Issuu

pro základní školy

RPZ A COVÁNO V SOULAD U S RVP

9MATEMATIKA algebra

PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ

Zpracovali: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D., Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Kučinová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT č. j. MSMT-3665/2022-4 dne 2. 6. 2022 k zařazení do seznamu učebnic pro základní vzdělávání jako součást ucelené řady učebnic pro vzdělávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Tato učebnice je čtvrtou, závěrečnou částí ucelené řady učebnic pro výuku matematiky na 2. stupni základních škol. Věnuje se algebrické části učiva 9. ročníku ZŠ, je přehledná, důkladně vysvětluje učivo a je vybavena dostatečným množstvím úloh k procvičení a upevnění probraného učiva. Doplňuje ji pracovní sešit.

Koncepce celé řady matematik vychází z osvědčené praxe škol. Respektuje však také doporučení a záměry Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou koncepční řadu učebnic tvoří tyto publikace:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – algebra (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Vhodným doplňkem učebnic je řada sbírek cvičení a příkladů z matematiky (viz www.spn.cz).

ISBN 978-80-7235-614-0

II. SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI

IV. LINEÁRNÍ FUNKCE

3 OBSAH OPAKOVÁNÍ UČIVA Z NIŽŠÍCH ROČNÍKŮ Početní operace s celými čísly a zlomky ...................................................................... 5 Poměr a procenta 6 Mocniny a odmocniny ................................................................................................ 6 Užití Pythagorovy věty ............................................................................................... 8 Výrazy ......................................................................................................................... 9 Lineární rovnice .......................................................................................................... 10 Statistika a pravděpodobnost ....................................................................................... 11 I.

ENÍ PROMĚ

....................................................................13

VYJÁDŘ

NNÉ ZE VZORCE

1. Jedna rovnice se dvěma neznámými a její řešení ....................................................... 16 2. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými a její řešení ......................... 20 Dosazovací metoda ..................................................................................................... 21 Sčítací metoda ............................................................................................................ 24 Srovnávací metoda (rozšiřující učivo) 26 Kombinovaná metoda (rozšiřující učivo) .................................................................... 27 3. Rovnice a jejich soustavy kolem nás 30 Různé úlohy ................................................................................................................ 30 Úlohy o pohybu 33 Úlohy o společné práci a výkonech lidí i strojů .......................................................... 39 Úlohy o směsích 43 4. Souhrnné opakování ................................................................................................... 46

FUNKCE 1. Pojem funkce .............................................................................................................. 49 2. Opakování funkce a závislosti .................................................................................... 64

III.

Pojem lineární funkce ................................................................................................. 66

Lineární funkce a její graf 73 Lineární funkce ........................................................................................................... 73 Konstantní funkce 76 Rostoucí a klesající funkce ......................................................................................... 78

Grafické řešení soustav dvou rovnic se dvěma neznámými (rozšiřující učivo) 80

funkce kolem nás ......................................................................................... 87

4. Lineární

opakování 91

5. Souhrnné

VI.

1. Opakování

VÝRAZY S PROMĚNNÝMI VE JMENOVATELI

VII.

Poznámka redakce: Z důvodu přehlednosti a snazší orientace ve výkladovém textu a v zadáních úloh jsou malá písmena označující geometrické útvary (např. kružnice k, přímka p, strana a apod.) zvýrazněna tučnou kurzivou. V matematických zápisech – např. a = 3 cm, c 2 = a 2 + b2 ... – již tučné zvýraznění není.

KVADRATICKÁ FUNKCE – rozšiřující učivo 93

LOMENÉ

– rozšiřující učivo

a rozšíření poznatků o výrazech ............................................................. 101 2. Rovnost výrazů ......................................................................................................... 102 3. Úpravy lomených algebraických výrazů .................................................................. 102

výrazy ......................................................................... 107 Sčítání a odčítání 107 Násobení a dělení ..................................................................................................... 108 Umocňování 109

4. Početní výkony s lomenými

Rovnice s neznámou ve jmenovateli ......................................................................... 111

NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

nepřímá úmě

115 2. Graf funkce nepřímá úměrnost ................................................................................. 118 3. Souhrnné opakování ................................................................................................. 122 VIII. FINANČNÍ MATEMATIKA – rozšiřující učivo 123 IX. ZÁVĚREČNÉ OPAKOVÁNÍ UČIVA ARITMETIKY A ALGEBRY ....................... 133 VÝSLEDKY ................................................................................................................ 142

ĚTY NA VYUŽITÍ DIGITÁLNÍCH TECHNOLOGIÍ V ALGEBŘE (metodické pokyny pro učitele) 157

1. Pojem

rnost ..........................................................................................

NÁM

OPAKOVÁNÍ U Č IVA Z

Početní operace s celými čísly a zlomky

1. Určete nejmenší společný násobek a největší společný dělitel čísel: a) 12; 96 b) 40; 84 c) 60; 90; 150

2. Zahradník nařezal na svých záhonech 36 bílých a 48 červených růží. a) Kolik kytic pro výzdobu hotelových stolů z nich připravil, víte-li, že do každé dal největ–ší možný počet bílých růží a největší možný počet červených růží? Žádná z nařezaných růží mu nezbyla. b) Kolik bílých růží a kolik červených růží dal zahradník do každé kytice?

3. Tramvaje č. 4 a 7 vyjely současně z konečné stanice v 6 hodin ráno na své obvyklé městské okružní trasy. Tramvaj č 4 se vrátila na „konečnou“ vždy po 42 minutách jízdy, tramvaj č. 7 po 54 minutách jízdy. V kolik hodin a minut vyjely obě tramvaje opět současně z konečné stanice?

4. Vypočítejte výhodným postupem: 3 · 5 2 · 4 + (Návod: ...)

5. Vyjádřete ve tvaru desetinného, nebo periodického čísla následující zlomky, nebo smíšená čísla: a)

6. Vypočítejte hodnotu číselného výrazu: a) 

2 3 –

–2 4 5

1 3 : 5 13

7. Součet zlomků 2 3 a 

b) (–2)3 – 32 +

vydělte jejich rozdílem. Při uvedených početních výkonech zachovejte dané pořadí zlomků.

8. Babička věděla, že jí 2 slepice snesou za 4 dny průměrně 2 vejce. Za kolik dnů pravděpodobně snese 20 slepic kopu vajec? (1 kopa = 60 kusů).

5 8 b) 40 11 c) 152 3 d) –84 25 e) 4 11 16 f) –6 13 15



 

   

 

 

1 3 –1 4   · 12 –     1 4 –1 3   : 1 24  

 



 

–5 6

OPAKOVÁNÍ ? A

3 · 5 · 6 + 3 ·

2 · 4 · 6 3 · 5 · 7 2 · 4 · 6

Č NÍK Ů

NIŽŠÍCH RO

2. Vzdálenost mezi Brnem a Táborem, kterou ujel Vašek na závodním kole za 4 h, projel jeho bratr na „čtyřkolce“ za 2 h. Za 10 min překonal Vaškův bratr na „čtyřkolce“ o 7 km delší vzdálenost, než kterou překonal Vašek za stejnou dobu na kole. Vypočítejte:

a) průměrné hodinové rychlosti jízd Vaška na kole a jeho bratra na „čtyřkolce“, b) silniční vzdálenost mezi oběma městy.

3. Pan Jarolím a pan Foglar patří mezi nadšené turisty. Na počátku jejich poslední horské túry byla jejich výchozí stanoviště vzdálená 27 km. Když se po delší chůzi setkali, zjistil pan Foglar, že ušel o 3 km delší trasu, než kterou ušel za stejnou dobu pan Jarolím. Po kolika hodinách chůze se oba turisté setkali a kolik kilometrů každý z nich ušel?

4. Na tartanovém okruhu dlouhém 440 m si zdokonalovali svou „fyzičku“ spolužáci Dan a Rosťa. Trénovali běh na střední trati. Vyběhli současně z místa startu a běželi po okruhu různými průměrnými rychlostmi, avšak opačnými směry. Vždy po uplynutí 48 sekund se míjeli. Rozdíl mezi průměrnými rychlostmi běhů Dana a Rosti byl 5 6 m s . Vypočítejte průměrné rychlosti běhů obou spolužáků v m s a v km h .

5. Dálniční vzdálenost měst X, Y je 532 km. Z města X vyjela škodovka a jela směrem k městu Y. Současně z města Y vyjelo BMW a jelo k městu X nižší průměrnou rychlostí, než jela škodovka k městu Y. Když se obě auta po 2 h a 48 min jízdy míjela, rovnal se rozdíl jimi právě překonaných vzdáleností 28 km. Jakou průměrnou rychlostí jednotlivá auta jela?

6. Vzdušnou vzdálenost mezi dvěma letišti překonal vrtulník za 1 h a sportovní letadlo za dobu o 24 min kratší. Letadlo letělo průměrnou rychlostí o 180 km h větší než vrtulník. Vypočítejte: a) průměrné rychlosti letů obou dopravních prostředků, b) vzdušnou vzdálenost obou letišť.

7. Cyklista Roman vyjel v 7 h ráno z Chebu a jel směrem do Klatov. V tutéž dobu vyrazil na kole Jirka z Klatov a jel směrem do Chebu. Víme, že Cheb je od Klatov vzdálen 130 km, že se oba cyklisté po 2 h a 36 min jízdy míjeli a že Romanova průměrná rychlost jízdy byla o 10 km h větší než průměrná rychlost Jirkovy jízdy. Vypočítejte:

a) průměrné rychlosti jízd obou cyklistů, b) vzdálenost místa míjení obou cyklistů od Klatov, c) čas na hodinkách při dojetí Romana do Klatov a Jirky do Chebu.

5x + 7y = 10 3x – 7y = 6 II. SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI ___________ 

8. Dálniční tunel byl budován ze dvou konců ve směru sever – jih. Průměrný denní výkon

„severní party“ razičů byl vyšší než průměrný denní výkon „jižní party“ razičů. Po

55 pracovních dnech se obě party při práci setkaly a ražení tunelu s celkovou délkou

253 m dokončily. Kolik metrů tunelu jednotlivé party denně průměrně prorazily, víte-li, že rozdíl jejich výkonů v ražení za 55 pracovních dnů byl 11 metrů?

Úlohy o společné práci a výkonech lidí i strojů

Příklad 1:

Pan Janda s panem Beránkem vydláždili chodník za 6 h. Pracovní výkon zkušenějšího dlaždiče Beránka byl 1,5krát větší než výkon méně zkušeného dlaždiče Jandy. Za kolik hodin by vydláždil celý chodník sám dlaždič Janda a za kolik hodin sám dlaždič Beránek?

Řešení:

Pomocí soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými

1. krok: Po pozorném přečtení zadání příkladu si vypíšeme důležité údaje, například do tabulky. Některé z nich opět označíme jako neznámé.

Dlaždič Počet hodin potřebný k vydláždění celého chodníku

Část chodníku vydlážděný za 1 h Výkon za 6 h

2. krok: Poznatky vyplývající ze zadání příkladu i z tabulky vyjádříme soustavou rovnic, kterou vyřešíme dosazovací metodou: y = 1,5x (1)

6 x + 6 y = 1 (2) … Číslo 1 na pravé straně rovnice (2) vyjadřuje 1 chodník.

Výraz 1,5x, který je na pravé straně rovnice (1), dosadíme za y do rovnice (2)

6 x + 6

1,5x = 1

9 + 6

1,5x = 1

15 1,5x = 1 | · 1,5x (x ≠ 0), L za P

II. SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI 5x + 7y = 10 3x – 7y = 6 ___________

Janda x 1 x 6 · 1 x = 6 x Beránek y 1 y 6 · 1 y = 6 y

14. Pekárna má ve skladu zásobu pšeničné a žitné mouky. Kdyby vyráb vystačila by zásoba pšeničné mouky na 20 dní. Kdyby vyráběla jen tmavé pečivo, vystačila by zásoba žitné mouky jen na 10 dní. Poměr počtu dnů, ve kterých se vyrábělo jen bílé pečivo, k počtu dnů, ve kterých se vyrábělo jen tmavé pečivo, byl 3 : 1. Na kolik dnů výroby pečiva vystačila celková zásoba obou druhů mouky?

15. Mosazná klika ke dveřím bez vnitřního ocelového jádra má hmotnost 300 g. Její mosaz byla slita ze zinku a mědi v poměru 7 : 18. a) Kolik gramů zinku a kolik gramů mědi tato klika obsahuje? b) Kolik procent zinku a kolik procent mědi mosaz kliky obsahuje?

Teorie rovnic se začala rozvíjet v 16. století objevem metody řešení algebraických rovnic třetího a čtvrtého stupně. Bylo to spojeno se jmény Geronima Cardana [džeronyma kardana] (1501 –1576) a Niccola Fontany (Tartaglia) (1500 – 1577).

Cardano byl lékař, matematik a filozof, Fontana výborný matematik, ale také inženýr a kartograf, původce myšlenky řešení rovnice třetího stupně. Je zajímavé, že řešení se objevilo nezávisle na sobě ve skupině spolu komunikujících matematiků. Patřil k nim i Lodovico Ferrari (1522 – 1565 ).

V dnešním pojetí a zápise řešit algebraické rovnice třetího, případně čtvrtého stupně, se rozumí najít číslo, které po jeho dosazení za x a výpočtu levé strany těchto rovnic dá nulu:

Koeficienty v těchto rovnicích jsou ai , i = 0, 1, ..., 4. Zpočátku byly uvažovány jako reálná čísla, později to byla čísla komplexní (s nimi se seznámíte na střední škole).

5x + 7y = 10 3x – 7y = 6 II. SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI ___________

a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 = 0, a3 ≠ 0 a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 = 0, a4 ≠ 0

Geronimo Cardano Niccolo Fontana

III. FUNKCE

1. Pojem funkce

Závislosti

Jenda chodí pravidelně na nákup. Občas kupuje brambory. Někdy jich koupí jen 1 kg, jindy 2 i 3 kg . Ví, že kolikrát větší hmotnost brambor má koupit, tolikrát větší částku peněz si musí připravit. Jenda také ví, že cena brambor závisí na jejich hmotnosti (zde vyjádřené počtem kilogramů). Aby nemusel vždy při určování částky peněz za nákup brambor počítat, sestavil si tabulku:

hmotnost [kg] 1 2 3 4 5

cena [Kč] 15 30 45 60 75

Jak ale Jenda určí cenu za 2,5 kg?

Narýsoval si obrázek se dvěma rovnoběžnými osami souřadnic:

Co vyznačují šipky v jeho obrázku?

Jak Jenda z uvedeného obrázku zjistil cenu za 2,5 kg brambor?

Ověřte, zda k požadovanému zjištění musel Jenda narýsovat obě osy souřadnic jako rovnoběžné přímky. Všiml si, že by obrázek mohl zjednodušit, a to pomocí konstrukce dvou os souřadnic, které jsou na sebe kolmé. K jejich sestrojení mu stačila například pomůcka ve tvaru pravoúhlého trojúhelníku s ryskou.

49 III. FUNKCE y = x

5. Na následujícím grafu je vyznačena závislost rychlosti auta na době jeho jízdy (v hodinách).

Kdy rychlost auta rostla, kdy klesala a kdy byla konstantní?

Pro přemýšlivé: Pokuste se napsat vzorce, vyjadřující závislost rychlosti auta na čase v jednotlivých časových úsecích.

Všimněte si:

Přímá úměrnost

vzorec: y = k · x, k ≠ 0 libovolné reálné číslo

definiční obor: část množiny (reálných) čísel (tzn., že to mohou být i všechna reálná čísla)

Přímá úměrnost je speciální případ

lineární funkce, kde k ≠ 0 a q = 0.

Rostoucí

a klesající funkce

Lineární funkce

vzorec: y = kx + q, k, q libovolná reálná čísla

definiční obor: všechna reálná čísla

speciální případ: při k = 0 je y = q konstantní funkce

l Na obrázcích a, b jsou grafy dvou lineárních funkcí. Která z nich je rostoucí a která klesající? a) b)

IV. LINEÁRNÍ FUNKCE x 1 1 y

l Pro které hodnoty k je lineární funkce y = kx + q rostoucí a pro které k je klesající?

Všimněte si:

Rostoucí funkce: Klesající funkce: zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšují se i hodnoty funkce. zmenšují se hodnoty funkce.

Graf rostoucí funkce:

Graf klesající funkce:

Konstantní funkce není ani rostoucí, ani klesající.

Grafy funkcí, které nejsou ani rostoucí, ani klesající, ani to nejsou konstantní funkce: a) b)

79 IV. LINEÁRNÍ FUNKCE x 1 1 y

2. Graf funkce nep ř ímá úm ě

Příklad 1:

Sestrojte graf funkce y = 1 x .

Řešení:

l Nejprve si připravíme tabulku pro hodnoty funkce y = 1 x . V prvním řádku vhodně zvolíme hodnoty proměnné x, nejlépe souměrně rozložené kolem nuly, ani příliš malé, ani příliš velké. Ve druhém řádku potom napíšeme vypočítané příslušné hodnoty funkce y = 1 x :

rnost x – 4 –3 –2 –1 – 0,5 0 0,5 1 2 3 4 y = 1 x –1 4 –1 3 –1 2 –1 –2 není def. 2 1 1 2 1 3 1 4

l Nyní již jen body se souřadnicemi x, y znázorníme v soustavě souřadnic. Získáme tak několik bodů křivky, která se nazývá hyperbola.

Všimněte si:

Hyperbola se skládá ze dvou oddělených částí (větví). Tyto větve jsou souměrně sdružené ve středové souměrnosti se středem v počátku O [0; 0] soustavy souřadnic. Zajímavé je, že hyperbola neprotíná osy x, y soustavy souřadnic v žádném bodě.

Zapamatujte si:

Grafem funkce nepřímá úměrnost je hyperbola. Její větve jsou spolu souměrně sdružené ve středové souměrnosti se středem v počátku soustavy souřadnic.

Příklad 2:

Sestrojte graf funkce y = –1 x a porovnejte jej s grafem funkce y = 1 x .

118 VII. NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST o y x

ešení:

l Obdobně jako v předchozím úkolu si nejprve připravíme tabulku, kde v prvním řádku vhodně zvolíme hodnoty proměnné x a ve druhém řádku uvedeme vypočítané příslušné hodnoty funkce y = –1 x :

y = –1 x 1 4

l Nyní už jen body se souřadnicemi x, y znázorníme v soustavě souřadnic (viz obr.).

Všimněte si:

Umístění větví hyperboly u grafu funkce y = –1 x a porovnejte jej s grafem funkce y = 1 x .

Zapamatujte si:

Grafem funkce y = k x (k ≠ 0, x ≠ 0) je hyperbola.

Její střed souměrnosti leží v počátku O[0; 0] soustavy souřadnic. Umístění jednotlivých větví hyperboly v soustavě souřadnic je přitom určeno znaménkem (+, –) koeficientu k v rovnici nepřímé úměrnosti: y = k x x – 4 –3 –2 –1 – 0,5 0

119 VII. NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST o y x

1 2 3 4

1 2 není def. –2

1 2

1 4

0,5

1 3

–1 –

–

3 –

Tato učebnice je závěrečnou částí řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice (algebře), druhá geometrii. Praktickým a užitečným doplňkem učebnic jsou pracovní sešity ke každé z nich. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům

Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří: