-mêmes, et les mener à l’aveuglette dans nos propres façons de résoudre. Mais c’est, bien sûr, au coup par coup que l’on sentira ce qui est judicieux pour l’enfant :  

146

soit mener le cheminement à son terme afin de constater qu’il est erroné, soit questionner l’apprenant en cours de travail afin qu’il anticipe, puisse se rendre compte de son erreur, et réajuste son action.

LES ACTIVITÉS

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L’intention principale est que chaque enfant se construise une chaine de savoir solide, sans maillon faible.

■

Durant cette étape, les apprenants notent ce qu’ils découvrent, ce qu’ils commencent à construire, et le chemin emprunté. Il serait d’ailleurs utile que chacun prenne l’habitude d’organiser spontanément ainsi les traces de ses découvertes afin d’avoir un point d’appui à sa réflexion, de libérer sa mémoire, et d’être à même de transmettre ses idées aux autres. Cet écrit, même brouillon, est le support qui permettra de faire valoir l’originalité des idées de chacun. Mais il faudra du temps pour que les apprenants arrivent à ce stade de responsabilité, c’est pourquoi, il sera nécessaire de les aider à « se dire », au départ d’une ou de plusieurs questions bien ciblées, notées au tableau, et pour lesquelles ils donneront leur avis par écrit, pour eux-mêmes : pour se mettre au clair, et pour être capable de s’expliquer avec leurs propres mots, qui sont « originaux », au sens premier du terme (cf. 1.5.3, p. 150). C’est bien de « donner son avis » dont il est question. Nous avons observé bien souvent que solliciter les enfants à « donner la réponse » pouvait être inhibant, alors que « donner son avis » était plus facile. En effet, donner son avis est ressenti comme une étape vers la « réponse exacte » ultérieure, c’est pourquoi l’apprenant s’y risque plus facilement. Partage en groupes de 4 (vivre le conflit socio-cognitif)

Cette étape est difficile car, à ce stade de l’activité, les apprenants ne voient pas encore très clair dans la résolution de la difficulté. Expliquer ce que l’on a observé, compris, pas compris, essayé, constaté, n’est pas chose simple. Et se faire entendre par les autres, est encore plus difficile !

Il est important de consacrer du temps à mettre du sens sur le verbe « écouter » avec les apprenants. « Écouter » ne se limite pas à laisser l’autre parler tout en se taisant. « Écouter » demande une participation active à l’intérieur de soi : s’ouvrir à l’autre en se vidant de ses propres croyances, se laisser imprégner par les mots et mettre en œuvre sa capacité de représentation personnelle afin d’en chercher le sens. Cela s’apprend. Si besoin est, des questions d’éclaircissement peuvent être posées à celui qui vient de s’exprimer. Au fil des séances, le dialogue devient de plus en plus précis, et c’est là un critère de bonne écoute et de capacité d’apprendre.

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L’enseignant parcourt les groupes, écoute et prend éventuellement part au partage s’il lui semble enrichi par ses questions. Ici encore, la forme d’implication est variable : soit s’investir dans un groupe qui semble « en panne », soit dans un autre qui semble entrevoir quelque chose d’important, soit parcourir sans s’impliquer dans aucun groupe, voire intervenir uniquement de façon discrète. Quel que soit le choix de l’enseignant, il retiendra dans sa mémoire ou notera dans un carnet, les éléments qui lui semblent intéressants à partager en groupe-classe. Ces éléments ne sont pas uniquement ceux qui mènent directement vers la solution : ce peuvent être des propositions de processus, des idées erronées qui tomberont peut-être lors de la vérification par l’action, des pistes à explorer plus tard… Si l’enseignant choisit de s’investir en priorité dans un groupe, il doit néanmoins garder le ressenti de ce qui se passe dans le reste du local, afin d’arrêter l’échange au bon moment, c’est-à-dire lorsqu’il y a assez d’éléments pour permettre aux apprenants de se lancer dans une nouvelle recherche, avec encore tout un potentiel énergétique. Parfois les apprenants du groupe savent qu’ils seront invités à faire part de leurs échanges au groupe-classe. Afin que le rapport soit le plus fidèle possible, et néanmoins concis, il est nécessaire qu’un rapporteur soit choisi au sein du groupe : écrire les idées peut parfois être utile. ■

Partage en collectif de classe

Le but de cette étape est de confronter les représentations, découvertes, et façons de les dire, et de relever le plus d’éléments susceptibles d’aider à la réalisation de la tâche. Un porte-parole de chaque groupe exprime les idées citées ou débattues au sein du groupe.

1. Éléments constituant les activités

147

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L’enseignant note tout ce qui est dit au tableau. Il joue le rôle de secrétaire. Il pose éventuellement des questions pour s’assurer du sens de ce qui est dit. Il organise le tableau selon ce qui lui semble efficace :  

en colonnes suivant le nombre de questions auxquelles les apprenants ont été invités à donner leur avis ; en vrac, car le tri de ces éléments par les apprenants sera une aide efficace à la construction de la compétence.

  

les idées semblables exprimées par des mots différents ; les mots semblables désignant des objets différents ; des éléments qui se complètent.

Il invite au fur et à mesure les élèves à repérer :

Il ne décide pas de ce qui est juste ou non : c’est l’avancement de la réflexion et parfois seulement la vérification par l’action qui confirmeront ou infirmeront la croyance. Il ne juge donc ni les avis ni les personnes.

Chaque item noté par l’enseignant au tableau, peut être précédé d’une case carrée : lors de la relecture complète des informations, certaines s’avéreront utiles, d’autres pas. Lorsque les élèves le diront, on pourra, en cochant les cases, repérer plus facilement ce qui sera retenu.

Il est possible de réserver un endroit du tableau pour y noter toutes les questions que se posent les enfants en cours d’activité. En fin de séquence, la relecture collective ou individuelle de ces questions permet d’en éliminer toute une série, preuve que la compréhension a progressé. Celles qui resteront seront prises en considération dans une activité ultérieure.

En fin de partage, les apprenants ont de nouvelles idées pour se mettre en activité. Ils ont envie de se lancer dans la recherche qui a germé dans leur esprit grâce à ce partage : ce peut être une idée importée d’un autre, ou une idée neuve personnelle suscitée par les dires d’un autre. Quoi qu’il en soit, l’échange qui permet aux apprenants de se lancer dans une recherche est bénéfique.

Éd

iti

Il est fréquent à ce stade de l’activité de voir les apprenants trépigner d’impatience à l’idée de vérifier une hypothèse… C’est le signal du passage à une deuxième étape individuelle : deuxième recherche personnelle, en silence, avec plus d’indices, cette fois ! Cette seconde étape individuelle illustre l’aspect spiralaire de l’apprentissage : l’apprenant découvre les choses petit-à-petit et non d’un seul coup. C’est pourquoi, en plus de l’approfondissement au sein même d’une séquence, il sera nécessaire de lui permettre de revenir sur les mêmes compétences, dans des tâches parfois sans ressemblance apparente : nouvelle consigne, nouveau matériel, nouvelles découvertes. Le fait d’avoir eu à mettre en œuvre la même compétence dans des situations différentes permettra à l’apprenant d’élargir son champ d’action lié à cette compétence, et donc de l’intégrer : le transfert de la compétence renforce son intégration.

148

LES ACTIVITÉS

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1.5. RÉFLEXIONS ET OUTILS MÉTHODOLOGIQUES Le descriptif des activités se veut synoptique : donner les éléments essentiels en une seule page. Mais pour mener à bien l’activité en respectant ses intentions d’apprentissage, nous proposons toute une série de réflexions utiles à l’enseignant. Les choix méthodologiques ne sont pas neutres et méritent parfois des explications : Pourquoi tel matériel plutôt que tel autre ? Pourquoi telle succession de tâches en groupes différents ? Comment gérer et stimuler le débat collectif, et pour aller vers quoi ? Etc…

Certains aspects de la matière ou de la compétence visée peuvent être éclairés :

Quel obstacle faire dépasser ? Quelle prise de conscience essentielle susciter ? Quel vocabulaire utiliser ? À quelles distinctions sur la matière amener les enfants ? Etc…

– – – – –

– – – –

Des prolongements de l’activité sont possibles avec des adaptations, des amplifications, des modifications proposées. En continuité dans le cycle En continuité avec les autres cycles

– –

Des liens avec d’autres activités sont aussi mentionnés. 1.5.1. Questionner habilement

Si c’est juste, tant mieux… (peut-être, car personne n’a vérifié ce qui lui fait dire cela…) Et si ce n’est pas juste ? Que se passe-t-il ?

Éd

– –

iti

L’enseignant a souvent l’habitude de poser des questions dont il a déjà la réponse… Et l’enfant l’a vite compris, puisqu’il s’entend dire que c’est juste, ou pas…

Comment l’enseignant s’y prend-il pour permettre à celui qui n’y est pas encore de cheminer plus loin ? Car c’est cela le rôle principal des questions en cours d’apprentissage : permettre à l’apprenant de dire, de se dire, et de chercher plus loin… de se chercher plus loin… Donc, bien souvent, il faudra poser des questions dont l’enseignant n’a pas la réponse. C’est l’apprenant qui la donnera… Des questions pour que dire ? Dire ses difficultés, ses croyances, ses essais, ses découvertes, ses tâtonnements… En mettant des mots sur ce qu’il croit, ce qu’il essaye, ce qu’il découvre, l’apprenant construit petit à petit la clarté dans sa tête. Les questions de l’enseignant doivent cibler ce but. – – –

Que veux-tu dire par… ? Comment as-tu fait pour… ? Qu’est-ce qui t’a fait choisir de faire ainsi ?

Et les apprenants aussi posent des questions… Elles renseignent l’enseignant sur ce qui reste obscur…

1. Éléments constituant les activités

149

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Suscitez-les ! Provoquez-les ! Mais ne donnez surtout pas les réponses ! Faites chercher. Faites parler, élargissez la question de l’un d’eux à toute la classe : « Qu’en pensez-vous ? » L’enseignant attise le feu de la recherche. Et la classe ainsi animée est un lieu de plaisir : – – –

plaisir du tâtonnement « Et si j’essayais cela ? » plaisir de la découverte nouvelle : « Ah ! ça y est ! j’ai compris ! » plaisir de se comprendre : « D’accord ! Je vois ce que tu veux dire ! »

Car, le principal, c’est que soit compris ce que l’apprenant tente de communiquer… Que ce soit juste ou non. Il est donc nécessaire pour l’enseignant de s’investir réellement dans l’acte de comprendre ce qui est dit. Car c’est de là qu’il peut partir pour faire cheminer l’apprenant plus loin. De plus, l’apprenant qui sent que l’enseignant cherche à le comprendre se sent respecté et entre plus volontiers dans l’apprentissage ! 1.5.2. Statut de l’erreur

1.5.3. Organisation des traces

Souvent, l’erreur est considérée comme le signe d’une mauvaise compréhension et est associée à un sentiment d’échec. Dans l’optique décrite ci-dessus, elle devient signe indiquant le cheminement de l’enfant. Elle est réellement précieuse, car si le cheminement intellectuel est souvent « secret », l’erreur, elle, est apparente. Elle constitue donc un repère important, qui permet à l’enseignant de chercher avec l’enfant ou avec les enfants, comment on est arrivé là. En refaisant la démarche, en la questionnant, l’enseignant ou l’apprenant lui-même, se donnent les moyens de découvrir le raisonnement erroné. C’est une façon riche de s’appuyer sur une erreur pour relancer une nouvelle recherche.

