PER-OLOF BENTLEY • CHRISTINE BENTLEY
MATTE~ MISSAR ORSAKER OCH ÅTGÄRDER
ETT ANALYSMATERIAL FÖR ÅK F-6
4711610_Omslag.indd 1
2017-09-13 10:03
ISBN 978-91-47-11610-2 © 2017 Per-Olof Bentley, Christine Bentley och Liber AB PROJEKTLEDARE Andreas
Persson Larshammar FORMGIVARE Eva Jerkeman PRODUKTIONSLEDARE Adam Dahl REDAKTÖR Peter
Första upplagan 1 REPRO: TRYCK:
Repro 8 AB, Stockholm Multivista, Indien 2017
KOPIERINGSFÖRBUD
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Undantag: Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade Får kopieras. Kopiering får dock endast ske till eleverna på den egna skolan, och kopiorna får ej på något sätt spridas utanför den egna skolans verksamhet.
Liber AB, 113 98 Stockholm Tfn 08-690 90 00
www.liber.se KUNDSERVICE TFN E-POST
4711610_INLAGA.indb 2
08-690 93 30, fax 690 93 01
kundservice.liber@liber.se
2017-09-13 13:00
Innehåll
6
Förord 5 Introduktion 6 Milstolpar, fallgropar och feltyper 6 Test och analysmallar, orsaker och åtgärder 6 Sammanställning och analys 7
1
2
Talbegreppet 8 Talraden och siffrorna 9 Interferensfel 10 Kopieringsunderlag och analysmallar 11 Orsaker och åtgärder 13 Interferens mellan notationssystem 14 Sammanställning 15
7
Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division 16
Huvudräkning med subtraktion
26
± 1-fel 26 Störst först-fel 26 Tiotalsfel 26 Mellanledsfel 26
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 27 Orsaker och åtgärder 31
4
Algoritmer av addition och subtraktion 36 Växlingsfel 36 Operationsfel 37
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 38 Orsaker och åtgärder 45
5
Multiplikationsalgoritm 49
Principalt restfel 61 Additivt restfel 62 Förkortningsfel 62 Ental-först-fel 62 Nollrestfel 63 Störst-först-restfel 63
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 64 Orsaker och åtgärder 69 Problemlösning 72 Subtraktion förväxlas med addition 72 Division förväxlas med multiplikation 72 Multiplikation förväxlas med addition 73 Division förväxlas med subtraktion 73
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 74 Orsaker och åtgärder 83
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 17
3
Divisionsalgoritm 61
8
Bråk – addition och subtraktion 86 Operationsfel 86 Beräkningsfel 86
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 87 Orsaker och åtgärder 92
9
Decimaltal – addition och subtraktion 94 Rak högerkantsfel 94 Talsortsfel 94 Störst först-fel 94 Decimalteckenfel 95 Växlingsfel 95 Mellanledsfel 95
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 96 Orsaker och åtgärder 103
Talsortsvis beräkningsfel 49 Rak högerkantsfel 49 Växlingsfel 50 Enradsfel 50
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 51 Orsaker och åtgärder 57
3
4711610_INLAGA.indb 3
2017-09-13 13:00
10
Decimaltal – multiplikation och division 108 Multiplikationsregelfel 108 Decimalteckenfel vid multiplikation 108 Multiplikationsfel 108 Divisionsregelfel 108 Decimalteckenfel vid division 109 Principalt restfel 109
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 110 Orsaker och åtgärder 119
11
13 14
Proportionella samband 134 Additivt jämförelsefel 134 Omvänt jämförelsefel 134 Inhomogent jämförelsefel 134 Del-helhet-jämförelsefel 135 Komplementärfel 135
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 136 Orsaker och åtgärder 143
Lösa ekvationer 151 Konsistensfel 151 Beräkningsfel 151
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 152 Orsaker och åtgärder 157
15
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 127 Orsaker och åtgärder 131
12
Dynamisk uppfattning 146 Statisk uppfattning 146
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 147 Orsaker och åtgärder 150
Procentberäkning 125 Rabattfel 125 Decimalteckenfel 125 Omvandlingsfel 125 Ungefärfel 126
Begreppet likhet 146
Vinklar 159 Storleksfel 159
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 160 Orsaker och åtgärder 163
16
Area och omkrets 164 Konservationsfel 164 Areafel 164 Komplementärfel 165 Omkretsfel 166
Kopieringsunderlag, analysmallar och sammanställning 167 Orsaker och åtgärder 173
4
4711610_INLAGA.indb 4
2017-09-13 13:00
Förord Utifrån mottagandet av vår bok Milstolpar och Fallgropar i Matematikinlärningen förstod vi att det fanns ett behov av ett ännu mer handfast analysmaterial för att kunna förstå orsakerna bakom elevernas misstag, samt för att åtgärda dessa. Det här analysmaterialet bygger på omfattande forskning inom TIMSSprojekten – Trends in International Mathematics and Science Study – ett internationellt forskningsprojekt som omfattar ett sextiotal länder. I Sverige deltog årskurs åtta år 2003, och från 2007 även årskurs fyra. Förutom själva kunskapsmätningen gjorde vi djupanalyser av vilka misstag eleverna gjorde i TIMSS 2003, 2007 och 2011 samt i TIMSS Advanced 1995 och 2008. Vid djupanalysen av TIMSS 2007 gjorde vi också en jämförelse med elevernas kunskaper i de högpresterande länderna Taiwan och Hongkong. År 2011 gjordes även en jämförelse mellan finska och svenska elevers prestationer. Gemensamt för samtliga djupanalyser var att eleverna hade bristande förståelse av de olika matematiska momenten. I samband med TIMSS 2007 gjorde vi även analyser av cirka 9 000 elevsvar på de Nationella ämnesproven i matematik för årskurs fem och nio. Dessutom gjordes djupintervjuer med drygt 500 elever som analyserats. Ett flertal av de misstagstyper som beskrivs i detta analysmaterial upptäcktes i dessa djupintervjuer. Resultat från den internationella och nationella forskningen har givetvis använts. Speciellt rör detta hur elever kan missuppfatta det matematiska innehållet, orsakerna bakom detta, och vilka åtgärder som lämpligen kan vidtas. Även om omfattande forskning ligger bakom analysmaterialet, så kan misstagstyper som ännu inte upptäckts dyka upp. Som lärare kan man aldrig vara helt säker på hur en elev förstår ett moment i matematiken, eftersom en och samma elev kan ha parallella uppfattningar om ett och samma begrepp och en och samma procedur. Tillsammans med Liber har vi gjort en omfattande utprövning av analysmaterialets testuppgifter och analysmallar där vi gått igenom drygt 80 000 elevsvar. Vår förhoppning är att analysmaterialet med dess beskrivningar av misstagstyper, dess orsaker och åtgärder ska ligga nära de vardagliga problem som du som lärare stöter på i undervisningen. Christine och Per-Olof Bentley
5
4711610_INLAGA.indb 5
2017-09-13 13:00
Introduktion Milstolpar, fallgropar och feltyper Momenten i kursplanens centrala innehåll har vi valt att benämna milstolpar. Dessa milstolpar måste eleverna förstå för att kunna fortsätta sin utveckling i matematik. Matematiskt innehåll som eleven inte förstår på avsett sätt kan annars utgöra en fallgrop som blockerar den fortsatta utvecklingen och gör det svårt att ta sig vidare på egen hand. Forskning visar att det finns generella misstag som ligger till grund för sådana fallgropar. Vid de olika milstolparna finns det oftast en eller flera sådana misstag som kan blockera elevens fortsatta inlärning. Dessa blockerande misstag benämner vi feltyper. För att en elev inte ska slås ut tidigt måste dess matematiska utveckling fortgå, vilket förutsätter att de blockerande misstagen undanröjs. För det krävs att orsaken till misstaget hittas och kan förklaras för eleven. Att leta efter orsaken kan vara svårt om man inte vet vad den kan tänkas vara. Känner man inte till tänkbara orsaker till ett misstag blir letandet planlöst, för att inte säga omöjligt. Det här analysmaterialet är tänkt för årskurs F–6 och har tillkommit för att underlätta lärarens arbete med att hitta och identifiera olika feltyper. Vi vill samtidigt visa läraren varför eleven gör dessa fel. Flera orsaker tycks etableras tidigt i elevens matematikundervisning, och kan om de inte avhjälps ligga kvar under flera år. Analysmaterialet bygger på omfattande forskning, också inom Sverige. Det fokuserar på de mest frekventa misstagen och deras orsaker. Vi hoppas materialet ska vara till hjälp för dig som lärare att på ett effektivt sätt följa upp elevens kunskapsutveckling i matematik. Test och analysmallar, orsaker och åtgärder Varje kapitel börjar med en kort beskrivning av de mest frekventa misstagen inom området, följt av test som ska avslöja elevernas misstag. Till de olika testen finns såväl facit som analysmallar, vilket gör det enkelt för dig som lärare att rätta elevernas svar.. Testen får kopieras. Till varje kapitel finns dessutom en sida för sammanställning där du kan sammanställa hela klassens resultat och enkelt se vilka feltyper du behöver arbeta med på grupp- och individnivå. Beskrivningar av orsakerna till feltyperna, samt förslag på konkreta åtgärder, finns sist i varje kapitel. Det kan finnas kombinationer av feltyper i en och samma lösning, vilket kan göra det svårare att avgöra orsaker och åtgärder. Ibland kan ett samtal med eleven hjälpa till att förklara hur felen hänger ihop och vilken orsak som ligger bakom ett misstag. Forskningen visar att de allra flesta fel har en strukturell orsak som måste åtgärdas, och att det är ovanligt med slarvfel eller slumpfel. Men en del elever skriver så slarviga siffror att de själva läser av dem fel.
Eleverna behöver bli medvetna om att slarvigt skrivna siffror kan leda till onödiga misstag.
6
4711610_INLAGA.indb 6
2017-09-13 13:00
Sammanställning och analys För varje milstolpe, kapitel, finns en sida ”Sammanställning – kopieringsunderlag”. Det ska du använda för att sammanställa de olika feltyper som eleverna i klassen uppvisar. Först fyller du i elevernas namn och klass. För varje milstolpe finns det ett antal olika feltyper vilka beskrivs före testen i kapitlet. Dessa feltyper hittar du högst upp i tabellen på sammanställningen. Medan du rättar testen med hjälp av analysmallar och facit ritar du ett streck för varje feltyp som uppvisas hos eleven. Det ger en tydlig översikt över dina elevers resultat och vilka feltyper du behöver arbeta med på grupp- och individnivå för att hjälpa eleverna att komma framåt i sin matematikutveckling. KOPIERINGSUNDERLAG
3.2 Sammanställning MILSTOLPE: Huvudräkning
med subtraktion
Mellanledsfel
Klass
Tiotalsfel
± 1-fel
Namn
Störst först-fel
Feltyper
Här drar du streck för hur många av respektive feltyp eleven har.
Testen och analysmallarna är mestadels konstruerade så att de kan läggas jämte varandra som figuren nedan visar. Det gör analysen av uppgifterna lättare att utföra och ökar överskådligheten.
3.1
3.1
Huvudräkning med subtraktion
A N A LY S M A L L
A N A LY S M A L L
KOPIERINGSUNDERLAG
Huvudräkning med subtraktion
NAMN: _________________________________________________________ KLASS: ___________ TID: ___________
1 a) 1 a) 13 – 2 = _____
b) 17 – 5 = _____
c) 9 – 4 = _____
d) 12 – 5 = _____
2 a) 2 a) 23 – 7 = _____
b) 34 – 5 = _____
c) 27 – 3 = _____
b) 32 – 3 = _____
c) 51 – 8 = _____
23 – 7 =
d) 55 – 8 = _____
3 a)
3 a) 63 – 7 = _____
13 – 2 =
d) 93 – 7 = _____
63 – 7 =
12
±1-fel
11
korrekt
10 9
±1-fel mellanledsfel
24 17
störst först-fel ±1-fel
16
korrekt
1 b) 17 – 5 = 10 – 3 + 2
2 b) 34 – 5 =
13
±1-fel
12
korrekt
11 2
±1-fel tiotalsfel
31 30
störst först-fel ±1-fel
29
korrekt
15
±1-fel
28
±1-fel
14
störst först-fel*
21
störst först-fel*
64 57
störst först-fel ±1-fel
56
korrekt
55 54
±1-fel störst först-fel*
3 b) 32 – 3 =
19
tiotalsfel
31 30
störst först-fel ±1-fel
29
korrekt
28 21
±1-fel störst först-fel*
19
tiotalsfel
17
4 a) 43 – 35 = _____
b) 36 – 29 = _____
c) 92 – 87 = _____
d) 23 – 17 = _____ 4 a)
5 a) 87 – 63 = _____
b) 83 – 79 = _____
c) 21 – 17 = _____
d) 63 – 38 = _____
5 a)
störst först-fel
13
störst först-fel
±1-fel
8
±1-fel
7
korrekt
7
±1-fel
6
±1-fel
2
störst först-fel*
3
störst först-fel*
27
mellanledsfel
16
störst först-fel
25
±1-fel
14
tiotalsfel
korrekt
6
störst först-fel*
87 – 63 = 24 23 17
6 a) 101 – 97 = _____
b) 139 – 132 = _____
c) 266 – 259 = _____
d) 322 – 316 = _____
6 a)
Får kopieras
3. Huvudräkning med subtraktion
27
mellanledsfel
14
tiotalsfel störst först-fel
6
störst först-fel*
5
±1-fel
101 – 97 = 4
Korrekt ±1-fel
Eleven inser att tiotalet måste minskas.
28
20 + 7
±1-fel
16
3
*
4 b) 36 – 29 =
korrekt
3. Huvudräkning med subtraktion
5 20 – 3
5 b) 83 – 79 =
4
korrekt ±1-fel
107
tiotalsfel
8
±1-fel
6
3 c) 51 – 8 =
4 c) 92 – 86 =
5 c) 21 – 17 =
±1-fel
3
6 b) 139 – 132 = 7
2 c) 27 – 3 =
tiotalsfel
12 9 43 – 35 = 8
1 c) 9 – 4 =
korrekt
6 5 4
±1-fel korrekt ±1-fel
25 24 23 14
±1-fel korrekt ±1-fel tiotalsfel
57 47 44 43 42
störst först-fel störst först-fel* ±1-fel korrekt ±1-fel
14 7 6 5 4
störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel*
16
störst först-fel
6
störst först-fel*
5 4 3
±1-fel korrekt ±1-fel
207 13 8
tiotalsfel störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel
6 c) 266 – 259 = 7
±1-fel
6
*
1 d) 12 – 5 =
2 d) 55 – 8 =
3 d) 93 – 7 =
4 d) 23 – 17 =
5 d) 61 – 38 =
13
störst först-fel
8 7 6 3
±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel*
53 48 47 46 43 3
störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel* tiotalsfel
94 87 86 85 84
störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel*
14 7 6 5 4 0
störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel* mellanledsfel
37 27* 24 23 22 13
störst först-fel störst först-fel* ±1-fel korrekt ±1-fel tiotalsfel
14 7
störst först-fel ±1-fel korrekt ±1-fel störst först-fel*
6 d) 322 – 316 = 6 5 4
Eleven inser att tiotalet måste minskas.
3. Huvudräkning med subtraktion
29
7
4711610_INLAGA.indb 7
2017-09-13 13:00
1
Talbegreppet
Ett av de mest centrala begreppen i elevers matematikutveckling är talbegreppet. Dess egenskaper är många. Förmågan att behärska talraden och att kunna skriva siffrorna bör undersökas först, och sedan övergången mellan språklig kod och sifferkod. Misstag som rör talbegreppets egenskaper kan indikera fördröjd aritmetisk utveckling. För att beräkna subtraktioner finns två delvis annorlunda strategier. Många elever blandar ihop dessa och då uppstår ett interferensfel. I samband med övergången mellan språklig kod och sifferkod aktualiseras de arabiska och indiska siffersymbolerna. De elever som har arabiska som modersmål använder de indiska siffersymbolerna och måste lära sig de arabiska som används i västvärlden. Att särskilja de olika symbolerna kan vara svårt. Materialet att undersöka hur detta går för eleven finns mot slutet av kapitlet. I kapitlet avhandlas följande: 1.1 Talraden och siffrorna 1.2 Interferensfel 1.3 Orsaker och åtgärder, interferensfel 1.4 Interferens mellan notationssystem
8
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 8
2017-09-13 13:00
1.1
Talraden och siffrorna
Intervjufrågor En initial analys utgörs av en intervju av var och en av eleverna. Frågeställningarna rör begreppet tal. Följande frågor kan användas. 1. Kan du räkna till ett hundra? Börja från 39 och räkna framåt! 2. Räkna bakåt från 37 till noll! Beroende på elevens utveckling kan ett mindre tal eller större tal användas. 3. Med hjälp av ungefär femton objekt, helst av olika beskaffenhet, ber du eleven räkna dem. Det är bara bra om eleven lägger objekten i en viss ordning, eftersom det då är lättare att hålla reda på vilka objekt som räknats och vilka som inte räknats. 4. Skriv fem, sju och nio! Skriv tjugosju, fyrtiofem, sextioåtta och trettioett! Detta måste gå relativt fort, så att du ser om eleven har automatiserat sifferskrivandet eller inte. Om du ser att eleven sitter och funderar på hur en siffra ska se ut, så har automatiseringen inte utvecklats till fullo. Då krävs mer träning av sifferskrivandet. Är några siffror spegelvända? Är några av talen omkastade? Tjugosju skrivs då 72. Är några av talen sammanlänkade? Tjugosju skrivs då 207. 5. Beräkna 2 + 3, 1 + 5 och 3 + 4! Ge en uppgift i sänder! Räknar eleven från början eller från delen?
Analysmall Om eleven … • inte klarar att räkna framåt och bakåt förhållandevis säkert • skriver spegelvända siffror • skriver omkastade tal • skriver sammanlänkade tal • räknar från början och inte från delen … så har eleven fördröjd aritmetisk utveckling, vilket betyder att eleven kan ligga cirka en termin efter i sin matematikutveckling. Alla kriterierna behöver dock inte vara uppfyllda.
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 9
9
2017-09-13 13:00
1.2 Interferensfel Vid beräkning av subtraktioner finns två strategier. Vilken som används beror på termernas storlek. Den första strategin innebär en nedräkning av det antal enheter som den andra termen anger. Svaret läses av i talraden. Strategin används särskilt då den andra termen är förhållandevis liten. EXEMPEL
9–3=6 6
7 8 9 3 2 1 Eleven räknar ned de 3 enheter som den andra termen anger och kommer till talet 6, vilket också är svaret på subtraktionen. Eleven läser alltså av svaret i talraden. Den andra strategin innebär en nedräkning till den andra termen. Svaret utgörs av antalet nedräknade enheter. Strategin används då båda termerna ligger relativt nära varandra. EXEMPEL
43 – 38 = 5 38
39 40 41 42 43
5 4 3 2 1 Eleven räknar ned till 38. De 5 nedräknade enheterna utgör svaret. En sammanblandning av nedräkning till den andra termen och nedräkning av det antal enheter som den andra termen anger innebär ett interferensfel. EXEMPEL
9–7=7 7
8 9 2 1 Eleven använder den andra strategin och räknar ned till den andra termen som är 7, vilket innebär 2 enheter. Detta borde varit svaret. Men eleven övergår i stället till den första strategin, för vilken svaret ska avläsas i talraden. Det leder till att eleven svarar med talet 7. Misstaget är relativt vanligt.
10
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 10
2017-09-13 13:00
KOPIERINGSUNDERLAG
1.2 Interferensfel NAMN: __________________________________________________________________ KLASS: __________________
Beräkna
1 a) 8 – 5 =
b) 7 – 2 =
c) 9 – 7 =
2 a) 10 – 8 =
b) 6 – 4 =
c) 11 – 4 =
Får kopieras
4711610_INLAGA.indb 11
1. Talbegreppet
11
2017-09-13 13:00
A N A LY S M A L L
1.2 Interferensfel
5 interferensfel
1 a) 8 – 5 =
3 korrekt
2 a) 10 – 8 = 2 korrekt
1 b) 7 – 2 =
2 b) 6 – 4 =
5
korrekt
2
interferensfel
4
interferensfel
2
korrekt
1 c)
2 c)
9–7=
11 – 4 =
7
interferensfel
2
korrekt
4
interferensfel
7
korrekt
8 interferensfel
12
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 12
2017-09-13 13:00
1.3
Orsaker och åtgärder, interferensfel
Orsak till interferensfel Sammanblandningen av de två strategierna, nedräkning till den andra termen och nedräkning av det antal enheter som den andra termen anger, beror på att strategierna är delvis lika till sin natur. I båda fallen handlar det om en nedräkning. Det är avläsningen av resultatet som sker på olika ställen. Orsaken till interferensfel beror därför troligen på att eleven helt enkelt har svårt att hålla isär de två strategierna.
Åtgärd för att undvika interferensfel Initialt är det viktigt att endast ta upp strategin nedräkning av det antal enheter som den andra termen anger. Den andra strategin, nedräkning till den andra termen, kan tas upp betydligt senare, då den första strategin har lärts in och internaliserats hos eleverna. På så sätt undviks en sammanblandning av strategierna. Det finns elever som har automatiserat interferensfel och som konsekvent svarar med den andra termen 9 – 7 = 7. Detta är nödvändigt att ändra på så fort som möjligt.
Interferens mellan notationssystem I västvärlden används det arabiska notationssystemet med följande siffersymboler:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 I arabisktalande länder förekommer det indiska notationssystemet med följande siffersymboler:
۹, ۸, ۷, ٦, ٥, ٤, ۳, ۲, ۱
9,
8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1
I de arabisktalande länderna anges symbolerna från höger till vänster, vilket är den läsriktning man använder där. Lägg märke till att siffersymbolerna för nio och ett i stort sett är desamma, medan symbolen för sju i vårt notationssystem står för talet sex i det indiska. Elever med arabiska som modersmål blandar lätt ihop siffersymbolerna i de båda notationssystemen. För att utröna om detta sker kan uppgifterna i kopieringsunderlaget 1.4 användas.
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 13
13
2017-09-13 13:00
KOPIERINGSUNDERLAG
1.4 Interferens mellan notationssystem NAMN: __________________________________________________________________ KLASS: __________________
Beräkna
14
1 a) 2 + 4 =
b) 7 – 3 =
c) 9 – 7 =
2 a) 10 – 3 =
b) 13 – 4 =
c) 12 – 5 =
1. Talbegreppet
4711610_INLAGA.indb 14
Får kopieras
2017-09-13 13:00
KOPIERINGSUNDERLAG
1.5
Sammanställning
MILSTOLPE: Talbegreppet Feltyper
Får kopieras
4711610_INLAGA.indb 15
1. Talbegreppet
Interferensfel
Räkna från början
Sammanlänkade tal
Omkastade tal
Klass
Spegelvända siffror
Namn
Framåt- och bakåträkning till 100
Fördröjd aritmetisk utveckling
15
2017-09-13 13:00
2
Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division
Testen i det här kapitlet ska göras på tid för att det ska gå att bedöma om kombinationerna är automatiserade. En beräkning bör bara ta cirka 3 sekunder att utföra. Totalt innebär det att varje test bör ta runt 4 minuter. Tar det längre tid är det troligt att beräkningen inte har automatiserats. För att förstå vad automatisering innebär behöver vi kort förklara hur arbetsminnet fungerar. Arbetsminnets fyra delar är korttidsminnen och kan därför bara hålla sitt innehåll några tiotal sekunder. För att arbetsminnet ska fungera optimalt behöver resultaten av beräkningar kunna hämtas från långtidsminnet. En av korttidsminnets delar är den exekutiva funktionen. Den samordnar verksamheten och svarar för att rikta uppmärksamhet och koncentration. Här sker de matematiska beräkningar vars resultat inte kan hämtas från långtidsminnet. I den episodiska bufferten, en annan del av korttidsminnet, lagras emotioner förknippade med den situation i vilken inlärningen skett. Dessa emotioner medverkar vid avgörandet om det inlärda överförs till långtidsminnet eller inte. Under dagen lagras information successivt i hippocampus, som är en mellanlagringsstation. Under sömnen kan informationen sedan överföras till långtidsminnet. Denna överföring förbättras om det finns positiv eller negativ respons förknippad med informationen. Likgiltighet däremot försämrar överföringen och kan leda till att den helt uteblir. Intresse, engagemang och beröm – men även negativ kritik med en utvecklande förklaring från läraren – är exempel på emotioner som stimulerar elevens inlärning. När resultat hämtas från långtidsminnet har operationerna automatiserats och talfakta sägs ha utvecklats. Det leder exempelvis till att eleven snabbt kan genomföra en beräkning och skriva ett svar. Men även inkorrekta resultat kan överföras och lagras i långtidsminnet. Det leder till att eleven ibland svarar rätt och ibland fel på en beräkning. Att få bort en sådan felinlärning innebär ofta ett omfattande arbete. Vid analysen av elevernas testresultat i detta kapitel ska du bara avgöra rätt eller fel. Skulle du upptäcka att några operationers resultat avviker en enhet så kan du låta eleverna göra testet huvudräkning med subtraktion i kapitel 3. Anteckna den tid varje elev tar på sig att utföra varje test!
16
2. Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division
4711610_INLAGA.indb 16
2017-09-13 13:00
KOPIERINGSUNDERLAG
2.1 Automatisering av addition NAMN: _________________________________________________________ KLASS: ___________ TID: ___________
1 a) 4 + 8 = _____
b) 7 + 2 = _____
c) 5 + 8 = _____
d) 3 + 6 = _____
2 a) 9 + 5 = _____
b) 8 + 5 = _____
c) 9 + 7 = _____
d) 3 + 7 = _____
3 a) 2 + 9 = _____
b) 9 + 9 = _____
c) 6 + 4 = _____
d) 4 + 9 = _____
4 a) 7 + 8 = _____
b) 6 + 6 = _____
c) 5 + 5 = _____
d) 8 + 3 = _____
5 a) 4 + 4 = _____
b) 8 + 8 = _____
c) 7 + 6 = _____
d) 8 + 2 = _____
6 a) 7 + 7 = _____
b) 6 + 5 = _____
c) 9 + 6 = _____
d) 8 + 9 = _____
FÃ¥r kopieras
4711610_INLAGA.indb 17
2. Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division
17
2017-09-13 13:00
A N A LY S M A L L
2.1 Automatisering av addition
18
1 a) 4 + 8 = 12
b) 7 + 2 = 9
c) 5 + 8 = 13
d) 3 + 6 = 9
2 a) 9 + 5 = 14
b) 8 + 5 = 13
c) 9 + 7 = 16
d) 3 + 7 = 10
3 a) 2 + 9 = 11
b) 9 + 9 = 18
c) 6 + 4 = 10
d) 4 + 9 = 13
4 a) 7 + 8 = 15
b) 6 + 6 = 12
c) 5 + 5 = 10
d) 8 + 3 = 11
5 a) 4 + 4 = 8
b) 8 + 8 = 16
c) 7 + 6 = 13
d) 8 + 2 = 10
6 a) 7 + 7 = 14
b) 6 + 5 = 11
c) 9 + 6 = 15
d) 8 + 9 = 17
2. Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division
4711610_INLAGA.indb 18
2017-09-13 13:00
KOPIERINGSUNDERLAG
2.2 Automatisering av subtraktion NAMN: _________________________________________________________ KLASS: ___________ TID: ___________
1 a) 3 – 2 = _____
b) 8 – 3 = _____
c) 6 – 5 = _____
d) 9 – 7 = _____
2 a) 9 – 2 = _____
b) 4 – 2 = _____
c) 8 – 5 = _____
d) 6 – 3 = _____
3 a) 9 – 6 = _____
b) 15 – 4 = _____
c) 4 – 3 = _____
d) 9 – 8 = _____
4 a) 8 – 4 = _____
b) 4 – 3 = _____
c) 5 – 3 = _____
d) 8 – 2 = _____
5 a) 9 – 5 = _____
b) 7 – 2 = _____
c) 8 – 7 = _____
d) 5 – 2 = _____
6 a) 7 – 5 = _____
b) 14 – 9 = _____
c) 7 – 4 = _____
d) 9 – 3 = _____
Får kopieras
4711610_INLAGA.indb 19
2. Automatisering av addition, subtraktion, multiplikation och division
19
2017-09-13 13:00
MATTEMISSAR – ORSAKER OCH ÅTGÄRDER är ett handfast analysmaterial i matematik för årskurs F–6. Materialet hjälper dig som lärare att identifiera de vanligaste misstagen eleverna gör, och klarlägga de innehållsliga orsakerna bakom dem. Många av dessa orsaker etableras tidigt och kan ligga kvar under många år och blockera den fortsatta matematikutvecklingen om de inte åtgärdas. Varje kapitel börjar med en beskrivning av de vanligaste misstagen inom området, och följs av kopieringsunderlag för testen. Till dessa finns analysmallar som gör det lätt att rätta elevernas svar och identifiera misstagen. Även underlag för sammanställning av elevernas resultat finns, där du får en överblick över deras misstag. Orsakerna och åtgärderna till misstagen beskrivs sist i varje kapitel.
MATTEMISSAR – ORSAKER OCH ÅTGÄRDER finns även för årskurserna 7–9 och Gy/vux.
Författarna har även skrivit MILSTOLPAR OCH FALLGROPAR I MATEMATIKINLÄRNINGEN som redogör för de milstolpar som elever måste uppnå för att kunna gå vidare, och hur de som hamnat i fallgropar kan få hjälp. Läs mer på liber.se. om författarna: Per-Olof Bentley: lärarutbildare, fil. dr. i matematikdidaktik, docent Göteborgs universitet och har varit Skolverkets expert vid djupanalysen av timss-resultaten i Sverige. Christine Bentley: fil. dr. i språkdidaktik, forskare och lärare med lång erfarenhet av matematikundervisning.
Best.nr 47-11610-2 Tryck.nr 47-11610-2
4711610_Omslag.indd 2
2017-09-13 10:03