Matematika 9 - Geometrie - pracovní sešit

pro základní školy PRACOVNÍ

SEŠIT

9MATEMATIKA geometrie

Zpracovali: Mgr. Jitka Boušková, Mgr. Milena Brzoňová, Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT č. j. MSMT-3665/2022-4 dne 2. 6. 2022 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Tento pracovní sešit je praktický doplněk učebnice MATEMATIKA PRO 9. ROČNÍK ZŠ a tvoří s ní závěrečnou část ucelené řady dvoudílných učebnic pro výuku matematiky na 2. stupni základních škol. Pracovní sešit se věnuje procvičení geometrického učiva 9. ročníku ZŠ, je přehledný, navazuje na učivo učebnice a je vybaven dostatečným množstvím úloh k procvičení a upevnění probraného učiva. Oddíl pod názvem „Pro bystré hlavy“ obsahuje náročnější zajímavé úlohy a úlohy rozšiřujícího učiva pro velmi zdatné počtáře.

Koncepce celé řady matematik vychází z osvědčené praxe škol, respektuje však také doporučení a záměry Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou koncepční řadu učebnic tvoří tyto publikace:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Vhodným doplňkem učebnic je řada sbírek cvičení a příkladů z matematiky (viz www.spn.cz).

úlohy podporující digitální gramotnost

ISBN 978-80-7235-670-6

II. GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU

3 O BSAH I. PODOBNOST 1. Opakování ..................................................................................................................... 4 2. Podobnost ..................................................................................................................... 8 3. Věty o podobnosti 11 4. Další úlohy o podobnosti 17

V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU 1. Funkce sin a, cos a a tg a 21 2. Základní užití goniometrických funkcí 26 3. Slovní úlohy 33 III. JEHLAN 1. Základní pojmy 35 2. Povrch jehlanu ............................................................................................................. 37 3. Objem jehlanu ............................................................................................................. 39 4. Jehlany kolem nás ....................................................................................................... 41

1. Základní pojmy a síť kuželu 43 2. Povrch kuželu 46 3. Objem kuželu 47 4. Kužely kolem nás ........................................................................................................ 49 V. KOULE 1. Povrch koule 51 2. Objem koule 51 3. Koule kolm nás ............................................................................................................ 52 VI. PRO BYSTRÉ HLAVY ............................................................ 54 Řešení úloh Pro bystré hlavy ..................................................................................... 62

IV. KUŽEL

1. Podobnost

Zjisti, zda útvary jsou podobné. Pokud ano, podobnost zapiš.

8

b)

1. A B C M K L 9 cm 7 cm 8 cm 18 cm 16 cm 14 cm D F E T R S 4 cm 6 cm 9 cm 12 cm 6 cm 8 cm D C L M N K B A 8 cm 15 cm 12 cm 15 cm 12 cm 9 cm 6 cm 10 cm 8 cm 10 cm D C X V U T B A 7 cm 5 cm 5 cm 7 cm S M k n 3 cm 4 cm

a)

c) d) e)

Urči, zda obdélníky jsou podobné.

Navrhni, jak by se úloha dala řešit bez výpočtů s využitím počítače, a vyzkoušej, zda to opravdu funguje. (Nápověda: můžeš využít program GeoGebra, zkonstruovat obdélník přes pravé úhly a následně jeden z bodů posunout, aby odpovídal zmenšené velikosti – zkontroluj délku druhé strany.)

Najdi podobné útvary.

9

a) b)

d)

c)

e)

b) c) d) e) f) g) h) 2. 3. 4 cm 6 cm 5 cm 3 cm 5 cm 8 cm 10 m 8 m 12 m 15 m 9 cm 6 cm 3 cm 6 cm 9 cm 6 cm 6 cm 4 cm 3 cm 2 cm 8 cm 6 cm 4 cm 1 cm 6 cm M L K 6 cm 6 cm 4 cm 10 cm 6 cm A B C F E D 9 cm 12 cm r = 7 cm 15 cm 15 cm 10 cm 18 cm 20 cm 5 cm 5 cm 5 cm T U V r = 9 cm

a)

Na obrázku jsou podobné trojúhelníky (podle věty uu). Změř délky úseček, sestav jejich poměry a zlomky zapiš desetinným číslem (na desetiny). DE1

=

DF1

DE2

DF2

=

protilehlá odvěsna

DE3

DF3

=

DE4

DF4

=

přilehlá odvěsna

a) Co platí pro poměry stran?..................................................................................................................

b) Pojmenuj strany DE1, DE2, DE3, DE4 vzhledem k úhlu .................................................................

c) Pojmenuj strany DF1, DF2, DF3, DF4 v pravoúhlých trojúhelnících..................................................

