Pienter 3de graad tso - Reële functies - Inkijkexemplaar by VAN IN

Pi enter REËLE FUNCTIES

pl aa

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme

REËLE FUNCTIES

Pi enter

Leerjaar 5 TSO

MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

Leerjaar 5 TSO

Leer zoals je bent

Ontdek beelden geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen. Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? 1 2

Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

3 4 5 6

ISBN 978-90-306-9203-4

590191

vanin.be

pl aa

ReÃ«le functies

jk ex

Leerjaar 5 TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Guy Gijbels

Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter? Hoofdstuk 1 Grafisch onderzoek van functies Hoofdstuk 2 Transformaties van functies Hoofdstuk 3 Verbanden opstellen met ICT Hoofdstuk 4 Veeltermfuncties

Hoofdstuk 5 Afgeleiden van veeltermfuncties

₄ ₅ ₅₇ ₅₉ ₇₅ ₁₀₉ ₁₆₇

jk ex

pl aa

Hoofdstuk 6 Verloop van veeltermfuncties

Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

REEKS A

pl aa

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen. Er zijn drie reeksen oefeningen:

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

jk ex

Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken.

Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken. Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt. Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: â&#x20AC;˘ extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, â&#x20AC;˘ instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Grafieken en tabellen

1.2

Verbanden tussen grootheden

1.3

Functies

1.4

Verbanden beschrijven

1.5

pl aa

met machtsfuncties

1.1

Periodieke verschijnselen

₃₃ ₄₉ ₅₅

jk ex

Studiewijzer

₆ ₁₅ ₂₃

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.1

Grafieken en tabellen Voorbeeld 1 De grafiek toont een overzicht van het aantal verkeersongevallen in België in een bepaald jaar.

4 469

4 129

3 975

4 515

4 182

3 966 3 789

3 786 3 559

aantal/dag

4 000

4 547

4 444

verschil

4 433

4 500

maand

5 000

aantal

verkeersongevallen

3 500 3 000

jan

2 500

feb

2 000

mrt

1 500

apr

500

pl aa

1 000

mei

0 jan

feb

mrt

apr

mei

jun

jul

aug

sep

okt

nov

dec

• In welke maand zijn er de meeste ongevallen?

jun jul

aug

• In welke maand is de stijging tegenover de vorige maand het grootst?

sep okt

• Met hoeveel procent is het aantal ongevallen in die maand gestegen?

nov

jk ex

dec

• Februari lijkt de veiligste maand.

Á Waarom is dat voor een stuk voorspelbaar? Á Hoeveel ongevallen zijn er gemiddeld per dag in februari? Á Als je het gemiddelde aantal ongevallen per dag als maatstaf neemt,

wat is dan de veiligste maand?

In deze grafiek zie je het aantal dodelijke slachtoffers in hetzelfde jaar. • Hoe zie je aan de grafiek dat het aantal doden in januari en in februari gelijk is?

aantal dodelijke slachtoffers

98 96 94 92 90 88

• In welke maanden is het verschil met de vorige maand het grootst?

86 84 82

80 78

Hoe zie je dat aan de grafiek?

76 74

72 70

4 5 6

jan

feb

mrt

apr

mei

jun

jul

aug

sep

okt

nov

dec

• In welke maand is de kans dat een ongeval een dodelijke afloop heeft het grootst? (Tip: combineer de gegevens van de twee grafieken.) HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Voorbeeld 2 Op de Olympische Spelen van Peking won de Tsjechische Barbora Spotakova goud op het speerwerpen voor vrouwen. De tabel geeft het verband tussen de hoogte van de top van de speer en de afstand vanaf de afwerplijn.

afstand (m) hoogte (m)

13,6 22,3 29,4 35,0 38,9 41,2 42,0 41,2 38,9 35,0

hoogte

• Zet de gegevens uit op het assenstelsel en verbind de punten met een vloeiende kromme tussen de punten (5; 13,6) en (50; 35,0).

pl aa

45 40 35 30 25

15 10 5 10

jk ex

afstand

• Op welke afstand van de afwerplijn bereikt de top van de speer zijn hoogste punt? Op welke hoogte bevindt de top van de speer zich dan?

• De grafiek is symmetrisch ten opzichte van de verticale rechte met vergelijking Die rechte is de symmetrieas van de grafiek.

• Maak gebruik van de symmetrie en vul de tabel aan. afstand (m)

hoogte (m)

• Plaats ook die punten op het assenstelsel en vervolledig de grafiek. Hou rekening met de fysische beperkingen (de hoogte is een positieve veranderlijke). • Beantwoord de vragen met behulp van de grafiek. Á Welke hoogte heeft de top van de speer op het ogenblik dat hij de afwerplijn overschrijdt?

Á Hoe ver heeft Spotakova de speer geworpen? Á Tussen welke afstanden vanaf de afwerplijn vliegt de top van de speer hoger dan 25 m?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Voorbeeld 3 Mensen worden steeds ouder. Deze tabel toont de gemiddelde levensverwachting van de Belgische vrouw. jaar

1885

1930

1948

1970

1981

1989

1995 2000 2006

2012

2016

levensverwachting 46,63 59,79 67,26 74,21 76,79 79,13 80,40 80,93 82,16 83,10 83,68 in jaren • Stel deze tabel grafisch voor met behulp van ICT. Oplossing: Á Een tabel maken: Met het programma WISLIJST maak je de standaardlijsten list L1 Y 1

stat

L 1, . . . , L 6 leeg. Druk

pl aa

en voer de gegevens in de lijsten L 1, L 2 in. Á De gegevens grafisch voorstellen:

Je kiest eerst een geschikt grafisch venster.

Á Stel de gegevens voor met een passende statistische plot. Daarvoor druk je stat plot f1 entry solve entry solve

2nd

enter

entry solve

enter

jk ex

. Naast Xlijst en Ylijst plaats je L 1 en L 2 table

en je drukt vervolgens

graph

• Schat met behulp van de grafiek de levensverwachting in 1958. Oplossing:

Teken de verticale rechte x = 1958.

Voer daarvoor in het basisscherm in: L4

In C

draw

prgm

2nd

Τ L1

Y w

Q L5

U v

Y L6

entry solve

enter

Rekening houdend met de vensterinstellingen kun je de levensverwachting in 1958 schatten.

• Schat met behulp van de grafiek vanaf welk jaar de levensverwachting boven de 75 jaar stijgt. 1 2 3 4 5

Oplossing: Teken de horizontale rechte y = 75: stat plot f1

calc

Met

O L5

entry solve

enter

trace

kun je schatten wanneer

de levensverwachting boven de 75 jaar stijgt. Inzoomen doe je met behulp van een Zbox.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

• Bereken de gemiddelde stijging van de levensverwachting per jaar in elke periode. 1885

1930

1948

1970

1981

1989

1995

2000

2006

2012

2016

46,63

59,79

67,26

74,21

76,79

79,13

80,40

80,93

82,16

83,10

83,68

Oplossing: L1

list

Met

stat

kom je in de lijstentoepassing. entry solve

Ga naar de titel van de derde lijst en druk

enter

Voer de formule 䉭Lijst(L 2) / 䉭Lijst(L 1) in tussen aanhalingstekens. Daarvoor druk je

“

2nd

–:

list

stat

2nd

stat u

2nd

}

2nd

)

L entry solve

}

)

enter

memo

alpha

pl aa

a-lock

In welke periode was de toename van de levensverwachting het grootst? Definitie

Extrapolatie

Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt. • Maak gebruik van de gegevens voor de jaren 2012 en 2016 om een voorspelling te doen over de levensverwachting van vrouwen in 2030.

Definitie

jk ex

Oplossing:

Interpolatie

Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden. • Benader, met behulp van lineaire interpolatie, de levensverwachting voor vrouwen in 1977.

Oplossing:

1970

△x =

74,21 △y =

1977 1981

76,79

De Franse Jeanne Calment zag het levenslicht op 21 februari 1875 en stierf 122 jaar later, op 4 augustus 1997. Calment reed met de fiets tot haar 100e, woonde alleen tot haar 110e en stopte met roken op haar 117e (niet omdat ze op haar gezondheid wilde letten, maar omdat ze, blind geworden, haar aansteker niet meer zelf kon terugvinden).

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Oefeningen REEKS A 1

In de grafiek wordt de windsnelheid (in km/h) in Ukkel op 1 november tussen 8 uur en 20 uur weergegeven.

windsnelheid (km/h)

windsnelheid Ukkel op 1 november 20 19 18 17 16 15

12 11 10 8

pl aa

tijdstip (h)

a) Hoeveel bedroeg de windsnelheid op het middaguur? b) Om hoe laat was de wind het zwakst?

jk ex

c) Vat het verloop van de windsnelheid samen in de tabel. tijdstip

windsnelheid

MAX

d) Tussen welke tijdstippen daalde de windsnelheid het snelst? e) Met hoeveel procent nam de windsnelheid af in die periode?

f) Hoelang, op een kwartier nauwkeurig, bedroeg de windsnelheid minder dan 13 km/h?

g) De grafiek is nagenoeg symmetrisch tussen 8 en 14 uur. 1 2 3

â&#x20AC;˘ Bepaal de symmetrieas: â&#x20AC;˘ Welk punt zorgt ervoor dat de symmetrie niet perfect is?

h) Bepaal, met behulp van de grafiek, de windsnelheid om 13.20 uur. 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Een bedrijf produceert fietssloten. De tabel toont de dagelijkse gemiddelde kostprijs per stuk, afhankelijk van het aantal geproduceerde eenheden. gemiddelde kostprijs per stuk (euro)

100

65,00

500

25,00

1 000

20,00

1 500

18,33

2 000

17,50

2 500

17,00

3 000

16,67

4 000

16,25

5 000

16,00

productie

pl aa

75 70

gemiddelde kostprijs

a) Zet de gegevens uit op het assenstelsel en verbind de punten met een vloeiende kromme.

65 60 55 50

jk ex

45 40 35 30 25 20 15

10 5

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 500

6 000

6 500

productie

b) Beantwoord de vragen met behulp van de grafiek. • Bepaal de gemiddelde kostprijs als het bedrijf 700 sloten per dag vervaardigt.

• De firma verkoopt de fietssloten tegen 19 euro per stuk. Hoeveel sloten moet ze per dag verkopen om winst te maken?

• Bepaal de gemiddelde kostprijs bij massaproductie.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

REEKS B 3

De tabel geeft een overzicht van het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leeft, voor de periode 2004-2016. jaartal

percentage bevolking

2004

16,6

2005

17,0

2009

14,5

2012

16,0

2016

14,5

jaartal

2004

2016

percentage

pl aa

b) Stel het verloop schematisch voor.

a) Stel deze tabel grafisch voor met behulp van ICT.

jk ex

c) Schat, vanuit de grafiek, hoeveel procent van de Vlaamse bevolking in armoede leefde in 2007.

d) Gedurende hoeveel jaren lag het armoedepercentage hoger dan 15 %?

e) Bereken de gemiddelde afname per jaar van het percentage van de Vlaamse bevolking die in armoede leefde tussen 2004 en 2016.

f) Benader, door interpolatie, het percentage van de bevolking die in armoede leefde in 2014.

g) Schat, door extrapolatie, het percentage van de bevolking die in armoede zal leven in 2025. 1 2 3

h) Toon aan dat extrapolatie naar een verre toekomst geen zin heeft.

4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

De tabel toont een vooruitzicht op het aantal geboorten en sterfgevallen in het Vlaams Gewest voor de periode 2000-2060. (bron: Federaal Planbureau)

2000

2010

2020

2030

2040

2050

2060

geboorten

61 877

68 335

68 460

65 260

66 700

66 940

66 225

sterfgevallen

57 502

59 718

64 480

67 576

74 301

79 660

78 270

verschil (vraag f)

a) Geef het verloop van het aantal geboorten en sterfgevallen weer in een schema.

geboorten

jaartal

2020

2030

68 460 MAX

65 260 MIN

2000

2050

2060

2000

66 940 MAX

pl aa

jaartal

2050

2060

79 660 MAX

sterfgevallen

jk ex

b) Schat door interpolatie het aantal geboorten in 2027.

c) Voorspel door extrapolatie het aantal sterfgevallen in 2100.

d) Maak met ICT ĂŠĂŠn grafische voorstelling van beide tabellen. e) Benader, met behulp van de grafieken, in welk jaar er voor het eerst meer sterfgevallen dan geboorten zullen zijn. f) Bereken in de tabel het verschil tussen het aantal geboorten en het aantal sterfgevallen. g) Maak met ICT een grafische voorstelling van de verschillen. h) Hoe zie je aan die grafiek in welk jaar het aantal sterfgevallen groter wordt dan het aantal geboorten?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

01.07.2017

01.10.2017

01.01.2018

01.04.2018

01.07.2018

01.10.2018

aantal rokers

01.04.2017

Op 1 januari 2017 waren er in een bedrijf 130 mensen die rookten. Er wordt een grote antirookcampagne opgezet. Om de 3 maanden wordt aan de rokers gevraagd of ze ondertussen al gestopt zijn. De tabel toont het aantal rokers in het bedrijf.

01.01.2017

130

127

124

120

112

r pl aa

aantal rokers

a) Stel de gegevens voor op het assenstelsel en verbind de verkregen punten met een vloeiende kromme (hou rekening met de fysische werkelijkheid).

140 130 120 110 100 90

80 70 60 50 40

jk ex

30 20 10

b) Hoeveel rokers waren er nog op 1 juni 2018?

â&#x20AC;˘ Met de grafiek:

â&#x20AC;˘ Met lineaire interpolatie:

c) In welke maand van welk jaar daalde het aantal rokers onder de 50? 1 2 3

d) In welke maand van welk jaar rookte niemand meer?

4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

aantal maanden na 01.01.2017

1.2

Verbanden tussen grootheden

1.2.1 Onafhankelijke en afhankelijke veranderlijken Voorbeeld 1

regelmatig

af en toe

nooit

â&#x2C6;&#x2019;25

22,2 %

74,6 %

3,2 %

[25, 35[

4,7 %

77,3 %

18,0 %

[35, 45[

1,7 %

70,7 %

27,6 %

[45, 55[

1,6 %

54,5 %

43,9 %

[55, 65[

2,5 %

33,5 %

64,0 %

[65, 75[

0,5 %

17,9 %

81,6 %

75+

0,0 %

9,7 %

pl aa

leeftijdsklasse

De tabel geeft weer hoeveel procent van de Vlaamse bevolking de bioscoop bezoekt.

90,3 %

Voorbeeld 2

Het aantal keren dat iemand naar de bioscoop gaat, is afhankelijk van de leeftijd. Daarom is de leeftijd de onafhankelijke veranderlijke. De percentages van mensen die regelmatig, af en toe of nooit naar de bioscoop gaan, zijn de afhankelijke veranderlijken.

minimumlonen in de landen van de EU, Turkije en de VS, juli 2008, in EUR

1800

jk ex

1600

Groep 3

EUR per maand

1400 1200 1000 800

Groep 2

600

Groep 1

400

200

0 BG RO LV LT SK EE HU CZ PL PT SI MT EL ES UK FR BE NL IE LU TR US Jul 2008 112 137 228 232 267 278 285 329 334 497 567 612 681 700 1148 1321 13361357 1462 1610 333 652

De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is

Definitie

Onafhankelijke veranderlijke Een onafhankelijke veranderlijke is een gegeven of vrij te kiezen grootheid.

Definitie

Afhankelijke veranderlijke Een afhankelijke veranderlijke is een gemeten of voorspelde grootheid. Bij een grafische voorstelling plaats je de onafhankelijke veranderlijke op de horizontale as en de afhankelijke veranderlijke op de verticale as. Bij een verband tussen 2 veranderlijken gebruiken wiskundigen meestal de letter x om de onafhankelijke veranderlijke te noteren en de letter y voor de afhankelijke veranderlijke. HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.2.2 Verbanden beschrijven met formules Voorbeeld 1 De oppervlakte A van een vierkant bereken je met de formule A = z 2, waarbij z de zijde is. • De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is • Als je de formule vanuit puur algebraïsch standpunt bekijkt, Á welke waarden kan z dan aannemen? Á welke waarden kan A dan aannemen? • Beantwoord dezelfde vragen als je rekening houdt met de fysische werkelijkheid:

pl aa

Á mogelijke waarden voor z: Á mogelijke waarden voor A:

• Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de zijde van een vierkant met een oppervlakte van 87 m 2.

• Teken met ICT de grafiek van het verband, rekening houdend met de fysische werkelijkheid. Oplossing:

Voer het functievoorschrift x 2 ÷ (x ⭓ 0) in. Druk daarvoor stat plot f1 link

M {

–:

K link

X,T,θ,n

(

Τ catalog

}

math

[

test

2nd

I e

√

X,T,θ,n

jk ex

)

table

graph

Om de functie te tekenen, druk je

• Bepaal grafisch, op 1 dm nauwkeurig, welke zijde een vierkant moet hebben opdat de oppervlakte tussen 15 m 2 en 55 m 2 zou bedragen. Oplossing: stat plot f1

Je stelt in de vergelijkingseditor (druk

)

Y 2 gelijk aan 15, Y 3 gelijk aan 55 en zoekt via [CALC] calc

1 2

(druk

2nd

trace

) de snijpunten van

de functies Y1 met Y2 en Y1 met Y3.

3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Voorbeeld 2 Hoe bepaal je, bij een ongeval, hoe snel een auto gereden heeft? Om de snelheid te bepalen, meet de politie de remsporen. De formule v 2 = 16 ⴢ r staat hen toe de minimumsnelheid te bepalen die de auto op een droog wegdek had op het ogenblik dat de chauffeur begon te remmen. Daarbij is r de remweg, in m, en v de snelheid in m/s. • Waarom wordt op die manier de minimumsnelheid bepaald?

• De onafhankelijke veranderlijke is De afhankelijke veranderlijke is

• Maak met ICT een grafische voorstelling van het verband tussen v en r, zonder rekening te houden met de fysische werkelijkheid.

pl aa

Oplossing:

draw

2nd

prgm

link

X,T,θ,n

De grafische rekenmachine kan alleen functies tekenen en kan verbanden zoals y 2 = 16 ⴢ x dus niet rechtstreeks voorstellen. Je kunt de grafiek van het verband y 2 = 16 ⴢ x wel laten x2 tekenen als de inverse van het verband x 2 = 16 ⴢ y of y = . 16 Je vervangt dus x door y en omgekeerd. Daarvoor druk je I e

√

–:

Y L6

entry solve

enter

jk ex

Á Waarom is de x-as een symmetrieas voor de grafiek? Á Welke beperkingen moet je aan r opleggen opdat v zou bestaan? Hoe zie je dat aan de grafiek?

Welk deel van de grafiek toont de fysische werkelijkheid?

• Vul de tabel aan.

remweg (m)

snelheid (m/s)

snelheid (km/h)

• Vorm de formule om zodat v de onafhankelijke en r de afhankelijke veranderlijke wordt.

• Verkeersdeskundigen gaan ervan uit dat de reactiesnelheid 1 seconde bedraagt. De stopafstand is dan de som van de remweg en de afgelegde weg gedurende 1 seconde. Vul de tabel aan. snelheid (km/h)

110

120

130

150

snelheid (m/s) remafstand (m) stopafstand (m)

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.2.3 Meerdere onafhankelijke veranderlijken Voorbeeld b

De oppervlakte A van een trapezium met kleine basis b, b+B ⴢ h. 2 In die formule zijn b, B en h de onafhankelijke veranderlijken en is A de afhankelijke veranderlijke.

grote basis B en hoogte h is gelijk aan A =

pl aa

• Vorm de formule om zodat h de afhankelijke veranderlijke wordt.

• Neem een trapezium met kleine basis 5 cm en oppervlakte 20 cm 2. Á h=

Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de fysische werkelijkheid.

Á Tot welke waarde nadert h als B onbeperkt toeneemt? Á Hoe zie je dat aan de grafiek?

is een horizontale asymptoot voor de grafiek.

jk ex

De rechte met vergelijking

• Stel nu dat de oppervlakte 40 cm 2 is en de kleine basis 5 cm blijft. Á h=

Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de fysische werkelijkheid.

Á Vergelijk de grafieken voor A = 20 en voor A = 40.

• Neem een trapezium met grote basis 5 cm en oppervlakte 40 cm 2. Á Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt.

1 2

Á Teken met ICT de grafiek van dat verband. Hou rekening met de werkelijkheid (let op: b ⬍ B).

Á De rechte met vergelijking

Á Wat betekent dat fysisch?

5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

is een verticale asymptoot voor de grafiek.

Oefeningen REEKS A 6

Het verband tussen de gemiddelde snelheid v, in m/s, de afstand s, in m, en de tijd t, in s, s wordt gegeven door de formule v = . t a) In de grafiek wordt het verband tussen v en s weergegeven als t = 10. Teken de grafieken voor het verband als t = 20 en t = 60, zonder punten te berekenen. v 20 18

pl aa

14 12 10 8

4 2

10 20

30 40

60 70

80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 s

jk ex

b) Hoeveel meter heb je afgelegd na 20 s met een snelheid van 8 m/s?

c) Vorm de gegeven formule om zodat t de afhankelijke veranderlijke wordt. d) Teken met ICT de grafische voorstelling van het verband tussen t en v, als s = 1 km.

e) Hoeveel tijd heb je nodig om 1 km af te leggen met een snelheid van 35 m/s?

f) Welke snelheid moet je aanhouden om 1 km af te leggen in een tijd tussen 10 en 20 s?

g) De grafiek van vraag d vertoont 2 asymptoten. Geef telkens de fysische betekenis. â&#x20AC;˘ horizontale asymptoot: betekenis:

â&#x20AC;˘ verticale asymptoot: betekenis:

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

De familie Richman laat in de tuin van hun buitenverblijf in de Provence een ellipsvormig zwembad aanleggen. Om de constructie perfect te laten verlopen, x2 y2 + = 1. gebruikt de firma die het zwembad installeert de vergelijking 64 9 a) Teken met ICT de grafische voorstelling. b) Geef de afmetingen van het zwembad.

pl aa

c) Verklaar, vanuit de vergelijking, de symmetrie in de grafiek.

d) Hoe breed is het zwembad op 2 m van de aangeduide rechterrand?

jk ex

e) Hoe ver moet je van de rechterrand blijven om een breedte van minstens 5 m te hebben?

x2 y2 + = 1 om naar een expliciete vergelijking 64 9 met y als afhankelijke veranderlijke.

f) Vorm de impliciete vergelijking

F1 1 2 3 4 5

Neem 2 verschillende punten F1 en F2 . De figuur die ontstaat door alle punten P te verbinden, waarvan de som van de afstanden tot F1 en F2 constant is, is een ellips. De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips. Een cirkel is een ellips waarvan de brandpunten samenvallen.

Dikwijls gebruiken mensen de woorden ‘ovaal’ en ‘ellips’ door elkaar. Ellipsen zijn ovalen, maar niet omgekeerd. Een goede omschrijving is dat een ovaal een uitgerekte cirkel is. Het woord ‘ovaal’ komt van het Latijnse ‘ovum’, wat ‘ei’ betekent. Een ovaal heeft minstens 1 symmetrieas, een ellips heeft er 2.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

REEKS B 8

De oppervlakte A van een cilinder is gelijk aan A = 2 ␲ ⴢ r ⴢ h + 2 ␲ ⴢ r 2. Daarbij is r de straal van het grondvlak en h de hoogte.

a) Teken met ICT de grafische voorstelling van het verband tussen A en r, als h = 10 (r ⬎ 0!).

b) Een cilinder met een hoogte van 10 cm heeft een oppervlakte van 500 cm 2. Bepaal de straal van het grondvlak op 0,1 cm nauwkeurig.

pl aa

c) Bepaal de oppervlakte van de cilinders met een hoogte van 10 cm, waarvan de straal van het grondvlak tussen 8 en 10 cm bedraagt.

jk ex

d) Bepaal de straal van het grondvlak van een cilinder met een hoogte van 5 cm, waarvan de oppervlakte even groot is als die van een cilinder met een hoogte van 10 cm en waarvan de straal van het grondvlak 9 cm is.

e) Neem een cilinder met een oppervlakte van 100 cm 2. Bepaal een formule die het verband geeft tussen h en de onafhankelijke veranderlijke r.

f) Teken met ICT de grafiek van dat verband, rekening houdend met de werkelijkheid. g) Geef de betekenis van de asymptoot voor de grafiek.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Het symbool ∞ is gebaseerd op het lemniscaat van Bernoulli. 2

Die kromme heeft als vergelijking (x 2 + y 2) = a 2 ⴢ (x 2 − y 2). Daarbij is a een parameter. a) Teken met de computer de grafische voorstelling van het verband voor a = 2 en a = 5. b) Wat is de betekenis van a voor de grafiek?

c) Vervolledig het lemniscaat door gebruik te maken van de symmetrie. y

pl aa

1,5

0,5

–3

–2

–1

x 3

–0,5

–1

jk ex

–1,5

d) Bepaal grafisch alle oplossingen voor x als y = 0,5. Bepaal x op 0,1 nauwkeurig.

Jacob Bernoulli (1654-1705) was de oudste van een roemrijk wiskundig geslacht. Ook zijn broer Johan en zijn neef Daniel zijn de geschiedenis ingegaan als straffe wiskundigen. Velen van hun nazaten bekleedden later leerstoelen in de wiskunde aan de universiteiten van Bazel, Berlijn of Sint-Petersburg. Jacob studeerde eerst theologie, maar raakte na een 6 jaar durende rondreis door Europa geboeid door de wis- en natuurkunde. In 1687 werd hij tot hoogleraar wiskunde benoemd aan de universiteit van Bazel.

2 3 4 5

Jacob Bernoulli is het meest bekend om zijn werk Ars Conjectandi, een basiswerk in de kansrekening. Daarnaast was hij ook actief in de opbouw van de, in die tijd pas ontdekte, wiskundige analyse (de studie van veranderende grootheden).

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.3

Functies

1.3.1 Definitie Voorbeeld Je ziet de grafische voorstellingen van het impliciet verband x 2 + y 2 = 4 en van het expliciet verband y = 冪x − 2. y = 冪x − 2

x2 + y2 = 4 y

y 4

–3

–2

–1

pl aa

–1 –1

–1

3 1

x 7

10 11

–1

–2

• Welke x-waarden hebben geen y-waarden?

• Welke x-waarden hebben één y-waarde?

• Hoe kun je dat bepalen zonder grafiek?

jk ex

• Welke x-waarden hebben geen y-waarden?

• Hoeveel y-waarden hebben de andere x-waarden?

één y-waarde hebben? • Hoe zie je dat aan de grafiek?

• Vorm de formule om naar y.

• Zijn er x-waarden die meer dan

Definitie

Functie

Een verband tussen 2 grootheden bepaalt een functie als er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat.

Notaties en benamingen Het verband y = 冪x − 2 bepaalt een functie f. De vergelijking y = 冪x − 2 is de functievergelijking. Je kunt ook schrijven: f : x 哫冪x − 2, of korter f 共x兲 = 冪x − 2. Dat is het functievoorschrift. f (6) =

is het beeld of de functiewaarde van het argument 6 door de functie f.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.3.2 Domein en bereik Definitie

Domein Het domein van een functie f , dom f, is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat.

Definitie

Bereik Het bereik van een functie f , ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Voorbeelden f(x) =

1 x−2

Voor welke x-waarden bestaat f (x)?

pl aa

f(x) = x 2 − 4

jk ex

Het domein van f is gelijk aan: Wat is de grafische betekenis van het domein?

Welke waarden kan f 共x兲 hebben?

Het bereik van f is gelijk aan: Wat is de grafische betekenis van het bereik?

1 2 3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Praktisch domein en bereik De inhoud van de tank van een auto wordt gegeven door de functie met vergelijking y = 60 − 0,06x . Daarbij is x het aantal gereden kilometers en y het aantal liter brandstof in de tank. • Als je geen rekening houdt met de fysische werkelijkheid, wat zijn dan het domein en het bereik van de functie? • Wat is de inhoud van de tank? • Na hoeveel kilometer is de tank leeg? Definitie

Praktisch domein

Praktisch bereik

pl aa

Definitie

Het praktisch domein van een functie f, pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Het praktisch bereik van een functie f, pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

• Bepaal het praktisch domein en bereik voor het voorbeeld van de tank. pdom f =

pber f =

• Teken met ICT de grafiek van de functie f(x) = 60 − 0,06x, rekening houdend met de werkelijkheid.

jk ex

Oplossing

test

2nd

X,T,θ,n

link

X,T,θ,n

test

2nd

math

K link

(

catalog

–

θ catalog

link

X,T,θ,n test

Y catalog

U L1

catalog

math

[

]

2nd

catalog

}

)

. In een gepast assenstelsel verkrijg je de grafiek hiernaast.

math [

M {

–:

)

V catalog

[

L e

}

[

(

[

stat plot f1 {

[

Voer het functievoorschrift (60 − 0,06x) ÷ (x ⬎ 0 and x ⬍ 1 000) in. Daarvoor druk je

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.3.3 Nulwaarden en tekenschema Voorbeeld Mia heeft een bedrijf waarbij je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek geeft de dagelijkse winst W(x) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte bloemenruikers x. • Bij welke verkoop maakt Mia verlies?

w 150 100

• Bij welke verkoop maakt Mia winst?

50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 x

–50

• Bij welke verkoop is de winst gelijk aan 0?

pl aa

–100 –150 –200 –250

Deze waarden van x zijn de nulwaarden van de functie W.

W(x) Nulwaarde

jk ex

Definitie

−

Je kunt de winst en het verlies schematisch voorstellen in een tekenschema.

−

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f(a) gelijk is aan 0. Voorbeelden

de functie f(x) = 2x + 3

f (x) = 0 als 2x + 3 = 0

De enige nulwaarde van f is

de functie g met de volgende grafiek Lees de nulwaarden van de functie g af op de grafiek. 6

4 2 x –4 –3 –2

–1

–2 –4 –6

Teken met ICT de grafiek van f en geef de grafische betekenis van de nulwaarde.

Geef de grafische betekenis van de nulwaarden.

1 2 3 4 5 6

Eigenschap

Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.3.4 Verloop Voorbeeld De grafiek toont de snelheid v, km/h, van de Thalys op zijn traject tussen Brussel en Parijs, in functie van de tijd t in minuten. v 300 250 200 150 100 50

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 t

pl aa

foto Jarret Campbell

• In welke tijdsintervallen neemt de snelheid toe? • In welke tijdsintervallen neemt de snelheid af? Definitie

Relatief minimum

Definitie

Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Relatief maximum

jk ex

Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen. • Na hoeveel minuten bereikt de trein een (relatief) maximale snelheid? Wat is die maximale snelheid?

• Na hoeveel minuten bereikt de trein een (relatief) minimale snelheid?

Wat is die minimale snelheid?

Het verloop van de snelheid kun je samenvatten in een tabel. 0

& MAX

# MIN

MAX

Voorbeeld

Bepaal het tekenschema en het verloop van de functie f . tekenschema:

y 8

6 4

f 共x兲

2 x –4 –3 –2

–1

1 –2 –4 –6 –8

verloop: x f

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Oefeningen REEKS A 10

Bepaal het domein en het bereik van de functies. a)

7 2

6 5

4 3

x –4

–3

–2

–1

1 –4 –3 –2

–1

–2

pl aa

–2

dom f =

ber f =

5 4 3 2

jk ex

1 –1

–3 –2

–1

x –5

–3

–1

–2

–1

–2

–1

–3

dom f =

ber f =

dom f =

3 x

–3

–2

–1

–2

x –3

–3

dom f =

ber f =

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

–1 –1

3 4

–2

REEKS B Bereken de nulwaarden. a) f (x) = −3x + 7

g) f(x) = 0,02x 3 − 12

b) f (x) = 1 x − 5 4

h) f(x) = 冪2x − 1

pl aa

c) f (x) = x 2 − 9

ki In

e) f (x) = − 4x 2 − 3

f) f (x) = x 3 + 8

f(x) = 冪x 2 − 5

jk ex

d) f (x) = − 1 x 2 + 4 2

f(x) =

2 x

k) f(x) = x − 2 x

f(x) =

2x + 5 3x

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Teken met ICT de grafiek van de functies. Bepaal het tekenschema en het verloop. e) f(x) = x ⴢ (x − 3) ⴢ (x + 2)

a) f(x) = −x + 2

tekenschema:

tekenschema: x

f (x)

f(x)

verloop:

f f) f(x) = −(x + 1) ⴢ (x − 2) tekenschema:

pl aa

tekenschema: x

f (x)

f(x)

verloop:

x f

tekenschema: x

tekenschema: x f(x)

verloop:

f (x)

f 2

d) f(x) = −0,5 ⴢ (x + 1) + 2 tekenschema:

g) f(x) = − 冪x + 3

jk ex

c) f(x) = (x − 1)

h) f(x) = 冪5 − x − 4 tekenschema:

f (x)

f(x)

verloop:

2 3 4 5 6

b) f(x) = 0,25x 3 − 2

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Teken met ICT de grafiek van de functies, zonder rekening te houden met de fysische beperkingen. Bepaal het praktisch domein en bereik van elke functie. Teken met ICT de grafiek in het praktisch domein. a) De afgelegde weg, in functie van de tijd, van een fietser die maximaal 1 uur fietst: s(t) = 300 ⴢ t (t in min, s in m)

f) De diameter van een champagneglas van 10 cm hoog, in functie van de afstand tot de bodem van het glas: D (x) = 冪3,6 x

pdom s =

pdom D =

pber s =

pber D =

pdom q =

冑

T(l) = 2␲ ⴢ

l 9,8

(l in m, T in s)

pdom T =

pber q =

pber T =

h) De gemiddelde snelheid van een voertuig dat 100 km moet afleggen in hoogstens 2 uur:

jk ex

c) De hoogte van een vallend voorwerp in functie van de tijd: h(t) = 120 − 4,9 ⴢ t 2 (t in s, h in m) pdom h =

g) De slingertijd in functie van de lengte van een pendel die tussen 1 m en 3 m lang is:

pl aa

b) De vraag naar een bepaald product, in functie van de prijs: q(p) = 400 − 20 ⴢ p (p in euro, q in aantal eenheden)

(x en D in cm)

v(t) =

pber v =

De kleine diameter van een ruit, met een oppervlakte van 100 cm 2, in functie van de grote diameter: 200 (d ⭐ D) d(D) = D

pdom d =

pber d =

e) Het volume van een smeltend blok ijs in functie van de tijd: 4 3 V(t) = ␲ ⴢ (46 − t) (t in h, V in cm 3) 3

(t in h, v in km/h)

pdom v =

pber h =

d) De diepte van een rivier in functie van de afstand tot de linkeroever: d(x) = 0,25x ⴢ (x − 8) (x en d in m)

100 t

De geluidsintensiteit in functie van de afstand tot een geluidsbron met 50 W vermogen, als een persoon zich tussen 1 m en 10 m van de bron bevindt: 50 I (r) = (r in m, I in W/m 2) 2 4␲ ⴢ r

pdom V =

pdom I =

pber V =

pber I =

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Teken met ICT de grafiek van de functies. Bepaal het domein, het bereik, het tekenschema en het verloop. a) f(x) = 2x 2 − 5

d) f(x) =

1 x−2

dom f =

ber f

tekenschema:

tekenschema: x

f (x)

f(x)

verloop:

兩

b) f(x) = (2x + 7) ⴢ (3 − 8x)

e) f(x) =

tekenschema:

jk ex

ber f

1 −2 x

dom f =

ber f

tekenschema: x

f (x)

f(x)

verloop:

c) f(x) = 冪5 − x 2

−∞

f) f 共x兲 =

–2 +4 2 (x + 3)

dom f =

ber f

+∞

dom f =

tekenschema:

f (x)

f(x)

verloop:

+∞

pl aa

−∞

2 3

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

−∞

+∞

1.4

Verbanden beschrijven met machtsfuncties

1.4.1 Het recht evenredig verband Definitie

Recht evenredig Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding

y constant is. x

y = a ⇒ y = a ⴢ x (a noem je de evenredigheidsfactor; a ≠ 0) x Als 2 grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ⴢ x.

Formule

pl aa

Grafische betekenis van a grafiek van de basisfunctie f(x) = x

• De grafiek is symmetrisch t.o.v.

y=x 3

Verklaring:

f is een oneven functie.

–4

–3

–2

–1

1 –1 –2

• tekenschema:

jk ex

–3

De grafiek van de functie met vergelijking y = x is de eerste bissectrice van het assenstelsel. ber f =

• dom f =

f(x) • verloop: x f

• nulwaarden:

grafiek van de functie g(x) = a ⴢ x Teken met ICT de grafieken van de functies met vergelijking y=x

y = 4x

y = −4x

1 x 4

y=−

1 x 4

• Als a ⬎ 0, dan is de rechte stijgend / dalend. • Als a ⬍ 0, dan is de rechte stijgend / dalend. • Hoe groter 兩 a 兩, hoe Besluit

De grafische voorstelling van het recht evenredig verband y = a ⴢ x is een (deel van een) rechte • door de oorsprong, • met richtingscoëfficiënt a.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Voorbeeld 1 Van een stof wordt proefondervindelijk het verband nagegaan tussen de massa m en het volume V. V (cm 3)

m (g)

2,1

5,67

3,8

10,26

5,9

15,93

8,3

22,41

10,8

29,16

• Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.

• Geef het verband tussen m en V: m= • Wat is de fysische betekenis van de evenredigheidsfactor?

pl aa

• Zoek op het internet over welke stof het gaat.

• In welke mate verandert de massa als het volume verdubbelt?

• Wat is de toename van de massa als het volume met 5 cm 3 toeneemt?

Als de onafhankelijke veranderlijke met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de recht evenredige veranderlijke met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Voorbeeld 2

Eigenschap

jk ex

Bij bouwwerken worden vaak ijzeren balken (‘poutrellen’) gebruikt om muren van een bovenverdieping te ondersteunen als beneden een gedeelte van een muur wordt weggehaald. Zo’n balk moet stevig genoeg zijn. Dat wil zeggen dat hij niet te ver mag doorbuigen bij een grote belasting. In de tabel zie je een serie metingen voor een ijzeren balk van 6 m lang: d is de doorbuiging in cm, b de belasting in kg.

• Toon aan dat het verband tussen d en b recht evenredig is.

b (kg)

10 000 20 000 30 000 50 000 80 000

d (cm)

0,5

1,0

1,5

2,5

4,0

• Geef het verband tussen d en b: d= 1

• Bepaal de doorbuiging bij een belasting van 40 000 kg.

2 3

• Als de norm een maximale doorbuiging van 3 mm is, bepaal dan de maximale belasting op de balk.

4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4.2 Het lineair verband Definitie

Lineair verband Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort.

Stel: b is de beginwaarde (de waarde van y als x = 0); a is de verandering van de y-waarden als x met een eenheid toeneemt.

+a +1 +a

Formule

y=aⴢx+b

pl aa

Voorbeeld 1

Het verband tussen de temperatuur T, in ºC, en de hoogte h, in m, wordt gegeven door: T = 18 − 0,005 ⴢ h.

• Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt.

• Bepaal het tekenschema van T(h) en geef de fysische betekenis. h

jk ex

T(h)

Voorbeeld 2

Voor een taxirit gelden de volgende tarieven: vertrekgeld: 3,50 euro prijs per kilometer: 2,30 euro (tussen 6u en 22u) 2,50 euro (tussen 22u en 6u)

• Bepaal het lineair verband dat de prijs y, in euro, uitdrukt in functie van het aantal kilometers x. Tussen 6u en 22u: Tussen 22u en 6u: • Bereken hoeveel een taxirit die overdag 18,45 euro kost, ’s nachts zou kosten.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4.3 Het omgekeerd evenredig verband Definitie

Omgekeerd evenredig Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als hun product y ⴢ x constant is. yⴢx=a⇒y=

a x

(a ≠ 0)

Formule

Als 2 grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y =

Grafiek van de functie f (x) =

1 (orthogonale hyperbool) x

a . x

pl aa

−4

−2

−1

−0,5

−0,25

0,25

jk ex

0,5

–4

–5

–3

–2

–1

y = 1/x 2

–1 –2 –3

–4

• dom f =

ber f =

• nulwaarden:

• De grafiek is symmetrisch t.o.v.

Verklaring:

• Hoe groter x wordt, hoe meer y nadert naar

. Symbolisch: als x → + ∞, dan y →

Hoe kleiner x wordt, hoe meer y nadert naar

. Symbolisch: als x → − ∞, dan y →

De rechte met vergelijking

is een horizontale asymptoot voor de grafiek van f.

• Als x ⬎ 0, dan wordt y

, naarmate x dichter bij 0 ligt. Symbolisch: als x → 0, dan y →

Als x ⬍ 0, dan wordt y

, naarmate x dichter bij 0 ligt. Symbolisch: als x → 0, dan y →

De rechte met vergelijking

3 4

⬍

is een verticale asymptoot voor de grafiek van f. • verloop:

• tekenschema: x

f (x) 6

⬎

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

x 兩

+∞

−∞ 兩

Voorbeeld 1 Hoe hoger een verkeersdrempel, hoe trager de auto’s erover rijden. In een stad zijn er verkeersdrempels met 4 verschillende hoogten. De politie heeft de resultaten opgemeten voor het verband tussen de gemiddelde snelheid v van de voorbijrijdende auto’s, in km/h, en de hoogte h, in cm, van de drempel. h (cm)

v (km/h)

pl aa

• Toon aan dat het verband tussen v en h omgekeerd evenredig is.

• Geef het verband tussen v en h:

• Volgens de wet mogen verkeersdrempels niet hoger zijn dan 12 cm. Bepaal daaruit het praktisch domein en bereik van de functie v. pdom v =

pber v =

• Hoe hoog, op 1 mm, moet een drempel zijn om de gemiddelde snelheid tot 50 km/h te beperken?

jk ex

Voorbeeld 2 v

Er is slechts 1 plaats achter een lens waar je een scherp beeld krijgt van je voorwerp. De plaats waar dat beeld ontstaat, hangt af van de sterkte van de lens (de brandpuntsafstand f) en de afstand van het voorwerp tot de lens (de voorwerpsafstand v).

Met de lenzenformule

1 1 1 = + kun je de plaats van het beeld (de beeldafstand b) berekenen. f v b

Bij een bolle lens is de brandpuntsafstand positief. Neem een bolle lens met f = 10 cm. • Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt.

• Teken met ICT de grafiek van de functie b. Hou er rekening mee dat v ⬎ 0. • Geef de fysische betekenis van de horizontale asymptoot van de grafiek.

• Hoe zie je aan de grafiek dat er geen beeldvorming is als het voorwerp 10 cm vóór de lens staat?

• Voor welke waarden van v ontstaat een ‘virtueel’ beeld?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4.4 Het kwadratisch evenredig verband Kwadratisch evenredig

Definitie

Twee grootheden y en x zijn kwadratisch evenredig als de verhouding

y x Formule

y x2

constant is.

= a ⇒ y = a ⴢ x 2 (a ≠ 0)

Als 2 grootheden y en x kwadratisch evenredig zijn, dan is y = a ⴢ x 2. Grafiek van de functie f(x) = x 2 y

y = x2

pl aa

−3

−2

−1

5 4

−0,5

3 2

0 0,5 1

–6

jk ex

1 x

–5

–4

–3

–2

–1

• dom f =

ber f =

• nulwaarden:

• De grafiek is symmetrisch ten opzichte van Verklaring:

f is een even functie.

• verloop:

• tekenschema: x

f(x)

Alternatieve manier om een kwadratisch evenredig verband te herkennen. 1 2

f(x) = x 2

䉭y

−3

−2

䉭(䉭y)

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

−1

Bij een kwadratisch evenredig verband is het verschil in de verandering van de y-waarden constant als de x-waarden met een constante waarde toenemen. y = a ⴢ x 2 ⇒ 䉭(䉭y) = 2 ⴢ a

Voorbeeld 1 Toen de Apollo 15 in 1971 op de maan landde, deed de astronaut David Scott een valproef. Hij liet een hamer en een ganzenveer tegelijkertijd vanaf dezelfde hoogte vallen. De voorwerpen bereikten de grond op hetzelfde moment. Die proef bevestigde dat de maan geen dampkring heeft, dat er met andere woorden geen luchtwrijving is. Op de aarde is er natuurlijk wel wrijving, zodat voorwerpen trager vallen dan de traditionele wetten van de fysica voorspellen.

t (s)

s (m)

3,26

7,34

13,04

De tabel toont het verband tussen de afgelegde weg s, in m, en de tijd t, in s, van een vallend voorwerp op de maan.

29,34

pl aa

20,38

• Toon aan dat het verband tussen s en t kwadratisch evenredig is: • Geef het verband tussen s en t:

• De valversnelling op de maan is het dubbele van de coëfficiënt van t 2, dus

• Op de aarde is de valversnelling ongeveer 9,8 m/s 2. Geef het verband tussen de afgelegde weg van een vallend voorwerp op de aarde en de tijd:

jk ex

• Teken met ICT de grafieken van beide functies. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. • Hoe zie je grafisch dat de valversnelling groter is op de aarde dan op de maan?

• Van welke hoogte valt een voorwerp dat na 2,5 s de grond bereikt:

Á op aarde?

Á op de maan?

• Welke afstand zou een vallend voorwerp op aarde afleggen in de tijd die het nodig heeft om op de maan 40 m te vallen?

Voorbeeld 2 In het midden van een vierkant plein met een oppervlakte van 200 m 2 wil je een cirkelvormig grasperk aanleggen. • Bepaal het verband dat de oppervlakte S geeft van het resterende (grijs gekleurde) deel van het plein in functie van de straal r van de cirkel.

• Teken met ICT de grafiek van de functie. • Hoe groot kan de straal van de cirkel maximaal zijn?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4.5 Andere machtsfuncties Voorbeeld 1 Als je een massa aan een veer hangt, ontstaat er een trilling. De trillingstijd van een massaveersysteem is de tijd die nodig is om 1 volledige beweging op en neer te maken. Het verband tussen de trillingstijd T, in s, en de massa m, in kg, wordt gegeven door de formule T = 2 ␲ ⴢ

冑

m . k

Daarbij is k de veerconstante in N/m. In de formule wordt de massa van de veer verwaarloosd.

• Vul de tabel aan voor de trillingstijd. 30

T (s)

T = 1,4 ⴢ 冪m

pl aa

k (N/m)

T = 冪m

• Teken met ICT de grafieken van de vierkantswortelfuncties.

• Wat is de invloed van de parameter a in de formule T = a ⴢ 冪m op de grafiek?

Wat betekent dat fysisch?

jk ex

• Bepaal het verschil in trillingstijd voor een massa van 5 kg als k = 30 en k = 60.

• Hoeveel maal groter moet de massa worden opdat de trillingstijd zou verdubbelen bij een massaveersysteem met k = 40?

• Je hangt een massa van 8 kg aan een veer met k = 20.

Welke massa zou je aan een veer met k = 50 moeten hangen om dezelfde trillingstijd te verkrijgen?

Grafiek van de functies f (x) = x 2 (x> 0) en g(x) = 冪x y

y = x2(x ≥ 0)

y=x

Wat is de ligging van beide grafieken t.o.v. elkaar?

5 4

Verklaring:

3 4

y = √x

x –1

–1

5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Voorbeeld 2 Fossiele brandstoffen (olie, steenkool, aardgas ...) kunnen uitgeput raken en van kernenergie is niet iedereen even wild. Daarom is men al geruime tijd op zoek naar alternatieve energiebronnen, zoals zonne- en windenergie. De laatste jaren worden steeds meer windmolens geplaatst om elektriciteit op te wekken. Het vermogen P van een windmolen is vooral afhankelijk van het type windmolen en van de windsnelheid v. Er geldt: P = a ⴢ v 3 (P in kW, v in m/s). • De tabel toont het gemiddelde vermogen van 3 types van windmolens bij een windsnelheid van 12 m/s. Bereken de parameter a, op 0,01 nauwkeurig, voor elk type windmolen. II

P (kW)

600

1 200

III

2 500

pl aa

type

• Teken met ICT de grafiek van de 3 verbanden (P en v zijn positieve veranderlijken!).

• Omschrijf hoe je de grafiek van type II en van type III zou vinden vanuit de grafiek van type I.

• Met welke factor wordt het vermogen vermenigvuldigd als het tweemaal harder waait? type I:

type II:

type III:

jk ex

• Op een bepaald moment levert een windmolen van type III een vermogen van 500 kilowatt. Welk vermogen zou een molen van type II opleveren bij dezelfde windsnelheid?

• Vorm de formule voor de windmolen van type II om zodat v de afhankelijke veranderlijke wordt.

Grafiek van de functies f (x) = x 3 en g(x) = 3冪x y 4

y=x

y = x3

Wat is de ligging van beide grafieken t.o.v. elkaar?

3 2

y = √x 3

x –5

–4

–3

–2 –1

Verklaring:

–1 –2 –3

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4.6 Verbanden vergelijken Voorbeeld 1 De wekelijkse vraag naar een product A wordt gegeven door de functie q A (p) = 400 − 20 ⴢ p. 400 . Het wekelijks aantal verkochte eenheden van een gelijkaardig product B is q B (p) = p Daarbij is p de prijs per eenheid in euro. Bij welke prijs worden er van beide producten evenveel eenheden verkocht? Hoeveel eenheden zijn dat? Oplossing:

• Bepaal de doorsnede door: calc

2nd

trace

te drukken;

Á dicht bij een snijpunt te gaan staan; entry solve

enter

te drukken.

jk ex

Á tweemaal

pl aa

• Breng de functievoorschriften in onder Y 1 en Y 2 . • Stel ze voor in een gepast venster.

Voorbeeld 2

Toon grafisch aan dat een cirkel altijd een grotere oppervlakte heeft dan een vierkant met dezelfde omtrek. Oplossing:

Stel: de omtrek is x, de zijde van het vierkant is z en de straal van de cirkel is r.

Dan: 4z = x 2␲ ⴢ r = x

⇒z = ⇒r =

De oppervlakte van het vierkant is f(x) = z 2 = 1

De oppervlakte van de cirkel is g(x) = ␲ ⴢ r 2 =

2 3

Teken met ICT de grafieken van beide functies.

4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Oefeningen REEKS B 15

Tijdens een onweer kun je bepalen hoe ver de bliksem verwijderd is van de plaats waar je je bevindt. De tabel toont het verband tussen de afstand s, in m, van de bliksem en de tijd t, in s, tussen de bliksemschicht en de donderslag. t (s)

s (m)

662

1 324

1 986

2 648

pl aa

a) Toon aan dat het verband tussen s en t recht evenredig is.

b) Geef de formule voor dat verband. c) Wat is de snelheid van het geluid?

d) Tussen de bliksem en de donder verstrijken 2,5 s. Hoe ver weg is het onweer?

e) Hoelang zal het duren vooraleer je de donder hoort, als het onweer zich op 5 km bevindt?

Tijdens de Ronde van Frankrijk wordt een tijdrit over 65 km gereden. Renner A haalt een gemiddelde snelheid van 45 km/h. Renner B, die 3 minuten later is gestart, haalt een gemiddelde van 47 km/h.

jk ex

Onweer ontstaat meestal bij warm en vochtig weer. De opstijgende warme lucht koelt af en vormt een wolk. In die wolk bevriezen sommige waterdruppels, die daardoor dalen en botsen met stijgende warme waterdruppels. Daardoor ontstaat elektrische lading. De lichtflits die je ziet bij onweer, is dus het resultaat van een elektrische ontlading. Donder is het geluid dat ontstaat door de grote hitte van de bliksem.

a) Bepaal grafisch na hoeveel kilometer renner B renner A heeft ingehaald.

b) Hoelang hadden ze toen elk al gereden? A:

c) Bepaal de eindtijd van beide renners. A:

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de maximale hoogte h van de vingertoppen (in vergelijking met de hoogte bij stilstand), in cm, en de sprongtijd t in seconden. De tabel geeft de gemiddelde resultaten. t (s)

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

h (cm)

19,5

30,5

43,9

59,8

78,1

pl aa

b) Bepaal de formule voor het verband tussen h en t.

a) Welk soort verband bestaat er tussen h en t?

c) Bereken de maximale hoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s.

d) Darrel Griffith sprong 120 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd.

jk ex

De Pont de Normandie is een van de meest indrukwekkende bruggen ter wereld. Ze overspant de Seine en heeft een lengte van 2 143 m. De brug wordt volledig ondersteund door 2 pilaren met een hoogte van 215 m en een gewicht van 20 000 ton. Het bouwwerk is zo geconstrueerd dat het windstoten tot 400 km/h kan weerstaan. Bij herstellingswerken aan de Pont de Normandie laat een werknemer zijn hamer vallen van het hoogste punt van een van de pilaren.

De hoogte, in m, na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = 215 â&#x2C6;&#x2019; 4,9t 2. De snelheid van het vallende voorwerp voldoet aan het voorschrift v(t) = â&#x2C6;&#x2019;9,8t.

a) Teken met ICT de grafieken van beide functies. b) Bepaal het praktisch domein en bereik van beide functies. pdom h =

pber h =

pdom v =

pber v =

c) Waarom is de hoogte positief en de snelheid negatief?

1 2

d) Bepaal de snelheid van de hamer op een hoogte van 50 m.

3 4

e) Met welke snelheid bereikt de hamer de grond?

5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

In een vat bevindt zich een hoeveelheid lucht die afgesloten is door een zuiger die zonder wrijving kan bewegen. De temperatuur blijft constant. Een onderzoeker meet het volume V, in dm 3, en de druk p, in bar. De tabel toont de resultaten. V (dm 3)

2,5

1,8

1,3

0,8

0,4

p (bar)

0,70

0,97

1,34

2,18

4,35

ZUIGER

a) Welk soort verband is er tussen p en V?

pl aa

b) Bepaal de formule voor het verband.

c) Teken de grafiek van die functie. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. d) Geef de fysische betekenis van de asymptoten.

jk ex

e) In welke mate verandert de druk als het volume verdubbelt?

De vorige oefening toont een bijzonder geval van de algemene gaswet. Die wet beschrijft het verband tussen de druk, het volume en de temperatuur van een ideaal gas. Daarbij wordt verondersteld dat de gasmoleculen geen volume hebben en geen invloed op elkaar uitoefenen. Er geldt: p ⴢ V = n ⴢ R ⴢ T. Daarbij is p de druk in Pa (N/m 2), V het volume in m 3, n de hoeveelheid gas in mol en T de temperatuur in Kelvin (0 K is het absolute nulpunt = –273,15 ºC). J R is de gasconstante en is gelijk aan 8,314 472 (J is het aantal joule of Nm). K ⴢ mol Uit de algemene gaswet kun je 2 bijzondere wetten afleiden: • De wet van Boyle-Mariotte: p ⴢ V is constant als de temperatuur constant is. p • De wet van Gay-Lussac: is constant als het volume constant is. T

Hoe hoger je staat, hoe verder je kunt kijken. Bij helder weer wordt de afstand s, in km, tot de horizon gegeven door de formule s = 冪13h. Daarbij is h de hoogte in meter. a) Teken de grafiek van de functie s met behulp van ICT. b) Hoe hoog moet je staan om 20 km ver te kunnen kijken?

c) “Als je 2 keer zo hoog staat, kun je 2 keer zo ver kijken.” Klopt die bewering?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

De geluidsintensiteit I, in W/m 2, op een afstand r van een geluidsbron met een vermogen P, P is gelijk aan I = (P in W, r in m). 4␲r 2 Op Rock Werchter heeft de geluidsinstallatie een vermogen van 80 000 W. Hoe ver moet je minstens van de boxen verwijderd staan opdat de geluidsintensiteit minder dan 1 W/m 2 (de pijngrens) zou bedragen?

De firma Bol & Bal krijgt de opdracht plastic ballen te maken als promotiemateriaal. De ballen moeten een volume hebben tussen 1 500 dm 3 en 2 000 dm 3. Bepaal grafisch, op 1 cm 2, hoeveel materiaal nodig is om 1 bal te vervaardigen 4 (V = ␲ r 3 en A = 4 ␲ r 2). 3

jk ex

WISKUNDIG DESKUNDIG

pl aa

REEKS C 23

Twee weerstanden R 1 en R 2 die parallel geschakeld zijn, hebben een vervangingsweerstand R, 1 1 1 die gegeven wordt door de formule = + . R R1 R2

Neem: R 1 = 100 ⍀ (Ohm). a) Vorm de formule om zodat je een expliciet verband verkrijgt met R als afhankelijke veranderlijke.

R1 R2

b) Stel de functie grafisch voor met ICT. Hou rekening met de fysische werkelijkheid. c) Bepaal de waarde voor R 2 zodat R = 60 ⍀. 1 2

d) Geef de fysische betekenis van de asymptoten van de getekende grafiek.

3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Kinetische energie is de energie die een voorwerp heeft omdat het beweegt. 1 ⴢ m ⴢ v 2. 2 Daarbij is m de massa in kg, v de snelheid in m/s en E k de energie in joule (J).

Er geldt: E k =

Potentiële energie is de mogelijkheid die een voorwerp heeft om energie op te wekken omdat het zich in een bepaalde toestand bevindt die onderworpen is aan een krachtveld. Een voorwerp dat zich op een bepaalde hoogte bevindt heeft potentiële zwaartekrachtenergie. Die energie is gelijk aan E p = m ⴢ g ⴢ h (m is de massa in kg, h de hoogte in m en g = 9,81 m/s 2). De som van de kinetische en de potentiële energie van een voorwerp blijft constant: E = E k + E p is constant (wet van behoud van energie).

Je laat een loden bal met een massa van 10 kg vanaf een hoogte van 100 m vallen. 1 De hoogte van de bal na t seconden is gelijk aan h = h 0 − g ⴢ t 2. 2 De snelheid na t seconden is gelijk aan v = − g ⴢ t.

pl aa

a) Druk de kinetische en de potentiële energie uit in functie van de tijd.

b) Teken met ICT de grafieken van beide functies.

jk ex

c) Toon aan dat E = E k + E p constant is.

d) Na hoeveel seconden is de kinetische energie gelijk aan de potentiële energie?

e) Op welke hoogte bevindt de bal zich dan?

f) Na hoeveel seconden is de potentiële energie gelijk aan 0 J?

g) Stel: f(t) = E p − E k . Maak een tekenschema van die functie. Hou rekening met de werkelijkheid. t f(t) h) Geef de fysische interpretatie van het tekenschema.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Wie kent Albert Einstein (1879-1955) niet? Toch dreigde Einstein in de vergetelheid te geraken toen hij, na zijn studies in de wis- en natuurkunde, de kost verdiende bij een patentbureau in Bern. Als student was hij niet echt onder de indruk van de schoonheid van de wiskunde. Zijn docent Minkowski vond hem zelfs een “luie hond”. Maar daar zou verandering in komen ... In 1905 schreef hij in een brief aan een vriend dat hij aan 4 artikels werkte, die zijn visie op de natuurkunde weergaven. Hij zette er de wetenschappen en de hele wereld mee op hun kop. Einstein ontving in 1921 de Nobelprijs voor Natuurkunde voor zijn ontdekking van het foto-elektrisch effect, maar is vooral bekend om zijn relativiteitsheorie. Die theorie omvat 2 delen: de speciale relativiteitstheorie (1905) en de algemene relativiteitstheorie (1916).

pl aa

In de speciale relativiteitstheorie gaat hij uit van de volgende principes: • Tijd is relatief (afhankelijk van de waarnemer). • Elke waarnemer ondergaat dezelfde natuurwetten. • Afstanden zijn relatief: voorwerpen in beweging worden korter gezien. • De lichtsnelheid c in het luchtledige is een constante. • Massa en energie zijn equivalent (E = m ⴢ c 2).

In de algemene relativiteitstheorie gaat Einstein uit van een vierdimensionaal ruimte-tijdmodel om de kosmos te beschrijven. In dat model wordt de zwaartekracht gezien als een gevolg van de kromming van de ruimte-tijd onder invloed van massa en energie.

jk ex

Tot aan zijn dood in 1955 probeerde Einstein vruchteloos een universele theorie te vinden die alle natuurwetten verklaart. Daar is trouwens tot op heden nog niemand in geslaagd! Misschien een idee om mee in de geschiedenisboeken te komen?

De massa m van een voorwerp dat beweegt met een snelheid v, in m/s, wordt gegeven door m0 m= (m 0 is de massa in rust, c is de lichtsnelheid: 3 ⴢ 10 8 m/s). 2 v 1− 2 c

冑

a) Stel dat verband met ICT grafisch voor als m 0 = 100 kg (v ⬎ 0).

b) Hoe zie je aan de grafiek dat de lichtsnelheid niet overschreden kan worden?

c) Hoe zie je aan de grafiek dat ‘lage’ snelheden geen invloed hebben op de massa?

1 2

d) In de deeltjesversneller van CERN, in Geneve, kan men de massa van een elektron verzwaren tot 200 miljoen keer de rustmassa. Welke snelheid heeft het elektron dan?

3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.5

Periodieke verschijnselen Voorbeeld 1

hoogte (m)

Je bekijkt de hoogte, ten opzichte van de grond, van een van de wieken van een windmolen.

y=d

pl aa

tijd (s)

• Hoe hoog bevindt het uiteinde van de wiek zich op zijn laagste punt?

jk ex

• Wat is de hoogte op het hoogste punt?

• Hoe hoog boven de grond is het bevestigingspunt van de wieken? • Hoe lang is elke wiek?

• Hoelang doet een wiek over 1 volledige omwenteling?

• Op welke hoogte zal het uiteinde van de wiek zich bevinden na 20 s?

De grafiek van de hoogtefunctie vertoont een patroon dat zich om de

herhaalt.

Je noemt de functie periodiek met periode T =

De frequentie f is het aantal perioden dat wordt doorlopen in 1 s. Hier is f = De grafiek varieert tussen het maximum

en het minimum

Het gemiddelde van deze waarden is d = De rechte met vergelijking y = d is de evenwichtslijn van de grafiek. De maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn is Dat (positieve) getal is de amplitude a van de periodieke functie.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Definitie

Periodieke functie Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie. Benamingen en notaties • De lengte van het interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet, is de periode T. 1 • De frequentie f is het aantal doorlopen periodes per seconde. Er geldt: f = . T De eenheid van frequentie is Hertz (Hz). • Als m de minimale functiewaarde is en M de maximale functiewaarde, dan is de horizontale m+M de evenwichtslijn voor de grafiek. rechte met vergelijking y = d = 2 • Het positieve getal a = M – d is de amplitude van de periodieke functie.

pl aa

Voorbeeld 2 De grafiek toont het verloop van een wisselspanning.

• T=

U (V) 320

• f=

280

• Na hoeveel seconden wordt de maximale waarde bereikt?

240 200

160 120 80 40

t (s)

0,01

0,02

0,03

–40

0,05

jk ex

–80

0,04

–120 –160 –200 –240 –280

effectieve waarde =

maximale waarde 冪2

Bepaal de effectieve waarde:

• Geef alle nulwaarden van de functie U.

–320

• In de elektriciteitsleer geldt:

Opmerkingen

hoogte van de waterstand (m MSL) 20 6:0 0

Bij natuurverschijnselen heb je soms te maken Soms worden periodieke verschijnselen met afwijkingen van een zuiver periodieke functie. beschreven door een samenstelling van periodieke functies. y

4 3 2

0 20 6:0

.12 26

27 .1

:00 06

:00 25

.12

06 :00 .12

–4

1 0 –1 –2 –3

23 .1

5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

x 0,2 0,4 0,6 0,8

5 6

De periode is ongeveer

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

uur.

De periode is

1,2 1,4 1,6 1,8

2 2,2 2,4 2,6 2,8

Oefeningen REEKS B 26

De ademhaling van een sporter tijdens een inspanning wordt bestudeerd. Daarbij wordt de luchtstroomsnelheid v, in l/s, positief gerekend bij het inademen en negatief bij het uitademen. v 2 1,5 1 0,5 2

–0,5

pl aa

–1 –1,5 –2

b) Wat betekent T fysisch?

a) Bepaal de periode: T =

c) Hoeveel keer ademt de sporter in en uit per minuut? d) Wat is de maximale luchtstroomsnelheid?

jk ex

e) Na hoeveel seconden wordt die bereikt? f) Bepaal alle nulwaarden.

Je maakt een slinger door een massa van 5 kg aan een staaf met een lengte van 3 m te hangen en die een uitwijkhoek van 10º te geven. Deze grafiek toont de uitwijking u, in m, van de slinger tegenover de evenwichtstoestand. Hierbij is t de tijd in seconden.

g) Wat is de fysische betekenis van die nulwaarden?

u 0,6

a) T =

0,5

b) f =

0,4

c) a =

0,3 0,2 0,1 1

d) Bepaal alle nulwaarden op 0,001 nauwkeurig:

–0,1 –0,2 –0,3 –0,4 –0,5

e) Wanneer heeft de slinger een maximale snelheid?

–0,6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

De grafiek beschrijft de hoogte, in m, boven de grond van iemand die in een reuzenrad zit. Daarbij is t de tijd in minuten. h 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20

pl aa

a) Op hoeveel meter boven de grond stapt hij in? b) Na hoeveel minuten bereikt hij een maximale hoogte? c) Wat is die maximale hoogte?

d) Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn: e) Wat is de diameter van het reuzenrad?

f) Hoelang duurt 1 volledige omwenteling?

g) Hoeveel omwentelingen doet hij in 4 uren?

De tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang noem je de astronomische daglengte. Deze grafiek toont die daglengte in uren voor Ukkel. 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

a) Bepaal de periode.

b) Op welke dag is de daglengte

daglengte

jk ex

h) Bepaal zijn hoogte na 2 h 50 min:

minimaal?

d) Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn. 50

c) Hoelang duurt een dag op die datum?

100

150

200

250

300

350

dagnummer

e) Wat is de betekenis van de evenwichtslijn?

2 3 4

f) De grafiek vertoont 2 buigpunten (een overgang van een holle naar een bolle kromme of omgekeerd). Wat is de fysische betekenis van die buigpunten?

5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

REEKS C 30

De grafieken tonen een vereenvoudigd model voor de hoogte van het zeewater op 1 januari in Oostende en in La Trinité-sur-Mer (Bretagne). h (m)

La-Trinité-sur-Mer

pl aa

Oostende

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

t (h)

a) Bepaal de periode voor beide badplaatsen.

jk ex

• Oostende:

• La Trinité:

b) Geef de vergelijking van de evenwichtslijn voor: • Oostende: • La Trinité:

c) Wanneer (op een kwartier nauwkeurig) zal het in Oostende hoogwater zijn?

d) Wanneer (op een kwartier nauwkeurig) zal het in La Trinité laagwater zijn?

e) Bepaal de waterstand op 2 januari om 12 uur voor: • Oostende:

• La Trinité:

f) Hoelang staat het zeewater op 1 januari hoger in Oostende dan in La Trinité?

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

Geluiden bestaan uit kleine veranderingen in de luchtdruk die je trommelvlies bereiken en die je dankzij zenuwimpulsen kunt registreren. Hoe groter de amplitude van de trilling, hoe sterker het geluid. Hieronder zijn 3 geluidsgolven voorgesteld. △p (µPa) geluid 2

2 geluid 1 geluid 3

t (s) 0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

–1

–3

a) Vul de tabel in.

geluid 1

amplitude

jk ex

geluid 2

frequentie

periode

pl aa

–2

geluid 3

b) Bepaal de drukverandering 䉭p van geluid 1 na 0,3 s.

c) Je hoort het tweede geluid in totaal gedurende 5 s. Hoeveel honderdsten van een seconde is de drukverandering (verhoging of verlaging) meer dan 2 μPa (micropascal)?

d) De geluiden 1 en 3 hoor je gedurende 6 s. Hoeveel honderdsten van een seconde levert het derde geluid meer drukverandering dan het eerste geluid?

2 3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

STUDIEWIJZER Grafisch onderzoek van functies 1.1 Grafieken en tabellen KUNNEN Door extrapolatie een waarde schatten die buiten een rij waargenomen waarden ligt. Door interpolatie een tussenliggende waarde schatten bij een rij waargenomen waarden.

1.2 Verbanden tussen grootheden KENNEN Een onafhankelijke veranderlijke is een gegeven of vrij te kiezen grootheid. Een afhankelijke veranderlijke is een gemeten of voorspelde grootheid.

KUNNEN

pl aa

Een gegeven verband omvormen naar de gevraagde afhankelijke veranderlijke.

1.3 Functies

KENNEN

jk ex

Een verband tussen 2 grootheden bepaalt een functie als er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Het domein van een functie f, dom f , is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat. Het bereik van een functie f, ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Het praktisch domein van een functie f , pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Het praktisch bereik van een functie f , pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat. Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f (a) gelijk is aan 0. Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as. Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

KUNNEN

Het (praktisch) domein en bereik bepalen van een functie uit het voorschrift en de grafiek. De nulwaarden van een functie bepalen uit het voorschrift en de grafiek. De betekenis ervan geven bij praktische problemen. Het tekenschema en het verloop van een functie bepalen, met behulp van de grafiek. De betekenis ervan geven bij praktische problemen.

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

1.4 Verbanden beschrijven met machtsfuncties KENNEN Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding

y constant is. x

Als 2 grootheden y en x recht evenredig zijn met evenredigheidsfactor a, dan is y = a ⴢ x. De grafische voorstelling van het recht evenredig verband y = a ⴢ x is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a. Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort. De vergelijking van een lineair verband is y = a ⴢ x + b. Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als hun product y ⴢ x constant is. Als 2 grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = a . x Twee grootheden y en x zijn kwadratisch evenredig als de verhouding

y constant is. x2

pl aa

Als 2 grootheden y en x kwadratisch evenredig zijn, dan is y = a ⴢ x 2.

KUNNEN

De verschillende soorten machtsfuncties herkennen en er fysische problemen mee oplossen. Van die machtsfuncties het domein, het bereik, de nulwaarden, de eventuele asymptoten, het tekenschema en het verloop kunnen interpreteren. Van periodieke functies, met een gegeven grafiek, de periode, de frequentie, de evenwichtslijn en de extreme waarden bepalen en er een fysische interpretatie aan geven.

1.5 Periodieke verschijnselen

KENNEN

jk ex

Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie. De lengte van het interval waarin het patroon zich 1 keer voordoet, is de periode T.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

HOOFDSTUK 1 I GRAFISCH ONDERZOEK VAN FUNCTIES

HOOFDSTUK 2 I TRANSFORMATIES VAN FUNCTIES

jk ex

pl aa

Dit hoofdstuk en de bijbehorende oefeningen vind je op diddit.

HOOFDSTUK 2 I TRANSFORMATIES VAN FUNCTIES

pl aa

jk ex

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

3.1

Lineaire modellen

3.2

Regressie met machtsfuncties

3.3

Kwadratische modellen

jk ex

pl aa

Studiewijzer

₆₀ ₆₂ ₆₇ ₇₃

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

3.1

Lineaire modellen

3.1.1 Lineaire verbanden y

Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort.

+a +1

Als b de beginwaarde is (de waarde van y als x = 0) en a de verandering van de y-waarden als x met een eenheid toeneemt, dan geldt: y = a ⴢ x + b.

+a +1 b x 1

Voorbeeld 1

pl aa

Antropologen schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. Het bovenarmbeen (de humerus) is een been dat meestal nog intact is bij opgravingen naar resten van onze voorouders. Het verband tussen de totale lengte y, in cm, van een volwassen man en de lengte x, in cm, van het bovenarmbeen wordt gegeven door de formule y = 2,881 ⴢ x + 70,923.

• Bij opgravingen wordt een humerus gevonden van 30,1 cm. Onderzoek van de rest van het skelet wijst uit dat het om een volwassen man gaat. Hoe groot was die man?

jk ex

• Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van het verband.

• Robert Wadlow (1918-1940) was 272 cm groot. Hoe lang was zijn bovenarmbeen?

• Heeft het getal 70,923 in de vergelijking een fysische betekenis?

Waarom (niet)?

Voorbeeld 2

Als er geen temperatuursinversie optreedt (dat wil zeggen dat een warme luchtlaag over een koudere laag schuift), neemt de temperatuur in de troposfeer (de onderste laag van de atmosfeer) af met de hoogte. hoogte (m) 200 750 Op een vochtige lentedag wordt de temperatuur gemeten op een hoogte van 200 m en op een hoogte van 750 m. temp (ºC) 13,8 10,5

1 2

• Bepaal het verband tussen de temperatuur y en de hoogte x. y2 − y1 Á a= = x2 − x1 Á Vergelijking van de grafiek van het verband: y − y 1 = a ⴢ (x − x 1 ).

3 4

• Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt:

5 6

• Welke temperatuur heerst er op zeeniveau? HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

3.1.2 Lineaire regressie Bekijk opnieuw de stijging van de levensverwachting bij vrouwen in België. jaar

1970

1981

1989

1995

2000

2006

2012

2016

levensverwachting in jaren

74,21

76,79

79,13

80,40

80,93

82,16

83,10

83,68

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk. levensverwachting bij vrouwen in België 86

Je ziet een stijgende trend die nagenoeg door een lineair verband kan worden weergegeven.

84 82

Om dat verband te vinden, zoek je met ICT een trendlijn of regressielijn die zo goed mogelijk past bij de punten van het spreidingsdiagram.

pl aa

leeftijd in jaren

74 72 70 68 1970

1975

1980

1985

1990

1995 jaartal

2000

2010

2015

• Breng de gegevens onder in lijsten.

2005

• Maak met het TI84-programma WISLIJST de werklijsten L 1, . . . , L 6 leeg. L1 Y • Druk

list

stat

Á vul in de eerste lijst het aantal jaren na 1970 in;

Á vul in de tweede lijst de levensverwachting in jaren in.

jk ex

• Je kunt de gegevens door een puntenwolk laten voorstellen in een gepast grafisch venster (ZoomStat): stat plot f1

2nd

entry solve

enter

entry solve

enter

2nd

entry solve format f3

enter

zoom

• Om de vergelijking van de regressielijn te vinden, laat je de grafische rekenmachine een lineaire regressie uitvoeren. Daarvoor druk je L4

list

stat

a-lock

alpha

calc

trace

2nd L1

2nd

entry solve

enter

• De vergelijking van de regressielijn is • Voorspel de gemiddelde levensverwachting in 2040: • Vanaf welk jaar mag je verwachten dat vrouwen gemiddeld ouder dan 85 jaar worden? • Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt:

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

3.2

Regressie met machtsfuncties In de tabel zie je de remweg r op een nat wegdek van een auto die met een snelheid v rijdt. v (km/h)

r (m)

6,75

18,75

36,75

60,75

120

108

180

243

䉭r

reactie

pl aa

• Toon aan dat een lineair verband niet past.

rem

• Stel de gegevens voor met een puntenwolk en bepaal de best passende regressielijn. Oplossing

Á Om de gegevens voor te stellen met een puntenwolk, voer je die eerst in 2 lijsten in.

jk ex

Á Om een passende regressielijn te vinden, voer je een regressie uit met een machtsfunctie. Daarvoor druk je list

a-lock

stat

alpha

2nd

test

a-lock

math

alpha

calc

trace

2nd L1

entry solve

enter

Á De regressielijn die je verkrijgt, is een parabool. De determinatiecoëfficiënt (r 2) is gelijk aan 1 (100 %). Dit wil zeggen dat 100 % van de variatie op de y-waarden (de remweg) te verklaren is uit de variatie op de x-waarden (de snelheid).

Het verband tussen de remweg en de snelheid is: r =

• Het verschil tussen de stopafstand s en de remweg r is de reactieafstand z. Bepaal in de tabel de reactieafstand voor elke snelheid.

• Geef het recht evenredig verband tussen de reactieafstand en de snelheid:

2 3 4 5

• Het verband tussen de stopafstand en de snelheid is:

r (m)

s (m)

6,75

15,75

18,75

33,75

36,75

57,75

60,75

87,75

120

108

144

180

243

297

s=r+z= • Bepaal de stopafstand van een auto die 105 km/h rijdt:

v (km/h)

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

z (m)

Oefeningen REEKS B 1

In de Verenigde Staten gebruiken ze graden Fahrenheit om de temperatuur te meten. Wij gebruiken graden Celsius. Het verband tussen die temperatuurschalen is lineair. Hieronder vind je voor twee temperaturen in ºF de temperatuur in ºC. a) Stel een formule op om x ºF om te zetten in y ºC.

4,4

21,1

b) In een verslag over de US Open in New York zie je een temperatuur van 95 ºF.

pl aa

Hoe warm is het in ºC?

c) De president van de Verenigde Staten komt Brussel bezoeken. Het is er 10 ºC. De president wil weten hoeveel graden Fahrenheit dat is. Reken dat voor hem uit.

De Celsiusschaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1744). In zijn schaal is 0 graden de temperatuur waarbij water bevriest en 100 graden de temperatuur waarbij water kookt, beide onder normale druk.

Deze gegevens tonen de dagelijkse kosten K, in euro, van een bedrijf dat q vaatwasmachines per dag produceert. Het verband tussen K en q is lineair.

jk ex

De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de, in die tijd, laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de menselijke lichaamstemperatuur.

8 250

12 000

K (euro)

a) Stel een formule op die K uitdrukt in functie van q.

b) Geef de economische betekenis van: • de beginwaarde: • de richtingscoëfficiënt:

c) Het bedrijf verkoopt de machines tegen 300 euro per stuk. Hoeveel vaatwasmachines moet het minstens per dag verkopen om winst te boeken?

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

In België blijft het aantal huwelijken de laatste jaren min of meer stabiel, maar de leeftijd waarop mensen trouwen wordt steeds hoger. De tabel geeft een beeld van de gemiddelde leeftijd waarop mannen huwen. jaar

leeftijd (jaren)

1985

27,3

1990

29,3

1995

31,3

2000

32,9

2005

35,0

2010

36,4

2015

37,7

a) Bepaal, met regressie, het lineair verband tussen de gemiddelde trouwleeftijd van mannen en het aantal jaren na 1985.

b) Voorspel de gemiddelde trouwleeftijd in 2023.

pl aa

c) Schat de gemiddelde trouwleeftijd in 2008: • via het regressiemodel:

• via lineaire interpolatie:

jk ex

d) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van de regressierechte.

De tabel toont de evolutie van het wereldrecord op de 100 m sprint, het koninginnennummer van de atletiek, sinds 1991.

e) Toon aan dat je dit model niet kunt gebruiken voor een ‘ver’ verleden, noch voor een ‘verre’ toekomst.

jaar

1991

1994

1996

1999

2002

2005

2008

2009

record (s)

9,90

9,85

9,84

9,79

9,78

9,77

9,74

9,58

a) Bepaal, via regressie, het lineair verband tussen de recordtijd en het aantal jaren na 1991.

1 2 3 4

b) Wanneer zal men volgens het regressiemodel voor het eerst onder de 9,50 s lopen?

5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

Om de 2 jaar wordt in AustraliĂŤ de World Solar Challenge gehouden. Dat is een race van 3 000 km, tussen Darwin en AdelaĂŻde, voor voertuigen die aangedreven worden door zonne-energie. Die wedstrijd is al vele keren gewonnen door een team studenten uit het Nederlandse Delft. Bij hun overwinning in 2017 haalden ze een gemiddelde snelheid van ruim 82,3 km/h.

Om een formule te vinden voor het aantal zonnecellen dat nodig is om een voertuig een bepaalde snelheid te doen halen, gebruik je de tabel van de universiteit van Michigan (VS). De cellen hebben een oppervlakte van 40 cm 2. n

104

180

286

427

608

a) Stel de gegevens voor met een puntenwolk en bepaal de machtsfunctie die het verband tussen n en v geeft.

v (km/h)

b) De Nuna 9, die de World Solar Challenge won in 2017, had een topsnelheid van 180 km/h. Hoeveel zonnecellen waren er gemonteerd?

pl aa

c) Vorm de formule om zodat v de afhankelijke veranderlijke wordt.

jk ex

d) Wat is de maximumsnelheid van een voertuig dat 1 000 zonnecellen bevat?

Als je een bal van op een hoogte h laat vallen, dan stuitert die tot op een zekere hoogte terug, waarna opnieuw een valbeweging optreedt enzovoort.

h (m)

0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

tijd (s) 1,4

1,6

De uitdooftijd van een stuiterende bal is de tijd die nodig is om de bal tot stilstand te brengen. Die uitdooftijd is onder andere afhankelijk van de hoogte, het materiaal waaruit de bal bestaat en de ondergrond.

Je laat een voetbal vanaf verschillende hoogten vallen en bepaalt de uitdooftijd T. h (m)

T (s)

0,5

6,07

0,75

7,43

8,58

1,25

9,60

1,5

10,51

a) Bepaal, met regressie, het verband tussen T en h.

b) Bepaal de uitdooftijd van een bal die valt vanaf 2 m hoog.

c) Met welke factor moet je T vermenigvuldigen als de hoogte verdubbelt?

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

Je bepaalt de massadichtheid â?ł van pompelmoezen. De tabel geeft het verband tussen de straal r, in cm, van een pompelmoes en haar massa m, in g. r (cm)

5,25

5,5

5,75

m (g)

445

515

592

677

769

a) Bepaal met regressie het verband tussen m en r.

pl aa

b) Bereken met het gevonden verband en de formule voor het volume van een bol de massadichtheid van pompelmoezen in g/cm 3.

De tabel toont de maximale tijd t, in minuten, die een duiker onder water mag blijven als hij zich op een diepte d, in m, bevindt. De gegevens zijn afkomstig van de US Navy.

jk ex

Als een duiker zich onder water bevindt, ademt hij de lucht in onder een grotere druk dan normaal. Daardoor ontstaat meer stikstofgas in het bloed. Als de duiker te lang onder water blijft of te snel terug naar het oppervlak stijgt, kan de stikstof belletjes doen ontstaan in het bloed. De duiker krijgt hoofdpijn, spierpijn en duizeligheid. In ernstige gevallen kan hij buiten bewustzijn raken of zelfs sterven. Dat verschijnsel noem je de ziekte van Caisson.

t (min)

530

235

130

d (m)

3 4 5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

a) Bepaal met regressie het verband tussen t en d.

b) Hoelang, op 1 minuut nauwkeurig, mag een duiker onder water blijven als hij zich op een diepte van 50 m bevindt?

c) Een duiker heeft zuurstof voor 100 minuten. Hoe diep mag hij gaan?

3.3

Kwadratische modellen De richtingen waarvoor het leerplanonderdeel ‘Functies van de tweede graad’ in de basisdoelstellingen staat, vervangen paragraaf 3.3 door het leerwerkschrift Tweedegraadsfuncties.

3.3.1 Kwadratische verbanden grafiek van de functie f (x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤

grafiek van de functie f(x) = ax 2 + bx + c

• co (top) = (␣, ␤)

jk ex

• gemeenschappelijke punten met de x-as: de punten waarvan de x-coördinaat bepaald wordt door het oplossen van de vergelijking (x − ␣) = −

␤ a

• symmetrieas: de rechte x = −

• symmetrieas: de rechte x = ␣

pl aa

De grafiek is een parabool met de volgende kenmerken: • a ⬎ 0: dalparabool a ⬍ 0: bergparabool hoe groter 兩 a 兩, hoe smaller de parabool

冉

• co (top) = −

b 2a

冉冊冊

b b , f − 2a 2a

• gemeenschappelijke punten met de x-as: de punten waarvan de x-coördinaat bepaald wordt door het oplossen van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0

D = b 2 − 4ac x1 = Á D⬎0→ x2 =

–b − 冪D 2a –b + 冪D 2a

Á D = 0 → x1 = x2 = −

b 2a

Á D ⬍ 0 → er zijn geen reële oplossingen

• snijpunt y-as: (0, a ⴢ ␣ 2 + ␤)

• snijpunt y-as: (0, c)

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

Voorbeeld 1 Joeri gooit een krijtje door de klas. De hoogte h van het krijtje, in m, t seconden na de lancering, wordt beschreven door de functie h(t) = −4,9t 2 + 4t + 1,2. • Vanaf welke hoogte is het krijtje gegooid? • Na hoeveel seconden bereikt het krijtje zijn hoogste punt? Bepaal die maximale hoogte.

t h

pl aa

• Na hoeveel seconden valt het krijtje op de grond? Bepaal het antwoord op 0,01 s nauwkeurig.

Voorbeeld 2

jk ex

Het verband tussen de winst W, in euro, van een bedrijf en het aantal verkochte eenheden x is kwadratisch. Als het bedrijf niets verkoopt, maakt het een verlies van 5 000 euro. De grootste winst verkrijgt men bij de verkoop van 2 500 stuks. Die maximale winst is 50 000 euro. • Bepaal het voorschrift van de functie W(x). Oplossing:

Á W(x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤ 2

␣=

␤=

Á Bepaal a:

Á W(x) = • Teken met ICT de grafiek van de functie W. 1

• Hoeveel producten moet het bedrijf verkopen om winst te maken?

2 3 4

• Hoeveel eenheden moet het bedrijf verkopen om minstens 30 000 euro winst te maken?

5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

3.3.2 Kwadratische regressie t (h) 0 0,5 1 1,5 2 2,5

C (mg/l) 0 78,1 99,8 84,4 50,1 15,6

De tabel bevat gegevens over de opname van een toegediend geneesmiddel in het bloed van een patiënt. Elk halfuur wordt de concentratie van de medicatie gemeten in mg/l.

concentratie

opname van medicatie in het bloed 120 100

Je ziet dat de concentratie stijgt naar een maximum en daarna weer daalt tot 0. Om die trend weer te geven met een regressielijn gebruik je kwadratische regressie.

80 60

0,5

1,5

2,5

pl aa

3 tijd

• Breng de gegevens onder in lijsten. Maak eerst de werklijsten leeg met het TI84-programma WISLIJST.

• Stel de gegevens voor met een puntenwolk in een gepast grafisch venster.

list

stat Z

a-lock

calc

alpha

trace

2nd

entry solve

enter

jk ex

2nd

• Om de vergelijking van de regressielijn te vinden, laat je de grafische rekenmachine een kwadratische regressie uitvoeren:

• Na hoeveel uren en minuten is de concentratie het hoogst? Bepaal die maximale concentratie. Oplossing

calc

Τ catalog

trace

entry solve

enter

entry solve entry solve

enter

2nd

[

In het grafische scherm van de rekenmachine kun je een maximum bepalen door te drukken op .

(De getallen 0 en 2 uit het commando verwijzen naar de in te voeren linker- en rechtergrens.)

• Na hoeveel tijd, in uren en minuten, is de medicatie volledig uitgewerkt? Oplossing In het grafische scherm van de rekenmachine kun je een nulwaarde zoeken door te drukken op calc

2nd

trace

Z L2

entry solve

enter

entry solve entry solve

enter

(De getallen 2 en 3 uit het commando verwijzen naar de in te voeren linker- en rechtergrens.)

