UPPDRAG MATTE:
Mattespanarna med problemlösning i fokus MATTESPANARNA är en ny matematikserie för årskurs 4 till 6,
helt baserad på Lgr 11:s kursplaner i matematik!
Uppdrag: Matte
Grundboken innehåller en lite längre genomgång av innehållet. Därefter delas kapitlet in i tre nivåer. I A-böckerna finns dessutom ett extra startkapitel där eleven repeterar föregående årskursmoment.
Mattespanarna ingår i serien Uppdrag: Matte, en helt ny serie i matematik för förskoleklass t. o. m. årskurs 9.
6A
En spännande berättelse inleder varje kapitel och eleverna utmanas att hjälpa Mattespanarna att lösa kluriga detektivuppdrag. Problemlösning och att använda de matematiska begreppen i en inspirerande kontext hjälper eleven att förstå innehållet i respektive kapitel.
Arbete på 3 nivåer
I slutet av boken finns läxor i tre nivåer och ett avsnitt med extra problem – Sherlock Holmes Klurigheter.
A
A
6
B
2 grundböcker
Gunnar Kryger • Andreas Hernvald Hans Persson • Lena Zetterqvist
Mattespanarna årskurs 6 består av:
B
2 lärarböcker
Spanarboken
Läs mer på www.liber.se
Best.nr 47-10136-8 Tryck.nr 47-10136-8
OMS_Mattespanarna 6A_U.indd 1
MATTESPANARNA
Matte ska vara spännande och roligt!
6
e t t a M narna a p s
A
2013-03-07 14.10
ISBN 978-91-47-10136-8 © 2013 Andreas Hernvald, Gunnar Kryger, Hans Persson, Lena Zetterqvist och Liber AB Maria Granler Ulrika Enforsen, Lotta Rennéus OMSLAG Marta Coronel, Ulrika Enforsen TECKNINGAR Jenny Karlsson BILDREDAKTÖR Mattias Josefsson FOTO Shutterstock PRODUKTION Eva Runeberg Påhlman REDAKTION
FORMGIVARE
Första upplagan 1 TRYCK REPRO
Polen 2013 Repro 8 AB, Stockholm
Tack till elever och lärare på Blåsut skola, Vänersborg, Nytorpsskolan, Rönninge, Alviksskolan, Bromma och Hagsätraskolan, Bandhagen som har testat våra uppgifter.
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, gsutöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsas bruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas
UTMANINGEN
KLURIGHETEN
mellan upphovsrättsorganisationer och huvudmän för utbildningssamordnare t.ex. kommuner/universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrätts-d lagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväll analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn: 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn: 08-690 93 30, fax: 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
2
001-005 00_Mattespanarna 6A_innehall.indd 2
2013-03-12 13.51
INNEHÅLL
STARTKAPITEL >>> 6 Repetition från åk 5 KAPITEL 1
Tal och mönster >>> 14 Bråkform, procentform och decimalform Bråkform och blandad form Mönster och algebra Binära talsystemet
KAPITEL 2
Räkning >>> 44 Ekvationer och uttryck Multiplikation och division med decimaltal Blandade problem
KAPITEL 3
Geometri >>> 72 Geometriska kroppar Cirkeln Likformighet, skala och förhållande Geometriska problem
KAPITEL 4
Enheter >>> 96 Växling och uppskattning Problemlösning med enheter
KAPITEL 5
Diagram, kombinatorik och sannolikhet >>> 118 Kombinatorik och sannolikhet Olika diagram Blandade problem
LÄXOR
>>> 140
SHERLOCK HOLMES KLURIGHETER >>> 162
3
001-005 00_Mattespanarna 6A_innehall.indd 3
2013-03-07 15.31
Så här fungerar Mattespanarna na För att du ska bli en duktig problemlösare vill vi: • göra det roligt för dig att öva • ge olika knep för hur du kan tänka • erbjuda lagom svåra uppgifter!
Matte är roligt när du hittar bra sätt att tänka. Då är det enklare att lösa olika problem.
ETT KAPITEL BÖRJAR MED ETT SPANARUPPDRAG
U MA PPD TT RA E G
:
TTE SPAN ARBO 6 KEN ÅK
ÅK
ARN A
Spana
n r b o ke
Lena Zette
rqvist
PAN MAT TES
6
Vi börjar varje kapitel med ett spännande mysterium. Du ser det i grundboken och får hela berättelsen i Spanarboken. Här får du fundera på ett klurigt uppdrag tillsammans med dina klasskompisar.
1
1
Startrutan Är påståendena sanna? Skriv ja eller nej.
I kontraktet står att Ted ska jobba motsvarande 20 % av september månads arbetstimmar. En arbetsdag är 8 timmar lång och antalet arbetsdagar i september är 25. I listan över spelningar visas uppskattningar av hur lång tid en spelning kan tänkas ta. Måste Ted ta alla spelningarna enligt kontraktet? Hur många måste han ta? KUND
DATUM
AVSATT TID
S Andersson
3 september
6 timmar
J Heyman
4 september
1 2
arbetsdag
K Buljat
7 september
3 4
arbetsdag
A Einarsson
8 september
1
12,93 är en tiondel mindre än 13,03.
2
3 · 4,5 är lika mycket som 12,5.
3
1 4
4
290 adderat med 310 är lika mycket som 600.
5
Procent kan betyda en hundradel ibland, men inte alltid.
10 september
1,25 arbetsdag
G Miltetic
12 september
50 % av en arbetsdag
P Westerlund
13 september
1 2
6
25 % kan skrivas som 0,25 och 4.
7
Fyra hela och en tredjedel är samma sak som tretton tredjedelar.
arbetsdag arbetsdag
S Persson
16 september
1 4
E Sköld
17 september
3 timmar
8
Om 5 av något motsvarar 4, så är det hela 30.
9
INNEHÅLL
1
som du ska arbeta med och exempel på hur du kan använda kunskaperna.
1
är dubbelt så mycket som 5 .
75 % av en arbetsdag
L Frankel
KAPITEL
KAPITEL
Tal och mönster
Teds gäng
KAPITEL
KAPITEL
UPPDRAG:
KAPITEL 1
1
1
1
Bråkform, procentform och decimalform
uttrycka för att kunna olika sätt. samma tal på
för att kunna beskriva bråk som är större än 1.
Bråkform och blandad form
för att kunna lösa problem som ofta dyker upp i vardagen, t.ex. ”Hur många kronor sänks priset med vid 40 % rabatt?”
Problem med bråk och procent
Algebra och mönster för att kunna beskriva ett mönster på ett tydligt och helt korrekt sätt.
40 % av 50 är 20.
Binära talsystemet 10 I det binära talsystemet kan man inte skriva talet 3.
för att känna till andra sätt att skriva kriva tal på.
Vilka tre tal följer på detta mönster? 8
VIKTIGA BEGREPP
14
TA L OCH O C H MÖNSTER M Ö NSTER
15
Sedan börjar du på en gemensam grundkurs i grundbok 6A. Du får lära dig enkla och smarta sätt att tänka som du bl.a. kan använda för att lösa uppdragen.
16
4
2
algebra, bråkform, procentform och decimalform, blandad form, binära talsystemet
TA L O C H M Ö NSTER
TAL O C H M Ö N ST E R
17
Först kommer startrutan. Här får du syn på vad du redan kan och får även chans att repetera. Sedan följer en beskrivning av kapitlets innehåll och exempel på vad du kan ha det till. I slutet av boken finns läxor till varje kapitel. Läxorna, precis som spåren i grundboken, finns i tre nivåer. Allra sist finns Sherlock Holmes klurigheter, ett avsnitt med problemlösningsuppgifter.
4
001-005 00_Mattespanarna 6A_innehall.indd 4
2013-03-07 15.32
KAPITEL
KAPITEL
7
Bråkform, procentform och decimalform
Hur många procent är färgade i varje cirkel? a)
b)
c)
d)
e)
Minns du att tal kan skrivas på många olika sätt; som bråk, procent och med decimaler?
1
1 8
3 5
1
av bollarna är röda.
25 % av kvadraten är färgad.
Hur många procent är färgade i dessa bilder? a)
Den stora plattan är 1. Bilden visar talet 1,3.
Hur stor del utgör de röda blommorna av buketterna? a))
2
b))
b)
c)
d)
e)
f)
c)
Para ihop bråken med rätt bokstav på tallinjen. A
B
D
C
9 10
0
3
9
E 1 3
3 4
1 5
3 5
Vilka tal visar bilderna? a)
b)
c)
d)
1
Bråk kan skrivas på olika sätt. Vilka bråk visar bilderna? a)
SPANARBOKENS UPPDRAG SPANAR
b)
c)
d)
e)
f) 10 Para ihop rätt tal med rätt bokstav på tallinjen. A
1
B
C
D
E 2,08
2
4
Rita en bild som visar att 5 och 10 är lika mycket.
5
Varje rad visar olika bråk med samma värde. Fyll i det som saknas. F F F = = a) 1 = 2 = 3 F 9 12 F
0
6
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
2,8 0,9
3,0
1,4 1,15
Vilka bråk har samma värde? 4 10
1 10
6 18
3 4
8 16
2 5
1 3
F F 4 F = = = b) 1 = 6 12 18 F F
11 Rita en tallinje mellan 0 och 1. Sätt sedan ut ett valfritt tal
6 8
i bråkform, ett tal i decimalform och ett tal i procentform.
1 2 2 20
c) Hur kan man tänka för att växla till andra bråk? 18
GRUNDSKURS G
TAL OCH MÖNSTER
TAL OC H MÖNSTE R
19
Grundkursen är gemensam för alla elever.
73 Skriv följande tal i decimalform. a) 3 b) 3 5 4
66 Skriv följande tal i procentform. b) 0,3 a) 3 4 d) 0,25 c) 2 5
75 Hur mycket är
71 a) Hur många kvadrater behövs det för att göra figur 4 och 5 i mönstret?
a) Hur stor är rabatten i kronor? Figur 1
Figur 2
Figur 3
b) Vad kostar tröjan nu?
b) Beskriv hur mönstret fungerar.
1
3 4
2
1 3
77 För ett par byxor behöver man bara betala 20 % av priset. De kostar nu 80 kronor. Vad kostade byxorna innan sänkningen?
c) Vilken av följande regler passar ihop med mönstret?
____________ form
7 5
K=n+1
K=n+2
K=n·2
78 a) Beskriv hur mönstret fungerar.
K=n·3
Kommer du ihåg att K står för antalet kvadrater och n står för figurens nummer?
9 2
69 Nadia köper en påse med 45 kolor till fredagsmyset. När kvällen är slut har hon ätit upp 2 av kolorna.
72 Hur många siffrorr finns finns i
a) Hur stor del av kolorna har hon kvar?
b) det binära talsystemet
b) Skriv en regel som passar ihop med mönstret.
a) vårt talsystem
5
79 Nämn en skillnad och en likhet mellan vårt talsystem och det binära talsystemet.
b) Hur många kolor har hon kvar?
GRÖNT SPÅR
BLÅTT SPÅR
RÖTT SPÅR o
3
o
Det var lätt. Gå till SPÅR
o
2
Det var svårt. Gå till SPÅR
Hur gick det?
Det var lätt. Gå till VILKET SPÅR? B
TAL OC H MÖNSTE R
31
Om ”Vilket spår? A” var svår går du direkt till det gröna spåret. På rätt spår? DIAGNOS
EXTRA: SHERLOCK HOLMES SPEL REPETITION
SPÅR KAPITEL
PÅ RÄTT SPÅR?
1
Det var svårt. Gå till SPÅR
Hur gick det?
TAL OCH MÖNSTER
o
30
DIAGNOS
B c) 0,05
i blandad form? Förklara hur du tänker.
76 En tröja realiseras med 30 %. Innan sänkningen kostar den 200 kr.
3
67 Vad är störst, 0,7 eller 5 ? 68 Fyll i det som saknas. Bråkform
c) 30 %
74 Skriv följande tal i procentform. a) 0,9 b) 4 5 25 2
DIAGNOS
o
Vilket spår? B
1
70 Nadias syster åt 6 kolor, vilket var 3 av antalet kolor i hennes påse. åse. Hur många kolor hade hon från början?
65 Skriv följande tal i decimalform. a) 1 b) 1 10 2 c) 4 d) 20 % 10
VILKET SPÅR? B
o
VILKET SPÅR? A
o
DIAGNOS
DIAGNOS
o
DIAGNOS
Vilket spår? A
A
NÅGRA PROBLEM
91 En fjärdedel av åskådarna på Alelunds IP är 60 barn. Hur många åskådare finns det totalt?
1
97 Skriv följande tal i decimalform. a) 1 b) 50 % 5
93 Ett år är genomsnittet av antalet besökare på fotbollsmatcherna 250 st. Året därpå ökar genomsnittet med 20 %. Hur stort är genomsnittet då?
92 Nästa match har 50 % färre åskådare. Hur många kom denna gång?
94 Att räkna ut 75 % av 120 låter svårt. Hur kan du göra för att det ska bli lättare?
MÖNSTER OCH ALGEBRA
c) 10 %
d) 1 4
98 Skriv följande tal i procentform. a) 1 b) 0,2 10
c) 3 5
d) 0,75
99 Skriv i blandad form. b) 5 a) 5 2 3
c) 9 4 3
Figur 1
Figur 2
100 Misha åker till köpcentret med 400 kr. Han handlar för 4 av sina pengar. a) Hur stor del av pengarna har kan kvar?
Figur 3
Det finns olika sätt att beskriva mönstret här ovanför: ”Antalet cirklar ökar med 2 varje gång” eller ”antalet cirklar är figurens nummer multiplicerat med 2”. Den sista beskrivningen är bättre, eftersom du då snabbt kan räkna ut hur många cirklar det finns i figur nummer 40 (80 st) eller nummer 100 (200 st). Ett annat sätt att beskriva det är med en regel: Antal cirklar (K) = figurens nummer (n) · 2 eller K = n · 2
b) Hur mycket handlar han för?
95 a) Vilket är det bästa sättet att beskriva hur många stjärnor det finns i följande mönster?
1
101
Osman följer med Misha. Han gör av med 200 kr, vilket är 3 av hans pengar. Hur mycket pengar har Osman med sig till köpcentret?
102
a) Hur många cirklar behövs det för att göra figur 4 och figur 5 i det här mönstret?
b) Hur många stjärnor behövs det till figur 8?
När du är klar, prata med din lärare.
c) Hur många stjärnor behövs det till figur 20? d) Hur många stjärnor behövs det till figur 100?
UTVÄRDERING
e) Vilken eller vilka regler beskriver sambandet mellan antal stjärnor (K) och figurens nummer (n)?
Figur 1
K=4+n
Figur 2
K=n·3
Figur 3
K=n+3
Figur 1
K=4·n
Figur 2
Figur 3
b) Beskriv hur mönstret fungerar. 96 Till vilket mönster passar regeln?
c) Vilken regel passar ihop med mönstret?
A Figur 1
Figur 2
Figur 3
K=n·5 B
K=n·3+1
Figur 3
K=n+3
K=n·3
K=n·4
Figur 2 Figur 1
C Figur 1 Figur 2 Figur 3
o
o
o
TAL OCH MÖNSTER
o
34
TAL OC H MÖNSTE R
35
Fortsätt annars på ”Vilket spår? B” som är en lite svårare diagnos. Sedan väljer du väg igen. Var ”Vilket spår? B lagom eller svår, går du till det blå spåret. Var det enkelt går du till det röda spåret där utmaningar väntar på dig!
NYTT UPPDRAG
103
= 10 % = 0,1
1 5
= 20 % = 0,2
1 4
= 25 % = 0,25
1 2
= 50 % = 0,5
Para ihop talen med rätt bokstäver på tallinjen. A
B
C
D
E
F
G
H
5 10
I
0
1
Svar: 2
0,25
75 % 0,10 3 10 0,65
3 5
107
2 5
a)
4 10
3
3
b) 10 eller 0,2
b) 80 %
c)
c) 85 % eller 4
=
Skriv i bråkform.
20 %
1
3
1
c) 8 2
b) 3 8
a) 4 6
108 Skriv i blandad form.
4
17
b) 6
21
c) 3
D Rea! Vi drar av
2 5
2 10
19
26
a) 2 eller 3
25
42
b) 4 eller 8
2
a) 13 5 129
a) 5 % av 500
112
25 elever är med i skolans friidrottslag. Det motsvarar 10 % av alla elever på skolan. Hur många elever går på skolan?
113
Hälften av alla elever på en annan skola har fotboll som favoritsport, en fjärdedel väljer innebandy och 60 elever föredrar någon annan fritidsaktivitet. Hur många går på den här skolan?
Misha 1 1 % av 400 = 100 av 400 1 100 av 400 = 4 5 % av 400 = 4 · 5 = 20
Använd Mishas eller Markos tankesätt för att beräkna
Skriv i blandad form. b) 43 a) 31 6 4
128 Skriv i bråkform.
Växla till blandad form så kanske du ser svaret!
25
Förklara hur de tänker och hur de gör sin beräkning. 111
BLANDADE PROBLEM
1
127
109 Vilket är störst?
d) 5 5
cm.
av priset!
MÖNSTER OCH ALGEBRA BRÅKFORM OCH BLANDAD FORM Hur växlar du 5 till blandad form? I femmans tabell hittar vi 30 (6 · 5) som närmast under. 33 3 Det innebär att 5 räcker till 6 hela. 5 blir över. 33 3 5 = 6 5. Hur växlar vi 12 6 till bråkform? 12 hela omvandlar vi till sjättedelar, 12 · 6 = 72. Vi hade också en ”lös” sjättedel: 72 + 1 = 73. 1 73 12 6 = 6 .
1 4
d) 8
Marko och Misha ska räkna ut 5 % av 400. De gör så här:
Marko 10 % av 400 = 10 av 400 1 10 av 400 = 40 40 5 % av 400 = 2 = 20
A Vid en undersökning visade det sig att 0,5 av alla som blev tillfrågade tyckte att de hade för låg lön. B Fästingar kan vara riktigt små, ibland runt
=2
BLANDADE PROBLEM
Behåll meningarna som de är eller byt ut uttrycket. Förklara hur du tänker för varje mening.
E Om vi fyra delar lika på tårtan så får vi 0,25 var.
9 4
Till en del av uppgifterna kan det vara bra att använda metoderna rita en bild eller tänk logiskt och räkna. Läs mer på sidan 25 om du behöver repetera.
1
106 När passar det att använda bråkform, procentform och decimalform?
Svar:
90 %
110
3 5
C Jag har arbetat mest, jag tycker jag ska ha 75 % av det vi tjänat in.
9
EXEMPEL Skriv 4 i blandad form. Det behövs 4 fjärdedelar för att få ihop till en hel. 9 fjärdedelar räcker till två hela för 4 fjärdedelar + 4 fjärdedelar = 8 fjärdedelar. Då blir det 1 ”lös” fjärdedel över.
12 5
14
a) 0,45 eller 55 %
105 Vilket decimaltal hör ihop med
3
33
2
EXEMPEL Skriv 2 5 i bråkform. Varje hel kan du växla till 5 femtedelar. 2 hela ger: 5 femtedelar + 5 femtedelar = 10 femtedelar. Då har du 10 femtedelar + 2 ”lösa” femtedelar = 12 femtedelar.
a) 5
104 Vilket är störst?
2
När du växlar mellan bråkform och blandad form kan du tänka så här:
är bra att kunna:
1 10
SPÅR
Dessa samband 1 1 % = 0,01 100 =
1
Ett annat sätt att tänka är att ordet procent betyder hundradelar. Talet 20 hundradelar kan alltså skrivas som 20 % och 0,20.
SPÅR
BRÅKFORM OCH BLANDAD FORM
3
Utifrån sambanden kan du växla t.ex. 4 till decimalform. 4 = 0,25, 3 då är 4 tre gånger större, dvs. 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75.
SPÅR
SPÅR
BRÅK, PROCENT OCH DECIMALTAL Du har sett att tal kan skrivas som bråk, procent och i decimalform.
2
3
b) 9 8
Till en del av uppgifterna kan det vara bra att använda metoderna rita en bild eller tänk logiskt och räkna.
131
Av alla elever på en skola var det bara 4 % som insjuknade i vinterinfluensan. Hur många gick på skolan om antalet sjuka var 16 stycken?
132
Om Elin tar 30 % från sin plånbok och Nadia tar 25 från sin, har de lika mycket pengar. Vem har mest pengar från början?
c) 103 10
1
c) 20 3
Klass 6 säljer lådor med saftflaskor för att samla in pengar. Varje flaska rymmer 14 liter och varje låda rymmer 50 flaskor. a) Hur mycket saft finns i varje låda? Uttryck i både bråkform och blandad form. b) Vilket av uttrycken tycker du är lättast att förstå? Förklara hur du tänker.
134
BINÄRA TALSYSTEMET
a) Förklara med egna ord hur följande mönster är uppbyggt.
Så här kan man visa de fem första platserna i vårt talsystem och i det binära talsystemet.
3 10 000
130 Hur mycket är 5 % av 1 200? Räkna antingen ut 1 % eller 10 % först. Vad ska du göra sedan?
Figur 1
Figur 2
Figur 3
b) Regeln n · 3 beskriver nästan mönstret. Vad mer behövs för att det ska bli rätt? c) Använd din regel för att beräkna hur många cirklar som behövs till figur 20.
a) 10101 139
136
Gör ett liknande mönster där figur 3 innehåller 12 cirklar och figur 8 innehåller 27 cirklar. Beskriv sedan mönstret så noga du kan. Gör ett eget mönster till följande regel:
2 5
1
16
8
4
2
1
b) 100001
c) 101010
Kan talet 32 skrivas med fem siffror i det binära talsystemet? Förklara hur du tänker.
b) Vilket är det högsta talet som kan skrivas med 6 siffror i vårt talsystem?
K=n·2+1
Först tar de
c) Vilka fördelar och nackdelar ser du med att skriva tal i det binära talsystemet?
liter vatten. 1
Har han rätt? Förklara hur du tänker.
10
140 a) Vilket är det högsta talet som kan skrivas med 6 siffror i det binära talsystemet?
133 Max och Jesper vill blanda till 0,5 l saft. ”Då måste vi ta minst 8 l koncentrerad saft”, säger Max.
100
138 Dessa tal är skrivna i det binära talsystemet. Vad betyder de i vårt talsystem?
d) Kommer en figur innehålla exakt 33 cirklar? Varför eller varför inte? 135
1 000
När vårt talsystem ökar tio gånger för varje steg så ökar det binära två gånger. Bi i binära betyder just två. Vårt system heter egentligen det decimala talsystemet och deci hör ihop med talet tio.
137 a) Gör ett eget mönster där någon figur innehåller 9 kvadrater och en annan figur innehåller 17 kvadrater. b) Beskriv ditt mönster med en regel.
141
Vad skulle följande binära tal motsvara i vårt talsystem? a) 10000000
b) 100000000
b) 2 % av 300
c) 15 % av 200
40
TAL OCH MÖNSTER
o
37
o
o
TAL OCH MÖNSTER
o
o
o
o
TAL OCH MÖNSTER
o
36
TAL O CH M Ö N ST E R
41
5
001-005 00_Mattespanarna 6A_innehall.indd 5
2013-03-07 15.33
KAPITEL
KAPITEL 1
1
Tal och mรถnster
14
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 14
2013-03-07 15.52
KAPITEL
UPPDRAG:
Teds gäng
I kontraktet står att Ted ska jobba motsvarande 20 % av september månads arbetstimmar. En arbetsdag är 8 timmar lång och antalet arbetsdagar i september är 25.
1
I listan över spelningar visas uppskattningar av hur lång tid en spelning kan tänkas ta. Måste Ted ta alla spelningarna enligt kontraktet? Hur många måste han ta? KUND
DATUM
AVSATT TID
S Andersson
3 september
6 timmar
J Heyman
4 september
1 2
arbetsdag
K Buljat
7 september
3 4
arbetsdag
A Einarsson
8 september
75 % av en arbetsdag
L Frankel
10 september
1,25 arbetsdag
G Miltetic
12 september
50 % av en arbetsdag
P Westerlund
13 september
1 2
arbetsdag
S Persson
16 september
1 4
arbetsdag
E Sköld
17 september
3 timmar
TA L O C H M Ö NSTE R
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 15
15
2013-03-07 15.52
KAPITEL
Startrutan Är påståendena sanna? Skriv ja eller nej.
1 1
12,93 är en tiondel mindre än 13,03.
2
3 · 4,5 är lika mycket som 12,5.
3
1 4
4
290 adderat med 310 är lika mycket som 600.
5
Procent kan betyda en hundradel ibland, men inte alltid.
6
25 % kan skrivas som 0,25 och 4 .
7
Fyra hela och en tredjedel är samma sak som tretton tredjedelar.
8
Om 5 av något motsvarar 4, så är det hela 30.
9
40 % av 50 är 20.
1
är dubbelt så mycket som 5 .
1
1
10 I det binära talsystemet kan man inte skriva talet 3. Vilka tre tal följer på detta mönster? 8
VIKTIGA BEGREPP
16
4
2
algebra, bråkform, procentform och decimalform, blandad form, binära talsystemet
TA L O C H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 16
2013-03-07 15.53
KAPITEL
INNEHÅLL
1
som du ska arbeta med och exempel på hur du kan använda kunskaperna.
Bråkform, procentform och decimalform
Bråkform och blandad form
Problem med bråk och procent
uttrycka för att kunna olika sätt. samma tal på
för att kunna beskriva bråk som är st örre än 1.
för att kunna lösa problem som ofta dyker upp i vardagen, t.ex. ”Hur många kronor sänks priset med vid 40 % rabatt?”
Algebra och mönster för att kunna beskriva ett mönster på ett tydligt och helt korrekt sätt.
Binära talsystemet för att känna till andra sätt att sk krriiv va a tal på.
TA L O C H M Ö NSTE R
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 17
17
2013-03-07 15.53
KAPITEL
Bråkform, procentform och decimalform Minns du att tal kan skrivas på många olika sätt; som bråk, procent och med decimaler?
1
3 5
1
av bollarna är röda.
b))
c)
Para ihop bråken med rätt bokstav på tallinjen. A
B
D
C
E 9 10
0
3
Den stora plattan är 1. Bilden visar talet 1,3.
Hur stor del utgör de röda blommorna av buketterna? a))
2
25 % av kvadraten är färgad.
3 4
1 3
1 5
3 5
1
Bråk kan skrivas på olika sätt. Vilka bråk visar bilderna? a)
b)
c)
1
d)
e)
f)
2
4
Rita en bild som visar att 5 och 10 är lika mycket.
5
Varje rad visar olika bråk med samma värde. Fyll i det som saknas. F F F a) 1 = 2 = = = 3 F 9 12 F F F 4 F b) 1 = = = = 6 12 18 F F
6
Vilka bråk har samma värde? 4 10
1 10 3 4
6 18 8 16
1 3
6 8 2 5
1 2 2 20
c) Hur kan man tänka för att växla till andra bråk? 18
TA L OC H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 18
2013-03-07 15.53
KAPITEL
7
Hur många procent är färgade i varje cirkel? a)
b)
c)
d)
e)
1 8
Hur många procent är färgade i dessa bilder? a)
9
b)
c)
d)
e)
f)
Vilka tal visar bilderna? a)
b)
c)
d)
10 Para ihop rätt tal med rätt bokstav på tallinjen. A
B
C
D
E 2,08
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
2,8 0,9
1,4 1,15
11 Rita en tallinje mellan 0 och 1. Sätt sedan ut ett valfritt tal i bråkform, ett tal i decimalform och ett tal i procentform.
TA L O C H M Ö NSTE R
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 19
19
2013-03-07 15.53
KAPITEL
HUR HÖR BRÅK, PROCENT OCH DECIMALTAL IHOP? Du kan använda en tallinje för att visa bråket tiondelar. 4 Pilen pekar på 10 .
1
0
Samma tallinje kan också visa decimaltalen 0,1, 0,2, 0,3 osv. Pilen pekar på 0,4. Här pekar pilen på 40 %.
När vi räknade med procent såg vi 1 att 10 = 10 % eftersom det hela = 100 %. Vi kan även visa det på en tallinje:
Eftersom alla tre tallinjerna är lika, kan vi slå ihop dem.
b) 0,5
c) 0,2
d)
0
8 10
9
b) 10
c) 80 %
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
10%
20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
1 10 0,1 10%
2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
1
1
1
1
a) Vilka par är rätt? b) Rätta de par som är fel så de stämmer.
13 Vilket decimaltal är lika stort som a) 30 %
2 10
15 Rätt eller fel?
12 Vilket tal i procentform är lika stort som a)
0
Nu ser vi 3 t.ex. att 10 = 0,3 och att 90 % = 0,9.
Använd tallinjen för att lösa följande uppgifter. 7 10
0
1 10
1
d) 10
A 25 %
0,25
B
0,2
2%
C
0,7
1 7
D
1 5
5%
E 40 % F
14 Vilket tal är störst?
3 4
4 10
75 %
a) 0,6 eller 50 % 2
b) 10 eller 30 % 7 c) 0,4 eller 10
16 Hur långt sträcker sig pilarna? Skriv som bråk, procent och i decimalform.
0
1 A B C
20
TA L O C H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 20
2013-03-07 15.53
KAPITEL
1
Minns du att 50 % = 2? 5 10, 0,5 och 50 % har också samma värde. Talen hör ihop på flera olika sätt:
1 0 0,1 10%
1 2 3 4 5 5 5 5 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
1
0
1 4 0,25 25%
2 4 0,5 50%
3 4 0,75 75%
1
17 Vilket tal i procentform hör ihop med a) 1 b) 2 c) 4 5 5 5
22 Gör en egen tallinje och sätt ut tre tal. Uttryck varje tal som bråk, i procent och i decimalform.
18 Vilket decimaltal hör ihop med a) 1 b) 3 c) 3 4 5 4
23 Förklara hur du tänker när du ska växla mellan bråk, procent och decimalform.
19 Robin har storleksordnat talen, men det blev lite fel. Hjälp honom så att det blir rätt. Börja med det minsta talet. 2 10
3 4
3 5
40 %
0,8
80 %
0,09
20 Skriv talen i storleksordning. Börja med det största talet. 4 5
1
24 Fyll i sambanden. 0,2
är dubbelt så mycket som
0,1
A
0,5
1
B
8 10
4 10
C
0,25
0,5
D
3 4
1
2 4
1
0,3 60 % 10 0,9 20 % 75 % 4 12
21 Para ihop rätt bild med rätt decimaltal. a)
b)
c)
25 Tid kan skrivas med decimaltal. Para ihop ett uttryck från varje y ruta som betyder samma sak.
d) 0,5 h
12h
1
75 min
0,25 h
3 4h 1 14 h 1 2h 1 4h
30 min
1,5 h 0,8
0,2
0,25
0,5
0,75 h 1,25 h
9
1 3
3 6
15 min 90 min 45 min
TA L O C H M Ö NSTE R
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 21
21
2013-03-07 15.53
KAPITEL
Mönster och algebra
1 Figur 1
Figur 2
Figurens nr
Antal cirklar
1
2
2
4
3
6
4
?
Kan du se mönster både lodrätt och vågrätt?
Figur 3
Hur många cirklar behövs till figur 4? Figur 6?
Detta är enkelt att ta reda på med hjälp av en tabell. Titta på hur mönstret ändras för varje figur, och på skillnaden naden i relation till figurens nummer: Mönstret ökar med 2 för varje figur eller antalet cirklar är figurens nummer · 2.
5
?
6
?
47 a) Gör en tabell i ditt räknehäfte och fyll i så att den stämmer för mönstret. b) Hur många cirklar behövs till figur 5? Figur 8? c) Beskriv mönstret.
Figur 1
Figur 2
Figur 3
48 a) Gör en tabell till mönstret med cirklar. b) Hur många cirklar behövs till figur 5? Figur 10? c) Beskriv mönstret. d) Om det hade funnits en figur före figur 1, hur många cirklar skulle den då ha?
Figur 1
Figur 2
Figur 3
49 a) Gör en tabell till mönstret med kvadrater. b) Hur många kvadrater behövs till figur 5? Figur 10? c) Beskriv mönstret. d) Finns det ett snabbare sätt att ta reda på antal kvadrater i figur 10 än att fylla i tabellen?
Figur 1
Figur 2
Figur 3
50 Gör ett eget mönster där den tredje figuren innehåller 10 cirklar.
26
TA L OC H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 26
2013-03-07 15.53
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figurens nr
1
2
3
Antal kvadrater
2
3
4
KAPITEL
Hur många kvadrater behövs till figur 10? Fyll i tabellen och titta på hur mönstret är uppbyggt. Det kan beskrivas som ”antal kvadrater = figurens nummer adderat med 1”. Algebraiskt skrivs mönstret som en regel med bokstäver: K = n + 1. Antalet kvadrater är K och n står för figurens nummer.
1
K = antalet kvadrater n = figurens nummer
Hur många kvadrater behövs till figur 4? Figur 10? Figur 15?
51 a) Hur kan man beskriva följande mönster? Gör en tabell om du vill. TANKETIPS:
Hur många figurerr har jag? Vad gör jag med figurens gurens nummer för att få antalet? Figur 1
Figur 2
Figur 3
b) Vilken av följande regler passar ihop med mönstret? K=n·3
K=n·2
K= n+3
K= n+2
52 a) Hur många cirklar innehåller de två följande figurerna i det här mönstret?
53 I matsalen finns långbord. För varje extra bord får man fyra platser till. a) Hur många bord behövs till 26 personer? b) Hur kan du beskriva mönstret för borden?
Figur 1
Figur 2
Figur 3
b) Vilken av följande regler passar ihop med mönstret? K=n·2
K=n+4
K=n·4
c) Hur kan du använda mönstret för att ta reda på hur många bord som behövs till 50 personer?
K=n+2
TA L O C H M Ö NSTE R
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 27
27
2013-03-07 15.53
o
o
1
70 Nadias syster åt 6 kolor, vilket var 3 av åse. antalet kolor i hennes påse. Hur många kolor hade hon från början?
65 Skriv följande tal i decimalform. a) 1 b) 1 10 2 4 c) d) 20 % 10
A
o
o
DIAGNOS
Vilket spår? A
66 Skriv följande tal i procentform. a) 3 b) 0,3 4 d) 0,25 c) 2 5
71 a) Hur många kvadrater behövs det för att göra figur 4 och 5 i mönstret?
3
67 Vad är störst, 0,7 eller 5 ? Figur 1
68 Fyll i det som saknas. Bråkform
Figur 2
Figur 3
b) Beskriv hur mönstret fungerar. ____________ form 1
c) Vilken av följande regler passar ihop med mönstret?
3 4
7 5
K=n+1 2
K=n+2
1 3
K=n·2
Kommer du ihåg att K står för antalet kvadrater och n står för figurens nummer?
9 2
69 Nadia köper en påse med 45 kolor till fredagsmyset. När kvällen är slut har hon ätit upp 2 av kolorna.
72 Hur många siffrorr finns finns i
a) Hur stor del av kolorna har hon kvar?
b) det binära talsystemet
5
K=n·3
a) vårt talsystem
b) Hur många kolor har hon kvar?
30
TA L OC H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 30
Hur gick det?
Det var svårt. Gå till SPÅR
1
Det var lätt. Gå till VILKET SPÅR? B
2013-03-07 15.53
73 Skriv följande tal i decimalform. a) 3 b) 3 5 4
DIAGNOS
Vilket spår? B c) 30 %
B
74 Skriv följande tal i procentform. a) 0,9 b) 4 5
c) 0,05
25
75 Hur mycket är 2 i blandad form? Förklara hur du tänker. 76 En tröja realiseras med 30 %. Innan sänkningen kostar den 200 kr. a) Hur stor är rabatten i kronor? b) Vad kostar tröjan nu? 77 För ett par byxor behöver man bara betala 20 % av priset. De kostar nu 80 kronor. Vad kostade byxorna innan sänkningen? 78 a) Beskriv hur mönstret fungerar.
b) Skriv en regel som passar ihop med mönstret. 79 Nämn en skillnad och en likhet mellan vårt talsystem och det binära talsystemet.
o
3
o
Det var lätt. Gå till SPÅR
o
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 31
2
Det var svårt. Gå till SPÅR
o
Hur gick det?
TA L O C H M Ö NSTE R
31
2013-03-07 15.53
SPÅR
BRÅK, PROCENT OCH DECIMALTAL I åk 5 visade vi decimaltal med hjälp av dessa bilder:
1
= ental
= tiondel
= hundradel
Här visas talet 2,34. Stavarna kallas tiondelsstavar, eftersom det går tio stavar på en hel platta. 1 En stav är en tiondel av hela plattan och kan skrivas på två sätt; 0,1 och 10 . På samma sätt går det hundra små kvadrater på en hel platta, så de kallas 1 hundradelar. En hundradel kan du också skriva på två sätt; 0,01 och 100.
80 a) Skriv följande tal med decimaler och bråk. A
B
C
D
E
b) Finns det flera sätt att skriva bråket i C? 81 Skriv följande tal i både decimalform och i bråkform. a) två tiondelar
I procent motsvarar hela plattan 100 %. Vi delar den i 100 delar, och varje hundradel är 1 %. Ordet procent betyder just hundradel.
83 a) Vilka tal visar de här bilderna? Svara med både bråkform och procentform. A
B
C
D
E
F
b) nio tiondelar
c) tre hundradelar d) åtta hundradelar 82 a) Skriv följande tal i decimalform. A
B
C
D
b) Skriv D och F med att annat bråk. 84 Fyll i det som saknas.
b) Hur mycket större är C än B? tio gånger större, dubbelt så stor eller fem gånger större
32
Bråkform
Procentform
Decimalform
A
B
0,5
1 5
C
D
E
25 %
F
3 4
G
H
I
40 %
J
TA L OC H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 32
2013-03-07 15.53
SPÅR
BRÅKFORM OCH BLANDAD FORM Ibland har du mer än en hel, till exempel så här:
1
1
Det här kan skrivas som 2 2 , två hela och en halv. Det kallas för blandad form. Om du delar in de två hela figurerna i halvor, ser det ut så här: 5
Då ser du att du också kan skriva 2 . Det kallas för bråkform. 2
1 2
5
= 2.
85 Rita bilder som visar följande bråk. 1
a) 1 4
1
b) 2 3
2
4
c) 1 5
d) 3
1
EXEMPEL Skriv 3 4 i bråkform. Det handlar om fjärdedelar. Varje hel kan du växla till 4 fjärdedelar. 3 hela ger 4 fjärdedelar + 4 fjärdedelar + 4 fjärdedelar = 12 fjärdedelar. Du har också 1 ”lös” fjärdedel, alltså har du 12 fjärdedelar + 1 fjärdedel = 13 fjärdedelar. 1 13 Svar: 3 4 = 4
86 Skriv i bråkform. a) 2
2 3
b) 1
4 5
c) 2
87 Skriv i blandad form. a) 7 b) 11 5 4
1 4
b)
6
f) 5 Så här kan du tänka:
7
EXEMPEL Skriv 3 i blandad form. Det handlar om tredjedelar. Det behövs 3 tredjedelar för att få ihop till en hel hel. Dina 7 tredjedelar räcker till två hela: 3 tredjedelar + 3 tredjdelar = 6 tredjedelar. 7 1 En tredjedel blir över. Du skriver: 3 = 2 3 .
89 Elin har 14 lösa tuggummin. Varje paket innehåller 5 tuggummin. Hur många paket har Elin uttryckt i blandad form?
c) 10 3
88 Skriv det bilderna visar i både bråkform och blandad form. a)
7
e) 2
c)
90 När fem kompisar delar lika på några pizzabitar, blir det tre stycken över. När en sjätte kompis är med och delar går det jämnt upp. a) Hur många pizzabitar kan det ha varit? b) Finns det flera svar? c) Spelar det någon roll hur många bitar pizzan är delad i? Förklara hur du tänker.
o
o
o
o
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 33
TA L O C H M Ö NSTE R
33
2013-03-07 15.53
SPÅR
2
MÖNSTER OCH ALGEBRA
BINÄRA TALSYSTEMET
För att pröva om en regel passar in på ett mönster sätter du in de värdena för K och n.
Så här kan man visa de fem första platserna i vårt talsystem och i det binära talsystemet.
Antal kvadrater = K
figurens nummer = n 10 000
114
a) Vilken av följande regler stämmer för det här mönstret? Figurens nummer
Figur 1
Figur 2
K=n·2+3
Antal kvadrater
1
3
2
5
3
7
Figur 3
K=n·2+1
117
a) Vilken av följande regler stämmer för mönstret? Gör först en tabell och pröva sedan.
Figur 1
K=n+3
Figur 2
K=2·n+1
Figur 3
K=n+2
b) Hur många cikrlar behövs till figur 8? Stämmer fortfarande regeln? 116 Välj en av de två felaktiga reglerna i uppgiften innan. Hur ser en tabell ut som hör ihop med den regeln? Hur ser det mönstret ut?
38
10
1
16
8
4
2
1
Dessa tal är skrivna i det binära talsystemet. Vad betyder de i vårt system? a) 10001
118
119
b) 10101
c) 11111
Hur ska vi skriva dessa tal med det binära talsystemet? a) 18
115
100
När vårt talsystem ökar tio gånger för varje steg så ökar det binära två gånger. Bi i binära betyder just två. Vårt system heter egentligen det decimala talsystemet och deci hör ihop med talet tio.
K=n·3+1
b) Hur många kvadrater behövs till figur 4? Stämmer fortfarande regeln?
1 000
b) 19
c) 25
Om vi skulle lägga till två platser till framför 16 i rutorna i exemplet, hur mycket skulle de vara värda?
120 Max skrev en uppgift till Henrik som löd:
Skriv följande tal 100 i vårt talsystem.
Över de två sista siffrorna är det en fläck. Hur många olika tal kan det vara? 121 För att skriva talet 1 000 000 använder vi 7 siffror. Hur många siffror tror du behövs för att skriva talet i det binära talsystemet? ? Gissa!
TA L O C H MÖN ST ER
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 38
2013-03-07 15.54
SPÅR
BRÅK, PROCENT OCH DECIMALFORM När du växlar mellan de tre formerna bråkform, procentform och decimalform kan du oftast utgå från att procent betyder hundradel. EXEMPEL 1 Skriv 70 % i bråkform. 70 70 % är 70 hundradelar, eller 100. 70 100 kan förkortas genom att du dividerar täljare 7 och nämnare med 10. Då får du 10 , vilket är samma 70 sak som 100.
122
124
i procentform. EXEMPEL 2 Skriv Gör först om bråket till hundradelar. 7 14 50 = 100 (förläng bråket genom att multiplicera täljare och nämnare med 2) 14 100 = 14 %.
Skriv följande tal i bråkform. a) 6 %
123
3
7 50
b) 35 %
c) 24 %
Skriv följande tal i procentform. a) 9 b) 11 50 20 Vilket är störst,
45 50
eller
Omvandla till hundradelar eller procent så är det lätt att jämföra.
17 20 ?
125
60 = 80 = 80 % 80 100
c) 4 25
Robin gör något fel när han till procent. ska göra om 60 80 Förklara vad han gör för fel och fundera ut hur man kan göra istället.
126 När tycker du att det passar att använda bråkform, procentform och decimalform? Behåll meningarna som de är eller byt ut uttrycket. Förklara hur du tänker för varje mening. A Rea! Vi sänker priset med 0,15. B Vid en omröstning om bästa skolmaten fick alternativet pannkakor
35 50
av rösterna.
C Du, jag och Markus delar på tårtan. Då får vi 33,33333 % var. D Han slog personligt rekord på 60 m. Han sprang på 10
1 4
sekunder.
o
o
o
o
014-043 02_Mattespanarna 6A_kap 1.indd 39
TA L O C H M Ö NSTE R
39
2013-03-07 15.54
UPPDRAG MATTE:
Mattespanarna med problemlösning i fokus MATTESPANARNA är en ny matematikserie för årskurs 4 till 6,
helt baserad på Lgr 11:s kursplaner i matematik!
Uppdrag: Matte
Grundboken innehåller en lite längre genomgång av innehållet. Därefter delas kapitlet in i tre nivåer. I A-böckerna finns dessutom ett extra startkapitel där eleven repeterar föregående årskursmoment.
Mattespanarna ingår i serien Uppdrag: Matte, en helt ny serie i matematik för förskoleklass t. o. m. årskurs 9.
6A
En spännande berättelse inleder varje kapitel och eleverna utmanas att hjälpa Mattespanarna att lösa kluriga detektivuppdrag. Problemlösning och att använda de matematiska begreppen i en inspirerande kontext hjälper eleven att förstå innehållet i respektive kapitel.
Arbete på 3 nivåer
I slutet av boken finns läxor i tre nivåer och ett avsnitt med extra problem – Sherlock Holmes Klurigheter.
A
A
6
B
2 grundböcker
Gunnar Kryger • Andreas Hernvald Hans Persson • Lena Zetterqvist
Mattespanarna årskurs 6 består av:
B
2 lärarböcker
Spanarboken
Läs mer på www.liber.se
Best.nr 47-10136-8 Tryck.nr 47-10136-8
OMS_Mattespanarna 6A_U.indd 1
MATTESPANARNA
Matte ska vara spännande och roligt!
6
e t t a M narna a p s
A
2013-03-07 14.10