Pienter 4 D XL - Deel 1 - Leerwerkboek

Pi enter LEERJAAR 4 Pienter XL 4 D deel 1

©VANIN

Veerle Descheemaeker Dirk ThierryTaeckeVan den Ouwelant Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Philippe De Crock Etienne MartineEddyChristopheGoemaereGrysonMagitsVerrelst Leerjaar 4 Pienter XL 4 D deel 1 ©VANIN

©VANIN

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? 4 Hoofdstuk 1 Goniometrie 7 Hoofdstuk 2 Tweedegraadsvergelijkingen 93 Hoofdstuk 3 Functies f (x) = c x 149 Hoofdstuk 4 Beschrijvende statistiek 185 Hoofdstuk 5 Complexe getallen 269 Hoofdstuk 6 Grafen 315 ©VANIN

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of Jebesluiten.leertook eigenschappen bewijzen.

Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis. Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine.

©VANIN

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: REEKS A eenvoudige toepassingen REEKS B basisniveau REEKS C verdiepingsniveau Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

ICT Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.

©VANIN

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen. Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band.

VERDIEPING Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter remediëren en voor extra leerstof. instructiefilmpje GeoGebra

Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien.

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Lesmateriaal Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten. E-book Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...

Het onlineleerplatform bij Pienter

Oefeningen

Resultaten

• Je kunt hier vrij oefenen. Opdrachten Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet. Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

©VANIN

Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.

Materiaal Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.

PIENTER EN DIDDIT

• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 7 HOOFDSTUK 1 I GONIOMETRIE 1.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek 8 1.2 Georiënteerde hoeken 13 1.3 De goniometrische cirkel 15 1.4 Goniometrische getallen van een hoek 20 1.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken 29 1.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek 41 1.7 Som- en verschilformules 50 1.8 Willekeurige driehoeken oplossen 59 Studiewijzer 87 Pienter problemen oplossen 90 ©VANIN

8 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek Definitie Sinus Cosinus Tangens De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuinezijde De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de aanliverhoudingggenderechthoekszijdeschuinezijde

α

AB Cc

=

De verhoudingen van de zijden in een rechthoekige driehoek zijn afhankelijk van de scherpe hoek.

van

a 2 + b 2 = c 2 sin a = ca cos a = bc tan a = ba sin b = bc cos b = ca tan b = ba ©VANIN

De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaanderechthoekszijdeaanliggenderechthoekszijde

a +

Bij het oplossen van rechthoekige driehoeken gebruik je de volgende formules. ba β som van de scherpe hoeken b 90º stelling Pythagoras

Je noemt die verhoudingen goniometrische getallen van de scherpe hoek.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 9 REKENMACHINE met de grafische rekenmachine kun je de verhoudingsgetallen sinus, cosinus en tangens van een gegeven scherpe hoek berekenen. actie knoppen scherm Selecteer de zestigdelige graad als hoekeenheid. quitmode 2 entrenterysolve Bereken de sinus van 36º. sin sin 1 E 3 L3 θ 6 L6 V ) } L entrenterysolve Bereken de cosinus van 25º 52 14 cocoss1 F 2 L2 Z 5 L5 U 2nd angleapps B 1 L1 Y 5 L5 U 2 L2 Z 2nd angleapps B 2 L2 Z 1 L1 Y 4 L4 Τ a-lockalpha memo+ “ ) } L entrenterysolve REKENMACHINE een hoek berekenen uit een goniometrisch getal. actie knoppen scherm Bereken de hoek waarvan sinuswaardede 0,8 is. Het resultaat is de decimale vorm van de hoekgrootte. 2nd sinsin1 E catalog0 [ i : 8 v P ) } L enter entry solve Zet de decimale vorm van de hoekgrootte om naar graden, minuten en seconden. 2nd angleapps B 3 enter entry solve2 Op dezelfde manier kun je een hoek berekenen uit een cosinus of uit een tangens. Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek met GeoGebra en PythonICT ©VANIN

10 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA 1 De volgende dakconstructie is gegeven. ABC HKJ 1 2 1 234 Vul aan tot een ware uitspraak. a) sin ^ A = | AK | c) sin ^ A = | AC | e) cos = | KJ | | BK | g) ^ C = | BC | | AC | b) tan ^ B1 = | AK | d) ^ B2 = | JK | | BJ | f) cos ^ C = | KC | h) tan = | HB | | HK | 2 Bereken op 0,000 01 nauwkeurig. a) sin 69º 11 12 = c) tan 16º 17 18 = b) cos 12º 7 = d) cos 84º 56 = 3 Bereken op 1  nauwkeurig. a) sin a = 0,4 fi a = c) cos a = 0,83 fi a = b) tan a = 0,35 fi a = d) tan a = 1,3 fi a = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 11 REEKS B 4 Bereken het gevraagde in de rechthoekige driehoek. Rond, indien nodig, de hoeken af op 1  en de zijden op 0,01. a) N EI 34° 72 x d) MO T 56° 12 x b) RST α 14 7 e) 15 9 DxE F c) f) 248 6 βCD AB 8 BC E AD 12 23º35º x ©VANIN

6 In de chemieles breng je een vloeistof over met een pipet in een erlenmeyer. De lengte van de pipet is 35 cm. De erlenmeyer heeft een hoogte van 15 cm. De hoogte | CE | = 39,8 cm.

Om de vloeistof te laten uitlopen, houd je de pipet schuin, maar onder welke hoekgrootte met het horizontale oppervlak?

ADC

7 Tijdens de voetbaltraining neemt de Britse sterspeler Canshotwell een ongelofelijke strafschop. De bal vertrekt van de penaltystip op 11 m van het midden van het doel en belandt keihard in de rechterbovenhoek. De bal raakt nog net de binnenkant van de paal. Het doel is 2,44 m hoog en 7,32 m breed. In totaal legde de bal 11,8 m af tot hij de paal raakte. Bereken de hoek waaronder de bal vertrok. 11 E F7,32 2,44 B

AC BD E

5 De structuur van een watermolecule is een gelijkbenige driehoek met het zuurstofatoom als tophoek en twee waterstofatomen. Tussen elk waterstofatoom en zuurstofatoom bestaat een covalente binding. De sinus van een basishoek is 0,612 217 28.

Bereken de grootte van een basishoek en van de tophoek. Rond af op 1 nauwkeurig.

©VANIN

12 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213

1

• is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief.

Geef zelf twee voorbeelden van situaties waarin de oriëntatie van een hoek noodzakelijk is.

Georiënteerde hoeken Inleiding

Om de twee situaties te onderscheiden, oriënteer je de hoek. De oriëntatie gebeurt met de zin van de wijzers mee of tegen de zin van de wijzers in. Vermits je in de natuur meestal te maken hebt met de tegenwijzerzin (bijvoorbeeld bij de beweging van de planeten), kies je die zin als positief.

Zo wordt de overgang van zomer- naar wintertijd gekenmerkt door een georiënteerde hoek van 30º en de overgang van winter- naar zomertijd door een georiënteerde hoek van –30º.

• Bij de omschakeling van wintertijd naar zomertijd, in het voorjaar, van winter- naar zomertijd moet je de klok een uur vooruitdraaien. De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

• Bij de omschakeling van zomertijd naar wintertijd, in het najaar, van zomer- naar wintertijd moet je de klok een uur terugdraaien. De kleine wijzer beweegt dan over een hoek van 30º.

Een ezelsbruggetje: in het voorjaar zet je de klok vooruit en in het najaar zet je de klok achteruit. in beide gevallen meet de hoek tussen de begin- en eindpositie van de kleine wijzer 30º.

Definitie Georiënteerde hoek Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt. notatie: A ^ OB Je spreekt over de georiënteerde hoek A ^ OB met de halfrechte [OA als beginbeen en de halfrechte [OB als eindbeen.

• is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 13 1.2

Hieronder zie je twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde. positieve oriëntatie negatieve oriëntatie A eindbeenbeginbeen A eindbeenbeginbeen Georiënteerde hoeken duid je meestal aan met kleine Griekse letters: a, b, g, d, e Het Griekse alfabet vind je bij het onlinelesmateriaal op diddit.

AOB ©VANIN

14 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA 8 Zijn de hoeken positief of negatief georiënteerd? γ β α ϕ ε δ η λ hoek oriëntatie jhabgdel 9 Josse staat voor een deur. Zijn de hoeken om de deur te openen, positief of negatief georiënteerd? a) b) r  negatief r  positief r  negatief r  positief 10 Zie jij de danseres volgens een hoek draaien die positief of negatief georiënteerd is? danseres r  positief r  negatief ©VANIN

• Het snijpunt A van het eindbeen van de georiënteerde hoek en de goniometrische cirkel noem je het beeldpunt van de hoek a noteer de naam van het juiste begrip in het kadertje. 1–11 III IVIII Ox y

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 15 1.3 De goniometrische cirkel 1.3.1 Begrippen instructiefilmpje GeoGebra

–1

Je nummert ze met romeinse cijfers, zoals op de figuur hiernaast De assen zelf behoren niet tot een kwadrant. elke georiënteerde hoek kun je voorstellen Ox –1 1 1 –1 IIIII IVI op de goniometrische cirkel:

Definitie Goniometrische cirkel

yA α

Oyx

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. Het assenstelsel verdeelt het vlak in vier kwadranten Oyx –1 1 1 IIIII IVI–1

Je voorziet het vlak p van een loodrecht assenstelsel met gelijke eenheden: een orthonormaal assenstelsel. De punten E x en E y duiden de eenheid op de assen aan. –1 1 1 EyEx –1 Je noemt ze eenheidspunten in een orthonormaal assenstelsel kan de eenheid willekeurig gekozen worden. een straal gelijk aan 1 betekent dus niet dat die 1 cm lang moet zijn.

• Het hoekpunt is altijd het middelpunt van de cirkel. • Het beginbeen valt samen met de positieve x-as.

16 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.3.2 De zestigdelige graad Om de hoekgrootte van de georiënteerde hoek a 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yxte bepalen, plaats je de getallen 0 en 360 bij E x Verder verdeel je de cirkel in 360 gelijke delen: graden (º). met het beeldpunt A van de hoek a komt juist één getal van het interval [0, 360[ overeen. Dat getal noem je het maatgetal van a Het maatgetal van a is gelijk aan 22. Je noteert: a = 22º. roteer je de halfrechte [OA verder in tegenwijzerzin, 30 45 60 150135 120 27090180 3600E Ox E yA a yx –360° –338° –270° –180° –90° 720° 450° 540° 630° 382° dan kun je de hoekgrootte 382º (22º + 360º), 742º (22º + 2 360º) … toekennen aan a Als je in wijzerzin roteert, dan komt met A ook een hoekgrootte –338º (22º – 360º), –698º (22º – 2  360º) … overeen. De georiënteerde hoek a heeft oneindig veel hoekgroottes die 360º van elkaar verschillen bij een of meerdere omwentelingen. elke georiënteerde hoek heeft juist één beeldpunt op de goniometrische cirkel. met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen. Algemeen Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen. Als a een van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a + k  360º (k Œ Z). Voorbeelden –1 1–11 b III IVIII BOx y –1 1–11 g III IVIII COx y • b = • Het beeldpunt van b is • Het beeldpunt van b ligt in kwadrant • g = • Het beeldpunt van g is • Het beeldpunt van g ligt in kwadrant ©VANIN

• aantal afgelegde rondes:

• draaihoek: De verkregen hoek heeft hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel als de nulhoek. maar 2 160º gelijkstellen aan 0º zou betekenen dat Joran niet bewogen heeft.

Daarom maak je een onderscheid tussen twee soorten hoeken. georiënteerde hoeken omwentelingshoeken een georiënteerde hoek wordt volledig bepaald door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. een omwentelingshoek wordt volledig bepaald door zijn maatgetal. De georiënteerde hoeken a = –500º en b = –140º zijn gelijk, want ze hebben hetzelfde beeldpunt. De omwentelingshoeken a = –500º en b = –140º zijn verschillend, want hun maatgetal is niet gelijk. in meetkundevraagstukken werk je met georiënteerde hoeken. er zijn twee mogelijkheden om te werken met een representant: • a Œ [0º, 360º[ • a Œ ]–180º, 180º[ Dat noem je de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek. Om fysische verschijnselen met een periodiek karakter te beschrijven, werk je met omwentelingshoeken.

Georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken

Voorbeeld Joran gaat naar de kermis en neemt plaats op de draaimolen. De carrousel draait één volledige ronde in twintig seconden. Over welke hoek heeft hij in totaal gedraaid in twee minuten?

©VANIN

Voorbeeld Kim neemt plaats op dezelfde draaimolen. Het is druk en Kim maakt een ritje van 1 minuut en 35 seconden.

Bepaal: • het aantal afgelegde rondes: • de draaihoek: • de representant van de draaihoek in [0º, 360º[: • de hoofdwaarde van de draaihoek:

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 17 1.3.3

18 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA 11 Teken het beeldpunt A van de gevraagde hoek op de goniometrische cirkel. a) a = 120º c) g = –165º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y b) b = 225º d) d = –285º III IVIII 1–1 –11Ox y III IVIII 1–1 –11Ox y 12 In welk kwadrant ligt de gegeven hoek? a) 48º e) 220º Oyx –1 1IIIIVIII1–1 b) –48º f) –220º c) 170º g) 290º d) –170º h) –290º ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 19 REEKS B 13 Bepaal van de georiënteerde hoeken de representant in [0º, 360º[. a) 888º d) –3 600º 5 b) –69º e) 3 600º 5 c) –720º 5 f) 4 444º 44 44 14 Bepaal van de georiënteerde hoeken de hoofdwaarde en hun kwadrant. a) 245º f) –2 212º b) 523º 20 g) 2 140º 14 c) 930º h) –2 140º 6 15 d) –740º 20 i) 2 240º 23 56 e) 11 425º j) –4 420º 46 37 15 Een fietswiel heeft een diameter van 68 cm. Over welke hoek is het wiel gedraaid als je de fiets 2 m verplaatst? 16 Een satelliet draait 3 000 km boven het aardoppervlak en maakt één omwenteling rond de aarde in 360 minuten. De straal van de aarde is 6 400 km. a) Welke afstand heeft de satelliet afgelegd in 1 dag? rond af op 1 m nauwkeurig. b) Over welke hoek heeft de satelliet in totaal gedraaid? ©VANIN

20 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.4 Goniometrische getallen van een hoek 1.4.1 Cosinus van een hoek Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A yA Ax α Ox –1 1 1 –1 is het punt A x de loodrechte projectie van A op x, dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x cos a = = = Definitie Cosinus De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Duid op elke goniometrische cirkel de cosinus van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV cos a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ cos a £ 1 instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 21 1.4.2 Sinus van een hoek Gegeven: een hoek a uit het eerste kwadrant met beeldpunt A is het punt A y de loodrechte projectie van A op y, Ay y α Ox –1 1 1 –1 A Ax dan geldt in de rechthoekige driehoek OAA x sin a = = = Definitie Sinus De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Oyx –1 1 1 –1 A a Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV sin a Gevolg Voor een willekeurige hoek a geldt –1 £ sin a £ 1 Algemeenbesluit De coördinaat van het beeldpunt A is (cos a , sin a). Ay sin cos Ox –1 1 1 –1 a a a instructiefilmpje ©VANIN

Duid op elke goniometrische cirkel de sinus van de gegeven hoek aan.

of

Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken een minteken.

22 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.4.3 Tangens van een hoek Definitie Tangens tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 Gevolgen van de definitie • Voor welke hoeken is de tangens niet gedefinieerd? • De waarde van de tangens kan elk reëel getal zijn. Meetkundige betekenis van de tangens Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O (0, 0) en A (cos a, sin a): yAT t E Ex y α Ox –1 1 1 –1 T yOA ´ y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) ¤ y – 0 = sin a – 0 cos a – 0 (x – 0) ¤ y = sin a cos a x Je vult de coördinaat van het punt T (1, y) in: y = sin a cos a 1 = sin a cos a = tan a Besluit De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E x (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek. Duid op elke goniometrische cirkel de tangens van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 tA= 0°a Oyx –1 1 1 –1 t A a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 Ata Oyx –1 1 1 –1 t a A Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV tan a instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 23 1.4.4 Cotangens van een hoek Definitie Cotangens cot a = cos a sin a als sin a ≠ 0 Gevolg cot a = 1 tan a als tan a ≠ 0 • Voor welke hoeken is de cotangens niet gedefinieerd? • De waarde van de cotangens kan elk reëel getal zijn. Meetkundige betekenis van de cotangens Je bepaalt de vergelijking van de rechte OA door O (0, 0) en A (cos a, sin a): yATt α Ox –1 1 1 –1 T x OA ´ y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) ¤ y – 0 = sin a – 0 cos a – 0 (x – 0) ¤ y = sin a cos a x Je vult de coördinaat van het punt T (x, 1) in: 1 = sin a cos a x ¤ cos a sin a = x ¤ cot a = x Besluit De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt E y (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek. Duid op elke goniometrische cirkel de cotangens van de gegeven hoek aan. Vul het besluit aan met de afgelezen waarde, een plusteken of een minteken. a = 0º a Œ i a = 90º a Œ ii Oyx –1 1 1 –1 t A = 0°a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 At a a = 180º a Œ iii a = 270º a Œ iV Oyx –1 1 1 –1At a Oyx –1 1 1 –1 At a Oyx –1 1 1 –1 Ata Oyx –1 1 1 –1 t a A Besluit a 0º i 90º ii 180º iii 270º iV cot a instructiefilmpje ©VANIN

Voorbeeld 2 Bepaal de vergelijking van de rechte r die door A (3, –1) gaat en een hoek a van 135º maakt met de x-as.

©VANIN

–13210 ctx

• Lees de coördinaat af van het snijpunt van de rechten a en t: Wat is de tangens van de hoek a?

24 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.4.5 Verband tussen hellingshoek en richtingscoëfficiënt Definitie Hellingshoek De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as. • Teken de rechte a met vergelijking y = 2x Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte a? • Teken de hellingshoek a van de rechte a

• Teken de rechte b met vergelijking y = 2x + 3. Wat is de richtingscoëfficiënt van de rechte b?

• Teken de hellingshoek a van de rechte b Besluit: rc a rc b tan a 1–1 y eigenschap In een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte. Voorbeeld 1 Bereken de hellingshoek a van de rechte met vergelijking y = 2x + 3.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 25 REEKSOefeningenA 17 Teken het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. Schat de goniometrische getallen op 0,1 nauwkeurig. a) a = 45º met beeldpunt A yx1 1–1 O –1 cos a ª sin a ª tan a ª b) b = –90º met beeldpunt B cos b ª sin b ª tan b ª c) g = 120º met beeldpunt C cos g ª sin g ª tan g ª d) d = –130º met beeldpunt D 1 1 Oyx–1 –1 cos d ª sin d ª tan d ª e) e = –210º met beeldpunt E cos e ª sin e ª tan e ª f) j = 315º met beeldpunt F cos j ª sin j ª tan j ª ©VANIN

26 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKS B 18 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten A 1 en A 2 van de hoek a . a) sin a = 43 e) sin a = 25 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 b) cos a = 21 f) cos a = 0,6 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 c) tan a = 1,5 g) tan a = –0,8 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 d) cot a = 53 h) cot a = 0,8 1 1 Oyx –1 –1 1 1 Oyx –1 –1 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 27 19 Bepaal het teken van de goniometrische getallen. a cos a sin a tan a cot a a) 100o b) –50o c) 250o d) 50o e) –220o 20 Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de coördinaatgetallen van de hoekpunten van de regelmatige negenhoek ingeschreven in de goniometrische cirkel. yxDCBA OE co (A) co (B) co (C) co (D) co (E) ===== 21 Bereken de hellingshoek van de rechten met de onderstaande vergelijking. richtingscoëfficiënt hellingshoek a) y = 2x – 3 b) y = 3x + 4 c) y = –x + 6 d) y = 5 – 4x e) y = –3 x f) y = 53 x + 2 22 Langs de weg zie je een verkeersbord staan dat aangeeft dat de weg 10 % stijgt. Wat is de hellingshoek die het wegdek maakt met de horizontale? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig. ©VANIN

28 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213

a) Van een rechte r zijn de hellingshoek a = 83º 39 35 en een punt P (3, –1) gegeven. b) Van een rechte s zijn de hellingshoek a = –63º 26 6 en een punt P (1, 2) gegeven.

REEKS C 25 Bepaal zonder rekenmachine of de uitdrukkingen juist of fout zijn. juist fout juist fout a) sin 30º < cos 30º r r f) cos 30º < cos 60º r r b) –432º behoort tot kwadrant ii r r g) sin 30º < sin 60º r r c) tan 45º = 1 r r h) sin (180º – 30º) = sin 30º r r d) tan (–45º) < tan (–60º) r r i) cos (1 980º – 60º) = cos 60º r r e) sin (30º + 60º) = sin 30º + sin 60º r r j) cos (–230º) > 0 r r 500 150

24 Bepaal de vergelijking van de rechte. Rond de richtingscoëfficiënt af op een eenheid.

©VANIN

23 In een mijn zitten na het instorten van de verticale schacht een aantal mijnwerkers 150 m onder de grond vast. Om ze te bevrijden, moeten de reddingswerkers een nieuwe schacht boren. Onder welke hoek moet de nieuwe schacht gegraven worden, als ze op 500 m van de oude verticale schacht de graafwerken beginnen? Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 29 1.5 Goniometrische getallen van verwante hoeken 1.5.1 Inleiding Teken de beeldpunten van de hoeken en geef de hoekgrootte. 1 1 Oyx beeldpunt hoek a) a1 in i met sin a1 = 0,50 A 1 b) a2 in ii met sin a2 = 0,50 A 2 c) b1 in i met cos b1 = 0,50 B 1 d) b2 in iV met cos b2 = 0,50 B 2 verband tussen de hoeken benaming b1 en b2 a1 en a2 a1 en b1 1.5.2 Gelijke hoeken Definitie Gelijke hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn. In symbolen GeoGebra a = b ¤ b = a + k  360º met k Œ Z Gelijke hoeken hebben hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel. Besluit cos (a + k 360º) = cos a sin (a + k 360º) = sin a tan (a + k 360º) = tan a cot (a + k 360º) = cot a ©VANIN

30 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.5.3 Tegengestelde hoeken Definitie Tegengestelde hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als hun som de nulhoek is. In symbolen a en b zijn tegengesteld ¤ a + b = 0º + k 360º = k 360º of ook b is het tegengestelde van a ¤ b = –a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) –30º is een tegengestelde van 45º is een tegengestelde van noem A en A de beeldpunten van de tegengestelde hoeken a en –a 1–1 –11Oyx a AAa Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. Goniometrische getallen van tegengestelde hoeken 1–1 –11 Oyx a a A AA y AyAx = A x 1–1 –11 Oyx a a A SAT T S ttT TxSy xS y Besluit cos (–a) = cos a sin (–a) = –sin a tan (–a) = –tan a cot (–a) = –cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 31 1.5.4 Supplementaire hoeken Definitie Supplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als hun som de gestrekte hoek is. In symbolen a en b zijn supplementair ¤ a + b = 180º + k 360º of ook b is het supplement van a ¤ b = 180º – a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) 30º is een supplement van 135º is een supplement van noem A en A de beeldpunten van de supplementaire hoeken a en 180º – a 1–1 –11Oyx a AA a180° –Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as. Goniometrische getallen van supplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a a180° –AA A y = A yA Ax x 1–1 –11 Oyx a SAAT T S a180° –ttT Sx xS y T y Besluit cos (180º – a) = –cos a sin (180º – a) = sin a tan (180º – a) = –tan a cot (180º – a) = –cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

32 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.5.5 Antisupplementaire hoeken Definitie Antisupplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als hun verschil de gestrekte hoek is. In symbolen a en b zijn antisupplementair ¤ b – a = 180º + k 360º of ook b is het antisupplement van a ¤ b = 180º + a + k 360º Voorbeelden (geef telkens drie verschillende hoekgroottes) 30º is een antisupplement van –45º is een antisupplement van noem A en A de beeldpunten van de antisupplementaire hoeken a en 180º + a 1–1 –11Oyx a A A a180° + Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Goniometrische getallen van antisupplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a a180° + AA A yAyA Ax x 1–1 –11 yx O a AT = Sa180° + ttT = AS T x = S Tx y = S y Besluit cos (180º + a) = –cos a sin (180º + a) = –sin a tan (180º + a) = tan a cot (180º + a) = cot a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 33 1.5.6 Complementaire hoeken Definitie Complementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als hun som de rechte hoek is. In symbolen a en b zijn complementair ¤ a + b = 90º + k 360º of ook b is het complement van a ¤ b = 90º – a + k 360º noem A en A de beeldpunten van de complementaire hoeken a en 90º – a. 1–1 –11 yx O A a A a90° –Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant. Goniometrische getallen van complementaire hoeken 1–1 –11Oyx a AA a90° –AxA Ax y A y 1–1 –11 yx O a AA ST ttS a90° –T T SxTx y S y Besluit cos (90º – a) = sin a sin (90º – a) = cos a tan (90º – a) = cot a cot (90º – a) = tan a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

34 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.5.7 Anticomplementaire hoeken Definitie Anticomplementaire hoeken Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als hun verschil de rechte hoek is. In symbolen a en b zijn anticomplementair ¤ b – a = 90º + k 360º of ook b is het anticomplement van a ¤ b = 90º + a + k 360º noem A en A de beeldpunten van de anticomplementaire hoeken a en 90º + a. 1–1 –11 yx O A a AA a90° +Wat stel je vast in verband met de coördinaatgetallen van A en A? Besluit De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as. Goniometrische getallen van anticomplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a AA a90° + A AxAyA Ax y 1–1 –11 yx O a AAAT ST ttS a90° + T Sx xTy S y Besluit cos (90º + a) = –sin a sin (90º + a) = cos a tan (90º + a) = –cot a cot (90º + a) = –tan a instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 35 Samenvatting Gelijke hoeken cos (a + k 360º) = cos a sin (a + k 360º) = sin a tan (a + k  360º) = tan a cot (a + k  360º) = cot a Tegengestelde hoeken 1–1 –11 Oyx a AAa–De beeldpunten van tegengestelde hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as. cos (–a) = cos a sin ( a) = sin a tan ( a) = tan a cot ( a) = cot a Supplementaire hoeken 1–1 –11 Oyx a AA a180° –De beeldpunten van supplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as. cos (180º – a) = – cos a sin (180º – a) = sin a tan (180º – a) = tan a cot (180º – a) = cot a ©VANIN

a90° +

36 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Antisupplementaire hoeken 1–1 –11Oyx a A A a180° + De beeldpunten van antisupplementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. cos (180º + a) = – cos a sin (180º + a) = sin a tan (180º + a) = tan a cot (180º + a) = cot a Complementaire hoeken 1–1 –11 yx O a A A a90° –

a ©VANIN

a Anticomplementaire hoeken 1–1 –11 yx O a

De beeldpunten van complementaire hoeken liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant. cos (90º – a) = sin a sin (90º – a) = cos a tan (90º – a) = cot a cot (90º – a) = tan A AA De beeldpunten van anticomplementaire hoeken vind je door ze te spiegelen ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant en ze daarna te spiegelen ten opzichte van de y-as. cos (90º + a) = – sin a sin (90º + a) = cos a tan (90º + a) = cot a cot (90º + a) = tan

Vind je één oplossing, dan is de tegengestelde hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. tegengestelde van 104º 28 39 is –104º 28 39 dus a = 104º 28 39 + k 360º (k Œ Z of a = –104º 28 39 + k 360º (k Œ Z –1 yx O sin a = Supplementaire0,4 hoeken hebben dezelfde sinus.

)

een

) 1

–11

Vind je één oplossing, dan is de supplementaire hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. een supplement van 23º 34 41 is 180º – 23º 34 41 = 156º 25 19 dus a = 23º 34 41 + k  360º (k Œ Z) of a = 156º 25 19 + k 360º (k Œ Z) 1–1 –11 yx O • tan a = Antisupplementaire4 hoeken hebben dezelfde tangens. Vind je één oplossing, dan is de antisupplementaire hoek ook een oplossing. Je vindt alle oplossingen door een willekeurig veelvoud van 360º op te tellen. 1–1 1 –1 yx Oteen antisupplement van 75º 57 50 is 180º + 75º 57 50 = 255º 57 50 hoofdwaarde: –104º 2 10 dus a = 75º 57 50 + k  360º (k Œ Z) of a = –104º 2

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 37 1.5.8 Alle hoeken vanuit een goniometrisch getal berekenen Voorbeelden • cos a = Tegengestelde–0,25 hoeken hebben dezelfde cosinus.

•

10 + k  360º (k Œ Z) • cot a = 2 Je vormt de opgave met de cotangens om naar een opgave met de tangens. De verdere werkwijze is hetzelfde als bij het vorige voorbeeld. Als cot a = 2, dan is tan a = 21 een antisupplement van 26º 33 54 is 180º + 26º 33 54 = 206º 33 54 hoofdwaarde: –153º 26 6 dus a = 26º 33 54 + k 360º (k Œ Z) of a = –153º 26 6 + k  360º (k Œ Z) 1–1 –11 yx Ot GeoGebra ©VANIN

• Bij een spiegeling ten opzichte van de x-as blijft het eerste coördinaatgetal gelijk en verandert het tweede coördinaatgetal van teken.

26 Geef van elke hoek de hoofdwaarde van de hoek die de gevraagde verwantschap oplevert. hoek tegengesteld supplementair supplementairanti- complementair complementairantia) 25º b) –75º c) –110º d) 240º e) 305º f) –355º 27 Wat is de verwantschap tussen de gegeven hoeken? a) 25º en –295º zijn g) –25º en 65º zijn b) –25º en –205º zijn h) 35º en 685º zijn c) 105º en 75º zijn i) 50º en 490º zijn d) 30º en –690º zijn j) 470º en 380º zijn e) 30º en –150º zijn k) 256º en –284º zijn f) –330º en 420º zijn l) 170º en 190º zijn Transformaties en coördinaten yx E Ex yA(x, y) B(x, –y) C(–x, y) D(–x, –y) F(y, x)G(–y, x) O

©VANIN

• Bij een spiegeling ten opzichte van de y-as verandert het eerste coördinaatgetal van teken en blijft het tweede coördinaatgetal gelijk.

• Bij een spiegeling ten opzichte van de oorsprong veranderen beide coördinaatgetallen van teken.

REEKSOefeningenA

38 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213

• Bij een spiegeling ten opzichte van de bissectrice van het eerste kwadrant worden de coördinaatgetallen van plaats verwisseld.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 39 REEKS B 28 Bepaal de hoek a op 1 nauwkeurig. Geef alle oplossingen. a) sin a = 43 yx 1–1 –110 b) cos a = 21 yx 1–1 –110 c) sin a = 22 yx 1–1 –110 d) tan a = 2 yx 1–1 –110 e) cot a = 31 yx 1–1 –110 ©VANIN

40 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 29 Bepaal de hoek a op 1 nauwkeurig. Geef alle oplossingen. a) cos a = –0,8 yx 1–1 –110 b) sin a = 0,3 yx 1–1 –110 c) cos a = 23 yx 1–1 –110 d) tan a = 3 yx 1–1 –110 e) tan a = –1 – 3 yx 1–1 –110 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 41 30 Vereenvoudig door de formules van verwante hoeken te gebruiken. a) tan (180º – a) cos a f) sin (180º – a) cot (180º – a) b) cos (90º – a) cos (180º – a) g) sin (180º + a) tan (180º + a) c) cot (180º + a)  cot (90º – a) h) sin (90º – a)  cot (90º + a) d) tan (90º – a) cos (–a) i) cot (– a) + tan (90º + a) e) cos (90º + a) sin (90º + a) sin (–a) j) tan (– a)  cos (180º + a) ©VANIN

42 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKS C 31 Vereenvoudig door de formules van verwante hoeken te gebruiken. a) sin a cos (180º – a) + cos a sin (180º – a) b) sin (90º – a) + sin (180º – a) + sin (360º + a) + sin (180º + a) c) tan (90º + a) tan (180º + a) + cot (–a) 32 Bepaal de georiënteerde hoek die de laserstraal met de x-as maakt. 987654321 1O 3456789 102–3–4–5–6 –1–2 AyBx F E laserstraal AE: laserstraal BF: ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 43 1.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek 1.6.1 Afgeleide formules uit de definitie van tangens Je noteert de afgeleide formules voor de sinus en de cosinus van een hoek uit de definitie van de tangens, als de tangens bestaat: tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 Formules sin a = cos a tan a cos a = sin a tan a als tan a ≠ 0 1.6.2 De grondformule tekening Ayx αOA Ay x gegeven een hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel te bewijzen cos2 a + sin2 a = 1 Stel:bewijs px (A) = Ax en py (A) = Ay in de rechthoekige driehoek OAAx geldt de stelling van Pythagoras: | OAx |2 + | AAx |2 = | OA |2 | AAx | = | OAy | | OAx |2 + | OAy |2 = | OA |2 definitie sinus en cosinus en straal goniometrische cirkel | cos a |2 + | sin a |2 = 12 een kwadraat is altijd positief (cos a)2 + (sin a)2 = 12 notatie cos 2 a + sin 2 a = 1 cosbesluit2 a + sin 2 a = 1 Die formule noem je de grondformule van de goniometrie. GeoGebra ©VANIN

44 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Gevolgen Formules cos 2 a = 1 – sin 2 a sin 2 a = 1 – cos 2 a • 1 + tan2 a = 1 + sin a cos a 2 === Formule 1 + tan 2 a = 1 cos2 a 1.6.3 Toepassingen Identiteiten bewijzen Voorbeeld 1 Toon aan: 1 – cos2 a sin a cos a 1 – sin2 a = tan a Bewijs:1–cos2 a sin a cos a 1 – sin2 a = sin2 a sin a cos a cos2 a = sin a 1 cos a = sin a cos a = tan a Voorbeeld 2 Toon aan: 1 cos2 a – tan 2 a = 1 Bewijs:1cos2 a – tan 2 a = (1 + tan 2 a) – tan 2 a = 1 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 45 Goniometrische getallen berekenen vanuit het gegeven goniometrisch getal en het gegeven kwadrant Voorbeeld 1 Gegeven: sin a = 41 en a ligt in het tweede kwadrant. Bereken cos a, tan a en cot a cos 2 a = 1 – sin 2 a = 1 – 41 2 = 1 – 161 = 1616 – 161 = 1615 2 cos a = 1615 (a Œ ii) 2 = 415 tan a = sin a cos a = 41154 = 41  415 = 151 = 151 1515 = 1515 cot a = 1 tan a = 1115 = –15 Voorbeeld 2 Gegeven: tan a = 2 en a ligt in het derde kwadrant. Bereken cot a, cos a en sin a cot a = 1 tan a = 21 1 cos2 a = 1 + tan 2 a = 1 + 2 2 = 5 cos 2 a = 51 cos a = 51 (a Œ iii) = 51  55 = 55 sin a = tan a  cos a = 2  55 = 255 ©VANIN

46 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA Formularium cos 2 a + sin 2 a = 1 tan a = sin a cos a cos 2 a = 1 – sin 2 a cot a = cos a sin a sin 2 a = 1 – cos 2 a 1 + tan2 a = 1 cos2 a 33 Vereenvoudig. a) tan a  cot a b) 1 cos a sin a c) tan a cos a d) sin a cos a tan a e) sin 2 a  cot 2 a f) cos 2 a – 1 g) 2 – cos 2 a – sin 2 a ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 47 REEKS B 34 Vereenvoudig. a) 1 cos2 a – tan2 a b) 1 sin2 a – cot 2 a c) 1 + cos2 a sin2 a d) (sin 2 a – 1)  tan 2 a e) 1 – sin2 a cos a sin a 1 – cos2 a f) tan2 a 1 + tan2 a ©VANIN

48 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 35 Bewijs de identiteiten. a) (cos a – sin a) 2 = 1 – 2 cos a sin a b) (cos a + sin a) 2 + (cos a – sin a) 2 = 2 c) tan a + cot a = 1 sin a cos a d) 1 – cos2 a sin a + 1 – sin2 a cos a = sin a + cos a e) tan a 1 + tan2 a = sin a cos a ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 49 36 Bereken, zonder rekenmachine, de ontbrekende goniometrische getallen voor de hoek in het gegeven kwadrant. a) cos a = 31 en a Œ iV c) sin a = 0,25 en a Œ i b) tan a = 43 en a Œ ii d) cot a = –1 en a Œ iV ©VANIN

50 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 37 Bereken, zonder rekenmachine, de ontbrekende goniometrische getallen voor de hoek in het gegeven kwadrant. a) sin a = 22 en a Œ iV c) cos a = 23 en a Œ iV b) tan a = –1 en a Œ ii d) cot a = 3 en a Œ iii ©VANIN

Schrijf de identiteit die je van je leerkracht krijgt in het midden van het blad. Ga met vier rond een tafel zitten en neem elk een pen in een verschillende kleur. Ieder toont op één kant van de placemat de identiteit aan. Draai daarna het blad 90º. Kijk na wat je medeleerling schreef. Doe inspiratie op of verbeter een fout.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 51 38

©VANIN

52 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.7 Som- en verschilformules 1.7.1 Goniometrische getallen van de som van twee hoeken Bereken. rond af op 0,01. sin (40º + 50º) = sin (40º) + sin (50º) ª Vul in: sin (a + b) sin a + sin b Wanneer is de sinus van een som van twee hoeken wel gelijk aan de som van de sinussen van die hoeken? 1.7.2 Formule voor de sinus van een som van twee hoeken Formule sin (a + b) = sin a  cos b + cos a  sin b Controle van de formule • sin (40º + 50º) = sin 90º = 1 sin 40º  cos 50º + cos 40º  sin 50º = sin 40º  sin 40º + cos 40º  cos 40º complementaire hoeken = sin 2 40º + cos 2 40º = 1 • sin (180º + a) = sin 180º  cos a + cos 180º  sin a = 0  cos a + (–1)  sin a = –sin a GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 53 Bewijs van de formule tekening BADEC |AB | sin (α + β) |AB | · sin α | AB |·cos α |AC | · sin β | AC |·cos β α β gegeven  ABC te bewijzen sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b bewijs • in de driehoek ABC teken je de hoogtelijn AD op BC De hoogtelijn verdeelt de hoek B ^ AC in de hoeken a en b • Je berekent de oppervlakte van de driehoek ABC op twee manieren: 1) met de formule basis 2hoogte oppervlakte van  ABC = 21  | AC |  | BE | in  ABE: | BE | = | AB | sin (a + b) = 21 | AC | | AB | sin (a + b) (1) 2) als de som van de oppervlakten van  ABD en  ADC: oppervlakte  ABD + oppervlakte  ADC = 21  | BD |  | AD | + 21  | DC |  | AD | in  ABD: | BD | = | AB | sin a in  ADC: | AD | = | AC | cos b | AD | = | AB | cos a | DC | = | AC | sin b = 21  | AB |  sin a  | AC |  cos b + 21  | AC |  sin b  | AB |  cos a (2) • Uit (1) en (2) volgt: 21  | AC |  | AB |  sin (a + b) = 21  | AB |  sin a  | AC |  cos b + 21  | AC |  sin b  | AB |  cos a Je deelt beide leden door 21  | AC |  | AB | en je verkrijgt: sin (a + b) = sin a  cos b + cos a  sin b sinbesluit( a + b) = sin a  cos b + cos a  sin b ©VANIN

54 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213

©VANIN

1.7.3 Formule voor de sinus van een verschil van twee hoeken sin (a – b) = sin [a + (–b)] = sin a cos (–b) = cos b + cos a sin (–b) = –sin b = sin a cos b + cos a (–sin b) = sin a cos b – cos a sin b tegengestelde hoeken

Formule sin (a – b) = sin a  cos b – cos a  sin b 1.7.4 Formule voor de cosinus van een som van twee hoeken cos (a + b) = sin [90º – (a + b)] complementaire hoeken = sin [(90º – a) – b] sinus van een verschil = sin (90º – a)  cos b – cos (90º – a)  sin b complementaire hoeken = cos a  cos b – sin a  sin b Formule cos (a + b) = cos a  cos b – sin a  sin b

1.7.5 Formule voor de cosinus van een verschil van twee hoeken cos (a – b) = [a + (–b)] = cos a cos (–b) = cos b – sin a sin (–b) = –sin b = cos a cos b – sin a (–sin b) = cos a cos b + sin a sin b cos tegengestelde hoeken Formule cos (a – b) = cos a  cos b + sin a  sin b

Formule tan (a – b) = tan a – tan b 1 + tan a tan b (als beide leden bestaan)

1.7.7 Formule voor de tangens van een verschil van twee hoeken tan (a – b) = tan [a + (–b)] = tan a + tan (–b) 1 – tan a tan (–b) = tan a – tan b 1 + tan a tan b

Formule voor de tangens van een som van twee hoeken tan (a + b) = sin (a + b) cos (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b – sin a sin b teller en noemer delen door cos a cos b ≠ 0 = sin a cos b cos a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b –sin a sin b cos a cos b = sin a cos a + sin b cos b 1 –sin a cos a sin b cos b = tan a + tan b 1 – tan a tan b

Samenvatting sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b cos (a + b) = cos a  cos b – sin a  sin b cos (a – b) = cos a  cos b + sin a  sin b tan (a + b) = tan a + tan b 1 – tan a tan b tan (a – b) =tan (a – b) = tan a – tan b 1 + tan a tan b

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 55

1.7.6

©VANIN

Formule tan (a + b) = tan a + tan b 1 – tan a tan b (als beide leden bestaan)

56 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.7.8 Toepassingen Identiteiten bewijzen Voorbeeld 1 Toon aan: sin (a + b) sin (a – b) = sin 2 a – sin 2 b sinBewijs:( a + b)  sin (a – b) = (sin a  cos b + cos a  sin b)  (sin a  cos b – cos a  sin b) = (sin a  cos b) 2 – (cos a  sin b) 2 = sin 2 a  cos 2 b – cos 2 a  sin 2 b = sin 2 a (1 – sin 2 b) – (1 – sin 2 a) sin 2 b = sin 2 a – sin 2 a sin 2 b – sin 2 b + sin 2 a sin 2 b = sin 2 a – sin 2 b Voorbeeld 2 Toon aan: tan a – tan b tan a + tan b = sin (a – b) sin (a + b) Bewijs: Alternatief bewijs: tan a – tan b tan a + tan b = sin a cos a –sin b cos b sin a cos a + sin b cos b sin (a – b) sin (a + b) = sin a cos b – cos a sin b sin a cos b + cos a sin b je deelt teller en noemer door cos a  cos b ≠ 0 = sin a cos a cos b cos b –sin b cos b cos a cos a sin a cos a cos b cos b + sin b cos b cos a cos a = sin a cos b – cos a sin b cos a cos b sin a cos b + cos a sin b cos a cos b = sin a cos b – sin b cos a cos a cos b sin a cos b + sin b cos a cos a cos b = sin a cos b cos a cos b –cos a sin b cos a cos b sin a cos b cos a cos b + cos a sin b cos a cos b = sin a cos b – sin b cos a sin a cos b + sin b cos a = tan a – tan b tan a + tan b = sin (a – b) sin (a + b) ©VANIN

VERDIEPING 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 57 Formules voor dubbele hoeken Bereken op 0,000 01 nauwkeurig. sin 60º = 2  sin 30º = cos 40º = 2 cos 20º = tan 120º = 2 tan 60º = Je stelt vast dat het goniometrisch getal van het dubbele van een hoek niet gelijk is aan het dubbele van dat goniometrisch getal. Zie je het dubbele van een hoek als de som van een hoek met zichzelf, dan kun je met de somformules het juiste verband afleiden. • sin 2a = sin (a + a) = sin a  cos a + cos a  sin a = 2  sin a  cos a • cos 2a = cos (a + a) cos 2a = cos (a + a) cos 2a = cos (a + a) • tan 2a = tan (a + a) Samenvatting sin 2a = 2  sin a  cos a cos 2a = cos 2 a – sin 2 a tan 2a = 2 tan a 1 – tan 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2  sin 2 a ©VANIN

58 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA Formularium sin (a + b) = sin a  cos b + cos a  sin b sin (a – b) = sin a  cos b – cos a  sin b cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b tan (a + b) =tan (a + b) = tan a + tan b 1 – tan a tan b tan (a – b) =tan (a – b) = tan a – tan b 1 + tan a tan b 39 Vul aan. a) sin (d – e) = b) sin (r + t) = c) cos (r – t) = d) cos (b + g) = e) tan (r + t) = f) tan (g – d) = 40 Pas de som- en verschilformules toe. a) sin (90º – a) = b) cos (180º + a) = c) tan (180º – a) = d) sin (360º – a) = e) cos (270º – a) = f) tan (180º + a) = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 59 41 Vul aan. a) sin 3x cos 5x + cos 3x sin 5x = b) cos 2s cos 8s – sin 2s sin 8s = c) sin 10a  cos 5a – cos 10a  sin 5a = d) cos x  cos 2x – sin x  sin 2x = e) cos y cos 5y + sin y sin 5y = f) tan 4a – tan 3a 1 + tan 4a tan 3a = REEKS B 42 Bewijs de identiteiten. a) sin (a + b) + sin (a – b) cos (a + b) + cos (a – b) = tan a b) sin (a + b)  cos a – cos (a + b)  sin a = sin b ©VANIN

60 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKS C 43 Vereenvoudig. a) sin (a + b) – sin (a – b) cos (a + b) – cos (a – b) b) cos a sin b cos (a + b) + cos (a – b) c) cos (a + b) + cos (a – b) cos a cos b d) tan (45º + a)  tan (45º – a) ©VANIN

Toren van Pisa De (scheve) toren van Pisa is de vrijstaande klokkentoren (een campanile) bij de kathedraal van Pisa (Duomo di Pisa). De toren is een van de onderdelen van het Campo dei miracoli. De bedoeling was een verticale toren te bouwen, maar het overhellen begon kort na het begin van de bouw in augustus 1173. Bouwmeesters waren Gugilmo en Buonanno. De toren is 55 meter hoog en de massa wordt geschat op 14 453 ton. De huidige helling is ongeveer 10 %. De toren heeft 297 treden. naar verluidt liet Galilei voorwerpen van de toren naar beneden vallen om de valeigenschappen te bestuderen. Dat wordt als een mythe beschouwd. Op 27 februari 1964 vroeg de italiaanse regering om hulp om te zorgen dat de toren niet zou omvallen. Op 7 januari 1990 werd de toren gesloten uit veiligheidsoverwegingen.

