9789147113361

ROBERT JOHANSSON LARS-DANIEL ÖHMAN

LARS-DANIEL ÖHMAN är docent och lektor i matematik vid Umeå universitet.

Utöver sin egen forskning och undervisning är han engagerad i didaktiska och populärvetenskapliga frågor, kursutveckling samt utveckling av kursmaterial, och är utnämnd till excellent lärare.

Introduktion till högre studier i matematik

ROBERT JOHANSSON är lektor i matematik och prefekt för institutionen för matematik och matematisk statistik vid Umeå universitet. Han har ett brett intresse för matematik och gränslandet mellan matematik och datavetenskap. Han har tidigare som studierektor varit involverad i utvecklings- och kvalitetsarbete inom grundutbildningen, och är utnämnd till meriterad lärare.

JOHANSSON ÖHMAN

Denna lärobok är i första hand en introduktion till matematikstudier på universitetsnivå. Bevis ingår som en central del och boken lägger stor vikt vid att förmedla och lära ut innebörden av matematiska begrepp. Boken innehåller därför utförliga förklaringar och exempel, och presenterar ofta metoder och formler från flera olika synvinklar.

Boken repeterar även valda delar av gymnasiets matematikkurser, men behandlar matematiken på ett mer stringent sätt.

En vanlig missuppfattning är att matematik bara handlar om tal och beräkningar. I denna bok tar författarna fasta på att resonemang och argumentation är en minst lika viktig del av matematiken.

Boken riktar sig i första hand till nybörjarstudenter på civilingenjörsutbildningar och kandidat- eller magisterprogram i matematik, matematisk statistik och närliggande ämnen.

Upplaga 2

Introduktion till högre studier i

MATEMATIK Best.nr 47-11336-1 Tryck.nr 47-11336-1

4711336100_Cover.indd All Pages

18/05/17 12:19 PM

2017-05-18 – sida i – # 1

ROBERT JOHANSSON LARS-DANIEL ÖHMAN

Introduktion till högre studier i

matematik LIBER

2017-05-18 – sida ii – # 2

ISBN 978-91-47-11336-1 © 2017 Robert Johansson, Lars-Daniel Öhman och Liber AB Förläggare: Simon Dalili Illustrationer: Författarna Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Shutterstock Produktionsledare: Jürgen Borchert Andra upplagan 1

Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2017

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

2017-05-18 – sida 1 – # 3

Förord

Syftet med denna bok är i huvudsak att tjäna som en introduktion till hur matematikämnet hanteras på universitetsnivå, och förbereda inför senare matematikkurser. Rimliga förkunskaper är de matematikkurser som ingår i de naturvetenskapliga och tekniska gymnasieprogrammen.

Boken repeterar vissa delar av gymnasiets kurser i matematik men på nytt sätt med ökad stringens. Boken innehåller även en del material som antagligen är nytt för de flesta nybörjarstudenter.

I största möjliga utsträckning har vi försökt att förklara och exemplifiera alla koncept och metoder, så att så lite av bokens innehåll som möjligt skall bära ”kokboksprägel”, med metoder eller formler utan förklaring. Vi har alltså försökt att komplettera varje ”vad” med ett ”varför”.

Vi har även försökt att presentera samma material från olika synvinklar i så stor utsträckning som möjligt. Ett exempel på detta är avsnittet om trigonometri, där det geometriska synsättet delvis redovisas parallellt med ett funktionsinriktat synsätt. En central komponent i boken är bevis, och stor vikt läggs även vid begreppsförståelse.

Vi välkomnar alla kommentarer, förslag och rättelser. Eventuella felaktigheter anges i en erratalista som du finner på bokens webbsida, via www.liber.se.

Kommentarer till innehållet Huvudsyftet med kapitel 1 är att införa ett antal definitioner, skrivsätt och tänkesätt som sedan används i resten av boken. I avsnitt 1.3 introducerar vi bevisföringsmetodik, och gör ett försök att avdramatisera bevisets status i universitetets matematikkurser.

Därefter följer kapitel 2 om ekvationer och absolutbelopp, som närmast är att se som en ren repetition av gymnasiematematiken. Behandlingen av detta material i denna bok har dock ett större mått av stringens

2017-05-18 – sida 2 – # 4

2

än gymnasiets kurser, och gör bruk av vissa skrivsätt som inte förekommer i gymnasieböcker.

I kapitel 3 introduceras ny notation för summor, och några viktiga räkneregler och exempel på summor behandlas. Stoffet i sig ingår till stor del i gymnasiets kurser.

Kapitel 4 om induktion och Binomialsatsen, är antagligen helt nytt material för de flesta nyblivna studenter. Särskilt avsnitt 4.1 om induktion är viktigt för senare matematikkurser, och är av erfarenhet ett teoriavsnitt som för många nya studenter kräver lite extra tid.

Kapitel 5 om trigonometri och Kapitel 6 om komplexa tal om är till största delen att betrakta som en repetition av gymnasiematematiken, även om teorin här utvecklas mer noggrant och stringent.

I Kapitel 7 behandlas begreppet funktion, på ett mer djupgående och nyanserat sätt än i gymnasiets kurser.

Ord i kursiv stil är betonade. Text i fetstil markerar att ordet i fråga är en teknisk term med en precis betydelse. Lägg därför alla fetstilta ord och deras betydelse på minnet! Denna betydelse bestäms antingen genom en uttrycklig definition, eller genom det sammanhang som termen förekommer i. Sådana tekniska termer är i normalfallet bara fetstilta första gången de förekommer i texten. De fetstilta begreppen återfinns också i sakregistret.

Något om matematisk kommunikation En vanlig missuppfattning är att matematik endast handlar om tal, eller beräkningar. Tal och beräkningar utgör naturligtvis en viktig del av vad matematik handlar om, men en minst lika viktig del av matematiken utgörs av resonemang och argumentation. Sådana resonemang och argument kan alla uttryckas mycket kompakt (och svårläst!) med formell matematisk notation.

En ambition med denna bok är att bidra med en lättsam introduktion till ett mer formaliserat skrivsätt, för att underlätta övergången från gymnasiematematiken till universitetsmatematiken. För studenter på inledande nivå av universitetsstudier är det inte en bra idé att alltid göra fullt bruk av dessa formaliserade skrivsätt. Bättre är att delvis uttrycka sig i vardagsspråket.

En följd av beräkningar, ekvationer eller algebraiska uttryck är sällan en fullständig lösning på ett problem. En oundgänglig del av en lösning på ett problem är att redovisa vilka resonemang du fört, och vilka principer och räkneregler du förlitat dig på. En ”lösning” på ett

2017-05-18 – sida 3 – # 5

3

problem eller en övningsuppgift är ingen fullständig lösning innan alla dessa resonemang fästs på papper.

Man brukar säga att ”det dunkelt sagda är det dunkelt tänkta” och risken är stor att man inte är fullt på det klara med vad de beräkningar man genomfört egentligen innebär, varför man genomfört dem, eller om de över huvud taget är hållbara och relevanta, om man inte uttryckligen skrivit ned sina resonemang. Vi vill därför rekommendera dig som ny student i matematik att lägga dig till med den goda vanan att i skrift förklara varför du utför de beräkningar du utför, och även redovisa vilka räkneregler, satser och metoder du använt dig av. Det tjänar du på i längden.

Övningsuppgifter, facit och lärande Man lär sig naturligtvis matematik (och andra ämnen) bättre om man aktivt arbetar med materialet. Därför innehåller denna bok ett antal övningsuppgifter av olika svårighetsgrad. Vår förhoppning är att de inte skall vara för få, för triviala eller för svårtillgängliga.

Att lösa en stor mängd uppgifter som du redan på förhand vet exakt hur du skall hantera är knappast att effektivt utnyttja studietiden (hoppa över dem!). Det är knappast heller meningsfullt att kämpa med en uppgift där du inte ens förstår vad som efterfrågas. I sådana fall bör du återvända till texten för att reda ut begreppen innan du gör ett nytt försök.

Modern kognitionsforskning har visat att lärande stimuleras av prövningsliknande situationer. Under studierna kan du uppnå detta genom att lösa uppgifter utan tillgång till lösningar eller svar. Med denna arbetsmetod övar du även ditt matematiska självförtroende – en uppgift är inte fullständigt löst förrän du själv är övertygad om att du har gjort rätt!

Boken innehåller sparsamt med lösningsförslag. Ibland finns i stället ledningar, som syftar till att stimulera det egna tänkandet, och bruket av de metoder, förmågor och kunskaper du redan besitter. I andra fall ger vi endast ett svar, som du kan använda för att kontrollera att resultatet av dina beräkningar är riktigt.

På bokens webbsida hos förlaget, www.liber.se, finner du fullständiga lösningar och kommentarer till bokens uppgifter. Använd dem förståndigt! Med alltför god tillgång till fullständiga lösningar är risken överhängande att man alltför ofta sneglar på dessa. Då kan man lätt förledas att tro att man förstår, men när man sedan vid examination skall återkalla kunskapen ur minnet, så finns den inte där.

2017-05-18 – sida 4 – # 6

Vi vill även påpeka att övningsuppgifter i matematik på universitetsnivå skiljer sig något från gymnasiematematiken. Du kan som student inte alltid vänta dig att du utan ansträngning kan lösa uppgifterna efter att endast ha lyssnat på tillhörande föreläsning eller genomgång. Ofta måste du i stället gå tillbaka till texten, studera definitioner och exempel, samt dra dina egna slutsatser. Det är alltså inte bara genom att lösa uppgifter som man lär sig, utan det är minst lika viktigt att läsa och reflektera över den teoretiska framställningen.

Ändringar till andra upplagan Till den andra upplagan har Kapitel 7 om funktionslära tillkommit.

Logikavsnittet har reviderats och utökats, och uppgiftssamlingen har kompletterats med ytterligare uppgifter. Dessutom har mindre tillägg, korrigeringar och omarbetningar gjorts i alla delar av materialet.

Tack Delar av manuskriptet till första upplagan av denna bok har lästs och kommenterats av Daniel Andrén, Per Bylund, Per-Anders Boo, Peter Wingren, Thomas Önskog och Linus Carlsson, för vilket vi är mycket tacksamma. Manuskriptet har även lästs av alla de årskullar på civilingenjörsprogrammen och kandidatprogrammet i fysik och tillämpad matematik som började vid Umeå universitet höstterminerna 2009–2011, och ett antal fel uppdagades då. Vi vill även tacka Lars Hellström för hjälp med teknisk behandling av manuskriptet samt vår redaktör Kim Bergström för många kloka råd vid färdigställandet av den första upplagan.

Inför omarbetning till den andra upplagan har också Karl Larsson, Hans Thunberg, Jonas Wickman, Per Åhag och vår redaktör Calle Gustavsson bidragit med värdefulla kommentarer.

Alla eventuella kvarvarande brister ansvarar vi naturligtvis själva för.

Umeå, maj 2017 Robert Johansson och Lars-Daniel Öhman

2017-05-18 – sida 5 – # 7

Innehåll

5

Innehåll

Förord 1 Grunder 1.1 Tal . . . . .

1.2 Mängdlära .

1.3 Logik . . .

1.4 Definitioner,

1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

7 . 8 . 12 . 19 . 31

2 Ekvationer och olikheter 2.1 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Polynomdivision och Faktorsatsen 2.3 Olikheter . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Absolutbelopp . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . satser och

. . . . . . . . . . . . bevis

. . . .

. . . .

41 41 48 55 58

3 Summor och summatecken 65 3.1 Grundläggande notation och räkneregler . . . . . . . . . . 65 3.2 Några viktiga summor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4 Induktionsbevis och Binomialsatsen 79 4.1 Induktionsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 Binomialsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Trigonometri 5.1 Vinklar . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Pythagoras sats . . . . . . . . . .

5.3 Trigonometriska funktioner . . .

5.4 De trigonometriska funktionernas 5.5 Trigonometriska ekvationer . . .

5.6 Triangelsatserna . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . egenskaper . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

97 98 101 105 109 119 120

2017-05-18 – sida 6 – # 8

6

Innehåll

6 Komplexa tal 6.1 Definition av de komplexa talen 6.2 Det komplexa talplanet . . . .

6.3 Polär form . . . . . . . . . . . .

6.4 Exponentialfunktionen . . . . .

6.5 Avstånd och absolutbelopp . .

6.6 Rötter till polynomekvationer .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 Funktioner 7.1 Grundläggande begrepp i funktionslära . . . . . . . . . .

7.2 Olika representationsformer för funktioner . . . . . . . .

7.3 Ytterligare begrepp i funktionslära . . . . . . . . . . . .

7.4 Rekursiva definitioner av funktioner . . . . . . . . . . .

7.5 Polynomfunktioner, rotfunktioner, exponentialfunktioner och logaritmfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Svar till övningar Sakregister

till till till till till till till

kapitel kapitel kapitel kapitel kapitel kapitel kapitel

1 2 3 4 5 6 7

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

129 130 132 133 139 142 145

. . . .

151 151 155 162 166

. 169

. . . . . . .

177 177 182 184 185 187 192 197 199

2017-05-18 – sida 7 – # 9

Kapitel 1

Grunder

Matematik är ett mycket ”vertikalt” ämne, i den bemärkelsen att nytt material ofta direkt bygger på tidigare material. Man kan alltså inte enkelt förstå det nya utan att ha en solid grund att stå på. Därför inför vi i detta kapitel nya, mer exakta skrivsätt för en del begrepp som känns igen från gymnasiematematiken och en del nya grundläggande begrepp.

All högre matematik använder sig i stor utsträckning av dessa begrepp och sådana formaliserade skrivsätt. I linje med detta använder vi sedan dessa nya skrivsätt genomgående i resten av boken. En del av materialet i detta kapitel kan alltså upplevas som repetition av gymnasiematematiken, men sättet att behandla materialet är nytt och syftar till att förbereda inför följande kapitel.

Tal uppfattas ofta som de mest grundläggande objekten i matematiken, och vi inleder med att diskutera olika talsystem och hur de förhåller sig till varandra. Ett annat begrepp, som faktiskt kan ses som mer grundläggande än talbegreppet är mängdbegreppet, som vi inför därefter. Vi definierar där även ett slags räkneoperationer för mängder som i olika former förekommer i matematikens alla delområden.

Matematik är dock mer än sina objekt: det är även centralt att argumentera och resonera på ett strukturerat och hållbart sätt. Vi inför därför sedan grundläggande logisk terminologi och notation, och tillämpar detta i en diskussion om vilka resonemang som är hållbara. Vi avslutar kapitlet med en genomgång av matematisk texts grundstruktur; definition-sats-bevis. Särskilt bevis uppfattas ibland som något mycket svårt, men ambitionen med detta avsnitt är att skingra mystiken och att avdramatisera bevisföring.

2017-05-18 – sida 8 – # 10

8

Kapitel 1 Grunder

1.1 Tal I detta avsnitt inför och diskuterar vi de naturliga talen, heltalen, de rationella talen och de reella talen. För att fastställa deras inbördes förhållanden ger vi även exempel på ett reellt tal som inte är rationellt, och hur man omvandlar mellan decimalform och bråkform. Vi berör avslutningsvis helt kort talsystemens kopplingar till olika typer av ekvationer.

De mest grundläggande talen är de tal som används för att ange antal, de så kallade naturliga talen, eller räknetalen 1, 2, 3, . . .. Denna klass av tal betecknar vi med symbolen , som är den första bokstaven i ordet ”naturlig”. Ibland räknas talet noll till de naturliga talen, ibland inte. Här ska vi anta att noll inte är ett naturligt tal. Nästa uppsättning tal är de så kallade heltalen ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., som betecknas med symbolen , som är den första bokstaven i tyskans ”Zahl”, vilket helt enkelt betyder tal. Det är uppenbarligen så att alla naturliga tal är heltal, och att det finns vissa heltal, exempelvis −1, som inte är naturliga.

Den tredje uppsättningen tal är de rationella talen, alltså kvottalen eller bråktalen. Detta är alla de tal som kan skrivas som en kvot, ab , där a är ett heltal, och b är ett naturligt tal (och därmed alltså skilt från noll enligt vår definition). De rationella talen betecknar vi med symbolen , som är första bokstaven i exempelvis engelskans ”quotient”, 7 99 23 −23 kvot. Exempel på rationella tal är −1 2 , 4 , 100 och −2 = 2 . Dessa fyra exempel är uppenbarligen varken heltal eller naturliga tal. Vi inser från 23 att också kvoter mellan heltal där nämnaren är negativ är exemplet −1 rationella.

Nästa uppsättning tal är de reella talen, alltså mätetalen eller decimaltalen. Dessa tal betecknas med symbolen , vilket är första bokstaven i ordet ”reell”. De reella talen är alla de tal som kan skrivas som ett decimaltal, exempelvis 23,84049685938290. . . , där antalet decimaler tillåts vara obegränsat. Att formellt definiera vad som menas med ett reellt tal är inte helt enkelt, och inte något vi ska göra här. Vi nöjer oss med att konstatera att alla rationella tal (och därmed även alla naturliga tal och heltal) är reella. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella.

Finns det tal som är reella, men inte är rationella? Svaret på denna fråga är ”ja”, men det verkar inte lika enkelt att fastslå som att 1/2 inte är ett heltal. Även tal som på ytan inte ser rationella ut kan visa sig vara rationella, som följande exempel illustrerar.

2017-05-18 – sida 9 – # 11

1.1 Tal

9

Exempel 1.1.1

Är talet Fn =

√ n 1+ 5 2

− √ 5

√ n 1− 5 2

ett rationellt tal, om n = 0, 1, 2, . . .? I detta fall är svaret ”ja”. Talet Fn , som även kallas det n:te Fibonaccitalet, är till och med ett naturligt tal, trots att det kan skrivas på denna form. Pröva gärna att räkna ut F0 = 0, F1 = 1 och F2 = 1.

Uppenbarligen gäller att alla decimaltal med ändlig decimalföljd är rationella. Skrivsättet 0,abc innebär att den följd av tal som har ett streck över sig skall upprepas, och decimaltalet kallas då periodiskt. Exempelvis gäller att 0,10 = 0,1010101010 . . .. Alla decimaltal som är periodiska är rationella, och varför detta gäller antyds i följande exempel. Beräkningarna här kan generaliseras till att gälla ett godtyckligt periodiskt decimaltal.

Exempel 1.1.2

Decimaltalet 7,237967967967967... = 7,23796 kan skrivas som ett rationellt tal genom att observera att 1000 · 7,23796 − 7,23796 = 7237,96796 − 7,23796 = 7230,73 Alltså gäller 999 · 7,23796 = 7230,73, så 7,23796 =

723073 7230,73 = .

999 99900

Decimaltal med ett ändligt antal decimaler är också rationella, vilket kan ses som ett specialfall av att periodiska decimaltal är rationella, genom att se decimaltalet a,a1 a2 a3 . . . an som a,a1 a2 a3 . . . an 0. Man kan också visa att alla rationella tal har antingen ändlig decimalutveckling eller periodisk decimalutveckling, men vi gör inte detta här.

Vissa √ reella tal är inte rationella. Vi nöjer oss med att ge som exempel talet 2. Detta tal är reellt eftersom det kan√skrivas som ett decimaltal, 1,41421356..., men inte rationellt. Att talet 2 inte är rationellt innebär att det inte kan skrivas som en kvot a/b av ett heltal a och ett naturligt tal b. Vi formulerar detta som en sats.

2017-05-18 – sida 10 – # 12

10

Kapitel 1 Grunder

Sats 1.1.3

Talet

√

2 är inte rationellt.

Vi återkommer med en grundlig genomgång av denna sats och dess bevis i avsnitt 1.4, om satser, bevis och bevismetodik.

Exempel 1.1.4

√ Är talet 1 + 2 rationellt? √ Lösning: √ Om vi antar att 1 + 2 är rationellt, så kan det skrivas som 1 + 2 = a/b, för några lämpliga heltal a och b. Då kan vi även skriva om denna likhet som √

2=

a b a−b a −1= − = . b b b b

√ Både a − b och b är heltal, så då skulle vi ha lyckats skriva 2 som ett bråk, vilket motsäger√ Sats 1.1.3. Vi√drar slutsatsen att antagandet att vi √ kunde skriva 1 + 2 som 1 + 2 = a/b var felaktigt, och att 1 + 2 därför är irrationellt.

Det sätt att resonera som vi använde oss av i ovanstående exempel kallas motsägelsebevis. Vi återkommer till detta i avsnitt 1.4.

Den sista uppsättningen tal som ska behandlas i denna bok är de komplexa talen, som betecknas med symbolen . Dessa inför vi i kapitel 6.

De olika talsystemen kan förknippas med de olika typer av ekvationer som kan lösas med hjälp av dem.

Alla ekvationer i variabeln x av typen a + x = b där a och b är naturliga tal kan lösas med hjälp av heltal, nämligen x = b − a.

Alla ekvationer av typen ax = b där a 0 och b är heltal kan lösas med hjälp av rationella tal, nämligen x = b/a.

Alla ekvationer av typen ax2 + bx + c = 0 där a, b och c är reella tal kan lösas med hjälp av komplexa tal (om inte a = b = 0, c 0), nämligen √ −b ± b2 − 4ac . x= 2a Den sista punkten på listan återkommer vi till i kapitel 2 och 6.

2017-05-18 – sida 11 – # 13

1.1 Tal

11

Övningar till avsnitt 1.1 Bokens uppgifter syftar till att pröva och stärka läsarens förståelse för det material som presenterats i respektive avsnitt. Du skall inte förvänta dig att du kan lösa alla dessa uppgifter utan ansträngning utan att ha läst texten noggrant och reflekterat över definitioner, satser, bevis och exempel. Om du fastnar på en uppgift, bör den första åtgärden vara att gå tillbaka till texten för att stärka din förståelse för de begrepp som ingår i uppgiften.

1. Visa att följande tal är rationella, genom att skriva dem som ett bråk där både täljare och nämnare är heltal. √ √ √ e) (1 + 2) · (1 − 2) a) 5 b) 4 c) 0,1 d) 0,6 7 f) 0,111111111111. . .

g) −0,31

h) 0,123

2. Avgör utan att räkna med decimaler vilket av talen x och y som är störst. √ 577 37 b) x = 2 och y = a) x = 13 7 och y = 17 408 √ √ √ och y = 35 d) x = 2 3 och y = 13 c) x = 5−1 2

3. Skriv om

3+

√

8 till formen a +

√

b för lämpligt val av a, b ∈ .

4. Är summan av två rationella tal rationell? Med andra ord: Om man kan skriva talet a som ett bråk, a = k/ och talet b som b = m/n där k, , m och n är heltal, kan man då skriva a + b som ett bråk?

5. Är produkten av två rationella tal alltid rationell? Visa detta genom att skriva produkten av två godtyckliga rationella tal som ett bråk, eller ge ett motexempel. √ √ 6. Argumentera för varför talet 2 · 2 är irrationellt, givet att 2 är irrationellt.

7. Låt r 0 vara ett rationellt tal och p vara ett irrationellt tal. Är talet r · p rationellt eller irrationellt?

8. Ge exempel på två irrationella tal p och q sådana att p·q är rationellt. √ √ 9. Argumentera för varför talet 2 + 2 är irrationellt, givet att 2 är irrationellt.

10. Låt r vara ett rationellt tal och p vara ett irrationellt tal. Argumentera för varför talet r + p är irrationellt.

11. Är talet c = log2 (3) rationellt?

2017-05-18 – sida 12 – # 14

12

Kapitel 1 Grunder

1.2 Mängdlära Två grundläggande aspekter av all matematik är generalisering och förenkling. Detta yttrar sig bland annat i att man så långt som möjligt försöker uttrycka olika saker med grund i samma begrepp. Ett mycket viktigt sådant grundbegrepp är mängdbegreppet. Alla matematiska objekt kan beskrivas helt och hållet i termer av mängder.

I detta avsnitt inför vi därför begreppet mängd och tillhörande grundläggande terminologi, notation och operationer. Vi beskriver sedan ett sätt att visualisera mängder och deras inbördes förhållanden, nämligen så kallade Venn-diagram. Vi avslutar med att formulera de Morgans lagar, som beskriver hur vissa av mängdoperationerna hänger ihop.

Begreppet mängd är ett så kallat primitivt begrepp, och kan därför inte i strikt mening definieras. Vi använder begreppet för att beteckna en samling objekt, eller element, där elementens inbördes ordning inte har någon betydelse.

Exempel på mängder är mängden träd i en viss skog, mängden distinkta lösningar till en ekvation och mängden heltal. En mängd A som innehåller elementen 1, 2 och 3 skrivs på formen A = {1, 2, 3}. Detta skrivsätt utläses ”A är lika med mängden av talen 1, 2 och 3”. Eftersom den inbördes ordningen inte spelar någon roll gäller exempelvis att {1, 2, 3} = {2, 1, 3}. Parenteserna { och } kallas i detta sammanhang mängdklamrar.

Den grundläggande relationen i mängdlära är tillhörighetsrelationen, som säger om ett element förekommer i en mängd. Relationen skrivs med symbolen ∈. Exempelvis gäller att 1 ∈ {1, 2, 3}, vilket utläses ”1 tillhör mängden . . . ”. Vanligen låter man varje element förekomma högst en gång i en mängd; ytterligare förekomster är överflödiga. Vi skulle exempelvis säga att {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3}. Dessa två mängder är lika, eftersom de innehåller samma element, nämligen 1, 2 och 3.

Om ett element inte ingår i en viss mängd använder vi symbolen

√ 2

, för att ange detta.

Exempelvis gäller alltså enligt Sats 1.1.3 att √ vilket utläses ” 2 tillhör inte mängden ”.

En speciell mängd är den så kallade tomma mängden, som kännetecknas av att den inte innehåller några element alls. Den betecknas med symbolen ∅, och man kan skriva ∅ = {}. För varje element a gäller alltså att a ∅.

2017-05-18 – sida 13 – # 15

1.2 Mängdlära

13

Exempel 1.2.1

De typer av tal vi talade om i avsnitt 1.1 kan med mängdbeteckningar skrivas som följer. = {1, 2, 3, ...} = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} = { ab sådana att a ∈ , b ∈ } = {Alla reella tal} I ovanstående exempel ser vi att det ibland kan gå bra att genom en uppräkning antyda vilka element en mängd innehåller. När vi ser att = {1, 2, 3, ...} inser vi utan större problem hur resten av uppräkningen av elementen skulle se ut. I försöket att specificera vilka element mängden innehåller skulle det vara svårt att skriva ned början på en lista, där man lätt kunde förstå hur listan skulle fortsätta. Då kan man som i exemplet ovan använda sig av någon entydig beskrivning av vad objekten i mängden har för egenskaper.

Ett vanligt skrivsätt är {x : A(x)}, där A(x) är en beskrivning av vilka egenskaper x ska uppfylla för att vara ett element i mängden.

Skrivsättet utläses ”mängden av alla de x som uppfyller A(x)”.

Ibland vill man bara tala om sådana x som är hämtade ur en viss grundmängd, exempelvis de reella talen. Då skriver man vanligtvis detta som {x ∈ : A(x)}, och utläser det som ”mängden av alla reella tal x som uppfyller A(x)”.

Exempel 1.2.2

Mängden {x ∈ : x > 4} är mängden av alla reella tal som är strikt större än 4.

Efter de inledande exemplen på till synes olika mängder som ändå räknas som lika, och denna diskussion om hur man kan ange vilka element som ingår i en mängd kan vi nu ge en definition av likhet mellan mängder, och därefter en definition av ett slags ordningsbegrepp mellan mängder som är relaterat till relationen ≤ mellan tal.

Definition 1.2.3

Två mängder A och B är identiska, A = B, om varje element som tillhör A även tillhör B, och vice versa.

2017-05-18 – sida 14 – # 16

14

Kapitel 1 Grunder

Definition 1.2.4

Vi säger att en mängd B är en delmängd till mängden A om varje element x som tillhör B även tillhör A. Vi skriver då B ⊆ A. Om B ⊆ A och B A säger vi att B är en äkta delmängd till A, och skriver B ⊂ A. Om både A ⊆ B och B ⊆ A, så följer att A = B. Detta tas ibland som definitionen av att A = B. Observera att symbolen ⊂ ibland används även då man inte talar om äkta delmängder. För att ytterligare poängtera att B är en äkta delmängd av A skriver man ibland B A. Exempelvis gäller att {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}, och att varje mängd är en delmängd av sig själv, men {1, 2, 3} {1, 2, 3}, eftersom de två mängderna är lika.

Sats 1.1.3 bevisar alltså att , och i själva verket gäller att ⊂ . För talsystemen från avsnitt 1.1 gäller att ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ .

För den tomma mängden ∅ gäller per definition att ∅ ⊆ A, oavsett vilken mängd A betecknar. Även mängder kan uppträda som element i en mängd, och ett viktigt exempel på detta ges i följande definition.

Definition 1.2.5

Det ordnade paret (a, b) definieras som (a, b) = {a, {b}}.

En viktig observation här är att b {b}, alltså att ett element b inte är samma sak som den mängd {b} som endast innehåller detta element.

Poängen med denna definition är att den möjliggör att hålla reda på vilket element som står på vilken plats. Två ordnade par (a, b) och (c, d) är lika, (a, b) = (c, d), om och endast om a = b och c = d. Detta skiljer ordnade par från mängder med två element, vilket illustreras i följande exempel.

Exempel 1.2.6

Eftersom elementens ordning i en mängd inte spelar någon roll gäller {1, 2} = {2, 1}, men (1, 2) (2, 1), eftersom {1, {2}} {2, {1}}.

2017-05-18 – sida 15 – # 17

1.2 Mängdlära

15

En väsentlig egenskap hos en mängd M är hur många element den innehåller, dess så kallade kardinalitet, som skrivs |M |. Vi illustrerar begreppet med ett exempel: Exempel 1.2.7

Mängden M = {1, 3, {2, 1}, A} har kardinalitet |M | = 4, eftersom den innehåller elementen 1, 3, {2, 1} och A. Notera att {2, 1} räknas som ett element i mängden.

Vi inför nu fyra räkneoperationer på mängder, på liknande sätt som +, −, · och ÷ definierar räkneoperationer för tal.

Definition 1.2.8

Låt A och B vara två godtyckliga mängder.

Unionen av A och B är en ny mängd C som innehåller alla element som tillhör A eller B, eller båda dessa mängder. Vi skriver C = A ∪ B = {x : x ∈ A eller x ∈ B}.

Snittet av A och B är en ny mängd D som innehåller alla element som tillhör både A och B. Vi skriver D = A ∩ B = {x : x ∈ A och x ∈ B}.

Differensen mellan A och B är en ny mängd E som innehåller alla element som tillhör A men inte tillhör B. Vi skriver E = A \ B = {x : x ∈ A och x B}.

Den kartesiska produkten mellan A och B är en ny mängd F som innehåller alla ordnade par (a, b) där a ∈ A och b ∈ B. Vi skriver F = A × B = {(a, b) : a ∈ A och b ∈ B}.

Exempel 1.2.9

Låt A = {1, 2, 3} och B = {2, 4, 5}. Då är unionen A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, snittet A ∩ B = {2} och de två möjliga differenserna A \ B = {1, 3} och B \ A = {4, 5}. Den kartesiska produkten är A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5)}.

2017-05-18 – sida 16 – # 18

16

Kapitel 1 Grunder

I vissa sammanhang kan en grundmängd, eller ett univers vara explicit angivet, eller implicit underförstått. För att beteckna universet använder man vanligen bokstaven U , men även andra beteckningar kan förekomma. Universet anger vilken samling av element som avses i det aktuella resonemanget. Om exempelvis U = , så talar vi bara om naturliga tal.

När det finns ett univers är följande definition meningsfull.

Definition 1.2.10

Låt A vara en delmängd av ett univers U . Komplementet till A relativt U är en ny mängd F som består av alla de element i U som inte tillhör A. Vi skriver F = Ac = {x : x A}.

I Definition 1.2.10 är det underförstått att vi inte talar om några andra element än dem som tillhör U . Om vi vill ange detta explicit kan vi till exempel skriva F = {x ∈ U : x A}. Vi ser alltså att Ac egentligen inte är något annat än U \ A. Ibland betecknas komplementet till A med A eller, i äldre texter, med A. Om alla de mängder man betraktar är hämtade ur samma univers, kan de representeras med ett så kallat Venndiagram1 . I Figur 1.1 illustreras mängderna A och B från Exempel 1.2.9 som var sin cirkel i universet U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De element som respektive cirkel omsluter är de element som tillhör mängden. Eftersom både A och B innehåller elementet 2, överlappar cirkeln som representerar A den cirkel som representerar B, och i den gemensamma delen placeras elementet 2. Elementet 6 ligger utanför både A och B. U 1 6

2 3

5

A

B

Figur 1.1. Exempel på Venndiagram.

1

John Venn, 1843–1923.

4

2017-05-18 – sida 17 – # 19

1.2 Mängdlära

17

Vi avslutar detta avsnitt med ett exempel och en tillhörande sats.

Exempel 1.2.11

Givet mängderna A = {1, 3, 5, 7, 9} och B = {0, 1, 2, 3, 4}, vad är (A ∪ B)c , där universet U är alla siffror 0, ..., 9?

Lösning: Eftersom A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} ser vi att (A ∪ B)c = {6, 8}.

Ett annat sätt att nå samma resultat är att observera att vi, uttryckt i ord, söker mängden som består av alla element som inte ligger i vare sig A eller B. Vi söker med andra ord snittet mellan Ac = {0, 2, 4, 6, 8} och B c = {5, 6, 7, 8, 9}, vilket återigen ger Ac ∩ B c = {6, 8}.

Ovanstående exempel illustrerar ett generellt resultat, som brukar kallas de Morgans lagar.2 Sats 1.2.12 (de Morgans lagar)

Låt A och B vara två mängder i samma univers U . Då gäller (A ∪ B)c = Ac ∩ B c

och

(A ∩ B)c = Ac ∪ B c

Vi utelämnar här beviset för denna sats, men undersöker den i övningarna.

Övningar till avsnitt 1.2 1. Låt A = {1, 3, 5, 6}, B = {3, 5, 7, 8} och C = {1, 5, 8}. Bestäm a) A ∩ B

b) B ∪ C

e) (B ∩ C) \ A

f) B ∩ (C \ A)

c) A \ C

d) A \ (B ∪ C)

2. Låt A = {n : n = k2 och k ∈ }, B = {m : m ∈ och m2 ≤ 20}, C = och D = . Bestäm a) A ∩ B

b) C ∩ B

e) (A ∪ B) \ C

f) (C \ A) \ D

c) B \ A

d) A \ D

3. Skriv följande mängder på formen {x : A(x)}. Försök att så långt som möjligt använda dig av formelspråk, snarare än beskrivningar med ord. Kan du skriva mängden på mer än ett sätt?

2

Augustus de Morgan, 1806–1871.

2017-05-18 – sida 18 – # 20

18

Kapitel 1 Grunder

a) b) c) d)

Alla Alla Alla Alla

reella tal som är större än sin egen kvadrat. udda heltal. rationella tal vars kvadrat är ett heltal. reella tal som är lösning till någon andragradsekvation.

4. Skriv ned samtliga delmängder till mängden A = {a, e} och till mängden B = {b, c, d}. Hur många delmängder har A och B? Kan du formulera en hypotes om hur många delmängder en grundmängd med n element har? Testa din hypotes på en mängd med 4 element. Kan du argumentera för varför din hypotes är riktigt?

5. Hur skulle du uttrycka mängden av alla rationella tal som inte är heltal?

6. Skissa ett Venndiagram där du skuggat det område som representerar B \ A i ett univers U .

7. Skissa ett Venndiagram med två mängder A och B sådana att A∩B = ∅. Skugga det område som representerar Ac .

8. För var och en av deluppgifterna i uppgift 1, skissa ett Venndiagram där du skuggat respektive mängd. Glöm inte att märka ut elementen.

Som univers U kan du ta siffrorna 0 till 9.

9. Skissa Venndiagrammen för (A ∪ B)c respektive Ac ∩ B c , och jämför dem. Hur är detta relaterat till de Morgans lagar? Gör samma sak för (A ∩ B)c respektive Ac ∪ B c .

10. Visa att (A ∩ B) ⊆ A för alla mängder A och B. 11. Är den tomma mängden unik? Om det finns två mängder, A och B, som vardera inte innehåller några element, visa att A = B med hjälp av de definitioner som givits i detta avsnitt.

12. Har varje delmängd av ett minsta element? Har varje delmängd av ett minsta element? Resonera och ge exempel.

13. Låt + vara mängden av alla rationella tal som är strikt större än 0.

Har + ett minsta element? Om ditt svar är ”ja”, ange vilket detta element är. Om ditt svar är ”nej”, ange en oändlig avtagande följd av strikt positiva rationella tal, och argumentera för att det inte finns något sådant minsta tal.

2017-05-18 – sida 19 – # 21

1.3 Logik

19

1.3 Logik En stor del av matematiken handlar om att från vissa grundantaganden, så kallade axiom, dra slutsatser om mer komplicerade begrepp. Det är då naturligtvis viktigt att man inte begår några misstag i sina slutledningar.

För att kunna förkorta och förenkla vissa resonemang använder man sig dels av vissa kompakta skrivsätt, dels av väl valda definitioner.

Vi ska i detta avsnitt studera vilka typer av slutledningar som är giltiga, införa formaliserad notation och terminologi för sådana slutledningar, samt med hjälp av så kallade sanningsvärdestabeller undersöka hur man kan avgöra om en viss slutledning från sanna förutsättningar leder till sanna slutsatser.

Slutledningar Slutledningar och deras giltighet har studerats åtminstone ända sedan Aristoteles3 undersökte vilka former rimliga slutledningar mellan olika påståenden, eller utsagor, har. Den kanske mest grundläggande slutledningsformen är följande. Antag att utsagan A är sann, och att utsagan A medför att en annan utsaga, B är sann. Ur detta kan vi sluta oss till att även utsagan B är sann.

Exempel 1.3.1

Om solen skiner så åker vi på utflykt. Solen skiner. Alltså åker vi på utflykt.

Att detta är en giltig slutledning har naturligtvis inget med solen eller utflykter att göra — det är slutledningens form som gör den riktig. Ett vanligt sätt att presentera denna slutledning är enligt följande schema.

A→B A B Här står A för utsagan ”Solen skiner”, och B för utsagan ”Vi åker på utflykt”. Pilen → i diagrammet är ett så kallat logiskt konnektiv, som skall utläsas som ”medför”, eller ”implicerar”, alltså att utsagan A implicerar utsagan B. Pilen kallas materiell implikation, och ibland 3

Aristoteles, 384–322 före vår tideräkning.

2017-05-18 – sida 20 – # 22

20

Kapitel 1 Grunder

utläser man A → B som ”Om A så B”. Strecket skiljer förutsättningarna, eller premisserna som de också kallas, från slutsatsen. Denna slutledningsform kallas vanligtvis modus ponens.

Den som accepterar att både A är sant och att A → B är sant, men inte accepterar att B är sant resonerar inte logiskt. Detta ger alltså ett exempel på en hållbar argumentationsstruktur, nämligen att A tillsammans med A → B logiskt implicerar B, vilket uttrycks symboliskt med symbolen =⇒ . Denna symbol kallas logisk implikation, och är mycket vanligt förekommande i matematisk text. Den används på det sättet att om man accepterar som sant allt som står till vänster om =⇒ , så följer det med logisk nödvändighet att man även måste acceptera det som står till höger om =⇒ som sant.

Om vi återvänder till exempel 1.3.1, så kan vi beskriva skillnaden mellan → och =⇒ på följande sätt: Utsagan ”Om solen skiner så åker vi på utflykt” är ingen logisk sanning, och därför använder man där den materiella implikationen →. Det hade kunnat vara på något annat sätt, så att även om solen verkligen skiner, så kanske vi inte skulle åka på utflykt. Slutledningen i sin helhet är dock en logisk sanning, så om det är sant att A → B och sant att A så måste det med logisk nödvändighet vara sant att B. I nästa avsnitt definierar vi → och =⇒ mer formellt.

Exempel 1.3.2

Om solen skiner så åker vi på utflykt. Vi åker inte på utflykt. Alltså skiner inte solen.

Ovanstående exempel är också ett exempel på en logiskt riktig slutledning, som i schematisk form skulle se ut som följer.

A→B ¬B ¬A Symbolen ¬ är även den ett logiskt konnektiv, som utläses som ”icke”, och ¬A utläses som ”icke A”, eller ”negationen av A”. Den som både accepterar ¬B och A → B, men inte accepterar ¬A resonerar inte logiskt.4 I vardagsspråk kan vi utveckla detta resonemang på följande vis: I alla de fall som solen skiner så åker vi på utflykt. Om vi inte åker på utflykt så kan det alltså inte vara så att solen skiner, för i så fall hade vi ju faktiskt åkt på utflykt.

4

Åtminstone inte enligt klassisk logik.

ROBERT JOHANSSON LARS-DANIEL ÖHMAN

LARS-DANIEL ÖHMAN är docent och lektor i matematik vid Umeå universitet.

Utöver sin egen forskning och undervisning är han engagerad i didaktiska och populärvetenskapliga frågor, kursutveckling samt utveckling av kursmaterial, och är utnämnd till excellent lärare.

Introduktion till högre studier i matematik

ROBERT JOHANSSON är lektor i matematik och prefekt för institutionen för matematik och matematisk statistik vid Umeå universitet. Han har ett brett intresse för matematik och gränslandet mellan matematik och datavetenskap. Han har tidigare som studierektor varit involverad i utvecklings- och kvalitetsarbete inom grundutbildningen, och är utnämnd till meriterad lärare.

JOHANSSON ÖHMAN

Denna lärobok är i första hand en introduktion till matematikstudier på universitetsnivå. Bevis ingår som en central del och boken lägger stor vikt vid att förmedla och lära ut innebörden av matematiska begrepp. Boken innehåller därför utförliga förklaringar och exempel, och presenterar ofta metoder och formler från flera olika synvinklar.

Boken repeterar även valda delar av gymnasiets matematikkurser, men behandlar matematiken på ett mer stringent sätt.

En vanlig missuppfattning är att matematik bara handlar om tal och beräkningar. I denna bok tar författarna fasta på att resonemang och argumentation är en minst lika viktig del av matematiken.

Boken riktar sig i första hand till nybörjarstudenter på civilingenjörsutbildningar och kandidat- eller magisterprogram i matematik, matematisk statistik och närliggande ämnen.

Upplaga 2

Introduktion till högre studier i

MATEMATIK Best.nr 47-11336-1 Tryck.nr 47-11336-1

4711336100_Cover.indd All Pages

18/05/17 12:19 PM