Matematika 7 - Geometrie

pro základní školy

RPZ A COVÁNO V SOULAD U S RVP

7MATEMATIKA

PRO ZÁKLADNÍ VZDĚLÁVÁNÍ

Zpracovali: prof. RNDr. Zden k P lpán, CSc., Mgr. Michal ihák, Ph.D., Mgr. Šárka Müllerová, Mgr. Josef Trejbal

Lektorovali: PaedDr. Eva Ku inová, RNDr. Václav Sýkora, CSc., Mgr. Barbora Stušová

Schválilo MŠMT . j. MSMT-30330/2020-1 dne 26. 8. 2020 k za azení do seznamu u ebnic pro základní vzd lávání jako sou ást ucelené ady u ebnic pro vzd lávací obor Matematika a její aplikace s dobou platnosti šest let.

Tato u ebnice je druhou ástí ucelené ady u ebnic pro výuku matematiky na 2. stupni základních škol. V nuje se geometrické ásti u iva 7. ro níku ZŠ, je p ehledná, d kladn vysv tluje u ivo a je vybavena dostate ným množstvím úloh k procvi ení a upevn ní probraného u iva. Dopl uje ji pracovní sešit. Koncepce celé ady matematiky vychází z osv d ené praxe škol. Respektuje však také doporu ení a zám ry Rámcového vzd lávacího programu pro základní vzd lávání. O tom sv d í mimo jiné i ud lená schvalovací doložka MŠMT.

Celou koncep ní adu u ebnic tvo í tyto publikace:

Matematika pro 6. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ro ník ZŠ – aritmetika (u ebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ro ník ZŠ – geometrie (u ebnice a pracovní sešit)

Vhodným dopl kem u ebnic je ada sbírek cvi ení a p íklad z matematiky (viz www.spn.cz).

© Zden k P lpán za kolektiv, 2008

© SPN – pedagogické nakladatelství, akciová spole nost, 2008

ISBN 978-80-7235-399-6

OBSAH

OPAKOVÁNÍ

I. SHODNOST

1.

II. STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST

1.

III. ČTYŘÚHELNÍKY

1. Základní

3. Rovnoběžníky

IV. HRANOLY

1. Opakování

3. Povrch hranolu

4. Objem hranolu

V.

2. Shodnost trojúhelníkù

Trojúhelník ABC je shodný strojúhelníkem A’B’C’

Zapíšeme: ΔABC ≅ΔA’B’C’

Přesuneme-li pomocí průsvitky bod A do bodu A’, bod B do bodu B’, bod C do bodu C’, bude se přemísťovaný ΔABC krýt s ΔA’B’C’.

Pro trojúhelník stačí, aby se kryly odpovídající si vrcholy trojúhelníků.

Všimněte si:

Když ΔABC ≅ΔA’B’C, pak také jsou shodné příslušné strany trojúhelníku:

AB ≅ A’B’

BC ≅ B’C’

AC ≅ A’C’

Ze shodnosti odpovídajících si stran a vnitřních úhlů pak vyplývají jejich příslušné rovnosti:

|AB| = |A’B’| α = α’

|BC| = |B’C’| β = β’

|AC| = |A’C’| γ = γ’

Příklad:

Na obrázku vidíme dva shodné trojúhelníky. Jak jejich shodnost zapíšeme?

Protože při přemísťování průsvitky si budou vrcholy trojúhelníků odpovídat

takto: M → S N → T O → R

musíme zapsat shodnost obou trojúhelníků takto: ΔMNO ≅ ΔSTR

Pomocí uvedeného zápisu pak snadno zapíšeme i důsledky této shodnosti:

|MN| = |ST||< ) OMN| = |< ) RST|

|MO| = |SR||< ) MNO| = |< ) STR|

|NO| = |TR||< ) NOM| = |< ) TRS|

Cvièení

1. Trojúhelníky KLM a XYZ jsou shodné: ΔKLM ≅ΔXYZ

a) Zapište, do kterého bodu by se přemístil bod L, když bychom chtěli uvedenou shodnost ověřit průsvitkou.

b) Zapište, do které úsečky se přemístí úsečka MK.

c) Zapište, do kterého úhlu ΔXYZ se přemístí < ) LMK.

d) Která strana ΔKLM je shodná se stranou XZ?

2. Jenda, Klára a Kristýnka se snažili napsat, co vidí na obrázku:

Jenda napsal: ΔKLM ≅ΔOPQ

Klára napsala: ΔKLM ≅ΔPQO

Kristýnka napsala: ΔKLM ≅ΔOQP

Kdo znich má pravdu?

3.Zapište správně dvě dvojice shodných trojúhelníků obsažených vobdélníku ABCD.

4. V ΔPQR vyznačíme středy stran P1, Q1, R1

Ověřte si průsvitkou, že jsme dostali čtyři shodné trojúhelníky.

Zapište jejich shodnost pomocí znaku ≅.

5. Umíte vysvětlit, proč jsou ΔABC a ΔPQR shodné? → CR|| → AQ → CA|| → RP → CB|| → RQ

(Nápověda: Promyslete, jak byste přemisťovali například ΔABC, aby se kryl s ΔPQR).

6. Můžeme napsat, že ΔABC ≅ΔPQR?

(Pozorně si prohlédněte obrázek.)

2. Středová souměrnost

Na obrázku vidíte útvar ajeho obraz ve středové souměrnosti podle středu S.

Říkáme, že tyto dva útvary jsou souměrně sdružené podle středu S.Na dalším obrázku jsou vyznačeny body AaA' souměrně sdružené podle středu S.

Všimněte si:

Body AaA' jsou krajní body úsečky, jejímž středem je bod S.

Úkol 1:

Změřte délky úseček AS aA'S na předchozím obrázku aověřte, že |AS| = |A'S| atedy, že bod Sje středem úsečky AA'.

Úkol 2:

Na obrázku jsou vyznačeny další dvojice bodů souměrně sdružených podle středu S.Změřte délky úseček BS, B'S, CS, C'S aověřte, že platí: |BS| = |B'S| |CS| = |C'S|

Body AaA'nazýváme souměrně sdružené podle středu S, jestliže platí:

1. Bod Sleží na přímce AA'.

2. Vzdálenost bodu Aod středu Sje stejná, jako vzdálenost bodu A' od středu S. |AS| = |A'S|

Konstrukce bodů aútvarů souměrně sdružených podle středu S

Příklad 1:

Sestrojte bod A'souměrně sdružený sbodem Apodle středu S.

Postup řešení:

1.Už víme, že souměrně sdružené body leží na přímce, která prochází bodem S.Body AaSproto vedeme pomocnou přímku p.

2.Hledaný bod A' leží na polopřímce AS aplatí |AS| = |A'S|. Vzdálenost |AS| přeneseme pomocí kružítka, získáme tak bod A'.

Ve středové souměrnosti se středem Snazýváme bod A vzorem bodu A' abod A' obrazem bodu A.

Příklad 2:

Sestrojte obraz přímky p ve středové souměrnosti se středem S.

Cvièení

1. Která zpísmen na obrázku jsou středově souměrná? Překreslete tato písmena do sešitu avyznačte jejich středy souměrnosti.

Najdete vabecedě nějaká další písmena, která lze napsat tak, aby byla středově souměrná?

2. Rozhodněte, zda následující útvary jsou středově souměrné, aurčete jejich středy souměrnosti. (Útvary narýsujte na čtverečkovaný papír.)

3. Narýsujte následující útvary na čtverečkovaný papír adoplňte je tak, aby byly středově souměrné podle daného středu.

4. Do sešitů narýsujte: a) úsečku ABb) přímku p c) polopřímku CD Rozhodněte, které ztěchto útvarů jsou středově souměrné, anajděte jejich středy souměrnosti. Má některý ztěchto útvarů více středů souměrnosti?

5. Na obrázcích jsou vlajky několika států. Které znich jsou středově souměrné? Které znich jsou osově souměrné? Jmenujte státy, jejichž vlajky jsou na obrázcích.

6. Vesvém okolí můžeme nalézt celou řadu středově souměrných útvarů. Příkladem mohou být květy některých rostlin, kola některých automobilů nebo některá okna (rozety) gotických chrámů. Zkuste nalézt další příklady středově souměrných útvarů.

5. Sestrojte kosočtverec IJKL, je-li |KL|= 7 cm, |< ) JKL|= 75°.

6. Sestrojte kosodélník, jehož úhlopříčky mají délky 10cm a8cm asvírají úhel 115°.

7. Sestrojte obdélník KLMN, jestliže |KL|= 10 cm, |< ) LKM|= 40°.

8. Sestrojte kosodélník MNOP, je-li dáno |MN|= 8 cm, |NO|= 4 cm, vm = 3cm.

Obsah rovnoběžníku

Příklad 1:

Který zrovnoběžníků KLMN aOPQR má větší obsah?

Řešení:

Když si oba rovnoběžníky narýsujeme do čtvercové sítě, zjistíme, že větší obsah má rovnoběžník KLMN.

Jak vypočítáme obsah rovnoběžníku?

Sledujte obrázek:

Zrovnoběžníku vznikl obdélník, jehož obsah vypočítáme jako součin dvou sousedních stran S = a . va

E1

Obsah rovnoběžníku se rovná součinu délky strany rovnoběžníku a výšky příslušné ktéto straně. Vzorec: S = a . va

Příklad 1:

Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož jedna strana má délku 9cm avýška příslušná ktéto straně je 6,3cm.

Rovnoběžník má obsah 56,7 cm2.

Řešení: Obsah vypočítáme podle vzorce.

S = a . va S = 9 . 6,3

S = 56,7

S = 56,7 cm2

Příklad 2:

Rovnoběžník má obsah 165 cm2, jedna strana má délku 22cm. Vypočítejte výšku příslušnou ktéto straně. Řešení:

Hledanou výšku vypočítáme ze vzorce pro obsah rovnoběžníku: S = 165 cm2 S = a . va 165 = 22 . va va = 165 : 22 va = 7,5 va = 7,5 cm

Výška příslušná kdané straně má délku 7,5cm.

3.Vypočítejte obsahy kosodélníků, které jsou narýsovány vcentimetrové čtvercové síti na obrázku. E2

1. Vypočítejte obsah kosodélníku ABCD, je-li dáno:

a) a = 7,6 cm, va = 4,8cmb) b = 9 dm, vb = 74cm

c) a = m, va = md) b = 1 dm, vb = 0,8dm

e) a = va = 0,9mf) b = 16,4 cm, vb = b

Cvièení 7 –8 4 –7 3 –4 1 –2

2.Zdůvodněte, proč kosodélníky ve čtvercové síti na obrázku mají týž obsah.

10.Na obrázku je zobrazena nádoba na kovový odpad od soustruhu. Je tvořena čtvercovým dnem se stranou z1 = 0,7m ačtyřmi bočními díly ve tvaru shodných rovnoramenných lichoběžníků, jejichž výška v = 0,8m azákladna z2 = 1m.

Vypočítejte:

a) celkový obsah všech dílů potřebných kvýrobě této nádoby, b) celkovou hmotnost všech dílů, víte-li, že 1 m2 plechu má hmotnost 24kg.

11. Sestrojte:

a) kosodélník ABCD, je-li dáno |AB|= 7 cm, |AD|= 0,5 dm, |< ) DAB|= 45°,

b) kosočtverec EFGH súhlopříčkami |EG|= 8 cm, |FH|= 6,4 cm, c) obdélník KLMN súhlopříčkou |LN|= 10 cm, |< ) KSM|= 40° (S je průsečík úhlopříček), d) lichoběžník OPQR (OP ||QR), je-li dáno |OP|= 9 cm, |PQ|= 4,8 cm, |QR|= 2 cm, |< ) OPQ|= 70°.

Historické poznámky

• Slovo geometrie je řeckého původu a znamená zeměměřictví. Ve starověku byla geometrie teorií sloužící k vyměřování pozemků a projektování ve stavebnictví. Staří Řekové používali geometrické konstrukce i k aritmetickým výpočtům.

• Zakladatelem geometrie, kterou se učíte, byl starořecký učenec Eukleides. Pokusil se zachytit její strukturu formou posloupností definic a vět. Popsal jak útvary rovinné (trojúhelníky, kružnice, pravidelné n-úhelníky a další), tak i prostorové (kvádr, krychli, kouli a její části, pravidelná tělesa a další). Eukleides ve své knize Základy také podrobně sepsal i aritmetiku přirozených čísel. Věděl, že prvočísel je nekonečně mnoho.

Eukleides vyučuje ve škole v Athénách

IV. HRANOLY

1. Opakování a doplnění učiva o krychli a kvádru

V6. ročníku jste se učili okrychli akvádru. Dodejme, že to jsou části prostoru, který nás obklopuje. Můžeme je proto považovat za prostorové útvary. Říkáme jim také tělesa. Unich počítáme povrch a objem.

Rovinným útvarům, které jsou částmi roviny, jejichž hranice jsou dobře známé aunichž můžeme počítat obvody a obsahy, říkáme obrazce.

Mezi obrazce patří například trojúhelníky, čtverce, obdélníky, pětiúhelníky, … mnohoúhelníky - obecně je můžeme označit jako n-úhelníky, kde n = 3, 4, 5,… Mezi obrazce zařazujeme i kruhy adalší útvary. Nyní si připomeňme některé dosud získané poznatky otělesech krychli akvádru adoplňme je odalší.

a b

Úkol:

Na obrázku a je krychle ABCDEFGH ana obrázku b je kvádr KLMNOPQR. Tento kvádr má: 8 vrcholů: K, L, M, N, O, P, Q, R, 12 hran: KL, LM, MN, NK, KO, LP … jejich výčet doplňte, 4 tělesové úhlopříčky, jedna znich LR ….je na obrázku vyznačena, další určete, 12 stěnových úhlopříček, dvě znich LQ a MP ….jsou vyznačeny, další určete.

Tato učebnice je druhou částí řady dvoudílných učebnic matematiky pro 2. stupeň základní školy a případně pro nižší ročníky víceletých gymnázií.

Pro každý ročník jsou vždy určeny dvě učebnice, z nichž jedna je věnována aritmetice, druhá geometrii. Praktickým a užitečným doplňkem učebnic jsou pracovní sešity ke každé z nich. Další materiály k procvičení a upevnění učiva přinášejí rovněž sbírky úloh a cvičení z matematiky, které jsou spolu s učebnicemi k dispozici.

Koncepce učebnic vychází z osvědčené praxe škol, vyhovuje však i záměrům

Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. O tom svědčí mimo jiné i udělená schvalovací doložka MŠMT.

Celou řadu učebnic matematiky pro 6.–9. ročník ZŠ tvoří:

Matematika pro 6. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 6. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 7. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 8. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – aritmetika (učebnice a pracovní sešit)

Matematika pro 9. ročník ZŠ – geometrie (učebnice a pracovní sešit)

Pro výuku matematiky na 1. stupni ZŠ je určena obdobná ucelená řada učebnic. (blíže viz www.spn.cz)