Pienter 5/6 tso Exp. en Log. functies - inkijkexemplaar

Pi enter EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

Derde graad TSO

Ontdek het onlineleerplatform: diddit.

Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

IN N

MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Derde graad TSO

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie?

Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Stephan Wellecomme

VA

Leer zoals je bent

Dirk Taecke

©

EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

Pi enter

Etienne Goemaere

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in?

1 2

Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

3 4 5 6

594574_PIE6_Exp_log_fcts_Cover.indd All Pages

ISBN 978-90-306-9585-1

594574

vanin.be

1

2

3

4

5

6

9 789030 695851

22/04/2020 06:40

Exponentiële en logaritmische functies

©

VA N

IN

Derde graad TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?

4

Hoofdstuk 1

5

Machten en wortels

15

Hoofdstuk 3 Exponentiële functies

35

Hoofdstuk 4 Logaritmen

51

Hoofdstuk 5 Logaritmische functies

67

Hoofdstuk 6 Afgeleiden

83

©

VA N

IN

Hoofdstuk 2 Exponentiële groei

Hoe werk je met Pienter?

Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

2.1

Lineaire en exponentiële groei

2.1.1 Inleiding Pieter is afgestudeerd en mag aan de slag bij de firma LIN. Hij start met een netto jaarsalaris van 20 000 euro en wordt een jaarlijkse opslag van 500 euro beloofd.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.

Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Zijn vriendin Saartje start in dezelfde periode bij de firma EXP. Zij krijgt een netto beginsalaris van 18 000 euro per jaar, met een jaarlijkse opslag van 3 %.

• Hoeveel zullen beiden verdienen over 7 jaar?

Pieter

1.2

Stel: a is een strikt positief reëel getal, m is een geheel getal en n is een natuurlijk getal.

Machten met rationale exponenten n n n a = ( √ a ) = (a )

_

m _

_

m

1 _

m

y = 20 000 + 500

1 jaar:

2 jaar:

y = 20 000 + 2  500

2 jaar:

3 jaar:

y = 20 000 + 3  500

3 jaar:

n

x jaar:

y = 20 000 + x  500

m

_

(√a) = √a

Eigenschap

n

m

• Waarom heeft 0 als grondtal weinig zin?

• Het definiëren van machten met negatieve grondtallen leidt tot schijnbare tegenstellingen: (–64)

1 _ 3 2 _ 6

=

20 000 + 7  500 = 23 500 euro

18 000  1,03 = 22 137,73 euro

IN Na

5

16

(

)

•

5

•

4

_ 10

2018

2019

56 238

59 050

jaar zal Saartje meer verdienen dan Pieter.

De geluidsintensiteit is gelijk aan de energie van een geluidsbron die 2 per seconde op een oppervlak van 1 m terechtkomt en wordt uitgedrukt d) De stad kan maximaal 75 000 ton per jaar verwerken. In welk jaar zal het stadsbestuur bijkomende 2 in watt per m . investeringen moeten doen om de afvalberg te kunnen verwerken? (ICT) De geluidsintensiteit hangt af van het vermogen P van de geluidsbron (de geluidsenergie die per seconde door de bron wordt uitgezonden) en de afstand r tussen de ontvanger en de bron. Omdat de geluidsenergie in een bolvorm wordt uitgezonden, wordt de geluidsenergie verdeeld over het e) Met hoeveel procent groeit de afvalberg per 10 jaar?

2 oppervlak van die bol (oppervlakte bol =4  r ) .

1 _ 2

P bron Er geldt: I = _ 2 4  r

Het geluidsniveau is een maat voor de sterkte van het geluid zoals mensen dat ervaren.

Dat geluidsniveau stelt men gelijk aan 0 decibel voor een toon van 1 000 Hz, die door jonge mensen met een gezond gehoor nog net kan worden waargenomen. De geluidsintensiteit bij deze toon blijkt 19 Een bedrijf zet een–12grote antirookcampagne op.

2 gelijk te zijnrookten aan 10 236 W/werknemers. m . Deze waarde menlater de standaardgeluidsintensiteit In januari Drienoemt maanden waren er nog 217 rokers. Io. DeGaformule omdat hethet geluidsniveau te na meten steunt op het feitdaalt. dat, als de geluidsintensiteit 10 keer ervan uit aantal maand maand exponentieel

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

©

8

10

2017 53 560

c) Hoeveel ton afval was er in 2013?

2 –_ 3

4

5

enter

51 010

b) Voorspel het aantal ton afval in 2023.

1 _ 4

125 = Interessante weetjes (4 ) = 32 = of achtergrond herken je aan Bereken √ 4 zonder rekenmachine. een kader met vraagteken.

Vereenvoudig √ 3 . _

enter

1 _ 3

• Bereken zonder rekenmachine.

1,2

enter

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

VA N )

2 _ 6

2 _ 8

3 _ 2

2016

entry solve entry solve entry solve

48 580

a) Stel een exponentieel model op (bepaal de groeifactor op 0,01 nauwkeurig).

6

Zo ook is binnen de complexe getallen (–64) = (–64) = 2 + 2i ∈ ℂ.

Na de filter ‘reële getallen’ krijg je een foutmelding.

9 =

U

5

3

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en Dus binnen de complexe getallen is –64 = –64 = –4 de filter ‘reële getallen’ sijpelt het resultaat –4 door. aangeduidNamet een verticale streep.

1.2.2 Voorbeelden

L5

f4

4

REEKS C verdiepingsniveau (

2015

calc

2

2 _ 6

6

7

Je bepaalt de doorsnede van beide grafieken:

trace 2nd hoeveelheid afval in ton

1

Als je (–64) met de TI84 berekent, dan verkrijg je ten onrechte een uitkomst.

De reden hiervoor is dat de TI84 met complexe getallen rekent en daar alle eigenschappen van machten en wortels toepast, dus ook het vereenvoudigen van exponenten.

Is onder MODE voor de instelling REAL gekozen, dan hanteert de TI84 ná het uitvoeren van de berekening een filter die de reële getallen doorlaat.

4

x

De tabel toont de hoeveelheid afval, in ton, sinds 2015.

REEKS B basisniveau

3

y = 18 000  1,03

x jaar:

Het jaarsalaris van Saartje over 7 jaar is

Laat de twee verbanden tekenen in een gepast venster.

Bijvoorbeeld Xmin = 0 Xmax = 40 Ymin = –15 000verwerken.

Een stad moet elk jaar meer afval Ymax = 50 000

18

REEKS A eenvoudige toepassingen

1

2

y = (18 000  1,03 )  1,03 3 = 18 000  1,03

Het jaarsalaris van Pieter over 7 jaar is

jaar

2

y = (18 000  1,03)  1,03 2 = 18 000  1,03

• Na hoeveel jaar zal Saartje meer verdienen dan Pieter?

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen.

Er zijn drie reeksen oefeningen: (–64)

y = 18 000 + 18 000  0,03 = 18 000  1,03

_

= √ –64 = –4 3

Het jaarsalaris y van Saartje is over

1 jaar:

1.2.1 Definitie Definitie

Saartje

Het jaarsalaris y van Pieter is over

Machten met rationale exponenten

I zo groot wordt, het geluidsniveau stijgt met 10 decibel. Er geldt dan: N = 10  log_ Io a) Bepaal de procentuele daling per trimester (3 maanden).

15

Los de vragen op.

a) Een geluidsbron heeft een vermogen van 5 W. b)enVoorspel het aantalop rokende werknemers in februari van Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of Bereken de geluidsintensiteit het geluidsniveau een -oefeningen afstand van 10 meter van de bron. het volgende jaar. aangeboden worden.  5 I=_ = 0,003 978 873 6 2 4 10 0,003 978 873 6 N = 10  log ___________ = 96 (dB).

10

561399_Exp-log functies_opl_H1-H2.indd 29

2

(W/m )

Een groei is exponentieel als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke steeds met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd. Deze factor noem je de groeifactor.

N (dB)

x

Bij exponentiële groei geldt: y = b  a x is de onafhankelijke veranderlijke, y is de afhankelijke veranderlijke, b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a is de groeifactor (a > 1 bij een toename, a < 1 bij een afname).

KUNNEN

Het onderscheid kunnen maken tussen lineaire groei en exponentiële groei.

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform KENNEN

p De groeifactor a bij een toename met p % is gelijk a a = 1 + _.

100

vb: fluisteren

.

3

4 5

–8

40

20

57

10

–4

80

4 = log (I  10 4

10 = I  10 4

–12

–3

97

120

)

KUNNEN

60

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

Concrete problemen oplossen met exponentiële groei met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

29

30/04/2020 15:10

1

12

–8

discotheek

pijndrempel

onweer

druk verkeer

–7

I 40 = 10  log_ –12 10

10 = 10 I=_ 12 10

6

Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

CONTRACTWERK

1

0

10

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt.

p De groeifactor a bij een afname met p % is gelijk aan a = 1 – _.

100

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid n is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a .

–10

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

Berekeningen: 1 2

2.2 Rekenen met procenten

–12

10

luid gesprek

Bij lineaire groei geldt: y = b + v  x x is de onafhankelijke veranderlijke, y is de afhankelijke veranderlijke, b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en v is de verandering van y als x met 1 toeneemt (v > 0 bij een toename, v < 0 bij een afname).

Bereken de procentuele daling per maand.

fluisteren

KENNEN Een groei is lineair als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, een gelijke toename of afname hoort van de afhankelijke veranderlijke.

c)

bos

2.1 Lineaire en exponentiële groei

–12

b) Vul de volgende tabel aan.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer.

Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

I Ook het contractwerk helpt je10 bij het studeren.

10 5  10 5  10 gehoorgrens

STUDIEWIJZER Exponentiële groei

130

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

1.1 Machtswortels

6

1.2 Machten met rationale exponenten

8 14

©

VA N

IN

Studiewijzer

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

5

1.1

Machtswortels

1.1.1 Definitie Inleiding • Welk getal moet je tot de vijfde macht verheffen om 32 te verkrijgen?

5 ​​2​​ ​​ = 32. Het gevraagde getal is dus 2.

Je noemt 2 een vijfdemachtswortel van 32.

• Zowel 2 als –2 zijn vierdemachtswortels van 16, want Machtswortel

Definitie

n

b is een n-de machtswortel van a, als b​​ ​​ ​​= a.

Aantal n-de machtswortels

IN

Hierbij zijn a en b reële getallen en n een natuurlijk getal (verschillend van 1).

VA N

voorbeeld

vierdemachtswortels van 81:

n is even

a>0

derdemachtswortels van 27:

n is oneven

©

algemeen

Een strikt positief getal a heeft twee tegengestelde_even machtswortels, _ n n die je noteert als ​√ a ​ en – ​√ a ​. ​ Een strikt positief getal a heeft één oneven machtswortel, _ n die je noteert als ​√ a ​. ​

vierdemachtswortels van 0:

n is even

a=0

derdemachtswortels van 0:

n is oneven

0 heeft één n-de machtswortel. _ n ​√ 0 ​ = 0​

vierdemachtswortels van –81: n is even

a<0

1

derdemachtswortels van –27: n is oneven

2

3 4 5 6

Andere notatie n

_

1 ​ ​ _ n

​√ a ​ = ​a​ ​

6 HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

Een strikt negatief getal a heeft geen even machtswortels.

Een strikt negatief getal a heeft één oneven machtswortel, _ n die je noteert als ​√ a ​​.

1.1.2 Voorbeelden Wortels berekenen zonder rekenmachine _

_

_

_

​√ 64 ​​ = ​ ​√ – 243 ​​= ​– ​√ 64 ​​ = ​ ​√ ​2​ ​ ​ = 3

5

6

4

8

Wortels berekenen met de rekenmachine _

1 ​ ​ _ 4

​√ 625 ​ = ​625​​ ​ =​ 4

De laatste vorm verkrijg je door te drukken op: L4

Τ

4

test

A

math

U L6

L5

V L2

6

5

Z L5

2

U

5

entry solve

enter

Toepassingen 3

IN

• Een cube bluetoothspeaker heeft een volume van 13,824 ​​cm​​ ​​.

Bereken de afmetingen op 1 mm nauwkeurig.

VA N

4

• Bepaal x op 0,01 nauwkeurig als ​​(1 + x)​​ ​​ = 1,05.

©

De toonhoogte van een geluid is het aantal trillingen per seconde (de frequentie) dat wordt waargenomen.

De eenheid van frequentie is de Hertz (Hz).

In de muziek wordt de hoogte van een toon aangegeven door de plaats op een notenbalk.

Als basistoon wordt de la genomen. Deze noot heeft een toonhoogte van 440 Hz. Een octaaf is een verdubbeling van de toonhoogte.

Een octaaf wordt verdeeld in 12 halve _ tonen, zodat we bij elke verhoging met een halve toon 12 √ de toonhoogte met een factor ​ 2 ​ moeten vermenigvuldigen.

• Bereken de toonhoogte van een si (2 halve tonen hoger dan een la).

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

7

1.2

Machten met rationale exponenten

1.2.1 Definitie Stel: a is een strikt positief reëel getal, m is een geheel getal en n is een natuurlijk getal.

Definitie

Machten met rationale exponenten m

​a​ ​ = ​​(​√ a ​) ​ ​ = ​​(​a​ ​)​ ​ _ ​ m ​ n

n

_

_

m

_ ​ 1 ​ n

m

_

a ​) ​ ​ = ​√ ​a​ ​ (​√

Eigenschap ​​​ n

n

m

• Waarom heeft 0 als grondtal weinig zin?

• Het definiëren van machten met negatieve grondtallen leidt tot schijnbare tegenstellingen: _ ​ 1 ​ 3

_

​ ​(– 64)​ ​ = ​√ – 64 ​ = – 4​ 3

_ ​ 2 ​ 6

VA N

IN

​ ​(– 64)​ ​​=

_ ​ 2 ​ 6

©

Als je ​(– 64)​ ​met de TI84 berekent, dan verkrijg je ten onrechte een uitkomst.

De reden hiervoor is dat de TI84 met complexe getallen rekent en daar alle eigenschappen van machten en wortels toepast, dus ook het vereenvoudigen van exponenten.

Is onder MODE voor de instelling REAL gekozen, dan hanteert de TI84 ná het uitvoeren van de berekening een filter die de reële getallen doorlaat.

2 ​ ​ _ 6

1 ​ ​ _ 3

​ = – 4​ Na de filter ‘reële getallen’ sijpelt het resultaat –4 door.

Dus binnen de complexe getallen is (​ – 64)​

​ = ​(​ – 64)​ 2 ​ ​ _ 8

Zo ook is binnen de complexe getallen (​ – 64)​

1 ​ ​ _ 4

​ = ​(​ – 64)​

Na de filter ‘reële getallen’ krijg je een foutmelding.

​ = 2 + 2i ∈ ℂ​.

1.2.2 Voorbeelden 1 2 3 4

• Bereken zonder rekenmachine.

–​_ 2 ​ 3

_ ​ 3 ​ 2

​ ​9​ ​​= ​ ​125​​ ​ =​ 1,2

4

​ ​32​​ ​​= ​​​(​4​ ​)​ ​​=

6

_

• Bereken ​√ ​4​ ​ zonder rekenmachine.

5

5

_ ​ 1 ​ 2

10

_

• Vereenvoudig ​√ ​3​ ​ ​.

8 HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

4

10

1.2.3 Eigenschappen voorbeeld _ ​ 1 ​ 3

algemeen

_ ​ 1 ​ 3

​(8  27)​ ​ = ​216​​ ​ = ​ _ ​ 1 ​ 3

p

_ ​ 1 ​ 3

​8​ ​  ​27​​ ​ =​ 2 ​  3 = ​ _ ​ 3 ​ 4

_

​

3

4 ​(_ ​ 16 ​ )​ ​= ​​ ​ _ ​16 ​ ​ ​ ​ =​ ( 81 ) 81

√

p

p

(​ a  b)​ ​ = ​a​ ​  b

p

p

​a​ ​​ ​ ​_ ​ a ​ ​ ​ = ​ ______ p (b) b

3 ​ ​ _ 4

_ ​ ​16​​ _3 ​ ​ = ​ ​ ​ 4

​81​​ ​

_ ​ 2 ​ 3

_

_

2

​125​​ ​  ​125​​ ​ = ​√ 125 ​  ​(​ ​√ 125 )​ ​ ​ = ​ 3

3

​ = ​

​125​​

_ ​ 3 ​ 4

_

VA N

_ ​ 1 ​ + ​_ 2 ​ 3 3

3 ​ – ​_ ​ _ 1 ​ 4 4

​ = ​

©

​16​​

q

p + q

p

p – q _ ​ ​a​ q​ ​ = ​a​ ​​ ​a​ ​

–3

_ –3 ​(0,​01​​ ​)​ ​= ​​(​√ 0,01 ​)​ ​ =​ _ ​ 1 ​ 2

p

​a​ ​  ​a​ ​ = ​a​ ​​

3

​(​√ 16 ​) ​ ​ _ _ ​ ​16​​ _1 ​ ​ = ​_

​ =​ 4 ​ ​ 4 ​√ 16 ​ ​16​​ ​ 4

IN

_ ​ 1 ​ 3

– ​_ 3 ​ 2

​0,​01​​ ​ = ​

q

p p  q ​(​a​ ​)​ ​ = ​a​ ​​

Voorbeelden Bereken zonder rekenmachine: _ ​ 3 ​ 4

• ​​​ ​​(81  16)​ ​ = ​ 10

• ​​​ ​( ​ ​4​ ​)​ ​ = ​ 2 ​ ​ _ 5

5 ​ ​ _ 6

• ​​​​_ ​64​​ _1 ​​ = ​ ​ ​ 2

​64​​ ​

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

9

Oefeningen REEKS A 1

Los de vergelijkingen op. Benader, indien nodig, x op 0,001 nauwkeurig.

3

5

a) ​​x​​ ​​ = 125

e) ​​x​​ ​​ = 100

8

b) ​​x​​ 4​​ = 625

f) ​​x​​ ​​ = 1 567

3

5

6

d) ​​x​​ ​​ = –125

10

h) ​​x​​ ​​ = –1 000

©

2

VA N

g) ​​x​​ ​​ = –68

IN

c) ​​x​​ ​​ = –64

3

Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de afmetingen van een kubus met een inhoud van 5 d​​m​​ ​​.

3

3 Het volume van een bol is _ ​ 4 ​    ​r​ ​, waarbij r de straal is.

3 3 Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de straal van een voetbal met een volume van 525 c​​m​​ ​​.

1

2 3

4 5 6

10

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

Gebruik de eigenschappen van machten om onderstaande uitdrukkingen te schrijven als een macht van één getal. _ _ 3 ​a) ​√ 5 ​  ​√ 5 ​ =​

_ √ ​3​ ​  ​ 3 ​ _ ​g)​ ​ ​ _

​ =​ 3 4 ​√ ​3​ ​

_

6

​b) ​√ 2 ​  ​√ 2 ​ =​

​√ 2 ​ ​ )​ ​ ​​(_ h ​ ​ )​ ​ =​ 2

_

3

4

_

3

_

​√ 3 ​ ​c​​) ​​ ​_ _ ​ ​ = 5 ​√ 3 ​

7

_

​√ ​7​ ​ ​d​​) ​_ _ ​ =​ 3

4

5

2

_

–2

___

6

4

©

3

​√ ​

5 __ ​ ​​​ ​ =​ ​j)​ ​ ​​ ​ ____ ( ​√ 5 ​ )

​√ ​7​ ​ 6

_____

​i)​ ​ ​​(​3​ ​  ​√ 3 ​) ​​​ ​ =​

VA N

4

​e) ​​(​√ ​2​ ​ ) ​ ​ =​

( ​​ ​√ ​4​​ ​ ​) ​​​ ​ ___ ​ ​k)​ ​ ​ _______

=​

4

_

3

2

_

3

–5

–3 √ ​ ​4​​ ​ ​

__

___

​f) ​( ​ ​√ ​2​ ​ )​ ​=​

​√ ​6​ ​ ​  ​√ ​6​​ ​ ​ _ ​

=​ l​ )​ ​ ​ _________

5

2

IN

4

–4

10

4

3

5

2

​√ ​6​ ​ 3

5

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

11

5

Los de vergelijkingen op. Benader, indien nodig, x op 0,001 nauwkeurig.

7

3

​a) 2​x​ ​ = 16​

​g) ​​(x + 1)​ ​ = 3 200​

4

6

​b) 3​x​ ​ = 99​

​h) ​(​ x – 10)​ ​ = 55 ​

4

7

10

​j) 9  ​​(2x – 5)​ ​ + 45 = 39​

©

​d) 5​x​ ​ – 6 = 14​

e) __ ​​ 1 ​​​​x ​​ ​​ + 9 = –8 3

k) __ ​​ 1 ​​​​ ​ (1 – x)​​​ ​​ + 7 = 2 4

5

8

1

VA N

5

​i) 16  ​​(x – 50)​ ​ = – 20​

IN

​c) 4​x​ ​ + 38 = 9​

3

6

f) ​​–2x​​ ​​ + 15 = 4

l) –5 ​ ​(​​​ 3x + 11)​​​ ​​ + 82 = 23

2 3 4 5 6

12

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

REEKS B 6

De oppervlakte van het territorium van een roofdier (het gebied waarin hij zijn voedsel zoekt en dat hij verdedigt tegen indringers) is afhankelijk van het gewicht van het dier. _ ​ 13 ​ 10

g Het territorium T (in are) is gelijk aan T​ = ​​(_ ​ ​ )​ ​​, waarbij g het gewicht is in kg.

2 a) Bereken de oppervlakte van het territorium van een roofdier dat 250 kg weegt.

b) Bereken het gewicht, op 1 kg nauwkeurig, van een dier waarvan het territorium 45 000 are is.

Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen om de inhoud te verdubbelen?

VA N

7

©

8

IN

3 De massa m van een bol wordt gegeven door de formule m = __ ​​ 4 ​​  p    r​​ ​​ ​​.

3 Hierbij is r de straal van de bol en  de massadichtheid van het materiaal waaruit de bol vervaardigd is.

a) Geef de formule voor de straal in functie van de andere veranderlijken.

3

b) De massadichtheid van ijzer is 7 860 kg/​​m​​ ​​.

Bereken de diameter, op 1 mm nauwkeurig, van een massieve ijzeren bol die 1 ton weegt.

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

13

STUDIEWIJZER Machten en wortels 1.1 Machtswortels KENNEN n

b is een n-de machtswortel van a, als ​b​​ ​​ = a.

KUNNEN

Alle n-de machtswortels berekenen van een gegeven getal • uit het hoofd in eenvoudige gevallen; • met een rekenmachine in de andere gevallen.

1.2 Machten met rationale exponenten m ​ ​ _ n

_

m

_

KENNEN

​a​ ​ = ​(​√ a ​)​ ​ = ​√ ​a​ ​ ​ n

p

n

m

p

p

p

p

q

p + q

​ _ ​ a ​ ​ ​ = _____ ​ ​ap​ ​​ ​ (b) b p

p

p – q _ ​ ​a ​q​ ​ = ​a​ ​​ ​a ​ ​ q

(​ ​a​ p)​ ​ ​ = ​a​ p  q​​

VA N

​a​ ​  ​a​ ​ = ​a​ ​​

IN

​(a  b)​ ​ = ​a​ ​  b ​

KUNNEN

©

Hogere machtswortels gebruiken voor het oplossen van • eenvoudige hogere graadsvergelijkingen; • praktische toepassingen.

Machten met rationale exponenten berekenen en/of vereenvoudigen door • toepassing van de definitie; • toepassing van de eigenschappen.

CONTRACTWERK

1 2

3 4 5

6

14

HOOFDSTUK 1 I MACHTEN EN WORTELS

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

16

2.2 Rekenen met procenten

19

Studiewijzer

34

©

VA N

IN

2.1 Lineaire en exponentiële groei

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

15

2.1

Lineaire en exponentiële groei

2.1.1 Inleiding Pieter is afgestudeerd en mag aan de slag bij de firma LIN. Hij start met een netto jaarsalaris van 20 000 euro en wordt een jaarlijkse opslag van 500 euro beloofd.

Zijn vriendin Saartje start in dezelfde periode bij de firma EXP. Zij krijgt een netto beginsalaris van 18 000 euro per jaar, met een jaarlijkse opslag van 3 %.

• Hoeveel zullen beiden verdienen over 7 jaar?

Pieter

Saartje Het jaarsalaris y van Saartje is over

y = 20 000 + 500

2 jaar:

y = 20 000 + 2  500

3 jaar:

x jaar:

y = 20 000 + 3  500

3 jaar:

y = 20 000 + x  500

x jaar:

18 000  ​​1,03​​ ​​ = 22 137,73 euro

©

20 000 + 7  500 = 23 500 euro

Je bepaalt de doorsnede van beide grafieken: 2nd

f4

trace

L5

U

5

entry solve

enter

3

2 3 4 5

Na jaar zal Saartje meer verdienen dan Pieter.

6

16

x

y= 18 000  ​​1,03​​ ​​

Het jaarsalaris van Saartje over 7 jaar is

calc

2

y= (18 000  ​​1,03​​ ​​)  1,03 3 = 18 000  ​​1,03​​ ​​

Het jaarsalaris van Pieter over 7 jaar is

Laat de twee verbanden tekenen in een gepast venster.

Bijvoorbeeld Xmin = 0

Xmax = 40

Ymin = –15 000

Ymax = 50 000

1

y= (18 000  1,03)  1,03 2 = 18 000  ​​1,03​​ ​​

2 jaar:

• Na hoeveel jaar zal Saartje meer verdienen dan Pieter?

y= 18 000 + 18 000  0,03 = 18 000  1,03

1 jaar:

VA N

1 jaar:

IN

Het jaarsalaris y van Pieter is over

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

7

2.1.2 Lineaire groei Definitie

Lineaire groei Een groei is lineair als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, een gelijke toename of afname hoort van de afhankelijke veranderlijke. x

y

Stel: x is de onafhankelijke veranderlijke y is de afhankelijke veranderlijke +v b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) v is de verandering van y als x met 1 toeneemt (v > 0 bij een toename, v < 0 bij een afname) +v

+1 +1

Formule

Lineaire groei

IN

y=b+vx

Voorbeeld

VA N

De brandstoftank van een wagen bevat 65 liter.

De auto verbruikt gemiddeld 6 liter per 100 km.

Stel een functie op die het verband geeft tussen de inhoud van de brandstoftank en het aantal gereden kilometers.

©

• Hoeveel liter is er nog in de tank na 500 km?

• Hoeveel kilometer kan de wagen rijden vooraleer de tank volledig leeg is?

Besluit

aantal liter

De beginwaarde b = 65 en v = –0,06 (per km) De inhoud van de tank is: y = 65 – 0,06x (x = aantal km; y = aantal liter). y

65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

x 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000 1 100

aantal km

De grafische voorstelling van een lineaire groei, beschreven door y = b + v  x, is een rechte met

• snijpunt y-as: het punt (0, b) • richtingscoëfficiënt v.

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

17

2.1.3 Exponentiële groei Exponentiële groei

Definitie

Een groei is exponentieel als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke steeds met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd.

Die factor noem je de groeifactor. x

y

Stel: x is de onafhankelijke veranderlijke y is de afhankelijke veranderlijke •a b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) a is de groeifactor (a > 1 bij een toename, a < 1 bij een afname) •a

+1 +1

Exponentiële groei

Formule

IN

x

y = b  ​​a​​ ​​ Voorbeeld

VA N

In 2016 waren er 40 128 verkeersongevallen op de Belgische wegen.

In 2017 waren er 38 020. Dat is een daling met 5,3 %.

Stel een functie op die het verband geeft tussen het aantal verkeersongevallen en het aantal jaren na 2013.

©

De beginwaarde b = 40 128.

100 % – 5,3 % = 94,7 % = 0,947 ⇒ a = 0,947 (de jaarlijkse groeifactor). x Het aantal ongevallen x jaar na 2016 is: y = 40 128  ​​0,947​​ ​​

• Als die trend zich voortzet, voorspel het aantal verkeersongevallen in 2025.

• In welk jaar zal het aantal verkeersongevallen onder 20 000 dalen? (Los op met ICT.) x

Je laat het verband y = b  ​​a​​ ​​ samen met de rechte y = 20 000 tekenen in een gepast venster.

Bijvoorbeeld: Xmin = 0

Xmax = 100

Ymin = –10 000

Ymax = 35 000 Je bepaalt van beide grafieken de doorsnede:

1

2

calc

2nd

3

f4

trace

4 5

6

18

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

L5

U

5

entry solve

enter

3

2.2

Rekenen met procenten

2.2.1 Procenten boven 100 % Formule

Groeifactor p De groeifactor a bij een toename met p %, is gelijk aan ​a = 1 + ​_ ​​.

100 • Je zet 500 euro op een spaarboekje en je krijgt per jaar 1 % samengestelde intrest.

Wat is het eindkapitaal na 6 jaar?

• De groeifactor a =

• De beginwaarde b =

• Het eindkapitaal na x jaar is y =

IN

• Na 6 jaar verkrijg je een eindkapitaal gelijk aan

VA N

• De prijs van de bouwgrond in Vlaanderen stijgt ieder jaar met 3 %.

2 2 Hoeveel kostte een m ​​ ​​ ​​bouwgrond 5 jaar geleden als die nu 250 euro per ​​m​​ ​​ kost?

• De groeifactor a =

•

2

De huidige prijs per m ​​ ​​ ​​ is y =

• De kostprijs 5 jaar geleden is b = = ​ ​

©

Bijzondere gevallen (x = 1)

• De prijs van een scooter, zonder btw, is 2 800 euro. Bereken de prijs btw inbegrepen.

• De groeifactor a ​ = ​ • De beginwaarde b =

• De prijs, inclusief btw, is gelijk aan y = b ? a = = • Voor een nieuwe laptop betaal je 699 euro, inclusief 21 % btw. Bereken hoeveel btw je betaalt.

• De groeifactor a ​ = ​ • De betaalde prijs is y​ = ​ • De prijs, exclusief btw, is y ​ b = ​_ ​ =​ ​ =​ a

• De btw is y​ – b = ​ ​ = ​

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

19

2.2.2 Procenten onder 100 % Formule

Groeifactor p De groeifactor a bij een afname met p %, is gelijk aan a ​ = 1 – ​_ ​​ .

100 • De waarde van een auto neemt elk jaar met 20 % af. Jos heeft een nieuwe auto gekocht voor 24 500 euro. Hoeveel is de auto nog waard, op 100 euro nauwkeurig, over 4 jaar?

• De groeifactor a ​ =​ • De beginwaarde b ​ = ​ • De waarde van de auto na x jaar is y​ = ​ • Na 4 jaar is de waarde van de auto

• De groeifactor a ​ = ​

IN

• In een bos worden ieder halfjaar 5 % van de bomen gerooid.

Dit jaar staan er nog 320 bomen in het bos. Hoeveel stonden er 8 jaar geleden?

VA N

​• Het huidige aantal bomen is y​ = ​

• Het aantal bomen 8 jaar geleden is b ​ = ​ ​ = ​ Bijzondere gevallen (x = 1)

©

• Je koopt een nieuwe fiets van 485 euro. De handelaar geeft je 8 % korting.

Hoeveel moet je betalen?

• De groeifactor a ​ = ​

• De beginwaarde b ​ = ​ • Het te betalen bedrag is gelijk aan y = b  a = ​ = ​

• Kirsten koopt een jurk in de solden voor 99 euro. Ze heeft 40 % korting gekregen.

Hoeveel kostte de jurk vóór de solden?

• De groeifactor a ​ = ​ 1

• De betaalde prijs is y​ = ​

2

• De prijs, zonder korting, is

3

y ​ b = ​_ ​ = ​ ​ = ​ a

4 5 6

20

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

​ (per halfjaar!)

2.2.3 Het percentage bepalen uit de gegevens Voorbeeld 1 De evolutie van de bevolking in een stad wordt weergegeven in de tabel. jaar aantal inwoners op 1 januari quotiënt

2016

2017

2018

2019

143 126

145 702

148 325

150 995

Bereken, op 0,001 nauwkeurig, het quotiënt van het aantal inwoners bij 2 opeenvolgende jaren.

Je ziet: De toename van de bevolking is dus exponentieel. Het jaarlijkse groeipercentage is Voorspel het aantal inwoners op 1 januari 2022:

IN

Voorbeeld 2

aantal uren massa in gram

VA N

Het radioactieve jodium-123 wordt gebruikt in de geneeskunde bij schildklieronderzoek. In een laboratorium wordt gedurende een periode regelmatig gemeten in welke mate de massa van een hoeveelheid jodium-123 vermindert door radioactief verval.

In de tabel worden de resultaten van de metingen gegeven.

0

1

2

3

4

50

47,500

45,125

42,869

40,725

©

quotiënt (op 0,01)

• Bepaal de procentuele afname (op 1 % nauwkeurig) van de massa per uur: • Bepaal de massa jodium-123 na één dag (24 uur): • De halveringstijd is de tijd waarna van de oorspronkelijke hoeveelheid nog de helft over is.

Bereken, met ICT, de halveringstijd van jodium-123. x

​​ ,95​​ ​​ samen met Laat het verband y = 50  0 de rechte y = 25 tekenen in een gepast venster.

Bijvoorbeeld Xmin = 0 Xmax = 50 Ymin = –10 Ymax = 50 Je bepaalt van beide grafieken de doorsnede: calc

2nd

f4

trace

L5

U

5

entry solve

enter

3

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

21

2.2.4 Omzetting van percentages

IN

Radioactiviteit is een natuurlijk verschijnsel dat zich afspeelt op het niveau van de atoomkernen. Elk atoom bestaat uit een kern van positief geladen protonen en neutrale neutronen, omgeven door een ‘wolk’ van negatief geladen elektronen.

Het atoomnummer van een element geeft weer hoeveel neutronen er in de kern aanwezig zijn.

Meestal zijn atomen stabiel: er is een evenwicht tussen de verschillende deeltjes in de kern. Bij sommige atomen is dat evenwicht verstoord. Er zijn te veel protonen in vergelijking met het aantal neutronen, of te weinig, of zelfs te veel van beide. Men zegt van deze atoomkernen dat ze onstabiele of radioactieve isotopen zijn. Deze onstabiliteit gaat altijd gepaard met een teveel aan energie.

Die energie wordt afgestoten in de vorm van positief geladen deeltjes (alfastraling), negatief geladen deeltjes (bètastraling) of energiestraling (gammastraling), met als doel een evenwicht te bereiken. Dit proces noemt men radioactief verval.

Radioactiviteit werd voor het eerst ontdekt door de Franse natuurkundige Henri Becquerel.

Naar hem wordt trouwens de eenheid van radioactieve straling genoemd.

Pierre en Marie Curie waren de eersten om een radioactieve isotoop te isoleren: ze isoleerden 0,1 gram radium uit tonnen ertsafval.

• Voor een belegging ontvang je 0,10 % intrest per maand. Hoeveel procent is dat per jaar?

VA N

0,10 • De groeifactor per maand is 1​ + ​_

​ = 1,001​ 100

12

• Als a de groeifactor per jaar is, dan geldt: a ​ = 1,​001​​ ​ = 1,012 1​ • De rentevoet op jaarbasis is dus gelijk aan

• De populatie van een diersoort neemt iedere 5 jaar af met 12 %. Hoeveel procent is dat per jaar?

• De groeifactor per 5 jaar is

©

• Als a de groeifactor per jaar is, dan geldt:

a=

• De procentuele afname per jaar is dus​​ Besluit

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid n

is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan ​​a​​ ​​.

Voorbeelden Een luchtballon verliest elke 2 uren 1 % gas.

Hoeveel procent is dat per dag?

Het aantal inwoners van een stad stijgt per 6 jaar met 5 %.

Bereken het stijgingspercentage per jaar.

3

4

5

1

2

6

22

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

Oefeningen REEKS A

Los de problemen met procenten op. a) De prijs van een liter melk is 1,10 euro, zonder btw. Bereken de prijs met 6 % btw inbegrepen.

e) Je krijgt 25 % korting en daarbovenop nog eens 10 %. Hoeveel procent korting heb je in totaal gekregen?

f) De prijs van een auto steeg vorig jaar met 4 % en dit jaar met 3 %.

Hoeveel procent is dat op 2 jaar?

VA N

IN

b) Een kasbon levert een bruto-intrest van 90 euro. Bereken de netto-intrest na aftrek van 30 % roerende voorheffing.

c) Jan weegt nu 91 kg.

Dat is 8 % meer dan vorig jaar.

Hoeveel woog hij vorig jaar?

g) Een kapitaal van 500 euro groeit in 1 jaar aan tot 504,50 euro.

Bereken de jaarlijkse rentevoet.

©

1

d) Een aandeel is vandaag 160,35 euro waard.

Dat is 4 % minder dan gisteren.

Hoeveel was het gisteren waard?

h) In 2018 waren er in een stad 190 ongevallen, in 2019 waren er 178.

Met hoeveel procent is het aantal gedaald?

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

23

2

Stel dat je een groot stuk papier van 0,1 mm dik 50 maal zou kunnen dubbelvouwen.

Hoe dik zou het verkregen resultaat zijn?

Eén enkele cel van de bacterie E. Coli deelt zich, onder ideale omstandigheden, iedere 20 minuten in twee. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 dag?

Je laat een balletje van op een hoogte van 1 meter op de grond vallen. Het balletje botst na elke aanraking met de grond terug tot op een hoogte die 75%van de vorige hoogte is.

Tot op welke hoogte zal het balletje terugbotsen na 10 keer de grond te hebben geraakt?

Rond af op 0,01 cm.

©

4

VA N

3

IN

De E. Coli (Escherichia Coli) is een bacterie die voorkomt in je dikke darm en die je nodig hebt om je voedsel te verteren.

12 Via de ontlasting komen per dag gemiddeld ​​10​​ ​​(een biljoen) van deze bacteriën naar buiten. Daarom wordt, bij het onderzoek naar de vervuiling van water, altijd naar sporen van de E. Coli gezocht.

Deze bacterie is onschadelijk zolang ze op geen andere plaatsen van ons lichaam komt dan de dikke darm. Anders kan ze voor levensgevaarlijke ontstekingen zorgen.

5 1

2

In een bos staan 5 000 bomen. Ieder jaar hakt men _ ​ 1 ​​ van de bomen om.

4 Hoeveel bomen blijven er nog over na 20 jaar?

3 4 5

6

24

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

6

In 2018 telde India ongeveer 1,358 miljard mensen.

Men verwacht een jaarlijkse groei van 1,2 %. Schat het aantal inwoners in 2030.

7

Door de hoge brandstofprijzen is ‘autodelen’ in België een groot succes.

In 2018 telde de carsharingmaatschappij Cambio ongeveer 27 000 leden.

Jaarlijks verwachten ze een stijging met 11 %. Hoeveel leden mogen ze verwachten in 2025?

In een school waren er op 1 september vorig jaar 550 leerlingen.

Op 1 september dit jaar waren er 3,6 % minder. Als die daling zich voortzet, voorspel dan het aantal leerlingen op 1 september binnen 6 jaar.

9

©

VA N

8

IN

De waarde van een auto neemt elk jaar met 20 % af. Jos heeft 4 jaar geleden een nieuwe auto gekocht die nu nog 11 264 euro waard is. Hoeveel heeft de auto gekost?

10

Het aantal leden van een fitnessclub neemt elk jaar met ___ ​​ 1 ​​ toe.

10 Dit jaar telt de club 420 leden. Hoeveel waren er 5 jaar geleden?

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

25

REEKS B 11

In 2018 registreerde de politie in Vlaanderen 424 gevallen van geluidshinder door buren.

Dit was een daling met 32 % ten opzichte van 2012.

Schat het aantal geregistreerde gevallen van geluidshinder in 2005.

12

Sapna heeft 6 000 euro op haar spaarrekening staan en krijgt 0,15 % samengestelde intrest per jaar. a) Welk bedrag ontvangt ze na 4 jaar en 3 maanden?

IN

Op 1 januari 2018 bedroeg het aantal inwoners in België 11 376 070.

Men voorziet een stijging van dit aantal met 4,5 % per 10 jaar.

©

13

VA N

b) Hoeveel procent winst heeft ze gemaakt in die periode?

a)

Voorspel het aantal inwoners op 1 januari 2030.

b) Bereken het groeipercentage per jaar.

1

2 3

c) In welk jaar zal het aantal inwoners in België meer dan 12,5 miljoen bedragen? (ICT)

4 5

6

26

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

14

Op 1 augustus 2018 waren er in België 5 853 782 personenwagens ingeschreven.

Op 1 augustus 2017 waren er dat 5 785 447. a) Schat het aantal personenwagens op 1 augustus 2025.

b) Hoeveel personenwagens waren er op 1 augustus 2015?

c) Bepaal de procentuele groei per 5 jaar.

IN

Eind 2000 waren er in België nog 62 000 landbouwbedrijven, eind 2017 nog ongeveer 35 900.

VA N

15

a) Bereken de procentuele daling in 17 jaar.

©

b) Schat het aantal landbouwbedrijven eind 2025.

c) Hoeveel landbouwbedrijven waren er ongeveer eind 1990?

d) Bepaal de procentuele afname van het aantal landbouwbedrijven per jaar.

e) In welk jaar zal het aantal landbouwbedrijven in België minder dan 20 000 bedragen? (ICT)

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

27

16

Het radioactieve radium-226 heeft een halveringstijd van 1 620 jaar. a) Hoeveel blijft er nog over van 40 gram radium-226 na 100 jaar?

Benader je resultaat op 0,01 gram nauwkeurig.

b) Bereken, op 4 cijfers na de komma, het jaarlijkse radioactief verval in procent.

Ga na of de tabellen een exponentiële groei voorstellen.

Noteer het groeimodel bij de tabellen met een exponentiële groei. a)

x y

VA N

17

IN

0

1

2

3

4

8

12

18

27

40,5

b)

x

1

2

3

4

r ja r nee

17

18,5

20

21,5

23

c)

0

©

y

r ja r nee

x

0

1

2

3

4

y

130

52

20,8

8,32

3,328

r ja r nee

d)

x

0

2

4

6

y

2,1

2,52

3,024

8

3,628 8 4,354 56

3

e)

x

0

5

10

15

20

r ja r nee

y

500

250

100

30

6

4

5 6

28

1

2

r ja r nee

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

18

Een stad moet elk jaar meer afval verwerken.

De tabel toont de hoeveelheid afval, in ton, sinds 2015. jaar hoeveelheid afval in ton

2015

2016

2017

2018

2019

48 580

51 010

53 560

56 238

59 050

a) Stel een exponentieel model op (bepaal de groeifactor op 0,01 nauwkeurig).

b) Voorspel het aantal ton afval in 2023.

c) Hoeveel ton afval was er in 2013?

IN

VA N

d) De stad kan maximaal 75 000 ton per jaar verwerken. In welk jaar zal het stadsbestuur bijkomende investeringen moeten doen om de afvalberg te kunnen verwerken? (ICT)

e) Met hoeveel procent groeit de afvalberg per 10 jaar?

19

©

Een bedrijf zet een grote antirookcampagne op.

In januari rookten 236 werknemers. Drie maanden later waren er nog 217 rokers.

Ga ervan uit dat het aantal maand na maand exponentieel daalt. a) Bepaal de procentuele daling per trimester (3 maanden).

b) Voorspel het aantal rokende werknemers in februari van het volgende jaar.

c) Bereken de procentuele daling per maand.

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

29

20

Op 1 januari 2018 woonden in Oostende 71 224 mensen.

Op 1 januari 2015 woonden er 70 460 mensen.

Je mag veronderstellen dat de aangroei exponentieel gebeurt. a) Bereken de procentuele toename per jaar.

b) Hoeveel inwoners waren er op 1 januari 2008?

c) In welk jaar zal het aantal inwoners 75 000 bedragen? (ICT)

Een bedrijf is gespecialiseerd in geluidsdempende wanden voor kantoorgebouwen.

De tabel geeft weer in welke mate het geluid (in decibel) gedempt wordt door een wand van een aantal mm dikte.

VA N

21

IN

dikte wand (in mm)

0

5

10

15

20

geluidssterkte (in dB)

90

84

79

74

69

a) Bereken de procentuele afname van de geluidssterkte per mm.

©

b) Bereken de geluidssterkte (op 1 dB) als de wand 53 mm dik is.

1

c) Hoe dik moet de wand zijn om het geluid te herleiden tot 35 decibel? (ICT)

2 3 4

5 6

30

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

22

Ga na of de tabellen een exponentiële groei voorstellen.

Noteer het groeimodel bij de tabellen met een exponentiële groei. a)

x

2

3

4

y

264,5

304,175

5

6

349,801 3 402,271 4

462,612 2

r ja r nee

b)

x

3

6

9

12

15

y

12 500

1 562,5

195,312 5

24,414 1

3,051 8

r ja r nee

x

–2

2

y

0,04

25

10

15 625

©

d)

6

14

VA N

c)

IN

9 765 625 6 103 515 625

r ja r nee

x

2

7

12

17

22

y

11,25

2,669 7

0,912 7

0,150 3

0,102 6

r ja r nee

e)

x

1

2

y

200

4

6

r ja r nee

9

266,666 7 474,074 1 842,798 4 1 997,744 2

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

31

23

De windenergiesector groeit exponentieel. Een publicatie van de Vlaamse WindEnergie Associatie toont een geïnstalleerd vermogen van 1 148 megawatt (MW) in 2017.

In 2018 bedroeg dat vermogen 226 MW meer. a) Voorspel het vermogen in 2025.

b) Hoeveel vermogen was er in 2015?

c) Bereken de procentuele toename per 5 jaar.

IN

Onze buurvrouw weegt 95 kg. Op een bepaald moment is het haar te veel en ze besluit een streng dieet te volgen dat haar een gewichtsverlies van 2 kg per maand zou moeten opleveren.

De buurman, die 105 kg weegt, is solidair met zijn vrouw en volgt een dieet waarbij men hem een gewichtsafname van 2 % per maand belooft.

De buurvrouw wil stoppen met haar dieet als ze nog slechts 60 kg weegt, de buurman wil doorgaan tot hij een gewicht van 75 kg heeft bereikt. Wie bereikt als eerste het doel? (ICT)

VA N

24

©

25

De volgende tabellen geven ons de toename van het aantal inwoners in de steden A en B. Voorspel voor beide steden het aantal inwoners in 2023.

STAD A jaar aantal inwoners

2016

2017

2018

2019

123 560

125 043

126 543

128 062

1

2

STAD B

jaar aantal inwoners

5

6

3

32

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

2017

2018

2019

105 398

110 898

116 398

121 898

4

2016

REEKS C De volgende tabel en grafiek geven de toename weer van de gemiddelde lengte van een volwassen man in België. gemiddelde lengte van een volwassen man in België

jaar

lengte in cm

185

1881

165,5

180

1902

165,8

1909

166

1926

167

1938

168,2

165

1947

169,8

160

1963

171,7

1979

175,3

2004

180,6

2018

182,0

lengte in cm

175

170

155 1881

1902

1909

1926

1938

1947

1963

1979

2004

2018

jaartal

IN

26

a) Bereken de procentuele toename per jaar voor elke voorgestelde periode. groeifactor

groeifactor per jaar

VA N

periode

groeipercentage per jaar

1926 – 1938

1938 – 1947

1947 – 1963

1963 – 1979

1979 – 2004

2004 – 2018

1881 – 1902 1902 – 1909

©

1909 – 1926

b) Voorspel, uitgaande van het jaarlijkse groeipercentage voor de laatste periode, de gemiddelde lengte van de Belgische man in 2050.

d) In welk jaar zal de gemiddelde Belgische man 2 m worden? (ICT)

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

33

STUDIEWIJZER Exponentiële groei 2.1 Lineaire en exponentiële groei KENNEN Een groei is lineair als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, een gelijke toename of afname hoort van de afhankelijke veranderlijke.

Bij lineaire groei geldt: y = b + v  x x is de onafhankelijke veranderlijke, y is de afhankelijke veranderlijke, b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en v is de verandering van y als x met 1 toeneemt (v > 0 bij een toename, v < 0 bij een afname).

Een groei is exponentieel als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke steeds met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd. Deze factor noem je de groeifactor. x

Bij exponentiële groei geldt: y = b  ​a​​ ​​ x is de onafhankelijke veranderlijke, y is de afhankelijke veranderlijke, b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a is de groeifactor (a > 1 bij een toename, a < 1 bij een afname).

KUNNEN

2.2 Rekenen met procenten

IN

Het onderscheid kunnen maken tussen lineaire groei en exponentiële groei.

VA N

KENNEN

p De groeifactor a bij een toename met p % is gelijk aan a ​ = 1 + _ ​ ​​.

100 p De groeifactor a bij een afname met p % is gelijk aan a ​ = 1 – _ ​ ​​.

100

©

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid n is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan ​a​​ ​​.

KUNNEN

Concrete problemen oplossen met exponentiële groei met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

CONTRACTWERK

1

2 3

4 5

6

34

HOOFDSTUK 2 I EXPONENTIËLE GROEI

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

36

3.1 Definitie 3.2 Grafiek van de functie x

met vergelijking y = ​​a​​ ​​

37

3.3 Grafiek van de functie

x

met vergelijking y = b  ​​a​​ ​​

50

©

VA N

IN

Studiewijzer

39

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

35

3.1

Definitie x

In het vorige hoofdstuk maakte je kennis met verbanden van de vorm y = b  ​​a​​ ​​.

Hierbij stelt b de beginwaarde voor (dat is de waarde die y aanneemt als x = 0) en a de groeifactor (a > 1 bij positieve groei en 0 < a < 1 bij negatieve groei).

Definitie

Exponentiële functie

x

Een exponentiële functie met grondtal a en parameter b is een functie f (x) = b  a ​​ ​​ ​​.

Hierbij is a een strikt positief getal verschillend van 1 en b een reëel getal verschillend van 0.

Waarom sluit je a = 1 als grondtal uit?

Waarom sluit je de parameter b = 0 uit?

Voorbeelden

✔

grondtal

parameter

VA N

f (x) =

IN

Vink de exponentiële functies aan. Geef van de exponentiële functies het grondtal en de parameter.

x

​3  0,​5​ ​​

3

​2  ​x​ ​​

x

©

​– 1,3  ​4​ ​​

x

​– 5  ​(​ – 4)​ ​​ –x

​5  ​​(_ ​ 2 ​ )​ ​​ 3

x – 2

​2​ ​​

2

1

(​ x – 2)​ ​​

2 –x –3

3

​​

_ ​ 3 ​  ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ 5 6

​– 8  ​10​​

4 2x

5 6

36

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

3.2

x

Grafiek van de functie met vergelijking y = a ​​ ​​ ​​

3.2.1 Voorbeelden

x

x ​Teken de grafieken van de functies f (x)​ = ​2​ ​ en g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ 2

​x​

​– 3​

x

​f (x)​ = ​2​ ​ ​

​2​

​– 1​

​0​

​1​

​2​

​3​

x

​g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ 2

y 8

IN

7

6

VA N

5

4

3

2

©

1

-4

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

​g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ 2

x

​f (x)​ = ​2​ ​​

• domein = bereik = • nulwaarden:

• De x-as is een • (0, ) behoort tot de grafiek.

• (1, ) behoort tot de grafiek.

• (1, ) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend/dalend.

• De grafiek is stijgend/dalend.

• De grafieken zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v.

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

37

x

3.2.2 Algemeen: grafiek van de functie met vergelijking y = a ​​ ​​ ​​ • domein = bereik = • nulwaarden: , want • De x-as is een

,

want • (0,

) behoort tot de grafiek, want

• (1,

) behoort tot de grafiek, want

• De grafiek is stijgend/dalend als a > 1 en stijgend/dalend als 0 < a < 1. x

x • De grafieken met vergelijking y​ = ​a​​ ​ en y = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​zijn elkaars spiegelbeeld a

IN

t.o.v. , want

3.2.3 Voorbeelden

x

x ​Gegeven: de functies f (x)​ = ​3​ ​ en g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ 3

bereik =

VA N

a) domein =

b) snijpunt van de grafieken met de x-as: c) asymptoot:

met de y-as:

d) de ligging van de grafieken t.o.v. elkaar:

©

e) de grafieken

9 8 7

x

x

x

​f (x)​ = ​3​ ​​

–3

–2

–1

0

1

2

3

6 5 4 3

1 2

2 1

3 4

-2

5 6

38

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

-1

1

2

1 ​ ​ ​​ ​g (x)​ = ​​(​ _ 3)

3.3

x

Grafiek van de functie met vergelijking y = b  ​​a​​ ​​

3.3.1 Invloed van de parameter b

Teken met ICT de grafieken van de functies: x x x x x ​f (x)​ = ​2​ ​​ ​ g (x)​ = 3  ​2​ ​​ ​ h (x)​ = ​_ 1 ​  ​2​ ​​ ​ i ​(x)​ = – 3  ​2​ ​​ ​ j ​(x)​ = – _ ​ 1 ​  ​2​ ​​ 4 4 x

x ​h (x)​ = ​_ 1 ​  ​2​ ​ 4

1 ​  ​2​ x​ ​j ​(x)​ = – ​ _ 4

x

domein

r

bereik

​]0, + ∞[​​

x-as

stijgend

(0, 1)

2

verloop snijpunt y-as beeld van 1

​g (x)​ = 3  ​2​ ​

​i ​(x)​ = – 3  ​2​ ​

IN

asymptoot

x De grafiek van de functie met vergelijking y = b  ​​a ​​ ​​ ontstaat uit de grafiek van de functie met

VA N

Besluit

x

​f (x)​ = ​2​ ​

x

​​ ​​ ​​ door vergelijking y = a

• verticale uitrekking of samendrukking;

• spiegeling om de x-as als b < 0.

Het domein en de asymptoot blijven ongewijzigd.

©

3.3.2 Voorbeelden

x

​g (x)​ = 4  ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ 5

x ​f (x)​ = ​_ 1 ​  ​10​​ ​ 8

x

​h (x)​ = – 6  ​5​ ​​

x

​i ​(x)​ = – _ ​ 3 ​  ​​(_ ​ 2 ​ )​ ​​ 2 3

bereik

verloop

snijpunt y-as

beeld van 1

verticale uitrekking of samendrukking

spiegeling

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

39

3.3.3 Herkennen van grafieken Voorbeeld 1 y

x

De vergelijking is van de vorm y = b  ​​a​​ ​​.

7

• Bepaling van de parameter b:

6

snijpunt y-as: (​ 0, b)​​= ​(0, ​_ 1 ​ )​ ⇒ b = ​_ 1 ​​ 2 2

5

• Bepaling van het grondtal a:

4

het punt ​(1, ​_ 3 ​ )​behoort tot de grafiek 2

3 2 1 x –1

1

a = 3​

2

x De grafiek heeft als vergelijking y​ = ​_ 1 ​  ​3​ ​​.

2

IN

–2

1 ​_ ​ 1 ​  ​a​ ​ = ​_ 3 ​ 2 2

Voorbeeld 2

VA N

2 Controle:​ x = 2 ⇒ y = ​_ 1 ​  ​3​ ​ = ​_ 9 ​ ​. Dat klopt op de figuur.

2 2

y

–2

–1

1

©

–1

2

x 3

• Bepaling van de parameter b:

–2

–3

• Bepaling van het grondtal a:

–4 –5

–6 –7

1

De grafiek heeft als vergelijking

2

3 4

Controle:

5 6

40

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

x

De vergelijking is van de vorm y = b  ​​a​​ ​​.

Voorbeeld 3 x

​​ ​​ ​​.

De vergelijking is van de vorm y = b  a

y 6

• Bepaling van de parameter ​b:​

5

4

• Bepaling van het grondtal a: het beeld van 1 is moeilijk af te lezen, daarom kies je het punt (–1, 3) om a te bepalen.

3 2

–1

1 x –3

–2

–1

1

2

3

4

5

​b  ​a​ ​ = 3​

IN

De grafiek heeft als vergelijking

Voorbeeld 4

VA N

Controle:

x

De vergelijking is van de vorm y​ = b  ​a​ ​.

y

x

–2

–1

1

2

3

4

​ :​ • Bepaling van de parameter b

5

–1

–2

• Bepaling van het grondtal a ​ :​

©

–3

–3

–4 –5 –6

De grafiek heeft als vergelijking

Controle:

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

41

Oefeningen REEKS A x

1

x Teken, in hetzelfde assenstelsel, de grafieken van de functies f​ (x)​ = ​4​ ​ en g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ .

4

x x

​f (x)​ = ​4​ ​​

x

​g (x)​ = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​ 4

y 8

7

IN

6

5

VA N

4

3

2

1

2

x 1

©

-1

Vul de tabel aan.

x

​f (x)​ = 0,​1 ? 2​​ ​​

x

x ​g (x)​ = 6  ​​(_ ​ 3 ​ )​ ​​ ​h (x)​ = – _ ​ 1 ​  ​6​ ​​ 2 2

x

​i ​(x)​ = 3  0,​8​ ​​

x

​j ​(x)​ = – 0,3  ​​(_ ​ 5 ​ )​ ​​ 8

bereik

verloop

snijpunt y-as

beeld van 1

1 2

3 4 5 6

42

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

3

Bepaal van de exponentiële functies de juiste grafiek. x

x

​f​ 2​(x)​ = 4  ​​(_ ​ 3 ​ )​ ​ 5

​f​ 1​(x)​ = 4  ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ 3 x

x

​f​ 3​(x)​ = – 3  0,​8​ ​

x

​f​ 4​(x)​ = 4  1,​2​ ​

x

​f​ 5​(x)​ = – 3  1,​4​ ​

​f​ 6​(x)​ = 4  1,​5​ ​ y

7 6 5 4 3

B

2

F –3

1

–2

–1

C 1

2

IN

–4

E

3

x 4

–1

D

–2

VA N

–3 –4

A

–5

©

Berekeningen:

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

43

REEKS B 4

In een Vlaamse krant was in een artikel over dementie het volgende te lezen: “Het Vlaamse Gewest telde in 2018 naar schatting 131 818 personen met dementie, maar tegen 2035 zullen dat er 188 183 zijn.

In minder dan 20 jaar zal het aantal mensen met de aandoening dus gemiddeld met 42,76 % zijn toegenomen. Dat komt omdat het aantal mensen boven de 80 jaar groeit, en het is vooral die bevolkingsgroep die getroffen wordt door dementie.” a) Bepaal hoeveel procent groei er is per jaar.

IN

b) Bepaal het verband dat het totaal aantal personen met dementie geeft in functie van het aantal jaar na 2018.

VA N

c) Schat met dit verband hoeveel personen met dementie er waren in 2000.

d) Schat met het verband hoeveel personen met dementie er zullen zijn in: jaar

x

y

©

2025

2030 2035

2040 2045 2050 e) Bepaal met ICT in welk jaar er meer dan 200 000 personen met dementie zullen zijn.

1 2

3 4 5

6

44

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

Inflatie is de waardedaling van het geld. De grafiek geeft ons een zicht, op basis van de inflatievoet van 2016, in welke mate de effectieve waarde van 100 euro daalt.

Als referentie wordt de waarde van 100 euro eind 2016 genomen. waarde van 100 euro

5

100

95

90

85

80 1

2

3

4

5

6

7

8

9

IN

aantal jaren na eind 2016

a) Bepaal de inflatievoet in 2017, op 0,1 % nauwkeurig.

VA N

b) Voorspel de effectieve waarde van 100 euro eind 2025.

c) Wanneer zal het geld nog slechts driekwart van de waarde van eind 2016 hebben? (ICT)

©

d) Met hoeveel procent vermindert de waarde van het geld per trimester?

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

45

6

Bepaal de vergelijking van de grafieken. a)

y –1

x 1

–1

2

3

–2

–3 –4

–5

–6 –7

–8

–9 –10

b)

IN

y 10

9 7 6 5 4 3 2

©

1

VA N

8

–1

1

2

3

x 4

c)

5

6

7

8

9

y 8

7

6 5

4 1

3

2

2

3

1

4 5

x –5 –4 –3 –2 –1

6

46

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

1

2

3

4

Op een verlaten terrein wordt een hoeveelheid radioactief afval gevonden.

Elke maand worden metingen uitgevoerd naar de uitgestraalde radioactiviteit in becquerell (bq).

aantal becquerel

7

2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 –200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

IN

–400

aantal maanden

VA N

a) Bepaal het radioactief verval per maand.

©

b) Bereken de hoeveelheid radioactieve straling na 22 maanden.

c) Hoeveel radioactieve straling was er 2 maanden vóór het afval gevonden werd?

Antoine Henri Becquerel (1852–1908) was een Frans natuurkundige.

Bij een onderzoek naar de natuurlijke fosforescentie (het verschijnsel dat een stof na te zijn belicht in het donker nog een poos blijft nalichten) van uraniumzouten, ontdekte hij per toeval een soort straling die niet elektromagnetisch was.

In 1908 kreeg hij, samen met Marie Curie, de Nobelprijs voor fysica.

De eenheid van radioactieve straling is naar hem genoemd.

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

47

Op een afgelegen eiland neemt de bevolking de laatste jaren heel snel toe.

Er gaan steeds meer stemmen op dat de eigen voedselvoorziening onvoldoende zal zijn zodat er extra producten zullen moeten worden ingevoerd.

De regering is er gerust in en zegt dat er de komende 20 jaar geen problemen zullen zijn, omdat de voedselvoorziening ook jaar per jaar zal toenemen.

Onderstaande grafieken geven de stijging weer van de bevolking en van het aantal mensen dat gevoed zal kunnen worden zonder import van nieuwe producten.

Heeft de regering gelijk?

aantal mensen

8

240 000 220 000

voedselvoorziening

200 000 180 000

bevolking

IN

160 000 140 000 120 000

80 000 60 000 40 000 20 000

VA N

100 000

2

©

1

1 2

3 4

5 6

48

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

aantal jaren

REEKS C Monique heeft een kopje thee op tafel gezet, maar is vergeten ervan te drinken.

Onder invloed van de kamertemperatuur neemt de temperatuur van de thee langzaam af.

De volgende grafiek geeft het verband tussen de temperatuur van de thee in °C en de tijd in minuten. temperatuur in °C

9

90 80 70 60 50 40 30

IN

20 10

VA N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 aantal minuten

a) Wat was de oorspronkelijke temperatuur van de thee? b) Hoe warm is het in de kamer?

x

©

c) Stel een exponentieel model op van de vorm y = b  a ​​ ​​ ​​ + c, waarbij x het aantal keer 5 minuten is en y de temperatuur van de thee.

d) Wat is de temperatuur van de thee, op 0,1 °C nauwkeurig, na 23 minuten?

e) Met hoeveel procent koelt de thee af per minuut?

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

49

STUDIEWIJZER Exponentiële functies 3.1 Definitie KENNEN x

Een exponentiële functie met grondtal a en parameter b is een functie f (x) = b  ​a​​ ​​.

Hierbij is a een strikt positief getal verschillend van 1 en b een reëel getal verschillend van 0. x

3.2 Grafiek van de functie met vergelijking y = ​​a​​ ​​ KUNNEN

x

Van functies met vergelijking y = ​a ​​ ​​ • het domein en het bereik bepalen; • de snijpunten van de grafiek met de assen bepalen; • de betekenis van de asymptoot uitleggen; • de invloed van het grondtal begrijpen; • de grafiek tekenen zonder ICT. x

3.3 Grafiek van de functie met vergelijking y = b  a ​​ ​​ ​​ KUNNEN

x

VA N

IN

De invloed van de parameter b bij de grafiek van de functie met vergelijking y = b  ​a​​ ​​ gebruiken om grafieken te herkennen en er de vergelijking van te bepalen.

©

CONTRACTWERK

1 2

3 4

5 6

50

HOOFDSTUK 3 I EXPONENTIËLE FUNCTIES

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

52

4.2 Definities

53

4.3 Rekenregels voor logaritmen

54

4.4 Exponentiële vergelijkingen

61

Studiewijzer

66

©

VA N

IN

4.1 Inleidende voorbeelden

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

51

4.1

Inleidende voorbeelden Voorbeeld 1 Een machtsverheffing heeft 2 inverse bewerkingen. _ 5 5 Uit ​​2​​ ​​ = 32 kun je het grondtal bepalen door een worteltrekking: ​√ 32 ​​ = 2.

Om de exponent van de macht te bepalen, stel je je de vraag tot welke macht je 2 moet verheffen 2 om 32 te verkrijgen. Je noemt deze exponent de 2-logaritme van 32: log 32 = 5 Voorbeeld 2

De Pienterkrant

12/03/2019

We zijn met 7,7 miljard mensen op aarde

IN

De wereldbevolking overschrijdt deze maand de drempel van 7,7 miljard mensen. Die grens is symbolisch. Het aantal mensen is op enkele procenten na bekend, maar het is dus mogelijk dat de 7,7 miljardste mens de voorbije twee jaar geboren is, of dat die drempel pas tijdens de komende twee jaar bereikt wordt.

VA N

Ruim 60 % van de mensen leeft in Azië.

In Europa woont slechts 11 % van de wereldbevolking.

• Een rapport van de Verenigde Naties uit 2017, voorspelt een toename van de wereldbevolking met 1,1 % per jaar.

Schat het aantal mensen op de wereld in 2030. ​• ​​Stel een exponentieel model op.

1,1 b = 7,7 (miljard); a = 1 + ​_ ​ = 1,011 100

©

x

​y = 7,7  1,011​​ ​(y is het aantal miljard mensen; x is het aantal jaren na 2019).

• Voor x = 11 is y = ​ ≈

• Los op met ICT: in welk jaar zullen er 10 miljard mensen op de wereld zijn? x

J​ e laat het verband y = 7,7  ​1,011​​ ​en de rechte y = 10 tekenen in een gepast venster.

Bijvoorbeeld Xmin = 0 Xmax = 50

Ymin = 0 Ymax = 12 Je bepaalt de doorsnede van beide grafieken:​

1

calc

2

2nd

3

4

5 6

52

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

f4

trace

L5

U

5

entry solve

enter

3

4.2

Definities Stel: a en b zijn strikt positieve reële getallen, met a ≠ 1, en r is een reëel getal.

Definitie

a-logaritme van b a

r

​​​ ​​log b = r als b = ​​a​​ ​​ De a-logaritme van b is de exponent r van de macht waartoe je a moet verheffen om b te verkrijgen.

Waarom sluit je ook a = 1 uit als grondtal?

Voorbeelden log 81 = 4

want

5

log 25 = want

10

1 ​ ​ _ 2

​ ​log 128 = ​

9

log 1 = want

want

27

log 3 = want

VA N

log 10 000 = want

4 ​ ​log _ ​ 1 ​ = ​ want 16

IN

3

6

_

​ ​log ​√ 36 ​ = ​ want 3

Briggse logaritmen

Definitie

©

Briggse logaritmen zijn genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs (1561–1630), die voor het eerst tabellen heeft opgesteld met waarden voor 10-logaritmen.

Briggse logaritme

r

log b = r als b = ​​10​​ ​​ 10 De Briggse of gewone logaritme is de logaritme met grondtal 10, m.a.w. log b = log b.

De log-toets van de rekenmachine is de Briggse logaritme.

Voorbeelden log 100 =

log 23 =

log 0,000 1 = log 0,56 =

(op 5 decimalen)

(op 5 decimalen)

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

53

4.3

Rekenregels voor logaritmen voorbeeld 2

2

algemeen

2

log (4  8) = log 32 =

a

2

log 4 + log 8 = + =

3 3 ​ ​log _ ​ 81 ​ = ​ ​log 9 =​ 9 3

a

a

3

log 81 – log 9 = – =

a

log (b  c) = log b + log c a a log _ ​ b ​ ​ = log b – log c c

3

6 2 log (​​​ ​10​​ )​ ​​​ ​​ = log (​​10​​ ​​) =

a

2

3  log 1​​ 0​​ ​​ =  = 5

log 625 =

IN

log 625 _ ​

​ = ​ (rekenmachine) log 5

r

a

log b = r  log b a log b ​ ​log b = ​_

​ ​ log a

VA N

De vierde rekenregel stelt ons in staat logaritmen ten opzichte van een willekeurig grondtal te berekenen met onze rekenmachine.

1,05 log 2 ​ ​log 2 = ​_

​ =​ log 1,05 1,05

Om de ​ ​log 2​te berekenen met de grafische rekenmachine, druk je tbl set f2

L5

Y i

U L1

5

window

: catalog

.

1

©

alpha

[

a-lock

0

L5

U

5

L2

Z

2

Voorbeelden a

a

• Als log b = 2 en log c = –3, bereken dan a

log (b  c) = •​ ​ a • ​ ​ ​ ​ ​log _ ​ b ​ = ​ c a

1

3

• ​ log c​​ ​​ ​​ = ​

2

• Bereken zonder rekenmachine:

3

3

4 5 6

54

3

3

log 18 + 2  log 9 – log 6 =

1,5

• Bereken op 0,000 01 nauwkeurig: log 18 = HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

entry solve

enter

(op 0,000 01 nauwkeurig).

Stel je een tijd voor zonder rekenmachines. Hoe zou je bijvoorbeeld machten en wortels berekenen?

De ‘uitvinding’ van de logaritme, in 1594, danken we aan de Schotse wiskundige John Napier (1550–1617).

Voor de naam ‘logaritme’ haalde hij zijn inspiratie uit het Grieks: logos = rede, gedachte, leer en arithmos = getal.

John Napier

Henry Briggs

VA N

IN

De logaritmen die Napier uitvond, verschillen echter van de logaritmen zoals we die nu kennen en gebruiken. De logaritme van 1 was immers niet gelijk aan 0. De verdienste om het logaritmebegrip eenvoudiger te maken, komt van de Engelse wiskundige Henry Briggs (1561–1630). Hij was professor meetkunde aan de universiteit van Londen en kon de uitvinding van Napier goed gebruiken bij ingewikkelde meetkundige vraagstukken.

Beide wiskundigen zijn, na een uitgebreide briefwisseling, verschillende keren bij elkaar gekomen met de bedoeling tabellen op te stellen om logaritmen te bepalen.

Na de dood van Napier werkte Briggs alleen verder, wat resulteerde in zijn boek Arithmetica Logarithmica (1624). In dat boek werden de grondbeginselen van de logaritmen, zoals we die nu kennen, beschreven. Daarenboven bevatte het boek ook tabellen met de 10-logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20 000 en van 90 000 tot 100 000.

Deze tabellen werden in 1626 en 1627 aangevuld door de Nederlandse landmeter Ezechiel de Decker in zijn boeken Eerste deel der nieuwe telkonst en Tweede deel der nieuwe telkonst.

Hoe rekende men vroeger?

_

​Bereken ​√ 94 237 ​ 5

5 • Stel: x = ​√ 94 237 ​ ⇒ log x = log ​(​94 237​​ ) ​ ​ = ​_ 1 ​  log 94 237 5

_

1 ​ ​ _

©

5

0

1

2

3

4

940

3,97313

,97317

,97322

,97322

,97331

941

,97359

,97364

,97368

,97370

,97377

942

,97405

,97410

,9741

,97419

,97424

• In de tafels vind je:

​

log 9 423 = 3,974 19 en

log 9 424 = 3,974 24

• log 9 423,7 = 3,97 419 + 0,7  0,000 05 = 3,97422

• log 94 237 = log (9 423,7  10) = log 9 423,7 + log 10 = 3,974 22 + 1 = 4,974 22

​

• Je becijfert: ​_ 1 ​  4,974 22 = 0,994 84 5 0,994 84

• log x = 0,994 84 ⇒ x = ​10​​

log 9 882 = 3,994 84

​10​​

​

0

1

2

3

4

988

,99476

,99480

99484

,99489

,99493

989

,99520

,99520

,99520

,99520

,99520

log 9,882 = 0,994 84 0,994 84

​= 9,882 = x​

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

55

Oefeningen REEKS A Bereken zonder rekenmachine 4

2 e) ​ ​ ​log _ ​ 1 ​ = ​ 8

3

2 f) ​ ​ ​log _ ​ 1 ​ = ​ 25

a) ​ ​ ​log 64 = ​

b) ​​ ​log 81 = ​

_ ​ 1 ​ 3

d) ​​ ​log 1 = ​

2

x= x=

5

1 ​ __ ​ 6

b) ​​ ​​ ​log 14 =

1 2 3

4 5 6

56

d) ​​ ​​ ​log x = – 3​ 16 e) ​ ​ ​log x = ​_ 3 ​ ​ 2

27 f) ​ ​ ​log x = – _ ​ 5 ​ ​ 3

x= x= x=

Bereken met de rekenmachine op 0,000 01 nauwkeurig.

a) log 55 =

4

_ ​ 1 ​ 5

©

3

x=

l) ​ ​ ​log 0,1 = ​

VA N

3

c) log x = –2

100

h) ​​ ​log 243 =​

Bereken x.

b) log x = 3

16 k) ​ ​ ​log _ ​ 1 ​ =​ 2

g) ​ ​ ​log 256 =​

8

a) log x = 4

8

j) ​ ​ ​log 2 = ​

1 ​ ​ _ 4

2

c) ​ ​ ​log 128 =​

2

_ i) ​ log ​√ 10 ​ = ​

IN

1

c)

4,3

log 854 =

14 1000 d) log ​​ ______ ​​ = 3

Bepaal het grondtal a. a

a c) ​ ​ ​log _ ​ 1 ​ = – 5​

243

a

a d) ​​ ​log 6 = ​_ 1 ​​

2

a) log 64 = 3 b) log 16 = 4 De oefeningen 5 en 6 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

REEKS B De oefeningen 7 en 8 vind je op diddit.

9

De luchtdruk is afhankelijk van de hoogte boven zeeniveau. p ​Er geldt: h = –18,4  log _ ​ ​​ ​p​ o​

​(h = de hoogte in km; p = de luchtdruk in hPa op hoogte h ; ​p​ o​ = de luchtdruk op zeeniveau)​.​

a) Een recente studie in Colorado Springs (VS) toont aan dat zowat een kwart van de ‘laaglanders’ al geconfronteerd worden met hoogteziekte als de luchtdruk minder dan 80 % bedraagt van die op zeeniveau. Op welke hoogte bevind je je dan?

b) De Mont Blanc is 4 811 m hoog. Vergelijk de luchtdruk op die hoogte met de luchtdruk op zeeniveau.

IN

VA N

De eenheid van druk is genoemd naar de Fransman Blaise Pascal (1623-1662): 2 1 Pascal = 1 N/​​m​​ ​​. De luchtdruk op zeeniveau is ongeveer 100 000 Pa = 1 hPa.

©

Pascal heeft een indrukwekkend palmares: • druk in vloeistoffen (de wet van Pascal); • de eerste mechanische rekenmachine; • grondlegger van de waarschijnlijkheidsrekening (samen met Fermat); • meetkunde van de kegelsneden (stelling van Pascal); • ‘Pensées’: een standaardwerk in de christelijk geïnspireerde filosofie.

Pascal ontdekte ook de afname van de luchtdruk met de hoogte boven het aardoppervlak.

Dat leidde onder andere tot de conclusie dat er een vacuüm bestaat.

In 1648 bevestigde Périer de theorie van Pascal door barometeraflezingen aan de voet en op de top van de Puy de Dôme in de Auvergne.

10

In de chemie bepaalt de pH van een stof de zuurtegraad (pH < 7 is een zuur, pH > 7 is een base). + + Er geldt: pH = –log (H ) (H is de concentratie waterstofionen in mol/l). +

–5

a) Bepaal de pH van tomaten als de H -concentratie 6,3  ​​10​​ ​​ mol/l bedraagt.

+

b) Bereken de H -concentratie in een stof met pH = 8,6.

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

57

11

Charles Richter heeft een formule opgesteld om de kracht van een aardbeving te meten: 1,5  M = log E – 4,4 (E is de energie in joule; M is de magnitude op de schaal van Richter).

a) Op 26 december 2004 vond een zeer zware zeebeving plaats in de Indische Oceaan.

De tsunami (vloedgolf) die er het gevolg van was eiste 300 000 doden. De vrijgekomen energie bedroeg 18 2,24  ​​10​​ ​​ joule.

Bereken de magnitude op de schaal van Richter.

b) Op 26 mei 2018 was er in Limburg een lichte aardschok. De beving had een magnitude 3,1.

Hoeveel energie is er vrijgekomen?

IN

©

VA N

De buitenste laag van de aarde wordt gevormd door een aantal platen. De grenzen tussen twee platen noemt men breuklijnen. Een aardbeving ontstaat als de randen van de platen langs elkaar schuiven.

De plaats waar de aardbeving ontstaat, noemen we het epicentrum. Vanuit dit middelpunt verspreiden de trillingen zich door de aardkorst, zoals een steentje dat we in het water gooien een golfpatroon veroorzaakt.

De wetenschap die zich bezighoudt met het bestuderen en voorspellen van aardbevingen is de seismologie.

12

In fabrieken wordt de maximale werktijd per dag aangepast aan de geluidshinder.

Er geldt: L = –9,97  log t + 94 (L is de geluidssterkte in dB; t is de maximale werktijd in uur). a) Hoeveel bedraagt de toegelaten geluidssterkte bij een maximale werktijd van 8 uur?

b) Wat is de maximale werktijd (op 1 minuut) als de geluidssterkte 90 dB bedraagt?

1 2

3

4

5 6

58

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

REEKS C 13

In de atletiek gebruikt men de volgende formule om uit een prestatie op een bepaalde loopafstand de prestatie op een andere afstand te voorspellen. ​s​ ​​ 2 Er geldt: ​v​ 1​ – ​v​ 2​ = ​log ___ ​ 2 ​​ ​s​ 1​​ Hierin zijn s​ ​​ 1​​​ en ​s​ ​ 2​​​afstanden in m; v​ ​​ 1​​​ en v​​ ​ 2​​​zijn gemiddelde snelheden in km/h. a) Een langeafstandsloper loopt de 10 km in 30 minuten.

Voorspel, op 1 seconde nauwkeurig, zijn prestatie op de 400 m.

IN

b) Welk effect heeft een verdubbeling van de afstand op de gemiddelde snelheid?

In de geneeskunde is de kennis van de huidoppervlakte van een mens belangrijk voor de dosering van bepaalde medicijnen en bij het behandelen van brandwonden.

Om een schatting te maken van de huidoppervlakte, gebruikt men de formule van Dubois: log H = 0,425  log G + 0,725  log L – 2,144.

2 H is de huidoppervlakte in ​​m​​ ​​, G het gewicht in kg en L de lengte in cm.

©

14

VA N

a) Bereken je eigen huidoppervlakte.

b) Vorm de formule van Dubois om naar een formule zonder logaritmen.

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

59

De geluidsintensiteit is gelijk aan de energie van een geluidsbron die 2 per seconde op een oppervlak van 1 ​​m​​ ​​terechtkomt en wordt uitgedrukt 2 in watt per ​​m​​ ​​.

De geluidsintensiteit hangt af van het vermogen P van de geluidsbron (de geluidsenergie die per seconde door de bron wordt uitgezonden) en de afstand r tussen de ontvanger en de bron. Omdat de geluidsenergie in een bolvorm wordt uitgezonden, wordt de geluidsenergie verdeeld over het 2 oppervlak van die bol (oppervlakte bol =​4  ​r​ ​)​ . ​P​ ​ Er geldt: I​ = ​_ bron ​​ 2 4  ​r​ ​

Het geluidsniveau is een maat voor de sterkte van het geluid zoals mensen dat ervaren.

Dat geluidsniveau stelt men gelijk aan 0 decibel voor een toon van 1 000 Hz, die door jonge mensen met een gezond gehoor nog net kan worden waargenomen. De geluidsintensiteit bij deze toon blijkt gelijk te zijn aan 1​​0​​ ​​ W/​​m​​ ​​. Deze waarde noemt men de standaardgeluidsintensiteit I​ ​​ o​​​.

De formule om het geluidsniveau te meten steunt op het feit dat, als de geluidsintensiteit 10 keer –12

2

15

IN

zo groot wordt, het geluidsniveau stijgt met 10 decibel. Er geldt dan: ​N = 10  log​_ I ​​ ​Io​ ​

Los de vragen op.

VA N

a) Een geluidsbron heeft een vermogen van 5 W. Bereken de geluidsintensiteit en het geluidsniveau op een afstand van 10 meter van de bron.

I 2 (W/​​m​​ ​​)

Berekeningen: 1

2 3

4

5 6

60

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

–10

N (dB)

​​10​​ ​​

0

–7

5  ​​10​​ ​​

40

–3

5  ​​10​​ ​​

80

discotheek

pijndrempel

onweer

druk verkeer

luid gesprek

fluisteren

bos

©

gehoorgrens

b) Vul de volgende tabel aan.

10

120

4.4 Definitie

Exponentiële vergelijkingen Exponentiële vergelijking x

Een exponentiële vergelijking is een vergelijking met standaardvorm a​​ ​​ ​​ = b.

Oplossingsmethode

x

x

​a​ ​ = b

neem van beide leden de Briggse logaritme

​​a​​ ​​ = b x

a

x ​=​ ​log b

log b

​ ​ x = ​_ log a

log a ​​ ​​ ​​ = log b

pas de derde rekenregel toe

x  log a = log b

deel beide leden door log a

log b ​ ​ ​ x=_ log a

Voorbeelden x

1) Bereken x op 0,000 01 nauwkeurig, als ​​5​​ ​​ = 300.

5

x

​log ​5​ ​ = log 300

IN

​x =​​​ ​log 300 ​x =

x  log 5 = log 300

VA N

log 300

​ = ​ x = ​_ log 5

x

2) Het exponentieel model y = 7,7  1​​ ,011​​ ​​ (y is het aantal miljard mensen; x is het aantal jaren na 2019), staat ons toe voorspellingen te doen over de wereldbevolking in de toekomst.

In welk jaar zullen er 10 miljard mensen zijn op de aarde?

©

3x – 1

3) Bepaal x op 0,000 01 nauwkeurig, als ​(_ ​ 3 ​ )​ 7 ​(3x – 1)​  log ​(_ ​ 3 ​ )​ = log 2 7

​ = 2.​

log 2 3x – 1 = ​_

​ = ​ log ​(_ ​ 3 ​ )​ 7 ​3x = ​ ​x = ​

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

61

Oefeningen REEKS A 16

Los de exponentiële vergelijkingen op zonder gebruik te maken van logaritmen. x

x

a) ​ ​4​ ​ = 64

c) ​​125​​ ​​ = 5

3

x

​4​ ​ = ​4​ ​

x = 3​

x

x d) ​​16​​ ​ = ​_ 1 ​​ 2

IN

17

b) ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ = 81​ 3

Los de exponentiële vergelijkingen op. Bepaal x op 0,000 01 nauwkeurig.

©

x

x

e) 1 500  ​​1,045​​ ​​ = 2 350

x

2

b) ​​1,5​​ ​​ = 0,43

1

d) 18  6x = 300

VA N

x

a) ​​10​​ ​​ = 450

x

c) ​ ​(_ ​ 12 ​ )​ ​ = ​_ 19 ​ ​ 7 13

_ f) ​ ​ 4 ​  ​​(_ ​ 2 ​ )​ ​ = ​_ 25 ​ 5 3 2

3

4 5 6

62

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

REEKS B 18

Karen zet 2 500 euro uit aan 1,25 % samengestelde intrest per jaar. Hoelang zal het duren tot ze een eindkapitaal van 2 750 euro heeft? Druk het resultaat uit in jaren en maanden.

19

Een patiënte krijgt een inspuiting van 30 mg in het bloed.

Elke dag wordt 40%van dat product door het lichaam afgebroken.

Als er nog 10 mg in het bloed is, moet de patiënte een nieuwe inspuiting krijgen.

Na hoeveel dagen en uren moet zij opnieuw een inspuiting krijgen?

IN

De huurprijs van een woning bedraagt 800 euro per maand.

Het contract voorziet een driejaarlijkse verhoging met 5 %.

Over hoeveel jaar zal de huurprijs meer dan 900 euro bedragen?

©

20

VA N

21

Volgens een studie van de ‘International Union of Conservation of Nature’ zal 67 procent van alle bedreigde diersoorten de komende 100 jaar uitsterven. In een regio waren er in 2013 nog 3 200 hamsters. In 2018 bleken er al 15 % minder te zijn.

Als er nog hoogstens 1 500 hamster zijn, zullen er maatregelen genomen worden.

In welk jaar zullen die maatregelen genomen moeten worden?

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

63

14

​ 6​ ​C​(koolstof-14) is een radioactieve isotoop van het koolstofatoom.

Elke dag komt er kosmische straling binnen in de dampkring.

Deze straling doet energierijke neutronen ontstaan die botsen 15 met stikstof (N) en ​ 7​ ​N​(7 protonen en 8 neutronen) vormen.

b

​ a​X

X = naam van het element a = atoomnummer = aantal protonen = aantal elektronen b - a = aantal neutronen​ 14

1

Deze radioactieve isotoop vervalt daarna tot ​ 6​ ​C​en ​ 1​H ​(waterstof met 1 proton en 0 neutronen).

Koolstof reageert met zuurstof en vormt koolzuurgas (​​CO​ 2​​​), dat door mensen en planten wordt opgenomen.

14 Alle levend organisch materiaal bevat steeds één miljoenste mg per kg van het radioactieve ​ 6​ ​C​.

Bij het afsterven wordt geen koolstof meer opgenomen en daalt de concentratie koolstof-14 door radioactief verval met 0,012 % per jaar.

Met behulp van metingen kun je dan bepalen wanneer het te onderzoeken materiaal is afgestorven.

IN

In de kathedraal van Johannes de Doper in Turijn wordt een linnen kleed bewaard waarop de afbeelding van een man te zien is. Veel christenen geloofden dat het kleed de lijkwade is waarin Jezus werd gewikkeld en begraven na zijn kruisdood.

In 1988 stond het Vaticaan een koolstof-14-datering toe van de lijkwade.

14 Het kleed bevatte 0,923 miljoensten mg/kg van het radioactieve ​ 6​ ​C​.

Bepaal, op 10 jaar nauwkeurig, van welk jaar de lijkwade dateert.

VA N

22

23

©

Uit een onderzoek van het Hoger Instituut voor de Arbeid van de KU Leuven blijkt dat de gemiddelde studiekosten voor een kind in het secundair onderwijs elk jaar stijgen.

In het schooljaar 2006–2007 was de gemiddelde jaarlijkse kostprijs 978,10 euro per kind.

De jaarlijkse kostprijs in het schooljaar 2018–2019 was 1 232,89 euro per kind.

Veronderstel dat de toename exponentieel is.

In welk schooljaar zullen de kosten meer dan 1 500 euro per kind bedragen?

1

2 3

4

5 6

64

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

De verdubbelingstijd van een exponentieel groeiende grootheid is de tijd die nodig is om de waarde van de grootheid te verdubbelen.

De halveringstijd van een exponentieel dalende grootheid is de tijd die nodig is om de waarde van de grootheid te halveren.

verdubbelingstijd

halveringstijd

Een exponentieel groeiende grootheid wordt x beschreven door de functie y = b  a ​​ ​​ ​​ met a > 1.

Een exponentieel dalende grootheid wordt x beschreven door de functie y = b  a ​​ ​​ ​​ met a < 1.

Als T de verdubbelingstijd is, dan geldt: T

T

b  ​​a​​ ​​ = 2  b T ​​a​​ ​​ = 2

​​ ​​ ​​ = 0,5  b ba T ​​a​​ ​​ = 0,5 0,5

a

T =​ ​​ ​log 2

log 2 log 0,5 a a T =​​​ ​log 2 = ​_

​ ​ ​ T =​​​ ​log 0,5 = ​_

​ ​​​ log a log a ​

Los de volgende vraagstukken op.

IN

24

T =​ ​​ ​log 2

VA N

Formules

Als T de halveringstijd is, dan geldt:

a) Hoelang moet een kapitaal uitstaan aan 1,20 % samengestelde intrest om zijn waarde te verdubbelen?

14

©

b) Bereken de halveringstijd van​​ 6​ ​C​(Wist je dat blz. 64).

c) Eind december 2012 waren er 247 941 inwoners in Gent. Vijf jaar later waren er 259 570 mensen ingeschreven in de stad. Bepaal de verdubbelingstijd.

d) De waarde van een aandeel was gisteren 17,23 euro. Vandaag is de waarde met 0,68 euro gedaald.

Als die trend zich doorzet, bereken dan de halveringstijd.

REEKS C Oefening 25 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

65

STUDIEWIJZER Logaritmen 4.2 Definitie KENNEN a

r

log b = r als b = ​a​​ ​​ De a-logaritme van b is de exponent van de macht waartoe we a moeten verheffen om b te verkrijgen. r

log b = r als b = ​10​​ ​​ 10 De Briggse of gewone logaritme is de logaritme met grondtal 10, m.a.w. log b = log b.

4.3 Rekenregels voor logaritmen KENNEN a

a

a

​ ​log (​ b  c)​ = ​ ​log b + ​ ​log c

​ ​log _ ​ b ​ = ​ ​log b – ​ ​log c a

a

a

c

r

a

log b

​ ​log b = _ ​ ​ ​ a

log c

IN

a

​ ​log​ b​​ ​ = r  ​ ​log b

KUNNEN

VA N

De logaritme van een getal t.o.v. een willekeurig grondtal berekenen • met behulp van de definitie, in eenvoudige gevallen; • met behulp van de vierde rekenregel, in alle andere gevallen.

De rekenregels voor logaritmen toepassen in oefeningen.

Vraagstukken oplossen waarin logaritmen voorkomen.

4.4 Exponentiële vergelijkingen

©

KUNNEN

f (x)

Exponentiële vergelijkingen oplossen van de vorm ​a​​ ​​ = b.

Logaritmen gebruiken in vraagstukken over exponentiële groei.

CONTRACTWERK

1

2 3

4 5

6

66

HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

68

5.2 Logaritmisch papier

72

5.3 De natuurlijke logaritmische functie

73

Studiewijzer

82

©

VA N

IN

5.1 De logaritmische functie met grondtal a

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

67

5.1

De logaritmische functie met grondtal a

5.1.1 Definitie Vul de tabel aan. x 3

log x

–3

–1

_ ​ 1 ​​ 9

0

_ ​ 1 ​​ 3

1

3

3

Aan welke voorwaarden moet x voldoen opdat log x zou bestaan?

3 Met elke x komt hoogstens één waarde van log x overeen.

3 De koppels (x, y) met y = log x vormen een functie.

Stel: a is een strikt positief reëel getal, verschillend van 1.

Definitie

Logaritmische functie met grondtal a

IN

a

De logaritmische functie met grondtal a is de functie f (x) = log x.

VA N

5.1.2 Verband met exponentiële functies

Het koppel (x, y) behoort tot de logaritmische functie met grondtal a. ↓

a

©

y = log x ↓

y

x = ​​a​​ ​​ ↓

Het koppel (y, x) behoort tot de exponentiële functie met grondtal a.

De logaritmische functie met grondtal a is de inverse functie van de exponentiële functie met hetzelfde grondtal.

1 2 3 4

5 6

68

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

9

5.1.3 Grafiek Voorbeelden

_ ​ 1 ​ 2

2

Teken de grafieken van de functies met vergelijking y​ ​= ​ ​ log x en y = ​​ ​ log x.​ –3

x

y = ​​2​​ ​​

–1

–3

x

​y = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ ​ 2

–2

–1

1

–2

0

0

2

2

2

y = log x

1

3

3

1 ​ ​ _ 2

​y = ​​ ​ log x​

y y = (1/2)

x

y = 2x

8 7

5 4 3

IN

6

y = 2log x

VA N

2 1

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

–1

y = 1/2log x

©

–2 –3

• Welke betekenis heeft de y–as voor de grafieken van de logaritmische functies?

2

_ ​ 1 ​ 2

• Hoe liggen de grafieken van de functies met vergelijking y​ = ​​ ​ log x en y = ​​ ​ log x t.o.v. elkaar?​

• Teken de rechte met vergelijking y = x (de eerste bissectrice). Wat merk je?

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

69

a

Algemeen: grafiek van de functie met vergelijking y = log x • domein: • bereik: • snijpunt x–as: , want • de y–as is een want

• ( , 1) behoort tot de grafiek, want

IN

• De grafiek is stijgend / dalend als a > 1 en stijgend / dalend als 0 < a < 1. _ ​ 1 ​ a

a

• De grafieken van de functies met vergelijking y = log x en y​ = ​​ ​ log x​zijn symmetrisch

VA N

t.o.v , want a

x

• De grafieken van de functies met vergelijking y = log x en y = a ​​ ​​ ​​ zijn symmetrisch

©

t.o.v. , want

_ Voorbeeld ​ 1 ​ 3 Teken de grafiek van de functie f (x) = ​ ​ log x​ .

x

f (x)

y 2

1 x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

-1 -2 -3

1 2 3 4

5 6

70

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

Oefeningen

1

4

Teken de grafiek van de functie f (x) = log x. y

x

8 7 6 5 4 3 2 1 x -1

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2

9

IN

-2

f (x)

VA N

_ ​ 1 ​ 4

• Schets de grafiek van de functie ​g (x)​ = ​​ ​ log x​. Welke eigenschap gebruik je?

x

• Schets de grafiek van de functie h (x) = ​​4​​ ​​. Van welke eigenschap maak je gebruik?

2

©

Juist of fout? Plaats een vinkje.

a) De grafiek y =

0,6

log x snijdt de x–as in het punt (0,6; 0).

1,5

x

b) De grafiek y = log x is het spiegelbeeld van y = ​​1,5​​ ​​ t.o.v. de rechte y = x. c) De grafieken y =

2,5

log x en y =

0,4

log x liggen symmetrisch t.o.v. de x–as.

5

d) Het punt (1, 5) ligt op de grafiek van y = log x.

x

e) Het gemeenschappelijk punt van de grafieken y = log x en y = ​​10​​ ​​ is (0,1; 1).

juist

fout

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

71

3

Bepaal de vergelijking van de grafieken. y

B

6

D

5

A 4 3 2

C 1 x 1

–1

5

E

©

4

VA N

–1

3

2

IN

–2

1 2

5.2

Logaritmisch papier

3 4

Deze paragraaf en de bijbehorende oefeningen 4 tot en met 7 vind je op diddit.

5 6

72

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

6

7

8

5.3

De natuurlijke logaritmische functie

5.3.1 Het getal e p Stel dat je 1 euro uitzet tegen p % per jaar, dan is het eindkapitaal na 1 jaar gelijk aan 1​ + ​_ ​ ​.

100 • Als je elk n–de deel van het jaar de intrest verrekent, dan is het eindkapitaal na 1 jaar gelijk aan p p _ ​ ​(1 + ​_

​

​ ​ (je gebruikt

​ ​​ als benadering voor de periodieke rentevoet). n n  100 ) n

• Bij continue kapitalisatie (een jaar wordt onderverdeeld in oneindig veel kapitalisatieperiodes), p verkrijg je dus een eindkapitaal na 1 jaar, dat gelijk is aan ​ lim​ ​ ​(1 + ​_

​ ​ ​ .​ n → +∞ n  100 ) x  p In deze formule stel je x​ = ​_ n  100

​ ⇒ n = ​_

​ .​ p 100 p _ ​ ​ n

x  p _ ​ ​ 100

Dan is het eindkapitaal na 1 jaar gelijk aan ​ lim​ ​ ​(1 + ​_ 1 ​ )​ x x → +∞

Voor steeds betere benaderingen van x

VA N

​ lim​ ​ ​(1 + ​_ 1 ​ )​ ​ x x → +∞

x

IN

x

Je berekent ​ lim​ ​ ​(1 + ​_ 1 ​ )​ ​met ICT. x x → +∞

100

​ = ​​[​ lim​ ​ ​(1 + ​_ 1 ​ )​ ​ ]​ ​ x x → +∞

©

vervang je x door stijgende machten van 10.

Definitie

14

Je ziet dat de benadering voor x = ​​10​​ ​​gelijk wordt aan 1.

De reden hiervoor is dat de rekenmachine een inwendige precisie heeft –14

van slechts 13 cijfers en dus is 1 + ​​10​​ ​​voor het toestel gelijk aan 1. ​

​alleen deze cijfers onthoudt de TI84​

−14  1 + ​10​​ ​ = ​ 1,000 000 000 000​

01​

Getal e x

​e = ​ lim​ ​​ ​(1 + ​_ 1 ​ )​ ​ ≈ 2,718 281 83​ x x → + ∞ Een alternatieve definitie vind je op diddit.

Een irrationaal getal is een reëel getal dat niet als een breuk van gehele getallen geschreven kan worden.

Wiskundigen onderscheiden twee soorten irrationale getallen: _ • algebraïsche irrationale getallen: worden verkregen na een bewerking op een rationaal getal, bv.​​√ 2 ​​; • transcendente irrationale getallen: de getallen  ​ ​ , e en alle bewerkingen met deze getallen.

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

73

5.3.2 De natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme is de logaritme met grondtal e.

Natuurlijke logaritme

Definitie

e

y

ln x = log x, met andere woorden: y = ln x als x = e​​ ​​ ​​.

Soms gebruikt men ook de naam Neperiaanse logaritme, naar John Napier.

Voorbeelden • Bereken zonder rekenmachine: _

5 3 ln e​​ ​​ ​​ = ​ In ​(_ ​ 1 ​ )​ = ​ ​ In ​(​√ e ​) ​ =​ e

•

IN

• Bereken met de rekenmachine op 0,000 01 nauwkeurig:

ln 18,45 =

VA N

12 • ​ ​ ​ log 235 = ​_ In 235 ​ = ​ In 12

Het getal e noemt men soms het getal van Euler, hoewel hij er niet de ontdekker van was.

Napier (de ‘uitvinder’ van de logaritme) en Leibniz (samen met Newton de grondlegger van de analyse), gebruikten het getal al eerder in hun geschriften.

©

Euler gaf voor het eerst ruime bekendheid aan het getal, dat hij noteerde met de letter e (van ‘exponent’) in zijn werk Introductio in Analysin infinitorum (1748).

Hij besprak er ook de ruime toepasbaarheid van en loste met behulp van het getal e verschillende wiskundige en natuurkundige problemen op.

1 2 3 4

5

Leonhard Euler (1707–1783) was een Zwitsers wiskundige, die tot de belangrijkste uit de geschiedenis van de wiskunde wordt gerekend.

Hij heeft baanbrekend werk geleverd in de • getaltheorie en de studie van het oneindige; • wiskundige analyse: in feite begint de systematische analyse van functies bij Euler; • ballistiek: de banen van projectielen; • sterrenkunde: bewegingen van de maan en de planeten; • differentiaalmeetkunde: de meetkunde van gekromde oppervlakken; • studie van veelvlakken: de formule van Euler over het verband tussen het aantal hoekpunten, het aantal ribben en het aantal grensvlakken van veelvlakken; • combinatieleer: hij loste het beroemde probleem over de Koningsberger bruggen op.

Aan Euler danken we, naast de notatie voor het getal e, ook de notatie f (x) voor een functie, i voor de wortel uit –1, ​​voor pi, het sommatieteken ​∑​en de benamingen sinus, cosinus en tangens.

Euler werd in 1771 volledig blind. Dankzij zijn fenomenale geheugen kon hij echter tot zijn dood verder blijven werken en publiceren (hij dicteerde zijn bevindingen).

6

74

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

5.3.3 Grafiek van de natuurlijke logaritmische functie Definitie

Natuurlijke logaritmische functie De natuurlijke logaritmische functie is de functie f (x) = ln x.

Teken de grafiek van de functie met vergelijking y = ln x.

–3

x

y = e​​ ​​ ​​

–2

–1

0

1

2

3

y = ln x

y 8 7 6

4

VA N

3

IN

5

y = ex

2 1

-2

-1

1

2

3

x 4

5

6

7

8

©

-1 -2

• domein: • bereik: • snijpunt x–as: , want • De y–as is een • ( , 1) behoort tot de grafiek, want • De grafiek is stijgend / dalend, want x

• De grafieken van de functies met vergelijking y = ln x en y = ​​e​​ ​​ zijn symmetrisch t.o.v. , want

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

75

5.3.4 Toepassing 1: exponentiële groeimodellen Deze paragraaf vind je op diddit.

5.3.5 Toepassing 2: begrensde groei x

kx

De exponentiële modellen y = b  ​​a​​ ​​ en y = b  ​​e​​ ​​ gaan uit van een blijvende groei.

Toch kunnen er factoren meespelen die ervoor zorgen dat de toename na een tijd vertraagt of dat een grootheid niet boven een bepaalde grens kan uitgroeien.

Definitie

Logistische functie a ​ Een logistische functie is een functie met vergelijking y​ = ​_

.​ −k  x 1 + b  ​e​ ​ Voorbeeld 1

VA N

• Hoeveel vossen waren er in 2018?

IN

In een natuurreservaat wordt het aantal vossen gegeven door 6 500 ​ de logistische functie met vergelijking y​ = ​ ___________ .​ −0,3x 1 + 5,1  ​e​ ​ Hierbij is x het aantal jaren na 2018 en y het aantal vossen.

• In welk jaar zullen er 5 000 vossen zijn?

©

6 500 ​ ​ ___________ = 5 000​ −0,3x 1 + 5,1  ​e​ ​ −0,3x ​1 + 5,1  ​e​ ​ = ​_ 6 500 ​ ​ 5 000

• Teken, met ICT, de grafiek van de functie en bepaal het maximale aantal vossen dat het reservaat kan herbergen.

​ = ​_ 6 500 ​ − 1 = 0,3​ 5 000 0,3 −0,3x ​e​ ​ = ​_ ​ ​ 5,1 −0,3x

​5,1  ​e​

0,3 ​– 0,3x = In ​ _ ​ ​ ​ ( 5,1 )

1 2 3 4

Besluit

0,3 In​ _ ​ ​ ​ ( 5,1 ) ​x = – ​_

​ =​ 0,3

a ​​ In de vergelijking y​ = ​_

is a de maximaal mogelijke waarde van y. −k  x 1 + b  ​e​ ​ De parameters b en k worden bepaald door de beginwaarde en de oorspronkelijke groei.

Voorbeeld 2

5 6

76

Een tweede voorbeeld vind je op diddit.

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

Voorbeeld 3 De tabel toont ons de evolutie van de levensverwachting in België van 1885 tot 2017. (bron: Statbel).

Periode

x

mannen

vrouwen

1885

0

43,59

46,63

1930

45

56,02

59,79

1948

63

62,04

67,26

1961

76

67,73

73,51

1970

85

67,79

74,21

1974

89

68,60

75,08

1981

96

70,04

76,79

1989

104

72,43

79,13

1996

111

73,86

80,53

2000

115

74,58

80,92

2005

120

76,14

81,86

2010

125

77,36

82,64

2012

127

77,61

82,83

2013

128

77,94

82,93

2014

129

78,56

83,50

2015

130

78,55

83,16

2016

131

78,78

83,68

2017

132

78,99

83,66

a) Maak zowel voor de mannen als voor de vrouwen een spreidingsdiagram.

VA N

IN

b) Pas logistische regressie toe om het verband tussen het aantal jaren na 1885 en de gemiddelde levensverwachting bij mannen en vrouwen te weten te komen.

©

De vergelijkingen van de regressiekrommen zijn:

mannen: ; vrouwen: c) Bepaal met behulp van de regressiemodellen de maximale gemiddelde leeftijd die mannen en vrouwen zullen kunnen bereiken.

De logistische functie als model voor een geremde groei hebben we te danken aan onze landgenoot Pierre–François Verhulst (1804–1849).

Hij stond hiermee aan de wieg van de chaostheorie (de studie van discrete dynamische modellen).

In de chaostheorie gaat men ervan uit dat zeer kleine veranderingen in een systeem hele grote, fundamentele gevolgen kunnen hebben.

De bekendste uitspraak over de chaostheorie komt van de Amerikaanse wiskundige en meteoroloog Edward Lorenz: “De vleugelslagen van een vlinder in Brazilië kunnen een tornado veroorzaken in Texas.”

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

77

Oefeningen REEKS A Oefening 8 vind je op diddit.

REEKS B 9

De gemiddelde levensduur van een dier in gevangenschap is afhankelijk van zijn volwassen gewicht.

Als x het gewicht is in kg en y de levensduur in jaren, dan geldt: I​n y = ​_ 1 ​  In x + ​_ 7 ​ .​ 5 4 Bereken de gemiddelde levensduur van een dier dat 800 kg weegt.

IN

Het is niet zo eenvoudig om de biomassa van bomen te bepalen zonder die om te hakken.

Daarom heeft men, door een onderzoek bij 378 bomen van tropische oorsprong, de relatie gezocht tussen de biomassa en de diameter op borsthoogte.

Er geldt: ln y = –2 + 2,42  ln x. Hierbij is x de diameter in cm en y de biomassa in kg.

©

10

VA N

Biomassa noem je alle organische materialen en grondstoffen van plantaardige oorsprong die bestemd zijn voor energieopwekking (warmte, elektriciteit, motorbrandstof).

a) De dikste boom van België staat in het Waalse dorpje Liernu.

De eik heeft een diameter van 317 cm. Bereken zijn biomassa.

b) Bereken de omtrek op borsthoogte van een boom met een biomassa van 70 000 kg.

1 2

3 4

5

6

78

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

REEKS C 11

Als je een voorwerp met een temperatuur T1 in een omgeving met temperatuur T0 plaatst, – kt dan zal de temperatuur T van het voorwerp na t minuten gelijk zijn aan T(t) = T0 + (T1  T0)  ​e ​​ ​​ (k is een constante). Dat is de afkoelingswet van Newton.

a) Een kop soep met een temperatuur van 40 °C wordt in een diepvriezer met een temperatuur van –18 °C geplaatst. Na vijf minuten is de temperatuur van de soep al gedaald tot 20 °C. Bepaal de waarde van k.

IN

b) Bereken de temperatuur, op 0,1 °C nauwkeurig, van de soep na 15 minuten.

Geruchten doen snel de ronde. In een klein dorp wordt het nieuws verspreid dat boer Karel

VA N

12

opgenomen is in het ziekenhuis. Het aantal mensen y dat het gerucht al heeft opgevangen wordt gegeven door de functie met vergelijking y​ = ​___________ 2 000 ​ .​ −0,6x

Hierbij is x het aantal dagen na de opname.

1 + 19  ​e​

​

a) Hoeveel mensen wonen er in het dorp?

©

b) Hoeveel mensen zijn de dag van de opname al op de hoogte van het nieuws?

c) Hoeveel mensen hebben het nieuws vernomen als er 4 dagen voorbij zijn?

d) Na hoeveel dagen is het nieuws bij _ ​ 3 ​​ van het dorp verspreid?

4

Oefening 13 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

79

14

Stel, met ICT, een logistisch model op voor de toename van de massa van een koe. aantal weken

massa in kg

20

134,3

40

273,3

60

372

80

466

100

540

120

621

140

637

160

661

a) Hoeveel woog de koe bij de geboorte?

b) Na hoeveel weken zal de koe meer dan 670 kg wegen?

15

IN

De meeste materialen zetten uit als de temperatuur stijgt.

In de fysica gebruikt men de formule  ​ I =   T​, waarbij  ​ ​l het verschil in lengte voorstelt bij een temperatuurstoename  ​ ​T. De evenredigheidsfactor  ​ ​noemt men de lineaire uitzettingscoëfficiënt.

Deze coëfficiënt is afhankelijk van de stof. Er wordt hierbij dus uitgegaan van een lineair model. Maar is de lengtetoename onbeperkt?

In een laboratorium wordt een stalen staaf verwarmd. De tabel bevat de verkregen gegevens.

lengte in cm

0

130

170

230

280

320

360

50,027

50,077

50,099

50,136

50,166

50,186

50,204

VA N

temperatuur in °C

a) Stel de gegevens voor met een puntenwolk.

©

b) Bepaal de lineaire uitzettingscoëfficiënt uit een lineair regressiemodel en de formule ​I​ t​ = ​I​ 0​ + ​I​ 0​    t​(​​l​ t​​​ is de lengte, in cm, bij een temperatuur van t °C, l​​ ​ 0​​​is de lengte bij 0 °C en ​​is de lineaire uitzettingscoëfficiënt).

c) Bij welke temperatuur heeft de staaf een lengte van 50,150 cm?

d) Bepaal een logistisch model voor de lengte van de metalen staaf. Wie de regressie uitvoert met de TI84 vermindert eerst de waarden voor de lengte met 50.

e) Wat is de maximale lengte die de staaf kan hebben?

1 2 3

f) Verklaar waarom de lengte niet ‘oneindig’ kan toenemen.

g) Bepaal, met het logistisch model, bij welke temperatuur de lengte 50,150 cm zal zijn.

4

5 6

80

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

16

Anne heeft in korte tijd anderhalve fles wijn gedronken en heeft 170 mg alcohol binnen.

De concentratie alcohol in haar bloed wordt gegeven door: c (x) = 17  (​​e​​

–0,85x

–x

​​ – e​​ ​​ ​​).

Hierbij is c (x) de concentratie in promille na x uren. a)

Teken, met ICT, de grafiek van het verband tussen c en x.

b) Na hoeveel tijd, in uren en minuten, bereikt de concentratie zijn maximum? Bepaal de maximale concentratie.

c) In België ligt de alcoholgrens om een auto te besturen op 0,5 promille.

Hoelang mag Anne niet met de auto rijden?

IN

VA N

©

Een koord, een kabel of een ketting die je aan twee even hoge punten ophangt zal de vorm aannemen van een kettinglijn. ax

−ax

e​ ​ De vergelijking van een kettinglijn is: y​ = a ​ _________ ​​ ​e​ ​ + ​ ​​.

2 De parameter a stelt de kromming voor in het laagste punt.

17

Je hangt een kabel aan 2 even hoge punten op, 1 m boven de grond.

0,5x −0,5x De kabel hangt in de vorm van een kettinglijn met vergelijking y​ = 0,5  ​_ ​e​ ​ + ​ e​ ​

​ .​ 2 Hoe ver bevinden de bevestigingspunten zich van elkaar?

y

x

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

81

STUDIEWIJZER Logaritmische functies 5.1 De logaritmische functie met grondtal a KENNEN a

De logaritmische functie met grondtal a is de functie f (x) = log x. a

_ ​ 1 ​ a

a

x

De grafieken y = log x en y​ = ​ ​ log x​zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de x–as.

De grafieken y = log x en y = ​a​​ ​​ liggen symmetrisch t.o.v. de eerste bissectrice.

KUNNEN

Het domein, het bereik, de nulwaarden, de asymptoot en het verloop bepalen van een logaritmische functie. De grafiek tekenen en herkennen.

5.2 Logaritmisch papier KENNEN x

IN

De grafiek van een exponentiële functie met vergelijking y = b  ​a​​ ​​, in een assenstelsel waarbij de y–as een logaritmische schaal bevat, is een rechte met vergelijking Y = x  log a + log b, met Y = log y. a

De grafiek van een machtsfunctie met vergelijking y = b  ​x​​ ​​, op dubbel logaritmisch papier, is een rechte met vergelijking Y = a  X + log b, met X = log x en Y = log y.

KUNNEN

VA N

De vergelijking bepalen van een exponentiële functie en van een machtsfunctie, waarvan de grafiek getekend is op logaritmisch papier.

5.3 De natuurlijke logaritmische functie

KENNEN

e

y

ln x = log x, met andere woorden: y = ln x als x = ​e​​ ​​ (e = 2,71 ...)

©

De waarde van een continu exponentieel veranderende grootheid y, met beginwaarde b, p ±k  x ​ ​ .​ na x eenheden, is gelijk aan y​ = b  ​e​ ​ , met k = _ 100 a ​ Een logistische functie is een functie met vergelijking y​ = _ ​ .​ −k  x

1 + b  ​e ​ ​ Hierbij is a de maximaal mogelijke waarde van y.

De parameters b en k worden bepaald door de beginwaarde en de oorspronkelijke groei.

KUNNEN Met ICT het getal e bepalen uit een van de definities.

Toepassingen behandelen met exponentiële functies met grondtal e en met de functie y = ln x.

CONTRACTWERK

1 2 3

4

5

6

82

HOOFDSTUK 5 I LOGARITMISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

84

6.2 Afgeleide van exponentiële functies

84

6.3 Afgeleide van logaritmische functies

91

Studiewijzer

96

©

VA N

IN

6.1 Herhaling

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

83

6.1

Herhaling Deze paragraaf vind je op diddit.

6.2

Afgeleide van exponentiële functies

6.2.1 Voorbeeld 1 x

Je bepaalt de afgeleide van de functie f (x) = 2 ​​ ​​ ​​.

Vul, met behulp van ICT, de tabel aan. Bereken de derde en vierde kolom op 3 decimalen. x

f (x)

Df (x) ​ _

​​ f (x)

Df (x)

–2

0,25

–1

0,5

0

1

1

2

2

4

8

y

7 y = 2x

6 5

IN

4

VA N

2

2

1 1

©

Je brengt onder Y ​​ ​ 1​​​ het functievoorschrift van f in en bij ​​Y​ 2​​​ noteer je numAfgeleide(​​Y​ 1​​​, X, X).

In L​​ ​ 1​​​breng je een aantal getallen in, bijvoorbeeld rij(X, X, –5, 5).

Vervolgens bereken je van de getallen uit die lijst de functiewaarden, voor zowel de functie als voor de afgeleide functie.

Ten slotte bereken je het quotiënt van beide waarden.

In de lijsteditor kun je het resultaat bekijken.

1 2 3 4 5

6 84

• Je merkt: • Bereken ln 2 op 0,001 nauwkeurig: x

Besluit: D ​ ​2​ ​ =​

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

y = D 2x

3

1

2

3

x

6.2.2 Voorbeeld 2 x

Het eerste voorbeeld doet vermoeden dat D ​ ​3​ ​ =​

Vanuit deze formule bereken je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van x de functie f (x) = ​​3​​ ​​, in het punt A(0, 1).

rc t0 = D f (0) =

Je controleert met ICT:

x

De afgeleide van de functie f (x) = ​​3​​ ​​ in het getal 0 kun je berekenen met het commando numAfgeleide( 3^X, X, 0).

De functie numAfgeleide(uit dit commando verkrijg je door A

v

P

8

math

te drukken.

IN

test

6.2.3 Formules

f (x) f (x) x x D ​a​​ ​ ​​ = ​a​​ ​ ​​  ln a D ​a​​ ​ ​​ = ​a​​ ​ ​​  ln a  D f (x)

VA N

Formules

De tweede formule is een gevolg van de kettingregel.

Bijzonder geval x

x

x

x

Formules

©

D ​​e​​ ​​ = e​​ ​​ ​​  ln e = ​​e​​ ​​  1 = ​​e​​ ​​

x x f (x)​​ = ​​e​​ f (x)​​  D f (x) D ​e​​​ ​​ = ​e​​​ ​​ D ​e​​​

x

De exponentiële functie f (x) = e​​ ​​ ​​ is, samen met zijn reële veelvouden, de enige functie waarvan de afgeleide f (x) zelf is.

Leonhard Euler vond de waarde van e bij zijn zoektocht naar een exponentiële functie met x vergelijking y = a ​​ ​​ ​​, waarvan de raaklijn in het punt A(0, 1) evenwijdig is met de rechte y = x (rc = 1).

y 7 y=x+1

6 y = ex

5 4

y=x

3 2 1

x –4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

85

6.2.4 Voorbeelden Voorbeeld 1 Bereken de afgeleide functie. x

​f (x) = ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ 4

​h (x) = ​e​ ​

Df (x) = ​

D h (x) = ​

4x

x

​g (x) = 5  1,​2​ ​

3x −1

​i​(x)​ = 3  0,​7​

​

D i​(x)​ = ​

D g (x) = ​

Voorbeeld 2 x

IN

Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f​ (x) = 3  ​​(_ ​ 1 ​ )​ ​ in P ​(–1, f (−1))​ .​ 2

VA N

©

Voorbeeld 3

Een bedrijf start een reclamecampagne om nieuwe software te promoten.

Het percentage van de doelmarkt dat de software aankoopt, is afhankelijk van de duur van de campagne en wordt gegeven door de formule –0,04x f (x) = 100  (1 – e​​ ​​ ​​) .

Hierbij is x het aantal dagen na het starten van de campagne.

Benader met afgeleiden hoeveel procent van de doelmarkt erbij komt op de 20e dag van de campagne.

1 2 3 4 5

6 86

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de afgeleide functie.

x

x

​a) f (x) = ​6​ ​

​d) f (x) = –1,3  ​7​ ​

x

x

​b) f (x) = 0,​55​​ ​

​e) f (x) = 12  0,​15​​ ​

IN

VA N

2

Bereken de afgeleide functie.

x

​a) f (x) = 5 + 3  ​e​ ​

x

©

x

x

3

​e) f (x) = 100  1,​35​​ ​ − ​x​ ​

​c) f (x) = 4x + ​e​ ​

x

​d) f (x) = ​e​​ ​ + ​2​ ​

x ​b) f (x) = ​_ 9 ​  ​3​ ​ – 2​ 5

x

​f) f (x) = − ​_ 2 ​  ​​(_ ​ 5 ​ )​ ​ 3 2

x ​c) f (x) = ​_ 6 ​  ​e​ ​ 11

x x ​f) f (x) = ​_ 1 ​  ​8​ ​ + 10  ​6​ ​ 5

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

87

3

Bereken de afgeleide functie.

3x

2x

​a) f (x) = ​e​ ​

12x

5x −1

​b) f (x) = ​4​

​

6x + 5

Bepaal de hellingsgraad van de grafiek van f (x) in het gegeven punt P. x

©

​a) f (x) = ​​(_ ​ 3 ​ )​ ​​ P​ ​(2, f​ ​(2)) 2

0,1x

​c) f (x) = ​e​ ​​ P​ ​(10, f​ ​(10))

x

​b) f (x) = – 0,8  1,​3​ ​​ P​ ​(–1, f​ ​(–1))

1 − 2x 1 1 _ ​d) f (x) = ​_ 4 ​  ​5​ ​​ ​ P ​ _ (​ 2 ​ , f ​(​ 2 ​ )​)​ 11

2 3 4 5

6 88

3

​ + ​(​ 2x – 1)​ ​

VA N

2x − 1

​f) f (x) = ​3​

IN

​​

1

_ ​ 1 ​x 4

​e) f (x) = 7  0,​6​ ​ − ​e​​ ​

​c) f (x) = – ​_ 7 ​  ​​(_ ​ 2 ​ )​ 5 10

4

−2x

​d) f (x) = ​e​ ​ + ​e​ ​

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

REEKS B 5

0,012x

Het aantal inwoners in China wordt gegeven door het verband y = 1,358  ​​e​​ ​​, waarbij x het aantal jaren na 2018 voorstelt en y het aantal miljard inwoners.

Benader, met afgeleiden, de bevolkingsaangroei in het jaar 2025.

6

x

De eindwaarde van 700 euro na x jaar samengestelde intrest is gelijk aan y = 700  ​​1,012​​ ​​.

Benader, met afgeleiden, hoeveel intrest het kapitaal opbrengt gedurende het vijfde jaar.

IN

De radioactieve isotoop Kobalt-60 wordt gebruikt in de nucleaire geneeskunde.

–0,132x Door radioactief verval blijft er van 20 gram Kobalt-60 na x jaren nog 25  ​​e​​ ​​ gram over.

Benader, met afgeleiden, hoeveel gram radioactief verval er is tijdens het vierde jaar.

8

©

7

VA N

x

De waarde y, in euro, van een auto wordt gegeven door het verband y = 26 500  ​​0,82​​ ​​.

Hierbij is x het aantal jaren na de aankoop.

Benader, met afgeleiden, het waardeverlies van de auto tijdens het zesde jaar.

Oefening 9 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

89

REEKS C x

10

Bepaal het punt Q op de kromme ​y =​​(_ ​ 1 ​ )​ ​​waarin de grafiek 4 keer zo snel daalt als in het punt P (0, 1).

2

11

Je zet een potje yoghurt in een koelkast. De temperatuur T, in °C, van het potje na x minuten –0,08x wordt gegeven door T (x) = 5 + 17  e​​ ​​ ​​.

a) Welke temperatuur heeft het potje op het moment dat je het in de koelkast zet?

Welke temperatuur heerst er in de koelkast?

IN

b)

c) Benader, met afgeleiden, de temperatuurafname van het potje tijdens de tiende minuut.

VA N

©

De formule om de snelheid van een vallend voorwerp te bepalen, −​_ k  x ​ m  g m rekening houdend met de luchtwrijving, is v​ (x) = ​_

​  ​(1 − ​e​ ) ​​ k

Hierbij is v de snelheid in m/s na x seconden, m de massa van het voorwerp in kg en g de valversnelling; k is een constante.

Deze formule is enkel geldig voor lage snelheden en lichte voorwerpen.

12

De snelheid van een vallend voorwerp na x seconden is gelijk aan v (x) = 19,6  (1 – e​​ ​​

–0,005x

a) Bereken, met afgeleiden, de toename van de snelheid gedurende de derde seconde.

1 2 3

b) Bepaal, met ICT, de maximale snelheid die het voorwerp kan bereiken.

4 5

6 90

De oefeningen 13 en 14 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

​​).

6.3

Afgeleide van logaritmische functies

6.3.1 Afgeleide van de natuurlijke logaritmische functie Je bepaalt de afgeleide van de functie f (x) = ln x.

Vul, met behulp van ICT, de tabel aan.

X

Df (x)

y 4 3

0,5

1

1

2

–1

5

10

y = In x

2

y = D ln x 1

2

3

4

5

6

x 7

–2 –3

©

VA N

IN

–4

Formules ​ D In (x) = ​_ 1 ​ ​(x

x

D f (x) > 0)​​ ​ D In ​[f (x) ]​ = ​_ 1 ​  D f (x) = ​_

​ ​(f (x) > 0)​ f (x) f (x)

6.3.2 Afgeleide van de logaritmische functie met grondtal a a

Je gebruikt de vierde rekenregel voor logaritmen om de afgeleide van f (x) = log x te bepalen. a ​D​​​ ​ log x = D ​_ In x ​ = ​_ 1 ​  D In x = ​_ 1 ​  ​_ 1 ​ = ​_ 1 ​​ In a In a In a x x  In a

Formules

​ D ​​​ ​ log (x) = ​_ 1 ​ ​(x a

x  In a

D f (x) a 1 ​ > 0)​​ ​D ​​​ ​ log​[f (x) ]​ = ​_

 D f (x) = ​_

​ ​(f (x ) > 0)​ f (x)  In a f (x)  In a

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

91

6.3.3 Voorbeelden Voorbeeld 1 Bereken de afgeleide functie van 5

f (x) = log x

g (x) = In (2x)

Df (x) =

Dg (x) =

Voorbeeld 2 Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie f (x) = log ​(_ ​ x ​ )​​ 2 in het punt P (20, f (20)).

Controleer door de grafiek en de raaklijn met ICT te tekenen.

IN

Voorbeeld 3

VA N

Voor een psychologische test over het geheugen werd aan 150 studenten gevraagd een stuk leerstof in te studeren en er een examen over af te leggen.

©

Daarna werd om de week een nieuw examen afgenomen, zonder dat de studenten nog de gelegenheid kregen de leerstof te herhalen.

De gemiddelde score, in procent, na x weken, wordt gegeven door de functie P (x) = 70 – 10  ln (2x + 1).

• Wat was het klasgemiddelde bij het eerste examen?

• Benader met afgeleiden met hoeveel procent het gemiddelde zakt tussen de 3e en de 4e week.

1 2

3 4

5

6 92

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

Oefeningen REEKS A 15

Bereken de afgeleide functie.

0,4

​a) f (x) = ​​ ​ log x​

​d) f (x) = – ​_ 3 ​  In x​ 4

​_ 5 ​ 2

​b) f (x) ​= ​ ​ log x​

6

​e) f (x) = 24  ​​ ​ log x​

VA N

16

0,5 ​f) f (x) = – ​_ 3 ​  ​​​ ​ log x​ 7

IN

​c) f (x) = 2  In x​

Bereken de afgeleide functie. ​a) f (x) = In ​(8x)​

©

​b) f (x) = In (5 − 6x)​

0,85

​d) f (x) = ​​​ ​ log (10x)​

2 ​e) f (x) = – ​_ 1 ​  ​​​ ​ log ​(12 – 5x)​ 9

x ​ − 6 ​ ​c) f (x) = ​_ 1 ​  ln ​(​ _ ) 2 4

___ ​ 12 ​

5

​f) f (x) = 3  ​​​ ​ log (3x + 2) − 18​

Oefening 17 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

93

REEKS B 18

In fabrieken wordt de maximale werktijd per dag aangepast aan de geluidshinder.

Er geldt: L(t) = –9,97  log t + 94. Hierbij is L de geluidssterkte in dB en t de maximale werktijd in uren.

Bereken D L(7) en geef de betekenis.

Bij voorzieningen voor de brandveiligheid van een gebouw is het belangrijk om te weten hoe de hitte zich ontwikkelt. De standaardbrandfunctie geeft het verband tussen de temperatuur T, in °C, en het aantal uren t na het ontstaan van de brand.

2 Er geldt: T = T0 + 345  log (8t + 1). Hierbij is T0 de temperatuur bij het begin van de brand. ​Bepaal, met afgeleiden, de toename van de temperatuur tijdens het vierde uur van de brand.​

IN

19

VA N

©

Oefening 20 vind je op diddit.

21

Op een winderige herfstdag wordt vanaf 8 uur elk uur de windsnelheid gemeten in m/s.

Er geldt:W (x) = 10 + 3  ln (40x + 1). Hierbij is x het aantal uren na 8 uur (0 ⩽ x ⩽ 16). a)

Bereken de gemiddelde toename van de wind tussen 12 en 15 uur.

1 2

b) Bepaal, met afgeleiden, de toename van de windsnelheid tussen 12 en 13 uur.

3 4 5

6 94

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

REEKS C De oefeningen 22 en 23 vind je op diddit.

24

De windsnelheid neemt met de hoogte toe.

De tabel geeft de windsnelheid op verschillende hoogten op een bewolkte dag. hoogte (m) windsnelheid (m/s)

1

1,5

2

4

7,1

10

15

21

29

42

60

1,8

2,3

2,7

3,7

4,5

5

5,5

6,1

6,5

7

7,5

a) Stel de gegevens voor met een puntenwolk. b) Bepaal de vergelijking van de logaritmische regressielijn die het best bij de gegevens past.

c) Bereken de windsnelheid op zeeniveau.

IN

d) Bepaal, met afgeleiden, de toename van de windsnelheid als je van 10 naar 11 m stijgt.

De tabel geeft een overzicht van het aantal land– en tuinbouwbedrijven in Vlaanderen. jaartal

aantal bedrijven

2010

28 331

2011

25 982

2012

25 217

2013

24 884

2014

24 252

2015

23 995

2016

23 981

2017

23 225

©

25

VA N

a) Stel de gegevens voor met een puntenwolk. Neem het aantal jaren na 2009 als onafhankelijke veranderlijke. b) Bepaal de vergelijking van de logaritmische regressielijn die het best bij de gegevens past.

c) Voorspel het aantal land– en tuinbouwbedrijven in 2025.

d) Benader, met afgeleiden, de daling van het aantal land– en tuinbouwbedrijven in 2025.

Oefening 26 van vind je op diddit.

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN

95

STUDIEWIJZER Afgeleiden 6.2 Afgeleide van exponentiële functies KENNEN x

x

f (x)

x

f (x)

D ​a​​ ​​ = ​a​​ ​​  ln a D ​a ​​​ ​​ = ​a​​

f (x)

​​  ln a  D f (x) D ​e​​ ​​ = ​e​​ ​​ D ​e​ ​​ ​​ = ​e​​ ​​  D f (x) x

f (x)

KUNNEN

De rekenregels voor afgeleiden en de formules voor de afgeleide van exponentiële en logaritmische functies toepassen bij het berekenen van afgeleide functies.

6.3 Afgeleide van logaritmische functies KENNEN D f (x) ​D In (x) = _ ​ 1 ​ ​(x > 0)​ D In​[f (x) ]​ = _ ​ 1 ​  D f (x) = _ ​ ​ (f (x) > 0)​ x f (x) f (x)

a ​D ​​ ​log (x) = _ ​ 1 ​ (x > 0) x  In a

1 ​ ​D ​​ ​log ​[f (x) ]​ = _ ​  D f (x) = _ ​ ​ (f (x) > 0)​ f (x)  In a f (x)  In a D f (x)

IN

a

KUNNEN

VA N

De afgeleide van een logaritmische functie berekenen en er de betekenis van geven, ook in praktische toepassingen.

De vergelijking van een raaklijn opstellen in een punt van een grafiek.

©

CONTRACTWERK

1

2 3 4

5

6 96

HOOFDSTUK 6 I AFGELEIDEN