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

Oefeningen REEKS B 9

Op de Olympische Spelen van Peking won de Tsjechische Barbora Spotakova goud op het speerwerpen voor vrouwen. De top van de speer had op 20 m van de afwerplijn een hoogte van 35 m en bereikte haar hoogste punt, 42,25 m, op 35 m van de afwerplijn.

pl aa

a) Stel het kwadratische verband op dat de hoogte h weergeeft in functie van de afstand x vanaf de afwerplijn.

b) Bepaal de hoogte van de top van de speer op het moment dat die de afwerplijn overschrijdt.

jk ex

c) Hoe ver, op 1 dm nauwkeurig, heeft Spotakova de speer geworpen?

Dwarsdoorsneden van rivierbeddingen hebben de vorm van een parabool. Een rivier is 18 m breed en heeft een maximale diepte van 14 m.

a) Bepaal het kwadratische verband tussen de diepte d en de afstand x tot de linkeroever, beide in meter. Let op: d âŹ? 0.

schets

1 2 3

b) Hoe dicht moet je bij een van de oevers blijven om niet dieper dan 1,5 m in het water te staan? Los de vraag grafisch op met ICT.

4 5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

In de tabel zie je het verband tussen het gemiddelde aantal geboortes a per 1 000 vrouwen en de leeftijd van de moeder. l (jaren)

a (promille)

86,5

111,1

113,9

84,5

35,4

6,8

a) Bepaal met regressie het verband tussen a en l.

b) Schat het aantal geboortes bij vrouwen van 30 jaar.

c) Op welke leeftijd is het aantal geboortes het hoogst?

d) Geef het praktisch domein van de functie a.

De biologische kwaliteit van het stromend water in Vlaanderen neemt langzaam weer toe. De tabel toont hoeveel procent van 285 meetplaatsen over heel Vlaanderen een aanvaardbare (goede tot zeer goede) kwaliteit heeft.

jaartal

1991

1997

2000

2005

2012

2016

procent

jk ex

pl aa

e) Wat is de betekenis van het praktisch domein?

a) Bepaal, met regressie, een kwadratisch verband tussen het percentage meetplaatsen y met een goede of zeer goede kwaliteit en het aantal jaren x na 1991.

b) In welk jaar was, volgens dit model, de vervuiling van stromend water het grootst?

c) Voorspel hoeveel meetplaatsen er in 2030 een aanvaardbare kwaliteit zullen hebben.

d) In welk jaar zal 75 % van de meetplaatsen een aanvaardbare kwaliteit hebben? Los deze vraag grafisch op met ICT.

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

Het dak van een fabriekspand heeft een parabolische vorm. Om het dak te ondersteunen, voorziet de aannemer, op een draagbalk van 20 m, om de 2 m een verticale draagstaaf. Bereken de lengte l, in cm, van elke draagstaaf.

45 cm

20 cm

pl aa

20 m

l (cm)

REEKS C

De tabel toont de totale omzet TO en de totale kosten TK, beide in euro, van een bedrijf als het q eenheden verkoopt. q

jk ex

100

200

300

400

500

TO (euro)

2 200

4 000

5 400

6 400

7 000

TK (euro)

4 200

4 400

4 600

4 800

5 000

a) Bepaal met regressie het verband tussen TO en q en tussen TK en q.

b) Teken met ICT de grafiek van beide functies en bepaal het break-evenpoint.

c) Bepaal de winstfunctie W(q) en teken met ICT de grafiek van W.

1 2

d) Bij welke verkoop is de winst het grootst? Bepaal die maximale winst.

3 4 5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

STUDIEWIJZER Verbanden opstellen met ICT 3.1 Lineaire modellen KENNEN Een verband is lineair als bij gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort. Als b de beginwaarde is (de waarde van y als x = 0) en a de verandering van de y-waarden als x met een eenheid toeneemt, dan geldt: y = a ⴢ x + b.

KUNNEN Vanuit de gegevens een lineair verband opstellen: • door toepassing van de eigenschappen van het verband; • met behulp van regressie.

3.2 Regressie met machtsfuncties KUNNEN

3.3 Kwadratische modellen

pl aa

Vanuit de gegevens een machtsverband opstellen: • door toepassing van de eigenschappen van het verband; • met behulp van regressie.

KENNEN

grafiek van de functie f (x) = ax 2 + bx + c

grafiek van de functie f (x) = a ⴢ (x − ␣) + ␤

jk ex

De grafiek is een parabool met de volgende kenmerken: • a ⬎ 0: dalparabool a ⬍ 0: bergparabool hoe groter 兩 a 兩, hoe smaller de parabool symmetrieas: de rechte x = ␣

•

co (top) = (␣, ␤)

•

gemeenschappelijke punten met de x-as: de punten waarvan de x-coördinaat bepaald wordt door het oplossen van de vergelijking

•

(x − ␣) = −

•

␤ a

snijpunt y-as: (0, a ⴢ ␣ 2 + ␤ )

symmetrieas: de rechte x = − b 2a co (top) = − b , f − b 2a 2a gemeenschappelijke punten met de x-as: de punten waarvan de x-coördinaat bepaald wordt door het oplossen van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0

冉

冉冊冊

D = b 2 − 4ac x1 = Á

–b − 冪D

D⬎0→ x2 =

•

2a –b + 冪D 2a

D = 0 → x1 = x2 = − b 2a

D ⬍ 0 → er zijn geen reële oplossingen

snijpunt y-as: (0, c)

KUNNEN Vanuit de gegevens een kwadratisch verband opstellen: • door toepassing van de eigenschappen van het verband; • met behulp van regressie. Vraagstukken oplossen door gebruik te maken van het opgestelde verband.

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

jk ex

pl aa

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

HOOFDSTUK 3 I VERBANDEN OPSTELLEN MET ICT

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.1

Inleidende voorbeelden

4.2

Veeltermen in 1 veranderlijke

4.3

De euclidische deling van veeltermen Veeltermfuncties

pl aa

4.5

4.4 De deling van een veelterm door x – a 4.6 Nulwaarden van veeltermfuncties 4.7

Tekenschema van veeltermfuncties

4.8 Toepassing met ICT

jk ex

Studiewijzer

₇₆ ₇₉ ₈₀ ₈₁ ₈₇ ₈₈ ₉₂ ₉₅ ₁₀₆

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.1

Inleidende voorbeelden

4.1.1 Aantal geboorten De bevolking in België stijgt sinds het jaar 2000 ieder jaar met ongeveer 0,5 %. Dan zou je verwachten dat ook het aantal geboorten in dezelfde mate toeneemt. De tabel toont het aantal geboorten in België als percentage van de totale bevolking. Hierbij is x het aantal jaren na 2000 en g het aantal geboorten in procent. x

g (%) 1,12

1,11 1,08 1,08 1,11

1,13 1,15 1,18 1,20 1,18 1,19 1,17

1,15 1,12

1,11 1,08

aantal geboorten als percentage van de totale bevolking in België

pl aa

1.22 1.20 1.18 1.16

percentage

1.14 1.12 1.10

jk ex

1.08 1.06 1.04 1.02

aantal jaren na 2000

• Waarom heeft een regressiemodel van de tweede graad in dit geval geen zin?

1 2 3 4 5 6

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

De vergelijking van de regressielijn is

pl aa

• Stel een regressiemodel van de derde graad op.

Het verband wordt beschreven door een veeltermfunctie van de derde graad. • Voorspel via dit model het procentueel aantal geboorten in 2025.

• Voorspel door extrapolatie van de gegevens voor 2014 en 2015 het procentueel aantal geboorten in 2025.

jk ex

• Welke voorspelling acht je waarschijnlijker? Waarom?

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.1.2 De besmettelijkheid van een verkoudheid

Een verkoudheid is een infectie van de bovenste luchtwegen die veroorzaakt wordt door een virus. Er zijn niet minder dan 200 soorten virussen bekend die je verkouden kunnen maken. De ziekte wordt verspreid door manueel contact, hoesten of niezen. De symptomen (neusverstopping, lopende neus, hoesten, keelpijn ...) treden pas op na enkele dagen. Pas dan kun je iemand besmetten.

pl aa

Als je besmet bent met een rhinovirus, dan is de kans P (x), in procent, dat je iemand besmet na x dagen gelijk aan P (x) = −0,06x 3 + 0,66x 2 − 5.

• Teken met ICT de grafiek van de functie P.

jk ex

• Geef, op 0,01 nauwkeurig, de nulwaarden van de functie:

Welke nulwaarden hebben een fysische betekenis?

• Geef het praktisch domein van de functie P: • Na hoeveel dagen is het besmettingsgevaar het grootst? Bepaal die maximale kans.

1 2 3 4 5

• Geef het praktisch bereik van de functie P:

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.2

Veeltermen in 1 veranderlijke

4.2.1 Definities Definitie

Veelterm in 1 veranderlijke Een veelterm in 1 veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm f (x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , met n een natuurlijk getal en a n , ... , a 0 reële getallen. De getallen a n , ... , a 0 zijn de coëfficiënten van de veelterm f(x). Voorbeelden

f (x) = −2x 3 + 6x 2 − 1

pl aa

i(x) = −8 j(x) = 冪1 − 2x

g(x) = x ⴢ (x 2 − 4x)

Definitie

2x + 1 x

Graad van een veelterm

k(x) = 冪2 ⴢ x 4 − 8x + 6

h(x) =

Plaats een vinkje bij de veeltermen.

De graad van een veelterm f (x) is de hoogste exponent van x in die veelterm.

jk ex

• Een reëel getal verschillend van 0 is dus een veelterm met graad 0. Het getal 0 is een veelterm zonder graad. • Geef de graad van de veeltermen.

gr f(x) =

g(x) = 12x + 5x 3 − x 2

gr g(x) =

f (x) = 2x 4 − 8x 2 + 5

h(x) = (x − 5) ⴢ (2 − x) ⴢ (x 2 + 4)

gr h(x) =

• Een gerangschikte veelterm f (x) is geschreven naar dalende (of stijgende) machten van x.

Definitie

Getalwaarde van een veelterm De getalwaarde van een veelterm f(x) voor x = a, is gelijk aan f(a).

Bereken de getalwaarde van f(x) = −x 3 + 2x 2 − 6x + 1 voor x = −1.

4.2.2 Veeltermen optellen en vermenigvuldigen Deze paragraaf vind je op diddit.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.3

De euclidische deling van veeltermen

4.3.1 De deling van natuurlijke getallen Je deelt 4 912 door 13, zoals je dat in de lagere school hebt geleerd. 2

Het deeltal D is 4 912. De deler d is 13. Het quotiënt q is 377. De rest r is 11. Er geldt: 13 ⴢ 377 + 11 = 4 912.

377

−39

Definitie

−9

Deling van natuurlijke getallen

pl aa

De deling van D door d ≠ 0, heeft q als quotiënt en r als rest als D = d ⴢ q + r en r ⬍ d.

4.3.2 De euclidische deling van veeltermen Euclidische deling van veeltermen

Definitie

De euclidische deling van de veelterm D(x) door de veelterm d(x), met d(x) ≠ 0, heeft q(x) als quotiënt en r(x) als rest als D(x) = d(x) ⴢ q(x) + r(x) en gr [r(x)] ⬍ gr [d(x)] of r(x) = 0.

jk ex

Waarom wordt r(x) = 0 apart vermeld? Voorbeeld

Bij de euclidische deling van D(x) = x 3 − 3x 2 + 5x − 8 door d(x) = x 2 − 4x, is q(x) = x + 1 het quotiënt en r(x) = 9x – 8 de rest,

Deelbaarheid van veeltermen

Definitie

want

De veelterm D(x) is deelbaar door de veelterm d(x) als er een veelterm q(x) bestaat zodat D(x) = d(x) ⴢ q(x).

Voorbeeld D(x) = −2x 3 −3x 2 + x – 2 is deelbaar door d(x) = x + 2, want −2x 3 − 3x 2 + x − 2 = (x + 2) ⴢ (–2x 2 + x − 1). 1

Reken dat na.

2 3 4 5 6

4.3.3 Algoritme voor de deling van veeltermen Deze paragraaf en oefeningen 1 tot en met 5 vind je op diddit. HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.4

De deling van een veelterm door x – a

4.4.1 De regel van Horner Je bepaalt het quotiënt en de rest van de deling van D(x) = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 4 door d(x) = x – 2. 5x 2

−2x 3 +

4x 2

−3x +

9x 2

−3x

−9x 2 +

18x 15x + −15x +

−

2x 2

pl aa

De regel van Horner −3

5 −3 2 & #4 ↓ 2 9

Je vermenigvuldigt die coëfficiënt met a = 2 en telt het verkregen product op met de coëfficiënt van x 2 van D(x).

jk ex

De coëfficiënt van x 2 van q(x) is gelijk aan de coëfficiënt van x 3 van D(x).

↓ 2

2x 3 +

5 4 9

4 30 34

Je herhaalt die werkwijze voor alle coëfficiënten van het deeltal. Het laatst verkregen getal is de rest van de deling.

−3 18 15

r(x) =

q(x) =

Voorbeelden

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D(x) door d(x). D(x) = −3x 3 + x − 5

−3

D(x) = x 3 − 27

d(x) = x + 1

d(x) = x − 3

−5

−1

q(x) =

r(x) =

q(x) =

r(x) =

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.4.2 De reststelling Deel de veelterm f (x) = − 2x 3 + 4x 2 − x + 7 door x + 2.

q(x) = r(x) =

Bereken de getalwaarde f(−2): Wat stel je vast?

Reststelling

Definitie

pl aa

De rest van de deling van een veelterm f(x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde f(a). Voorbeelden

Bepaal de rest van de deling van f(x) door d(x), zonder de deling uit te voeren.

f (x) = x 3 + 5x − 12

berekeningen

gegeven d(x) = x + 1

jk ex

f (x) = −3x 3 − 8x 2 + x − 6 d(x) = x + 3

Een veelterm f (x) is deelbaar door x – a als de rest gelijk is aan 0. Formule

Deelbaarheidscriterium

Een veelterm f (x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.

Voorbeelden

• Is f(x) = x 3 − 3x 2 − 3x + 15 deelbaar door x + 2?

• Bepaal de parameter p zo dat f(x) = x 3 + 6x 2 + px + 21 deelbaar is door x + 3. Oplossing: 1

f (–3) = 2 3

Je bepaalt p uit de voorwaarde f(–3) = 0.

4 5 6

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

rest

4.4.3 Opzoeken van delers van de vorm x – a Neem de veelterm f(x) = (x − 2) ⴢ (x + 3) ⴢ (2x + 1) = 2x 3 + 3x 2 − 11x − 6. 1 Die veelterm heeft 3 delers van de vorm x – a, namelijk x – 2, x + 3 en x + . 2 Daarvan zijn er 2 delers waarbij a een geheel getal is. Merk op dat de getallen 2 en –3 gehele delers zijn van de constante term –6 van f(x).

Eigenschap

Als f (x) een veelterm is met gehele coëfficiënten en a een geheel getal, dan geldt: als x – a een deler is van f (x), dan is a een gehele deler van de constante term van f(x).

Alternatieve formulering

• De constante term –6 van f (x) is deelbaar door 1, maar x – 1 is geen deler van f(x).

pl aa

Waarom niet?

• Waarom weet je, zonder f (4) te bereken, dat x – 4 geen deler kan zijn van f(x)?

Als a geen gehele deler is van de constante term van een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten, dan is x – a geen deler van f (x).

Voorbeeld

Eigenschap

jk ex

• Bepaal een deler van de vorm x – a van de veelterm f(x) = −3x 3 − 3x 2 + 10x + 8. Oplossing:

Á De gehele delers van 8 zijn:

Á Bereken f (a), waarbij a een deler is van 8, tot f(a) = 0. f(–1) =

f (2) =

f(–2) =

f (1) =

Á De tweeterm

is een deler van f(x).

• Bepaal het quotiënt van de deling van f(x) door de gevonden deler.

q(x) =

• Schrijf f (x) als het product van een factor van de eerste graad en een factor van de tweede graad.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D (x) door d(x). a) D (x) = 2x 2 + 5x − 3 2 2 2

−3

q(x) =

r(x) =

b) D(x) = 2x 3 − x 2 − 7x + 6

−2 2

−1

−7

−4

−6

−5

c) D(x) = −3x 3 + x 2 − 5x + 2 1

−3

−5

−9

− 24

−87

q(x) =

−8

−29

−85

r(x) =

d) D(x) = 5x 3 − 7x 2 + 3x − 8

−5

d(x) = x + 5

−7

−8

−25

160

−815

q(x) =

−32

163

−823

r(x) =

De Brit William George Horner (1786-1837) was een wonderkind. Op zijn 14e studeerde hij al af als onderwijzer en 4 jaar later was hij directeur van de Kingswoord School in Bristol. In 1809 stichtte hij zijn eigen school in Bath.

1 2 3 4 5

Foto Andrew Dunn 6

r(x) =

d(x) = x − 3

jk ex

−3

q(x) =

d(x) = x + 2

d(x) = x − 2

pl aa

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Wiskunde was voor hem vooral een vrijetijdsbesteding. We kennen Horner door zijn algoritme om veeltermen te delen door x – a, maar daarnaast vond hij ook de zoötroop uit, een apparaat waarmee bewegende beelden weergegeven kunnen worden. Zelf noemde hij zijn uitvinding het ‘daedulum’, het wiel van de duivel.

Bereken het quotiënt en de rest van de deling van D(x) door d(x). a) D (x) = 5x 3 − 4x 2 + 8x 5

d(x) = x − 1

−4

q(x) =

r(x) =

1 5

b) D(x) = −x 3 + 2x − 5

−4 −1

−5

−16

q(x) =

−14

r(x) =

c) D(x) = 2x 3 − 8x 2 + 28

3 2

−8

−6

−18

−2

d) D(x) = 2x 3 + 16

−6

−2

−4

−16

q(x) =

−4

r(x) =

Ga na of de veelterm f (x) deelbaar is door d(x).

r(x) =

q(x) =

d(x) = x + 2

jk ex

d(x) = x − 3

pl aa

−1

d(x) = x + 4

a) f(x) = 2x 3 + 3x 2 + x

d(x) = x + 1

c) f(x) = 3x 3 + 4x 2 − 5x − 4

d(x) = x + 2

b) f(x) = −x 3 − 2x 2 + 4

d(x) = x – 2

d) f(x) = −4x 3 + 12x 2 + x − 3

d(x) = x – 3

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

REEKS B Bepaal de parameter p zo dat de veelterm f(x) deelbaar is door d(x). a) f(x) = 4x 3 + px 2 + 4x − 1

d(x) = x + 1

c) f(x) = 3x 3 + 6x 2 + px + 10

d (x) = x + 2

b) f(x) = −x 3 + 8x 2 − 15x + p

d(x) = x – 3

d) f(x) = px 3 − 19x 2 + 40x + 25

d(x) = x – 5

Zoek een deler van de vorm x – a en voer de deling uit. Schrijf f (x) als een product van een factor van de eerste graad en een factor van de tweede graad.

pl aa

a) f(x) = x 3 − 4x 2 − 11x + 30

−4

−11

jk ex

1 2

−2

−4

−30

−15

−4

−3

−2

−1

−3

−37

−42

−8

−21

f(x) =

b) f(x) = 2x 3 + x 2 − 4x − 3

−1

f(x) = 2

c) f(x) = 4x 3 − 37x − 42 1 2

3 4 5

−2

f(x) = 4

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.5 Definitie

Veeltermfuncties Veeltermfunctie Een veeltermfunctie is een functie waarvan het voorschrift een veelterm is. De graad van de veeltermfunctie is de graad van het voorschrift. Grafische kenmerken graad

voorbeelden

kenmerken

f (x) = 2

De grafieken zijn g (x) = 0

–3

–2

–1

g (x) = 2x + 1

De grafieken zijn

Aantal nulwaarden:

h (x) = –1

–2

f (x) = –x + 2

pl aa

Aantal nulwaarden:

jk ex –2

–1

8 7 6 5 4 3 2 1

h (x) = x2 + 6x + 10

De grafieken zijn

g (x) = x2 – 6x + 9

Aantal nulwaarden:

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2 –3 –4

f (x) = –x2 – 2x + 1

Aantal extrema:

y 5

De grafieken hebben uiteenlopende vormen.

g (x) = 2x3 – 26x2 + 110x – 150

4 3

Aantal nulwaarden: f (x) = –x3 + x2 +2x

Een functie bereikt een relatief extremum in een getal als de grafiek er een overgang maakt van dalen naar stijgen (minimum) of van stijgen naar dalen (maximum).

Aantal extrema:

1 x –4 –3

–2

–1

1 –1 –2

–3 h (x) = x3 + 9x2 + 27x + 25

Een buigpunt is een punt waarin een kromme overgaat van bol naar hol of omgekeerd. Aantal buigpunten:

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6

Nulwaarden van veeltermfuncties

4.6.1 Voorbeelden Voorbeeld 1

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W (x), in euro, gelijk is aan W (x) = −

7 71 17 x3 + x 2 − x − 800. 180 000 1 800 3

Hierbij is x het aantal kilogram koffie dat ze verkoopt per maand.

Oplossing:

Keuze van het grafische venster:

pl aa

• Teken met ICT de grafiek van de functie W.

• Bepaal alle nulwaarden die een economische betekenis hebben. Oplossing:

jk ex

Behalve langs grafische weg kun je met de grafische rekenmachine ook nulwaarden zoeken met de applicatie PlySmlt2.

Na het activeren van de applicatie, kies je voor 1:POLY ROOT FINDER.

Voer de graad van de veelterm in, geef aan dat je reële oplossingen zoekt en druk GRAPH ( NEXT ) .

Na het invoeren van de coëfficiënten druk je

GRAPH

(

SOLVE

1 2 3

De gevraagde nulwaarden zijn:

4 5

• Wat is de economische betekenis van die nulwaarden?

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Voorbeeld 2

Beschouw de functie f (x) = −x 3 − 2x 2 + 5x + 6.

9 8 7

• Lees de nulwaarden van f af op de grafiek.

6 5 4 3 2 1

• Ontbind f (x) in factoren van de eerste en de tweede graad.

–4

–3

–2

–1

x 1

–2

Á a=

is een nulwaarde, dus f(

) = 0.

–3 –4

Á Voer de deling van f (x) door x – a uit.

−1

−2

−8

−6

−4

−3

−2

f(x) = d(x) ⴢ q(x) =

pl aa

−1

–5

• Bereken de nulwaarden van d (x) en van q(x). d(x) =

q(x) =

x1 = x2 =

jk ex

• Besluit: de nulwaarden van f zijn

4.6.2 Algemeen Methode

Je kunt de nulwaarden van een veeltermfunctie f bepalen door:

• f (x) te ontbinden in factoren van de eerste en de tweede graad;

• de nulwaarden van elk van de factoren te berekenen.

Gevolg

Het maximum aantal nulwaarden van een veeltermfunctie is gelijk aan

Opmerking In sommige gevallen is het niet nodig de veelterm in factoren te ontbinden. Voorbeeld Bereken de nulwaarden van de functie f(x) = 2x 3 + 5. 2x 3 + 5 = 0 x 3 = −2,5 x = 3冪 −2,5 =

(op 0,001 nauwkeurig). HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6.3 Een veelterm van de derde graad ontbinden gemeenschappelijke factoren afzonderen −7x 3 − 14x 2 = −7x 2 ⴢ (

termen samennemen

delers van de vorm x – a

12x 3 + 8x 2 + 3x + 2 = 4x 2 ⴢ (3x + 2) + 1 ⴢ (3x + 2)

)

)ⴢ(

)

• Zoek een deler van de vorm x – a; • deel f(x) door x – a; • f(x) = (x − a) ⴢ q(x).

4.6.4 Grafische interpretatie van nulwaarden Voorbeelden

f (x) = (2x + 1) ⴢ (x 2 − 4)

jk ex

h(x) = x 3 − 27

g(x) = (x − 3) ⴢ (x + 2)

grafische interpretatie (met ICT)

nulwaarden

pl aa

functie

De multipliciteit van een nulwaarde is het aantal keer dat die nulwaarde voorkomt. functie

nulwaarden met multipliciteit 1

nulwaarden met multipliciteit 2

Algemeen

De grafiek van een veeltermfunctie f: • snijdt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met oneven multipliciteit;

1 2

• raakt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met even multipliciteit.

3 4

De snijpunten en raakpunten met de x-as noem je de gemeenschappelijke punten met de x-as.

5 6

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6.5 Voorbeelden • Bepaal de gemeenschappelijke punten van de grafiek van de functie f(x) = x 3 − 5x 2 + 3x + 9 met de x-as. Oplossing 1 −1

−1

−9

−6

−5

pl aa

• Bepaal de snijpunten van de grafieken van de functies f(x) = 9x 3 − 30x 2 + 5x + 3 en g(x) = 6x 2 + 6x − 1. Oplossing

De grafieken snijden elkaar als f(x) = g(x).

⇔

jk ex

Los de vergelijking op door termen samen te nemen.

De x-coördinaten van de gevraagde snijpunten zijn:

Bereken de respectievelijke y-coördinaten.

Controle met ICT de nulwaarden van f – g bepalen

de snijpunten van de grafieken bepalen

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.7

Tekenschema van veeltermfuncties

4.7.1 Inleidende voorbeelden Voorbeeld 1 Een bedrijf maakt kartonnen dozen waarvan de lengte van het grondvlak 2 dm groter is dan de breedte. De hoogte van de doos is de helft van de breedte van het grondvlak. Bij welke afmetingen hebben de dozen een inhoud van minstens 8 dm 3?

pl aa

• Stel: x is de breedte van het grondvlak. x De lengte is dan x + 2 en de hoogte . 2

Oplossing:

• De inhoud van de doos is I(x) = x ⴢ (x + 2) ⴢ • Uitwerking van de ongelijkheid:

x ⴢ (x + 2) ⴢ x ⭓ 16

x ⭓8 2

x 3 + 2x 2 − 16 ⭓ 0

• Bepaling van de nulwaarden van de functie f(x) = x 3 + 2x 2 − 16:

jk ex

f (2) = 0

⇒ x – 2 is een deler van f (x).

f(x) = (x − 2) ⴢ (x 2 + 4x + 8) ↓ ↓ x=2 D⬍0

1 2 1

−16

• Het teken van f(x) wordt volledig bepaald door d (x) = x – 2, want q(x) ⬎ 0.

f (x)

–

De dozen hebben een inhoud van minstens 8 dm 3 als de breedte van het grondvlak minstens 2 dm is. 1

De lengte is 2 3

en de hoogte is

4 5 6

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Voorbeeld 2 Bepaal het tekenschema van de functie f(x) = x 3 − 7x − 6 = (x − 3) ⴢ (x + 1) ⴢ (x + 2). y

–2

–1

f (x)

14 12 10

• Het teken van de coëfficiënt van x 3 is positief. Je ziet dat de grafiek van f rechts van de grootste nulwaarde boven de x-as blijft. Dus f (x) ⬎ 0 als x ⬎ 3.

8 6 4 2 –3

–2

–1

x 1

–2

–4 –6 –8

• Bij elke nulwaarde is er een tekenverandering.

–10 –12

Voorbeeld 3

pl aa

–14

Bepaal het tekenschema van de functie f(x) = −x 3 + 3x + 2 = (2 − x) ⴢ (x + 1) . y

–1

f (x)

–

2 1

x –2

jk ex

• Het teken van de coëfficiënt van x 3 is negatief. Je ziet dat de grafiek van f rechts van de grootste nulwaarde onder de x-as blijft. Dus f (x) ⬍ 0 als x ⬎ 2. • Bij de nulwaarde –1, met multipliciteit 2, is er geen tekenverandering (de grafiek raakt er de x-as).

–1

–1 –2 –3 –4

Om het tekenschema van een veeltermfunctie f te bepalen, voer je de volgende stappen uit. • Bereken de nulwaarden van f.

Methode

4.7.2 Algemeen

• Het teken van f (x) rechts van de grootste nulwaarde is het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt. • Vul het schema verder in van rechts naar links. Á Bij een nulwaarde met een oneven multipliciteit verandert het teken. Á Bij een nulwaarde met een even multipliciteit blijft het teken behouden.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.7.3 Voorbeelden • Bepaal de ligging van de grafiek van de functie f(x) = x 3 − 6x 2 + 8x − 3 ten opzichte van de x-as. Oplossing Á Berekening van de nulwaarden van f:

1 1

−3

−5

pl aa

−6

Á Tekenschema van f (x): x

0,70 −

4,30

−

f (x)

De grafiek ligt boven de x-as als De grafiek ligt onder de x-as als

jk ex

De gemeenschappelijke punten met de x-as zijn

• Voor welke x-waarden ligt de grafiek van de functie f(x) = x 3 boven de grafiek van g(x) = x 2 + 4? Oplossing

Je lost de ongelijkheid x 3 ⬎ x 2 + 4 op.

Á Herleiden op nul: x 3 − x 2 − 4 ⬎ 0

Á Berekening van de nulwaarden van de functie h(x) = f(x) – g(x) = x 3 − x 2 − 4:

−1

−4

1 2 3 4

Á Tekenschema van h(x): x h(x)

2 −

5 6

De grafiek van f ligt boven de grafiek van g als HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.8

Toepassing met ICT In een rapport van het Intergovernmental Panel on Climate Change (2007) wordt de stijging van de gemiddelde temperatuur sinds het midden van de twintigste eeuw vooral toegeschreven aan de toename van broeikasgassen. Volgens datzelfde rapport hebben we nog slechts 30 jaar om te voorkomen dat de temperatuur op aarde in de komende eeuwen met 6 tot 10 graden oploopt.

pl aa

Enkele feiten: • 11 van de 12 warmste jaren sinds 1850 zijn genoteerd na 1990. • Uit een studie van NASA uit 2005 blijkt dat de aarde meer licht van de zon in de atmosfeer opneemt dan het in de ruimte terugstoot. • In het noordpoolgebied is de temperatuur van de bevroren ondergrond met 3 ºC gestegen in 20 jaar. • Het niveau van de oceanen is met 3,2 mm per jaar gestegen tussen 1993 en 2010. • Gletsjers overal ter wereld trekken zich in een ijltempo terug. • Het aantal overstromingen en de intensiteit ervan nemen zorgwekkend toe. • Orkanen worden steeds krachtiger.

jaar

De tabel bevat gegevens over de gemiddelde jaartemperatuur in een stad. 1904 1944 1964 1994 2004 2011 9,1

9,7

9,8

10,5

11,2

11,5

2017

11,2

12,1

jk ex

temp. (ºC)

2015

• Stel de tabel voor met een puntenwolk. Neem het aantal jaren na 1904 als onafhankelijke veranderlijke.

• Bepaal een regressiekromme van de derde graad.

(x is het aantal jaren na 1904, T is de gemiddelde jaartemperatuur in ºC)

• Voorspel de gemiddelde jaartemperatuur in 2050. • In welk jaar steeg de gemiddelde jaartemperatuur voor het eerst boven 10 ºC? • Voorspel in welke periode de gemiddelde jaartemperatuur tussen 13 ºC en 14 ºC zal liggen.

• Stel het verband op voor de gemiddelde jaartemperatuur sinds 1904 als je uitgaat van een lineaire stijging met 2 ºC per eeuw: T 2 (x) = • Geef het tekenschema van de functie T(x) − T 2 (x). x T(x) – T 2 (x)

0 −

14,9 +

103,0 −

• Geef de fysische betekenis van het tekenschema.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Oefeningen REEKS A Bepaal de nulwaarden en het tekenschema. a) f(x) = x 3 − 9x

−3

f (x)

−

0 +

−

b) f(x) = x 3 − 39x + 70

−39

−70

−35

−7

−

−5

−

f (x)

−

e) f(x) = −5x 3 + x 2 + 80x − 16

jk ex

−14

3 冪

pl aa

d) f(x) = 2x 3 + 28

f (x)

−16

−20

−76

−19

1 5

−4 +

−

f) f(x) = x 3 − 3x − 2

c) f(x) = −4x 3 + 4x 2 − x + 1

1 −1 1

−3

−2

−1

−2

1 2 3 4 5

x f (x)

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

1 +

−

f (x)

−1 −

2 −

Bepaal de nulwaarden en het tekenschema. a) f(x) = −2x 3 + x 2 + 6x + 3

−1 −2

−3

−1

f (x)

−0,68

−

5 2 5

2,19 +

−8

−1

−6

pl aa

−2

d) f(x) = 5x 3 − 8x 2 − x − 6

f (x)

−

e) f(x) = −8x 3 − 4x 2

jk ex

b) f(x) = 12x 3 − 60x 2 + 75x

−

5 2

f (x)

c) f(x) = −2x 3 + 3x 2 + 6x − 9

3 2 −

1 2

0 −

−

f) f(x) = 2x 3 − 9x 2 + 7x + 6

In f (x)

− 冪3

−

f (x)

−

冪3

x −

f (x)

− −

−9

−10

−6

−5

−3

1 2

2 +

3 −

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Geef bij elke grafiek de passende vergelijking. y

8 6

–2

–1

–3

–2

–1

–2

–4 –6

–4

–8

–6

–10

8 2

x 4

–2

pl aa

x –1

–1 –2

II –2

–2

–3

–4 –6

–4

–8

–6

–10

4 2

–3

–2

–1

jk ex

III

–2

6 4 2

x –1

–2

–4

–6

y = (x + 2) ⴢ (x 2 + 1)

y = 2x ⴢ (x − 4) ⴢ (x − 2)

–6

y = (–x − 2) ⴢ (x 2 + 1)

y = −x ⴢ (x − 4) ⴢ (x − 2)

1 2 3

y = (x + 1) ⴢ (x − 3)

4 5 6

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

y = (x + 1) ⴢ (x − 3)

De jaarlijkse omzet van een bedrijf dat kinderwagens maakt, wordt gegeven door 1 de functie O( p) = 202 500 ⴢ p − p 3. Daarbij is p de prijs, in euro, per kinderwagen. 3 a) Bereken de jaarlijkse omzet bij 200 euro per wagen.

pl aa

c) Teken met ICT de grafiek van de functie O.

b) Vanaf welke prijs zal het bedrijf geen enkele kinderwagen meer verkopen?

d) Bij welke prijs is de omzet maximaal? Bepaal die maximale omzet.

Vanuit de stuurhut van een schip in nood wordt een vuurpijl afgeschoten. De hoogte h, in m, van de pijl, boven het wateroppervlak wordt gegeven door de functie h(t) = t 3 − 4t 2 + 2t + 8, waarbij t het aantal seconden is na het afvuren.

jk ex

e) In welke prijsklasse bedraagt de omzet meer dan 40 miljoen euro?

a) Hoe hoog bevindt de stuurhut zich boven het zeeniveau?

b) De vuurpijl ontploft na 6 s. Op welke hoogte gebeurt dat?

c) De vuurpijl is zichtbaar vanaf de kust als hij meer dan 16 m boven de zeespiegel vliegt. Gedurende hoeveel seconden is de pijl zichtbaar?

t h(t) – 16

4 −

6 +

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

REEKS B 16

Bepaal de ligging van de grafiek van f ten opzichte van de grafiek van g. a) f(x) = x 3

c) f(x) = 3x 3 − 12x 2 + 9x + 5

g(x) = x − 6

g(x) = 5 − 3x

1 −2 1

−1

−2

−6

−2

−

h(x)

−

d) f(x) = −4x 3 + 15x 2 + 3x

g(x) = 2x + 1

jk ex

b) f(x) = −2x 3 + x 2 + 4x

h(x)

pl aa

−2

h(x) = f (x) – g(x) =

−4 3

g(x) = 2x 2 + 4x + 6

−1

−6

−12

−4

x h(x)

1 2 3 4 5 6

100

1 2

−1

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

−

1 +

−

h(x)

−0,59 +

0,84 −

3 +

−

Het volume V, in cm 3, van de vloeistof in deze koffiekan, wordt gegeven door de functie 1 V(h) = 36 ␲ ⴢ h + 4 ␲ ⴢ h 2 − ␲ ⴢ h 3. Daarbij is h de hoogte, in cm, van de vloeistof. 3 a) Geef het praktisch domein van de functie V.

10 cm

b) Bereken het volume van de vloeistof als de hoogte 5 cm is.

c) Teken met ICT de grafiek van de functie V in het praktisch domein.

d) Welke hoogte moet de vloeistof minimaal bereiken om minstens 1 liter inhoud te hebben?

Uit een rechthoekig stuk karton van 60 cm bij 30 cm snijd je 6 vierkantjes weg. Met het overblijvende deel maak je een doos met deksel. Bereken de zijde van de weggesneden vierkantjes zodat de inhoud van de doos 1 500 cm 3 is. x

jk ex

pl aa

e) Een tweede koffiekan heeft de vorm van een cilinder met diameter 12 cm en hoogte 10 cm. Toon aan dat, bij gelijke hoogtes van de vloeistof, de eerste koffiekan altijd meer vloeistof bevat.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

101

REEKS C 19

Bepaal het voorschrift van de veeltermfuncties van de derde graad. a)

De nulwaarden zijn –2, 0 en 3,

y 5

dus: f(x) = a ⴢ x ⴢ (x − 3) ⴢ (x + 2).

4 3

A(1, 3) behoort tot de grafiek

2 1 x –2

–1

⇒

–1 –2 –3

f(x) =

pl aa

y 4

–2

–1

–2 –4

–6 –8

jk ex

4 3 2 1

–1

–1 –2

–3 –4

y 6 4 2

x –3

–2

–1

1 –2

–4

4 –6

5 6

102

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

–40

–30

pl aa

De astronomische daglengte (de tijd tussen zonsopgang en zonsondergang) is afhankelijk van de breedteligging. De tabel toont de daglengte d, in uren, op 15 juni. breedte (º)

–60

–50

–20

–10

daglengte (h)

5,9

8,08 9,33 10,23 10,93 11,53 12,12 12,7 13,33 14,07

40 15

16,35 18,82

De aarde draait in 365,25 dagen één keer om de zon, in een ellipsvormige baan waarbij de zon in een van de brandpunten staat. Het baanvlak van de aarde is hetzelfde als dat van alle andere planeten. Dat vlak wordt het eclipticavlak genoemd. De aarde draait ook om haar eigen as, van west naar oost, en maakt één volledige omwenteling in 24 uren. De as van de aarde staat loodrecht op het evenaarsvlak. Het eclipticavlak en het evenaarsvlak sluiten een hoek in van 23º 27⬘. Beide vlakken snijden elkaar in een denkbeeldige lijn die gevormd wordt door het lentepunt en het herfstpunt. Rond 21 maart gaat de zon door het lentepunt en staat dan loodrecht op de kreeftskeerkring, 23º 27⬘ ten noorden van de evenaar. De lente begint dan in het noordelijk halfrond. Het herfstpunt wordt bereikt rond 21 september. Op die dag staat de zon loodrecht op de steenbokskeerkring en begint de lente in het zuidelijk halfrond.

a) Bepaal een derdegraadsregressielijn om het verband te zoeken tussen de daglengte d (in h) en de breedteligging x (in º) . d(x) =

jk ex

b) Bepaal de daglengte in Moskou (57º NB).

c) Met hoeveel uren neemt de daglengte af als je van Antwerpen (51º NB) naar

Benidorm (38º 30⬘ NB) vliegt?

d) Teken de grafiek van de functie d met ICT. e) Vanaf welke zuidelijke breedteligging komt de zon niet meer boven de horizon (poolnacht)?

f) Hoe hoog noordelijk moet je reizen om de middernachtzon te bewonderen?

g) Hou rekening met het antwoord op de vorige vragen om het voorschrift van de functie d te vinden die voor alle breedtegraden geldig is.

d(x) =

冦

, als , als , als

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

103

De Body Mass Index (BMI) is een eenvoudige formule om na te gaan of je te weinig of te veel weegt in verhouding tot je lichaamslengte. Er geldt: BMI =

G (G is het gewicht in kg en L de lengte in m). L2

Die index wordt soms ook de queteletindex genoemd, naar de Belgische sterrenkundige en statisticus Adolphe QuĂŠtelet (1796-1874), die de formule voor het eerst gebruikte.

Om het verband tussen BMI en levensverwachting na te gaan, heeft de U.S. Health and Retirement Survey een onderzoek gedaan bij 16 000 mensen ouder dan 55 jaar. Het diagram toont de resultaten.

28,5

28,5 23,5

24,5

Mannen Vrouwen

BMI

jk ex

28,5

pl aa

aantal jaren

levensverwachting op de leeftijd van 55 jaar

a) Bepaal een regressiekromme van de tweede graad die het verband geeft tussen de levensverwachting l M van mannen van 55 jaar en hun BMI x. l M (x) =

b) Bij welk BMI hebben mannen volgens dit model de hoogste levensverwachting?

c) Bepaal een regressiekromme van de vierde graad die het verband geeft tussen de levensverwachting l V van vrouwen van 55 jaar en hun BMI x. l V (x) = d) Bij welk BMI hebben vrouwen volgens dit model geen jaar meer te leven?

1 2

e) Toon via de gevonden regressiemodellen aan dat een hoog BMI een grotere invloed heeft op de levensverwachting bij vrouwen dan bij mannen.

3 4 5 6

104

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

Drie luchtballonnen nemen deel aan een wedstrijd. De hoogte h, in m, van die ballonnen, t uren na het opstijgen, wordt beschreven door de functies: h 1 (t) = −0,6t 4 + 13,5t 3 − 99t 2 + 265t, h 2 (t) = −0,65t 4 + 14t 3 − 100t 2 + 270t, h 3 (t) = −0,7t 4 + 14,5t 3 − 101t 2 + 290t. a) Teken met ICT de grafiek van de 3 functies. b) Bepaal de hoogte van elke ballon na 10 uur vliegen.

pl aa

c) Welke ballon is het langst in de lucht gebleven? Hoelang?

d) Bepaal, op 0,1 m nauwkeurig, de hoogte van elke ballon halverwege zijn vlucht.

jk ex

e) Welke ballon bereikte op zijn vlucht de grootste hoogte en hoe hoog, op 0,1 m nauwkeurig, vloog hij dan?

f) Na hoeveel tijd bereikte ballon 2 zijn grootste hoogte? Wat was die hoogte?

g) Bepaal hoelang elke ballon hoger vloog dan 150 m.

h) Bepaal hoelang elke ballon lager vloog dan 200 m.

i) Hoelang vloog de eerste ballon lager dan de tweede ballon?

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

105

STUDIEWIJZER Veeltermfuncties 4.2 Veeltermen in 1 veranderlijke KENNEN Een veelterm in 1 veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm f (x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , met n een natuurlijk getal en a n , ... , a 0 reële getallen. De getallen a n , ... , a 0 zijn de coëfficiënten van de veelterm f (x). De graad van een veelterm f (x) is de hoogste exponent van x in die veelterm. De getalwaarde van een veelterm f (x) voor x = a, is gelijk aan f (a).

KUNNEN

pl aa

4.3 De euclidische deling van veeltermen

Herkennen of een uitdrukking een veelterm is en er de graad en getalwaarden van bepalen. Veeltermen optellen en vermenigvuldigen in functie van de deling van veeltermen.

KENNEN

De euclidische deling van de veelterm D (x) door de veelterm d(x), met d (x)≠0, heeft q(x) als quotiënt en r(x) als rest als D (x) = d(x) ⴢ q(x) + r(x) en gr [r (x)] < gr 关d (x)] of r(x) = 0. De veelterm D (x) is deelbaar door de veelterm d(x) als er een veelterm q(x) bestaat zodat D (x) = d(x) ⴢ q(x).

KUNNEN

De deling van een veelterm D (x) door een veelterm d (x) uitvoeren met het algoritme van de euclidische deling. De proef maken met behulp van de definitie van de euclidische deling.

jk ex

4.4 De deling van een veelterm door x – a

KENNEN

De rest van de deling van een veelterm f (x) door x – a is gelijk aan de getalwaarde f (a). Een veelterm f (x) is deelbaar door x – a als f (a) = 0. Als a geen gehele deler is van de constante term van een veelterm f (x) met gehele coëfficiënten, dan is x – a geen deler van f (x).

KUNNEN

De deling van een veelterm D(x) door een veelterm d(x) uitvoeren met de regel van Horner als d(x) = x – a. De proef maken met behulp van de definitie van de euclidische deling. Vragen oplossen over de rest van de deling van een veelterm f(x) door x – a, eventueel met parameters. Delers van de vorm x – a zoeken voor een veelterm f (x) met gehele coëfficiënten.

4.5 Veeltermfuncties KENNEN Een veeltermfunctie is een functie waarvan het voorschrift een veelterm is. De graad van de veeltermfunctie is de graad van het voorschrift. 1 2 3 4 5 6

106

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

4.6 Nulwaarden van veeltermfuncties KENNEN Je kunt de nulwaarden van een veeltermfunctie f bepalen door: • f (x) te ontbinden in factoren van de eerste en de tweede graad; • de nulwaarden van elk van de factoren te berekenen. De grafiek van een veeltermfunctie f: • snijdt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met oneven multipliciteit; • raakt de x-as in een punt waarvan de x-coördinaat een nulwaarde is met even multipliciteit.

KUNNEN

pl aa

De nulwaarden van een veeltermfunctie f van de derde graad berekenen door de veelterm f (x) te ontbinden in factoren of, in uitzonderlijke gevallen, door van lid te veranderen. De meest doeltreffende methode om een veelterm te ontbinden, gebruiken. De grafische interpretatie geven van de nulwaarden van een veeltermfunctie. De nulwaarden van een willekeurige veeltermfunctie bepalen met ICT.

4.7 Tekenschema van veeltermfuncties

KENNEN

Om het tekenschema van een veeltermfunctie f te bepalen, voer je de volgende stappen uit. • Bereken de nulwaarden van f. • Het teken van f (x) rechts van de grootste nulwaarde is het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt. • Vul het schema verder in van rechts naar links: Á Bij een nulwaarde met een oneven multipliciteit verandert het teken. Á Bij een nulwaarde met een even multipliciteit blijft het teken behouden.

KUNNEN

jk ex

Het tekenschema opstellen van een veeltermfunctie van de derde graad en er de grafische interpretatie van geven. Vraagstukken uit de reële wereld oplossen waarbij van een veeltermfunctie: • het voorschrift gegeven is; • het voorschrift zelf moet gezocht worden uit de gegevens (eventueel via regressie). De specifieke betekenis geven van de nulwaarden, het tekenschema, de extreme waarden en de snijpunten van de grafiek met andere grafieken.

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

107

jk ex

pl aa

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

108

HOOFDSTUK 4 I VEELTERMFUNCTIES

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Limieten

5.2

Toenamediagrammen

5.3

Gemiddelde verandering

5.4

Ogenblikkelijke verandering

5.5

Afgeleide van een functie in een getal

pl aa

5.1

5.6 Afgeleide functie 5.7

Rekenregels voor afgeleiden

5.8 Raaklijn aan een grafiek in een punt

jk ex

Studiewijzer

₁₁₀ ₁₂₁ ₁₂₄ ₁₃₅ ₁₃₉ ₁₄₆ ₁₄₈ ₁₅₃ ₁₆₄

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

109

5.1

Limieten

5.1.1 Het limietbegrip Voorbeeld 1 v

De beeldafstand b, in cm, bij een bolle lens met brandpuntsafstand 5 cm, wordt gegeven door de functie

b(v) = f

5v . Hierbij is v de voorwerpsafstand in cm (v ⬎ 5). v−5

• Naar welke waarde nadert b(v) als v nadert naar 15? v

14,9

14,99

14,999

15,001

Je noteert: lim

v → 15

20 15

ononderbroken in het punt (15, De functie b noem je continu in 15.

jk ex

)

• De grafiek van de functie b verloopt

b(v) =

45 40

b(v) =

(De limiet van b in 15 is gelijk aan

lim

pl aa b (cm)

Als v → 15, dan b(v) →

v → 15

15,1

b(v)

15,01

10 5 5

• Naar welke waarde nadert b(v) als v naar 5 nadert (v ⬎ 5)? 5

b(v)

兩

5,001

5,01

5,1

10 9

+∞

De rechte met vergelijking v = 5 is een als v naar 5 nadert.

De functiewaarden naderen naar

• Als v → 5 en v ⬎ 5, dan wordt b(v) steeds groter, m.a.w. b(v) → Als v ⬍ 5 is er geen beeldvorming (‘virtueel beeld’). lim b(v) =

v→5

• Naar welke waarde nadert b(v) als v onbeperkt groter wordt? 1

b(v)

10 3

10 6

3 4 5 6

110

De rechte met vergelijking b =

is een

De functiewaarden stabiliseren zich ter hoogte van de waarde lim

v → +∞

b(v) =

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

, als v groter wordt.

45 v (cm)

Limieten met de grafische rekenmachine Stel: b(v) = Om lim

v → 15

5v . v−5

b(v) te berekenen kun je gebruik maken van:

• een tabel functiewaarden: Á Voer de functie in onder Y1 (je vervangt de onafhankelijk veranderlijke v door X en de afhankelijk veranderlijke b wordt Y1 ): L5

link

M {

K link

–:

X,T,θ,n

]

X,T,θ,n

(

entry solve

–

enter

Á Definieer de tabelinstellingen zoals hiernaast te zien is. 2nd

table

Y L5

window

entry solve

pl aa

tbl set f2

Druk

stat plot f1

enter

jk ex

Á Druk 2nd graph en voer in de tabel de gewenste waarden voor x(v) in.

• lijsten:

Á In de werklijst L 1 voer je de rij benaderingen in. Á In de cel van de lijstnaam L 2 voer je de formule ‘Y1(L 1)’ in.

Á Druk a-lock

memo

alpha {

+ 2nd

Y L1

vars L1

(

“ distr

L a-lock

}

)

alpha

1 memo

“ entry solve

enter

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

111

Notaties Stel: a en b zijn reële getallen. • Als de x-waarden naderen tot a,

: lim f(x) = b. x→a

dan naderen de functiewaarden tot b • Als de x-waarden naderen tot a,

: lim f(x) = ±∞. x→a

dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner Grafische betekenis: • Als de x-waarden steeds groter/kleiner worden,

dan naderen de functiewaarden tot b

lim

x → ±∞

f(x) = b.

• Als de x-waarden steeds groter/kleiner worden, dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner Voorbeeld 2 Neem de functie f(x) =

•

lim

jk ex

x→1

0,99 0,999

f (x) =

perforatie 1

lim

x → −∞

x –1

–1

f(x) =

x → +∞

0,9

• lim f (x) =

•

lim f (x) =

f(x)

x2 − 1 . x−1

x→2

f(x) = ±∞.

• dom f

lim

x → ±∞

pl aa

Grafische betekenis:

• Verklaar waarom de grafiek van f een rechte is met een perforatie in het punt (1,

Definitie

Continuïteit Een functie is continu in een getal a als en slechts als lim f(x) = f(a). x→a

1 2 3 4 5

Grafische interpretatie Als een functie f continu is in a, dan: • behoort a tot het domein van f, m.a.w. het punt P (a, f(a)) behoort tot de grafiek van f ;

f(a)

• heeft de grafiek een ononderbroken verloop in het punt P(a, f(a)).

112

x a

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Voorbeeld 3

Neem de functie f(x) =

1 ⫹ 2. x−1

•

5 4

• dom f = •

ber f =

3 2

lim f (x) =

x→0

x –2

lim f (x) =

–1

x → +∞

–2

• •

lim f (x) =

–3

x → −∞

–4

lim f (x) bestaat niet.

x→1

Á Als x → 1, met x ⬍ 1, dan f (x) →

Je noteert: lim f(x) = x→1

⬍

Á Als x → 1, met x ⬎ 1, dan f(x) →

pl aa

De linkerlimiet van f in 1 is gelijk aan

Je noteert: lim f(x) = x→ 1 ⬎

De rechterlimiet van f in 1 is gelijk aan Notatie

Stel: a is een reëel getal.

• Als de x-waarden naderen tot a, met x ⬍ a,

: lim f(x) = ±∞. x→ a

dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner

⬍

• Als de x-waarden naderen tot a, met x ⬎ a,

: lim f(x) = ±∞.

jk ex

x→ a

dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner

⬎

Grafische betekenis: Voorbeeld 4

De dagelijkse kosten K, in euro, van een bedrijf dat autobanden produceert, worden gegeven door K(x) = 30x + 1 500. Daarbij is x het aantal geproduceerde banden. Bepaal het voorschrift van de gemiddelde kostenfunctie.

•

• G(x) =

lim G(x)=

x→0

G(x) Economische interpretatie:

(x ⬎ 0)

•

lim G(x)=

x → +∞

+∞

G(x) Economische interpretatie:

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

113

5.1.2 Limieten van veeltermfuncties Limiet in een reëel getal Een veeltermfunctie is continu in elk reëel getal. Eigenschap

Als f een veeltermfunctie en a een reëel getal is, dan geldt: lim f(x) = f(a). x→a

Limiet in oneindig • Bereken, op numerieke wijze, de limieten. lim (−2x 3 + x 2 − 3x + 4) =

lim (−2x 3) =

f (x)

−2 ⴢ 10

10 9

−2 ⴢ 10

10 18

−2 ⴢ 10

f(x)

−2 ⴢ 10

10 9

−2 ⴢ 10

10 18

−2 ⴢ 10

pl aa

x → +∞

• Bepaal, door de grafiek met ICT te tekenen, de limieten. lim (3x 4 − 8x 3 + 7x) =

lim (3x 4)=

x → −∞

• Leg uit waarom de limiet in oneindig van een veeltermfunctie altijd oneindig is.

Eigenschap

jk ex

Als f een veeltermfunctie is, dan geldt: lim f(x) = lim (a n x n). x → ±∞

x → ±∞

De limiet in oneindig is de limiet van de hoogstegraadsterm.

Rekenen met oneindig

Stel: n is een natuurlijk getal en r is een reëel getal, beide verschillend van 0.

Definities

(+ ∞) = + ∞ n

(– ∞) = − ∞ als n oneven is

r ⴢ 共+ ∞) = + ∞ als r ⬎ 0

r ⴢ (– ∞) = − ∞ als r ⬎ 0

(– ∞) = + ∞ als n even is

r ⴢ (+ ∞) = − ∞ als r ⬍ 0

r ⴢ (– ∞) = + ∞ als r ⬍ 0

Voorbeelden 1 2

• •

3 4

•

lim (−2x 3) = −2 ⴢ ( + ∞) = −2 ⴢ ( + ∞) = −∞

x → +∞

lim (3x 4) =

x → −∞

lim (−5x 3 + 2x 2 + 4x − 10) =

x → −∞

5 6

114

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Oefeningen REEKS A 1

Bepaal grafisch de limieten. a)

y 7 6 5 4 3 2 1

2 –4

–3

–2

lim f (x) =

x → −1

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

lim f (x) =

x→0

x → +∞

pl aa

–1

1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

x –2

–1

lim f(x) =

x → −1

lim f(x) =

x→1

3 2

jk ex

1 –2

–1

3 2 1 –3

–2

–1

–2

lim f (x) =

ki lim f (x) =

x→4

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

x → +∞

lim f(x) =

x→0

–4

–3

lim f (x) =

x→0

lim f (x) =

x→3

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

x → +∞

–2

–1

x 1

–2 –3 –4 –5 –6

f(x) =

lim

8 7 6 5 4 3 2 1

–1

f(x) =

x → +∞

lim

x → −∞

–2

x 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6

x → −1

f(x) =

–1

x → −2

lim

6 5 4

f(x) =

x → +∞

lim

x → −∞

lim f(x) =

x → −2

lim f(x) =

x→1

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

x → +∞

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

115

Bepaal grafisch de limieten. a)

x –3

–2

–1

1 x

–2 –4

–3

–2

–1

–2

–5

–3

–6 –7

–4

–8

–5

–9

–6

lim f (x) =

–1

–4

x → −1

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

lim f(x) =

x→ 0

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

⬍

x→0

x → +∞

lim f(x) =

lim f (x) =

x→ 0

pl aa

⬎

y 11 10 9 8

5 4 3 2 1

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2

lim f (x) =

x→3

lim f (x) =

f(x) =

lim

f(x) =

x → +∞

x→2

lim

x → −∞

x 1 2 3 4 5 6 7

–3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

jk ex –1

3 2 1

7 6

–2

x → +∞

lim f(x) =

x → −2

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

⬍

lim

x → −2

f(x) =

x → +∞

⬎

4 3

2 1 x

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–4

–3

–2

–1

–1 –2

–1

–3 –4 1 2

lim f (x) =

x→ 0

lim f (x) =

f(x) =

lim

f(x) =

⬍

x→ 0

lim f(x) =

x→ 1

lim

f(x) =

lim

f(x) =

x → −∞

⬍

x → +∞

⬎

116

lim

x → −∞

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

lim f(x) =

x→ 1 ⬎

x → +∞

Bereken de limieten op numerieke wijze.

f (x)

−3 ⴢ 10

lim

x → −∞

10 9

−3 ⴢ 10

−10

f (x)

−10

−4 = x → −∞ x + 1 lim

−10

f (x)

−4 ⴢ 10

−10 −6

−4 ⴢ 10

−10

− 12

2x − 1 = x → +∞ x + 1 lim

f (x)

1,997

x→3

→

+∞

→

−∞

→

−∞

→

+∞

(x 4 − x 2 + 1) =

e) lim

1 = 2 (x − 3)

−4 ⴢ 10

1,999 997

−24

→

−∞

→

+∞

→

2,9

2,999

→

←

3,001

3,1

f (x)

100

1 000 000

→

+∞

←

1 000 000

100

x2 + x − 2 = x → −2 x2 − 4 lim

x → +∞

(−3x 3 + 2x) =

pl aa

lim

jk ex

−2,01

−2,000 1

→

−2

←

−1,999 9

−1,99

f (x)

0,750 62

0,750 01

→

0,75

←

0,749 99

0,749 37

x 3 − 5x 2 + x − 5 = x−5 x→5

g) lim

4,9

4,999

→

←

5,001

5,1

f (x)

25,01

25,99

→

←

26,01

27,01

←

3,000 1

3,01

−10 002

−102

h) lim

x→3

5 − 2x = x−3

lim

x→3

⬍

5 − 2x = x−3

⬎

2,99

2,999 9

f (x)

9 998

→

3 +∞ | −∞

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

117

60 . t a) Teken met ICT de grafiek van de functie v in het praktisch domein.

De gemiddelde snelheid v, in km/h, van een fietser die 60 km aflegt in t uren is v(t) =

b) lim v(t) = t→0

c) Geef de fysische betekenis van die limiet.

De trillingstijd T, in s, van een massaveersysteem met een massa m, in kg, is T(m) = 1,4 ⴢ 冪m. a)

lim

m → +∞

T(m) = →

+∞

T(m) 1,4 ⴢ 10 3 1,4 ⴢ 10 6 1,4 ⴢ 10 10 →

+∞

pl aa

b) Geef de fysische betekenis van die limiet.

jk ex

De zwaartekracht of gravitatiekracht F , in N, die 2 massa’s m 1 en m 2 , m1 ⴢ m2 . allebei in kg, op elkaar uitoefenen, is gelijk aan F(r) = G ⴢ r2 Daarbij is G de universele gravitatieconstante (G = 6,672 59 ⴢ 10 −11 Nm 2/kg 2) en r de afstand, in m, tussen beide massamiddelpunten.

Een massa van 100 kg ondervindt in het zwaartekrachtveld van de aarde een aantrekkingskracht 3,988 ⴢ 10 16 F(r) = . r2 Daarbij is r de afstand, in m, tot het centrum van de aarde en F de kracht, in N.

De Engelse wetenschapper Isaac Newton (1643-1727), naar wie de eenheid van kracht is genoemd, vond de formule. De waarde van de gravitatieconstante werd in 1798 gevonden door de Engelse natuurkundige Cavendish.

a) Teken met ICT de grafiek van de functie F. b)

lim F(r) =

r → +∞

c) Geef de fysische betekenis van beide limieten. 1 2 3 4 5 6

118

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

lim F(r) =

r→0

De firma Pienters & Co bedrukt T-shirts. De gemiddelde opbrengst G, in euro, per T-shirt is G (x) = Daarbij is x het aantal verkochte T-shirts. a) lim G (x) =

0,1

G(x)

23,998 8

x→0

b) Geef de economische betekenis van deze limiet.

24x − 0,012x 2 . x

0,01

0,001

23,999 88 23,999 988

c) Toon met limieten aan dat massaproductie geen zin heeft.

x → +∞

lim

x → −∞

−1,2 ⴢ 10

(−8x 3 + 3x 2 − 7x + 1) =

(2x 2 − x − 5) =

lim

(3x − 4) =

lim

[(1 − 2x) ⴢ (3x − 1)] =

lim

[(x + 2) ⴢ (1 − 3x − x 2)] =

x → −∞

x → +∞

lim

−11 976

Bereken de limieten. a)

G(x)

pl aa

jk ex

lim

(–x 4 + x 3 − 2x 2 + 3) =

lim

(3x 4 − 4x 2 + 7x − 2) =

h) lim

x → −∞

x → +∞

x → −∞

x → +∞

[(9 − 4x 2) ⴢ (3x − 1) ] =

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

119

In de Verenigde Staten hebben statistici onderzoek verricht naar de gemiddelde leeftijd waarop vrouwen voor het eerst huwen. Dat leverde de volgende regressiefunctie op: L(x) = 0,000 0234 53x 3 − 0,002 636 3x 2 + 0,050 582x + 21,766. Daarbij is L de leeftijd in jaren en x het aantal jaren na 1890. a)

lim

x → +∞

L(x) =

De dagelijkse winst W, in euro, van een bedrijf dat x kristallen glazen per dag verkoopt, wordt gegeven door de functie W(x) = −0,016 4x 3 + 1,3x 2 − 6,928 6x − 250.

pl aa

b) Geef de betekenis van die limiet.

jk ex

Toon met limieten aan dat massaproductie geen goed idee is.

1 2 3 4 5 6

120

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.2

Toenamediagrammen

5.2.1 Voorbeelden Voorbeeld 1 In de schoolkrant van september 2018 stond een diagram over de evolutie van het aantal leerlingen in de 10 voorbije schooljaren. De tellingen gebeurden op 1 september.

toename 30 20 10 jaar 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

–10

pl aa

–20 –30

• Hoe kun je op het toenamediagram zien of er een stijging of een daling was tegenover het vorige schooljaar?

• In welk schooljaar was de toename het grootst?

Hoeveel leerlingen waren er dat jaar meer dan het jaar voordien?

jk ex

• In welk schooljaar was de afname het grootst?

Hoeveel leerlingen waren er dat jaar minder dan het jaar ervoor? • In welk jaar waren er evenveel leerlingen dan het jaar voordien? Hoe zie je dat op het toenamediagram?

• In welke schooljaren waren er het meeste leerlingen op onze school?

• Stel het verloop van het aantal leerlingen schematisch voor. Je noteert telkens het beginjaar van het schooljaar. schooljaar

2008

leerlingen

2013

2016

822 MAX

758 MIN

2018

• Vul de tabel aan. schooljaar leerlingen

2008 2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

742

• Stel deze tabel met ICT grafisch voor door een lijndiagram.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

121

Voorbeeld 2 v (km/h)

Tijdens de 100 meter in de atletiek komt het erop aan zo snel mogelijk je topsnelheid te bereiken en die dan zo lang mogelijk vast te houden. De Jamaicaan Asafa Powell liep in 2008, tijdens een wedstrijd in eigen land, de 100 m in 9,89 s.

100 x (m)

pl aa

Dankzij het gebruik van supersnelle camera’s kon men het verloop van zijn snelheid bepalen. 110 000 ⴢ 冪x Het onderzoek leverde de volgende formule op: v(x) = . 2 (x + 90) Daarbij is v de snelheid, in km/h, en x de afgelegde weg, in m.

• Vul de tabel aan, op 0,1 nauwkeurig, en vervolledig het bijbehorende toenamediagram voor x = 20 tot x = 100. v

△v

䉭v

jk ex

x 10

–1

–2

80 90

100

De breedte van elk deelinterval (hier 10 m) is de stapgrootte van het toenamediagram. De staven van het diagram worden telkens op het einde van elk interval getekend. • Waarom teken je de waarde van 䉭v niet voor het interval [0, 10[? 1 2 3

• Op hoeveel meter na de start haalde Powell zijn topsnelheid?

• Wanneer kende hij het grootste verval?

5 6

122

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

100

5.2.2 Algemeen Methode

Een toenamediagram toont veranderingen van de afhankelijke veranderlijke y in intervallen met gelijke breedte van de onafhankelijke veranderlijke x. • Kies een vaste stapgrootte 䉭x. • Bereken in een tabel voor elk deelinterval met breedte 䉭x de verandering 䉭y. • Teken een diagram waarbij verticale lijnen de verandering tonen bij elk intervaleinde. De lijnen worden boven de horizontale as getekend bij toename en onder de horizontale as bij afname.

5.2.3 Toenamediagrammen tekenen met ICT

jaar

1965

1970

1975

pl aa

De tabel toont de evolutie van het aantal verkeersongevallen in België in een periode van 50 jaar. Teken een toenamediagram met een stapgrootte van 5 jaar.

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

2015

aantal 73 277 76 928 60 376 60 758 54 826 62 446 50 744 49 064 49 313 45 918 40 303 ongevallen

jk ex

Oplossing

Om zelf een toenamediagram te tekenen met de grafische rekenmachine kun je het programma TOENAMED gebruiken. • Voer de gegevens in in de werklijsten L 1 en L 2 .

• Bereken in L 3 de verschillen tussen de opeenvolgende waarden uit L 2. Dat kan door in de cel van de lijstnaam L 3 䉭List(L 2) in te voeren.

• Voor 䉭List(L 2) druk je list

2nd

stat

2nd

L entry solve

}

)

enter

• Om de toename toe te wijzen aan een intervaleinde moet je naast het eerste jaartal een toename 0 toevoegen. ins

Daarvoor druk je

2nd

del

• Na het uitvoeren van het programma TOENAMED krijg je het beeld hiernaast.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

123

5.3

Gemiddelde verandering

5.3.1 Gezinsbudget 13 % 2%

8% 3%

12 % 30 % 5% 6%

1978

1987

1995

totale consumptie (euro)

12 491

18 015

24 781

2005

2009

28 653

31 449

34 441

2012

2016

35 429

34 167

toename

2001

pl aa

jaar

gemiddelde toename per jaar

De FOD Economie verricht regelmatig een huishoudbudget-onderzoek. Daarvoor houden 3 700 gezinnen een jaar lang hun inkomsten en uitgaven bij. De resultaten worden daarna veralgemeend naar de ruim 4 miljoen Belgische huishoudens. Deze tabel toont het gemiddelde totale consumptiebudget in België per gezin in de periode 1978-2016.

voeding en niet-alcoholische dranken alcoholische dranken en tabak kleding en schoenen woning, water, elektriciteit, gas en andere brandstoffen meubelen, huishoudtoestellen en onderhoudsproducten gezondheid transport communicatie cultuur en vrije tijd opleiding restaurant en horeca persoonlijke verzorging en diensten

10 % 6%

jk ex

• Bereken voor elk jaartal de toename ten opzichte van het vorige jaartal. • Waarom heeft het geen zin een toenamediagram te tekenen om de stijging van het gezinsbudget weer te geven?

• Bereken voor elke periode de gemiddelde toename van het gezinsbudget per jaar.

• In welke periode was de groei het sterkst?

• Hoe zie je aan de grafiek hiernaast in welke periode de groei van het budget het sterkst was?

budget 34 000 32 000 30 000 28 000 26 000 24 000 22 000

• Wat is de grafische betekenis van de gemiddelde jaarlijkse toename van het budget?

20 000 18 000 16 000 14 000 1981 1984 1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014 jaartal

1 2 3

• Schat met lineaire interpolatie het gezinsbudget in 1983.

4 5

• Voorspel door extrapolatie van de laatste gegevens het gezinsbudget in 2025.

124

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.3.2 Een vallende bal Snejana laat een bal vallen vanaf een toren van 75 meter. De hoogte h, in m, van de bal, na t seconden is gelijk aan h(t) = 75 − 4,9 ⴢ t 2. • Na hoeveel seconden valt de bal op de grond?

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal gedurende de eerste seconde van de val.

h 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1

pl aa

h(1) − h(0) = 1−0

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal in het tijdsinterval [1, 3]. h(3) − h(1) = 3−1

• Bereken de gemiddelde snelheid van de bal gedurende de volledige valtijd.

jk ex

• Wat is de grafische betekenis van de berekende gemiddelde snelheden? Toon het antwoord op de figuur.

• Is het mogelijk, met de kennis die je nu hebt, de snelheid van de bal te bepalen op het ogenblik dat hij de grond raakt?

• Hoe zou je die snelheid zo goed mogelijk kunnen benaderen?

5.3.3 Differentiequotiënt

Definitie

Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is y

f Q

f(b)

f(b) − f(a) . b−a

Het differentiequotiënt van een functie f in [a,b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a,b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f(b) − f(a) 䉭y = = de richtingscoëfficiënt van de koorde b−a 䉭x

△y

door de punten P(a, f(a)) en Q (b, f(b)) van de grafiek van f. f(a)

P △x a

x b

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

125

5.3.4 Gemiddelde helling Voorbeeld 1 y 2

Neem de functie f(x) = x − 1.

• Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [0, 2].

4 3 2

Die gemiddelde helling is de van de A(

1 x –4

door de punten ,

) en B(

–3

–2

–1

) van de grafiek.

pl aa

• Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [−2, 1].

Voorbeeld 2

Je ziet het profiel van de Col du Tourmalet, een legendarische col uit de Ronde van Frankrijk.

ki In

LA MONGIE (1 730)

4,5

CAMPAN

2 660

2 680

2,5 700

2 725

3,5 745

5 780

4 875

2,5 915

10 8 8 8

+ 7 4 940

9 9

2 075

1 990

1 900

1 810

1 720

1 630

1 530

SAINTE MARIE DE CAMPAN

GRIPP

COL DU TOURMALET (2 115)

8,5

OOSTFLANK 23,4 km stijgen aan gemiddeld … %, maximum 10 %

jk ex

2 200 2 100 2 000 1 900 1 800 1 700 1 600 1 500 1 400 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600

COL DU TOURMALET (2115 m)

1 440

1 340

1 260

1 180

1 100

1 030

980

830

Naar ALTIGRAPH Edition

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Bereken, op 0,01 % nauwkeurig, het gemiddelde hellingspercentage: 1

• van de volledige beklimming. • tijdens de eerste 10 km.

2 3 4 5 6

126

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

• tussen de 15e en 18e km.

Oefeningen REEKS A Welk toenamediagram hoort bij welke grafiek? 1)

y 7 6 5 4 3 2 1

–4

x 2

–1 –2 –3 –4

–2

3 2 1

–2

x 1 2 3

–1

–3

–1,5

jk ex

–1,5

8 7 6 5 4 3 2 1

–2

–1

–0,5 –1 –2 –3 –4

0,5

1,5

y 1 x –3

–2

–1

–1 –2 –3

–0,5

0,5

1,5

y 1

x –3 –2 –1

–1

x 1

–2

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

grafiek

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–1

–2 –4 –6 –8 –10

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6

7 6 5 4 3 2 1

x 1

–12 –14 –16

4 5 6 7

–2

–1

x 2

–1 –2 –3 –4 –5

6 5 4 3 2 1

–4

–2

–3

–4 –3 –2 –1 –1

5 4 3 2 1

pl aa

–4 –3 –2 –1

–3 x

–1,5

–1

–0,5

0,5

–4

1,5

diagram

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

127

Het vruchtbaarheidscijfer is het gemiddelde aantal kinderen per vrouw. Deze grafiek toont de evolutie van het vruchtbaarheidscijfer in Vlaanderen. evolutie van de vruchtbaarheid in Vlaanderen

kinderen per vrouw

3 2,5 2 1,5 1 0,5

1942 1947 1952 1957 1962 1967 1972 1977 1982 1987 1992 1997 2002 2007 2012 2017 jaartal

a) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 5 jaar.

pl aa

b) In welke periode was de stijging van het vruchtbaarheidscijfer het grootst?

c) Hoe verklaar je die grote toename?

d) In welke periode daalde het gemiddelde aantal kinderen per vrouw het snelst?

jk ex

e) Hoe zie je aan het toenamediagram in welk jaar het vruchtbaarheidscijfer maximaal was?

Het toenamediagram toont de evolutie van de bevolking in Europa, volgens een voorspelling van de Verenigde Naties. Daarbij gaan ze uit van een vruchtbaarheidscijfer van 1,5. (bron: Population Prospects: The 2004 Revision) 2010

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

–2

aantal miljoenen

–4 –6 –8

–10 –12 –14

a) Hoe zie je aan het diagram dat we ons zorgen moeten maken in Europa?

b) Vul de tabel aan.

2 3

jaartal

2005

bevolking in miljoenen

728

5 6

128

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

2010

2015

2020

2025

2030

2035

2040

2045

2050

Het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leefde, van 2005 tot 2015, wordt benaderd door de functie p(x) = â&#x2C6;&#x2019;0,03x 3 + 0,490 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2,107x + 17. Hierbij is p het percentage en x het aantal jaren na 2005 (0 < x < 10). a) Teken, met ICT, een toenamediagram met stapgrootte 2 jaar. jaartal

2005

2007

2009

2011

2013

2015

percentage toename b) In welk jaar was het percentage maximaal? c) In welke periode van 2 jaar was de afname het grootst?

pl aa

In deze grafiek is de voorspelling van het EIA (Energy Information Administration) voor de wereldwijde CO 2-uitstoot tot 2025 in miljarden ton weergegeven.

d) Schat door extrapolatie het percentage in 2025. Vergelijk dit met het resultaat van oefening 3 op pagina 12.

World Carbon Dioxide Emissions 1990-2025

40 38

jk ex

Billion Metric Tons

32 30 28 26 24

22 20

2002

2010

2015

2025

1990

a) Waarom kun je uit de grafiek geen betrouwbare besluiten trekken omtrent de stijging van de CO 2-uitstoot?

b) Bereken voor elke voorgestelde periode de gemiddelde stijging van de uitstoot per jaar. jaartal

1990

2002

2010

2015

2025

stijging gemiddelde stijging per jaar

c) Toon aan dat we vanaf 2010 op de goede weg zullen zijn.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

129

De tabel toont het aantal ingeschreven motorrijwielen (dat zijn alle motorfietsen en bromfietsen die minstens 40 km/h rijden) in België telkens op 1 augustus van het jaar. (bron: FOD Mobiliteit en Vervoer) jaartal

1930

aantal

52 856

1940

1950

1960

1980

1990

2000

2006

2008

2013

32 529 139 932 229 699 113 057 139 174 277 838 359 764 388 280 450 793 673 336

verschil verschil per jaar a) Bereken voor elke periode het gemiddelde verschil per jaar.

b) In welke periode was de afname relatief het grootst?

pl aa

c) Schat het aantal motorrijwielen in 1970.

d) Voorspel het aantal motorrijwielen in 2025.

Een van de meest gevreesde beklimmingen voor renners is de Alto de El Angliru, in het noorden van Spanje. Je ziet het profiel van de helling.

1 800

L’Angliru

Cueña les Cabres 23,5 % Les Piedrusines Aviru 20 % 1 570 Cobayos El21,5 % 21,5 % 1 536 1 554 Les Picones 1 401 Lagos 20 % 14,5 % 1 228 Via Les Cabanes 22 % 1 089 Pará Santa 970 Porció Eulalia 853 La Vega Grandiella 717 (Riosa) Dona 698 627 Xuenti El Cabornín 537 455 376 325

jk ex

1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200

7,9 %

5,1 %

* *

6,2 7,1 % 1,9 % 13,6 % 11,7 % 11,9 % 13,9 % 17,3 % 13,5 % %

8,2 % 9,0 %

a) Wat staat er op de assen?

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage: • voor de eerste 6 km van de beklimming: 1 2 3

• voor de rest van de beklimming: • voor de volledige beklimming: c) Hoe bepaalt men het stijgingspercentage van 22 % in Les Cabanes?

4 5 6

130

2017

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

12,5

Bereken de gemiddelde helling van de grafieken in de gegeven intervallen. a)

Gemiddelde helling in [0, 2]:

y 2 1 –2

–1

x 1

–1

–2 –3 –4

Gemiddelde helling in [−1, 5]:

–5 –6 –7 –8 –9

f(x) = –x 2 + 4x – 3

Gemiddelde helling in [1, 3]:

y 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11

Gemiddelde helling in [−1, 4]:

f(x) = x 3 – 4x 2

Gemiddelde helling in [0, 2]:

jk ex

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–1

Gemiddelde helling in [1, 3]:

f(x) = –2x 3 + 9x 2 – 12x + 4

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

x 1

pl aa

–1

–2

Raf rijdt 2 uur met zijn auto. Zijn afgelegde weg s, in km, na t uren wordt gegeven door de functie s(t) = 150t 2 − 50t 3 (0 < t <2). Bereken zijn gemiddelde snelheid a) over de hele rit.

b) tijdens het eerste kwartier.

c) tijdens het laatste halfuur.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

131

REEKS B 20

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W, in euro, gelijk is aan 7 71 17 x3 + x 2 − x − 800. W (x) = − 180 000 1 800 3 Daarbij is x het aantal kilogram koffie dat ze per maand verkoopt. a) Bereken de gemiddelde winst per kg als ze slechts 300 kg koffie per maand verkoopt.

b) Verklaar de uitkomst van vraag a.

pl aa

c) Bereken de gemiddelde extra winst per kg als de verkoop van 300 kg naar 500 kg stijgt.

d) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 100 voor de functie W, met x ⬍ 700. e) Bij welke verkoop is het verlies maximaal?

4 Het volume V, in cm 3, van een smeltend blok ijs wordt gegeven door de functie V(t) = ␲ ⴢ (150 − t) 3. 3 Daarbij is t de tijd in uren.

jk ex

f) Hoeveel kilogram moet het bedrijf verkopen om een maximale winst te hebben?

a) Bereken, op 0,001 cm³ nauwkeurig, hoeveel het volume gemiddeld per uur vermindert in het tijdsinterval [12, 24].

b) Wat is, op 0,01 cm 3 nauwkeurig, de gemiddelde volumevermindering per uur tijdens de laatste 6 uren van het smeltproces?

c) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 10 uren. 1

d) In welk tijdsinterval is de volumeafname het grootst?

2 3

e) Gedurende hoeveel uren is de gemiddelde volumevermindering meer dan 5 000 cm 3/h?

4 5 6

132

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Bereken het differentiequotiënt in het gegeven interval. Geef telkens de fysische betekenis. a)

De diepte d, in m, van een rivier is d(x) = 0,25x 2 − 2x. Daarbij is x de afstand, in m, tot de linkeroever. In [1, 3]:

Het vermogen P, in kW, van een windmolen is P = 0,35 ⴢ v 3. Daarbij is v de windsnelheid in m/s.

pl aa

De leeftijd L waarop vrouwen gemiddeld voor het eerst huwen in de VS, is L(x) = 0,000 023 453x 3 − 0,002 636 3x 2 + 0,050 582x + 21,766. Daarbij is x het aantal jaren na 1890.

De trillingstijd T, in s, van een massaveersysteem is T = 1,4 ⴢ 冪m. Daarbij is m de massa in kg.

jk ex

In [100, 120]:

In [10, 15]:

In [3, 7]:

De geluidsintensiteit I, in W/m 2, van een geluidsbron is I =

100 . 4 ␲ r2

Daarbij is r de afstand, in m, tot de geluidsbron. In [20, 50]:

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

133

REEKS C De Verenigde Naties voorspellen een bevolkingsafname in Europa in de eerste helft van de 21e eeuw. In de andere continenten wordt een toename voorspeld. De tabellen tonen de voorspelde bevolking, in duizenden, in 4 werelddelen. AFRIKA

AZIË

LATIJNS-AMERIKA

NOORD -AMERIKA

bevolking (× 1 000)

jaar

bevolking (× 1 000)

jaar

bevolking (× 1 000)

jaar

bevolking (× 1 000)

2010

1 006 905

2010

4 130 383

2010

598 771

2010

346 062

2015

1 115 358

2015

4 351 001

2015

634 104

2015

360 905

2020

1 228 276

2020

4 553 791

2020

666 955

2020

375 000

2025

1 344 491

2025

4 728 131

2025

696 541

2025

388 032

2030

1 463 493

2030

4 872 472

2030

722 377

2030

400 079

2035

1 584 258

2035

4 991 992

2035

743 926

2035

410 996

2040

1 704 870

2040

5 091 829

2040

761 268

2040

420 805

2045

1 823 062

2045

5 168 280

2045

774 255

2045

429 669

2050

1 936 952

2050

5 217 202

2050

782 903

2050

437 950

jaar

pl aa

Afrika

Latijns-Amerika Noord-Amerika

jk ex

Azië

a) Bereken de gemiddelde bevolkingstoename per jaar voor de periode 2010-2050.

b) Teken met ICT een toenamediagram voor Afrika met stapgrootte 5 jaar. c) Toon met het toenamediagram aan dat ook in Afrika de groei zal vertragen.

d) Een toenamediagram toont de absolute toename per periode. Bedenk een methode om de relatieve toename in procent per periode te bepalen.

e) Bepaal voor elke periode van 10 jaar de procentuele toename in Azië. 2010-2020

2030-2040

2020-2030

2040-2050

f) In welk continent is de relatieve aangroei voor de periode 2010-2050 het grootst? 1 2 3

Afrika

Latijns-Amerika

Azië

Noord-Amerika

4 5 6

134

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.4

Ogenblikkelijke verandering

5.4.1 Snelheid van 2 loopsters s 25

Om zich voor te bereiden op de marathon van Brussel, lopen Leen en Helena een trainingstocht van 2 uren. Op de grafiek zie je de afgelegde weg, in km, in functie van de tijd t, in h, van beide loopsters.

Leen

Helena 15

• Bereken de gemiddelde snelheid van beide dames.

10 5

t 1

1,5

0,5

pl aa

• Hoe weet je dat Leen het volledige traject met dezelfde snelheid loopt? De trainingsloop van Leen is een voorbeeld van een eenparige beweging. • Bepaal de vergelijking van het (s, t)-diagram van Leen.

• De constante snelheid van Leen is de

van de grafiek.

• Bepaal de vergelijking van het (s, t)-diagram van Helena. s(t) = a ⴢ t 2 en s(2) = a ⴢ 4 = 25 ⇒ a = Dus: s(t) =

jk ex

• Bereken de gemiddelde snelheid van Helena tijdens het eerste uur.

• Betekent dit dat Helena, exact 1 uur na het vertrek, met die snelheid loopt?

• Hoe zie je aan de grafiek dat Helena wandelend gestart is, maar daarna steeds sneller loopt?

• Bereken de ogenblikkelijke snelheid v(1) van Helena 1 uur na haar vertrek. Á Bereken de gemiddelde snelheid v gem =

s(1 + h) − s(1) h

in een interval [1, 1 + h].

0,25

0,1

0,01

0,001

tijdsinterval [1, 1 + h]

[1; 1,25]

[1; 1,1]

[1; 1,01]

[1; 1,001]

gemiddelde snelheid (km/h) Á Als de toename h van de tijd kleiner en kleiner wordt, zal de gemiddelde snelheid in [1, 1 + h] een steeds betere benadering worden voor de gevraagde ogenblikkelijke snelheid. s(1 + h) − s(1) = Á Besluit: v(1) = lim v gem = lim h h→0 h→0

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

135

• Om het verband tussen de ogenblikkelijke snelheid v, in km/h, en de tijd t, in h, van Helena te bepalen, vul je de tabel in. Maak daarbij gebruik van ICT. t (h)

v (km/h)

0,25

0,5

1,5

Oplossing Á Voer de functie in onder Y 1. Om de snelheid in 0,25 te bepalen, voer je in de werklijst L 1 een aantal getallen in die steeds dichter bij 0,25 komen te liggen,

pl aa

Á Om de methode ook bruikbaar te maken voor andere waarden dan 0,25, wijs je het getal 0,25 toe aan een variabele A.

bijvoorbeeld 0,25 + 10 −1; 0,25 + 10 −2; . . . ; 0,25 + 10 −7; 0,25 + 10 −8.

Á Voer de rij getallen

A + 10 −1; A + 10 −2; . . . ; A + 10 -7; A + 10 −8 in L 1 in: „ Ga in entry desolve cel van de lijstnaam L 1 staan. „ Druk enter . „ Voer tussen aanhalingstekens de formule

jk ex

seq(A + 10 −x,X,1,8) in.

Á In de tweede werklijst bereken je telkens

de gemiddelde snelheid in het interval [A; A + 10 −X] door de formule (Y 1 (L 1) − Y 1 (A)) ÷ (L 1 − A) in te voeren tussen aanhalingstekens.

Á Om de ogenblikkelijke snelheid in een ander punt te bepalen, volstaat het om die waarde toe te wijzen aan de variabele A. Er kan ook veranderd worden van functie.

1 2

• Welk soort verband bestaat er tussen v en t?

Geef het voorschrift van dit verband: v(t) =

De trainingsloop van Helena is een voorbeeld van een eenparig versnelde beweging.

• Als s(t) = a ⴢ t 2, dan v(t) =

136

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.4.2 Definitie Definitie

Ogenblikkelijke verandering De ogenblikkelijke verandering van een functie f in een getal a van het domein f (a + h) − f (a)

is lim

h→0

5.4.3 Grafische betekenis De training van Helena

25 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1, 2] is de richtingscoëfficiënt van de koorde door 20 de punten A(1, s(1)) en B(2, s(2)) (de blauwe rechte). Die rechte benadert de grafiek van s in [1, 2]. 15 De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [1; 1,5] 10 is de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten A(1, s(1)) en B⬘(1,5; s(1, 5)) (de groene rechte). 5 Die rechte benadert de grafiek van s in [1; 1,5].

pl aa

B’

t 1,5

0,5

jk ex

De groene rechte benadert de grafiek van s in het punt A(1, s(1)) beter dan de blauwe rechte. De benadering verbetert naarmate het tweede punt B(1 + h, s(1 + h)) dichter ligt bij A(1, s(1)), met andere woorden als h kleiner wordt. De beste benadering verkrijg je als B onbeperkt naar A kan naderen, zonder ermee samen te vallen (een rechte wordt bepaald door 2 verschillende punten), dus als h naar 0 nadert zonder 0 te bereiken. Die beste benadering is de raaklijn t 1 (de zwarte rechte) aan de grafiek van s in het punt A(1, s(1)). De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan lim

h→0

s(1 + h) − s(1) h

= v(1) =

Algemeen

f(a + h)

f(a)

a+h

B B

f(a)

Besluit

f(a + h)

A a

A a+h

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P (a, f (a)) is lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

Die richtingscoëfficiënt is een maatgetal voor de (ogenblikkelijke) helling van de grafiek in P.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

137

5.4.4 Voorbeelden Voorbeeld 1 Bepaal de helling van de grafiek van de functie f(x) = −

1 3 x + 1 in het punt P(2, −3). 2

Oplossing:

De helling van de grafiek in P is

4 2

lim

h→0

f (a + h) − f(a) h

= lim

f (2 + h) − f(2) h

h→0

–10

–8

–6

–4

–2

2 –2

–4 –6

pl aa

–8

Voorbeeld 2

Oplossing: Á rc t − 1 = lim

• Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) = x 2 + 3x + 2 in het punt P(−1, 0).

f (−1 + h) − f (−1) h

4 3

2 1

–5

–4

–3

–2

Á De raaklijn heeft als richtingscoëfficiënt De vergelijking is dus:

• Teken de raaklijn op de figuur. 1 2

• Controleer met ICT.

Oplossing:

Á Voer de functie in onder Y2.

Á Laat de functie tekenen in een gepast venster.

138

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

P –1

1 –1

jk ex

h→0

y = x 2 + 3x + 2

en bevat het punt P (−1, 0).

5.5

Afgeleide van een functie in een getal

5.5.1 Definitie en notatie Stel: f is een reële functie en a een getal van dom f. Definitie

Afgeleide • Als lim

f (a + h) − f (a) h

h→0

•

f (a + h) − f (a)

lim

h→0

een reëel getal is, dan is f afleidbaar in a.

is de afgeleide van f in a en noteer je Df (a).

pl aa

y = f(x)

Df (a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van f in het punt P(a, f(a)).

Df (a) is een maatgetal voor de (ogenblikkelijke) helling van de grafiek in het punt P.

+ Df(a) f(a)

Opmerking

jk ex

Een functie f is afleidbaar in a als in het punt P (a, f(a)) op ondubbelzinnige wijze een niet-verticale raaklijn getekend kan worden. Waarom zijn de functies waarvan je hieronder de grafiek ziet, niet afleidbaar in a?

ki a

f(a) x

f(a)

a x a

Bij veeltermfuncties doen zich geen situaties zoals hierboven voor. Eigenschap

Een veeltermfunctie is afleidbaar in elk reëel getal.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

139

5.5.2 Afgeleiden in de fysica Snelheid van een bewegende massa Snejana laat een bal vallen vanaf een toren van 75 m. De hoogte h van de bal, in m, na t seconden is gelijk aan h(t) = 75 − 4,9 ⴢ t 2 (zie 5.3.2).

• Bereken de ogenblikkelijke snelheid van de bal na 2 s. Oplossing

h(2 + 䉭t) − h(2) 䉭t

䉭t → 0

pl aa

= lim

v(2) = Dh(2)

Met de grafische rekenmachine kun je de afgeleide in het basisscherm berekenen met de functie nDeriv (numAfgeleide). test

math

Die functie bereik je via

• Met welke snelheid komt de bal op de grond terecht?

jk ex

Oplossing

De bal raakt de grond na 3,91 s. v(3,91) = Dh(3,91) = lim

h(3,91 + 䉭t) − h(3,91) 䉭t

䉭t → 0

Met de grafische rekenmachine kun je de afgeleide ook laten berekenen in het grafisch venster. calc

2nd

1 2 3 4 5 6

140

trace

Daarvoor druk je

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

θ i

: w

Q L1

Y L2

entry solve

enter

Versnelling van een bewegende massa

De Jamaicaan Asafa Powell liep in 2008 de 100 m in 9,89 s. Het verband tussen zijn snelheid v, in km/h, 110 000 ⴢ 冪x

pl aa

en de afgelegde weg x, in m, is v(x) =

De versnelling a is de mate waarin de snelheid van een bewegend voorwerp verandert. a Het verband tussen de kracht F, in N, die op een voorwerp inwerkt F en de versnelling a, in m/s 2, wordt gegeven door de tweede wet m van Newton: F = m ⴢ a. Hierbij is m de massa van het voorwerp in kg. Het gewicht G van een voorwerp is de kracht die het voorwerp ondervindt door de gravitatie van de aarde. Dus: G = m ⴢ g (g is de valversnelling = 9,81 m/s 2). Het gewicht wordt dus uitgedrukt in Newton.

(x + 90)

Oplossing

• a(10) = Dv(10) = lim

䉭x

• F=

v(10 + 䉭x) − v(10)

jk ex

䉭x → 0

Bereken de kracht, in N, die Powell ontwikkelde 10 m na de start, als je weet dat hij 87 kg zwaar is.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

141

5.5.3 Afgeleiden in de economie Marginale functies Definitie

Marginale kostprijs De marginale kostprijs MK is de afgeleide van de totale kostprijs TK.

Definitie

Marginale opbrengst De marginale opbrengst MO is de afgeleide van de totale opbrengst TO. In symbolen: MK(q) = DTK(q) en MO(q) = DTO(q). Voorbeeld

pl aa

De firma Pienters & Co maakt bedrukte T-shirts. De totale opbrengst TO in euro is gelijk aan TO(x) = 24x − 0,012x 2. Daarbij is x het aantal verkochte eenheden. • Bereken de gemiddelde opbrengst per T-shirt als de firma 500 stuks verkoopt.

Oplossing:

• Bepaal MO(500) en TO(500) – TO(499). Vergelijk beide resultaten.

jk ex

Oplossing:

MO(500) = =

TO(500) – TO(499) =

Besluit:

Betekenis van marginale functies in de economie y

De afgeleide Df (a) van een functie f in een getal a is zowel een benadering voor f(a + 1) – f(a) als voor f(a) – f(a – 1). In de economie beschrijft men met marginale functies hoe een huidige situatie ontstaat uit een vorige situatie. Men gebruikt dus Df (a) als benadering voor f(a) – f(a – 1).

f f(a)

f(a+1)–f(a)

f(a) – f(a–1)

+Df(a)

1 2 x

a–1

a+1

4 5

Besluit

MK(q) ≈ TK(q) – TK(q – 1)

142

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

MO(q) ≈ TO(q) – TO(q – 1)

Al sinds de tijd van de Grieken probeert men natuurwetten uit te drukken met getallen. De natuur is echter een dynamisch proces, zodat ook in de wiskunde veranderingen van grootheden beschreven moeten kunnen worden. Een eerste stap in de goede richting was de ontwikkeling van de analytische meetkunde door de Fransmannen René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665). René Descartes Door het begrip coördinaat in te voeren, kon men krommen met vergelijkingen beschrijven en was de link tussen meetkunde en algebra gelegd.

Om een juiste wiskundige beschrijving van de natuurwetten te geven, moesten 2 basisproblemen worden opgelost: het raaklijnenprobleem (om ogenblikkelijke verandering te beschrijven) en het probleem van oppervlakteberekening (de mate waarin de oppervlakte tussen een grafiek, de x-as en 2 verticalen verandert). Vele wiskundigen in de 17e eeuw hielden zich met die problemen bezig. Sommigen vonden gedeeltelijke oplossingen, maar niemand vond een allesomvattende theorie.

pl aa

Pierre de Fermat

jk ex

Algemeen wordt de ‘uitvinding’ van de wiskundige analyse (differentiaal- en integraalrekening) toegeschreven aan Isaac Newton en Gottfried Leibniz. Zij waren de eersten die, onafhankelijk van elkaar, een fundamentele theorie ontwikkelden om de gestelde problemen op te lossen. Newton gebruikte die nieuwe tak van de wiskunde om de beweging van planeten te verklaren en tal van andere fysische problemen op te lossen. Leibniz benaderde de analyse vanuit een puur wiskundig standpunt. Zijn opbouw en notaties waren dan ook veel consequenter dan die van Newton. De meeste notaties van Leibniz worden tot op de dag van vandaag gebruikt. Hoewel de analyse heel bruikbaar en succesvol bleek als hulpmiddel in de wetenschappen, miste de theorie een gefundeerde verantwoording. Men wist met andere woorden dat de analyse werkte, maar men wist niet waarom. Het duurde tot 1820 voor men erin slaagde de wiskundige analyse met een strikte logica te onderbouwen. Dat hebben we te danken aan de Franse wiskundige Augustin Cauchy, die in zijn werk gebruikmaakte van het begrip limiet. Nadien ontwikkelde de analyse zich verder tot een van de rijkste en meest toepasbare takken van de wiskunde.

Het Engelse genie Isaac Newton (1642-1727) wordt als een van de belangrijkste wetenschappers aller tijden beschouwd. Hij was bijzonder veelzijdig en deed heel zijn leven, slechts onderbroken door een periode van geestesziekte in 1693, onderzoek in de wiskunde, fysica, chemie, dynamica, optica, werktuigkunde, sterrenkunde en theologie. Newton was professor aan de universiteit van Cambridge, maar deed zijn belangrijkste ontdekkingen tussen 1664 en 1666, toen de universiteit gesloten was vanwege de heersende pest in Engeland.

Zijn bevindingen beschreef hij in zijn 2 belangrijkste werken: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) en Optics (1704). In het eerste boek openbaarde hij hoe zijn ‘nieuwe wiskunde’ de universele zwaartekracht en de beweging van lichamen op aarde, van planeten, kometen en andere hemellichamen kon beschrijven en verklaren. In Optics beschreef hij de samenstelling van wit licht en de theorie dat licht uit deeltjes bestaat.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

143

Oefeningen REEKS A 24

Bereken de helling van de grafieken in het punt A. a) y 5

Helling in A(3, 3):

4 A

3 2 1

x –2

–1

–1 –2

–3

–5

pl aa

–4

f(x) = –x2 + 4x

–2

–1

1 –2 –3

y 2 1

Helling in A(1, −3):

jk ex

–4 –5

–6 –7 –8 –9

–10 –11

f(x) = x3 – 4x2

y 3 2

Helling in A(0, −1):

1 x –2

–1

1 –1 –2

1 2

f(x) = –2x3 + 3x – 1

–3 –4 –5

3 4 5 6

144

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

REEKS B Raf rijdt 2 uur met zijn auto. Zijn afgelegde weg s, in km, na t uren wordt gegeven door de functie s(t) = 150t 2 − 50t 3 (0 < t < 2). Hij wordt, exact 1 uur na zijn vertrek, geflitst. Bereken zijn ogenblikkelijke snelheid.

De dagelijkse winst W, in euro, van een klein bedrijfje dat x kristallen glazen per dag verkoopt, wordt gegeven door de functie W(x) = −0,016 4x 3 + 1,3x 2 − 6,928 6x − 250. Bereken de marginale winst bij de verkoop van het 40e glas.

4 3 Het volume van een smeltend blok ijs wordt gegeven door de functie V(t) = ␲ ⴢ (150 − t) . 3 Daarbij is t de tijd, in h, en V het volume in cm 3. Bereken DV(5) en geef de fysische betekenis.

jk ex

pl aa

Het bevolkingsaantal in Afrika wordt benaderd door de functie a(x) = 0,02x 2 + 22,63x + 1 003. Hierbij is a het aantal mensen in miljoenen en x het aantal jaren na 2010. Bereken Da(20) en geef de demografische betekenis.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

145

5.6

Afgeleide functie

5.6.1 Voorbeeld Neem de functie f(x) = x 2 − 4.

y 11 10

Vul de tabel in.

9 8

−3

−2

−1

+Df(3)

t–1

6 5

Df (a)

4 3 2 1

x –8 –7

–6 –5

–4

–3

–2

–1

–2 +1

pl aa

• Voer de functie in.

–4 –5

+Df(–1)

jk ex

• In elk getal bereken je de afgeleide (bijvoorbeeld in het basisscherm met nDeriv).

Je ziet dat Df (a) =

De vergelijking y =

geeft het verband weer tussen de afgeleide y en een getal x.

Dat verband is zelf een functie en wordt de afgeleide functie van f genoemd.

Je noteert die functie als Df.

Dus: Df (x) = Opmerking

Je kunt met de grafische rekenmachine ook een afgeleide functie invoeren. Daarvoor voer je nDeriv(Y 1 ,X,X) in de functie-editor in. distr

1 2 3

Y 1 verkrijg je met

vars

Y L1

Daarna kun je eenvoudig een lijst met functiewaarden van de afgeleide functie genereren.

4 5 6

146

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.6.2 Definitie Definitie

Afgeleide functie De afgeleide functie van een functie f is de functie Df : x 哫 Df (x). Voorbeelden Maak gebruik van de grafische betekenis om van de functies de afgeleide functie te bepalen. afgeleide functie

f (x) = 2

Df (x) =

f(x) = −3x

Df(x) =

f (x) = x 2

Df (x) =

verklaring

jk ex

pl aa

functie

Het woord ‘afgeleide’ is een vertaling van het Franse woord ‘dérivé’, dat voor het eerst voorkomt in de geschriften van de Franse wiskundige Arbogast in 1800. Het is dan ook letterlijk een functie die ‘afgeleid’ is van een oorspronkelijke functie. Arbogast heeft zijn inspiratie wel gehaald bij de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die de notatie D x f (x) eerder al gebruikte. Aan Euler hebben we ook de notatie f(x) voor een functie te danken. Het woord ‘functie’ komt van Descartes.

Newton gebruikte ‘fluent’ voor functies en ‘fluxion’ voor afgeleide. De afgeleide van een fluent x, afhankelijk van de tijd t, noteerde hij als x (t) . •

dy voor de verandering dx van de y-waarden als de x-waarden zeer kleine (‘infinitesimale’) veranderingen ondergaan. Die notatie wordt nog altijd veel gebruikt, vooral in de fysica.

Leibniz gebruikte dan weer de notatie

In veel boeken vind je ook de notatie f⬘(x), voor het eerst gebruikt door de Franse wiskundige Lagrange in 1797.

Leibniz

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

147

5.7

Rekenregels voor afgeleiden

5.7.1 Afgeleide van een constante functie y

De grafiek van een constante functie is

y=c

In elk punt van deze grafiek is de raaklijn De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus altijd gelijk aan

Dc =

Rekenregel 1

De grafiek van de functie f(x) = x is In elk punt van deze grafiek is de raaklijn

pl aa

5.7.2 Afgeleide van de functie f(x) = x

–3

Dx =

jk ex

Rekenregel 2

y=x

–2

–1

x 3

–1 –2

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus altijd gelijk aan

y 2

5.7.3 Afgeleide van een functie f (x) = x n (n is een natuurlijk getal ⬎ 1) Afgeleide van de functie f(x) = x 3

t–2

• Vul de tabel in. −3

−2

−1

Df (x)

1 2

• Besluit: Dx 3 =

5 6

148

3 –6 –5 –4 –3 –2 –1

+Df(1) x 1

–2 –3 –4 +Df(–2) –5 –6 –7 –8 +1 –9

• Stel, met ICT, de puntenkoppels voor in een spreidingsdiagram en bepaal de vergelijking van de regressielijn.

3 4

7 6 5 4 3 2 1

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Afgeleide van de functie f(x) = x 4 De grafiek van de afgeleide functie van f(x) = x 4 doet je denken aan de grafiek van de functie

zal Dx 4 =

Vermits Df (1) = Overzicht f (x) =

Df (x) =

x4 Rekenregel 3

Dx n =

pl aa

(n is een natuurlijk getal)

5.7.4 Afgeleide van een veelvoud

Neem de functies 1 f(x) = x 2, g(x) = 2x 2 en h(x) = x 2. 2 Vul de tabel in. Gebruik ICT voor Dg(x) en Dh(x).

y 6

jk ex

5 4

−2

−1

Df (x)

Dg(x)

x 2

Dh(x)

–1

Wat is het verband tussen Dg(x), Dh(x) en Df(x)?

Rekenregel 4

D [r ⴢ f (x)] =

(r is een reëel getal)

Voorbeeld Het volume van een bol met straal r is V(r) =

4 ␲ ⴢ r 3. Bereken DV(5) en geef de betekenis. 3

Oplossing: • DV(r) =

⇒ DV(5) =

• Betekenis:

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

149

5.7.5 Afgeleide van een som Neem de functies f (x) = x 3, g(x) = x 2 en f(x) + g(x) = x 3 + x 2. • Df (x) =

Dg(x) =

• Vul de tabel in. Gebruik ICT voor D[f(x) + g(x)] . x

−2

−1

Df (x) Dg(x)

pl aa

• Wat is het verband tussen D[f(x) + g(x)] , Df (x) en Dg(x)? Rekenregel 5

D [f (x) + g(x)] =

5.7.6 Voorbeelden • Bereken de afgeleiden.

D [f (x) + g(x)]

D(2x 3 + 4x 2 − 5x + 3) = D (2x 3) + D(4x 2) − D(5x) + D3 = 2 ⴢ Dx 3 + 4 ⴢ Dx 2 − 5 ⴢ Dx + 0

jk ex

= D (–x 3 + 8x 2 − 7)

1 • Bepaal de helling van de grafiek van f(x) = − x 2 + 3x − 4 2 in het punt P(5, f(5)). Oplossing

1 x –2

–1

–1 –2

–3 –4 –5 –6

Á De helling in P is

• Diego en Isabella runnen een schoonheidssalon. Hun dagelijkse opbrengst TO, in euro, als ze x klanten over de vloer krijgen, is gelijk aan TO(x) = −0,005x 3 + 0,15x 2 + 30x − 150. Bereken de marginale opbrengst van de 30e klant. Oplossing

3 4 5

Á MO(30) =

150

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.7.7 Afgeleide van een product Voorbeeld 1 Neem de functies f (x) = x 2, g(x) = 3x + 1 en h(x) = f(x) ⴢ g(x) = x 2 ⴢ (3x + 1) = 3x 3 + x 2 Df (x) =

, Dg(x) =

, Dh(x) =

Df (x) ⴢ Dg(x) = Dus: D [f (x) ⴢ g(x)] ≠ Df (x) ⴢ Dg(x).

Voorbeeld 2 De opbrengst TO van een bedrijf is het product van de prijs p per stuk en het aantal verkochte eenheden q.

pl aa

Dus: TO = p ⴢ q. TO is het maatgetal van de oppervlakte van een rechthoek. 䉭p

De figuur hiernaast toont de verandering 䉭TO van de opbrengst als zowel de prijs als de omzet verandert. Op de figuur zie je: 䉭TO = q ⴢ 䉭p + p ⴢ 䉭q + 䉭p ⴢ 䉭q. Als de prijs- en omzetverandering klein zijn, dan is de term 䉭p ⴢ 䉭q verwaarloosbaar t.o.v. de eerste 2 termen, zodat 䉭TO ≈ q ⴢ 䉭p + p ⴢ 䉭q.

䉭q

D [f (x) ⴢ g(x)] = g(x) ⴢ Df (x) + f (x) ⴢ Dg(x)

jk ex

Rekenregel 6

Voorbeeld 3

D[(2x 3 − x) ⴢ (3 − x 2)] = (3 − x 2) ⴢ D (2x 3 − x) + (2x 3 − x) ⴢ D (3 − x 2)

= =

Voorbeeld 4

Bereken D[(5x − 1) ⴢ 2x 2] op 2 manieren. productregel

haakjes uitwerken

D [(5x − 1) ⴢ 2x 2]

= D (10x 3 − 2x 2)

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

151

5.7.8 Afgeleide van een macht Voorbeeld 1 2

D (2x − 1) = D [(2x − 1) ⴢ (2x − 1)] = (2x − 1) ⴢ D (2x − 1) + (2x − 1) ⴢ D(2x − 1) = 2 ⴢ (2x − 1) ⴢ D (2x − 1) = 2 ⴢ (2x − 1) ⴢ 2 2

Als f (x) = 2x – 1, dan geldt dus: D[f(x)] = 2 ⴢ f(x) ⴢ Df (x). Rekenregel 7

De kettingregel n

D [f (x)] = n ⴢ [f (x)]

n−1

ⴢ Df (x)

Voorbeeld 2 3

= 3 ⴢ (2x 2 + 3x) ⴢ D(2x 2 + 3x) =

D (2x 2 + 3x)

pl aa

Voorbeeld 3

4 ␲ ⴢ (150 − t) 3. 3 Daarbij is t de tijd, in h, en V het volume, in cm 3. Bereken DV(5) en geef de fysische betekenis. Het volume van een smeltend blok ijs wordt gegeven door de functie V(t) =

Oplossing:

Á DV(5) =

jk ex

Voorbeeld 4

De jaarlijkse winst W, in euro, van een firma die q lasertoestellen voor chirurgische doeleinden produceert, is gelijk aan 1 W(q) = −200 000 + 4 000q − q 2. 2 Het aantal lasertoestellen dat per jaar geproduceerd kan worden, is afhankelijk van het aantal werknemers n in het bedrijf en 1 2 n . 10 Bereken, met afgeleiden, de meerwinst die de firma zal boeken als er een 11e werknemer bij komt.

wordt gegeven door de functie q(n) = 100n +

Oplossing:

1 2 3 4 5 6

152

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.8

Raaklijn aan een grafiek in een punt

5.8.1 Vergelijking van een raaklijn opstellen De vergelijking van een rechte door P(x 1 , y 1 ) en met richtingscoëfficiënt m is y − y 1 = m ⴢ (x − x 1 ). Neem een functie f, afleidbaar in een getal a van dom f. De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van f in het punt P(a, f(a)) is

y y = f(x) ta

+Df(a)

y − y1 = m ⴢ ( x − x1 ) ↓ ↓ ↓ f(a) Df (a) a

f (a)

x a+1

y − f(a) = Df(a) ⴢ (x − a)

De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P(a, f(a)) is y − f (a) = Df(a) ⴢ (x − a).

5.8.2 Voorbeeld

Formule

pl aa

• Teken de raaklijn aan de grafiek van de functie f(x) = −

jk ex

Oplossing

1 3 1 2 x − x + 2x + 2, in het punt P (−2, 0). 2 2

Á Df (x) =

y 4 3 2

Á Df (−2) =

Á Vergelijking t −2 :

1 x –4

–3

–2

–1

–1 –2

• Welke bijzondere ligging hebben de raaklijnen in de punten waar de functie een extreme waarde (maximum of minimum) vertoont? • Aan welke voorwaarde moet de afgeleide van f in een getal a voldoen opdat f in a een extreme waarde zou hebben?

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

153

Oefeningen REEKS A Bepaal de afgeleide functie. a) f(x) = 2x 2 − 5x + 3

e) f(x) = −7x 3 + 5x 2 − 4x + 15

b) f(x) = x 3 + 4x 2 − 7

f) f(x) =

2 3 5 2 x + x − 3x + 1 3 2

pl aa

c) f(x) = −5x 3 + 7x

25 4 3 5 x − 12x 2 − x + 5 3 6

g) f(x) =

Bepaal de helling van de grafiek van de functies in het gegeven punt. P (−1, f(−1))

c) f(x) = −

b) f(x) = 2x 3 − x 2 + 3x − 4

P (3, f(3))

d) f(x) = 2x 4 − 3x 3 + 5x − 1

a) f(x) = −x 2 + 4x − 2

1 2 3 4 5 6

154

1 3 8 2 x − x + 12x 5 7

h) f(x) = −9x 4 +

jk ex

d) f(x) = 6x 3 − 7x 2 + 4x − 10

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5 3 1 2 x + x − 6x 2 4

P(−2, f(−2))

冉21 , f 冉21 冊冊

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functies in het gegeven punt. a) f(x) = x 2 + 3x + 4

P (2, f(2))

e) f(x) = 3x 3 − 2x 2 − 4x + 9

b) f(x) = −2x 2 + 8x + 10

P (−1, f(−1))

f) f(x) =

2 3 3 2 x + x − 2x + 4 3 2

P (3, f(3))

冉21 , f 冉21 冊冊

P (0, f (0))

g) f(x) = −0,1x 3 + 3x 2 − 1,7x + 4,5

P(−2,f(−2))

P (1, f(1))

h) f(x) = 1,25x 3 − 5,65x 2 + 3,75x

P (−1, f(−1))

jk ex

c) f(x) = 2x 3 − x 2 + 1

pl aa

d) f(x) = −2x 3 + x 2 − 7x

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

155

REEKS B 32

Als je op de planeet Mars een voorwerp laat vallen van een hoogte van 50 m, dan is de hoogte h, in m, van het voorwerp na t seconden gelijk aan h(t) = 50 − 1,86t 2. a) Bepaal de snelheid v, in m/s, in functie van de tijd t, in seconden.

b) Bepaal de snelheid van het voorwerp na 3 s.

pl aa

c) Bepaal de afgeleide van de functie v.

d) Geef de fysische interpretatie van die afgeleide.

De concentratie C, in mg/l, van een medicijn in het bloed, t minuten nadat het is toegediend, wordt gegeven door de functie C(t) = −0,016t 2 + 2,32t.

jk ex

a) Bereken DC(100).

b) Geef de betekenis van die afgeleide.

De lengte l, in cm, van een kind tijdens zijn eerste levensjaar wordt gegeven door de functie l (x) = −0,132 1x 2 + 3,593 8x + 50,7. Daarbij is x de leeftijd in maanden (0 < x < 12). Bereken, met afgeleiden, de groei van het kind tijdens de zevende maand.

1 2 3 4 5 6

156

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

Het vermogen P, in kW, van een windmolen is P = 0,35 ⴢ v 3. Daarbij is v de windsnelheid in m/s. Bereken, met afgeleiden, de toename van het vermogen, als de windsnelheid toeneemt van 19 m/s naar 20 m/s.

Het percentage van de bevolking in Vlaanderen die in armoede leefde, van 2005 tot 2015, wordt benaderd door de functie p(x) = −0,03x 3 + 0,490 3x 2 − 2,107x + 17. Hierbij is p het percentage en x het aantal jaren na 2005 (0 < x < 10).

pl aa

a) Bereken Dp(7).

Het aantal faillissementen f in België wordt benaderd door de functie f(x) = −1,052x 4 + 28,833x 3 − 171,14x 2 + 447,46x + 7 289. Daarbij is x het aantal jaren na 2002.

jk ex

b) Geef de demografische betekenis van de berekende afgeleide.

a) Bereken Df (8).

b) Geef de betekenis van dat resultaat.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

157

Een bedrijf maakt externe harde schijven. Als het q harde schijven per uur produceert, dan is de kostprijs TK, in euro, gegeven door de functie TK(q) = 0,02q 3 − 1,5q 2 + 37,5q + 1 350. a) Bereken de marginale kostprijs om de 30e schijf te produceren.

b) Teken met ICT de grafiek van de functie TK.

pl aa

c) Bepaal met ICT de nulwaarden van de marginale kostenfunctie.

d) Wat is er bijzonder aan de grafiek van de totale kosten als MK = 0?

Een koffiebranderij heeft laten berekenen dat haar maandelijkse winst W, in euro, gelijk is aan 7 71 17 x3 + x 2 − x − 800. W(x) = − 180 000 1 800 3 Daarbij is x het aantal kilogram koffie dat ze per maand verkoopt.

jk ex

e) Geef de economische betekenis van dat punt.

a) Bereken de marginale winst MW bij de verkoop van de 500e kg.

b) Bepaal met ICT bij welke waarden van x de marginale winst gelijk is aan 0.

c) Teken met ICT de grafiek van de functie W. 1 2

d) Geef de economische betekenis van de x-waarden waarvoor MW = 0.

3 4 5 6

158

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

De afgelegde weg s, in km, van een motorrijder, t uren nadat hij ons huis is gepasseerd, wordt gegeven door de functie s(t) =

50 3 460 t â&#x2C6;&#x2019; 70t 2 + t. 3 3

a) Bereken zijn gemiddelde snelheid in het derde uur van zijn rit.

c) Bepaal zijn versnelling in km/h 2 na 1 uur.

pl aa

b) Hoe snel rijdt hij 2 uur na zijn vertrek?

jk ex

d) Wat betekent dat resultaat?

Een bedrijf maakt kartonnen dozen waarvan de lengte van het grondvlak 3 dm groter is 1 dan de breedte. De hoogte van de doos is van de breedte van het grondvlak. 3 a) Bepaal het verband tussen het volume V en de breedte x van het grondvlak.

schets

b) Bereken DV(4).

c) Geef de fysische betekenis van die afgeleide.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

159

Bepaal de afgeleide functie. 3

a) f(x) = 3x ⴢ (x 2 + 9)

f) f(x) = (x 2 + 2)

b) f(x) = (x 2 − 4) ⴢ (3 − 2x)

g) f(x) = 3 ⴢ (8 − 5x)

h) f(x) = −2 ⴢ (3x 2 − 6x + 7)

jk ex

c) f(x) = (x + 2) ⴢ (−3x 2 + 4x − 2)

pl aa

i) f(x) = (x − 3) ⴢ (3x + 2)

d) f(x) = (3 − 5x 2) ⴢ (2x 2 + 4x − 5)

e) f(x) = (2x − 3)

1 2 3 4 5 6

160

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

j) f(x) = (3x + 2) ⴢ (1 − 5x)

Stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van de functies in het gegeven punt. a) f(x) = (x − 1) ⴢ (x 2 − 2)

P (2, f(2))

b) f(x) = (4x + 3) ⴢ (−3x 2 + 2x)

P (−1, f(−1))

P (−2, f(−2))

jk ex

c) f(x) = (2x + 3)

pl aa

d) f(x) = (6 − 7x)

P (0, f(0))

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

161

In november waarde een griepvirus door onze scholengemeenschap. Het aantal afwezige leerlingen 3

pl aa

De omzet van een bedrijf wordt gegeven door de functie TO(q) = −0,005q 2 + 20,32q − 1 000. Daarbij is q het aantal verkochte eenheden. De vraag q is afhankelijk van de prijs per stuk en wordt gegeven door de functie q(p) = 4 300 – 220p. Bepaal met afgeleiden de marginale omzet, als de prijs per eenheid daalt van 10 naar 9 euro.

jk ex

kan benaderd worden met de functie z (x) = 0,25 ⴢ (x − 30) + 6 ⴢ (x − 30) + 1 350. Daarbij is x de datum in november en z het aantal zieken. Bereken Dz(10) en geef de betekenis.

1 2 3 4 5 6

162

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

REEKS C 46

Je slaat met een tennisracket een balletje verticaal omhoog. De hoogte h, in m, van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h(t) = â&#x2C6;&#x2019;4,9t 2 + 25t + 1,25. a) Bereken met afgeleiden na hoeveel seconden de bal zijn hoogste punt bereikt.

pl aa

b) Gedurende hoeveel seconden is de snelheid van de bal hoger dan 20 m/s? (Let op: een vallende bal heeft een snelheid die negatief wordt gerekend.)

Het profiel van een heuvel wordt beschreven door de functie h(x) = â&#x2C6;&#x2019;21x 3 + 65x 2 + 100. Hierbij is x de afstand, in km, tot de voet (0 < x < 3) en h de hoogte, in m. a) Teken met ICT de grafiek van de functie h.

jk ex

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage tussen de voet en de top (let op de eenheden).

c) Teken met ICT een toenamediagram met stapgrootte 300 m.

d) In welk deel van de heuvel is de gemiddelde helling per 300 m het grootst?

e) Bepaal de functie die in elk punt de ogenblikkelijke helling van de heuvel geeft.

f) Teken met ICT de grafiek van die functie. g) Hoe zie je op die grafiek waar de top van de heuvel ligt?

h) In welk punt van de heuvel is het stijgingspercentage het hoogst? i) Bepaal het stijgingspercentage in dat punt: j) Gedurende hoeveel meter is de helling van de heuvel groter dan 4 %?

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

163

STUDIEWIJZER Afgeleiden van veeltermfuncties 5.1 Limieten KENNEN Als de x-waarden naderen tot a, dan naderen de functiewaarden tot b: lim f (x) = b. x→a

Als de x-waarden naderen tot a, dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner: lim f (x) = ±∞. x→a

Als de x-waarden steeds groter/kleiner worden, dan naderen de functiewaarden tot b: lim f (x) = b. x → ±∞

Als de x-waarden steeds groter/kleiner worden, dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner: lim f (x) = ±∞. x → ±∞

Een functie is continu in een getal a als en slechts als lim f (x) = f (a). x→a

x→ a ⬍

pl aa

Als de x-waarden naderen tot a, met x < a, dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner: lim f (x) = ±∞.

Als de x-waarden naderen tot a, met x > a, dan worden de functiewaarden steeds groter/kleiner: lim f (x) = ±∞. x→ a ⬎

Als f een veeltermfunctie en a een reëel getal is, dan geldt: lim f (x) = f (a). x→a

Als f een veeltermfunctie is, dan geldt: lim n

x → ±∞

(a n x n).

(–∞) = −∞ als n oneven is.

r ⴢ (+∞) = +∞ als r ⬎ 0.

r ⴢ (–∞) = −∞ als r ⬎ 0.

共–∞兲 n = +∞ als n even is.

r ⴢ (+∞) = −∞ als r ⬍ 0.

r ⴢ (–∞) = +∞ als r ⬍ 0.

jk ex

(+∞) n = +∞

f (x) = lim

x → ±∞

KUNNEN

Grafisch en numeriek limieten bepalen van functies en er de betekenis van geven. Limieten van veeltermfuncties algebraïsch berekenen en er de betekenis van geven.

5.2 Toenamediagrammen

KENNEN

KUNNEN Toenamediagrammen tekenen met ICT en interpreteren.

1 2 3 4 5 6

164

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

5.3 Gemiddelde verandering KENNEN f (b) − f (a)

. b−a Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f (b) − f (a) 䉭y = is de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten P (a, f (a)) en Q(b, f (b)) b−a 䉭x

Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b] is

van de grafiek van f.

KUNNEN Het differentiequotiënt berekenen van een functie in een interval en er de betekenis van geven.

5.4 Ogenblikkelijke verandering

pl aa

KENNEN

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P (a, f (a)) is f (a + h) − f (a) lim . h h→0 Die richtingscoëfficiënt is een maatgetal voor de (ogenblikkelijke) helling van de grafiek in P.

KUNNEN

Met limieten en ICT de ogenblikkelijke verandering van een functie in een getal berekenen, er de grafische betekenis en de betekenis in de context van een vraagstuk van geven.

• •

jk ex

5.5 Afgeleide van een functie in een getal

Als lim

f (a + h) − f (a) h

h→0

lim

f (a + h) − f (a)

h→0

KENNEN

een reëel getal is, dan is f afleidbaar in a.

is de afgeleide van f in a en noteer je Df (a).

Een veeltermfunctie is afleidbaar in elk reëel getal. De snelheid is de afgeleide van de afgelegde weg. De versnelling is de afgeleide van de snelheid. De marginale opbrengst/kostprijs is de afgeleide van de totale opbrengst/kostprijs.

5.6 Afgeleide functie KENNEN

De afgeleide functie van een functie f is de functie Df ⬊x 哫 Df (x).

5.7 Rekenregels voor afgeleiden KENNEN Dc = 0 Dx = 1

Dx = n ⴢ x n

n−1

D [r ⴢ f (x)] = r ⴢ Df (x) D [f (x) + g(x)] = Df (x) + Dg(x)

D [f(x) ⴢ g(x)] = g(x) ⴢ Df (x) + f(x) ⴢ Dg(x)

D [f(x)] = n ⴢ [f(x)]

n−1

ⴢ Df (x)

KUNNEN Met behulp van de rekenregels de afgeleide functie van een veeltermfunctie bepalen. De afgeleide van een product van veeltermfuncties en van een macht van een veeltermfunctie berekenen. De afgeleide van een functie interpreteren in vraagstukken.

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

165

5.8 Raaklijn aan een grafiek in een punt KENNEN De vergelijking van de raaklijn t a aan de grafiek van een functie f in het punt P (a, f (a)) is y − f (a) = Df(a) ⴢ (x − a).

KUNNEN De vergelijking van de raaklijn bepalen aan de grafiek van een veeltermfunctie in een gegeven punt.

jk ex

pl aa

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

166

HOOFDSTUK 5 I AFGELEIDEN VAN VEELTERMFUNCTIES

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

6.1

Voorbeelden

6.2 Stijgen, dalen en extrema 6.3 Extremumvraagstukken

jk ex

pl aa

Studiewijzer

6.4 Vorm van een kromme en buigpunten

₁₆₈ ₁₆₉ ₁₇₀ ₁₇₁ ₁₈₇

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

167

6.1

Voorbeelden

6.1.1 Toerisme in Vlaanderen Het aantal overnachtingen in Vlaamse hotels tussen 1998 en 2005 wordt benaderd door de functie a(x) = −0,427 2x 3 + 4,395 4x 2 − 9,801x + 60. Daarbij is a het aantal mensen in honderdduizenden en x het aantal jaren na 1998. (bron: FOD Economie – Middenstand en Energie)

Je ziet de grafiek van de functie a in het interval [0, 7] en de grafiek van de afgeleide functie Da.

pl aa

Vul het schema aan.

y 70 60 50

30 20 10

–

1 1,40

5 5,44

–

jk ex

–10

1,40

Da(x)

MIN

5,44

y = a(x)

7 y = Da(x)

68,0

Voor de functie a kun je dus besluiten: • Da(x) ⬎ 0 ⇒ • Da(x) ⬍ 0 ⇒ • a bereikt een relatief extremum in b ⇒

In welk jaar was het aantal boekingen het hoogst?

In welk jaar waren er het minst boekingen?

6.1.2 Klimaatopwarming

De gemiddelde jaartemperatuur T, in ºC, in Ukkel wordt benaderd door de functie 3

T(x) = 3,241 ⴢ 10 −6 ⴢ (x − 60) + 9,8. Daarbij is x het aantal jaren na 1900. • DT(x) = 9,723 ⴢ 10 −6 ⴢ (x − 60)

• Nulwaarde van DT :

1 2 3 4 5

• Teken met ICT de grafiek van de functie T en vervolledig het schema.

DT(x)

• Wat is de fysische betekenis van dat buigpunt?

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

• In de nulwaarde van de afgeleide functie bereikt de functie T dus geen extreme waarde, maar wel een buigpunt. De grafiek maakt er een overgang van een bolle kromme naar een holle kromme.

168

9,8

6.2

Stijgen, dalen en extrema

6.2.1 Algemeen Eigenschap

• Als Df (a) ⬎ 0, dan is de grafiek van f stijgend in a. • Als Df (a) ⬍ 0, dan is de grafiek van f dalend in a. • Als Df (a) = 0, dan bereikt de grafiek van f Á een relatief extremum in a, als Df in a van teken verandert. Á een buigpunt in a, als Df in a niet van teken verandert.

6.2.2 Voorbeelden

pl aa

Voorbeeld 1

Onderzoek het verloop van de functie f(x) = 2x 3 − 6x 2 − 18x + 3. Oplossing: • Df (x) =

• nulwaarden van Df :

jk ex

• schema: x

Df (x)

−1

3 −

MAX 13

MIN −51

Voorbeeld 2

Onderzoek het verloop van de functie f(x) = −x 3 + 3x 2 − 3x + 5.

Oplossing:

• Df (x) =

• nulwaarden van Df:

• schema: x Df (x) f

1 −

−

BGPT 4 HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

169

6.3

Extremumvraagstukken

6.3.1 Maximale opbrengst Diego en Isabella runnen een schoonheidssalon. Hun dagelijkse opbrengst TO, in euro, als ze x klanten over de vloer krijgen, is gelijk aan TO(x) = −0,005x 3 + 0,15x 2 + 30x − 150. Hoeveel klanten moeten ze per dag verzorgen om een maximale opbrengst te hebben? Bepaal die maximale opbrengst. Oplossing • DTO(x) =

pl aa

• nulwaarden van DTO, op een eenheid nauwkeurig:

• schema: x DTO(x)

−150

MAX 1 122,32

jk ex

6.3.2 Minimale oppervlakte x cm

In een vierkant met zijde 10 cm wordt op iedere zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.

Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is. Bepaal die oppervlakte.

10 cm

Oplossing

• De oppervlakte van het ingeschreven vierkant is z 2 =

(Pythagoras)

• f (x) =

(uitwerking van het rechterlid)

• Df (x) = • nulwaarde van Df : • schema: 1

Df (x)

4 5 6

170

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

10 −

0 MIN 50

6.4

Vorm van een kromme en buigpunten

6.4.1 Het eerste kind In België wordt het verband tussen de kans op het krijgen van een eerste kind en de leeftijd van een vrouw gegeven door de functie p(x) = 0,002x 3 − 0,232 8x 2 + 8,123 5x − 77,423 (15 ⬍ x ⬍ 44). Daarbij is p het aantal procent van de vrouwen dat op de leeftijd x een eerste kind krijgt. (bron: Federaal Planbureau) • Op welke leeftijd is de kans maximaal? Hoeveel procent van de vrouwen krijgt hun eerste kind op die leeftijd?

Oplossing

pl aa

Á Dp(x) =

Á nulwaarden van Dp, op een eenheid nauwkeurig:

Á schema: x

jk ex

Dp(x)

• Je ziet een toenamediagram met stapgrootte 1 jaar.

2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00

–0,20

–0,40 –0,60 –0,80 –1,00

Op welke leeftijd is de daling van het vruchtbaarheidscijfer het grootst?

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

171

• Je ziet de grafiek van de functie p en van de afgeleide functie Dp. Á De grafiek van de functie p heeft een buigpunt in het punt met x-coördinaat 39 (afgerond op een eenheid). In dat punt is de afname van het vruchtbaarheidscijfer maximaal.

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = p(x)

x 5

–1 –2 –3

y = Dp(x)

Á De kromme y = p(x): Â is bol als de grafiek van de afgeleide functie daalt; Â is hol als de grafiek van de afgeleide functie stijgt; Â bereikt een buigpunt als de functie Dp een extreme waarde bereikt.

pl aa

• De afgeleide functie van de functie Dp heeft als voorschrift D [Dp(x)] = D(0,006x 2 − 0,465 6x − 8,123 5) = 0,012x − 0,465 6.

Die functie is de tweede afgeleide functie van p. Je noteert die D 2p. Dus D 2p(x) = 0,012x − 0,465 6. nulwaarde van D 2p:

(op een eenheid nauwkeurig).

• Het uitgebreide verloop (stijgen, dalen, extrema, holle/bolle kromme, buigpunten) van de functie p wordt in de tabel weergegeven. 15

jk ex

x Dp(x)

D 2p(x)

• Vul de tabel aan. teken van D 2p(x)

⫹ 1

⫺

2 3

4 5 6

172

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

verloop van Dp

vorm van de grafiek y = p(x) (bol/hol)

6.4.2 Tweede afgeleide van een functie Tweede afgeleide De afgeleide van de afgeleide functie Df is de tweede afgeleide van de functie f: D 2 f 共x兲 = D[Df (x)].

Eigenschap

• Als D 2 f (a) > 0, dan is de grafiek van f hol in a. • Als D 2f (a) < 0, dan is de grafiek van f bol in a.

pl aa

Betekenis van een buigpunt bij derdegraadsfuncties

• Als D 2 f (a) = 0, dan bereikt de grafiek van f een buigpunt in a, als D 2 f in a van teken verandert.

jk ex

D 2 f (a) = 0, Df (a) ⬎ 0 en Df heeft 2 nulwaarden. De grafiek bereikt een maximale stijgingsgraad in het punt P(a, f (a)).

ki In a

D 2f(a) = 0, Df (a) ⬍ 0 en Df heeft 2 nulwaarden. De grafiek bereikt een maximale dalingsgraad in het punt P(a, f(a)).

D 2 f (a) = 0 en Df (x) ⬎ 0 als x ≠ a. De grafiek bereikt een minimale stijgingsgraad in het punt P(a, f (a)). Bijzonder geval: Df (a) = 0. De minimale stijgingsgraad in P is 0.

D 2 f(a) = 0 en Df (x) < 0 als x ≠ a. De grafiek bereikt een minimale dalingsgraad in het punt P(a, f(a)). Bijzonder geval: Df (a) = 0. De minimale dalingsgraad in P is 0.

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

173

6.4.3 Voorbeelden Voorbeeld 1 Bepaal het uitgebreide verloop van de functie f(x) =

1 3 x − x 2 − 3x + 2. 3

Oplossing: • Df (x) = • nulwaarden van Df :

• D 2 f (x) =

• nulwaarde van D 2 f :

pl aa

• schema: x Df (x) D 2f (x)

Voorbeeld 2

De afgelegde weg s, in km, van een motorrijder, t uren nadat hij je huis is gepasseerd, wordt gegeven door de functie 50 3 460 t − 70t 2 + t. 3 3

jk ex

s(t) =

a) Hoe snel reed hij toen je hem zag voorbijrijden?

b) Op welk moment reed hij het traagst? Wat was zijn snelheid toen?

Oplossing: a) v(t) =

v(0) =

b) nulwaarden van v: a(t) = nulwaarde van a: 1

v(t)

a(t)

Hij reed het traagst na 6

174

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

uur en

minuten. Zijn snelheid was

km/h.

Oefeningen REEKS A Je ziet de grafieken van 6 functies en de bijbehorende afgeleide functies. Welke grafieken horen bij elkaar? 1)

y 6 5 4 3 2 1

–2

–2 –3 –4

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

–1 –1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–2

–3

–1 –1 –2 –3 –4

–1 –2 –3 –4 –5

–4

8 7 6 5 4 3 2 1

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5

x 1

functie

6 5 4 3 2 1

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

7 6 5 4 3 2 1 –3

–2

–1 –1

–1 –1 –2 –3 –4 –5

f) 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1–1 –2

–3

–2

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–2 –1

–1 –1 –2 –3

5 4 3 2 1

–2

jk ex

em –3

–3 –2 –1 –1

–3

4) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

pl aa

8 7 6 5 4 3 2 1

y 2 1 –3

x 1

–2

–1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

afgeleide functie

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

175

Onderzoek het verloop. a) f (x) = x 3 − 3x 2

x Df (x)

0 +

2 −

MAX 0

MIN −4

−1

pl aa

b) f(x) = −2x 3 + 6x

Df (x)

jk ex

c) f(x) = −4x 3 − 3x 2 − 5

−

MIN −4

−

Df (x)

−

0 +

MIN 21 − 4

−

MAX 4

1 2

−

MAX −5

d) f(x) = x 3 + 6x 2 + 12x − 3

x Df (x) f

−2 +

0 BGPT −11

e) f(x) = −x 3 + x 2 − 2x + 6 1

Df (x) 3

4 5 6

176

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

−

Onderzoek het verloop. a) f (x) = x 3 − 4x 2 + 4x − 2 2 3

x Df (x)

2 −

MAX 22 − 27

MIN −2

pl aa

b) f(x) = −2x 3 + 10x 2 − 20x + 5

Df (x)

−

1 3 x + 3x 2 − 9x + 7 3

jk ex

c) f(x) = −

Df (x)

−

BGPT −2

d) f(x) = 4x 3 + 6x 2 − 36x − 9

e) f(x) =

x Df (x)

−2,30 +

MAX 56,87

0,15

1,30 −

MIN −36,87

5 1 3 1 2 1 x − x + x− 4 3 12 2

Df (x) f

0 MAX −2,49

0,74 −

MIN −2,52

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

177

REEKS B 4

Een bedrijf produceert fietscomputers. De dagelijkse opbrengst TO, in euro, als het x stuks per dag verkoopt, is TO(x) = −0,093 6x 3 + 14,249x 2 − 353,13x − 1 000. Bij welke verkoop is de opbrengst maximaal? Bepaal die opbrengst.

DTO(x)

−

MIN −3 407,85

−

MAX 14 492,49

Het verband tussen de gemiddelde golfhoogte g, in m, en de waterstand w, in m, op een windstille dag is g(w) = −0,0772w 3 + 0,505 6w 2 − 0,887w + 0,904 4 (0,3 < w < 4). Bij welke waterstand is de gemiddelde golfhoogte maximaal? Hoe hoog zijn de golven dan?

w Dg(w)

−

MIN 0,43

3,15 0

4 −

MAX 0,71

1,22

jk ex

0,3

pl aa

1 2 3

Het aantal schadegevallen bij auto-ongevallen die bij de verzekeringsmaatschappijen zijn geregistreerd, kan benaderd worden met de functie n(x) = 503,5x 3 − 7 123x 2 + 26 243x + 341 583. Hierbij is n het aantal schadegevallen en x het aantal jaren na 2007 (0 < x < 10). In welk jaar waren er het meeste schadegevallen? Hoeveel waren er dat ongeveer?

Dn(x) n

4 5 6

178

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

2,5 +

0 MAX 370 539

6,9 −

0 MIN 348 936

10 +

Het verband tussen de leeftijd L waarop een vrouw in de Verenigde Staten voor het eerst trouwt en het aantal jaren x na 1890 wordt gegeven door de functie L(x) = 0,000 023 453x 3 − 0,002 636 3x 2 + 0,050 582x + 21,8. In welk jaar trouwden de vrouwen het jongst sinds 1890? Op welke leeftijd was dat?

11,3

DL(x)

63,6

−

MAX 22,1

MIN 20,4

pl aa

Een bungeespringer springt van een brug 110 m hoog boven een rivier. De hoogte h, in m, van de springer gedurende de eerste 10 s wordt gegeven door de functie h(t) = 0,38t 3 − 3,69t 2 − 6t + 110. Daarbij is t de tijd in seconden (0 < t < 10).

jk ex

a) Na hoeveel tijd bereikt de springer zijn laagste punt? Hoe hoog bevindt hij zich dan boven het water?

v(t)

−0,73

−

10 +

MIN 17,34

7,20

b) Teken met ICT de grafiek van de snelheidsfunctie v in het praktisch domein. c) Verklaar de ligging van de grafiek ten opzichte van de x-as.

d) Na hoeveel tijd bereikt de bungeespringer zijn hoogste snelheid? Let op het teken van de snelheid! e) Teken met ICT de grafiek van de functie h. f) Hoe zie je aan die grafiek wanneer de springer zijn hoogste snelheid bereikt?

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

179

Uit een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm knip je bij elk van de hoeken gelijke vierkantjes weg. Door het karton te plooien, krijg je dan een balkvormige doos zonder deksel. Hoeveel cm moet je aan de hoeken wegknippen om een doos met een zo groot mogelijke inhoud te krijgen? Bereken die maximale inhoud. x

DI(x)

−

33,33

−

pl aa

MAX 18 000

Uit een rechthoekig stuk karton van 60 cm op 30 cm snij je 6 vierkantjes weg. Met het overblijvende deel maak je een doos met deksel. Bereken de zijde van de weggesneden vierkantjes zodat de inhoud van de doos maximaal is. Bepaal die maximale inhoud. x

jk ex

x DI(x) I

5,66 +

15 −

17,68 0

MAX 2 274,23

1 2 3

Toon aan dat als de winst W van een bedrijf maximaal is, de marginale opbrengst MO gelijk is aan de marginale kostprijs MK.

4 5 6

180

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

In een boomgaard staan 50 appelbomen. Elke boom levert gemiddeld 400 appelen op. Bij elke extra boom die in de boomgaard geplant wordt, vermindert de gemiddelde opbrengst per boom met 5 appelen. Hoeveel bomen moeten geplant worden om een maximale opbrengst te verkrijgen? Bereken die maximale opbrengst.

DO(x)

−

MAX 21 125

pl aa

Een leasebedrijf verhuurt auto’s. Het heeft een wagenpark van 150 auto’s. Als het 500 euro huur per maand vraagt, zijn alle auto’s verhuurd. Per 10 euro die het bedrijf meer vraagt per maand, wordt er 1 wagen minder verhuurd. Bij welke huurprijs is de totale opbrengst maximaal? Hoeveel bedraagt die opbrengst?

jk ex

DTO(x)

50 +

−

MAX 100 000

De versnelling a van een bewegend voorwerp is gelijk aan 0. Geef 3 mogelijke situaties voor de snelheid v.

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

181

In het zuiden van Europa zorgen bevloeiingssystemen ervoor dat droge landbouwgebieden water krijgen. Die systemen bestaan uit goten die aan elkaar bevestigd zijn. Om goten met een rechthoekig profiel te maken, gebruik je platen van 90 cm breed. Hoe breed en hoe hoog moet de goot zijn om een maximale capaciteit te verkrijgen?

pl aa

22,5

DA(x)

45 −

MAX 1 012,5

In de bouwnijverheid worden soms houten balken gebruikt om verticale krachten op te vangen. De sterkte van een balk is afhankelijk van zijn afmetingen en van de gebruikte houtsoort. Voor eik geldt de formule S = 0,12 ⴢ b ⴢ h 2. Daarbij is S de sterkte, in N/cm 2, b de basis van de balk, in cm, en h de hoogte, in cm. Uit een boom met een diameter van 60 cm wil men een balk zagen met een maximale sterkte. Bepaal de afmetingen van de balk om een maximale sterkte te verkrijgen.

jk ex

60 cm

b 1

S(b)

−

−34,6

34,6 +

3 4 5 6

182

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

MAX 9 976,6

60 −

Onderzoek het uitgebreide verloop van de veeltermfuncties. a) f(x) = −2x 3 − 3x 2 x

−1

−

1 2

Df (x)

−

D 2 f(x)

−

MIN −1

BGPT 1 − 2

MAX 0

b) f(x) = x 3 − 5x 2 + 10x − 2

pl aa

5 3

Df (x)

D 2 f(x)

−

BGPT 146 27

1 2

x Df (x)

D 2 f(x)

−

BGPT 5 2

jk ex

c) f(x) = 4x 3 − 6x 2 + 3x + 2

d) f(x) = −8x 3 + 33x 2 + 18x − 11 −

1 4

11 8

Df (x)

−

D 2 f(x)

−

MIN 213 − 16

BGPT 1 771 32

MAX 124

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

183

Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 000 m en begint de landing in te zetten. Het verband tussen de hoogte h, in m, en de afstand 100 − x, in km, tot het vliegveld wordt gegeven door de functie h(x) = 0,016x 3 − 2,4x 2 + 8 000. a) Onderzoek het verloop van de functie h. x

100

Dh (x)

−

D 2 h(x)

−

MAX 8 000

BGPT 4 000

MIN 0

b) Op welke afstand van het vliegveld begint het vliegtuig

te dalen?

pl aa

c) Geef het praktisch domein van h:

d) Op hoeveel km van het vliegveld daalt het vliegtuig het snelst?

jk ex

Zonnebloemen zijn eenvoudig te kweken planten. Ze groeien snel en kunnen tot meer dan 4 m hoog worden. In het voorjaar worden de bloemen in serres in potten gezaaid en na enkele weken in volle grond uitgeplant. Uit de pitten wordt zonnebloemolie geperst, die veel onverzadigde vetzuren bevat en goed bestand is tegen de hitte van het frituren. Het resterende meel wordt gebruikt als veevoeder.

Het verband tussen de hoogte h, in cm, van een zonnebloem en de groeitijd t in weken is gegeven door de functie h(t) = −0,228 3t 3 + 6,857 4t 2 − 27,041t + 12,336 (t > 5).

a) Onderzoek het verloop van de functie h.

1 2 3 4

2,22

10,01

17,76

Dh (t)

−

D 2 h (t)

−

h b) Na hoeveel weken is de zonnebloem volgroeid? c) Geef het praktisch domein van de functie h: d) Na hoeveel tijd groeit de zonnebloem het snelst?

5 6

184

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

BGPT 41,47

MAX 416,15

Het aantal miljoen voertuigkilometers a in België op een weekenddag om x uur wordt benaderd door de functie a(x) = −0,002 1x 3 + 0,057 2x 2 − 0,191 9x + 0,949 7 (0 < x < 24). Bepaal de nulwaarden van de functie Da en van de functie D 2a en geef de betekenis.

1,87

9,08

Da (x)

−

D 2 a(x)

MIN 0,777

−

BGPT 2,351

MAX 3,925

De astronomische daglengte (de tijd tussen zonsopgang en zonsondergang) d, in h, op 15 juni is gelijk aan d(x) = 2 ⴢ 10 −5x 3 + 6 ⴢ 10 −5x 2 + 0,046 7x + 12,097. Daarbij is x de breedteligging in graden (–76 < x < 76). Bepaal het buigpunt van de grafiek van de functie d en geef de fysische interpretatie.

jk ex

16,29

pl aa

−76

−1

Dd (x)

D 2 d(x)

−

BGPT 0,046 64

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

185

REEKS C De gemeente Pientergem wil een sportstadion aanleggen met een voetbalveld, waarrond een atletiekpiste moet komen van 400 m lang. Bepaal de afmetingen van het voetbalveld opdat de oppervlakte ervan maximaal zou zijn. Wat is die maximale oppervlakte?

pl aa

DA(x)

63,66

−

MAX 6 366,2

Rodica wil een zolderkamer maken. Op de figuur zie je een situatieschets van haar zolder. Bepaal de breedte en de hoogte van de kamer met een zo groot mogelijk volume.

jk ex

x 1

DA(x)

3 4 5 6

186

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

4 +

0 MAX 8

8 −

STUDIEWIJZER Verloop van veeltermfuncties 6.2 Stijgen, dalen en extrema KENNEN • • •

Als Df (a) ⬎ 0, dan is de grafiek van f stijgend in a. Als Df (a) ⬍ 0, dan is de grafiek van f dalend in a. Als Df (a) = 0, dan bereikt de grafiek van f Á een relatief extremum in a, als Df in a van teken verandert. Á een buigpunt in a, als Df in a niet van teken verandert.

KUNNEN Het verloop (stijgen, dalen, extrema) bepalen van een veeltermfunctie van de derde graad.

KUNNEN

pl aa

Extremumvraagstukken oplossen met behulp van afgeleiden.

6.3 Extremumvraagstukken

6.4 Vorm van een kromme en buigpunten

KENNEN

f (x) = D[Df (x)] is de tweede afgeleide van de functie f. 2 Als D f (a) ⬎ 0, dan is de grafiek van f hol in a. 2 Als D f (a) ⬍ 0, dan is de grafiek van f bol in a. 2 Als D f (a) = 0, dan bereikt de grafiek van f een buigpunt in a, 2 als D f in a van teken verandert.

D • • •

KUNNEN

jk ex

Het uitgebreide verloop (stijgen, dalen, extrema, holle/bolle kromme, buigpunten) van een veeltermfunctie van de derde graad bepalen. De betekenis van het begrip buigpunt gebruiken om vraagstukken uit de werkelijkheid op te lossen.

CONTRACTWERK

HOOFDSTUK 6 I VERLOOP VAN VEELTERMFUNCTIES

187

pl aa

jk ex