Toegepaste wiskunde Deel 1
voor het hoger onderwijs
Jan Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter
Toegepaste wiskunde
voor het hoger onderwijs
Deel 1
drs. J.H. Blankespoor
drs. C. de Joode
ir. A. Sluijter
Zevende, herziene druk
COLOFON
Auteurs
drs. J.H. Blankespoor
drs. C. de Joode
ir. A. Sluijter
Opmaak binnenwerk
Crius Group
Opmaak omslag
Crius Group
Rekenredactie
F. te Molder
Taalredactie
Tekstbureau Kroeze
Basisontwerp omslag
OudZuid ontwerp, uitvoering
ThiemeMeulenhoff
Tekeningen
TiekstraMedia, Groningen
Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.
ClimatePartner
certified product climate-id.com/YI43H3
CO2 measure reduce contribute
Over ThiemeMeulenhoff
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij die zich inzet voor het voortgezet onderwijs en beroepsonderwijs. De mensen van ThiemeMeulenhoff zijn er voor onderwijsprofessionals – met ervaring, expertise en doeltreffende leermiddelen. Ontwikkeld in doorlopende samenwerking met de mensen in het onderwijs om samen het onderwijs nog beter te maken.
We ontwikkelen lesmethodes die goed te combineren zijn met andere leermiddelen, naar eigen inzicht aan te passen en bewezen effectief zijn. En natuurlijk worden al onze lesmethodes zo duurzaam mogelijk geproduceerd.
Zo bouwen we samen met de mensen in het onderwijs aan een mooie toekomst voor de volgende generatie.
Samen leren vernieuwen.
www.thiememeulenhoff.nl
ISBN 978 90 06 69182 5
Editie 1, Druk 7, Oplage 1, 2025
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2025
Alle rechten voorbehouden. Tekst- en datamining, AI-training en vergelijkbare technologieën niet toegestaan. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
5
6
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
7
7.7
8.1
8.4.2
Voorwoord
Deel 1 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is hèt wiskundeboek voor de propedeuse van veel techniekopleidingen in het hoger onderwijs, met name in het hoger beroepsonderwijs. Uitgangspunt voor het ingangsniveau is havo (met name met de profielen Natuur en Gezondheid of Natuur en Techniek) en mbo-techniek, niveau 4. Bij de laatste categorie wordt er wel van uitgegaan dat studenten tijdens hun mbo-opleiding of voorafgaand aan een hbo-studie een wiskundecursus hebben gevolgd. Ook voor techniekstudenten met een vwo-opleiding is dit boek geschikt als propedeuseboek. Aan een technische universiteit kan het boek startpunt zijn voor de studie. De behandelde stof omvat een groot deel van en in veel gevallen de gehele propedeusewiskunde in het hoger beroepsonderwijs.
De onderwerpen in de hoofdstukken 1, 2 en 3 zijn grotendeels gelijk gebleven. De opzet van deze hoofdstukken en de volgorde waarin de onderwerpen worden aangeboden zijn grondig onder de loep genomen en zo nodig is de stof herzien en uitgebreid. Ook is een aantal voorbeelden en opgaven toegevoegd. Het onderwerp ‘limieten’ aan het begin van hoofdstuk 4 is anders opgezet dan in de vorige druk, verder zijn de hoofdstukken 4 tot en met 7 qua opzet nauwelijks gewijzigd. Wel is de tekst soms aangepast en zijn voorbeelden en opgaven toegevoegd. Hoofdstuk 8 (Rijen en Reeksen) is nieuw in deel 1 en is grotendeels gelijk aan hoofdstuk 8 uit de vijfde druk van deel 2.
Voor alle hoofdstukken geldt dat de student met veel voorbeelden door de stof wordt geleid. Hierdoor is genoeg materiaal aanwezig om de stof te gaan beheersen en om de opgaven te kunnen maken. Op deze manier wordt het inzicht en de routine in wiskundige concepten vergroot. In de aangeboden wiskundige contexten kunnen de verkregen kennis en vaardigheden toegepast worden.
In de digitale leeromgeving eDition is aanvullend studiemateriaal (extra vraagstukken, een aantal uitwerkingen en een overzicht van formules) te vinden. Hoewel er in
deze zevende druk geen aandacht meer besteed wordt aan het computeralgebrasysteem Maple, zijn de betreffende teksten uit de 6e druk, nog wel beschikbaar in eDition. Ook is daar een korte cursus Maple (klassieke versie) te vinden.
Voor studenten en docenten die reeds de zesde druk van dit boek gebruikten geldt dat er, naast tekstuele aanpassingen, vraagstukken bij zijn gekomen, waardoor de nummers van de reeds bestaande opgaven veranderd kunnen zijn.
