9789147109890

utmaningen Matematikboken gamma

utmaningen

gamma

Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken. Utmaningen erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken Gamma.

Matematikboken

n, Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

Till Matematikboken Gamma hör följande komponenter: • • • •

Grundbok med facit • B-boken • Lärarhandledning Utmaningen • Onlinebok Bashäfte Grundbok A-boken

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-10989-0 Tryck.nr 47-10989-0

UGamma_omsl_tryck.indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-04-12 12.08

1 Tal och räkning

2

Negativa tal 2 Förkortning och förlängning 5 Addition och subtraktion av bråk 7 Räkna med bråk 9 Problemlösning 10

2

Multiplikation och division 11

4 Algebra och mönster

5 Geometri

Europas geografi 11 Dividera med förkortning och förlängning 12 Division med stora tal 13 Division med små tal 14 Problemlösning 15

3 Samband och förändring

28

Räknar miniräknaren alltid rätt? 28 Värdet av uttryck 29 Formler 30 Problemlösning med ekvation 32 Problemlösning 34 36

Geometriska objekt 36 Vinklar 37 Omkretsen av en cirkel 39 Trianglars omkrets och area 41 Problemlösning 42

6 Alfa, Beta, Gamma – med sikte på framtiden 17

Hur många procent? 17 Decimalform och procentform 19 Koordinatsystemet 21 Hur sannolikt är det? 23 Problemlösning 26

44

Multiplicera mera 44 Räkna med miniräknare 45 Ekvationer och geometri 47 Diagram och procent 49 Problemlösning 50

Ledtrådar 54 Facit och lösningar

56

Hej! Utmaningen är till för dig som gärna vill ha större utmaningar i matematik och som räknar i ett högt tempo. Det fungerar bra att arbeta med boken samtidigt som dina kompisar arbetar med Matematikboken Gamma, eftersom det är samma kapitelindelning.

Uppgifter som är särskilt kluriga finns det ledtrådar till (sidan 54).

Dessa uppgifter är markerade med

L

Ledtrådarna ger dig en liten hjälp på vägen om du skulle köra fast.

Lycka till!

Lennart, Christina, Kristina och Conny

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 1

2013-04-08 08.55

ISBN 978-91-47-10989-0

bildförteckning

© 2013 författarna och Liber AB

Omslag Julia Sjöberg/Nordicphotos

Redaktör: Mats Juhlin, Sara Ramsfeldt

Inlaga Andersson, Mikael/Mira/Nordicphotos 5 Carlson, Torbjörn/Sydsvenskan/IBL Bildbyrå 12 Hulton Archive/Getty Images 3(4) Johnson, Erik 17 Liber arkiv 38(1), 50, 57 Liber Kartor 23 Powell, Mike/AllSport/Getty Images Sport 52 Shutterstock 3(1-3), 6, 7, 8(2), 11, 13-15, 18-22, 24, 27-29, 31, 32, 35, 37, 38(2), 40, 42, 43, 46, 51, 54-56 Wu Tong/China Foto Press/Scanpix 8(1), 41

Formgivning: Sara Ånestrand, Jan Holtz Bildredaktör: Nadia Boutani Werner Illustrationer: Johan Unenge Matematiska illustrationer: Björn Magnusson Faktor: Eva Runeberg Påhlman Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Kina 2013

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/ förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

056-064 UGamma_Facit.indd 64

2013-04-08 14.35

1

Tal och räkning Negativa tal Temperatur

Här bredvid ser du två termometrar. Den vänstra visar temperaturen –10 °C och den högra visar 20 °C. Temperatur är ett exempel på när vi använder oss av negativa tal i verkligheten.

Några olika tecken

I matematik använder vi oss av många olika tecken. Ett tecken som du ofta använder är likhetstecknet. Två andra tecken som vi använder oss av är de två olikhetstecknen > och <.

Tecknet > betyder ”är större än”.

Tecknet < betyder ”är mindre än”.

2 är större än –1 skrivs 2 > –1.

–1 är mindre än 2 skrivs –1 < 2.

Tallinjen

På tallinjen finns de negativa talen till vänster om talet 0. Ju längre åt vänster talet finns, desto mindre är talet.

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

negativa tal

3

4

5

positiva tal

Addition och subtraktion

En dag i november är temperaturen 4 °C. Under natten sjunker temperaturen med 7 °C. Vilken är temperaturen då?

Vi kan teckna den nya temperaturen 4 – 7. Men vilket är svaret?

Vi kan räkna ut det med hjälp av en tallinje. Vi startar på talet 4.

Eftersom det är en subtraktion så förflyttar vi oss åt vänster på tallinjen.

–5

2

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

1 • Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 2

2013-04-08 08.55

Vi markerar förflyttningen med en pil. Pilen slutar i talet –3.

Temperaturen är alltså –3 °C. 4 – 7 = –3

EXEMPEL

Beräkna med hjälp av tallinje. a) –5 + 9 b) –3 – 2

a) –5 + 9 = 4 –5

–4

–3

–2

0

–1

1

2

3

4

Du förlyttar dig från –5 och går 9 steg åt höger.

b) –3 – 2 = –5 Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

–7inte–6 4 –3ner 1–2 Det går utan –5 att du–växlar tiotal–1 till 10 ental: 10 – 8 = 2 Du har 7 tiotal kvar: 7 – 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2 – 0 = 2

Svar: a) 4

5

0

1

Du förflyttar dig från –3 och går två steg åt vänster.

b) –5

1 Vilket tecken ska stå mellan talen, < eller >?

a) 4

–2

b) –3 0

c) –19 –20

2 Vilken blev temperaturen?

Temp var Temp sjönk Temp blev a) b) c)

0 °C 2 °C –15 °C

5 °C 10 °C 3 °C

? ? ?

3 Vilka uträkningar visas?

a)

b) b

a

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

1 • Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 3

3

2013-04-12 12.28

4 a) –7 + 2

b) –7 – 2

c) 2 – 7

5 Vilka tal saknas för att likheterna ska stämma?

b) –8 = ? – 3

a) ? + 4 = 2

c) –8 + ? = –3

6 Vilket är nästa tal?

a) b)

–7 8

–3 7

7 a) 1 – 2 – 3

1 5

? ?

5 2

b) –1 – 2 – 3

c) –1 + 2 – 3

8 Vilka tal pekar pilarna på? a b

c

– 0,5 – 0,4 – 0,3 – 0,2 – 0,1

9 a) –2,5 + 0,7

d

0

0,1

0,2

b) 1,8 – 5,2

0,3

e f

0,4

0,5

0,6

c) –3,9 – 1,2

10 Vad visar termometern om temperaturen

a) stiger 5,4 °C

b) sjunker 3,6 °C

11 Avståndet mellan A och C är en tredjedel av

avståndet mellan A och B. Vilket tal är C? C

A

B 24

–42

12 I en magisk kvadrat är summan lika stor i alla rader, vågrätt, lodrätt

och diagonalt. Rita av kvadraterna. Fyll sen i de tomma rutorna med tal så att kvadraterna blir magiska. a) b) c) 9

–7 –2

–1

4 Summa: –6

4

2

7

–1

–2

Summa: 6

Summa: –9

1 • Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 4

2013-04-08 08.55

Förkortning och förlängning Förkortning

4 röd och i den 6 2 högra bilden är det som är röd. Men de 3 båda andelarna är lika stora.

I den vänstra bilden är

4 6

2 3

4 2 4 2 = . För att komma från till dividerar vi täljare och 6 3 6 3 nämnare med 2. Vi säger då att vi förkortar med 2.

4/2 2 4 = = 6/2 6 3 Alltså är

När vi har skrivit bråket med så liten nämnare som möjligt, säger vi att bråket är skrivet i enklaste form.

Förlängning

2 4 2 4 och är lika stora. För att komma från till så 3 6 3 6 multiplicerar vi täljare och nämnare med 2.

Bråken

Vi säger då att vi förlänger med 2.

2 2 ⋅2 4 = = 3 3 ⋅2 6 Jämföra bråk

Vilket tal är störst,

3 2 eller ? För att svara på den frågan kan vi göra 5 3

på två olika sätt.

1. Den ena metoden går ut på att skriva de båda bråken med samma nämnare. Det minsta tal som är delbart med 5 och 3 är 15. Därför kan vi skriva både femtedelar och tredjedelar som femtondelar. Vi säger att 15 är den minsta gemensamma nämnaren (MGN) till 5 och 3.

3 3 ⋅3 9 = = 5 5 ⋅ 3 15 2 10 2 ⋅5 = = 3 15 3 ⋅5 2 Vi ser att är störst.

3 1 • Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 5

5

2013-04-08 08.55

2. Den andra metoden går ut på att skriva bråken i decimalform.

3 = 0,6 5 2 = 0,666 666… ≈ 0,67 3 2 Även här ser vi att är störst.

3 13 Förkorta bråken.

a)

12 med 4 16

b)

8 med 8 24

c)

21 med 7 28

c)

15 27

14 Skriv bråken i enklaste form.

a)

10 25

b)

12 20

15 Förläng bråken så att nämnaren blir 36.

a)

4 9

b)

1 3

c)

3 4

b)

5 7 eller 6 9

c)

3 7 eller 4 10

16 Vilket tal är störst?

a)

3 1 eller 8 3

17 Skriv talen i storleksordning med det största talet först.

a)

2 3 7 , och 3 5 10

b)

5 11 17 , och 6 12 20

18 Vilka tal pekar pilarna på?

a)

b) 1 4

6

7 8

1 6

2 3

1 • Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 6

2013-04-08 08.55

Addition och subtraktion av brĂĽk 3 2 Bilden visar en addition av tvĂĽ brĂĽk, + .

4 4 =

+ 3 4

2 4

+

= 3+2 5 = 4 4

=

Bilden visar en subtraktion av tvĂĽ brĂĽk, 2

EXEMPEL

a)

a)

3 5

â&#x20AC;&#x201C;

1

1 5

5 7 + 9 9

1 4

3 1 â&#x20AC;&#x201C;1 .

5 5

=

b) 2

1

2 5

1 3 â&#x20AC;&#x201C;1 5 5

c)

! #

+ = = = = % % % %

b)

1

=

â&#x20AC;&#x201C;

2

=

"

â&#x20AC;&#x201C; = â&#x20AC;&#x201C; = ! ! ! ! !

5 3 + 8 4

FĂśrkorta med 3 innan du skriver brĂĽket i blandad form. Du kan ocksĂĽ fĂśrst skriva i blandad form och sen 12 3 1 Â =Â 1 = 1 . fĂśrkorta. DĂĽ fĂĽr du 9 9 3

Du växlar en av de 2 hela till femtedelar.

1 5 1 6 5 Eftersom 1Â =Â sĂĽ fĂĽr du att 2 Â =Â 1 = 1 .

5 5 5 5 5

! ! Â&#x2013; ! " + = + = + = = Â&#x2013; $ $ $ $ $ $ MGN = 8

Du har 0 ental och ska ta bort 8 ental.

Det gĂĽr inte utan att du växlar ner 1 tiotal till 10 ental: 10 â&#x20AC;&#x201C; 8 = 2 Du har 7 tiotal kvar: 7 â&#x20AC;&#x201C; 4 = 3 Subtrahera hundratalen: 2FĂśr â&#x20AC;&#x201C; 0 att = 2 kunna utfĂśra additionen mĂĽste brĂĽken skrivas med samma nämnare. Vi tar dĂĽ reda pĂĽ det minsta tal som är delbart med de bĂĽda nämnarna, i det här fallet 8 och 4.

Det talet är 8 och det är den minsta gemensamma nämnaren (MGN).

c)

Svar: a)

b)

!

c)

$

1 â&#x20AC;˘ Tal och räkning

001-010 UGamma_Kap 1_ny.indd 7

7

2013-04-08 08.55

utmaningen Matematikboken gamma

utmaningen

gamma

Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken. Utmaningen erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken Gamma.

Matematikboken

n, Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9.

Matematikboken Alfa, Beta, Gamma är avsedda för årskurserna 4–6.

Till Matematikboken Gamma hör följande komponenter: • • • •

Grundbok med facit • B-boken • Lärarhandledning Utmaningen • Onlinebok Bashäfte Grundbok A-boken

Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62.

Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.

Best.nr 47-10989-0 Tryck.nr 47-10989-0

UGamma_omsl_tryck.indd 1

Lennart Undvall Christina Melin Kristina Johnson Conny Welén

2013-04-12 12.08