9789147019229

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & R u m är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • jonas sj u n n esson • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

NT Best.nr 47-01922-9 Tryck.nr 47-01922-9

OMSLAG NT CD.indd 1

C+D

li b e r

NT A +­­B C+D E 08-06-18 08.48.44

Innehåll Kurs c 1 Algebra och ekvationer

7

Potenser och potensfunktioner 9 Polynom 22 Rationella uttryck 36 Mer om ekvationer 49 Generella metoder 60 Repetition av kapitlets begrepp 62 Repetitionsövningar 63 Blandade problem 66

2 Derivator

67

Derivator 68 Förändringar och förändringshastigheter 69 Gränsvärden 79 Derivator 92 Tillämpningar av derivatan 108 Grafhuset och förändrings­hastighet 128 Repetition av kapitlets begrepp 132 Repetitionsövningar 133 Blandade problem 136

3 exponentialfunktioner och logaritmer 139

Exponentialfunktioner och logaritmer 140 Tillämpningar på exponential­funktioner och logaritmer 154 Derivator 167 Repetition av kapitlets begrepp 176 Repetitionsövningar 177 Blandade problem 180

4 Summor och talföljder

183

Aritmetiska serier 184 Geometriska serier 188 Talföljder 201 Summatecken – ett smart sätt att skriva summor 208 Repetition av kapitlets begrepp 210 Repetitionsövningar 211 Blandade problem 213

Tal&Rum NT c+d - s 1-6 - inledn.4 4

08-06-18 09.00.14

Innehåll Kurs d 5 Trigonometri

215

De trigonometriska grundbegreppen 216 Triangelsatser 229 Trigonometriska funktioner 241 Trigonometriska samband 254 Trigonometriska ekvationer 264 Repetition av kapitlets begrepp 273 Repetitionsövningar 274 Blandade problem 277

6 Mer om derivator 279 Deriveringsregler 285 Trigonometriska funktioner och logaritmer 296 Utvidgning och tillämpning av derivatabegreppet 311 Repetition av kapitlets begrepp 329 Repetitionsövningar 330 Blandade problem 331

7 Integraler

8 tillämpad matematik

377

Benfords lag: Mätetal börjar oftast på 1 378 Zipfs lag: Rangordnade värden ger logloglinjer 384 Musikens matematik 390 Skalans matematik 396

9 Projektarbete

399

Svar med kommentarer 407

333

Inledning 334 Betydelsen av arean under en kurva 335 Primitiva funktioner 338 Integralberäkning 344 Mera om integraler och areor 350 Tillämpningar på integraler 360 Numerisk beräkning av integraler 366 Repetition av kapitlets begrepp 371 Repetitionsövningar 372 Blandade problem 375

Tal&Rum NT c+d - s 1-6 - inledn.5 5

08-06-18 09.00.14

ISBN 978-91-47-01922-9 © 2008 Kimmo Eriksson, Mikael Jonsson, Hillevi Gavel, Jonas Sjunnesson och Liber AB Redaktion Anders Sörensen Formgivare Eva Jerkeman Bildredaktion Marie Olsson Illustrationer Staffan Schulz (frihandsillustrationer), Piroska von Gegerfelt, Björn Magnusson Första upplagan 1 Sättning och ombrytning Monica Schmidt/ Printing Malmö AB Repro Printing Malmö AB Tryck Korotan, Ljubljana, Slovenien 2008

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinne­havare.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundtjanst.liber@liber.se

Tal&Rum NT c+d - s 1-6 - inledn.2 2

08-06-18 15.42.22

algebra och Ekvationer Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.7 7

1

I kurs B fick du lära dig en hel del ­algebra. Där ingick exempelvis konjugat­ regeln, kvadreringsreglerna och analys av andragradsfunktioner. I detta kapitel ska vi repetera, förstärka och utvidga dina algebrakunskaper. Algebran ­kommer sedan vara ett fundament för många andra områden som tas upp i boken. Ett exempel är derivator, som behandlas i kapitel 2. Vi hoppas att detta kapitel ska hjälpa dig att se ­algebrans fördelar och styrkor!

08-06-16 12.42.02

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Algebra kan beskrivas som ”bokstavsräkning”. Oavsett om man håller på med teknik, naturvetenskap, ekonomi eller någon annan matematisk til�lämpning så kommer man bli tvungen att arbeta med formler och samband. Att kunna skriva om och kombinera formler är därför nödvändig kunskap inom många områden där matematiken tillämpas. Denna förmåga behövs också i den ”rena” matematiken, där man räknar utan att ha någon speciell användning i åtanke.

Fördelarna med att arbeta med symboler som representerar värden istället för med värdena själva är flera: • Vid upprepade beräkningar kan man använda algebraiska uttryck för att slippa räkna från början hela tiden utan istället bara stoppa in de nya siffrorna i ett härlett uttryck.

• Man får betydligt större möjligheter till felkontroll. En teknik som används är s.k. dimensionsanalys. Där kontrollerar man enheterna på de ingående variablerna, T.ex. så är

 kg  m = ρ ⋅ V  3 ⋅ m3 = kg  . m  Om man multiplicerar densiteten med volymen så får man massan.

Dimensionsanalysen ger oss information om vilka enheter som ska användas och vad som ”kommer ut”.

• Man kan observera strukturer och mönster och dra generella slutsatser på ett sätt som annars är omöjligt.

Personer som är vana vid algebra föredrar ofta att göra sina beräkningar i bokstäver även om de har siffror till hands, just för att få de här fördelarna.

I det här kapitlet ska vi repetera men också utvidga och fördjupa det vi gjorde i matematik B. Det du lär dig har du stor nytta av i fortsättningen.

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.8 8

08-06-16 12.42.04

Potenser och potensfunktioner

Potenser och potensfunktioner Att kunna räkna med potenser är av största vikt i många sammanhang i matematiken. I denna kurs kommer potenser och potenslagarna att användas i samtliga kapitel. Det faller sig därför naturligt att starta med en kort repetition av dessa lagar.

Potensräkning Vad menas med en potens? Vi tittar på potensen 45. Uttrycket betyder ”produkten av 5 stycken 4:or”, dvs. 4 · 4 · 4 · 4 · 4. Här kallas fyran för bas och femman för exponent.

Vi studerar och motiverar lagarna som du lärt dig i matematik B: Potenslag

Exempel

ax · ay = ax + y

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

ax = ax – y ay (a · b)x = ax · bx

25 2⋅2⋅2⋅2⋅2 = = 23 2⋅2 22 (2 · 3)3 = 2 · 3 · 2 · 3 · 2 · 3 = 23 · 33

Exponent

5

4 Bas

(23)4 = 23 · 23 · 23 · 23 = 23 + 3 + 3 + 3 = 212

(ax)y = ax · y

Observera att dessa lagar bara är garanterade att gälla för positiva baser.

För negativa baser finns det en del situationer där de gäller och en del där de inte gäller.

Vi har också ett antal definitioner som är viktiga att känna till.

Vad menas t.ex. med a0? Detta kan förklaras på följande sätt: För att potenslagen ax /ay = ax – y ska gälla när x = y så måste a0 = 1. Studera följande exempel: 23 /23 = 23 – 3 = 20. Här vet vi att 23 /23 = 8/8 = 1 och vi inser att om x = y så kommer det alltid att stå samma sak i täljare som i nämnare och då blir det ju ett.

Definition

a0 = 1, vilket alltså betyder att (vad som helst)0 = 1

Vad betyder a–n, alltså ett uttryck med en negativ exponent. Det förklaras med samma lag. Vi studerar 23 6

2

= 2−3 =

2⋅2⋅2 1 1 = = .

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 23

Vi ser här att 2−3 =

1 23

. Allmänt kan detta skrivas så här:

Definition

a−n =

1 1 1 , vilket då betyder att 10−3 = , 7−5 = 5 , osv. an 103 7

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.9 9

08-06-16 12.42.06

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Nu har vi studerat de positiva och negativa exponenterna samt exponenten noll, men vi har bara haft exempel med heltalsexponenter. Vad händer om exponenten inte är ett heltal? Vad betyder t.ex. 21/4? Vi illustrerar med ett exempel: 1/ 4

2

1/ 4

⋅2

1/ 4

1/ 4

⋅2

⋅2

=

1 1 1 1 + + + 24 4 4 4

= 21 = 2

Det verkar som om 21/4 är det tal som gånger sig själv fyra gånger blir 2.

Ett annat sätt att skriva detta är 21/ 4 = 4 2 , alltså fjärderoten ur 2. Det är alltså lösningen till ekvationen x4 = 2. Eftersom denna ekvation har två lösningar, en positiv och en negativ, så bestämmer vi att det är den positiva vi menar. (Det fungerar inte rent praktiskt att ha en beteckning som står för flera saker.)