Amersfoort, mei 2025 De auteurs
Bij hoofdstuk 1
Om wiskunde te kunnen toepassen bij het oplossen van problemen op allerlei terreinen worden grootheden of variabelen weergegeven met symbolen. Met behulp van algebraïsche vaardigheden kunnen met deze symbolen bewerkingen worden uitgevoerd. In dit hoofdstuk wordt geleerd hoe dat gaat. Om wiskunde te kunnen toepassen is het absoluut noodzakelijk dat deze vaardigheden beheerst worden. Daarom noemen we de algebraïsche vaardigheden die in dit hoofdstuk aan bod komen basisvaardigheden. We leggen uit met welke (reken)regels deze basisvaardigheden kunnen worden toegepast en geven inzicht in de achtergrond van deze regels.
Vergelijkingen en formules bestaan uit wiskundige uitdrukkingen waarin een of meer onbekenden of nader te bepalen grootheden zitten. Vaak zullen we basisvaardigheden toepassen bij het oplossen van vergelijkingen en het manipuleren in formules. Daarvoor is een aantal basistechnieken nodig. In dit hoofdstuk worden deze basistechnieken beschreven en uitgelegd. We passen deze technieken toe op verschillende soorten vergelijkingen die in de praktijk voorkomen.
Hoofdstuk 1 bevat de volgende onderwerpen.
• getallen, notaties, verzamelingen en intervallen
• rekenen met getallen
• breuken
• wortels
• rekenen met symbolen
• wegwerken van haakjes
• ontbinden in factoren
• oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden
• manipuleren met formules
• oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen
• machten en logaritmen
• absolute waarde
Basisvaardigheden en basistechnieken
Basisvaardigheden zijn alle vaardigheden op het gebied van rekenen en wiskunde die een student in een technische of aanverwante opleiding van het hoger onderwijs moet beheersen. Er wordt van uitgegaan dat studenten deze vaardigheden beheersen. Op deze vaardigheden kan dan ook op elk moment en bij diverse vakken tijdens de opleiding een beroep worden gedaan.
We gaan ervan uit dat elke gebruiker van dit boek beschikt over een wetenschappelijke rekenmachine. In de praktijk zal vaak gebruik gemaakt worden van meer geavanceerde ‘tools’. Denk aan grafische rekenmachines en ondersteunende software, die speciaal zijn toegesneden op het vakgebied of onderwerp. Deze gereedschappen zijn een onmisbaar hulpmiddel, maar de basisvaardigheden beheersen blijft van groot belang. Wij beperken ons tot ‘handmatige’ berekeningen en het gebruik van een wetenschappelijke rekenmachine.
1.1 Notaties en verzamelingen
In deze paragraaf maken we afspraken over wiskundige notaties, maken we kennis met verzamelingen in het algemeen en met getalverzamelingen in het bijzonder.
1.1.1 Notaties
Symbolen
Het symbool < betekent ‘kleiner dan’ en het symbool > wordt gebruikt voor ‘groter dan’, beide eventueel in combinatie met het gelijkheidsteken =. De combinatie wordt dan ≤, respectievelijk ≥
Het symbool ≈ , het ongeveer-gelijk-aan-teken, wordt gebruikt bij benaderingen. Bijvoorbeeld geldt 5 3 ≈ 1,67
Als twee grootheden ongelijk zijn aan elkaar geven we dat aan met het symbool ≠, het zogenaamde ongelijkheidsteken. Zo geldt 3 + 2 ≠ 4. Vermenigvuldigingen geven we aan met een op halve hoogte geplaatste punt (⋅) . Een uitdrukking hiermee is 3 2 = 6
We zullen regelmatig het symbool ∨ , uit te spreken als ‘of’ en het symbool ∧ (’en’) gebruiken. Met x = 5 ∨ x = 7 geven we aan dat x de waarde 5, maar ook de waarde 7 kan hebben. Met x ≥ 1 ∧ x < 5 geven we aan dat voor het getal x geldt dat het groter dan of gelijk is aan 1 en ook kleiner dan 5. Een andere notatie hiervoor is 1 ≤ x < 5 Zo kan 2 < x < 4 ∨ 3 < x < 5 ook geschreven worden als 2 < x < 5. Ga dit na!
Het is gebruikelijk om in een combinatienotatie, zoals 1 ≤ x < 5 of 2 < x < 4 met ‘kleinerdan’ tekens te werken. De notatie 4 > x > 2 is niet fout, maar wel heel ongebruikelijk. Zie ook onderstaande.
Het is zeer ongebruikelijk, maar wel juist als b groter is dan a, om te schrijven b > x > a. Het kleinste getal schrijven we het liefst links. De notatie a < x > b is niet toegestaan. Deze zou betekenen dat zowel a < x (dus x > a) als x > b, maar dat betekent dat x groter is dan het maximum van a en b. Iets dergelijks geldt voor de notatie a > x < b
1.1.2
Pijlen
Een veel gebruikt symbool is de implicatiepijl ⇒ (niet te verwarren met het pijltje →, dat ergens anders voor gebruikt wordt). Met A ⇒ B bedoelen we: uit bewering A volgt bewering B. De implicatiepijl wordt nogal eens verkeerd gebruikt. Zo is de implicatiepijl beslist niet hetzelfde als het gelijkheidsteken. De notatie 3 × (4 + 1) ⇒ 15 is onjuist, correct is 3 × (4 + 1) = 15.