©VANIN

Vervolgens werd hij gerestaureerd om de helling te verminderen. na ruim tien jaar werk werd de toren weer voor het publiek geopend op 15 december 2001. in augustus 2004 heeft een evaluatie van experts uitgewezen dat de toren de eerstvolgende drie eeuwen niet zal instorten. De toren is opnieuw in veiligheid, stelde professor Carlo Viggiani van de universiteit van napels in de italiaanse media.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 61 1.8 Willekeurige driehoeken oplossen Als je de top van de toren van Pisa vanuit twee punten observeert, dan zijn de hoeken waaronder je de top ziet respectievelijk 47º 43 35 en 28º 48 39

De hellingshoek van de toren zelf bedraagt 81º. Wat is de hoogte x van de toren als de observatiepunten, die in een lijn liggen met de toren, 50 m uit elkaar liggen? ’’93’84°82’’53’34°74 50 m 81°

x

Professor michele Jamiolkowski, de ingenieur die de renovatiewerken leidde, voegde eraan toe dat de 800 jaar oude toren sinds september 2003 opnieuw stabiel is. Gedurende de laatste fase van de renovatie, die 28 miljoen euro kostte, hebben de experts de fundamenten van het gebouw versterkt en de toren 44 centimeter rechtop getrokken. De overhelling bedraagt nu iets meer dan vier meter. er werd beslist de toren niet opnieuw recht te zetten, want dat zou het toerisme geen goed doen. De toren heeft opnieuw dezelfde inclinatie als in het jaar 1800.

62 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.8.1 De sinusregel Bereken de verhoudingen op een eenheid nauwkeurig. A 60° 45°75° bBC = 35 c = 48 a = 43 a sin 60º = b sin 45º = c sin 75º = Ab = 43 Ca = 23 cB = 58 20° 120° 40° a sin 20º = b sin 40º = c sin 120º = Sinusregel a sin a = b sin b = c sin g AB bCcaα γ β De verhouding van een zijde op de sinus van de overstaande hoek is constant. Bewijs van de sinusregel Eerste geval: driehoek ABC is rechthoekig tekening ABC bc a α γ β gegeven een rechthoekige driehoek ABC met g = 90º te bewijzen a sin a = b sin b = c sin g bewijs in een rechthoekige driehoek ABC geldt: sin a = ca fi a sin a = c sin b = bc fi b sin b = c sin 90º = 1 fi c sin g = c besluit a sin a = b sin b = c sin g GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 63 Tweede geval: driehoek ABC is scherphoekig tekening ABC cba D α γ β gegeven een scherphoekige driehoek ABC te bewijzen a sin a = b sin b = c sin g bewijs in een scherphoekige driehoek ABC met hoogte [ BD ] op AC geldt: ABD is rechthoekig sin a = | BD | c sin g = | BD | a c sin a = | BD | a sin g = | BD | c sin a = a sin g a sin a = c sin g flfl BCD is rechthoekig ¤ ¤ ¤ fl Analoog kun je aantonen dat a sin a = b sin b besluit a sin a = b sin b = c sin g ©VANIN

64 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Derde geval: driehoek ABC is stomphoekig tekening ABC cba D α βγ gegeven een stomphoekige driehoek ABC met b > 90º te bewijzen a sin a = b sin b = c sin g bewijs in een stomphoekige driehoek ABC met hoogte [ CD ] op AD geldt: CBD isrechthoekig CAD isrechthoekig sin(180º b)= | DC | a sin a = | DC | b supplementairehoeken sinsin b == | DC | a b b sin a =| DC || DC | a sin b = b sin a a sin a = b sin b flfl fl a fl ¤ ¤ ¤ Analoog kun je aantonen dat a sin a = c sin g . besluit a sin a = b sin b = c sin g ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 65 1.8.2 De cosinusregel Teken de hoogtelijn uit B op AC en noem het snijpunt D in de rechthoekige driehoek BDC geldt: ADC B 70° 84° 26° 4 8,5 9 8,5 2 = | BD | 2 + | CD | 2 = | BD | 2 + (9 – | AD |) 2 = (4 sin 70º) 2 + (9 – 4 cos 70º) 2 = 4 2 sin 2 70º + 9 2 – 2 4 9 cos 70º + 4 2 cos 2 70º = 4 2 (sin2 70º + cos2 70º) = 1 + 9 2 – 2 4 9 cos 70º = 4 2 + 9 2 – 2 4 9 cos 70º Cosinusregel a 2 = b 2 + c 2 – 2  b  c  cos a b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g AB bCcaα γ β Het kwadraat van een zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de andere zijden, verminderd met het dubbelproduct van de andere zijden maal de cosinus van de overstaande hoek. Bewijs van de cosinusregel Je bewijst telkens één regel. Het bewijs van de andere regels verloopt dan analoog. Eerste geval: driehoek ABC is rechthoekig tekening ABC bc a α γ β gegeven een rechthoekige driehoek ABC met g = 90º te bewijzen c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g bewijs in een rechthoekige driehoek met g = 90º geldt: c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g ¤ c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos 90º ¤ c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  0 ¤ c 2 = a 2 + b 2 Dit is de stelling van Pythagoras. De stelling van Pythagoras is een bijzonder geval van de cosinusregel. besluit c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g GeoGebra ©VANIN

66 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Tweede geval: driehoek ABC is scherphoekig tekening ABC cba D α γ β gegeven een scherphoekige driehoek ABC te bewijzen a 2 = b 2 + c 2 – 2  b  c  cos a bewijs in een scherphoekige driehoek ABC met hoogte [ BD ] op AC geldt de stelling van Pythagoras: a 2 = | BD | 2 + | DC | 2 a 2 = | BD | 2 + (b – | AD |) merkwaardig2 product a 2 = | BD | 2 + b 2 – 2  b  | AD | + | AD | 2 stelling van Pythagoras a 2 = b 2 + c 2 – 2 b | AD | cos a = | AD | c fi | AD | = c cos a a 2 = b 2 + c 2 – 2  b  c  cos a besluit a 2 = b 2 + c 2 – 2  b  c  cos a ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 67 Derde geval: driehoek ABC is stomphoekig tekening ABC cba D α βγ gegeven een stomphoekige driehoek ABC met b > 90º te bewijzen b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b bewijs in een stomphoekige driehoek ABC met hoogte [ BD ] op AC geldt de stelling van Pythagoras: b 2 = | AD | 2 + | DC | 2 b 2 = (c + | BD |) 2 + | DC | merkwaardig2 product b 2 = c 2 + 2  c  | BD | + | BD | 2 + | DC | 2 stelling van Pythagoras b 2 = c 2 + 2  c  | BD | + a 2 cos (180º – b) = | BD | a supplementaire hoeken –cos b = | BD | a | BD | = –a cos b b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos b besluit b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos b ©VANIN

68 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Gevolgen • a = b 2 + c 2 – 2 b c cos a b = a 2 + c 2 – 2 a c cos b c = a 2 + b 2 – 2 a b cos g • a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos a ¤ 2 b c cos a = b 2 + c 2 – a 2 ¤ cos a = b 2 + c 2 – a 2 2 b c Analoog: cos b = a 2 + c 2 – b 2 2 a c en cos g = a 2 + b 2 – c 2 2 a b 1.8.3 Willekeurige driehoeken oplossen Formularium De som van de hoeken in een driehoek is 180º. CosinusregelSinusregel a + b + g = 180º a sin a = b sin b = c sin g a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos a b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g ABC b ca β α γ Eén zijde en twee hoeken zijn gegeven gegeven in een driehoek ABC zijn c = 12,5 cm a = 25º b = 45º A 12,5 cm CBba 25° 45° γ degevraagdzijden a en b op 0,1 cm nauwkeurig en de hoek g op 1º nauwkeurig oplossing • g = 180º – (a + b) = 180º – (25º + 45º) = 180º – 70º = 110º • a sin a = c sin g ¤ a = c sin a sin g = 12,5 sin 25º sin 110º = 5,6 (cm) • b sin b = c sin g ¤ b = c sin b sin g = 12,5 sin 45º sin 110º = 9,4 (cm) Opmerking Gebruik bij voorkeur enkel de gegeven zijden. Wat is daarvoor de reden? ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 69 Twee zijden en een ingesloten hoek zijn gegeven gegeven in een driehoek ABC zijn b = 8 cm c = 5 cm a = 40º 8 cm 5 40°cm ABC γ β zijdegevraagd a op 0,1 cm nauwkeurig en de hoeken b en g op 1  nauwkeurig oplossing • a = b 2 + c 2 – 2 b c cos a = 82 + 52 – 2 8 5 cos 40º = 5,3 (cm) • De sinusregel is niet aan te raden om hoeken te berekenen, omdat sin (180º – b) = sin b b sin b = a sin a ¤ sin b = b sin a a ¤ sin b = 8 sin 40º a = 0,976 76 fi b = 77º 37 26 of b = 102º 22 34 Je verkrijgt dus een dubbele oplossing. Bij de cosinusregel doet dat probleem zich niet voor, vermits alle hoeken van een driehoek tussen 0º en 180º liggen. • b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b ¤ 2  a  c  cos b = a 2 + c 2 – b 2 ¤ cos b = a 2 + c 2 – b 2 2 a c = a 2 + 52 – 82 2 a 5 = –0,214 33 fi b = 102º 22 34 • g = 180º – (a + b) = 180º – (40º + 102º 22 34) = 37º 37 26 ©VANIN

Bekender echter is de elliptische meetkunde van Riemann. Hij ging ervan uit dat door een punt geen enkele rechte te vinden is die evenwijdig is aan een gegeven rechte (denk hier bijvoorbeeld aan het bepalen van rechten op een bol). in die meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek groter dan 180º. Het is die riemann-meetkunde die einstein later gebruikte in de wiskundige ontwikkeling van de relativiteitstheorie.

70 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Drie zijden zijn gegeven gegeven in een driehoek ABC zijn a = 4 cm b = 7 cm c = 5 cm 7 cm 4 cm5 cm ABC αγ β degevraagdhoekena, b en g op 1  nauwkeurig oplossing • cos a =cos a = b 2 + c 2 – a 2 2 b c = 49 + 25 – 16 2 7 5 cos a = 0,828 57 fi a = 34º 2 52 • cos b =cos b = a 2 + c 2 – b 2 2 a c = 16 + 25 – 49 2 4 5 cos b = –0,2 fi b = 101º 32 13 • g = 180º – (a + b) = 44º 24 55 De som van de hoeken van een driehoek is 180º. Aan die eigenschap twijfelt wellicht niemand. Je bent immers bezig met Euclidische meetkunde en in die meetkunde ga je ervan uit dat door een punt buiten een rechte juist één rechte kan worden bepaald die evenwijdig is met de gegeven rechte. maar is dat wel zo? Je ziet immers de wereld anders dan hij is. De eerste bekende wiskundige die de euclidische meetkunde in twijfel trok, was Carl Friedrich Gauss (1777-1855), toen hij de meetkunde van de gekromde oppervlakten ontdekte bij het bestuderen van de geografie van het koninkrijk Hannover. Hij publiceerde echter nooit zijn theorieën. Uit de bevindingen van Gauss Riemann ontstond de hyperbolische meetkunde (Lobachevski en Bolyai), waarin werd uitgegaan van het axioma dat er oneindig veel rechten kunnen worden bepaald die door een punt gaan en evenwijdig zijn met een gegeven rechte. een gevolg daarvan is dat de som van de hoeken van een driehoek kleiner is dan 180º.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 71 Twee zijden en een niet-ingesloten hoek zijn gegeven gegeven in een driehoek ABC zijn a = 5 cm b = 4 cm b = degevraagd30ºzijde c op 0,01 cm nauwkeurig en de hoeken a en g op 1  nauwkeurig oplossing 5 cm AA' CB 4 cm 4 cm 30° Als je de situatie via een tekening bekijkt, merk je dat er twee oplossingen mogelijk zijn. Dat vind je ook terug bij het oplossen van de driehoek. • a sin a = b sin b ¤ b  sin a = a  sin b ¤ sin a = a sin b b = 5 sin 30º 4 = 0,625 fi a = 38º 40 56 of 141º 19 4 Bij elk van die waarden voor a horen ook waarden voor g en c • als a = 38º 40 56 g = 180º – (30º + 38º 40 56) = 111º 19 4 c = 4 sin g sin 30º = 4 sin 111º 19 4 sin 30º = 7,45 a = 5 cm b = 4 cm Ac CB 30° α γ • als a = 141º 19 4 g = 180º – (30º + 141º 19 4) = 8º 40 56 c = 4 sin g sin 30º = 4 sin 8º 40 56 sin 30º = 1,21 b = 4 cm aA = 5 cm CB 30° γα ©VANIN

72 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Opmerking Uit een situatieschets voor een willekeurige driehoek ABC waar a = 5 cm en b = 30º kun je achterhalen dat naargelang de afmetingen van b • er juist één oplossing is als b = 2,5 cm b > 5 cm 30° b 5 cm 30° b 5 cm • er geen oplossingen zijn als b < 2,5 cm. 30°b 5 cm Let wel dat het bovenstaande geen regel is, maar samengaat met de gegeven a en b Drie hoeken zijn gegeven Twee driehoeken met gelijke hoeken zijn wel gelijkvormig, maar niet noodzakelijk congruent. er zijn dus oneindig veel driehoeken mogelijk bij drie gegeven hoeken. Samenvatting gegeven 1 zijde+ 2 hoeken 2 zijden 3 zijdenniet-ingesloten+hoek ingesloten+hoek oplossen met sinusregel cosinusregel ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 73 REEKSOefeningenA 44 Los de driehoek ABC op. Bereken de zijden op 0,1 en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) a = 57 b = 21º g = 34º b) b = 57 c = 21 a = 34º c) a = 17 b = 19 c = 6 ©VANIN

74 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 45 Los de driehoek ABC op. Bereken de zijden op 0,1 en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) a = 17 b = 39º g = 61º b) b = 37 c = 21 a = 144º c) b = 63 c = 120 g = 134º ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 75 REEKS B 46 Los de driehoek ABC op. Bereken de zijden op 0,01 en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) a = 27,5 b = 43º 19 g = 51º 27 b) b = 25 c = 20 a = 64º 5 23 c) b = 4,5 c = 6 b = 40º ©VANIN

76 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 47 Los de driehoek XYZ op. Bereken de zijden op 0,001 en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) y = 63,75 ^ Z = 134º 35 ^ X = 34º 27 b) x = 175 z = 101 ^ X = 105º c) x = 75 z = 31 ^ Z = 50º ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 77 48 Los de driehoek PQR op. Bereken de zijden op 0,001 en de hoeken op 1 nauwkeurig. a) p = 275 q = 300 r = 100 b) p = 175,4 q = 90,7 ^ Q = 26º 10 c) q = 63,75 r = 144,35 ^ P = 34º 27 21 ©VANIN

78 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 1.8.4 Toepassingen Toepassing uit de topografie x ’’93’84°82’’53’34°74 50 m 81° Je observeert de toren van Pisa vanuit twee punten. Je ziet de top vanuit een hoek van 47º 43 35 en vanuit een hoek van 28º 48 39. De hellingshoek van de toren bedraagt 81º. Wat is de hoogte x van de toren, als de observatiepunten, die in één lijn liggen met de toren, 50 m uit elkaar liggen? Bepaal je antwoord op 1 cm nauwkeurig. ^gegeven A = 81º ^ D1 = 47º 43 35 ^ C = 28º 48 39 | DC | = 50 AB 50 1 2 2 81° xDC gevraagd x ^oplossing D 1 + ^ D 2 = 180º (nevenhoeken) ^ D 2 = 180º – 47º 43  35  = 132º 16  25  ^ B 2 = 180º – 132º 16  25  – 28º 48  39  = 18º 54  56  Sinusregel in  BCD: | BD | sin = | DC | sin ^ C ^ B 2 ¤ | BD | = | DC | sin sin = 50 sin 28º 48 39 sin 18º 54' 56" = 74,33 (m) ^ C ^ B 2 Sinusregel in  ABD: x sin = | BD | sin ^ A ^ D 1 ¤ x = | BD | sin sin = | BD | sin 47º 43 35 sin 81º = 55,69 (m)^ A ^ D 1 De toren is 55,69 m hoog. ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 79 Krachten samenstellen gegeven 180° –ACB FF2F2 FR a a fa 1 de krachten F1 en F2 die een hoek a insluiten (ziegevraagdfiguur) • de grootte van de resultante FR op 1 n nauwkeurig • de hoek tussen F1 en FR op 1 nauwkeurig oplossing • Je noteert het maatgetal van de grootte van de twee krachten als F1 en F2 Je past de cosinusregel toe in de driehoek ABC met | AC | = F1 , | BC | = F2 en | AB | = FR FR = F12 + F22 – 2 F 1 F 2 cos (180º – a) cos (180º – a) = –cosa FR = F12 + F22 + 2 F 1 F 2 cos a Die cosinusregel voor de resultante van twee krachten verschilt dus qua vorm met die uit de wiskunde. • Om f te berekenen, pas je nogmaals de cosinusregel toe. cos f = F12 + FR2 – F22 2 F 1 FR fi f Voorbeeld F1 en F2 hebben hetzelfde aangrijpingspunt en maken een hoek van 60º. F1 is 600 n en F2 is 500 n Hoe groot is dan de resultante en welke hoek maakt die met de krachten? Oplossing 120° F1 F2F2 FR 60° φ FR maakt een hoek van met F1 FR maakt een hoek van met F2 ©VANIN

©VANIN

50 Twee auto’s, die in radiocontact staan met elkaar, volgen in een vlak landschap 40° Philippe30° Laurent 2,5 km een onbemande weerballon. Op een gegeven ogenblik gaan beide auto’s aan de kant staan zodat ze in hetzelfde horizontale vlak 2,5 km van elkaar verwijderd zijn. De bestuurders, Philippe en Laurent, meten de hoek naar de onderkant van de mand. Philippe meet een hoek van 40º en Laurent een hoek van 30º. Hoe hoog bevindt de weerballon zich boven de grond? Bepaal je antwoord op 1 m nauwkeurig.

80 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKSOefeningenA

49 Om een brug te bouwen tussen twee plaatsen (A en B) langs een rivier, moet de ingenieur de afstand 20 m BACtussen beide punten kennen. Daarvoor gaat hij aan één oever van plaats A naar plaats C. De afstand tussen A en C is 20 m. De hoek waaronder B gezien wordt vanuit A ten opzichte van de rechte AC, is 155º 23  . De hoek waaronder B gezien wordt vanuit C ten opzichte van de rechte AC, is 20º 51  Bepaal, op 1 cm nauwkeurig, de afstand tussen A en B.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 81 REEKS B De knoop is een eenheid van snelheid die veel gebruikt wordt in de zeevaart. eén knoop is één zeemijl per uur. eén zeemijl is gedefinieerd als precies 1 852 meter. een knoop is dus een snelheid van 1,852 km/h of 0,514 4... m/s. een zeemijl was ooit gedefinieerd als de lengte van een boogminuut van een grootcirkel van de aarde. Door de afplatting van de aarde was die zeemijl echter niet overal even lang. De doorsnede van een bol met een vlak is een cirkel. Gaat het vlak door het middelpunt van de bol, dan spreek je van een grootcirkel. Zo zijn alle meridianen van onze aardbol in feite grootcirkels. De breedtecirkels of parallellen noem je – afgezien van de evenaar –kleincirkels. 51 Een schip vaart met een snelheid van 15 knopen. De stuurman ziet een vuurtoren eerst onder een hoek van 13º 35 7 en 20 minuten later onder een hoek van 29º 15 40 met zijn vaarrichting. Hoe ver is hij in beide gevallen van de vuurtoren verwijderd? Bepaal je antwoord op 1 m nauwkeurig. A α = 13° 35' 7'' C B 29° 15' 40'' ©VANIN

82 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 52 De diagonalen van een parallellogram meten 64 mm en 100 mm. Ze snijden elkaar onder een hoek van 50º. Bereken de zijden van dat parallellogram op 0,1 mm en de hoeken op 1 . 50° A BMC D ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 83 53 Bereken de grootte, op 1 N, en de richting, op 1, van de resultante van twee krachten, 500 N en 700 N groot, als de richtingen van beide krachten een hoek vormen van 36º 25 17 . 36º 25 17 500 N 700 N 54 Bereken de grootte, op 1 N, en de richting, op 1 , van de resultante van twee krachten, 1 500 N en 925 N groot, als de richtingen van beide krachten een hoek vormen van 125º 34  125º 34 1 500 N 925 N 55 Gegeven: K het midden van [ BC ] L het midden van [ EH ] BerekenGevraagd:de hoek a op 1  nauwkeurig. ABKC 10 cm 4 cm 4 cm α ELHG DF ©VANIN

84 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 56 Vanaf de top van een mast van 24 m hoog worden twee metalen kabels, die onderling een hoek van 32º maken, in de grond gespannen. De ene kabel komt in de grond op 10 m van de mast, de andere op 8 m van de mast.

24 m 10 m 8 m 57 Een piramide ingeschreven in een kubus heeft een vierkant grondvlak met zijde 30 cm. a)Bereken:dehoek a tussen twee opstaande ribben; b) de hoek b tussen de gronddiagonaal en een opstaande ribbe. Rond de hoeken af op 1  nauwkeurig.ABC 30 cm 30 cm α β HG ETDF ©VANIN

Bereken

Waar de kabels in de grond komen, wordt telkens een verstraler gezet. de afstand tussen de twee verstralers. Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 85 58 Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC. 15 cm 18 cm 8 cm BACBepaal je antwoord op 0,01 cm2 nauwkeurig. 59 Bereken de lengte van de zwaartelijnen in de driehoek ABC als | BC | = 25 cm, ^ B = 48º en ^ C = 55º. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig. A CB bc a ©VANIN

86 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 REEKS C 60 Twee werklieden proberen een zware kist langs een hellend vlak naar binnen te trekken. Bereken de grootte van de resultante F R . Bepaal je antwoord op 1 N nauwkeurig. Bereken de hoek tussen F 2 en F R . Bepaal je antwoord op 1 nauwkeurig. 61 Hieronder zie je een schematische voorstelling van een kruk- en drijfstangmechanisme. 60º 80 cm 40 cmBACO Bereken de lengte van het uitgeschoven gedeelte [CB ] van de drijfstang bij een hoek van 60º. Bepaal je antwoord op 0,1 cm nauwkeurig. F1 = 6 N F2 = 7 N 65° ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 87 62 Vanuit twee punten A en B zie je aan de overzijde van een rivier twee torens D en C AD 32° 40° 120°76° BC 512,5 m Bereken de afstand tussen de twee torens met de meetgegevens op de figuur. Bepaal je antwoord op 1 cm nauwkeurig. 63 Gegeven: een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 20 cm en opstaande ribben van 45 cm. Bereken de hoeken van de driehoek ABC 16 cm CAB 18 cm Bepaal je antwoord op 1  nauwkeurig. ©VANIN

88 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 64 De evenwijdige zijden van een trapezium meten 12 cm en 16 cm. De opstaande zijden zijn 4,5 cm en 5 cm lang. Bereken van dat trapezium de grootte van de hoeken op 1  nauwkeurig en de lengte van de diagonalen op 1 mm nauwkeurig. 1 A CD B16125 4,5 ©VANIN

Voor een willekeurige hoek a definieer je: cot a = cos a sin a als sin a ≠ 0 Gevolg: cot a = 1 tan a als tan a ≠ 0. De cotangens van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt Ey (0, 1) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek. De hellingshoek a van een rechte is de georiënteerde hoek tussen die rechte en de x-as. in een orthonormaal assenstelsel is de tangens van de hellingshoek van een rechte gelijk aan de richtingscoëfficiënt van die rechte.

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1. KUNNEN  +  + een georiënteerde hoek voorstellen door zijn beeldpunt op de goniometrische cirkel. De hoofdwaarde van een hoek bepalen.

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 89 STUDIEWIJZER Goniometrie 1.1 Goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + De sinus (sin) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde schuine zijde .

De cosinus (cos) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding aanliggende rechthoekszijde schuine zijde De tangens (tan) van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde 1.2 Georiënteerde hoeken KENNEN  +  + een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt. 1.3 De goniometrische cirkel KENNEN  +  +

De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel. De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

1.4 Goniometrische getallen van een hoek KENNEN  +  +

Voor een willekeurige hoek a definieer je: tan a = sin a cos a als cos a ≠ 0 De tangens van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het snijpunt van de raaklijn in het punt Ex (1, 0) aan de goniometrische cirkel en het eindbeen van de hoek.

©VANIN

voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN  +  + met de rekenmachine de goniometrische getallen van een hoek kunnen berekenen. een hoek tekenen aan de hand van een goniometrisch getal. De goniometrische getallen schatten bij een getekende hoek. De hellingshoek van een rechte bepalen. Goniometrische getallen van verwante hoeken KENNEN –  + –  +

Twee georiënteerde hoeken zijn supplementair als hun som de gestrekte hoek is. cos (180o – a) = –cos a sin (180o – a) = sin a tan (180o – a) = –tan a cot (180o – a) = –cot a Twee georiënteerde hoeken zijn antisupplementair als hun verschil de gestrekte hoek is. cos (180o + a) = –cos a sin (180o + a) = –sin a tan (180o + a) = tan a cot (180o + a) = cot a

Twee georiënteerde hoeken zijn tegengesteld als hun som de nulhoek is. cos (–a) = cos a sin (–a) = –sin a tan (–a) = –tan a cot (–a) = –cot a

Twee georiënteerde hoeken zijn gelijk als hun maatgetallen, op een veelvoud van 360 na, aan elkaar gelijk zijn. Gelijke hoeken hebben gelijke goniometrische getallen.

1.5

Grondformule:cos2 a + sin 2 a = 1 Afgeleide formules: cos 2 a = 1 – sin 2 a sin 2 a = 1 – cos 2 a 1 + tan 2 a = 1 cos2 a

90 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213

Twee georiënteerde hoeken zijn complementair als hun som de rechte hoek is. cos (90o – a) = sin a sin (90o – a) = cos a tan (90o – a) = cot a cot (90o – a) = tan a Twee georiënteerde hoeken zijn anticomplementair als hun verschil de rechte hoek is. cos (90o + a) = –sin a sin (90o + a) = cos a tan (90o + a) = –cot a cot (90o + a) = –tan a KUNNEN  +  + een verwantschap tussen twee hoeken herkennen. De relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek onderling en tussen die van verwante hoeken gebruiken. met de rekenmachine hoeken terugzoeken waarvan een goniometrisch getal gegeven is. 1.6 Relaties tussen de goniometrische getallen van een hoek KENNEN –  + –  + Afgeleide formules uit tan a = sin a cos a (als cos a ≠ 0): sin a = tan a  cos a cos a = sin a tan a (als tan a bestaat en verschillend is van 0)

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 91 voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN  +  + Uit een goniometrisch getal van een hoek de andere goniometrische getallen afleiden. De grondformule en de afgeleide formules gebruiken om goniometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen of identiteiten te bewijzen. 1.7 Som- en verschilformules KENNEN  +  + Som- en verschilformules: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b tan (a + b) = tan a + tan b 1 – tan a tan b tan (a – b) = tan a – tan b 1 + tan a tan b KUNNEN –  + –  + Uit een gegeven somformule de andere som- en verschilformules afleiden. De som- en verschilformules toepassen. 1.8 Willekeurige driehoeken oplossen KENNEN  +  + De sinusregel bewijzen a sin a = b sin b = c sin g De cosinusregel bewijzen a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos a b 2 = a 2 + c 2 – 2  a  c  cos b c 2 = a 2 + b 2 – 2  a  b  cos g KUNNEN  +  + De sinusregel en cosinusregel gebruiken bij het oplossen van willekeurige driehoeken. Bij realistische opgaven de oplossing interpreteren. ©VANIN

©VANIN

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019

92 4 XL I HOOFDSTUK 1 I G O ni O me T r ie 1 1086432579111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑

1. De directrice vindt glas recycleren belangrijk in haar school. Het glas is ofwel wit, ofwel gekleurd. Ze krijgt drie verschillende glastransformatoren. Twee van de glastransformatoren kunnen elk twee stuks recycleerbaar glas verwerken. De derde transformator kan één stuk recycleerbaar glas verwerken. Deze machine produceert enkel wit glas als er twee witte stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert gekleurd glas op. Deze machine produceert enkel gekleurd glas als er twee gekleurde stukken glas in gelegd worden. elke andere combinatie levert wit glas op. Deze machine transformeert gekleurd glas in wit glas en wit glas in gekleurd glas. De directrice bedacht het volgende systeem: X Y Z T Welk soort glas moet de directrice in de machine leggen op de punten X, Y, Z en T, zodat er enkel nog wit glas uitkomt? X Y Z T A wit wit gekleurd wit B gekleurd gekleurd gekleurd wit C wit gekleurd gekleurd wit D gekleurd gekleurd wit gekleurd Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2019 2. een luchtvaartmaatschappij biedt vluchten aan tussen verschillende wereldsteden, zoals afgebeeld in dit schema. Washington, D.C. San Francisco New York Londen Parijs

CaïroMoskou Kuala Lumpur Om haar CO2-uitstoot te verminderen en op die manier een steentje bij te dragen aan het klimaat, wil de maatschappij enkele van haar routes schrappen, maar op zo’n manier dat haar klanten nog altijd naar dezelfde steden kunnen vliegen. (Als ze bijvoorbeeld de route tussen San Francisco en Washington schrapt, kunnen klanten nog altijd van San Francisco naar Washington vliegen via new York.) Hoeveel routes kan de maatschappij schrappen?

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 93 HOOFDSTUK 2 I TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN 2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende 94 2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 97 2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 107 2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 123 2.5 Vraagstukken 130 2.6 Vergelijkingen herleidbaar tweedegraadsvergelijkingentot 142 Studiewijzer 146 Problemen uit JWO 148 ©VANIN

Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende Boer jelle bakent een rechthoekig stuk weiland af met een lint van 134 meter.

• Keuze van de onbekende: Stel: de breedte is x. De lengte is dan • Opstellen van de vergelijking: • antwoord: • Controle: een aantal probleemstellingen kun je oplossen met behulp van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. Die techniek leerde je al in het tweede en derde jaar.

werkwijze • Werk, indien nodig, eerst de haakjes uit.

Bereken de afmetingen van dat stuk weiland, als je weet dat de lengte 7 meter groter is dan de breedte.

• Plaats alle termen met de onbekende in het ene lid en alle andere termen in het andere lid.

• Deel beide leden door de coëfficiënt van de onbekende, als die niet nul is.

2.1.1 Inleiding

94 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.1

Oplossing

• Werk beide leden uit.

©VANIN

Bereken de lengte van de twee rechthoekszijden, als je weet dat de oppervlakte 144 cm2 bedraagt.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 95 2.1.2 Voorbeeld van een rechthoekige driehoek is de ene rechthoekszijde dubbel zo lang als de andere.

De bovenstaande probleemstelling kun je niet oplossen met een vergelijking van de eerste graad in één onbekende. je stelt een vergelijking van de tweede graad in één onbekende op. Oplossing • Keuze van de onbekende: Stel: de kortste rechthoekszijde is x. De langste rechthoekszijde is dan • Opstellen van de vergelijking: Slechts een van de verkregen oplossingen heeft betekenis, namelijk • antwoord: • Controle:

©VANIN

96 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.1.3 Tweedegraadsvergelijkingen Definitie Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a Œ R0 en b, c Œ R. andere benamingen zijn vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking. waarom mag a niet gelijk zijn aan 0? De coëfficiënten b en c mogen wel 0 zijn. in dat geval spreek je van een onvolledige tweedegraadsvergelijking Voorbeelden a) Plaats een vinkje bij de tweedegraadsvergelijkingen. b) noteer bij elke tweedegraadsvergelijking de coëfficiënten a, b en c c) Duid met een kruisje aan welke tweedegraadsvergelijkingen volledig of onvolledig zijn. a b c volledig onvolledig r 2x 2 – 3x + 1 = 0 r r r 4x – 6 = x + x 2 r r r (2x – 3) (x + 4) = 7x + 2x 2 r r r (3 – 3x)  (2 + x) = 7 – 3x r r r 2x  (x – 2) = x + 3x 2 r r ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 97 2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen 2.2.1 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) Inleiding van een product naar een som van een som naar een product 2x (x + 1) = x 2 – 9x = x x (–x + 3) = –7x 2 + 2x = x 10x  (–10 + x) = 8x + x 2 = x  De distributieve eigenschap laat je toe om een gemeenschappelijke factor buiten de haakjes te plaatsen. Die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 2x 2 – 7x = 0 4 x 2 – 16 x = 0 x  (2x – 7) = 0 een product is nul als een van de factoren nul is. x = 0 of 2x – 7 = 0 x = 0 of 2x = 7 x = 0 of x = 27 V = 0, 27 {} Let op! wat is er verkeerd aan de volgende methode? 2x 2 – 7x = 0 2x 2 = 7x 2x = 7 x = 27 V = 27 {} algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) op te lossen, kun je de gemeenschappelijke factor x afzonderen en elk van de factoren gelijkstellen aan nul. ©VANIN

98 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.2.2 Vergelijkingen van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) Inleiding van een product naar een som van een som naar een product (x + 1)  (x – 1) = x 2 – 9 = (x – 6)  (x + 6) = 16 – x 2 = (–4 – x) (–x + 4) = –25 + x 2 = Het merkwaardig product (a + b)  (a – b) = a 2 – b 2 laat je toe om het verschil van twee kwadraten te schrijven als een product. Ook die methode kun je gebruiken om onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 9x 2 – 16 = 0 methode 1 methode 2 (3x + 4) (3x – 4) = 0 3x + 4 = 0 of 3x – 4 = 0 3x = – 4 of 3x = 4 x = 43 of x = 43 V = 43 , 43 {} 9x 2 = 16 x 2 = 169 x = 169 of x = 169 x = 43 of x = 43 V = 43 , 43 {} Voorbeeld 2 3x 2 – 12 = 0 methode 1 methode 2 3 x + 12 () 3 x – 12 () = 0 3 x + 12 = 0 of 3 x – 12 = 0 3 x = –12 of 3 x = 12 x = 123 of x = 123 x = –2 of x = 2 V = {–2, 2} 3x 2 = 12 x 2 = 4 x = –4 of x = 4 x = –2 of x = 2 V = {–2, 2} ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 99 Voorbeeld 3 –2x 2 – 8 = 0 methode 1 methode 2 –2x 2 – 8 = 0 Het linkerlid is geen verschil van twee kwadraten en dus niet ontbindbaar volgens deze methode. V = ∆ –2x 2 = 8 x 2 = –4 Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen. V = ∆ algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de volgende methodes: • de formule van het verschil van twee kwadraten: a 2 – b 2 = (a + b)  (a – b); • de definitie van een vierkantswortel. 2.2.3 Vergelijkingen van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) Voorbeeld –2x 2 = 0 x 2 = 0 x = 0 V = {0} algemeen Om een onvolledige tweedegraadsvergelijking van de vorm ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) op te lossen, kun je gebruikmaken van de definitie van een vierkantswortel. Er is telkens maar één oplossing: 0. een veelterm schrijven als het product van twee of meerdere factoren, noem je ontbinden in factoren De veelterm 3x 2 + 5x kun je ontbinden in twee factoren en noteren als 3x 2 + 5x = x  (3x + 5). je noemt die veelterm ontbindbaar instructiefilmpje ©VANIN

100 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 Oefeningen REEKS A 1 Los de onvolledige vergelijkingen op door een gemeenschappelijke factor af te zonderen. a) 15x 2 – 3x = 0 e) 4x – 12x 2 = 0 b) 5x 2 – 8x = 0 f) –12x 2 – 15x = 0 c) 3x 2 + 4x = 0 g) 81x 2 + 27x = 0 d) –10x 2 + 6x = 0 h) –25x 2 – 12x = 0 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 101 2 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. verschil van twee kwadraten definitie vierkantswortel a) 4x 2 – 9 = 0 b) x 2 – 16 = 0 c) 36x 2 – 25 = 0 d) –1 + 49x 2 = 0 e) 4 + 81x 2 = 0 ©VANIN

102 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS B 3 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x 2 – 9x = 0 g) –16x 2 = 4 b) 5x 2 – 20 = 0 h) 2x 2 = 9x c) 2x 2 + 16 = 0 i) –16x 2 = –9 d) 12x 2 + 4x = 0 j) –4 – 3x 2 = 0 e) –2x 2 + 5x = 0 k) 3x = –8x 2 f) –25x 2 + 9 = 0 l) –16x 2 = 4x ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 103 4 Los de onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op. a) 2x 2 – 21 = 0 f) 27 x 2 = 4x b) 43 x 2 + 21 x = 0 g) 89 + 21 x 2 = 0 c) 65 x 2 + 23 x = 0 h) 45 x 2 = 71 x 2 d) 51 x 2 – 4 = 0 i) 83 x 2 = 163 e) 35 x 2 = 0 j) 115 x 2 = 31 x ©VANIN

104 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

6 Een projectiel wordt vanaf de grond verticaal omhooggeschoten. De hoogte h (in m) die het bereikt na t seconden wordt gegeven door de formule h = 90t − 5t 2. Na hoeveel seconden zal het projectiel opnieuw op de grond vallen?

7 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 243 m2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

5 De lengte van een rechthoekig stuk land is driemaal de breedte. De oppervlakte is 1 875 m2 Bereken de afmetingen van dat stuk land.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 105 REEKS C 8 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) (x – 3) 2 = 25 c) –5 (x – 2) 2 – 20 = 0 b) 4  (x + 5) 2 – 25 = 0 d) –3  (5x – 4) 2 + 12 = 0 9 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) (x + 1) 2 – 2  (x + 1) = 0 c) –3  (2 – 3x) 2 = 7  (2 – 3x) b) 3  (2x – 1) = 2  (2x – 1) 2 d) 8  (6 – 3x) 2 = –5  (3x – 6) x – 3 = –5 of x – 3 = 5 x = – 2 of x = 8 V = –2, 8 {} (x + 1) [(x + 1) – 2] = 0 (x + 1)  (x – 1) = 0 x + 1 = 0 of x – 1 = 0 x = –1 of x = 1 V = –1, 1 {} ©VANIN

©VANIN

a) Bereken twee getallen waarvan de som 22 en het product 112 is.

De Babyloniërs hebben ongeveer 4 000 jaar geleden een methode ontwikkeld om twee getallen te bepalen waarvan de som en het product gegeven zijn.

voorbeeld: van twee getallen is de som 10 en het product 21. De getallen werden voorgesteld als 5 – x en 5 + x (twee getallen die even ver van 5 liggen), zodat geldt: (5 – x) (5 + x) = 21. na uitwerking verkrijg je: 25 – x 2 = 21 of x 2 = 4.

