9789144107745

22 mm

Träning i matematisk problemlösning ger kunskap om tänkbara lösningsstrategier, systematiskt utnyttjande av ett analytisk tänkande, korrekt argumentation och motivering av varje steg i en slutledning. Dessa färdigheter har man nytta av inte bara i matematiska sammanhang utan i en mängd olika situationer i livet.

PAUL VADERLIND | MAT EMAT ISKA

Matematiska utmaningar – en kurs i problemlösning ges vid Stockholms universitet och denna bok följer kursens upplägg. Boken är indelad i fjorton mer eller mindre självständiga kapitel. Tanken är att man ska kunna läsa ett kapitel utan att man för den delen behöver ha läst de tidigare. Bokens innehåll kan indelas i fyra grupper: talteori, algebra, kombinatorik samt geometri. Varje kapitel avslutas med ett antal uppgifter i varierande svårighetsgrad för självständig lösning. De flesta uppgifter kommer från diverse nationella och internationella matematiktävlingar runt om i världen. Mer om själva kursens upplägg kan man finna på http://problem.math.su.se.

UT MANINGAR

Paul Vaderlind doktorerade 1982 i matematik vid Stockholms universitet och är sedan dess lektor i matematik vid denna högskola. Vid sidan av sitt arbete är han också engagerad i tävlingsmatematiken och problemlösning.

Inom detta område har Paul Vaderlind publicerat ett flertal böcker för både barn och vuxna. I mer än 20 år har han också engagerat sig i matematikundervisning för specialklasser vid Danderyds gymnasium. Han är också engagerad i högre matematikutbildning i utvecklingsländerna runtom i världen.

MAT EMAT ISKA UT MANINGAR EN KURS I PROBLEMLÖSNING

MAT EMAT ISKA UT MANINGAR EN KURS I PROBLEMLÖSNING

Boken vänder sig främst till elever på gymnasienivå, studenter vid universitet och högskola inom naturvetenskaper, ingenjörsprogram, teknik, nationalekonomi och företagsekonomi samt till lärare som vill komplettera sin lärarutbildning i matematik. Boken kan även rekommenderas till allmänt matematiskt intresserade som vill utveckla sin problemlösningsförmåga.

Art.nr 38940

PAUL VADERLIND

www.studentlitteratur.se

978-91-44-10774-5_Cover.indd All Pages

2015-01-16 10:04

17 december 2014 – sida 2 – # 2

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 38940 ISBN 978-91-44-10774-5 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur AB 2015 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Omslagsillustration: Shutterstock/Yuri Gayvoronskiy Printed by Graficas Cems S.L., Spain 2015

17 december 2014 – sida 3 – # 3

FÖRORD

Det är ingen självklarhet att kunna definiera vad problemlösning egentligen är. Den beskrivning som jag själv tycker bäst om gavs av en amerikansk matematiker: Problem solving is knowing what to do when you don’t immediately know what to do!

Det är just detta som skiljer en enkel exercis (till exempel multiplikation av två tal) från ett problem. Och denna syn på problemlösning gäller inte enbart i matematiska sammanhang, utan kan tillämpas på vardagssituationer i allmänhet också.

Det som gör matematiken speciellt lämpad för träning i problemlösning är att skickligheten i att lösa uppgifter med hjälp av detta ämne ofta har likheter med att lösa andra typer av problem, långt bortom själva matematiken. Kunskap om tänkbara lösningsstrategier, systematiskt utnyttjande av ett analytisk tänkande, korrekt argumentation, motivering av varje steg i en slutledning, insikter, allt detta lär man sig när man tränar matematisk problemlösning, och har nytta av i många andra sammanhang.

Själva matematiken är förstås mycket mer än bara problemlösning. Den har många funktioner och vida kontaktytor i dagens samhälle. Som forskningsområde är den inriktad på att forma och utforska mönster, sådana som kvantitet, struktur, rum och förändring. Som hjälpvetenskap tillhandahåller den metoder för att möjliggöra beräkningar i natur- och samhällsvetenskap och säkerställa att dessa sker på korrekta grunder, men kan även hantera nytillkomna problem som att analysera stora datamängder. Vad vore till exempel telefonavlyssnandet utan matematik? Som kunskapsfilosofi är matematiken i en ädlare version inriktad på att analysera det mänskliga tänkandets grundvalar, bland annat i logik.

I sin samhällstjänst används matematiken ofta som modell för hur ett © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

3

17 december 2014 – sida 4 – # 4

förord

problem skall ställas upp, lösas och presenteras för att lösningen skall kunna anammas och accepteras i vida kretsar. Det märks inte minst i utformningen av många tester för intelligens eller personlighet. Då används problem formade efter matematiska förebilder för att se hur en person exempelvis hanterar visuella-spatiala mönster eller logiska slutledningar (tänk till exempel på det svenska högskoleprovet).

Matematisk problemlösning, har samtidigt en potential som ofta förbises, nämligen att kittla nyfikenheten, sporra tankeverksamheten och utmana till nya intellektuella äventyr. Det är sådana aktiviteter som denna kurs och denna bok vill stimulera till. Förhoppningsvis kan materialet även motverka den tristess som ibland kan lägra sig över rutiniserad matematikundervisning.

Denna text i matematisk problemlösning är indelad i fjorton mer eller mindre självständiga kapitel. Tanken är att man ska kunna läsa ett kapitel utan att man för den delen behövt ha läst de tidigare. Därför finns det en viss upprepning av definitioner och begrepp. Val av ämnen baseras på mina föreläsningar för specialklasser på Danderyds gymnasium under de senaste 25 åren. Dessa ämnen är på inget sätt uttömmande och kunde med lätthet fördubblas. Det som presenteras är bara några få men saftiga russin av ett mycket stort antal i den matematiska kakan.

Bokens innehåll kan indelas i fyra grupper: talteori (kapitel 4, 6, 7), algebra (8, 11, 12, 13), kombinatorik (1, 2, 5) samt geometri (3, 9, 10, 14). Kapitlen inom varje grupp har jag försökt ordna efter svårighetsgrad.

Varje kapitel avslutas med ett antal uppgifter för självständig lösning, samlade under det fantasifulla namnet Hemuppgifter. Varje uppgift är markerad med en till tre stjärnor (*, **, ***) beroende på hur jag uppfattar dess svårighetsgrad. Några svårare uppgifter har till och med fått fyra stjärnor. Orsaken till att ha med dem är att de helt enkelt är snygga. Efter visa problemstexter finns symbolen (L), vilket betyder att det finns en ledtråd som man eventuellt kan hämta in från kursens webbsida, http://problem.math.su.se¹. Reglerna för att få tillgång till ledtråden framgår av kursbeskrivningen. De flesta uppgifter kommer från diverse nationella och internationella matematiktävlingar runt om i världen.

Det vanligaste med matematiska uppgifter är att det bara finns ett svar, men, som tur är, finns det oftast många olika vägar som leder till det svaret.

1 Problemlösningskursen som ges vid Matematiska institutionen, Stockholms universitet.

4

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 5 – # 5

förord

Viktigt är förstås att vägen är korrekt, motiveringar fullständiga och baserade på teorin som framställts i kapitlet, eller är känd från tidigare. Inte desto mindre krävs det en viss dos av kreativitet, fantasi och ett mått av tålamod. De smartaste lösningarna kommer tyvärr inte alltid omedelbart. Och ibland kommer inte de mindre smarta lösningarna så kvickt heller, suck, för den delen.

Jag vill rikta ett stort tack till mina kollegor som har läst de preliminära versionerna och kommit med värdefulla förslag till förbättringar: Toomas Liiv, Per Alexandersson och Dag Jonsson. Mitt största tack går till min vän Rikard Bøgvad, som med sina ironiska kommentarer har gjort texten lättare och mera jordnära.

Och självklart är jag mycket tacksam Stiftelsen Marcus och Amalia Wallenbergs Minnesfond, vars generösa bidrag gjorde utveckling av denna kurs möjlig.

Paul November 2014

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

5

17 december 2014 – sida 6 – # 6

INNEHÅLL

Förord 3

Innehåll 6

KAPITEL 0

0.1 0.2

Första utmaningen 11 Lösningsförslag 13

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3 1.4

6

Elementära trick i kombinatoriken 39

Introduktion 39 Paritetskontroll 39 Färgläggningsargument 41 Invarianter 44 Lådprincipen 49 Hemuppgifter 52

KAPITEL 3

3.1

Vägning och spel 19

Introduktion 19 Vägningar 20 Vinnande strategi 24 Hemuppgifter 29

KAPITEL 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Aptitretare 11

Likformighet och area 63

Introduktion 63 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 7 – # 7

innehåll

3.2 3.3 3.4

Likformighet 66 Area 76 Hemuppgifter 84

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Introduktion 95 Matematisk induktion 98 Induktionsprincipen 101 Några exempel 102 Inte bara talteori 108 Stark induktion 111 Falsk induktion 115 Lite teori 118 Hemuppgifter 122

KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Delbarhet 165

Introduktion 165 Primtalsfaktorisering 168 Delbarhetsregler 173 Appendix 177 Hemuppgifter 179

KAPITEL 7

7.1 7.2

Permutationer och kombinationer 133

Introduktion 133 Kombinationer 137 Binomialsatsen 143 Permutationer 146 Extra uppgifter 153 Hemuppgifter 155

KAPITEL 6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Matematisk induktion 95

Kongruenser 187

En miljondröm 187 Introduktion 187

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

7

17 december 2014 – sida 8 – # 8

innehåll

7.3 7.4 7.5 7.6

Några fler exempel 191 Division och multiplikativ invers 196 Appendix 200 Hemuppgifter 202

KAPITEL 8

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Introduktion 209 Faktorisering 210 Systematisk analys 214 Ekvationssystem 217 Absolutbelopp 224 Andra metoder 228 Hemuppgifter 238

KAPITEL 9

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

8

Inskrivna och omskrivna fyrhörningar 273

Introduktion 273 Bevisen 276 Några exempel 283 Hemuppgifter 289

KAPITEL 11

11.1 11.2

Trianglar och linjer 249

Introduktion 249 Lite förkunskaper 250 Bisektriser 252 Mittpunktsnormaler 257 Höjder 258 Medianer 260 Cevas sats 261 Hemuppgifter 267

KAPITEL 10

10.1 10.2 10.3 10.4

Ekvationer och ekvationssystem 209

Polynom 301

Introduktion 301 Polynomdivision 304 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 9 – # 9

innehåll

11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8

Faktorsatsen 309 Viètes formler 315 Nollställena till heltalspolynom 319 Multipla nollställen och derivator 322 Att finna ett polynom 324 Hemuppgifter 330

KAPITEL 12

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Introduktion 337 Grundläggande egenskaper 339 Fler samband och ekvationer 340 En snygg formel 344 Appendix 347 Hemuppgifter 348

KAPITEL 13

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Olikheter 353

Introduktion 353 Omordningsolikheten 355 Exempel 357 Generalisering av omordningsolikheten 360 Appendix: bevis 368 Hemuppgifter 370

KAPITEL 14

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7

Heltalsdelen 337

Geometriska olikheter 377

Introduktion 377 Grundläggande olikheter 377 Olikheter för triangelns sidor 381 Ptolemaios olikhet 385 Fler exempel 389 Appendix 391 Hemuppgifter 393

Sakregister 401

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

9

17 december 2014 – sida 10 – # 10

KAPITEL 3

17 december 2014 – sida 63 – # 63

Likformighet och area

3.1 Introduktion Den typ av geometri som praktiserades i Egypten och Babylonien tillhör den så kallade empiriska vetenskapen, kunskap baserad på erfarenhet. Den grekiska geometrin var däremot deduktiv: alla påståenden och formler behövde bevisas innan de kunde accepteras som sanna. Man nöjde sig alltså inte med att formlerna fungerade i praktiken, utan man strävade efter bevis i form av strikta, logiska argument och resonemang. Detta krav på bevis utgör den stora skillnaden mellan den grekiska matematiken och matematiken i de andra, äldre kulturerna¹. Hade det inte varit för denna utveckling hade den alltid lika intellektuellt klarsynte och välformulerade Bellman alltså aldrig skrivit i sin självbiografi ”Hjärnan ännu i mig vrides, när jag tänker på Euklides och på de trianglarna ABC och CDA...”.

Till de grekiska matematikernas största bedrifter räknas den tidiga upptäckten och studiet av det vi i dag kallar likformighet av geometriska figurer.

Likformighet är den geometriska motsvarigheten till begreppet proportion som används för tal. Ingen annan gammal kultur ägnade likformighet samma uppmärksamhet och nådde därmed aldrig samma nivå i geometrikunnandet.

Det är i dag mycket svårt att tänka sig hur vår vetenskap skulle se ut om grekerna inte upptäckt nyttan av detta begrepp. Hur hittar man till en krog (eller mjölkbar) utan likformighet, till exempel i form av Google Maps, skulle man kunna fråga, långt mindre till månen.

Likformigheten hade redan från själva början en oändlig praktisk nytta.

Den användes till att fastställa avstånd till annars otillgängliga objekt, som båtar ute till havs eller till månen, till att beräkna höjder på byggnader och berg, och till att rita kartor såväl som planritningar av diverse konstruk1 Faktiskt inte bara de äldre kulturerna. Det fanns kulturer som kom efter grekerna och som fortfarande såg matematiken enbart som en empirisk vetenskap.

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

63

17 december 2014 – sida 64 – # 64

3 likformighet och area

tionsprojekt. Planritningar är kanske just den allra viktigaste tillämpningen (förutom det där med kartor, då). Att byggingenjörer använder sig av ritningar av hus i en bestämd skala upplever vi som en självklarhet. Men så var det inte förr i världen och speciellt inte i andra kulturer (som, utan kartor, alltså var tvungna att fråga efter vägen i en mycket större utsträckning, vilket är jobbigt i till exempel krig, och som utan byggritningar också råkade ut för fadäser som Babels torn, som ju visade sig vara pinsamt stor – fadäsen alltså, inte tornet – med katastrofala följder).

I detta kapitel koncentrerar vi oss på elementära begrepp i plangeometri, sådana som likformighet, kongruens och area av en figur i planet. Innan vi fördjupar oss i detta ämne bör vi, åtminstone intuitivt, definiera vad vi menar med en figur i planet (i vilket fall som helst absolut inte en flygkapare).

Inte varje punktmängd i planet kan, hur sjaskig den än är, enligt vårt sätt att se detta, kallas för en figur. Men vi vill inte ge oss in här i sådana helt strikta resonemang, för då kan vi råka ut för paradoxen (se till exempel definitionerna i klassikern ”Matematikterminologi för skolan”) att man nog bör ha doktorsexamen i matematik för att egentligen förstå vad till exempel en triangel är.... och då har man ju andra så mycket roligare problem att ägna sig åt. Vi är ute efter att våra figurer ska ha area, och även förstås annars vara väluppfostrade, och tänker oss att i våra tillämpningar kommer de att bestå av trianglar, fyrhörningar (speciellt rektanglar), och cirkelskivor eller dylikt, så att de självklart har area.

Definition 3.1. Med en figur kommer vi att mena en sådan punktmängd i planet som kan framställas som en mängd (möjligen oändlig) av trianglar med disjunkta inre (två trianglar har disjunkta inre om det inte finns någon punkt som ligger inuti båda trianglarna samtidigt).

En triangel är självklart en figur men det är ju också som sig bör en cirkelskiva. Den kan nämligen framställas som en oändlig mängd av trianglar med disjunkta inre. I figuren nedan finns en ”triangulerad” åttahörning och några första, av oändligt många, trianglar i triangulering av en cirkel (vi kan fortsätta denna konstruktion genom att lägga till nya punkter på cirkelns periferin och skapa nya trianglar).

64

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 65 – # 65

3 likformighet och area

Nu ska vi alltså beskriva en av de häftigaste idéerna någonsin. Det märks till en början absolut inte alls!

Definition 3.2. Två geometriska figurer kallas för likformiga om det finns en entydig korrespondens mellan punkter i den ena och punkter i den andra och följande två villkor är uppfyllda.

• Villkor 1: Vinklar i den ena figuren är lika stora (mera precist: har samma mått) som motsvarande vinklar i den andra figuren. Alltså: om vi har en vinkel ∠ABC vid punkten B i den ena figuren, så är den lika stor som vinkeln ∠A′ B′ C ′ vid punkten B′ i den andra figuren. (där förstås A svarar mot A′ osv.)

• Villkor 2: Alla avstånd mellan två punkter i den ena figuren (där vi mäter avståndet i planet) är förminskade eller förstorade på samma sätt i förhållande till motsvarande avstånd i den andra figuren.

Uttrycket ”på samma sätt” ovan innebär att det finns ett positivt tal p som har den egenskapen att varje sträcka i den ena figuren har en längd som är p gånger längden av motsvarande sträcka i den andra figuren. Talet p kallas då för likformighetsfaktorn. Den som en gång stoppat in en figur, till exempel ett porträttfoto (jaja, det kanske inte är en figur i meningen ovan, men approximativt en cirkelskiva i alla fall) i en kopiator för att förstora den, säg 200 %, har skapat en likformig figur – alla vinklar är desamma och likformighetsfaktorn är 2.

Om figurerna A och B är likformiga, skriver vi det som A ∼ B. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

65

17 december 2014 – sida 66 – # 66

3 likformighet och area

Två geometriska figurer A och B kallas för kongruenta om de är likformiga med likformighetsfaktorn p = 1. Vi skriver då A ≅ B. Med andra ord är dessa figurer identiska så när som på vridning och/eller spegling. Man kan klippa ut en av dessa från papperet och lägga den på den andra så att de precis sammanfaller².

3.2 Likformighet Vi börjar med att formulera och bevisa en grundläggande sats som tillskrivs greken Thales från Miletos (cirka 600-talet före v.t.). Thales, som vi för övrigt inte vet mycket om, inte ens om han var en verklig person eller bara en av mytologins skapelser, anses vara fader till den deduktiva matematiken. Satsen nedan bär därför namnet Thales sats, men i litteraturen kallas den också för Basic Proportionality Theorem. Det sista är ungefär som att tala om vem mördaren är redan i titeln på en deckare.

Observera att AB i vår notation betecknar dels sträckan mellan punkterna A och B, men också sträckans längd, som annars i litteraturen betecknas med ∣AB∣. I vissa enstaka fall gäller beteckningen också linjen genom A och B. Vilket som är fallet kommer att framgå tydligt av sammanhanget. Likheter av typen AB = CD betyder alltså att sträckorna AB och CD är lika långa.

Sats 3.1 (Thales sats). Antag att en linje parallell med sidan BC av △ABC skär sidan AB i punkten D och sidan AC i punkten E. Då gäller DB EC AB AC = och = .

AD AE AD AE Bevis. Men är frestad att liksom i skollitteraturen bevisa satsen med hjälp av likformigheten mellan trianglarna △ABC och △ADE. Detta är dock inte den 2 Två trianglar är alltså kongruenta om de är likformiga med likformighetsfaktor 1.

Motsvarande vinklar är då lika stora och notsvarande sidor är lika långa. Det räcker faktiskt att motsvarande sidor är lika långa (S-S-S), eller att två par av sidor är lika långa, medan vinklarna mellan dessa sidor är lika stora (S-V-S). Det tredje alternativet är att vinklarna är lika stora och att en sida i en triangel är lika lång som motsvarande sida i den andra triangeln (V-S-V).

66

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 67 – # 67

3 likformighet och area

bästa vägen då just denna sats ligger till grunden för beviset av ekvivalensen³ mellan de olika likformighetsfallen (Sats 3.3).

Vårt bevis bygger i stället på en egenskap hos begreppet area av en triangel som vi mer utförligt arbetar oss igenom i nästa avsnitt. Egenskapen säger att areaförhållandet mellan två trianglar med lika stora höjder är detsamma som längdförhållandet mellan trianglarnas baser (alltså de sidor som står mot dessa höjder).

Betrakta trianglarna △DBE och △ADE i figuren nedan. Eftersom de har samma höjd h (från hörnet E) så är b

E

C

b

h

b

A

b b

B

D

area(△DBE) DB ⋅ = area(△ADE) AD ⋅

h 2 h 2

=

DB AD

(⋆)

3 En utsaga på formen ”A medför B” kallas för en implikation och skrivs ofta som A ⇒ B. Utsagan är en ekvivalens om både A ⇒ B och dess omvändning B ⇒ A är sanna. Man skriver då A ⇐⇒ B, A om och endast om B.

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

67

17 december 2014 – sida 68 – # 68

3 likformighet och area

På samma sätt har trianglarna △ECD och △AED samma höjd från hörnet D, vilket medför att area(△ECD) EC = area(△AED) AE

(⋆⋆)

Å andra sidan är area(△DBE) = area(△ECD), eftersom dessa trianglar har samma bas, DE, medan hörnen B och C ligger på en linje parallell med DE, och alltså har lika stort vinkelrät avstånd till dem. Således är vänstra ledet i likheten (⋆) ovan lika med vänstra ledet i likheten (⋆⋆) och därmed är DB EC = .

AD AE DB EC Om vi nu adderar 1 till båda leden får vi att 1 + = 1+ . Då är AD AE AD DB AE EC AD + DB AE + EC + = + = , dvs. . Detta innebär alltså att AD AD AE AE AD AE AB AC = , och beviset är klart.

AD AE Thales sats är i själva verket en ekvivalens. Det är inte svårt att visa följande: Sats 3.2 (Omvändning till Thales sats). Antag att en linje skär sidorna AB och DB EC AC i △ABC i punkterna D och E respektive. Om = så är DE parallell AD AE med BC. Bevis. Antag motsatsen, alltså antag att linjen DE inte är parallell med BC. Dra i så fall en linje genom D som är parallell med BC. Linjen kommer då att skära sidan AC i en punkt E 1 . Antag att punkten E 1 ligger mellan A och E, som i figuren nedan. (Fallet då E 1 ligger mellan E och C behandlar man på liknande sätt.) b

C

E E1

b b

b

A

68

b

D

b

B

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

17 december 2014 – sida 69 – # 69

3 likformighet och area

DB E1 C = . Tillsammans med vårt antagande AD AE 1 E 1 C EC E 1 E + EC EC = = innebär det att , alltså . Multiplicerar vi AE 1 AE AE 1 AE 1 + E 1 E bägge leden med nämnarna så får vi att E 1 E ⋅ AE 1 + (E 1 E)2 + EC ⋅ E 1 E = 0, vilket är detsamma som E 1 E ⋅ (AE 1 + E 1 E + EC) = 0, dvs. E 1 E ⋅ AC = 0. Den sista likheten medför att E 1 E = 0, som inträffar endast om punkterna E och E 1 sammanfaller. Linjen DE måste därmed vara parallell med BC. Enligt Sats 3.1 måste då

För figurer i planet kräver definitionen av likformighet att motsvarande vinklar är lika stora och att motsvarande sträckors längder förhåller sig till varandra i samma proportion. Situationen är dock lite enklare för likformighet av trianglar. Där räcker det till exempel att bara kräva att motsvarande vinklar är lika stora. Då följer automatiskt att motsvarande sidors längder förhåller sig till varandra i samma proportion. Eller tvärtom. Dessa egenskaper, som faktiskt gör det så vansinnigt mycket enklare att leva nära trianglar, än med vissa figurer vi kunde nämna, samlar vi i en sats. Beviset, som är ett direkt utnyttjande av Sats 3.1 och 3.2, lämnas som en övning (hemuppgifterna 3.1 och 3.2).

Sats 3.3. Låt ABC och A 1 B 1 C 1 vara två trianglar. Då är följande tre villkor ekvivalenta: (a) ∠A = ∠A 1 , ∠B = ∠B 1 och ∠C = ∠C 1 (villkoret V-V-V) AB BC AC (b) = = (villkoret S-S-S) A1 B1 B1 C1 A1 C1 AB AC (c) ∠A = ∠A 1 och = (villkoret S-V-S) A1 B1 A1 C1 Vart och ett av dessa tre villkor (Vinkel-Vinkel-Vinkel, Sida-Sida-Sida och Sida-Vinkel-Sida) medför alltså att △ABC ∼ △A 1 B 1 C 1 .

En omedelbar konsekvens är det som i litteratur ofta kallas för topptriangelsatsen: Korollarium 3.1 (Topptriangelsatsen). Givet en triangel △ABC. Antag att en linje skär sidan AB i punkten D och sidan AC i punkten E (precis som i Thales © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

69

17 december 2014 – sida 70 – # 70

3 likformighet och area

sats, Sats 3.1 och 3.2). Då är DE parallell med BC om och endast om trianglarna △ABC och △ADE är likformiga.

-

Det bör kanske påminnas nu om vikten av att vid beskrivningen av likformiga figurer ange hörnen i båda i rätt ordning. Skriver vi att △ABC ∼ △XY Z så innebär det att vinklarna vid A och X är lika stora och likaså vinklarna vid B och Y, samt vid C och Z. Om inte annat, underlättar det att hitta de rätta proportionella sidor: första par av hörnen i △ABC svarar mot första par av hörnen i △XY Z osv.

Exempel 3.1. Tre parallella linjer, s 1 , s 2 och s 3 , skär två andra linjer, l 1 och l 2 i punkterna A, B, C, D, E och F respektive (enligt figuren nedan). Visa att AC CE = .

BD DF s3

s2

s1

F D

B

l1 l2

P A

C

E

Lösning: Om linjerna l 1 och l 2 är parallella, är ABDC och CDFE parallellogrammer4 och båda kvoterna är lika med 1. Antag därför att l 1 och l 2 inte är parallella och att deras skärningspunkt är P. PA PB PA AC Enligt Sats 3.1 gäller då att = , vilket kan skrivas som = .

AC BD PB BD PC CE Precis på samma sätt får vi också likheten = .

PD DF 4 Parallellogram kan definieras på flera olika sätt. Ett sådant sätt är som en fyrhörning med parallella motstående sidor och ett annat som en fyrhörning där motstående vinklar är lika stora. Eller som en fyrhörning där motstående sidor är lika långa, eller som en fyrhörning där diagonalerna skär varandra i mitten. Enkelt sagt: en härlig figur. Det är en trevlig geometriövning att visa att alla dessa definitioner är ekvivalenta.

70

© F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

i

17 december 2014 – sida 71 – # 71

3 likformighet och area

PC PA + AC PA = = (där den sista likheten enkelt PD PB + BD PB AC PA PC CE kan verifieras5) följer det att = = = .

BD PB PD DF Eftersom vi har att

Exempel 3.2. Punkten D delar sidan AB i △ABC i förhållande 2 ∶ 1. Punkten E ligger på mitten av sidan AC. I vilket förhållande delar medianen BE sträckan CD? (En median är en sträcka som förbinder ett av triangelns hörn med mitten av motstående sida.)

C

E F

A

B

D

Lösning: Som så ofta i geometrin ska man vara generös med att rita in nya hjälplinjer eller cirklar. I detta fall räcker det med en enda extra linje: linjen genom punkten D parallell med AC (se figuren nedan), som skär BE i punkten H. i C

E F H A

D

B

5 Detta är annars innebörden i Lemma 9.1 i kapitel 9: Antag att a, b, c och d är reella tal sådana a c a a+c att = . Då gäller att = . En korsvis multiplikation ger omedelbart ett bevis. b d b b+d © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

71

i

22 mm

Träning i matematisk problemlösning ger kunskap om tänkbara lösningsstrategier, systematiskt utnyttjande av ett analytisk tänkande, korrekt argumentation och motivering av varje steg i en slutledning. Dessa färdigheter har man nytta av inte bara i matematiska sammanhang utan i en mängd olika situationer i livet.

PAUL VADERLIND | MAT EMAT ISKA

Matematiska utmaningar – en kurs i problemlösning ges vid Stockholms universitet och denna bok följer kursens upplägg. Boken är indelad i fjorton mer eller mindre självständiga kapitel. Tanken är att man ska kunna läsa ett kapitel utan att man för den delen behöver ha läst de tidigare. Bokens innehåll kan indelas i fyra grupper: talteori, algebra, kombinatorik samt geometri. Varje kapitel avslutas med ett antal uppgifter i varierande svårighetsgrad för självständig lösning. De flesta uppgifter kommer från diverse nationella och internationella matematiktävlingar runt om i världen. Mer om själva kursens upplägg kan man finna på http://problem.math.su.se.

UT MANINGAR

Paul Vaderlind doktorerade 1982 i matematik vid Stockholms universitet och är sedan dess lektor i matematik vid denna högskola. Vid sidan av sitt arbete är han också engagerad i tävlingsmatematiken och problemlösning.

Inom detta område har Paul Vaderlind publicerat ett flertal böcker för både barn och vuxna. I mer än 20 år har han också engagerat sig i matematikundervisning för specialklasser vid Danderyds gymnasium. Han är också engagerad i högre matematikutbildning i utvecklingsländerna runtom i världen.

MAT EMAT ISKA UT MANINGAR EN KURS I PROBLEMLÖSNING

MAT EMAT ISKA UT MANINGAR EN KURS I PROBLEMLÖSNING

Boken vänder sig främst till elever på gymnasienivå, studenter vid universitet och högskola inom naturvetenskaper, ingenjörsprogram, teknik, nationalekonomi och företagsekonomi samt till lärare som vill komplettera sin lärarutbildning i matematik. Boken kan även rekommenderas till allmänt matematiskt intresserade som vill utveckla sin problemlösningsförmåga.

Art.nr 38940

PAUL VADERLIND

www.studentlitteratur.se

978-91-44-10774-5_Cover.indd All Pages

2015-01-16 10:04