Ceci constitue une étape importante et difficile. ■

Quand écrire ?

 ■

écrire en cours d’apprentissage pour dire ce que je perçois, ce que je voudrais essayer, ce que j’ai essayé, ce que j’ai découvert, ce qui me semble difficile… écrire en fin de séquence d’apprentissage pour dire ce que j’ai compris, ce qui reste flou, faire une synthèse (tableau, dessin, diagramme, texte à puces, règle…)

Éd



iti

Il y a maints moments d’écriture lors d’une activité d’apprentissage :

Qui écrit ?

L’apprenant est tout d’abord sollicité individuellement. Bien sûr, cette écriture peut être confrontée à celle des autres. Parfois, il sera utile de réécrire à plusieurs, afin de s’entendre sur le sens donné aux mots choisis. L’écrit peut alors devenir une référence collective. Mais rien ne dit que cet écrit ne sera pas un jour modifié, ajusté, amplifié, car de nouvelles découvertes auront été faites, qui préciseront la règle ou la procédure déjà écrite. ■

Pour qui écrire ?

L’apprenant écrit tout d’abord pour lui-même. Pour se mettre au clair avec ce qu’il sait et ne sait pas encore, pour baliser sa recherche, garder trace de ses expériences et découvertes. Les écrits peuvent devenir collectifs lorsque l’on est bien certain que les mots prennent la même signification pour tous : on réalise ainsi un référentiel collectif.

150

LES ACTIVITÉS

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■

Quelle forme matérielle ?

L’organisation des traces est l’affaire de chaque équipe d’enseignants : certains préfèrent les feuilles libres pour la possibilité infinie de classements, d’autres préfèrent les cahiers pour la facilité. La forme peut être différente pour le référentiel de classe et pour les traces individuelles. L’usage de couleurs apporte des nuances supplémentaires, par exemple : au crayon, tout ce que je crois, pense, comprends, note, en cours d’apprentissage ; en bleu, tout ce que je crois, pense, comprends, en fin d’apprentissage ; en vert, le texte écrit par le groupe, et dont tous les mots sont compris par chacun ; en rouge, comment le livre le dit.

– – – –

Le classement idéal n’existe certainement pas. Néanmoins, il doit être pensé d’avance par l’équipe enseignante : assez vaste pour tout comprendre dans le domaine visé, mais pas encore trop organisé, pour justement permettre les tâtonnements bénéfiques de l’organisation. Organiser ses traces est en effet une phase importante de l’apprentissage.

La recherche d’un titre à donner au nouveau document constitue également une étape importante : en effet, la seule lecture du titre doit permettre à l’apprenant de savoir si le renseignement qu’il souhaite figure bien dans ce document. Réaliser une table des matières est nécessaire : elle classifie et hiérarchise les découvertes.

1.6. DÉMARCHES POSSIBLES D’ENFANTS

Quatre étapes nous semblent incontournables dans chaque situation : manipuler, constater et établir des relations, dire en français, écrire en mathématiques (non linéaire). Cette rubrique apporte occasionnellement des témoignages d’enfants au cours de ces étapes.

Éd

iti

Ces témoignages d’enfants ne cessent de nous surprendre tant ils sont pertinents ou impertinents de simplicité. Il est important de les écouter très attentivement, afin de chercher à comprendre ce qui se construit en eux. C’est cela qui nous guidera dans la différenciation et l’évaluation formative. S’appuyer sur ces réflexions permet donc de relancer l’activité en modifiant la consigne ou le matériel, afin de cheminer vers l’obstacle, son franchissement, et l’accomplissement de la tâche. De cette écoute attentive naitront aussi de nouvelles idées d’activités d’apprentissage. Les enfants sont en construction de la compétence et de la matière visées, mais pour résoudre la tâche, ils mobilisent toute une série d’autres compétences. Elles sont propres à chaque enfant et continuent donc à se développer. A travers les témoignages, vous serez sensibles à la sollicitation de ces autres compétences.

1. Éléments constituant les activités

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2. ACTIVITÉS EN CONTINUITÉ

LES SENS DE LA MULTIPLICATION SE CONSTRUISENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Réalisons des couples, organisons-les, dénombrons-les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Organisons des vignettes logiques, dénombrons-les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Réalisons des paquets, des tas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Comparons des grandeurs, mesurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Provoquons les tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.

cycle page 154 2,5-5/5-8 154 2,5-5/5-8 158 2,5-5/5-8 160 2,5-5/5-8 164 5-8 168 5-8 2,5-5/5-8 2,5-5/5-8 5-8 5-8/8-10 5-8/8-10 5-8 5-8/8-10

171 171 174 178 181 185 188 191

2.3. DES RELATIONS SE TISSENT DANS ET ENTRE LES TABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Représentons des nombres en rectangle, en carré, en file indienne . . . . . . . . . . 5-8/8-10 8-10 2.3.2 Construisons une nouvelle table ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Construisons la structure d’une famille de tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.3.4. Tissons des liens dans une table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.3.5. Fabriquons une nouvelle table : ici, la table par 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.3.6. Tissons des liens entre les tables d’une famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 12-14 2.3.7. Reconstruisons une table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14 2.3.8. Reconstruisons les tables ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.9. Plongeons dans le miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.3.10. Organisons nos techniques pour multiplier, devenons de supercalculateurs . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14 2.3.11. Choisissons nos chemins de traverse dans des circuits multiplicateurs . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14

194 194 197 201 204 207 210 213 216 218 221 224

Éd

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2.2. LA STRUCTURE MULTIPLICATIVE S’EXPRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Distinguons : en vrac ou organisés… mais comment ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. En vrac ou organisés… apparions-les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Retrouvons le bon rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. La multiplication : parlons-en, écrivons-la ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Associons diverses représentations de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Fabriquons des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Gardons trace de la « fabrication » de nos nombres « rectangulaires » . . . . . . . .

2.4. LES PRODUITS S’ORGANISENT QUAND PYTHAGORE S’EN MÊLE . . . . . . . . . . . . . .

227

Une double approche est proposée : ■ Soit on part du tableau géométrique déjà réalisé, on l’interprète et on construit toutes les cartes-produits pour les utiliser ■ Soit on part des cartes-produits issues des différentes tables analysées précédemment, et on les organise en tableau

2.4.1. Découvrons le tableau géométrique de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.4.2. Découvrons la commutativité de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.4.3. Répertorions les cartes du tableau géométrique de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . 8-10 2.4.4. Fabriquons les cartes du tableau géométrique de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14

227 230 233 236

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cycle page 2.4.5. Faisons parler les tables entre elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14 239 2.4.6. Écrivons des devinettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10/10-12 244 2.4.7. Passons du tableau géométrique au tableau arithmétique de Pythagore . . . . . . 8-10/10-12/12-14 248 2.4.8. Regardons par les fenêtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-12/12-14 251 254 254 257 258 261

2.6. LES PRODUITS SE REPÈRENT SUR DES TABLEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Comptons très vite sur le pavé numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.6.2. Comptons très vite sur la roue de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8/8-10 2.6.3. Collectionnons les multiples dans un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14 2.6.4. Regardons la table à la loupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14

264 264 268 271 273

2.7. LES TABLES DE MULTIPLICATION S’ENTRAINENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Utilisons des rectangles d’un même produit et allons plus loin . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Recherchons des produits ou des facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Utilisons les dialogues entre les tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Complétons des tableaux opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5. Enchainons les opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6. Divisons avec une banque de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.7. Comparons des procédures de calcul écrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.8. Multiplions à la russe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.9. Divisons en distribuant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.10. Jouons à la marelle à cloche-pied et sans trainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.11. Jouons au valet noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.12. Jouons pour construire une table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.13. Jouons au détective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.14. Utilisons les bâtons de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275 275 276 278 279 280 281 282 284 285 286 287 288 289 290

2.8. DES BRICOLAGES : ON DEVIENT DE SAVANTS ARTISTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Aspects méthodologiques généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Des bricolages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A La forêt de pailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Le disque des tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Le rouleau des tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D. Les tables en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292 292 293 293 294 295 296

Éd

iti

2.5. LE SENS DES PROPRIÉTÉS DE LA MULTIPLICATION SE RENFORCE . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Transformons des rectangles pour que longueurs et largeurs se compensent . . . 8-10/10-12/12-14 2.5.2. Découvrons la commutativité et la compensation de la multiplication . . . . . . . 8-10/12-14 2.5.3. Distribuons les facteurs de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14 2.5.4. Représentons les produits en deux et trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10/10-12/12-14

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2.1. LES SENS DE LA MULTIPLICATION SE CONSTRUISENT 2.1.1. Réalisons des couples, organisons-les, dénombrons-les

Plan

Cycles 2,5-5 5-8

DÉROULEMENT ET CONSIGNES

Cerner les différents sens des opérations arithmétiques : ici la multiplication comme combinaison de deux cardinaux d’ensembles d’objets à coupler. (S.C. : p. 27 ; 3.1.3 ; 1re comp.)

En collectif, faire découvrir la complexité de l’organisation des couples. Face au groupe, avec eux-mêmes d’abord, avec des objets de l’environnement ensuite.

COMPÉTENCE VISÉE

Consignes

MATIÈRE EN CONSTRUCTION

Trouvez :

– Le tableau à double entrée comme représentation d’un classement selon deux critères. – Le nombre produit comme nombre de couples possibles en articulant les variables d’un premier critère avec les variables du second. – La multiplication combinaison : combiner deux nombres pour trouver leur produit.

ORGANISATION Matériel

Éd

iti

– Pour la phase collective, des objets concrets à coupler. – Pour la phase en atelier, des photos ou dessins de couples formés à partir des objets manipulés et d’autres objets intrus. – Un support quadrillé, représentation épurée d’une armoire de « rangement ». Espace et groupements

154

– combien de couples de danseurs différents on va pouvoir faire avec ces trois garçons et ces deux filles. – combien de couples de tasse-soucoupe on va pouvoir faire avec ces trois soucoupes de couleurs différentes et ces deux tasses de couleurs différentes. – combien de couples de pull-pantalon on va pouvoir faire avec ces deux pulls et ces trois pantalons. Expliquez comment vous avez construit les couples.

Laisser les enfants proposer et réaliser le couplage des éléments du premier critère avec les éléments de l’autre critère. Provoquer les échanges et faire réagir les autres : A-t-on toutes les possibilités ? En est-on sûr ? Ne fait-on pas deux fois la même chose ?

– En collectif d’abord. – Puis, en atelier de quelques enfants.

Laisser intervenir les autres pour vérifier, refaire, compléter, organiser…

Temps

Amener les enfants à constater :

Cette séquence d’apprentissage demande plusieurs activités étalées dans le temps.

On s’embrouille un peu parce qu’on fait et défait les couples… On ne sait plus où on en est… Il faudrait garder des traces…

LES ACTIVITÉS

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Lors d’une 1re séance d’atelier, donner à chaque enfant l’occasion de fabriquer des couples et d’en garder trace à partir d’un jeu de photos de chaque personnage, objet ou d’un jeu de gabarits de chaque objet (à contourner).

Sur base de ce tableau, à titre d’exemple, l’enseignant invite les enfants à exprimer les quantités.

Consignes

Exprimez : – combien de déguisements on a en tout, – combien de sortes de vêtements on a, – combien de vêtements on a dans chaque sorte.

– Fabriquez tous les couples possibles. – Organisez-les pour être certains de les avoir tous, sans en oublier, ni en répéter. – Exprimez combien il y en a.

Consignes pour les déguisements

Au départ des déguisements possibles, cela donnera par exemple : – nombre de sortes de vêtements : 2 : le pantalon, le pull

Inviter à garder trace des couples. Voici deux démarches pour l’enfant :

– nombre de vêtements de chaque sorte : 2 pour le pantalon : long, court 3 pour le pull : rouge, bleu, vert

– Soit dessiner sur une fiche, le couplage réalisé en s’inspirant des photos ou en contournant les gabarits ; – Soit retirer celui qu’il vient de fabriquer au départ d’un référentiel plus large de photos ou dessins des couples préparés par le titulaire, couples pertinents et couples non pertinents, en surplus.

Inviter à réaliser les couples en juxtaposant, en associant les photos ou les figurines.

– nombre de déguisements en tout : 6 déguisements en tout

Lors d’une 2e séance d’atelier, donner à l’enfant l’occasion d’organiser les couples et de les dénombrer L’enseignant invite à organiser les couples fabriqués par les enfants lors de l’atelier.

iti

Consignes

Éd

– Classez les couples : mettez ensemble les couples qui se ressemblent. C’est la même fille qui danse…, c’est le même pull qui est utilisé…, c’est la même tasse qui… L’enseignant peut apporter une aide aux enfants en fournissant un quadrillage et en plaçant les photos des deux sortes d’éléments de départ perpendiculairement dans la première rangée et la première colonne de ce quadrillage, au départ de la consigne : – Placez-les dans une armoire, dans un tableau.

2.1. Les sens de la multiplication se construisent

155

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Réflexions et outils méthodologiques Il faut savoir profiter de toutes les situations de vie de la classe où il faudra faire des couples, par exemples :     

(glace, biscuits) pour des desserts ; (fille, garçon) pour des danses ; (tasse, soucoupe) pour la table du gouter ; (pull, pantalon) pour se déguiser ; (pots de peinture, pinceaux) pour l’activité de graphisme.

■

Reprendre ces situations et les exploiter d’un point de vue mathématique, c’est ce qui est proposé ici.

 

Cette séquence d’activités est déjà assez complexe car elle sollicite d’établir des liens logiques dans la procédure de couplage et débouche sur une nécessaire organisation en deux dimensions pour donner du sens au nombre produit final. Au cycle 2,5-5, les enfants vont vivre le couplage sur des objets réels, dans des situations de vie, puis dans des situations simulées en tâtonnant beaucoup. Au cycle 5-8, les enfants sont appelés à raisonner, organiser leur couplage et en garder trace.

■

Il est souhaitable, avec les enfants plus jeunes, de travailler sur des ensembles de départ restreints : 2 et 3 objets (éviter le 2 × 2 qui est un cas particulier où la différenciation des deux ensembles de départ sera moins aisée). N’oubliez pas de vivre et commenter abondamment l’opération de couplage sur les objets réels, de donner ces images de couples à organiser en tableau à deux entrées ensuite et de faire s’exprimer les enfants sur les quantités véhiculées par ce type de tableau.

■

Procéder à des variations sur le tableau réalisé et déterminer ce qui changera avant la réalisation permettra aux enfants d’approfondir la fabrication de ces quantités produits : Si on avait un troisième pull en plus… Et si on n’avait plus que deux pantalons au lieu de trois…

■

À la fin des classes maternelles, les enfants sont à même de gérer des couplages de plus de deux et trois objets et de construire le principe de tableau à deux entrées.

■

Pour mener à bien ce type d’activités, les enfants doivent pouvoir dénombrer les petites quantités et déterminer le cardinal de collections. Ce type d’activité demande aussi de pouvoir positionner les couples dans l’espace, de pouvoir se déplacer selon deux directions perpendiculaires et de s’orienter selon les sens opposés : le haut, le bas, la gauche, la droite. Ce travail sur le sol précédera l’organisation sur un support mural ou sur le banc.

156

iti

Éd

■

Toutes les verbalisations vont demander l’utilisation des nombres ordinaux : première, deuxième, troisième colonne et première, deuxième rangée.

LES ACTIVITÉS

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Démarches possibles d’enfants

■

Les enfants font les associations glaces-biscuits très facilement.

■

À chaque association, ils dessinent le dessert composé. Les enfants veulent dessiner tous les détails des vignettes manipulées.

Dans une classe de 3e maternelle, l’institutrice invite les enfants à coupler des dessins de glaces avec des dessins de biscuits de façon à trouver tous les desserts possibles, à les dessiner pour en garder trace, à vérifier.

L’enseignante propose de simplifier le dessin : une boule pour la glace (brune ou jaune), et la forme du biscuit. Le dessin simple doit néanmoins être rigoureusement réalisé pour être lisible par n’importe qui. Il faut donc bien observer la forme des biscuits. Les enfants poursuivent leurs dessins de desserts et les accumulent.

■

– Oh… j’en ai deux les mêmes, j’en ai fait un de trop, je l’enlève. – Moi, je les ai tous, j’en suis sûr. – Moi, j’en ai presque pas, je n’en trouve pas beaucoup. – J’en ai 8 ! – 8 ! moi seulement 5. Je ne trouve pas les autres.

■

– Pas grave ! dit l’enseignante. – Organisez-les comme dans un étalage de magasin, pour qu’on voie bien les différentes sortes de desserts. Les enfants organisent très spontanément leurs vignettes dessinées selon un critère :

■

iti

– les gouts des glaces ; – les formes de biscuits.

Ils finissent par agencer les vignettes selon les 2 critères en faisant un tableau comme une armoire à plusieurs étages de plusieurs casiers. Ils construisent ainsi le principe du tableau à 2 entrées.

■

Éd

– T’as vu… là, c’est les colonnes et là, les allées !

Les enfants qui n’avaient pas trouvé tous les couples voient les trous dans leur tableau et les complètent.

2.1. Les sens de la multiplication se construisent

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2.1.2. Organisons des vignettes logiques, dénombrons-les

Plan DÉROULEMENT ET CONSIGNES

Cerner les différents sens des opérations arithmétiques : ici la multiplication comme combinaison de deux cardinaux d’ensembles. (S.C. : p. 27 ; 3.1.3 ; 1re comp.)

Première possibilité

Chaque enfant reçoit un jeu de vignettes logiques et un quadrillage. Consignes

8 (4 sortes de chapeaux)

ORGANISATION Matériel

Éd

iti

– Divers ensembles de vignettes logiques sur un même thème : clowns avec trois types de chapeaux différents et deux, trois ou quatre types de pantalons différents ; autres clowns avec des nœuds papillons différents et des souliers différents. – Autres ensembles de vignettes sur des thèmes différents : maisons avec trois types de toits différents et deux ou plus de deux types de façades différents ; familles d’animaux de différentes sortes et de différentes tailles ; … – Des quadrillages avec mailles du format des vignettes pour le classement. Espace et groupements En atelier de deux enfants.

158

LES ACTIVITÉS

– Classez comme dans une armoire. – Mettez dans une même rangée les vignettes de la même sorte. – Placez aussi dans une même colonne les vignettes de l’autre sorte.

– Faire s’exprimer les enfants sur l’organisation obtenue, faire mettre les critères des classements en « abscisse et ordonnée » sur le tableau. – Favoriser l’expression des enfants sur les quantités ainsi obtenues. – Pratiquer des variations et faire exprimer ce qui change(rait) dans l’organisation en armoire, dans les quantités.

(2 sortes de clowns)

MATIÈRE EN CONSTRUCTION – Le tableau à double entrée comme représentation d’un classement à deux critères. – Le nombre produit comme nombre de couples possibles en articulant les variables d’un premier critère avec les variables du second. – La multiplication combinaison :

COMPÉTENCE VISÉE

Cycles 2,5-5 5-8

Deuxième possibilité Chaque paire d’enfants reçoit un jeu de vignettes logiques différent dans lequel l’enseignant a enlevé une carte au hasard. Consignes – Étalez toutes les vignettes sur la table. – Trouvez à les organiser pour identifier la carte manquante du jeu. Il faut la dessiner et la replacer. – L’enseignant laisse les enfants chercher des organisations en fonction des caractéristiques des vignettes. – Si les enfants pataugent trop longtemps dans des étalements linéaires de vignettes, il peut proposer un vaste quadrillage sur les mailles duquel il est possible de classer ses vignettes, de mettre en ligne ou en colonne les clowns qui ont la même caractéristique. – L’enseignant veille à faire exprimer les classes de clowns réalisées, et le nombre de clowns dans chaque classe.

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Réflexions et outils méthodologiques Les vignettes peuvent être conçues selon les thèmes en lien avec l’axe des projets, de la vie de la classe ou pas.

■

Dans un premier temps, il faut laisser les enfants explorer le matériel et repérer toutes les caractéristiques possibles des vignettes : En quoi sont-elles pareilles, en quoi sont-elles différentes ? Lesquelles sont de la même famille et pourquoi ?

■

Pour amener la multiplication combinaison, il faut deux critères distincts (par exemple toits et façades) avec au moins trois variables (4 toits et 3 façades) différentes pour que la recherche soit suffisamment intéressante.

■

Les organisations en lignes uniquement ne permettent pas de voir le double critère organisateur de la quantité et de bien cerner l’objet manquant. Les enfants ne vont sans doute pas proposer l’organisation en tableau s’ils ne l’ont jamais travaillée avant. C’est pourquoi l’enseignant propose un quadrillage à plus de mailles que le nombre total de vignettes afin que les enfants continuent à chercher leur organisation.

■

iti

Le tableau à double entrée incomplet permet d’identifier plus facilement la vignette manquante ; ces propositions de tâches viennent donc en renforcement de la séquence précédente. Vous retrouvez les mêmes consignes relatives à la verbalisation comme par exemple, sur le thème des clowns : Il y a deux catégories : des petits et des grands et dans chaque catégorie, il y a 4 sortes de chapeaux différents. Les quantités 4 et 2 se croisent. Il y a 2 fois 4 clowns ou 4 fois 2 clowns. L’expression multiplicative commence à naitre.

Éd

■

Exemple de tableau dont les cases seront agrandies au format des vignettes préparées.

■

Il sera intéressant de procéder à des variations et d’exprimer ce qui changera au niveau du nombre total : Et s’il y avait des clowns moyens… Et s’il n’y avait que 3 chapeaux… Au-delà des variations, il est important de reproduire cette activité sur d’autres matériels, vers un matériel qui se dégage progressivement de l’affect de l’enfant mais qui soutient la réflexion. Nous vous renvoyons à la lecture des notes relatives au matériel concret ou abstrait, p. 121.

2.1. Les sens de la multiplication se construisent

159

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2.1.3. Réalisons des paquets, des tas

Cycles 2,5-5 5-8

Plan DÉROULEMENT ET CONSIGNES

Cerner les différents sens des opérations arithmétiques : ici, la multiplication transformation par répétition d’une même quantité. (S.C. : p. 27 ; 3.1.3 ; 1re comp.)

Chaque enfant reçoit cinq cartons à remplir pour la réalisation future d’un mobile.

MATIÈRE EN CONSTRUCTION

– Collez sur chaque carton trois perles de couleurs différentes, et gardez les trois couleurs choisies pour chaque carton. – Allez chercher les perles dont vous avez besoin dans la boite au fond de la classe, en faisant le moins de trajets possible.

ORGANISATION

Éd

iti

Matériel – Des perles de diverses couleurs dans une grande boite au fond de la classe. – Un ensemble de cartons modèles servant de soutien visuel, à laisser éventuellement au centre des tables de travail :

– Par enfant, un nombre déterminé de cartons carrés de même grandeur, comme support. – De la colle. Espace et groupements Atelier mathématique de trois à quatre enfants, à côté d’autres ateliers où d’autres activités sont en cours. Temps – Atelier d’au moins 30 minutes. – Atelier à répéter dans la durée (plusieurs semaines) pour permettre à tous les enfants d’y participer et de le vivre plusieurs fois sur divers matériaux (= prendre le temps d’apprendre).

160

– L’enseignant laisse d’abord les enfants se lancer dans la tâche sans intervenir, en les observant. – Si les enfants persistent à aller chercher les perles une à une, ou par très petites quantités, ou alors carrément en vrac et très grandes quantités, il amène la contrainte d’essayer d’aller chercher d’emblée le nombre de perles qu’il faut, dans un récipient, pour ne faire qu’un trajet :

– La notion de collection de même cardinal. – La procédure de dénombrement. – « des nombres de … » de registres différents : nombre de perles nombre de cartons (ensembles de perles) – La multiplication transformation : 5 cartons de 3 perles ou 5 × 3 perles 3 perles 5×…

Consignes 1

COMPÉTENCE VISÉE

LES ACTIVITÉS

Consigne 2 Cette fois, vous êtes très pressés. – Allez chercher les perles en une fois ! Il faut donc bien réfléchir avant. – L’enseignant peut donner à chaque enfant une boite où poser ses perles. Cela pourrait être des boites à compartiments, ce qui aiderait à distinguer les tas, pour certains enfants. – Lors des organisations à table et des réalisations : Exprimez chacun – combien de cartons sont remplis, – combien de perles sont placées sur chaque carton, – combien de couleurs de perles, – combien de perles de chaque couleur.

306_Tables_Activites_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:06 PM Page 161

Réflexions et outils méthodologiques ■

L’activité requiert que les enfants organisent les perles en 5 tas de 3 ou 3 tas de 5 à plusieurs reprises … :  en allant les chercher dans ses mains puis dans une boite,  en les réorganisant sur la table pour chaque carton,  en les collant correctement.

Ils ne vont pas réaliser d’emblée cette organisation multiplicative. Comment les amener à cette conscience de la multiplication ? Laisser d’abord un temps de travail où chacun s’implique, cherche, réalise. Puis faire dépasser la procédure tâtonnante de rassemblement de toutes les perles nécessaires, c’est-à-dire faire dépasser la non conscience de la structure en tas de même nombre, faire dépasser le dénombrement et l’action par sous-étapes de quelques perles, quelques cartons. Pour cela, il faut imposer la contrainte du trajet unique car celle-ci demande d’anticiper l’organisation des perles et leur dénombrement. Réfléchir alors avec les enfants sur comment s’y prendre.

 Que te faut-il ?  Beaucoup de perles ! Si tu les comptes une par une, tu vas t’y perdre !  Que retenir alors ?

Faire exprimer par les enfants qu’ils doivent remplir :

 des cartons… Combien de cartons ?  avec des perles… Combien de perles par carton ?

Éd

iti

L’idéal est donc bien de faire des petits paquets et de retenir combien de petits paquets et combien de perles dans chaque paquet : 3 et encore 3 et encore 3 et 3 et 3, c’est à dire 5 fois 3 mais ça peut être aussi 5 perles d’une couleur et 5 d’une autre et 5 d’une troisième couleur ou 3 fois 5. Ce sont les cartons ou les couleurs qui font exister les collections répétées. Le fait de jouer avec des couleurs différentes permet d’appréhender la commutativité de la multiplication.

■

L’expression de ce qui se fait dans cette activité est très importante. C’est effectivement à travers les mots qui accompagnent l’action que se construit l’idée de multiplication, que l’opération peut alors s’anticiper. Je devais prendre beaucoup de perles parce que j’avais beaucoup de cartons ! Mais c’était trois perles chaque fois, ça c’est facile à retenir ! Et j’avais 5 cartons, alors j’ai fait 5 petits tas dans ma grande boite ! ! !

2.1. Les sens de la multiplication se construisent

161

306_Tables_Activites_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:06 PM Page 162

Il est possible de se limiter à un seul type de collection répétée en faisant des cartons de trois perles de la même couleur. L’organisation à anticiper pour éviter plusieurs trajets est alors unique « 3 et encore 3 et encore 3, etc…ou ici 5 fois 3. » Il faut retenir le nombre de cartons : 5 et le nombre de perles par carton : 3. On n’aura pas ici le produit commuté, 3 fois 5.

■

Il est important de travailler d’emblée sur au moins trois cartons d’au moins deux perles pour se trouver devant une quantité suffisamment importante pour que les jeunes enfants ne puissent pas l’appréhender globalement, ou dénombrer aisément avec leurs connaissances numériques. Il vaut mieux d’ailleurs que ces deux nombres ne soient pas les mêmes dans un premier temps (3 cartons de 2 perles, 4 cartons de 3 perles ou de 2 perles…)

■

L’organisation spatiale des perles sur les cartons et l’ordre des couleurs n’est pas important, pourvu qu’il y ait trois perles chaque fois et les trois mêmes couleurs reprises aussi chaque fois.

■

Il est probable que certains enfants les organiseront d’emblée de façon très régulière et identique dans l’espace des cartons et que d’autres ne le feront pas du tout, les colleront de façon très disparate. C’est dans la comparaison de leurs productions que cette notion de régularité se révèlera intéressante et sera alors adoptée par d’autres enfants. Si cette comparaison ne surgit pas spontanément, il sera nécessaire de la provoquer. Il faudra RÉPÉTER ce type d’activité DE NOMBREUSES FOIS, laisser ainsi aux enfants LE TEMPS D’APPRENDRE en travaillant sur d’autres matériaux, d’autres quantités, en agissant l’opérateur « prendre plusieurs fois » et en l’exprimant de diverses manières :

 coller des (3, 4…) gommettes de formes différentes (comme boules de Noël) sur 6 petits sapins de même format, attachés en guirlande ;  faire des rangées d’empreintes (2, 3, 4…)avec des bouchons différents sur 4 rectangles de papier, (en collant les rectangles tous ensemble, faire une très longue bandelette décorative) ;  coller des coquillages différents par 4…sur 3 petites boites (à surprise) ;  charger les 5 wagons du train de bâtonnets (2, 3, 4…) de couleurs différentes pour que le train puisse partir.

■

Éd

iti

La production des enfants dans ces activités a pour but de les faire agir et anticiper la multiplication transformation (objets à aller chercher plus loin), de faire verbaliser cette opération. La production n’a pas nécessairement d’utilité concrète dans la vie de la classe. Ce sont des moments pour apprendre à « prendre plusieurs fois une même quantité » de façon de plus en plus efficace. Les réalisations de ces ateliers mathématiques peuvent néanmoins être utilisées par la suite dans des activités projets, c’est ce que suggèrent les pistes ci-dessus.

Par ailleurs, le vécu de la classe et les projets engagés ne manqueront pas d’offrir des occasions d’agir et d’anticiper à nouveau cette opération :  fabriquer 6 petits sapins de Noël avec 3 triangles de grandeurs différentes à coller (puis 4, 5…) ;  préparer 5 sachets de 2 bonbons pour chaque table du repas ;  assembler 3 box de quatre animaux du même type dans notre ferme-maquette.

162

LES ACTIVITÉS

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Démarches possibles d’enfants Les enfants de 3e maternelle sont assez à l’aise dans cette activité.

■

Certains vont chercher les perles une par une et font de nombreux trajets.

■

La majorité des enfants s’organisent : dans la boite où toutes les perles sont mélangées (ne surtout pas les trier à l’avance), ils prennent 5 perles d’une couleur en dénombrant puis 5 d’une autre couleur et 5 d’une troisième couleur. Ils font 3 trajets souvent. Quelques-uns font le tout en une fois.

■

Aucun enfant ne pense à prendre 3 perles de 3 couleurs puis encore 3, encore 3, encore 3 et encore 3.

Éd

iti

■

2.1. Les sens de la multiplication se construisent

163

310_Tables_Documents_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:10 PM Page 301

Éd

iti

TABLE DES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES

310_Tables_Documents_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:10 PM Page 302

TABLE DES DOCUMENTS REPRODUCTIBLES

No matrice

Titres

2. Les cartes pour enfants

1x1

2x2

Première famille

Table par 1 Table par 2

Table par 3 Table par 6

Table par 5

Table par 10

Éd

iti

Table par 7

3. Les tableaux organisateurs

Le référentiel individuel Tableau de Pythagore

Carré de 100

302

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Deuxième famille

Troisième famille

Table par 4 Table par 8

Cartes neutres quadrillées

1. Les quadrillages

Table par 9

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Cartes neutres quadrillées

Cartes neutres non quadrillées

Première et deuxième familles

Troisième famille, tables par 7 et 9

Géométrique quadrillé

Géométrique non quadrillé

Arithmétique complété

Arithmétique vierge

Format A4, compété

Format A4, vierge

Six petits carrés complétés

Six petits carrés vierges

Carré mosaïque de 100

Table des documents reproductibles

310_Tables_Documents_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:10 PM Page 303

5. Cartes à jouer et à associer

Des tables de/par 1, 2, 3

Des tables de/par 4, 5, 6

Des tables de/par 7, 8, 9

De la table de/par 10

Tables de 10 et de 9

Tables de 8 et de 7

Tables de 6 et de 5

4. Les réponses des tables pour le matériel collectif

Tables de 4 et de 3 Tables de 2 et de 1 Tables des multiples de 2 : dessins Tables des multiples de 2 : (suite)

42 43 44

Tables des multiples de 3 : dessins

45 46 47

Tables des multiples de 4 : (suite)

Tables des multiples de 5 : dessins

Tables des multiples de 5 : (suite)

7. Représentations rectangulaires pour retrouver le bon rectangle 8. Circuits pour bons calculateurs

Jeu n° 1

Circuits 1, 2 et 3

Roue de comptage

10. Supports pour table de… ou table par…

– Supports pour table par 4.

2.3.2

11. Activités complètes

2.3.2. Construisons une nouvelle table.

8-10

2.3.7. Reconstruisons une table.

12-14

2.3.8. Reconstruisons les tables.

12-14

iti

Jeu n° 2

Tables des multiples de 4 : dessins

Tables des multiples de 3 : (suite)

6. Représentations à associer

Éd

– Supports pour table de 8.

12. Supports pour table de… ou table par…

– Extension à d’autres tables…

M0. Grille d’analyse du matériel et de son usage. M1. Cartes du jeu des multiplications de chez Chouette. M2. Cartes tabl’AS, éditions Atzéo. M3. Multi-malin, Julie HERLEM et Mathieu POTIN. M4. Puzzle de gestion mentale, Armelle GENINET. M5. Les hexagominos multiplicatifs, Mathieu QUENEE. M6. Multimouches, jeu de société, HABA. M7. Extension à d’autres supports….

Table des documents reproductibles

303

310_Tables_Documents_q9_Tables multiplication 5/5/2017 12:10 PM Page 304

Éd

iti

13. Les cahiers de recherche élève.

304

Les activités