De dubbele pijl ⇔ in A ⇔ B betekent uit bewering A volgt bewering B en ook geldt dat uit bewering B bewering A volgt. Formeler: A ⇔ B betekent (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). De dubbele pijl wordt ook wel uitgesproken als ‘dan en slechts dan als’. Een voorbeeld met de dubbele pijl: 2x = 4 ⇔ x = 2
Verzamelingen
Een verzameling bevat objecten die bij elkaar horen en wordt meestal aangeduid met een hoofdletter.
Verzamelingen kunnen weergegeven worden door een beschrijving of door een opsomming tussen accolades. Als we de verzameling V beschrijven als de verzameling van voertuigen die we op een fietspad kunnen tegenkomen, dan kunnen we V ook als een opsomming schrijven, er geldt dan V ={stadsfiets, bakfiets, scooter, ebike, fatbike, speedpedelec}.
Er zijn ook verzamelingen van getallen, bijvoorbeeld G = {2, 3, 4, 5}
De getallen of andere zaken die in een verzameling voorkomen worden elementen van de verzameling genoemd.
De volgorde in een verzameling is niet van belang, dus {1, 2, 4, 9} = {2, 1, 9, 4}.
Ook mogen elementen meerdere malen voorkomen in een verzameling, dus {1, 5, 9} = {1, 9, 5, 5}.
Om aan te geven dat 3 tot bovenstaande verzameling G behoort, gebruiken we het symbool ∈.
We noteren 3 ∈ G en spreken dit uit als
• 3 is een element van de verzameling G, of als
• 3 is een element van G , of als
• 3 behoort tot de verzameling G, of nog korter als
• 3 zit in de verzameling G
Als we willen aangeven dat 10 niet tot de verzameling G behoort, dan noteren we 10 ∉ G
De verzameling die geen elementen bevat wordt de lege verzameling genoemd en wordt genoteerd met het symbool ∅. Dus ∅ = {}.
Voor een tekening van een verzameling gebruiken we een zogenaamd Venndiagram. Een Venndiagram wordt meestal als een ovaal figuur getekend, met daarin een aantal punten die de elementen in de verzameling voorstellen en een daarbij bijbehorende tekst, getal of letter
Voorbeeld 1 We tekenen de Venndiagrammen van bovengenoemde verzamelingen
V={stadsfiets, bakfiets, scooter, ebike, fatbike, speedpedelec} en G = {2, 3, 4, 5}.
Zie figuur 1.1 en 1.2 voor de tekeningen.
Figuur 1.1
Venndiagram van verzameling V
Figuur 1.2
Venndiagram van verzameling G V
Net als met getallen kunnen er met verzamelingen bewerkingen worden uitgevoerd. Ook kunnen verzamelingen aan elkaar gerelateerd worden. We laten hieronder enkele bewerkingen en relaties zien.
De doorsnede van de verzamelingen A en B noteren we als A ∩ B. Voor een element uit deze doorsnede geldt dat het zowel een element van A als van B is.
Dus x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B). Zie figuur 1.3 voor een tekening met Venndiagrammen, waarbij het gearceerde deel de doorsnede van A en B is.
Figuur 1.3
Venndiagram van de doorsnede van de verzamelingen A en B A
Figuur 1.4
Venndiagram van de vereniging van de verzamelingen
De vereniging van de verzamelingen A en B noteren we als A ∪ B. Voor een element uit deze vereniging geldt dat het een element van A of van B is.
Dus x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). Zie figuur 1.4 voor een tekening met Venndiagrammen, waarbij het gearceerde deel de vereniging van A en B is.
A en B A A B B
Als we een verzameling B weglaten uit een verzameling A, dan noteren we dit als A\B; dit is de zogenaamde verschilverzameling van A en B. Voor een element uit A\B geldt dat het wel een element van A, maar geen element van B is. Het teken \ is het weglatingsteken.
Dus x ∈ A\B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∉ B). Zie figuur 1.5 voor een tekening met Venndiagrammen, waarbij het gearceerde deel de verzameling A\B is.
Figuur 1.5
Venndiagram van de verschilverzameling van A en B A
\ B B
We zeggen dat de verzameling B een deelverzameling is van de verzameling A, als B uitsluitend elementen bevat die ook in A voorkomen. We noteren dit als B ⊂ A Dus dan geldt x ∈ B ⇒ x ∈ A. Zie figuur 1.6 voor een tekening met Venndiagrammen, waarbij de verzameling B gearceerd is.
Figuur 1.6
Venndiagram van B als deelverzameling van verzameling A A
B A B
Als B geen deelverzameling is van A, dan noteren we B ⊄ A. Als B een deelverzameling is van A, dan zeggen we ook wel dat de verzameling A de verzameling B omvat, met notatie A ⊃ B.
Opmerking
In bovenstaande is te zien dat de tekens, die gebruikt worden voor de bewerkingen op en relaties tussen verzamelingen, doen denken aan de tekens voor beweringen en verbanden tussen beweringen. De tekens
∩ , ∪ , \ en ⊂ voor verzamelingen horen in dezelfde volgorde bij de tekens
∧ , ∨ , en < voor beweringen.
Let bij de laatste wel op dat B ⊂ A ook geldt als B = A, maar b < a niet waar is als b = a.
Voorbeeld 2
Gegeven zijn de volgende verzamelingen.
A is de verzameling van alle letters van het Nederlandse alfabet.
K is de verzameling van alle klinkers in het Nederlandse alfabet, dus K = {a,e,i,o,u}
M is de verzameling van alle medeklinkers in het Nederlandse alfabet.
E is de verzameling van de eerste vijf letters van het Nederlandse alfabet. We bepalen een aantal bewerkingen op en relaties tussen deze verzamelingen.
Het betreft
a de verenigingen K ∪ M, E ∪ K, E ∪ ∅
b de doorsnedes E ∩ K, E ∩ M, M ∩ {a,b,c}, K ∩ M, K ∩ ∅
c de verschilverzamelingen A\K, E\K, K\E
d de relatie tussen M en A en de relatie tussen A en E
Antwoorden
a K ∪ M = A
E ∪ K = {a,b,c,d,e,i,o,u}
E ∪ ∅= E
b E ∩ K = {a,e}
E ∩ M = {b,c,d}
M ∩ {a,b,c} = {b,c}
K ∩ M = ∅
K ∩ ∅= ∅
c A\K = M
E\K = {b,c,d}
K\E = {i,o,u}
d M ⊂ A
A ⊃ E ■
1.1.3 Getallen en getalverzamelingen
In de wiskunde en bij de toepassingen ervan onderscheiden we diverse soorten getallen. We laten ze hieronder de revue passeren.
De getallen, waarmee ook al in het basisonderwijs gewerkt wordt, zijn de natuurlijke getallen. Natuurlijke getallen zijn gehele, nietnegatieve getallen (0 hoort er dus ook bij). Voor de verzameling van natuurlijke getallen schrijven we ℕ. Er geldt daarom ℕ = {0,1,2,3,⋯ , 17,18,⋯ , 72,⋯ , 521,…}. Deze verzameling bevat oneindig veel getallen, daarom kunnen we niet alle elementen ervan opschrijven. Als we de natuurlijke getallen uitbreiden met de negatieve gehele getallen dan krijgen we de verzameling van de gehele getallen, die we noteren met ℤ Dus ℤ = {⋯ ,− 312,⋯,− 51,⋯,− 2,− 1,0,1,2,3,⋯ , 27,⋯ , 72,⋯ , 1523,…}.
Als we ook gebroken positieve en negatieve getallen toevoegen aan de verzameling van de gehele getallen dan ontstaat de verzameling van de rationale getallen. Deze verzameling noteren we als ℚ. Zo geldt bijvoorbeeld 1 2 ∈ ℚ, maar ook 12 7 ∈ ℚ en 5 ∈ ℚ. Rationale getallen worden vaak genoteerd als een decimaal getal. Bijvoorbeeld 13 4 = 3,25 en 5 8 = 0,625. Ook kan er sprake zijn van een oneindig aantal decimalen. Bijvoorbeeld 2 7 = 0,285714285714....., waarbij de cijferreeks 285714 zich blijft herhalen. Dit noteren we ook wel als 2 7 = 0,285714. In dit boek worden decimale getallen met een komma als scheidingsteken geschreven. Bij rekenmachines en computers wordt vrijwel altijd de punt als scheidingsteken gebruikt.
Bij hele grote getallen wordt ter verduidelijking soms een ‘lage’ punt gebruikt. Ook wordt wel een kleine witruimte in de notatie van zo’n getal gebruikt. Het getal 12238906,13 wordt genoteerd als 12.238.906,13 of 12 238 906,13. De punt of witruimte staat steeds om de 3 cijfers, gerekend vanaf de komma.
Let op: De hierboven gebruikte ‘lage’ punt is anders dan de punt voor vermenigvuldigen, die op halve hoogte staat.
We kunnen de verzameling ℚ uitbreiden met getallen die niet als een breuk te schrijven zijn. Te denken valt aan het getal √2 en aan π, maar ook aan de getallen 3 + 1 2 √2 en 1 3 √π . Deze getallen komen in dit boek nog aan de orde, maar zijn wellicht al wel bekend. Met deze uitbreiding krijgen we de verzameling van de reële getallen, aangeduid met ℝ. In dit boek werken we vrijwel altijd met reële getallen.