Allmänt skriver vi: Definition

Bra att komma ihåg!

a ⋅b = a = b

1

1

an =

a⋅ b

1

a , vilket då betyder att 7 3 =

n

3

7 , 10 2 =

2

10 osv.

n

a är det tal som upphöjt i n blir a. Om det finns flera sådana tal så avses det av dem som är positivt.

a b

förutsatt att a och b är positiva.

2

Observera att kvadratrötter.

10 = 10 . Du behöver inte skriva ut tvåan när det gäller

Vi studerar nu ett exempel där de olika potenslagarna används: Potenslagarna

Exempel

1.1 Bra att komma ihåg!

 1 =  83   

2

m  1 a n =  an   

m

2 83

= 22

Förenkla, utan räknare, med hjälp av potenslagarna: (a0 ⋅ a7 )2

a) x3 · x–2

b)

d) 271/3

e) 82/3

a−3

c) 2–3 + 3–2

f) 125–2/3

Lösning: a) x3 · x–2 = x3 + (–2) = x b)

(a0 ⋅ a7 )2 a

−3

=

c) 2−3 + 3−2 = d)

1 27 3

e)

2 83

(a7 )2 a 1

=

−3

3

2

+

1 2

3

a14 a

−3

= a14 − (−3) = a17

1 1 9 8 17 + = + = 8 9 72 72 72

=

=3 1

= (83 )2 = 22 = 4 −

f) 125

2 3

=

1 2/3

125

=

1 1/ 3 2

(125

)

=

1 2

5

=

1 25

10

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.10 10

08-06-16 12.42.12

Potenser och potensfunktioner

Övningar på potensräkning 1.2

Skriv som en potens a) 5–3 · 5–6 2

c) 1.3

1.4

1.5

1.6

3

3 ⋅3 34

d)

Förenkla a) (3x)2

b)

c) (2xy3)3

d)

sambandet A = πr2. Använd potenslagarna för att visa vad som händer med arean av en pizza om a) radien fördubblas b) radien blir tre gånger så stor.

−6

5

(32 ⋅ 33 )2 3−10 (x1,5 )2 x x −2 (x −0,5 )4

Beräkna utan räknare a) 41/2 b) 271/3 c) 272/3 d) 324/5

1.13 Förklara med potenslagarna varför

24 = 2 2 ⋅ 3 .

Beräkna utan räknare a) 4–1/2 b) 125–2/3 c) 9–3/2 d) 32–3/5

1.14 Stämmer följande påstående: ”En tredjedel

av 330 är 310”. Om inte, vad ska det vara?

Förenkla uttrycket så långt som möjligt a) c)

1.7

b)

1.12 Som du vet kan cirkeln area beräknas med

5−3

x ⋅ x −3,2 ⋅ x0,3 x −0,9 (6ab3 )2

b)

0

1.15 Vi påstår att (vad som helst) = 1. Gäller det

(a3 ⋅ b −1,5 )4

0

även 0 ? Kontrollera också vad din miniräknare säger!

a2 ⋅ b −5

1.16 I marginalrutan på föregående sida står för-

(2a −2 )3 (0, 5b0,5 )2

Förenkla

4

x +1

behållet ”förutsatt att a och b är positiva” efter regeln ab = a b . Varför då?

3x / 4

⋅ 16

5x / 3

8

1.17 Finns det någon regel om att

1.8

1.9

Vad menas med begreppen potens, bas, och exponent? a) Är det korrekt att säga att ekvationen x2 = 4 har lösningen x = ±2? b) Är det korrekt att säga att 41/2 är ±2?

Resonemang

1.10 Förklara med hjälp av potenslagen

a

x

= a x − y varför 30 = 1 och 3−2 =

1.18 Stämmer nedanstående beräkning?

((−10) ) 2

1/ 2

= (− 10)2⋅1/ 2 = (− 10)1 = − 10

Om inte: vari ligger felet?

Problem

1.19 Förenkla

1

32 a 1.11 Förklara med hjälp av potenslagen y

a + b ? Motivera!

samma sak som

Begrepp

a + b blir

.

ax · ay = ax + y varför 31/ 4 = 4 3 , där 4 3 är det positiva tal som gånger sig själv fyra gånger blir 3.

(5

x

+ 5x + 5x + 5x + 5x + 5x + 5x

).

2

n

1.20 Vad ska talet n vara om

x

1.21 Om du vet att 4 =

y x y  y ⋅ = ? x y x  x 

1 , vad blir då 4–3x?

2

11

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.11 11

08-06-16 12.42.19

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Funktionsbegreppet Inom matematiken är funktionsbegreppet centralt. Innan vi går in på potensfunktioner ska vi därför repetera funktioner i allmänhet.

Formella definitionen av funktion är att det är en regel som kopplar ihop två variabler. Till varje tänkbart värde på den oberoende variabeln (vanligen kallad x) ska det höra exakt ett värde på den beroende variabeln (vanligen kallad y). Om x och y är tal så kan sambandet åskådliggöras med en graf i ett koordinatsystem. Grafen består av alla de talpar som uppfyller funktionssambandet. I den här kursen kommer vi huvudsakligen att arbeta med funktioner där sambandet beskrivs med en formel. Det finns dock situationer där det enda som finns att tillgå är en graf eller en tabell med värden.

Definitionsmängd De värden man kan stoppa in; de tillåtna x-värdena.

Värdemängd De värden som man kan få ut; de y-värden som bildas.

En funktion f har en definitionsmängd Df , vilket är mängden av alla värden på den oberoende variabeln som det är meningsfullt att beräkna funktionen för. Om funktionen beskriver ett verkligt fenomen så brukar verkligheten sätta gränser. (Det är exempelvis inte meningsfullt att beräkna rörelseenergi för något med negativ massa, eftersom negativ massa inte finns.)

Och en del beräkningar sätter gränser för vilka tal man kan använda. (Man kan exempelvis inte dra roten ur ett negativt tal.) Om ingen säger något annat så är definitionsmängden de tal som uttrycket går att räkna ut för.

Vidare har funktionen en värdemängd Vf , vilket är de värden som den beroende variabeln kan anta. Ett exempel där man tar fram definitionsmängd och värdemängd för en funktion och analyserar deras innebörd kommer här:

12

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.12 12

08-06-16 12.42.20

Potenser och potensfunktioner

Exempel

Funktionsbegreppet, definitions- och värdemängd

1.22 En familj med storvulna drömmar har köpt en tomt som angränsas av två

vägar och en älv. Kantlängderna är 60 m respektive 30 m. De har bestämt sig för att bygga ett rektangulärt hus på tomten. Hur ska de bygga för att få en så stor yta som möjligt?

(m)

60

Lösning: För att beskriva detta matematiskt placerar vi in tomten i ett koordinatsystem. Ett funktionsuttryck för linjen (älven) är y(x) = 60 – 2 · x. Det ger rätt värde för x = 0, ty y(0) = 60 – 2 · 0 = 60. Vi kan också se att funktionen har ett nollställe vid x = 30 då y(30) = 60 – 2 · 30 = 0.

30

Det vi nu vill undersöka är hur arean A varierar med x. Vi tecknar funktionen y

A = x · y = x · (60 – 2x) ⇒ A(x) = 60x – 2x2.

Detta är alltså en regel som beskriver hur arean varierar med x-värdet. Vi säger att A är en funktion av x. Vi kan t.ex. bestämma arean då x = 10 vilket ger A(10) = 60 · 10 – 2 · 102 = 400 m2. I detta fall måste x vara större än 0 och mindre än 30. Man säger att funktionens defintionsmängd är 0 < x < 30.

De värden som funktionsvärdet kan anta i definitionsmängden kallas värdemängd! Vi ritar grafen till funktionen för att dels se värdemängden och dels se när arean blir som störst. Enligt grafen verkar det som om vi får maximal area då x = 15. Arean blir då A(15) = 60 · 15 – 2 · 152 = = 450 m2. Funktionens värdemängd är alltså 0 < A ≤ 450. Mellan dessa värden varierar ju funktionsvärdet.

60

(m)

(x, y) A x 30

A m2 400 300 Värdemängd

200 100 x 10

20

30

m

Definitionsmängd Om x = 15 m så blir y = 30 m.

Svar: Om man bygger huset med sidorna 15 m och 30 m får man största boytan som då blir 450 m2.

13

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.13 13

08-06-16 12.42.22

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Formeln A(x) = 60x – 2x2 i exemplet beskriver alltså hur arean beror av x-värdet. Man säger att A är en funktion av x.

Arean av tomten då x = 10 är alltså 400 m2.

Detta skrivs A(10) = 400 och uttalas ”A av 10 är lika med 400”.

Arean då x = 25 beräknas så här: A(25) = 60 · 25 – 2 · 252 = 250 A() = 60 ·  – 2 · 2 Så här kan man tänka: ”I luckan, , ska det alltid stå samma sak!”

Med detta exempel kan vi också förklara vad som menas med lösningen till ekvationen A(x) = 250. Det betyder de x för vilka arean är 250 m2? Det blir den som vi ser i diagrammet för x1 = 5 och x2 = 25. Det vi gjort är att vi grafiskt har löst andragradsekvationen 60x – 2x2 = 250.

I nedanstående exempel ska vi öva på ”luckmetoden”.

Exempel

”Luckmetoden” 2

1.23 Vi studerar i detta fall funktionen f(x) = 2x – 3x + 6. Bestäm

a) f(2)

b) f(–2)

c) f(a3)

d) f(2x)

Lösning: f(x) = 2x2 – 3x + 6 ⇒ f() = 2 · 2 – 3· + 6. Det ska alltså alltid stå samma sak i luckorna. a) f(2) = f( 2 ) = 2 · 2 2 – 3 · 2 + 6 = 8

   2 b) f(–2) = f( –2 ) = 2  –2 – 3 ·  –2 + 6 = 2 · 4 – (–6) + 6 = 20



2





c) f(a3) = f( a3 ) = 2 · a3 – 3 · a3 + 6 = 2a6 – 3a2 + 6



2





d) f(2x) = f( 2x ) = 2 · 2x – 3 · 2x + 6 =

= 2 · (2x)2 – 3(2x) + 6 = 8x2 – 6x + 6

Att tänka på detta sätt kan vara bra innan du blivit helt säker!

Nu ska vi studera ett exempel där vi kopplar funktionsvärdet till grafen!

14

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.14 14

08-06-16 12.42.23

Potenser och potensfunktioner

Exempel

Funktionsvärdet grafiskt.

1.24 Nedan ser du grafen till en funktion y = f(x). y

Funktionsgraf

7 6

Ett nollställe är en punkt där grafen skär x-axeln.

Då gäller f(x) = 0

8 4 3 2 1 –1 –1

x 1

2

Bestäm ur grafen följande. a) f(2)

b) f(–2)

c) f(0)

d) f (f(–2)) e) x så att f(x) = 0

Till det speciella med funktionsgrafer hör att en lodrät linje bara kan skära kur­ van i en punkt. Det är en konsekvens av att det bara får höra ett y till varje x.

(Däremot får gärna samma y höra till flera x, vilket innebär att det inte gör något om en vågrät linje skär grafen på flera ställen.)

Lösning: a) f(2) = 7 eftersom när x = 2 så är y = 7. b) f(–2) = 0 eftersom när x = –2 så är y = 0. c) f(0) = 4 eftersom när x = 0 så är y = 4. d) f ( f(–2)) = f(0) = 4 eftersom f(–2) = 0 och x = 0 ger y = 4. e) f(x) = 0 då x = –2 eftersom funktionen har sitt nollställe där!

15

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.15 15

08-06-16 12.42.24

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på funktionsbegreppet 1.25 Vilka av nedanstående grafer motsvarar

1.31 Figuren nedan visar grafen till y = f(x).

funktionssamband? a) b) 2

y

2

1

y

1 x 2

1

1

c) 2

x

Bestäm ur grafen a) f(4) b) f(0) c) x så att f(x) = 0 d) x så att f(x) = 9 Bestäm ur grafen ett värde på talet a så att ekvationen f(x) = a får precis e) en lösning f) två lösningar g) tre lösningar.

2

y

d) y

2

9

y

8 7

1

1

6

x 2

1

5

x 1

4

2

3 2

2

1.26 Låt f(x) = x – 3x och bestäm sedan

a) f(2) c) f(0)

b) f(–2) d) f(b)

1 –3 –2 –1 –1

2

1.27 Låt g(x) = 2x – 3x + 4 och bestäm sedan

a) g(2) c) g(a + 1) 2

a) g(3) c) g(2a3)

b) g(a · h) d) g(a–3 /3) 2

1.29 Låt f(t) = 4t och bestäm sedan

a) f(2x) c) f(x/2)

b) f(x2) d) f(x3)

1.30 Rita ett koordinatsystem och skissa sedan

grafen till en funktion y = f(x) som uppfyller villkoren nedan: f(1) = 2, f(4) = 5, f(0) = 3, f(x) = 0 då x = 2 och f(x) = 0 då x = 3.

2

3

4

–2

b) g(a) d) g(2a)

1.28 Låt g(x) = 1 – x och bestäm sedan

x 1

–3

1.32 Låt f(x) = 3x – 7 och bestäm

a) f(a + b) c) f(a2) + (f(a))2

b) f(a) + f(b)

Begrepp

1.33 Vad menas med ett nollställe till en funktion?

1.34 Vad menas med begreppen definitionsmängd

och värdemängd?

1.35 Janne som sovit under första lektionen på

funktioner säger: – Det där med funktioner är ju lätt! f(x) betyder ju f · x. Janne har fel!

Hur skulle du ha förklarat det?

1.36 Janne skulle må bra av ett exempel! Förklara

för honom vad t.ex. f(3) = –2 betyder.

16

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.16 16

08-06-16 12.42.25

Potenser och potensfunktioner

1.40 Kostnaden, K(x) kr, för att tillverka

Resonemang

1.37 Anta att du har funktionen f(x). Förklara

(

)2

skillnaden mellan f (a) och f(a2). Ge ett exempel där man tydligt ser skillnaden. Försök sedan hitta en funktion sådan att

( f (a))2 = f (a2).

1.38 Förklara med ett koordinatsystem och dina

matematikkunskaper skillnaden mellan f(a), f(2a) och 2 · f(a).

Ge också exempel på en funktion där lik­ heten f(2a) = 2f(a) gäller och ett exempel på när likheten inte gäller. Motivera!

x stycken enheter av en produkt kan beräknas med K(x) = 1200 + 16x + 0,4x2. När du säljer en vara vill du givetvis gå med vinst.

Teckna ett uttryck för vinsten, V(x) kr, då produkten säljs för 100 kr/st.

1.41 Du vet att f(x) = 3 – 4x och g(x) = 5x + 2.

a) Bestäm f(g(x)). b) Bestäm g(f(x)) c) Lös ekvationen f(g(x)) = –25 d) Lös ekvationen f(f(x)) = 0

Problem

1.39 Mikael som gillar att spela basket kastar

iväg bollen mot korgen. Den höjd h (m) som bollen är på ett visst avstånd x (m) från Mikael kan beräknas med formeln h(x) = 1,30 + 2,1x – 0,5x2. a) Beräkna och tolka f(0) b) Beräkna och tolka f(2) c) Beräkna och tolka f(2) – f(1) d) Beräkna och tolka f(4) – f(3).

17

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.17 17

08-06-16 12.42.28

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Potensfunktioner och potensekvationer

I ett vindkraftverk så beror den utvecklade effekten bland annat på diametern på rotorbladen. I tabellen nedan har vi mätdata på hur effekten (mätt i kW) ändras med rotordiametern. x (meter) y (kW)

20

29

47

86

120

100

225

660

2500

5000

I diagrammet, som är gjort med programmet Grafhuset, syns mätpunkterna och vi har också ritat en potensfunktion. Vi ser att funktionen y = 0,14 · x2,2 stämmer bra mot våra tabellvärden. Detta är ett av många exempel på potensfunktioner som är modeller för olika samband i teknik och natur.

Om man har en serie mätvärden så kan man försöka hitta en formel som passar in på dem.

Datorer är ett bra hjälp­ medel här.

18

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.18 18

08-06-16 12.42.35

potenser och potensfunKtioner

Hur stor diameter skulle då krävas för att vi ska få effekten 6000 W? Detta löser vi med potensekvationen 6000 2,2 0,14 · x2,2 = 6000 ⇔ x = 0,14 x = 428571/ 2.2 =

2,2

42857

⇔ x

2,2

= 42857 ⇒

⇒ x = 127 m

x 2, 2 = 42857

(x ) 2, 2

1

1 2, 2

= 42857 2, 2 1

x = 42857 2, 2

Genom att lösa potensekvationen har vi nu tagit reda på att om diametern är 127 m blir effekten 6000 W enligt den uppställda beräkningsmodellen.

exempel:

VaD gör Vi EgEntligEn?

Upphöjer till båda sidor!

1 2, 2

på

Kapitalförändring

1.42 Du sätter in 1000 kr på din bank, på ett konto med fast ränta. Efter 15 år

har kapitalet stigit till 2500 kr. Hur stor är bankens årsränta och vad har du på kontot efter 30 år?

Lösning: Anta att förändringsfaktorn är x. Detta ger potensekvationen 1

1000 · x15 = 2500 ⇒ x15 = 2,5 ⇒ x = 2, 515 ≈ 1, 063 .

Detta ger att den procentuella förändringen är 6,3 %. Vi kan nu teckna en funktion som beskriver hur kapitalet, K (kr), ändras med tiden, t (år) enligt K = 1000 · 1,063x.

En sådan här funktion kallas en exponentialfunktion. I A-boken började vi studera sådana och det kommer mer om dem i kapitel 3. Använder vi denna modell så blir kapitalet efter 30 år 1000 · 1,06330 = 6250 kr. Här kan det vara smart spara värdet på förändringsfaktorn på räknaren så att man får större noggrannhet.

Svar: Årsräntan är 6,3 % och efter 30 år finns det 6250 kr på kontot.

1

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.19 19

08-06-16 12.42.38

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på potensfunktioner och potensekvationer 1.43 Lös potensekvationerna.

3

a) x = 10 c) x–0,4 = 0,48

1.52 Följande ekvation är given: 5

b) 4x = 20 d) 2x–2,1 = 106

1.44 Lös potensekvationerna.

a) 100x10 = 300 b) 2,5x5 = 1,5 c) 0,125x10 = 0,250

1.45 Lös potensekvationerna exakt utan mini­

räknare a) x2/3 = 9 c) x–3/2 = 27

10000 · x2 = 16000 a) Formulera en fråga som handlar om en verkig situation, och som kan besvaras med hjälp av att lösa denna ekvation. b) Lös ekvationen och ge ett svar på den fråga du formulerat.

(NP matematik C VT 2002)

1.53 Isaac köpte en bil som för fem år sedan var –1/3

b) x

= 2

Begrepp

1.46 Vad menas med en potensfunktion?

Resonemang

1.47 Vad ska båda leden upphöjas till för att det

ska stå x = x1 i vänsterledet? Skriv också upp ekvationens lösning.

Utgå från att x är ett positivt tal. a) x2 = 8 b) x3/7 = 16 c) xb/a = c d) x–b/a = c

1.48 Du har fått i uppgift av din lärare att för-

värd 32000 kr. Efter fem år säljer Isaac bilen för 6000 kr. Med hur många procent har bilens värde minskat med i genomsnitt per år?

1.54 I ett försök undersökte man hur höjden,

h (cm), på ölskummet i ett ölglas avtog med tiden, t (s). Man fann att sambandet kunde beskrivas med modellen h(t) = b · at. Vid mätningen fann man att vid tiden t = 0 var höjden h = 17,0 cm och vid t = 300 var höjden h = 6,3 cm. a) Bestäm konstanterna a och b. b) Hur högt var ölskummet efter 400 s?

(Källa: European Journal of Physics. Nr 23 2002)

klara för en kompis som varit sjuk hur man löser potensekvationer. Visa i detalj på nedanstående exempel hur ekvationerna löses.

Utgå från att x är ett positivt tal. a) x3 – 2 = 8 b) xa – b = c c) (x + 3)7 = 21 d) (x + a)b = c 1.49 Visa att volymen av ett klot blir 27 gånger så

stor om radien ökas med en faktor tre.

Problem

1.50 Beräkna radien i ett klot med volymen

510 cm3.

1.51 Norea sätter in 3000 kr på ett bankkonto.

Efter 20 år har kapitalet ökat till 6600 kr.

Hur stor var årsräntan?

20

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.20 20

08-06-16 12.42.38

Potenser och potensfunktioner

1.55 För att bekämpa skadedjur i Queensland i

Australien så planterade den statliga sockerindustrin i perioden 1935–1937 in en amerikans padda. Då paddorna inte hade några naturliga fiender i Australien bredde de ut sig obehindrat. Man fann att 1939 fanns paddorna på 32 800 km2 och 1974 hade denna area ökat till 584 000 km2. Man fann att sambandet mellan arean, y, och antalet år efter 1939, t, kunde beskrivas med modellen y = b · at. a) Bestäm konstanterna a och b. b) På hur stor yta finns paddorna nu om vi antar att modellen fortfarande gäller?

1.56 På ett år minskade en aktiefond med 35 %.

Vilken genomsnittlig procentuell minskning per månad motsvarar detta?

1.57 Vilken genomsnittlig procentuell ökning per

år motsvarar en ökning på 100 % på 10 år?

1.58 I ett skogsområde används följande modell

för sambandet mellan ett träds massa, m (kg), i torrt tillstånd och trädets diameter, d (cm): m = 0,156 · d 2,53 a) Beräkna vikten av ett träd med diametern 15 cm. b) Beräkna diametern av ett träd med vikten 300 kg. c) Hur många procent ökar trädets vikt med då diametern ökar med 25 % d) Hur många procent ska trädets diameter öka med för att massan ska fördubblas?

21

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.21 21

08-06-16 12.42.47

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Polynom Minns du vad som menas med ett polynom? Polynom är sammansatta av potensuttryck med positiva heltalsexponenter. Man säger t.ex. att p(x) = 2x2 + 3x – 7 är ett polynom av andra graden. Gradtalet definieras av den term som har störst exponent. Talen 2 och 3 kallas för koefficienter och –7 är en konstantterm.

Ett polynom med bara två termer kallas ett binom.

Utveckla och faktorisera Algebraiska uttryck, som polynom, kan skrivas på olika form. De kan vara utvecklade, dvs. skrivna som en summa av produkter. De kan vara faktoriserade, dvs. skrivna som en produkt av summor. Och de kan vara en blandning. x2 + 5x + 6 är ett uttryck på utvecklad form, (x + 2)(x + 3) är samma uttryck på faktoriserad form. Vilken form som är mest användbar beror helt och hållet på vad man håller på med, så man måste kunna gå mellan formerna.

Att känna trygghet och vara säker på att utveckla och faktorisera är viktigt eftersom detta kommer att användas mycket under matematik C. Denna repetition av den algebra som du använde i matematik B är sådan kunskap som ska sitta i ”ryggmärgen”. Om du lär dig att direkt kunna ”se” vad man ska göra så behöver du sedan inte fundera så mycket utan du kan koncentrera dig på de nya begrepp som kommer under kursen. Det handlar följaktligen om att dels förstå men också ”nöta” in baskunskaperna.

Vi börjar med några bekanta regler:

ac

bc

a

b

c+d

bd

c

ad

d

Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

Distributiva lagen kan motiveras geometriskt som i figuren bredvid, där (a + b)(c + d) betyder arean av hela rektangeln. ac + bc + ad + bd är summan av delrektanglarna.

a+b

Ett specialfall av den distributiva lagen är när de två parenteserna är lika.

Vi får då de så kallade kvadreringsreglerna.

ab

a

b

a+b

b

a2

Kvadreringsreglerna 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a+b

b2

a

ab

2:a kvadreringsregeln (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ett geometriskt bevis av första kvadreringsregeln syns i figuren. Givetvis kan bägge reglerna visas med hjälp av den distributiva lagen enligt nedan. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2

22

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.22 22

08-06-16 12.42.48

Polynom

Termen 2ab kallas den ”dubbla produkten”.

Observera att alla dessa regler kan läsas åt båda hållen. Från vänster till höger är de en beskrivning av hur man utvecklar uttryck, från höger till vänster beskriver de hur man faktoriserar.

Exempel

Hur använder man kvadreringsreglerna?

1.59 Utveckla följande kvadrater med hjälp av kvadreringsreglerna.

a) (x + 5)2

b) (7 – a)2

c) (4b + 3)2

Lösning: a) (x + 5)2 = x2 + 10x + 25 Här är a2 = x2, 2ab = 2 · 5 · x och b2 = 25 b) (7 – a)2 = 49 – 14a + a2 c) (4b + 3)2 = (4b)2 + 2 · 4b · 3 + 32 = 16b2 + 24b + 9 Exempel

Förenkling av större uttryck

1.60 Utveckla och förenkla uttrycket

4(x + 5) – 5(3x – 1)2 – 2(6 + 2x) + (2 – x)2 Lösning: 1. Vi börjar med att utveckla kvadraterna med kvadreringsreglerna. Obs. Vi behåller parenteserna.

2. Multiplicera sedan in i parenteserna.

3. Ta sedan bort parenteserna. Tänk på att byta tecken om så behövs.

4. Vi förenklar, dvs. samlar termer av samma sort.

1. 4(x + 5) – 5(9x2 – 6x + 1) – 2(6 + 2x) + (4 – 4x + x2) 2. (4x + 20) – (45x2 – 30x + 5) – (12 + 4x) + (4 – 4x + x2) 3. 4x + 20 – 45x2 + 30x – 5 – 12 – 4x + 4 – 4x + x2 4. –44x2 + 26x + 7 Svar: –44x2 + 26x + 7 Kommentar: Observera att man med fördel kan ta flera av dessa steg på en gång när man är van.

23

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.23 23

08-06-16 12.42.48

Kapitel 1 algebra och ekvationer

b

Med konjugatet till binomet a + b menas a – b. Om konjugaten multipliceras med varandra får vi konjugatregeln!

a–b

b

Konjugatregeln (a + b)(a – b) = a2 – b2

a

I figuren ser vi hur konjugatregeln kan visas geometriskt. Den översta figuren har arean a2 och den nedre har arean (a + b)(a – b). Övre figurens area minus vita kvadraten blir nedre figurens area. Alltså

a

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

a+b

Detta kan också visas med ”parentesmultiplikation”. a–b

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

Exempel

Hur använder man konjugatregeln?

1.61 Skriv följande produkter som summor

a) (x + 3)(x – 3)

b) (2x – 5)(2x + 5)

c) (a + 3b)(3b – a)

Lösning: I samtliga fall kan konjugatregeln användas. a) (x + 3)(x – 3) = x2 – 32 = x2 – 9 b) (2x – 5)(2x + 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25 c) (a + 3b)(3b – a) = (3b + a)(3b – a) = (3b)2 – a2 = 9b2 – a2

Att faktorisera betyder att man delar upp i faktorer. Exempel på detta är t.ex. 2a + 2b = 2 · (a + b) och a2 – b2 = (a + b) · (a – b). I det första exemplet har vi brutit ut faktorn 2. Att faktorisera är alltså motsatsen till det vi gjort i de inledande exemplen, där vi multiplicerat ihop uttryck och multi­ plicerat in tal i uttryck. Operationen faktorisering har många användningsområden. Ett av dem är vid förenklingar, vilket kan visas så här:

Att faktorisera är oftast svårare än att multipli­ cera ihop. Därför bör man alltid tänka sig för innan man multiplicerar.

För operationen en närmare målet?

a2 − b2 (a + b) ⋅ (a − b) a − b = = 2a + 2b 2 ⋅ (a + b) 2 Vi ser att när vi faktoriserar a2 – b2 = (a + b) · (a – b) så får de enskilda faktorerna graden ett medan det ursprungliga uttrycket hade graden två.

Det gäller alltid att summan av faktorernas gradtal är lika med det utvecklade uttryckets grad. Att på detta sätt ”få ner” gradtalet är användbart vid t.ex. förenklingar eller ekvationslösning.

24

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.24 24

08-06-16 12.42.49

Polynom

Exempel

Faktorisering genom att bryta ut

1.62 Faktorisera nedanstående polynom

a) 3x2 + 9y

b) 6x2–36x

c) 5x3y2 – 5x2y3

d) (x – 5)(x + 2) + 7(x – 5)(x + 6)

Lösning: Vi bryter ut största möjliga faktor i samtliga fall a) 3x2 + 3 · 3y = 3(x2 + 3y) b) 6x2 – 36x = 6x · x – 6x · 6 = 6x(x – 6) c) 5x3y2 – 5x2y3 = 5x2y2 · x – 5x2y2 · y = 5x2y2(x – y) d) (x – 5)(x + 2) + 7(x – 5)(x + 6) = (x – 5)(x + 2) + 7(x – 5)(x + 6) = = (x – 5)(8x + 44) (Observera att det i det här fallet inte är en bra idé att multiplicera ihop parenteserna innan man börjar faktorisera.)

Kommentar: När du tränat tillräckligt mycket kan man med fördel hoppa över mellanleden om du direkt ser vad de ska bli!

På motsvarande sätt kan man faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna och konjugatregeln: Exempel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsregler

1.63 Faktorisera nedanstående polynom:

a) x2 + 6x + 9

b) 36 – 60x + 25x2

c) 2a2 – 18b2

d) 80t5 – 5t

Lösning: .

Här gäller det att se att kvadreringsreglerna respektive konjugatregeln kan användas: a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) 36 – 60x + 25x2 = 62 + 2 · 6 · 5x + (5x)2 = (6 + 5x)2 c) 2a2 – 18b2 = 2(a2 – 9b2) = 2(a2 – (3b)2) = 2(a + 3b)(a – 3b) d) 80t5 – 5t = 5t(16t4 – 1) = 5t((4t2)2 – 12) = = 5t(4t2 + 1)(4t2 – 1) = 5t(4t2 + 1)((2t)2 – 12) = = 5t(4t2 + 1)(2t + 1)(2t – 1) Kommentar: I den sista faktoriseringen ser vi att det också handlar om att veta när man inte kan faktorisera längre. 4t2 + 1 går inte att faktorisera medan 4t2 – 1 går. Varför 4t2 + 1 inte går att faktorisera kommer vi till.

Men enkelt uttryckt så kan man inte faktorisera ett andragradspolynom om polynomet aldrig kan bli noll. Men som sagt var, mer om detta senare.

25

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.25 25

08-06-16 12.42.50

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på utveckla och faktorisera 1.64 Utveckla

2

2

a) (x + 2) c) (x + 2)(x – 2)

1.76 a) 4(x + 2)(x + 7) – 8(x + 2)(2x + 3)

b) (x + 3)2 – 9y2

b) (2x + 3) d) (2b + 3a)(2b – 3a)

1.65 Utveckla och förenkla

a) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 b) (0,1a – 1)(5 + 0,1a) – (0,1a – 2)2 c) 2(x – 2)2 – (5 + 2x)

Begrepp

1.77 Vad menas med konjugatet till ett binom?

Ge ett exempel.

(Ett binom innehåller två termer. Du vet väl att bi står för två?)

2

x   x  x d)  − 1 +  1 −   1 +  2  2 2   1.66 Utveckla och förenkla

a) 2(a + h) – 7(a + h)2 – 2(a – 3a2) b) 3(2x – 3)2 – 5(6x + 3)2 – – 6(6x + 3)(6x – 3)

1.78 Vad menas med att faktorisera? Ge ett exem-

pel på när det kan vara användbart.

1.79 Vad är den dubbla produkten?

1.80 Försök att göra ett geometriskt bevis för den

distributiva lagen.

2

1.67 Låt f(x) = x + 2x och förenkla sedan

a)

f (2 + h) − f (2) f (a + h) − f (a) b) h h

Resonemang

1.81 Att det måste vara något fel i nedanstående

1.68 Utveckla och förenkla

a) (2x + 2–x)2

b) ax(a3x + 2a–x)

1.69 Lös ekvationerna

a) (3x + 4)2 – (2x + 3)2 = = (4 – 3x)2 – (3 – 2x)2 b) 5t2 – (2t + 1)(t – 3) – 3(t + 4)(t – 4) = 0

Faktorisera uttrycken så långt som möjligt i övningarna nedan. b) 2x – 17x2 d) 2x3y4 – 4x2y3

1.70 a) 2x + 10 2

c) xy + y

uträkning är ju uppenbart eftersom 1 ≠ 2.

Fundera vad som sker i varje steg och försök hitta felet! Motivera! a = b a2 = ab a2 – b2 = ab – b2 (a + b)(a – b) = b(a – b) a + b = b b + b = b 2b = b 2 = 1

2

b) y2 – 12y + 36 c) 36 – 60x + 25x d) 9a2b2 – 24ab + 16

1.71 a) x + 6x + 9 2

1.72 a) 16 – x 2 2

c) a b – 49

2

b) 4y2 – 144 d) 16x2y2 – 49a2b2

2

b) x2y4 – z8 c) 2a2 – 4ab + 2b2 d) 18x4 – 12x3 + 2x2

1.73 a) 50 – 2x

x + 2

b) x3 + h – x3

4

b) 80t5 – 5t

1.74 a) a

2n c) b + bn

1.75 a) p – 1

c) x80 – 1

26

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.26 26

08-06-16 12.42.52

Polynom

1.82 Finns det något värde på talet a så att 2

1.84 En parallellogram har sidlängderna a och b

uttrycket x + a innehåller faktorn x + 7?

och diagonalerna d1 och d2. Visa den så kallade parallellogramsatsen

Problem

d12 + d22 = 2a2 + 2b2

1.83 En kvadrat har sidan a + b, se figur. Kvadra-

ten är uppdelad i en kvadrat med sidan c och fyra rätvinkliga tringlar med kateterna a och b och hypotenusan c.

Med ord: Summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på sidorna. a d1

b d2

b

h

x

a

a

c b

b

a

ab a) Motivera likheten (a + b)2 = c 2 + 4 ⋅ 2 med hjälp av figuren. b) Vad får man om man utvecklar kvadraten och förenklar likheten?

27

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.27 27

08-06-16 12.42.53

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Pascals triangel Ett magiskt mönster Nedan ser vi hur en serie binom (a + b)n är utvecklade för olika värden på n = 0, 1, 2, … med hjälp av en symbolhanterande räknare.

Vi studerar mönstret och tittar på koefficienterna framför termerna. Vi skriver dem för sig: 1 1a + 1b 1a2 + 2ab + 1b2 3 1a + 3a2b + 3ab2 + 1b3 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Ser du hur termerna bildas? (a + b)5 innehåller termerna a5, a4b, a3b2, a2b3, ab4, b5. Vilka är då koefficienterna framför? Detta får vi ur nästa rad i Pascals triangel! Ser du mönstret? Du har alltid ettor på kanten och sedan får du nästa koefficient genom att lägga ihop talen ovanför. Detta ger alltså (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Fundera nu själv: Kan du bestämma t.ex. (a + b)6 och (a + b)7?

Ett annat mönster som uppkommer är om du summerar talen i varje rad i Pascals triangel. n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Summan 1 Summan 1 + 1 = 2 Summan 1 + 2 + 1 = 4 Summan 1 + 3 + 3 + 1 = 8

Fundera på mönstret. Vad är summa nummer n?

28

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.28 28

08-06-16 12.42.53

Polynom

Andragradsfunktionen och andragradsekvationen Förstagradsfunktioner motsvarar räta linjer, och kommer att tas upp i detalj i nästa kapitel. De kan skrivas på formen y = kx + m. Här ska vi koncentrera oss på den näst enklaste formen av polynomfunktion: andragradsfunktionen.

En andragradsfunktion kan allmänt skrivas: y(x) = ax2 + bx + c. Den kurva som uttrycket beskriver kallas en parabel. Konstanten a avgör kurvans form. Ju större värde, ju smalare kurva. Se vänstra grafen nedan. y 14

a=1

3 2

12 10

a = 0,5

1

–2

Negativt a

y a=2

4

–1 –1

Positivt a

x 1

2

3

4

8 6 4

c = 10

2 –1 –2

x

c=8 1

2

3

4

5

c=6

Konstanten c förskjuter kurvan i y-led. Ovan till höger ser vi hur c påverkar grafens utseende. Konstanten c förskjuter kurvan i y-led och avgör grafens skärning med y-axeln. Man får ju värdet c om man sätter in x = 0 i formeln. Alla dessa tre grafer graferna i bilden har a = 2 och följaktligen samma form. Konstanten b:s inverkan på grafen kommer på nästa uppslag.

Det är viktigt att inse sambandet mellan andragradsfunktionens utseende och en andragradsekvations lösning. Nedan syns formeln för lösning av andragradsekvation. Som du kanske minns härleddes denna med hjälp av kvadratkomplettering.

Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningen x = −

p ± 2

2

 p   − q 2

29

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.29 29

08-06-16 12.42.56

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Exempel

En andragradsekvation kan sluta på tre sätt!

1.85 Sök nollställena till funktionerna. De är ritade i den högra bilden på förra

sidan. a) y(x) = 2x2 – 8x + 6 b) y(x) = 2x2 – 8x + 8 c) y(x) = 2x2 – 8x + 10

2

 p   − q > 0 2 Två olika lösningar 2

 p   − q = 0 2 Dubbelrot 2  p   − q < 0 2

Saknar reella lösningar

y

x=a

x

Lösning a)

Lösning b)

Lösning c)

2x2 – 8x + 6 = 0

2x2 – 8x + 8 = 0

2x2 – 8x + 10 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

x2 – 4x + 4 = 0

x2 – 4x + 5 = 0

x = 2 ± 22 − 3

x = 2 ± 22 − 4

x = 2 ± 22 − 5

x = 2 ± 1

x = 2 ± 0

x = 2 ± −1

 x1 = 1

  x2 = 3

x1 = x2 = 2

Saknar reella lösningar

Notera här att i a) så får vi två lösningar (positivt under -tecknet) och vi ser tydligt att den blåa kurvan på förra sidan har nollställena x1 = 1 och x2 = 3. I b) får vi så kallad dubbelrot (noll under -tecknet) och vi ser också att den gröna kurvan tangerar x-axeln just då x = 2. Den sista ekvationen saknar reella lösningar (negativt under -tecknet) och vi ser att den röda kurvan aldrig skär x-axeln.

f(a) fmin = f(a) där a är symmetrilinjens läge

Som synes är andragradskurvorna symmetriska och detta kan bland annat utnyttjas för att bestämma max- eller minpunkt, den högsta eller lägsta punkten på parabeln! Den s.k. symmetrilinjen går alltså alltid genom max-/ minpunkten och värt att notera är att den ligger mitt emellan funktionens nollställen. Under förutsättning att funktionen har nollställen, förstås!

Exempel:

En tillämpning på andragradsfunktionens max/minpunkt

1.86 Mikael busar med sin granne och ska spruta vatten på honom. Grannen

har dock byggt ett 3 m högt plank som Mikael måste komma över. Vattenstrålens höjd över marken som funktion av avståndet från skytten kan beskrivas med funktionen h(x) = 1,30 + 2,1x – 0,5x2. Har han möjlighet att komma över planket?

3m

30

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.30 30

08-06-16 12.43.00

Polynom

Lösning: Vi söker symmetrilinjens läge vilket är mitt emellan nollställena!

h(x) = 0

Symmetrilinjen ligger vid x = 2,1. Talet ”framför ±” blir alltid symmetrilinjens läge.

1,30 + 2,1x – 0,5x2 = 0

x2 – 4,2x – 2,6 = 0

y 3,5 3 2

2

1

x ≈ 2,1 ± 2,6  x1 = 4, 7  (x2 = −0, 5)

–1 –1

x = 2,1 ± 2,1 + 2, 6

x 1

2

3

4

2,1

Här ser vi att funktionens symmetrilinje ligger på x = 2,1 vilket betyder att Mikael bör stå 2,1 m från planket. Funktionens maxpunkt blir då h(2,1) = 1,30 + 2,1 · 2,1 – 0,5 · 2,12 = 3,5. Detta innebär att han kommer över planket och har chans att blöta ner sin granne eftersom strålens högsta punkt är 3,5 m över marken!

Lägg märke till att funktionens ena nollställe är x = 4,7, vilket innebär att strålen kommer att landa 4,7 m bort. Konstanttermen 1,30 står för att han håller slangen på denna höjd.

I det generella uttrycket för andragradsfunktionen y(x) = ax2 + bx + c har vi berört hur konstanterna a och c påverkar grafen. Hur är det då med konstanten b? I figuren syns två funktioner med olika b-värde ritade. Här ser vi att ett förändrat värde på b ändrar både symmetrilinjens läge och minpunktens läge. Grafen förskjuts alltså både i höjd- och sidled. Ett allmänt uttryck för symmetrilinjen kan bestämmas så här: b c b x + = 0 ⇒ x = − ± a a 2a

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

y(x) = ax2 + bx + c; y(x) = 0 ger ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 +

y

b2 4a

2

−

c a

Symmetrilinjen ligger alltså på x = –b/2a. Här ser vi att b påverkar symmetrilinjens läge men att den också påverkas av a. Att också max/minpunkten påverkas av både a och b inser vi då den ju ligger i punkten

x 1

–2 f(x) = x2 + 4x +2 och f(x) = x2 + 2x +2

 b  b   − 2a , f  − 2a   .  

31

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.31 31

08-06-16 12.43.04

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på andragradsfunktionen och andragradsekvationen 1.87 Lös andragradsekvationerna

a) x2 – 4x + 4 = 0 c) 4x2 + 12x + 5 = 0

b) x2 + 4x + 5 = 0 d) 3 + 3x2 = 6x

1.88 Lös ekvationerna

a) x + 4 = x(x + 4) b) 12t(t + 3)–5(t + 3)2 = 4t 1.89 Lös ekvationerna

a) 3x2 – 15x + 18 = 0 b) 2x2 – 22x + 36 = 0

Resonemang

1.96 Beskriv stegvis hur du går tillväga för att

hitta max-/minpunktens x-koordinat för en andragradsfunktion.

1.97 Ställ upp en andragradsekvation som har

lösningarna x1 = –1 och x2 = 3.

1.98 En av lösningarna till ekvationen

2x2 + 4x – a = 0 är x = 3. Bestäm den andra.

1.90 Bestäm nollställen, symmetrilinjens läge

samt max-/minpunkt till funktionerna nedan. a) y(x) = –2x2 + 16x – 30 b) y(x) = 2x2 – 16x + 30 c) y(x) = –3x2 – 3x + 6 d) y(x) = 2x2 + 6x + 10

Problem

1.99 Produkten av två på varandra följande heltal

är 1122. Vilka är talen?

1.100 För vilka värden på a saknar ekvationen

x2 + x = a reella rötter?

2

1.91 I vilken punkt skär funktionerna y-axeln?

a) f(x) = 6x2 – 8x + 12 b) f(x) = –12x2 + 13x – 999

1.92 Lös ekvationerna.

a) 6x + 1 = x + 1 b) 10x + 1 = 17 − x Begrepp

1.93 Vad menas med en dubbelrot? Hur ser

grafen till andragradsfunktionen y = f(x) ut om ekvationen f(x) = 0 ger dubbelrot?

1.94 Hur ser grafen till funktionen y = f(x) ut om

1.101 Kurvan y = ax + bx + c går genom punk-

terna (0, 3), (–1, 6) och (3, 30). Bestäm konstanterna a, b och c.

1.102 På bilden kan ni se ett så kallat popuppmål

där målramen är en del av en parabel som beskrivs av funktionen y(x) = –0,030x2 + 3,6x där y är målramens höjd över marken i cm och x är avståndet i x-led från ena stolpen också mätt i cm. Beräkna målets höjd och bredd.

(Dansk examensskrivning MATEMATIK B-NIVEAU Tisdag den 14. august 2007)

andragradsekvationen f(x) = 0 ger två lösningar och hur ser den ut om du inte får någon reell lösning?

1.95 Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas

y(x) = ax2 + bx + c. Vad betyder konstanten c? Vilken konstant, a, b eller c, bestämmer om funktionen har en max- eller en minpunkt? Motivera.

32

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.32 32

08-06-16 12.43.05

Polynom

1.103 Asteroiden 4-Vesta var i september 2004 så

nära jorden att den kunde ses med en vanlig handkikare. I perioden från början av augusti till början av oktober kunde avståndet mellan jorden och asteroiden beräknas med sambandet. f(t) = 0,01814t2 – 1,121t + 222,4 där tiden, t, är antalet dygn efter 8 augusti och f(t) är avståndet mätt i miljoner km a) Använd din grafräknare och skissa grafen i intervallet 0 ≤ t ≤ 56 b) Lös ekvationen f(t) = 208 och tolka resultatet. c) Bestäm det kortaste avståndet mellan asteroiden 4-Vesta och jorden i det ovan givna intervallet.

1.104 En bils bensinförbrukning, y liter/mil,

är en funktion av farten, x km/h, enligt y(x) = 0,0001x2 – 0,016x + 1,34. Beräkna vid vilken hastighet som bilen har sin lägsta bensinförbrukning.

1.105 Vilket tal har den egenskapen att dess invers

är ett mindre än talet självt?

Faktorisering av polynom I diagrammet bredvid är polynomfunktionen y(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) ritad. Vi ser tydligt att funktionens nollställen är x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 och x = 5. Det är rimligt att y blir 0 just för dessa värden eftersom ekvationen (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) (x – 5) = 0 löses av dessa x-värden. ”Parenteserna blir noll då”. Om vi multiplicerar ihop dessa fem förstagradsfaktorer (vilket kan vara rätt jobbigt) ser vi att funktionen är femtegradsfunktionen

y 4 3 2 1 –1

x 1

2

3

4

1

2

–2 –3 –4

y(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 225x2 + 274x – 120 y

Varje nollställe till funktionen motsvaras av en förstagradsfaktor.

Om man känner en funktions nollställe och funktionstyp så borde man alltså kunna skriva dess formel.

Vi studerar nu funktionerna y(x) = (x – 1)(x – 3) och y(x) = 2(x – 1)(x – 3).

Vi ser att de har samma nollställen. Vi behöver alltså veta något mer än nollställena för att bestämma funktionen!

3 2 1 –1

x 3

–2

33

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.33 33

08-06-16 12.43.07

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Ställ upp funktionen från grafen.

Exempel:

1.106 Bestäm ekvationen för den andragradsfunktion som visas i grafen till

y

­vänster.

8

Lösning:

7 6

y(x) = 0 då x = –3 och x = 1 vilket ger y(x) = k · (x + 3)(x – 1). Sedan vet vi också att y(0) = 6 vilket ger

5 4

k · (0 + 3)(0 – 1) = 6 ⇒ k · 3 · (–1) = 6 ⇒ k = –2

3

Funktionen är alltså y(x) = –2(x + 3)(x – 1)

2 1 –3 –2 –1

x

Nollställena samt skärningen med y-axeln tas ur diagrammet.

1

Denna metod går nu också att använda om man vill faktorisera ett andragradspolynom, eller ett polynom av högre grad. Förutsättningen är att man känner dess nollställen. Denna nya metod visas i nästa exempel.

Exempel

Faktorisering av andragradspolynom

1.107 Faktorisera

a) f(x) = 2x2 – 8x + 6

b) f(x) = –4x2 + 4x + 8

Lösning: Genom att hitta nollställen ser man polynomens faktorer. a) f(x) = 2 · (x2 – 4x + 3) b) f(x) = –4 · (x2 – x – 2) x2 – 4x + 3 = 0 x2 – x – 2 = 0

x = 2 ± 4 − 3

x1 = 1 och x2 = 3 f(x) = 2 · (x – 1)(x – 3)

1 1 8 1 3 ± + = ± 2 4 4 2 2 x1 = 2 och x2 = –1 f(x) = –4 · (x – 2)(x + 1) x=

Lägg märke till hur de röda talen som bryts ut hamnar som koefficienter framför faktorerna!

Om en andragradsfunktion saknar nollställen så går den inte att faktorisera!

Om man vill faktorisera polynom av högre grad än två så gäller även där att varje förstagradsfaktor motsvarar ett nollställe. (T.ex. ger (x – 2) nollstället x = 2.) En polynomfunktion av grad n har högst n nollställen, så har man hittat så många så har man också faktoriseringen klar (så när som på en konstant faktor). Det är dock inte alla polynom som går att bryta ner i förstagradsfaktorer. Men man kan alltid komma ner i faktorer av högst andra graden.

34

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.34 34

08-06-16 12.43.08

Polynom

Övningar på faktorisering av andragradspolynom 1.108 Vilka nollställen har polynomen nedan?

b)

y

a) p(x) = 2(x – 3)(x + 3) b) p(x) = 2(x – 3)(x + 3)(x + 2)(x – 7)

8 6

1.109 Ge ett exempel på ett andragradspolynom

4

med nollställena x1 = 6 och x2 = –3.

2

1.110 Ställ upp ekvationen till funktionerna nedan. y

2 1

–2 –1 –1

1

2

3

–4 –6

3

a)

x

–2 –1 –2

b) x 1

2

3

4

Begrepp

1.114 Rita en skiss av en andragradsfunktion som

inte går att faktorisera.

–2 –3

1.115 Rita en skiss av en andragradsfunktion som

kan skrivas på formen y(x) = k(x – a)(x – a).

1.111 Faktorisera andragradspolynomen

a) y(x) = 2x2 – 10x + 12 b) y(x) = –3x2 + 6x + 9 c) y(x) = 4x2 + 20x + 24 d) y(x) = 5x2 + 30x + 45

1.112 Faktorisera polynomen

a) p(x) = 14x2 – 10x – 4 b) h(t) = 4 + 10t – 6t2

1.113 Graferna nedan visar en andragrads- och en

tredjegradsfunktion. Teckna funktionsuttrycken. a) y

Resonemang

1.116 Avgör om nedanstående faktorisering är

korrekt utförd! Om inte hitta felet f(x) = 2x2 – 6x – 20 ⇒ 2x2 – 6x – 20 = 0 ⇒ x2 – 3x – 10 = 0 ⇒ x=

3 ± 2

9 40 3 7 + ⇒ x= ± ⇒ 4 4 2 2

 x = 5 ⇒  1  x2 = −2 ⇒ f(x) = (x – 5)(x + 2) Problem

9

1.117 Hitta värden på B och C så att ekvationen

8

x2 – Bx + C = 0 har rötterna B och C.

7 6 5 4 3 2 1

x 1

2 3

4

35

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.35 35

08-06-16 12.43.11

Kapitel 1 algebra och eKvationer

rationella uttrycK I detta avsnitt ska vi studera så kallade rationella uttryck. Vi ska jobba med förenklingar av dessa samt givetvis studera några tillämpningar där dessa uttryck förekommer. Vi väljer att med hjälp av en tillämpning från optiken förklara vad ett rationellt uttryck är för något.

vad är ett rationellt uttryck?

film +50 x b

Du vet väl att ratio bety­ der kvot på engelska!

Inom optiken finns ett samband, linsformeln, som kan användas t.ex. då en kamera ska konstrueras. Vi antar att avståndet till linsen från föremålet som ska fotograferas betecknas med x och att linsens brännvidd i detta fall är 50 mm. Då kan avståndet, b i mm, från linsen till filmen beräknas med sambandet: b(x) =

50x x − 50

Som vi ser är detta uttryck en kvot mellan två polynom. På samma sätt som ett tal skrivet på formen a/b, alltså ett bråktal, kallas ett rationellt tal så kallas detta för ett rationellt uttryck.