106 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

vermits de Babyloniërs nog geen negatieve getallen kenden, vonden ze: x = 2. De twee gevraagde getallen zijn dus 3 en 7. 10 Los op met de methode van de Babyloniërs.

b) Bereken twee getallen waarvan de som 100 en het product 2 331 is.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 107 2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen 2.3.1 De methode van de kwadraatafsplitsing Inleiding werk uit. Schrijf als het kwadraat van een tweeterm. (x + 4) 2 = x 2 + 6x + 9 = = = (x – 6) 2 = 16 – 8x + x 2 = = = (5 + x) 2 = 4x 2 + 4x + 1 = = = Het merkwaardig product (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 laat je toe om sommige drietermen te schrijven als een kwadraat van een tweeterm Die methode kun je gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. Voorbeeld 1 x 2 – 4x + 4 = 0 x 2 + 2 x (–2) + (–2) 2 = 0 (x – 2) 2 = 0 je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x – 2 = 0 x = 2 V = {2} Voorbeeld 2 x 2 + 8x + 7 = 0 x 2 + 8x = –7 je verandert de constante term van lid. x 2 + 2 x 4 + 4 2 = –7 + 4 2 je vermeerdert beide leden met 4 2 (x + 4) 2 = 9 je noteert het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x + 4 = –3 of x + 4 = 3 x = –7 of x = –1 v = {–7, –1} ©VANIN

108 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKSOefeningenB 11 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van kwadraatafsplitsing. a) x 2 + 10x + 25 = 0 e) x 2 + 6x + 8 = 0 b) x 2 – 6x + 9 = 0 f) x 2 – 2x – 35 = 0 c) 16x 2 + 8x + 1 = 0 g) 3x 2 + 24x – 27 = 0 d) 9x 2 – 6x + 1 = 0 h) 2x 2 – 20x + 68 = 0 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 109 2.3.2 De formules opstellen ax 2 + bx + c = 0 met a Œ R0 en b, c Œ R je deelt beide leden door a x 2 + ba x + ac = 0 je verandert de constante term van lid. x 2 + ba x = ac je maakt het dubbel product zichtbaar. x 2 + 2 b 2a x = ac je vermeerdert beide leden met b 2a 2 x 2 + 2 b 2a x + b 2a 2 = ac + b 2a 2 je schrijft het linkerlid als een kwadraat van een tweeterm. x + b 2a 2 = ac + b 2 4a 2 je werkt het rechterlid verder uit. x + b 2a 2 = b 2 – 4ac 4a 2 Stel: D = b 2 – 4ac. x + b 2a 2 = 4D a 2 Het linkerlid is een kwadraat en dus positief. Ook de noemer van het rechterlid is positief. Daarom is de teller van het rechterlid (b 2 – 4ac) bepalend voor het aantal oplossingen. je noemt D = b 2 – 4ac de discriminant van de vergelijking eerste geval: D > 0 tweede geval: D = 0 derde geval: D < 0 x + b 2a 2 = 4D a 2 x + b 2a = 4D a 2 of x + b 2a = 4D a 2 x + b 2a = 2D a of x + b 2a = 2D a x = b – D 2a of x = b + D 2a V = b – D 2a , b + D 2a x + b 2a 2 = 4D a 2 x + b 2a 2 = 40 a 2 x + b 2a 2 = 0 x + b 2a = 0 x = b 2a V = b 2a {} x + b 2a 2 = 4D a 2 De vergelijking heeft geen oplossingen, want het linkerlid is positief en het rechterlid is strikt negatief. V = ∆ instructiefilmpje ©VANIN

110 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.3.3 Overzicht Om de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac D > 0 D = 0 D < 0 tweeoplossingen:verschillende één oplossing (of twee samenvallende oplossingen): geen reële oplossingen x1 = b – D 2a en x2 = b + D 2a x1 = x2 = b 2a V = b – D 2a , b + D 2a V = b 2a {} V = ∆ als je in de eerste formules D vervangt door 0, dan verkrijg je twee keer hetzelfde resultaat. als D = 0, spreek je daarom van twee samenvallende oplossingen De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking noem je wortels De formules die je in staat stellen om die wortels te berekenen, noem je wortelformules 2.3.4 Voorbeelden a) x 2 – 3x – 10 = 0 c) –6x 2 + 13x + 5 = 0 a = b = c = a = b = c = D = D = b) 16x 2 – 24x + 9 = 0 d) –3x 2 + 5x – 8 = 0 a = b = c = a = b = c = D = D = instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 111 2.3.5 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen met ICT analyseer de situatie door gebruik te maken van diagrammen. Stroomdiagram a, b, c OPLOSSINGGEEN EEN == – –b 2ax1 x= 2 = EEN D < 0 D = 0 D = b 2 – 4 xac 1 x2 –b – D 2 –ba + D 2 a Nassi-Shneiderman diagram TWEEDEGRAADSVERGELIJKING OPLOSSEN Voer de coë ciënten a, b en c in. Bereken de discriminant D = b 2 – 4ac Is D < 0?geenWAARoplossing NIET WAAR NIET WAAR Is D = 0? WAAR x1 x= 2 =–b – D 2 –ba + D 2 =a = – –b 2 xa 1 x2 GEOGEBRA EN PYTHON ©VANIN

• in- en uitvoercommando’s (i/O). actie knoppen scherm

• invoer van de gegevens; • verwerking van de gegevens (formules); • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (OPDr);

©VANIN

Kies het menu met commando’s voor programmabesturing. drawprgmC Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer. drawprgmC

112 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

Programmeeritems voor de grafische rekenmachine REKENMACHINE Om een nieuw programma te maken, moet je de programma-editor openen en een programmanaam invoeren. actie knoppen scherm Open de programma-editor. voer de programmanaam in (maximaal 8 letters) en bevestig met een enter. (Opmerking: de rekenmachine staat al in aLPHa-mode.) drawprgmC 2 entrenterysolve

Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:input en 2:Prompt. resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output.

ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie delen:

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 113 in de wiskunde heb je vaak te maken met ‘als . . . dan . . .’-uitdrukkingen. in de programmeertaal beschik je daarvoor over de iF-THen eLSe-combinatie. iF voorwaarde THen opdrachtopdracht eLSe opdrachtopdracht enD Een programma (VKV) om ax 2 + bx + c = 0 op te lossen BPromptwisHomea,B,C2–4aC Æ D if D<0ThenDisp “geen reeLe OPL” ielsefD=0Then–B/(2a) Æ X Disp “OPL1=OPL2”,X t/n g t/n else(–B – (D)) / (2a) Æ X (–B + (D)) / (2a) Æ Y Disp “OPL 1”,X t/n g t/n Disp “OPL 2”,Y t/n g t/n end gebruik het programma om de tweedegraadsvergelijking 6x 2 + 7x – 3 = 0 op te lossen. actie knoppen scherm activeer het programma vKv drawprgmC (aantalkeren) entrentrenterysolveenterysolve ©VANIN

114 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKSOefeningenA 12 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant. a) x 2 + 2x – 3 = 0 f) x 2 + x + 6 = 0 b) x 2 + 3x – 10 = 0 g) x 2 – 4x – 5 = 0 c) x 2 – x + 2 = 0 h) x 2 + 28x + 196 = 0 d) x 2 – 10x + 25 = 0 i) x 2 – 12x + 40 = 0 e) x 2 + 3x – 2 = 0 j) x 2 + 16x – 64 = 0 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 115 13 Los de tweedegraadsvergelijkingen op met behulp van de discriminant. a) 2x 2 – 5x – 3 = 0 f) 14x 2 – 3x – 5 = 0 b) 25x 2 + 70x + 49 = 0 g) –3x 2 + 6x – 4 = 0 c) 3x 2 – 13x + 12 = 0 h) –64x 2 + 48x – 9 = 0 d) 5x 2 + 15x + 17 = 0 i) –12x 2 + 43x – 21 = 0 e) 6x 2 + x – 1 = 0 j) –9x 2 – 6x – 1 = 0 ©VANIN

116 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS B 14 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 + x – 4 = 0 e) 12x (x + 4) = 24x (2 – x) – 5 b) –4x 2 + 11x – 1 = 0 f) 3x 2 – 4 3 x + 4 = 0 c) 28x = –49 – 4x 2 g) x 2 – 3x + 94 = 0 d) (4x – 1) 2 – 64 = 0 h) 83 x 2 – 45 x + 152 = 0 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 117 15 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) 3x + x  (x – 2) = 0 e) (–3x + 6) 2 – 16 = 0 b) –121x 2 + 4 = 0 f) 36x 2 – 96x + 64 = 0 c) x (11x – 3) = 5 g) x 2 – 1 = 0 d) 3x  (x – 1) = 4 – 3x h) –10x 2 + 15x – 10 = 0 ©VANIN

118 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 16 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) x 2 – 51 312 x + 7 = 0 d) 2x 2 – (x + 2)  (x – 3) = 6 b) 21 – 31 x + 4 + x 2 = 0 e) 14 (x – 4) – (x + 2) = (x + 2) (x – 4) c) x – 31 x + 4 – 91 x = 0 f) (2x – 3) 2 + 17x (x – 1) = 9 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 119 17 Los de tweedegraadsvergelijkingen op. a) (x + 3) 2 – (2x – 1) 2 = 0 c) (3x – 5) 2 – (x – 4) 2 = 0 b) (2x – 1) 2 – 16 (2 – 3x) 2 = 0 d) 4 (–5x – 1) 2 – 9 (1 + x) 2 = 0 ©VANIN

120 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS C 18 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is. a) x 2 + 6x – m = 0 heeft geen oplossingen. e) 2x 2 + 3x – m – 3 = 0 heeft twee verschillende oplossingen. b) x 2 – 3x + 4m = 0 heeft twee verschillende oplossingen. f) –3mx 2 – 4x + 5 = 0 heeft geen oplossingen. c) x 2 + mx + 4 = 0 heeft één oplossing. g) 8mx 2 + 2mx – 2 = 0 heeft één oplossing. d) mx 2 – x + 3m = 0 heeft één oplossing. h) (m – 2)x 2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 heeft twee verschillende oplossingen. ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 121 19 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters). a) x 2 + 7ax + 12a 2 = 0 d) x 2 – 4bx + 4b 2 – 25 = 0 b) x 2 + ax + a 2 =0 e) x 2 – ax + a – 1 = 0 c) x 2 + bx – 43 b 2 = 0 f) 3x 2 – bx – 2b – 12 = 0 ©VANIN

122 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 20 Los op naar x (a en b zijn strikt positieve reële parameters). a) x 2 + ax – b 2 + ab = 0 c) x 2 + ax – bx – ab = 0 b) 4x 2 – 8ax – 9b 2 + 12ab = 0 d) abx 2 + a 2 x – b 2 x – ab = 0 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 123 2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking 2.4.1 De formules opstellen De tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft oplossingen als D ≥ 0. som product S = x 1 + x 2 = b – D 2a + b + D 2a = b – D – b + D 2a = –2b 2a = ba P = x 1 x 2 = b – D 2a b + D 2a = (–b) 2 – ( D ) 2 4a 2 = b 2 – D 4a 2 = b 2 – (b 2 – 4ac ) 4a 2 = b 2 – b 2 + 4ac 4a 2 = 4ac 4a 2 = ac Besluit Als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = b a en P = x 1 x 2 = c a 2.4.2 Voorbeelden Door gebruik te maken van S en P, is het mogelijk sommige eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen ‘uit het hoofd’ op te lossen. a) x 2 – 3x + 2 = 0 c) x 2 + 4x – 21 = 0 S = – –31 = 3 fi x 1 = 1 en x 2 = 2 S = = fi x 1 = en x 2 = P = 21 = 2 P = = V = 1 , 2 {} V = b) x 2 + 9x – 20 = 0 d) 2x 2 – x – 3 = 0 S = = fi x 1 = en x 2 = S = = fi x 1 = en x 2 = P = = P = = V = V = Opmerkingen • als D < 0, dan kunnen de getallen S en P wel berekend worden, maar hebben ze geen reële betekenis. • De som- en productmethode is vooral handig als de coëfficiënt van x 2 gelijk is aan 1 of –1. • als je niet onmiddellijk de oplossingen vindt, gebruik je beter de wortelformules. instructiefilmpje ©VANIN

124 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.4.3 Het omgekeerde vraagstuk gegeven: de som S en het product P van de reële getallen x 1 en x 2 gevraagd: bepaal x 1 en x 2 Oplossing: x 1 + x 2 = S en x 1 x 2 = P fl fl je vervangt x 2 door S – x 1 x 2 = S – x 1 x 1 (S – x 1) = P fl de vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling x 1  S – x 12 = P fl eigenschap gelijkheden x 12 – S  x 1 + P = 0 x 1 is dus een oplossing van de tweedegraadsvergelijking x 2 – Sx + P = 0. analoog kun je aantonen dat ook x 2 een oplossing is van dezelfde vergelijking. Besluit Als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0. Voorbeeld De som van twee getallen is 91 en hun product is – 272 . Bepaal die getallen. DeOplossing:getallen zijn de oplossingen van wegwerken van de noemers: D = x 1 = x 2 = De gevraagde getallen zijn en ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 125 REEKSOefeningenA 21 Los op met de som- en productmethode. a) x 2 – 8x + 7 = 0 g) x 2 – 4x – 96 = 0 b) x 2 – 12x + 20 = 0 h) x 2 + 13x + 36 = 0 c) x 2 + 2x – 15 = 0 i) x 2 + 14x + 40 = 0 d) x 2 + 3x – 28 = 0 j) x 2 – 17x + 18 = 0 e) x 2 – 3x – 18 = 0 k) x 2 + 9x + 70 = 0 f) x 2 + 4x – 12 = 0 l) x 2 – 2x + 35 = 0 ©VANIN

126 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS B 22 Bepaal twee getallen waarvan de som S en het product P gegeven zijn. a) S = –9 en P = 23 d) S = 121 en P = 121 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en b) S = 6 en P = 0 e) S = 361 en P = 725 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en c) S = –1 en P = –3 f) S = – 0,5 en P = – 0,84 De gevraagde getallen zijn De gevraagde getallen zijn en en ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 127 23 Van de tweedegraadsvergelijkingen is telkens één oplossing gegeven. Bereken de andere oplossing zonder gebruik te maken van de discriminant. a) x 2 – 41x – 510 = 0 x 1 = –10 c) 14x 2 + 3x – 2 = 0 x 1 = 27 b) 12x 2 + 11x – 5 = 0 x 1 = 31 d) 54x 2 + 3x – 15 = 0 x 1 = 21 24 Bepaal een tweedegraadsvergelijking met de gegeven oplossingen. Werk de noemers weg. a) 5 en – 4 c) 5 – 3 en 5 + 3 b) 21 en 43 d) 0 en –4 ©VANIN

128 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS C 25 Bepaal de parameter m zodat aan de gegeven voorwaarde voldaan is. a) x 2 – 3x + m = 0 e) 3x 2 + 5mx – 9 = 0 –1 is een oplossing. er zijn twee tegengestelde oplossingen. 1) D ≥ 0: 2) b) –3x 2 + mx – 6 = 0 f) –5x 2 + 6x – 8m = 0 2 is een oplossing. Het product van de wortels is 16. 1) D ≥ 0: 2) c) x 2 + 2mx – 5 = 0 g) x 2 – 8x + 2m = 0 De som van de wortels is 8. Het product van de wortels is 6. 1) D ≥ 0: 2) d) –4x 2 – 3mx + 1 = 0 h) 2x 2 – 7x – 3m = 0 De som van de wortels is 2. De twee wortels zijn elkaars omgekeerde. 1) D ≥ 0: 2) ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 129 26 Welk besluit kun je trekken over de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking? Noteer de juiste letter. a er zijn twee verschillende oplossingen, die allebei positief zijn. B er zijn twee verschillende oplossingen, die allebei negatief zijn. C er zijn twee verschillende oplossingen, waarvan één strikt positieve en één strikt negatieve. D er zijn twee verschillende oplossingen, die elkaars tegengestelde zijn. e er zijn twee verschillende oplossingen en een van de oplossingen is 0. F er is maar één positieve oplossing. g er is maar één negatieve oplossing. H er is maar één oplossing, namelijk 0. a) D > 0 S > 0 P > 0 e) D > 0 S < 0 P < 0 antwoord: antwoord: b) D > 0 S < 0 P > 0 f) D = 0 S = 0 P = 0 antwoord: antwoord: c) D > 0 S = 0 P < 0 g) D > 0 S < 0 P = 0 antwoord: antwoord: d) D = 0 S < 0 P > 0 h) D > 0 S > 0 P < 0 antwoord: antwoord: De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels ©VANIN

130 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 2.5 Vraagstukken 2.5.1 Voorbeeld 1 Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is gelijk aan 342. Bepaal die getallen. Stel: x is het kleinste getal. Het grootste getal is dan • Opstellen van de vergelijking: • Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is Controle:antwoord: 2.5.2 Voorbeeld 2 een kader is 20 cm lang en 12 cm hoog. De foto is 84 cm 2 groot. 12 cm 20 cm Bereken de breedte van het frame, als je weet dat het overal even breed is. Stel: x is de breedte van het frame. De afmetingen van de foto: de lengte is en de hoogte is • Opstellen van de vergelijking: • Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is Controle:antwoord: ©VANIN

• Oplossen van de vergelijking: De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

• Controle: b) Bereken een positief reëel getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat getal vermeerderd met 1 en het omgekeerde gelijk aan dat getal verminderd met 1. Stel: x is het gevraagde getal.

je verkrijgt de volgende vergelijking:

• Opstellen van de vergelijkingen: vergelijking 1: vergelijking 2:

• Controle: ©VANIN

Die vergelijking heeft als oplossingen: x 1 = x2 = De enige aanvaardbare oplossing is (op acht cijfers na de komma).

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 131 2.5.3 Voorbeeld 3 a) verdeel het lijnstuk [AB ] in twee deellijnstukken [AC ] en [CB ], Ax 1 CB zodat het langste stuk zich verhoudt tot het kortste stuk zoals de volledige lengte van het lijnstuk zich verhoudt tot het langste stuk. Stel: Het kortste stuk = | CB | = 1; het langste stuk = | AC | = x

• Opstellen van de vergelijking: x 1 = x + 1 x een gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid.

Het product van de uitersten is dan gelijk aan het product van de middelsten.

• Oplossen van de vergelijkingen: vergelijking 1: vergelijking 2: Beide vergelijkingen leveren dezelfde tweedegraadsvergelijking op, die je ook bij de verdeling van het lijnstuk verkreeg.

©VANIN

Die verhouding werd voor het eerst wiskundig bepaald door euclides, in de derde eeuw vóór Christus. Het getal duikt echter al veel vroeger op in de architectuur. in de klassieke architectuur, en ook later, werd die verhouding gezien als de meest esthetische. enkele beroemde voorbeelden: • De grote piramide van Cheops: de hellingshoek van de schuine vlakken is 51º 50 De cosinus van die hoek is het omgekeerde van ϕ (of dus ook ϕ – 1).

• in het Parthenon, de oude griekse tempel op de akropolis in athene, zijn bepaalde verhoudingen van afmetingen gelijk aan de gulden snede (zie figuur 1).

1,6181 1

• de verhoudingen van de volumes in de opeenvolgende kamers van schelpen (zie figuur 3);

• de verhoudingen bij het menselijk lichaam (zie figuur 4). 1,6181 figuur 2 figuur 3 figuur 4

• Het ‘geheim’ van de goede akoestiek in de griekse theaters is de gulden snede. De verhouding tussen de hoger en lager gelegen tribunes is gelijk aan ϕ

Ook in de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. vooral in de renaissance werd de gulden snede gezien als een universeel schoonheidsideaal. De naam ‘goddelijke verhouding’ dateert dan ook uit die periode. voorbeelden van het gebruik van de gulden snede zijn onder andere te vinden in de volgende beroemde werken:

Het getal ϕ = 1 + 5 2 (‘phi’) noem je de gulden snede of goddelijke verhouding

• de hoeken die waarneembaar zijn bij de spiralen die worden gevormd door de pitten van een zonnebloem of bij madeliefjes, zijn gelijk aan 360º/ϕ of 360º – 360º/ϕ;

.

132 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

• de Mona Lisa (zie figuur 2); • de renaissancetuinen in Frankrijk; • de meeste beeldhouwwerken van rodin;

• de vierkanten van Mondriaan. niet alleen in de wiskunde, de architectuur en de kunst speelt de gulden snede een belangrijke rol. Ook de natuur zelf levert haar bijdrage:

• vele gotische kathedralen, met als beroemdste voorbeeld de kathedraal van Laon in Frankrijk, vertonen, zowel in de torens als in de voorgevel, verhoudingen gelijk aan de gulden snede. ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ figuur 1

1,618

c) De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 421. Bereken die getallen.

©VANIN

Controle: Controle:

Controle: Controle:

d) van een natuurlijk getal is het kwadraat 552 meer dan het getal zelf. Bereken dat getal.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 133 REEKSOefeningenA 27 Los de vraagstukken op. a) Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 1 482. Bereken die getallen.

b) De som van een getal en zijn kwadraat is het vijfvoud van dat getal. Bereken dat getal.

134 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

a) Hoeveel partijen moeten er worden gespeeld in een competitie met tien spelers? b) Hoeveel spelers hebben meegedaan aan een competitie waarin 496 partijen werden gespeeld?

Daarbij is k het aantal zijden van de veelhoek en N het aantal diagonalen. a) Hoeveel diagonalen heeft een zeshoek? b) een veelhoek heeft 77 diagonalen. Hoeveel zijden heeft die veelhoek?

Controle: ©VANIN

Controle: 29 Het aantal diagonalen van een veelhoek wordt bepaald door de formule N = k (k – 3) 2 .

REEKS B 28 Het aantal judopartijen dat gespeeld wordt in een competitie met n spelers, is gelijk aan n (n – 1) 2 .

Controle: 31 Als je de zijde van een vierkant verdubbelt, dan wordt de oppervlakte 2 187 m 2 groter. Bereken de zijde van het oorspronkelijke vierkant.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 135 30 De ene rechthoekszijde van een rechthoekige driehoek is 2 cm langer dan de andere. De schuine zijde is 10 cm. Bereken de rechthoekszijden.

Controle:

©VANIN

Controle: 32 Het verschil van twee natuurlijke getallen is 21. Hun product is 1 296. Bereken die getallen.

136 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213

Controle: b) Bereken de gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval. rond af op 0,01 m/s.

a) na hoeveel tijd heeft het voorwerp 100 m afgelegd? rond af op 0,001 s.

34 De oppervlakte van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2  r 2 + 2  r h. Daarin is h de hoogte en r de straal van het grondvlak. Bereken de straal van het grondvlak als de hoogte 12 cm en de oppervlakte 680 cm2 is. Rond af op 1 mm nauwkeurig. hr

Controle: ©VANIN

33 De afgelegde weg s (in m) van een bewegend voorwerp wordt gegeven door de formule s = v 0  t + 21  a  t 2. Daarbij is v0 de beginsnelheid in m/s en a de versnelling in m/s 2. Een voorwerp beweegt met een beginsnelheid van 10 m/s. De versnelling is 3 m/s 2.

Het aantal glazen per laag in die toren kun je berekenen met deze formule: aantal glazen per laag = 21 n 2 + 21 n (daarbij is n het nummer van de laag van bovenaf geteld). Bereken in welke laag 45 glazen staan.

laag 3 laag 2 laag 1 Controle: ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 137

Controle: 36 Op een trouwfeest wordt een champagnetoren gestapeld. Nadat de gasten aangekomen zijn, wordt er van bovenaf champagne gegoten, totdat alle glazen gevuld zijn.

35 Een stuk land bestaat uit twee aaneengesloten vierkante stukken. De zijde van het grote vierkant is 2 meter langer dan het dubbel van de zijde van het kleine vierkant. De totale oppervlakte is 2 377 m 2. Bereken de zijden van de vierkanten.

Een boekenwinkel bestelt een aantal boeken en betaalt daarvoor 930 euro.

Controle: ©VANIN

138 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 REEKS C 37 Oma heeft een lappendeken gemaakt met 315 gelijke vierkante lapjes.

Als ze vierkante lapjes had genomen met een zijde die 6 cm groter is, dan zou ze maar 140 lapjes nodig gehad hebben voor een even groot deken.

Hoeveel boeken werden er besteld en wat was de oorspronkelijke prijs?

Controle: 38 De beroemde schrijver H. Gentemans heeft een nieuwe roman geschreven.

Bij aankomst van de bestelling blijken er twee boeken meer te zijn dan er besteld waren. De totale prijs blijft hetzelfde, zodat de prijs per boek daalt met 0,50 euro.

Hoe groot waren de lapjes en hoe groot is het lappendeken?

Een tweede getal verkrijg je door in het eerste getal de cijfers van plaats te wisselen.

39 In een fabriek moeten 1 650 balpennen in dozen worden ingepakt. Als er in elke doos vijf balpennen meer konden, zouden er drie dozen minder nodig zijn. Bereken het aantal balpennen dat oorspronkelijk in één doos kon.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 139

Het product van die twee getallen is gelijk aan 5 605. Bepaal die getallen.

Controle: 40 In een getal van twee cijfers is het cijfer van de eenheden vier meer dan het cijfer van de tientallen.

Controle: ©VANIN

140 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 41 De snelheid van de boot van Tom in stilstaand water is 15 km/h. Hij vaart in een rivier 40 km stroomopwaarts en 40 km stroomafwaarts in 6 uur. Bereken de stroomsnelheid van het water in die rivier. Controle: ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 141 42 ABCD is een rechthoek met lengte 10 cm en breedte 3 cm. Bereken x zodat ∆BCP een rechthoekige driehoek is met ^ P = 90º. 10 A BD PC3 x Controle: ©VANIN

1 2 108643579111213 VERDIEPING 142 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen 2.6.1 Bikwadratische vergelijkingen Definitie Bikwadratische vergelijking Een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0, met a Œ R0 en b, c Œ R Voorbeeld 1 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 Stel: x 2 = t t 2 – 5t + 4 = 0 D = (–5) 2 – 4 1 4 = 9 t 1 = 5 – 9 2 1 = 1 en t 2 = 5 + 9 2 1 = 4 x 2 = 1 of x 2 = 4 x = –1 of x = 1 of x = –2 of x = 2 V = {–2, –1, 1, 2} Voorbeeld 2 x 4 – x 2 – 12 = 0 Stel: algemeen Om een bikwadratische vergelijking op te lossen, ga je als volgt te werk: • Stel: x 2 = t • Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t. • Los de vergelijkingen x 2 = t 1 en x 2 = t 2 op. ©VANIN

VERDIEPING 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 143 2.6.2 Vergelijkingen van de vorm a [f (x)] 2 + b [f (x)] + c = 0 Voorbeeld 1 8x 6 + 7x 3 – 1 = 0 Stel: x 3 = t D = t 1 = en t 2 = x 3 = of x 3 = x = of x = V = Voorbeeld 2 (x 2 – 2x) 2 + 2  (x 2 – 2x) – 3 = 0 Stel: S = P = t 1 = en t 2 = = of = je krijgt twee tweedegraadsvergelijkingen: D = D = x 1 = x 3 = x 2 = x 4 = V = algemeen Om een vergelijking van de vorm a[f (x)] 2 + b[f (x)] + c = 0 op te lossen, ga je als volgt te werk: • Stel: f (x) = t • Bepaal de oplossingen t 1 en t 2 van de verkregen tweedegraadsvergelijking in t • Los de vergelijkingen f (x) = t 1 en f (x) = t 2 op. ©VANIN

1 2 108643579111213 VERDIEPING 144 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen REEKSOefeningenB 43 Los de vergelijkingen op. a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 c) x 6 – 28x 3 + 27 = 0 b) 4x 4 – 29x 2 + 45 = 0 d) x 4 – 2x 2 – 8 = 0 ©VANIN

VERDIEPING 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 145 44 Los de vergelijkingen op. a) (3x – 1) 2 – 3  (3x – 1) + 2 = 0 b) 2  (x 2 – 4x) 2 – 11  (x 2 – 4x) + 5 = 0 c) 3 (3x 2 – x) 2 + 17 (3x 2 – x) – 6 = 0 ©VANIN

146 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 STUDIEWIJZER Tweedegraadsvergelijkingen 2.1 Vergelijkingen van de tweede graad in één onbekende voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, met a Œ R 0 en b, c Œ R 2.2 Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen KENNEN  +  + • ax 2 + bx = 0 (met b ≠ 0 en c = 0) methode: een gemeenschappelijke factor afzonderen • ax 2 + c = 0 (met b = 0 en c ≠ 0) methode 1: a 2 – b 2 = (a + b)  (a - b) methode 2: definitie vierkantswortel • ax 2 = 0 (met b = 0 en c = 0) er is één oplossing: 0. KUNNEN  +  + een onvolledige tweedegraadsvergelijking oplossen. 2.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen: algemeen KENNEN  +  + D (discriminant) = b 2 − 4ac • D > 0: twee verschillende oplossingen x 1 = b – D 2a en x 2 = b + D 2a • D = 0: één oplossing (of twee samenvallende oplossingen) x 1 = x 2 = b 2a • D < 0: geen reële oplossingen KUNNEN  +  + een tweedegraadsvergelijking herkennen en oplossen • door kwadraatafsplitsing; • met de wortelformules; • door ontbinding in factoren. De best passende methode gebruiken. De wortelformules om een tweedegraadsvergelijking op te lossen, bewijzen. een tweedegraadsvergelijking oplossen met iCT. een tweedegraadsvergelijking vereenvoudigen en in de standaardvorm brengen, indien nodig. een tweedegraadsvergelijking met lettercoëfficiënten oplossen. Parameterwaarden berekenen zodat aan bepaalde voorwaarden voldaan is. ©VANIN

2.6 Vergelijkingen herleidbaar tot tweedegraadsvergelijkingen KENNEN  +  + een bikwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0 met a Œ R 0 en b, c Œ R KUNNEN  +  + vergelijkingen oplossen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking.

4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 147 2.4 Som en product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + als de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 oplossingen x 1 en x 2 heeft, dan is S = x 1 + x 2 = ba en P = x 1 x 2 = ac als S = x 1 + x 2 en P = x 1  x 2 gegeven zijn, dan zijn x 1 en x 2 de oplossingen van de tweedegraadsvergelijking x 2 − Sx + P = 0. KUNNEN  +  + een tweedegraadsvergelijking oplossen door de som en het product van de wortels te Tweegebruiken.getallen bepalen als de som en het product van die getallen gegeven zijn. een tweedegraadsvergelijking opstellen waarvan de oplossingen gegeven zijn.

©VANIN

2.5 Vraagstukken KUNNEN  +  + vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een tweedegraadsvergelijking.

©VANIN

1. Twee vierkanten liggen in een groot vierkant, zoals op de figuur. wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkant i en ii? I II a) r 67 B) r 87 C) r 98 D) r 109 e) r 1

JWO, editie 2022, eerste ronde

148 4 XL I HOOFDSTUK 2 I Twee D egraa DS ve rge L ij K in gen 1 2 108643579111213 Problemen uit JWO

2. wat is de oppervlakte van het vierkant op de figuur? 4 1 1 a) r 5 B) r 6 C) r 7 D) r 8 e) r 9 JWO, editie 2012, tweede ronde

3. amira is de code van oma’s huis vergeten. Ze weet nog dat de code uit vijf cijfers bestaat. Ze ziet dat op het klavier de toetsen 1 en 3 precies evenveel afgesleten zijn en dat de toets 7 nóg meer is afgesleten. De andere toetsen zijn blijkbaar nog nooit gebruikt. als amira het slim aanpakt, hoeveel codes moet ze dan hoogstens intikken om de deur te openen? a) r 20 B) r 30 C) r 40 D) r 60 e) r 120 JWO, editie 2020, eerste ronde

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 149 HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = c x 3.1 Basisbegrippen over functies 150 3.2 De functie f (x) = 1 x 157 3.3 De functie f (x) = c x 160 Studiewijzer 182 Problemen uit JWO 184 ©VANIN

150 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 3.1 Basisbegrippen over functies 3.1.1 Inleiding Een brandende kaars is 20 cm lang. De hoogte y van de kaars vermindert met 2 cm per uur. Na 1 uur is de hoogte Na 3 uur is de hoogte Na 7 uur is de hoogte De hoogte y (in cm) kun je uitdrukken in functie van de tijd x (in h): y Vul= de tabel in. Teken de punten in het assenstelsel en verbind ze. x (h) y (cm) 100123456789 20 y (cm) x (h) 10155 51015O Is het verband tussen y en x een functie? Verklaar je antwoord. Definitie Functie Een functie is een verband waarbij elk argument hoogstens één beeld heeft. GeoGebra ©VANIN

yx

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 151 3.1.2 Domein en bereik Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20

• Als je de grafiek loodrecht projecteert op de x-as, kun je het domein van de functie aflezen. dom f = • Als je de grafiek loodrecht projecteert op de y-as, kun je het bereik van de functie aflezen. ber f = 5 51015O Definitie Domein Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen. In symbolen dom f = {x Œ R | f (x) Œ R} Definitie Bereik Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. In symbolen ber f = {f (x) | x Œ dom f } Praktisch domein en bereik Als je rekening houdt met de context van de brandende kaars, kun je enkel argumenten kiezen die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan . Het praktisch domein van f is Notatie: pdom f Je kunt binnen diezelfde context ook enkel functiewaarden bereiken die gelijk zijn aan of groter zijn dan en kleiner zijn dan of gelijk zijn aan Het praktisch bereik van f is Notatie: pber f

201510

©VANIN

152 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 3.1.3 Nulwaarde van een functie Voor welke waarde van de tijd x is de hoogte van de kaars nul? Die waarde noem je de nulwaarde van de functie f Hoe lees je de nulwaarde van de functie f af op de grafiek? Definitie Nulwaarde Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0. Voorbeeld Bepaal de nulwaarde(n). f (x) = 20 – 2x f (x) = x 2 – 9 3.1.4 Differentiequotiënt • Bereken het differentiequotiënt in het interval [2, 4]. verandering op de y-as verandering op de x-as = = = • Bereken het differentiequotiënt in het interval [6, 10]. verandering op de y-as verandering op de x-as = = = + 2 – 4 + 4 – 8 yx 2–2 468 101214161820O 222018161412108642 ABCD In dit voorbeeld hoort bij een gelijke toename van het argument een gelijke verandering van het beeld. Bij eerstegraadsfuncties is het differentiequotiënt constant en gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de grafiek. Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt is de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde . Notatie: differentiequotiënt = ∆y ∆ x (lees: ‘delta y gedeeld door delta x ’) ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 153 3.1.5 Tekenschema en verloop van een functie Gegeven: de grafiek van de functie f (x) = –2x + 20 yx5 5101520 201510 O • Voor welke waarden van x is f (x) > 0? Voor welke waarden van x is f (x) = 0? Voor welke waarden van x is f (x) < 0? Je kunt dat voorstellen in een tekenschema van f (x). tekenschema van f (x) tekenschema binnen de context van de kaars x f (x) x ∞ 0 10 + ∞ f (x) 20 0 • Nemen de functiewaarden toe of nemen ze af als het argument x toeneemt? De functie is stijgend / dalend. Je kunt het verloop van de functie f schematisch voorstellen in een tabel. verloop van f verloop binnen de context van de kaars xf x ∞ 0 10 + ∞ f 20 0 ©VANIN

154 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 Algemeen Tekenschema en verloop van een functie yx cd abe O • tekenschema x ∞ a c e + ∞ f (x) 0 + 0 0 • verloop x ∞ b d e + ∞ f f (b) f (d) f (e) max min max 3.1.6 Voorbeeld Teken de grafiek van f (x) = 3x – 2. Bepaal het domein, het bereik, de nulwaarde, het differentiequotiënt, het tekenschema en het verloop van de functie. x f (x) • dom f = ber f = • nulwaarde: • differentiequotiënt: • tekenschema x f (x) • verloop xf – 4– 3– 2–10–11234–2–3–4 1234 yx ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 155 Oefeningen REEKS A 1 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1–112323 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf b) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1 323211 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf c) yx 6– 5– 4– 3– 2– 1 3243211 123456O • tekenschema x f (x) • verloop xf ©VANIN

156 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 REEKS B 2 Bepaal het tekenschema en het verloop van de functies waarvan de grafiek getekend is. a) yx 11 43243211 23O • tekenschema x f (x) • verloop xf b) yx 1 11234234 12 3O • tekenschema x f (x) • verloop xf 3 Bepaal de nulwaarde(n). a) f (x) = 5 – 2x 3 c) f (x) = 3x 2 – 6 b) f (x) = (x + 2) 2 d) f (x) = 3x + 21 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 157 3.2 De functie f ( x ) = 1 x 3.2.1 Kenmerken x f (x) 8 0,125 4 0,25 2 0,5 1 1 0,5 2 0,25 4 0 | 0,25 4 0,5 2 1 1 2 0,5 4 0,25 8 0,125 123456 1 123456 78 yx2– 17–6–5–4–3–8 65432 O Je noemt de grafiek een (orthogonale) hyperbool. Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken. • dom f = ber f = • nulwaarde: Heeft de grafiek een snijpunt met de x-as? • nulwaarde: Is er een nulwaarde voor de functie? • tekenschema: • verloop: x f (x) xf De functiewaarde van 0 bestaat niet. Je duidt dat aan met een verticale streep. • Desymmetrie:tweetakken van de grafiek liggen symmetrisch ten opzichte van De grafiek van f is een kromme. Het symmetriemiddelpunt is de ( , ). GeoGebra ©VANIN

Notatie: x Æ 0 Je leest: x nadert tot 0. x 0,1 0,01 0,001 0,000 1 Æ 0 ¨ 0,000 1 0,001 0,01 0,1 f (x) 10 100 1 000 10 000 Æ ∞ | + ∞ ¨ 10 000 1 000 100 10 Als x tot 0 nadert, dan wordt f (x) groter in absolute waarde. De grafiek komt dichter en dichter tot de y-as, zonder die ooit te raken of te snijden. Je noemt de y-as een verticale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is Horizontale asymptoot Je bekijkt nu het gedrag

van de functie in de omgeving van – ∞ en + ∞. Je kiest argumenten die heel groot en heel klein zijn en je berekent de functiewaarden. x ∞ ¨ 10 000 1 000 100 10 10 100 1 000 10 000 Æ + ∞ f (x) 0 ¨ 0,000 1 0,001 0,01 0,1 0,1 0,01 0,001 0,000 1 Æ 0 Als x groter wordt in absolute waarde, dan nadert f (x) tot 0. De grafiek nadert dichter en dichter tot de x-as, zonder die ooit te raken of te snijden. Je noemt de x-as een horizontale asymptoot. De vergelijking van die asymptoot is 1123456–1 123456 78 yx 7–6–5–4–3–2–8 65432 O x fiÆf (x) Æ x fiÆf (x) Æ x fiÆf (x) Æ x fiÆf (x) Æ ©VANIN

158 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 3.2.2 Asymptoten Verticale asymptoot De grafiek van f (x) = 1 x vertoont een onderbreking voor x = 0 omdat 0 niet tot het domein behoort. Je bekijkt nu het gedrag van de functie in de omgeving van 0. Je kiest argumenten die naderen tot 0, zonder 0 te bereiken, en berekent de functiewaarden.

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 159 3.2.3 Voorbeeld Oom Jan is overleden. Hij laat een erfenis na die gelijk verdeeld moet worden onder zijn vijf kinderen. Elk van zijn kinderen krijgt een vijfde van de erfenis. Verdeel je de erfenis onder x personen, dan kun je het deel y dat elke persoon krijgt, bepalen met de formule y = 1 x Waarom is het verband tussen y en x een functie? Je noteert: f (x) = 1 x . dom f = ber f = pdom f = pber f = Vul de tabel in en teken de grafiek. Rond, indien nodig, af op 0,001. x f (x) 10864321579 0,91 yx0,0,0,0,0,0,0,0,87654321 12 34 56 78 910O Waarom mag je de punten niet verbinden? ©VANIN

160 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 3.3 De functie f ( x ) = c x 3.3.1 Het omgekeerd evenredig verband Voorbeeld Een fietser rijdt met een constante snelheid van Antwerpen naar Blankenberge en moet daarvoor 120 km afleggen. De afstand s (in km) die de fietser aflegt in functie van de tijd t (in h), kun je uitdrukken met de formule s = v  t, waarbij v de gemiddelde snelheid voorstelt (in km/h). t (h) 1 2 3 4 5 6 12 v (km/h) v t Het product v t is constant. De grootheden v en t zijn omgekeerd evenredig Er geldt: v = Definitie Omgekeerd evenredig verband Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is. x  y = c fi y = cx (met c Œ R0 ). Je noemt c de evenredigheidsconstante Formule Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c Œ R0). Grafiek van een omgekeerd evenredig verband 1O 23456789 101112 12010080604020 t (h) v (km/h) Teken de grafiek van het verband dat de snelheid v (in km/h) weergeeft in functie van de tijd t (in h). De grafiek is Besluit De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = c x (met c Œ R0) is een (deel van een) hyperbool. instructiefilmpje GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 161 Oefeningen REEKS A 4 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor? a) x 2 4 6 10 y 30 15 10 6 c) x 10 11 12 13 y 5 6 7 8 r  ja r  nee r  ja r  nee b) x 2 4 7 10 y 50 25 14 12 d) x 3 5 8 10 y 40 24 15 12 r  ja r  nee r  ja r  nee REEKS B 5 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met vier verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v (in km/h) van de voorbijrijdende auto’s en de hoogte h (in cm) van de drempel. h (cm) 4 5 6 8 v (km/h) 60 48 40 30 a) Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

©VANIN

b) Geef de formule van het verband: c) Volgens de wet spreek je van een verkeersdrempel vanaf 2 cm en mag die niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v pdom v = pber v = d) Hoe hoog (op 1 mm) moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

162 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 6 Eén keer per jaar, op kerstavond, speelt Stijn mee met een loterij. Een pot van 2 000 000 euro wordt dan gelijk verdeeld onder de winnaars in rang 1. De tabel toont de winst y per persoon (in euro) in functie van het aantal winnaars x. a) Vul de tabel aan. b) Teken de grafiek. x y (euro) 1084215 123456789 1011 200 000 400 000 600 000 800 000 1 000 000 1 200 000 1 400 000 1 600 000 1 800 000 2 000 000 Ox y (euro) c) Mag je de punten van de grafiek verbinden? Verklaar. d) Zijn de grootheden y en x omgekeerd evenredig? Verklaar. e) Hoeveel bedraagt de winst per persoon als er zes winnaars zijn in rang 1? Rond af op 1 euro. 7 Om een nieuwe asfaltlaag in een drukke winkelstraat te leggen, hebben 35 arbeiders 8 dagen nodig. Hoeveel dagen hebben 20 arbeiders nodig? ©VANIN

c) Bereken bij deze kraan de maximale armlengte waarop een massa van 6 ton kan hangen.

Boer Tom zet elke dag een aantal koeien uit op zijn weiland. Acht koeien kunnen grazen gedurende 24 dagen. Twaalf koeien kunnen grazen gedurende 16 dagen.

Hangt een massa te ver van de kraan, dan bestaat de kans dat de kraan omvalt. De afstand van de plaats waaronder de katrol hangt, tot het steunpunt van de draaiarm noem je de armlengte. De grootste massa m max (in kg) die een kraan kan tillen, hangt af van de armlengte a (in m). 9 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken.

REEKS C Een hijskraan is een werktuig waarmee je zware lasten kunt hijsen en horizontaal verplaatsen. De last hangt aan een katrol die kan bewegen langs de arm van de kraan. De massa die een kraan kan tillen, hangt af van de plaats waar de katrol aan de arm van de kraan hangt.

d) In hoeveel dagen grazen zes koeien het weiland af?

a) Toon aan dat het verband tussen het aantal dagen y en het aantal koeien x omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband: c) Vul de tabel aan. x 2 4 8 12 24 y 24 16

Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a

a) Zijn de grootheden m max en a omgekeerd evenredig? Verklaar.

b) Mag een massa van 7 500 kg op een armlengte van 15 meter hangen?

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 163 8

164 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 3.3.2 Grafische betekenis van c in f (x) = c x Voorbeelden c > 1 0 < c < 1 x f (x) = 1 x g (x) = 4 x 4 0,25 1 2 0,5 2 0 | | 2 0,5 2 4 0,25 1 4 x f (x) = 1 x g (x) = 41x 4 0,25 0,062 5 2 0,5 0,125 0 | | 2 0,5 0,125 4 0,25 0,062 5  41 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 4  4 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx 41 41 Om de grafiek van de functie g (x) = 4 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 4. Om de grafiek van de functie g (x) = 41x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met 41 Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is uitgerekt met factor 4. Je zegt dat de grafiek van f (x) = 1 x verticaal is samengedrukt met factor 4. GeoGebra ©VANIN

-as. ©VANIN

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 165 c < 0 x f (x) = 1 x g (x) = 1 x 4 0,25 0,25 2 0,5 0,5 0 | | 2 0,5 –0,5 4 0,25 –0,25  (– 1) x f (x) = 1 x g (x) = 5 x 4 0,25 1,25 2 0,5 2,5 0 | | 2 0,5 –2,5 4 0,25 –1,25  (– 5) 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx  (–1) (–1) 5– 4– 3– 2– 10 123455432112345 yx (–5) (–5) Om de grafiek van de functie g (x) = 1 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –1. Om de grafiek van de functie g (x) = 5 x te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek van f (x) = 1 x vermenigvuldigen met –5. De grafiek van f (x) = 1 x is gespiegeld ten opzichte van de x-as De grafiek van f (x) = 1 x is achtereenvolgens: • verticaal uitgerekt met factor 5; • gespiegeld ten opzichte van de x-as Algemeen De grafiek van de functie g (x) = c x , met c Œ R0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x

166 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 Oefeningen REEKS A 10 Vervolledig de grafieken van de functie f (x) = c x . a) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 10 12345643211234 yx 11 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Maak een schets van de grafiek van g (x). a) g (x) = 3 x c) g (x) = 41x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) g (x) = 21x d) g (x) = 5 x verticale met factor verticale met factor 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 167 12 Bepaal het functievoorschrift van elke functie f . a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx REEKS B 13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = c x (met c Œ R0), als je weet dat: a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort. c) het punt A (– 3, 7) tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = b) het punt A 2, 23 tot de grafiek van de functie behoort. d) het punt A 47 , 143 tot de grafiek van de functie behoort. f (x) = f (x) = ©VANIN

168 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 14 Bepaal het functievoorschrift, het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop van elke functie f a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema • tekenschema x f (x) x f (x) • verloop • verloop xf xf b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx • f (x) = • f (x) = • dom f = ber f = • dom f = ber f = • tekenschema • tekenschema x f (x) x f (x) • verloop • verloop xf xf ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 169 15 Maak gebruik van de grafieken van de functies f en g om de vergelijkingen op te lossen. a) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x vergelijking:1 x = x b) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = x 3 vergelijking:1 x = x 3 c) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = 2x + 1 vergelijking:1 x = 2x + 1 d) gegeven: 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 fyx g f (x) = 1 x en g (x) = – 3x vergelijking:1 x = – 3x ©VANIN

170 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 REEKS C 16 Welke getallen zijn kleiner dan of gelijk aan hun omgekeerde? Bepaal grafisch. 6– 5– 4– 3– 2– 1 0 12543 54321 123456 yx 17 Los de ongelijkheden op met behulp van ICT, door de grafieken van de functies f en g te tekenen. a) 4 x < – x + 5 c) 2 x ≥ x – 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = b) 1 x > x d) 31x £ – x 3 f (x) = en g (x) = f (x) = en g (x) = V = V = ©VANIN

VERDIEPING 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 171 18 De getekende grafieken van de functie g zijn ontstaan door de grafieken van de functie f (x) = 1 x te spiegelen en/of verticaal en horizontaal te verschuiven. Bepaal het domein, het bereik, het tekenschema, het verloop en de vergelijking van de asymptoten van elke functie g. a) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx c) 6– 58– 7– 4– 3– 2– 1034211234 1234 yx • dom g = ber g = • dom g = ber g = • tekenschema • tekenschema x g(x) x g(x) • verloop • verloop gx gx • VA: HA: • VA: HA: b) 6– 5– 4– 3– 2– 1034211234 123456 yx d) 3– 2– 1034211234 123456789 yx • dom g = ber g = • dom g = ber g = • tekenschema • tekenschema x g(x) x g(x) • verloop • verloop gx gx • VA: HA: • VA: HA: ©VANIN

VERDIEPING 172 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213

d) Geef het praktisch domein en bereik van de functie U. pdom U = pber U = 20 De grootte van een populatie cavia’s wordt gegeven door de formule n (x ) = 330 – 405 x + 5 , waarbij x de tijd voorstelt (in maanden) en n (x ) het aantal cavia’s.

©VANIN

c) Met hoeveel procent neemt de spanning af tijdens de eerste dag na het herladen? Rond af op 0,01 %.

19 Bij de aankoop van een nieuwe smartphone is het belangrijk om kritisch naar de batterijduur te kijken. De stand-bytijd van een smartphone is de maximale tijd die de smartphone kan aanstaan zonder gebruikt te worden. Die is afhankelijk van het type toestel.

a) Teken met ICT de grafiek van de functie U, zonder rekening te houden met de werkelijkheid.

a) Uit hoeveel cavia’s bestaat de populatie nu? b) Hoeveel cavia’s zijn er na drie maanden? c) Na hoeveel maanden zijn er minstens 300 cavia’s?

b) Bepaal de spanning van de batterij onmiddellijk na het opladen.

Het spanningsverloop U (in V) van een batterij van een smartphone wordt gegeven door de functie U (t ) = 3,60 + 20 t – 50 . Daarbij is t de tijd (in h) na het opladen.

∆

Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is f (b) – f (a) b a f(b) f(a) ab yPQfx

Je controleert dat door de richtingscoëfficiënten van de lijnstukken [AB], [BC] en [CD] te berekenen. Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ AB ]. y ∆ = • Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ BC ]. y = Bereken de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk [ CD ]. y = De gevonden waarde is telkens de gemiddelde verandering van de y-waarden of functiewaarden in de intervallen [0,25; 0,5], [0,5; 2] en [2, 5]. Je noemt die waarde het differentiequotiënt.

•

x

In

•

∆ x

∆

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 173 3.3.3 Differentiequotiënt in een interval van f (x) = c x Gegeven: de grafiek van de functie f (x ) = 1 x 8– 7– 6– 5– 4– 3– 2– 102112345 12345678 yx A BCD

∆ x

©VANIN

In de linker hyperbooltak neemt de daling van de grafiek toe naarmate de waarde van x toeneemt. de rechter hyperbooltak neemt de daling van de grafiek af naarmate de waarde van x toeneemt.

∆

∆x ∆y Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f (b) – f (a) b – a = ∆y ∆x is de richtingscoëfficiënt van het lijnstuk door de punten P (a, f (a)) en Q (b, f (b)) van de grafiek van f GeoGebra

174 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 Oefeningen REEKS A 21 Vul de tabel aan. In welk interval is de gemiddelde verandering (toename/afname) het grootst? a) f (x) = 1 x d) f (x) = 2 x x 2 4 10 20 f (x) x 1 2 4 8 f (x) b) f (x) = 51x e) f (x) = 6 x x –10 5 2 1 f (x) x 8 6 4 2 f (x) c) f (x) = 3 x f) f (x) = 41x x 1 2 3 4 f (x) x 10 5 2 1 f (x) ©VANIN

• Een parabool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte a

• Een ellips is de snijlijn van een vlak dat de rechten a en b snijdt.

Een kegel ontstaat door een rechte a te wentelen om een andere rechte b Als een vlak een (dubbele) kegel snijdt, dan is dat een kegelsnede. De ligging van het snijvlak ten opzichte van de kegel bepaalt het soort kegelsnede.

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 175 22 Lees het differentiequotiënt af tussen de aangeduide punten en vul aan. a) f (x) = 2 x 5– 4– 3– 2– 1043211234 1234 yx ABC • differentiequotiënt in het interval [1, 2] is • differentiequotiënt in het interval [2, 4] is • In de rechter hyperbooltak neemt de van de grafiek naarmate de waarde van x toeneemt. b) f (x) = 4 x 5– 4– 3– 2– 1043211234 1234 Ayx BC • differentiequotiënt in het interval [–4, –2] is • differentiequotiënt in het interval [–2, –1] is • In de linker hyperbooltak neemt de van de grafiek naarmate de waarde van x toeneemt.

• Een hyperbool is de snijlijn van een vlak dat evenwijdig is met de rechte b

©VANIN

176 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 REEKS B 23 Bereken de gemiddelde helling van de grafiek tussen de aangeduide punten. a) f (x) = 3 x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 fyx AB b) f (x) = 2 x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 AyxfB c) f (x) = 21x 6– 7– 5– 4– 3– 2– 103452112345 1 234567 yxfAB ©VANIN

VERDIEPING 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 177 REEKS C 24 Bereken de gemiddelde helling van de grafiek tussen de aangeduide punten. a) f (x) = 1 x + 3 6– 5– 4– 3– 2– 102311234567 123456 7 fyx AB b) f (x) = 1 x – 2 + 2 4– 3– 2– 102311234567 1 2345678 9 fyx AB c) f (x) = 2 x – 1 5–4–6– 3– 2– 102345112345 123456 7 fyx AB ©VANIN

VERDIEPING 178 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 25 Een achtbaan is een constructie uit hout of staal waarover karretjes een parcours afleggen met hoge snelheid. Een karretje begint omhoog te rijden volgens de functie f en vervolgt daarna zijn weg volgens de functie g. Het voorschrift van g is g (x) = 17 x – 4, 4 + 2 , met x de horizontale verplaatsing (in m) en g (x) de verticale verplaatsing (in m). 1614121086420 2468 1012141618202224horizontaleverplaatsing (m) verticale verplaatsing (m) fgABC a) Bepaal het differentiequotiënt in het interval [ 8, 10 ]. Rond af op 0,01. b) Wat is de fysische betekenis van het differentiequotiënt in het interval [ 8, 10 ]? c) Bepaal het differentiequotiënt in het interval [ 10, 14 ]. d) Wat is de fysische betekenis van het differentiequotiënt in het interval [ 10, 14 ]? ©VANIN

Dat

15 12,5 10

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

is

a) Bepaal via regressie het verband tussen de gemiddelde druk p (in kPa) en het volume V (in ml). b) Hoeveel bedraagt de druk als je het gas samendrukt tot een volume van 4 ml? c) Bij welk volume verkrijg je een gemiddelde druk van 140 kPa? Rond af op 0,1 ml.

Het

2050100150200250300350400 46 8101214161820

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 179 3.3.4 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT Voorbeeld Een leerkracht fysica demonstreert haar leerlingen de wet van Boyle. Daarvoor vult ze een injectiespuit van 20 ml met een gas en koppelt ze die spuit aan een druksensor.

97,65 111,60 130,20 156,24 195,30 260,40 390,60

©VANIN

V

5 p

Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

Terwijl een leerling uit de klas de spuit elke keer een beetje meer indrukt en het volume V (in ml) dus verkleint, leest een andere leerling telkens de gemiddelde druk p (in kPa) af op de druksensor. levert de volgende meetresultaten op: (ml) 20 17,5 7,5 (kPa)

De punten liggen, bij benadering, op een hyperbooltak. verband tussen p en V dus waarschijnlijk een omgekeerd evenredig verband. V (ml) p (kPa)

d) Geef de economische betekenis van de verticale asymptoot van de grafiek van het verband.

27 Elektrische weerstand of resistantie is de elektrische eigenschap van materialen om de doorgang van elektrische stroom te bemoeilijken. Hoe hoger de weerstand R (in W), hoe lager de stroomsterkte I (in A) door een geleider bij een gelijke spanning U (in V). Hieronder staan enkele meetresultaten bij een welbepaalde geleider. R (W) I (A) 50 4,60 100 2,30 200 1,15 500 0,46 1 000 0,23

©VANIN

a) Bepaal via regressie het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in W). b) Vanaf welke weerstand is de stroomsterkte minder dan 0,50 A?

180 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 Oefeningen REEKS B 26 Een computerbedrijf beraadt zich over de kostprijs p (in euro) van een nieuwe laptop, die het binnen enkele weken op de markt wil brengen. Om de vooropgestelde omzet te behalen, moet het bedrijf minstens q laptops verkopen. In de tabel staan enkele voorstellen, uitgewerkt door een van de directieleden. p (euro) 700 720 740 760 780 q 5 714 5 556 5 405 5 263 5 128

a) Bepaal via regressie het verband tussen de minimumhoeveelheid te verkopen laptops q en de kostprijs p (in euro). b) Hoeveel laptops moet het bedrijf minstens verkopen om dezelfde omzet te behalen, als het de verkoopprijs vastlegt op 750 euro?

c) Hoeveel zou de kostprijs van een laptop bedragen, als men zeker is van een minimale verkoop van 5 000 laptops? Rond af op 1 euro.

©VANIN

28 De tabel toont de maximale tijd t (in min) die een duiker onder water mag blijven als hij zich op een diepte d (in m) bevindt.

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 181 REEKS C Als een duiker zich onder water bevindt, ademt hij de lucht in onder een grotere druk dan normaal. Daardoor ontstaat meer stikstofgas in het bloed. Als de duiker te lang onder water blijft of te snel terug naar het oppervlak stijgt, kan de stikstof belletjes doen ontstaan in het bloed. De duiker krijgt last van hoofdpijn, spierpijn en duizeligheid. In ernstige gevallen kan hij buiten bewustzijn raken of zelfs sterven. Dat verschijnsel noem je de ziekte van Caisson.

a) Vul de tabel aan. d (m) d 2 (m2) t (min) 10 510,00 15 226,67 20 127,50 25 81,60 30 56,67 35 41,63 40 31,88

b) Bepaal via regressie het verband tussen t en d 2 c) Hoelang mag een duiker onder water blijven, als hij zich op een diepte van 60 m bevindt? Rond af op 1 minuut. d) Hoe diep mag een duiker gaan, als hij zuurstof heeft voor 1 h 30 min? Rond af op 0,1 m.

• Het domein van een functie is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

182 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 STUDIEWIJZER Functies f ( x ) = c x 3.1 Basisbegrippen over functies voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

©VANIN

Het differentiequotiënt is de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ∆y ∆ x KUNNEN –  + –  + Het tekenschema en het verloop van een functie opstellen aan de hand van de grafiek.

Notatie: dom f • Het praktisch domein van een functie is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Notatie: pdom f

Het differentiequotiënt van een eerstegraadsfunctie in een welbepaald interval bepalen. 3.2 De functie f (x) = 1 x KENNEN –  + –  + f (x) = 1 x • De y-as (x = 0) is de verticale asymptoot (VA) van de grafiek van f • De x-as (y = 0) is de horizontale asymptoot (HA) van de grafiek van f KUNNEN  +  + De grafiek van de functie f (x) = 1 x herkennen. De grafiek van de functie f (x) = 1 x schetsen, uitgaande van een tabel met coördinaten van een aantal punten. Met behulp van de grafiek van f (x) = 1 x onderzoek doen naar: • het domein en het bereik; • de eventuele nulwaarden; • het tekenschema; • het verloop; • de verticale en horizontale asymptoot; • symmetrie.

• Het bereik van een functie is de verzameling van alle functiewaarden. Notatie: ber f • Het praktisch bereik van een functie is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Notatie: pber f Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

• de eventuele nulwaarden;

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen en de vergelijking ervan opstellen.

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• Vraagstukkensymmetrie.oplossen waarbij, met behulp van een differentiequotiënt, de gemiddelde verandering of de gemiddelde helling van een grafiek wordt berekend.

©VANIN

• het tekenschema; • het verloop; • de verticale en horizontale asymptoot;

4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 183 3.3 De functie f (x) = c x voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is. De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband y = cx is een (deel van een) hyperbool. De grafiek van de functie g (x) = cx , met c ΠR0, ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = 1 x uit te rekken of samen te drukken.

• het domein en het bereik;

• Voor | c | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | c |.

• Voor | c | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | c | Als c < 0, wordt de grafiek ook gespiegeld ten opzichte van de x-as. KUNNEN  +  +

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met ICT en daarbij:

• een trendlijn met bijbehorend voorschrift bepalen en interpreteren.

Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen. De grafiek van de functie f (x) = cx herkennen. De grafiek van de functie f (x) = cx tekenen met en zonder ICT. Met behulp van de grafiek van f (x) = cx onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

184 4 XL I HOOFDSTUK 3 I FUNCTIES f (x) = cx 21 3 10864579111213 Problemen uit JWO 1. Op de figuur hieronder is van zes vierkanten de oppervlakte gegeven. Wat is de oppervlakte van het zevende vierkant? 1 16 81 4936 9 ?

E) r De aliens van Venus die zeggen dat ze groene tenen hebben.

2. Sommige aliens hebben groene tenen. De andere hebben paarse tenen. Aliens met groene tenen komen alleen op Mars voor. Welk van de volgende groepen bestaat zeker uit leugenaars?

B) r De aliens met groene tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

A) r 144 B) r 169 C) r 196 D) r 200 E) r 225 JWO, editie 2020, tweede ronde

C) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Venus komen.

JWO, editie 2020, eerste ronde

3. Hoeveel kleuren heb je minimaal nodig om de onderstaande landkaart met zeventien landen in te kleuren? Daarbij mogen twee landen die aan elkaar grenzen, niet dezelfde kleur hebben.

A) r 2 B) r 3 C) r 4 D) r 5 E) r meer dan 5 JWO, editie 2021, eerste ronde

D) r De aliens van Mars die zeggen dat ze paarse tenen hebben.

A) r De aliens met paarse tenen die zeggen dat ze van Mars komen.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 185 HOOFDSTUK 4 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK 4.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 186 4.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 197 4.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 212 4.4 Spreidingsmaten 218 4.5 Symmetrische en scheve verdelingen 243 4.6 Tweedimensionale statistiek 253 Studiewijzer 264 Pienter problemen oplossen 268 ©VANIN

ondervraagdenprocent1001020304050607080900

mannen vrouwen Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) minstens vijf dagen ontbijt per week instructiefilmpje

186 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens 4.1.1 Gegevens verzamelen in 2014-2015 werd, in opdracht van de FOD volksgezondheid, een Belgische nationale voedselpeiling gehouden. Het doel van die peiling was om de voedingsinname en -gewoontes van de Belgische bevolking te onderzoeken. 3 200 personen 1 600 mannen1 600 vrouwen 3-5 jaar6-9 jaar10-17 jaar18-39 jaar 40-64 jaar 500 kleuters 500 kinderen 1 adolescenten000 jongvolwassenen600 volwassene600n Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) De populatie bij dat onderzoek was de volledige Belgische bevolking. Omdat het niet realistisch is om de volledige populatie te ondervragen, werd een steekproef getrokken. Daarvoor werden 3 200 personen geselecteerd en onderverdeeld in 64 groepen van 50 personen, verdeeld over alle provincies in België. Over welk soort steekproef gaat het hier? De ondervraagde personen (de respondenten) zijn de elementen van de steekproef. geslacht man vrouw vermageren 22 % 35 % gewichthoudenstabiel 44 % 46 % bijkomen 5 % 2 % geen zorgen 30 % 18 %

©VANIN

Het staafdiagram toont hoeveel procent van de ondervraagden minstens vijf dagen per week ontbijt. Welk soort gegevens zijn hier verwerkt? een andere vraag was hoeveel tijd men besteedt aan het ontbijt. Welk soort gegevens levert dat kenmerk op? 3–5 6–9 10–13 leeftijd14–17 18–34 35–50 51–64

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) een van de kenmerken die men onderzocht, was de houding ten opzichte van het persoonlijke lichaamsgewicht. Dat kenmerk leverde niet-geordende categorische gegevens op. Het resultaat van de enquête vind je in de frequentietabel hiernaast.

©VANIN

Wat valt er op als je de percentages bekijkt? Hoe komt dat? aan 60 mensen die in de supermarkt bioproducten kochten, werd gevraagd wat de belangrijkste reden was voor hun aankoop. GZ = de gezondheid; SM = de smaak; KW = de kwaliteit; Mi = het milieu. Stel een frequentietabel op. KW GZ SM Mi GZ KW

Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP)

SM KW Mi GZ SM Mi KW SM GZ SM Mi GZ GZ Mi GZ KW KW KW GZ SM GZ GZ Mi GZ Mi KW SM GZ KW KW SM Mi GZ Mi GZ KW GZ GZ KW SM KW SM GZ SM KW GZ KW KW SM Mi GZ KW Mi reden ni fi

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 187 4.1.2 Categorische gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen een van de onderwerpen van de voedselconsumptiepeiling was het onderzoek naar de reden waarom mensen biologische producten kopen. reden aankoop biologische producten

SM

De producten zijn gezonder. 53 % De smaak van de producten is beter. 38 %

KWSMGZMi

De kwaliteit van de producten is beter. 38 % De producten zijn beter voor het milieu. 31 %

• Hoeveel mensen die bioproducten kopen, doen dat niet vanwege het milieu?

• Hoeveel procent van de klanten koopt bio vanwege de smaak of de kwaliteit?

188 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Grafische voorstellingen dotplot 2018161412108642personenaantal belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM staafdiagram personeaantaln 20181614121086420 belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu GZ KW MISM 19 17 13 11 cirkeldiagram belangrijkste reden tot aankoop van bioproducten bij 60 mensen GZ = gezondheid; SM = smaak; KW = kwaliteit; MI = milieu 31,67 % 21,67 % 28,3318,33% % MIKWSMGZ ICT ICT ICT ©VANIN

c) Teken met icT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

DUvLFrBr

f) Hoeveel procent is niet afkomstig uit de Franse Gemeenschap?

b) Teken met icT een dotplot voor de absolute frequentie.

g) Op 1 december 2021 werkten 28 836 mensen op de site. Hoeveel daarvan zouden, volgens de steekproef, uit de Duitstalige Gemeenschap komen?

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 189 Oefeningen REEKS B 1 Op de site van Brussels Airport in Zaventem werken meer dan 20 000 mensen. Aan 80 van hen wordt gevraagd uit welk landsgedeelte ze afkomstig zijn. VL = Vlaamse Gemeenschap; FR = Franse Gemeenschap; DU = Duitstalige Gemeenschap; BR = Brussel. Fr vL vL Br Fr vL DU Fr vL Br vL Fr vL vL Fr Fr vL Br Br vL Br vL Fr Fr vL Br Fr vL vL vL Fr Fr vL Br vL Fr vL vL Br Fr vL vL Fr vL DU Br Fr Fr vL Br Br Fr vL Fr Fr vL Fr vL vL Fr vL Fr Fr vL Fr Br vL DU Fr vL DU Fr vL Br vL vL Fr Fr Br vL

e) Hoeveel van de 80 respondenten zijn afkomstig uit de vlaamse Gemeenschap of Brussel?

h) Druk het verschil uit tussen het aantal werknemers uit de vlaamse Gemeenschap en het aantal werknemers uit de Franse Gemeenschap. in procentpunt: • in procent: ICT ©VANIN

a) Stel een frequentietabel op. regio n i f i

•

d) Teken met icT een cirkeldiagram voor de relatieve frequentie.

190 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.1.3 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken Een frequentietabel opstellen Groenten en fruit horen bij een gezonde levensstijl. • De aanbevolen consumptie van fruit bedraagt twee stukken per dag. • Slechts 9 % van de bevolking (3-64 jaar) voldoet aan de aanbeveling. • Twee op de drie (64 %) jonge kinderen (3-5 jaar) halen wel de richtlijn voor fruit. Bron: Cuypers K., Lebacq T., Teppers E. (eds.), Voedselconsumptiepeiling 2014-2015 (WIV-ISP) aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten. Stel een frequentietabel op. 1 0 4 2 0 1 xi ni fi cni cfi 2 3 1 2 1 3 0 5 1 0 1 3 2 1 0 2 1 2 3 1 2 1 1 2 0 4 2 3 2 2 1 4 0 5 4 1 0 2 1 3 4 5 3 2 3 1 1 0 • Welk deel van de leerlingen at gisteren twee stukken fruit? • Hoeveel leerlingen aten gisteren drie of vier stukken fruit? • Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van het waarnemingsgetal 3. • Hoeveel procent van de ondervraagde leerlingen at gisteren minstens één stuk fruit? • is de steekproef die hier is uitgevoerd, een goede steekproef? Waarom (niet)? instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 191 Grafische voorstellingen dotplot en staafdiagram 2018161412108642leerlingenaantal 0 1 2 3 4 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag leerlingenaantalrelatief 0 1 2 34 5 16,67 % 31,25 % 25,00 % 14,58 % 8,33 % 4,17 % fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % lijndiagram leerlingenaantal fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per 01234dag 5 1614121086420 cumulatief staaf- en lijndiagram leerlingenaantalcumulatief 80 41 2 3 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 50403020100 23 35 42 46 48 leerlingenaantalrelatiefcumulatief 04123 5 fruitconsumptie bij 48 vierdejaars aantal stukken fruit per dag 0,00 % 10,00 % 30,00 % 50,00 % 70,00 % 90,00 % 20,00 % 40,00 % 60,00 % 80,00 % 100,00 % ICT ICT ICT ©VANIN

192 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Oefeningen REEKS B een vegetariër eet geen vlees en geen vis. iemand die wel vis eet, maar geen vlees, is een Veganistenpescotariërbannen alle dierlijke producten (dus ook melk, eieren, lederwaren …) uit hun leven. Mensen die, vanwege hun gezondheid of uit zorg voor het milieu, op sommige dagen geen vlees of vis eten, noem je flexitariërs 2 Aan 110 Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. 4 1 7 1 5 1 0 3 1 2 0 3 0 1 2 4 0 5 2 0 7 3 2 1 0 1 0 1 0 6 3 1 2 1 5 3 1 1 7 0 2 1 0 5 0 1 4 0 3 0 1 4 0 2 0 7 3 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 4 0 2 6 0 1 3 2 0 4 2 1 0 4 0 1 0 0 7 0 3 1 0 0 2 3 1 0 4 0 2 0 0 2 0 1 0 2 1 0 3 1 7 a) Stel een frequentietabel op. x i n i f i cn i cf i 01234567 b) Hoeveel procent van de gezinnen is vegetarisch? c) Geef de betekenis van de cumulatieve relatieve frequentie van 2. d) Hoeveel gezinnen eten meer dan de helft van de dagen geen vlees of vis? ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 193 4.1.4 Centrummaten bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens (rekenkundig) gemiddelde mediaan modus Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x i i = 1 nn De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen, is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de oorspronkelijke gegevens. Welke centrummaten worden gebruikt in deze vier voorbeelden? in vergelijking met 2010 is de consumptie van brood in 2020 afgenomen. De consumptie van fruit is gelijk gebleven. De helft van de tieners in Limburg leest minstens twee boeken per maand. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 6,5,5,4,4,3,3,2,2,050505050 19645,0 19803,7 20002,7 20192,4 vruchtbaarheidsgraad wereldwijd Bron: data.worldbank.org eenpersoonshuishoudens zijn het meest voorkomende huistype. 2019: vruchtbaarheidsgraad wereldwijd gehalveerd tot 2,4 (als het getal onder 2,1 zakt, begint de bevolking te krimpen) ©VANIN

194 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Centrummaten uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen een leerkracht nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. vul de frequentietabel aan. xi ni fi cni cfi 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 6 • Om het gemiddelde te berekenen, gebruik je de formule x = ni x i i = 1 k n Daarbij is k het aantal verschillende gegevens. x Schat= het totale aantal gemaakte fouten, als er 150 leerlingen het dictee maken. • De mediaan bepaal je met behulp van de cumulatieve frequentieverdeling. Geef de betekenis van de mediaan: • Wat is het meest voorkomende aantal fouten? • De leerkracht trekt één punt af per gemaakte fout. Bereken het klasgemiddelde op 10. • Welke centrummaat wordt beïnvloed, als een van de leerlingen die zeven fouten maakte, tien fouten had gemaakt? instructiefilmpje ©VANIN

a) De mediaan is niet vatbaar voor uitschieters. r r

d) als je wilt aantonen dat een bepaald gegeven het meest voorkomt, gebruik je de modus. r r e) Het is mogelijk dat alle gegevens, op één na, kleiner zijn dan het gemiddelde. r r

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 195 Oefeningen REEKS B 3

4 Welke centrummaat werd gebruikt bij de onderstaande onderzoeksresultaten?

a) Kinderen ontbijten vaker dan tieners. b) De helft van de mensen heeft minstens drie cOviD-19-zelftesten gedaan in 2021. c) nederlanders zijn groter dan Belgen.

Juist of fout? Duid aan met een vinkje en verklaar je antwoord. juist fout

©VANIN

b) als de leerkracht na een toets zegt dat je bij de betere helft van de klas hoort, dan ligt je score boven het gemiddelde. r r

c) als je de punten van twee klassen van dezelfde richting voor een proefwerk wilt vergelijken, gebruik je de mediaan. r r

196 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 5 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. xi ni fi cni cfi 0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 a) vul de frequentietabel aan. b) De helft van de bedienden dronk minstens koppen. c) in een ander bedrijf werken 95 bedienden. Schat hoeveel koppen koffie men daar per dag moet voorzien. 6 Het cirkeldiagram toont de grootte van de huishoudens in Vlaanderen in 2021. Het aantal huishoudens met meer dan zes personen werd niet opgenomen in het onderzoek. aantal personen per huishouden in Vlaanderen12345631,9 % 34,3 % 14,1 % 13,24,5% % 2,0 % a) Bepaal de modus. b) Geef de betekenis van de modus. c) Hoe groot is het gemiddelde huishouden in vlaanderen? d) Bepaal de mediaan. e) Geef de betekenis van de mediaan. ICT ICT ©VANIN

• Het klassenmidden mi is het gemiddelde van de klassengrenzen van de i-de klasse. Bijvoorbeeld: het midden van de klasse [45, 50[ is 45 + 50 2 = 47,5.

Op het staafdiagram zie je dat er maar liefst 33 verschillende waarden zijn, elk met een absolute frequentie gelijk aan 1, 2 of 3.

• Het kleinste gegeven behoort tot de eerste klasse en het grootste gegeven tot de laatste klasse. instructiefilmpje

massa (kg)

• De klassenbreedte is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van de klasse. je kiest voor alle klassen een gelijke klassenbreedte. Bijvoorbeeld: de breedte van de klasse [45, 50[ is 50 – 45 = 5.

Bijvoorbeeld: de klasse [45, 50[. De grenzen van de klasse noem je de klassengrenzen

• Het aantal klassen is minimaal 5 en maximaal 15.

Daarom is het overzichtelijker om de gegevens in klassen te groeperen

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 197 4.2 Gegroepeerde numerieke gegevens 4.2.1 Gegroepeerde frequentietabel Onderzoek naar de massa, in kilogram, van de zesdejaars in een school leverde de volgende resultaten op. 65 76 88 70 69 59 77 90 58 77 53 58 53 66 90 80 54 86 75 64 68 63 68 58 75 69 78 59 83 83 94 73 66 76 63 69 48 81 86 81 80 84 61 76 68 57 75 59 70 48 73 79 85 85 85 52 60 52 52 77 86 93 83 87 64 48 81 66 massa zesdejaars leerlingenaantal 4849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788899091929394 3012

• een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open in zijn bovengrens.

198 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 massa (kg) mi ni fi cni cfi [45, 50[ 47,5 3 4,41 % 3 4,41 % [50, 55[ 52,5 6 8,82 % 9 13,24 % [55, 60[ 57,5 7 10,29 % 16 23,53 % [60, 65[ 62,5 6 8,82 % 22 32,35 % [65, 70[ 67,5 10 14,71 % 32 47,06 % [70, 75[ 72,5 4 5,88 % 36 52,94 % [75, 80[ 77,5 11 16,18 % 47 69,12 % [80, 85[ 82,5 9 13,24 % 56 82,35 % [85, 90[ 87,5 8 11,76 % 64 94,12 % [90, 95[ 92,5 4 5,88 % 68 100,00 % 68 100,00 % als je de resultaten onderbrengt in een gegroepeerde frequentietabel, zie je alleen nog dat er bijvoorbeeld zes gegevens tot de klasse [50, 55[ behoren. Wat die gegevens zijn, is niet meer zichtbaar. Dat houdt een verlies aan informatie in. • Hoeveel leerlingen wegen tussen 65 kg en 70 kg? • Geef de betekenis van de relatieve frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt tussen 70 kg en 80 kg? • Geef de betekenis van de cumulatieve absolute frequentie van de derde klasse. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt minstens 85 kg? ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 199 4.2.2 Een gegroepeerde frequentietabel opstellen met ICT REKENMACHINE Bij continue gegevens kun je de absolute frequenties van de klassen bepalen door gebruik te maken van een statistische plot. actie knoppen scherm Maak een statistische plot van het type voor de lijst MaSSa: • Zet de plot aan, voer als Xlijst de lijst MaSSa in en stel Freq gelijk aan 1. 2nd staty=plot f1 1 L1 Y entrenterysolve 2nd liststat • Kies een grafisch venster: ■ Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse) ■ Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse) ■ Xschaal = (klassenbreedte)5 tblwindowsetf2 • Teken de statistische plot, lees de frequenties af en noteer ze om straks een frequentietabel op te stellen. caltablegraphf5tracecf4 voor een frequentietabel open je de lijsteneditor. actie knoppen scherm • voer in L1 de klassenmiddens in. • voer in L2 de bepaalde absolute frequenties in. • Bereken in L3 de relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 3e kolom =afronden(L2 / som(L2)*100,2) in). liststat 1 L1 Y (totin kolomhoofd) 2nd liststat 5 L5 U • Bereken in L4 de cumulatieve absolute frequentie (breng in het formulevak van de 4e kolom =cumSom(L2) in). • Bereken in L5 de cumulatieve relatieve frequentie (breng in het formulevak van de 5e kolom =afronden(L4 / som(L2)*100,2) in). 2nd liststat 6 L6 V ©VANIN

• Geef de werkelijke klassenbovengrenzen (w.k.b.) in de G-kolom in.

200 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

• Selecteer in één keer alle cellen waarin het resultaat van de telling moet komen (dat noem je een matrix). je selecteert dus de cellen c12 tot en met c21.

• Het resultaat van de telling komt in de geselecteerde cellen.

EXCEL Om de klassenfrequenties te bepalen, gebruik je de functie DieinTervaL(gegevensmatrix;interval_verw).functieteltvaneengeselecteerdgebied (de gegevensmatrix) hoeveel elementen in een interval ]a, b] liggen, waarbij a en b twee opeenvolgende getallen zijn van de intervalverwijzing. Omdat je in de statistiek met intervallen van de vorm [a, b[ werkt, moet je een hulpkolom gebruiken: per klasse voer je de werkelijke klassenbovengrenzen in. Open het bestand ‘massa.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Formule: =inTervaL(a1:j7;G12:G21).

• Werk de frequentietabel verder af. ICT

GEOGEBRA ICT

• Druk Shift + Ctrl + Enter om de matrix te verwerken.

©VANIN

bestand ‘massa.frequentietabel.xlsx’

de staven. ■

L1

histogram. tablegraphf5 Het histogram met

L2 (of L3 ) in. 2nd

werk. •

■

0 %. • Kies

121084260

met

Het histogram met

• Xschaal = 5 (klassenbreedte) tblwindowsetf2 activeer een statistische plot het derde Xlijst: en naast Freq: staty=plot entrenterysolve het Excel Open het en ga als volgt te Selecteer de cellen met de absolute freqenties en voeg een staafdiagram Om de staven tegen elkaar te plaatsen: rechtermuisklik op een van Gegevensreeks opmaken. Breedte tussenruimte: voor een randkleur een ononderbroken streep. GeoGebra

Teken

en kies voor

Het histogram met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 40 (ondergrens eerste klasse min klassenbreedte)

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 201 4.2.3 Grafische voorstellingen Histogram De frequentie bij de gegroepeerde gegevens over de massa van de zesdejaars stel je voor door een histogram een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens.

type. vul naast

in. •

ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

Op de horizontale as plaats je de klassen en op de verticale as de frequentie. massa zesdejaars leerlingenaantal massa (kg) [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[

• Xmax = 100 (bovengrens laatste klasse plus klassenbreedte)

■

f1

202 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

fi

De frequentiepolygoon sluit aan op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0).

Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse van de steekproef voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt.

gegevens en

Frequentiepolygoon een frequentiepolygoon is een type lijndiagram dat gebruikt wordt gegroepeerde dat de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , )

Op die manier ontstaat een veelhoek of polygoon. mi ni fi [95,100[97,500,0[80,85[82,5913,24%[60,65[62,568,82%[55,60[57,5710,2[40,45[42,500,00%[45,50[47,534,41%[50,55[52,568,82%9%[65,70[67,51014,71%[70,75[72,545,88%[75,80[77,51116,18%[85,90[87,5811,76%[90,95[92,545,88%0%

verbindt.

klasse

bij

massamassazesdejaars(kg)leerlingenaantalprocentueel 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 42,5 47,552,557,562,567,572,577,582,587,592,5 97,5 De frequentiepolygoon met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Open de lijsteneditor. liststat entrenterysolve voeg in de frequentielijst: • een klassenmidden toe vóór dat van de eerste klasse en een klassenmidden na dat van de laatste klasse; • de bijbehorende frequenties in L2 stel je 0 (L2(1)=0 via inS). 2nd insdel (dusINS) Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 40 • Xmax = 100 • Xschaal = 5 tblwindowsetf2 activeer een statistische plot en kies voor het tweede type. vul naast Xlijst: L1 en naast Freq: L2 (of L3 ) in. 2nd staty=plot f1 entrenterysolve Teken de frequentiepolygoon. tablegraphf5 instructiefilmpje ©VANIN

75 [75,80[69,12% 80 [80,85[82,35% 85 [85,90[94,12% 90 [90,95[100,00% 95 massamassazesdejaars(kg)frequentierelatievecumulatieve 0,00 % 10,00 % 20,00 % 30,00 % 40,00 % 50,00 % 60,00 % 70,00 % 80,00 % 90,00 % 100,00 % 45505560657075808590 95 Los de vragen op met behulp van het ogief. • Hoeveel procent van de leerlingen weegt minder dan 68 kg? • Hoeveel leerlingen wegen tussen 76 kg en 85 kg? • vanaf welke massa behoort een leerling tot het zwaarste kwart? Het ogief met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm Open de lijsteneditor. liststat entrenterysolve voeg in de frequentielijst een kolom toe met de klasseneindes (tot en met de bovengrens van de laatste klasse). Kies vensterinstellingen aangepast aan de gegevens: • Xmin = 45, Xmax = 95, Xschaal = 5 • Ymin = −20, Ymax = 110, Yschaal = 10 activeer een statistische plot en kies voor het tweede type. vul naast Xlijst: L6 en naast Freq: L5 (of L4) in. Teken het ogief. instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 203

50

70

Bij die grafische voorstelling wordt de cumulatieve frequentie van elke klasse toegekend aan de klassenbovengrens bi van de klasse, wat logisch is, gelet op de betekenis van de cumulatieve frequenties.

60

en

De klassenondergrens a1 van de eerste klasse is de klassenbovengrens van de klasse voorafgaand aan de eerste klasse van de steekproef. Die klasse geef je de cumulatieve frequentie 0 of 0 %. klasse cfi k.b. [40,45[ [45,50[4,41% [50,55[13,24% [55,60[23,53% [60,65[32,35% [65,70[47,06% [70,75[52,94%

65

55

Ogief een ogief is een type cumulatief lijndiagram dat gebruikt wordt bij gegroepeerde gegevens dat de roosterpunten (a1 , 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.

0,00% 45

204 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKSOefeningenA 7 Aan 100 jongeren werd gevraagd hoeveel zakgeld ze per maand krijgen. zakgeld per maand jongerenaantal 05 10152025303540455055 60 12101416201842608 zakgeld (euro) a) Welke klasse telt het grootste aantal jongeren? b) Hoeveel jongeren krijgen tussen 30 en 40 euro zakgeld? c) Hoeveel procent van de jongeren krijgt minder dan 10 euro zakgeld? 8 Tijdens het medisch onderzoek meet de verpleegster de lichaamslengte. De frequentiepolygoon toont de lichaamslengte van een groep jongens. lengte (cm) jongensaantal 302520151005 145150155160165170175180185190195200lichaamslengtejongens a) Maak een frequentietabel. lengte (cm) ni cni b) Hoeveel jongens werden tijdens het onderzoek gemeten? c) Hoeveel jongens zijn kleiner dan 170 cm? d) Hoeveel procent van de jongens meet 190 cm of meer? ©VANIN

b) Hoeveel leerlingen wonen op minder dan 10 km van school?

f) De veertig leerlingen van het vierde jaar die het dichtst bij school wonen, wordt gevraagd deel te nemen aan een enquête. in die enquête vraagt men ook hoe ver de leerlingen van school wonen.

024 68 101214 16

a) Hoe noem je deze grafische voorstelling? b) Hoeveel procent van de mensen moet minder dan vijf minuten wachten aan het loket? c) Hoeveel procent van de mensen moet acht minuten of meer wachten aan het loket? d) voor hoeveel procent van de mensen bedraagt de wachttijd drie tot zes minuten?

d) Hoeveel leerlingen wonen op een afstand van 6 tot 10 km van school?

Tot welke klasse behoort dan de leerling die het verst van school woont?

©VANIN

10 Aan alle leerlingen van het vierde jaar van een school werd gevraagd hoe ver ze van school wonen. afstand (km) afstand tot school

leerlingenaantalcumulatief 80706050403020100

a) Hoeveel leerlingen zitten er in die school in het vierde jaar?

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 205 9 In een postkantoor houdt men de wachttijden aan het loket bij. Het diagram geeft een overzicht van die wachttijden. wachttijd (minuten) wachttijden aan het loket mensenaantalrelatiefcumulatief 1009080706050403020100 0 123 45 67 89 10

e) Hoeveel procent van de leerlingen woont op minder dan 4 km van school?

c) Hoeveel leerlingen wonen op 12 km of verder van school?

b) Gedurende hoeveel dagen werd het bezoekersaantal bijgehouden?

g) Hoeveel procent van de dagen tel je tussen 125 en 225 bezoekers?

a) vervolledig de frequentietabel.

d) Gedurende hoeveel dagen telde men tussen 100 en 250 bezoekers? e) Hoeveel dagen werden er 200 of meer bezoekers geteld?

c) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie.

ICT ©VANIN

206 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKS B 11 Gedurende een aantal dagen werd het aantal bezoekers van een website bijgehouden. bezoekersaantal mi ni fi cni cfi [0, 50[ 10 [50, 100[ 19 [100, 150[ 25 [150, 200[ 34 [200, 250[ 18 [250, 300[ 12 [300, 350[ 6

f) Teken met icT het ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

e) Bij een soortgelijke film zijn er 88 mensen aanwezig. Schat hoeveel daarvan minstens 50 jaar zijn.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 207 12 Aan de bezoekers van een film in een bioscoop wordt de leeftijd gevraagd. 17 25 34 44 42 38 18 16 41 55 57 38 38 18 19 42 24 21 45 48 65 41 38 18 19 27 24 17 62 43 46 39 54 41 44 62 24 19 32 24 37 35 41 54 52 40 34 22 38 24 22 28 29 45 51 40 33 30 21 20 61 32 44 66

b) Uit welke leeftijdsklasse komen de meeste filmbezoekers?

c) Hoeveel mensen tussen 40 en 60 jaar wonen de film bij?

d) Hoeveel procent van de bezoekers is jonger dan 40 jaar?

f) Teken met icT een histogram voor de absolute frequentie.

h) Teken met icT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

i) Hoeveel procent van de filmbezoekers is jonger dan 22 jaar?

j) Hoe oud zijn de 25 % oudste filmbezoekers?

k) Hoeveel procent meer 20- tot 30-jarigen waren er dan 10- tot 20-jarigen? rond af op 0,1 %.

ICT ©VANIN

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. leeftijd mi ni fi cni cfi [10, 20[

g) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie.

208 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 13 Op een examen wiskunde op 140 werden de volgende punten behaald. 121 94 120 96 100 97 88 69 85 53 107 112 93 99 111 90 98 104 72 96 64 80 107 85 107 101 99 80 110 76 88 72 107 64 75 43 85 69 91 113 88 107 93 80 72 91 53 75 97 91 75 53 111 86 99 80 96 88 91 64 69 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 10. punten mi ni fi cni cfi b) Hoeveel leerlingen behaalden tussen 100 en 130? c) Hoeveel leerlingen slaagden? d) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie. e) Teken met icT een ogief voor de cumulatieve frequentie. f) Hoeveel procent van de leerlingen behaalde minder dan 75? ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 209 14 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Maak een frequentietabel. De benedengrens van de eerste klasse is 30 en de klassenbreedte is 15. massa (g) mi ni fi cni cfi

f)

d) Teken met icT een histogram de Teken met icT een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie. Teken met icT het ogief voor de cumulatieve relatieve Hoeveel aardappelen wegen minder dan 100

c) Hoeveel aardappelen wegen 120

g of meer?

frequentie. g)

voor

g? ICT ©VANIN

b) Hoeveel procent van de aardappelen weegt minder

dan 90 g?

absolute frequentie. e)

210 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 15 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met klassenbreedte 5. snelheid(km/h) mi ni fi cni cfi b) Hoeveel auto’s werden gecontroleerd? c) Hoeveel van de gecontroleerde voertuigen reden minstens 70 km/h? d) Hoeveel procent reed minder dan 50 km/h? e) Hoeveel auto’s reden 30 tot 45 km/h? f) Teken met icT een frequentiepolygoon voor de relatieve frequentie. g) Teken met icT een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie. h) Hoeveel procent van de auto’s reed minder dan 62 km/h? ICT ©VANIN

g) Wat is de schermtijd van de 20 % leerlingen die het langst met hun toestel bezig zijn?

©VANIN

e) Teken met icT: • een histogram voor de relatieve frequentie; • een frequentiepolygoon voor de absolute frequentie; • een ogief voor de cumulatieve relatieve frequentie.

Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Je noteert de gegevens in een tabel met ruwe gegevens.

c) Hoeveel leerlingen zijn langer dan twee uur per dag bezig?

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 211

a) Maak een frequentietabel. Breng de gegevens onder in klassen met breedte 20.

16 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar.

Uit een onderzoek van het Wetenschappelijk instituut voor volksgezondheid in België blijkt dat 55 % van de adolescenten op een weekdag de aanbevolen limiet van twee uur schermtijd op de smartphone overschrijdt.

b) Hoeveel procent van de leerlingen is minder dan een uur per dag bezig met de smartphone?

schermtijd(min) mi ni fi cni cfi

d) Hoeveel procent is tussen een uur en twee uur bezig?

f) Schat bij hoeveel leerlingen de schermtijd hoogstens anderhalf uur is.

Op een weekenddag loopt dat percentage op tot 84 %.

212 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens 4.3.1 Het gemiddelde aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken het gemiddelde met icT: Het gemiddelde uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. Om het gemiddelde te bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel, vertegenwoordig je alle gegevens van een klasse door hun klassenmidden. Formule x ≈ n i m i i = 1 k n Daarbij is k het aantal verschillende klassen en n = n i i = 1 k frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni ni  mi [0, 5[ 2,5 15 37,5 [5, 10[ 7,5 18 135 [10, 15[ 12,5 16 200 [15, 20[ 17,5 10 175 [20, 25[ 22,5 8 180 [25, 30[ 27,5 6 165 [30, 35[ 32,5 4 130 [35, 40[ 37,5 4 150 [40, 45[ 42,5 2 85 83 1 257,5 klasse mi ni ni  mi [0, 10[ 5 33 [10, 20[ 15 26 [20, 30[ 25 14 [30, 40[ 35 8 [40, 50[ 45 832 x ≈ 1 257,583 ≈ 15,2 x ≈ 83 ≈ Wat stel je vast als je de gemiddelden vergelijkt? instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 213 4.3.2 De mediaan Bereken voor de tabel met ruwe gegevens van de vorige pagina de mediaan met icT: De mediaan uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen Stel dat je niet over de tabel met ruwe gegevens beschikt, maar enkel over een frequentietabel. je bepaalt dan eerst de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. Die klasse noem je de mediaanklasse frequentietabel met klassenbreedte 5 frequentietabel met klassenbreedte 10 klasse mi ni cni cfi [0, 5[ 2,5 15 15 18,07 % [5, 10[ 7,5 18 33 39,76 % [10, 15[ 12,5 16 49 59,04 % [15, 20[ 17,5 10 59 71,08 % [20, 25[ 22,5 8 67 80,72 % [25, 30[ 27,5 6 73 87,95 % [30, 35[ 32,5 4 77 92,77 % [35, 40[ 37,5 4 81 97,59 % [40, 45[ 42,5 2 83 100,00 % klasse mi ni cni cfi [0, 10[ 5 33 [10, 20[ 15 26 [20, 30[ 25 14 [30, 40[ 35 8 [40, 50[ 45 2 De mediaan kun je benaderen door het klassenmidden te nemen van de mediaanklasse. Me ≈ Me ≈ Ook nu zie je een mogelijk verlies aan nauwkeurigheid als de klassenbreedte groter wordt. De mediaan uit het ogief benaderen je kunt de mediaan ook schatten via het ogief, door gebruik te maken van de 50 %-rechte. 05 10152025303540 45 0,00 % 10,00 % 20,00 % 30,00 % 40,00 % 50,00 % 60,00 % 70,00 % 80,00 % 90,00 % 100,00 % Me afstand tot de school frequentierelatievecumulatieve afstand (km) ©VANIN

214 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Lineaire benadering van de mediaan klasse cni cfi bovengrens [5, 10[ 33 39,76 % 10 [10, 15[ 49 59,04 % 15 33 gegevens zijn kleiner dan 10 en 49 gegevens zijn kleiner dan 15. De mediaan is het getal met rangorde 842 = 42 en ligt dus tussen 10 en 15. 02468 10121416 5550454035302520151050 18 (10, 33) (15, 49) Me frequentieabsolutecumulatieve afstand (km) Om de mediaan te bepalen, gebruik je lineaire interpolatie: 10 + 9 33 ∆ = 5 Me 42 ∆ = 16 15 49 Me ≈ 10 + 169 5 Me ≈ 4.3.3 De modale klasse Definitie Modale klasse De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie. Voorbeeld Bepaal de modale klasse bij de afstand van huis naar school: Centrummaten bij gegroepeerde gegevens met GeoGebraICT VERDIEPING ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 215 REEKSOefeningenA 17 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefening 14) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Hoeveel weegt de zwaarste helft van de aardappelen? b) je neemt 500 willekeurige aardappelen. Schat de totale massa op 1 g nauwkeurig. c) vergelijk het gemiddelde en de mediaan. Wat kun je daaruit besluiten? 18 In de tabel staan de snelheden (in km/h) die tijdens een snelheidscontrole in de bebouwde kom werden opgetekend. De maximale toegelaten snelheid is er 50 km/h. 48 52 50 49 45 62 38 42 41 52 51 49 50 64 72 55 50 46 58 38 42 28 54 48 47 45 50 40 41 48 47 46 52 58 50 44 57 51 72 53 49 48 46 44 42 50 48 48 47 35 36 42 48 54 52 48 55 55 50 56 41 47 29 45 34 64 75 34 42 46 48 48 47 50 40 57 54 63 55 58 a) Welke centrummaat gebruik je om te illustreren wat de snelheidsbeperking is? Bereken die centrummaat. b) Klopt de bewering dat meer dan de helft van de auto’s te snel reed? ICT ICT ©VANIN

REEKS B 19 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. De resultaten worden weergegeven in de frequentietabel. budget ni [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 a) Bereken het gemiddelde. b) Geef de betekenis van het gemiddelde. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Welke bedragen worden het meest besteed?

©VANIN

216 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

20 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. leeftijd ni [0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 a) vul de frequentietabel aan met icT. b) Bereken de gemiddelde leeftijd in België. c) Bepaal de mediaan. d) Geef de betekenis van de mediaan. e) Wat is de modale klasse? f) Hoeveel procent van de bevolking behoort tot die modale klasse? ICT ICT

Als controle wordt er een steekproef uitgevoerd bij 160 willekeurig gekozen kogellagers. klasse ni [20,0; 20,1[ 9 [20,1; 20,2[ 13 [20,2; 20,3[ 17 [20,3; 20,4[ 26 [20,4; 20,5[ 34 [20,5; 20,6[ 23 [20,6; 20,7[ 16 [20,7; 20,8[ 12 [20,8; 20,9[ 9 [20,9; 21,0[ 1 a) vul de frequentietabel aan met icT. b) is de machine die de kogellagers maakt, goed afgesteld?

c) Bepaal de mediaan door lineaire interpolatie. ICT

©VANIN

d) Welke centrummaat gebruik je het best om je eigen schermtijd te vergelijken met de schermtijd van de ondervraagde leerlingen?

REEKS C De as van een wiel wordt bevestigd in een kogellager een lager is een asblok waarin de as kan draaien en heeft als belangrijkste taak het verlagen van de wrijving tussen de verschillende onderdelen. een kogellager bestaat uit een binnen- en een buitenring, met daartussen een rij bolvormige kogels. Bij de draaibeweging draaien de kogels mee, waardoor veel wrijving wordt voorkomen.

Gebruik de verwerking van oefening 16 en beantwoord de volgende vragen.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 217

21 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

VERDIEPING

a) Geef een schatting van het totale aantal uren schermtijd per dag van de leerlingen van jouw klas (of jaar). b) De helft van de leerlingen van de klas (of het jaar) is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

c) Welke centrummaat zou je gebruiken om het aantal minuten schermtijd van leerlingen van verschillende leeftijden te vergelijken?

22 Een bedrijf maakt kogellagers die een diameter van 20,5 mm moeten hebben.

218 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.4 Spreidingsmaten 4.4.1 Inleiding temperatuurverschil 2020 en 1981-2010 Bron: climate.copernicus.eu, 2020 Bron: Statbel, 2021 0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 949,917-0015 999,919-5017 949,922-0020 999,924-5022 949,927-0025 999,929-5027 949,932-0030 999,934-5032 949,937-0035 999,939-5037 949,942-0040 999,944-5042 949,947-0045 999,949-5047 949,952-0050 999,954-5052 949,957-0055 999,959-5057 949,962-0060 999,964-5062 949,967-0065 999,969-5067 949,972-0070 999,974-5072 949,977-0075 999,979-5077 8000>= vrouwen mannen verdeling beroepsbevolking Vlaams Gewest naar maandelijks inkomen en geslacht Tussen 1981-2010 en 2020 is de gemiddelde jaartemperatuur op aarde met 0,8 ºc toegenomen. Het gemiddelde netto maandelijkse inkomen in vlaanderen in 2020 bedroeg 1 903 euro. Mannen zijn gemiddeld 16 cm groter dan vrouwen. De grootste Belgische vrouw is 204 cm groot. Haar man is 14 cm kleiner. Katten worden gemiddeld 14 jaar. een kwart wordt echter niet ouder dan 9 jaar en een kwart wordt zelfs ouder dan 17 jaar. percentage0102030405060totaalmannen vrouwen leeftijd18-3435-4950-6465+ totaal overgewichtmatig overgewichternstig overgewicht overgewicht volwassenen Bron: RIVM, 2019 gemeenten met duurste bouwgrond 1 antwerpen 479 euro/m2 2 Leuven 417 euro/m2 3 Koksijde 373 euro/m2 4 Gent 342 euro/m2 5 asse 334 euro/m2 6 Grimbergen 332 euro/m2 7 ranst 325 euro/m2 8 Bornem 309 euro/m2 9 Middelkerke 303 euro/m2 10 Knokke-Heist 302 euro/m2 11 Opwijk 302 euro/m2 Bron: Trends, 2020 De helft van de nederlanders heeft een BMi die groter is dan 25 en is dus, volgens de norm, te zwaar. De gemiddelde prijs voor bouwgrond in vlaanderen is 263,70 euro per m2 De mediaanprijs is 224 euro per m2 De bovenstaande voorbeelden tonen dat de centrummaten geen totaalbeeld geven. er moeten ook getallen bepaald worden die de spreiding weergeven ten opzichte van die centrummaten. instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 219 4.4.2 De variatiebreedte Voorbeeld 1 De leerlingen van twee klassen van het vierde jaar hebben het voorbije weekend auto’s gewassen voor het goede doel. Per gewassen auto kregen ze 10 euro. De opbrengst voor beide klassen zie je in de tabel. KLaS a opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 3 6 3 3 1 KLaS B opbrengst(euro) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Me = x =leerlingenaantal 1 3 1 3 3 1 1 1 De twee klassen hebben dezelfde mediaan en ongeveer hetzelfde gemiddelde. Waarin verschillen de gegevensrijen dan wel? Definitie Variatiebreedte De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. in het voorbeeld is • de variatiebreedte voor klas a: • de variatiebreedte voor klas B: Dat geeft aan dat voor klas B de gegevens sterker gespreid zijn. een voordeel van de variatiebreedte is dat ze gemakkelijk te berekenen is. een nadeel is dat er slechts rekening gehouden wordt met de twee uiterste waarden en niet met de frequenties. Voorbeeld 2 De histogrammen tonen rapportresultaten met dezelfde variatiebreedte R = wiskunderapport klas A leerlingenaantal leerlingenaantal30102040500 punten (%) punten (%) wiskunderapport klas B 301020407060500 [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ [20, 40[[0, 20[ [40, 60[[60, 80[[80, 100[ Leg uit waarin de ligging van de gegevens ten opzichte van het centrum van elkaar verschilt. ICT ©VANIN

220 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.4.3 Kwartielen aan 15 gezinnen werd gevraagd hoeveel smartphones er binnen het gezin zijn. je kunt de gegevensrij verdelen in vier delen met elk evenveel waarnemingsgetallen. middelste50% 25 %25 %25 %25 % %edeewt%etsree Me Q1 Q2 Q3 0 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 Definitie Kwartielen Van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %). Merk op: Q2 = Me in het voorbeeld:rangorde waarde betekenis Q1 n + 1 4 = 4 2 25 % van de gezinnen heeft hoogstens 2 smartphones. 75 % van de gezinnen heeft minstens 2 smartphones. Q2 n + 1 2 = 8 4 50 % van de gezinnen heeft hoogstens 4 smartphones. 50 % van de gezinnen heeft minstens 4 smartphones. Q3 3 n + 1 4 = 12 5 75 % van de gezinnen heeft hoogstens 5 smartphones. 25 % van de gezinnen heeft minstens 5 smartphones. Kwartielen uit een niet-gegroepeerde frequentietabel bepalen je bepaalt de 25 %-grens, de 50 %-grens en de 75 %-grens. xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ni 1 1 2 3 2 3 1 1 1 cni 1 2 4 7 9 12 13 14 15 cfi 6,67 % 13,33 % 26,67 % 46,67 % 60,00 % 80,00 % 86,67 % 93,33 % 100 % ≠ ≠ ≠ 25grens%- 50grens%- 75grens%Op een analoge manier kun je een rij verdelen in 10 of 100 delen. je spreekt dan van decielen en percentielen instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 221 Kwartielen uit een tabel met ruwe gegevens berekenen aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 Bereken de kwartielen met icT: Q1 = Me = Q3 = Geef de betekenis van het eerste en derde kwartiel. Wie met excel werkt, gebruikt de functie ‘KWarTieL(matrix;kwartiel)’. Kwartielen met GeoGebra Kwartielen uit het ogief benaderen analoog aan de mediaan kun je de klasse bepalen waarin het eerste en derde kwartiel liggen, en daarvan het midden gebruiken om de kwartielen te benaderen. Door gebruik te maken van het ogief, kun je nauwkeuriger werken. 05 10152025303540 45 0,00 % 10,00 % 20,00 % 30,00 % 40,00 % 50,00 % 60,00 % 70,00 % 80,00 % 90,00 % 100,00 % afstand tot school aantal kilometer frequentierelatievecumulatieve Q1 Me Q3 Q1 ≈ Me ≈ Q3 ≈ ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

222 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Kwartielen uit een frequentietabel met de grafische rekenmachine actie knoppen scherm voer de frequentietabelgegroepeerdeindoor: • in L1 de klassenmiddens in te geven; • in L2 de absolute frequenties in te geven. 2 L2 Z 1 L1 Y 5 L5 Ui :entrenterysolveentrliststatenterysolve ▲ ▲ 5 L5 U Bereken de centrummaten door aan te geven dat de klassenmiddens zich in lijst 1 bevinden en de absolute frequenties in lijst 2. 2nd 2 L2 Zentrenterysolveliststat ▲ ▲ ▲ Lees de kwartielen af. entrenterysolve ©VANIN

je houdt geen rekening met de 25 % kleinste en de 25 % grootste gegevens.

middelsteIQRR50%

Opmerking je kunt het gemiddelde via de boxplot schatten door het midden van de box te bepalen. instructiefilmpje

©VANIN

• een rechthoek (de box) die als basis de interkwartielafstand heeft;

4.4.4 De interkwartielafstand Definitie Interkwartielafstand De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 223

Notatie iQr Voorbeelden

• een vanaf de box getekende lijn (de plot) naar het minimum en het maximum. een boxplot verdeelt de gegevens in vier gebieden die elk een vierde (25 %) van de waarnemingsgetallen bevatten. Q1 Q3MIN MAXMe %%

4.4.5 De boxplot De kwartielen vormen samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal de vijfgetallensamenvatting De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

• De afstand van thuis naar school (zie 4.4.3): iQr = Het nadeel van de interkwartielafstand is dat alleen de spreiding van de middelste helft van de gegevens wordt bekeken.

• Het aantal smartphones binnen een gezin (zie 4.4.3): iQr =

Bespreking:

• Het werkelijke gemiddelde is 14,7 (zie 4.3.1).

0,0

©VANIN

224 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

• je ziet de grootste spreiding bij het derde en vierde kwart, en de kleinste spreiding bij het eerste en tweede kwart.

Voorbeeld 2 aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen (zie 4.4.3). Teken de boxplot met icT en beantwoord de vragen.

• Schat het gemiddelde en controleer.

• verklaar het verschil tussen je schatting en het werkelijke gemiddelde.

• De mediaan ligt links in de box en is dus op het eerste gezicht kleiner dan het gemiddelde.

Voorbeeld 1 Uit een grootschalig onderzoek naar het eten van fruit bij vijftien- tot achttienjarigen in vlaanderen is gebleken dat een kwart van de ondervraagden hoogstens één stuk fruit per dag eet. De helft van de respondenten eet minstens twee stukken fruit en een kwart eet minstens vier stukken fruit per dag. niemand eet meer dan zes stukken fruit per dag. 1,0 2,0 4,0 6,0

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 225 Boxplot met de grafische rekenmachine aan 48 leerlingen van een vierde jaar wordt xi 0 1 2 3 4 5 ni 8 15 12 7 4 2 48 gevraagd hoeveel stukken fruit ze gisteren hebben gegeten (zie 4.1.3). Teken de boxplot.actie knoppen scherm voer de frequentietabel in. entrenterysolve entrenterysolve enter entry solve 1 L1 Yentrenterysolve entrenterysolvecatalog0 8 v P 1 L1 Y 5 L5 U ▲ ▲ Maak de boxplot aan. entrenterysolve entrenterysolvey= statplot f1 2nd ▲ ▲ ▲ 24 Teken de boxplot op het scherm. 9 w Qformatzoomf3 Lees de centrummaten af op de boxplot. calctracef4 ▲ ▲ Boxplot met GeoGebra tijd 25 % – 75 % bereik zonder uitschieters zwakke uitschieter sterke uitschieter De box-and-whiskerplot werd voor het eerst gebruikt in 1977 door de amerikaanse statisticus john Tukey. in het oorspronkelijke ontwerp strekten de horizontale lijnen (de ‘whiskers’) zich uit tot maximaal 1,5 keer de interkwartielafstand onder het eerste of boven het derde kwartiel. De ‘zwakke uitschieters’ werden met kleine kringetjes op de tekening aangebracht en de ‘sterke uitschieters’ (meer dan 3 keer de interkwartielafstand onder Q 1 of boven Q 3 ) met kruisjes. ICT ©VANIN

Het IQR-criterium voor uitschieters een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is. Ga na of het gegeven 56 volgens het criterium een uitschieter is. Voorbeeld Zijn er uitschieters bij de gegevens over de afstand van thuis naar school? (zie 4.4.3) ICT

Bereken het gemiddelde en de mediaan: x = Me = Het is duidelijk dat het gegeven 56 het gemiddelde sterk beïnvloedt. verwijder de ‘uitschieter’ 56 uit de gegevensrij en bereken opnieuw het gemiddelde: x = een handige methode om na te gaan of een gegeven een uitschieter is, is het iQr-criterium.

©VANIN

226 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.4.6 Uitschieters De hematocrietwaarde van menselijk bloed is de verhouding van het volume rode bloedcellen BLOEDPRODEWITTEPLASMABLOEDCELLENBLOEDCELLENLAATJESBLOEDSTRUCTUURPLASMAWITTE BLOEDCELLEN BLOEDPLAATJESRODE BLOEDCELLEN 52-62 % 38-48 % > 1 % < 1 % ten opzichte van het totale volume van het bloed. De hematocrietwaarde wordt uitgedrukt in procent. rode bloedcellen zorgen voor het transport van zuurstof in het bloed, zodat een hoge hematocrietwaarde een belangrijk voordeel betekent voor duursporters. je kunt je hematocrietwaarde verhogen door hoogtestages, maar ook door medicatie (doping). een bekende vorm van bloeddoping is epo (erytropoëtine). van twaalf wielrenners is de hematocrietwaarde gemeten: 45 47 44 45 49 43 46 56 45 43 44 48

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 227 REEKSOefeningenA 23 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken. 0 0 1 2 2 0 2 5 2 4 1 3 0 1 2 2 3 3 0 4 5 1 3 0 3 4 0 1 3 4 4 1 3 3 3 0 4 1 6 0 1 3 4 5 0 1 2 3 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 2 0 5 1 1 4 7 1 1 1 0 2 3 1 0 7 2 3 3 1 2 1 0 0 1 5 0 3 6 4 2 1 0 a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis. b) Bereken het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis. c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis. d) Teken met icT de boxplot en bespreek. ICT ©VANIN

228 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 24 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefeningen 14 en 17) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Wat is het verschil tussen de zwaarste en de lichtste aardappel? b) Hoeveel weegt het zwaarste kwart van de aardappelen? c) Zijn er uitschieters bij de gegevens? d) Teken de boxplot met icT en bespreek. e) ‘er wegen meer aardappelen tussen 31 g en 93,75 g, dan tussen 117 g en 144 g.’ Klopt die bewering? ICT ©VANIN

c) in de vS is er een vrouw die haar eerste kind kreeg op de leeftijd van 52 jaar. is ze voor het onderzoek in België dan een uitschieter?

26

d) Geef een schatting van het klasgemiddelde. Een onderzoek naar de leeftijd waarop vrouwen in België hun eerste kind krijgen, levert de volgende boxplot op. 14,0 43,025,0 29,0 35,0

b) Bepaal het eerste kwartiel en geef de betekenis.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 229 25 De boxplot toont de resultaten voor een toets wiskunde (op twintig punten). 7,0 14,013,010,0 19,0 a) Wat was beste score? b) Bepaal de variatiebreedte. c) vul in: • De helft van de leerlingen behaalde hoogstens • een kwart van de leerlingen behaalde minstens

a) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

©VANIN

230 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKS B 27 De punten op tien voor een toets worden voorgesteld in een cumulatief lijndiagram. punten op 10 leerlingenaantalrelatiefcumulatief 0 123 45 67 89 10 1009080706050403020100 a) een kwart van de leerlingen behaalde minstens b) Geef de betekenis van de mediaan. c) Bereken de interkwartielafstand en geef de betekenis. 28 Aan de schoolpoort werd de snelheid (in km/h) van de bromfietsen door de politie gecontroleerd. De resultaten worden weergegeven in het ogief. snelheid (km/h) etsenbromaantalrelatiefcumulatief 1009080706050403020100 15202530354045505560 65 a) De helft van de bromfietsen rijdt minstens b) 25 % van de bromfietsen rijdt hoogstens ; een kwart minstens ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 231 29 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. (zie 4.1.4) xi ni a) Wat is de variatiebreedte? b) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis. c) Wat is de spreiding van de middelste helft van de leerlingen? 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 736 d) Teken met icT de boxplot en bespreek. 30 In een bedrijf wordt op een dag bij alle bedienden geregistreerd hoeveel koppen koffie ze die dag hebben gedronken. (zie oefening 5) xi ni a) Zijn er uitschieters bij de gegevens? b) Me = 3 < x = 3,3 verklaar. 0 5 1 6 2 7 3 14 4 11 5 8 6 4 7 2 8 0 9 581 ICT ICT ©VANIN

232 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

• een kwart van de vrouwen besteedt hoogstens per maand.

b) Welke voorstelling zou je gebruiken om te verduidelijken waarom het gemiddelde groter is dan de mediaan? [0, 100[ 15 [100, 200[ 73 [200, 300[ 38 [300, 400[ 26 [400, 500[ 19 [500, 600[ 14 [600, 700[ 8 [700, 800[ 4 [800, 900[ 2 [900, 1 000[ 1 c) Teken die voorstelling met icT en bespreek.

31 In een drukke winkelstraat werd aan 200 vrouwen gevraagd welk budget ze elke maand aan kleding besteden. (zie oefening 19) budget ni a) vul in (maak gebruik van het ogief):

32 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefening 20) klasse ni a) Bepaal het eerste en derde kwartiel en geef de betekenis. b) rosa is 107 jaar. Kun je haar leeftijd als uitschieter beschouwen? [0, 10[ 1 251 844 [10, 20[ 1 314 027 [20, 30[ 1 400 394 [30, 40[ 1 499 283 [40, 50[ 1 502 379 [50, 60[ 1 589 611 [60, 70[ 1 367 238 [70, 80[ 948 882 [80, 90[ 528 558 [90, 100[ 116 859 [100, 110[ 2 163 ICT ICT

• een kwart van de vrouwen besteedt minstens per maand.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 233

•

d) Bij een toets wiskunde heeft iedereen minstens 8 op 20. Leopold heeft gespiekt en heeft 0 op 20 gekregen. r r

a) De lengte (in cm) wordt bepaald van 150 volwassen Belgische vrouwen. van één vrouw wordt een lengte van 204 cm genoteerd. r r

33 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag.

b) een kwart van de leerlingen is hoogstens minuten per dag bezig met de smartphone. c) een kwart van de leerlingen is minstens minuten per dag bezig met de smartphone.

d) Teken de boxplot met icT en bespreek.

Gebruik de verwerking van oefeningen 16 en 21 en beantwoord de vragen.

Uitschieters verwijderen uit een rij waarnemingsgetallen is niet altijd een goede statistische methode.

• Uitschieters die werkelijk afwijken van de andere gegevens, zoals een topprestatie in de sport, verwijder je beter niet.

b) Men meet de temperatuur (in ºc) in de 55 klaslokalen van een school. in lokaal a104 wordt een temperatuur van 85 ºc gemeten. r r c) Bij metingen van het ozongehalte in de zomer aan de kust liggen alle waarden tussen 62 en 184 µg/m3, behalve in Oostende, waar 265 µg/m3 wordt gemeten. r r

34 Is het een goede statistische methode om de uitschieter te verwijderen in de volgende gevallen? ja nee

©VANIN

Uitschieters die ontstaan zijn door een meetfout of een verkeerde omzetting van eenheden, bijvoorbeeld van inches naar cm, verwijder je het best.

a) Bereken de variatiebreedte en geef de betekenis.

234 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.4.7 Variantie en standaardafwijking in een klas werd een toets gehouden. De resultaten zie je in de frequentietabel. je kunt voor elk resultaat kijken hoe ver het zich van het gemiddelde bevindt. voor elke x i verkrijg je zo de afwijking ten opzichte van het gemiddelde: xi − x Het gemiddelde van die afwijkingen is nul omdat de afwijkingen ten opzichte van het gemiddelde zowel positief als negatief zijn. De positieve en negatieve afwijkingen neutraliseren elkaar. Daarom kwadrateer je die afwijkingen en bereken je de gemiddelde kwadratische afwijking: ni (x i – x )2 i = 1 k n je noemt die gemiddelde kwadratische afwijking ook de variantie, genoteerd s 2 De afwijkingen t.o.v. het gemiddelde worden zo groter gemaakt dan ze in werkelijkheid zijn. een ander probleem is dat het resultaat niet meer dezelfde eenheid heeft als de waarnemingsgetallen zelf. een spreidingsmaat in dezelfde eenheid als de waarnemingsgetallen is de positieve vierkantswortel uit de variantie. Dat getal noem je de standaardafwijking. xi ni ni  xi xi – x ni  (xi – x) (xi − x) 2 ni  (xi − x) 2 1 3 3 –2 –6 4 12 2 3 6 –1 –3 1 3 3 7 21 0 0 0 0 4 5 20 1 5 1 5 5 2 10 2 4 4 8 som 20 60 0 28 x = ni x i i = 1 5 n = 6020 = 3,0 s 2 = ni (x i – x )2 i = 1 5 n s 2 = 2028 = 1,4 s = s 2 = 1,4 = 1,183... ≈ 1,18 Definitie Variantie en standaardafwijking De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie. Opmerkingen • je rondt de standaardafwijking af op twee cijfers meer dan de gegevens. • De enige betekenis die je voorlopig kunt geven aan de standaardafwijking, is dat het een soort ‘gemiddelde afwijking ten opzichte van het gemiddelde’ weergeeft. instructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 235 De standaardafwijking uit een tabel met ruwe gegevens berekenen aan 83 leerkrachten van een school is gevraagd op hoeveel kilometer ze van school wonen. 3 7 36 5 10 1 22 2 4 15 3 11 12 25 4 2 13 6 5 31 10 2 12 18 6 1 41 7 4 8 19 12 17 24 9 19 23 12 17 9 32 13 30 1 3 15 5 6 7 20 3 38 44 11 24 14 8 23 12 37 11 13 33 26 8 1 9 39 17 8 18 21 10 29 18 2 25 28 11 21 8 29 6 x = 14,7 (zie 4.3.1) Bereken de standaardafwijking met icT: s = Wie met excel werkt, gebruikt de functie ‘STDevP’ en selecteert daarbij de gegevensmatrix. Standaardafwijking met GeoGebra De standaardafwijking uit een gegroepeerde frequentietabel benaderen je gebruikt de formule s = ni (x i – )2 i = 1 k n x of s ≈ ni (mi – x )2 i = 1 k n klasse mi ni ni  (mi − x) 2 x ≈ 15,2 (zie 4.3.1) s 2 ≈ ni (mi – x )2 i = 1 9 n = 83 = s ≈ [0, 5[ 2,5 15 [5, 10[ 7,5 18 [10, 15[ 12,5 16 [15, 20[ 17,5 10 [20, 25[ 22,5 8 [25, 30[ 27,5 6 [30, 35[ 32,5 4 [35, 40[ 37,5 4 [40, 45[ 42,5 832 ICT ©VANIN

• Bij machines die nauwkeurig werk moeten verrichten, wordt een variatiecoëfficiënt van maximaal 5 % toegestaan. Voorbeeld in een onderzoek naar de invloed van de luchtweerstand op de snelheid waarmee een voorwerp valt, laat men 30 keer een bal van op een hoogte van 5 m vallen. je ziet de tijd (in s) die nodig is om de grond te bereiken. Levert het experiment betrouwbare informatie op? 1,12 1,15 1,03 1,18 1,09 1,11 1,15 1,05 1,11 1,16 1,02 1,09 1,13 1,15 1,11 1,06 1,10 1,07 1,12 1,13 1,08 1,16 1,12 1,14 1,05 1,10 1,11 1,08 1,14 1,15

236 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.4.8 De variatiecoëfficiënt Voorbeeld Op een toets wiskunde behaalden de elf leerlingen van de klas de volgende punten op twintig: 7 9 10 12 12 13 14 14 16 17 19 x = s = voor een toets Frans op vijftig waren de punten als volgt: 37 39 40 42 42 43 44 44 46 47 49 x = s =

De standaardafwijking is voor beide gegevensrijen hetzelfde. Toch is het duidelijk dat de relatieve spreiding ten opzichte van het gemiddelde in de tweede rij kleiner is dan in de eerste. je maakt de spreiding relatief door de standaardafwijking te delen door het gemiddelde.

V1 = V2 = Gebruik van de variatiecoëfficiënt

• De variatiecoëfficiënt is vooral nuttig om het variëren van gegevensrijen te vergelijken waarbij verschillende eenheden zijn gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan centimeters en inches.

• Bij wetenschappelijk onderzoek wordt het resultaat van een onderzoek betrouwbaar genoemd als V < 5 % en altijd verworpen als V > 30 %.

©VANIN

Definitie Variatiecoëfficiënt De variatiecoëfficiënt V = s x De variatiecoëfficiënt is een maat voor de relatieve spreiding van de waarnemingsgetallen ten opzichte van het gemiddelde. je drukt V meestal uit in procent. Bereken de variatiecoëfficiënt in de bovenstaande voorbeelden.

De Belgische Kristina heeft maat 41. Haar amerikaanse vriendin jennifer heeft maat 7,5.

Wie heeft relatief gezien de grootste maat? Om die vraag te beantwoorden, moet je de gegevens onafhankelijk maken van de meeteenheid. Dat doe je door de standaardscore of z-score te berekenen.

©VANIN

Definitie Standaardscore De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal z i = x i x s De standaardscore drukt het verschil uit van een waarnemingsgetal ten opzichte van het gemiddelde in verhouding tot de standaardafwijking. Beantwoord nu de vraag wie relatief de grootste schoenmaat heeft. zK = zJ = Gebruik van de standaardscore standaardscore betekenis z < –2 Meer dan 2 keer de standaardafwijking onder het gemiddelde: uitzonderlijk laag. –2 < z < –1 Laag. –1 < z < 1 Minder dan 1 keer de standaardafwijking verwijderd van het gemiddelde: behorend tot de standaardgroep x – s, x + s [] 1 < z < 2 Hoog. z > 2 Meer dan 2 keer de standaardafwijking boven het gemiddelde: uitzonderlijk hoog.

4.4.9 De standaardscore Voorbeeld De gemiddelde schoenmaat van vrouwen in België is 39,0. De standaardafwijking is 1,62. in de verenigde Staten gebruiken ze andere maten.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 237

Daar is de gemiddelde schoenmaat bij vrouwen 6,78 met een standaardafwijking 0,873.

238 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKSOefeningenA 35 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36 38 39 41 38 42 41 43 41 41 38 40 38 40 41 36 37 39 38 40 38 36 39 40 37 42 37 38 40 39 42 38 38 39 37 39 39 37 39 37 39 39 38 37 41 39 38 40 38 43 39 36 39 40 38 40 40 38 37 41 38 42 36 43 37 a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking. b) Yassin heeft maat 44. Bereken de standaardscore. c) Geef de betekenis van die standaardscore. 36 Een aardappelverwerkingsbedrijf heeft van 96 willekeurig gekozen aardappelen de massa bepaald in gram. (zie oefeningen 14, 17 en 24) 73 100 131 95 99 95 112 101 124 114 118 108 56 125 82 93 143 100 113 72 86 128 118 102 94 106 132 92 111 117 69 108 104 111 100 102 96 89 77 108 144 117 93 107 105 46 141 65 100 106 81 81 138 99 56 94 77 105 117 133 98 101 125 133 103 137 71 119 92 77 102 105 109 128 31 96 100 117 119 53 107 130 78 107 141 110 79 98 99 139 116 129 94 98 97 116 a) Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking: b) Hoe uitzonderlijk is een aardappel met een massa die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde? ICT ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 239 REEKS B 37 Een leerkracht Nederlands geeft aan het begin van het schooljaar een woorddictee met tien moeilijke woorden. De frequentietabel toont het aantal gemaakte fouten. (zie oefening 29) xi ni a) vul de frequentietabel aan. b) Het gemiddelde aantal fouten is 3,4. Bereken de standaardafwijking. c) Heeft iemand met zeven fouten een uitzonderlijk slecht dictee gemaakt? 0 7 1 10 2 9 3 14 4 8 5 11 6 8 7 736 38 Bepaalde doosjes met punaises zouden volgens het etiket 120 punaises bevatten. De fabrikant doet een steekproef bij 95 willekeurige doosjes punaises. Het resultaat zie je in de frequentietabel. xi ni a) vul de frequentietabel aan. b) is de vulmachine goed afgesteld? c) Werkt de machine voldoende nauwkeurig? 115 2 116 5 117 7 118 10 119 12 120 18 121 13 122 12 123 6 124 6 125 3 126 951 ICT ICT ©VANIN

a) Bereken de standaardafwijking. b) Bereken de variatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

240 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

39 In de tabel zie je de leeftijdsverdeling van de Belgische bevolking op 1 januari 2021. (zie oefeningen 20 en 32) klasse mi ni a) vul de frequentietabel aan.

b) De gemiddelde Belg is 42,1 jaar. Bereken de standaardafwijking.

c) Hoe oud moet je zijn om uitzonderlijk oud te zijn?

d) Zara heeft een standaardscore van 1,85. Bereken haar leeftijd. [0, 10[ 5 1 251 844 [10, 20[ 15 1 314 027 [20, 30[ 25 1 400 394 [30, 40[ 35 1 499 283 [40, 50[ 45 1 502 379 [50, 60[ 55 1 589 611 [60, 70[ 65 1 367 238 [70, 80[ 75 948 882 [80, 90[ 85 528 558 [90, 100[ 95 116 859 [100, 110[ 105 2 163 11 521 238 40 Je voert een onderzoek naar het dagelijkse aantal minuten schermtijd van de leerlingen van je klas of jaar. Iedere leerling kijkt op zijn smartphone naar de schermtijd van de vorige dag. Gebruik de verwerking van oefeningen 16, 21 en 33 en beantwoord de vragen.

ICT ©VANIN

c) Hoeveel procent van de gegevens liggen minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde verwijderd? d) je bent dagelijks gemiddeld drie uur met je smartphone bezig. Bereken je standaardscore en geef de betekenis.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 241 REEKS C 41 Een fabrikant maakt conservenblikken met gepelde tomaten. Op het etiket staat dat de inhoud 1 liter is. Van een aantal blikken werd de inhoud nagegaan. inhoud (ml) mi ni fi cni cfi [970, 980[ 46 [980, 990[ 97 [990, 1 000[ 127 [1 000, 1 010[ 98 [1 010, 1 020[ 63 [1 020, 1 030[ 19 [1 030, 1 040[ 10

d) Bepaal het eerste en het derde kwartiel en geef de betekenis.

g) voorspel, zonder de boxplot te tekenen, waar de mediaan zal liggen in de box.

b) Teken met icT het ogief.

c) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

e) Zijn er uitschieters bij de gegevens?

ICT ©VANIN

a) vul de frequentietabel aan.

f) Staat de vulmachine goed ingesteld?

h) Werkt de vulmachine voldoende nauwkeurig? i) een blik tomaten heeft een standaardscore van –0,8. Bereken de inhoud.

242 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 42 De enige constante in de natuurkunde is de lichtsnelheid in het luchtledige. In 1882 verrichtten Michelson en Newcomb de eerste redelijk nauwkeurige metingen van die Daarvoorlichtsnelheid.matenzede tijd (in µs) die een lichtstraal nodig had om een afstand van 7 443,37 m te overbruggen. Dat was de afstand van hun laboratorium tot een spiegel aan het Washington-monument en terug. Je ziet hun resultaten in het histogram. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % [16, 20[[20, 24[[24, 28[[28, 32[[32, 36[[36, 40[ 4,69 % 12,50 % 32,81 % 26,56 % 12,50 % 10,94 %metingenaantalrelatief tijd (ms) a) Bereken het gemiddelde. b) Bereken vanuit het gemiddelde een benadering voor de lichtsnelheid c in m/s. c) Teken met icT de boxplot en bespreek. d) Bereken de standaardafwijking. ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 243 4.5 Symmetrische en scheve verdelingen 4.5.1 Symmetrische verdelingen Voorbeeld 1 veel zitten is niet gezond. Dat weet iedereen. De nationale Gezondheidsraad adviseert aan jongeren om minstens één uur per dag matig tot intensief te bewegen. Matig intensieve lichamelijke activiteit, zoals wandelen, fietsen of paardrijden, zorgt voor een verhoogde hartslag en een versnelde ademhaling. Zwaar intensieve lichamelijke activiteit zorgt ervoor dat je gaat zweten en soms buiten adem raakt. in 2017 werd een onderzoek gedaan bij 570 jongeren tussen 12 en 18 jaar naar het aantal minuten matig tot zwaar intensieve lichamelijke activiteit. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % [0, 10[ [10, 20[ [20 ,30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ 2,11 % 5,26 % 12,11 % 18,95 % 22,63 % 19,30 % 12,28 % 5,61 % 1,75 % matig tot zwaar intensief bewegen bij adolescenten jongerenaantalrelatief aantal minuten per dag 0,0 57,045,033,0 90,0 De mediaan ligt perfect in het midden van de box en is gelijk aan het gemiddelde. Beide centrummaten liggen ook in de modale klasse. De spreiding bij het eerste en vierde kwart is helemaal gelijk. je kunt daarom spreken van een symmetrische verdeling instructiefilmpje ©VANIN

worpenaantalrelatief som van de ogen 6 000 worpen met twee dobbelstenen Dit experiment levert dus wel de verwachte symmetrie. je ziet meteen dat het gemiddelde, de mediaan en de modus aan elkaar gelijk zijn, namelijk vooraleer te besluiten of een verdeling wel of niet symmetrisch is, is het dus belangrijk dat de steekproef voldoende groot is.

©VANIN

244 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Voorbeeld 2 je gooit 60 keer met twee dobbelstenen en telt de som van het aantal ogen. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 % worpenaantalrelatief som van de ogen 60 worpen met twee dobbelstenen Het lijndiagram vertoont geen symmetrie. Dat wordt ook bevestigd door de centrummaten. x = 7,2 Me = 7 Mo = 6 Op het eerste gezicht zou je dus kunnen besluiten dat het experiment geen symmetrische verdeling oplevert. Met icT kun je een experiment uitvoeren waarbij 6 000 worpen worden gesimuleerd. in excel kun je die simulatie uitvoeren met de functie ‘=aSeLecTTUSSen(1;6)’. Simulatie met de grafische rekenmachine en met Python je krijgt dan het volgende lijndiagram te zien. 2345678 9101112 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % 20,00 %

Besluit Als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse. ICT

ligt binnen het interval [x – 2s, x + 2s]. De 5 % van

zijn van

68 % xx – x –x x = x 16 % 16

Die grafiek noemt men soms ook de Gausscurve, naar de Duitse wiskundige carl Friedrich Gauss, ook wel de prins van de wiskunde genoemd.

De Gausscurve bezit een aantal opmerkelijke eigenschappen. % ss 68 % van de gegevens ligt binnen het interval [x – s, x + s]. noemt dat interval de standaardgroep De 16 % van de gegevens die meer dan een standaardafwijking verwijderd zijn van het gemiddelde, noem je betrekkelijk hoog of laag gegevens de gegevens standaardafwijkingen het gemiddelde, noem je uitzonderlijk de gegevens ligt binnen van de gegevens meer drie standaardafwijkingen verwijderd het gemiddelde, zeer uitzonderlijk

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 245 4.5.2 De normale verdeling een bijzondere symmetrische verdeling is de normale verdeling veel natuurlijke kenmerken, zoals de lengte van een mens, de inhoud van een fles melk of de massa van eieren, kunnen beschreven worden door een symmetrische verdeling met een klokvormige kromme als grafische voorstelling.

die

dan

verwijderd zijn van

99,7 % 0,15 %0,15 % xx – 3 · x + 3 ·x x = x ss 99,7 % van

je

het interval [x − 3s, x + 3s]. De 0,3 %

©VANIN

die meer dan twee

95 % 2,5 %2,5 % xx – 2 · x + 2 ·x x = x ss 95 % van de

noem je

246 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.5.3 Clustervorming in een onderzoek naar de gemiddelde grootte van de Belg werd bij een steekproef aan 2 500 volwassen mannen en 2 500 volwassen vrouwen, verdeeld over alle leeftijden, naar hun lengte (in cm) gevraagd. je ziet het resultaat van het onderzoek in het onderstaande histogram. 0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 % 18,00 % [140, 145[ [145, 150[ [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[ [180, 185[ [185, 190[ [190, 195[ [195, 200[ [200, 205[ 0,12 % 0,78 % 3,30 % 8,64 % 14,16 % 15,88 % 13,26 % 16,64 % 13,96 % 8,60 % 3,54 % 0,94 % 0,18 % lengte van 5 000 volwassen Belgen mensenaantalrelatief lengte (cm) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 172,6 Me = 173 De mediaan en het gemiddelde zijn ongeveer aan elkaar gelijk. Beide centrummaten liggen echter niet in de modale klasse [175, 180[. je kunt in dit geval dus niet spreken van een symmetrische verdeling, volgens de definitie uit 4.5.1. verklaar het voorkomen van twee relatief maximale klassen. Definitie Clustersteekproef Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen. Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef. ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 247 4.5.4 Rechtsscheve verdelingen België telt ongeveer 50 000 dokters, 150 000 verpleegkundigen en 110 000 zorgkundigen. een zorgkundige is iemand die opgeleid is om verpleegkundigen bij te staan. Bij de dokters is het aantal mannen en vrouwen ongeveer gelijk verdeeld. Bij de verpleegkundigen en zorgkundigen is de overgrote meerderheid een vrouw. Het histogram toont de leeftijdsverdeling bij de zorgkundigen. 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % 35,00 % 40,00 % [15, 25[ [25, 35[ [35, 45[ [45, 55[ [55, 65[ 11 % leeftijd van de zorgkundigen in België zorgkundigenaantalrelatief leeftijd (jaren) 35 % 22 % 19 % 13 % Bron: statbel.fgov.be (kerncijfers 2021) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 38,8 Me = 37 modale klasse = [25, 35[ De mediaan is kleiner dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen boven de modale klasse. er is dus een ‘staart naar rechts’. een dergelijke verdeling noem je rechtsscheef Besluit Als een verdeling rechtsscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal boven de modale klasse. Opmerking Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: Mo < Me < x. ©VANIN

248 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.5.5 Linksscheve verdelingen De frequentiepolygoon toont de geboortemassa (in gram) van alle kinderen die vorig jaar in een bepaald vlaams ziekenhuis zijn geboren. 180160140120100806040200 2507501 2501 7502 2502 7503 2503 7504 2504 750 0 4 10 8 18 82 152 163 30 0 geboortemassa van 467 baby's baby'saantal massa (g) vertrek je van de ruwe data van het onderzoek, dan vind je de volgende centrummaten: x = 3 272,5 Me = 3 330 modale klasse = [3 500, 4 000[ De mediaan is groter dan het gemiddelde en beide centrummaten liggen onder de modale klasse. er is dus een ‘staart naar links’. een dergelijke verdeling noem je linksscheef Besluit Als een verdeling linksscheef is, dan liggen de mediaan en het gemiddelde bij gegroepeerde gegevens meestal onder de modale klasse. Opmerkingen • Bij niet-gegroepeerde gegevens geldt: x < Me < Mo. • een boxplot is een handig instrument om een staart te illustreren. 500 3 6853 3302 940 4 500 ©VANIN

Is

S

a) De inkomstenverdeling (in euro per maand) van de 18- tot 25-jarigen in vlaanderen. r r r r b) De duur (in weken) van een zwangerschap. r r r r c) Het intelligentiequotiënt (iQ) van 12-jarigen. r r r r d) De spanwijdte (in cm) van de vleugels van vlinders. er wordt een steekproef uitgevoerd bij drie soorten vlinders. r r r r e) Het aantal gemaakte doelpunten per match in de eerste klasse van het Belgisch voetbal. r r r r f) De leeftijd waarop een Belgische vrouw sterft. r r r r g) De inhoud (in cl) van een bekertje koffie dat door een automatische vulmachine wordt gevuld. r r r r

x

x

r r r r

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 249 REEKSOefeningenA

x

r

44 Tot welk soort verdeling zullen de volgende statistische onderzoeken leiden? Kies uit een symmetrische verdeling (S), een linksscheve verdeling (L), een rechtsscheve verdeling (R) en een clusterverdeling (C). S L r c

43 Van enkele voldoende grote steekproeven krijg je telkens het gemiddelde, de mediaan en de modus of modale klasse. de verdeling symmetrisch (S), linksscheef (L), rechtsscheef (R) of geen van de drie (G)? L r G a) = 1 683 Me = 1 630 Mo klasse = [1 500, 1 600[ r r r r b) = 54,3 Me = 54,5 Mo = 54 c) x = 1,7 Me = 2 Mo = 1 r r r r d) x = 39,3 Me = 38,5 Mo klasse = [36, 38[ r r r r e) = 78,1 Me = 78 Mo klasse = [75, 80[ r r r

©VANIN

250 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKS B 45 Aan een aantal Vlaamse gezinnen wordt gevraagd hoeveel dagen van de week ze helemaal geen vlees of vis eten. (zie oefening 2) 0,00 % 4,00 % 8,00 % 12,00 % 15,00 % 20,00 % 24,00 % 28,00 % 32,00 % 36,00 % 01234567aantaldagenindeweekzondervleesofvisgezinnenaantalrelatief aantal dagen a) Met welk soort verdeling heb je hier te maken? b) Toon aan, zonder te berekenen, dat het gemiddelde groter is dan 1. 46 Je ziet vier boxplots die de verdeling van de leeftijden van de bewoners van vier verschillende appartementsblokken weergeeft. Welk soort verdeling hoort bij elk van die boxplots? 10203040506070 guur A guur B guur C guur D figuur a: figuur B: figuur c: figuur D: ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 251 47 Hoe is de clustervorming tot stand gekomen bij de onderstaande grafische voorstellingen? a) massa zesdejaars leerlingenaantal [45, 50[[50, 55[[55, 60[[60, 65[[65, 70[[70, 75[[75, 80[[80, 85[[85, 90[[90, 95[ 121084260 massa (kg) b) 1018201416101268240 2345678 910 toets wiskunde vierde jaar leerlingenaantal punten op 10 48 Van 90 kippeneieren wordt de massa in gram bepaald. Toon aan dat de steekproef een symmetrische verdeling oplevert. massa (g) ni [45, 50[ 2 [50, 55[ 12 [55, 60[ 22 [60, 65[ 33 [65, 70[ 9 [70, 75[ 7 [75, 80[ 905 ICT ©VANIN

252 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

Het grote nadeel van de gloeilamp is dat die snel stukgaat en veel energie verbruikt. een volgende stap kwam er in de jaren tachtig van de vorige eeuw, met de spaarlamp Die verbruikt minder energie, maar er is veel tijd nodig om ze op volle sterkte te laten schijnen. Daarna volgde de halogeenlamp

.

REEKS C Tot in de 19e eeuw werden huizen verlicht met kaarsen, olielampen of petroleumlampen. in 1854 bedacht de Duitser Heinrich Göbel de gloeilamp, waar Thomas edison 25 jaar later een verbeterde versie van op de markt bracht.

Die lamp levert sterk licht, maar is minder energiezuinig dan de spaarlamp.

Tot slot werd de ledlamp (light emitting diode) ontwikkeld. Die is heel energiezuinig, overal bruikbaar en milieuvriendelijk. 49 Bij een onderzoek naar de levensduur van ledverlichting werd bij 80 ledlampen nagegaan hoelang (in uren) ze ononderbroken kunnen blijven branden. Het resultaat van het onderzoek zie je in de frequentietabel. levensduur (h) ni • is de verdeling symmetrisch? [20 000, 24 000[ 5 [24 000, 28 000[ 7 [28 000, 32 000[ 9 [32 000, 36 000[ 12 [36 000, 40 000[ 14 [40 000, 44 000[ 12 [44 000, 48 000[ 7 [48 000, 52 000[ 8 [52 000, 56 000[ 806 • voldoet de verdeling aan de voorwaarden voor een normale verdeling? ICT

©VANIN

Tweedimensionale statistiek 4.6.1 Spreidingsdiagram en trendlijn Inleiding minder hitte die naar de ruimte ontsnapt meer fossiele brandsto en in de lucht 30 biljoen ton CO2 per jaar meer hitte die terug naar de aarde gaat nachten warmen sneller op dan minderdagen zuurstof in de lucht af en toe online gamen verbetert de schoolresultaten vanMaarvijftienjarigen.activiteiten op sociale media hebben een averechts effect. bevordertlichaamsbewegingregelmatigehetgeheugen. De toename van de gemiddelde temperatuur kan alleen verklaard worden door de menselijke invloed in rekening te brengen. Tot nu toe heb je in dit hoofdstuk enkel met één statistische veranderlijke gewerkt.

Ook de sterkte van het verband is belangrijk.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 253 4.6

Om een benaderende formule te vinden voor het verband tussen de twee gemeten veranderlijken, gebruik je regressie je maakte daar al kennis mee in de hoofdstukken over eerstegraadsfuncties en functies van de vorm f (x ) = cx in een eerste stap teken je met icT een spreidingsdiagram De punten in dat spreidingsdiagram vormen samen een puntenwolk Daarna laat je, via regressie, de best passende trendlijn bepalen. je bepaalt zelf welk soort trendlijn er moet worden getekend.

in dat geval spreek je van eendimensionale of univariate statistiek. in de tweedimensionale of bivariate statistiek behandel je de mogelijke samenhang tussen twee veranderlijken. De ene veranderlijke kan de andere beïnvloeden, en omgekeerd.

254 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Voorbeeld 1 aan 17 vrouwen werd de lengte en de schoenmaat gevraagd. Gebruik lineaire regressie om het verband te bepalen tussen de schoenmaat y en de lengte x (in cm). x (cm) 176 155 163 153 169 173 152 161 165 163 171 158 168 167 160 165 171 y 42 36 38 36 40 41 35 38 37 37 39 37 38 39 36 38 40 44424038363432150152154156158160162164166168170172174176 178 verband tussen lichaamslengte en schoenmaat bij 17 vrouwen schoenmaat lengte (cm) • De vergelijking van de trendlijn is • Schat de schoenmaat van een vrouw van 175 cm. • Schat de lengte van een vrouw met schoenmaat 42. rond af op 1 cm. Voorbeeld 2 Het risico op een verkeersongeval is, volgens een studie van het instituut voor Mobiliteit van de universiteit Hasselt, even groot voor mannen als voor vrouwen. De kans op een ongeval met doden of gewonden is wel afhankelijk van het geslacht. De tabel toont de kans op een ziekenhuisopname bij een ongeval bij mannen. Bepaal, via regressie, het omgekeerd evenredig verband tussen de kans (in procent) en de leeftijd (in jaren). leeftijd mi kans (%) [15, 25[ 20 1,9 [25, 35[ 30 1,1 [35, 45[ 40 0,82 [45, 55[ 50 0,68 [55, 65[ 60 0,52 [65, 75[ 70 0,51 2,01,81,61,41,21,00,80,60,40,20,0 01020304050607080kansopeenziekenhuisopnamebijeenverkeersongevalbijmannen(%)kans leeftijd (jaren) als x de leeftijd (in jaren) is en y de kans (in procent) op een ziekenhuisopname bij een ongeval, dan geldt: y ≈ ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 255 Voorbeeld 3 als de chauffeur van een auto een gevaar ziet, dan duurt het altijd een fractie van een seconde vooraleer hij begint te remmen. De afstand die hij dan nog aflegt, is de reactieafstand. De stopafstand is de som van de reactieafstand en de remafstand. remafstandreactieafstandstopafstand in de tabel zie je de stopafstand s (in m) van vijftien auto’s die op een nat wegdek remmen bij een snelheid v (in km/h). Bepaal het verband tussen s en v via kwadratische regressie v (km/h) 48 73 52 61 68 75 54 79 42 62 71 56 58 70 83 s (m) 31,5 62,3 36 45,9 55,2 64,1 37,9 70,8 25,8 47,2 59,4 40,1 42,7 57,8 76,9 80757065605550454035302520 40455055606570758085 90 het verband tussen stopafstand en snelheid stopafstand s (m) snelheid v (km/h) • Het verband wordt gegeven door: • Schat de stopafstand bij een snelheid van 110 km/h. • Schat de snelheid, als de stopafstand 50 m is. ©VANIN

als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een toenemende waarde van y hoort, dan spreek je van een positieve covariantie als bij een toenemende waarde van x over het algemeen een afnemende waarde van y hoort, dan spreek je van een negatieve covariantie

Lineaire regressie Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels. Het verband tussen y en x noem je sterk als de punten, over het algemeen, vrij dicht bij de regressierechte liggen. als de punten vrij ver van de regressierechte verwijderd liggen, spreek je van een zwak verband. De wiskundige methode om bij een dataset de best passende regressielijn te bepalen, is afkomstig van carl Friedrich Gauss. in 1801 stelde hij voor om de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen ten opzichte van de trendlijn (de zogenaamde ‘residuen’) te minimaliseren. y voorspelde waarde waargenomenresidu waarde x Die methode (‘de kleinste-kwadratenmethode’) stelde astronomen in staat om heel nauwkeurig de baan van hemellichamen te bepalen.

©VANIN

256 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 4.6.2

Lineaire regressie Covariantie een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 257

VERDIEPING

De correlatiecoëfficiënt

GEOGEBRA ICT ICT instructiefilmpje ©VANIN

4.6.3

in de statistiek gebruikt men de correlatiecoëfficiënt om de sterkte van die samenhang te bepalen. er zijn meerdere definities van dat begrip, maar de meest gebruikte is de correlatiecoëfficiënt van Pearson (een engelse statisticus die leefde van 1857 tot 1936).

Definitie Correlatiecoëfficiënt De correlatiecoëfficiënt van een tabel met n waargenomen koppels (xi , yi ) is het getal r = 1 n x i – x s x y i – y s iy = 1 n De correlatiecoëfficiënt is met andere woorden de gemiddelde waarde van de producten van de standaardscores van de x-waarden en de y-waarden. De formule is nogal ingewikkeld. Daarom zul je de correlatiecoëfficiënt berekenen met icT. De correlatiecoëfficiënt berekenen met ICT Bereken de correlatiecoëfficiënt bij het verband tussen de schoenmaat en de lichaamslengte van zeventien vrouwen (voorbeeld 1 uit 4.6.1).

EXCEL Open het bestand ‘lengte en schoenmaat.xlsx’. Om de correlatiecoëfficiënt te berekenen, gebruik je de functie ‘cOrreLaTie(matrix1;matrix2)’.

bij lineaire regressie als je in het woordenboek de betekenis van het woord ‘correlatie’ opzoekt, dan vind je als uitleg: ‘de manier waarop iets samenhangt met iets anders’.

258 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Betekenis van de correlatiecoëfficiënt De correlatiecoëfficiënt is een getal tussen –1 en 1. als r > 0, dan is er een positief verband. als r < 0, dan is er een negatief verband. | r | = 0 0,7 £ | r | < 0,85 r = 0 r = 0,80 geen enkel verband sterk positief verband 0 < | r | < 0,3 0,85 £ | r | < 0,95 r = 0,2 r = – 0,90 zeer zwak positief verband zeer sterk negatief verband 0,3 £ | r | < 0,5 0,95 £ | r | < 1 r = – 0,4 r = 0,98 zwak negatief verband uitzonderlijk sterk positief verband 0,5 £ | r | < 0,7 | r | = 1 r = 0,55 r = – 1 matig positief verband perfecte negatieve correlatie ©VANIN

xy z Besluit Correlatie betekent dat twee veranderlijken op een ordelijke manier een bepaalde samenhang hebben. Causaliteit betekent dat er een oorzaak-gevolgrelatie is. Correlatie betekent niet noodzakelijk dat er een causaal verband is. Er kan een derde (verwarrende) veranderlijke een rol spelen.

je zegt dat er geen oorzakelijk of causaal verband is tussen y en x in het bovenstaande voorbeeld is het duidelijk dat de (koude) temperatuur de toename van beide veranderlijken x en y veroorzaakt. De temperatuur noem je de ‘verwarrende veranderlijke’ z

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 259 4.6.4 Correlatie en causaliteit in een landelijke gemeente is er één kledingzaak en één basisschool. De tabel toont het wekelijkse aantal verkochte paren handschoenen x van de winkel en het aantal afwezige leerlingen y in de school in dezelfde week. je ziet ook het spreidingsdiagram en de bijbehorende regressierechte. x 3 5 0 3 1 0 3 2 2 8 10 13 9 7 5 6 4 y 10 13 4 9 3 3 8 6 5 17 14 19 21 12 10 11 7 242218141020161284026 0 12345678 91011121314 verband tussen aantal paren handschoenen en afwezige leerlingen leerlingenafwezigeaantal aantal paren verkochte handschoenen y = 1,3553x + 3,66 Bereken de correlatiecoëfficiënt. je kunt hier dus spreken van een verband. Toch is het duidelijk dat een toename van het aantal verkochte paren handschoenen niet de oorzaak is van een toename van het aantal afwezige leerlingen (of omgekeerd).

260 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 REEKSOefeningenB 50 Een kleine steekproef die zocht naar het verband tussen de lichaamslengte y (in cm) van een volwassen zoon en de lichaamslengte x (in cm) van zijn vader, leverde de volgende data op. x (cm) 176 170 167 186 178 175 183 169 172 175 188 175 180 y (cm) 182 177 173 184 178 179 181 176 175 180 186 174 183

g) De vader van ilan is 5 cm groter dan de vader van Millau. Schat hoeveel groter ilan zal worden dan Millau. rond af op 0,1 cm.

b) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

ICT ©VANIN

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

f) Waarom is dat resultaat verrassend?

d) vergelijk die geschatte waarde met de gemeten waarde(n).

e) Schat de lengte van een vader waarvan de zoon 190 cm groot is. rond af op 1 cm.

c) Schat de lengte van een zoon waarvan de vader 175 cm is. rond af op 1 cm.

.

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 261 51 Hoe hoger de temperatuur, hoe meer dorst je hebt. In de tabel zie je de gemiddelde dagtemperatuur x (in ºC) en het aantal liter water y dat in een warenhuis op die dag werd verkocht. x (ºc) 12 14 15 17 18 20 21 23 25 27 28 30 y (l) 651 713 747 805 829 891 924 980 1 036 1 102 1 136 1 198

a) Geef de sterkte van het verband.

d) Op een kille dag heeft het warenhuis maar 500 liter water verkocht. Hoeveel graden was het die dag? rond af op 0,1 ºc.

e) Bereken de correlatiecoëfficiënt en geef de betekenis.

ICT ©VANIN

b) Het is duidelijk dat het verband niet causaal is. Geef een mogelijke verwarrende veranderlijke.

Bron: nl.metrotime.be

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x

b) Schat de verkochte hoeveelheid water als het 32 ºc is. rond af op 1 liter.

52 In Metro kon je lezen dat er een verband is tussen het aantal Nobelprijswinnaars in een land en de chocoladeconsumptie.

c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband.

262 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 53 Op een toets moesten de leerlingen invullen hoeveel minuten ze hadden gestudeerd voor de toets. Ze moesten ook een score van 1 (heel eenvoudig) tot 5 (heel moeilijk) geven over de moeilijkheidsgraad van de toets. In de tabel is x het aantal minuten studie, y de moeilijkheidsgraad en z de punten op 20 voor de toets. x (min) 30 90 20 110 40 70 50 60 50 80 100 60 60 70 50 30 90 y (op 5) 5 1 5 1 5 3 3 4 4 2 1 3 3 2 4 4 2 z (op 20) 8 17 6 18 9 15 14 9 12 16 19 12 13 15 11 10 16 a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen • z en x: • y en x: • z en y: b) noa heeft drie kwartier gestudeerd voor de toets. Schat hoeveel punten ze zal behalen. c) Lars gaf een score 2 voor de moeilijkheidsgraad van de toets. Schat hoeveel minuten hij heeft gestudeerd. rond af op 1 min. d) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het lineaire verband tussen z en y e) Tussen welke veranderlijken is het verband het sterkst? f) Kun je spreken van een zuiver causaal verband tussen de veranderlijken of kan er ook een verwarrende variabele meespelen? ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 263 54 Het percentage mensen dat aan ondervoeding lijdt, daalt wereldwijd. Tegelijk stijgt het percentage meisjes dat onderwijs kan genieten. De tabel toont de evolutie van het aantal meisjes x (in procent) dat op de basisschoolleeftijd naar school gaat en het aantal mensen y (in procent) dat ondervoed is. jaar 1970 1979 1985 1993 2001 2008 2019 x (%) 65 69 75 78 84 86 91 y (%) 28 25,5 23 18,5 15 13,5 11 a) Druk de toename van het aantal schoolgaande meisjes tussen 1970 en 2019 uit • in procentpunt: • in procent: b) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen y en x c) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van de trendlijn. d) Hoeveel procent van de meisjes zou naar de lagere school moeten gaan opdat ondervoeding volledig de wereld uit zou zijn? e) Bereken de sterkte van het verband tussen y en x. f) is het verband tussen y en x ook causaal? indien niet, geef een verwarrende variabele. Global Hunger Index (2019) Zeer hoog (≥ 50,0) Hoog (35,0 - 49,9) Redelijk hoog (20,0 - 34,9) Redelijk laag (10,0 - 19,9) Laag (£ zorgwekkendOnvolledige9,9)gegevens,Geenofonvolledigegegevens ICT ©VANIN

264 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek 4.1 Categorische en niet-gegroepeerde numerieke gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  +

Het gemiddelde x van een rij getallen x 1, x 2, ..., x n is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen: x = x i i = 1 nn

Statistische terminologie in verband met het verzamelen van gegevens beheersen. categorische gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen). De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen met icT en vanuit een gegeven frequentietabel. De centrummaten interpreteren in een context. 4.2 Gegroepeerde numerieke gegevens KENNEN  +  + een klasse is een interval dat gesloten is in zijn ondergrens en open is in zijn bovengrens. een histogram is een staafdiagram met aaneengesloten staven. een frequentiepolygoon is een gebroken lijn die de roosterpunten (mi , ni ) of (mi , fi ) verbindt en die aansluit op de horizontale as in de punten (a, 0) en (b, 0). Daarbij is a het klassenmidden van de klasse die de eerste klasse voorafgaat, en b het klassenmidden van de klasse die op de laatste klasse van de steekproef volgt. een ogief is een gebroken lijn die de roosterpunten (a1, 0) en (bi , cfi ) of (bi , cni ) met elkaar verbindt.

KUNNEN  +  + Gegroepeerde numerieke gegevens verwerken (frequentietabel, grafische voorstellingen) en vragen beantwoorden vanuit de frequentietabel of een grafische voorstelling.

De mediaan Me van een gerangschikte rij met n getallen is het getal met rangorde n + 1 2 De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie. KUNNEN  +  +

©VANIN

• een rechthoek die als basis de interkwartielafstand heeft;

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 265 4.3 Centrummaten bij gegroepeerde gegevens voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + x ≈ ni mi i = 1 k n , met k het aantal verschillende klassen en ni i = 1 k = n

Het gemiddelde berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De mediaan berekenen met icT en vanuit een gegroepeerde frequentietabel (met behulp van het ogief). De mediaan benaderen via lineaire interpolatie. De modale klasse bepalen vanuit een gegroepeerde frequentietabel. De centrummaten interpreteren in een context. 4.4 Spreidingsmaten KENNEN  +  +

De interkwartielafstand iQr is het verschil tussen het derde en eerste kwartiel. De boxplot is een grafische voorstelling van de vijfgetallensamenvatting die bestaat uit:

De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal. van een geordende rij met n gegevens is: het eerste kwartiel Q1 het getal met rangorde n + 1 4 (25 %); het tweede kwartiel Q2 het getal met rangorde n + 1 2 (50 %); het derde kwartiel Q3 het getal met rangorde 3 n + 1 4 (75 %).

• een verticale lijn in de box die de plaats van de mediaan weergeeft;

• een vanaf de box getekende lijn naar het minimum en maximum. een waarnemingsgetal is een uitschieter als het minstens 1,5 keer de interkwartielafstand boven het derde kwartiel of onder het eerste kwartiel gelegen is.

Het tweede kwartiel is dus gelijk aan de mediaan.

De variantie s 2 van een rij gegevens is gelijk aan de gemiddelde kwadratische afwijking ten opzichte van het gemiddelde. De standaardafwijking s van een rij gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel uit de variantie. s = ni (x i – x )2 i = 1 k n of s ≈ ni (mi –i = 1 k n x )2 De variatiecoëfficiënt V = xs De standaardscore of z-score van een waarnemingsgetal xi is het getal zi = x i – x s

De mediaanklasse is de klasse waarin het getal met rangorde n + 1 2 (de 50 %-grens) is gelegen. De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie.

KUNNEN –  + –  +

©VANIN

©VANIN

De variatiebreedte, de kwartielen en de interkwartielafstand berekenen met icT en vanuit een frequentietabel (met behulp van een ogief bij gegroepeerde gegevens) en interpreteren in een context. een boxplot met icT tekenen en interpreteren. Bepalen of een waarnemingsgetal een uitschieter is.

voor leerkrachtde

voor leerlingde KUNNEN  +  +

als een verdeling symmetrisch is, dan zijn de mediaan, het gemiddelde en de modus aan elkaar gelijk (Mo = Me = x). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde dan in het midden van de modale klasse. Bij een clustersteekproef verdeel je de populatie in deelgroepen. Bij elk van die groepen trek je vervolgens een aselecte of gerichte steekproef. als een verdeling rechtsscheef is, dan is de mediaan kleiner dan het gemiddelde en zijn beide groter dan de modus (Mo < Me < x). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde meestal boven de modale klasse. als een verdeling linksscheef is, dan is de mediaan groter dan het gemiddelde en zijn beide kleiner dan de modus (x < Me < Mo). Bij gegroepeerde gegevens liggen de mediaan en het gemiddelde onder de modale klasse. KUNNEN  +  +

Bepalen of een verdeling symmetrisch (in het bijzonder normaal verdeeld), rechtsscheef of linksscheef is. clusterverdelingen herkennen en verklaren.

De standaardafwijkingen berekenen met icT en vanuit een frequentietabel. De variatiecoëfficiënt berekenen en interpreteren in functie van de variabiliteit van de gegevens. De standaardscore berekenen en interpreteren. 4.5 Symmetrische en scheve verdelingen KENNEN  +  +

266 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213

Tweedimensionale statistiek voor leerlingde KENNEN  +  + een puntenwolk is een grafische voorstelling van puntenkoppels (x, y). Daarbij is x de onafhankelijke veranderlijke en y de afhankelijke veranderlijke. Bij lineaire regressie zoek je een rechte als trendlijn bij een puntenwolk. Die rechte past zo goed mogelijk bij de puntenkoppels.

De correlatiecoëfficiënt is de gemiddelde waarde van de producten van de standaardscores van de x-waarden en de y-waarden.

regressie gebruiken om bij een puntenwolk de best passende (lineaire) trendlijn te bepalen. De correlatiecoëfficiënt met icT berekenen en daarmee de sterkte van een lineair verband weergeven. Bepalen of er, naast een correlatie, ook een causaal verband bestaat en de eventuele verwarrende variabele benoemen.

r = 1 n x i – x s x y i – y s yi = 1 n

voor leerkrachtde

4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 267 4.6

KUNNEN  +  +

De correlatiecoëfficiënt geeft de sterkte weer van het verband dat bij een lineaire regressie hoort. correlatie betekent dat twee veranderlijken op een ordelijke manier een bepaalde samenhang hebben. correlatie betekent niet dat er een oorzaak-gevolgrelatie (causaal verband) is tussen beide veranderlijken. er kan een derde (verwarrende) veranderlijke een rol spelen.

©VANIN

268 4 XL I HOOFDSTUK 4 I Be S c H rijven D e S TaT i ST i e K 321 4 1086579111213 Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑ ... 1. Wat is het eerste cijfer na de komma dat verschilt van nul in de decimale ontwikkeling van 501010 ? a) 1 B) 2 c) 4 D) 5 e) 9 JWO, editie 2021, eerste ronde 2. in een rechthoek met breedte 2 cm teken jeeen (rood) lijnstuk van 2,5 cm eneen (groen) lijnstuk van 2,9 cm.Bereken de aangeduide afstand x 2,5 2,9 x 2 3. Sep vertrekt met de fiets naar school. Op de klok thuis is het dan 8.15 uur, maar die klok loopt een beetje achter. als hij op school komt, ziet hij op de schoolklok, die perfect werkt, dat het 8.40 uur is. Sep fietst na school even snel als ’s morgens naar huis. Hij vertrekt als het op de schoolklok 16.04 uur is. Bij zijn thuiskomst toont de klok thuis 16.17 uur. Hoeveel loopt de thuisklok achter? ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 269 HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 5.1 Complexe getallen in cartesische vorm 270 5.2 Rekenen met complexe getallen in cartesische vorm 278 5.3 Tweedegraadsvergelijkingenoplossenin C 290 5.4 Complexe getallen in goniometrische vorm 292 5.5 Rekenen met complexe getallen in goniometrische vorm 298 Studiewijzer 311 Problemen uit JWO 314 ©VANIN

270 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.1 Complexe getallen in cartesische vorm 5.1.1 Inleiding De voorbije jaren heb je het getalbegrip meer dan eens uitgebreid. de verzameling van de natuurlijke getallen (N) x + 5 = 11 oplosbaar in N want x = 11 – 5 = 6 Œ N x + 11 = 5 niet oplosbaar in N want x = 5 – 11 = –6 œ N Ø de verzameling van de gehele getallen (Z) 3 x = 12 oplosbaar in Z want x = 123 = 4 Œ Z 12 x = 3 niet oplosbaar in Z want x = 123 = 41 œ Z Ø de verzameling van de rationale getallen (T) x 2 = 36 oplosbaar in T want x = 36 = 6 Œ T of x = –36 = –6 Œ T x 2 = 63 niet oplosbaar in T want x = 63 œ T of x = –63 œ T Ø de verzameling van de reële getallen (R) x 2 = 1 oplosbaar in R want x = 1 = 1 Œ R of x = –1 = –1 Œ R x 2 = –1 niet oplosbaar in R want een kwadraat is nooit negatief in R 41 63 –63 4 6 –6 ... R T Z N 1 –1 GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 271 5.1.2 De imaginaire eenheid De vergelijking x 2 = –1 krijgt wel een oplossing als je een nieuw getal invoert. Definitie Imaginaire eenheid De imaginaire eenheid i is het getal waarvan het kwadraat –1 is. In symbolen: i 2 = –1 REKENMACHINE Zet je de MODE van je rekenmachine op a + bi, dan vind je getallen waarvan het kwadraat –1 is. actie knoppen scherm Zet de rekenmachine in MODE a + bi quitmode 6 entrenterysolve Bereken i 2 en (–i ) 2 2nd i : x2 √ I entrenterysolve ( { K ans(–) ? 2nd . i : ) } L x2 √ I enter entry solve Opmerkingen • De notatie i = –1 is niet zinvol. Het rekenen met –1 kan tot tegenstrijdigheden leiden als je de rekenregels voor vierkantswortels verkeerd toepast. –1 = i 2 = i  i = –1 –1 = (–1) (–1) = 1 = 1 Waar zit de fout? • i en –i zijn vierkantswortels van –1, want i 2 = (–i) 2 = –1. • i is geen reëel getal. 5.1.3 Machten van de imaginaire eenheid voorbeelden algemeen( n Œ N) i 0 = i 4 = i 4n = i 1 = i 5 = i 4n + 1 = i 2 = i 6 = i 4n + 2 = i 3 = i 7 = i 4n + 3 = ©VANIN

• In R is er een ordening van de getallen. Van twee verschillende getallen is altijd een van beide kleiner dan het andere. Je noteert bijvoorbeeld 3 < 7 voor de relatie ‘kleiner dan’ tussen de getallen 3 en 7. De complexe getallen kunnen niet worden vergeleken door aan te geven welk getal kleiner is dan het andere. Die ordening is er niet. Een notatie zoals a + bi < c + di heeft dus geen betekenis. In C \ R bestaan dus geen ongelijkheden en geen intervallen. Van een zuiver complex getal kun je ook niet zeggen of het positief of negatief is.

Benamingen instructiefilmpje

Opmerkingen • Elk reëel getal is ook een complex getal: a = a + 0i

Oax P (a, b)

©VANIN

Definitie Complexe vlak Als je het koppel (a, b) in een orthonormaal assenstelsel weergeeft, met de horizontale as als reële as en de verticale as als imaginaire as, ontstaat het complexe vlak of vlak van Gauss.

Complexe getallen: begripsvorming Definitie Complex getal Een complex getal z is een getal z = a + bi met a, b Œ R en i 2 = –1.

• Als het reële deel van een complex getal 0 is, spreek je van een zuiver imaginair getal: bi = 0 + bi

Het punt P met coördinaat (a, b) is de grafische voorstelling van het complex getal a + bi Met elk punt P komt juist één complex getal overeen, en omgekeerd. P noem je het beeldpunt van het complex getal a + bi y 1 ba + bi 1

272 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.1.4

• De verzameling van de complexe getallen noteer je als C

• a is het reële deel van z = a + bi Notatie: Re z = a • b is het imaginaire deel van z = a + bi Notatie: Im z = b • a + bi is de cartesische vorm van het complex getal.

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 273 5.1.5 Gelijke complexe getallen Definitie Gelijke complexe getallen Twee complexe getallen zijn gelijk als en slechts als • de reële delen gelijk zijn en • de imaginaire delen gelijk zijn. a + bi = c + di ¤ a = c en b = d Twee gelijke complexe getallen hebben dezelfde grafische voorstelling in het vlak van Gauss. 5.1.6 Tegengestelde complexe getallen Definitie Tegengestelde complexe getallen Twee complexe getallen zijn tegengesteld als en slechts als • de reële delen tegengesteld zijn en • de imaginaire delen tegengesteld zijn. Is z = a + bi, dan is het tegengestelde complex getal –z = –(a + bi ) = –a – bi Voorbeeld • Wat is het tegengestelde complex getal van 4 – 3i ? • Hoe liggen de voorstellingen van 4 – 3i en –4 + 3i ten opzichte van elkaar in het complexe vlak? –2–11 y –332 1O–1–2–3–4–5 65432 x • Complexe getallen zijn in de 16e eeuw bedacht door Italiaanse rekenmeesters in een poging om een soort ‘abc-formule’ te vinden voor derdegraadsvergelijkingen. • Rafaele Bombelli (1526-1573) was de eerste die rekenregels opstelde voor complexe getallen. • Pas in 1777 heeft Leonhard Euler de notatie i en –i ingevoerd voor de twee verschillende vierkantswortels van het getal –1. Rafaele Bombelli ©VANIN

©VANIN

274 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.1.7 Toegevoegde complexe getallen Definitie Toegevoegde complexe getallen Twee complexe getallen zijn toegevoegde complexe getallen als en slechts als • de reële delen gelijk zijn en • de imaginaire delen tegengesteld zijn. Notatie: z Is z = a + bi, dan is het toegevoegde complex getal z = a + bi = a – bi Voorbeeld • Wat is het toegevoegde complex getal van 4 – 3i ? • Hoe liggen de voorstellingen van 4 – 3i en 4 + 3i ten opzichte van elkaar in het complexe vlak? –2–11 y –332 1O–1–2–3–4–5 65432 x

• De meetkundige voorstelling van complexe getallen als punten in het vlak is pas veel later gevonden. Carl Friedrich Gauss Eerst door de Noorse cartograaf Caspar Wessel (1787), daarna herontdekt door J.R. Argand (1806) en vervolgens opnieuw door Carl Friedrich Gauss (1777-1855) in 1831. Gauss maakte er veelvuldig gebruik van. Naar hem werd het complexe vlak uiteindelijk – een beetje ten onrechte – genoemd. Ook de benaming ‘complex getal’ is afkomstig van Gauss.

• De Ierse wiskundige en drinkebroer Rowan Hamilton (1805-1865) ontwikkelde een verdere uitbreiding van het getalbegrip: de quaternionen.

• Ook in de chaostheorie (Mandelbrot en Julia) bewijzen complexe getallen hun nut.

• Pas later is de toepasbaarheid van de complexe getallen gebleken: ze worden onder andere in ingenieurswetenschappen (vliegtuigbouw), elektriciteit en elektromagnetisme en kwantummechanica gebruikt.

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 275 REEKSOefeningenA 1 Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort. N Z T R C a) –52 r r r r r b) 37 r r r r r c) –8i r r r r r d) 5 r r r r r e) i 2 r r r r r f) 0 r r r r r g) 2 – 53 i r r r r r h) –7p r r r r r i) 0,468 68... r r r r r j) –7,13i r r r r r 2 Stel de complexe getallen i, i 2, i 3 en i 4 voor in het vlak van Gauss. Wat stel je vast in verband met de ligging van de beeldpunten? complex getal beeldpunt i = A ( , ) i 2 = B ( , ) i 3 = C ( , ) i 4 = D ( , ) 1 y 1 Ox Vaststelling: ©VANIN

276 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 3 Bereken zonder ICT de machten van de imaginaire eenheid. a) i 23 = f) i 60 = b) i 37 = g) i 50 = c) i 10 = h) i 13 = d) i 44 = i) i 19 = e) i 27 = j) i 100 = 4 Bepaal van elk complex getal z het reële deel en het imaginaire deel. a) 6 + i Re z = Im z = e) –9 Re z = Im z = b) –8 + 4i Re z = Im z = f) 45 – 23 i Re z = Im z = c) –3 – 5i Re z = Im z = g) 3 + 4i Re z = Im z = d) 7i Re z = Im z = h) –2 – 10i Re z = Im z = 5 Stel de complexe getallen voor in het complexe vlak. complex getal beeldpunt a) z 1 = 5 + i A b) z 2 = –4 – 3i B c) z 3 = –3 + 2i C d) z 4 = 4i D e) z 5 = –5 E f) z 6 = 2 – i F g) z 7 = –2i G –2–11 y –4–3432 O–1–2–3–4–5 2–16 34 56 x ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 277 REEKS B 6 Bepaal de complexe getallen waarvan de beeldpunten in het complexe vlak gegeven zijn. beeldpunt complex getal a) A ( , ) z 1 = b) B ( , ) z 2 = c) C ( , ) z 3 = d) D ( , ) z 4 = e) E ( , ) z 5 = f) F ( , ) z 6 = g) G ( , ) z 7 = h) H ( , ) z 8 = i) I ( , ) z 9 = j) J ( , ) z 10 = –2–11 y –5–4–35432 1O–1–2–3–4–5 65432 Ex DBAICFGJH 7 Bepaal x en y uit de gelijkheden. a) 3 – 5i = x + yi x = y = e) –3 = x + yi x = y = b) 8 + 7i = x + yi x = y = f) i = x + yi x = y = c) x + 6i = 5 + yi x = y = g) x = yi x = y = d) 2x – yi = 6 + 4i x = y = h) 4 – 2yi = 4x + 10i x = y = 8 Geef het tegengestelde complex getal en het toegevoegde complex getal. complex getal tegengestelde complex getal toegevoegde complex getal a) 4 + 7i b) –5 – 3i c) 2 – 2i d) –9 + 8i e) 6i f) –9i g) 10 ©VANIN

278 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.2 Rekenen met complexe getallen in cartesische vorm 5.2.1 Twee complexe getallen optellen Rekenregel Om twee complexe getallen op te tellen, • tel je de reële delen op en • tel je de imaginaire delen op. (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 (–3 – 4i ) + (4 + i ) = (–3 + 4) + (–4 + 1)i (4 – i ) + (–1 + 2i ) = (–3 – 4i ) + (4 + i ) = 1 – 3i = –2–11 y –4–3432 1O–1–2–3–4–5 432 4 + i 1 – 3i –3 – 4i 56 x –2–11 y –4–3432 O–1–2–3–4–5 2–16 34 56 x De voorstellingen in het complexe vlak van de op te tellen getallen en hun som vormen samen met de oorsprong (0, 0) een Bijzondere gevallen • De som van twee toegevoegde complexe getallen is altijd een reëel getal. (a + bi) + (a – bi) = (a + a) + (b – b)i = 2a + 0i = 2a Œ R • De som van twee tegengestelde complexe getallen is altijd nul. (a + bi) + (–a – bi) = (a – a) + (b – b)i = 0 + 0i = 0 5.2.2 Twee complexe getallen aftrekken Rekenregel Om twee complexe getallen af te trekken, tel je het eerste complex getal op met het tegengestelde van het tweede complex getal. (a + bi ) – (c + di ) = (a + bi ) + (–c – di ) = (a – c) + (b – d )i Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 (6 + 7i ) – (2 + i ) = (6 + 7i ) + (–2 – i ) (–4 – 5i ) – (–3 + 9i ) = = (6 – 2) + (7 – 1)i = = 4 + 6i = instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 279 REEKSOefeningenA 9 Bereken. a) (1 – 2i ) + (3 – 4i ) = g) (–1 + 2i ) – (3 + 4i ) = b) 3i + (4 – 3i ) = h) 5i – (2 + 9i ) = c) 2 + (–1 + 2i ) = i) 8 – (–2 – 2i ) = d) (10 + 6i ) + (10 – 6i ) = j) (–2 + 4i ) – (–3 + 7i ) = e) (–1 + 3i ) + (1 – 3i ) = k) (8 + 4i ) – (8 – 4i ) = f) (5 + 9i ) + (–5 + 9i ) = l) (–4 + 5i ) – (4 – 5i ) = REEKS B 10 Stel de complexe getallen voor in het complexe vlak. a = 3 + 2i b = 5 – 4i c = 6i d = –2 + 5i e = b + d == f = –b == g = d – c == h = c – a == –2–11 y –6–5–4–365432 1O–1–2–3–4–5 65432 x ©VANIN

280 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.2.3 Een complex getal en een reëel getal vermenigvuldigen Rekenregel Om een complex getal te vermenigvuldigen met een reëel getal, vermenigvuldig je • het reële deel met dat getal en • het imaginaire deel met dat getal. r (a + bi ) = (r a) + (r b)i Voorbeelden 3  (4 + 5i ) = (3  4) + (3  5)i = 12 + 15i 2 (3 + 4i ) = 5.2.4 Een complex getal en de imaginaire eenheid vermenigvuldigen Rekenregel Om een complex getal te vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid, vermenigvuldig je • het reële deel met i ; • het imaginaire deel met i en • houd je rekening met i 2 = –1. i (a + bi ) = (i a) + (b i )i = ai + bi 2 = –b + ai Voorbeelden i  (2 + 6i ) = (i  2) + (i  6)i = 2i + 6i 2 = –6 + 2i i  (–3 – 5i ) = 5.2.5 Twee complexe getallen vermenigvuldigen Rekenregel Om twee complexe getallen te vermenigvuldigen, • pas je de distributieve eigenschap toe en • houd je rekening met i 2 = –1. (a + bi ) (c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ac + bci + adi – bd = (ac – bd ) + (ad + bc)i Voorbeelden (4 – 3i ) (6 + 9i ) = 4 6 + (–3i ) 6 + 4 9i + (–3i ) 9i = 24 – 18i + 36i – 27i 2 = 24 – 18i + 36i + 27 = 51 + 18i (–8 – 5i ) (–2 + 7i ) == Bijzonder geval Het product van een complex getal en zijn toegevoegde is altijd een reëel getal. (a + bi ) (a – bi ) = instructiefilmpjeinstructiefilmpje ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 281 REEKSOefeningenA 11 Bereken. a) 4 (1 + 2i ) = g) i (2 + 6i ) = b) 7  (–2 + 5i ) = h) i  (4 – 8i ) = c) 3 (–3 – 5i ) = i) i (–9i ) = d) –4  (–6 + 4i ) = j) i  (–5 – 4i ) = e) –5 (6 – 7i ) = k) i (2 – 9i ) = f) –7  (–5i ) = l) i  (10 + 6i ) = 12 Bereken. a) (2 + 4i ) (3 + i ) = b) ( 1 3i )  (6 + 5i ) = c) ( 7 + 8i )  (4 9i ) = d) 4i (3 + 6i ) = e) 7i  ( 1 i ) = f) (10 + 11i ) (12 i ) = g) ( 1 2i )  ( 3 4i ) = h) (5 6i ) 3i = i) ( 9 + 8i )  ( 4i ) = j) ( 5 5i ) ( 5i ) = ©VANIN

282 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKS B 13 Bereken de complexe getallen. a = 2 + 3i b = 1 4i c = 3 5i d = 6 + 2i e = 2a + 2b g = –d 3c k = 4a 2b = = = = = = f = a + d h = 7c 2b l = 6c 2a = = = = = = 14 Construeer de som van de complexe getallen. Controleer door berekening. a) a = 7 – i b = –3 + 5i c) a = –6 – 2i b = 4 + 3i –4–22 y –664 2–2–4–6 864 Ox –4–22 y –664 2–2–4–6 864 Ox a + b = a + b = = = b) a = 3 + i b = 2 2i c = 5 + 3i d) a = 6 + i b = 4 + 4i c = 2 5i –4–22 y –664 2–2–4–6 864 Ox –4–22 y –664 2–2–4–6 864 Ox a + b + c = a + b + c = = = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 283 15 Bereken. a) 31 + 2i 31 – 2i = b) ( 5 – 4i ) ( 5 + 4i ) = c) ( 3 – 6 i ) ( 3 + 6 i ) = d) 2 – 41 i 2 + 41 i = 16 Bereken. a) (1 + 3i ) (1 + 3i ) = b) (2 – 6i )  (2 – 6i ) = c) (–4 – 8i )  (–4 – 8i ) = d) (5 – i ) (5 – i ) = 17 Bereken. a) (1 + 2i )2 = b) (2 – 3i )2 = c) (–3 + 5i )2 = d) (–4 – 7i )2 = Een probleem: verdeel 10 in twee delen, zodat het product 40 is. Je splitst 10 in twee delen, zoals hieronder. Girolamo Cardano 10 = 1 + 9 en 1  9 = 9 10 = 2 + 8 en 2 8 = 16 10 = 5 + 5 en 5  5 = 25 Je ziet dat het product steeds groter wordt, tot een maximum is bereikt als beide delen gelijk zijn. Het product is dan 25. Het vraagstuk lijkt onoplosbaar. Ongeveer 400 jaar geleden bewees Cardano het tegendeel. Elk getal 2x is te verdelen in twee delen, die je kunt aanduiden met x + y en x – y Nu is (x + y) + (x – y) = 2x en (x + y) (x – y) = x 2 – y 2. Je kunt nu x een reële waarde en y een imaginaire waarde geven. Omdat y 2 reëel is, is x 2 – y 2 ook reëel. Cardano gaf de oplossing door 10 te verdelen in de delen 5 + i 15 en 5 – i 15 Die delen zijn complexe getallen. Het product is nu wel 40. ©VANIN

284 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKS C 18 Bereken de complexe getallen. z 1 = –6i z 2 = 4 – 5i z 3 = –2 + 3i a) z 1 – 2 z 2 + 3 z 3 d) 4 z 3 – z 1 z 2 = = = = = = = = = = b) 3  z 1  z 2 e) z 1 + 2  z 2 – z 3 = = = = = = = = = = c) –2  z 1  z 3 + z 2 f) 5  z 2 + 6  z 3 – 2  z 1 = = = = = = = = = = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 285 5.2.6 Twee complexe getallen delen Rekenregel Om twee complexe getallen te delen, • vermenigvuldig je de teller en de noemer met het toegevoegde complex getal van de noemer om de noemer reëel te maken, en • werk je de teller en de noemer uit volgens de methode voor vermenigvuldiging van twee complexe getallen. a + bi c + di = (a + bi ) (c – di ) (c + di ) (c – di ) = ac + bci – adi – bdi 2 c 2 – d 2i 2 = (ac + bd ) + (bc – ad )i c 2 + d 2 = ac + bd c 2 + d 2 + bc – ad c 2 + d 2 i Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 4 + 3i 1 – 2i = (4 + 3i ) (1 + 2i ) (1 – 2i ) (1 + 2i ) 7 – 4i –2 + 6i = = 4 + 3i + 8i + 6i 2 1 – 4 i 2 = = 4 + 11 i – 6 1 + 4 = = –2 + 11i 5 = = 25 + 115 i = Bewerkingen met complexe getallen met de rekenmachine actie knoppen scherm Controleer of je rekenmachine in de modus a + bi staat. Pas aan indien nodig. quitmode Stel a = 2 + i en b = 3 + 2i. Bereken a + b, a – b, a  b en ba actie knoppen scherm Sla de getallen op als A en B. 2 L2 Z memo+ “ 2nd . i : rclsto X a-lockalpha testmathA entrenterysolve 3 L3 θ memo+ “ 2 L2 Z 2nd . i : rclsto X a-lockalpha angleapps B entrenterysolve Voer de berekeningen uit. Bij de deling staan het reële en imaginaire deel niet in Wilbreukvorm.jedat,dan moet je dat voor elk deel apart vragen. instructiefilmpje ©VANIN

286 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.2.7 Eigenschappen van bewerkingen met complexe getallen De eigenschappen van bewerkingen met reële getallen blijven geldig bij de complexe getallen. optellen vermenigvuldigen Het optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief. " z 1, z 2 Œ C : z 1 + z 2 = z 2 + z 1 " z 1, z 2 Œ C : z 1 z 2 = z 2 z 1 • (2 + 3i ) + (–4 + 5i ) = –2 + 8i • (–4 + 5i ) + (2 + 3i ) = –2 + 8i • (2 + 3i )  (–4 + 5i ) = –23 – 2i • (–4 + 5i )  (2 + 3i ) = –23 – 2i Het optellen en vermenigvuldigen zijn associatief. " z 1, z 2, z 3 Œ C : (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3) = z 1 + z 2 + z 3 " z 1, z 2, z 3 Œ C : (z 1  z 2)  z 3 = z 1  (z 2  z 3) = z 1  z 2  z 3 • [(2 + 3i ) + (–4 + 5i )] + (3 – i ) = (–2 + 8i ) + (3 – i ) = 1 + 7i • (2 + 3i ) + [(–4 + 5i ) + (3 – i )] = (2 + 3i ) + (–1 + 4i ) = 1 + 7i • [(2 + 3i )  (–4 + 5i )]  (3 – i ) = (–23 – 2i )  (3 – i ) = –71 + 17i • (2 + 3i ) [(–4 + 5i ) (3 – i )] = (2 + 3i ) (–7 + 19i ) = –71 + 17i Het optellen en vermenigvuldigen hebben een neutraal element. 0 is het neutraal element voor het optellen. " z Œ C : z + 0 = z = 0 + z 1 is het neutraal element voor het vermenigvuldigen. " z Œ C : z  1 = z = 1  z (2 + 3i ) + 0 = 2 + 3i = 0 + (2 + 3i ) (2 + 3i )  1 = 2 + 3i = 1  (2 + 3i ) Elk complex getal heeft een symmetrisch element voor het optellen en het vermenigvuldigen. Elk complex getal heeft een symmetrisch element voor het optellen, namelijk zijn tegengestelde. " z Œ C : –z Œ C en z + (–z) = 0 = –z + z Elk complex getal verschillend van 0 heeft een symmetrisch element voor het vermenigvuldigen, namelijk zijn omgekeerde. " z Œ C0 : 1 z Œ C en z  1 z = 1 = 1 z  z (2 + 3i ) + (–2 – 3i ) = 0 = (–2 – 3i ) + (2 + 3i ) (2 + 3i )  1 2 + 3i = 1 = 1 2 + 3i  (2 + 3i ) Het vermenigvuldigen is distributief ten opzichte van het optellen. " z 1, z 2, z 3 Œ C : z 1  (z 2 + z 3) = z 1  z 2 + z 1  z 3 (2 + 3i ) [(–4 + 5i ) + (3 – i )] = (2 + 3i ) (–1 + 4i ) = –14 + 5i (2 + 3i ) (–4 + 5i ) + (2 + 3i ) (3 – i ) = (–23 – 2i ) + (9 + 7i ) = –14 + 5i ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 287 REEKSOefeningenB 19 Bereken. a) 2 – 3i –1 + 2i = d) 5i 2 – 9i = = = = = = = = = b) 4 – i 4 + i = e) –8i 3 + 5i = = = = = = = = = c) 12 + 3i 4 + 3i = f) 1 + i 4i = = = = = = = = = ©VANIN

288 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 20 Bereken. a) (3 – 2i ) 2 4 + 3i c) (5 – i )2 + 3 i = = = = = = = = = = = = = = b) (–2 + 6 i ) ( –2 – 6 i ) 3 – i d) –5 (2 – i ) (1 + 3i ) (–1 + 3i ) = = = = = = = = = = = = = = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 289 21 Bereken met ICT. a) (–7 – 7i) (3 + 6i) = d) 1 i –2 3 + i + 8 3 – i = g) 5 – i 2i – 1 + 9 2i + 1 = b) 1 + 3 i 3 – i i = e) 7 – 6i i – (6 + 7i ) = h) 3 + 3i 3 – 3i + 3 – 3i 3 + 3i = c) 1 + 2i 2 + 3i = f) 1 + 2i 3 – 4i + 2 – i 5i = i) 4 (1 – i )2 –4 (1 + i )2 = 22 Gegeven: z 1 = 3 + i 3 i en z 2 = 3 1 + 3 i . Bereken met ICT. a) z 1 + z 2 = c) z 1  z 2 = b) z 1 – z 2 = d) z 1 z 2 = REEKS C 23 Los op in C. a) 6 – 4i + 4xi = (x – 4)  6i c) xi + 2 = 5 – 2x b) 3x + 2i = 4xi d) 2 (9 + xi ) = –(5x + i ) + 1 ©VANIN

290 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C 5.3.1 Vierkantswortel van een strikt negatief getal Bereken (6i ) 2 = en (–6i ) 2 = Dat betekent dat 6i en –6i twee vierkantswortels zijn van Besluit Elk strikt negatief getal heeft twee tegengestelde complexe vierkantswortels. 5.3.2 Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten Definitie Tweedegraadsvergelijking Een tweedegraadsvergelijking met reële coëfficiënten is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 met a Œ R 0 en b, c Œ R. Om een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen, bereken je eerst de discriminant D = b 2 – 4ac In C heeft een tweedegraadsvergelijking altijd twee oplossingen. • D ≥ 0: de vergelijking heeft twee (verschillende of samenvallende) reële oplossingen. x 1 = b – D 2a en x 2 = b + D 2a • D < 0: elk negatief getal heeft twee tegengestelde complexe vierkantswortels. Je noteert ze als –w en w x 1 = b – w 2a en x 2 = b + w 2a Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 x 2 – 4x + 13 = 0 3x 2 – 2x + 1 = 0 D = 16 – 4  1  13 = –36 = 36i 2 D = w = 6i w = x 1 = 4 – 6i 2 = 2 – 3i x 1 = x 2 = 4 + 6i 2 = 2 + 3i x 2 = V = 2 – 3i , 2 + 3i {} V = De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft twee toegevoegde complexe oplossingen. GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 291 REEKSOefeningenB 24 Los op in C. Controleer met ICT. a) x 2 + 4x + 5 = 0 d) x 2 – 6x + 12 = 0 b) x 2 + 8x + 20 = 0 e) –4x 2 + 3x – 3 = 0 c) 2x 2 – 2x + 1 = 0 f) –2x 2 + 5x – 6 = 0 ©VANIN

292 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.4 Complexe getallen in goniometrische vorm 5.4.1 Goniometrische vorm van een complex getal In het complexe vlak wordt het complex getal a + bi voorgesteld door het punt P (a, b). byra OP’x P(a, b) α De coördinaat (r, a ) noem je de poolcoördinaat van P Als r de afstand is van P tot de oorsprong, dan geldt: cos a = ar en sin a = br a = r cos a en b = r sin a Bijgevolg is a + bi = r  cos a + (r  sin a)i = r  (cos a + i  sin a) Benamingen en notaties • r  (cos a + i  sin a) noem je de goniometrische of polaire vorm van het complex getal a + bi • De afstand r noem je de modulus van het complex getal a + bi Notatie: r = | a + bi | • De georiënteerde hoek a noem je het argument van het complex getal a + bi Notatie: a = arg (a + bi) Opmerkingen • Hoe liggen de beeldpunten van alle complexe getallen met dezelfde modulus r ? • Hoe liggen de beeldpunten van alle complexe getallen met hetzelfde argument a ? yx P(a, b) r α O GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 293 5.4.2 Modulus en argument berekenen Om een complex getal in de goniometrische vorm te schrijven, moet je de modulus r en het argument a berekenen. P (a, b) is de voorstelling van het complex getal a + bi in het complexe vlak. Er geldt: • r 2 = stelling van Pythagoras fl r = byra Ox P(a, b) P ’ α • tan a = = Om a te vinden, los je de vergelijking tan a = ba op. tan a = ba Stel: a1 is een oplossing van de vergelijking. tan a = tan a1 Antisupplementaire hoeken hebben dezelfde tangens. a = a1 + k 360º of a = 180º + a1 + k 360º a = a1 + k 180º k Œ Z Om te weten welke oplossing voor a geldig is, moet je nagaan in welk kwadrant het beeldpunt P van a + bi ligt. Formule r = a 2 + b 2 tan a = b a met a ≠ 0 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Je bepaalt de goniometrische vorm van 2 + 2i Je bepaalt de goniometrische vorm van –1 –i Modulus: r = a 2 + b 2 = 4 + 4 = 8 = 22 Modulus: r = a 2 + b 2 = Argument: tan a = ba = 22 = 1 Argument: tan a = ba = fi a = 45º + k 180º k Œ Z fi a = Het beeldpunt P van 2 + 2i Het beeldpunt P van –1 – i ligt in het eerste kwadrant, dus a = 45º. ligt in het kwadrant, dus a = y 12 12 3 x 2 + 2i α Oy –121–3 –2 –1 1 Ox –1 – i α De goniometrische vorm van 2 + 2i is De goniometrische vorm van –1 – i is 22  (cos 45º + i  sin 45º). ©VANIN

294 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213

• de modulus van een complex getal met de functie abs(; • het argument met de functie hoek( Bepaal de modulus en het argument voor 1 + 3 i REKENMACHINE actie knoppen scherm Denk eraan dat je rekenmachine altijd op het werken met graden ingesteld moet zijn. Kies indien nodig voor de gradenmodus. quitmode Bereken de modulus van 1 + 3 i testmathA 2 5 L5 U 1 L1 Y memo+ “ 2nd x2 √ I 3 L3 θ pijlR 2nd . i : entrenterysolve Bereken het argument van 1 + 3 i testmathA 2 4 L4 Τ 1 L1 Y memo+ “ 2nd x2 √ I 3 L3 θ pijlR 2nd . i : entrenterysolve ICT

Het beeldpunt P van –4 ligt op de negatieve kant Het beeldpunt P van 2i ligt op de van de , dus a = kant van de , dus a = De goniometrische vorm van –4 is De goniometrische vorm van 2i is Algemeen De goniometrische vorm van reële getallen a en imaginaire getallen bi kun je bepalen zonder berekeningen te maken. De voorstellingen van de getallen a liggen op de x-as: • a > 0 modulus: argument: • a < 0 modulus: argument: De voorstellingen van de getallen bi liggen op de y-as: • b > 0 modulus: argument: • b < 0 modulus: argument: 5.4.4 Modulus en argument van een complex getal met ICT Met de grafische rekenmachine vind je

©VANIN

5.4.3 Bijzondere gevallen reële getallen zuiver imaginaire getallen Je bepaalt de goniometrische vorm van –4. Je bepaalt de goniometrische vorm van 2i Modulus: r = a 2 + b 2 = Modulus: r = a 2 + b 2 = Argument: tan a = ba = Argument: tan a = ba = fi a = fi a =

GEOGEBRA

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 295 REEKSOefeningenB 25 Bepaal de goniometrische vorm van de complexe getallen. Bepaal het argument op 1º nauwkeurig. a) 1 + 3 i e) 11 b) 5i f) –6i c) –7 g) 1 + 15 i d) 3 3 + 3i h) –6 + 8i ©VANIN

296 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 26 Bepaal de goniometrische vorm van de complexe getallen. Stel ze voor in het complexe vlak. a) 22 + 22 i c) 23 + 21 i b) –3 – i d) 8 – 8 i –2–11 y –332 1 234O–1–2–3 x ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 297 27 Bepaal de goniometrische vorm van de complexe getallen. Stel ze voor in het complexe vlak. Bepaal het argument op 1º en de modulus op 0,1 nauwkeurig. a) 2 + 3i c) –4 – 5i b) 3 – 4i d) –6 + 4i –2–11 y –4–3324 1O–1–2–3–4–5 65432 x ©VANIN

298 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.5 Rekenen met complexe getallen in goniometrische vorm 5.5.1 Twee complexe getallen vermenigvuldigen Je leidt met ICT een formule af voor het product van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm. Gegeven: z 1 = 3  (cos 45º + i  sin 45º) z 2 = 4  (cos 15º + i  sin 15º) z 3 = 5  (cos 35º + i  sin 35º) Gevraagd: z 1  z 2 , z 1  z 3 en z 2  z 3 Oplossing: modulusproduct argumentproduct product 3  (cos 45º + i  sin 45º)  4  (cos 15º + i  sin 15º) 12 60º 12  (cos 60º + i  sin 60º) 3  (cos 45º + i  sin 45º)  5  (cos 35º + i  sin 35º) 4  (cos 15º + i  sin 15º)  5  (cos 35º + i  sin 35º) Rekenregel Om twee complexe getallen in de goniometrische vorm te vermenigvuldigen, bereken je het product van de moduli en de som van de argumenten. r 1  (cos a1 + i  sin a1 )  r 2  (cos a2 + i  sin a2 ) = r 1  r 2  [cos (a1 + a2 ) + i  sin (a1 + a2 )] Bewijs Je kunt de formule voor het vermenigvuldigen van twee complexe getallen in de goniometrische vorm ook aantonen met de somformules uit de goniometrie. r 1  (cos a1 + i  sin a1 )  r 2  (cos a2 + i  sin a2 ) = r 1  r 2  (cos a1  cos a 2 + i  cos a1  sin a2 + i  sin a1  cos a2 + i 2  sin a1  sin a2 ) = r 1  r 2  (cos a1  cos a 2 + i  cos a1  sin a2 + i  sin a1  cos a2 + (–1)  sin a1  sin a2 ) = r 1 r 2 [cos a1 cos a2 – sin a1 sin a2 + i (sin a1 cos a2 + cos a1 sin a2 )] = r 1  r 2  [cos (a1 + a2 ) + i  sin (a1 +a2 )] ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 299 5.5.2 Meetkundige betekenis van het product van twee complexe getallen Gegeven: z 1 = 2 (cos 30º + i sin 30º) z 2 = 23 (cos 45º + i sin 45º) z 1 z 2 = Op de figuur staan de beeldpunten A, B en C van respectievelijk z 1 , z 2 en z 1  z 2 Je verbindt A met de eenheid op de x-as (punt D). Je verbindt B met C Op die manier ontstaan twee driehoeken. y 132 O 2 x 2 3 1,5 75° 30° 45° 1 CBA D 2 1 | OB | | OD | = | OC | | OA | = ^ O 1 = ^ O 2 = Volgens gelijkvormigheidskenmerk is  ODA De gelijkvormigheidsfactor is Algemeen yx rB 1 r1 . r2 Or2 CA D α1 + α2 α1 α2 • z 1 = r 1  (cos a1 + i  sin a1 ) z 2 = r 2  (cos a2 + i  sin a2 ) • Het beeldpunt C van het product z 1  z 2 verkrijg je door een driehoek OBC te tekenen die gelijkvormig is (met gelijkvormigheidsfactor r 2 ) met de driehoek ODA Daarbij is  A het beeldpunt van z 1 ;  B het beeldpunt van z 2 ;  D het punt (1, 0);  B ^ OC = a1 . GeoGebra ©VANIN

300 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKSOefeningenB 28 Bereken zonder ICT en zet het resultaat om naar de cartesische vorm. a) 3 (cos 38º + i sin 38º) 2 (cos 52º + i sin 52º) = b) 6  (cos 115º + i  sin 115º)  4  (cos 65º + i  sin 65º) = c) 4  (cos 237º + i  sin 237º)  21  (cos 33º + i  sin 33º) = d) 2 (cos 319º + i sin 319º) 2 (cos 41º + i sin 41º) = e) 2 (cos 22º + i sin 22º) 18 [cos (–22º) + i sin (–22º)] = 29 Bereken en zet het resultaat om naar de cartesische vorm. Rond het reële en het imaginaire deel af op 0,001 nauwkeurig. a) 5  (cos 65º + i  sin 65º)  8  (cos 43º + i  sin 43º) = b) 10 (cos 185º + i sin 185º) 2 (cos 14º + i sin 14º) = c) 31 (cos 278º + i sin 278º) 21 [cos (–28º) + i sin (–28º)] = d) 3  (cos 79º + i  sin 79º)  3  (cos 21º + i  sin 21º) = e) 2 [cos (–11º) + i sin (–11º)] 6 [cos (–52º) + i sin (–52º)] = ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 301 30 Stel de complexe getallen z 1 en z 2 voor in het complexe vlak en teken het beeldpunt van z 1  z 2 . Controleer door berekening van z 1 z 2 . a) z 1 = 3  (cos 30º + i  sin 30º) z 2 = cos 60º + i  sin 60º –11 y 32 1–1–2 342 Ox z 1 z 2 = b) z 1 = 2  (cos 45º + i  sin 45º) z 2 = cos 150º + i  sin 150º y –11–22 1–1–2 32 Ox z 1 z 2 = ©VANIN

302 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKS C 31 Stel de complexe getallen z 1 en z 2 voor in het complexe vlak en teken het beeldpunt van z 1  z 2 . Controleer door berekening van z 1 z 2 . a) z 1 = 2 – i z 2 = 1 + i –11 y 2 1–1–2 32 Ox b) z 1 = 1 – i z 2 = –3 + 2i –22 y 4 2–2–4 64 Ox ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 303 5.5.3 Omgekeerde van een complex getal Je leidt met ICT een formule af voor het omgekeerde van een complex getal in zijn goniometrische vorm. Gegeven: z 1 = 3  (cos 45º + i  sin 45º) z 2 = 4  (cos 15º + i  sin 15º) z 3 = 5  (cos 35º + i  sin 35º) Gevraagd: 1 z 1 , 1 z 2 , 1 z 3 Oplossing: z modulus 1 z argument 1 z 1 z 3  (cos 45º + i  sin 45º) 31 –45º 31  [cos (–45º) + i  sin (–45º)] 4 (cos 15º + i sin 15º) 5  (cos 35º + i  sin 35º) Rekenregel Om het omgekeerde van een complex getal in de goniometrische vorm te bepalen, bereken je het omgekeerde van de modulus en het tegengestelde van het argument. 1 r (cos a + i sin a) = 1 r  [cos (–a) + i  sin (–a)] ©VANIN

304 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 5.5.4 Meetkundige betekenis van het omgekeerde van een complex getal Gegeven: z = 2  (cos 60º + i  sin 60º) 1 z Op=de figuur staan de beeldpunten A en B van respectievelijk z en 1 z . Je verbindt A en B met de eenheid op de x-as (punt D). Op die manier ontstaan twee driehoeken. y 2 2 O 1 –60°60° 1 Bx A D2 211 | OB | | OD | = | OD | | OA | = ^ O 1 = ^ O 2 = Volgens gelijkvormigheidskenmerk is  OBD De gelijkvormigheidsfactor is Algemeen Oyr 1rBA D α α x • z = r  (cos a + i  sin a) • Het beeldpunt B van het omgekeerde 1 z verkrijg je door een driehoek OBD te tekenen die gelijkvormig is met gelijkvormigheidsfactor 1 r met de driehoek ODA Daarbij is  A het beeldpunt van z ;  D het punt (1, 0);  D ^ OB = –a ;  | OB | = 1 r . GeoGebra ©VANIN

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 305 5.5.5 Twee complexe getallen delen Je leidt met ICT een formule af voor het quotiënt van twee complexe getallen in hun goniometrische vorm. Gegeven: z 1 = 3 (cos 45º + i sin 45º) z 2 = 4 (cos 15º + i sin 15º) z 3 = 5 (cos 35º + i sin 35º) Gevraagd: z 1 z 2 , z 1 z 3 en z 2 z 3 Oplossing: modulusquotiënt argumentquotiënt quotiënt 3 (cos 45º + i sin 45º) 4 (cos 15º + i sin 15º) 43 30º 43  (cos 30º + i  sin 30º) 3 (cos 45º + i sin 45º) 5 (cos 35º + i sin 35º) 4 (cos 15º + i sin 15º) 5 (cos 35º + i sin 35º) Rekenregel Om twee complexe getallen in de goniometrische vorm te delen, bereken je het quotiënt van de moduli en het verschil van de argumenten. r 1 (cos a 1 + i sin a 1 ) r 2 (cos a 2 + i sin a 2 ) = r 1 r 2 [cos (a1 – a2 ) + i sin (a1 – a2 )] Bewijs Je kunt de formule voor het delen van twee complexe getallen in de goniometrische vorm ook aantonen met de verschilformules uit de goniometrie. r 1 (cos a 1 + i sin a 1 ) r 2 (cos a 2 + i sin a 2 ) = r 1 (cos a 1 + i sin a 1 ) (cos a 2 – i sin a 2 ) r 2 (cos a 2 + i sin a 2 ) (cos a 2 – i sin a 2 ) = r 1 [cos a 1 cos a 2 + sin a 1 sin a 2 + i (sin a 1 cos a 2 – cos a 1 sin a 2 )] r 2 (cos2 a 2 + sin2 a 2 ) = r 1 r 2 [cos (a 1 – a 2 ) + i sin (a 1 – a 2 )] = r 1 (cos a 1 cos a 2 – i cos a 1 sin a 2 + i sin a 1 cos a 2 – i 2 sin a 1 sin a 2 ) r 2 (cos2 a 2 – i 2 sin2 a 2 )

Opmerking Het optellen en aftrekken van complexe getallen is het eenvoudigst met complexe getallen in cartesische vorm. Het vermenigvuldigen en delen van complexe getallen is (meestal) het eenvoudigst met complexe getallen in goniometrische vorm.

306 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKSOefeningenA 32 De complexe getallen z 1, z 2, z 3 en z 4 zijn gegeven in cartesische vorm en goniometrische vorm. Vink aan welke vorm je zult gebruiken om de gevraagde bewerking uit te voeren. Voer de berekening uit. Zet het resultaat om naar de cartesische vorm. Rond het reële en imaginaire deel af op 0,001 nauwkeurig. z 1 = 2 + 2i = 8 (cos 45º + i sin 45º) z 3 = 43 + 4i = 8 (cos 30º + i sin 30º) z 2 = 23 + 23 i = 3 (cos 60º + i sin 60º) z 4 = –6i = 6 [cos (–90º) + i sin (–90º)] bewerking cartesischevorm goniometrischevorm berekening a) z 1 – z 4 r r b) z 3 z 1 r r c) z 4 z 2 r r d) z 3 + z 1 r r e) z 2  z 3 r r ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 307 33 Bereken het omgekeerde van het complex getal z en zet het resultaat om naar de cartesische vorm. Rond het reële en het imaginaire deel af op 0,001 nauwkeurig. a) z = cos 135º + i sin 135º 1 z = b) z = 3 [cos (–120º) + i sin (–120º) ] 1 z = c) z = 6  [cos (–30º) + i  sin (–30º) ] 1 z = d) z = 4  (cos 45º + i  sin 45º) 1 z = e) z = 3  (cos 60º + i  sin 60º) 1 z = 34 Bereken en zet het resultaat om naar de cartesische vorm. a) 2 [cos (–40º) + i sin (–40º)] 2 (cos 50º + i sin 50º) = b) 2 (cos 15º + i sin 15º) 4 [cos (–75º) + i sin (–75º)] = c) 4 (cos 65º + i sin 65º) 2 (cos 20º + i sin 20º) = d) 3 (cos 100º + i sin 100º ) 2 (cos 40º + i sin 40º) = ©VANIN

308 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKS B 35 Bereken het omgekeerde van het complex getal via de goniometrische vorm. Zet het resultaat om naar de cartesische vorm. a) –4 + 4i b) –3 + 3i c) 1 d) 2 + 2 i e) –7i ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 309 36 Bereken via de goniometrische vorm. Zet het resultaat om naar de cartesische vorm. a) 1–2–i d) 6 – 23 i –3 3 – 3i b) 1 3 – 3 i e) –4 + 4i 3 – 3 i c) –1 – 3 i –3 – i f) 23 – 6i 33 – 3i ©VANIN

310 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 REEKS C 37 Stel het complex getal z voor in het complexe vlak en teken het beeldpunt van 1 z . Controleer door berekening van 1 z a) z = 43 (cos 120º + i sin 120º) –1 y 1 1–1 Ox 1 z = b) z = 1 + 3 i y 1 12 Ox 1 z = c) z = 21 + 21 i –1 y 1 1–1 Ox 1 z = ©VANIN

Machten van de imaginaire eenheid berekenen.

Van een complex getal het tegengestelde complex getal bepalen. Van een complex getal het toegevoegde complex getal bepalen. Een complex getal in het complexe vlak voorstellen.

Twee complexe getallen zijn toegevoegde complexe getallen als en slechts als • de reële delen gelijk zijn en • de imaginaire delen tegengesteld zijn. a + bi = a – bi KUNNEN  +  +

Als je het koppel (a, b) in een orthonormaal assenstelsel weergeeft, met de horizontale as als reële as en de verticale as als imaginaire as, ontstaat het complexe vlak of vlak van Gauss.

©VANIN

Twee complexe getallen zijn tegengesteld als en slechts als

• de reële delen tegengesteld zijn en • de imaginaire delen tegengesteld zijn. –(a + bi) = –a – bi

Twee complexe getallen zijn gelijk als en slechts

• de reële delen gelijk zijn en • de imaginaire delen gelijk zijn. a + bi = c + di ¤ a = c en b = d

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 311

STUDIEWIJZER Complexe getallen 5.1 Complexe getallen in cartesische vorm voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN –  + –  + De imaginaire eenheid i is het getal waarvan het kwadraat –1 is. Een complex getal z is een getal z = a + bi met a, b Œ R en i 2 = –1.

5.2 Rekenen met complexe getallen in cartesische vorm KENNEN  +  + Om twee complexe getallen op te tellen, • tel je de reële delen op en • tel je de imaginaire delen op. (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i Om twee complexe getallen af te trekken, tel je het eerste complex getal op met het tegengestelde van het tweede complex getal. (a + bi ) – (c + di ) = (a + bi ) + (–c – di ) = (a – c) + (b – d )i Om een complex getal te vermenigvuldigen met een reëel getal, vermenigvuldig je • het reële deel met dat getal en • het imaginaire deel met dat getal. r  (a + bi ) = (r  a) + (r  b)i Om een complex getal te vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid, vermenigvuldig je • het reële deel met i; • het imaginaire deel met i en • houd je rekening met i 2 = –1. i  (a + bi ) = i  a + i  bi = ai + bi 2 = –b + ai Om twee complexe getallen te vermenigvuldigen, • pas je de distributieve eigenschap toe en • houd je rekening met i 2 = –1. (a + bi )  (c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ac + bci + adi – bd = (ac – bd ) + (ad + bc)i

5.4 Complexe getallen in goniometrische vorm KENNEN  +  + r (cos a + i sin a) is de goniometrische vorm van a + bi met • r = | a + bi | de modulus van a + bi; • a = arg(a + bi) het argument van a + bi r = a 2 + b 2 en tan a = ba KUNNEN  +  + De goniometrische vorm van een complex getal bepalen.

312 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + Om twee complexe getallen te delen, • vermenigvuldig je de teller en de noemer met het toegevoegde complex getal van de noemer om de noemer reëel te maken, en • werk je de teller en de noemer uit volgens de methode voor vermenigvuldiging van twee complexe getallen. a + bi c + di = (a + bi ) (c – di ) (c + di ) (c – di ) = ac + bci – adi – bdi 2 c 2 – d 2i 2 = (ac + bd ) + (bc – ad )i c 2 + d 2 = ac + bd c 2 + d 2 + bc – ad c 2 + d 2 i KUNNEN  +  + Twee complexe getallen optellen. De som van twee complexe getallen voorstellen in het complexe vlak. Twee complexe getallen aftrekken. Een complex getal vermenigvuldigen met een reëel getal. Een complex getal vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid. Twee complexe getallen vermenigvuldigen. Twee complexe getallen delen. De eigenschappen van de bewerkingen met complexe getallen toepassen. 5.3 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen in C KENNEN  +  + Elk negatief getal heeft twee tegengestelde complexe vierkantswortels. Een tweedegraadsvergelijking met reële coëfficiënten is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 met a Œ R0 en b, c Œ R KUNNEN  +  + Een tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 met a Œ R0 en b, c Œ R oplossen in C

©VANIN

Twee complexe getallen in de goniometrische vorm vermenigvuldigen. Het omgekeerde van een complex getal in de goniometrische vorm bepalen. Twee complexe getallen in de goniometrische vorm delen.

r 1 (cos a1 + i sin a1) r 2 (cos a2 + i sin a2) = r 1 r 2 [cos(a1 + a2) + i sin(a1 + a2)]

Het beeldpunt B van het omgekeerde 1 z verkrijg je door een driehoek OBD te tekenen die gelijkvormig is met gelijkvormigheidsfactor 1 r met de driehoek ODA Daarbij is • A het beeldpunt van z; • D het punt (1, 0);

• B ^ OC = a1 Om het omgekeerde van een complex getal in de goniometrische vorm te bepalen, bereken je het omgekeerde van de modulus en het tegengestelde van het argument. 1 r (cos a + i sin a) = 1 r  [cos (–a) + i  sin (–a)]

Het beeldpunt C van het product z 1  z 2 verkrijg je door een driehoek OBC te tekenen die gelijkvormig is (gelijkvormigheidsfactor r 2) met de driehoek ODA Daarbij is • A het beeldpunt van z 1 ; • B het beeldpunt van z 2 ; • D het punt (1, 0);

• D ^ OB = –a; • | OB | = 1 r Om twee complexe getallen in de goniometrische vorm te delen, bereken je het quotiënt van de moduli en het verschil van de argumenten. r 1 (cos a 1 + i sin a 1 ) r 2 (cos a 2 + i sin a 2 ) = r 1 r 2  [cos (a1 – a2 ) + i  sin (a1 – a2 )] KUNNEN  +  +

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 313 5.5 Rekenen met complexe getallen in goniometrische vorm voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + Om twee complexe getallen in de goniometrische vorm te vermenigvuldigen, bereken je het product van de moduli en de som van de argumenten.

314 4 XL I HOOFDSTUK 5 I COMPLEXE GETALLEN 4321 5 108679111213 Problemen uit JWO 1. Drie buren leggen de oogst van hun moestuin samen. • Annelies heeft drie tomaten en x paprika’s. • Boudewijn heeft y tomaten en drie wortels. • Claudia heeft vier tomaten, vijf paprika’s en z wortels. Nadat ze de oogst verdeeld hebben, heeft iedereen drie tomaten, twee paprika’s en vier wortels. Er is geen overschot. Waaraan is x + y + z gelijk? A) r 4 b) r 6 C) r 8 D) r 10 E) r 12 JWO, editie 2016, eerste ronde 2. Op het examen wiskunde heeft 60 % van de leerlingen 60 % of meer behaald en heeft 80 % van de leerlingen 80 % of minder. Hoeveel procent van de leerlingen heeft een percentage in het interval [60, 80] behaald? A) r 20 B) r 40 C) r 50 D) r 60 E) r 70 JWO, editie 2020, tweede ronde 3. Het punt P ligt op het verlengde van de diagonaal [BD] van de rechthoek ABCD, zodat | PC | = | DC |. Wat is het verband tussen a en b? A) r b = a B) r b = 90º – a C) r b = 90º – 2a D) r b = 180º – 2a E) r b = 45º – 21 a JWO, editie 2020, eerste ronde A DBCPa b ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 315 HOOFDSTUK 6 I GRAFEN 6.1 Begripsvorming 316 6.2 Tweedelingsgrafen 339 6.3 Eulergrafen 344 6.4 Minimaal opspannende boom 353 6.5 Graafkleuringen 359 6.6 Het Chinese postbodeprobleem 369 Studiewijzer 373 Pienter problemen oplossen 376 ©VANIN

43215 6 10879111213 316 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.1 Begripsvorming 6.1.1 Graaf A A A A A A 1,20 A 1,30 A 2,00 A R1 R2 R3 + De structuur van de elektrische schakeling aan de linkerkant kun je nog vereenvoudigen door de context weg te laten. AB DC

©VANIN

Definitie Graaf Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt. Grafentheorie is een aparte tak van de wiskunde en heeft weinig tot geen raakpunten met andere gebieden. Op dit overzicht van het tramnet van antwerpen staat elke knoop voor een tramhalte en elke boog voor een tramlijn tussen twee haltes. Op de kaart worden de haltes gelijkmatig verdeeld over elke lijn. In realiteit is de afstand tussen de verschillende haltes niet gelijk. Op de kaart lopen de tramlijnen recht. In realiteit lopen de tramlijnen doorheen straten of ondergronds en nemen ze verschillende bochten.

Kun je die structuur ook aanduiden op deze plattegrond van een vakantiepark?

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 317 6.1.2

AB DC 102 7,5 AB DC Definitie Gewogen graaf Gerichte graaf Een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal. Een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft.

©VANIN

samenhangende graaf niet-samenhangende graaf AB DCAB DC Definitie Samenhangende graaf Niet-samenhangende graaf

AB DCAB DC Definitie Enkelvoudige graaf Multigraaf Een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten. Een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten.

Een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen. Een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.

Soorten grafen enkelvoudige graaf multigraaf

gewogen graaf gerichte graaf

43215 6 10879111213 318 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.1.3 Benamingen AB DC

Definitie Lus Een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt.

Definitie Buur van een knoop Een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog. knoop buren DBAC

©VANIN

Definitie Graad van een knoop De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop. notatie: gr(A) = 2 Opmerking een lus beschouw je als een boog die vertrekt en toekomt, en tel je dus dubbel. knoop graad A gr(A) = B gr(B) = C gr(C) = D gr(D) = Definitie Deelgraaf Een graaf G1 is een deelgraaf van graaf G2 als de knopen en bogen van G1 ook knopen en bogen zijn van G2. AB DC is een deelgraaf van AB DC

A

Je kunt dus besluiten dat de grafen isomorf zijn.

• en moeten de graden overeenkomen.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 319 Definitie Brug Een boog in een graaf is een brug als de graaf door die boog samenhangend is. Als je de brug wegneemt, is de graaf dus niet langer samenhangend.

Definitie Isomorfe grafen Isomorfe grafen zijn grafen met hetzelfde aantal knopen die op dezelfde manier met elkaar verbonden zijn. DBCMKLN

Om te onderzoeken of de grafen isomorf zijn, moet het aantal knopen gelijk zijn

MKLN

• knoop C overeenkomt met knoop L, want ze hebben beide graad 3;

Je kunt dat schematisch voorstellen in een verbindingstabel. B C D gr A x x 2 B x x 2 C x x x 3 D x 1 K L M N gr

•

©VANIN

AG, BE en EF zijn allemaal bruggen in deze graaf. E

• knoop B overeenkomt met knoop M (of K), want ze hebben beide graad 2.

Daaruit leid je af dat:

• knoop A overeenkomt met knoop K (of M), want ze hebben beide graad 2;

A

• knoop D overeenkomt met knoop N, want ze hebben beide graad 1;

GAB CDF

43215 6 10879111213 320 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Voorbeeld A DCEFB • Vul de tabel aan.knoop buren graad A gr(A) = B gr(B) = C gr(C) = D gr(D) = E gr(E) = F gr(F) = • Deze graaf is een: r enkelvoudige graaf r multigraaf r samenhangende graaf r niet-samenhangende graaf r gewogen graaf r gerichte graaf • Duid elke deelgraaf van deze graaf aan. r graaf 1 r graaf 2 r graaf 3 C EFBCAEFB DCAEFB DZ ©VANIN

• Van knoop D ga je naar A, dan naar C, dan naar F en dan eindig je in E: DACFE

Opmerkingen

• een wandeling is open als de beginknoop en eindknoop verschillend zijn.

DCEFBADCEFB ACBFE ACBFEA

Bijvoorbeeld: A DC EF

• een wandeling is gesloten als de beginknoop en eindknoop hetzelfde zijn. open wandeling gesloten wandeling A

Een spoor is een open wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. De bogen worden maximaal één keer doorlopen. Een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. Zet een vinkje bij de meest passende benaming(en) van elke wandeling.

ABC ED wandeling pad cykel spoor circuit ABC r r r r ABA r r r r BCEB r r r r EAAB r r r r

©VANIN

Definitie Spoor Circuit

• Van knoop D ga je naar A en dan naar E: DAE

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 321 6.1.4

Een pad is een open wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn. De knopen worden maximaal één keer doorlopen. Een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop.

Definitie Pad Cykel

Definitie Wandeling Een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is.

Soorten wandelingen als je van knoop D naar knoop E wilt gaan, zijn er verschillende opties.

een wandeling stel je voor door de knopen achtereenvolgens op te lijsten: A B

43215 6 10879111213 322 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en REEKSOefeningenA 1 Vink de correcte benaming(en) aan voor elke graaf. graafenkelvoudige multigraaf graafsamenhangende graafgewogen graafgerichte a) AB EDC r r r r r b) AB EDC r r r r r c) AB EDC 5,5 2,9 2,3 2,5 r r r r r ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 323 2 Noteer de graad in elke knoop. a) b) 3 Noteer alle bruggen van de graaf. a) ABC FED b) ABC FED c) ABC FED ©VANIN

43215 6 10879111213 324 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 4 Vink de deelgrafen van de gegeven graaf aan. a) ABC FED r ABC FED r ABC FED r ABC FED r ABC FED b) ABC FED r DBC FEA r ABF CED r ABC FED r ABC FED ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 325 5 Zijn de grafen isomorf? graaf 1 graaf 2 Isomorf? a) r ja r nee b) r ja r nee c) r ja r nee d) r ja r nee e) r ja r nee ©VANIN

43215 6 10879111213 326 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6 Vink de correcte benaming(en) aan voor elke wandeling. ABC FED pad cykel spoor circuit a) ABECB r r r r b) FBDCEF r r r r c) EFAEBAE r r r r d) FBDCEA r r r r e) DBFAECD r r r r REEKS B 7 Vul de graaf aan met bogen, zodat: • de graad in elke knoop klopt; • de graaf voldoet aan de benaming. a) enkelvoudige, samenhangende graaf b) niet-samenhangende multigraaf 13 2 2 2 24 1 1 2 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 327 8 Noteer welke grafen isomorf zijn. graaf 1 graaf 4 graaf 2 graaf 5 graaf 3 graaf 6 ©VANIN

CBD

Definitie Volledige graaf Een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is. notatie: K n (n = aantal knopen)

• Bjorn is geconnecteerd met Cynthia en David. aaron is niet geconnecteerd met Bjorn en Cynthia. A CBD

• David is geconnecteerd met aaron, Bjorn en Cynthia. A

Dat kun je voorstellen met behulp van een andere, tegengestelde graaf.

De tweede graaf noem je tegengesteld aan of complementair met de eerste graaf.

©VANIN

Definitie Complementaire grafen Enkelvoudige grafen zijn complementair (of tegengesteld) als de eerste graaf bestaat uit alle bogen die er in de tweede graaf niet zijn, en omgekeerd. als je de complementaire grafen uit het bovenstaande voorbeeld op elkaar legt, verkrijg je de volledige graaf K4 A CBD

43215 6 10879111213 328 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.1.5 Complementaire grafen Je kunt connecties op sociale media voorstellen door middel van grafen.

1

Daardoor zijn de nutsvoorzieningen bij de aangrenzende huizen al gekoppeld.

•

Overige verbindingen: gas Æ huis 1 • water Æ huis 2 • elektriciteit Æ huis 3 2 3 als je de waterverbinding naar het tweede huis trekt, verdeel je de zeshoek in tweeën, waardoor je binnen de zeshoek geen andere verbinding meer kunt tekenen.

Overige verbindingen: • gas Æ huis 1 • elektriciteit Æ huis 3 2 3 Buiten de zeshoek kun je nog één verbinding tekenen zonder andere leidingen te snijden.

1

GeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 329 6.1.6 Planaire grafen Drie buren willen hun huizen verbinden met de leidingen voor water, elektriciteit en gas. Ze proberen op papier een plan te tekenen, zodat de leidingen elkaar niet snijden. 1 2 3 water gas elektriciteit Om een oplossing te zoeken, teken je de huizen en nutsvoorzieningen in een zeshoek.

Overige verbinding: • gas Æ huis 1 1 2 3

Het probleem is dus niet oplosbaar in een vlak. Dat soort grafen noem je niet-planaire grafen

©VANIN

43215 6 10879111213 330 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en als je nu de verbinding van huis 1 met gas wilt tekenen, kun je niet anders dan een andere verbinding snijden. 1 2 31 2 3

Definitie Planaire graaf Een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden. Planaire grafen worden gebruikt om printplaten voor elektronische componenten te Hetontwikkelen.isbelangrijk dat de geleidende sporen elkaar niet snijden, omdat dat kan leiden tot ongewenste elektronische signalen.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 331 REEKSOefeningenA 9 Teken de tegengestelde graaf. graaf tegengestelde graaf a) A DBCADB C b) A DBCADB C c) A DBCBDA C d) A DBCADC B ©VANIN

43215 6 10879111213 332 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 10 Onderzoek of deze grafen planair zijn. a) e) r ja r nee r ja r nee b) f) r ja r nee r ja r nee c) g) r ja r nee r ja r nee d) h) r ja r nee r ja r nee ICT ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 333 REEKS B 11 Vul de tabel aan. Leid de formule af om het totale aantal bogen van een volledige graaf te berekenen. Vul daarna het besluit aan. K n volledige graaf aantal knopen aantal bogen uit 1 knoop totalebogenaantal K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K n Besluit: Het aantal bogen voor een volledige graaf Kn met n knopen is ©VANIN

43215 6 10879111213 334 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 12 In het testament van een koning met vijf zonen staat dat elke zoon met zijn erfenis een kasteel mag bouwen, op voorwaarde dat alle kastelen met elkaar verbonden worden via wegen die niet over bruggen gaan of kruispunten hebben. Kunnen de zonen de laatste wens van de koning uitvoeren? Verklaar. 13 Teken een planaire, samenhangende graaf G die aan de volgende voorwaarden voldoet: • 5 knopen met maximaal 5 bogen; • C is geen buur van B of D; • Gr(C) = 4; • Gr(B) = 1. AB ED C ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 335 6.1.7 Eigenschappen van grafen Verband tussen maximale aantal buren van een knoop en aantal knopen van een graaf aantal knopen 3 4 7

kan een knoop in een graaf met n knopen maximaal hebben? eigenschap Maximale aantal buren en aantal knopen van een graaf Een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren. Som van de graden in een graaf noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan.

aantalgraaf bogen som van alle graden Wat is de som van alle graden van een graaf met n bogen? eigenschap Som van de graden De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n.

©VANIN

De som van de graden in een graaf is dus altijd even. Verklaring Bij het optellen van de graden in een graaf tel je elk boog twee keer, omdat elke boog een begin- en eindpunt heeft.

Hoeveelaantalmaximalegraafburenburen

©VANIN

aantalgraaf knopen met oneven graad aantal knopen met even graad eigenschap Aantal knopen met oneven graad Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even. Bewijs De som van de graden in een graaf is altijd even.

43215 6 10879111213 336 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Aantal knopen met oneven graad in een graaf noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan.

fl een graad is even of oneven. De som van de even graden en oneven graden is even.

fl De som van de even graden is altijd even. De som van de oneven graden is even. fl Het aantal knopen met een oneven graad is even.

bediendenmanagersCeO

©VANIN

Bomen een organigram geeft de hiërarchie in een bedrijf weer.

Wie zijn de bladeren in de bovenstaande graaf? Wie zijn de interne knopen in de bovenstaande graaf?

Bij het opstellen van een organigram kun je gebruikmaken van grafen.

Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels. Specifieke terminologie

Dat soort graaf noem je een boom. Definitie Boom

• De interne knopen van een boom zijn de knopen met een graad groter dan één.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 337 6.1.8

• De bladeren van een boom zijn de knopen met graad één.

43215 6 10879111213 338 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Voorbeeld Welke grafen stellen een boom voor? Vink aan.

Een graaf is een boom als en slechts als er tussen elk paar knopen juist één pad is. eigenschap Eigenschap 2

Een graaf is een boom als en slechts als de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf. eigenschap Eigenschap 3 Een graaf is een boom als en slechts als elke boog een brug is. binaire bomen

XL ©VANIN

Onderzoek welke stellingen correct zijn. een graaf is een boom als en slechts als … juist fout a) er tussen elk paar knopen juist één pad is. r r b) de graaf geen lussen bevat. r r c) het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf. r r d) de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf. r r e) elke boog een brug is. r r f) er geen knopen zijn met graad 1. r r eigenschap Eigenschap 1

r boom r geen boom r boom r geen boom r boom r geen boom r boom r geen boom Eigenschappen

Volledig

• Persoon B kan op tijdstippen 1 en 3.

54321A

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 339 6.2

Om dat probleem op te lossen, kun je het voorstellen met een tabel of graaf. tabel graaf 1 2 3 4 5 B C D A x x x B x x C x x D x x Duid een mogelijke oplossing aan in de tabel en in de graaf. Geef een mogelijke planning van de afspraken.

GeoGebra ©VANIN

• persoon op tijdstip • persoon op tijdstip • persoon op tijdstip • persoon op tijdstip

Definitie Tweedelingsgraaf Een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep. Er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep. een andere benaming voor tweedelingsgraaf is bipartiete graaf

Tweedelingsgrafen

• Persoon C kan op tijdstippen 4 en 5.

• Persoon D kan op tijdstippen 3 en 5.

Stel dat vier personen (A, B, C, D) een afspraak willen maken bij een dokter. In de agenda van de dokter zijn maar vijf tijdstippen (1, 2, 3, 4, 5) mogelijk. elke persoon raadpleegt de eigen agenda. Daaruit blijkt het volgende:

• Persoon A kan op tijdstippen 1, 2 en 3.

FHBD E AG CFBH EDG

alleen wanneer k personen ten minste k verschillende tijdstippen opgeven, kan er met zekerheid een oplossing gevonden worden. Stelling Stelling van Hall Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).

Bij de linkse voorstelling is het niet evident om vast te stellen of de graaf een tweedelingsgraaf is. Door de knopen te herschikken, krijg je een duidelijker beeld van de groepen.

©VANIN

43215 6 10879111213 340 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en achteraf blijkt dat persoon A niet meer kan op tijdstip 2 en persoon C niet meer kan op tijdstip 4. • Persoon A kan op tijdstippen 1 en 3. • Persoon B kan op tijdstippen 1 en 3. • Persoon C kan op tijdstip 5. • Persoon D kan op tijdstippen 3 en 5. tabel graaf 1 2 3 4 5 54321

Is het mogelijk om alle personen in te plannen?

A C

A B C D A x x B x x C x D x x

na de wijzigingen levert elke combinatie van een, twee of drie personen geen probleem op. als je echter een match zoekt voor vier personen, heb je onvoldoende verschillende tijdstippen. Opmerking De onderstaande tekeningen geven twee grafische voorstellingen weer van dezelfde tweedelingsgraaf.

©VANIN

Om te onderzoeken of een graaf een tweedelingsgraaf is, ga je als volgt te werk. ED • Kleur een willekeurige knoop.

• Kleur de buren van die knopen in de eerste kleur. als je alle knopen met twee kleuren kunt aanduiden zonder dat buren dezelfde kleur krijgen, is het een bipartiete graaf.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 341

A C EB D instructiefilmpje

ABC ED

ABC ED

ABC ED

A C EB D

ABC

• Kleur alle buren van die knoop in een andere kleur.

eigenschap Een graaf is een tweedelingsgraaf als en slechts als je alle knopen met twee verschillende kleuren kunt aanduiden, zonder dat buren dezelfde kleur hebben.

Tegenvoorbeeld Deze graaf is geen tweedelingsgraaf, omdat knopen A en C buren zijn met dezelfde kleur.

• De knopen met dezelfde kleur behoren tot dezelfde groep. Dat wordt duidelijker als je ze groepeert.

43215 6 10879111213 342 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en REEKSOefeningenA 14 Onderzoek of de grafen tweedelingsgrafen zijn. a) AB DC EF d) A BD CE F r ja r nee r ja r nee b) ABD C FE e) AB EDCF r ja r nee r ja r nee c) AD BF CE f) AB DC E r ja r nee r ja r nee ©VANIN

• Janne wil graag een koffiekoek met rozijnen of een koffiekoek met appel.

• Papa heeft zin in een koffiekoek met pudding en chocolade of in een koffiekoek met rozijnen.

REEKS

a) Stel de situatie voor met een graaf.

Tweedelingsgrafen: REEKS

Dat levert het volgende overzicht op. De ‘x’ in de tabel toont wie interesse heeft in wie. 2 3 4 5 6 A x x B x x x x C x x D x x E x x x F x x

1

• Vic eet het liefst een koffiekoek met pudding en chocolade.

b) Is het mogelijk om op hetzelfde tijdstip voor iedereen een date in te plannen? Verklaar.

XL ©VANIN

• Grootmoeder verkiest rozijnen of pecannoten.

c) Zou het mogelijk zijn als persoon C bij persoon 4 naar rechts swipet? Indien ja, wie date dan met wie? C

b) Is het mogelijk om iedereen zijn voorkeur te geven? Wie eet welke koffiekoek? B 16

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 343 15

a) Stel de situatie voor met een graaf.

Via een datingapp swipen zes vrijgezellen (A, B, C, D, E, F ) naar rechts als ze interesse hebben, en naar links als zich minder aangetrokken voelen tot de persoon (1, 2, 3, 4, 5, 6).

In een gezin is iemand vroeg naar de bakker geweest. Die persoon heeft vier verschillende koffiekoeken meegenomen.

Het ontstaan van de grafentheorie wordt doorgaans gesitueerd in de achttiende eeuw, toen de Zwitserse wiskundige Leonhard euler het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen oploste.

Hij labelde de verschillende stadsdelen als A, B, C en D en stelde die voor als knopen. De bruggen stelde hij voor als bogen. A BD C

43215 6 10879111213 344 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.3 Eulergrafen 6.3.1

Het probleem vertaalt zich dus als volgt: is de graaf van Koningsbergen een eulergraaf?

Het probleem van de zeven bruggen luidt als volgt: is het mogelijk om een wandeling doorheen de verschillende stadsdelen A, B, C, D te maken waarbij je elke brug juist één keer gebruikt? Om dat probleem op te lossen, vertaalde euler het naar de onderstaande graaf.

Op de onderstaande kaart zie je een voorstelling van het Duitse Königsberg in 1651.

Het probleem van Koningsbergen

Door de stad stroomt de rivier Pregel, die het eiland Kneiphof omringt, en die zich verder opsplitst in twee armen. Om de verschillende stadsdelen met elkaar te verbinden, werden er zeven bruggen gebouwd over de rivier.

©VANIN

Vervolgens moest hij nagaan of het mogelijk is om alle bogen in de graaf van Koningsbergen precies één keer te doorlopen in een gesloten wandeling. een graaf die je op die manier kunt doorlopen, noem je een eulergraaf Het gesloten circuit dat je daarvoor gebruikt, noem je een eulercircuit

Met andere woorden: bestaat er een eulercircuit in die graaf?

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 345 6.3.2

eigenschap Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben. Eulergraaf Definitie Eulergraaf Een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit. Is het mogelijk om een wandeling te maken over de zeven bruggen van Koningsbergen?

noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?

eigenschap Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop. Verklaring een eulerspoor gaat precies één keer door alle bogen van de graaf. als je kijkt naar de knopen die niet aan de uiteinden van het spoor zitten, zie je dat elke keer als het spoor via een boog een knoop binnenkomt, het via een nog ongebruikte boog de knoop weer verlaat. Voor die knopen geldt dat zij een even graad hebben. alleen de twee eindpunten hebben een oneven graad. Eulercircuit Definitie Eulercircuit Een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt. noteer een eulercircuit onder elke graaf.

A BDCEFHGIKN L JM

©VANIN

Terminologie Eulerspoor Definitie Eulerspoor Een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt. noteer een eulerspoor onder elke graaf.

A BDCEFHGIJL K

noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?

3) als de wandeling nog niet alle bogen doorloopt, voeg dan net zolang omwegen toe totdat alle bogen precies één keer in het pad voorkomen.

Voorbeeld FGH CD ABE • De knopen met oneven graad zijn C en G FGH CD ABE • een wandeling tussen C en G is CFG FGH CD ABE • De bogen AB, BD, DC, CA, DE, EH, HG en GD zijn nog niet doorlopen. Je maakt daarom eerst de omweg CABDC en voegt die aan de wandeling toe. Je krijgt dan: CABDCFG FGH CD ABE • nu zijn de bogen DE, EH, HG en GD nog niet doorlopen. Je maakt daarom de omweg GDEHG en voegt die aan de wandeling toe. Je krijgt: CABDCFGDEHG FGH CD ABE nu heb je alle bogen precies één keer doorlopen.

instructiefilmpjeGeoGebra

1) Bij een eulerspoor neem je als begin- en eindpunt de knopen met een oneven graad. Bij een eulercircuit neem je als begin- en eindpunt één willekeurige knoop van de graaf.

©VANIN

43215 6 10879111213 346 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.3.3 Algoritme van Hierholzer een algoritme is een stappenplan met instructies dat beschrijft hoe je een bepaald probleem oplost. een recept om te koken of een handleiding om een kast in elkaar te zetten, zijn eenvoudige voorbeelden van algoritmes. Met dit algoritme bepaal je een eulerspoor of -circuit in een samenhangende graaf (als die aan de bijbehorende noodzakelijke voorwaarde voldoet).

2) Bepaal een wandeling tussen die twee knopen.

figuur 2: het dubbele kruishuis Plattegrond In een museum vindt een tentoonstelling plaats in zeven museumzalen en een hal.

b) Kun je een wandeling maken waarbij je elke doorgang precies één keer passeert en waarbij je begint en eindigt in de hal? noteer, indien mogelijk, de wandeling.

beginknoop eindknoop figuur 1: het kruishuis Bekijk de figuur hieronder. Is het mogelijk om op dezelfde manier een dubbel kruishuis te tekenen?

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 347 6.3.4 Toepassingen Tekenen een bekende puzzel is het ‘kruishuis’, ook wel de ‘geopende envelop’ genoemd. De bedoeling van de puzzel is om het plaatje te tekenen zonder je potlood van het papier te halen en zonder bogen dubbel te doorlopen.12 3 4 5 1 2 334 5 12 1 5 647 8 23

GeoGebra ©VANIN

a) Stel de situatie voor met een graaf en noteer bij elke knoop de graad.

43215 6 10879111213 348 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Stratenplan Hoe kun je zo efficiënt mogelijk de planning opmaken van de huisvuilophalers in een new Yorkse wijk? Voor de eenvoud veronderstel je dat de vuilniswagen langs beide kanten van een straat gelijktijdig het vuil kan ophalen. Om al het huisvuil in de straten op te halen, moet de vuilniswagen dus één keer door elke straat rijden. De vuilniswagen vertrekt vanuit A Bepaal het eulercircuit. ABC ESTD MFGHR NQ IJKOPL eulercircuit: ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 349 REEKSOefeningenA 17 Kun je in de volgende grafen een eulerspoor of eulercircuit tekenen? Vink aan. a) b) c) A BD EC FGHJINKM L r eulerspoor r eulercircuit r geen van beide r eulerspoor r eulercircuit r geen van beide r eulerspoor r eulercircuit r geen van beide 18 Kun je de volgende grafen tekenen zonder je pen op te heffen? Vink aan. Indien ja, noteer een wandeling die daaraan voldoet. a) b) c) d) A BD EC FGHJ XINKMYLSKM YL r ja r nee r ja r nee r ja r nee r ja r nee ©VANIN

43215 6 10879111213 350 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 19 Zijn de volgende grafen eulergrafen? Verklaar. a) graaf 1 c) graaf 3 AE CBDIGH FJ b) graaf 2 d) graaf 4 KL PNM O REEKS B 20 Kun je doorheen dit gebouw een wandeling maken waarbij je elke deur één keer passeert? Verklaar. AB D F CE Q TR US ©VANIN

Je bent detective en wordt gevraagd om de moord op een graaf op te lossen. Hieronder zie je de plattegrond van het verblijf van graaf Schola. De graaf werd vermoord in de zitkamer. De butler beweert dat hij gezien heeft hoe de tuinman vanuit de tuin de zitkamer binnenkwam en die even later weer verliet naar de tuin. De tuinman beweert echter dat hij niet de man kan zijn die de butler zag, want nadat hij het huis binnenging, ging hij precies één keer door elke deur. Vervolgens verliet hij het huis via een andere deur. Toon aan dat de tuinman liegt.

21

©VANIN

De onderstaande figuur toont de plattegrond van een spiegelpaleis in een amusementspark.

REEKS C 22

Zodra je een deur gepasseerd bent, sluit die automatisch. Zolang nog niet alle deuren in een kamer gesloten zijn, kun je de weg uit de kamer vinden. Is het altijd mogelijk om je weg uit het doolhof te vinden, of bestaat het risico dat je voor altijd in de spiegelhal opgesloten zit?

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 351

Als bezoeker start je bij de ingang en loop je door elke deur, totdat je de uitgang bereikt.

43215 6 10879111213 352 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 23 Op een afdeling werken zes personen. Er is één vergaderruimte beschikbaar. In de tabel geeft elke ‘x’ het paar personen weer dat moet vergaderen. Je wilt een schema voor de vergaderingen opstellen, waarbij van de twee deelnemers één deelnemer telkens ook deelneemt aan de volgende vergadering. Geen enkele persoon neemt deel aan drie opeenvolgende vergaderingen. anna Bart Chris Dina eric Fons anna x x x Bart x x x x Chris x x Dina x x x x eric x x x x Fons x x x a) Stel de situatie voor met een graaf. b) Hoeveel vergaderingen moeten er ingepland worden? c) Stel, indien mogelijk, een vergaderschema op. HamiltongrafenXL ©VANIN

©VANIN

BEH ACFI

De bogen stellen de mogelijke rioolbuizen voor met de afstanden tussen de aansluitpunten. DGJ

De bekendste zijn het algoritme van Kruskal en het algoritme van Prim.

• De deelgraaf bevat geen cykels. een deelgraaf die aan die voorwaarden voldoet, noem je een opspannende boom

Het netwerk moet verbonden zijn met de centrale afvoer in de wijk en alle huizen moeten aangesloten zijn op het netwerk.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 353 6.4 Minimaal opspannende boom 6.4.1 Probleemstelling

In een stad wordt een nieuwe wijk aangelegd. een aannemersbedrijf moet een offerte opstellen voor het rioolnetwerk.

• De deelgraaf bevat alle knopen van de oorspronkelijke graaf.

• De deelgraaf is samenhangend.

• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat;

Om de lengte van de rioolbuizen te beperken, zoek je een minimaal opspannende boom.

Welke buizen moet het bedrijf leggen?

Definitie Minimaal opspannende boom Een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:

• een boom met het kleinste totale gewicht.

Hieronder is de situatie schematisch weergegeven met behulp van een graaf.

24345623433 12

Om de kosten te drukken, wil het aannemersbedrijf zo weinig mogelijk rioolbuizen gebruiken.

De knopen zijn de aansluitpunten voor de huizen. Knoop A is de centrale afvoer.

Om dat probleem op te lossen, zoek je een deelgraaf van de graaf die aan een aantal eisen voldoet:

Om de minimaal opspannende boom te zoeken in een graaf, bestaan meerdere algoritmes.

43215 6 10879111213 354 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.4.2 Algoritme van Kruskal Het algoritme van Kruskal werkt als volgt: 1) Start met de boog met het kleinste gewicht. 2) Selecteer de boog met het kleinste gewicht die nog over is, en voeg die toe. Let op: als de boog met het kleinste gewicht een cykel creëert, duid je die aan in een andere kleur en neem je de volgende boog. 3) Ga zo verder met het toevoegen van bogen tot alle knopen verbonden zijn. Voorbeeld Bepaal met behulp van het algoritme van Kruskal de minimaal opspannende boom in deze graaf. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 • Bogen AD en CE met gewicht 5 zijn de kortste bogen. Je kiest er willekeurig een uit, in dit geval AD ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 • CE is de kortste nog niet gekozen boog. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 • DF is de kortste nog niet gekozen boog. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 instructiefilmpjeGeoGebra ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 355 • Bogen AB en BE met gewicht 7 zijn de kortste nog niet gekozen bogen. Je kiest willekeurig AB BD vormt met AB en AD een cykel. Die sluit je daarom uit in het verdere proces. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 • BE is de kortste nog niet gekozen boog. Sluit alle bogen (BC, DE en EF) die een cykel vormen, uit. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 • EG is de kortste nog niet gekozen boog. Daarmee zijn alle knopen verbonden. ABC DE FG 7 8 9511869 15 5 7 Toegepast op het rioolnetwerk Pas het algoritme toe op het rioolnetwerk uit de probleemstelling. BEH ACFI DGJ 24345623433 12 Hoeveel meter rioolbuizen zal de aannemer moeten leggen? ©VANIN

en C

C Die

Toegepast

24345623433 12 Knoop

GeoGebra ©VANIN

zijn,

43215 6 10879111213 356 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.4.3 Algoritme van Prim Het algoritme van Prim werkt als volgt: 1) Kies een knoop van de graaf en markeer die knoop.

is, is

• Je

, D en F BEH C AFI DGJ24345623433 12 • Zowel

A BEH C AFI DGJ24345623433 12 • De

4)

die

24345623433 12

24345623433 12

Opmerking: Dit algoritme biedt geen zekerheid over de minimale afstand.

2) Bekijk van elke gemarkeerde knoop zijn ongemarkeerde buren. Bepaal van elk van die buren de minimale afstand, via één boog, tot een gemarkeerde knoop.

• als je het algoritme verder afwerkt, vind je de volgende minimaal opspannende boom met een lengte van 23. BEH C AFI DGJ

3) Kies een ongemarkeerde knoop met de kortste minimale afstand. Markeer die knoop en de bijbehorende boog. Herhaal de stappen totdat alle knopen gemarkeerd zijn. op het rioolnetwerk kiest als beginpunt de centrale afvoer, knoop enige knoop die met de centrale afvoer verbonden knoop markeer je, evenals de boog tussen A De knopen met een gemarkeerde knoop verbonden zijn B B als F heeft de kortste afstand (3) tot een gemarkeerde knoop. Je kiest ervoor om B en de boog tussen B en C te markeren. De knopen die met een gemarkeerde knoop verbonden zijn, zijn D, E en F BEH C AFI DGJ F heeft afstand 3 (de minimale afstand) tot een gemarkeerde knoop. Je markeert dus F en de boog tussen C en F BEH C AFI DGJ

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 357 REEKSOefeningenA 24 Creëer een minimaal opspannende boom in de volgende grafen. a) A DC EB 569114756 b) D 4,89 ACF GE B 4,33 4,73 4,47 5,79 7,95 3,67 7,53 5,55 3,05 2,63 c) D 3,5 ACF GE B 6,03 6,8 5,79 3,216,37 6,77 3,05 7,95 6,13 4,07 ICT ©VANIN

43215 6 10879111213 358 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 25 In een nieuwbouwwijk moet er glasvezelkabel komen. In de onderstaande graaf zie je waar de kabels kunnen komen, met de bijbehorende afstanden (in m). a) Vind een netwerk waarin zo weinig mogelijk glasvezelkabel wordt gebruikt. BEH C AFI DGJ 24356553 5 43374 75 14 b) Hoeveel meter kabel moet minstens worden voorzien? REEKS B 26 In de tabel vind je de afstanden (in mijl) tussen zes plaatsen in Ierland. a) Teken een graaf en bepaal een routenetwerk waardoor de steden onderling verbonden zijn met een zo klein mogelijke afstand. athlone Dublin Galway Limerick Sligo Wexford athlone 78 56 73 71 114 Dublin 78 132 121 135 96 Galway 56 132 64 85 154 Limerick 73 121 64 144 116 Sligo 71 135 85 144 185 Wexford 114 96 154 116 185 b) Wat is de minimale afstand van het routenetwerk? Kortste padXL ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 359 6.5 Graafkleuringen

Je wilt de gebieden van een landkaart inkleuren, zodat twee aaneengrenzende gebieden een verschillende kleur krijgen. ‘aaneengrenzend’ betekent dat ze een stuk grens gemeen hebben en niet enkel een grenspunt.

2) Kleur de knopen zo zuinig mogelijk.

6.5.1

• als C wel met B, maar niet met A verbonden is, dan krijgt C dezelfde kleur als A, behalve als B al dezelfde kleur had als A Dan krijgt C een nieuwe kleur.

GeoGebra A DB AC DB AC DB C ©VANIN

Dat probleem kun je vertalen naar een grafenprobleem. Je voorziet voor elk gebied een knoop en je verbindt twee knopen met een boog als de gebieden aan elkaar grenzen. als je de knopen van een graaf wilt kleuren zodat elke twee buren een verschillende kleur hebben, hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?

• Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn.

• als A niet verbonden is met B, dan krijgt B dezelfde kleur als A

Francis Guthrie stelde in 1852 dat het mogelijk is om elke willekeurige landkaart in te kleuren met vier kleuren. In 1890 slaagde Percy Heawood erin om dat te bewijzen voor vijf kleuren. Pas in 1976 werd de vierkleurenstelling bewezen door appel en Haken met behulp van een computer. er is helaas geen efficiënt algoritme bekend om dat voor een willekeurige graaf te doen met een minimaal aantal kleuren. Wel zijn er snelle algoritmen die vaak, maar niet altijd, het minimale aantal kleuren opleveren.

1) noteer de graad van elke knoop. Kleur de knopen op volgorde van hun graad. De knoop met de hoogste graad kleur je eerst. Voor knopen met een gelijke graad kies je een willekeurige onderlinge volgorde.

Vierkleurenstelling

43215 6 10879111213 360 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Voorbeeld Zo pas je het algoritme toe op de kaart van België. • Je noteert de graad van elke knoop. 2 4 3 1 7 4 5 4 3 5 2 • Je kleurt de knoop met graad 7 (bv. geel). 2 4 3 1 7 4 5 4 3 5 2 • er zijn twee knopen met graad 5, dus je kiest willekeurig een van de knopen. De linkerknoop met graad 5 is een buur van de gele knoop, dus je moet een andere kleur gebruiken (bv. rood). 7 2 4 3 1 4 5 4 3 5 2 • De twee knopen met graad 5 zijn onderling niet verbonden, maar wel met de geel gekleurde knoop. Je kunt de kleur rood dus hergebruiken. 2 4 3 1 4 5 4 3 5 2 7 ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 361 • Twee knopen met graad 4 zijn verbonden met geel en rood gekleurde knopen, dus moet je een nieuwe kleur gebruiken (bv. groen). 2 4 3 1 4 5 4 3 5 2 7 • Voor de laatste knoop met graad 4 kun je de kleur geel hergebruiken. 2 4 3 1 4 5 4 3 5 2 7 • Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn. 2 4 3 1 4 5 4 3 5 2 7 Opmerking De volgorde waarin je knopen met dezelfde graad kiest, kan een verschillend resultaat opleveren. Kleur de knopen alfabetisch in. ACEG BDFHABCD EFGH aantal kleuren: aantal kleuren: ©VANIN

43215 6 10879111213 362 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 6.5.2 Planningsroosters Knoopkleuringen van grafen hebben ook nog andere toepassingen. Je kunt ze bijvoorbeeld gebruiken bij planningsproblemen, zoals het opstellen van lessenroosters en werkroosters.

Planningmoment 1 moment 2 moment 3

Is er bij dit voorbeeld een planning mogelijk met maar twee momenten?

Daarbij komen de zeven knopen overeen met het aantal taken. er staat een boog tussen twee taken als er minstens één leerling is die beide taken moet maken. A, B, CA, DB, C,BEC,D DEA, B, CA, DB, C,BEC,DDE 5 3 3 2 4 3 2 een correcte knoopkleuring (zoals op de tekening rechts) geeft een mogelijke planning, waarbij elke kleur overeenkomt met een moment.

Zijn er andere combinaties mogelijk met drie momenten? Opmerking Het kleurgetal van een graaf is het kleinste aantal kleuren dat nodig is om de graaf te kleuren. In dit geval is het kleurgetal 3.

©VANIN

Stel je voor dat vijf leerlingen A, B, C, D, E een aantal taken moeten maken. In totaal zijn er vijf groepstaken en twee individuele taken. er zijn groepstaken voor het trio A, B, C, voor de duo’s A, D ; B, E ; C, D en C, E en individuele taken voor de leerlingen B en D Hoeveel verschillende momenten zijn er minstens nodig om de taken af te werken, als op zo’n moment de leerlingen maar met één taak bezig mogen zijn? Je kunt die situatie voorstellen met een graaf.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 363 REEKSOefeningenA 27 Kleur de grafen in, zodat buren niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal. a) d) kleurgetal = kleurgetal = b) e) kleurgetal = kleurgetal = c) f) kleurgetal = kleurgetal = Vul aan. • alle grafen in deze kolom zijn • Is er een verband tussen het aantal knopen en het kleurgetal bij dat type grafen? g) kleurgetal = ©VANIN

43215 6 10879111213 364 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 28 Kleur de figuren zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal. a) e) kleurgetal = kleurgetal = b) f) kleurgetal = kleurgetal = c) g) kleurgetal = kleurgetal = d) h) kleurgetal = kleurgetal = ©VANIN

Kleur de figuur zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Gebruik maximaal vier verschillende kleuren.

©VANIN

Kleur de kaart zo in dat aangrenzende regio’s een andere kleur hebben. Gebruik daarbij zo weinig mogelijk verschillende kleuren.

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 365 REEKS B 29

30 Hieronder vind je een kaart van de regio’s van Frankrijk.

43215 6 10879111213 366 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 31 In een bepaalde regio installeerde men nieuwe zendmasten. Op de figuur krijg je een beeld van de plaats en het bereik van elke mast. Zendmasten waarbij het bereik overlapt, mogen niet op dezelfde frequentie uitzenden om storingen te vermijden. Hoeveel verschillende frequenties heb je minimaal nodig om zo weinig mogelijk storing te hebben? GHAB EC FD ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 367 REEKS C 32 In een vierde jaar kunnen de leerlingen uit zes sporten kiezen voor de sportdag. Ze mogen twee voorkeuren doorgeven aan de leerkracht LO. In de tabel vind je de keuzes van de leerlingen terug. Is het mogelijk om de sporten te verdelen over de volgende tijdstippen, zodat elke leerling aan zijn twee opgegeven voorkeuren kan deelnemen? Een activiteit duurt twee uur: • 8.30 – 10.30 uur • 10.30 – 12.30 uur • 13.30 – 15.30 uur handbal voetbal tennis hockey padel paardrijden Martha Martha Len emma Fons Jelle emma Len enya enya Otis Daan Fons Daan Otis Wilma Wilma Thierry Jelle Liv nore nore Thierry Loena Loena Julie Julie Fin Dirk Liv Fin Charlotte Charlotte Greet Greet Dirk a) Stel de situatie voor met een graaf. b) Stel een mogelijke planning op. 8.30 – 10.30 uur: 10.30 – 12.30 uur: 13.30 – 15.30 uur: ©VANIN

Verder zijn er bij elke taal leerlingen die ook aardrijkskunde of geschiedenis willen volgen.

43215 6 10879111213 368 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 33 Tijdens de week vóór de aanvang van een nieuw schooljaar zijn er op maandag, dinsdag, donderdag en vrijdag opfrissingscursussen voor wiskunde, natuurwetenschappen, aardrijkskunde, geschiedenis, Engels, Frans en Duits. Elke cursus duurt een volledige dag.

b) Stel de situatie voor met een graaf. c) Stel, indien mogelijk, een planning op. donderdagmaandagdinsdagvrijdag

Andere combinaties komen niet voor. Is het mogelijk om een planningsrooster op te stellen zodat elke leerling zijn gekozen cursus(sen) kan volgen? Elke opfrissingscursus gaat maar één keer door.

Er zijn drie docenten: de ene geeft zowel wiskunde als natuurwetenschappen, de andere geeft geschiedenis en aardrijkskunde, en de derde geeft de moderne vreemde talen. Sommige leerlingen willen twee vakken volgen. Zo zijn er leerlingen die wiskunde willen combineren met Frans, aardrijkskunde of geschiedenis.

©VANIN

Planningsroosters: Handelsreizigersprobleemverdiepingsoefeningof‘Travelling

Salesman Problem’ (TSP) XL XL

a) Stel de situatie voor met een tabel. docent 1 docent 2 docent 3 WI na aa Ge en Fr DU

Tot slot zijn er nog leerlingen die naast natuurwetenschappen ook Engels willen volgen.

Welk type wandeling legt hij het best af? Is dat mogelijk in deze graaf? Waarom (niet)? De postbode zal een of meer straten twee keer moeten passeren. Uiteraard wil hij de afstand zo kort mogelijk houden. Met dit algoritme kun je een minimale wandeling langs de bogen bepalen. Zoek alle knopen met een oneven graad:

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 369 6.6 Het Chinese postbodeprobleem 6.6.1 Probleemstelling een postbode wil zo snel mogelijk klaar zijn met zijn werk. Daarom zoekt hij de kortste route die begint en eindigt bij het postkantoor (A). De graaf geeft de situatie schematisch weer. De knopen stellen de kruispunten voor. De bogen stellen de straten met hun lengte voor. De postbode moet een wandeling vinden in de graaf GK HL IMDJBE ACFN 534432221 4 42622312 3 4 5 die alle straten doorloopt en begint en eindigt bij het postkantoor.

A, G, J en M. GK HL IMDJBE ACFN 534432221 4 42622312 3 4 5 GeoGebrainstructiefilmpje ©VANIN

•

6.6.2 Algoritme

43215 6 10879111213 370 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en • Bepaal de lengte van het kortste pad tussen elk paar knopen met een oneven graad. A G J M A 9 8 9 G 9 7 7 J 8 7 5 M 9 7 5 • Omdat er altijd een even aantal knopen met een oneven graad in een graaf is, kun je de knopen verdelen in paren. Bepaal alle mogelijke paren en lengtes. AG MJ paar 1 paar 2 totale lengte AJ: 8 GM: 7 15 AM: 9 GJ: 7 16 AG: 9 JM: 5 14 • Kies de opsplitsing met de kortste lengte: AG en JM Voeg aan de voorgaande graaf bogen toe om die knopen met elkaar te verbinden. GK HL IMDJBE ACFN 534432221 4 42622312 3 4 5 5 9 • De nieuwe graaf heeft nu enkel nog knopen met even graden. Je kunt dus een of meerdere eulercircuits bepalen in die graaf. ACBDCEFJN MJ IEDHIMLKGLH GA • aangezien de toegevoegde bogen geen bestaande wegen zijn, moet je die nog vervangen door het kortste pad tussen die knopen. • MJ Æ MIJ • GA Æ GHDECA • De kortste wandeling die de postbode kan maken, is: ACBDCEFJN MIJ IEDHIMLKGLH GHDECA De totale afgelegde afstand is 64 + 14 (dubbel gewandeld) = 78. ©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 371 REEKSOefeningenB 34 Bepaal een wandeling doorheen alle bogen. a) beginknoop A 10 148176 AB DC knopen met een oneven graad: wandeling:eulercircuit:opsplitsing:afstand: b) beginknoop F 3 2 9 3 10 9 5 5 8 4 FGH KJIL knopen met een oneven graad: wandeling:eulercircuit:opsplitsing:afstand: c) beginknoop G ABC FED G 15 7 3 15 92 6 7 8 4 6 2 knopen met een oneven graad: wandeling:eulercircuit:opsplitsing:afstand: ©VANIN

A FC BD E x136 7141112

c) Diezelfde terreinverzorger moet daarna ook de lijnen van het volgende veld trekken. De doelregio is een halve cirkel met straal 5. Bepaal een route waarbij hij een minimale afstand moet afleggen. Wat is de afstand? rond af op 0,01. 25 10 20 10 5 5 5 5 36 Deze graaf is een weergave van een routenetwerk tussen enkele steden 10 9 met de afstand tussen elke stad (in km). Je bent niet zeker van de afstand tussen steden D en F, maar je weet wel zeker dat het minder dan 13 km is. Bepaal de afstand tussen beide steden, als je weet dat de optimale route langs alle steden vanuit een stad, met als start- en eindpunt stad A, exact 100 km is.

ABC FED 25 25 25

43215 6 10879111213 372 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 35 Een terreinverzorger wil de lijnen witten van een minivoetbalveld met de volgende afmetingen (in m). ABC FED 25 25 25 25 20 20 20

b) Waar kan hij het best starten om met een zo minimaal mogelijke afstand de lijnen van het volledige veld te witten? Wat is dan de afstand?

©VANIN

a) Wat is de minimale afstand die hij moet afleggen, als hij start in punt A?

XYR PSQ

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 373 STUDIEWIJZER Grafen 6.1 Begripsvorming voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  +

©VANIN

• er tussen elk paar knopen juist één pad is; • de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf;

• elke boog een brug is.

een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt. een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten. een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten. een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen. een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen. een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal. een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft. een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt. een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog. De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop. een graaf G 1 is een deelgraaf van graaf G 2 als de knopen en bogen van G 1 ook knopen en bogen zijn van G 2 een boog in een graaf is een brug als de graaf door die boog samenhangend is. als je de brug wegneemt, is de graaf dus niet langer samenhangend. Isomorfe grafen zijn grafen met hetzelfde aantal knopen waarvan de knopen op dezelfde manier met elkaar verbonden zijn. een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is. een pad is een wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn. De knopen worden maximaal één keer doorlopen. een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop. een spoor is een wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. De bogen worden maximaal één keer doorlopen. een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. enkelvoudige grafen zijn complementair (of tegengesteld) als de eerste graaf bestaat uit alle bogen die er in de tweede graaf niet zijn, en omgekeerd. een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is. een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden. een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren. De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even. een boom is een samenhangende graaf zonder cykels. een graaf is een boom als en slechts als:

43215 6 10879111213 374 4 XL I HOOFDSTUK 6 I

Gra F en voor leerlingde voor leerkrachtde KUNNEN  +  +

6.2 Tweedelingsgrafen

een graaf indelen in de juiste categorie: enkelvoudige graaf, multigraaf, samenhangende graaf, gewogen graaf, gerichte graaf. In een graaf: • de graad van elke knoop bepalen; • de bruggen bepalen; • de verschillende deelgrafen tekenen en/of herkennen.

een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep. er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep.

Onderzoeken of grafen tweedelingsgrafen zijn. De stelling van Hall toepassen om te analyseren of een bepaalde planning mogelijk is. 6.3 Eulergrafen voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.

KUNNEN  +  +

Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).

Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop. een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.

Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben. een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit. KUNNEN  +  + Met behulp van eigenschappen analyseren of een graaf een eulerspoor of eulercircuit bevat. Met het algoritme van Hierholzer een eulerspoor of eulercircuit bepalen.

Onderzoeken (met ICT) of een graaf planair is. een boom herkennen met behulp van de eigenschappen.

©VANIN

KENNEN  +  +

Onderzoeken of twee grafen isomorf zijn. een wandeling indelen in de juiste categorie: pad, cykel, spoor, circuit. De tegengestelde graaf van een gegeven graaf tekenen.

©VANIN

4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en 375

Gebieden inkleuren met zo weinig mogelijk verschillende kleuren, zodat de aaneengrenzende gebieden verschillende kleuren hebben. een planningsrooster opstellen door de theorie van de graafkleuringen toe te passen.

6.4 Minimaal opspannende boom voor leerlingde voor leerkrachtde KENNEN  +  + een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:

• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat; • een boom met het kleinste totale gewicht. KUNNEN  +  + een minimaal opspannende boom bepalen in een gewogen graaf.

6.5 Graafkleuringen KUNNEN  +  +

6.6 Het Chinese postbodeprobleem KUNNEN –  + –  + een Chinees postbodeprobleem oplossen met behulp van het behandelde algoritme.

43215 6 10879111213 376 4 XL I HOOFDSTUK 6 I Gra F en Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen? ❑ concreet materiaal ❑ schets ❑ schema/tabel ❑ vereenvoudig ❑ gok verstandig ❑ filter ❑ patroon ❑ kennis ❑ logisch nadenken ❑ 1. Jan liegt altijd op maandag, dinsdag en woensdag, en niet op de overige dagen. Piet liegt altijd op donderdag, vrijdag en zaterdag, en niet op de overige dagen. Op een dag zegt Jan tegen Piet: ‘Morgen zal ik liegen.’ Piet reageert: ‘Morgen zal ik ook liegen.’ Op welke dag vond dat gesprek plaats? 2. Mieke, Lotte, Jef, Leo en Fleur zijnde vijf kinderen van Stijn. Stijn heeft in totaal vijftien kleinkinderen.Mieke is de tante van dertienvan die kleinkinderen,Lotte de tante van twaalf,Jef de nonkel van elfen Leo de nonkel van tien. Hoeveel kinderen heeft Fleur? 3. Wat is de som van alle getallen van rij 1 tot en met rij 2 022 in de volgende tabel? rij 1 1 rij 2 1 –1 rij 3 1 –1 1 rij 4 1 –1 1 –1 rij 5 1 –1 1 –1 1 ... 4. Maurenz rijdt van eennaarKalmthoutSnellegem,trajectvan130 km. Het eerste uur rijdt hij 10 km/h. Hij verdubbelt elk uur zijn snelheid. Hoelang doet hij erover om Snellegem te bereiken (in minuten)? ©VANIN

PIENTER REMEDIËREN ©VANIN

Overzicht van alle remediëringsoefeningen (ROEF) per hoofdstuk (deel 1) 1 2 3 4 5 6 14 3 11 14 13 17 18 4 14 20 15 24 21 13 23 32 16 27 26 14 39 17 34 27 15 19 28 21 24 44 25 45 35 58 36 ©VANIN

EXTRA LEERSTOF ©VANIN

Overzicht Extra Leerstof bestandsnaam hoofdstuk pagina ❑ De discriminantformule afleiden via de eigenschap van de som en het product van de twee wortels 2 129 ❑ Volledig binaire bomen 6 338 ❑ Tweedelingsgrafen: REEKS C 6 343 ❑ Hamiltongrafen 6 352 ❑ Kortste pad 6 358 ❑ Planningsroosters: verdiepingsoefening 6 368 ❑ Handelsreizigersprobleem of ‘Travelling Salesman Problem’ (TSP) 6 368 ©VANIN