Pienter 3de graad tso - Financiële Algebra - Inkijkexemplaar

Pi enter FINANCIËLE ALGEBRA

pl aa em

Stephan Wellecomme

ki

Ontdek het onlineleerplatform: diddit.

Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van!

Dirk Taecke

ex

Derde graad TSO

Leer zoals je bent

Etienne Goemaere

jk

FINANCIËLE ALGEBRA

Pi enter

r

Derde graad TSO

Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.

In

Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie?

Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.

Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden.

Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in?

1 2

Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!

3 4 5 6

ISBN 978-90-306-9200-3

590188

vanin.be

1

2

3

4

5

6

pl aa

r

FinanciĂŤle algebra

In

ki

jk ex

em

Derde graad TSO

Etienne Goemaere Dirk Taecke Stephan Wellecomme

Inhoudsopgave

₄ ₅ ₂₅ ₄₃ ₆₃ ₈₉ ₁₂₉

Hoe werk je met Pienter?

Hoofdstuk 1 Enkelvoudige intrest Hoofdstuk 2 Samengestelde intrest Hoofdstuk 3 Beleggingen Hoofdstuk 4 Annuïteiten

r

Hoofdstuk 5 Leningen op lange termijn

In

ki

jk ex

em

pl aa

Hoofdstuk 6 Consumentenkrediet

Hoe werk je met Pienter?

Elk hoofdstuk start met een leuke cartoon en een realistische inleiding of kort onderzoek.

Na elk stukje theorie kun je meteen oefenen.

Er zijn drie reeksen oefeningen:

REEKS A

eenvoudige toepassingen

REEKS B

basisniveau

REEKS C

verdiepingsniveau

Leerstof en oefeningen die bedoeld zijn voor studierichtingen die het leerplan Financiële Algebra A volgen, zijn aangeduid met dit icoon en een gekleurde achtergrond.

jk ex

A

em

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

pl aa

r

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven. Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.

Je leert ook eigenschappen bewijzen.

ki

Interessante weetjes of achtergrond herken je aan een kader met vraagteken.

In

Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden.

Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een handige studiewijzer.

Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

Ook het contractwerk helpt je bij het studeren.

Wil je nog meer? Verken dan ons onlineleerplatform

.

Je kunt er digitaal oefenen op jouw maat zodat je de leerstof helemaal onder de knie krijgt.

Bij het lesmateriaal ontdek je onder meer: • extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, • instructiefilmpjes als je iets uitgelegd wilt zien.

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

Definitie

1.2

Hoofdformule

1.3

Voorbeelden

1.4

Toepassingen op de hoofdformule

1.5

Formules voor het eindkapitaal

1.6

Toepassingen op de formules

pl aa

r

1.1

voor het eindkapitaal 1.7

Toepassingen op enkelvoudige intrest

1.8

Enkelvoudige intrest en ICT

₁₆ ₁₇ ₁₉ ₂₄

In

ki

jk ex

em

Studiewijzer

₆ ₆ ₇ ₈ ₁₅

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

5

1.1

Definitie Het is onmogelijk om in dit leerwerkschrift rekening te houden met de actuele rentevoeten.

We werken met arbitrair gekozen percentages.

Als je 1 000 euro belegt tegen een jaarlijkse rentevoet van 1,5 %, dan verkrijg je na 1 jaar een intrest die gelijk is aan 1 000 ⴢ

1,5 = 1 000 ⴢ 0,015 = 15 (euro).

100

Het getal 0,015 is de decimale notatie van de rentevoet.

ⴢ 0,015 =

pl aa

r

Na verloop van het eerste jaar kun je verder sparen.

Als de bank geen rekening houdt met de verworven intrest van het eerste jaar, ontvang je na het tweede jaar opnieuw 15 euro intrest. In dat geval spreek je van enkelvoudige intrest.

Als de intrest van het eerste jaar bij het beginkapitaal wordt gevoegd, dan ontvang je na het tweede jaar euro intrest. Het kapitaal is dan uitgezet op samengestelde intrest.

Enkelvoudige intrest

Definitie

Hoofdformule

jk ex

1.2

em

Een kapitaal staat uit op enkelvoudige intrest als de intrest steeds op hetzelfde kapitaal wordt berekend.

Voorbeeld

ki

Je zet 300 euro uit op enkelvoudige intrest gedurende 3 jaar. De rentevoet is 1,5 %.

Na 1 jaar is de intrest 300 ⴢ 0,015 = 4,50 euro.

Ook na het tweede en het derde jaar ontvang je dezelfde intrest.

De totale intrest is dus 4,50 ⴢ 3 = 300 ⴢ 0,015 ⴢ 3 = 13,50 euro.

In

Algemeen Stel: het beginkapitaal = k; de jaarlijkse rentevoet = i (in decimale notatie); de looptijd in jaren = n; de intrest na n jaar = I. Enkelvoudige intrest

Formule

I=kⴢiⴢn

1 2 3 4 5

Opmerkingen • • • •

Alle bedragen worden afgerond op 0,01 euro.

De rentevoet is altijd jaarlijks, tenzij uitdrukkelijk anders wordt vermeld.

Bij de berekening van de rentevoet rond je af op 0,000 1 %.

De beleggingstijd wordt meestal in jaren uitgedrukt.

Soms worden ook semesters, trimesters en maanden gebruikt (1 jaar = 2 semesters = 4 trimesters = 12 maanden).

6

6

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

1.3

Voorbeelden Voorbeeld 1 Jan zet 1 300 euro uit op enkelvoudige intrest, tegen 0,90 %. Bereken de intrest na 4 jaar.

Gegeven:

k = 1 300

Gevraagd:

I

Oplossing:

I=kⴢiⴢn=

i = 0,009 0

n=4

r

Voorbeeld 2

k=

Gevraagd:

I

Oplossing:

I=kⴢiⴢn=

i=

n=2+

1 9 3 =2+ = 12 4 4

em

Gegeven:

pl aa

Hoeveel intrest ontvangt Farida na 2 jaar en 3 maanden op 700 euro, als de rentevoet 1,20 % is?

Voorbeeld 3

jk ex

Bereken de intrest die Xavier ontvangt na 3 trimesters voor een belegging van 2 300 euro, a) als de rentevoet 0,25 % per trimester is. k=

Gevraagd:

I

i=

(per trimester)

n=

ki

Gegeven:

In

Oplossing:

I=kⴢiⴢn=

b) als de rentevoet 1 % per jaar is.

Gegeven:

k=

Gevraagd:

I

Oplossing:

I=kⴢiⴢn=

i=

(per jaar)

n=

Nominale omzetting p p p Omdat p % per jaar = % per semester = % per trimester = % per maand, 2 4 12 zul je bij berekeningen met enkelvoudige intrest altijd het jaar als tijdseenheid gebruiken.

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

7

1.4

Toepassingen op de hoofdformule

1.4.1 Berekening van het beginkapitaal Voorbeeld Welk bedrag stond van 20 april tot 22 augustus op je spaarrekening, als de rentevoet 0,25 % en de intrest 2,38 euro bedroeg? n=

Gegeven:

I=

Gevraagd:

k

Oplossing:

Je lost de vergelijking I = k ⴢ i ⴢ n op naar k.

r

I = iⴢn

em

1.4.2 Berekening van de rentevoet Voorbeeld

jk ex

Sofie heeft 5 200 euro voor 4 maanden uitgezet op enkelvoudige intrest.

Bij de vervaldag ontvangt ze 5,20 euro intrest.

Welke rentevoet heeft de bank gehanteerd? k=

Gevraagd:

i

Oplossing:

Je lost de vergelijking I = k ⴢ i ⴢ n op naar i.

ki

Gegeven:

In

i=

1 2 3 4 5 6

8

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

234 ⫺ 110 124 = 365 365

pl aa

k=

i=

I=

=

n=

I k·i·n

1.4.3 Berekening van de looptijd In een financieel jaar brengt iedere maand evenveel intrest op.

Een jaar wordt dan beschouwd als 12 maanden van 30 dagen en dus 360 dagen.

Bij het berekenen van de intrest met de kalender wordt gerekend met 365 (of 366) dagen.

Voorbeeld Hoelang moet je 4 000 euro tegen 1,25 % enkelvoudige intrest uitzetten, om 90 euro intrest te verkrijgen? k = 4 000

Gevraagd:

n

Oplossing:

Je lost de vergelijking I = k ⴢ i ⴢ n op naar n.

90 I = = 1,8 (jaren) k ⴢ i 4 000 ⴢ 0,012 5

i = 0,012 5

→ 1 jaar

pl aa

n=

I = 90

r

Gegeven:

→ 9 maanden

0,8 ⴢ 12 = 9,6

→ 18 dagen

0,6 ⴢ 30 = 18

em

De beleggingstijd is 1 jaar 9 maanden en 18 dagen.

ki

jk ex

Het besluit om de euro als wettig betaalmiddel binnen de Europese Unie te gebruiken is er niet van vandaag op morgen gekomen.

Al in 1992 werd in Maastricht besloten om de ECU (European Currency Unit) in te voeren.

Op 1 januari 2002 werd de munt, die ondertussen de naam EURO had gekregen, gelijktijdig ingevoerd in 12 landen van de Europese Unie en in Monaco, San Marino, Vaticaanstad en Andorra.

Sindsdien zijn ook Slovenië, Cyprus, Malta, Slovakije, Estland, Letland en Litouwen tot de eurozone toegetreden.

Het is de bedoeling dat uiteindelijk alle EU-landen de euro invoeren.

Enkel Denemarken verkiest voorlopig zijn huidige munteenheid te behouden.

In

A

x 3,5 x 1 80°

x x 3,5

De munten hebben een Europese zijde die een kaart van Europa toont met de 12 sterren van de Europese Unie.

Op de nationale zijde mag elk land eigen symbolen en teksten plaatsen. Op de Belgische euromunten staat een afbeelding van de koning.

Sinds 2004 mag de nationale zijde van de munten van 2 euro een herdenkingsmotief dragen.

De biljetten hebben elk hun eigen kleur en afmetingen.

Hoe hoger de waarde, hoe groter het biljet.

Op de voorzijde staan poorten en vensters die voor openheid staan. Ze stellen ook verschillende periodes voor van de Europese beschaving, van de antieke periode (5 euro) tot het moderne tijdperk (500 euro). De code geeft aan in welke drukkerij het biljet is gedrukt. De letters BCE, ..., EKP zijn de afkortingen van de Europese Centrale Bank in de verschillende talen van de Unie.

Op de achterzijde staat een serienummer, dat gevormd wordt door een letter en 11 cijfers.

Aan de letter kun je zien uit welk land het biljet komt. Voor België is dat de letter Z.

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

9

Oefeningen REEKS A

c) beginkapitaal = 6 700 euro rentevoet = 1,15 % looptijd = 3 trimesters

b) beginkapitaal = 1 460 euro rentevoet = 0,90 % looptijd = 2 jaar en 6 maanden

d) beginkapitaal = 973 euro rentevoet = 0,85 % looptijd = 43 kalenderdagen

Bereken het beginkapitaal.

jk ex

a) intrest = 132 euro rentevoet = 1,50 % looptijd = 4 jaar

r

a) beginkapitaal = 350 euro rentevoet = 1,50 % looptijd = 3 jaar

pl aa

2

Bereken de intrest.

c) intrest = 3,40 euro rentevoet = 0,95 % looptijd = 10 maanden

em

1

d) intrest = 38,38 euro rentevoet = 1,15 % looptijd = 5 trimesters

In

ki

b) intrest = 28,20 euro rentevoet = 1 % looptijd = 1 semester

3

Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

a) beginkapitaal = 500 euro intrest = 27,50 euro looptijd = 5 jaar

c) beginkapitaal = 1 490 euro intrest = 38,55 euro looptijd = 2 jaar en 1 trimester

b) beginkapitaal = 3 800 euro intrest = 12,67 euro looptijd = 5 maanden

d) beginkapitaal = 10 000 euro intrest = 26,08 euro looptijd = 112 kalenderdagen

1 2 3 4 5 6

10

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

Marie leent 3 000 euro tegen 6,50 %. Na 7 maanden betaalt ze het bedrag terug.

Hoeveel intrest moet ze betalen?

5

Max heeft op 1 januari 1 345 euro op zijn spaarrekening staan.

Hoeveel intrest heeft hij te goed als hij op 23 juni het bedrag opvraagt? De rentevoet is 0,40 %.

6

Welk kapitaal moet je gedurende 7 trimesters beleggen om 500 euro intrest te verkrijgen?

De rentevoet is 1,25 %.

7

Sara wil een nieuwe auto kopen en leent daarvoor bij haar vriendin Lena, die een rentevergoeding vraagt van 5,50 %. Na 1 jaar en 6 maanden moet Sara 1 278,75 intrest opleggen.

Hoeveel heeft ze geleend?

8

Op 17 april stort Younes 675 euro op een spaarrekening. Hij haalt het bedrag af op 25 september.

Zijn uittreksels tonen hem een intrest van 1,04 euro.

Wat is de gehanteerde rentevoet op 0,01 % nauwkeurig?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

4

9

Lukas schept op tegen zijn vrienden dat hij een goede investering heeft gedaan.

Een aandeel van 360 euro leverde hem na een trimester 6,75 euro intrest op.

Hoeveel procent winst is dat op jaarbasis?

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

11

REEKS B Bereken de looptijd. c) beginkapitaal = 1 800 euro rentevoet = 1,15 % intrest = 100 euro

b) beginkapitaal = 2 450 euro rentevoet = 1,80 % intrest = 90 euro

d) beginkapitaal = 3 560 euro rentevoet = 1,25 % intrest = 45 euro

r

a) beginkapitaal = 500 euro rentevoet = 1 % intrest = 6 euro

pl aa

10

11

Op 22 mei zet Aya 980 euro op haar spaarrekening. De rentevoet is 0,45 %.

Bij de afhaling heeft ze 0,86 euro intrest te goed. Op welke datum heeft ze het kapitaal afgehaald?

In

ki

A

jk ex

em

A

A

12

Pieter leent 2 500 euro tegen 6,50 %. Bij de terugbetaling moet hij 416 euro intrest betalen.

Na hoeveel tijd heeft hij zijn schulden afbetaald?

1 2 3 4 5 6

12

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

13

1 Charlotte belegt een kapitaal tegen 1 %. Na 2 jaar vraagt ze van het kapitaal op.

3 Na 3 jaar ontvangt ze een totale intrest van 144 euro.

Welk kapitaal heeft ze belegd?

Bij sommige beleggingen moet 30 % roerende voorheffing betaald worden op de intrest.

Zo levert een belegging van 5 000 euro na 4 jaar een netto-intrest van 210 euro op.

Bepaal de brutorentevoet.

In

ki

jk ex

15

em

pl aa

r

14

1 2 Petra beschikt over 2 400 euro. daarvan zet ze uit tegen 1,25 % en tegen 1,50 %.

3 3 Bereken de totale intrest na 7 maanden.

16

Yassin en Veerle kopen voor 240 000 euro een buitenhuis om te verbouwen.

De verbouwingskosten bedragen 35 000 euro.

Jaarlijks voorzien ze 1 500 euro aan belastingen en onderhoudskosten.

Aan welke maandelijkse prijs moeten ze het eigendom verhuren om een opbrengst van 3 % te hebben?

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

13

17

Na hoeveel tijd zal een kapitaal, dat je tegen 1,40 % enkelvoudige intrest belegt, 1 zijn toegenomen? met 20

A

18

Hoelang moet je een kapitaal tegen 1,25 % op enkelvoudige intrest uitzetten opdat dit in waarde zou verdubbelen?

pl aa

r

A

REEKS C

Twee kapitalen waarvan het grootste 300 euro meer bedraagt dan het kleinste, worden op enkelvoudige intrest uitgezet tegen dezelfde rentevoet.

Na een trimester brengt het grootste kapitaal 11,40 euro en het kleinste 10,50 euro op.

Bepaal de kapitalen en de rentevoet.

In

ki

jk ex

em

19

1 2 3 4 5 6

14

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

1.5 Definitie

Formules voor het eindkapitaal Eindkapitaal Het eindkapitaal K van een belegging is de som van het beginkapitaal en de intrest.

Formule

Eindkapitaal K=k+I

Je stelt een formule op die het verband weergeeft tussen het begin- en eindkapitaal.

Verband tussen begin- en eindkapitaal

pl aa

Formule

r

K = k + I = k + k ⴢ i ⴢ n = k ⴢ (1 + i ⴢ n)

K = k ⴢ (1 + i ⴢ n)

Voorbeeld

k=

Gevraagd:

K

i=

n=

jk ex

Gegeven:

em

Jos zet 1 550 euro uit op enkelvoudige intrest tegen 1,15 %.

Bereken het eindkapitaal na 2 jaar en 6 maanden.

Oplossing:

K = k ⴢ (1 + i ⴢ n) = ALTERNATIEF: K=k+I

In

ki

K=

Groeit het geld niet aan de bomen?

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

15

1.6

Toepassingen op de formules voor het eindkapitaal De formule voor het eindkapitaal gebruik je enkel om het beginkapitaal te berekenen.

1.6.1 Berekening van het beginkapitaal Welk bedrag moet je op 12 mei uitzetten tegen 0,25 % om op 24 oktober over 5 000 euro te beschikken?

Gevraagd:

k

Oplossing:

K = k ⴢ (1 + i ⴢ n) K = 1+iⴢn

1.6.2 Berekening van de rentevoet

em

Voorbeeld

pl aa

r

K=

k=

n=

i=

Gegeven:

Tony leent 2 400 euro aan Frederik. Na 16 maanden moet hij 2 520 euro terugbetalen.

Welke rentevoet heeft Frederik aangerekend?

I=K–k=

k=

n=

jk ex

Gegeven:

i

Oplossing:

i=

=

ki

Gevraagd:

A

In

1.6.3 Berekening van de looptijd Voorbeeld

Hoelang moet je 3 000 euro tegen 1,25 % enkelvoudige intrest uitzetten om het bedrag te laten aangroeien tot 3 200 euro?

Gegeven:

I=K–k=

Gevraagd:

n

Oplossing:

n=

k=

i=

1 2

=

→

jaar

3

ⴢ 12 =

→

maanden

4

ⴢ 30 =

→

dagen

5 6

16

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

1.7

Toepassingen op enkelvoudige intrest

1.7.1 Zichtrekeningen De zichtrekening is de basis voor financiële verrichtingen.

Je gebruikt ze voor het dagelijkse geldverkeer.

Via een zichtrekening kun je geld storten of afhalen en overschrijvingen doen.

Het openen van een zichtrekening is gratis, maar de meeste banken vragen wel beheerskosten.

Daarnaast betaal je meestal nog voor papieren overschrijvingen en geldverkeer in het buitenland.

pl aa

r

Een zichtrekening bevat een rekeningnummer.

De eerste 3 cijfers ervan duiden op de bankinstelling, de volgende 7 cijfers staan voor je nummer binnen de bank en de laatste 2 cijfers zijn een controlegetal.

Het IBAN-nummer (‘International Bank Account Number’) identificeert de rekeningnummers in Europa en maakt de Europese bankverrichtingen eenvormig, veiliger en sneller. Het IBAN-nummer bevat de landcode (2 letters), een controlegetal (2 cijfers) en een nationaal rekeningnummer.

jk ex

em

Aan een zichtrekening is een bankkaart verbonden.

Met deze kaart kun je geld afhalen en aankopen doen, via Bancontact/Mister Cash. Maestro zorgt ervoor dat deze verrichtingen ook in het buitenland kunnen.

Om een overzicht te bewaren van je verrichtingen, biedt de bank je rekeningafschriften aan.

Je kunt deze uittreksels afhalen bij een bankautomaat, online opvragen of vragen dat ze je maandelijks worden toegestuurd.

Intrestberekening bij zichtrekeningen

In

ki

De valutadatum is de dag die in aanmerking komt voor de berekening van de intrest.

• Elektronische stortingen en opnames hebben als valutadatum de dag zelf.

• Verrichtingen aan het loket hebben de vorige dag (opnames) of de volgende dag (stortingen) als valutadatum.

Van de intrest op het positief saldo (de creditrente) wordt 30 % roerende voorheffing afgehouden.

Als het saldo op de zichtrekening negatief is, rekent de bank debetrente aan.

Deze intrest kan zeer hoog zijn, tot 10 % bij sommige banken.

Voorbeelden

1) Van 15 maart tot 23 april bedroeg het positief saldo op je rekening + 2 418,69 euro.

Bereken de creditrente tegen 0,05 %.

De bruto-intrest I is De nettocreditrente is 2) Bereken de debetrente op een negatief saldo van −127,28 euro van 14 mei tot 30 mei, als de bank je 9 % aanrekent.

De debetrente is

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

17

1.7.2 Spaarrekeningen

em

1.7.3 Termijnrekeningen

pl aa

→

r

Een spaarrekening is een belegging op korte termijn. Het gespaarde bedrag is op ieder moment terug opvraagbaar. De intresten, die elk trimester worden uitbetaald, zijn vrij van roerende voorheffing tot (in 2018) een bedrag van 960 euro (1 920 euro voor gehuwden of samenwonenden).

De roerende voorheffing bedraagt 15 % en moet betaald worden op de intresten boven het grensbedrag.

Naast de basisrente, waarvoor een wettelijk plafond is geregeld, wordt meestal ook een getrouwheidspremie toegekend.

De getrouwheidspremie is een intrest op bedragen die minstens 12 maanden op de spaarrekening staan. De verworven getrouwheidspremies worden ook trimestrieel op de spaarrekening gestort.

jk ex

Op een termijnrekening zet je een bedrag vast voor een bepaalde tijd.

Deze looptijd kan variëren van een maand tot enkele jaren.

De intrest is hoger dan bij gewone spaarrekeningen en wordt maandelijks, trimestrieel of jaarlijks verrekend en op een zichtrekening of een spaarrekening geplaatst. Bij sommige banken kunnen de periodieke intresten ook gekapitaliseerd worden (de intrest wordt bij het kapitaal gevoegd).

Op de verworven intresten wordt 30 % roerende voorheffing afgehouden.

In

ki

• De geschiedenis van het bankwezen gaat terug tot meer dan 5 000 jaar geleden. Priesters in Mesopotamië en Babylonië ontvingen giften van mensen die bescherming wilden afkopen van de goden. Op die manier konden de religieuzen goederen uitlenen aan handelaars en landbouwers. Deze leningen werden geregistreerd op kleitabletten.

• De eerste openbare bank dateert van de vierde eeuw voor Christus: de Oud-Griekse stadstaten stichtten instellingen die de gelden van de overheid beheerden en de uitgaven betaalden.

• De Romeinen kwamen door hun veroveringen in contact met verschillende volkeren. Dat gaf aanleiding tot handelsverkeer en omwisseling van munten. Zo zijn de eerste privébanken, de argentarii, ontstaan. In het begin plaatsten ze hun tafels (‘banca’, vandaar ons woord ‘bank’) op markten en pleinen, maar daarna namen ze hun intrek in gebouwen.

• In de middeleeuwen speelden de Lombarden, handelaars uit Noord-Italië, een belangrijke rol in de ontwikkeling van het bankwezen. Ze vestigden wisselkantoren in heel West-Europa en bepaalden wisselkoersen tussen de verschillende munteenheden. De Lombarden waren tevens gespecialiseerd in het verstrekken van kredieten via onderpanden en wisselbrieven (beloften om bepaalde sommen geld binnen een bepaalde tijd te betalen).

• De eerste beurs ten slotte dateert van 1515 en werd gesticht in Antwerpen.

1 2 3 4 5 6

18

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

1.8

Enkelvoudige intrest en ICT

1.8.1 Bepalen van het aantal dagen tussen twee data Om het aantal dagen te kennen tussen 13 september en 5 december kun je gebruikmaken van de datumfunctie dbd (datum1,datum2). Je voert de data in onder de vorm DDMM.YY.

L5

0

w

0

3 [

1

enter

θ catalog

Q

U L1

Y L2

5

1

冋 冋

: L1

i

9 Z

2

.

Y v

P

1 : L1

i

.

Y w

1

册 册

EE

8 Q

9

J

, L entry solve

}

enter

)

r

Y L3

entry solve

x-1 [

L1

catalog

matrix D

0

2nd

pl aa

catalog

[

• Selecteer de functie dbd in de catalogus.

• Voer de data, gescheiden door een komma, in onder de vorm DDMM[.YY]

1.8.2 Een programma schrijven

Je berekent de intrest uit het beginkapitaal, de rentevoet en de looptijd.

draw

• Je drukt op PRGM.

C

prgm

• Selecteer met de pijltoets NIEUW en druk ENTER (dus 1: MAAK NIEUW wordt gekozen).

em

entry solve

enter I 10

√

x

x2

• Je voert de programmanaam INTREST in en drukt ENTER (merk op: de rekenmachine staat reeds in de ALPHA-modus).

ex

S

ln

N

L4

Τ

4

L4

Τ

4

log

R sin-1

[

×

E

sin

entry solve

enter

jk ex

• Vraag de invoer van het beginkapitaal K. θ

I

√

L4

Τ

Y

1

2nd

test

4

2

L1

a-lock

3

prgm

x

L3

C

draw

a-lock

{

“ {

math

K test

+

(

L memo

A }

A test

math

memo

alpha

v

enter

P

8

“ entry solve draw

+

)

A

math C

prgm

K

(

ki

alpha

In

• Op analoge manier vraag je om de rentevoet R en het aantal periodes N in te voeren.

• Je berekent de intrest als het product K*R*N en slaat dat op in de variabele I. a-lock

{

K [

R a-lock

×

(

alpha

[

R [

R a-lock

×

alpha

×

10

alpha

x

N rcl

X a-lock

sto

log

alpha

I

√

x2

• Vraag om de intrest te tonen. draw

L3

C

ex

S

ln

θ

3

prgm L4

Τ

4

a-lock

2nd

memo

+

memo

“ entry solve draw

enter

“ 10

x

+

alpha C

N

L3

prgm

θ

3

L4

Τ

a-lock

alpha

R sin-1

[

4

log

×

E

sin I

√

x2

Opdracht: schrijf een programma dat • • • •

het beginkapitaal berekent uit de intrest, de looptijd en de rentevoet; het beginkapitaal berekent uit het eindkapitaal, de looptijd en de rentevoet; de looptijd berekent uit het beginkapitaal, de intrest en de rentevoet; de rentevoet berekent uit het beginkapitaal, de intrest en de looptijd.

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

19

Oefeningen REEKS A

c) beginkapitaal = 10 000 euro rentevoet = 1,15 % looptijd = 17 maanden

b) beginkapitaal = 900 euro rentevoet = 0,85 % looptijd = 3 jaar en 3 trimesters

d) beginkapitaal = 2 400 euro rentevoet = 0,70 % looptijd = 91 kalenderdagen

Bereken het beginkapitaal.

r

a) beginkapitaal = 1 690 euro rentevoet = 1,10 % looptijd = 2 jaar

pl aa

21

Bereken het eindkapitaal.

em

20

c) eindkapitaal = 2 264,53 euro rentevoet = 1,10 % looptijd = 2 jaar en 8 maanden

jk ex

a) eindkapitaal = 1 085 euro rentevoet = 1,70 % looptijd = 5 jaar

d) eindkapitaal = 5 006,44 euro rentevoet = 1 % looptijd = 47 kalenderdagen

In

ki

b) eindkapitaal = 557,84 euro rentevoet = 0,95 % looptijd = 3 semesters

In de oudheid werd niet betaald.

De mensen ruilden goederen met elkaar.

Daarna kwam een tijd van dierentanden, schelpjes en zout als betaalmiddel. We hebben er de woorden ‘salaris’ (sal = zout) en ‘munt’ (moneta = schelp, geld) aan te danken.

1

De eerste munten zijn gemaakt in Lydië (klein Azië) rond 600 vóór Christus.

Papieren geld dateert uit het China van de 14e eeuw.

2 3 4 5

Het allereerste bankbiljet werd in 1661 uitgegeven door de Bank van Stockholm.

De kredietkaart werd in 1950 uitgevonden door Ralph Schneider en Frank McNamara.

6

20

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig. a) beginkapitaal = 1 500 euro eindkapitaal = 1 578 euro looptijd = 4 jaar

c) beginkapitaal = 9 000 euro eindkapitaal = 9 212,63 euro looptijd = 1 jaar en 3 trimesters

b) beginkapitaal = 700 euro eindkapitaal = 706,42 euro looptijd = 11 maanden

d) beginkapitaal = 125 euro eindkapitaal = 125,36 euro looptijd = 116 kalenderdagen

pl aa

r

22

Hoeveel moet Jef terugbetalen als hij 10 000 euro heeft geleend tegen 3,50 % en zijn totale schuld na 1 jaar en 2 maanden afbetaalt?

24

Welk kapitaal moet je beleggen tegen 1,15 % enkelvoudige intrest om over 2,5 jaar over 5 000 euro te beschikken?

Een kapitaal van 1 300 euro groeit in 10 maanden aan tot 1 316,25 euro.

Bereken de rentevoet.

In

25

ki

jk ex

em

23

26

Welk bedrag moet je op 28 juli op je spaarrekening zetten om op 31 december over 2 000 euro te beschikken? De rentevoet is 0,20 %.

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

21

REEKS B Bereken de looptijd. c) beginkapitaal = 1 400 euro rentevoet = 1 % eindkapitaal = 1 405 euro

b) beginkapitaal = 800 euro rentevoet = 0,90 % eindkapitaal = 804,20 euro

d) beginkapitaal = 810 euro rentevoet = 1,25 % eindkapitaal = 826,50 euro

r

a) beginkapitaal = 4 700 euro rentevoet = 1,15 % eindkapitaal = 4 862,15 euro

pl aa

27

28

Hoelang duurt het vooraleer een kapitaal dat tegen 1,50 % enkelvoudige intrest is uitgezet een eindkapitaal oplevert dat 10 % groter is?

In

ki

A

jk ex

em

A

A

29

Mijn zichtrekening kwam op 17 september 140,28 euro onder nul te staan.

Mijn uittreksels leren me dat ik 0,49 euro debetintresten moet betalen, tegen 8 %.

Op welke datum werd mijn rekening weer positief?

1 2 3 4 5 6

22

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

Je belegt een bedrag gedurende 2 jaar tegen een brutorentevoet van 1,50 %.

Na aftrek van de roerende voorheffing ontvang je een eindkapitaal van 4 090 euro.

Welk kapitaal heb je belegd?

31

De zichtrekening van Jana komt op 10 juli 263,15 euro onder nul te staan.

Op 17 augustus staat de rekening weer positief.

De uittreksels leren haar dat ze 1,97 euro debetintresten moet betalen.

Welke rentevoet heeft de bank gehanteerd? Rond af op 0,01 %.

32

Katrien heeft een kapitaal belegd op enkelvoudige intrest.

Voor het eerste jaar ontvangt ze 1,20 % intrest en voor het tweede jaar 1,30 %.

Het eindkapitaal na 2 jaar is 1 332,50 euro.

Welk kapitaal heeft ze belegd?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

30

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

23

STUDIEWIJZER Enkelvoudige intrest 1.1 Definitie KENNEN Een kapitaal staat uit op enkelvoudige intrest als de intrest steeds op hetzelfde kapitaal wordt berekend.

1.2 Hoofdformule KENNEN De intrest op een kapitaal k na n jaar enkelvoudige intrest, tegen een rentevoet i, is gelijk aan I = k ⴢ i ⴢ n

1.3 Voorbeelden

pl aa

1.4 Toepassingen op de hoofdformule

r

KUNNEN De hoofdformule van enkelvoudige intrest toepassen.

KUNNEN

em

Door veranderen van lid het beginkapitaal berekenen als de intrest, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn.

Door veranderen van lid de rentevoet berekenen als het beginkapitaal, de intrest en de looptijd gegeven zijn.

Door veranderen van lid de looptijd berekenen als het beginkapitaal, de intrest en de rentevoet gegeven zijn.

jk ex

1.5 Formules voor het eindkapitaal

KENNEN

Het eindkapitaal van een kapitaal k na n jaar enkelvoudige intrest, tegen een rentevoet i, is gelijk aan K = k + I = k ⴢ (1 + i ⴢ n)

1.6 Toepassingen op de formules voor het eindkapitaal KUNNEN

In

ki

Door veranderen van lid het beginkapitaal berekenen als het eindkapitaal, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn.

Door veranderen van lid de rentevoet berekenen als het begin- en eindkapitaal en de looptijd gegeven zijn.

Door veranderen van lid de looptijd berekenen als het begin- en eindkapitaal en de rentevoet gegeven zijn.

1.7 Toepassingen op enkelvoudige intrest KUNNEN Het verschil tussen een zichtrekening, spaarrekening en termijnrekening uitleggen.

1 2

CONTRACTWERK

3 4 5 6

24

HOOFDSTUK 1 I ENKELVOUDIGE INTREST

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

Definitie

2.2

Hoofdformule

2.3

Voorbeelden

2.4

Toepassingen op de hoofdformule

2.5

Samengestelde intrest en ICT

pl aa

r

2.1

2.6 Gelijkwaardige rentevoeten

In

ki

jk ex

em

Studiewijzer

₂₆ ₂₇ ₂₇ ₂₈ ₂₉ ₃₈ ₄₂

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

25

2.1

Definitie In het systeem van enkelvoudige intrest brengt een kapitaal na ieder jaar evenveel intrest op.

In het geval van samengestelde intrest wordt de intrest na elk jaar bij het kapitaal gevoegd.

De intrest wordt dus altijd groter.

Je zet 1 000 euro uit tegen 1 %. samengestelde intrest

enkelvoudige intrest k

I

K

1

1 000

10

1 010

2

1 000

10

1 020

3

1 000

10

1 030

4

1 000

10

1 040

+ 10 + 10 + 10

n

k

I

K

1

1 000

10

1 010

2

1 010

10,10

1 020,10

3

1 020,10

10,20

1 030,30

4

1 030,30

10,30

1 040,60

·1,01 ·1,01 ·1,01

r

n

pl aa

Bij enkelvoudige intrest verkrijg je elke waarde van K door optelling met een constant getal I = 10.

Bij samengestelde intrest bereken je de verhouding van twee opeenvolgende eindkapitalen.

Je ziet:

1 010 1 020,10 1 030,30 1 040,60 = = = = 1,01 = 1 + 0,01 = 1 + i.

1 000 1 010 1 020,10 1 030,30

em

Bij samengestelde intrest verkrijg je elke waarde van K door vermenigvuldiging met een constant getal 1 + i = 1,01. Dat constant getal noem je de rentefactor u: u = 1 + i.

jk ex

Hieronder zie je de grafische voorstelling van de groei van het eindkapitaal over een periode van 50 jaar. eindkapitaal 1 550 1 500 1 450

ki

1 400 1 350

st re nt i e ld te s ge en m t sa res int e ig ud lvo e k en

De voorstelling van de groei van het eindkapitaal bij enkelvoudige intrest is een rechte.

Enkelvoudige intrest is een voorbeeld van lineaire groei.

1 300

In

Bij samengestelde intrest zie je een kromme met een helling die steeds toeneemt.

In dat geval spreek je van exponentiële groei.

1 250 1 200 1 150 1 100 1 050 1 000

tijd in jaren 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5

Definitie

Samengestelde intrest Een kapitaal staat uit op samengestelde intrest als de intrest na elke periode (jaar, semester, trimester of maand) bij het kapitaal wordt gevoegd om zelf ook intrest op te brengen (‘de intrest wordt gekapitaliseerd’).

6

26

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

2.2

Hoofdformule Voorbeeld Je zet 200 euro uit op samengestelde intrest tegen 1 %.

Het eindkapitaal • na 1 jaar is:

K 1 = 200 + 200 ⴢ 0,01 = 200 ⴢ (1 + 0,01) = 200 ⴢ 1,01

• na 2 jaar is:

K 2 = 200 ⴢ 1,01 + 200 ⴢ 1,01 ⴢ 0,01 = 200 ⴢ 1,01 ⴢ 1,01 = 200 ⴢ 1,01 2

• na 3 jaar is:

K 3 = 200 ⴢ 1,01 2 + 200 ⴢ 1,01 2 ⴢ 0,01 = 200 ⴢ 1,01 2 ⴢ 1,01 = 200 ⴢ 1,01 3

• na n jaar is:

Kn =

r

Algemeen

pl aa

Je zet een kapitaal k uit gedurende n kapitalisatieperiodes tegen een rentevoet i.

Het eindkapitaal

K 1 = k + k ⴢ i = k ⴢ (1 + i) = k ⴢ u

• na 2 periodes is:

K2 = k ⴢ u + k ⴢ u ⴢ i = k ⴢ u ⴢ u = k ⴢ u2

• na 3 periodes is:

K3 = k ⴢ u2 + k ⴢ u2 ⴢ i = k ⴢ u2 ⴢ u = k ⴢ u3

• na n periodes is:

Kn = k ⴢ un

Samengestelde intrest

2.3

jk ex

Kn = k ⴢ un

em

Formule

• na 1 periode is:

Voorbeelden

ki

Voorbeeld 1

In

Tine zet 2 400 euro uit tegen 1,20 % samengestelde intrest. Bereken het eindkapitaal na 5 jaar.

Gegeven:

k = 2 400

Gevraagd:

Kn

Oplossing:

Kn = k ⴢ un ⇒ K5 =

i = 0,012 ⇒ u = 1,012

n=5

=

Voorbeeld 2 Bereken het eindkapitaal na 2 jaar voor een belegging van 5 000 euro tegen 0,25 % per trimester.

Gegeven:

k=

Gevraagd:

Kn

Oplossing:

Kn =

u=

(per trim.)

n=2ⴢ4=8

= HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

27

2.4

Toepassingen op de hoofdformule

2.4.1 Berekening van het beginkapitaal De ouders van Chiara willen op de dag dat ze 12 jaar wordt een bedrag uitzetten zodat ze op haar achttiende verjaardag 10 000 euro zal ontvangen.

Hoeveel moeten ze uitzetten als de rentevoet 1,50 % is?

Gegeven:

Kn =

Gevraagd:

k

Oplossing:

k=

u=

Kn

=

2.4.2 Berekening van de rentevoet

pl aa

r

un

n=

Een kapitaal van 2 750 euro is na 3 jaar gegroeid tot 2 961,45 euro. Bepaal de rentevoet.

Gevraagd:

i

Oplossing:

u=

Kn =

冑

Kn = k

n

n=

em

k=

jk ex

Gegeven:

i=

=

%

In

A

ki

2.4.3 Berekening van de looptijd

Het eindkapitaal van een belegging van 1 000 euro tegen 1,35 % samengestelde intrest is 1 113,24 euro. Bepaal de looptijd.

Gegeven:

k=

Gevraagd:

n

Oplossing:

un =

1 2 3 4

u=

Kn k

n â´˘ log u = log Kn k = n= log u

Kn k

log

5 6

28

Kn =

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

=

jaar

2.5

Samengestelde intrest en ICT

2.5.1 Programma’s schrijven Hiernaast zie je de programmacode om het eindkapitaal te berekenen als het beginkapitaal, de rentevoet en het aantal periodes gegeven zijn.

Opdracht

pl aa

r

Schrijf een programma dat • het beginkapitaal berekent uit het eindkapitaal, de rentevoet en de looptijd; • de rentevoet berekent uit het beginkapitaal, het eindkapitaal en de looptijd; • de looptijd berekent uit het beginkapitaal, het eindkapitaal en de rentevoet.

2.5.2 De evolutie van het eindkapitaal grafisch voorstellen

em

Je zet 1 000 euro uit op samengestelde intrest tegen 1 %.

• Je activeert de rijmodus (sequence-mode) door te drukken op quit

entry solve

enter

jk ex

mode

stat plot f1

In

ki

• Je drukt op y= en vult in zoals op het nevenstaande scherm.

tbl set f2

• Je drukt window en vult in: nMin=0; nMax=25; Xmin=0; Xmax=25; Ymin=1000; Ymax=1300; Yscl=100

• Druk op

table

f5

graph

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

29

Oefeningen REEKS A Bereken het eindkapitaal. a) beginkapitaal = 870 euro rentevoet = 1,10 % looptijd = 4 jaar

c) beginkapitaal = 8 000 euro rentevoet = 0,30 % per trimester looptijd = 2 jaar en 6 maanden

b) beginkapitaal = 1 500 euro rentevoet = 0,10 % per maand looptijd = 3 jaar

d) beginkapitaal = 3 600 euro rentevoet = 0,55 % per semester looptijd = 1 jaar en 6 maanden

2

Bereken het beginkapitaal.

c) eindkapitaal = 1 975,31 euro rentevoet = 0,65 % per semester looptijd = 3 jaar

em

a) eindkapitaal = 2 813,61 euro rentevoet = 1,15 % looptijd = 2 jaar

pl aa

r

1

Bereken de rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

In

3

1 2 3

a) beginkapitaal = 1 350 euro eindkapitaal = 1 424,39 euro looptijd = 4 jaar (jaarlijkse kapitalisatie)

c) beginkapitaal = 2 750 euro eindkapitaal = 2 830,30 euro looptijd = 2 jaar (maandelijkse kapitalisatie)

b) beginkapitaal = 900 euro eindkapitaal = 932,89 euro looptijd = 3 jaar (semestriĂŤle kapitalisatie)

d) beginkapitaal = 500 euro eindkapitaal = 524,55 euro looptijd = 4 jaar (trimestriĂŤle kapitalisatie)

4 5 6

30

d) eindkapitaal = 154,56 euro rentevoet = 0,15 % per maand looptijd = 1 jaar en 8 maanden

ki

jk ex

b) eindkapitaal = 676,49 euro rentevoet = 0,25 % per trimester looptijd = 4 jaar

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

Kevin beweert dat als je 100 euro uitzet tegen 2 % samengestelde intrest, dat kapitaal al na 35 jaar verdubbeld is. Klopt zijn bewering?

5

Hoeveel intrest verkrijg je als je 750 euro voor 4 jaar op samengestelde intrest uitzet tegen een trimestriĂŤle rentevoet van 0,30 %?

6

Welk bedrag moet Samira voor 10 jaar beleggen, tegen 1,50 %, om een eindkapitaal te verkrijgen van 25 000 euro?

7

Jeroen is nu precies 17 jaar en 3 maanden oud. Hij wil op zijn eenentwintigste verjaardag over 5 000 euro beschikken. Hoeveel moet hij daarvoor nu op samengestelde intrest uitzetten tegen een maandelijkse rentevoet van 0,15 %?

1 Een bank maakt reclame dat een kapitaal na 15 jaar een intrest oplevert die is 4 van het belegd kapitaal. Welke rentevoet wordt er gehanteerd?

Tip: neem 100 euro als beginkapitaal.

In

ki

8

jk ex

em

pl aa

r

4

9

Tegen welke semestriĂŤle rentevoet moet je 1 000 euro uitzetten opdat dat bedrag na 10 jaar met 150 euro zou zijn toegenomen?

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

31

REEKS B

11

Bereken de looptijd. c) beginkapitaal = 1 400 euro rentevoet = 0,10 % per maand eindkapitaal = 1 436,86 euro

b) beginkapitaal = 2 300 euro rentevoet = 0,70 % per semester eindkapitaal = 2 500,81 euro

d) beginkapitaal = 5 000 euro rentevoet = 0,30 % per trimester eindkapitaal = 5 105,95 euro

pl aa

r

a) beginkapitaal = 250 euro rentevoet = 1,25 % eindkapitaal = 262,74 euro

Op 1 januari stond op het spaarboekje van ZoĂŤ een bedrag van 1 215,45 euro.

Toen ze het spaarboekje afsloot, kreeg ze 3,49 euro intrest tegen 0,25 %.

Na hoeveel tijd heeft ze de opzeg gedaan?

In

ki

jk ex

A

10

em

A

A

12

Hoelang moet je een willekeurig kapitaal tegen 1,30 % samengestelde intrest uitzetten opdat het in waarde zou verdubbelen?

1 2 3 4 5 6

32

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

De actuele waarde AW of contante waarde CW is het bedrag dat een kapitaal, waarover je in de toekomst zult beschikken, nu waard is.

13

Victor heeft met zijn bank een pensioenspaarplan opgesteld.

Door ieder jaar een bepaald bedrag te storten tegen 1,50 % samengestelde intrest zal hij over 20 jaar over 30 000 euro kunnen beschikken.

Bereken de actuele waarde van het kapitaal.

De actuele waarde is het beginkapitaal dat Victor op samengestelde intrest moet uitzetten om over 20 jaar 30 000 euro te verkrijgen.

AW â´˘ 1,015 20 = 30 000

pl aa

r

AW =

In een erfenis wordt bepaald dat Mona 18 000 euro zal krijgen.

Omdat ze nog niet meerderjarig is, wordt het bedrag pas over 4 jaar uitbetaald.

Bereken de actuele waarde tegen een rentevoet van 1,25 %.

15

Kim zet 2 500 euro uit op samengestelde intrest. Voor de eerste 3 jaar krijgt ze 0,95 % en voor de volgende 2 jaar 1,20 %. Bereken het eindkapitaal.

In

ki

jk ex

em

14

16

Elias doet een belegging van 4 000 euro tegen 1,25 % samengestelde intrest.

Bereken de netto-intrest die hij na 5 jaar ontvangt, als er 30 % roerende voorheffing wordt afgehouden.

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

33

Je belegt 3 000 euro tegen 1,40 % samengestelde intrest.

Hoeveel intrest brengt het kapitaal op tijdens het derde jaar van de belegging?

18

Jocelyne belegt 6 000 euro gedurende 1 jaar tegen 0,12 % samengestelde intrest per maand.

Bereken de totale intrest die ze de laatste 4 maanden van de belegging verkrijgt.

19

Op 1 januari stond op het spaarboekje van Nathalie een bedrag van 716,25 euro.

Om een nieuwe laptop te kopen sluit ze op 12 maart van het volgende jaar het spaarboekje af.

Ze krijgt een totaalbedrag van 717,70 euro. Bereken de gehanteerde rentevoet.

20

Een belegging van 10 000 euro brengt na 4 jaar, na aftrek van 30 % roerende voorheffing, een netto-intrest op van 335,49 euro. Bereken de brutorentevoet.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

17

1 2

21

Tegen welke rentevoet moet je een kapitaal uitzetten op samengestelde intrest om na 25 jaar een eindkapitaal te verkrijgen dat de helft groter is?

3 4 5 6

34

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

REEKS C Welk kapitaal moet je tegen 1,25 % samengestelde intrest uitzetten om na 3 jaar 1 000 euro intrest te verkrijgen?

23

Over 6 jaar en 5 maanden wil Merve over 5 000 euro beschikken.

Hoeveel moet ze daarvoor nu beleggen, als er voor de 6 jaar 1,50 % samengestelde intrest wordt verrekend en voor de laatste 5 maanden 0,90 %?

Welk kapitaal moet Zita tegen 1,75 % samengestelde intrest 10 jaar lang uitzetten om, na aftrek van 30 % roerende voorheffing, een netto-intrest te verkrijgen van 250 euro?

In

24

ki

jk ex

em

pl aa

r

22

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

35

Samara zet 7 500 euro voor 7 jaar uit op samengestelde intrest. Voor de eerste 4 jaar is de rentevoet 1,50 %. Wat is de rentevoet voor de volgende 3 jaar als ze na 7 jaar over 8 360,80 euro beschikt?

26

Twee kapitalen, samen 50 000 euro, worden belegd tegen 1,50 % samengestelde intrest.

Het eerste kapitaal wordt voor 5 jaar belegd, het tweede voor 8 jaar.

De eindwaarden zijn gelijk. Bereken beide kapitalen.

27

ki

jk ex

em

pl aa

r

25

In

Een testament bepaalt dat 100 000 euro moet worden verdeeld onder 2 kinderen, zodat elk kind op zijn achttiende over dezelfde som beschikt. Het oudste kind is 10 jaar en het jongste 7 jaar.

Hoe moet de erfenis verdeeld worden als de kapitalen worden uitgezet tegen 1,30 % samengestelde intrest?

1 2 3 4 5 6

36

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

Tegen welke maandelijkse rentevoet moet je een willekeurig kapitaal op samengestelde intrest uitzetten om na 1 jaar evenveel intrest te verkrijgen als bij een belegging tegen 1,25 % per jaar?

A

29

Hoeveel langer moet je een kapitaal uitzetten tegen 1,4 % samengestelde intrest dan tegen 1,5 %, opdat het in waarde met een kwart zou toenemen?

A

30

Hugo zet 2 000 euro uit tegen 1,45 % samengestelde intrest per jaar.

Stan zet 2 050 euro uit tegen 0,35 % samengestelde intrest per trimester.

Na hoeveel tijd zal het eindkapitaal van Hugo groter zijn geworden dan dat van Stan?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

28

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

37

2.6

Gelijkwaardige rentevoeten

2.6.1 Definitie en formule Je zet 100 euro uit tegen 0,10 % samengestelde intrest per maand.

Tegen welke jaarlijkse rentevoet zou je dit kapitaal moeten uitzetten om na 1 jaar dezelfde eindwaarde te verkrijgen?

Het eindkapitaal na 1 jaar, bij maandelijkse kapitalisatie, is K 12 = 100 ⴢ 1,001 0 12 = 101,206 6.

Bij jaarlijkse kapitalisatie geldt: 100 ⴢ u 1 = 101,206 6 101,206 6 = 1,012 066 100

r

u=

pl aa

i = 0,012 066 = 1,206 6 %

De jaarlijkse rentevoet 1,206 6 % noem je gelijkwaardig met de maandelijkse rentevoet 0,10 %.

Definitie

Gelijkwaardige rentevoet

em

Twee rentevoeten die betrekking hebben op verschillende kapitalisatieperiodes zijn gelijkwaardig als de eindwaarden van eenzelfde kapitaal na 1 jaar gelijk zijn.

Notaties

Om een onderscheid te maken tussen de verschillende mogelijke kapitalisatieperiodes, noteer je = i

jk ex

de jaarlijkse rentevoet

de semestriële rentevoet

= i2

de trimestriële rentevoet

= i4

ki

de maandelijkse rentevoet = i 12

Formule

In

Als je 1 euro voor 1 jaar uitzet op samengestelde intrest, dan is het eindkapitaal gelijk aan 1

(1 + i) = 1 + i

bij jaarlijkse kapitalisatie

(1 + i 2)

2

bij semestriële kapitalisatie

(1 + i 4)

4

bij trimestriële kapitalisatie

(1 + i 12)

12

bij maandelijkse kapitalisatie

1 2 3

Formule

Gelijkwaardige rentevoeten De rentevoeten i, i 2 , i 4 en i 12 zijn gelijkwaardig als 2

4 5 6

38

4

1 + i = (1 + i 2) = (1 + i 4) = (1 + i 12)

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

12

2.6.2 Voorbeelden • Bereken de jaarlijkse rentevoet die gelijkwaardig is met een maandelijkse rentevoet van 0,13 %.

Oplossing: 1 + i = (1 + i 12)

12

12

1 + i = 1,001 3 = 1,015 712 i = 0,015 712 = 1,571 2 % • Welke trimestriële rentevoet is gelijkwaardig met een jaarlijkse rentevoet van 1,5 %?

Oplossing: 4

(1 + i 4) = 1 + i 4

4 1 + i4 = 冪 1,015 =

i4 =

=

pl aa

r

(1 + i 4) = 1,015

%

• De semestriële rentevoet is 0,85 %. Bereken de gelijkwaardige maandelijkse rentevoet.

12

(1 + i 12) = (1 + i 2)

em

Oplossing: 2

(1 + i 12) 12 = 1,008 5 2

i 12 =

jk ex

冪1,008 5 2 = 1 + i 12 = 12

=

%

Bij enkelvoudige intrest worden rentevoeten die betrekking hebben op verschillende periodes omgezet door vermenigvuldigen en delen. In dat geval spreek je van nominale rentevoeten.

ki

Reële of actuariële rentevoeten worden omgezet met de formules voor samengestelde intrest.

In

Tot 1992 gebruikten banken de verschillende soorten rentevoeten eerder willekeurig, naargelang het hen uitkwam. Dat was zeker het geval bij rentevoeten voor leningen. Daar is verandering in gekomen door de wet van 4 augustus 1992, gewijzigd door de wet van 13 april 1995, die de banken verplicht actuariële rentevoeten te gebruiken bij kredietovereenkomsten.

• Controleer de tabel die een bank je heeft verstrekt bij het aangaan van een lening. jaarrente

maandrente

2,75 %

0,226 3 %

2,95 %

0,242 6 %

3,15 %

0,258 8 %

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

39

2.6.3 Gelijkwaardige rentevoet met ICT Op de grafische rekenmachine vind je onder de toepassing Financieel, de functie © Eff (I nom%, periodes).

Met die functie kun je bij een gegeven nominale rentevoet de reële (effectieve) rentevoet berekenen.

Als er sprake is van een maandelijkse rentevoet van 0,13 %, wat is dan de jaarlijkse rentevoet die daarmee gelijkwaardig is? Met andere woorden: wat is de reële rentevoet?

• Activeer de toepassing Financieel: B

L1

Y

1

apps

.

r

angle

pl aa

entry solve

om C: © Eff ( te selecteren en druk

enter

.

em

• Druk

jk ex

• Typ naast de functie het procent van de nominale rentevoet (1,56 of 12 ⴢ 0,13) en dan, gescheiden door een komma, het aantal periodes per jaar (hier 12).

Opdracht

In

ki

Gebruik deze functie om de resultaten van de vorige bladzijde te verifiëren.

1 2 3 4 5 6

40

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

Oefeningen REEKS A 31

Bereken de gelijkwaardige jaarlijkse rentevoet. b) trimestriële rentevoet = 0,35 %

32

pl aa

r

a) maandelijkse rentevoet = 0,09 %

Bereken de gelijkwaardige semestriële rentevoet.

b) jaarlijkse rentevoet = 1,85 %

33

jk ex

em

a) trimestriële rentevoet = 0,25 %

Bereken de gelijkwaardige trimestriële rentevoet. b) jaarlijkse rentevoet = 1,15 %

In

ki

a) maandelijkse rentevoet = 0,10 %

34

Bereken de gelijkwaardige maandelijkse rentevoet. a) jaarlijkse rentevoet = 2 %

b) semestriële rentevoet = 0,75 %

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

41

STUDIEWIJZER Samengestelde intrest 2.1 Definitie KENNEN Een kapitaal staat uit op samengestelde intrest als de intrest na elke periode (jaar, semester, trimester of maand) bij het kapitaal wordt gevoegd (‘wordt gekapitaliseerd’) om zelf ook intrest op te brengen.

KUNNEN Het verschil uitleggen tussen enkelvoudige en samengestelde intrest.

2.2 Hoofdformule KENNEN

2.4 Toepassingen op de hoofdformule

pl aa

r

Het eindkapitaal van een kapitaal k na n perioden samengestelde intrest, tegen een rentevoet i, is K n = k ⴢ u n, met u = 1 + i.

KUNNEN

em

Door veranderen van lid • het beginkapitaal berekenen als het eindkapitaal, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn; • de rentevoet berekenen als het begin- en eindkapitaal en de looptijd gegeven zijn; • de looptijd berekenen als het begin- en eindkapitaal en de rentevoet gegeven zijn.

2.6 Gelijkwaardige rentevoeten

KENNEN

jk ex

Twee rentevoeten die betrekking hebben op verschillende kapitalisatieperiodes zijn gelijkwaardig als de eindwaarden van eenzelfde kapitaal na 1 jaar gelijk zijn.

2

4

12

De rentevoeten i, i 2 , i 4 en i 12 zijn gelijkwaardig als 1 + i = (1 + i 2) = (1 + i 4) = (1 + i 12) .

KUNNEN

ki

Een jaarlijkse rentevoet omzetten naar een gelijkwaardige maandelijkse, trimestriële of semestriële rentevoet.

In

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

42

HOOFDSTUK 2 I SAMENGESTELDE INTREST

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

Effecten

3.2

Obligaties

3.3

Intrestberekening

3.4

Berekening van het nettorendement

₄₄ ₄₆ ₄₇ ₅₃ ₆₁

In

ki

jk ex

em

pl aa

Studiewijzer

r

3.1

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

43

3.1

Effecten Effecten zijn rechten die verhandelbaar zijn en een bepaalde geldwaarde vertegenwoordigen.

De voornaamste soorten effecten zijn aandelen, obligaties, opties en termijncontracten.

Sinds 2008 zijn de papieren versies die je hieronder ziet verleden tijd.

Effecten zijn nu onderdeel van een effectenrekening.

EFFECTEN obligaties

jk ex

em

pl aa

r

aandelen

In

ki

• Aandelen worden uitgegeven door een vennootschap (onderneming).

De aandeelhouders zijn dan economisch mede-eigenaars van die vennootschap.

• Er is geen vaste uitkering (intrest), maar het eventuele rendement komt van de waardestijging van het aandeel en van het dividend (periodieke uitkering van de winst van de onderneming). opties

1 2 3 4 5

• Een optie is een recht om binnen een bepaalde periode en tegen een vooraf bepaalde prijs een bepaald goed aan te kopen (of te verkopen).

• Voor dit recht moet een bedrag worden betaald aan diegene die het recht verleent.

6

44

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

• Obligaties worden uitgegeven door de overheid, een onderneming of een bank.

Obligaties zijn eigenlijk een schuldbewijs ten opzichte van de koper.

• De koper ontvangt een periodieke rentevergoeding. Aan het einde van de looptijd wordt de nominale waarde (zonder waardeverlies of -winst) van de obligatie terugbetaald. termijncontracten (futures) • Een future is een financieel contract tussen twee partijen, dat bepaalt dat op een afgesproken tijdstip een product zal worden verhandeld tegen een vastgelegde prijs.

• Bij een future ligt de verkoop dus al vast, wat bij een optie niet het geval is.

Beleggingsfondsen verzamelen verschillende personen die namens een groep beleggen in een portefeuille die zowel aandelen als obligaties bevat. Men noemt deze fondsen soms ook ICB’s (Instellingen voor Collectieve Belegging).

De voornaamste soorten zijn de bevek en de bevak.

Beveks zijn open fondsen met een variabel kapitaal. Er kunnen steeds nieuwe effecten in het fonds gestopt worden en de belegger kan altijd in of uit de bevek stappen.

Bevaks zijn gesloten fondsen met een vast kapitaal. Ze hebben een vast aantal effecten en zijn verplicht, indien mogelijk, een periodiek dividend uit te keren.

Beleggers die uit een bevak willen stappen, moeten die verkopen op de beurs.

Pienter Investor Services Bank > diverse dividenden RBC Pienter Investor Services Bank S.A.

r

Société Anonyme

pl aa

deelt mee dat de respectieve Raden van Bestuur van de beveks hieronder beslist hebben de volgende dividenden uit te keren voor de winstuitkerende aandelen:

Pienter Money Market, bevek naar Luxemburgs recht

em

Compartiment ISIN-code Coupon nummer Valuta Brutobedrag * TID Pienter Money Market Euro LU0093583234 10 EUR 11,60 11,60 Pienter Money Market USD LU0094032728 9 USD 19,00 19,00 * In België zijn de dividenden van de bevek Pienter Money Market onderworpen aan een roerende voorheffing die 30 % bedraagt.

De dividenden die niet binnen de vijf jaar na de datum van betaalbaarstelling worden opgeëist, worden voor de begunstigden vervallen verklaard en teruggestort naar de betrokken klasse(n).

jk ex

Bij aandelen zijn er aan- en verkoopkosten.

Op de Brusselse beurs kunnen die 1 % bedragen, met een minimum van 25 euro.

ki

Aan de aankoop van nieuwe obligaties zijn geen kosten verbonden, maar wie bestaande obligaties aankoopt of verkoopt, moet een beurstaks van 0,09 %, een noteringsrecht en een makelaarsloon betalen.

In

Daarbovenop dient de koper de ‘verlopen rente’ te betalen. Dit is het bedrag van de intrest sinds de laatste uitbetaling van de vorige intrest.

Obligaties kunnen tegen pari, onder pari of boven pari worden aangeboden door de uitgever, afhankelijk van de evolutie van de rentevoet tussen de aankondiging en de verdeling van de obligaties.

Voorbeeld Een obligatie met een aangekondigde rentevoet van 2 % kan worden uitgegeven: − tegen pari als de rentevoet ondertussen niet gewijzigd is; – boven pari (bv. aan 101 %) als de rentevoet gedaald is; – onder pari (bv. aan 99 %) als de rentevoet gestegen is.

Op intresten of dividenden moet in België 30 % roerende voorheffing worden betaald.

Deze belasting wordt onmiddellijk afgehouden en doorgestort aan de fiscus.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

45

3.2

Obligaties Tot 1 januari 2008 waren obligaties op papier gedrukt.

Dat hield onder andere in dat het waardepapieren ‘aan toonder’ waren. Dat betekent dat diegene die ze in zijn bezit had, er de eigenaar van was, zoals dat ook met geld het geval is.

pl aa

r

In de papieren versie bestaat een obligatie uit twee delen: de mantel en het couponblad.

Op de mantel staan onder andere de waarde van de obligatie, de rentevoet en de looptijd.

Het couponblad vertegenwoordigt de bruto-intresten.

Bij de meeste obligaties kan de eigenaar jaarlijks de coupons afknippen en die verzilveren.

Bij sommige obligaties is de laatste coupon in de mantel vervat.

De voornaamste soorten obligaties zijn staatsbons, kasbons en verzekeringsbons.

OBLIGATIES kasbons

em

staatsbons

• Kasbons worden op alle tijdstippen van een jaar uitgegeven door een financiële instelling.

• Er zijn geen taksen bij de aankoop op de primaire markt (voor waarden die voor de eerste keer worden verkocht; kopen op de primaire markt kan enkel tijdens de inschrijvingsperiode).

• De aankoopkosten variëren van 0 tot 4 %, afhankelijk van de verzekeraar.

• Er geldt een vrijstelling van roerende voorheffing als de looptijd langer is dan 8 jaar of als er een overlijdensdekking van minstens 130 % is.

In

• De intresten zijn onderworpen aan 30 % roerende voorheffing.

• Intrest: jaarlijkse inning

1 2 3 4 5

• Intrest: jaarlijkse inning of kapitalisatie

• Intrest: kapitalisatie

Eeuwigdurende obligaties zijn effecten zonder vastgestelde looptijd. Ze zijn ook ‘achtergesteld’, wat betekent dat de koper niet zeker is van zijn kapitaal bij eventuele faling van het bedrijf dat de obligaties heeft uitgeschreven.

Converteerbare obligaties zijn effecten die uitgegeven zijn door een bedrijf en kunnen omgezet worden in aandelen.

Inflatiegelinkte obligaties zijn effecten waarbij het rendement wordt aangepast aan de inflatievoet.

Dit is de vermindering van de waarde van geld door de stijging van de consumptieprijzen.

6

46

• Verzekeringsbons worden op alle tijdstippen van een jaar uitgegeven door een verzekeringsmaatschappij.

ki

jk ex

• Staatsbons worden op vier vaste tijdstippen per jaar uitgegeven door de Belgische Staat.

verzekeringsbons

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

3.3

Intrestberekening

3.3.1 Jaarlijkse inning van de intrest De intrest wordt jaarlijks geïnd bij staatsbons en bij kasbons zonder kapitalisatie.

Vaste rentevoet Marco heeft een staatsbon van 2 000 euro met een looptijd van 5 jaar en een rentevoet van 1,50 %.

Bereken de totale netto-intrest na 5 jaar.

1

3

4

5

30 1,50 % e.i.

30

r

1,50 % e.i.

2

1,50 % e.i.

pl aa

0

30

1,50 % e.i.

30

1,50 % e.i.

jk ex

Progressieve rentevoet

em

couponwaarde: 2 000 ⴢ 0,015 = 30 euro netto couponwaarde: 0,70 ⴢ 30 = 21 euro De totale netto-intrest is 5 ⴢ 21 = 105 euro.

30

Marina heeft een kasbon van 7 000 euro met een looptijd van 5 jaar en een progressieve rentevoet.

De rentevoet voor de eerste 3 jaar is 1,35 % en voor de volgende 2 jaar 1,65 %.

Bereken de totale netto-intrest na 5 jaar.

1

2

3

4

5

ki

0

In

1,35 % e.i.

1,35 % e.i.

1,35 % e.i.

1,65 % e.i.

1,65 % e.i.

De netto couponwaarde van de eerste 3 coupons is De netto couponwaarde van de laatste 2 coupons is De totale netto-intrest is

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

47

3.3.2 Kapitalisatie van de intrest Definitie

Kapitalisatievoet De kapitalisatievoet is het percentage dat je op de gekapitaliseerde intresten verkrijgt.

De intresten worden gekapitaliseerd bij kasbons met automatische kapitalisatie (kapitalisatiebons of nulcouponobligaties) en bij verzekeringsbons.

De kapitalisatievoet is hierbij altijd gelijk aan de rentevoet.

Voorbeeld 1

r

Isabelle bezit een kapitalisatiebon van 2 500 euro met een looptijd van 6 jaar.

De rentevoet is 1,75 %.

Bereken de netto-intrest op de vervaldag.

pl aa

Oplossing:

Omdat de rentevoet en de kapitalisatievoet gelijk zijn, kun je de hoofdformule voor samengestelde intrest gebruiken om het eindkapitaal na 6 jaar te berekenen.

K6 =

K6 − k = De netto-intrest is

jk ex

Voorbeeld 2

em

De totale bruto-intrest na 6 jaar is dus

Karel koopt een verzekeringsbon van 6 000 euro. De rentevoet is 1,90 %.

Omdat hij vrij wil zijn van roerende voorheffing, maar geen overlijdensverzekering wil nemen, moet de looptijd hoger zijn dan 8 jaar. Hij neemt een looptijd van 8 jaar en 1 dag.

Bereken de intrest.

ki

Oplossing:

1 2 881 = ⇒ Kn = 360 360

In

n=8⫹

I = Kn − k =

1 2 3

Wie een overlijdensverzekering afsluit, duidt een ’begunstigde’ aan.

Bij overlijden wordt het volledige kapitaal van de verzekeringsbon aan de begunstigde uitgekeerd, vermeerderd met alle verworven intresten, met een minimum van 130 % van het oorspronkelijke kapitaal.

De jaarlijkse premie die voor deze verzekering betaald moet worden, is afhankelijk van het verzekerd kapitaal, de looptijd, de leeftijd en het geslacht.

4 5 6

48

Paragraaf 3.3.3 (Facultatieve kapitalisatie van de intrest) vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

Oefeningen REEKS A Bereken de totale netto-intrest voor een kasbon van 2 500 euro met jaarlijkse inning van de intresten. De looptijd is 4 jaar en de rentevoet 1,45 %.

2

Roxana heeft een staatsbon van 6 000 euro met een looptijd van 5 jaar.

De rentevoet is 1,90 %. Bereken de totale netto-intrest.

3

Bereken het netto-eindkapitaal voor een staatsbon van 4 800 euro.

De rentevoet is 1,60 % en de looptijd 3 jaar.

Roel bezit een verzekeringsbon van 3 000 euro met 130 % overlijdensdekking.

De looptijd is 5 jaar en de rentevoet 1,75 %. Bereken de netto-intrest na 5 jaar.

In

4

ki

jk ex

em

pl aa

r

1

5

Bereken het netto-eindkapitaal voor een kapitalisatiebon van 1 500 euro met een looptijd van 8 jaar en een rentevoet van 2 %.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

49

Cindy koopt een kasbon van 1 200 euro met progressieve rentevoet, zonder kapitalisatie.

De rentevoet voor de eerste 4 jaar is 1,50 % en voor het vijfde en zesde jaar 1,60 %.

Bereken de totale netto-intrest.

7

Bereken de netto-eindwaarde van een kasbon zonder kapitalisatie van 4 000 euro.

De looptijd is 5 jaar. De rentevoet voor de eerste 3 jaar is 1,40 %, daarna stijgt de rentevoet ieder jaar met 0,15 %.

8

Ibrahim bezit een verzekeringsbon van 10 000 euro met een looptijd van 6 jaar.

De rentevoet is 2,10 %. Bereken zijn totale netto-intrest.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

6

9

Voor een verzekeringsbon van 2 600 euro worden 1,50 % instapkosten aangerekend.

De looptijd van de bon is 8 jaar en 1 maand en de rentevoet 1,70 %. a) Bereken de totale netto-intrest.

1 2

b) Bereken de nettowinst als je rekening houdt met de instapkosten.

3 4 5 6

50

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

REEKS B Sommige langlopende kapitalisatiebons hebben tussentijdse vervaldagen.

Op die data kun je het belegde geld, samen met de intresten, vervroegd opvragen.

10

Een kapitalisatiebon van 3 200 euro heeft een looptijd van 10 jaar en tussentijdse vervaldagen na 4 en na 7 jaar. De rentevoet voor de eerste 4 jaar is 1,50 %, voor de volgende 3 jaar 1,75 % en voor de laatste 3 jaar 2 %. Bereken de netto-eindwaarde van deze bon

r

a) op de eerste tussentijdse vervaldag.

pl aa

b) op de tweede tussentijdse vervaldag.

Een kapitalisatiebon van 15 000 euro heeft een looptijd van 12 jaar en tussentijdse vervaldagen om de 4 jaar. De rentevoet tot de eerste vervaldag is 1,60 %.

Daarna stijgt de rentevoet voor iedere bijkomende periode met 0,20 %. Bereken de netto-intresten

jk ex

11

em

c) op de eindvervaldag.

In

ki

a) op de eerste tussentijdse vervaldag.

b) op de tweede tussentijdse vervaldag.

c) op de eindvervaldag.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

51

Bij sommige kasbons kun je kiezen voor een maandelijkse of trimestriĂŤle uitbetaling van de intresten.

Dat is vooral interessant voor gepensioneerden en renteniers (mensen die voldoende kapitaal hebben om van hun intresten te leven).

De looptijd van die bons varieert van 1 tot 10 jaar. Op de vervaldag wordt het belegde kapitaal tegen 100 % terugbetaald en kan de kasbon hernieuwd worden op de effectenrekening.

Om een extraatje te hebben boven op hun pensioen, kopen George en Georgette voor 200 000 euro aan kasbons met een looptijd van 6 jaar en een rentevoet van 1,90 %.

Ze opteren ervoor om de rente maandelijks te laten uitkeren.

Hoeveel zullen ze iedere maand netto ontvangen?

13

Jeff wil van zijn renten kunnen leven.

Daarom wil hij kasbons kopen die hem maandelijks 3 000 euro aan netto-intresten opleveren.

Bereken de totale waarde aan kasbons die hij moet aankopen als de rentevoet 2 % is.

14

Rosa koopt op haar zestigste een verzekeringsbon ter waarde van 15 000 euro. De looptijd is 5 jaar, de instapkosten bedragen 2 % en de rentevoet is 1,80 %. Na 5 jaar wil ze met het netto-eindkapitaal kasbons kopen met maandelijkse uitbetaling van de intresten. De rentevoet is 1,60 %.

ki

jk ex

em

pl aa

r

12

In

a) Bereken het netto-eindkapitaal na 5 jaar (hou rekening met roerende voorheffing).

1

b) Hoeveel zal ze vanaf haar vijfenzestigste iedere maand netto ontvangen?

Rond hiervoor het bedrag van vraag a af op 100 euro.

2 3 4 5 6

52

De oefeningen 15, 16 en 17 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

3.4

Berekening van het nettorendement

3.4.1 Definitie Definitie

Nettorendement Het nettorendement R is de jaarlijkse nettorentevoet, rekening houdend met belastingen, taksen en instapkosten.

A

3.4.2 Jaarlijkse inning van de intrest A

Voorbeeld 1

pl aa

r

Een staatsbon van 5 000 euro heeft een looptijd van 6 jaar en een rentevoet van 1,75 %.

De couponwaarde is 5 000 ⴢ 0,017 5 = 87,50.

De netto couponwaarde is 0,70 ⴢ 87,50 = 61,25.

De netto-intrest is I ⬘ = 6 ⴢ 61,25 = 367,50 euro.

Om het nettorendement R te berekenen, los je de vergelijking 367,50 = 5 000 ⴢ R ⴢ 6 op naar R. 367,50 = 0,012 250 = 1,225 0 %.

5 000 ⴢ 6

Formule

em

R=

Als I ⬘ de totale netto-intrest is, dan geldt: I⬘ kⴢn

jk ex

I⬘ = k ⴢ R ⴢ n ⇒ R = Opmerking

De simpele berekening 0,70 ⴢ 0,017 5 = 0,012 25 levert dezelfde waarde voor R. In het geval van een vaste rentevoet kan de formule dus herleid worden tot R = 0,70 ⴢ i.

Nettorendement bij obligaties met jaarlijkse inning van de intrest

ki

Formule

A

I⬘ (algemeen) kⴢn

of

R = 0,70 ⴢ i (vaste rentevoet)

In

R=

Voorbeeld 2

Bereken het nettorendement voor een kasbon van 800 euro met een looptijd van 5 jaar, als de rentevoet 1,60 % is voor de eerste 3 jaren en 1,80 % voor de laatste 2 jaren.

Oplossing: couponwaarde 1 t.e.m. 3: couponwaarde 4 en 5: I= I⬘ = R=

= =

=

%

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

53

3.4.3 Kapitalisatiebons A

Voorbeeld Een kapitalisatiebon van 5 000 euro heeft een looptijd van 6 jaar en een rentevoet van 1,90 %.

De eindwaarde na 6 jaar is K 6 = 5 000 ⴢ 1,019 6 = 5 597,77 euro.

De totale bruto-intrest is dus K 6 − k = 597,77 euro.

De netto-intrest is I ⬘ = 0,70 ⴢ 597,77 = 418,44 euro.

Het netto-eindkapitaal is 5 000 + 418,44 = 5 418,44 euro.

Om het nettorendement R te bepalen, los je de vergelijking 5 000 ⴢ (1 + R) 6 = 5 418,44

5 418,44 ⇒1+R= 5 000

冑 6

5 418,44 ⇒R= 5 000

Formule Als I⬘ de totale netto-intrest is, dan geldt: k ⴢ (1 + R) = k + I ⬘ ⇒ (1 + R) =

Formule

n

6

5 418,44 − 1 = 0,013 485 = 1,348 5 % 5 000

k + I⬘ ⇒R= k

冑 n

k + I⬘ −1 k

em

n

冑

pl aa

(1 + R) 6 =

r

op naar R.

Nettorendement bij obligaties met kapitalisatie van de intrest

冑 n

k + I⬘ −1 k

jk ex

R=

3.4.4 Verzekeringsbons

ki

A

In

Stel: k⬘ is de som van het beginkapitaal en de instapkosten, dan geldt de volgende formule.

Formule

Nettorendement bij verzekeringsbons R=

冑 n

k + I⬘ −1 k⬘

Als de verzekeringsbon een looptijd heeft van meer dan 8 jaar of een overlijdensdekking van 130 %, dan moet je geen roerende voorheffing betalen en dan is I ⬘ = I. 1 2 3 4 5 6

54

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

3.4.5 Voorbeelden Voorbeeld 1

10 ISIN-code Rentevoet Uitgifteprijs Uitgiftedatum Vervaldatum Terugbetalingsprijs Onderworpen aan de roerende voorheffing

jaar

BE3871277070 0,75 % a pari 4 juni 2018 4 juni 2028 a pari ja

Je ziet een aankondiging over een staatsbon op de site van het Agentschap van de Belgische Schuld.

Bereken het nettorendement.

r

Voorbeeld 2

jk ex

em

pl aa

Een kasbon van 600 euro heeft een looptijd van 7 jaar en een progressieve rentevoet.

Voor de eerste 3 jaar ontvang je 1,30 %, voor de volgende 2 jaar 1,50 % en voor de laatste 2 jaar 1,60 %.

Bereken het nettorendement.

Voorbeeld 3

ki

Bereken het nettorendement van een kapitalisatiebon met een beginwaarde van 1 400 euro, een looptijd van 4 jaar en een rentevoet van 1,40 %.

In

A

Voorbeeld 4 Marianne heeft een verzekeringsbon van 4 500 euro met een looptijd van 8 jaar en 1 maand.

De rentevoet is 1,95 %. De instapkosten bedragen 1,75 %. Bereken het nettorendement.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

55

Oefeningen REEKS A 18

Bereken het nettorendement van de kasbons zonder kapitalisatie. a) kapitaal: 500 euro

looptijd: 4 jaar

rentevoet: 1,60 %

b) kapitaal: 6 000 euro

looptijd: 3 jaar

rentevoet: 1,40 %

c) kapitaal: 1 400 euro

looptijd: 5 jaar

pl aa

r

A

jk ex

em

rentevoet: 1,35 % voor de eerste 3 jaar 1,50 % voor de laatste 2 jaar

looptijd: 6 jaar

rentevoet: 1,75 % voor de eerste 3 jaar 1,95 % voor de laatste 3 jaar

looptijd: 7 jaar

rentevoet: 1,55 % voor de eerste 3 jaar 1,70 % voor de volgende 2 jaar 1,85 % voor de laatste 2 jaar

In

ki

d) kapitaal: 2 500 euro

e) kapitaal: 750 euro

1 2 3 4 5 6

56

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

Bereken het nettorendement van de kapitalisatiebons. a) kapitaal: 2 000 euro

looptijd: 4 jaar

rentevoet: 1,50 %

b) kapitaal: 400 euro

looptijd: 3 jaar

rentevoet: 1,35 %

c) kapitaal: 1 800 euro

looptijd: 5 jaar

pl aa

r

19

jk ex

em

rentevoet: 1,65 %

looptijd: 6 jaar

rentevoet: 1,70 %

looptijd: 8 jaar

rentevoet: 1,95 %

ki

d) kapitaal: 3 400 euro

In

A

e) kapitaal: 15 000 euro

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

57

20

Bereken het nettorendement van de verzekeringsbons. a) kapitaal: 2 000 euro met 130 % overlijdensdekking looptijd: 5 jaar rentevoet: 1,70 %

instapkosten: 1,60 %

b) kapitaal: 1 400 euro looptijd: 8 jaar en 1 dag

instapkosten: 1,50 %

rentevoet: 2 %

em

pl aa

r

A

instapkosten: 1,75 %

In

ki

jk ex

c) kapitaal: 800 euro zonder overlijdensdekking looptijd: 4 jaar rentevoet: 1,60 %

d) kapitaal: 4 000 euro looptijd: 8 jaar en 1 maand

rentevoet: 1,90 %

1 2 3 4 5 6

58

De oefeningen 21 en 22 vind je op diddit.

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

instapkosten: 0,75 %

REEKS C Inflatie is een vermindering van de waarde van het geld door de stijging van de consumptieprijzen.

Om de inflatie weer te geven wordt de Consumenten Prijsindex (CPI) gebruikt.

De tabel geeft een overzicht van de inflatie in België van 2011 tot 2018.

INFLATIE (%) 2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

3,53 %

2,84 %

1,11 %

0,34 %

0,56 %

1,97 %

2,13 %

2,05 %

Om de gemiddelde inflatie over enkele jaren te berekenen, gebruik je het meetkundig gemiddelde.

Voorbeeld: de gemiddelde inflatie van 2014 tot en met 2017: 冪1,003 4 ⴢ 1,005 6 ⴢ 1,019 7 ⴢ 1,021 3 = 1,012 5

r

4

pl aa

De gemiddelde inflatie bedroeg dus 1,25 % per jaar.

Om het jaarlijks nettorendement R⬘ te berekenen, rekening houdend met de inflatie, gebruik je de volgende formules: • kasbons zonder kapitalisatie: R⬘ = R – INFL

冑 冑 n

k″ + I⬘ − 1 (k″ is de reële waarde van het kapitaal k k op de eindvervaldag),

em

• kapitalisatiebons: R ⬘ =

(INFL = de jaarlijkse inflatie),

23

k″ + I⬘ − 1 (k⬘ is de som van het beginkapitaal en de instapkosten). k⬘

Een obligatie met een waarde van 2 000 euro heeft een looptijd van 4 jaar en een rentevoet van 1,75 %. De gemiddelde jaarlijkse inflatie is 2 %.

Bereken het nettorendement van de obligatie in de volgende gevallen. a) een kasbon zonder kapitalisatie

ki

R = 0,70 ⴢ 0,017 5 = R ⬘ = R – INFL =

In

A

n

jk ex

• verzekeringsbons: R⬘ =

b) een kapitalisatiebon ⇒ I⬘ =

I = 2 000 ⴢ 1,017 5 4 − 2 000 =

k ″ = 2 000 ⴢ 0,98 4 = R⬘ = c) een verzekeringsbon met 1,60 % instapkosten I⬘ =

k″ =

k⬘ = R⬘ =

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

59

24

Joshua heeft een kapitalisatiebon met een waarde van 500 euro.

De rentevoet is 1,95 % en de looptijd 6 jaar.

Bereken het nettorendement als de gemiddelde jaarlijkse inflatie 1,8 % is.

25

Bereken het nettorendement van een verzekeringsbon van 3 000 euro met een looptijd van 8 jaar en 3 maanden. De rentevoet is 2,10 %, de instapkosten bedragen 1,50 % en de gemiddelde jaarlijkse inflatie is 1,60 %.

26

Bereken het nettorendement van een verzekeringsbon van 2 500 euro met een looptijd van 6 jaar.

De rentevoet is 1,80 %, de instapkosten bedragen 1,65 % en de gemiddelde jaarlijkse inflatie is 1,20 %.

In

A

ki

jk ex

em

pl aa

r

A

1 2 3 4 5 6

60

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

STUDIEWIJZER Beleggingen 3.1 Effecten KUNNEN Het verschil uitleggen tussen aandelen en obligaties.

3.2 Obligaties KUNNEN Het verschil uitleggen tussen kasbons, staatsbons en verzekeringsbons.

3.3 Intrestberekening KENNEN

r

De kapitalisatievoet is het percentage dat je verkrijgt op de gekapitaliseerde intresten.

pl aa

KUNNEN

De netto-intrest berekenen bij obligaties met • jaarlijkse inning van de intrest (kasbons zonder kapitalisatie en staatsbons), • kapitalisatie van de intrest (kapitalisatiebons en verzekeringsbons), • facultatieve kapitalisatie van de intrest (groeibons).

Het verschil uitleggen tussen rentevoet en kapitalisatievoet.

em

3.4 Berekening van het nettorendement

KENNEN

jk ex

Het nettorendement R is de jaarlijkse nettorentevoet, rekening houdend met belastingen, taksen en instapkosten.

Het nettorendement R bij obligaties met jaarlijkse inning van de intrest is gelijk aan I⬘ (algemeen) of R = 0,70 ⴢ i (vaste rentevoet) R= kⴢn Het nettorendement R bij obligaties met kapitalisatie van de intrest is gelijk aan k + I⬘ n −1 R= k

冑

ki

Het nettorendement R bij verzekeringsbons is gelijk aan R =

冑 n

k + I⬘ −1 k⬘

KUNNEN

In

Het nettorendement berekenen bij obligaties met • jaarlijkse inning van de intrest (kasbons zonder kapitalisatie en staatsbons), • kapitalisatie van de intrest (kapitalisatiebons en verzekeringsbons), • facultatieve kapitalisatie van de intrest (groeibons).

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

61

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

62

HOOFDSTUK 3 I BELEGGINGEN

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

4.1

Definitie

4.2

Hoofdformule voor

₆₄

een postnumerando annuïteit 4.3

Voorbeelden

4.5

pl aa

r

4.4 Toepassingen op de hoofdformule Hoofdformule voor

een prenumerando annuïteit

4.6 Toepassingen op de hoofdformule 4.7

Annuïteiten en ICT

₈₀ ₈₁ ₈₂ ₈₈

In

ki

jk ex

em

Studiewijzer

₆₅ ₆₆ ₆₇

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

63

4.1

Definitie Voorbeelden 1) Op 15 maart komt Karel met zijn bank het volgende spaarplan overeen: gedurende 10 jaar stort hij ieder jaar een bedrag van 1 500 euro op een spaarrekening, te beginnen vanaf 15 maart van het volgende jaar, en elk gespaard bedrag staat uit tegen 1,90 % samengestelde intrest.

2) De ouders van Luna storten ieder trimester, vanaf de dag van haar geboorte, 200 euro op een rekening die 1,70 % samengestelde intrest per jaar opbrengt.

Op haar achttiende verjaardag krijgt Luna het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk.

Definitie

pl aa

r

3) Tim en Tania hebben een huis gekocht en hebben daarvoor bij de bank een lening van 220 000 euro aangegaan tegen een jaarlijkse rentevoet van 3,60 %.

Om die lening af te betalen moeten ze 20 jaar lang iedere maand 1 280,71 euro betalen.

De eerste afbetaling gebeurt 1 maand na het ontvangen van het geleende bedrag.

Annuïteit

Benamingen

em

Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest.

jk ex

• Het woord annuïteit komt van het Latijnse annus, wat ‘jaar’ betekent. De stortingen kunnen ook semestrieel (semestrialiteiten), trimestrieel (trimestrialiteiten) of maandelijks (mensualiteiten) gebeuren. In de financiële wereld wordt meestal alleen het woord annuïteit gebruikt.

• Een annuïteit kan een vorm van sparen zijn (kapitaalvorming), zoals in de voorbeelden 1 en 2 of een afbetaling van een lening (schulddelging), zoals in voorbeeld 3. Dit hoofdstuk gaat over de kapitaalvorming. De leningen komen in de volgende hoofdstukken aan bod.

• Het periodiek gestorte bedrag noem je het termijnbedrag van de annuïteit.

In

ki

• Als je de termijnbedragen op het einde van elke periode stort, dan spreek je van een postnumerando (of achterafbetaalde) annuïteit. Stort je bij het begin van elke periode, dan heb je te maken met een prenumerando (of voorafbetaalde) annuïteit.

Vul de tabel in. termijnbedrag voorbeeld 1 voorbeeld 2

1 2

voorbeeld 3

3 4 5 6

64

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

postnumerando/prenumerando

4.2

Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit Voorbeeld Adam komt op 4 augustus met zijn bank overeen dat hij ieder jaar 1 000 euro op een rekening zal storten. De eerste storting zal gebeuren op 4 augustus van het volgende jaar en de laatste storting op 4 augustus vijf jaar later.

Elk gestort bedrag staat uit tegen 1,50 % samengestelde intrest.

Over welk bedrag zal hij beschikken bij het beëindigen van het contract?

1

2

3

4

5

4 jaar

1 000

1 000 . 1,0154 3 jaar

1 000

2 jaar

1 000 . 1,0152

pl aa

1 000

1 000 . 1,0153

r

0

1 000

1 jaar

1 000 . 1,015

em

1 000

1 000 ⴢ 1,015 4 + 1 000 ⴢ 1,015 3 + 1 000 ⴢ 1,015 2 + 1 000 ⴢ 1,015 + 1 000 = Het eindkapitaal van Adam is

jk ex

Formule

euro.

De manier van berekenen van het inleidend voorbeeld kan je heel wat werk bezorgen.

Denk bijvoorbeeld aan een annuïteit van 10 jaar met maandelijkse termijnbedragen.

Je stelt daarom een formule op die de eindwaarde oplevert zonder dat je het eindkapitaal van elke afzonderlijke storting moet berekenen.

ki

Stel: a = het termijnbedrag, n = het aantal stortingen, i = de rentevoet en A n = de eindwaarde

In

A n = a ⴢ u n − 1 + a ⴢ u n − 2 + ... + a ⴢ u + a A n ⴢ u = a ⴢ u n + a ⴢ u n − 1 + ... + a ⴢ u 2 + a ⴢ u

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

A n ⴢ u = a ⴢ u n + a ⴢ u n − 1 + ... + a ⴢ u 2 + a ⴢ u + a − a An

An ⴢ u − An = a ⴢ u − a n

A n ⴢ (u − 1) = a ⴢ (u n − 1) A n ⴢ i = a ⴢ (u n − 1) An = a ⴢ

Formule

un − 1 i

Eindwaarde van een postnumerando annuïteit An = a ⴢ

un − 1 i

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

65

4.3

Voorbeelden Pensioensparen kan op verschillende manieren.

pl aa

r

De voornaamste soorten zijn: • het pensioenspaarfonds: een fonds dat door een beursvennootschap wordt beheerd.

Het belegde kapitaal is niet beschermd.

• de pensioenspaarverzekering: een levensverzekering die recht geeft op een belastingvermindering.

In dat geval is het kapitaal wel beschermd.

Als je het spaarplan begonnen bent vóór je 55ste, wordt 92 % van het kapitaal uitbetaald op je 60ste.

Er wordt met andere woorden 8 % belasting geheven.

Bij een vervroegde opvraging wordt een aanslagvoet van 33 % geheven.

Voorbeeld 1

a = 700

Gevraagd:

An

i = 0,025

n = 20

un − 1 = i

jk ex

Gegeven:

em

Op haar veertigste besluit Monique een pensioenspaarverzekering te openen.

In samenspraak met haar makelaar onderschrijft ze een contract om ieder jaar postnumerando 700 euro te storten tot ze 60 jaar is.

De verzekeringsmaatschappij zegt dat ze mag rekenen op een jaarlijkse opbrengst van 2,5 %.

Bereken het eindbedrag op haar zestigste.

Oplossing:

An = a ⴢ

Voorbeeld 2

In

ki

Vanaf 1 maart mag Milan aan het werk.

Hij besluit om via een doorlopende opdracht op het einde van iedere maand 250 euro naar zijn spaarrekening over te schrijven.

Over welk eindkapitaal zal Milan over 5 jaar beschikken als de jaarlijkse rentevoet 0,50 % bedraagt?

1

Gegeven:

a=

Gevraagd:

An

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

2

i=

i 12 = 12冪1 + i − 1 = 12冪1,005 − 1 =

3

• Berekening van de eindwaarde:

4

An = a ⴢ

5 6

66

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

u n12 − 1 = i 12

n=

4.4

Toepassingen op de hoofdformule

4.4.1 Berekening van het termijnbedrag Voorbeeld 1

r

In december komt het fanfarebestuur samen.

Eén van de agendapunten is het bijeensparen van 15 000 euro voor de vernieuwing van de instrumenten.

Het bestuur besluit om halfjaarlijks een bedrag op een spaarrekening te storten en de eerste storting eind juni van het volgende jaar te doen.

pl aa

Hoeveel moet de fanfare semestrieel storten om binnen 5 jaar het beoogde bedrag te hebben, als de jaarlijkse rentevoet 1,70 % bedraagt?

Gegeven:

An =

Gevraagd:

a

Oplossing:

• Berekening van de semestriële rentevoet:

n=

em

i=

i2 =

jk ex

• Berekening van het termijnbedrag: An = a ⴢ

i2

n 2

u −1

=

In

ki

a = An ⴢ

u n2 − 1 i2

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

67

4.4.2 Berekening van het aantal termijnbedragen Hoeveel jaarlijkse postnumerando stortingen van 3 000 euro moet je doen om een eindkapitaal van 35 000 euro te verkrijgen? De rentevoet is 2 %. i = 0,02 ⇒ u = 1,02

Gevraagd:

n

Oplossing:

An = a ⴢ

un − 1 i

un − 1 =

An ⴢ i a

un =

An ⴢ i +1 a

n ⴢ log u = log log

冉

冊 冊 冉

An ⴢ i +1 a

冊

An ⴢ i 35 000 ⴢ 0,02 +1 +1 log a 3 000 = = 10,590 54 log u log 1,02

em

n=

冉

A n = 35 000

r

a = 3 000

pl aa

Gegeven:

Het aantal termijnbedragen moet een natuurlijk getal zijn.

jk ex

Bekijk de volgende twee mogelijkheden.

• 11 stortingen met een lagere laatste storting: A 11 = 3 000 ⴢ

1,02 11 − 1 = 36 506,15 0,02

In

ki

36 506,15 – 35 000 = 1 506,15 (te veel gestort de elfde keer).

Je doet 10 stortingen van 3 000 euro en een elfde storting van 1 493,85 euro.

• 10 stortingen met een hogere laatste storting: A 10 = 3 000 ⴢ

1,02 10 − 1 = 32 849,16 0,02

35 000 – 32 849,16 = 2 150,84 (te weinig gestort de tiende keer).

Je doet 9 stortingen van 3 000 euro en een tiende storting van 5 150,84 euro.

1 2 3 4 5 6

68

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

4.4.3 Berekening van de rentevoet Julie heeft de afgelopen 5 jaar iedere maand postnumerando 150 euro gespaard.

Het eindkapitaal bedraagt 9 353,99 euro. Bereken de jaarlijkse rentevoet.

Gegeven:

a = 150

n = 60

A n = 9 353,99

Gevraagd:

i

Oplossing:

Je bepaalt eerst de maandelijkse rentevoet. u n12 − 1 (1 + i 12) 60 − 1 ⇔ 9 353,99 = 150 ⴢ i 12 i 12 Dat is een vergelijking van de 60e graad! Om deze vergelijking op te lossen gebruik je een iteratiemethode. De meest gebruikte is de regula falsi of koordenmethode.

r

An = a ⴢ

n

pl aa

(1 + x) − 1 Beschouw de functie f(x) = a ⴢ x

en stel dat r de gezochte rentevoet is, k een benadering te klein en g een benadering te groot. f(x) = eindwaarde

De koorde door (k, f(k)) en (g, f(g)) heeft als vergelijking

em

f(g)

f(k)

jk ex

f(r)

x = rentevoet

b

r

g

f(g) − f(k) g−k

ⴢ (x − k)

Het punt (b, f(r)) behoort tot die koorde: f(r) − f(k) =

f(g) − f(k) g−k

ⴢ (b − k)

f(r) − f(k)

ⴢ (g − k) f(g) − f(k) b is dan een betere benadering voor r dan k. b=k+

ki

k

y − f(k) =

In

Je herhaalt telkens opnieuw hetzelfde proces tot f(b) = f (r) op 0,01 nauwkeurig, of tot het verschil tussen twee opeenvolgende benaderingen kleiner is dan 0,000 1.

Stel: f (x) = 150 ⴢ

(1 + x) 60 − 1 x

• f (k) = f (0,001) = 9 270,71 en f(g) = f(0,002) = 9 552,13 • b = 0,001 +

9 353,99 − 9 270,71 ⴢ 共0,002 − 0,001兲 = 0,001 295 9 552,13 − 9 270,1

f (0,001 295) = 9 352,59 • b 2 = 0,001 295 +

9 353,99 − 9 352,59 ⴢ 共0,002 − 0,001 295兲 = 0,001 3 9 552,13 − 9 352,59

f (0,001 3) = 9 353,99 = A n De gevraagde maandelijkse rentevoet is dus 0,13 %.

De gelijkwaardige jaarlijkse rentevoet is 1,571 2 %.

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

69

Oefeningen REEKS A 1

Bereken de eindwaarde van de postnumerando annuĂŻteit. rentevoet = 1,80 %

rentevoet = 0,40 % per trimester

jk ex

em

b) termijnbedrag = 250 euro per trimester looptijd = 5 jaar

pl aa

r

a) termijnbedrag = 700 euro per jaar looptijd = 10 jaar

rentevoet = 0,15 % per maand

In

ki

c) termijnbedrag = 100 euro per maand looptijd = 8 jaar

d) termijnbedrag = 1 250 euro per semester looptijd = 15 jaar

1 2 3 4 5 6

70

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

rentevoet = 0,85 % per semester

Bereken de eindwaarde van de postnumerando annuĂŻteit. rentevoet = 2 % per jaar

b) termijnbedrag = 2 500 euro per semester looptijd = 4 jaar

rentevoet = 1,65 % per jaar

r

a) termijnbedrag = 220 euro per maand looptijd = 6 jaar

em

pl aa

2

rentevoet = 1,45 % per jaar

In

ki

jk ex

c) termijnbedrag = 500 euro per trimester looptijd = 3 jaar

d) termijnbedrag = 150 euro per maand looptijd = 7 jaar

rentevoet = 1,75 % per jaar

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

71

Bereken het termijnbedrag van de postnumerando annuïteit. rentevoet = 1,95 % jaarlijkse stortingen

b) eindwaarde = 12 598,24 euro looptijd = 8 jaar

rentevoet = 1 % per semester semestriële stortingen

r

a) eindwaarde = 18 025,79 euro looptijd = 10 jaar

em

pl aa

3

rentevoet = 0,12 % per maand maandelijkse stortingen

In

ki

jk ex

c) eindwaarde = 18 788,72 euro looptijd = 6 jaar

d) eindwaarde = 66 281,53 euro looptijd = 15 jaar

1 2 3 4 5 6

72

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

rentevoet = 0,50 % per trimester trimestriële stortingen

Bereken het termijnbedrag van de postnumerando annuïteit. rentevoet = 1,90 % per jaar maandelijkse stortingen

b) eindwaarde = 76 123,70 euro looptijd = 12 jaar

rentevoet = 2,10 % per jaar trimestriële stortingen

r

a) eindwaarde = 20 185,75 euro looptijd = 7 jaar

em

pl aa

4

rentevoet = 2,25 % per jaar semestriële stortingen

In

ki

jk ex

c) eindwaarde = 150 305,21 euro looptijd = 20 jaar

d) eindwaarde = 7 775,87 euro looptijd = 2 jaar

rentevoet = 1,30 % per jaar maandelijkse stortingen

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

73

REEKS B Frederik is 30 jaar en doet aan pensioensparen.

Elk trimester stort hij postnumerando 200 euro. De jaarlijkse rentevoet is 1,95 %.

Welk bedrag zal hij ontvangen als hij 65 jaar is, na aftrek van 8 % belastingen?

6

Jos en Joke wonen samen en huren al 6 jaar een woning. In die jaren hebben ze op het einde van elke maand 850 euro op een woonspaarrekening gezet die hen 1,50 % per jaar oplevert.

Hun droomhuis kost 320 000 euro. Hoeveel zullen ze moeten lenen?

7

Je hebt 5 000 euro op een termijnrekening staan. De looptijd is 4 jaar en de rentevoet 1,45 %.

Jaarlijks worden de intresten op een spaarrekening gestort met een rentevoet van 0,25 %.

Bereken de totale netto-intrest.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

5

8

Geraldine stort 3 250 euro op een termijnrekening met een looptijd van 5 jaar. De rentevoet is 1,80 %.

Bereken de totale netto-intrest na 5 jaar, als na elk jaar de intresten op een zichtrekening met een rentevoet van 0,05 % worden gestort.

1 2 3 4 5 6

74

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

Om een eindkapitaal van 50 000 euro te verkrijgen, willen Mathilde en Zohra gedurende 15 jaar op het einde van ieder trimester een bedrag storten. De jaarlijkse rentevoet is 2,10 %.

Hoeveel moeten ze trimestrieel storten?

Stel dat je op je achttiende verjaardag het plan opvat om op je vijftigste miljonair te zijn.

Hoeveel zou je dan op het einde van elke maand moeten sparen, als de jaarlijkse rentevoet 2 % is?

11

Hoeveel moet je 8 jaar lang semestrieel postnumerando storten om eenzelfde eindwaarde te verkrijgen als bij een eenmalige belegging van 15 000 euro?

Voor beide spaarplannen wordt 0,90 % per semester gerekend.

12

jk ex

em

pl aa

r

10

ki

9

In

Vanaf 1 januari dit jaar spaart Fien op het einde van elke maand 20 euro. Haar broer Niels wil vanaf 1 januari volgend jaar, ook op het einde van elke maand, een vast bedrag opzijzetten zodat hij 6 jaar later over evenveel geld als Fien kan beschikken.

De rentevoet bij het spaarplan van Fien is 1,25 %, bij dat van Niels is het 1,15 %.

Welk bedrag moet Niels maandelijks sparen?

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

75

Op de spaarrekening van Lodewijk staat op 1 januari een saldo van 1 638 euro.

Vanaf 1 februari stort hij er iedere maand 150 euro bij.

Over welk bedrag beschikt Lodewijk op 1 januari drie jaar later?

De jaarlijkse rentevoet bedraagt 0,65 %.

14

Renate is nu 20 jaar en wil op haar zestigste over een nettobedrag van 75 000 euro beschikken via een pensioenspaarplan. Hoeveel moet ze ieder jaar postnumerando storten tegen een rentevoet van 2,10 %, als je weet dat op het brutobedrag een belasting van 8 % wordt geheven?

15

Omar heeft 12 jaar lang iedere maand postnumerando 500 euro gespaard tegen een jaarlijkse rentevoet van 1,85 %. De volgende 8 jaar spaarde hij niet meer maandelijks maar trimestrieel.

De rentevoet bleef wel ongewijzigd. Na 20 jaar is het eindkapitaal 137 888 euro.

Hoe groot waren de trimestriĂŤle stortingen?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

13

1 2 3 4 5 6

76

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

REEKS C Hoeveel jaarlijkse postnumerando stortingen van 5 000 euro moet je doen om een eindkapitaal van minstens 75 000 euro bijeen te sparen? De rentevoet is 1,90 %.

17

em

Welke eindwaarde verkrijg je dan?

pl aa

r

16

Om een eindkapitaal van 25 000 euro bijeen te sparen, stort je maandelijks postnumerando 300 euro. De jaarlijkse rentevoet is 2 %.

In

ki

jk ex

a) Hoeveel stortingen moet je doen om minstens 25 000 euro te verkrijgen?

b) Hoeveel moet je de laatste maand storten om precies 25 000 euro te verkrijgen?

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

77

Brahim en Kees doen allebei mee met de spelen van de Nationale Loterij.

Het lot is hen bijzonder gunstig gezind. Brahim wint 700 000 euro met de lotto, terwijl Kees de hoofdvogel afschiet bij Win for Life: levenslang 2 000 euro per maand.

Brahim besluit het volledige bedrag voor 10 jaar vast te zetten op samengestelde intrest tegen een rentevoet van 1,75 %. Kees zet het gewonnen bedrag iedere maand op een spaarrekening met dezelfde rentevoorwaarden.

Hoelang zal Kees minstens moeten wachten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen als Brahim?

19

Op het einde van elk jaar stort je 1 450 euro. Dat doe je 15 jaar lang.

Het eindkapitaal bedraagt 25 257,41 euro. Bereken de rentevoet.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

18

1 2 3 4 5 6

78

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

Een termijnrekening van 750 euro heeft een looptijd van 6 jaar en een netto rentevoet van 1,90 %.

De intresten worden op een spaarrekening met hoog rendement gezet.

Na 6 jaar ontvang je een totale intrest van 87,33 euro. Bepaal de kapitalisatievoet.

21

Belle spaart elke maand 75 euro tot ze een eindkapitaal van 10 000 euro heeft.

em

pl aa

r

20

ki

jk ex

a) Hoelang moet ze sparen om minstens dat eindkapitaal te verkrijgen, als de maandelijkse rentevoet 0,15 % is?

In

b) Welke maandelijkse rentevoet zou ze moeten krijgen als ze 1 jaar vroeger over 10 000 euro wil beschikken?

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

79

4.5 A

Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit Voorbeeld Eva komt op 4 augustus met haar bank overeen dat ze ieder jaar 1 000 euro op een rekening zal storten. De eerste storting zal onmiddellijk gebeuren en de laatste storting op 4 augustus vier jaar later. Elk gestort bedrag staat uit tegen 1,50 % samengestelde intrest.

Over welk bedrag zal zij beschikken bij het beeïndigen van het contract?

0

1

2

3

4

5

5 jaar

1 000

1 000 . 1,0155 4 jaar 3 jaar

pl aa

1 000

1 000 . 1,0154

r

1 000

1 000

2 jaar

1 jaar

1 000 . 1,0152 1 000 . 1,015

em

1 000

1 000 . 1,0153

jk ex

1 000 ⴢ 1,015 5 + 1 000 ⴢ 1,015 4 + 1 000 ⴢ 1,015 3 + 1 000 ⴢ 1,015 2 + 1 000 ⴢ 1,015 = Het eindkapitaal van Eva is

euro.

Formule

ki

Stel: a = het termijnbedrag, n = het aantal stortingen, i = de rentevoet en A⬘n = de eindwaarde

In

A⬘n = a ⴢ u n + a ⴢ u n − 1 + ... + a ⴢ u 2 + a ⴢ u = u ⴢ (a ⴢ u n − 1 + a ⴢ u n − 2 + ... + a ⴢ u + a) = u ⴢ An

=aⴢ

1

Formule

Eindwaarde van een prenumerando annuïteit

2 3

un − 1 ⴢu i

A⬘n = a ⴢ

un − 1 ⴢu i

4 5 6

80

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

4.6

Toepassingen op de hoofdformule

4.6.1 Berekening van de eindwaarde Op 1 augustus ondertekent Dimitri een contract voor een spaarplan van 4 jaar.

Hij zal iedere maand 350 euro storten en doet meteen al de eerste storting.

De jaarlijkse rentevoet bedraagt 1,45 %. Bereken de eindwaarde.

a=

Gevraagd:

A⬘n

Oplossing:

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

i=

i 12 =

=

n=

r

Gegeven:

pl aa

A

• Berekening van de eindwaarde: u n12 − 1 ⴢ u 12 = A⬘n = a ⴢ i 12

em

=

Welk bedrag moet je jaarlijks prenumerando storten om over 10 jaar over een eindkapitaal van 25 000 euro te beschikken? De rentevoet is 2 %.

A⬘n =

Gevraagd:

a

Oplossing:

A⬘n = a ⴢ

ki

Gegeven:

In

A

jk ex

4.6.2 Berekening van het termijnbedrag

a=

i=

n=

un − 1 ⴢu i

A⬘n ⴢ i u ⴢ (u n − 1)

= =

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

81

4.7

Annuïteiten en ICT Voor berekeningen met annuïteiten gebruik je bij de grafische rekenmachine de TVM Solver, die je vindt onder de applicatie FINANCE. Om die te activeren druk je apps

B

L1

Y L1

1

Y

1

pl aa

4.7.1 Berekening van de eindwaarde

r

angle

Voorbeeld 1

em

Op haar veertigste besluit Monique een pensioenspaarverzekering te openen.

In samenspraak met haar makelaar onderschrijft ze een contract om ieder jaar postnumerando 700 euro storten tot ze 60 jaar is.

De verzekeringsmaatschappij zegt dat ze mag rekenen op een jaarlijkse opbrengst van 2,5 %.

Bereken het eindbedrag op haar zestigste.

a = 700

i = 0,025

Gevraagd:

An

Oplossing:

Vul het basisscherm van de TVM Solver in zoals op het scherm hiernaast.

jk ex

Gegeven:

• N = aantal stortingen = 20;

In

ki

• bij I% vul je 2,5 in en niet 0,025; • PV = present value; dat is bij kapitaalvorming altijd 0; • bij PMT (payment) vullen we –700 in (de GRM beschouwt het gestorte bedrag als een vermindering van geld); • P/Y = periods per year (hier 1) • C/Y = compounds per year: altijd de waarde 1 geven!

1

• PMT: END voor postnumerando;

2

• we selecteren FV (Future Value) en drukken a-lock

3

alpha

4 5 6

82

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

entry solve

enter

(SOLVE)

n = 20

Voorbeeld 2 Vanaf 1 maart mag Milan aan het werk. Hij besluit op het einde van iedere maand 250 euro te sparen.

Over welk eindkapitaal zal Milan over 5 jaar beschikken als de jaarlijkse rentevoet 1,50 % bedraagt?

Gegeven:

a = 250

Gevraagd:

An

Oplossing:

Je kunt eerst de maandelijkse rentevoet

n = 12 ⴢ 5 = 60

i = 0,015

berekenen: 12冪1,015 − 1 ≈ 0,124 1 %

pl aa

r

en te werk gaan zoals in voorbeeld 1.

em

Je kunt naast I% ook de jaarlijkse rentevoet invullen en P/Y=12 en C/Y=1 stellen.

Het (minieme) verschil in eindwaarde is te wijten aan de grotere nauwkeurigheid die de rekenmachine gebruikt bij het inwendig berekenen van de gelijkwaardige maandelijkse rentevoet.

jk ex

4.7.2 Berekening van het termijnbedrag

In

ki

In december komt het fanfarebestuur samen.

Eén van de agendapunten is het bijeensparen van 15 000 euro voor de vernieuwing van de instrumenten.

Het bestuur besluit om halfjaarlijks een bedrag op een spaarrekening te storten en de eerste storting eind juni van het volgende jaar te doen.

Hoeveel moet de fanfare semestrieel storten om binnen 5 jaar het beoogde bedrag te hebben, als de jaarlijkse rentevoet 1,70 % bedraagt?

Gegeven:

A n = 15 000

Gevraagd:

a

Oplossing:

Je geeft in bij • N

i = 0,017

n = 10

het aantal semesters;

• I% de jaarlijkse rentevoet; • FV 15 000; • P/Y 2; • C/Y 1.

• Je selecteert PMT en drukt

a-lock

alpha

entry solve

enter

.

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

83

4.7.3 Berekening van het aantal termijnbedragen Hoeveel jaarlijkse postnumerando stortingen van 3 000 euro moet je doen om een eindkapitaal van 35 000 euro te verkrijgen? De rentevoet is 2 %.

Gegeven:

a = 3 000

Gevraagd:

n

i = 0,02

A n = 35 000

Oplossing:

pl aa

• 11 stortingen met een lagere laatste storting: 36 506,15 – 35 000 = 1 506,15 (te veel gestort de elfde keer).

Je doet 10 stortingen van 3 000 euro en een 11de storting van 1 493,85 euro.

r

Het aantal termijnbedragen moet een natuurlijk getal zijn.

Je bekijkt de volgende twee mogelijkheden.

jk ex

em

• 10 stortingen met een hogere laatste storting: 35 000 – 32 849,16 = 2 150,84 (te weinig gestort de tiende keer).

Je doet 9 stortingen van 3 000 euro en een 10de storting van 5 150,84 euro.

ki

4.7.4 Berekening van de rentevoet

In

Julie heeft de afgelopen 5 jaar iedere maand postnumerando 150 euro gespaard.

Het eindkapitaal bedraagt 9 353,99 euro. Bereken de jaarlijkse rentevoet.

1 2 3

Je voert de functie f (x) = 150 ⴢ in onder Y 1.

4 5 6

84

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

(1 + x) x

60

Je voert twee − 1 startwaarden in voor de maandelijkse rentevoet.

Je wijst de waarde van B toe aan K. Je berekent volgens de iteratieformule van p. 69 een nieuwe waarde van B.

Je vindt de rentevoet door op enter te blijven drukken tot de nieuwe waarde niet meer verandert. entry solve

Oefeningen REEKS A 22

Bereken de eindwaarde van de prenumerando annuĂŻteit. rentevoet = 2,10 % per jaar

rentevoet = 1,75 % per jaar

jk ex

em

b) termijnbedrag = 850 euro per semester looptijd = 6 jaar

pl aa

r

a) termijnbedrag = 75 euro per maand looptijd = 15 jaar

rentevoet = 1,25 % per jaar

ki

c) termijnbedrag = 2 000 euro per trimester looptijd = 4 jaar

In

A

d) termijnbedrag = 500 euro per maand looptijd = 5 jaar

rentevoet = 1,55 % per jaar

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

85

Bereken het termijnbedrag van de prenumerando annuïteit. a) eindwaarde = 5 443,77 euro looptijd = 4 jaar

rentevoet = 1,50 % per jaar maandelijkse stortingen

b) eindwaarde = 20 572,22 euro looptijd = 3 jaar

rentevoet = 1,25 % per jaar trimestriële stortingen

r

23

em

pl aa

A

rentevoet = 1,85 % per jaar semestriële stortingen

In

ki

jk ex

c) eindwaarde = 93 717,90 euro looptijd = 10 jaar

d) eindwaarde = 9 089,22 euro looptijd = 2 jaar

1 2 3 4 5 6

86

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

rentevoet = 0,95 % per jaar maandelijkse stortingen

24

De ouders van Luna storten ieder trimester, vanaf de dag van haar geboorte, 200 euro op een rekening die 2,25 % samengestelde intrest per jaar opbrengt.

Op haar achttiende verjaardag krijgt Luna het volledige bedrag als verjaardagsgeschenk.

Bereken hoeveel ze voor haar verjaardag zal krijgen.

A

25

Hoeveel moeten je ouders, vanaf de dag van je geboorte, iedere maand storten opdat je op je twintigste verjaardag over 50 000 euro zou beschikken? De jaarlijkse rentevoet is 2 %.

A

26

Welk bedrag zou je voor 10 jaar op samengestelde intrest moeten uitzetten om eenzelfde eindkapitaal te verkrijgen als bij een gelijklopende prenumerando annuĂŻteit met jaarlijkse stortingen van 6000 euro? De rentevoet is 1,90 %.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

A

A

27

Je stort gedurende 8 jaar elk semester postnumerando 3 000 euro met een jaarlijkse rentevoet van 1,65 %.

Hoeveel zou je prenumerando moeten storten om eenzelfde eindkapitaal te verkrijgen?

HOOFDSTUK 4 I ANNUĂ?TEITEN

87

STUDIEWIJZER Annuïteiten 4.1 Definitie annuïteit KENNEN Een annuïteit is een rij gelijke periodieke stortingen, die allemaal uitstaan op samengestelde intrest.

KUNNEN Het verschil uitleggen tussen een postnumerando en een prenumerando annuïteit.

4.2 Hoofdformule voor een postnumerando annuïteit KENNEN

4.4 Toepassingen op de hoofdformule

pl aa

r

n De eindwaarde van een postnumerando annuïteit is A n = a ⴢ u − 1, i met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i, a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

KUNNEN

em

Door veranderen van lid • het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn; • de looptijd bepalen als het termijnbedrag, de eindwaarde en de rentevoet gegeven zijn.

Met iteratie de rentevoet bepalen als het termijnbedrag, de eindwaarde en de looptijd gegeven zijn.

4.5 Hoofdformule voor een prenumerando annuïteit

jk ex

KENNEN

n De eindwaarde van een prenumerando annuïteit is A⬘n = a ⴢ u − 1 ⴢ u, i met i = de rentevoet per periode, u = 1 + i, a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

ki

4.6 Toepassingen op de hoofdformule KUNNEN

In

Door veranderen van lid het termijnbedrag berekenen als de eindwaarde, de rentevoet en de looptijd gegeven zijn.

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

88

HOOFDSTUK 4 I ANNUÏTEITEN

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

Hypothecaire kredieten Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen 5.3 Toepassingen op de hoofdformule 5.4 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen 5.5 Leningen met constante kapitaalsaflossing 5.6 Aflossingstabellen met ICT opstellen 5.7 Vervroegde aflossing 5.8 Uitgestelde annuïteit 5.9 Variabele rentevoet 5.10 Berekening van de looptijd 5.11 Berekening van de rentevoet 5.12 De rentevoet berekenen met ICT 5.13 Opdracht Studiewijzer

₉₀ ₉₂ ₉₃ ₉₄ ₉₆ ₁₀₄ ₁₀₈ ₁₁₄ ₁₁₄ ₁₁₅ ₁₁₇ ₁₁₈ ₁₂₀ ₁₂₇

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

5.1 5.2

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

89

5.1

Hypothecaire kredieten Leningen Mensen lenen geld om verschillende redenen: om een woning, een auto, een computer aan te kopen, om een droomreis te maken of een ziekenhuisfactuur te betalen, ...

Meestal worden deze leningen maandelijks afbetaald, gespreid over verschillende jaren.

Elke afbetaling bestaat dan uit een gedeeltelijke terugbetaling van het geleende kapitaal (kapitaalsaflossing) en uit een gedeelte intresten (intrestlast).

Als een lening wordt aangegaan voor de aankoop, de bouw of de verbouwing van onroerend goed, dan spreek je van een hypothecair krediet. De andere leningen heten consumentenkredieten.

pl aa

r

Bij het afsluiten van een woonkrediet gebruikt de bank het eigendom als onderpand.

Bij wanbetaling heeft de bank het recht het onroerend goed te laten verkopen om met de opbrengst de verschuldigde bedragen te innen. Er rust dus een hypotheek op het eigendom.

Kosten

em

Vóór je een lening afsluit, is het belangrijk om te weten hoeveel kosten er verbonden zijn aan de aankoop van een woning en het onderschrijven van een lening.

Een overzicht van de voornaamste kosten:

kosten bij de aankoop

jk ex

• Registratierechten: 7 % op de aankoopprijs van een enige gezinswoning.

Als de woning minder dan 200 000 euro kost, is er een vrijstelling op de eerste 80 000 euro.

ki

• Ereloon van de notaris: elke verkoop van onroerend goed in België moet vastgelegd worden in een authentieke akte. Het ereloon wordt berekend in schijven, die gaan van 4,56 % op de eerste 7 500 euro tot 0,057 % op de bedragen hoger dan 250 095 euro.

In

• Aktekosten: ongeveer 1 300 euro

kosten verbonden aan een woonkrediet

• Registratierecht: 1 % van het geleende bedrag • Inschrijvingsrecht: 0,30 % van het geleende bedrag • Notariskosten: ook hier wordt met schijven gewerkt. Deze gaan van 1,50 % tot 0,05 %.

• Schattings- en dossierkosten van de bank: ongeveer 600 euro

• Ereloon hypotheekbewaarder: ongeveer 300 euro

Voorwaarden

1 2 3 4 5 6

90

Niet iedereen kan zomaar een woonkrediet krijgen. De belangrijkste voorwaarden zijn: • Het krediet wordt alleen toegestaan aan een ‘natuurlijk persoon’ (geen vennootschap) die in België verblijft en de bedoeling heeft een onroerend goed te kopen, te bouwen of verbouwen.

• De verhouding tussen het geleende bedrag en de waarde van de woning noemt men de quotiteit.

Sommige banken rekenen een toeslag aan op de rentevoet als de quotiteit hoger ligt dan 100 %.

• De ontvanger van het krediet moet solvabel zijn.

Over het algemeen wordt hiervoor de 33 %-regel toegepast: het maandelijks af te betalen bedrag mag niet hoger zijn dat 1/3 van het gezinsinkomen.

• De aanvrager staat niet op de zwarte lijst van de Nationale Bank (de CKP: Centrale voor Kredieten aan Particulieren).

Wie een betalingsachterstand van minstens drie maanden heeft, komt op die lijst.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

Voornaamste soorten hypothecair krediet Er bestaan vijf systemen voor de afbetaling van een woonkrediet: constante aflossing van kapitaal

eenmalige aflossing van kapitaal

Elke afbetaling bestaat uit een vast gedeelte kapitaalsaflossing (het geleende bedrag/looptijd) en een variabel deel intrest.

De afbetalingen worden steeds kleiner in de tijd.

Elke maand worden enkel intresten betaald. Bij de laatste afbetaling wordt het geleende kapitaal volledig terugbetaald.

In dit verband spreekt men ook van overbruggingskredieten.

Elke maand wordt eenzelfde bedrag (kapitaal + intresten) afbetaald. Het kapitaalsgedeelte (‘aflossing’) wordt groter in de tijd, het intrestgedeelte wordt kleiner omdat de schuld daalt. budgetlening

lineaire aflossing van het kapitaal Op basis van het inkomen wordt het bedrag van de eerste kapitaalsaflossing bepaald.

Daarna stijgt het afgeloste bedrag elke maand met een vaste coëfficiënt.

pl aa

De eerste afbetalingen zijn lager. Daarna wordt het bedrag van de afbetaling geïndexeerd, afhankelijk van de stijging van het maandelijks inkomen.

r

constante afbetalingen

em

Looptijd en rentevoet

Hoe langer de looptijd is, hoe groter de intrestlast wordt (want het kapitaalsaldo daalt trager).

Voor de rentevoet bestaan verschillende systemen.

Hoe groter het risico, hoe lager de rentevoet.

jk ex

vaste rentevoet

In

ki

Een onveranderlijke rentevoet gedurende de volledige looptijd van de lening

beperkt variabele rentevoet

Een variabele rentevoet met een vastgelegde maximale aanpassing die men ‘cap’ noemt.

variabele rentevoet

Enkele voorbeelden: • 1/1/1: jaarlijkse aanpassing; • 5/5/5: vijfjaarlijkse herziening; • 10/5/5: de eerste 10 jaar vast, daarna wordt de rentevoet om de 5 jaar aangepast.

De wet bepaalt dat de rentevoeten maximaal kunnen verdubbelen. Bij een daling is er geen ondergrens. accordeonlening

Een systeem met een variabele rentevoet, waarbij de looptijd van de lening kan worden aangepast als de rentevoet verandert of als een gedeelte bijgeleend wordt of vervroegd afbetaald.

Verzekeringen en fiscale voordelen • Wie een woning bezit of huurt, is verplicht daarvoor een brandverzekering af te sluiten.

De meeste banken eisen een schuldsaldoverzekering bij het afsluiten van een lening.

Zo’n verzekering betaalt het verschuldigd saldo als de ontlener overlijdt.

• Zowel de kapitaalsaflossingen als de intresten en de premies voor een schuldsaldoverzekering zijn tot een bepaalde hoogte fiscaal aftrekbaar, op voorwaarde dat de looptijd van de lening minstens 10 jaar is.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

91

5.2

Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen voorbeeld

algemeen

Je leent 250 000 euro. De looptijd is 20 jaar en de maandelijkse rentevoet is 0,33 %.

Je leent een bedrag V. Het aantal afbetalingen is n en de periodieke rentevoet is i.

De waarde van V over n periodes is De waarde van het geleende kapitaal over 240 = 551 232,67 euro. V ⴢ u n, met u = 1 + i 20 jaar is 250 000 ⴢ 1,003 3

250 000 = a ⴢ

Formule

1,003 3 240 − 1 0,003 3 ⴢ 1,003 3 240

aⴢ

r

1,003 3 240 − 1 = 250 000 ⴢ 1,003 3 240 0,003 3

un − 1 = V ⴢ un i

V=aⴢ

un − 1 i ⴢ un

em

aⴢ

Het periodiek te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde V ⴢ u n is.

pl aa

Het maandelijks te betalen bedrag is gelijk aan het termijnbedrag a van een postnumerando annuïteit waarvan de eindwaarde 551 232,67 euro is.

Lening met constante afbetalingen un − 1 i ⴢ un

jk ex

V=aⴢ

Opmerking

Je stort ieder jaar postnumerando 500 euro tegen 1,5 % samengestelde intrest.

1,015 10 − 1 0,015

ki

A 10 = 500 ⴢ

= 5 351,36

In

De eindwaarde na 10 jaar is 5 351,36 euro.

Welk eenmalig bedrag A 0 zou je moeten storten om hetzelfde eindkapitaal te verkrijgen?

A 0 ⴢ 1,015 10 = 5 351,36

A0 =

5 351,36 = 4 611,09 1,015 10

A 0 noem je de beginwaarde van de postnumerando annuïteit.

1 2

Je maakt een analoge redenering om de periodieke afbetalingen a van een lening met constante afbetalingen te berekenen.

3 4 5

Het geleende bedrag is de beginwaarde van een postnumerando annuïteit.

6

92

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

5.3

Toepassingen op de hoofdformule

5.3.1 Berekening van het geleende bedrag Kasper en Lode willen een huis kopen.

1 3 van hun maandelijkse inkomen en dat is gelijk aan 1 300 euro.

Om te weten hoeveel ze kunnen lenen, berekenen ze

Een bezoek bij de bank leert hen dat ze aan een rentevoet van 4,25 % kunnen lenen. a) Hoeveel kunnen ze lenen als de looptijd 20 jaar is?

Oplossing:

• Berekening van het te lenen bedrag: u n12 − 1 = V=aⴢ i 12 ⴢ u n12

pl aa

i 12 =

r

• Berekening van de maandelijkse rentevoet:

em

b) Hoeveel kunnen ze lenen als de looptijd 30 jaar is?

Oplossing: u n12 − 1 V=aⴢ = i 12 ⴢ u n12

jk ex

c) Hoeveel intresten hebben ze in beide gevallen in totaal betaald?

20 jaar

Het totale bedrag aan intresten is gelijk aan

Het totale bedrag aan intresten is gelijk aan

nⴢa−V=

nⴢa−V=

ki

Definitie

30 jaar

Kostprijs van een lening

In

De kostprijs van een lening is de som van alle intresten.

Bij een lening met constante afbetalingen is de kostprijs gelijk aan n ⴢ a − V.

5.3.2 Berekening van het termijnbedrag Bereken het maandelijkse termijnbedrag voor een woonkrediet van 180 000 euro met een looptijd van 20 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 4,10 %.

Oplossing: • Berekening van de maandelijkse rentevoet: i 12 = • Berekening van het termijnbedrag: i 12 ⴢ u n12 = a=Vⴢ n u 12 − 1 HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

93

5.4

Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen Een aflossingsplan is een tabel waarbij voor elke afbetaling een overzicht wordt gemaakt van het nummer van de betaling, de afbetaling (het termijnbedrag), de intrest (het rentedeel), de aflossing (het kapitaaldeel) en het saldo.

Voorbeeld 1 Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen hiervoor 40 000 euro die in 5 gelijke jaarlijkse afbetalingen moet worden gedelgd. De rentevoet is 3,70 %. berekeningen 0,037 ⴢ 1,037 5 i ⴢ un = 40 000 ⴢ = 8 909,50 un − 1 1,037 5 − 1 aflossing

pl aa

intrest

r

Berekening van de afbetaling: a = V ⴢ

saldo

k1 = a − r1 k 1 = 8 909,50 − 1 480 = 7 429,50

S1 = V − k1 S 1 = 40 000 − 7 429,50 = 32 570,50

r2 = S1 ⴢ i r 2 = 32 570,50 ⴢ 0,037 = 1 205,11

k2 = a − r2 k 2 = 8 909,50 − 1 205,11 = 7 704,39

S2 = S1 − k2 S 2 = 32 570,50 − 7 704,39 = 24 866,11

em

r1 = V ⴢ i r 1 = 40 000 ⴢ 0,037 = 1 480

jaar 0 1

afbetaling

In

3

intrest

32 570,50

8 909,50

1 205,11

7 704,39

24 866,11

8 909,50

4

8 909,50

5

8 909,50

0 4 547,50

k 1 ⴢ u = 7 429,50 ⴢ 1,037 = 7 704,39 Bereken k 2 ⴢ u =

3 4 5

Algemeen

De aflossing bij de m-de afbetaling is k m = k 1 ⴢ u m − 1 .

De intrest bij de m-de afbetaling is r m = a − k m .

6

94

40 000 7429,50

Verband tussen de opeenvolgende aflossingen

2

saldo

1 480

44 547,50

1

aflossing

8 909,50

ki

2

jk ex

aflossingsplan

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

40 000

Voorbeeld 2 Om hun bouwplannen te kunnen verwezenlijken, hebben Yusuf en Isabelle een hypothecaire lening afgesloten van 275 000 euro.

Ze moeten de lening in 25 jaar afbetalen met maandelijkse afbetalingen. De jaarlijkse rentevoet is 3,90 %. a) Bereken het maandelijkse termijnbedrag. i 12 = a = =

afbetaling

0

saldo 275 000

549,77

em

2

272 797,39

jk ex

4

aflossing

878,08

1

3

intrest

pl aa

maand

r

b) Vul het aflossingsplan voor de eerste 4 afbetalingen aan.

c) Bereken de aflossing en de intrest bij de vijftigste afbetaling. k 50 = k 1 â´˘ u 49 12 = r 50 = a − k 50 =

ki

d) Bereken de kostprijs van de lening.

In

e) Hoeveel minder zou de lening hen kosten als ze een looptijd van 20 jaar zouden nemen?

INTREST

100%

AFLOSSING KAPITAAL

90% 80%

In de figuur zie je het verloop van de intrest en de aflossing bij een lening met maandelijkse afbetalingen en een looptijd van 20 jaar.

70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

0% 1

26

51

76

101

126

151

176

201

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

226

95

5.5

Leningen met constante kapitaalsaflossing Voorbeeld Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen hiervoor 40 000 euro die in 5 jaarlijkse afbetalingen met constante aflossing van het kapitaal moet worden gedelgd. De rentevoet is 3,70 %. berekeningen Berekening van de jaarlijkse aflossing: k =

V 40 000 = = 8 000 n 5 aflossing

saldo

a1 = k + r1 a 1 = 8 000 + 1 480 = 9 480

r2 = S1 ⴢ i r 2 = 32 000 ⴢ 0,037 = 1 184

a2 = k + r2 a 2 = 8 000 + 1 184 = 9 184

S1 = V − k S 1 = 40 000 − 8 000 = 32 000

pl aa

r1 = V ⴢ i r 1 = 40 000 ⴢ 0,037 = 1 480

r

intrest

S2 = S1 − k S 2 = 32 000 − 8 000 = 24 000

aflossingsplan afbetaling

0 9 480

2

9 184

3 4

ki

5

aflossing

1 480

8 000

32 000

1 184

8 000

24 000

8 000

16 000

8 000

8 000

8 000

0

4 440

40 000

In

44 440

saldo 40 000

jk ex

1

intrest

em

jaar

Vergelijk de kostprijs van deze lening met de kostprijs voor de lening met constante afbetalingen.

Toch kiezen de meeste mensen voor een lening met constante afbetalingen. Geef de reden.

AFLOSSING

INTREST

1 2 3 4 5 6

96

In de figuur zie je het verloop van de intrest en de aflossing bij een lening met maandelijkse afbetalingen en een looptijd van 20 jaar.

1

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

26

51

76

101

126

151

176

201

226

Oefeningen REEKS A 1

Bereken het geleende bedrag voor een lening met constante afbetalingen. rentevoet = 4 % per jaar

rentevoet = 3,80 % per jaar

jk ex

em

b) termijnbedrag = 1 411,71 euro per maand looptijd = 25 jaar

pl aa

r

a) termijnbedrag = 21 585,86 euro per jaar looptijd = 15 jaar

rentevoet = 4,15 % per jaar

In

ki

c) termijnbedrag = 3 579,64 euro per trimester looptijd = 20 jaar

d) termijnbedrag = 1 317,59 euro per maand looptijd = 30 jaar

rentevoet = 3,95 % per jaar

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

97

Bereken het termijnbedrag voor een lening met constante afbetalingen. rentevoet = 3,70 % per jaar jaarlijkse stortingen

b) geleend bedrag = 190 000 euro looptijd = 10 jaar

rentevoet = 4,15 % per jaar maandelijkse stortingen

r

a) geleend bedrag = 250 000 euro looptijd = 25 jaar

em

pl aa

2

rentevoet = 4,10 % per jaar maandelijkse stortingen

In

ki

jk ex

c) geleend bedrag = 330 000 euro looptijd = 30 jaar

d) geleend bedrag = 225 000 euro looptijd = 20 jaar

1 2 3 4 5 6

98

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

rentevoet = 3,90 % per jaar trimestriĂŤle stortingen

3

Djamal en Irena hebben een gezamenlijk maandelijks inkomen van 4 050 euro.

1 Ze weten dat ze daarvan mogen spenderen aan de afbetaling van een lening 3 met constante afbetalingen.

De bank stelt hun een jaarlijkse rentevoet van 3,95 % voor.

pl aa

r

a) Hoeveel kunnen ze lenen als ze voor een looptijd van 20 jaar kiezen?

4

em

b) Hoeveel meer kunnen ze lenen als de looptijd 30 jaar is?

Je leent 240 000 euro tegen een jaarlijkse rentevoet van 2,65 % en maandelijkse constante afbetalingen.

ki

jk ex

a) Bereken het termijnbedrag als de looptijd 20 jaar is.

In

b) Bereken het termijnbedrag als de looptijd 25 jaar is.

c) Bereken het verschil in kostprijs van beide leningen.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

99

REEKS B 5

Vul de aflossingsplannen aan voor een lening met constante afbetalingen en voor een lening met constante kapitaalsaflossing. geleend bedrag = 35 000 euro rentevoet = 4,20 %

jaarlijkse afbetalingen looptijd = 4 jaar

a) lening met constante afbetalingen • Berekening van het termijnbedrag:

afbetaling

0

intrest

aflossing

pl aa

jaar

r

• Aflossingsplan: saldo 35 000

1 470

1

em

2 3

9 297,16 0

jk ex

4

8 922,42

b) lening met constante kapitaalsaflossingen

ki

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

In

• Aflossingsplan: jaar

afbetaling

intrest

0

2

2 3

3 4

4

5 6

100

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

saldo 35 000

1 470

1 1

aflossing

9 852,50 8 750

6

Vul de aflossingsplannen aan voor een lening met constante afbetalingen en voor een lening met constante kapitaalsaflossing. geleend bedrag = 250 000 euro rentevoet = 3,80 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 30 jaar

a) lening met constante afbetalingen • Berekening van het termijnbedrag:

afbetaling

0 1

1 155,75

em

2

intrest

3

aflossing

pl aa

jaar

r

• Aflossingsplan: saldo

250 000 249 622,50

379,85

jk ex

• Bereken de aflossing en de intrest bij de 200e afbetaling.

ki

b) lening met constante kapitaalsaflossingen

In

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

• Aflossingsplan: jaar

afbetaling

intrest

0 1

aflossing

saldo 250 000 249 305,56

1 472,69

2 3

773,93

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

101

7

Vul de aflossingsplannen aan voor een lening met constante afbetalingen en voor een lening met constante kapitaalsaflossing. geleend bedrag = 280 000 euro rentevoet = 3,65 %

trimestriële afbetalingen looptijd = 20 jaar

a) lening met constante afbetalingen • Berekening van het termijnbedrag:

afbetaling

intrest

aflossing

pl aa

jaar

r

• Aflossingsplan:

0 1

280 000

2 426,31

em

2

saldo

3

2 477,35

ki

jk ex

• Bereken de aflossing en de intrest bij de 50e afbetaling.

b) lening met constante kapitaalsaflossingen

In

• Berekening van de kapitaalsaflossing:

• Aflossingsplan: jaar 1 2

afbetaling

intrest

0

aflossing

saldo 280 000

2 520,84

1

3 4 5

2 3

6

102

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

5 957,82

269 500,00

8

Koen en Veerle willen een manege kopen en moeten daarvoor 500 000 euro lenen.

De looptijd van de annuĂŻteitslening is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet 4 %. a) Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

b) Bepaal de kostprijs van de lening.

Mieke en Maria willen een woning kopen. De kostprijs bedraagt 330 000 euro.

Als eigen kapitaal kunnen ze gebruikmaken van de opbrengst van een woonspaarplan waarbij ze 8 jaar lang ieder jaar postnumerando 5 000 euro hebben gestort tegen een rentevoet van 2,25 %.

jk ex

9

em

pl aa

r

c) Bereken de aflossing en de intrest bij de honderdste afbetaling.

ki

a) Hoeveel moeten ze lenen (rond af op 1 000 euro)?

In

b) Bereken het termijnbedrag voor een annuĂŻteitslening met een looptijd van 15 jaar, maandelijkse afbetalingen en een jaarlijkse rentevoet van 3,85 %.

c) Bereken de aflossing en de intrest bij de laatste afbetaling.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

103

5.6

Aflossingstabellen met ICT opstellen

5.6.1 Lening met constant termijnbedrag A

Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen hiervoor 40 000 euro die in 5 gelijke jaarlijkse afbetalingen moet worden gedelgd. De rentevoet is 3,70 %.

Vóór je een aflossingstabel maakt in de lijsteditor, voer je de gegevens van de annuïteit in de TVMSOLVER in en bereken je het termijnbedrag. angle

Je drukt

B

L1

Y L1

Y

1

apps

.

1

Je voert de gegeven waarden in bij N, I en PV entry solve

r

.

enter

alpha

pl aa

a-lock

en drukt

Je maakt de standaardlijsten L 1, ... , L 6 leeg door achtereenvolgens te drukken op L4

list

Τ

EE

L1

4

stat

L4

J

,

Y

Τ

EE

4

2nd

EE

1

2nd

L2

J

,

L5

J

,

U

EE

L3

J

,

EE

5

2nd

Z

2

2nd

L6

J

,

V

entry solve

6

2nd

θ

3

2nd

enter

L5

list

door te drukken op

em

Je zorgt dat de standaardlijsten zichtbaar zijn in de lijsteditor U

entry solve

5

stat

enter

.

L1

list

Om in de lijsteditor te komen, druk je

Y

.

1

stat

jk ex

Om in de formulebalk van L 1 terecht te komen, druk je L1

Y

.

1

ki

In die formulebalk vul je de 5 termijnbedragen in door tussen aanhalingstekens de volgende formule in te voeren: seq(-tvm_Pmt,X,1,5) Daarvoor druk je achtereenvolgens a-lock

clear

L2

memo

Z

{

2

“

+

alpha

EE

X,T,θ,n

In

(

L5

U

J link

L1

ans

? angle

L1

Y

1 L1

link

Y

1

X,T,θ,n

)

Y

B

apps

(–)

L

}

X,T,θ,n

,

5

U

5

stat

2nd

K link

L5

list

entry solve entry solve

1

enter

enter

Om in de formulebalk van L 2 terecht te komen, druk je entry solve

enter

1 2

In die formulebalk vul je de 5 intresten in door tussen aanhalingstekens de volgende formule in te voeren: seq( − ⌺Int(X,X),X,1,5) Daarvoor druk je achtereenvolgens a-lock

3

.

alpha

memo

+

“

list

2nd

stat

L5

U ans

5

?

(–)

angle

entry solve link

4

enter

enter

6

104

X,T,θ,n

entry solve entry solve

5

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

B

L1

enter

Y

1

apps EE

J link

,

X,T,θ,n

L

}

)

Om in de formulebalk van L 3 terecht te komen, druk je entry solve

.

enter

In die formulebalk vul je de 5 aflossingen in door tussen aanhalingstekens de volgende formule in te voeren: seq( − ⌺Prn(X,X),X,1,5) Daarvoor druk je achtereenvolgens a-lock

memo

“

L5

list

+

alpha

U ans

?

angle

(–)

5

stat

2nd

B

L1

Y

1

apps entry solve link

enter

J link

,

X,T,θ,n

entry solve entry solve

L

}

EE

X,T,θ,n

enter

)

enter

Om in de formulebalk van L 4 terecht te komen, druk je

r

entry solve

pl aa

.

enter

In die formulebalk vul je de 5 saldi in door tussen aanhalingstekens de volgende formule in te voeren: seq(Bal(X),X,1,5) Daarvoor druk je achtereenvolgens memo

link

“

+

alpha

L5

list

angle

apps

B

L1

Y w

1

Q

9

entry solve entry solve

L

}

X,T,θ,n

U

5

stat

2nd

em

a-lock

enter

)

enter

jk ex

De gegevens uit deze lijsten kun je voorstellen met statistische plots.

Daarvoor voer je in L 5 volgnummers in (seq(X,X,1,5)) in.

Om bijvoorbeeld de saldi grafisch voor te stellen: stat plot f1 entry solve

2nd entry solve

enter

y=

enter

entry solve

enter

U

L4

Τ

ki

L5

2nd

5

format f3 w

2nd

4

Q

In

A

zoom

9

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

105

5.6.2 Lening met constante kapitaalsaflossing A

Karel en Caroline kopen een stuk bouwgrond en lenen hiervoor 40 000 euro die in 5 jaarlijkse afbetalingen met constante aflossing van het kapitaal moet worden gedelgd.

De rentevoet is 3,70 %.

Berekening van de jaarlijkse aflossing: k =

V 40 000 = = 8 000 n 5

Aflossingsplan

pl aa

In de lijsteditor kun je niet met formules werken. In een rij wordt voor de berekening van een intrest het resultaat gebruikt van de bovenliggende rij. In een spreadsheet kan dat, maar niet in de lijsten van een TI84.

r

De eenvoudigste kolommen om in te vullen zijn de kolommen van het volgnummer, de saldi en de aflossingen. Daarvoor definieer je 3 rijen.

In de tweede lijst moet je wel het eerste element gelijkstellen aan 0.

em

De oplossing ligt in het invoeren van een teller.

Stel om te beginnen de teller T gelijk aan 0, en doe dat ook met de eerste elementen uit de tweede en derde lijst.

jk ex

Terwijl je de teller 1 verhoogt, bereken je een intrest. entry solve Je herhaalt deze bewerking door op enter te drukken tot je de vijf intresten berekend hebt.

In

ki

De kolom met de afbetalingen verkrijg je door de derde en vierde kolom op te tellen.

1 2

Ten slotte kun je ook de sommen berekenen van de afbetalingen, intresten en aflossingen.

3 4 5 6

106

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

REEKS B Stel met ICT een aflossingsplan op voor een lening met constante afbetalingen.

Bereken de kostprijs van de lening. a) geleend bedrag = 175 000 euro rentevoet = 3,80 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 15 jaar

b) geleend bedrag = 235 000 euro rentevoet = 4,15 %

trimestriële afbetalingen looptijd = 25 jaar

c) geleend bedrag = 220 000 euro rentevoet = 4 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 20 jaar

d) geleend bedrag = 190 000 euro rentevoet = 4,10 %

trimestriële afbetalingen looptijd = 20 jaar

e) geleend bedrag = 325 000 euro rentevoet = 3,95 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 30 jaar

Stel met ICT een aflossingsplan op voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

Bereken de kostprijs van de lening.

em

11

maandelijkse afbetalingen looptijd = 15 jaar

b) geleend bedrag = 235 000 euro rentevoet = 4,15 %

trimestriële afbetalingen looptijd = 25 jaar

c) geleend bedrag = 220 000 euro rentevoet = 4 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 20 jaar

ki

jk ex

a) geleend bedrag = 175 000 euro rentevoet = 3,80 %

d) geleend bedrag = 190 000 euro rentevoet = 4,10 %

trimestriële afbetalingen looptijd = 20 jaar

e) geleend bedrag = 325 000 euro rentevoet = 3,95 %

maandelijkse afbetalingen looptijd = 30 jaar

In

A

r

10

pl aa

A

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

107

5.7

Vervroegde aflossing

5.7.1 Herbeleggingsvergoeding De wet die het hypothecair krediet regelt, bepaalt dat de kredietnemer op elk moment het recht heeft om zijn lening vervroegd terug te betalen. Gedeeltelijke terugbetalingen zijn minstens eenmaal per jaar toegestaan, maar moeten minstens 10 % van het oorspronkelijk geleende kapitaal bedragen.

Omdat de financiële instelling hierdoor een deel van haar verwachte inkomsten mist, wordt meestal een vergoeding geëist voor een vervroegde terugbetaling: de herbeleggingsvergoeding.

Die vergoeding mag niet groter zijn dan 3 maanden enkelvoudige intrest op het nog terug te betalen gedeelte (het saldo).

pl aa

r

Een vervroegde aflossing kan om 2 redenen: • De kredietnemer wil besparen op de resterende intresten en heeft voldoende middelen om het volledige saldo, of een gedeelte ervan, terug te betalen.

• De ontlener annuleert een krediet om (bij een andere bank) betere voorwaarden te verkrijgen.

em

Als je overstapt naar een andere bank moeten er, naast de herbeleggingsvergoeding, ook opnieuw schattingskosten, dossierkosten, notariskosten, ... worden betaald.

5.7.2 Berekening van het saldo

jk ex

voorbeeld

Je leent 250 000 euro.

Maandelijks betaal je 1 462,78 euro af, tegen een maandelijkse rentevoet van 0,30 %.

algemeen

Je leent een bedrag V. Periodiek betaal je een bedrag a, tegen een periodieke rentevoet i.

ki

De waarde van het geleende kapitaal over 8 jaar is De waarde van V na k afbetalingen is V ⴢ uk 250 000 ⴢ 1,003 0 96 = 333 295,60 euro.

De waarde van de k afbetalingen is

Na 8 jaar is het saldo gelijk aan

Na k afbetalingen is het saldo gelijk aan

333 295,60 − 162 457,51 = 170 838,09 euro.

Sk = V ⴢ uk − a ⴢ

De waarde van de 96 afbetalingen is 1,003 0 − 1 = 162 457,51 euro.

0,003 0

In

1 462,78 ⴢ

96

1 2 3

Formule

Saldo berekenen Sk = V ⴢ uk − a ⴢ

uk − 1 i

4 5 6

108

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

aⴢ

uk − 1 i

uk − 1 i

5.7.3 Voorbeeld Michiel en Jolien hebben 6 jaar geleden een lening van 195 000 euro afgesloten met een looptijd van 25 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 5,50 %.

Onlangs hebben ze een erfenis gekregen, die hen in staat stelt om hun lening volledig vervroegd af te lossen.

De bank rekent 2 maanden herbeleggingsvergoeding aan.

Hoeveel moeten ze betalen?

Oplossing: • De maandelijkse rentevoet: i 12 = • Het maandelijkse termijnbedrag:

pl aa

r

a= • Het saldo na 6 jaar: S k = V ⴢ u k12 − a ⴢ

u k12 − 1 i 12

=

em

= • De herbeleggingsvergoeding: H = S k ⴢ i 12 ⴢ 2 =

jk ex

• Het totaal te betalen bedrag: T = Sk + H =

ki

Wie in België een erfenis krijgt, moet daar belastingen op betalen: de erfbelasting.

Hoeveel je betaalt, hangt af van de grootte van de erfenis en de graad van verwantschap.

Er bestaan 3 soorten tarieven: • Het tarief in rechte lijn (tussen ouders en kinderen, tussen echtgenoten en samenwonenden) 3%

van 50 000 tot 250 000 euro

9%

In

tot 50 000 euro

meer dan 250 000 euro

27 %

• Het tarief tussen broers en zussen tot 35 000 euro

25 %

van 35 000 tot 75 000 euro

30 %

meer dan 75 000 euro

55 %

• Het tarief tussen anderen tot 35 000 euro

25 %

van 35 000 tot 75 000 euro

45 %

meer dan 75 000 euro

55 %

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

109

Oefeningen REEKS A Jeroen en Michaëla hebben een hypothecaire lening lopen van 160 000 euro met een looptijd van 20 jaar en maandelijkse afbetalingen van 1 017,43 euro.

De maandelijkse rentevoet is 0,38 %. Bereken het saldo na 13 jaar.

13

Bereken het saldo na 4 jaar voor een lening van 225 000 euro met een looptijd van 25 jaar en trimestriële afbetalingen van 3 569,79 euro. De trimestriële rentevoet is 1 %.

14

Katrien en Lore hebben sinds 8 jaar een hypothecair krediet van 190 000 euro.

De looptijd is 25 jaar. Ze betalen maandelijks 1 087,91 euro en de jaarlijkse rentevoet is 4,90 %.

Hoeveel moeten ze betalen bij een vervroegde aflossing als de bank hen 2 maanden herbeleggingsvergoeding aanrekent?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

12

15

Henk en Ann hebben 15 jaar geleden een woonkrediet afgesloten van 105 000 euro, met een looptijd van 20 jaar en maandelijkse afbetalingen van 756,99 euro.

De vaste jaarlijkse rentevoet is 6,25 %.

Doordat de leningslast hen te veel wordt en ze bij een andere bank van een veel voordeligere rentevoet kunnen genieten, hebben ze besloten het krediet te annuleren.

De bank rekent hen 3 maanden herbeleggingsvergoeding aan. Hoeveel moeten ze betalen?

1 2 3 4 5 6

110

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

Je hebt een lening lopen van 175 000 euro met een looptijd van 20 jaar.

De maandelijkse afbetalingen bedragen 1 247,34 euro en de jaarlijkse rentevoet is 6,10 %.

Na 10 jaar besluit je een gedeeltelijke vervroegde aflossing te doen van 30 000 euro.

Hoeveel zul je de resterende 10 jaar nog maandelijks moeten betalen?

17

Je gaat een lening aan van 250 000 euro met een looptijd van 30 jaar.

De jaarlijkse rentevoet is 4,15 % en de trimestriĂŤle afbetalingen bedragen 3 624,51 euro.

Na 12 jaar los je 50 000 euro vervroegd af.

Hoeveel moet je dan nog 18 jaar ieder trimester betalen?

ki

jk ex

em

pl aa

r

16

In

Bij hypothecaire kredieten kun je een heropname doen. Dat betekent dat je een gedeelte van het reeds afgeloste kapitaal kunt bijlenen om bijvoorbeeld veranderingswerken uit te voeren.

18

Victor en Ariadne betalen maandelijks 1 011,73 euro af voor een hypothecair krediet van 175 000 euro. De looptijd is 25 jaar en de jaarlijkse rentevoet bedraagt 5 %.

Na 17 jaar doen ze een heropname van 40 000 euro.

Hoeveel zullen ze de resterende 8 jaar maandelijks moeten afbetalen?

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

111

REEKS B 19

Een hypothecaire lening van 235 000 euro heeft een looptijd van 25 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 3,85 %. De afbetalingen gebeuren maandelijks. a) Bereken het termijnbedrag.

em

c) Bereken het saldo na 149 afbetalingen.

pl aa

r

b) Bereken de aflossing en de intrest bij de honderdvijftigste afbetaling.

Luc en Lynn betalen gedurende 20 jaar maandelijks een lening af van 230 000 euro.

De jaarlijkse rentevoet is 4,15 %.

Bereken de aflossing en de intrest bij de vijfentwintigste afbetaling, door gebruik te maken van de formule voor het saldo.

In

20

ki

jk ex

d) Bereken de aflossing en de intrest bij de honderdvijftigste afbetaling, door gebruik te maken van het saldo uit vraag c.

1 2 3 4 5 6

112

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

REEKS C 21

John en Nancy hebben 11 jaar geleden een woonkrediet geopend van 180 000 euro met een looptijd van 25 jaar. De afbetalingen gebeuren maandelijks en de rentevoet is 5,10 %.

Ze hebben ondertussen voldoende gespaard om de lening volledig vervroegd af te lossen.

In hun contract staat dat er in dat geval 3 maanden herbeleggingsvergoeding zal worden aangerekend. Ze twijfelen wat ze zullen doen.

jk ex

em

pl aa

r

a) Bereken hoeveel ze zouden moeten betalen bij een vervroegde aflossing.

ki

b) Als ze geen vervroegde aflossing doen, kunnen ze het kapitaal uit vraag a op samengestelde intrest uitzetten tegen 1,75 %. Bereken de eindwaarde na 14 jaar.

In

c) Als ze wel een vervroegde aflossing doen, kunnen ze elke maand het termijnbedrag dat ze anders nog 14 jaar zouden moeten betalen, op een spaarrekening zetten.

Bereken hiervoor de eindwaarde tegen een jaarlijkse rentevoet van 1,75 %.

d) Wat raad je John en Nancy aan?

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

113

5.8 A

Uitgestelde annuïteit Chris en Nina bouwen en gaan voor de financiering een lening aan van 260 000 euro.

De looptijd is 30 jaar en de rentevoet 4,15 %.

Het is voor hen financieel niet haalbaar om tezelfdertijd de maandelijkse termijnbedragen van de lening en de huur van hun huidige woning te betalen.

Over 7 maanden verloopt het huurcontract en dan kunnen ze in hun nieuwe woning trekken.

Daarom wordt in de kredietakte overeengekomen dat ze de eerste afbetaling pas over 7 maanden zullen moeten doen. Hoeveel zullen ze vanaf dan iedere maand moeten betalen?

Oplossing: • De maandelijkse rentevoet:

V⬘ = V ⴢ u 712 = • Het aantal afbetalingen: n – 7 = • Het maandelijkse termijnbedrag: u n12− 7 − 1

= =

Ali en Fatima hebben 10 jaar geleden een woonkrediet geopend van 190 000 euro.

De looptijd is 20 jaar en de jaarlijkse rentevoet was 5,85 %.

Gelet op de lage rentevoeten hebben ze toen geopteerd voor een variabele rentevoet volgens het systeem 10/5 (een eerste aanpassing na 10 jaar en een volgende na 15 jaar).

Tot nu betaalden ze 1 328,41 euro per maand.

Onlangs kregen ze bericht van de bank dat de rentevoet zou worden verlaagd tot 3,95 %.

Hoeveel moeten ze de komende 5 jaar per maand betalen?

ki

A

Variabele rentevoet

jk ex

5.9

em

a = V⬘ ⴢ

i 12 ⴢ u n12− 7

pl aa

r

• De waarde van het geleende kapitaal over 7 maanden:

In

Oplossing:

• De oorspronkelijke maandelijkse rentevoet: • Het saldo na 10 jaar:

• De nieuwe maandelijkse rentevoet: j 12 = 1

w 12 = 1 + j 12 =

2

• Het aantal resterende afbetalingen: m =

3

• Het nieuwe maandelijkse termijnbedrag a⬘:

4 5

a⬘ = S 120 ⴢ

j 12 ⴢ w m 12 wm 12 − 1

=

6

114

=

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

5.10 Berekening van de looptijd Het is niet realistisch om de looptijd van een woonkrediet te berekenen, want die wordt vooraf bepaald, in samenspraak met de financiële instelling en de ontlener.

Wel bieden de banken de mogelijkheid om, bij een accordeonlening, de looptijd van een krediet te verlengen of te verkorten. Dit kan bijvoorbeeld bij een renteverandering, een heropname of een gedeeltelijke vervroegde aflossing.

De periodieke afbetalingen blijven in dat geval onveranderd.

Stel: S k is het saldo dat nog afgelost moet worden na k afbetalingen; j is de periodieke rentevoet voor de resterende looptijd en w = 1 + j;

Sk = a ⴢ

pl aa

r

m is het gewijzigde aantal resterende afbetalingen.

wm − 1 j ⴢ wm

0

Sk ⴢ j ⴢ wm = a ⴢ wm − a a = a ⴢ wm − Sk ⴢ j ⴢ wm

wm =

jk ex

a = w m ⴢ (a − S k ⴢ j) a a − Sk ⴢ j

冉

a a − Sk ⴢ j

ki

m ⴢ log w = log

冉

a a − Sk ⴢ j log w

In

log

m=

Formule

em

S k ⴢ j ⴢ w m = a ⴢ (w m − 1)

V

rentevoet i

k

Sk

冊

rentevoet j

冊

k+m

0

Berekening van de resterende looptijd log m=

冉

a a − Sk ⴢ j log w

冊

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

115

Voorbeeld 1 Je hebt een lening van 200 000 euro met een looptijd van 20 jaar.

De maandelijkse afbetalingen bedragen 1 255,60 euro en de vaste jaarlijkse rentevoet is 4,50 %.

Na 10 jaar besluit je een heropname te doen van 30 000 euro.

Je kiest ervoor de maandelijkse afbetalingen te behouden en de leningsduur te verlengen.

Hoelang zul je nog moeten afbetalen?

Oplossing: • De maandelijkse rentevoet: i 12 = • Het saldo na 10 jaar: S 120 =

• m=

冊

a a − S⬘120 ⴢ i 12 = log u 12 ≈

em

Voorbeeld 2

r

冉

pl aa

log

=

jk ex

Ali en Fatima hebben 10 jaar geleden een woonkrediet geopend van 190 000 euro.

De looptijd is 20 jaar en de jaarlijkse rentevoet was 5,85 %.

Omwille van de lage rentevoeten hebben ze toen gekozen voor een variabele rentevoet volgens het systeem 10/5 (een eerste aanpassing na 10 jaar en een volgende na 15 jaar).

Tot nu betaalden ze 1 328,41 euro per maand.

Onlangs kregen ze bericht van de bank dat de rentevoet zou worden verlaagd tot 3,95 %.

Ze willen de afbetalingen behouden en kiezen voor een verkorting van de duur van de lening. a) Hoeveel maanden zullen ze minder moeten afbetalen?

ki

Oplossing:

• De oorspronkelijke maandelijkse rentevoet: i 12 =

In

• Het saldo na 10 jaar: S 120 =

• De nieuwe maandelijkse rentevoet: j 12 = w 12 = 1 + j 12 = log

1 2

• m=

冉

冊

a a − S 120 ⴢ j 12 = log w 12 =

3 4

b) Hoeveel intresten zullen ze minder moeten betalen door de verkorting van de leningsduur?

5 6

116

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

5.11

Berekening van de rentevoet Francis en Denise hebben een hypothecaire lening van 155 000 euro met een looptijd van 25 jaar.

Je weet dat ze maandelijks 853,62 euro afbetalen.

Tegen welke jaarlijkse rentevoet hebben ze geleend?

Je bepaalt de maandelijkse rentevoet: 155 000 = 853,62 ⴢ

u 300 12 − 1

(1 + i 12) 300 − 1

i 12 ⴢ u 12

i 12 ⴢ (1 + i 12) 300

⇒ 155 000 = 853,62 ⴢ 300

Beschouw de functie f (x) = a ⴢ

(1 + x) n − 1

r

x ⴢ (1 + x) n en stel dat r de gezochte rentevoet is, k een benadering te klein en g een benadering te groot.

De koorde door (k, f(k)) en (g, f(g)) heeft als vergelijking

pl aa

f(x) = bedrag lening

y − f(g) =

f(g) − f(k) g−k

ⴢ (x − g)

Het punt (b, f(r)) behoort tot die koorde: f(r) − f(k) =

g−k

ⴢ (b − k)

em

f(r) − f(k)

ⴢ (g − k) f(g) − f(k) b is dan een betere benadering voor r dan g. b=k+

f(k)

jk ex

f(r) f(g)

f(g) − f(k)

k

r

b

x = rentevoet

g

Herhaal dit proces tot het verschil tussen twee opeenvolgende benaderingen kleiner is dan 0,000 1.

(1 + x) 300 − 1

ki

Stel: f (x) = 853,62 ⴢ

x ⴢ (1 + x) 300

In

• f (k) = f (0,003) = 168 698,70 en f(g) = f(0,004) = 148 974,61 155 000 − 168 698,70 ⴢ (0,004 − 0,003) = 0,003 695 148 974,61 − 168 698,70 f(0,003 695) = 154 624,47

• b = 0,003 +

155 000 − 168 698,70 ⴢ (0,003 695 − 0,003) = 0,003 676 154 624,47 − 168 698,70 f (0,003 676) = 154 977,32

• b 2 = 0,003 +

• b 3 = 0,003 +

155 000 − 168 698,70 ⴢ (0,003 676 − 0,003) = 0,003 675 154 977,32 − 168 698,70

De gevraagde maandelijkse rentevoet is dus 0,367 5 %.

De gelijkwaardige jaarlijkse rentevoet is

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

117

5.12 De rentevoet berekenen met ICT

em

pl aa

r

Francis en Denise hebben een hypothecaire lening van 155 000 euro met een looptijd van 25 jaar.

Je weet dat ze maandelijks 853,62 euro afbetalen.

Tegen welke jaarlijkse rentevoet hebben ze geleend?

Bepalen van de rentevoet van een lening met de TVM-Solver

jk ex

• Je bepaalt eerst de maandelijkse rentevoet en daaruit de jaarlijkse rentevoet.

Je opent in de applicatie Finance de TVM-Solver.

Hiervoor druk je

APPS

1

1

In

ki

Je vult de gegevens van de annuïteit in. Á N=25x12 Á PV=155000 Á PMT= – 853,62 Á FV=0 Á P/Y=1 Á C/Y=1

Met

selecteer je I% = .

Door ALPHA ENTER te drukken, bereken je i 12 .

De jaarlijkse rentevoet bereken je dan in het basisscherm.

1

• Je kunt ook ineens de jaarlijkse rentevoet bepalen.

2 3

De werkwijze verschilt niet veel met de hierboven gebruikte werkwijze. Alleen stel je:

4 5

Á P/Y=12 Á C/Y=1

6

118

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

Berekening van de rentevoet met de regula falsi Je voert de functie f (x) = 853,62 ⴢ

(1 + x) 300 − 1 x ⴢ (1 + x) 300

in onder Y 1.

Je voert twee startwaarden in voor de maandelijkse rentevoet.

Je wijst de waarde van b toe aan k.

Je berekent een nieuwe waarde voor b met de iteratieformule f (g) − f(k)

ⴢ (g − k).

entry solve

r

155 000 − f(k)

pl aa

b=k+

ki

jk ex

em

Je vindt de rentevoet door op enter te blijven drukken tot de nieuwe waarde niet meer verandert.

In

De regula falsi werd in een elementaire vorm wellicht voor het eerst gebruikt in India. In elk geval hebben we de eerste schriftelijke bron te danken aan de Arabier Al Khowarizmi.

Hij noemde de methode de ‘regel van de twee onjuisten’.

Veel vroeger gebruikten de Egyptenaren ook al een ‘regel van de verkeerde aanname’ om eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Om bijvoorbeeld de vergelijking 2x = 8 op te lossen, neem je eerst de verkeerde waarde x = 1. In het linkerlid verkrijg je dan 2.

Om de juiste waarde van x te bepalen, deel je ten slotte 8 door 2.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

119

5.13 Opdracht Je wilt een woning van 290 000 euro aankopen.

Je beschikt over 45 000 euro eigen middelen en moet dus lenen.

Je houdt rekening met de kosten voor de aankoop en voor de hypothecaire lening (zie inleiding).

2)

Maak een tabel met alle kosten verbonden aan de aankoop van de woning.

3)

Maak een tabel met alle kosten verbonden aan de lening.

4)

Hoeveel zul je moeten lenen?

5)

Geef een tabel met de huidige rentevoeten naargelang de variabiliteit.

Voor je lening kies je als rentevoet voor het systeem 10/5 en voor de looptijd 20 jaar.

Leg uit waarom dit de beste keuze is.

6)

Maak een aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen.

7)

Maak een aflossingsplan voor een lening met constante kapitaalsaflossing.

8)

a) Bereken in beide gevallen de kostprijs van de lening en vergelijk. b) Hoeveel moet je per maand verdienen om de lening in beide gevallen aan te kunnen?

pl aa

em

jk ex

ki

Stel dat er na 10 jaar een verhoging van 0,75% komt.

Voor de lening met constante afbetalingen werk je twee mogelijkheden uit. a) Je behoudt de looptijd en betaalt meer per maand.

Hoeveel meer? b) Je behoudt het termijnbedrag en je laat de leningsduur verlengen.

Hoeveel maanden moet je extra afbetalen?

Hoeveel zal de lening je dan meer gekost hebben?

Pas in beide gevallen ook het aflossingsplan van vraag 6 aan.

In

9)

1 2 3 4

10) Geef bijkomende uitleg over de begrippen a) schuldsaldoverzekering; b) fiscale voordelen bij een hypothecaire lening; c) mogelijke kortingen die een bank toestaat.

5 6

120

r

1)

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

REEKS B 22

Bart en Barbara gaan een woonkrediet aan van 215 000 euro met een looptijd van 25 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 3,90 %.

In de hypothecaire akte staat vermeld dat ze de eerste afbetaling pas over 5 maanden moeten doen.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

A

23

Je gaat op 1 februari een hypothecaire lening aan van 250 000 euro met een looptijd van 15 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 4,10 %.

De eerste afbetaling moet je pas op 1 november doen.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

A

24

De familie Wouters heeft een woonkrediet van 230 000 euro met een looptijd van 20 jaar en een variabele rentevoet (5/5/5). De eerste 5 jaar betalen ze 1 570,89 euro per maand af, tegen een jaarlijkse rentevoet van 5,55 %.

Voor de volgende 5 jaar wordt de rentevoet aangepast tot 3,90 %.

Bereken het nieuwe maandelijkse termijnbedrag.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

A

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

121

25

Een lening van 190 000 euro heeft een looptijd van 25 jaar en een rentevoet van 6 %.

Trimestrieel betaal je 3 635 euro af.

Na 3 jaar wordt de jaarlijkse rentevoet aangepast naar 4 %.

Bereken het nieuwe trimestriĂŤle termijnbedag.

pl aa

r

A

REEKS C A

26

Pierre en Jacko gaan een woonkrediet aan van 260 000 euro.

Het contract voorziet een looptijd van 30 jaar en een variabele rentevoet van 3,90 %.

Voor de eerste afbetaling krijgen ze een uitstel van 9 maanden.

ki

jk ex

em

a) Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

In

b) Bereken het nieuwe termijnbedrag als de rentevoet na 10 jaar wordt verhoogd naar 5 %.

1 2 3 4 5 6

122

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

27

Een hypothecair krediet van 205 000 euro heeft een looptijd van 15 jaar.

De variabele (5/5) rentevoet bedraagt 4,15 %. a) Bereken het maandelijkse termijnbedrag.

b) Na 5 jaar wordt de rentevoet met 0,50 % verhoogd. Bereken

em

pl aa

r

• het nieuwe termijnbedrag als de looptijd behouden blijft;

ki

jk ex

• de nieuwe looptijd als het termijnbedrag behouden blijft.

c) Stel dat je ingegaan bent op het verhoogde termijnbedrag.

Na 10 jaar wordt de rentevoet nogmaals met 0,50 % verhoogd.

Bereken het nieuwe termijnbedrag.

In

A

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

123

Grace en Kelly hebben 5 jaar geleden een woonkrediet van 235 000 euro geopend.

De looptijd is 25 jaar en de oorspronkelijke rentevoet was 5,15 %.

Gisteren kregen ze bericht dat de rentevoet wordt verlaagd naar 3,80 %.

Ze kiezen ervoor het huidige maandelijkse termijnbedrag te behouden en de leningsduur te verkorten. Hoeveel maanden zullen ze minder moeten betalen?

29

Om hun woning aan te kopen hebben Koray en Azra 190 000 euro geleend.

De looptijd is 15 jaar en de vaste rentevoet 4,25 %.

Na 6 jaar willen ze verbouwingswerken uitvoeren.

Daarvoor doen ze een heropname van 25 000 euro.

Om het maandelijkse termijnbedrag te behouden, kiezen ze voor een verlenging van de looptijd.

Hoelang zullen ze nog moeten afbetalen?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

28

1 2 3 4 5 6

124

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

Je hebt al 10 jaar trimestrieel afbetaald voor een lening van 150 000 euro.

De looptijd is 25 jaar en de vaste jaarlijkse rentevoet 5,10 %.

Je doet een gedeeltelijke vervroegde aflossing van 50 000 euro.

Je wilt hetzelfde bedrag blijven afbetalen en kiest daarom voor een verkorting van de leningsduur.

Hoeveel spaar je op die manier uit?

31

Bereken de jaarlijkse rentevoet voor een lening van 245 000 euro met een looptijd van 25 jaar en maandelijkse afbetalingen van 1 309,60 euro.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

30

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

125

Bereken de jaarlijkse rentevoet voor een lening van 260 000 euro met een looptijd van 30 jaar en trimestriĂŤle afbetalingen van 3 638,66 euro.

33

Ignace en Lieve hebben tien jaar geleden een lening van 185 000 euro afgesloten.

De looptijd is 20 jaar en de oorspronkelijke jaarlijkse rentevoet 5,90 %.

De voorbije 10 jaar betaalden ze maandelijks 1 298,52 euro af.

Ze kregen bericht dat het termijnbedrag aangepast wordt naar 1 185,72 euro.

Hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald?

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

32

1 2 3 4 5 6

126

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

STUDIEWIJZER Leningen op lange termijn 5.1 Hypothecaire kredieten KUNNEN Het verschil uitleggen tussen een hypothecair krediet en een consumentenkrediet.

Een overzicht geven van de verschillende kosten bij het kopen van onroerend goed en het aangaan van een woonkrediet.

Het verschil uitleggen tussen een lening met constante afbetalingen en een lening met constante kapitaalsaflossing.

5.2 Hoofdformule voor de lening met constante afbetalingen KENNEN

5.3 Toepassingen op de hoofdformule

pl aa

r

n Als een schuld V door n gelijke termijnbedragen moet worden afbetaald, dan is V = a ⴢ u −n1 , iⴢu met a = het termijnbedrag per periode, i = de rentevoet per periode, u = 1 + i en n = het aantal stortingen.

KENNEN

De kostprijs van een lening is de som van alle intresten.

Bij een lening met constante afbetalingen is de kostprijs gelijk aan n ⴢ a − V.

em

KUNNEN

Uit de hoofdformule het termijnbedrag berekenen van een lening met constante afbetalingen, als het geleende bedrag, de looptijd en de rentevoet gegeven zijn.

jk ex

5.4 Aflossingsplan voor een lening met constante afbetalingen KENNEN

De aflossing bij de m-de afbetaling is k m = k 1 ⴢ u m − 1.

De intrest bij de m-de afbetaling is r m = a − k m.

KUNNEN

ki

Een aflossingstabel interpreteren bij een lening met constante afbetalingen.

5.5 Leningen met constante kapitaalsaflossing

In

KUNNEN

Een aflossingstabel interpreteren bij een lening met constante kapitaalsaflossing.

5.6 Aflossingstabellen met ICT opstellen KUNNEN Met ICT een aflossingstabel opstellen bij een lening met constante afbetalingen en bij een lening met constante kapitaalsaflossing.

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

127

5.7 Vervroegde aflossing KENNEN k Het saldo na k afbetalingen is S k = V ⴢ u k – a ⴢ u − 1, i met V = het geleende bedrag, i = de rentevoet per periode, u = 1 + i, a = het termijnbedrag per periode en n = het aantal stortingen.

KUNNEN Het bedrag berekenen dat betaald moet worden bij een vervroegde aflossing door het saldo na k afbetalingen en de herbeleggingsvergoeding op te tellen.

5.8 Uitgestelde annuïteit KUNNEN

5.9 Variabele rentevoet

pl aa

KUNNEN

r

Het termijnbedrag berekenen bij een uitgestelde annuïteit.

Het termijnbedrag berekenen bij een variabele rentevoet.

5.10 Berekening van de looptijd

KUNNEN

em

Berekenen in welke mate de leningsduur verandert • als de rentevoet verandert en het termijnbedrag gelijk blijft; • bij een gedeeltelijke vervroegde aflossing.

5.11 Berekening van de rentevoet

KUNNEN

jk ex

Door iteratie de rentevoet bepalen als het geleende bedrag, het constante termijnbedrag en de looptijd gegeven zijn.

In

ki

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

128

HOOFDSTUK 5 I LENINGEN OP LANGE TERMIJN

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

6.1

Soorten consumentenkrediet

6.2 Begrippen 6.3 Looptijd en

pl aa

6.4 Berekening van

r

jaarlijks kostenpercentage het maandelijkse termijnbedrag 6.5 Voorbeelden

₁₃₂ ₁₃₃ ₁₃₃ ₁₄₀

In

ki

jk ex

em

Studiewijzer

₁₃₀ ₁₃₁

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

129

6.1

Soorten consumentenkrediet Elke lening die dient voor de aankoop of de financiering van roerend goed, is een consumentenkrediet. consumentenkrediet lening op afbetaling

pl aa

r

verkoop op afbetaling

Een financiële instelling stelt een bedrag ter beschikking van de consument.

Dat bedrag moet, samen met de intresten, in vaste maandelijkse schijven worden afbetaald.

De kredietgever is een financiële instelling, die vertegenwoordigd wordt door een kredietbemiddelaar.

Het doel van een verkoop op afbetaling is altijd de aankoop van een goed (auto, meubelen, ...) of de levering van een dienst (gebruik van bepaalde goederen, software, ...).

Het doel van een lening op afbetaling hoeft niet noodzakelijk een aankoop of een levering van diensten te zijn. Je kunt bijvoorbeeld ook een lening op afbetaling aangaan voor het afbetalen van belastingen.

jk ex

em

De consument betaalt een voorschot van minstens 15 % en komt met de verkoper overeen om het saldo plus intresten met vaste maandelijkse termijnbedragen af te betalen.

De kredietgever is de verkoper.

kredietopening

In

ki

financieringshuur (leasing)

1 2 3 4 5

Een leasingmaatschappij koopt een bepaald goed aan en geeft het voor een bepaalde periode in huur aan de consument.

Op het einde van het contract kan de huurder al dan niet het goed aankopen tegen een vooraf afgesproken prijs: de residuwaarde.

6

130

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

Een financiële instelling of een verkoper geeft aan de consument de mogelijkheid om over een kapitaalreserve te beschikken.

Dat kapitaal kan op elk ogenblik gebruikt of terugbetaald worden. Maandelijks worden intresten betaald op het schuldsaldo.

6.2

Begrippen De kredietovereenkomst

pl aa

r

Een kredietovereenkomst moet de volgende gegevens bevatten: • de identiteit en het adres van de partijen (kredietgever, kredietnemer en kredietbemiddelaar); • het kredietbedrag: het ontleende bedrag; • de looptijd: het aantal afbetalingen; • het termijnbedrag: het maandelijks af te betalen bedrag; • de kostprijs van de lening: de som van alle debetintresten en kosten; • het jaarlijks kostenpercentage.

jk ex

em

De kredietovereenkomst wordt afgesloten zodra ze ondertekend is met de vermelding ‘gelezen en goedgekeurd voor ... op krediet’.

Daarbij moeten ook de datum en het adres van de ondertekening worden vermeld.

Elke partij ontvangt een exemplaar van het contract en een exemplaar van de aflossingstabel.

ki

De bedenktijd

In

Als de overeenkomst is afgesloten, biedt de wet nog een bedenktijd van 14 werkdagen.

In die tijd kun je nog afzien van het krediet met een aangetekende brief aan de kredietinstelling.

De borg

In het geval van betalingsachterstand heeft de kredietgever het recht een deel van het loon van de kredietnemer in te houden; dat heet loonsoverdracht.

Het gebeurt ook dat de kredietgever vraagt dat iemand anders er zich toe verbindt het krediet terug te betalen indien de kredietnemer zijn verbintenissen niet kan nakomen.

Deze persoon wordt de borg genoemd.

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

131

6.3

Looptijd en jaarlijks kostenpercentage De looptijd De wet van 12 juni 1991, die het consumentenkrediet regelt, heeft een maximale terugbetalingsperiode voorzien, afhankelijk van het bedrag van het krediet.

maximale looptijd in maanden

501 tot 2 500 euro

24

2 501 tot 3 700 euro

30

3 701 tot 5 600 euro

36

5 601 tot 7 500 euro

42

pl aa

r

kredietbedrag

7 501 tot 10 000 euro

48

10 001 tot 15 000 euro

60 84

em

15 001 tot 20 000 euro meer dan 20 000 euro

120

Definitie

jk ex

Het jaarlijks kostenpercentage Jaarlijks kostenpercentage

Het jaarlijks kostenpercentage (JKP) drukt uit, in procent, hoeveel intrest en kosten er jaarlijks worden betaald bij een consumentenkrediet.

In

ki

In het hoofdstuk over woonkredieten heb je gezien dat er bij het afsluiten van een hypothecair krediet heel wat kosten worden aangerekend. Die kosten moeten apart betaald worden.

Bij consumentenkredieten moeten de zogenaamde toegevoegde kosten in het JKP zijn vervat, zodat er geen extra kosten mogen worden aangerekend.

Het JKP van een consumentenkrediet is daarom meestal hoger dan de rentevoet bij een woonkrediet.

In de tabel zie je het maximale JKP op 1 januari 2019.

kredietbedrag

maximaal JKP verkoop en lening op afbetaling

maximaal JKP leasing

tot 1 250 euro

18,5 %

12,5 %

1 251 tot 5 000 euro

12,5 %

8,5 %

meer dan 5 000 euro

10,0 %

8,0 %

1 2 3 4 5 6

132

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

6.4

Berekening van het maandelijkse termijnbedrag Je rekent de simulatie na.

• V= Doel van het krediet Gewenst kapitaal Gewenste looptijd

Nieuwe wagens 20 000,00

• n=

EUR

• JKP = i = 0,0325

maanden

48

Minimaal te ontlenen = 2 500,00 EUR Minimale looptijd = 24 maanden Maximale looptijd = 48 maanden Jaarlijks kostenpercentage Maandelijkse afbetaling

3,25

%

444,48

• i 12 = • a=Vⴢ

EUR

i 12 ⴢ u n12 u n12 − 1

pl aa

r

= =

Besluit

Berekening van het maandelijkse termijnbedrag

6.5

jk ex

em

Om het maandelijks af te betalen bedrag bij een consumentenkrediet te berekenen, beschouw je • het JKP als een reële jaarlijkse rentevoet; • de afbetalingen als termijnbedragen van een postnumerando annuïteit met beginwaarde gelijk aan het kredietbedrag.

Voorbeelden

Verkoop op afbetaling

In

ki

Bereken het termijnbedrag en de totale kosten van het krediet.

• V= • n= • JKP = i = • i 12 = • a=Vⴢ SMART TV contant 1 585 euro op afbetaling: - voorschot 385 euro - 24 maandelijkse betalingen - JKP = 8,5%

i 12 ⴢ u n12 u n12 − 1

= = • Kostprijs van de lening: nⴢa−V=

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

133

Lening op afbetaling Damienne is na een zwaar ongeval in het ziekenhuis beland. Na een paar weken ontvangt ze een rekening van 250 000 euro, waarvan het ziekenfonds 90 % voor zijn rekening neemt, zodat ze zelf nog 25 000 euro moet ophoesten.

Omdat ze geen hospitalisatieverzekering heeft, stapt ze naar haar bank die haar voorstelt een lening op afbetaling aan te gaan met een looptijd van 120 maanden en een JKP van 7,50 %.

Financieringshuur

em

b) Wat is de kostprijs van de lening?

pl aa

r

a) Hoeveel zal ze maandelijks moeten afbetalen?

jk ex

Leasingcontracten werken meestal niet met een JKP, omdat in de huurprijs ook allerlei kosten kunnen worden vervat zoals onderhoudskosten, verzekeringen, ...

Het maandelijkse termijnbedrag wordt dan met een coëfficiënt bepaald.

In

ki

De firma Van Basis tot Bodem wil een bedrijfsvoertuig leasen.

De kostprijs exclusief btw is 19 490 euro.

Een leasefirma doet het volgende voorstel: • duur van de overeenkomst: 4 jaar (48 maanden); • in de maandelijkse huurprijs zijn alle kosten (diesel, onderhoud, ...) inbegrepen; • de gehanteerde coëfficiënt is 1,5; • residuwaarde (ook restwaarde): 30 %.

De maandelijkse huurprijs exclusief btw = kostprijs ⴢ 1

De maandelijkse huurprijs inclusief btw =

2 3

De restwaarde exclusief btw =

4 5

De restwaarde inclusief btw =

6

134

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

coëfficiënt = 100

Oefeningen REEKS A Joris gaat een lening op afbetaling aan van 2 500 euro.

De afbetaling gebeurt door 24 maandelijkse termijnbedragen met een JKP van 9 %.

Bereken het maandelijks af te betalen bedrag en de totale kosten van het krediet.

2

Controleer de juistheid van de derde rij van de advertentie.

em

pl aa

r

1

Wij lenen u vanaf € 1 250,00 tot € 50 000,00 voor o.m. :

De verfraaiing van uw woning Onvoorziene kosten Inrichting van uw woning De terugbetaling van uw lopende kredieten terug en verminder zo uw maandlast

= 30 x € 195,66 = 36 x € 121,05 = 36 x € 159,29 = 48 x € 187,05 = 60 x € 208,14 = 84 x € 242,19 = 84 x € 403,64 = 84 x € 807,26

11,50* 11,50* 19,50* 19,50* 19,50* 19,50* 19,50* 19,50*

In

ki

jk ex

€ 2 501 € 3 701 € 5 001 € 7 501 € 10 001 € 15 001 € 25 001 € 50 001

3

Omdat ze een nieuwe keuken willen installeren, gaan Louisa en Kim een lening op afbetaling aan van 18 000 euro. De looptijd is 84 maanden en het JKP bedraagt 4,25 %.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag en de totale kosten van het krediet.

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

135

Marcel koopt een nieuwe auto. De contante waarde bedraagt 26 750 euro.

Hij betaalt een voorschot van 20 % en zal het krediet afbetalen met 36 maandelijkse afbetalingen tegen een JKP van 3,60 %.

Bereken het maandelijkse termijnbedrag en de totale kosten van het krediet.

5

Hoeveel zou deze wasmachine contant kosten?

em

pl aa

r

4

Voorschot: 149 euro 12 x 53,14 euro (*)

Een computerconfiguratie heeft een contante waarde van 900 euro.

Bij verkoop op afbetaling vraagt de winkelier een voorschot van 15 % en een afbetaling van het saldo met 18 maandelijkse termijnbedragen tegen een JKP van 9 %.

Bereken het maandelijks te betalen bedrag en de totale kosten van het krediet.

In

6

ki

jk ex

(*)JKP = 12 %

1 2 3 4 5 6

136

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

7

Onze school heeft een leasingcontract van 2 jaar voor een fotokopieermachine.

De waarde van de machine, zonder btw, is 1 600 euro.

De afbetalingen gebeuren maandelijks met een coëfficiënt 4,0.

Hoeveel moet onze school maandelijks, inclusief btw, betalen?

8

pl aa

r

De residuwaarde is 15 %.

Bereken deze waarde, inclusief btw.

Bereken voor een geleased bedrag van 30 000 euro op 4 jaar a) de maandelijkse coëfficiënt; b) de maandelijkse betalingen inclusief btw; c) de residuwaarde inclusief btw.

PERSONENWAGENS EN BESTELWAGENS op 2 jaar

op 3 jaar

op 4 jaar

op 5 jaar

30 000,00

em

Geleased bedrag

1 335,98

934,03

739,71

623,23

37 500,00

1 669,97

1 167,54

924,64

779,04

Restwaarde

5%

5%

5%

5%

10 000,00 12 500,00

311,34

246,57

207,74

556,66

389,18

308,21

259,69

890,65

622,69

493,14

415,59

In

ki

jk ex

20 000,00

445,33

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

137

REEKS B 9

Steven wil een Vespa kopen. Hij vergelijkt daarvoor het aanbod van 2 handelaars uit zijn buurt.

Bij beide handelaars is de contante waarde 2 950 euro.

Bij een verkoop op afbetaling vraagt handelaar A een voorschot van 15 % en 24 maandelijkse afbetalingen van het saldo tegen een JKP van 10 %.

Handelaar B vraagt een voorschot van 20 % en stelt een afbetalingsplan voor met 18 maandelijkse termijnbedragen tegen een JKP van 12 %.

Bij welke handelaar doet hij uiteindelijk de beste zaak?

Handelaar B:

Controleer de juistheid van de aanbieding tot kredietopening.

jk ex

10

em

pl aa

r

Handelaar A:

Kredietvorm: kredietopening.

In

ki

Jaarlijks kostenpercentage: 9 %.

1 2 3 4 5 6

138

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

Voorbeeld: op basis van een onmiddellijk en eenmalig gebruik van het totale bedrag van de kredietopening van 10 000 EUR, duurt de theoretische terugbetalingstermijn 24 maanden, hetzij 23 afbetalingen van 460 EUR en een laatste afbetaling van 335,67 EUR.

REEKS C Voor een autofinanciering van 12 000 euro met een looptijd van 48 maanden, betaal je iedere maand 283,29 euro af. Bepaal het jaarlijkse kostenpercentage.

12

Xandra en Xavier willen een nieuw lederen salon kopen. De contante waarde bedraagt 2 850 euro.

De verkoper biedt twee mogelijkheden aan: • Bij contante betaling krijgen ze 7 % korting. • Bij aankoop op afbetaling is er geen korting. Er moet een voorschot van 15 % betaald worden en het saldo wordt afbetaald in 24 maandelijkse termijnbedragen tegen 0 % JKP. Bereken het eigenlijke JKP als je rekening houdt met de korting bij contante betaling.

In

ki

jk ex

em

pl aa

r

11

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET

139

STUDIEWIJZER Consumentenkrediet 6.1 Soorten consumentenkrediet KUNNEN Het onderscheid uitleggen tussen een lening op afbetaling, een verkoop op afbetaling, een financieringshuur en een kredietopening.

6.2 Begrippen KUNNEN De begrippen kredietbedrag, kostprijs van de lening en jaarlijks kostenpercentage uitleggen.

6.3 Looptijd en jaarlijks kostenpercentage KENNEN

pl aa

r

Het jaarlijks kostenpercentage (JKP) drukt uit, in procent, hoeveel intrest en kosten er jaarlijks worden betaald bij een consumentenkrediet.

KUNNEN

Met iteratie het JKP bepalen als het kredietbedrag, de looptijd en het termijnbedrag gegeven zijn.

6.4 Berekening van het maandelijkse termijnbedrag

em

KENNEN

jk ex

Om het maandelijks af te betalen bedrag bij een consumentenkrediet te berekenen, beschouw je • het JKP als een reële jaarlijkse rentevoet; • de afbetalingen als termijnbedragen van een postnumerando annuïteit met beginwaarde gelijk aan het kredietbedrag.

Bij financieringshuur wordt meestal een maandelijkse coëfficiënt gebruikt.

KUNNEN

ki

Het termijnbedrag berekenen bij een consumentenkrediet als het kredietbedrag, de looptijd en het jaarlijks kostenpercentage of de maandelijkse coëfficiënt zijn gegeven.

In

CONTRACTWERK

1 2 3 4 5 6

140

HOOFDSTUK 6 I CONSUMENTENKREDIET