Reële getallen die geen rationaal getal zijn, noemen we irrationale getallen. De verzameling van de irrationale getallen is dus de verzameling ℝ\ℚ
De verzameling van positieve reële getallen noteren we met ℝ + en die van de negatieve reële getallen met ℝ .
De verzamelingen ℕ, ℤ, ℚ en ℝ zijn, in deze volgorde, steeds een deelverzameling van de volgende verzameling. Er geldt dus ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Intervallen
Een interval is een deelverzameling van de verzameling van de reële getallen. Het interval [a,b] bevat alle reële getallen tussen a en b, inclusief de getallen a en b zelf. Als x ∈ [a,b] dan geldt a ≤ x ≤ b. Dit betekent dat a ≤ x (en dus x ≥ a) én x ≤ b. Omdat de grenzen tot het interval behoren, is dit een gesloten interval.
Een andere notatie is [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}, ‘de verzameling van alle reële getallen x waarvoor geldt dat a ≤ x ≤ b’.
Het interval <a,b> bevat alle reële getallen tussen a en b, waarbij a en b zelf niet meegerekend worden. Als x ∈ <a,b> dan a < x < b. Omdat de grenzen niet tot het interval behoren, is dit een open interval
Er kan ook sprake zijn van een half-open interval of van een half-gesloten interval. Zo omvat het interval <a,b] alle getallen x waarvoor geldt a < x ≤ b, dus <a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Als we een getal willen weglaten, dan gebruiken we het weglatingsteken (\) . Zo is ℝ\ { 3}de verzameling van alle reële getallen behalve 3; ℝ\ { 3} = {x ∈ ℝ | x ≠ 3}.
Met deze notatie geldt (ga dit zelf na!)
[0,8]\[4,5] = {x ∈ ℝ | x ∈ [0,8] ∧ x ∉ [4,5]} = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 4 ∨ 5 < x ≤ 8}
De getallen 0 en 8 behoren wel tot deze verzameling, de getallen 4 en 5 niet.
Getalverzamelingen kunnen onbeperkt doorlopen naar rechts (grote positieve getallen) of naar links (sterk negatieve getallen). Bij een getalverzameling die onbeperkt naar rechts doorloopt gebruiken we het symbool ∞ (oneindig) of + ∞ (plus-oneindig). Als een getalverzameling onbeperkt naar links doorloopt, gebruiken we het symbool ∞ (min-oneindig). Ook worden wel pijltjes gebruikt om aan te duiden dat verzamelingen onbeperkt doorlopen naar links of rechts.
Zo noteren we de verzameling van de reële getallen x waarvoor geldt x ≥ 5 als [5,∞> of eventueel als [5,→>, dus [5,∞> = [5,→> = {x ∈ ℝ | 5 ≤ x} = {x ∈ ℝ | x ≥ 5} en de reële getallen x waarvoor geldt x < 2 als < ∞ , 2> of als <← , 2>, dus < ∞ , 2> = <← , 2> = {x ∈ ℝ | x ≤ 2}.
De symbolen ∞ , + ∞ en ∞ stellen geen getallen voor. Daarom staat er voor ∞ en na + ∞ en ∞ altijd een scherpe haak: <, respectievelijk >
De getallenlijn
We kunnen deelverzamelingen van de reële getallen weergeven op een zogenaamde getallenlijn. Als een randpunt tot de verzameling behoort, dan tekenen we een gesloten rondje. Als het punt niet bij de verzameling behoort, dan een open rondje. Een getallenlijn strekt zich onbeperkt naar links en naar rechts uit.
In figuur 1.7 zijn achtereenvolgens de intervallen [ 1,4], < 3,0], <5,6>, < ∞ , 2> en [1,∞>weergegeven.
Figuur 1.7
Enkele intervallen
–3, 0] 0 –3
[–1, 4] 5, 6 6 5 –∞, 2 2 [1, ∞ 1 4 –1
Opgaven bij 1.1
1 Gegeven de verzamelingen A = {4,8,12,16}, B = {0,8,16,24}en C = { 2,4,− 8}. Bepaal de volgende verzamelingen.
a A ∩ B f B ∩ C
b A ∪ B g A ∩ < 2,8]
c A\B h C ∩ < 2,8]
d B\A i C ∩ ℕ
e A ∩ C j C ∩ ℤ
2 Zijn de volgende beweringen waar of niet waar?
a 3 ∈ ℤ f [ 1,4]\[ 2,3] = [3,4]
b 2 ∉ ℕ g < 3, 1 2 ] ∩ ℕ = ∅
c 51 17 ∈ ℤ h < 3, 1 2 ] ∩ < 1 2 , 3] = ∅
d {3,4,5} ⊂ ℕ i [ 3,1] ∪ [2,4] = [ 3,4]
e { 2,2} ⊂ ℕ j ℝ ∩ ℤ = ℤ
3
Gegeven de verzamelingen A = [3,5> = {x ∈ ℝ | 3 ≤ x < 5}, B = <4,6] = {x ∈ ℝ | 4 < x ≤ 6} en C = [6,∞> = {x ∈ ℝ | x ≥ 6}. Noteer de verzameling indien mogelijk als een interval en teken de verzamelingen op een getallenlijn.
a A ∩ B e B ∪ C
b A ∪ B f B ∩ C
c A\B
g C \ A
d A ∩ C h ℝ\C
4 Noteer de verzameling waartoe de getallen behoren indien mogelijk met interval(len).
a x ≥ 3
b x < 5 ∨ x ≥ 7
c x < 5 ∨ 4 < x < 7
d x ≤ 5 ∧ x ≥ 0
5 Noteer met behulp van beweringen welke reële getallen element zijn van de verzamelingen. Gebruik daarbij de symbolen <, >, ≤ , ≥ , ∧ en/of ∨.
a [4,10 ] \[5,6]
b <3, ∞>\<4,6>
1.2 Rekenvaardigheden
c ℝ\ { 4,6}
d [2,10 ] \<3,4>
In deze paragraaf staat het rekenen met getallen centraal. Er is met name aandacht voor het rekenen met breuken en wortels en voor de volgorde waarin berekeningen uitgevoerd moeten worden.
1.2.1 Eenvoudige rekenkundige bewerkingen
We noemen de belangrijkste rekenkundige bewerkingen en de bijbehorende naamgeving.
Optellen en aftrekken
Als we getallen bij elkaar optellen ontstaat de zogenaamde som van deze getallen. Een optelling noteren we met het plusteken (+). Als we getallen van elkaar aftrekken ontstaat het zogenaamde verschil van de getallen. Aftrekken wordt genoteerd met een minteken ( ). De getallen die we optellen of aftrekken heten termen
Vermenigvuldigen
Als we getallen met elkaar vermenigvuldigen dan ontstaat het zogenaamde product van deze getallen. Vermenigvuldigen noteren we meestal met een op halve hoogte geplaatste punt (⋅). Een enkele keer zal het traditionele maalteken (×) gebruikt worden. De getallen die we vermenigvuldigen heten factoren.
Delen
Als we twee getallen op elkaar delen dan ontstaat het zogenaamde quotiënt van deze getallen. Een deling kunnen we op meerdere manieren noteren. We gebruiken meestal de rechte deelstreep ( ), maar de schuine deelstreep (/) en het deelteken (:) behoren ook tot de mogelijkheden. Het quotiënt van 11 en 5 kunnen we noteren als 11 / 5, als 11 : 5 en bij voorkeur als de breuk 11 5 . Het getal boven de deelstreep (ook wel breukstreep genoemd) is de teller en het getal onder de breukstreep is de noemer van de breuk.
Voorbeeld 3
1.2.2
Combinaties van eenvoudige bewerkingen
Als er een berekening met meerdere soorten bewerkingen moet worden uitgevoerd, dan moet afgesproken worden in welke volgorde de bewerkingen moeten plaatsvinden. Voor bovenstaande bewerkingen geldt dat vermenigvuldigen (V) en delen (D) een hogere prioriteit hebben dan optellen (O) en aftrekken (A). Haakjes (H) hebben de hoogste prioriteit. De prioriteitsvolgorde is dus H(VD)(OA). Hierbij wordt vermenigvuldigen en delen uitgevoerd in de volgorde waarin ze voorkomen. Dit geldt ook voor optellen en aftrekken. Haakjes worden ook gebruikt om ervoor te zorgen dat er geen twee bewerkingen direct na elkaar komen te staan.
We maken enkele berekeningen met combinaties van bewerkingen en leggen steeds uit waarom de gekozen volgorde de juiste is.
Berekeningen
➤ 15 9 + 3 = 6 + 3 = 9. Aftrekken en optellen uitvoeren in de volgorde waarin ze staan, van links naar rechts.
➤ 15 (9 + 3) = 15 12 = 3. Eerst de bewerking binnen de haakjes uitvoeren, daarna aftrekken.
➤ (12 + 4) ⋅ 5 = 16 ⋅ 5 = 80. Eerst de bewerking binnen de haakjes uitvoeren, daarna vermenigvuldigen.
➤ 12 + 4 ⋅ 5 = 12 + 20 = 32. Eerst vermenigvuldigen, dan optellen.
➤ 12 + 4 ⋅ ( 5) = 12 + ( 20) = 8. De haakjes zijn nodig om te voorkomen dat er twee bewerkingen direct na elkaar staan. Verder eerst vermenigvuldigen, dan optellen.
➤ 3 28 /( 7) 2 = 3 ( 4) 2 = 3 ( 8) = 3 + 8 = 11. De haakjes zijn nodig; er mogen geen twee bewerkingen direct na elkaar staan. Vermenigvuldigen en delen hebben onderling gelijke prioriteit, maar gaan voor aftrekken. Dus eerst vermenigvuldigen en delen in de volgorde waarin ze staan en ten slotte aftrekken. ■
Breuken
Een breuk is een deling van twee gehele getallen: de teller (boven de breukstreep) wordt gedeeld door de noemer (onder de breukstreep).
We bekijken enkele zaken met betrekking tot breuken.
• Een breuk kan ook geschreven worden als een product van een geheel getal en een breuk met teller 1. Zo geldt 5 11 = 5 ⋅ 1 11 en 14 9 = 14 ⋅ 1 9 .
=
• Als de teller groter is dan de noemer dan is het mogelijk om gehelen uit de breuk te halen. Zo geldt 11 5 =
= (
+ 2 11 ) = 5 2 11 .
• Breuken kunnen vereenvoudigd worden door teller en noemer te delen door hetzelfde gehele getal. We spreken van zover mogelijk vereenvoudigen als we door een zo groot mogelijk geheel getal delen. In berekeningen moet het eindantwoord zo ver mogelijk worden vereenvoudigd. Bijvoorbeeld 44 64 = 11 16 en 12 10 = 6 5 of 12 10 = 6 5 = 1 1 5 .
• Als in een breuk de teller een veelvoud is van de noemer dan kan de breuk ook als een geheel getal geschreven worden. Zo geldt 18 3 = 6 en 102 6 = 17.
Voorbeeld 4
• Breuken kunnen als een decimaal getal geschreven worden. In sommige gevallen eindigt de decimale ontwikkeling, in andere gevallen loopt deze oneindig ver door. Zo geldt 7 40 = 0,175 en 93 13 = 7,153846153846…= 7,153846; de cijferreeks 153846 blijft zich herhalen. Zie ook bij de rationale getallen in paragraaf 1.1.3.
Vereenvoudig de breuk, haal zo mogelijk de helen eruit, schrijf daarna als een decimale breuk en ga na of de decimale ontwikkeling eindig is of dat een cijferreeks zich herhaalt. a 39 15
Uitwerking
a 39 15 = 13 5 = 2 3 5 = 2,6; eindige decimale ontwikkeling.
b 12 7 = 1 5 7 = 1,71428571428571428...... = 1,714285; oneindige decimale ontwikkeling, de cijferreeks 714285 blijft zich herhalen.
c 2 3 = 0,66666 = 0,6⧸; het cijfer 6 blijft zich herhalen.
d 13 125 = 0,104; eindige decimale ontwikkeling. ■
Het optellen en aftrekken van breuken
Bij het optellen en aftrekken van breuken is het nodig om ze eerst gelijknamig te maken. We moeten dan ervoor zorgen dat alle breuken dezelfde noemer hebben. Dit kan door teller en noemer van de breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Daarna worden de breuken opgeteld of afgetrokken door de teller op te tellen of af te trekken en de noemer hetzelfde te laten.
Voorbeeld 5 We berekenen
Eerst maken we de breuken gelijknamig, daarna berekenen we de som of het verschil.
In voorbeeld 5 kozen we als nieuwe noemer steeds het product van de twee noemers. In veel gevallen is dat niet de verstandigste keuze. Soms kan namelijk een kleinere nieuwe noemer gekozen worden. We laten dit hieronder zien.
We bekijken de som 1 8 + 5 6 .
Eerst berekenen we deze som door als nieuwe noemer het product van de beide noemers te kiezen. De noemer wordt dan 8 ⋅ 6 = 48. De berekening verloopt als volgt.
Voorbeeld 6
Voorbeeld 7
Voorbeeld 8
We hadden ook direct voor noemer 24 kunnen kiezen. Dan krijgen we
1 8 + 5 6 = 3 24 + 20 24 = 23 24
De berekening is korter en er komen minder grote getallen in voor. Wel moet vooraf een geschikte noemer berekend worden.
De gezochte geschikte noemer is zo klein mogelijk, maar wel een veelvoud van de beide noemers, dus een veelvoud van zowel 8 als 6. We zoeken dus naar het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers.
Definitie
Voor het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) van een aantal positieve gehele getallen geldt het volgende.
• Het kgv is een positief geheel getal.
• Het kgv is een veelvoud van alle betreffende getallen.
• Het kgv is zo klein mogelijk.
Hierboven hebben we gezien: kgv(8,6) = 24.
Het kgv vinden we door van alle getallen een rijtje veelvouden op te schrijven en vervolgens te zoeken naar het kleinste getal dat in alle rijtjes voorkomt.
Het kgv van 6 en 15 vinden we als volgt.
➤ veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
➤ veelvouden van 15: 15, 30, 45, ...
We zien dat 30 het kleinste getal is dat in beide rijtjes voorkomt, dus kgv(6,15) = 30. ■
Bij het berekenen van het kgv kan, zeker bij meer dan twee getallen, werk worden bespaard door te beginnen met de veelvouden van het grootste getal en daarna te kijken welke van die getallen een veelvoud zijn van het op een na grootste getal. Zo verder gaand tot het kleinste getal vinden we uiteindelijk het kgv.
We zoeken het kgv van 6, 9 en 15. Dat gaat op de volgende manier.
➤ veelvouden van 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, ...
➤ veelvouden van 9 in het vorige rijtje: 45, 90, 135, ...
➤ veelvouden van 6 in het vorige rijtje: 90, ...
Dus: kgv(9,12,15) = 90. ■
Bereken 5 6 + 7 9 4 15
We maken de breuken gelijknamig. In voorbeeld 7 is berekend: kgv(6,9,15) = 90. We kiezen noemer 90 en voeren de berekening uit.
Dit geeft
5 6 + 7 9 4 15 = 75 90 + 70 90 24 90 = 75 + 70 24 180 = 121 180 ■
In voorbeeld 9 werden twee manieren van berekenen toegepast. Meestal is de eerste manier het minst foutgevoelig. Als er grote gehele getallen voorkomen, kan de tweede manier de voorkeur hebben.
Het vermenigvuldigen van breuken
Als we twee breuken met elkaar vermenigvuldigen dan vermenigvuldigen we de tellers met elkaar en vermenigvuldigen we de noemers met elkaar. De teller van het product is het product van de afzonderlijke tellers en de noemer van het product is het product van de afzonderlijke noemers.
Voorbeeld 10 We berekenen een aantal producten.
De haakjes om
11 We berekenen
en
zijn noodzakelijk. Waarom?
en vereenvoudigen waar mogelijk.
Let op de noodzakelijke haakjes om 2
We zien dat gelijknamig maken bij vermenigvuldigen van breuken niet aan de orde is.
Het delen van breuken
We bekijken een deling, waarbij in de noemer een breuk staat. We vermenigvuldigen teller en noemer met een gelijk getal en zorgen er daarbij voor dat de noemer 1 wordt. Dit kan als volgt.
Als we een deling uitvoeren met in de noemer een breuk, dan vermenigvuldigen we teller en noemer met het omgekeerde (de reciproke) van de breuk in de noemer. We hanteren de regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk’.
Hierboven was de noemer gelijk aan 3 8 en we vermenigvuldigden dus met 8 3
Een andere manier is om de breuken in teller en noemer te vermenigvuldigen met het product van de beide noemers. In bovenstaande berekening krijgen we dan
Voorbeeld 12 We maken een viertal delingen met gebroken getallen.
Opdracht
Bereken in voorbeeld 12 de tweede, derde en vierde deling ook op de ‘tweede manier’.
Het toepassen van de regel ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk’ heeft als nadeel dat het een truc is en we daarom vaak niet goed weten wat we aan het doen zijn. Het antwoord is natuurlijk wel goed.
De serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is geschikt voor alle opleidingen waar wiskundige vaardigheden een belangrijke plaats innemen. De nadruk ligt op het trainen van (basis-) vaardigheden van de wiskunde. De student past de wiskundige vaardigheden zoveel mogelijk toe in praktische situaties.
Deze serie kent de volgende indeling:
z Het Basisboek behandelt het basisniveau wiskunde en is geschikt als voorbereiding op een technische studie voor studenten met een mbo-opleiding of een havo/vwo-opleiding zonder wiskunde B. Tevens is het geschikt voor opleidingen waarin een basisniveau voor wiskunde voldoende is.
z Deel 1 behandelt de gehele propedeusewiskunde van de meeste techniekopleidingen in het hoger onderwijs.
z Deel 2 is vooral bedoeld voor techniekopleidingen in het hbo, die ook ná de propedeuse wiskundeonderwijs aanbieden én voor studenten in de propedeusefase van een technische universiteit.
DEEL 1
Dit deel van de serie is bedoeld voor technische opleidingen in het hoger onderwijs. Elementaire wiskundige begrippen en concepten worden uitgelegd. Voortbouwend hierop komen de onderwerpen goniometrie, differentiaal- en integraalrekening en rijen en reeksen aan de orde. Via voorbeelden en opgaven kan de student inzicht en routine opbouwen om vraagstukken op te lossen. Formele wiskundige bewijzen komen nauwelijks aan de orde. De opgedane kennis, vaardigheden en inzichten kunnen gebruikt worden in toepassingsvraagstukken.
In de digitale leeromgeving eDition vindt de student aanvullend materiaal, zoals extra oefenmateriaal en uitwerkingen van een aantal opgaven.
Dit deel 1 is een belangrijk hulpmiddel voor iedere student die zich de wiskundige concepten en vaardigheden op een praktische manier eigen wil maken.
Jan Blankespoor
Kees de Joode
Aad Sluijter