Na obrázku jsou podobné trojúhelníky (podle věty uu). Změř délky úseček, sestav jejich poměry a zlomky zapiš desetinným číslem (zaokrouhleným na desetiny).

protilehlá odvěsna

. . . .

přilehlá odvěsna

M1L1

KL1 = M2L2

KL2 = M3L3

KL3 =

M4L4 KL4 =

a) Co platí pro poměry stran?.................................................................................................................

b) Pojmenuj strany M1L1, M2L2, M3L3, M4L4 vzhledem k úhlu k

c) Pojmenuj strany KL1, KL2, KL3, KL4 vzhledem k úhlu k

V trojúhelnících doplň do obrázků pojmenování stran a úhlů. Zapiš poměr stran pro uvedené goniometrické funkce. a) b)

22



 



 



 



sin a = cos a = tg a = sin  = cos  = tg  = sin b = cos b = tg b = sin j = cos j = tg j = 3. 5. 4. D

F1 F2 F3 F4  . . . .

D E F B C

E1 E2 E3 E4

K L1 L2 L3 L4 M1 M2 M3 M4 k

A . .

sin k = cos k = tg k = tg r = cos r = sin r = cos m = sin m = tg m = sin s = tg s = cos s =

V trojúhelnících doplň označení stran a úhlů, ke zlomkům zapiš, o kterou goniometrickou funkci se jedná. a) b)

Funkce sin a

Porovnej hodnoty funkcí a doplň znaky <, >:

a) sin 20° sin 52° b) sin 65° sin 28°

c) sin 73° sin 62° d) sin 3° sin 18°

e) sin 15° sin 21°

sin 48° sin 36°

23 c) d)

c a

e f

e d = b c

c b

f d

f e = c) d) m

s t = s r = l

r

b a =

=

k = m l =

k = l m =

s =

t =

1. 6. L K M S R T . . C A D E F B . . K M L S R T . .

f)

VI. PRO BYSTRÉ HLAVY

Vytvoř v počítači pracovní list pro své spolužáky s různými úlohami a cvičeními z geometrie (jako opakování) na jedno téma (např. pohádky, Harry Potter, Vánoce, naše třída apod.). List vytiskni dvakrát a jeden výtisk doplň správným řešením. Celý list můžeš doplnit vhodnými obrázky.

Do kroužků vepiš čísla 1 – 9 tak, aby jejich součty na každé straně trojúhelníku byly stejné a aby byly stejné i součty jejich druhých mocnin.

Vypočítej výšku k přeponě pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami a = 4 cm, b = 3 cm.

Jeden krychlový metr rozřežeme na krychlové milimetry a výsledné krychličky sestavíme za sebou tak, že dostaneme dlouhý „prut“ o průřezu 1 mm2. Jak dlouho pojedeme podél tohoto „prutu“ na motorce rychlostí 50 km h ?

Ověř si, že koule, válec, kužel a kvádr na obrázku mají stejný objem. Vypočítej jejich povrchy.

54

5. 4. 3. 2. 1.

Na obrázku je znázorněna místnost (rozměry jsou udány v metrech). V bodě A na pravé boční stěně ve středu její šířky jeden metr od stropu sedí pavouk. V bodě B na levé boční stěně sedí moucha ve výšce jednoho metru od podlahy a šest metrů od přední stěny (tzn. ve středu šířky). Jaká je nejkratší cesta pavouka k mouše, jestliže pouze leze po stěnách, stropu nebo po podlaze? (Napovíme, že tato cesta je kratší než 41 m.)

Navrhni stavbu, která se bude skládat z probíraných těles. Nejprve si ji načrtni a potom vymodeluj v počítačovém programu (např. GeoGebra). Vytvoř síť a stavbu z ní slož. Vše můžeš doplnit o návrh barvy fasády, oken, dveří, pohledu shora (půdorys), zepředu a z boku. Nezapomeň zaznamenat jednotlivé rozměry a dopočítat povrch a objem. Celý proces si můžeš zdokumentovat a následně pomocí prezentace s ním seznámit své spolužáky.

Obrazec ABCDEFGHJKLM tvaru „kříže“ je složen z pěti shodných čtverců se stranami délky a. Body

B, E, H, L jsou spojeny úsečkami do tvaru čtyřúhelníka BEHL (viz obr.).

a) Zdůvodni, proč čtyřúhelník BEHL je čtverec a pak vypočítej jeho obvod a obsah.

b) Je pravda, že obsah „kříže“ ABCDEFGHJKLM se rovná obsahu čtyřúhelníku BEHL? Pravdivost svých odpovědí zdůvodni.

55

6.

8. 7.

Tento pracovní sešit je praktickým doplňkem učebnice MATEMATIKA PRO 9. ROČNÍK ZŠ a tvoří spolu s ní závěrečnou část ucelené řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice (algebře), druhá geometrii. Každou z nich doplňuje pracovní sešit. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří: