Pienter 5 & 6 (editie 2023) Goniometrie & vectoren

VA

© N IN

IN Goniometrie en Vectoren

©

VA

N

Derde graad D/A

Dirk Taecke Thierry Van den Ouwelant MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Tom Van der Auwera Martine Verrelst Stephan Wellecomme

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter derde graad.

Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

N

IN

Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 2 schooljaren.

Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.

VA

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën.

Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.

In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen.

Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

©

© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2023

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Credits p. 16 hoofdkwartier Apple © Droneandy / Shutterstock, p. 26, 40 en 110 vragen JWO en VWO © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, p. 79 valschermspringer © Alvydas Kucas / Shutterstock, p. 93 racewagen © HodagMedia / Shutterstock Eerste druk 2023 ISBN 978-94-647-0020-6 D/2023/0078/184 Art. 604934/01 NUR 120

Ontwerp cover: KaaTigo Ontwerp binnenwerk: fikfak Tekeningen: Dirk Vandamme Zetwerk: Crius Group

Inhoudsopgave 4

Hoe werk je met iDiddit?

6

Hoofdstuk 1

De goniometrische cirkel

7

Hoofdstuk 2

De sinusfunctie

27

Hoofdstuk 3

De algemene sinusfunctie

41

Hoofdstuk 4

Vectoren

©

VA

N

IN

Hoe werk je met Pienter?

71

Hoe werk je met Pienter?

Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon.

Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

1.1

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

1.1

Georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel

1.1.1

Georiënteerde hoeken

Georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel

8

1.2

Radialen

12

1.3

Goniometrische getallen van een hoek

19

Studiewijzer

24

Pienter problemen oplossen

26

IN

Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en

het eindbeen van de hoek aanduidt.

GEOGEBRA

1.3.2 Verwante hoeken 1.1.2 De goniometrische cirkel B

• Is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

Tegengestelde hoeken GEOGEBRA

Definitie VIDEO

A

y 1 Ey

+ –

∧

De hoek C AB is een positieve hoek.

Je voorziet het vlak van • Is deeen hoek georiënteerdassenstelsel. in wijzerzin, Dat wil zeggen orthonormaal

Tegengestelde Choeken

dan dat noem de hoek negatief. dejeassen loodrecht op elkaar staan en

een som gelijke eenheid hebben. kwadrant kwadrant I als en slechtsDe B AC is negatieve Twee hoeken zijnII tegengesteld alshoek hun deeen nulhoek is. hoek.

Het snijpunt van de assen noteer je met de letter O Ex x O (de oorsprong van het assenstelsel).

–1 1 Waarom neem je tegenwijzerzin als positief?

In symbolen De verklaring is eenvoudig: in het heelal draaien kwadrant III kwadrant IV De assen x en y verdelen het vlak in vier gebieden: alle=objecten a en b zijn tegengesteld ⇔ a + b = 0º +zowat k  360º k  360ºin tegenwijzerzin. b = in – ategenwijzerzin + k  360º de kwadranten.

Die ⇔ worden Hemellichamen draaien in tegenwijzerzin om hun as en genummerd a + b = (0 + k  2 p ) rad = k  2pmet rad Romeinse ⇔ b =cijfers.

– a + k  2p rad ⇔ om andere hemellichamen.

–1 De assen zelf behoren niet tot een kwadrant.

Venus is daarbij een uitzondering. Die planeet draait wijzerzin om haar as.

Goniometrische getallen van tegengesteldeinhoeken Waarom draaien de wijzers van een uurwerky dan anders?

Goniometrische cirkel 1 De eerste uurwerken waren zonnewijzers en op aarde zie Stel: A en A’ zijn de beeldpunten van demet tegengestelde De goniometrische cirkel is de cirkel middelpunt O schijnbare en straal 1.beweging maken van het oosten A je de zon een sin α hoeken a en – a + k  360º (of (– a + k  2p) rad) het zuiden naar het westen.

A en A’ liggen symmetrisch ten opzichte vanover de x-as.

Heb je er trouwens al op gelet dat hoek er bij baansporten Voorstelling vangelijke een georiënteerde Ze hebben dus x-coördinaten en op de goniometrische cirkel α x cos α altijd in tegenwijzerzin gekoerst wordt? tegengestelde y-coördinaten. cos (–α) 1 –1 O –α y de meeste mensen, ook linkshandigen, Dat is omdat Om een georiënteerde hoek a voor te stellen rechtsbenig zijn. Daarom zorgt een baan op de goniometrische cirkel, construeer je ) cos a + k  360 º) = cos a cos zo a dat het beginbeensinsamenvalt cos (– a + k  2p (–α) die (– ‘linksom’ genomen wordt, de = hoek α A' (– a +1kEy 360º) = – sin a (– a + k  2p) = – sin a sin sin voorAeen meer natuurlijke manier van bewegen. met de positieve x-as.

P –1 de hoek a.

Het eindbeen bepaalt dan volledig α Ex x Het snijpunt A van het eindbeen en O Supplementaire hoeken Een hoek C AB kun je op twee manieren voorstellen.

–1 georiënteerde 1 de goniometrische cirkel is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

Supplementaire hoeken positieve oriëntatie negatieve oriëntatie –1 Twee hoeken zijn supplementair als en slechts alsElke hungeoriënteerde som de gestrekte hoekhoek heeftis.juist één beeldpunt en met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen.

In symbolen

VIDEO

Definitie

Besluit

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.

Je leert ook eigenschappen bewijzen.

VA

∧

Definitie

VIDEO

Na elk stuk meteen a en btheorie zijn hoeken supplementair ⇔je agraden + b = 180º + k oefenen.  360º ⇔ b = 180º – a + k  360º Meten van in kun zestigdelige Oefeningen (p + k  2p) rad ⇔ b = (p – a + k  2p) rad a + b = moeilijk. ⇔ Niet alle oefeningeny zijn even Bij het eenheidspunt E van de x-as 60 reeksen: Ze zijn opgedeeld in90E drie plaats je de getallen 0 en 360.

45 y REEKS A B

B

A

+

–

A

x

C

y

C

A 1 Goniometrische getallen van supplementaire hoeken 30 Verder verdeel je de goniometrische cirkel

1

in 360 gelijke delen: graden (º).1 – α)Insinwelk α sin (180° kwadrant liggen de beeldpunten van de gegeven hoeken?

A

Je ziet twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde.

REEKS A toepassingen Stel: A en A”eenvoudige zijn de beeldpunten van de supplementaire hoeken a a) 103º Neem een willekeurige georiënteerde hoek a 180

2

O

α

Ex 0 360

x

A”

180° – α

en 180º – a + k  360º (of (p – a + k  2p) rad)

3

4

8

Notatie met beeldpunt A op de goniometrischeα cirkel.

A en A” liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as.

–1 cos (180° – α) O cos α Georiënteerde hoeken wordenx-coördinaten meestal met een letteréén aangeduid: a, b360[ , g ...overeen.

Met Griekse A komt juist getal in [0, Ze hebben dus tegengestelde en kleine b) –55º 270 Dat getal noem je het maatgetal van a gelijke y-coördinaten.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL in zestigdelige graden.

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

x

c) 213º

e) –53º18’45”

d) –308º30’

f) 171º33’14”

1

–1

Stel bijvoorbeeld dat het maatgetal van a gelijk is aan 53,31. Dan noteer je: a = 53,31º.

2 Bepaal de hoofdwaarde van de gegeven georiënteerde hoeken. ) = –onderverdeeld, cos (180º – a +niet k  360º cos a cos (p – a + k  2p) = – cos a Graden worden decimaal maar zestigdelig.

(180º )= sin (p – a + k  2p) = sin a – a + k en 360º sin(seconden). a 1ºsin = 60’ (minuten) 1’ = 60” a) 310º d) –275º34’ Zet de hoekgrootte van a om naar graden, minuten en seconden: a = Seconden worden wel decimaal onderverdeeld. b) –500º e) 555º46’12”

©

1

Besluit

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

2 3

4

20

Op iDiddit vind je extra oefeningen.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

c) 818º23’ GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

ICT

9

f) –908º25’51”

REEKS B 3

Een fietswiel heeft een diameter van 70 cm.

Je verplaatst de fiets over een afstand van 3 m.

Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, Over welke hoek is het wiel gedraaid? Rond af op 1". bv. Excel, GeoGebra …

Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

4

7

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.

N

∧

Een satelliet draait op een hoogte van 30 000 km in een cirkelvormige baan om de aarde.

De snelheid bedraagt 10 800 km/h. De straal van de aarde is 6 371 km.

Over welke hoek draait de satelliet op één dag? Rond af op 1".

XL

Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.

STUDIEWIJZER De goniometrische cirkel 1.1

voor de leerling

Georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De assen x en y verdelen het vlak in vier gebieden: de kwadranten.

De assen zelf behoren niet tot een kwadrant.

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1.

IN

Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

Is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

Is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer.

Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Om een georiënteerde hoek a voor te stellen op de goniometrische cirkel, construeer je de hoek zó dat het beginbeen samenvalt met de positieve x-as.

Het eindbeen bepaalt dan volledig de hoek a.

Het snijpunt A van het eindbeen en de goniometrische cirkel is het beeldpunt van a op de goniometrische cirkel.

Elk hoofdstuk sluit afkunmet deveelrubriek ‘Pienter problemen oplossen’. Het is aan jou om aan de hand Bij elk punt van de goniometrische cirkel je oneindig hoekgroottes plaatsen.

Als a één van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a + k  360º (met k ∈ z). van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

Georiënteerde hoeken worden bepaald door hun beeldpunt op de goniometrische cirkel.

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is de hoekgrootte in ]-180º, 180º].

Omwentelingshoeken worden bepaald door hun maatgetal.

KUNNEN

–  + –  +

VAN IN Plus is hoeken het enhandig dat jeomschrijven extra lesinformatie of een videofragment zelf kunt bekijken of Het verschil tussenSoms georiënteerde omwentelingshoeken en gebruiken in toepassingen. beluisteren opbepalen. je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek pagina.

VAN1.2 IN Radialen Plus

N

Werken met de goniometrische cirkel als referentiekader voor georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken.

KENNEN

–  + –  +

Eén radiaal (1 rad) is de grootte van een middelpuntshoek van de goniometrische cirkel die overeenkomt met een boog met booglengte 1.

p rad = 180º

180º 1 rad = _

p

p rad 1º = _ 180

Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel maatgetallen in radialen.

Als a = x rad, dan a = (x + k  2p) rad (met k ∈ z).

VA

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek heeft een maatgetal in ]–p,p].

KUNNEN

Hoeken omzetten van radialen naar zestigdelige graden en omgekeerd.

Werken met hoeken in radialen bij fysische toepassingen.

1

2 3

4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

©

24

–  + –  +

Het onlineleerplatform bij Pienter derde graad Mijn lesmateriaal Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals Excelbestanden, filmpjes, GeoGebra-toepassingen, extra oefeningen ...

IN

Extra materiaal Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend audio- of videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, een extra bron of een leestekst.

Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau.

Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.

N

Opdrachten Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

VA

Evalueren Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen?

Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

©

Notities Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud?

Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten?

Ga naar www.ididdit.be

HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

1.1

Georiënteerde hoeken op

1.2 1.3

8

IN

de goniometrische cirkel Radialen

12

Goniometrische getallen van een hoek

19

24

Pienter problemen oplossen

26

©

VA

N

Studiewijzer

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

7

1.1

Georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel

1.1.1

Georiënteerde hoeken Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

GEOGEBRA

• Is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin,

B

dan noem je de hoek positief. ∧

• Is de hoek georiënteerd in wijzerzin,

IN

A

De hoek C AB is een positieve hoek.

+ –

dan noem je de hoek negatief.

C

∧

De hoek B AC is een negatieve hoek.

VA

N

Waarom neem je tegenwijzerzin als positief?

De verklaring is eenvoudig: in het heelal draaien zowat alle objecten in tegenwijzerzin.

Hemellichamen draaien in tegenwijzerzin om hun as en om andere hemellichamen.

Venus is daarbij een uitzondering. Die planeet draait in wijzerzin om haar as.

Waarom draaien de wijzers van een uurwerk dan anders?

De eerste uurwerken waren zonnewijzers en op aarde zie je de zon een schijnbare beweging maken van het oosten over het zuiden naar het westen.

Heb je er trouwens al op gelet dat er bij baansporten altijd in tegenwijzerzin gekoerst wordt?

Dat is omdat de meeste mensen, ook linkshandigen, rechtsbenig zijn. Daarom zorgt een baan die ‘linksom’ genomen wordt, voor een meer natuurlijke manier van bewegen. ∧

Een georiënteerde hoek C AB kun je op twee manieren voorstellen.

©

positieve oriëntatie

B

B

A

+

– C

1

negatieve oriëntatie

A C

Je ziet twee voorstellingen van dezelfde georiënteerde hoek, want het begin- en eindbeen zijn hetzelfde.

2 3

Notatie

4

Georiënteerde hoeken worden meestal met een kleine Griekse letter aangeduid: a, b, g ...

8

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

1.1.2 De goniometrische cirkel y 1 Ey

VIDEO

kwadrant II

kwadrant I Ex

O –1

x

1 kwadrant III

kwadrant IV

De assen x en y verdelen het vlak in vier gebieden: de kwadranten. Die worden in tegenwijzerzin genummerd met Romeinse cijfers.

De assen zelf behoren niet tot een kwadrant.

IN

–1

Definitie

Je voorziet het vlak van een orthonormaal assenstelsel. Dat wil zeggen dat de assen loodrecht op elkaar staan en een gelijke eenheid hebben.

Het snijpunt van de assen noteer je met de letter O (de oorsprong van het assenstelsel).

Goniometrische cirkel

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1.

Voorstelling van een georiënteerde hoek op de goniometrische cirkel y

1 Ey α O

–1

P

Ex 1

x

VA

–1

α

N

A

Om een georiënteerde hoek a voor te stellen op de goniometrische cirkel, construeer je de hoek zo dat het beginbeen samenvalt met de positieve x-as.

Het eindbeen bepaalt dan volledig de hoek a.

Het snijpunt A van het eindbeen en de goniometrische cirkel is het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel.

Elke georiënteerde hoek heeft juist één beeldpunt en met elk punt op de goniometrische cirkel komt juist één georiënteerde hoek overeen.

Meten van hoeken in zestigdelige graden y 90 Ey

©

180

O

270

60

A 45

α

30

Ex 0 360

x

Bij het eenheidspunt ​​E​x​​​ van de x-as plaats je de getallen 0 en 360.

Verder verdeel je de goniometrische cirkel in 360 gelijke delen: graden (º).

Neem een willekeurige georiënteerde hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel.

Met A komt juist één getal in [0, 360[ overeen.

Dat getal noem je het maatgetal van a in zestigdelige graden.

Stel bijvoorbeeld dat het maatgetal van a gelijk is aan 53,31. Dan noteer je: a = 53,31º.

Graden worden niet decimaal onderverdeeld, maar zestigdelig.

1º = 60’ (minuten) en 1’ = 60” (seconden).

Zet de hoekgrootte van a om naar graden, minuten en seconden: a = Seconden worden wel decimaal onderverdeeld.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

9

1.1.3 Georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken y 450 90 –270 VIDEO

540 180 –180

Neem de georiënteerde hoek a ​ = 60º​ met beeldpunt A op de goniometrische cirkel.

420 –300 60 A 45 405 –315 30 390 –330 α

O

–360 0 360 720

x

Algemeen

Roteer je de halfrechte ​​[OA​​ één of meerdere volledige cirkelomwentelingen in wijzerzin, dan kun je ook een hoekgrootte –300º, –660º ... toekennen aan ​a​.

IN

–90 270 630

Roteer je de halfrechte ​​[OA​​ één of meerdere volledige cirkelomwentelingen in tegenwijzerzin, dan kun je ook een hoekgrootte 420º, 780º ... toekennen aan ​a​.

Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen.

Als a ​ ​één van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a ​ + k  360º (met k ∈ z)​.

Voorbeeld De afstand van het middelpunt van een stopwatch tot het uiteinde van de wijzer is 5 cm. Je volgt dat uiteinde gedurende 8 minuten.

N

• Welke afstand heeft het punt afgelegd? Rond af op 1 mm.

• Over welke hoek is hij gedraaid?

VA

De berekende hoek a heeft hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel als de hoek ​b = 0º​.

Als je a en b aan elkaar gelijk zou stellen, dan zou dat betekenen dat de wijzerpunt niet bewogen is in die 8 minuten.

Je maakt daarom een onderscheid tussen twee soorten hoeken.

Georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken georiënteerde hoeken

omwentelingshoeken

©

Georiënteerde hoeken worden bepaald Omwentelingshoeken worden bepaald door hun beeldpunt op de goniometrische cirkel. door hun maatgetal.

1 2

Stel: a ​ = – 300º en b = 60º​ a en b zijn gelijke georiënteerde hoeken want ze hebben hetzelfde beeldpunt.

Stel: ​a = – 300º en b = 60º​ a en b zijn verschillende omwentelingshoeken want ze hebben een verschillend maatgetal.

In meetkundevraagstukken werk je met georiënteerde hoeken.

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is de hoekgrootte in ]–180º, 180º].

Om fysische verschijnselen met een periodiek karakter of bewegingen te beschrijven, werk je met omwentelingshoeken.

Als het niet nodig is een onderscheid te maken, spreek je kortweg over ‘een hoek’.

3 4

10

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

Oefeningen REEKS A

a) 103º

c) 213º

e) –53º18’45”

b) –55º

d) –308º30’

f) 171º33’14”

Bepaal de hoofdwaarde van de gegeven georiënteerde hoeken. a) 310º

b) –500º

c) 818º23’

REEKS B

d) –275º34’

e) 555º46’12”

f) –908º25’51”

Een fietswiel heeft een diameter van 70 cm.

Je verplaatst de fiets over een afstand van 3 m.

Over welke hoek is het wiel gedraaid? Rond af op 1".

VA

3

IN

2

In welk kwadrant liggen de beeldpunten van de gegeven hoeken?

N

1

©

4

Een satelliet draait op een hoogte van 30 000 km in een cirkelvormige baan om de aarde.

De snelheid bedraagt 10 800 km/h. De straal van de aarde is 6 371 km.

Over welke hoek draait de satelliet op één dag? Rond af op 1".

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

11

1.2

Radialen

1.2.1 Definitie

GEOGEBRA

Definitie

y 2

De omtrek van een cirkel met straal r is gelijk aan ​2p  r​.

Een cirkel bevat dus ​2p​bogen met een booglengte gelijk aan de straal van de cirkel.

r 1 rad r

3

Radiaal 4 5

IN

VIDEO

1.2.2 Omzettingsformules

De omtrek van een cirkel komt overeen met ​2p​rad en met 360º.

Dus: 2 ​ p rad = 360º ⇔ p rad = 180º​

N

p 180º _ ​p rad = 180º 1 rad = ​ _ p ​ 1º = ​ 180 ​ rad​

180º Vul aan: 1 rad = ​​ _ p ​ =​ Voorbeelden

VA

• Noteer de maatgetallen van de hoeken in radialen. Gebruik maatgetallen in [​​ 0, 2p ]​​.

©

180°

1 2 3 4

12

2π 6

Eén radiaal (1 rad) is de grootte van een middelpuntshoek van een cirkel die overeenkomt met een boog met booglengte gelijk aan de straal van de cirkel.

Formule

1

y

90° 60° 45° 30°

0° 360°

O

270°

p ​ rad = _ ​30º = 30  ​ _ ​ p ​ rad​ 180 6

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

x

x

• Zet om naar zestigdelige graden. Rond, indien nodig, af op 1". ____ ​​ 2p ​ rad =​ 3

​2,15 rad =​

• Zet om naar radialen. Rond, indien nodig, af op 0,001 rad. ​84º =​

​–105º 46'17" =​

IN

3p ​rad en b = ​ _ 21p ​ rad​.

• Gegeven zijn de georiënteerde hoeken a ​ = – ​ _ 4 4 Waarom is a ​ = b​?

Algemeen

Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel maatgetallen in radialen.

Als a ​ = x rad​, dan ​a = ​(x + k  2p)​ rad​ ​(met k ∈ z)​.

N

Vanaf nu stelt k bij berekeningen altijd een geheel getal voor.

Hoofdwaarde van een georiënteerde hoek in radialen

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek heeft een maatgetal in ​​]– p, p]​​.

Bepaal de hoofdwaarde van

VA

65p a = ​ _ ​ rad​: • ​ 6

b = –17,326 rad​: • ​

©

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

13

1.2.3 Toepassingen Draaihoek a bij een cirkelvormige beweging Een 19-inch wiel van een auto heeft een diameter van 62 cm, de dikte van de band inbegrepen.

Je verplaatst de auto over een afstand van 5 m. Bereken de grootte van de draaihoek in radialen op 0,001 rad en in zestigdelige graden op 1” nauwkeurig.

• 1 cm komt overeen met

rad

Omzetting naar zestigdelige graden:

Booglengte s van een cirkelboog

⇒

⇒

komt overeen met 1 rad.

500 cm komt overeen met

rad ≈

y

N

Een hoek van 1 rad is de middelpuntshoek van een boog met lengte r.

Een hoek van x rad komt dus overeen met een boog met lengte x  r.

Voorbeeld

rad.

IN

• r=

r

x·r

x rad

1 rad

r

x

De afstand van het middelpunt tot het uiteinde van de grote wijzer van een keukenklok is 15 cm.

Welke afstand legt dit uiteinde af tussen 9h30 en 10h20? Rond af op 1 mm.

Het verband tussen s en a is: s = r  a.

VA

• Bereken de hoek in radialen:

• Bereken de afgelegde weg:

Hoeksnelheid v en baansnelheid v bij een cirkelvormige beweging

©

Het internationaal ruimtestation ISS bevindt zich op 418 km boven het aardoppervlak en doet één volledige omwenteling in 93 min.

De straal van de aarde is 6371 km. Bereken de hoeksnelheid v (in rad/h) en de baansnelheid v (in km/h). Rond telkens af op 0,001.

Het verband tussen v en v is: v = r  v

1 2 3 4

14

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

Oefeningen REEKS A 5

Zet om naar zestigdelige graden. a) _ ​​ p ​ rad 5

=​

4p ​ rad =​ d) ​– ​ _ 9

=​

f) _ ​​ 56p ​ rad =​ 15

c) _ ​​ 5p ​ rad 2

Zet om naar radialen. a) 18º b) ​– 225º c) 100º

7

=

=​

=

=​

e) 105º

f) ​– 432º

=​

=

=​

Zet om naar zestigdelige graden. Rond af op 1”. =

d) ​15,265 rad =​

=​

f) 0,001 rad =

VA

a) 2,6 rad

b) ​– 0,17 rad =​ c) _ ​​ 2p ​ rad 11

19p e) ​– ​ _ ​ rad =​ 7

Zet om naar radialen. Rond af op 0,001 rad.

©

8

d) ​– 840º

N

6

e) _ ​​ 17p ​ rad 6

IN

3p ​ rad =​ b) ​– ​ _ 10

a) 18º12’50”

=

b) ​– 154º 37’28” =​

c) 398°25’36” = d) –72°30” e) 53’44”

= =

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

15

REEKS B Het hoofdkwartier van Apple is een cirkelvormig gebouw met een diameter van 470 m. Jack loopt op een pad rondom het gebouw en heeft op een bepaald ogenblik 3 km afgelegd.

Bereken de grootte van zijn draaihoek in radialen en in zestigdelige graden. Rond af op 0,001 rad en op 1''.

10

Een printer heeft een papierrol met een diameter van 3,5 cm.

Een blad papier met A4-formaat heeft een lengte van 29,7 cm.

Over welke hoek, in radialen en in zestigdelige graden, is de papierrol gedraaid als het volledige vel papier door de printer is gegaan?

Rond af op 0,001 rad en op 1”.

11

Ahmed, Beatrijs en Clara lopen op een cirkelvormige baan.

Hun afgelegde weg in één minuut wordt aangegeven in de onderstaande figuren.

Wie van de drie liep de grootste afstand?

VA

N

IN

9

sB

sA

©

α = 310°

55 m

1 2 3 4

16

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

sC

γ = 330°

β = 300°

50 m 60 m

12

Bepaal de straal van een katrol als bij een rotatie over een hoek van 75º de last 8 cm omhoog wordt gehesen. Rond af op 1 mm.

noordpool meridiaan van Greenwich breedte

evenaar

IN

Om een plaats te bepalen op aarde, gebruikt men geografische coördinaten.

Die kun je vergelijken met de coördinaten in de wiskunde.

De evenaar is een referentie voor de breedtegraden, de Greenwich-meridiaan voor de lengtegraden.

Beide soorten graden zijn zestigdelig.

lengte

zuidpool

Brussel en Kiev liggen ongeveer op dezelfde noorderbreedte, namelijk 51º.

Brussel ligt op 4º20’ oosterlengte en Kiev op 30º28’.

Bereken de afstand tussen beide steden. Rond af op 1 km.

De straal van de breedtecirkel is 4 030 km.

VA

N

13

Soetkin loopt op een cirkelvormige baan met een straal van 75 m.

Na 1 minuut heeft ze een hoek van 215º overbrugd.

s

a) Welke afstand heeft ze afgelegd? Rond af op 1 mm.

215°

©

14

75 m

b) Bereken de hoeksnelheid (in rad/s). Rond af op 0,000 01 rad/s.

c) Bereken de baansnelheid (in m/s). Rond af op 0,01 m/s.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

17

REEKS C 15

De aarde maakt één volledig omwenteling om haar as in 23 h 56 min 4 s.

Yazid bevindt zich op de evenaar. De straal van de evenaar is 6 378 km. a) Bereken zijn hoeksnelheid. Rond af op 0,0001 rad/h.

b) Bereken zijn baansnelheid. Rond af op 1 km/h.

16

IN

De afstand van het uiteinde van de grote wijzer van een keukenklok tot het middelpunt van de klok is 12 cm. Bij de kleine wijzer is dat 9 cm.

Bereken voor beide wijzers de baansnelheid van het uiteinde. Rond af op 0,01 mm/min.

VA

N

17

Je rijdt aan 25 km/h met een fiets waarvan de velgen van de wielen een diameter hebben van 68 cm.

Bereken de baansnelheid van de basis van het ventiel. Rond af op 1 cm/s.

©

1

2 3 4

18

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

1.3

Goniometrische getallen van een hoek

1.3.1 Cosinus en sinus van een hoek y

Gegeven: een hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel.

A

1 sin α

GEOGEBRA

VIDEO

Cosinus en sinus cos a = de x-coördinaat van A sin a = de y-coördinaat van A

–1

Dus: co(A) = (cos a, sin a) en

cos α

α

x

1

–1

Gevolg van de definitie – 1 ⩽ cos a ⩽ 1

O

IN

Definitie

–1 ⩽ sin a ⩽ 1

Enkele bijzondere waarden en teken van cosinus en sinus º

0

rad

0

cos a sin a

90

p ___ 2

II

VA

Afspraak

I

180

III

p

N

a

270 3p _ 2

IV

360 2p

Als je werkt met hoeken in radialen, hoef je de eenheid niet te vermelden.

Met andere woorden: cos x = cos (x rad) en sin x = sin (x rad) Berekenen van goniometrische getallen

Zorg er altijd voor dat je rekenmachine in de juiste modus staat.

Voor zestigdelige graden is dat DEG, voor radialen RAD.

©

• Bereken op 0,000 01 nauwkeurig: sin 63º18’43” ≈

• Bereken a op 1” nauwkeurig als cos a = – 0,55 en a ∈ II :

a≈

• Bereken op 0,000 01 nauwkeurig: sin 4,5 ≈

• Bereken a op 0,000 01 nauwkeurig als sin a = 0,185 en a ∈ I :

a≈

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

19

1.3.2 Verwante hoeken Tegengestelde hoeken GEOGEBRA

Definitie

Tegengestelde hoeken Twee hoeken zijn tegengesteld als en slechts als hun som de nulhoek is.

VIDEO

In symbolen

a en b zijn tegengesteld ​⇔ a + b = 0º + k  360º = k  360º ⇔

a + b = (0 + k  2p) rad = k  2p rad

Goniometrische getallen van tegengestelde hoeken

1 y

Stel: A en A’ zijn de beeldpunten van de tegengestelde hoeken ​a en – a + k  360º​(of (​ – a + k  2p) rad​) A en A’ liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as.

Ze hebben dus gelijke x-coördinaten en tegengestelde y-coördinaten. cos (–​ ​a + k​ ​360​º​) = cos a ​sin​ (– a + k  360º)​ = – sin a​

A

sin α

α

O

–1

​cos​ (– a + k  2p)​ = cos a​ ​sin​ (– a + k  2p)​ = – sin a​

–α

cos α cos (–α)

sin (–α)

N

Besluit

b = – a + k  2p rad​

⇔

IN

b = – a + k  360º

⇔

x 1

A'

–1

Supplementaire hoeken

Supplementaire hoeken

VA

Definitie

Twee hoeken zijn supplementair als en slechts als hun som de gestrekte hoek is.

VIDEO

In symbolen

a en b zijn supplementair ​⇔ a + b = 180º + k  360º

⇔ a + b = ​(p + k  2p)​ rad

⇔ b = 180º – a + k  360º

⇔ b = ​(p – a + k  2p)​ rad​

©

Goniometrische getallen van supplementaire hoeken Stel: A en A” zijn de beeldpunten van de supplementaire hoeken a ​ en 180º – a + k  360º​(of (​​ p – a + k  2p)​ rad​) A en A” liggen symmetrisch ten opzichte van de y-as.

Ze hebben dus tegengestelde x-coördinaten en gelijke y-coördinaten.

1 A”

sin (180° – α) sin α

Besluit

2 3

cos (​​ 180º – a + k  360º)​​ = ​– ​cos a ​sin​ (180º – a + k  360º)​ = sin a​

4

20

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

A

180° – α α –1 cos (180° – α) O

–1 1

y

​cos​ (p – a + k  2p)​ = – cos a​ ​sin​ (p – a + k  2p)​ = sin a​

x cos α

1

Complementaire hoeken Definitie

Complementaire hoeken Twee hoeken zijn complementair als en slechts als hun som de positieve rechte hoek is.

VIDEO

In symbolen

a en b zijn complementair ​⇔ a + b = 90º + k  360º

⇔ a+b=​ _ ​ p ​ + k  2p ​ rad (2 )

Goniometrische getallen van complementaire hoeken

⇔

⇔ b=​ _ ​ p ​ – a + k  2p ​ rad​ (2 )

1 sin (90° – α)

b1

B

sin α

A

90° – α x α O cos (90° – α) cos α 1

–1

​cos ​ _ ​ p ​ – a + k  2p ​ = sin a​ ) (2 p _ ​sin​ (90º – a + k  360º)​ = cos a​ ​sin​ ​ ​ – a + k  2p ​ = cos a​ (​2 )

–1

N

cos (​​ 90º – a + k  360º)​​ = sin a

y

IN

Stel: A en B zijn de beeldpunten van de complementaire hoeken ​a en 90º – a + k  360º​(of ​​ _ ​ p ​ – a + k  2p ​ rad​) (2 ) A en B liggen symmetrisch ten opzichte van de bissectrice ​​b​ 1​​​ van het eerste kwadrant.

De x-coördinaat van A is dus gelijk aan de y-coördinaat van B en de y-coördinaat van A is gelijk aan de x-coördinaat van B. Besluit

b = 90º – a + k  360º

1.3.3 Alle omwentelingshoeken vanuit een goniometrisch getal berekenen

VA

In zestigdelige graden

y

• Bereken a op 1” nauwkeurig als ​cos a = – 0,6​.

Met de rekenmachine vind je: a ​ = 126º 52'12"​.

Tegengestelde hoeken hebben dezelfde cosinus, dus ook – ​ 126º 52'12"​is een oplossing.

1

–1

–0,6 O

Dus: a ​ = 126º 52'12" + k  360º​of ​ = – 126º 52'12" + k  360º​ a

126°52’12”

1

x

0,98511 rad 1

x

–1

In radialen

©

GEOGEBRA

5 ​​ • Bereken a op 0,000 01 rad nauwkeurig als ​sin a = ​ _ 6 Met de rekenmachine vind je: a ​ = 0,985 11 rad​.

Supplementaire hoeken hebben dezelfde sinus, dus ook (​ p – 0,985 11) rad ≈ 2,156 48 rad​is een oplossing.

Dus: ​a = (0,985 11 + k  2p) rad​of ​a = (2,156 48 + k  2p) rad​

y 1 5 6 –1

O

–1

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

21

Oefeningen REEKS A 18

Bereken op 0,000 01 nauwkeurig. a) ​cos 12º 53'40"

c) ​sin 1,896

≈​

d) ​cos _ ​ 7p ​ 6

REEKS B 19

Bereken de omwentelingshoek a. Geef alle oplossingen.

Rond, indien nodig, af op 1”.

1 ​​ a) cos​ a​= ​​ __ 2

c) cos a = – 0,42

VA

N

_ √2 ​_ ​ b) sin a = – ​​ ​​ 2

3 4

22

2

_ √ ​_ ​ 3 b) ​sin a = ​ ​​ 2

1

d) sin a = 0,215

Bereken de omwentelingshoek a. Geef alle oplossingen.

Rond af op 0,000 01 rad. _ √2 ​_ ​ 1 ​​ a) ​cos a = – ​ ​​ c) cos a = ​​ __ 7 2

©

20

≈​

IN

b) ​sin (–66º 28'33") ≈​

≈​

d) ​sin a =​ – 0,68

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

REEKS C 21

Bepaal zonder rekenmachine of de uitdrukkingen juist of fout zijn. juist fout

r

r

–432º behoort tot kwadrant II

r

r

tan 45º = 1

r

r

r

r

sin (30º + 60 º) = sin 30º + sin 60º

r

tan (–45º) < tan (–60º)

22

p ​​ ​cos _ ​ p ​ < cos ​ _ 3 6 p ​​ ​sin _ ​ p ​ < sin ​ _ 3 6

p ​​ ​sin ​ p – _ ​ p ​ ​ = sin ​ ___ ( 6) 6

p ​​ ​sin ​ 11p – _ ​ p ​ ​ = cos ​ ___ ( 3) 3

r

r

r

r

r

r

r

r

IN

sin 30º < cos 30º

juist fout

r

4p ​ ​ > 0​ ​cos ( ​ – ​ _ 3 )

r

r

Bepaal alle omwentelingshoeken a, zowel in zestigdelige graden als in radialen, waarvoor cos a = sin a.

N

VA

De aarde maakt één volledig omwenteling om haar as in 23 h 56 min 4 s.

De hoeksnelheid is dus overal even groot.

De baansnelheid is afhankelijk van de breedtegraad w.

NP

a) Stel een formule op om de baansnelheid v (in km/h) te bepalen in functie van de breedtegraad w.

Er geldt R = 6 378 km.

r

aardas

R φ

evenaar

©

23

ZP

b) Op welke breedtegraden is de baansnelheid minder dan 1 000 km/h?

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

23

STUDIEWIJZER De goniometrische cirkel 1.1

Georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel KENNEN

voor de leerling

voor de leerkracht

–  + –  +

Een georiënteerde hoek is een hoek waarbij een pijl het beginbeen en het eindbeen van de hoek aanduidt.

Is de hoek georiënteerd in tegenwijzerzin, dan noem je de hoek positief.

Is de hoek georiënteerd in wijzerzin, dan noem je de hoek negatief.

De assen x en y verdelen het vlak in vier gebieden: de kwadranten.

De assen zelf behoren niet tot een kwadrant.

De goniometrische cirkel is de cirkel met middelpunt O en straal 1.

IN

Om een georiënteerde hoek a voor te stellen op de goniometrische cirkel, construeer je de hoek zó dat het beginbeen samenvalt met de positieve x-as.

Het eindbeen bepaalt dan volledig de hoek a.

Het snijpunt A van het eindbeen en de goniometrische cirkel is het beeldpunt van a op de goniometrische cirkel.

Bij elk punt van de goniometrische cirkel kun je oneindig veel hoekgroottes plaatsen.

Als ​a​ één van die hoekgroottes is, dan zijn de andere van de vorm a ​ + k  360º (met k ∈ z)​.

Georiënteerde hoeken worden bepaald door hun beeldpunt op de goniometrische cirkel.

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek is de hoekgrootte in ]-180º, 180º].

Omwentelingshoeken worden bepaald door hun maatgetal.

N

KUNNEN

–  + –  +

Werken met de goniometrische cirkel als referentiekader voor georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken.

Het verschil tussen georiënteerde hoeken en omwentelingshoeken omschrijven en gebruiken in toepassingen.

VA

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek bepalen.

1.2 Radialen

KENNEN

–  + –  +

Eén radiaal (1 rad) is de grootte van een middelpuntshoek van de goniometrische cirkel die overeenkomt met een boog met booglengte 1.

p ​ rad​ 180º _ ​ rad = 180º 1 rad = ​ _ p p ​ 1º = ​ 180

Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel maatgetallen in radialen.

Als a ​ = x rad​, dan ​a = ​(x + k  2p)​ rad​ ​(met k ∈ z)​.

©

De hoofdwaarde van een georiënteerde hoek heeft een maatgetal in ]​​ –p,p]​​.

KUNNEN

Hoeken omzetten van radialen naar zestigdelige graden en omgekeerd.

Werken met hoeken in radialen bij fysische toepassingen.

1 2 3 4

24

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

–  + –  +

voor de leerling

1.3 Goniometrische getallen van een hoek KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Neem een hoek a met beeldpunt A op de goniometrische cirkel. cos a = de x-coördinaat van A sin a = de y-coördinaat van A ​– 1 ⩽ cos a ⩽ 1 en -1 ⩽ sin a ⩽ 1​

Twee hoeken zijn tegengesteld als en slechts als hun som de nulhoek is. c​ os​ (– a + k  360º)​ = cos a​ ​cos​ (– a + k  2p)​ = cos a​ ​sin​ (– a + k  360º)​ = – sin a​ ​sin​ (– a + k  2p)​ = – sin a​

Twee hoeken zijn supplementair als en slechts als hun som de gestrekte hoek is.

IN

c​ os​ (180º – a + k  360º)​ = – cos a​ ​cos​ (p – a + k  2p)​ = – cos a​ ​sin​ (180º – a + k  360º)​ = sin a​ ​sin​ (p – a + k  2p)​ = sin a​

Twee hoeken zijn complementair als en slechts als hun som de positieve rechte hoek is.

p ​ – a + k  2p ​= sin a​ ​ ​ _ c​ os​ (90º – a + k  360º)​ = sin a​ ​cos ( ) 2 p _ ( ) ​ ​ ​ – a + k  2p ​= cos a​ ​sin​ 90º – a + k  360º ​ = cos a​ ​sin ( ) 2 KUNNEN

–  + –  +

De goniometrische getallen berekenen van een hoek in zestigdelige graden en in radialen.

Alle omwentelingshoeken berekenen waarvan een goniometrisch getal gegeven is.

©

VA

N

De goniometrische getallen van een hoek gebruiken bij toepassingen.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

25

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

IN

❑ concreet materiaal

driehoek en n gelijkbenige ee it u t aa st driehoek hiernaast be De basis van de e. kt la 1. Het huisje rv pe op et dezelfde erkant. een vierkant m jde z van het vi zi de n da r ge is 50 % lan je? e van het huis Wat is de hoogt 7 D) _ z 3

=

E) 3z

N

7 A) _ z 4

9 C) _ z 4

=

B) 2z

, eerste ronde

VA

23 JWO, editie 20

©

2. Drie person en gooien elk een dobbelstee Welke kans is n op. groter: de kan s da t ge en de kans dat ze van de drie ze alle drie een ve s ogen gooit of rschillend aan tal ogen gooien ?

t daarvoor len. Hij beschik pa be in tu jn zi odrecht uit van een boom van de boom lo e m gt 9 oo h op e de tj il al t pa liggen.

3. Remi w lang. Hij zet da om in het gras m bo 1 n de n va e va tj er n. al verd over een pa op één lijn ligge Remi nog 1 m om at bo ga s de n n ge va ol p rv altje en de to op de grond. Ve top van het pa de d on gr de af Hij ziet van boom?

Hoe hoog is de E) 100 m ) 10 m D m 9 C) B) 8 m A) 5 m

1

, eerste ronde

23 VWO, editie 20

2 3 4

26

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 1 I DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

Periodieke functies

28

2.2

De sinusfunctie

32

2.3

IN

2.1

De cosinusfunctie

34 39

Pienter problemen oplossen

40

©

VA

N

Studiewijzer

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

27

2.1

Periodieke functies

2.1.1 Begripsvorming De lucht die je inademt bestaat uit ongeveer 78 % stikstof (N2), 21 % zuurstof (O2), 0,03 % kooldioxide (CO2) en een kleine hoeveelheid restgassen.

De lucht die je maximaal kunt opnemen bij een diepe inademing is de vitale capaciteit.

Die verschilt van persoon tot persoon.

Hoe sterk je ook uitademt, je kunt nooit de volledige longinhoud uitademen. Er blijft altijd nog lucht in de longen achter, het luchtresidu.

IN

GEOGEBRA

De longinhoud van Mai wordt beschreven door de functie V waarvan je de grafiek ziet.

V (l)

5

4

VA

3

N

6

2

1

–1

O

1

2

3

4

5

6

t (s) 7

8

9

10

11

12

De grafiek vertoont een patroon dat zich regelmatig herhaalt. Je noemt de functie periodiek.

©

• Bepaal de periode T van de functie V: T = Geef de fysische betekenis van de periode.

• Bepaal het minimum m en het maximum M van V: m = , M = Geef de fysische betekenis van het minimum en het maximum.

• Het gemiddelde d van m en M bepaalt een horizontale rechte: de evenwichtslijn y = d.

Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn:

1

• Het verschil tussen M en d is de amplitude a. Hier is a =

2

• Hoeveel liter lucht ademt Mai in bij één inademing?

3

4

28

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

2.1.2 Definitie Een functie f waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie. Wiskundig kun je dat ook als volgt uitdrukken.

Definitie

Periodieke functie Een functie f is periodiek als er een getal ​p ≠ 0​bestaat zodat geldt: ​∀ x ∈ dom f : f (x + p) = f (x)​.

Het kleinste positief getal p dat aan die voorwaarde voldoet, is de periode T van de functie f.

IN

Benamingen en notaties • De periode T is de lengte van het interval waarin het periodiek patroon zich

y

één keer voordoet.

• De frequentie f is

T

M

het aantal doorlopen periodes per seconde. Er geldt: ​f = _ ​ 1 ​​.

T De eenheid van frequentie is Hertz (Hz).

a y=d

• Als m de minimale functiewaarde is en

M de maximale functiewaarde, dan is M de rechte met vergelijking ​y = d = _ ​ m + ​​ 2 de evenwichtslijn voor de grafiek.

N

T

x

• De amplitude a is het positieve getal ​

T

a = M – d​. De amplitude is

VA

m

de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn.

Voorbeeld

Bepaal de periode T, de frequentie f, het minimum m, het maximum M, de vergelijking van de evenwichtslijn y = d en de amplitude a.

©

10

y

9

• ​T =​

8 7

• ​f =​

6 5

• ​m =​ M =

4 3

• evenwichtslijn:

2 1 –2

–1 O –1 –2

x 1

2

3

4

5

6

7

8

• a =

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

29

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal de periode T, de frequentie f, het minimum m, het maximum M, de vergelijking van de evenwichtslijn y = d en de amplitude a.

a)

y

3

• ​T =​

2 1 O

–1

1

2

–1

• evenwichtslijn:

–2

y

• ​T =​

N

1

x

–5 –4 –3 –2 –1 O

1

2

3

4

5

6

7

• ​f =​

8

–1 –2

VA

–3 –4 –5

c)

y

1

x

–2

–1

O

1

2

©

–1 –2 –3 –4

3

4

5

6

• ​m =​

• evenwichtslijn:

–6

2 3 4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

M =

• ​a =​

• ​T =​ • ​f =​

• ​m =​

• evenwichtslijn:

–5

1

30

M =

• ​a =​

–3

b)

• ​m =​

IN

x

–2

• ​f =​

• ​a =​

M =

REEKS B 2

Bepaal de periode T, de frequentie f, het minimum m, het maximum M, de vergelijking van de evenwichtslijn y = d en de amplitude a.

a)

y

3

• ​T =​

2 1 x π 2

π 2

–1

π

3π 2

2π

• ​m =​

• evenwichtslijn:

M =

IN

–

O

• ​f =​

• ​a =​

–2 –3

b)

y

N

3 2 1

x

–2π

O

–π

π

2π

3π

4π

• ​T =​ • ​f =​

• ​m =​

VA

–1

• evenwichtslijn:

–2 –3

M =

• ​a =​

–4 –5

c)

©

y

–

5π 4π – 3 3

4 3

• ​T =​

2 1 x –π

–

2π 3

–

π O 3 –1 –2 –3 –4 –5 –6

π 3

2π 3

π

4π 3

5π 3

• ​f =​

• ​m =​ M = • evenwichtslijn: • ​a =​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

31

2.2

De sinusfunctie

2.2.1 Definitie

GEOGEBRA

Definitie

Elk reëel getal is een maatgetal van een omwentelingshoek in radialen.

Er geldt: ∀ x ∈ r: sin x = sin (x rad).

Met elk reëel getal komt dus juist één sinuswaarde overeen.

Sinusfunctie De sinusfunctie is de functie met voorschrift f (x) = sin x = sin (x rad).

dom sin =

ber sin =

IN

VIDEO

2.2.2 Grafiek van de sinusfunctie

De grafiek van de sinusfunctie kun je construeren met behulp van de goniometrische cirkel.

π 3 π 4 π

1

6

0x 2π

π

O

11π

5π 4 4π 3

3π 2

7π 6 5π 4 3

π 6

π 4

π 3

π 2

3π 2

π

Kenmerken van de grafiek (sinusoïde) kenmerk

De sinusfunctie is periodiek met periode 2p.

2p is het kleinste positief getal waarvoor geldt dat ∀ x ∈ r : sin (x + k  2p) = sin x.

De sinusfunctie bereikt een

De amplitude is 1 want ber sin = [–1, 1].

©

sin (k  p) = 0 De sinusoïde snijdt de x-as in de punten met coördinaat (k  p, 0).

1

2 3 4

32

verklaring

De nulwaarden zijn alle gehele veelvouden van p, dus k  p.

p + k  2p ; maximum 1 als x = _ 2 3p + k  2p. minimum –1 als x = _ 2

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

x 2π

–1

VA

7π 6

y

N

5π 6

2π 3π 3 4

y π 2

p + k  2p = 1 sin _ (2 ) 3p + k  2p = –1 sin (_ ) 2

2.2.3 Tekenschema en verloop Je bepaalt het tekenschema en het verloop van de sinusfunctie in [​​ 0, 2p ]​​. x

0

sin x

0

+

x

0

p ​​ ​​ _ 2

sin

0

​p​ 0

​↘​

1 max

–

0

3p ​​ ​​ _ 2

​2p​

–1 min

​↗​

0

0

p ​​ ​​ _ 4

IN

​↗​

​2p​

2.2.4 Voorbeeld

3p ​ , ​ _ p ​ ​​.

Teken de grafiek van de sinusfunctie in ​​ – ​ _ [ 2 2] 3p ​​ ​ ​ _ – 2

x

3p ​​ ​ ​ _ – 4

– ​ p​

p ​​ ​ ​ _ – 2

p ​​ ​ ​ _ – 4

N

sin x

5p ​​ ​ ​ _ – 4

p ​​ ​​ _ 2

©

VA

y

–

3π 2

–π

–

π 2

1

x O

π 2

–1

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

33

VERDIEPING

2.3

De cosinusfunctie

2.3.1 Definitie

GEOGEBRA

Definitie

Elk reëel getal is een maatgetal van een omwentelingshoek in radialen.

Er geldt: ∀ x ∈ r: cos x = cos (x rad).

Met elk reëel getal komt dus juist één cosinuswaarde overeen.

Cosinusfunctie De cosinusfunctie is de functie met voorschrift f (x) = cos x = cos (x rad). ber cos =

IN

dom cos =

2.3.2 Grafiek van de cosinusfunctie

p , 2p .

Teken de grafiek van de cosinusfunctie in – _ [ 2 ] x

p –_ 2

0

p _ 6

p _ 4

p _ 3

p _ 2

2p _ 3

3p _ 4

5p _ 6

p

3p _ 2

2p

N

cos x y

VA

1

©

π – 2

O

π 2

π

x 3π 2

2π

–1

Kenmerken van de grafiek (cosinusoïde) 1

2 3

De cosinusoïde verkrijg je door verschuiving van de sinusoïde over Verklaring:

4

34

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

naar

.

Oefeningen REEKS A 3

Teken de grafiek van de sinusfunctie in de gegeven intervallen. a​)​ ​​​[–p, p ]​​

sin x

IN

x

y

1

x

O

–π 2

π 2

π

N

–π

–1

VA

b​)​ ​​​[–2p, 0 ]​​

sin x

©

x

y

1

x –2π

3π – 2

–π

π – 2

O

–1

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

35

REEKS B 4

Teken de grafiek van de sinusfunctie in de gegeven intervallen.

3p ​ ​​ p ​, ​ _ a​)​ ​​​ – ​ _ [ 2 2 ] x

sin x

1

IN

y

x

O

– π 2

π 2

π

3π 2

N

–1

5p ​, ​ _ 3p ​ ​​ b​)​ ​​​ – ​ _ [ 4 4 ]

sin x

©

VA

x

y

1

x –π

–

π 2

O

–1 1

2 3 4

36

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

π 2

5

Bepaal het tekenschema en het verloop van de sinusfunctie in het gegeven interval. a​)​ ​​​[p, 3p ]​​ x sin x

x

3p ​, ​ _ p ​ ​​ b​)​ ​​​ – ​ _ [ 2 2 ] x

x

VA

sin

N

sin x

IN

sin

7p ​ ​​ p ​, ​ _ c​)​ ​​​ – ​ _ [ 4 4 ] x

sin x

©

x

sin

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

37

REEKS C 6

Teken de grafiek van de sinusfunctie in [-3, 6]. x

sin x

y

–3

–2

IN

1

O

–1

1

2

3

4

5

10,5

11,5

x

6

Teken de grafiek van de cosinusfunctie in [2, 13].

VA

VERDIEPING

7

N

–1

2

x

cos x

4

5

5,5

7

8,5

9

13

y

©

1

O

x 1

2

3

1

2 3

–1

4

38

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

STUDIEWIJZER De sinusfunctie voor de leerling

2.1 Periodieke functies KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een functie f is periodiek als er een getal ​p ≠ 0​bestaat zodat geldt: ​∀ x ∈ dom f : f (x + p) = f (x)​.

Het kleinste positief getal p dat aan die voorwaarde voldoet, is de periode T van de functie f.

De frequentie f is het aantal doorlopen periodes per s: ​f = _ ​ 1 ​​.

T

IN

Als m de minimale functiewaarde is en M de maximale functiewaarde, M dan is de rechte met vergelijking ​y = d = _ ​ m + ​​ 2 de evenwichtslijn voor de grafiek.

De amplitude a is het positieve getal a ​ = M – d​.

KUNNEN

–  + –  +

Uit de grafiek van een periodieke functie de periode, de frequentie, de evenwichtslijn en de amplitude bepalen.

2.2 De sinusfunctie

N

KENNEN

–  + –  +

De sinusfunctie is de functie met vergelijking ​y = sin x = sin​(x rad)​​.

De sinusfunctie is periodiek met periode ​2p​.

VA

De nulwaarden zijn alle gehele veelvouden van p ​ ​. _ De sinusfunctie bereikt een maximum 1 als ​x = ​ p ​ + k  2p (​ k ∈ z)​​ 2 en een minimum –1 als ​x = _ ​ 3p ​ + k  2p (​ k ∈ z)​​.

2

KUNNEN

–  + –  +

Manueel de grafiek van de sinusfunctie tekenen in een interval.

Het tekenschema en het verloop bepalen van de sinusfunctie.

2.3 De cosinusfunctie

KUNNEN

–  + –  +

©

De cosinusfunctie behandelen als een verschoven sinusoïde.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

39

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

1. Een binairo bestaat uit nullen en enen.

Er mogen hoogstens 2 nullen of enen naast of boven elkaar staan.

Elke rij of kolom bestaat uit evenveel nullen als enen.

IN

❑ concreet materiaal

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

Vul de binairo hiernaast verder aan.

1

1 1

N

0

1

VA

0

0 0 1

1 1

0

1

0

1

2. Welk getal hoort thuis in de gekleurde cirkel?

A) 12

B) 16

C) 20

D) 24

E) 28

:4 3

+8

–15

:4

©

VWO, editie 2018, eerste ronde

:6

3. Je wilt pasta koken. Op de verpakking staat dat de kooktijd 9 minuten bedraagt.

Je hebt geen klok, maar wel 2 zandlopers: één van 4 minuten en één van 7 minuten.

Hoe kun je er met behulp van de zandlopers voor zorgen dat de pasta exact 9 minuten kookt?

1

2 3 4

40

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 2 I DE SINUSFUNCTIE

HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

3.2 3.3

De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​​

Toepassingen

De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​ + d​

42 56

IN

3.1

61

69

Pienter problemen oplossen

70

©

VA

N

Studiewijzer

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

41

3.1

De functie ​f (x) = a  sin ​[b  (​ x – c)​ ]​​ +

3.1.1 De functie ​f (x) = a  sin x​ (​a ∈ ​r​ 0 ​​​ )

Besluit

periode

nulwaarden

amplitude

f​ (x) = sin x​

g ​ (x) = 3  sin x​

+

De grafiek van de functie ​g (x) = a  sin x (met a ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ )​ontstaat door de grafiek van de functie

​f (x) ​= sin ​x​verticaal uit te rekken of samen te drukken:

• voor a > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor a;

N

• voor a < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor __ ​​ 1 ​​. a De functie f is periodiek met periode T​ = 2p​.

VA

(k ∈ z)​​.

De amplitude is a en de nulwaarden zijn ​k  p ​ p ​ + k  2p ​ (k ∈ z)​​ De functie bereikt een maximum a als x​ = ​ __ 2 (k ∈ z)​​. en een minimum –a als x​ = ___ ​ 3p ​ + k  2p ​ 2

• Schets de grafiek van de functie f​ (x) = _ ​ 3 ​  sin x​.

2 y

©

–π

–π 2

O

π 2

π

3π 2

2π



x



nulwaarden: ​​



maximum: als



​x = ​​​

sin –1

1 2

3 4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

periode ​T =​

 ​ a =​

1

42

h (x) = _ ​ 1 ​  sin x​ 2 ​

IN

GEOGEBRA

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies f​ (x) = sin x​, ​g (x) = 3  sin x​en ​h (x) = _ ​ 1 ​  sin x​.

2 • Vul de tabel in.

minimum: als ​x =​​​

3.1.2 De functie ​f (x) = sin (​ b  x)​​

+

(​b ∈ r ​ ​ 0 ​​​ )

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies f​ (x) = sin x​, ​g (x) = sin (​ 2x)​​ en ​h (x) = sin ( ​_ ​ 1 ​ x)​​.

3 • Vul de tabel in.

​g (x) = sin (​ 2x)​​

periode

nulwaarden

amplitude

1 ​ x ​​ ​h (x) = sin (​ _ 3 )

IN

Besluit

​f (x) = sin x​

+

De grafiek van de functie ​g (x) = sin (b  x)​(met b ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ )​ontstaat door de grafiek van de functie

​f (x) ​= sin ​x​horizontaal uit te rekken of samen te drukken:

• voor b > 1 wordt de grafiek van f horizontaal samengedrukt met factor b.

N

• voor b < 1 wordt de grafiek van f horizontaal uitgerekt met factor __ ​​ 1 ​​. b 2p ​​.

De functie f is periodiek met periode ​T = ​ _ b De amplitude is 1 en de nulwaarden zijn ​k  __ ​ T ​ ​(k ∈ z)​​.

2 T __ (k ∈ z)​​ De functie bereikt een maximum 1 als ​x = ​ ​ + k  T ​ 4 (k ∈ z)​​. en een minimum –1 als ​x = ___ ​ 3T ​ + k  T ​ 4

VA

​ 4 ​ x)​​.

• Schets de grafiek van de functie ​f (x) = sin (_ 3 y

1

x

–π 2

©

–π

sin

O

–1

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

3π



periode T​ =​

 ​ a =​ 

nulwaarden: ​​



maximum: als



​x = ​​​

minimum: als ​x =​​​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

43

3.1.3 De functie ​f (x) = sin (x – c)​

(c ∈ r)​

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies ​f (x) = sin x​, ​g (x) = sin x – _ ​ p ​ ​​ en ​h (x) = sin x + _ ​ p ​ ​​. ( ) ( 4 4) • Vul de tabel in. ​ p ​ ​​ g (x) = sin x – _ ( 4) ​

periode

nulwaarden

amplitude

h (x) = sin x + _ ​ p ​ ​​ ( 4) ​

IN

Besluit

f​ (x) = sin x​

De grafiek van de functie ​g (x) = sin (x – c)​(met c ∈ r)​ontstaat door de grafiek van de functie

​f (x) ​= sin x​ ​horizontaal te verschuiven over een afstand |​​ c |​​:

• voor c > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven.

• voor c < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.

Het getal c noem je de faseverschuiving van de functie f.

De functie f is periodiek met periode ​T = 2p​.

N

(k ∈ z)​​.

De amplitude is 1 en de nulwaarden zijn ​c + k  p ​ p ​ + k  2p ​ (k ∈ z)​​ De functie bereikt een maximum 1 als x​ = c + ​ __ 2 (k ∈ z)​​. en een minimum –1 als x​ = c + ___ ​ 3p ​ + k  2p ​ 2

VA

​ p ​ ​​.

• Schets de grafiek van de functie f​ (x) = sin x + _ ( 3) 

y

1

©

–π

–π 2

O

2

 ​ a =​ 

nulwaarden: ​​



maximum: als

sin

π 2

π

–1

Opmerking:

1

periode T​ =​

3π 2

​x = ​​​

x

2π



​= ​

minimum: als ​x = ​​​ ​= ​

Er zijn altijd oneindig veel mogelijke faseverschuivingen.

Je kiest bij voorkeur de faseverschuiving met de kleinste absolute waarde van c.

3 4

44

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

3.1.4 De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​

periode

nulwaarden

amplitude

f​ (x) = sin x​

​ 1 ​  ​ x – _ ​ p ​ ​ ​​ ​g (x) = 4  sin _ [2 ( 6 )]

3 ​  sin [4  (​ x + 1)​ ]​​ h (x) = ​ _ 4 ​

IN

Besluit

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies f​ (x) = sin x​, ​g (x) = 4  sin _ ​ 1 ​  ​ x – _ ​ p ​ ​ ​​ [2 ( 6 )] 3 _ en h ​ (x) = ​ ​  sin [4  (​ x + 1)​ ]​​.

4 • Vul de tabel in.

+ De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​ (met a,b ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ , c ∈ r)​is periodiek met periode T​ = _ ​ 2p ​​. b T __ De amplitude is a en de nulwaarden zijn ​c + k  ​ ​ ​(k ∈ z)​​.

2 T __ (k ∈ z)​​ De functie bereikt een maximum a als ​x = c + ​ ​ + k  T ​ 4 (k ∈ z)​​. en een minimum –a als ​x = c + ___ ​ 3T ​ + k  T ​ 4

N

VIDEO

+

(a,b ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ , c ∈ r)​

De faseverschuiving is c.

• Gegeven is de functie ​f (x) = 6  sin [3  ​(x – 2)​ ]​​. periode: ​T =​

VA

 



maximum: als ​x =​



Bepaal het bereik van f.



minimum: als ​x =​

Het bereik van de functie ​f (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​

©

Besluit

nulwaarden:

+

(met a,b ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ , c ∈ r)​

is gelijk aan [-a, a].

Opmerking: We spreken af dat de letter k in het vervolg altijd een geheel getal voorstelt.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

45

3.1.5 Opstellen van het voorschrift Voorbeeld 1 Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is. y 3

• De amplitude is f

2

​⇒ a = ​

• De periode ​T = ​ ​⇒ _ ​ 2p ​ = b

IN

1

x

–π

O

– π 2

π 2

–1

π

• Faseverschuiving:

⇔ b = ​

er is een verschuiving over naar

–2

N

–3

​⇒ c = ​

Besluit: ​f (x) = ​

VA

Voorbeeld 2

Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is. y

1

• De amplitude is ​⇒ a = ​

©

f

–6 –5 –4 –3 –2 –1 O

1

2

3

Besluit: ​f (x) = ​

4

46

6

7

8

9

​⇒ _ ​ 2p ​ = b

• Faseverschuiving:

naar

2

3

5

x

⇔

b = ​

er is een verschuiving over

–1

1

4

• De periode ​T = ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

​⇒ c = ​

3.1.6 Tekenschema en verloop • Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie ​f (x) = sin (_ ​ 2 ​ x)​​ in [​​ 0, T ]​​.

3 ​T =​

0

x f (x)

IN

0

x f

• Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie ​f (x) = 2,75  sin [0,8  (​ x + 2)​ ]​​ in ​​[c, c + T ]​​. Rond je berekeningen af op 0,01.

nulwaarden: maxima:

periode-interval: [​​ c, c + T ]​ =​

VA

minima:

⇒

N

​T =​

x

f (x)

x

©

f

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

47

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal de amplitude, het bereik, de periode en de faseverschuiving. d) ​​f (x) = 0,85  sin 3,5  ​ x – _ ​ p ​ ​ ​​ ( [ 10 ) ]

a) ​f (x) = 3  sin (6x)​​ • amplitude:

• periode: • faseverschuiving:

• bereik:

IN

• bereik:

• amplitude:

• periode:

• faseverschuiving:

e) ​​f (x) = _ ​ 3 ​  sin 4p  ​(x + _ ​ 1 ​)​ ​​ [ 2 3 ]

N

1 ​  sin x – _ b) ​f (x) = ​ _ ​ p ​ ​​ ( 4 8) • amplitude:

VA

• bereik:

• periode:

• faseverschuiving:

• faseverschuiving:

©

c) ​f (x) = 8  sin _ ​ 2 ​  ​(x + 4)​ ​​ [5 ] • amplitude:

2

f) ​​f (x) = 320  sin [100p  ​(x – 0,01)​ ]​​ • amplitude: • bereik:

• periode:

• periode:

• faseverschuiving:

• faseverschuiving:

4

48

• bereik:

3

• bereik:

• periode:

1

• amplitude:

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

2

Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is. a)

5

y f

4

3

2 1 x O –1

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

–2

–3 –4

IN

–5

b)

y 1

N

f

x

–π 2

O

π 2

π

3π 2

VA

–π

2π

–1

©

De benamingen sinus en cosinus zijn afkomstig van de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783).

Het Latijnse woord ‘sinus’ betekent ‘bocht’.

Het voorvoegsel ‘co’ betekent ‘ook’.

In de geneeskunde wordt het woord ‘sinus’ ook gebruikt voor een holte.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

49

REEKS B 3

Schrijf de functies in de vorm f (x) = a ​​sin [b ​​(x – c)].

Bepaal de periode, de frequentie (op 0,001 Hz nauwkeurig) en de faseverschuiving. d) ​f (x) = 15  sin _ ​ p ​ x – p ​​ (2 )

a) ​f (x) = sin (3x + 6)​​

• periode:

• frequentie:

• frequentie:

• faseverschuiving:

• faseverschuiving:

b) ​f (x) = 2  sin (_ ​ 1 ​ x – 1)​​ 2

e) ​f (x) = 0,1  sin 20px + _ ​ p ​ ​​ ( 2)

N

IN

• periode:

• periode:

• frequentie:

• frequentie:

VA

• periode:

• faseverschuiving:

• faseverschuiving:

3 ​  sin _ p 7 _ c) ​f (x) = ​ _ (​ 2 ​ x + ​ 6 ​)​​ 8

©

• periode:

• frequentie:

• frequentie:

• faseverschuiving:

• faseverschuiving:

2

3 4

50

f) ​f (x) = 150  sin (62,5px – 0,1p)​​

• periode:

1

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

4

Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is. a)

y f

2

1 x O

π – 2

π 2

–1

b)

4

IN

–2

y

f

3

N

2 1

x

3π – 2

–π

π – 2

O

–1

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

3π

–2

VA

–2π

–3

©

–4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

51

5

Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is. a)

y

f

1

x –1

O

1

2

3

4

5

–1

IN

b)

y 1

N

f

x

–0,5

–0,25

O

0,25

VA

–1

©

1 2

3 4

52

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

6

Schets de grafiek van de functie f in een interval met breedte één periode. ​ p ​ ​ ​​ a​)​ ​​f (x) = _ ​ 1 ​  sin 2  ​ x – _ [ ( 2 6 )]

y 1

O

π – 6

π 6

π 3

π 2

2π 3

IN

sin

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

2π

x

13π 6

N

–1

b​)​ ​​f (x) = 3  sin _ ​ 2 ​  ​ x + _ ​ p ​ ​ ​​ [3 ( 2 )]

VA

©

y

3

2

sin

1

x O

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

–1

–2

–3

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

53

REEKS C 7

Bepaal het tekenschema en het verloop in een interval met breedte één periode. ​ p ​ ​ ​​ a​)​ ​​f (x) = 8  sin 4  ​ x – _ [ ( 4 )]

IN

x f (x)

f

N

x

(rond je berekeningen af op 0,01)

VA

b​)​ ​​f (x) = 0,65  sin [0,2  (​ x + 5)​ ]​​

©

x

f (x)

x f

1 2

3 4

54

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

8

Bepaal het tekenschema en het verloop in een interval met breedte één periode.

Rond je berekeningen af op 0,01. a​)​ ​​f (x) = 75  sin [50p  (​ x – 0,01)​ ]​​

IN

x f (x)

f

N

x

p ​ ​​ ​ p ​ x + ​ _ b​)​ ​​f (x) = 5,25  sin _ (8 4)

VA

©

x

f (x)

x f

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

55

3.2

Toepassingen

3.2.1 Trillingen van een stemvork De trillingen van een stemvork doen de lucht trillen.

Dat hoor je als een geluid.

De uitwijking u (in mm) van de uiteinden van een stemvork ten opzichte van de toestand in rust wordt gegeven door de functie u (t) = 0,3  sin (0,88pt).

Daarbij is t de tijd (in ms).

IN

• Wat is de maximale uitwijking van de uiteinden van de stemvork?

• Hoeveel trillingen doet de stemvork per s?

N

• Als de stemvork 3 s trilt, hoelang is de uitwijking dan groter dan 0,2 mm? Rond af op 0,1 ms.

Je lost dit probleem grafisch op met ICT. u (mm)

0,4

B

VA

A

O

1

2

C

©

–0,4

1 2

3 4

56

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

D

t (ms)

3

4

5

6

3.2.2 Luchtstroomsnelheid bij het ademen De ademhaling van persoon A wordt beschreven door de functie ​​v​ A​​(t) = 0,7  sin _ ​ p ​  ​(t – 3)​ ​​.

[3 ] Daarbij is ​​v​ A​​​de luchtstroomsnelheid (in l/s) en t de tijd in s.

De luchtstroomsnelheid is positief bij het inademen en negatief bij het uitademen.

• Hoeveel keer ademt persoon A in en uit per min?

IN

• Begint persoon A bij het begin van de meting in te ademen of uit te ademen? Verklaar.

• Wat is de maximale inademsnelheid?

N

• Na hoeveel s wordt die maximale inademsnelheid bereikt?

VA

• Bepaal de nulwaarden van de functie v.

• Wat is de fysische betekenis van die nulwaarden?

©

• Persoon B ademt acht keer in en uit per min en heeft een maximale inademsnelheid van 0,8 l/s.

De metingen beginnen als die persoon begint met inademen.

Geef het voorschrift van de functie ​​v​ B​​​die de luchtstroomsnelheid (in l/s) weergeeft in functie van de tijd (in s).

• Je vergelijkt de ademhaling van personen A en B gedurende 10 s. Bepaal grafisch, op 0,01 s, wanneer 

de inademsnelheid dezelfde is:



de uitademsnelheid dezelfde is: GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

57

Oefeningen REEKS B 9

Iemand speelt een mi op een blokfluit. De drukverandering ​np (in mPa)​die daardoor ontstaat, is ​np (t) = 0,5  sin (640𝝅t)​​. Daarbij is t de tijd (in s).

a) Bepaal de frequentie van de mi.

IN

b) Na hoeveel s hoor je geen drukverandering?

c) Wat is de maximale drukverandering?

d) Na hoeveel s hoor je die maximale drukverandering?

De uitwijking u (in cm) van een massaveersysteem ten opzichte van de toestand in evenwicht, ​ 2𝝅 ​  ​ t + _ ​ 3 ​)​ ​​. Daarbij is t de tijd (in s). wordt gegeven door ​u (t) = 4  sin _ [ 3 ( 4 ] Er geldt: u > 0 als de massa naar boven beweegt en u < 0 als de massa naar onder beweegt.

VA

10

N

a) Toon aan dat de tijdsopname begint als de massa op zijn hoogste punt hangt.

©

b) Na hoeveel s bevindt de massa zich opnieuw op zijn hoogste punt?

c) Op welke tijdstippen bevindt de massa zich in de evenwichtstoestand?

1

2

3 4

58

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

REEKS C Een slinger is een massa die aan een draad of staaf hangt en die onder invloed van de zwaartekracht schommelingen om een verticale as uitvoert.

De tijd die de slinger nodig heeft om één keer heen en weer te bewegen is de periode.

Als je geen rekening houdt met de luchtwrijving, _ α dan geldt: ​T = 2p  ​ _ ​ l ​ ​​. g

√

11

l

l

a

IN

Daarbij is T de periode (in s), l de lengte van de slinger (in m) en 2 g de valversnelling (g = 9,81 m/​​s​​ ​​).

De amplitude a is de maximale uitwijking (in m) ten opzichte van de verticale stand. Als a de uitwijkhoek is, dan geldt: ​a = l  sin a​.

Je maakt een slinger met een lengte van 3 m en geeft die een uitwijkhoek van 10º.

a) Stel een functievoorschrift op van de vorm ​u (t) = a  sin [b  ​(t – c)​ ]​​, waarbij u de uitwijking is (in cm) en t de tijd (in s), als na 0 s de maximale uitwijking wordt verkregen.

Rond a af op 1 cm, T op 0,01 s en b en c op 0,01.

VA

N

b) Na hoeveel tijd bevindt de slinger zich in zijn verticale stand? Rond af op 0,01 s.

©

c) Stel dat de slingerbeweging één minuut duurt.

Hoelang is de uitwijking dan groter dan 30 cm? Los op met ICT en rond af op 1 s.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

59

Om de hoogte van een bepaald punt op het land te bepalen, gebruikt men het ‘zeeniveau’.

Maar de hoogte van de zeespiegel is niet altijd dezelfde.

Eb en vloed zorgen voor een verschil in hoogte.

In België is het nulpeil gelijk aan het gemiddelde zeeniveau bij eb in Oostende (de TAW of Tweede Algemene Waterpassing).

De hoogte van het zeewater zelf wordt gemeten ten opzichte van de gemiddelde hoogte van het zeewater.

Het nulpeil noemt men MSL, Mean Sea Level.

In Oostende is de hoogte van het zeewater bij vloed (hoogwater) gemiddeld ongeveer 3 m hoger dan bij eb (laagwater). Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende hoogwaterstanden bedraagt gemiddeld ongeveer 12 h 30 min.

Op 20 mei 2023 was het vloed om 2 h ’s morgens.

IN

12

VA

N

a) Stel een functievoorschrift op van de vorm h (t) = a  sin [b  (t – c) ], waarbij h de hoogte (in m) is van het zeewater ten opzichte van MSL en t de tijd (in h) na 20 mei 2023 om 0 h.

b) Bepaal de hoogte van het zeewater op 22 mei om 8 uur ’s morgens. Rond af op 0,01 m.

©

c) Hoelang is de hoogte van het zeewater op 24 uur tijd hoger dan 1 m boven MSL? Los op met ICT en rond af op 0,01 h.

1 2

3 4

60

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

De functie ​f (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​ + d​

VERDIEPING

3.3

3.3.1 Invloed van de parameter d Voorbeeld 1

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies f​ (x) = sin x​, ​g (x) = sin x + 2​en h ​ (x) = sin x – 2​.

• Vul de tabel in.

VIDEO

periode

bereik

evenwichtslijn

amplitude

Voorbeeld 2

g ​ (x) = sin x + 2​

h ​ (x) = sin x – 2​

N

nulwaarden

f​ (x) = sin x​

IN

GEOGEBRA

VA

• Teken, met ICT, de grafieken van de functies f​ (x) = 3  sin _ ​ 1 ​  (​ x + 5)​ ​​ en [2 ] 1 _ ( ) ​g (x) = 3  sin ​ ​  ​ x + 5 ​ ​+ 6​ [2 ] • Vul de tabel in. f (x) = 3  sin _ ​ 1 ​  (​ x + 5)​ ​​ [2 ] ​

bereik

evenwichtslijn

©

periode

nulwaarden

amplitude

g (x) = 3  sin _ ​ 1 ​  ​(x + 5)​ ​+ 6​ [2 ] ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

61

VERDIEPING

Besluit

De grafiek van de functie ​g (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​ + d

+

(met a,b ∈ r ​ ​ 0 ​ ​ en c,d ∈ r)​

ontstaat door de grafiek van de functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​​ verticaal te verschuiven over een afstand |d |:

• voor d > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven;

• voor d < 0 wordt de grafiek van f naar onder verschoven.

De functie f is periodiek met periode ​T = _ ​ 2p ​​. b De evenwichtslijn is de horizontale rechte met vergelijking ​y = d​.

De amplitude is a en de faseverschuiving is c. Het bereik is [​​ d – a, d + a ]​​.

IN

Voorbeeld 3

Bepaal het voorschrift van de functie f waarvan de grafiek getekend is.

• Evenwichtslijn:

y 2

​⇒ d =​

f

1

x –1 –2 –3 –4

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

VA

–5

1

N

–2 –1 O

• De amplitude ​a =​ • De periode ​T =​ ​⇒ ​

• Faseverschuiving:

–6

Besluit: ​f (x) =​ Voorbeeld 4

©

Gegeven is de functie met voorschrift ​f (x) = 3  sin [4  (​ x + 2)​ ]​ + 1​.

• Teken de grafiek met ICT.

• Bepaal de nulwaarden op 0,01 nauwkeurig:

• De functie f bereikt een maximum als

een minimum als 1 2

3 4

62

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

VERDIEPING

3.3.2 Toepassingen Windturbines Langs de E40 in Gistel (West-Vlaanderen) staan een aantal windturbines.

Bij een windsnelheid van 10 m/s is de hoogte h (in m) van het uiteinde p  (x – 2) + 85. van één van de rotorbladen gelijk aan h (t) = 35  sin _ [3 ] Daarbij is t de tijd (in s).

IN

• Hoeveel omwentelingen doen de rotorbladen per min?

• Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn en geef de fysische betekenis.

N

• Hoe lang zijn de rotorbladen?

VA

• Bepaal de maximale hoogte van het uiteinde van de rotorbladen.

• Op welke hoogte bevindt het uiteinde van een rotorblad zich op zijn laagste punt?

©

• Bepaal de faseverschuiving en geef de fysische betekenis.

• Geef het functievoorschrift van de andere twee rotorbladen. Rond c af op 0,01.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

63

VERDIEPING

Astronomische daglengte De astronomische daglengte is de tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang.

Die tijd varieert van dag tot dag. De kortste dag is meestal 21 december, de langste meestal 21 juni. Doordat een astronomisch jaar niet precies 365 dagen telt, kan er soms een afwijking zijn van een dag.

datum

dagnummer x

daglengte l (h)

21 jan

21

8,7

21 feb

52

10,4

21 mrt

80

12,3

21 apr

111

14,4

21 mei

141

15,9

172

16,5

21 jul

202

15,9

21 aug

233

14,4

264

12,3

294

10,3

325

8,7

355

8,1

21 sep 21 okt 21 nov

l (h)

16 15 14 13 12 11 10

9

8 7 O

VA

21 dec

17

N

21 jun

IN

In de tabel staat de daglengte l (in h) voor Ukkel in een niet-schrikkeljaar.

50

100

x 150

200

250

300

350

Bepaal het voorschrift van de functie l (x) = a  sin [b  (x – c) ] + d, die de daglengte l (in h) weergeeft in functie van het dagnummer x.

• De periode T =

• De minimale daglengte m = d=

©

⇒

• De amplitude a =

; de maximale daglengte M =

• Om c te bepalen bekijk je de snijpunten van de grafiek met de evenwichtslijn. ⇒ c=

1

Besluit: l (x) =

2

3 4

64

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

VERDIEPING

Oefeningen REEKS B 13

De hoogte h (in m) van een passagier in het reuzenrad Ain Dubai wordt gegeven door p  (t – 9,5) + 126. de functie h (t) = 124  sin _ [ 19 ] Daarbij is t de tijd (in min) na het instappen.

b) Hoe lang duurt één omwenteling van het rad?

IN

a) Op welke hoogte stap je in?

N

c) Op welke hoogte is het rad vastgemaakt aan de poten?

d) Bepaal de diameter van het rad.

VA

e) Hoe hoog ben je op het hoogste punt?

f) Na hoeveel tijd bereik je dat hoogste punt?

©

g) Op welke hoogte bevind je je een kwartier nadat je bent ingestapt?

Rond af op 0,01 m.

h) Stel dat je drie volledige omwentelingen doet. Hoelang ben je dan op meer dan 200 m hoogte?

Los op met ICT en rond af op 1 s.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

65

VERDIEPING

ICT

14

In het weerbericht spreekt men dikwijls over het ‘langjarig gemiddelde’.

Daarmee bedoelt men het gemiddelde van de voorbije 30 jaar.

De langjarige gemiddelde maximumtemperatuur u​ u​ ​(in ºC) in Oostende wordt benaderd

door de functie ​u (x) = 8  sin _ ​ 2p ​  (​ x – 105)​ ​ + 14​. [ 365 ] Daarbij is x het dagnummer in een niet-schrikkeljaar.

a) Welke dag is gemiddeld die met de koudste maximumtemperatuur?

Wat is de maximumtemperatuur die dag?

IN

VA

N

b) Welke dag is gemiddeld die met de warmste maximumtemperatuur?

Wat is de maximumtemperatuur die dag?

©

c) Tussen welke dagen is de gemiddelde maximumtemperatuur meer dan 14 ºC?

1 2

3 4

66

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

15

VERDIEPING

REEKS C Als de temperatuur in de woonkamer daalt, dan slaat de verwarmingsketel aan en wordt het water in de radiatoren warmer. Daarna slaat de ketel weer af, waardoor het radiatorwater afkoelt ...

De temperatuur u​​ ​ w​​​(in ºC) in de woonkamer en de temperatuur u​​ ​ r​​​ (in ºC) van het radiatorwater worden weergegeven op de figuur.

Daarbij is t de tijd (in h) na 0 h op 15 februari. θ (°C)

60

50

IN

40

θr

30

θw

20

10

t (h)

–4

–2

O

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

N

a) Bepaal het functievoorschrift van beide functies. temperatuur woonkamer u​​ w​ ​​​

VA

temperatuur radiatorwater u​​ r​ ​​​

©

b) Bereken de kamertemperatuur en de temperatuur van het radiatorwater om 12 h.

Rond af op 0,1 ºC.

c) Hoelang is, op 15 februari, de kamertemperatuur hoger dan de temperatuur van het radiatorwater.

Los op met ICT en rond af op 1 s.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

67

VERDIEPING

16

Je ziet een voorbeeld van een roofdier-prooi-model.

Daarbij is k het aantal konijnen in een bepaald gebied en v het aantal vossen.

De tijd t is het aantal jaren na 1 januari van een bepaald jaar. aantal dieren 350

konijnen

300 250 200

100

vossen

50 O

1

2

3

4

5

6

7

IN

150

8

9

t (jaren) 10

a) Bepaal het functievoorschrift van beide functies.

aantal vossen v(t)

VA

N

aantal konijnen k(t)

©

b) Als het aantal vossen minimaal is, dan is het aantal konijnen maximaal.

Na hoeveel jaar is dat? Rond af op één maand.

c) Bepaal de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken met de evenwichtslijnen in [0, T [ en geef de fysische betekenis.

1 2

3 4

68

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

STUDIEWIJZER De algemene sinusfunctie 3.1 De functie ​f (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​​

voor de leerling

KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​ (met a,b ∈ r ​ ​ 0​ ​ , c ∈ r)​ +

IN

2p ​​. is periodiek met periode ​T = ​ _ b De amplitude is a en de nulwaarden zijn ​c + k  _ ​ T ​ ​(k ∈ z)​​.

2 T _ (k ∈ z)​​.

De functie bereikt een maximum a als x​ = c + ​ ​ + k  T ​ 4 (k ∈ z)​​. en een minimum –a als ​x = c + _ ​ 3T ​ + k  T ​ 4 De faseverschuiving is c.

KUNNEN

–  + –  +

De amplitude, het bereik, de periode, de frequentie, de faseverschuiving, de nulwaarden en de extrema bepalen van een goniometrische functie.

Het voorschrift van een goniometrische functie bepalen als de grafiek gegeven is.

3.2 Toepassingen

N

Het tekenschema en het verloop van een goniometrische functie bepalen in een gegeven interval.

KUNNEN

–  + –  +

Vraagstukken oplossen met behulp van de eigenschappen van de functie f​ (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​​

VA

3.3 De functie ​f (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​ + d​

KENNEN

De functie ​f (x) = a  sin [b  ​(x – c)​ ]​ + d (met a,b ∈ r ​ ​ 0​​ en c,d ∈ r)​ 2 p _ is periodiek met periode ​T = ​ ​​. b De evenwichtslijn is de horizontale rechte met vergelijking ​y = d​.

–  + –  +

+

De amplitude is a en de faseverschuiving is c.

Het bereik is [​​ d – a, d + a ]​​.

KUNNEN

–  + –  +

©

Vraagstukken oplossen met behulp van de eigenschappen van de functie f​ (x) = a  sin [b  (​ x – c)​ ]​ + d​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

69

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

IN

❑ concreet materiaal

N

ntoor. nde tafel op ka ro n ee n aa g n heeft. aanda lfde twee bure eren iedere m ze ad de d rg an ve m ’s ie ga zitten dat n 1. Vijf colle ze altijd zo gaan t da af n ke re ouden?

Ze sp e afspraak volh di ze en n n ku Hoelang

©

VA

2. In een vier kant is een rech thoek geteken De oppervlakt d. e van het rode gedeelte is 10.

Bereken de len gte van de diag onaal van de re chthoek.

zijn zus. n cadeau voor ee n aa it u d el zakg n chips. t 30 % van zijn t hij 25 % uit aa ef ge 3. Sigurd geef d el kg za ven? hot van zijn totaal uitgege in ij h ft Van de oversc ee h d el t van zijn zakg Hoeveel procen

1 2

3 4

70

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 3 I DE ALGEMENE SINUSFUNCTIE

HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

4.1

Begripsvorming

72 79

IN

4.2 Bewerkingen met vectoren 4.3 Toepassingen uit de fysica

91

4.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel

97

108

Pienter problemen oplossen

110

©

VA

N

Studiewijzer

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

71

4.1

Begripsvorming

4.1.1 Benaming en voorstelling Een georiënteerd lijnstuk is een lijnstuk waarop een zin is aangeduid door middel van een pijl. → Een lijnstuk [AB] met een zin noteer je als: ​​ AB​​.

Q'

GEOGEBRA

De georiënteerde lijnstukken →⟶⟶ ⟶ ​​ , QQ9​​ ​​ en RR9​​ ​​ zijn gelijk, want ​​ AB​​, PP9​​

Q

VIDEO

AB⫽PP9⫽QQ9⫽RR9; • ze hebben dezelfde zin (pijl); • ze zijn even lang

P'

IN

• ze hebben dezelfde richting

R'

P

R

|​​ AB |​​=​​| PP9 |​​=​​| QQ9 |​​=​​| RR9 |​​.

B

v

A

N

Alle gelijke georiënteerde lijnstukken vormen samen een vector. ⟶⟶ ⟶ ​​ en RR9​​ ​​ vertegenwoordigers zijn van Je zegt dat de georiënteerde lijnstukken PP9​​ ​​ , QQ9​​ → eenzelfde vector ​​ AB​​.

→ Het beeld van driehoek PQR door de verschuiving volgens de vector AB​​ ​​ is de driehoek P9Q9R9.

Je noteert: ​​t​ → ​​ ​(n PQR)​ = n P9Q9R9​.

AB​ ​ Vector

VA

Definitie

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin.

→ Notatie: ​​ AB​​

Je leest dit als: de vector AB.

→ → Je kunt een vector ook noteren met een kleine letter met een pijltje erboven: AB​ ​​ = v​​​ .

©

Bijzonder geval

Een vector met hetzelfde beginpunt als eindpunt noem je een nulvector.

De nulvector heeft geen richting en geen zin.

De grootte van de nulvector is 0. → → ⟶ Notatie: ​​ AA​ = ​ BB​ = ... =​ ​​ O​​

1 2 3

4

72

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

B A

Er bestaan verschillende soorten vectoren. vrije vector

gebonden vector Een gebonden vector is een vector die vast(gebonden) is aan een aangrijpingspunt.

Een gebonden vector komt overeen met juist één vertegenwoordiger van een vector.

IN

Een vrije vector wordt gekenmerkt door een richting, zin en lengte.

Een vrije vector kan overal in het vlak of in de ruimte getekend worden; het blijft dezelfde vector.

N

Scalaire en vectoriële grootheden Bij toepassingen wordt een onderscheid gemaakt tussen twee soorten grootheden.

Scalaire grootheden worden volledig bepaald door een maatgetal en een eenheid.

VA

Voorbeelden:

• lengte: 2 m • massa: 46,2 kg • temperatuur: 21,0 ºC

Vectoriële grootheden hebben een grootte, richting en zin. Ook het aangrijpingspunt is van belang.

Ze worden voorgesteld met behulp van een vector.

Voorbeelden:

©

• kracht • snelheid • versnelling

→ V ​​ ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

73

4.1.2 De norm van een vector → De norm (of de grootte) van een vector AB​​ ​​ is de lengte van het lijnstuk [AB]. → ‖ ‖ Notatie: ​​ AB​ ​ ​​ Je leest dit als: de norm van vector A ​ B​.

Definitie

Norm van een vector

→ De norm van een vector AB​​ ​​ is de lengte van het lijnstuk [AB]. → ​​​‖AB​ ​ ‖​ = ​| AB |​​​

IN

4.1.3 Gelijke vectoren B

→ ⟶ ​ = ​ CD​ ⇔ AB​

Definitie

A

D

C

Gelijke vectoren

VA

N

Twee vectoren zijn gelijk als en slechts als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

4.1.4 Tegengestelde vectoren

⟶ → ​​ = − ​ DC​ ⇔​ AB​

Definitie

B A

Tegengestelde vectoren

©

Twee vectoren zijn tegengesteld als en slechts als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

→ → Opmerking: de tegengestelde vector van een vector v​​​​ noteer je als ​–v​​​ . ⟶ → Er geldt ​​ AB​= ​ en ​–​ DC​ = ​ .

1 2 3

4

74

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

D C

Oefeningen REEKS A 1

⟶ → Vink de correcte kenmerken aan van vector AB​ en ​​ vector ​ CD​​. a)

B

b)

C

c) B

A C

A

A C

D

D

IN

D

dezelfde grootte dezelfde richting dezelfde zin

2

B

dezelfde grootte dezelfde richting dezelfde zin

r r r

dezelfde grootte dezelfde richting dezelfde zin

r r r

r r r

Welke vectoren zijn gelijk en welke zijn tegengesteld? Noteer in symbolen.

B

N

E S

M

A

I

T U

VA

N

F V

J

P

W

Z

L

©

G

K

O

D

Q

H

R

C

Gelijke vectoren:

Tegengestelde vectoren:

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

75

REEKS B 3

⟶ → ⟶ Teken een vector CD​ ​​ zodat ​ AB​ = ​ CD​​.

a)

c)

B A

B=C C

A

d)

IN

b)

C

A

C A

B

B

⟶ ⟶ → Teken een vector CD​ ​​ zodat ​ AB​= –​ CD​​.

N

4

a)

c)

VA

C

B

©

b)

B

1 2 3

4

76

A=C

A

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

B

d) A

C

A B=C

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) was een Nederlandse graficus. Hij maakte in totaal 448 lithografieën, houtsneden en houtgravures en meer dan 2 000 tekeningen en schetsen.

Enkele zeer bekende werken van hem zijn ontworpen rond onmogelijke objecten, zoals de Penrose-trap.

Zijn gravures verbeelden vaak onmogelijke constructies, studies van oneindigheid en in elkaar passende meetkundige patronen (vlakverdelingen).

Vul telkens het beeld in van de verschuiving volgens de gegeven vector.

F = a) t→ AB ( 1)

A

F = b) t→ FB ( 11)

1

F = c) t⟶ GD ( 8)

E

F = d) t⟶ BH ( 4) f) t→EI (

g) t→ ( AC

H ) = F 10

h) t⟶ ( DG

D

2

3

F

G

4

5

6

7

I

J

K

8

9

10

11

) = F 11

) = F 10

Teken de punten E, F, G en H als je weet dat

VA

6

C

N

F = e) t→ EE ( 6)

B

IN

5

⟶ → a) CD = BE

→ → b) AC = DF

C D

A

©

→ ⟶ c) AC = –GB

⟶ ⟶ d) CD = –HD

B

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

77

7

De figuur is opgebouwd uit vier parallellogrammen met dezelfde basis en hoogte.

Vul telkens in met + of –.

G

H

l

D

E

A

C

IN

B

→ ⟶ f​)​ ​​​ FC​ = ​ AD​​

→ → a​)​ ​​​ AB​ = ​ EF​​

→ → b​)​ ​​​ BC​ = ​ ED​​

→ → g​)​ ​​​ AC​ = ​ DF​​

⟶ → c​)​ ​​​ HI​ = ​ GH​​

→ → h​)​ ​​​ EH​ = ​ FI​​

→ ⟶ d​)​ ​​​ AD​ = ​ CF​​

⟶ → i​)​ ​​​ GD​ = ​ FI​​

→ → j​)​ ​​​ BA​ = ​ BC​​

N

⟶ → e​)​ ​​​ HG​= ​ DE​​

De figuur is opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken.

B is het midden van [AC], D is het midden van [AF] en E is het midden van [CF].

VA

8

F

©

D

a) Vul aan zodat je een gelijke vector krijgt.

2

4

78

B

C

b) Vul aan zodat je een tegengestelde vector krijgt. → ⎯→ ​​ = –​C ​​ AB​

⟶ ⟶ DA​ ​​ = ​ F ​​

⎯→ → FE​ ​​ = –​C ​​

→ ⎯→ CE​ ​​ = ​B ​​

3

A

E

→ ⎯→ ​​ = ​D ​​ AB​ ⟶ ⟶ BD​ ​​ = ​ E ​​

1

F

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

⟶ → BE​ ​​ = –​ F ​​

⎯→ → DE​ ​​ = –​B ​​

4.2

Bewerkingen met vectoren

4.2.1 Inleiding

IN

GEOGEBRA

In de lucht ondervindt een valschermspringer verschillende krachten: → • een kracht F Z gericht naar het middelpunt van de aarde: de zwaartekracht; → • een kracht F w veroorzaakt door de wind.

De resulterende kracht kun je voorstellen → met behulp van één vector: F R .

Ze heeft hetzelfde effect als de andere twee krachten samen. Om die kracht nauwkeurig

→

FW

te construeren, leer je in dit onderdeel hoe je vectoren kunt optellen.

→

N

FR

→

FZ

VA

4.2.2 De som van vectoren Formule van Chasles-Möbius

VIDEO

Als drie punten in het vlak gegeven zijn, dan kun je, waar je die punten ook legt, altijd de volgende som noteren: → → → AB + BC = AC.

©

C

C

B

A

A

C

B

A

B

→ → → Je noemt vector AC de somvector van de vectoren AB en BC. Formule

Chasles-Möbius

→ → → Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: AB + BC = AC. GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

79

Constructie van de somvector

Geval 1: het eindpunt van de eerste vector valt samen met het beginpunt van de tweede vector.

B

Deze constructiemethode steunt op de formule van Chasles-Möbius. → → ​​ + ​ BC​​ AB​

A

→ ​= AC​ ​ ​

IN

C

Geval 2: het eindpunt van de eerste vector valt niet samen met het beginpunt van de tweede vector.

Je tekent een nieuwe vertegenwoordiger van de tweede vector, zodat het eindpunt van de eerste vector samenvalt met het beginpunt van de tweede vector.

B

C

→ ⟶ ​​ + ​ CD​​ AB​

→ → ​​ ​= BE CD ​ ​​ ​(​​ ​gelijke vectoren)​ ​​​

N

A

→ → ​= ​ AB​+ ​ BE​​

E

→ = ​​ AE​​

VA

D

formule Chasles-Möbius

Deze methode heet de kop-staartmethode.

Geval 3: de twee vectoren hebben hetzelfde beginpunt Als de twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben, kun je, naast de kop-staartmethode, ook de parallellogrammethode toepassen om de somvector te construeren.

B

D

©

A

C

1 2 3

4

80

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

Je tekent een parallellogram waarvan [AB] en [AC] twee zijden zijn.

De diagonaal [AD] uit het gemeenschappelijk beginpunt A is dan ⟶ drager van de somvector ​AD​ ​ ​.

4.2.3 Het verschil van vectoren Definitie

Verschil van twee vectoren Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector. → ⟶ → ( ⟶) AB – CD = AB + –CD

Constructie van de verschilvector

IN

Om twee vectoren van elkaar af te trekken, teken je een nieuwe vertegenwoordiger ⟶ van –CD, zodat het eindpunt van de eerste vector samenvalt met het beginpunt van deze nieuwe vertegenwoordiger.

B

D

A

E

C

→ ⟶ AB – CD

→ ⟶ = AB + DC

verschil van vectoren

N

⟶ → = AB + (–CD)

→ →

–CD = DC

→ → DC = BE

→ → = AB + BE

(tegengestelde vectoren) (gelijke vectoren)

formule Chasles-Möbius

VA

→ = AE

Voorbeeld

©

⟶ → a) Construeer PQ – RS.

P

R

S Q

b) Vul aan. ⟶ → PQ – RS ⟶ = PQ + (

)

⟶ = PQ + ⟶ = PQ + =

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

81

4.2.4 Een vector ontbinden in twee componenten Je kunt elke vector ontbinden in een som van twee of meerdere vectoren.

A D

→ → → AB​ ​​ = ​ AC​+ ​ CB​​

C

→ ⟶ → → AB​ ​​ = ​ AD​+ ​ DE​+ ​ EB​​

E B

IN

Voorbeelden

→ → → → → → ​​ = v​ ​ + ​ w​​.

Ontbind vector u​​ ​​ in twee componenten v​​​​ en ​​ w​​ zodat u​ → De drager van vector v​​ ​​ is evenwijdig met b. → De drager van vector ​​ w​​is evenwijdig met a.

b

N

b

u

u

a

VA

a

©

b

u

1 2 3

4

82

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

b u

a a

4.2.5 De vermenigvuldiging van een vector met een getal De vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal noem je de scalaire vermenigvuldiging.

VIDEO

Vermenigvuldiging van een vector met een getal → ​ ​ 0​​​)​​​​ is een vector waarvan: De vector r​​  ​ AB​ ​(​​met r ∈ r → • de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r en de lengte van AB​​ ​​ ; → • de richting dezelfde is als die van AB​​ ​​ ; → • de zin dezelfde is als die van ​​ AB​​ als r > 0 en tegengesteld als r < 0.

Voorbeelden

→ Gegeven: ​​ AB​​ → Gevraagd: construeer ​2  ​ AB​​ A

IN

Definitie

→ Gegeven: ​​ u​​ → Gevraagd: construeer – ​ 3  ​ u​​ u

VA

N

B

Bijzondere gevallen → → ​0  ​ AB​ = ​ O​​ → → ​ = ​ O​​ ​r  O​

©

De formule van Chasles-Möbius is genoemd naar August Ferdinand Möbius (1790-1868) en Michel Chasles (1793-1880). Ondanks het feit dat de formule naar hen werd genoemd, hebben de twee elkaar, naar alle waarschijnlijkheid, nooit ontmoet.

August Möbius was een Duitse wiskundige die in 1815 professor sterrenkunde werd in Leipzig. Later werd hij directeur van de nieuw gebouwde universitaire sterrenwacht. Möbius is onder meer bekend van zijn bijdrage aan de algebraïsche meetkunde en de topologie.

Ook de band van Möbius werd naar hem genoemd.

Michel Chasles was een Franse wiskundige die studeerde aan de beroemde Ecole Polytechnique in Parijs, waar hij nadien professor werd.

Hij is onder meer bekend van zijn studie van de projectieve meetkunde en de theoretische mechanica.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

83

Oefeningen REEKS A 9

Construeer de som van de vectoren. → → a) AB​ ​​ + ​ BC​​

→ → e) AC​ ​​ + ​ AB​​ C C

IN

A

B

A B

→ → ​​ + ​ AB​​ = AC​

→ → ​​ + ​ BC​​ = AB​

→ ⟶ b) AB​ ​​ + ​ CD​​

→ ⟶ f) ​​ AB​+ ​ CD​​

D

C

A

N

B

C

A

D

B

VA

→ ⟶ ​​ + ​ CD​​ = AB​

→ ⟶ c) AB​ ​​ + ​ CD​​

→ ⟶ ​​ + ​ CD​​ = AB​

→ → g) BA​ ​​ + ​ BC​​

A

D

B

A

©

C

B

C

→ → ​​ + ​ BC​​ = BA​

→ ⟶ ​​ + ​ CD​​ = AB​

→ → d) u​ ​​ + ​ v​​

→ → h) v​ ​​ + ​ u​​

u u

1

v

v

2

→ → u​ ​​ + ​ v​​ =

3

4

84

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

→ → v​ ​​ + ​ u​​ =

10

Construeer het verschil van de vectoren. → ⟶ a) AB​ ​​ – ​ CD​​

→ → e) AB​ ​​ – ​ BC​​ D

C

C

A

B

→ ⟶ ​​ – ​ CD​​ = AB​

B

A

IN

→ → ​​ – ​ BC​​ = AB​

→ ⟶ b) AB​ ​​ – ​ CD​​

→ → f) ​​ BC​ – ​ CA​​

D

B

C A

C

N

B

→ ⟶ ​​ – ​ CD​​ = AB​

→ → ​​ – ​ CA​​ = BC​

VA

→ ⟶ c) BA​ ​​ – ​ CD​​

A

→ → g) CB​ ​​ – ​ CA​​

C

D

C

B

B

A

→ ⟶ ​​ – ​ CD​​ = BA​

©

A

→ → d) v​ ​​ – ​ u​​

→ → ​​ – ​ CA​​ = CB​ → → h) u​ ​​ – ​ v​​

u u

v v

→ → v​ ​​ – ​ u​​ =

→ → u​ ​​ – ​ v​​ = GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

85

11

Construeer de gevraagde vector. ⟶ → a) DC​ ​​ = 2  ​ AB​​

→ → c) BC​ ​​ = –2  ​ AB​​

AA B

A

B

C

⟶ → b) CD​ ​​ = –3  ​ AB​​

⟶ → __ d) BA​ ​​ = ​ 1 ​ ​ DC​​ 2

IN

D

B

VA

REEKS B

C

N

A

12

Vereenvoudig de vectorsommen door gebruik te maken van veelvouden. → → → → → a​)​ ​​ AB​+ ​ AB​+ ​ AB​+ ​ AB​+ ​ AB​ =

⟶ ⟶ b​)​ ​–​ CD​ – ​ CD​

=

⟶ ⟶ → → → c​)​ ​​ PQ​+ ​ PQ​+ ​ RS​+ ​ RS​+ ​ RS​ =

→ → → → → d​)​ ​​ u​+ ​ u​ – ​ v​ – ​ v​ – ​ v​

©

→ → → → → → e​)​ ​​ u​+ ​ u​+ ​ u​+ ​ u​+ ​ v​ – ​ v​

13

→ ⟶ → ​ b​)​ ​​​ AB​+ ​ BD​ + = AE​​

→ → c​)​ ​​​ DF​+ = ​ O​​

2

→ → d​)​ ​–​ AB​ – = ​ BC​

3

4

86

=

Vul aan zodat de gelijkheid klopt. ⟶ → a​)​ ​​​ PQ​+ = ​ PR​​

1

=

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

→ → → e​)​ ​​​ DF​+ ​ FB​ + ​ BE​ = ​

→ → f​)​ ​​​ AA​+ = ​ AB​​

⟶ → g​)​ ​​​ PQ​ = ​ PR​ – ​

→ → h​)​ ​​–​ DE​= –​ AE​+ ​

C

A

14

De figuur bestaat uit vijf even grote gelijkbenige driehoeken.

Bepaal telkens de som of het verschil van de vectoren → → a) AB + BC =

E

⟶ → b) AD + AB = → → c) DF + DF =

C

D

→ → d) CA + BC =

⟶ ⟶ e) BD – BD =

→ ⟶ f) EC – DC =

A

15

IN

F

→ → g) AF – BF =

→ → h) CF – FD =

B

De figuur bestaat uit negen gelijkzijdige driehoeken.

Vul in met een vector.

N

A

C

VA

B

D

G

F

I

J

→ ⟶ b) CJ + 3  HD =

→ 2 ​​→ e) __ GJ + IB = 3 → ⟶ f) HE – 2  BD =

→ → d) 2  BC + EH =

→ 1 →  DF = h) AC – __ 2

©

→ → a) AB + 2  AC =

H

E

⟶ → c) HD + 2  DE =

→ → g) 2  BE – CJ =

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

87

16

Welke soort vierhoek is ABCD als je weet dat A, B, C en D niet-collineaire punten zijn? ⟶ → a​)​ ​​​ AB​ = 2  ​ CD​ ​

⟶ → b​)​ ​​​ AB​= –​ CD​ ​

17

Gegeven is de driehoek ABC. Construeer de punten P, Q en R als je weet dat:

IN

→ → → a​)​ ​​​ AB​+ ​ AC​ = ​ AP​​ → → ⟶ b​)​ ​​​ CA​ – ​ BC​ = ​ CQ​​ → → → c​)​ ​​​ AC​+ ​ AC​ = ​ AR​​

N

B

A

VA

C

18

De volgende figuur bestaat uit vier rechthoeken met een gelijke lengte en gelijke breedte. → → Schrijf de vector als een som van veelvouden van u​ ​​ en ​​v​ .

G

u

H

l

© A

E

→ b​)​ ​​​ GE​​ = ⟶ c​)​ ​​​ HC​​ =

v

D

→ a​)​ ​​​ DF​ = ​

F

⟶ d​)​ ​​​ GA​ = ​ → e​)​ ​​​ GC​​ = → f​)​ ​​​ FD​ = ​

B

C

→ g​)​ ​​​ ID​​ = → h​)​ ​​​ FH​ = ​

1 2 3

4

88

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

REEKS C 19

Construeer de som of het verschil van de vectoren. → → → a) AB​ ​​ + ​ BC​+ ​ DE​​

→ → → b) u​ ​​ + ​ v​ – ​ w​​ B D

A

u

E

w C

20

IN

v

Gegeven is een regelmatige zeshoek.

De straal van de omgeschreven cirkel heeft dezelfde lengte als de zijde van de zeshoek. → → Schrijf de vector als een som van veelvouden van u​ ​​ en ​ v​​. ⟶ a​)​ ​​​ CD​ = ​

D

N

E

→ b​)​ ​​​ AC​​​ ​=

⟶ c​)​ ​​​ DB​​​ ​=

u

v

VA

F

M

A

→ e​)​ ​​​ BE​ = ​

→ f​)​ ​​​ DE​ = ​

→ g​)​ ​​​ AE​​​ ​=

→ h​)​ ​​​ EC​​​ ​=

Gegeven is een parallellogram ABCD en een willekeurig punt P. → → ⟶ Bewijs dat voor elk punt P geldt: AB​ ​​ + ​ CP​ = ​ DP​​

©

21

B

C

→ d​)​ ​​​ DF​ = ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

89

22

⟶⟶ ⟶ In welk vak kom je terecht als je de drie vectoren OA​ ​​ , ​ OB​ en ​ OC​​ optelt?

Maak een constructie.

C

Vak A

Vak B

B

IN

O

A

Vak D

23

N

Vak C

Gegeven is een kubus. M en N zijn de snijpunten van de diagonalen van de zijvlakken.

Schrijf als één vector.

VA

F

G

E

H

©

N

1

B

C

A

3

4

90

D

→ ⟶ → → a) AB​ ​​ + ​ CH​ – ​ GF​+ 2  ​ EN​ = ​

→ ⟶ → → d) BC​ ​​ + 2  ​ NB​ – ​ FB​ – ​ AF​ = ​

⟶ → ⟶ → c) ​2  ​ CM​+ ​ FG​ – ​ CH​+ ​ CB​ = ​

⟶ → ⟶ ⟶ f) ​​ ME​ – ​ NE​ – ​ AN​+ ​ AM​

⟶ ⟶ ⟶ ⟶ b) DC​ ​​ – ​ NB​ – ​ NA​+ ​ DA​

2

M

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

= ​

⟶ ⟶ ⟶ → e) ​–GD​ ​ + ​ HB​+ ​ BD​ – ​ BF​ = ​

= ​

4.3

Toepassingen uit de fysica

4.3.1 Krachtvectoren Een kracht is een vectoriële grootheid en kan worden voorgesteld met behulp van een gebonden vector.

Een krachtvector wordt bepaald door • een aangrijpingspunt A,

IN

• een richting AB, • een zin: van A naar B, → ​ ‖​ = ​| AB |​​.

• een grootte: ‖ ​​ AB​

→ → Als twee krachten ​F​​ ​ 1​​ ​​ en ​F​​ ​ 2​​ ​​inwerken op een voorwerp met hetzelfde aangrijpingspunt, → → → dan construeer je de resulterende kracht ​F​​ ​ R​​ ​​ als somvector van ​F​​ ​ 1​​ ​​ en ​F​​ ​ 2​​ ​​.

N

De krachtvectoren hebben niet dezelfde richting Tuur en Domien staan ieder aan een kant van een boot. Ze trekken elk aan een touw dat aan de voorkant van de boot werd bevestigd. Tuur trekt met een kracht van 400 N, Domien met een kracht van 550 N.

VA

→ Construeer de resulterende kracht ​​ ​F​ R​​ ​​.

F1

A

©

F2

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

91

De krachtvectoren hebben dezelfde richting en dezelfde zin Pieter en Stan duwen aan dezelfde kant een kist horizontaal naar rechts.

Ze duwen elk met een kracht van 400 N. → Construeer de resulterende kracht ​F​​ ​ R​​ ​​.

F1

B

IN

A

F2

→ → • De richting van de krachten ​F​​ ​ 1​​ ​​ en ​F​​ ​ 2​​ ​​ is dezelfde. → • De zin van de resulterende kracht ​​ ​F​ R​​ ​​is horizontaal naar rechts.

• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt: → → → ​​ ​F​ ​ R​​ ​ ​ = ​ ​F​ ​ 1​​ ​ ​+ ​ ​F​ ​ 2​​​ ​ = 400 + 400 = 800​

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

N

De grootte van de resulterende kracht bedraagt 800 N.

De krachtvectoren hebben dezelfde richting en een tegengestelde zin

VA

Pieter en Stan willen zien wie van de twee het sterkst is. Ze duwen elk aan een kant → van een kist. Pieter duwt met een kracht ​​ ​F​ 1​​ ​​ van 400 N horizontaal naar rechts en → Stan duwt met een kracht ​​ ​F​ 2​​ ​​ van 500 N horizontaal naar links.

A

B

©

F2

F1

→ → • De richting van de krachten ​F​​ ​ 1​​ ​​ en ​F​​ ​ 2​​ ​​ is dezelfde. → • De zin van de resulterende kracht ​​ ​F​ R​​ ​​is horizontaal naar links.

Je kunt besluiten dat Stan het sterkst is.

• De grootte van de resulterende kracht vind je als volgt: → → → ​​ ​F​ ​ R​​ ​ ​ = ​ ​F​ ​ 2​​ ​ ​ – ​ ​F​ ​ 1​​​ ​ = 500 – 400 = 100 ​

‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖

1

De grootte van de resulterende kracht bedraagt 100 N.

2 3

4

92

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

4.3.2 Snelheidsvectoren

4.3.3 Versnellingsvectoren

IN

Een snelheid heeft altijd een welbepaalde richting, zin en grootte.

Als aangrijpingspunt wordt meestal het massazwaartepunt genomen van het voorwerp dat beweegt.

Snelheid is daarom ook een vectoriële grootheid.

Als de snelheidsvector van een voorwerp verandert, dan zeg je dat het voorwerp ‘versnelt’.

Dat woord kan soms wat verwarrend zijn omdat een snelheidsverandering ook een vertraging kan betekenen.

N

→ Notatie versnellingsvector: a → → Als de versnellingsvector a dezelfde zin heeft als de snelheidsvector v, dan neemt de snelheid in grootte toe.

VA

t = 0 (s) De auto staat stil. Joris start zijn wagen en drukt op het gaspedaal.

→a

t = 1 (s) De auto van Joris versnelt.

→v

→a

t = 5 (s) De auto van Joris versnelt nog altijd.

→a

→v

©

→ → Als de versnellingsvector a een tegengestelde zin heeft ten opzichte van de snelheidsvector v, dan neemt de snelheid in grootte af. t = 0 (s) Joris rijdt met zijn wagen en duwt op het rempedaal. t = 2 (s) Joris duwt nog steeds op het rempedaal.

De auto van Joris vertraagt.

→v

→a

→a

→v

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

93

Oefeningen REEKS B 24

Op de tekening zie je een volle en een halfvolle bus melk. a) Welke kracht wordt hier telkens voorgesteld?

IN

b) Verklaar waarom de aangrijpingspunten zich op een andere plaats bevinden.

Vijf kinderen spelen een spelletje touwtrekken.

→ De twee jongens trekken samen met een kracht F 1 van 500 N naar links. → De drie meisjes trekken samen met een kracht F 2 van 670 N naar rechts.

VA

25

N

c) Verklaar waarom de krachtvector bij de volle bus melk groter is getekend.

Stel een grootte van 100 N voor als 1 cm.

©

→ → a) Teken de krachtvectoren F 1 en F 2 op de tekening. Neem als aangrijpingspunt het midden A van het touw.

→ b) Construeer de resulterende kracht F R.

c) Hoe groot is de resulterende kracht?

1 2

d) Wie wint het spelletje touwtrekken?

3

4

94

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

A

26

Stand-up paddleboarden is een watersport waarbij deelnemers rechtstaan op een paddleboard of surfplank die drijft op het water. De deelnemers gebruiken een paddle om zich voort te bewegen. → Tom peddelt stroomopwaarts met een snelheid ‖v‖ = 4,5 km / h ten opzichte van het water. → Het water stroomt met een snelheid ‖w‖ = 3,2 km / h.

→ → a) Teken de snelheidsvectoren v en w op de figuur. Neem als aangrijpingspunt het massazwaartepunt A van het paddleboard. → b) Construeer de resulterende snelheid u. → c) Hoe groot is de resulterende snelheid u van Tom ten opzichte van de oever?

IN

A

Laura stapt op de bus en neemt een zitje achteraan in de bus.

De bus vertrekt oostwaarts en rijdt tegen een snelheid van 52 km/h.

N

27

VA

a) Laura wil de buschauffeur iets vragen.

Ze wandelt met een snelheid van 4,5 km/h oostwaarts.

Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?

©

b) Nadien wandelt Laura terug met een snelheid van 4 km/h in de richting van het westen.

Hoeveel bedraagt de snelheid van Laura ten opzichte van de grond?

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

95

28

Mil en Margot trekken ieder aan een zware koffer.

De zin, de richting en de grootte van de uitgeoefende krachten vind je op de tekening. → Construeer telkens de resulterende kracht F R .

Situatie 1:

F1

A

Situatie 2:

IN

F2

F2

B

REEKS C

→ → Een kracht F 1 met een grootte van 8 N staat loodrecht op een kracht F 2 met een grootte van 6 N.

VA

29

N

F1

A

a) Stel de situatie voor met behulp van een tekening.

Stel een grootte van 2 N voor als 1 cm. → b) Construeer de resulterende kracht F R.

©

→ c) Bereken de grootte van de resulterende kracht F R.

→ d) Bepaal de zin, richting en grootte van een kracht F 3 die je moet uitoefenen om evenwicht te creëren.

1 2 3

4

96

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

4.4

Vectoren in een orthonormaal assenstelsel

4.4.1 Coördinaat van een puntvector Definitie

Orthonormaal assenstelsel Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid.

GEOGEBRA

Gegeven is een orthonormaal assenstelsel

y

met oorsprong O.

7

IN

⟶ • Teken een vertegenwoordiger OP​​ ​​ → van de vector ​​ AB​​. ⟶ • Teken een vertegenwoordiger OQ​​ ​​ ⟶ van de vector ​​ CD​​.

6 5 4

C

B

3 2

A

1

−3

−2

−1

O

1

2

3

4

5

x

6

N

Omdat de oorsprong het beginpunt is van ⟶ ⟶ ​​ , kun je een verkorte de vectoren ​​ OP​​ en OQ​​ → ⟶ → ⟶ ​ . notatie gebruiken: P​ ​​ = ​ OP​​ en ​​ Q​ = OQ​​ → → Je noemt P​​ ​​ en ​​ Q​​ puntvectoren.

D

Een puntvector ontbinden in twee componenten

→ → De drager van vector ​E​​ ​ x​​​​ is de x-as en de drager van vector ​E​​ ​ y​​​​ is de y-as.

‖ ‖ ‖ ‖

VA

→ → ​​ ​E​ ​ x​​​ ​ = ​ ​E​ ​ y​​​ ​ = 1​.

→ → ​E​​ ​ x​​​​ en ​E​​ ​ y​​​​ noem je eenheidsvectoren.

Het punt P heeft een coördinaat (x, y).

→ Dat noem je de coördinaat van de puntvector P​​ ​​ . → ​ )​ = (x, y)​ Notatie: ​co ​(P​

©

→ ​​ schrijven als de som van Je kunt de vector P​​ → x aantal keren de eenheidsvector ​​ ​E​ x​​​​ en → y aantal keren de eenheidsvector ​​ ​E​ y​​​.​ → → → Notatie: P​ ​​ = x  ​ ​E​ x​​​ + y  ​ ​E​ y​​​​. → Je zegt dat de puntvector P​​ ​​ ontbonden is

y

P(x, y)

y

1 Ey O

x Ex

1

x

in een component volgens de x-as (x-component) en een component volgens de y-as (y-component).

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

97

4.4.2 Coördinaat van een vrije vector Gegeven is een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O. → • De coördinaat van een vector AB​​ ​​ vind je → door een puntvector P​​ ​​ te construeren

y

met dezelfde richting, zin en grootte

is ook hun coördinaat gelijk. →) →) ​​co ​(AB​ ​ ​ = co ​(P​ ​ ​ = (–4, 3)​​.

B P 1 +3 · Ey Ey Ex 1

O

−4 · Ex

A

x

IN

als de oorspronkelijke vector. → → → Omdat ​​ P​= –4  ​ ​E​ x​​​ + 3  ​ ​E​ y​​​​ , →) kun je besluiten dat ​​co ​(P​ ​ ​ = (–4, 3)​​. → → Omdat ​​ AB​​ en P​​ ​​ gelijke vectoren zijn,

y

→ • Je kunt de coördinaat van een vector AB​​ ​​

B

ook vinden door de vector te ontbinden in twee componenten,

VA

N

evenwijdig met de x-as en de y-as. → → → ​​ AB​= –4  ​ ​E​ x​​​ + 3  ​ ​E​ y​​​​ →) Je kunt besluiten dat ​​co ​(AB​ ​ ​ = (–4, 3)​​.

+3 · Ey

1

O

Ex

A

−4 · Ex

Ey

x

1

Voorbeeld

Bepaal de coördinaat van de vectoren. → ​co ​( ​ A ​ )​ = ​

→ ​ )​ = ​ ​co ​(B ​

©

→ C ​ )​ = ​ ​co ​( ​

→ ​ )​= ​ ​co ​(DE ​ → ​ )​= ​ ​co ​(FG ​

→ ​ )​ = ​​ ​​co ​(HI ​

1 2 3

4

98

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

y 5 F

E

4 G 3 2

l −4

A −3

−2

1 −1 −1

H

−2 B −3

D O

1

2

3

4

5 C

x

Oefeningen REEKS A 30

Bepaal de coördinaat van de vectoren. →) ​​co (​ A​ ​ ​ = ​​

y 5

→) ​ ​ = ​ c​ o ​(B​

L

→ ​ )​ = ​ c​ o ​(C​

K

I

2

F

1

A

D

IN

H

→ ​ )​ = ​ ​co ​(FG​

–7

–6

–5

–4

–3

–2

O 1

–1

2

3

x

5

–2

J

–3

→) ​ ​ = ​​ c​​ o ​(JK​

4

–1

B

→) ​ ​ = ​​ c​​ o ​(HI​

E

–4

C

–5

N

⟶) ​ ​ = ​​ ​​co ​(LM​ 31

3

M

→) ​ ​ = ​ c​ o ​(DE​

G

4

→ Teken de componenten van de puntvector A​​ ​​ volgens de x-as en de y-as. → Schrijf daarna vector ​​ A​​als som van zijn x-component en y-component. a)

6

c)

y

4 3

4

2

VA

5 3

1

A

2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

A

x

–3 –2 –1 O 1 –1

2

3

4

5

©

4 2

–3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

→ A​ ​​ = ​

7

A

1

2

3

4

5

y

6 5 4

x

O

4

→ A​ ​​ = ​

3 1

3

–4

d)

y

2

–3

–2

b)

–1

x O 1

–2

6

→ A​ ​​ = ​

y

3

6

2 1

A

O 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

→ A​ ​​ = ​

x 2

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

99

REEKS B 32

Bepaal de coördinaat van de vectoren. → ​​co (​ AC​ ​ )​ = ​​

y

→ ​ )​ = ​ ​co ​(BC​

6

4

→) ​ ​ = ​ ​co ​(BE​

D

⟶) ​ ​ = ​ c​ o ​(AD​

IN 1

→) ​ ​ = ​ c​ o ​(DE​

–5

–4

–3

–2

1

2

3

4

–2

A

→) ​ ​ = ​ ​co ​(EB​

x

5

C

N

–3

Teken de vectoren in het assenstelsel. Eén punt van de vector is telkens gegeven.

VA

→) ​ ​ = (5, 1)​​ ​​co (​ AB​

y 6 5

⟶ ​ )​ = ​(0, –4)​​ ​co ​(CD​

4

⟶ ​ )​ = ​(1, –5)​​ ​co ​(GH​

1

→ ​co ​(​ IJ​)​ = ​(3, 2)​​

©

→) ​ ​ = (5, 0)​​ ​​co (​ KL​

1 2 3

4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

–6

–5

B

C

3

→) ​ ​ = ​(2, –1)​​ ​co ​(EF​

100

O

–1

–1

→ ​ )​ = ​ ​co ​(CA​

33

E

3 2

→ ​ )​ = ​​ ​​co ​(CE​

→) ​ ​ = ​​ ​​co ​(AB​

B

5

⟶ ​ )​ = ​ ​co ​(CD​

2

–4

–3

–2

–1 O

F 1

x 2

3

4

5

6

–1 –2 –3

H I

–4

L

7

4.4.3 Coördinaat van de somvector Vul telkens de coördinaat in. →) ​ ​=​ ​​( ​co (​ AB​ ⟶ ​ )​=​ ​​( ​co (​ CD​ +

→ ⟶) ​co (​ AB​ ​ + ​ CD​ ​=​ ​​(

6

)​​ A

5

)​​

4 C

)​​

3

B

2

De coördinaat van de somvector → ⟶ AB​ ​​ + ​ CD​​wordt verkregen door de overeenkomstige coördinaatgetallen → ⟶ van AB​​ ​​ en CD​​ ​​ op te tellen.

1

D

−5

−4

−3

−2

E

−1 O

1

2

3

x

4

⟶ →) Als ​​co (​ AB​ ​ ​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​)​​ en ​co (​ CD​ ​ )​ = ​(​​​x​ 2​​, ​y​ 2​​​)​​​, dan is: ⟶ → ⟶) →) ​co ​(AB​ ​ + ​ CD​ ​= co ​(AB​ ​ ​+ co ​(CD​ ​ )​ = ​(x​ 1​​, ​y​ 1​​) + (​x​ 2​​, ​y​ 2​​) = (​x​ 1​​ + ​x​ 2​​, ​y​ 1​​ ​+ y​ 2​​)​

N

Algemeen

y

IN

VIDEO

→ ⟶ → Je construeert de somvector AB​ ​​ + ​ CD​ = ​ AE​​in een orthonormaal assenstelsel.

4.4.4 Coördinaat van de verschilvector

→ ⟶ → Je construeert de verschilvector AB​ ​​ – ​ CD​ = ​ AE​​in een orthonormaal assenstelsel.

Vul telkens de coördinaat in.

VA

→) ​ ​=​ ​​( ​co (​ AB​ ⟶ ​ )​=​ ​​( c​ o (​ CD​ – ⟶ → ​co (​ AB​ ​ – ​ CD​)​=​ ​​(

y 7

)​​

6

)​​

A

E

4

)​​

C

3

B

2

De coördinaat van de verschilvector → ⟶ AB​ ​​ – ​ CD​​wordt verkregen door

1

D −5

−4

x −3

−2

−1 O

1

2

3

4

5

6

©

de overeenkomstige coördinaatgetallen → ⟶ van ​​ AB​​ en CD​​ ​​ af te trekken.

5

Algemeen

⟶ →) Als ​co (​ AB​ ​ ​ = ​(​​​x​ 1​​, ​y​ 1​​​)​​​ en c​ o (​ CD​ ​ )​ = ​(​​​x​ 2​​, ​y​ 2​​​)​​​, dan is: ⟶ → ⟶) →) ​co ​(AB​ ​ – ​ CD​ ​= co ​(AB​ ​ ​ – co (​ CD​ ​ )​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​) – (​x​ 2​​, ​y​ 2​​) = (​x​ 1​​ – ​x​ 2​​, ​y​ 1​​ ​ – y​ 2​​​)

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

101

4.4.5 Coördinaat van een scalair veelvoud van een vector → Je construeert de vector ​r  ​ AB​​in een orthonormaal assenstelsel. y

Vul telkens de coördinaat in. →) ​ ​=​ ​​( ​co (​ AB​ ​​ 2 →) ( ( ​co ​ 2  ​ AB​ ​=​ ​​ ​​ (–3) → ​co ​(− 3  ​ AB​)​=​ ​​(

8

)​​

​​ 2 )​​

6

​​ (–3)

C

5

)​​

→ De coördinaat van de vector ​r  ​ AB​​

B

4 3

A

2

wordt verkregen door de overeenkomstige → coördinaatgetallen van AB​​ ​​

D

te vermenigvuldigen met een factor r.

−5

1

−4

−3

−2

−1 O

1

2

→) Als ​​co (​ AB​ ​ ​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​)​​, dan is → →) ​co ​(r  ​ AB​)​= r  co (​ AB​ ​ ​ = r  (​x​ 1​​, ​y​ 1​​) = (r  x​ ​ 1​​, r  ​y​ 1​​)​

Voorbeeld

N

Algemeen

7

IN

VIDEO

→ →) →) → ​ ​ = ​(–1, 3)​​ ​ co (​ B​ ​ ​ = ​(4, –2)​​ ​ co (​ C​ ​ )​ = ​(6, 3)​​ ​ co (​ ​ D​)​ = ​(0, –4)​​ Gegeven: ​co ​(A​ Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.

VA

→ →) ​ + ​ B​ ​ • ​​​co (​ A​

→ →) ​ – ​ C​ ​ • ​​​co (​ B​

→ → • ​​​co (​ ​ D​ – ​ A​)​

→ → ​ + ​ B​)​ • ​​​co (​ C​

→ • ​​co (​ 3  ​ B​)​

©

→ • ​​co (​ –2  ​ A​)​

→ → • ​​co (​ 3  ​ D​ – ​ B​)​

= ​​

= ​​

= ​​

= ​​

= ​

= ​

= ​

→ → • ​​​co (​ –4  ​ A​+ 2  ​ B​)​ = ​​

1 2 3

4

102

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

3

4

x

4.4.6 Verband tussen een vector en een puntvector → Voor elke vector AB​ ​ ​​ geldt:

Besluit

y A

Chasles-Möbius

B

1

IN

→ ⟶ ⟶ ​​ AB​ = ​ AO​+ ​ OB​​ ⇓ → ⟶ ⟶ ​​ = ​ OB​+ ​ AO​​ AB​ ⇓ → ⟶ ( ⟶) ​​ = ​ OB​ – ​ –​ AO​ ​​ AB​ ⇓ → ⟶ ⟶ ​​ AB​ = ​ OB​ – ​ OA​​ ⇓ → → → ​​ = B​ AB​ ​ – ​ A​​

O

x

1

→ In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kun je elke vector AB​​ ​​ schrijven als → → het verschil van de puntvector ​​ B​​van het eindpunt en de puntvector A​​ ​​ van het beginpunt. → → → ​​ AB​ = B​ ​ – ​ A​​ Verband tussen de coördinaat van een vector en de coördinaat van een puntvector

N

→ →) →) ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ en c​​ o (​ B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​)​​.

Gegeven is een vector AB​​ ​​ met c​​ o (​ A​

→ → → Uit ​​ AB​​ = B​​ ​​ – ​​ A​​ volgt:

VA

→) → →) ​ ​ = co ​(B​ ​ –​ A​ ​​ ​co ​(AB​ ⇓

A

yA

→) →) →) ​co ​(AB​ ​ ​ = co ​(B​ ​ ​ – co (​ A​ ​ ​​

⇓ → c​​ o ​(AB​ ​ )​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​) – (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​

yB

B

1

⇓

→) c​​ o ​(AB​ ​ ​ = (​x​ B​​ – ​x​ A​​, ​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​

x O

1

xA

xB

→) →) Als c​​ o (​ A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ B​​)​​ en ​​co (​ B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​)​​, dan is → → → ​​co ​(AB​ ​ )​ = co ​(B​ ​ )​ – co (​ A​ ​ )​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​) – (​x​ A​​, ​y​ A​​) = (​x​ B​​ – ​x​ A​​, ​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​.

©

Algemeen

y

Voorbeeld

→ →) →) ​ ​ = ​(–4, 5)​​ ​ co ​(B​ ​ ​ = ​(–1, –3)​​ ​ co (​ C​ ​ )​ = ​(0, –2)​​ Gegeven: ​co ​(A​ Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.

→) ​ ​ = ​​ • ​​​co (​ AB​

→ • ​​​co ​(​ CA​)​ = ​​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

103

4.4.7 De norm van een vector

VIDEO

→ →) →) Gegeven is een vector AB​​ ​​ met c​​ o​(A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ en ​​co​(B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​)​​.

Om de norm (of de grootte) → van een vector ​​ AB​​te bepalen, steun je

y

op de stelling van Pythagoras:

| y B − yA |

2

→ 2 2 ​​​‖AB​ ​ ‖​​​ ​ = ​​| ​x​ B​​ – ​x​ A​​ |​​​ ​+ ​​| ​y​ B​​ – ​y​ A​​ |​​​ ​​

O

x 1

→ →) →) De norm van een vector AB​​ ​​ met ​co​(A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​​) en ​co​(B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​​) _________________ 2 2 → ​ ‖​ = ​ ​( ​x​ B​​ – ​x​ A​​)​​ ​+ (​​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​ ​ ​​. is gelijk aan ​​‖AB​

√

Bijzonder geval

N

→ Om de norm van een puntvector ​​ A​​ te bepalen,

steun je opnieuw op de stelling van Pythagoras: 2

→ ​​​‖A​ ​ ‖​​​ ​ = ​| ​x​ A​​ |​² + ​| ​y​ A​​ |​²​ 2

VA

‖​​​ →A​ ​ ‖​​​ ​ = ​​x​ A​​​​ 2​+ ​​y​ A​​​​ 2​​

_ ‖​​ →A​ ​ ‖​ = ​√ ​​x​ A​​​​ 2​+ ​​y​ A​​​​ 2​ ​​

Algemeen

xB

xA

IN

Algemeen

| xB − xA|

1

_________________

2 2 ‖​​ → ​ ‖​ = ​√ ​( AB​ ​x​ B​​ – ​x​ A​​)​​ ​+ (​​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​ ​ ​​

B

yB

2

2 2 ‖​​​ → ​ ‖​​​ ​ = (​​x​ B​​ – ​x​ A​​)​​ ​+ (​​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​ ​​ AB​

A

yA

y

1 xA

1

|yA| A yA

|xA|

→ →) De norm van een puntvector A​​ ​​ met ​​co​(A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ _ → ​ ‖​ = ​√ ​​x​ A​​​​ 2​+ ​​y​ A​​​​ 2​ ​​. is gelijk aan ​​‖A​

©

Voorbeeld

→ →) →) → ​ ​ = ​(–4, 5)​​ ​ co​(B​ ​ ​ = ​(–1, –3)​​ ​ co​(C​ ​ )​ = ​(0, –2)​​ ​ co​(​ D​)​ = ​(3, 7)​​ Gegeven: c​ o​(A​

Bereken de norm van de vector. Rond af op 0,01. → • ​​​‖BC​ ​ ‖​ = ​

⟶ • ​​​‖AD​ ​ ‖​ = ​

1

⟶ • ​​​‖CD​ ​ ‖​ = ​

2 3

4

104

→ • ​​​‖A​ ​ ‖​ = ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

x

O

Oefeningen REEKS A 34

→ →) →) → Gegeven: ​co (​ A​ ​ ​ = ​(3, 3)​ co (​ B​ ​ ​ = ​(–2, 2)​ co (​ C​ ​ )​ = ​(4, 0)​ co (​ ​ D​)​ = ​(4, –1)​​ Construeer de gevraagde vector. Bereken nadien de coördinaat van die vector. → → a) A​ ​​ + ​ B​​

→ d) ​2  ​ B​​

y 5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 –3

–2

–1

x

1

O

2

3

–4

–3

–2

–1

4

→ ​co​(2  ​ B​)​​

→ →) ​co​(A​ ​ + ​ B​ ​​

x

1

O –1

2

3

4

5

→ → e) C​ ​​ – ​ A​​

N

→ → b) A​ ​​ – ​ D​​

y

5

3

3

2

2

1

VA –3

–2

4

4

1

–4

y

IN

6

x

–1 O –1

1

2

3

–3

–2

–1

4

2

3

–3

→ →) ​co​(A​ ​ – ​ D​ ​​

→ → ​co​(C​ ​ – ​ A​)​​

©

x 1

–2

–2

→ → c) B​ ​​ + ​ C​​

O –1

y

→ f) ​–2  ​ D​​

y 4

3

3

2

2

1

1

–5 –4 –3 –2 –1 O

x 1

2

3

4

5

6

7

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 O –1

→ →) ​co​(B​ ​ + ​ C​ ​​

→ ​co​(− 2  ​ D​)​​

y

x 1

2

3

4

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

105

REEKS B 35

→) Gegeven: ​co (​ A​ ​ ​ = ​(2, 4)​

→ →) co (​ B​ ​ ​ = ​(–2, –1)​ co (​ C​ ​ )​ = ​(4, –2)​​

Bereken de coördinaat van de gevraagde vector. →) ​ ​ = ​​ a​)​ ​​​co (​ AB​

→ ​ )​ = ​​ b​)​ ​​​co ​(CA​

⟶ ​ )​ = ​​ c​)​ ​​​co ​(OB​ → ​ )​ = ​​ d​)​ ​​​co ​(BC​

IN

⟶ ​ )​ = ​​ e​)​ ​​​co ​(CO​ → ​ )​ = ​​ f​)​ ​​​co ​(CB​ 36

→) →) ​ ​ = ​(–4, 5)​ co ​(B​ ​ ​ = ​(0, –3)​ Gegeven: ​co ​(A​

→ → co (​ C​ ​ )​ = ​(–1, 8)​ co ​(​ D​)​ = ​(9, –2)​​

Bereken de coördinaat van de gevraagde vector.

→ → ​ + ​ D​)​ b​)​ ​​​co ​(C​ → c​)​ ​​co (​ 4  ​ B​)​ → → d​)​ ​​​co (​ ​ D​ – ​ A​)​

= ​​

= ​

= ​​

VA

→ → ​ + ​ A​)​ e​)​ ​​​co ​(C​

= ​​

N

→ →) ​ – ​ B​ ​ a​)​ ​​​co (​ A​

→ f​)​ ​​co (​ –3  ​ D​)​

= ​​

= ​

→ → g​)​ ​​co (​ 2  ​ A​+ 3  ​ B​)​ = ​

©

→ → ​ 5  ​ D​)​ = ​ h​)​ ​​co (​ − 2  C​ –

1 2 3

4

106

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

37

→ →) →) → Gegeven: ​co (​ A​ ​ ​ = ​(2, 4)​ co (​ B​ ​ ​ = ​(0, –5)​ co (​ C​ ​ )​ = ​(–1, –3)​ co (​ ​ D​)​ = ​(3, –4)​​ Bereken de norm van de vector. Rond af op 0,01.

→ a​)​ ​​​‖AB​ ​ ‖​ = ​

⟶ ​ ‖​​ = b​)​ ​​​‖BD​ → ​ ‖​ = ​ c​)​ ​​​‖CA​

⟶ ​ ‖​ = ​ d​)​ ​​​‖AD​

→ ​ ‖​ = ​ e​)​ ​​​‖C ​

IN

→ ​ ‖​ = ​ f​)​ ​​​‖A ​

REEKS C 38

→) →) Gegeven: c​ o (​ A​ ​ ​ = ​(–6, 2)​ co (​ AB​ ​ ​ = ​(3, –2)​​ →) ( Bereken ​co ​ B​ ​ ​​.

N

VA

→) ​ ​ = ​(–2, –3)​ Gegeven: ​co (​ A​

→ →) co (​ B​ ​ ​ = ​(4, –5)​ co (​ C​ ​ )​ = ​(0, 3)​​

Bereken de coördinaat van de gevraagde vector. → → a​)​ ​​co (​ 2  ​ AB​+ 3  ​ AC​)​ = ​

©

39

→ → b​)​ ​​co (​ 4  ​ BC​ – 2  ​ CA​)​ = ​

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

107

STUDIEWIJZER Vectoren voor de leerling

4.1 Begripsvorming KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Twee vectoren zijn gelijk als en slechts als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • dezelfde zin hebben.

IN

Een vector is een grootheid die volledig bepaald wordt door • een grootte, • een richting, • een zin. → ​​ Notatie: AB​​ Je leest dit als: de vector AB → De norm van een vector AB​​ ​​ is de lengte van het lijnstuk [AB]. → ​ ‖​ = ​| AB |​​​ ​​​‖AB​

Twee vectoren zijn tegengesteld als en slechts als ze • dezelfde grootte hebben; • dezelfde richting hebben; • een tegengestelde zin hebben.

KUNNEN

–  + –  +

Van een gegeven vector een gelijke en een tegengestelde vector tekenen.

N

Gelijke en tegengestelde vectoren herkennen en benoemen.

4.2 Bewerkingen met vectoren

KENNEN

VA

→ → → Voor drie punten A, B en C in het vlak geldt: AB​ ​​ + ​ BC​ = ​ AC​​ (formule Chasles-Möbius).

Het verschil van twee vectoren is de som van de eerste vector met het tegengestelde van de tweede vector. → ⟶ → ( ⟶) ​​ – ​ CD​ = ​ AB​+ ​ –​ CD​ ​​ AB​ → De vector ​​r  ​ AB​ (met r ∈ r ​ ​ 0​​)​​ is een vector waarvan: → • de lengte gelijk is aan het product van de absolute waarde van r met de lengte van ​​ AB​​ ; → • de richting dezelfde is als die van AB​​ ​​ ; → • de zin dezelfde is als die van ​​ AB​​ als r > 0 en tegengesteld als r < 0.

KUNNEN

–  + –  +

–  + –  +

©

Van twee (of meer) vectoren de somvector en de verschilvector definiëren en construeren.

Het scalair product van een vector en een reëel getal definiëren en construeren.

Een vector ontbinden in twee (of meerdere) vectoren.

4.3 Toepassingen uit de fysica KUNNEN

De resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvector tekenen.

De norm van de resulterende kracht-, snelheids- of versnellingsvector berekenen als de gegeven vectoren dezelfde richting hebben.

1 2 3

4

108

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

–  + –  +

voor de leerling

4.4 Vectoren in een orthonormaal assenstelsel KENNEN

voor de leerkracht

–  + –  +

Een orthonormaal assenstelsel is een assenstelsel waarbij • de assen loodrecht op elkaar staan; • de eenheden op beide assen gelijk zijn aan de gekozen lengte-eenheid. ⟶ →) ​ ​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​)​​ en ​​co​(CD​ ​ )​ = (​x​ 2​​, ​y​ 2​​)​​, dan is: Als ​​co​(AB​ ⟶ ⟶ → → ​co​(AB​ ​ + ​ CD​ )​= co​(AB​ ​ )​+ co​(CD​ ​ )​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​) + (​x​ 2​​, ​y​ 2​​) = (​x​ 1​​ + ​x​ 2​​, ​y​ 1​​ ​+ y​ 2​​​)

⟶ →) Als c​​ o​(AB​ ​ ​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​)​​ en ​​co​(CD​ ​ )​ = (​x​ 2​​, ​y​ 2​​)​​, dan is: ⟶ → ⟶) →) ​co​(AB​ ​ – ​ CD​ ​= co​(AB​ ​ ​ – co​(CD​ ​ )​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​) – (​x​ 2​​, ​y​ 2​​) = (​x​ 1​​ – ​x​ 2​​, ​y​ 1​​ ​ – y​ 2​​​)

IN

→) Als ​​co​(AB​ ​ ​ = (​x​ 1​​, ​y​ 1​​)​​, dan is → →) ​co​(r  ​ AB​)​= r  co​(AB​ ​ ​ = r  (​x​ 1​​, ​y​ 1​​) = (r  ​x​ 1​​, r  ​y​ 1​​​)

→ In een orthonormaal assenstelsel met oorsprong O kun je elke vector ​​ AB​ ​schrijven → → als het verschil van de puntvector ​​ B​ ​van het eindpunt en de puntvector ​​ A​ ​ van het beginpunt. → → → ​ – ​ A​​ ​​ AB​ = B​ →) →) ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ en c​​ o​(B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​)​​, dan is Als ​​co​(A​ →) →) →) ​​co​(AB​ ​ ​ = co​(B​ ​ ​ – co​(A​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​) – (​x​ A​​, ​y​ A​​) = (​x​ B​​ – ​x​ A​​, ​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​

√

N

→ →) →) De norm van een vector ​​ AB​​ met ​​co​(A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ en c​​ o​(B​ ​ ​ = (​x​ B​​, ​y​ B​​)​​ is gelijk aan ________________ 2 2 → ​​‖AB​ ​ ‖​ = ​ ​( ​x​ B​​ – ​x​ A​​)​​ ​+ (​​y​ B​​ – ​y​ A​​)​​ ​ ​​. _ → →) → ( ‖ ‖ De norm van een puntvector A​​ ​​ met ​​co​ A​ ​ ​ = (​x​ A​​, ​y​ A​​)​​ is gelijk aan ​​ A​ ​ ​ = ​√ ​​x​ A​​​​ 2​+ ​​y​ A​​​​ 2​ ​​.

KUNNEN

–  + –  +

VA

De coördinaat van een puntvector en een willekeurige vector bepalen.

Een gegeven vector ontbinden in zijn componenten volgens de x-as en de y-as.

De coördinaat van de somvector of verschilvector bepalen.

De coördinaat van een vector, vermenigvuldigd met een getal, bepalen.

©

De norm van een vector berekenen.

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

109

Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ filter

❑ schets

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ kennis

❑ vereenvoudig

❑ logisch nadenken

❑ gok verstandig

❑ ...

IN

❑ concreet materiaal

1. In de figuur zie je de grafiek van een functie f.

Welke van de volgende uitspraken is correct?

B) f (1) < f (2)

C) f (2) < f (3)

VWO, editie 2020-2021, eerste ronde

©

VA

2. Eén hoek van een driehoek is 30º.

Hoe groot is de aangeduide hoek a tussen de bissectrices (deellijnen) uit de andere hoeken?

A) 90º

D) f (3) < f (4)

N

A) f (0) < f (1)

_ E) f (x) < √ x

3. Maya en Willy spelen bijenschaak op een bord dat bestaat uit zeshoekige velden, zoals in de figuur. Bij bijenschaak bestaat de zet van een paard uit drie bewegingen naar een aangrenzend veld waarbij het onderweg exact één hoek maakt, die bovendien 60º of 120º is. In de figuur staat een voorbeeld van een zet.

Op hoeveel verschillende velden kan het paard in één zet terechtkomen vanuit het gekleurde veld?

B) 100º C) 105º D) 110º E) 120º

JWO, editie 2022-2023, tweede ronde

1 2 3

A) 12

4

VWO, editie 2021-2022, tweede ronde 110

GONIOMETRIE I HOOFDSTUK 4 I VECTOREN

B) 15

C) 18

D) 21

E) 24

VA

© N IN

VA

© N IN