9789147103430

idÊ skiljer sig markant frün liknande lärobÜcker. Här stür de praktiska tilllämpningarna i centrum: fÜrst presenteras exempel och praktiska problem och därefter introduceras de statistiska begrepp och metoder som behÜvs fÜr att lÜsa problemet. Mycket stor vikt läggs vid hur man bÜr analysera, tolka och redovisa undersÜkningsresultat.

Boken är lämplig som grundläggande lärobok i statistik pü alla grundutbildningar inom medicin, omvürdnad och folkhälsovetenskap. Den är ocksü en utmärkt handbok fÜr forskare och andra yrkesverksamma. Inga fÜrkunskaper i ämnet krävs. FÜr den som har läst statistik tidigare ger boken en värdefull introduktion till de tänkesätt och principer som är specifika inom statistik fÜr medicin och hälsa.

Till boken hÜr det webbaserade eLabbet som fÜrdjupar läsarens

BJÖRK Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa

Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa är en bok vars pedagogiska

JONAS BJĂ–RK

Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa

q B g b I M p P G APx L z A . z 8 D 0 Q R [ C kunskaper i praktisk statistik. Här finns kunskapsfrügor till varje kapitel,

interaktiva diskussioner av bokens problem samt statistikfall som spän-

ner Ăśver bredare omrĂĽden. Dessutom finns ett interaktivt flĂśdesschema

som underlättar valet mellan vanliga statistiska testmetoder, hjälpmedel fÜr grundläggande statistiska analyser i Microsoft Excel, länksamling och svensk–engelsk ordlista.

Jonas BjÜrk är docent i epidemiologisk metodik vid Lunds universitet

och har mĂĽngĂĽrig erfarenhet av undervisning i statistik och epidemiologi pĂĽ grund- och forskarutbildningar vid medicinska fakulteten.

!

Med boken fÜljer eLabbet som hjälper dig att tillämpa bokens

!

innehüll och klara kursen bättre. Här kan du Üva pü instuderings

! frĂĽgor och fallstudier. Du kan ocksĂĽ gĂśra kunskapstester och ta

!

del av fÜrdjupnings- och bonusmaterial. Läs mer i boken och pü

www.liber.se/elabbet.

Best.nr 47-09956-6 Tryck.nr 47-09956-6

Omslag Praktisk statistik fo r medicin och ha lsa.indd 1

10-10-22 14.33.13

Praktisk statistik för medicin och hälsa Jonas Björk

inledning.indd 1

10-10-15 12.30.14

Innehåll Förord 9

Lärobok och praktisk handbok 9 Problemorienterad framställning 9 eLabbet 10

1. Introduktion 1.1

11

Grundläggande begrepp

11

Statistik och medicinsk statistik 11 Beskrivande och analytisk statistik 12 Målpopulation, urval och statistisk osäkerhet 13 Systematiska fel kan hota den interna validiteten 16 Generaliserbarhet – extern validitet 17

1.2 Att planera ett forskningsprojekt

17

Studieprotokollet – plan för projektet från ax till färdig limpa 19 Val av undersökningsupplägg 19 Undersökningens storlek 23 Etiska överväganden 24 ❋ Formulering av enkätfrågor – den svåra konsten att fråga 25

1.3 Genomförandet

28

Insamling och registrering av data. Rimlighetskontroller. 28 Sammanställning och statistisk analys. Val av statistisk metod. ❋ Analys av matchade undersökningar 30 ❋ Metaanalyser 30 Forskningsrapporten 31 Arkivering 32

28

Sammanfattning 32

2. Organisera insamlade data 2.1 Variabler

34

34

Bakgrund, behandling och utfall 34 Kvantitativa och kategoriska variabler 36 Binära variabler 38 Tid till händelse 38 Beräknade variabler och kategoriseringar 39

2.2 Skalnivåer 40 Nominalskala 40 Ordinalskala 40 Intervallskala 41 Kvotskala 43

inledning.indd 3

10-10-15 12.30.15



Innehåll

2.3 Inmatning av data

43

Inmatning i kalkylprogram 44 Kodning av binära och andra kategoriska variabler Kodning av saknade värden 46 ❋ Datatablåer för upprepade mätningar 47

Sammanfattning

45

49

3. Beskrivande statistik

50

3.1 Flödesschema för deltagande

51

3.2 Redovisning av kvantitativa variabler

52

Genomsnittsmått 53 Undersök fördelningen med hjälp av histogram 56 ❋ Log-transformering och geometriskt medelvärde 58 Spridningsmått 59 Standardavvikelse – genomsnittlig avvikelse från medelvärdet 60 ❋ Variationskoefficient – spridning och mätosäkerhet i procent av medelvärdet Min–max, kvartiler och percentiler 63 Uteliggare och extremvärden 66 Lådagram (box plot) – illustrera skillnader i median och kvartiler 68 Värdesiffror och avrundning 69

3.3 Redovisning av kategoriska variabler Tabeller och stapeldiagram 70 Kategorisering av kvantitativa variabler

Sammanfattning

62

70 74

74

4. Räkna med slumpen 76 4.1 Slumpmässighet 77 Slumpsituation 77 Vad uttrycker sannolikheten? 77 Relativ frekvens som uppskattning av sannolikheten

4.2 Räkneregler för sannolikheter

79

Ömsesidigt uteslutande händelser 80 Oberoende händelser 81 Oberoende variabler, observationer och grupper Betingade sannolikheter 83 ❋ Subjektiva sannolikheter 86 Oddset för en händelse 87

4.3 Binomialfördelningen

78

83

89

Binomialförsök 89 Binomialfördelningens utseende 90

Sammanfattning

92

5. Normalfördelningen och referensintervall

94

5.1 Grundläggande egenskaper hos normalfördelningen

95

Vad kan vara normalfördelat? 98 Hur kan man avgöra om en målpopulation kan betraktas som normalfördelad?

Varför är normalfördelningen så användbar? 101

inledning.indd 4

98

10-10-15 12.30.15

Innehåll

Standardisering av normalfördelade variabler Normalfördelningstabell 103

5.2 Referensintervall



102

105

Referensintervall för normalfördelade målpopulationer 106 Percentilmetoden – referensintervall för snedfördelade målpopulationer ❋ Referensintervall med hjälp av log-normalfördelningen 108 Ta hänsyn till mätosäkerheten när provsvar bedöms 110

107

Sammanfattning 111

6. Konfidensintervall – statistisk felmarginal 112 6.1 ❋ Centrala gränsvärdessatsen

113

6.2 Medelfel – uppskattningens standardavvikelse 116 ❋ Från medelfel till konfidensintervall

117

6.3 Konfidensintervall kring medelvärdet i en stor undersökning Konfidensgrad och felrisk – vad menas med ”95 procents säkerhet”?

Systematiska fel 121

118 120

6.4 Konfidensintervall kring medelvärdet i en liten undersökning t-fördelningen 122 Frihetsgrader 124 I hur små grupper vågar man använda t-fördelningen? 126 Hur stor ska undersökningen vara för att felmarginalen ska bli liten?

122

128

Sammanfattning 129

7. Pröva hypoteser med statistiska test 130 7.1 Formulering av hypoteser

132

Parametriska och icke-parametriska test 132 Nollhypotes och alternativhypotes 132 Signifikansgränsen anger risken för falskt positivt fynd

7.2 Testa hypoteser om ett medelvärde

133

134

Testutfallet kan avgöras med hjälp av konfidensintervall 134 P-värdet för t-test av ett medelvärde 136 I vilka situationer kan t-test av ett medelvärde användas? 139 Signifikanta och icke-signifikanta resultat behöver inte vara väsensskilda

139

Sammanfattning 140

8. Medelvärdesjämförelser 142 8.1 Parade mätningar 143 Konfidensintervall kring differensen mellan två beroende medelvärden Parat t-test 145 Hur ska data se ut för att parat t-test ska kunna användas? 147 ❋ Att jämföra skillnader i förhållande till utgångsläget 147

8.2 Två oberoende grupper

148

Konfidensintervall kring differensen mellan två oberoende medelvärden Vanligt t-test för två oberoende grupper 152 ❋ Upprepade mätningar per individ måste först sammanfattas 153

inledning.indd 5

143

149

10-10-15 12.30.15



Innehåll

8.3 ❋ Variansanalys – utvidgning till fler än två oberoende grupper

154

8.4 Dimensioneringsberäkningar 156 Hur stora bör grupperna vara i ett vanligt t-test? 157 ❋ Dimensioneringsberäkningar om utfallet är snedfördelat

Sammanfattning

160

161

9. Rapportering och tolkning av p-värden 162 9.1 Rapportering av p-värden

162

P-värde eller konfidensintervall? 162 Tumregler kring p-värdesrapportering

9.2 Tolkning av p-värden

163

164

P-värdet är inte sannolikheten att nollhypotesen är sann 166 ❋ Kan man uppskatta sannolikheten att nollhypotesen är sann?

Att förkasta eller inte förkasta är sällan frågan 170

9.3 ❋ Multipla test

171

P-värdeskorrektion enligt Bonferroni Hochbergs metod 173 Prioriterad teststrategi 175

Sammanfattning

167

172

176

10. Medianjämförelser 178 10.1 Icke-parametriska konfidensintervall 179 ❋ Medianen blir inte normalfördelad ens i en stor undersökning 179 Icke-parametriska metoder bygger på att utfallen kan rangordnas 180 Konfidensintervall kring medianen 181

10.2 Teckentest – pröva hypoteser om ett medianvärde

184

10.3 Parade mätningar 185 Konfidensintervall kring parad mediandifferens Wilcoxons teckenrangtest 187

10.4 Två oberoende grupper

185

188

Vad innebär mediandifferensen mellan två oberoende grupper?

Mann-Whitneys test 190 ❋ Dimensioneringsberäkningar 193

189

10.5 ❋ Kruskal-Wallis test – utvidgning till fler än två oberoende grupper Sammanfattning

195

197

11. Korrelation och linjär regression 198 11.1 Korrelation 199 Spridningsdiagram 199 Pearsons korrelationskoefficient 201 Fallgropar vid tolkning av korrelationskoefficienter Spearmans rangkorrelationskoefficient 206

11.2 Enkel linjär regression

204

208

Regressionsparametrar – skärningspunkt och lutning 209 Vilken linje beskriver insamlade data bäst? 209 Residualer – individuella avvikelser från regressionslinjen 212

inledning.indd 6

10-10-15 12.30.16



Innehåll

Konfidensintervall och p-värde för skärningspunkt och lutning I vilka situationer kan linjär regressionsanalys användas? 215

11.3 ❋ Multipel linjär regression

214

217

Tolkning av regressionsparametrarna 217 Justera för förväxlingseffekter i gruppjämförelser

219

Sammanfattning 223

12. Binära utfall och data i korstabeller 225 12.1 Konfidensintervall kring en andel

226

❋ Andelen positiva utfall är normalfördelad i stora undersökningar Beräkningsformel för stora undersökningar 228

227

12.2 Konfidensintervall för jämförelser av andelar i oberoende grupper 2 × 2-korstabell 230 Konfidensintervall kring differensen mellan två oberoende andelar 231 ❋ Antal som behöver behandlas 233 Konfidensintervall kring kvoten mellan två oberoende andelar 234

12.3 Testa samband i korstabeller för oberoende grupper

230

237

Chitvåtest i stora oberoende grupper 237 Frihetsgrader hos en korstabell 240 Chitvåfördelningen 240 Dimensioneringsberäkningar 242 ❋ Korstabeller som är större än 2 × 2 242

12.4 Parade mätningar 243 Konfidensintervall kring differensen mellan två beroende andelar ❋ McNemars exakta test 246

243

Sammanfattning 247

13. Diagnostiska test

249

13.1 Sensitivitet, specificitet och prediktiva värden

250

Testets prediktiva värde bestäms av sjukdomsprevalensen Hur konstanta är sensitiviteten och specificiteten? 255

253

13.2 Avvägning mellan hög sensitivitet och hög specificitet

257

Illustrera avvägningen mellan sensitivitet och specificitet i en ROC-kurva ❋ Arean under ROC-kurvan mäter klassificieringsförmågan 260

13.3 ❋ Likelihoodkvoten uttrycker nyttan av ett diagnostiskt test Diagnostiska test med fler än två möjliga testresultat

13.4 Jämförelser av olika diagnostiska test

259

262

264

266

Sammanfattning 268

14. Överensstämmelse

269

14.1 Samband och överensstämmelse

270

14.2 Överensstämmelse mellan kvantitativa variabler

272

Bland–Altmandiagram 273 Samstämmighetsintervall 275

inledning.indd 7

10-10-15 12.30.16



Innehåll

14.3 Överensstämmelse mellan kategoriska variabler

277

Kappa – hur mycket bättre är överensstämmelsen än slumpen?

Tolkning av kappa 281 Konfidensintervall kring uppskattad överensstämmelse 282 Svagheter hos kappa 283

Sammanfattning

279

284

15. Epidemiologisk metodik 285 15.1 Tvärsnittsundersökningar 286 Prevalensjämförelser 287

15.2 Kohortundersökningar 288 Incidens 289 Kumulativ incidens (sjukdomsrisk)

15.3 Överlevnadsanalys

291

293

Överlevnadskurvor (Kaplan–Meier) 293 ❋ Jämför överlevnadskurvor med hasardkvoter och logranktest

297

15.4 Fall–kontrollundersökningar 302 Oddskvot 304 Oddskvoter i andra typer av undersökningar 307 I vilka situationer är fall–kontroll ett användbart undersökningsupplägg? 307

15.5 Förväxlingseffekter 307 Redovisa bakgrundsvariabler för grupperna som jämförs Stratifierad analys och standardisering 310 ❋ Regressionsmodeller för epidemiologiska data 312

Sammanfattning

308

317

Referenser 319 Register

inledning.indd 8

323

10-10-15 12.30.16



Förord Lärobok och praktisk handbok Statistik har en central roll i forskning som rör medicin och hälsa. Kunskaper i statistik är avgörande för att kunna planera och genomföra forskningsprojekt, men också för att kritiskt granska egna och andras forskningsresultat.

Boken ger en praktiskt inriktad introduktion till statistikämnet och är lämplig som lärobok på grundutbildningar inom medicin, omvårdnad och folkhälsa.

Boken är även en utmärkt handbok för yrkesverksamma och forskare inom dessa områden. Inga förkunskaper i ämnet krävs. Den som har läst statistik tidigare kan emellertid använda boken som en introduktion till tankesätt och principer som är specifika för statistik inom medicin och hälsa.

Problemorienterad framställning Bokens pedagogiska idé skiljer sig markant från liknande läroböcker inom ämnet. De praktiska tillämpningarna sätts i centrum, snarare än den matematiska teorin. Framställningen är problemorienterad, dvs. en frågeställning presenteras först och de statistiska verktyg som behövs för att besvara frågan beskrivs sedan. Viktiga begrepp fetstilsmarkeras för att de ska vara lätta att finna i texten, exempelvis med hjälp av bokens omfattande register. Statistiska begrepp och metoder presenteras överskådligt i separata fakta- och formelrutor. Alla beräkningar avslutas med det som är svårast men också mest spännande med statistik, nämligen att försöka förstå vad resultatet innebär.

Stor vikt läggs vid redovisning och tolkning av undersökningsresultat. Den tydliga uppdelningen i beräkning och tolkning av resultat gör boken möjlig att läsa på olika nivåer. Den som vill kan lägga mindre tonvikt vid formelrutor och beräkningsdetaljer vid en första genomläsning och i stället koncentrera sig på resultattolkningen, slutsatserna av de statistiska analyserna.

Boken skiljer mellan Exempel, som innehåller frågeställningar som helt besvaras i boken och Problem, som innehåller följdfrågor till läsaren som besvaras i det s.k. eLabbet. Exempel och problem skiljs från övrig text med grå respektive blå ramar. Boken är fylld av praktiska rekommendationer om hur data inom medicin och hälsa bäst bör analyseras, redovisas och tolkas.

Rekommendationerna presenteras ofta i separata rutor med rubriken Tänk-

inledning.indd 9

10-10-15 12.30.16



Förord

värt. Viktiga landvinningar och spännande kuriosa i utvecklingen av statistik till en vetenskaplig disciplin presenteras i historikrutor. Fördjupningsavsnitt

markerade med ❋ bidrar till ökad förståelse men kan hoppas över utan att sammanhanget går förlorat. I texten ges under rubriken Lästips! förslag på fördjupad läsning inom olika tillämpningsområden, förslag som också finns samlade i referenslistan i slutet av boken.

I dag är det självklart att statistiska beräkningar görs med datorprogram.

Trots detta bör man ha någon kunskap om hur ett statistiskt analysresultat växer fram. Flertalet av beräkningarna som redovisas i boken kan enkelt utföras med hjälp av färdiga Microsoft Excel-arbetsböcker som finns i eLabbet.

I forskningsprojekt som kräver mer avancerad statistisk analys bör alltid en erfaren statistiker involveras och man behöver också tillgång till ett riktigt statistikprogram. Det finns många olika statistikprogram på marknaden och framställningen är inte knuten till någon bestämd programvara.

FAKTA

TÄNKVÄRT

FORMEL

HISTORIK

Symboler som används för bokens rutor

eLabbet I eLabbet som hör till boken finns interaktiva kunskapsfrågor till varje kapitel som testar läsarens förståelse av grundläggande begrepp, principer och metoder. Till varje kapitel finns också interaktiva frågor till de problem som presenterats i boken samt ytterligare diskussion av resultaten. Till vissa av problemen hör empiriska datamaterial som kan laddas ned. Knutet till bokens kapitel finns färdiga arbetsböcker i Microsoft Excel för nedladdning i eLabbet och som kan användas för statistiska analyser av exempel och problem.

Korrekt ifyllda arbetsböcker redovisas som en del av svaren till problemen. I eLabbet finns också statistikfall, med bredare frågeställningar som ofta spänner över flera områden i boken, ett interaktivt flödesschema som underlättar valet mellan vanliga statistiska testmetoder, en användbar länksamling och en svensk–engelsk ordlista över statistiska begrepp med förklaringar. Bokens referenslista finns även i eLabbet, sorterad områdesvis och med korta beskrivningar av varje referens.

Det är min uttalade ambition att alla som arbetar med, utbildar sig inom, eller har intresse av medicin och hälsa ska kunna ha nytta och glädje av bokens innehåll. Välkommen att läsa och arbeta vidare med boken!

Jonas Björk, Bjärred i september 2010

inledning.indd 10

10-10-15 12.30.17



. Introduktion Kapitlet ger en första introduktion till statistik och förklarar centrala begrepp som undersökning, målpopulation, urval, statistisk felmarginal, systematiska fel samt intern och extern validitet. Vi går igenom ett forskningsprojekts olika faser och finner att viktiga avgöranden i såväl planering som genomförande av ett forskningsprojekt fordrar ingående kunskaper i statistik.

1.1

Grundläggande begrepp Statistik och medicinsk statistik Statistik är en vetenskap som studerar de metoder som behövs för att sam-

manställa, analysera och tolka data som samlats in genom exempelvis enkätfrågor, mätningar eller provtagningar. Flertalet statistiska metoder kan tilllämpas oavsett ämnesområde. Problemställningar inom exempelvis ekonomi och medicin har emellertid drivit fram utveckling av mer ämnesspecifika metoder. Med medicinsk statistik avses statistik som ägnas data som rör problemställningar inom medicin, omvårdnad och epidemiologi.

Statistik är en viktig hjälpvetenskap till forskning där man planerar och genomför undersökningar, studier1, för att söka svar på vetenskapliga frågeställningar. Undersökningar inom medicinska forskningsområden kan ha många olika syften, till exempel att − jämföra utfallet av olika läkemedel eller behandlingsmetoder − jämföra upplevd livskvalitet eller biverkningar hos olika behandlingsmetoder − kartlägga faktorer i arv och miljö som ökar risken att drabbas av sjukdom − utvärdera effekten av sjukdomsförebyggande (preventiva) åtgärder − identifiera mekanismer som ligger bakom en sjukdoms uppkomst − utvärdera diagnostiska test. 

kap 1-3.indd 11

I boken används ”undersökning” och ”studie” som synonyma begrepp.

10-10-15 10.36.34



. Introduktion

Beskrivande och analytisk statistik Man brukar skilja på beskrivande (deskriptiv) och analytisk statistik. Med beskrivande statistik avses metoder för att organisera och sammanställa insamlade data, exempelvis med hjälp av tabeller, diagram och sammanfattande mått som medel- eller medianvärden. Att den beskrivande statistiken är rättvisande och överskådlig är oerhört viktigt för att trovärdigheten i de resultat och slutsatser som presenteras ska gå att bedöma. Två hela kapitel i boken, kapitel 2 och 3, ägnas därför åt frågor som rör organisering och sammanställning av insamlade data.

Exempel 1.1

Beskrivande statistik b

120

100

x 23 μg/L

Antal

80

a ”Känner du dig stressad i din vardag?”

Antal personer, n (%) Ja, ofta

60

40

4 128 (15)

Ja, ibland

12 917 (48)

Nej, (nästan aldrig)

10 065 (37)

20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Bly i blod (μg/L) Figur . a) Svaret på en fråga om stress i vardagen, som ingick i en stor

enkätundersökning, sammanställd i en frekvenstabell b) Halten av bly i blod baserat på ett stort antal provtagningar bland svenska skolbarn, sammanställda i ett histogram. Medelhalten av bly i blod var 23 μg/L i undersökningen (Strömberg et al. 2003).

Stora delar av kapitel 4–15 ägnas åt analytisk statistik, dvs. metoder för att jämföra insamlade data i olika grupper, hur man kan beskriva och hantera den osäkerhet som finns i resultatet och vilka slutsatser som är rimliga att dra. För att resultaten inte ska bli missvisande är det viktigt att man väljer en statistisk metod som passar insamlade data. Boken ger endast en introduktion till analytisk statistik och innan mer avancerade statistiska metoder används i ett forskningsprojekt bör därför en erfaren statistiker alltid rådfrågas. I

kap 1-3.indd 12

10-10-15 10.36.35

. Grundläggande begrepp



faktaruta 1.7 i avsnitt 1.3 ges en översikt över vanliga statistiska metoder och deras användningsområden. I inledningen av kapitel 7 finns ett flödesschema som kan användas för att välja mellan vanliga statistiska test. En interaktiv version av flödesschemat finns i eLabbet.

Målpopulation, urval och statistisk osäkerhet Kärnfrågan när man tolkar resultatet av en vetenskaplig undersökning är att bedöma i vilken utsträckning resultatet gäller för andra individer som liknar dem som ingår i undersökningen. Den större befolknings- eller patientgrupp utanför undersökningen som man vill kunna dra slutsatser om kallas målpopulation. Att undersökningens målpopulation är väldefinierad är avgörande för att man ska kunna bedöma vilka befolknings- eller patientgrupper som omfattas av undersökningens slutsatser (se faktaruta 1.1). Några exempel på målpopulationer inom medicinsk forskning: − − − − − −

typ 2-diabetiker astmatiker barn under 15 år rökare kvinnor som är gravida personer som nyligen drabbats av hjärtinfarkt.

FA K TA R U TA  .

Inklusions- och exklusionskriterier Målpopulationen för en undersökning brukar definieras med hjälp av inklusions- och exklusionskriterier. Om inklusionskriterierna uppfylls kan personen ingå (inkluderas) i undersökningen. Exempel på inklusionskriterier: personen ska – ha haft diabetes i minst 5 år – vara mellan 18 och 65 år gammal – bo i Västra Götalands län.

Om exklusionskriterierna uppfylls utesluts (exkluderas) personen ur undersökningen. Exempel på exklusionskriterier: personen får inte – behandlas med blodtryckssänkande medel – vara rökare – tidigare ha haft hjärt–kärlsjukdom.

kap 1-3.indd 13

10-10-15 10.36.36



. Introduktion

Det finns två viktiga skäl till att ingående kunskaper i statistik behövs för att man ska kunna avgöra i vilken utsträckning resultatet gäller för andra individer än dem som ingår i undersökningen. För det första kan inte medicinska utfall för enskilda patienter förutsägas med säkerhet. Alla patienter reagerar inte lika på en behandling! För det andra har man nästan aldrig möjlighet att göra en totalundersökning, dvs. en undersökning av hela målpopulationen, utan man tvingas i stället göra ett stickprov, en urvalsundersökning. Detta skapar statistisk osäkerhet som innebär att man inte med säkerhet kan avgöra om de skillnader i behandlingsutfall eller andra samband som konstateras i undersökningen är verkliga eller om de helt eller delvis beror på slumpen.

Målpopulation

Behandling A

Behandling B

Slutsatser Undersökning

Urval Urval

Behandling Behandling A B Urval = stickprov

Figur . Slutsatsdragning i en undersökning som går ut på att jämföra utfallet av två olika behandlingar i ett urval (stickprov) av patienter. Kärnfrågan ur statistisk synvinkel är att bedöma om det är rimligt att anta att resultatet i urvalet också gäller för den underliggande målpopulationen av patienter.

Med hjälp av statistiska metoder kan man beskriva hur stort detta slumpmässiga fel, den statistiska felmarginalen, är i de resultat och slutsatser som presenteras. Ju fler individer undersökningen omfattar, desto mindre är den statistiska osäkerheten (felmarginalen) i allmänhet. För att den statistiska osäkerheten ska kunna beskrivas korrekt krävs att urvalet (stickprovet) kan betraktas som slumpmässigt, dvs. att alla personer som ingår i målpopulationen ska ha möjlighet att bli utvalda till undersökningen. Personer som inte kan väljas ut tillhör definitionsmässigt inte målpopulationen. Sannolikheten för att en enskild person blir utvald till undersökningen ska dessutom vara känd eller åtminstone gå att räkna ut.

kap 1-3.indd 14

10-10-15 10.36.36



. Grundläggande begrepp

Exempel 1.2

Slumpmässigt urval?

Anta att du vill undersöka stressnivån bland de anställda på ett sjukhus. Du frågar några av dem du känner på sjukhuset. Är urvalet slumpmässigt?

Svaret är förstås ”nej”! Detta är inte ett slumpmässigt urval av anställda, de du inte känner kan ju inte bli utvalda. Om inte urvalet är slumpmässigt är det stor risk att resultatet inte kommer att vara representativt, giltigt, för den underliggande målpopulationen av anställda på sjukhuset.

Alla undersökningar som saknar kontroll över vem som kan delta, till exempel allmänt tillgängliga webbenkäter, bör tolkas med stor skepsis. Samma reservation gäller undersökningar som saknar en tydlig beskrivning av målpopulationen eller av hur urvalet gjorts. Det spelar därvidlag ingen roll om 100 eller 10 000 personer deltar i undersökningen. Om urvalet inte är representativt säger undersökningen ändå ingenting om förhållanden eller samband i den underliggande målpopulationen.

Slumpmässiga urval kan vara utformade på olika sätt. Vanligast är obundet slumpmässigt urval, vilket innebär alla i målpopulationen har samma sannolikhet att väljas ut till undersökningen.

TÄ N K VÄ R T

Finns det någon osäkerhet om alla i Sverige inkluderas?

Om man genomför en undersökning av alla personer i Sverige som har diabetes år 2011, finns det då någon statistisk osäkerhet kvar att beskriva? Är syftet med undersökningen att beskriva tillståndet bland diabetiker i Sverige ett visst år så finns ingen statistisk osäkerhet, förutsatt att man verkligen har inkluderat alla. Ofta betraktar man emellertid även en nationell totalundersökning som ett urval i tid (år 2011) och rum (landet Sverige) från en större ”superpopulation” av diabetiker som man vill kunna dra slutsatser om. Med ett sådant synsätt finns statistisk osäkerhet kvar i resultatet, och den kan beskrivas med statistiska metoder.

kap 1-3.indd 15

10-10-15 10.36.37



. Introduktion

Systematiska fel kan hota den interna validiteten Den statistiska osäkerheten skapar ett slumpmässigt fel i undersökningsresultatet, dvs. slumpen gör att undersökningens resultat inte exakt motsvarar faktiska förhållanden i den underliggande målpopulationen. Utöver det slumpmässiga felet måste även systematiska fel, s.k. bias, beaktas när resultatet tolkas. Systematiska fel brukar delas in i tre olika kategorier: 1. Selektionsfel: att urvalet är snedvridet och därför inte representativt för målpopulationen.

2. Informationsfel: felaktigheter i datainsamlingen.

3. Förväxlingseffekter: (engelska confounding) bristande jämförbarhet i de grupper som undersöks.

FA K TA R U TA  . 

Exempel på vanliga systematiska fel – Bristande täckning i de register som används för att identifiera målpopulationen (selektionsfel).

– Icke-slumpmässigt urval (selektionsfel).

– Bortfall, dvs. ovilja bland de utvalda patienterna att påbörja eller fullfölja undersökningen (selektionsfel).

– Mätfel, bristande precision i biokemiska analyser eller klassificeringsproblem (informationsfel).

– Otydligheter i frågeformuleringar eller felaktigheter i enkätsvar (informationsfel).

– Bristande jämförbarhet, till exempel skillnader i utgångsläge eller prognos mellan de behandlingsgrupper som undersöks (förväxlingseffekter).

Lästips! Läs mer om olika typer av systematiska fel i en utmärkt översiktsartikel av Delgado-Rodríguez och Llorca (2004).

Systematiska fel i en undersökning kan snedvrida resultatet och leda till felaktiga slutsatser om målpopulationen även om undersökningen är så stor att den statistiska osäkerheten är marginell. Undersökningen har i så fall bristande intern validitet (intern giltighet). Systematiska fel diskuteras på flera ställen i boken, bland annat i exempel 6.4 i avsnitt 6.3 (selektions- och informationsfel), i faktaruta 11.2 i avsnitt 11.3 (regression towards the mean) och i avsnitt 15.5 (förväxlingseffekter). Innan långtgående slutsatser dras utifrån ett undersökningsresultat måste såväl statistisk osäkerhet som alla andra källor till fel beaktas. Risken för felaktiga slutsatser ökar ju större det totala felet är i undersökningen.

kap 1-3.indd 16

10-10-15 10.36.37

. Att planera ett forskningsprojekt



Generaliserbarhet – extern validitet Hittills har vi diskuterat vilka slutsatser som man ur statistisk synvinkel kan dra om målpopulationen utifrån undersökningsresultatet. Korrekta slutsatser om målpopulationen fordrar intern validitet och att den statistiska osäkerheten beaktas. I tolkningen av medicinska forskningsresultat vill man dessutom i allmänhet kunna generalisera, dvs. dra slutsatser bortom den ofta relativt snäva målpopulation av individer som definierats för undersökningen: − Om en undersökning gjord bland män visar att ett nytt blodtryckssänkande medel ger färre biverkningar än de som tidigare använts, gäller då resultaten även för kvinnor? − Ger en ny formel som tagits fram i USA för att uppskatta njurfunktion utifrån halten av kreatinin i ett blodprov tillförlitliga resultat även bland patienter i Sverige? − Om ett influensavaccin visat sig effektivt bland yngre vuxna, gäller då resultaten även för äldre över 65 år? − Barn som föds för tidigt löper större risk att drabbas av hälsoproblem, visar en undersökning av barn födda under 1970-talet. I vilken utsträckning gäller resultaten även för barn som föds för tidigt i dag?

Om resultatet är generaliserbart har undersökningen hög extern validitet (extern giltighet). Frågan om generaliserbarhet är först och främst en medicinsk och inte en statistisk fråga. Ett sätt att testa generaliserbarheten i resultaten är emellertid att genomföra ytterligare undersökningar i andra målpopulationer och då kommer förstås den statistiska verktygslådan till användning på nytt.

1.2

Att planera ett forskningsprojekt Ett forskningsprojekt baserat på datainsamling kan delas in i olika faser enligt figur 1.3. I planeringsfasen upprättas ett studieprotokoll som i detalj beskriver hur forskningsprojektet ska genomföras. I planeringen ingår också att bestämma hur undersökningen ska läggas upp och hur stor den ska vara, att noggrant beakta etiska frågeställningar som är knutna till projektet samt att utforma enkätfrågor och förbereda andra instrument som behövs för datainsamlingen.

kap 1-3.indd 17

10-10-15 10.36.38



. Introduktion

Planering Studieprotokoll Undersökningsupplägg, storlek Etiska överväganden Insamling av data Enkätdata, provtagningar, biokemiska analyser etc.

Registrering av data Forskningsdatabas inmatad och kontrollerad Statistisk analys Slutsatser Rapportering

Arkivering

Figur . Forskningsprojektets olika faser.

FA K TA R U TA  . 

Kliniska prövningar En klinisk prövning är en undersökning som görs prospektivt, dvs. framåt i tiden, och som syftar till att utvärdera nya behandlingsmetoder eller läkemedel.

Man brukar skilja på åtminstone tre olika typer av kliniska prövningar: – Fas I. Den nya behandlingen eller det nya läkemedlet provas på friska personer.

– Fas II. Behandlingen eller läkemedlet testas på en liten grupp patienter som har den aktuella sjukdomen.

– Fas III. En betydligt större undersökning där den nya behandlingen eller läkemedlet jämförs med andra behandlingsalternativ.

De statistiska övervägandena är särskilt viktiga i fas III-prövningar. När vi i boken diskuterar kliniska prövningar kommer vi därför först och främst att ha fas III-prövningar i åtanke.

kap 1-3.indd 18

10-10-15 10.36.38



. Att planera ett forskningsprojekt

Studieprotokollet – plan för projektet från ax till färdig limpa I en klinisk prövning (se faktaruta 1.3) måste ett studieprotokoll upprättas i undersökningens planeringsfas. Innan undersökningen påbörjas ska studieprotokollet registreras i en internationell databas över kliniska prövningar (se länk i eLabbet). Även för andra typer av undersökningar, till exempel epidemiologiska undersökningar, bör studieprotokoll upprättas. Studieprotokollet beskriver undersökningens syfte, upplägg, storlek och genomförande, samt tar upp etiska överväganden till diskussion (se faktaruta 1.4).

FA K TA R U TA  . 

Studieprotokoll för klinisk prövning Ett studieprotokoll kan omfatta följande avsnitt: – kontaktpersoner, administration, organisation – bakgrund, överordnat syfte med undersökningen – specifika frågeställningar, gärna rangordnade – undersökningsupplägg – blindning och randomisering – målpopulation och val av patienter (inklusion, exklusion; se faktaruta 1.1) – behandlingsprogram – mätningar, jämförelser av effekt och säkerhet – undersökningens storlek – statistisk analysplan – monitorering, dvs. kvalitetskontroll av undersökningen – etiska överväganden, samtycke – datahantering.

Mer detaljer kring hur ett studieprotokoll för en klinisk prövning bör utformas finns på ICHs2 hemsida (GCP – Good Clinical Practice; se länk i eLabbet).  International Conference on Harmonisation of Technical Requirements for Registration of Pharmaceuticals for Human Use.

Val av undersökningsupplägg Två enkla frågor kan användas för att avgöra vilket upplägg som är lämpligast för undersökningen: − Ska undersökningen påverka skeendet, till exempel behandlingen av patienterna? − Ska individerna i undersökningen följas över tiden?

Utifrån svaren på dessa båda frågor kan medicinska undersökningar delas in i olika kategorier enligt schemat i figur 1.4.

kap 1-3.indd 19

10-10-15 10.36.40



. Introduktion

Undersökningsupplägg Påverkar skeendet

Påverkar inte skeendet

Experiment Uppföljning över tiden Klinisk prövning

Ingen uppföljning över tiden Tvärsnittsundersökning

Observationsundersökning Uppföljning över tiden Longitudinell undersökning

Kohortundersökning

Fall–kontrollundersökning

Figur . Val av undersökningsupplägg.

Ett experiment griper på ett planerat sätt in i det naturliga skeendet och påverkar exempelvis behandlingen av patienterna. I en klinisk prövning är det anvisningarna i studieprotokollet som anger hur de behandlingar som jämförs ska fördelas mellan patienterna som ingår i undersökningen. Randomisering används nästan alltid, dvs. man låter slumpen bestämma vilken behandling varje enskild patient ska få.

Målsättningen med randomiserade experiment är att uppnå grupper som är jämförbara i alla andra avseenden utom behandlingen. Oavsett vilket undersökningsupplägg man har valt är det viktigt att omfattande beskrivande statistik presenteras så att jämförbarheten mellan de grupper som ingår i undersökningen går att bedöma. I exempel 3.6 i avsnitt 3.3 ges exempel på hur grundläggande deskriptiva data för en randomiserad klinisk prövning kan redovisas i en tabell.

Om man konstaterar en skillnad i behandlingsutfall mellan de grupper som jämförs i ett experiment, och grupperna bedöms vara jämförbara, ligger det nära till hands att dra slutsatsen att detta beror på skillnader i hur grupperna behandlats. I avsnitt 12.2 (problem 12.1 och exempel 12.5) visas hur behandlingseffekten kan sammanfattas och jämföras i en randomiserad klinisk prövning.

kap 1-3.indd 20

10-10-15 10.36.41

. Att planera ett forskningsprojekt



FA K TA R U TA  . 

Placeboeffekten – förväntningar kan flytta berg!

När man planerar en klinisk prövning måste placeboeffekten beaktas. Placeboeffekten är en förväntanseffekt, dvs. en effekt som styrs av patientens förväntningar om att behandlingen ska hjälpa denne att tillfriskna. Placeboeffekten gör att man kan observera effekter även av behandlingar som helt saknar aktiva beståndsdelar. Om man genomför en undersökning av ett nytt läkemedel utan kontrollgrupp (jämförelsegrupp) kan resultatet av undersökningen därför bli missvisande – behandlingseffekten överskattas eftersom den inkluderar en placeboeffekt. Som jämförelse väljs normalt den behandling som för närvarande används inom terapiområdet. Saknas en allmänt rekommenderad behandling ger man i stället kontrollgruppen en verkningslös substans, placebo3. Naturligtvis finns det många sjukdomstillstånd som inte kan påverkas av patientens förväntningar, men man måste ändå dokumentera att en ny behandling överträffar placebo.

I kliniken är det förstås enbart positivt att patientens förväntningar bidrar till ett bättre behandlingsresultat. Placeboeffekten ska man således vara rädd om! I forskningen bör man försöka se till att patientens förväntningar är lika höga oavsett vilken behandling denne får. Ett sätt att uppnå detta är att ge behandlingarna dubbelblint, vilket innebär att varken vårdpersonalen eller patienten vet vilken behandling som ges. Ett dubbelblint förfarande gör att placeboeffekten neutraliseras, dvs. är lika stor i båda grupperna.  Ordet placebo betyder ’jag ska behaga’.

I en observationsundersökning är det inte lika enkelt att dra slutsatsen att gruppskillnader beror på skillnader i behandling eller exponering för en bestämd riskfaktor. En observationsundersökning griper nämligen inte in i skeendet utan jämför grupperingar som uppstått naturligt, till exempel − − − −

rökare mot icke-rökare köttätare mot vegetarianer diabetiker mot icke-diabetiker patienter som ordinerats läkemedel A jämfört med patienter som ordinerats läkemedel B.

Epidemiologiska undersökningar syftar ofta till att jämföra risken för sjukdom

i olika befolkningsgrupper och är nästan alltid observationsundersökningar.

Grupper som uppstått naturligt kan skilja sig åt i många avseenden och det finns därför risk för förväxlingseffekter, dvs. att den faktor som styr grupptillhörigheten, till exempel rökning, matvanor eller diabetes, inte är den verkliga orsaken till skillnaderna i undersökningsresultatet. Resultat från epidemiologiska undersökningar måste därför tolkas med stor försiktighet!

kap 1-3.indd 21

10-10-15 10.36.41



. Introduktion

Kapitel 15 ägnas åt statistiska metoder som är lämpliga att använda för att sammanställa och analysera data från epidemiologiska undersökningar.

I vissa typer av observationsundersökningar, exempelvis enkätundersökningar, finns ingen tidsaspekt utan man samlar in data och jämför grupper vid en enda tidpunkt. Sådana undersökningar utan uppföljning över tiden kallas för tvärsnittsundersökningar.

Exempel 1.3

Tvärsnittsundersökning av fysisk och psykisk hälsa I en stor folkhälsoenkät i Skåne år 2004 jämfördes självskattad fysisk och psykisk hälsa bland yrkesarbetande och arbetslösa. Resultatet redovisades i en tabell och med hjälp av ett stapeldiagram (figur 1.5 a och b).

Undersökningen är ett exempel på en tvärsnittsundersökning. Det finns ingen tidsaspekt i undersökningen eftersom arbetslöshet och hälsa mäts vid samma tidpunkt. Undersökningen kan därför inte svara på om arbetslösheten påverkar hälsan eller om dålig hälsa leder till arbetslöshet. Man kan inte reda ut orsakssamband eller uppskatta risker i tvärsnittsundersökningar. I avsnitt 15.1 ges exempel på hur data från tvärsnittsundersökningar kan analyseras och tolkas. a Självskattad fysisk och psykisk hälsa

Yrkesarbetande, n (%)

Mycket dålig eller dålig

1 562 (11)

254 (25)

10 738 (78)

695 (68)

1 406 (10)

74 (7)

13 706 (100)

1 023 (100)

God Mycket god Totalt

b

Arbetslösa, n (%)

Självskattad fysisk och psykisk hälsa

Mycket god Arbetslösa (n = 1 023) Yrkesarbetande (n = 13 706)

God

Mycket dålig eller dålig 0%

20%

40%

60%

80%

100%

Andel svar (%) Figur . Självskattad fysisk och psykisk hälsa bland yrkesarbetande och arbetslösa enligt en folkhälsoenkät i Skåne år 2004.

kap 1-3.indd 22

10-10-15 10.36.42

. Att planera ett forskningsprojekt



För att reda ut orsakssamband och för att uppskatta risker måste en longitudinell undersökning, dvs. en uppföljning över tiden, göras. I exempel 1.3 skulle man kunna följa grupper av arbetslösa och yrkesarbetande över tiden och jämföra hur deras hälsa utvecklas. Man skulle också kunna följa en grupp yrkesarbetande och studera hur deras hälsa påverkar risken för arbetslöshet.

Naturliga grupperingar som följs över tiden kallas i epidemiologiska sammanhang för kohorter och undersökningsupplägget för kohortundersökning.

En kohortundersökning kan göras framåt i tiden och kallas då prospektiv.

En klassisk prospektiv uppföljning av hälsoeffekter av rökning i en kohort av manliga läkare i Storbritannien presenteras i exempel 15.4. Har man tillgång till registerdata kan man även göra kohortundersökningar bakåt i tiden, dvs. retrospektivt. Exempelvis skulle man kunna undersöka retrospektivt om förekomsten av cancer på en arbetsplats varit högre än förväntat genom att samköra anställningsregistret med cancerregistret.

En kohortundersökning betraktas ofta som det bästa alternativet i situationer då randomiserade experiment inte kan genomföras, till exempel när samband mellan livsstilsfaktorer och hälsa ska studeras. Ibland är det emellertid omöjligt eller alltför resurskrävande att samla in detaljerade data från samtliga individer i kohorten. Ett alternativ i sådana situationer kan vara att genomföra en fall–kontrollundersökning som innebär att detaljerade data endast samlas in för ett urval av fall, personer som drabbats av sjukdomen som studeras, och kontroller, jämförelsepersoner, från kohorten. Läs mer om fall–kontrollundersökningar i avsnitt 15.4.

Undersökningens storlek Efter att undersökningsupplägg valts är nästa steg i planeringen att avgöra hur stor undersökningen ska vara. Eftersom man nästan aldrig har möjlighet att göra en totalundersökning måste man bestämma urvalets storlek. Ur statistisk synvinkel är fyra frågor avgörande för hur stor undersökningen bör vara: 1. Vilken minsta skillnad i exempelvis genomsnittligt behandlingsutfall eller sjukdomsrisk mellan de grupper som studeras vill man kunna upptäcka?

2. Hur stor kommer spridningen (variationen) i utfall mellan individerna i undersökningen att vara?

3. Vilken statistisk styrka krävs, dvs. hur stora möjligheter vill man ha att kunna påvisa att det finns en skillnad i exempelvis behandlingsutfall eller sjukdomsrisk mellan de grupper som undersöks?

kap 1-3.indd 23

10-10-15 10.36.42



. Introduktion

4. Hur stor risk för ett falskt positivt fynd, dvs. att den statistiska analysen av urvalet visar ett samband som inte existerar i målpopulationen, är man beredd att acceptera? Är den förväntade skillnaden i behandlingsutfall stor kan det räcka med ett mindre antal patienter i undersökningen, medan det i allmänhet krävs stora grupper för att upptäcka små skillnader i utfall. Om alla patienter reagerar snarlikt på en behandling krävs betydligt mindre grupper jämfört med en situation med stor variation i utfall mellan patienterna. Ju högre statistisk styrka som krävs, och ju mindre risk för falskt positiva fynd man är beredd att acceptera, desto större måste undersökningen vara.

Man kan också behöva ta hänsyn till bristande precision i mätmetoder och förväntat bortfall i enkätundersökningar eller behandlingsuppföljningar.

Däremot spelar inte målpopulationens storlek någon roll för hur stor undersökningen bör vara. Oavsett om vår målpopulation är patienter i Sverige eller i Kina (!) så krävs samma undersökningsstorlek, givet att den förväntade gruppskillnaden och variationen mellan individerna är lika stor i de båda länderna. Längre fram i boken lär vi oss att genomföra dimensioneringsberäkningar, dvs. att uppskatta hur stor en undersökning bör vara i olika praktiska situationer (se avsnitt 6.4, 8.4 och 10.4).

Etiska överväganden I studieprotokollet ska man ta upp etiska överväganden till diskussion samt beskriva hur informerat samtycke (se faktaruta 1.6) ska inhämtas från de personer som är tänkta att ingå i undersökningen. Som forskare har man det yttersta ansvaret för att forskningen är trovärdig, hederlig och av hög kvalitet (forskaretik), samt att forskningen genomsyras av respekt för deltagarna, håller hög säkerhetsnivå och är moraliskt acceptabel (forskningsetik).

Vetenskapsrådet har en utmärkt hemsida med etiska regler och riktlinjer för forskning (se länk i eLabbet). Sedan 2004 finns en lag om etikprövning som innehåller bestämmelser om etikprövning av forskning i Sverige som avser människor och biologiskt material från människor. Lagtexten kan i sin helhet läsas i Svensk författningssamling på Internet (se länk i eLabbet). All forskning som omfattas av lagen om etikprövning, exempelvis all forskning som innebär fysiska ingrepp eller som syftar till att påverka forskningspersonen fysiskt eller psykiskt, ska ha godkänts vid en etikprövningsnämnd innan den genomförs. Det finns sex stycken självständiga regionala etikprövningsnämnder i Sverige som prövar ansökningar om etiskt godkännande av forskning.

kap 1-3.indd 24

10-10-15 10.36.43

ISBN 978-91-47-09956-6 © 2010 Jonas Björk och Liber AB Förläggare: Bengt Fundin Redaktör: Anna Rohde Grafisk form och omslag: Nette Lövgren Omslagsillustration: BrickLane, Dalston, Manhattan, Paris/Kapitza Illustrationer: Monica Schmidt, Exaktaprinting AB Ombrytning: Exaktaprinting AB Produktion: Jürgen Borchert Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB Tryck: Kina 2011

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Liber AB, 113 98 Stockholm. tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 kundservice.liber@liber.se

inledning.indd 2

10-10-15 12.30.14

idÊ skiljer sig markant frün liknande lärobÜcker. Här stür de praktiska tilllämpningarna i centrum: fÜrst presenteras exempel och praktiska problem och därefter introduceras de statistiska begrepp och metoder som behÜvs fÜr att lÜsa problemet. Mycket stor vikt läggs vid hur man bÜr analysera, tolka och redovisa undersÜkningsresultat.

Boken är lämplig som grundläggande lärobok i statistik pü alla grundutbildningar inom medicin, omvürdnad och folkhälsovetenskap. Den är ocksü en utmärkt handbok fÜr forskare och andra yrkesverksamma. Inga fÜrkunskaper i ämnet krävs. FÜr den som har läst statistik tidigare ger boken en värdefull introduktion till de tänkesätt och principer som är specifika inom statistik fÜr medicin och hälsa.

Till boken hÜr det webbaserade eLabbet som fÜrdjupar läsarens

BJÖRK Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa

Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa är en bok vars pedagogiska

JONAS BJĂ–RK

Praktisk statistik fÜr medicin och hälsa

q B g b I M p P G APx L z A . z 8 D 0 Q R [ C kunskaper i praktisk statistik. Här finns kunskapsfrügor till varje kapitel,

interaktiva diskussioner av bokens problem samt statistikfall som spän-

ner Ăśver bredare omrĂĽden. Dessutom finns ett interaktivt flĂśdesschema

som underlättar valet mellan vanliga statistiska testmetoder, hjälpmedel fÜr grundläggande statistiska analyser i Microsoft Excel, länksamling och svensk–engelsk ordlista.

Jonas BjÜrk är docent i epidemiologisk metodik vid Lunds universitet

och har mĂĽngĂĽrig erfarenhet av undervisning i statistik och epidemiologi pĂĽ grund- och forskarutbildningar vid medicinska fakulteten.

!

Med boken fÜljer eLabbet som hjälper dig att tillämpa bokens

!

innehüll och klara kursen bättre. Här kan du Üva pü instuderings

! frĂĽgor och fallstudier. Du kan ocksĂĽ gĂśra kunskapstester och ta

!

del av fÜrdjupnings- och bonusmaterial. Läs mer i boken och pü

www.liber.se/elabbet.

Best.nr 47-09956-6 Tryck.nr 47-09956-6

Omslag Praktisk statistik fo r medicin och ha lsa.indd 1

10-10-22 14.33.13