Utforskende undervisning i matematikk

Per Øystein Haavold (red.)

undervisning i matematikk Utforskende

Per Øystein Haavold (red.)

Utforskende undervisning i matematikk

UNIVERSITETSFORLAGET

© H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) AS ved Universitetsforlaget 2024

ISBN 978-82-15-07022-3

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel.

Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget

Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo

www.universitetsforlaget.no

Omslag: Ellen Lorenzen

Sats: ottaBOK

Trykk og innbinding: Mediehuset Andvord AS

Boken er satt med: Stempel Garamond 10,5/14

Papir: 100 g Arctic Matt

2.4

Kapittel 3

3.3

3.4

3.5

Kapittel 4

4.1 Sannhets- og forsoningskommisjonens

4.2.3

4.3 Måling: et eksempel på

4.3.1

4.3.3 Utforskende arbeid med tradisjonell samisk måling

4.4 Muligheter og utfordringer ved bruk av etnomatematikk

DEL 2 Sammenheng gjennom Undersøkende Matematikkundervisning (SUM): 91

Kapittel 5

Implementering av utforskende undervisning i skolen: SUM – Sammenheng gjennom Utforskende Matematikkundervisning ...

5.1 Samspill på forskjellige nivåer i organisasjoner .............

5.1.1 Hvordan samspill mellom forskning og praksis kan foregå på forskjellige organisatoriske nivåer ........

5.1.2 Vilkår for samspill mellom forskning og praksis ....

5.1.3 Har praksis bruk for samspill med forskning? ...... 98

5.2 SUM – et forsknings- og utviklingsprosjekt med samspill ...

5.2.1 Organisering av og bakgrunn for SUM ............ 100

5.2.2 Samspillet i overgangsgruppene .................. 102

5.2.3 Utforsking av samspill mellom forskning og utvikling i SUM på tre didaktiske nivåer ........... 103

5.2.4 Foreløpige resultater i SUM ..................... 104

5.3 Generelt om muligheter, utfordringer og vilkår for samspill mellom teori og praksis ................................ 108

Kapittel 6

Hvilken utvikling kan vi se hos lærerne som deltok i SUM-prosjektet? ............................................. 110

6.1 Læreres oppfatninger om undersøkende matematikkundervisning og undervisningspraksis ................... 110

6.1.1 Hva forteller datamaterialet innsamlet i SUMprosjektet om de deltakende lærernes utvikling? .... 113

6.2 Et hovedsakelig kvantitativt bilde av lærernes utvikling ..... 113

6.2.1 Datagrunnlag og metode ........................ 113

6.2.2 Lærernes oppfatninger om matematikk ........... 114

6.2.3 Lærernes oppfatninger om undervisning og læring i matematikk ................................. 115

6.2.4 Lærernes undervisningspraksis 117

6.3 Et kvalitativt bilde av lærernes utvikling .................. 121

6.3.1 Datagrunnlag og metode ........................ 121

6.3.2 Endringer fra før-intervju til etter-intervju .........

6.3.3 Hva kjennetegner utforskende undervisning? .

6.4 Avsluttende kommentarer ............................. 127

Kapittel 7

Hvordan kan elevers oppfatninger om matematikk og motivasjon for å lære matematikk knyttes til utforskende undervisning? Et perspektiv fra SUM-prosjektet ..............................

7.1 Tidligere forskning og teoretiske perspektiver

7.1.1 Oppfatninger .................................

7.1.2 Motivasjon ...................................

7.2 Et kvantitativt bilde av elevenes motivasjon og oppfatninger om matematikk .......................................

7.2.1 Beskrivelse av datagrunnlaget ....................

7.2.2 Analytisk tilnærming ...........................

7.2.3 Et oversiktsbilde over elevenes oppfatninger om, og motivasjon for, matematikk .....................

7.2.4 Hvordan kan elevenes motivasjon og oppfatninger knyttes til undervisningspraksiser?

7.3 Et kvalitativt dypdykk i elevenes oppfatninger og motivasjon

7.3.1 Beskrivelse av datagrunnlaget og analytisk tilnærming

7.3.2 To temaer som kan nyansere de kvantitative funnene

7.4

Kapittel 8

8.1

8.2 Representasjoner

8.5 Helhetlig tilnærming til utforskende matematikk-

Kapittel 9

Matematikkfagets bidrag til revitalisering av et utrydningstruet

9.3.3

9.4

9.4.1

9.5

9.5.1 Undervisningsopplegget ........................

9.5.2 Spørreskjemaet ................................

9.6 Et Sáhkku-problem i klasserommet ......................

9.7 Hvordan lærerstudenter opplevde sitt første møte med

9.8

Kapittel 10

Utforskende undervisning og læringsmål: Taxicab-geometri .......

10.1 Utforskende undervisning og varierende grad av lærerstyring ..........................................

10.2 Utforskende undervisning med et læringsmål: Taxicabgeometri og lineær vekst ...............................

og intensjon ................

Implementering: noen utfordringer som oppsto i undervisningsøkta

11.2 Funn fra en kasusstudie: speilprodukter som utgangspunkt ..

Kapittel 12

Elevene danner seg hypoteser og forsøker deretter å gjendrive dem ...............................

Kapittel 13

Kapittel 14 Kommunikasjon

Kapittel 15

15.4

15.5

15.6

15.6.1

Forord

Utforskende undervisning har fått en sentral plass i læreplaner i matematikk i Norge og andre land de siste årene. En viktig årsak er at utforskende undervisning antas å kunne motvirke barn og unges stadig fallende interesse, motivasjon og læring i matematikk (se for eksempel Artigue & Blomhøj, 2013; Liljedahl & Cai, 2021). I 2006 konkluderte et innflytelsesrikt ekspertutvalg, nedsatt av Europakommisjonen, at utforskende undervisning kan styrke elevers interesse for og læring i realfag, og dermed burde erstatte den mer tradisjonelle og lærerstyrte undervisningen som dominerte europeiske skoler (Rocard et al., 2007). I Norge konkluderte Ludvigsen-utvalget liknende og anbefalte utforsking som et sentralt kompetanseområde i framtidens norske skole (NOU, 2015:8). Dette kan vi også se tydelig i den nye læreplanen i matematikk, der utforsking er både et kjerneelement og ofte nevnt i de enkelte kompetansemålene.

Som følge av satsingen har det blitt forsket mye på utforskende undervisning i matematikk. Denne forskningen har gitt oss kunnskap om hvordan matematikkundervisningen kan bli mer utforskende, og hvordan utforskende undervisning kan ha en positiv innvirkning på elevers motivasjon og læring i matematikk (Lazonder & Harmsen, 2016). Likevel er det fremdeles uklart hvordan utforskende undervisning kan inkluderes systematisk i undervisningen, og hvilke forutsetninger som må være til stede for at utforskende undervisning skal ha en positiv effekt på elevers motivasjon og læring i matematikk (Lester & Cai, 2016).

Denne vitenskapelige antologien er en respons på et økende behov for å forstå og implementere utforskende undervisning i praksisfeltet. Antologien er også et resultat av forsknings- og utviklingsprosjektet Sammenheng gjennom Utforskende Matematikkundervisning (SUM), som gikk i 2017–2022 og ble ledet av Forskningsgruppa i Matematikkdidaktikk ved UiT Norges arktiske universitet i Tromsø. SUM ble finansiert av Norges forskningsråd, og mer enn 50 lærere og barnehagepedagoger fra Nord-Norge deltok i prosjektet. Målet med prosjektet var å nettopp styrke elevers motivasjon og læring i matematikk gjennom hele utdanningsløpet og på tvers av viktige overganger. Dette skjedde

ved at forskere, lærere og barnehagepedagoger samarbeidet tett over fire skoleår om å utvikle, utprøve og evaluere utforskende undervisning i praksisfeltet.

Før, under og etter prosjektet ble det gjennomført en rekke systematiske undersøkelser for å kunne svare på sentrale problemstillinger knyttet til utforskende undervisning i matematikk. Med 15 kapitler fordelt på fire deler gir denne antologien en både helhetlig tilnærming til utforskende undervisning i matematikk og mer inngående analyser av avgrensede problemstillinger. Målet er at leseren skal få en bedre forståelse for hva utforskende matematikkundervisning er, hvordan det kan se ut på forskjellige klassetrinn, hva som kreves for å lykkes, og, ikke minst, hva læringsutbyttet kan være.

Dette er en fagfellevurdert antologi skrevet av medlemmer av Forskningsgruppa i matematikkdidaktikk ved UiT. Vi mener at boka er et viktig bidrag til forskningslitteraturen om utforskende undervisning. Vi håper den vil være et nyttig verktøy for forskere, lærere og skoleledere som arbeider for å forbedre matematikkundervisningen gjennom utforskende tilnærminger. Vi takker alle bidragsytere for deres engasjement og innsats i å bringe denne antologien til live, og vi ser fram til de positive endringene den vil inspirere til i klasserom over hele landet.

Bokas oppbygging

Del 1 forsøker å avklare hva utforskende undervisning i matematikk er. Dette er både et viktig og ambisiøst mål, ettersom forsknings- og faglitteraturen om utforskende undervisning er både inkonsistent og uklar. For å nå dette målet drøftes og avgrenses fire grunnleggende dimensjoner av utforskende undervisning i fire kapitler:

I kapittel 1 forsøker Jan Roksvold å besvare spørsmålet «Hva er utforskende undervisning?» og å gi en definisjon av begrepet på et idéhistorisk grunnlag. Som matematikklærer er det viktig å kunne vurdere hvordan utforskende undervisning kan realiseres i praksis. Morten Blomhøj og Per Øystein Haavold beskriver og forklarer i kapittel 2 hvordan utforskende undervisning kan omgjøres fra abstrakt begrep til konkrete kjennetegn, prinsipper og råd lærerne kan benytte i egen praksis. Kapittel 3 utgjør en litteraturstudie der Jan Roksvold og Per Øystein Haavold forsøker å svare på hva effekten av utforskende undervisning er. De drøfter også hva «effekt» egentlig betyr i denne sammenhengen, og knytter det til forskjellige utfallsmål som blant annet læringsutbytte og motivasjon. Kapittel 4 handler om samisk etnomatematikk. Der viser Anne Birgitte Fyhn, Anna Kaisa Partapuoli, Ann-Synnøve Steinfjell og Pia-Maria Labba hvordan en utforskende tilnærming kan belyse sammen-

henger mellom kultur, språk og matematikk. Kapittelet har et særlig søkelys på hva samisk matematisk praksis kan være, og hvordan matematikklærere kan bidra til at samisk kultur blir identifisert og verdsatt på kulturens premisser.

Del 2 av antologien består av tre kapitler som omhandler SUM-prosjektet.

I dette fireårige FoU-prosjektet samarbeidet lærere og forskere om å utvikle, utprøve og evaluere undervisning i matematikkundervisningen i skolen – fra barnehage til videregående skole. SUM brukes her som et konkret utgangspunkt for å vise hvordan undersøkende undervisning kan implementeres i praksisfeltet på måter som er relevante for lærere, kommende lærere og lærerutdannere.

I kapittel 5 belyser Morten Blomhøj og Per Øystein Haavold vilkår, utfordringer og muligheter for samspill mellom teori og praksis i matematikkdidaktikk der målet er å utvikle matematikkundervisningen i skolen. Hvilken utvikling kan vi se hos lærerne som deltok i SUM-prosjektet? Spørsmålet besvares i kapittel 6, der Ida Friestad Pedersen og Per Øystein Haavold presenterer empiriske resultater basert på analyser av data fra individuelle intervjuer og spørreskjemaer besvart av lærere ved oppstarten og ved avslutningen av SUM-prosjektet. Tidligere forskning indikerer at utforskende undervisning har potensial til å fremme både elevers motivasjon for å lære matematikk og deres holdninger til faget. Pedersen og Haavold undersøker i kapittel 7 hvordan elevers oppfatninger om matematikk og motivasjon kan knyttes opp til utforskende undervisning. Analysen baserer seg på data fra spørreundersøkelser med elevene ved slutten av prosjektperioden og er videre supplert med kvalitative data fra intervjuer med elever.

Del 3 består av fem kapitler som beskriver og belyser konkrete caser av undervisningsopplegg som ble utprøvd eller utviklet i SUM-prosjektet. Delen har to mål: 1) Vise hvordan utforskende matematikkundervisning kan se ut på forskjellige trinn og i forskjellige kontekster. Her vises en stor variasjon i hvordan undervisningen kan tilpasses alderstrinn, tema, kompleksitet og aktivitetenes «åpenhet», som igjen viser bredden og dybden av begrepet utforskende matematikkundervisning. 2) Benytte casene som gode eksempler på vanlige utfordringer og muligheter som presenterer seg når lærere tar i bruk utforskende aktiviteter.

I kapittel 8 tar Geir Olaf Pettersen, Monica Volden og Guro Moe utgangspunkt i utforskende mønsteraktivitet i barnehage og begynneropplæringen. Målet er å undersøke hvilke muligheter og utfordringer som kan oppstå i utforskende matematikkundervisning med små barn, og forfatterne tar særlig for seg oppsummeringsfasen i undersøkende undervisning. Det samiske, nesten utdødde, brettspillet Sáhkku ble introdusert og prøvd ut i matematikkundervisningen i Unjárga/Nesseby gjennom SUM-prosjektet. Kapittel 9

viser hvordan utforskende matematikkundervisning kan relateres til samisk kultur og belyser hvordan man kan planlegge for uforutsigbarhet i utforskende undervisning, ettersom hverken forskere eller lærere visste hvordan dette ville gå. Det kan være utfordrende å undervise utforskende med utgangspunkt i kompetansemål i læreplanen. Per Øystein Haavold og Ida Friestad Pedersen undersøker i kapittel 10 1) hvordan lærere kan knytte læreplanmål og læringsmål til utforskende undervisning, og 2) hvilke utfordringer som kan oppstå i utforskende undervisningsopplegg. Forfatterne tar utgangspunkt i såkalt Taxicab-geometri, et utforskende undervisningsopplegg om lineær vekst og proporsjonalitet. Siden et grunnprinsipp for utforskende matematikkundervisning er at elevene skal jobbe på samme måte som matematikere jobber, er det nødvendig at også utgangspunktet for undervisningen stimulerer til dette. I kapittel 11 argumenterer Jan Roksvold for at den matematiske patologien kan være et slikt egnet utgangspunkt. Utforskende undervisning deles vanligvis inn i tre faser: iscenesettelse, utforsking og oppsummering. I kapittel 12 ser Thomas Frantzen Eidissen og Ove Gunnar Drageset nærmere på den tredje fasen, der elevene skal dele ulike strategier. Forfatterne belyser hvordan læreren kan møte utfordringen som består i at elevene vil ha ulik progresjon når tiden er inne for oppsummering.

Del 4 omhandler utforskende undervisning og den nye læreplanen i matematikk. En av de største endringene i den nye læreplanen er innføringen av seks såkalte kjerneelementer i fagene. Til tross for at kjerneelementene trekkes fram som «det viktigste faglige innholdet», er enkelte av beskrivelsene korte og lite hjelpsomme. Vi ser nærmere på noen av kjerneelementene og utdyper noen viktige kjennetegn på kjerneelementene som også vil påvirke klasseromsundervisningen – og da særlig ved utforskende undervisning.

I kapittel 13 argumenterer Per Øystein Haavold og Eirin Stenberg for at kjerneelementet utforsking og problemløsing i fagfornyelsen ikke kan reduseres til planlagte trinn, faser og oppskrifter – eller innlærte mentale snarveier og strategier, som også ofte nevnes. Det som mangler i en slik framstilling, er hensynet til spontane idéer og innsikt som tilsynelatende kan dukke opp fra intet. Ove Gunnar Drageset og Thomas Frantzen Eidissen tar videre for seg kjerneelementet representasjon og kommunikasjon i kapittel 14. Forfatterne merker seg at kjerneelementet kobler kommunikasjon tett opp mot elevens utvikling av et matematisk språk, og at en viktig del av denne utviklingen er å lære ulike representasjoner for matematiske begreper. Men, argumenterer forfatterne, kommunikasjon i matematikk kan bidra med mer, som å lære elevene å aktivt lytte til hverandre, å formidle sine tanker og delta demokratisk i en diskusjon. I kapittel 15 tar Alv Birkeland for seg kjerneelementet resonnering og argumentasjon. Dette kjerneelementet handler om å kunne følge og forstå

matematiske tankerekker, utforme egne resonnement og om begrunnelser og bevis. Der bevis står sentralt i matematikk som vitenskap og forskningsaktivitet, gjør man matematikk annerledes og på andre premisser i skolen. Forfatteren spør hvordan elevene kan ha utbytte av bevis, og om de i det hele tatt ser behovet for bevis i skolen. Birkeland knytter også kjerneelementet til utforskende undervisning når han viser hvordan det å finne og lage matematiske bevis er en utforskende og problemløsende aktivitet.

Tromsø, juni 2024

Per Øystein Haavold

Kapittel

1

Hva er utforskende matematikkundervisning?

Jan Roksvold

I dette kapittelet skal vi drive klappjakt på begrepet utforskende matematikkundervisning. Klappjakt gjøres ikke så ofte på begreper, men det er til gjengjeld svært vanlig på fasaner. Jaktlaget deler seg i to, og mens noen posteres i bakhold, går hovedstyrken i en stor halvbue rundt området fasanene antas å oppholde seg i, før den – i manngard – driver fasanene mot det ventende bakholdet.

Begreper og fasaner er naturligvis forskjellige på en rekke punkter, men de kan begge være flyktige: På tross av at utforskende matematikkundervisning har vært gjenstand for atskillig, og til dels påkostet, forskning, og selv om det står sentralt i flere lands læreplaner, er det et begrep som iblant sies å savne en omforent definisjon (se for eksempel Dorier & García, 2013, s. 837). Et begrep kan være nyttig selv om det mangler en omforent definisjon, og utforskende matematikkundervisning er trolig et begrep med en viss iboende vaghet, men om vi avfinner oss med et begreps vaghet, må all vår kunnskap om begrepet måtte forbli minst like vag som begrepet selv. For best å kunne lære mer om utforskende matematikkundervisning må vi derfor forsøke å fange begrepet. I stedet for å søke rett til de eksisterende definisjonene skal vi altså foreta en utflankering: Vi skal gå omveien om det jeg påstår er de tre store idéene som ligger bak utforskende matematikkundervisning. Med disse tre idéene skal vi drive begrepet foran oss, rett mot to eksisterende definisjoner, som ligger i bakhold lenger framme i kapittelet. Om alt går etter planen, vil begrepet da være omringet av de bakenforliggende idéene på den ene siden, og definisjonene på den andre.

Definisjon 1

Definisjon 2

2

1

3

Figur 1.1. Mulig framgangsmåte ved klappjakt på begrep.

Vårt jaktredskap vil være et gammelt didaktisk verktøy av ukjent datering og opphav (Imsen, 2020b): Om vi lar undervisningens tre komponenter – lærer, elev og innhold – danne hjørnene i en likesidet trekant, får vi en såkalt didaktisk trekant.

Figur 1.2. Den didaktiske trekanten.

Idé

Idé

Idé

Innhold

Lærer Elev Samspill Framstilling Erfaring

Kapittel 1 Hva er utforskende matematikkundervisning? 23

Sidene i trekanten skal representere interaksjonen mellom hjørnene, og figuren kan derfor egne seg til å forstå og til å beskrive en undervisningssituasjon, en undervisningsform eller en didaktisk idé.

1.1 De tre bakenforliggende idéene

De tre idéene som jeg hevder at utforskende matematikkundervisning bygger på, er idéen om en pedagogikk sentrert rundt eleven, idéen om læring ved gjenoppdaging og idéen om læring som sosialt og kulturelt betinget. At det er nettopp disse tre som er de bakenforliggende idéene, får inntil videre stå som en formodning. Begrunnelsen, når den kommer, vil bestå i at kombinasjonen av de tre idéene resulterer i noe som ligger tett opptil to eksisterende, autoritative definisjoner av utforskende matematikkundervisning.

Ingen av de tre idéene er særegne for matematikk, men idéen om læring ved gjenoppdaging har både en egen tradisjon og en spesiell kraft innen matematikkundervisning.

De tre idéene er ikke uten sammenheng med hverandre, men de er likevel nokså distinkte, og ingen av dem er inneholdt i de andre to. Jeg vil derfor legge fram idéene enkeltvis og oppsummere og illustrere hver av dem ved hjelp av den didaktiske trekanten.

1.1.1 Idéen om en pedagogikk sentrert rundt eleven

Er skolen en plass der læreren lærer bort, eller er den en plass der barnet lærer?

Det høres ut som en falsk todeling, men valget av perspektiv har betydning for undervisningens form og innhold. I en undervisningssituasjon er det «noe» som skal undervises til «noen», og i mesteparten av undervisningens historie har «noe» blitt vektlagt framfor «noen» (Lyngsnes & Rismark, 2014, s. 40).

Det første klare bruddet med denne såkalte formidlingstradisjonen kom ikke før på 1700-tallet, da den franske filosofen Rousseau (1712–1778) gjennom boka Emile tok til orde for en utdanning med utgangspunkt i elevens egeninteresse og lærelyst. Idéen brukte lang tid på å slå rot, men i perioden fra rundt 1890 flyttet fokuset i pedagogikken seg fra faget og lærerens undervisning av faget til eleven og elevens læring (Vaage, 2000, s. 31). En elevsentrert pedagogikk vokste fram, og ifølge den svenske pedagogen Ellen Key skulle det 19. århundret bli «barnets århundre». Bevegelsen, som i virkeligheten besto av mange mindre bevegelser (Vaage, 2000, s. 34), inntraff omtrent samtidig i mange land i Europa og i USA. I Norge går den under navnene reformpedagogikk eller progressivisme.

Emile – eller om oppdragelse ble skrevet av Rousseau i 1762 og er dels roman, dels pedagogisk avhandling. «Oppdragelsen får vi fra naturen, fra mennesker eller ting. Den indre utvikling av våre evner og organer er naturens oppdragelse; å gjøre bruk av denne utviklingen lærer vi ved menneskets oppdragelse, og erhvervelsen [sic] av egne erfaringer med gjenstander som vedrører oss, er tingenes oppdragelse» (Rousseau, 2010, s. 19), skriver Rousseau i begynnelsen av boka.

En elevsentrert pedagogikk tuftet på elevens intellektuelle frihet var et tilbakevendende tema i forfatterskapet til den amerikanske filosofen og pedagogen John Dewey (1859–1952). Han hadde en egenartet innfallsvinkel som gjør forbindelsen mellom en elevsentrert pedagogikk og utforskende matematikkundervisning spesielt tydelig: Hos Dewey er idéen om en elevsentrert pedagogikk ensbetydende med idéen om å utdanne en demokratiets medborger. Og de individuelle egenskapene som ifølge Dewey kreves av en demokratiets medborger, er nettopp slike egenskaper som utforskende matematikkundervisning iblant hevdes å kunne utvikle hos eleven – egenskaper og ferdigheter som i dag går under betegnelsen «21st century skills». Jeg vil derfor la Dewey være reformpedagogikkens talerør i denne teksten. Til sammenlikning har vi den italienske reformpedagogen Maria Montessori, opphavskvinnen til den elevsentrerte pedagogikken som praktiseres i montessoriskoler verden over. Hun skriver at «den nye oppdragelsens mål er først og fremst å oppdage barnet og befri det» (Montessori, 2009, s. 72). Hos Montessori er det altså først og fremst hensynet til barnet selv som ligger bak den elevsentrerte undervisningsfilosofien, ikke barnet som et instrument for demokrati.

«21st century skills» betegner ferdigheter som går ut over de grunnleggende ferdighetene lesing, skriving og regning, men som hevdes å være spesielt viktige i det 21. århundret: ferdigheter som kreativitet og evne til nyskaping; kommunikasjon og samarbeid; kritisk tenking, problemløsing og beslutningstaking.

Hos Dewey er demokrati noe mer enn bare en styringsform. En formulering han selv brukte, var at demokratiet er «en personlig form for individuelt

Kapittel 1 Hva er utforskende matematikkundervisning? 25

liv [som] innebærer at man har og uopphørlig praktiserer visse holdninger» (Dewey, 1939/2000, s. 265). Slik blir demokrati noe personlig med utspring i individet – en livsanskuelse – mens et demokratisk styre blir et uttrykk for, og en forlengelse av, samfunnsborgernes «vanemessige dominerende holdninger» (Dewey, 1939/2000, s. 265). Med andre ord: Det er demokratiske individer som skaper et demokratisk samfunn, ikke omvendt. Spesielt var han opptatt av demokrati som retten til intellektuell individualitet, altså retten til å leve ut sine anlegg og interesser, og i sitt såkalte pedagogisk credo understreket han derfor viktigheten av at læreren hele tiden legger merke til barnets interesser (Dewey, 1897/2000b, s. 63).

Idéen om en elevsentrert pedagogikk medfører at både lærer og elev får omskrevet sine roller, på en måte som gjør dem mer likestilte. Læreren er ikke lenger kunnskapens eneste kilde, men i stedet et medlem av læringsfellesskapet (Dewey, 1897/2000b, s. 59), og eleven er ikke lenger bare passiv mottaker, men en som utøver sin intellektuelle frihet i meningsbrytning med både lærer og medelever. Som et steg på veien til å skape medborgere i demokratiet får vi dermed også en slags demokratisering av det enkelte klasserom. Et demokrati må ifølge Dewey ikke bare opprettholdes og utvikles, men til og med gjenskapes, og ettersom demokrati springer ut fra holdninger i individet, bør denne gjenskapingen skje i det enkelte barn. Som han skrev ved inngangen til andre verdenskrig: «I praksis betyr det at dagens sterke fiender av demokratiet bare kan bekjempes ved dannelsen av personlige holdninger hos hvert enkelt menneske» (Dewey, 1939/2000, s. 265). Og siden skolen er «samfunnets fremste og mest effektive instans for sosialt fremskritt og reform» (Dewey, 1897/2000b, s. 65), blir spørsmålet derfor: Hva slags utdanning kan danne individualiteten og den kreative intelligensen som vil tjene en (fortsatt) demokratisk utvikling (Vaage, 2000, s. 37)?

En doserende, monologisk undervisning kunne ikke være svaret, for siden demokrati forutsetter personlig og frivillig deltakelse når beslutninger skal tas og iverksettes, betraktet Dewey demokrati som det motsatte av idéen om indoktrinering. Han etterlyste i stedet en skole der individuelle behov og anlegg respekteres og kultiveres: «Vi vet ikke, og kan ikke vite, hva barnet vil bli, hverken i yrkes- eller sosial sammenheng. Å forsøke å utdanne det betyr å utdanne det for nåtiden, og når framtiden så kommer, står det fast eller havarerer. Den eneste måten å utdanne det på til en fleksibel framtid er å gjøre det fullt ut til herre over seg selv og over sivilisasjonens metoder» (Dewey, 1897/2000a).

Til idéen om en elevsentrert pedagogikk hører altså at metoder, tilnærmingsmåter, selvbestemmelse og kritisk tenking vektlegges mer enn faktaorientert kunnskap.

Dewey opprettet en «laboratorieskole», tilknyttet universitetet i Chicago, der han kunne prøve ut de progressive idéene i praksis.

Idéen om en elevsentrert pedagogikk nådde også norske klasserom. Læreren og forfatteren Anna Sethne (1872–1961) var inspirert av både Montessori og Dewey, og da den reformpedagogiske interesseorganisasjonen «Norsk seksjon av verdensforeningen for ny oppdragelse» ble stiftet, i 1929, var det med Sethne som leder (Vaage, 2000, s. 32). I et tilbakeblikk beskriver hun tankene som lå til grunn da hun som komitémedlem var med på å utforme Norges første læreplan, normalplanen av 1939: «Litt etter litt er den oppfatning blitt rådende på pedagogisk hold, at det ikke lønner seg å bruke så stor del av barnets tid på utenat-læring og opphøring [sic]. Hensynet til barnet, til dets evner, krefter og utvikling, må være det avgjørende ved undervisning og læring, ikke hensynet til stoffet» (Sethne, 1953, s. 57).

Elevsentrert pedagogikk oppsummert i den didaktiske trekanten I den didaktiske trekanten er som regel innholdet plassert i det øverste hjørnet, og denne plasseringen er ikke tilfeldig – trekanten ble mye brukt innen en tysk didaktikktradisjon der fag og innhold ble tillagt størst betydning (Imsen, 2020b, s. 175). For å framstille idéen om en elevsentrert pedagogikk bør vi derfor begynne med å tegne trekanten slik at eleven havner øverst.

Innholdet springer ut fra elevens anlegg og interesser, slik at elevens beskjeftigelse med innholdet drives av nysgjerrighet. Det er framtidsrettet i den forstand at evnen til å tilegne seg kunnskap betones på bekostning av ferdig prosessert, faktaorientert kunnskap.

For at elevens beskjeftigelse med innholdet skal lede til de selvstendige og kritiske holdningene og tenkemåtene som demokratiet fordrer, er lærerens framstilling udogmatisk og dialogisk, i motsetning til den monologiske undervisningstradisjonen som reformpedagogene kritiserte.

1.1.2 Idéen om læring ved gjenoppdaging

Gjennom dialogen Menon argumenterer Platon for at all læring egentlig er en form for erindring. I Platons filosofi er sjelen evig og uforanderlig, og læring, slik vi kanskje er vant til å tenke på den, som en endring, ville i så fall ha vært en endring av noe uforanderlig – altså en umulighet. Platon anskueliggjør teorien ved å la en slave helt uten geometrikunnskaper «konstruere» et kvadrat

Elev Nysgjerrig

• Dialogisk

• Egalitært

Samspill

Lærer

Del av et læringsfellesskap

Framstilling

• Tar utgangspunkt i elevens interesser og anlegg

• Udogmatisk

• Kritisk og spørrende

• Drevet av elevens nysgjerrighet og interesse

Erfaring

Innhold

Har utgangspunkt i elevens interesser og anlegg

med dobbelt så stort areal som et gitt annet kvadrat, uten annen veiledning enn Sokrates sine spørsmål. Slaven har da tilsynelatende lært noe innenfor geometri, men av hvem?

Dialogen mellom Sokrates og slavegutten var Platons illustrasjon av én bestemt epistemologisk teori, men vi kan også se dialogen som et tidlig eksempel på det jeg her vil kalle læring ved gjenoppdaging: undervisning der den som lærer, ikke blir presentert det som skal læres, men i stedet må oppdage eller utlede det selv. «Det som skal læres», er i denne sammenheng et stykke fagkunnskap, som for eksempel formelen for arealet til en trekant. Læreren kan tilrettelegge for gjenoppdaging ved å presentere eleven for en situasjon som både innbyr til undring og undersøkelse og har en klar forbindelse til fagkunnskapen som kan gjenoppdages.

En systematisk og bevisst bruk av gjenoppdaging i undervisning oppsto først som en del av reformpedagogikken. Idéen om å bygge undervisningen rundt elevens vitebegjær harmonerte godt med reformpedagogenes mål om en elevsentrert pedagogikk, og særlig i Deweys undervisningsfilosofi står elevenes undersøkelse («inquiry») sentralt; siden demokratiet bygger på retten til og ansvaret for selvstendige undersøkelser, er en undervisning der elevene får etterlikne voksne forskere gjennom selvstendig undersøkelse og gjenoppdaging, best egnet til å skape samfunnsborgeren demokratiet fordrer. Den mest verdi-

Figur 1.3. Elevsentrert pedagogikk oppsummert i den didaktiske trekanten.

fulle kunnskapen kan ikke læres bort, i tradisjonell forstand, for den «består ikke i informasjon, men i en form for intelligent praksis, en vanemessig mental disposisjon. Bare ved å få være med på å generere kunnskap, ved å omdanne gjetninger og meninger til overbevisninger autorisert av undersøkelser, kan en noensinne få kunnskap om viten som metode» (Dewey, 1910/2000, s. 169).

Idéen om læring ved gjenoppdaging savnet lenge et empirisk vitenskapelig grunnlag, men etter inngående studier av barns læring utviklet den sveitsiske psykologen Jean Piaget (1896–1980) teorien som av mange betraktes som læring ved gjenoppdaging sitt rasjonale (Imsen, 2020a, s. 155): at kunnskap aktivt konstrueres i den enkelte på bakgrunn av erfaringer, og at denne konstruksjonen skjer gjennom enten assimilasjon (når ny erfaring passer med den eksisterende kunnskapen til den som lærer) eller akkomodasjon (når det nye står i konflikt med den eksisterende kunnskapen til den som lærer). Eller for å si det på en annen måte: Kunnskap oppstår ved at mennesket aktivt bearbeider sitt inntrykk av verden. Den som lærer, må dermed ses som et aktivt, handlende subjekt, ikke som et passivt objekt som tar imot – eller fylles opp med – kunnskap (Lyngsnes & Rismark, 2014, s. 66). Denne teorien passer godt med idéen om læring ved gjenoppdaging, men vi må huske at Piagets kon-

Assimilasjon

Akkommodasjon

Figur 1.4. Illustrasjon av de to måtene læring skjer på, ifølge Piaget. (Takk til Pål Anders Opdal for figuren.)

29

struktivisme er en deskriptiv teori om hvordan all læring faktisk skjer – den er ikke en normativ undervisningsfilosofi om hvordan undervisning bør skje (for eksempel gjennom gjenoppdaging). Omsettingen fra en konstruktivistisk læringsteori til undervisningspraksis og læreplan er hverken direkte eller opplagt, og problemstillingen skulle bli et omdreiningspunkt for forskningen til den amerikanske psykologen Jerome Bruner (1915–2016) – en pioner innen studiet av hukommelse og læring. Ifølge Bruner har læring ved gjenoppdaging flere fordeler sammenliknet med tradisjonell undervisning. I tillegg til den ekstrafaglige gevinsten, som handler om motivasjon, holdninger til faget og tilegning av problemløsingsstrategier, formodet han at siden ting huskes bedre desto dypere de behandles i hjernen, vil ting som gjenoppdages, huskes bedre enn ting vi får presentert (Bruner, 1961).

Bruner var en av forholdsvis få amerikanske psykologer som kjente til forskningen til Vygotskij, og med begrepet «stillasbygging» (Wood et al., 1976) videreutviklet han og hans kolleger det som Vygotskij kalte for den nærmeste utviklingssonen. Ved å stille spørsmål, gi hint og så videre kan læreren «bygge et stillas» som hjelper eleven å gjenoppdage. Stillasbygging er et viktig konsept innenfor utforskende matematikkundervisning både fordi det inngår i lærerrollen, og fordi graden av stillasbygging kan brukes til å skille ulike former for utforskende matematikkundervisning fra hverandre (se for eksempel Tafoya et al., 1980, der det skrives om ulike grader av utforskende undervisning).

De tre idéene som jeg påstår at ligger til grunn for utforskende matematikkundervisning, tror jeg nok ligger til grunn for utforskende undervisning også i andre fag. Men læring ved gjenoppdaging har en spesiell tradisjon – og også en spesiell kraft – innen undervisningsfaget matematikk. Jeg tror det er tre hovedgrunner til at matematikkundervisning er en velegnet arena for akkurat denne idéen.

Den første grunnen er at innenfor alle områder og nivåer av matematikk finnes det et vell av lett tilgjengelige, lovmessige sammenhenger som elevene kan få gjenoppdage. Det samme kan ikke sies om de andre undervisningsfagene – selv ikke i de andre naturfagene er regelmessighetene og mønstrene like lett tilgjengelige som i matematikkfaget, der de kan gjenoppdages uten andre instrumenter enn fornuften.

Den andre grunnen er at i matematikk kan selve forklaringen på det som gjenoppdages, som regel også gjøres til gjenstand for elevenes gjenoppdaging. Slik at etter gjenoppdagingen av et mønster eller en sammenheng kan elevene fortsette til neste fase, som blir å gjenoppdage en forklaring, i stedet for at utforskingen avsluttes.

Den tredje grunnen er at det finnes en lang tradisjon for bruk av problemer og problemløsing i matematikkundervisning, og gjenoppdaging gjennom pro-

blemløsing er et spesialtilfelle av læring ved gjenoppdaging. Egyptologer og andre oldtidshistorikere forteller oss at problemer alltid har hatt en viktig rolle i matematikkundervisning, men da som regel for å konsolidere, teste eller anvende fagkunnskap som er tilegnet på annet vis. Allerede i dialogen Menon får vi se konturene av en annen mulighet: Med utgangspunkt i et klart avgrenset problem – og med Sokrates som overivrig stillasbygger – får slavegutten gjenoppdage sammenhengen mellom sidelengder og areal, et stykke fagkunnskap. Forslaget om en systematisk bruk av problemløsing som en måte å tilegne seg ny fagkunnskap på er imidlertid av langt nyere dato: En slik problembasert matematikkundervisning spores hovedsakelig tilbake til den ungarske matematikeren og matematikkdidaktikeren George Pólya (1887–1985) (Schoenfeld, 1987). I boka How to solve it (Pólya, 1945/1990) legger han fram en generisk metode for å løse matematiske problemer, altså tenkemåter som vil kunne hjelpe en å løse et hvilket som helst matematisk problem. Pólya formulerte disse tenkemåtene som spørsmål, som for eksempel «Har du sett et liknende problem før?» eller «Kan du løse et enklere, beslektet problem?» – spørsmål en lærer kan stille en elev. Med Pólyas metode virket det med ett klart både at man kan lære bort det å tenke, og at man kan lære det bort samtidig som man lærer bort ny matematikk.

Pólyas metode for å løse et matematisk problem består av fire steg:

1) Forstå problemet

2) Lag en plan

3) Gjennomfør planen

4) Se tilbake på det du har gjort.

Som hjelp til hvert av disse fire stegene foreslår han spørsmål som en problemløser kan stille seg selv, eller som en lærer kan stille en elev.

Hver av disse tre grunnene handler om tilgjengelighet — tilgjengelighet av noe å gjenoppdage, tilgjengelighet av begrunnelser og tilgjengelighet av matematiske problemer som undervisningen kan ta utgangspunkt i.

Læring ved gjenoppdaging oppsummert i den didaktiske trekanten

Når vi skal framstille idéen om læring som gjenoppdaging ved hjelp av den didaktiske trekanten, er det klart at undervisningens innhold må fange elevens

Utforskende undervisning har fått en sentral plass i norsk skole de siste årene og hevdes å kunne motvirke barn og unges stadig fallende interesse, motivasjon og læring i realfag. Politikere og utdanningsbyråkrater argumenterer for at mer utforskning i skolen kan bidra til verdiskapning på samfunnsnivå og livsmestring på individnivå.

Men hva sier forskningen om utforskning i matematikkundervisningen?

Med utgangspunkt i forskning gir boken svar på sentrale problemstillinger knyttet til utforskende undervisning i matematikk. Målet er at leseren skal få en bedre forståelse for hva utforskende matematikkundervisning er, hvordan det kan se ut på forskjellige trinn i utdanningsløpet, og, ikke minst, hva læringsutbyttet kan være. Med et klart og direkte språk setter forfatterne søkelys på matematikkundervisning i praksis.

Utforskende undervisning i matematikk er en fagfellevurdert, vitenskapelig antologi skrevet av medlemmer i Forskningsgruppa i matematikkdidaktikk ved UiT Norges arktiske universitet. Den er skrevet i etterkant av et større forskningsprosjekt om utforskende undervisning finansiert av Norges forskningsråd.

Boken vil være nyttig for lærerutdannere, lærerstudenter, lærere og alle som ønsker å lære mer om utforskende undervisning i matematikk.