ALGEBRA OG
Kalkulus og lineæralgebra
Kalkulus og lineæralgebra
ArneHole
og innbinding Livonia Print
α η ν τ β θ ξ υϒ γ ι o φ δ κK π χ ε λ ρ ψ ζ μ σ ω a b = b a a b α β = β α α β , . ( , ) ∗ ∗∗
2 3 6 9 14 15 17 19 21 24 26 33 37 41 44 46 50 55 62 70 76 79 84 89 91 94 96 101 104 108 112
114 116 118 128 130 132 134 138 140 142 143 144 154 156 161 166 169 171 172 174 176 178 181 183 187 190 194 200 204 207 210 212 215 216 222 230 232 234
236 238 241 247 250 260 262 272 280 282 288 291 298 300 304 309 314 320 326 331 342 348 351 353 359 364 367 371 376 379 382 384 390 394 398
402 406 408 410 420 422 429 432 435 438 444 450 456 460 466 469 473 478 482 490 496 500 505 515 518 522 532 538 546 551 554 557 563 574 582 586 594 601
604 608 610 615 622 624 626 628 632 638 641 648 651 656 658 660 662 672 676 681 689 695
Elementer
, , ,...
Kapittel 1 Grunnlagsstoff
√
• Direktebevis
• Bevisvedmotsigelse
galt
• Kontrapositivtbevis
• Induksjonsbevis
kapittel Grunnlagsstoff valg
ikke
A B A B A B B usant A også B A
sikker
seksjon Mengder matematisklogikk viss stringente formelle aksiomatiske metode mengder M M
kapittel Grunnlagsstoff D D D D D er D Russelsparadoks A ={ , , } tommemengden ∅ x ∈ A x A p,q,r ∈ A p ∈ A q ∈ A r ∈ A x/ ∈ A x A A ⊆ B A B A B A B Eksempel1 A ={ , , , , } B ={ , , } ∈ A / ∈ A , ∈ B B B A B ⊆ A ikke A ⊆ B ∈ A / ∈ B A ={ , , , , } = {x | krav } x {x | x ∈ A x = }={ , , , }.
seksjon Mengder x x ∈ A x = {x ∈ A | krav } x ∈ A «krav» {x ∈ A | x = }={ , , , }. x ∈ A x = {form | krav } { · x | x ∈ A}={ , , , , }. x x ∈ A A B A B A ∪ B A ∪ B ={x | x ∈ A x ∈ B } A ∪ B A B A ∪ B A B A B A ∩ B A ∩ B ={x | x ∈ A x ∈ B } A ∩ B felles A B A ∩ B =∅ A B disjunkte A \ B B \ A ={x ∈ B | x/ ∈ A} B \ A B A A ⊆ B B \ A A B A ∪ B ∪ C A B C A ∩ B ∩ C både A B C Eksempel2 A ={ , , , , , } B ={ , , , , } A ∪ B ={ , , , , , , , } A ∩ B ={ , , } B \ A ={ , } A \ B ={ , , } OPPGAVER A ={ , , } B ={ , } ∈ B , ∈ A ∈ A B ⊆ A A ⊆ B / ∈ A ∅⊆ A A ⊆ A ∅∈ A M ={ , , , , , , } {x + | x ∈ M } {x ∈ M | x = x = } R ={ , , , } S ={ , , , } R ∩ S R ∪ S R \ S S \ R
kapittel Grunnlagsstoff alle . ... = . . ... = . har R Z Z ={..., , , , , , , , , ,...} N N ={ , , , , , ,...} , , ,... , , ,... jevne a a |− |= | |= a b a b a b a b a b |b | |a | a b b a a>b a ba ≥ b a>b a = b a<b a ba ≤ b a<b a = b
seksjon Detreelletallsystemet > ≥ < ≤ > < streng U ⊆ R s t U U mellom s t x ∈ R s<x<t a>b a,b ={x ∈ R | a ≤ x ≤ b } a,b) ={x ∈ R | a ≤ x<b } (a,b (a,b) a a a, ∞) ={x ∈ R | x ≥ a } (−∞,a) ={x ∈ R | x<a } (a, ∞) (−∞,a ∞ −∞ (−∞, ( , (−∞, ( , U R U U U U Eksempel1 U = (−∞, U x ∈ U x ≤ x ≤ U U U U
kapittel Grunnlagsstoff
Definisjon1 U R U = U U = U U U U U U U U U U U U Eksempel2 U = ( , π U U = U U = U/ ∈ U U ∈ U x U ⊆ R x U (t,T) t<x<T U = , . U (t,T) = ( . , . ) (t,T) = ( , ) x U ⊆ R x ∈ U U U x U U U ∗ U = U ∗ U R \ U U x ∈ R U x U R \ U U ∂U U
seksjon Regningmedreelletall U U U \ U Eksempel3 (a,b) (a, ∞) (−∞,a) ethvert x (t,T) x a,b lukkede (−∞,a) ∪ (b, ∞) x ∈ U U x U x x ∈ R U x U OPPGAVER {x ∈ R | <x ≤ } {x ∈ R | x ≤ } U = , ) ∪ ( , ) U U U U V R (U ∩ V) ≤ U (U ∩ V) ≤ V U = , ) ∪ ( , ) U U U U ∗ R \ U ∂U U U ⊆ R x ∈ R x U x/ ∈ U R a,b ∈ R a + b a · b a · b ab a b = R grunnleggendeantakelser starter
kapittel
alle R a,b ∈ R a + b = b + a ab = ba a,b,c ∈ R a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c a,b,c ∈ R a(b + c) = ab + ac R a + = a a · = a a ∈ R a ∈ R b ∈ R a + b = a ∈ R a = b ∈ R ab = a b c a<b b<c a<c a b a<b a = b b<a a b a<b a + c<b + c c a b a<b ac<bc c> U R U U R U U U rasjonale U ⊆ R V ={−x | x ∈ U } U V V U U
Grunnlagsstoff
a,b,c a + c = b + c a = b
Bevis d c + d =
a + c = b + c
(a + c) + d = (b + c) + d
a + (c + d) = b + (c + d) c + d =
a + = b + a + = a b + = b
a = b kan
definisjoner
• a b a + b =
b unikt
definere a a a b
a + ( a) = ( a) additiveinversen a multiplikativ
a =
• a = b ab =
b unikt
definere a b
a a = a b = a + ( b) a/b = a · a
b = a b a/b a b
seksjon Regningmedreelletall
U R U
Teorem1
Teorem2
Teorem3
abc a(bc) (ab)c
a n ≥
a n = a · a ··· a n
a = a n = a n
a = a n a n a n
a kvadratet a a
a b ab a/b ab a/b a + b
a b a + bc n a + (b(c n ))
a b c d n,m
( a) = aa(b c) = ab ac
a (b + c) = a b ca (b c) = a b + c
ab = a = b =
|a + b |≤|a |+|b |
a n a m = a n+m (a n )m = a nm (ab)n = a n b n
a b n = a n b n a n a m = a n m
a c + b c = a + b c a c b c = a b c
ac bc = a b a c · b d = ab cd a c · b = ab c
a b c
kapittel Grunnlagsstoff
OPPGAVER + ( ) + ( ) + +
x t + t + t ( x) x = t =
(x + )(x + ) (x )( x + )
x x x + x x + x x + x x y xy xy x + x x +
x + x x x x x x x x a a b
x + x y
x + x x y + y x xy + y
x x xy + + xy x yx x y rare greier
x tz + x tz tx z
x + x x x ya + (ax) y ay
x + x + x + x ( a + )(a ) a
( x + ) · x + x (x x)(x + )
x(x ) + x y + x
x + x y x /(x + ) /(x + )
xk +t
k (x )k t x (( ) )
(y + )(y ) (x + )(x + )(x ) x x gjeldendesifre . . standardform a n a ∈ ( , ) a . .
seksjon Regningmedreelletall R
a b |a |−|b | ≤|a b |
kapittel Grunnlagsstoff
a · = a
a + = a = a = a ( + ) = a + a
a b
a + b = a + b = a + c =
b a a = b
ab = ab = ac =
b a
( a) = a a
( a)b =−(ab) a,b
(
a)( b) = ab a,b
a,b,c ac = bc c =
a b = a + ( b) a b a,b,c
a(b c) = ab ac
a (b + c) = a b c
a (b c) = a b + c
a/b = ab a b
b = a,b,c,d c = d =
a c · b d = ab cd ad cd = a c
a b c c =
a = b
a b ab = a =
b = a = ab = b =
(a ) = a a =
(ab) = a b a = b =
a
c + b c = a + b c a c b c = a b c
a |a | a
<a = a a
a b |a + b |≤|a |+|b |.
∗
A B A ⇒ B A B A ⇐⇒ B A B B A A ⇐⇒ B A B A B A B ⇒ ⇐⇒ ⇒ ⇐⇒
seksjon Rasjonaleogirrasjonaletall OPPGAVER x > ⇒ x> x = ⇒ x = x = ⇒ x = x = ⇐⇒ x = x = ⇐⇒ x = x =− x + y = ⇐⇒ x = y = n/m n m Q Q = n m n,m ∈ Z m = n n = n/ N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R a = n/m = . ... = . ... =− . ... = . ... = . Teorem1 a a Bevis a a = n/m n m n m
kapittel Grunnlagsstoff m m a a = . ... a a = . ... bak a = . ... a a = a( ) = a = / fastlengde √ OPPGAVER / a = . ... n/m n m n/m n m . ... Q a b a + b a b ab a/b b = a b a + b a b a = b = ab a/b b/a ikke Q {x ∈ Q | x < } tellbar e ,e ,e ,... N Z Q R
seksjon Røtter x t t n = x Eksempel1 = = ( ) ( ) = ( ) ( ) =− . =+ . Teorem1 n a a n n √a Bevis b n = c n <b<c c = b + t t> c n = (b + t)n = b n + n = n = b n = c n c d c n = d n √a √a Eksempel2 √ = √ = √ =− √ b b =− √ Teorem2 n ≥ n √a alle a n ≥ n √a a ≥ ikke a< Bevis
kapittel Grunnlagsstoff
Teorem3 a b n n √ab = n √a · n √b n a b = n √a n √b Bevis n √a · n √b n = n √a n n √b n = ab n √a n √b n = ( n √a)n ( n √b)n = a b • n x x n = a x = n √a x = x = • n a> x n = a x =± n √a ± x = x =± x = x =− • x √x √x en x OPPGAVER √ √ √ √ √ √ √ x ≥ ( √x) = √x √(a/b) √a(√b) √ √ = n/m n m = n m n n = k k m √
ISBN 978-82-15-06877-0
Kalkulus og lineær algebra gir deg en integrert fremstilling av tre klassiske temaer innen universitetsmatematikk: énvariabelkalkulus, flervariabelkalkulus og lineær algebra.
Målet med læreboken er at du ikke bare skal forstå hvordan ulike matematiske metoder kan brukes, men også hvorfor de fungerer. En slik dybdeforståelse er avgjørende for å kunne bruke matematiske modeller og metoder kreativt i alle typer anvendelser.
Anbefalt bakgrunn for å lese boken er full fordypning i matematikk fra videregående skole, men den kan også leses med mindre matematisk bakgrunn. Forfatteren bygger opp teorien systematisk fra grunnen av og repeterer alle relevante deler av skolematematikken.
Kalkulus og lineær algebra er tilpasset læreplanen LK20 for norsk skole.
Arne Hole er førsteamanuensis ved Institutt for lærerutdanning ved Universitetet i Oslo.