Definition

Ett rationellt uttryck består av kvoten mellan två polynom.

Rationella uttryck förekommer i många tillämpade sammanhang och att behärska dem är en förutsättning för att kunna ta till sig stora delar av nästa kapitel.

Polynom kan man beräkna för vilka värden som helst på x. Så är det inte med rationella uttryck. Ett rationellt uttryck är inte definierat då nämnaren är lika med 0, för man kan inte dividera med noll.

varför får man inte dividera med noll?

Om man slår in 5/0 i räknaren så får man ERROR. Att dividera med noll är en förbjuden åtgärd. Mer exakt; Ett tal dividerat med noll är inte definierat.

Orsaken är följande: Division är ju motsatsen till multiplikation. Att 6/3 = 2 är samma sak som att 2 · 3 = 6. Man behöver 2 stycken 3:or för att få ihop till 6. Men i så fall måste 5/0 betyda ”det antal 0:or man behöver för att få ihop till 5”. Miniräknarens ERROR betyder att frågan inte går att besvara; det finns inget sådant antal. Hur många nollor vi än tar så blir ju summan av dem noll, inte 5.

36

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.36 36

08-06-16 12.43.12

Rationella uttryck

Exempel

1.118 Avgör för vilket/vilka värden som funktionen h(x) =

rad.

6x 2

x −9

ej är definie-

Lösning: Som vi nu vet så är funktionen inte definierad då nämnaren är lika med noll. Vi tar alltså reda på för vilka x-värden som nämnaren antar värdet noll. x2 – 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±3.

Vi ser alltså här att funktionen ej är definierad då x = ±3.

Om vi tittar på funktionens graf så ser vi vad som händer när vi närmar oss nämnarens nollställen:

I närheten av x = 3 blir x2 – 9 ett litet tal, och division med ett litet tal är ekvivalent med multiplikation med ett stort. Funktionsvärdena skenar iväg, uppåt eller neråt beroende på om uttrycket är positivt eller negativt. De streckade linjerna kallas för asymptoter.

37

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.37 37

08-06-16 12.43.17

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på vad är ett rationellt uttryck?

1.119 För vilka variabelvärden är dessa rationella

1.124 En tank som innehåller vatten har sprungit

funktioner ej definierade? Rita också upp funktionsgraferna på miniräknaren, och kontrollera hur de ser ut i närheten av problem­punkterna.

2− x 15t a) g (x) =

b) h(t) = 2 x t − 25 2x c) f (x) = 2 x − 6x + 8 d) y(x) =

x 2 + 3x − 1 (x + 2)(x − 3)

läck. Den volym, V liter, som finns kvar i tanken t minuter efter det att tanken sprungit läck kan beskrivas med sambandet V(t) = 0,12t2 – 13t + 500. a) Ställ upp ett uttryck, G(t), för den genomsnittliga utströmningshastigheten under en viss tid. b) Beräkna G(3) och tolka resultatet.

1.125 I en park ska man anlägga ett område som

är 1800 m2 stort. Området ska bestå av två stigar och två blomsterrabatter och en gräsplan enligt figuren nedan.

1.120 Skriv upp ett rationellt uttryck som

a) Inte är definierat för x = 6 b) Inte är definierat för x = ±5

blomsterrabatter

blomsterrabatter

3

stig

y

gräsplan

Begrepp

1.121 Vad menas med ett:

a) rationellt tal?

b) rationellt uttryck?

Resonemang

1.122 Finns det rationella funktioner som är

definierade för alla tal?

stig

3

Problem

1.123 De antal minuter en bilist sparar på att öka

hastigheten med 20 km/h på en 30 km lång sträcka kan bestämmas med den rationella funktionen: 36000 f (x) = 2 , x > 0 x + 20x där x är bilens hastighet mätt i km/h innan hastigheten har höjts. a) Hur många minuter sparar bilisten om hastigheten ökas från 110 km/h till 130 km/h. b) Lös ekvationen f(x) = 3 och förklara vad lösningen säger om den tid man sparat.

x

5

5

a) Beräkna arean av gräsplanen då x = 40 m. b) Visa att arean, A, av gräsplanen som funktion av x kan beräknas med den rationella funktionen 1800x − 6x . x + 10 c) Använd din grafritande räknare för att bestämma största möjliga värde för arean.

A(x) =

38

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.38 38

08-06-16 12.43.23

Rationella uttryck

Förenkling av rationella uttryck Då man arbetar med uttryck vill man vanligen ha dem på enklast möjliga form. Det gör dem lättare att räkna ut, minimerar avrundningsfel, och gör dem mer lättöverskådliga. Det finns flera olika sätt att gå till väga då man förenklar.

Ett rationellt tal som t.ex. 20/35 kan ibland förkortas. Det framgår tydligare om man faktoriserar täljare och nämnare.

20 5 ⋅ 4 4 = = 35 5 ⋅ 7 7

=

=

Vad är det då egentligen vi gjort då vi förkortat femmorna? Jo, vi har dividerat med 5 i både täljare och nämnare.

5⋅4 / 5 4 = 5⋅7 / 5 7 Rationella uttryck hanteras på samma sätt. De kan förkortas genom att man faktoriserar täljare och nämnare och sedan stryker de gemensamma faktorerna.

På samma sätt kan man givetvis förlänga ett bråk, vilket används när man t.ex. ska summera rationella tal.

5 3 5 ⋅ 2 3 ⋅ 3 10 9 19 + = + = + = 6 4 6 ⋅ 2 4 ⋅ 3 12 12 12 Samma metod kan användas då man ska addera och subtrahera rationella uttryck.

Vi kommer nu att presentera sex olika förenklingsknep. Om du lär dig att behärska dessa knep så kommer du att lyckas väl med de algebraiska förenklingarna.

Förläng till minsta gemensamma nämnare.

6 = 3 · 2, 4 = 2 · 2 mgn = 3 · 2 · 2 = 12 Vi förlänger med de faktorer som inte är gemensamma.

Minsta gemensamma nämnare mgn för flera bråk är det minsta tal eller enklaste uttryck som alla nämnarna kan förlängas till.

Nedanstående exempel visar på knep 1: ”Att göra liknämnigt”: Exempel

Att sätta på gemensamt bråkstreck

1.126 Förenkla uttrycken

a) 2x +

2x 2x +

3 6

b)

5 2

− 2a 3a

c)

1 1 1 + + 2 x x(x − 1)

Lösning: a) 2x +

2x 8x 12x 4 x 8x 24 x 6 ⋅ 4 x + = + + = = = 4x 3 6 6 6 6 6 6

Knep 1: Gör liknämnigt a) mgn = 2 · 3 = 6 2x 2x ⋅ 6 12x 2x = = = 1 6 6 b) mgn = 2 · 3 · a = 6a

5 2 5⋅3 2 ⋅ 2 15 − 4 11 b) − = − = = 2 a 3a 2 a ⋅ 3 3 a ⋅ 2 6a 6a

39

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.39 39

08-06-16 12.43.27

Kapitel 1 algebra och ekvationer

c) mgn = 2 · x · (x – 1)

c)

1⋅ 2 1 1 1 1 ⋅ x(x − 1) 1 ⋅ 2 ⋅ (x − 1) + = + + = + 2 x x(x − 1) 2 ⋅ x(x − 1) x ⋅ 2 ⋅ (x − 1) x(x − 1) ⋅ 2 x2 + x x(x − 1) + 2(x − 1) + 2 x2 − x + 2x − 2 + 2 = = = 2 ⋅ x(x − 1) 2 ⋅ x(x − 1) 2 ⋅ x(x − 1) x (x + 1) x +1 = = 2 x (x − 1) 2(x − 1) =

Kommentar: Vi ser att även om svårighetsgraden är olika i de tre fallen går man i princip likadant tillväga: Vi förlänger med de faktorer som inte är gemensamma. Vi tittar på sista exemplet. Man kan tänka så här: Vilka faktorer ingår i alla nämnarna? Jo 2, x och x – 1. Förläng då de olika nämnarna med det som saknas! (Det är det som vi rödmarkerat i exemplet.)

Det är inte alltid som uttrycken blir enklare av den här omskrivningen, men den kan vara värd att försöka.

Nästa användbara förenklingsknep, knep 2, är att ”vända” på t.ex. ett binom genom att bryta ut (–1).

5 – x = (–1) · (–5 + x) = (–1) · (x – 5) = –(x – 5) Allmänt kan detta skrivas: (a – b) = (–1) · (b – a) = –(b – a) Detta kommer att visa sig praktiskt att kunna i olika situationer.

Exempel

Knep 2: Bryta ut (–1) 2 – x = (–1) · (x – 2) = = –(x – 2)

I övning 1.133–1.138 får du träna lite på knep 1 och knep 2.

Att bryta ut (–1)

1.127 Förenkla uttrycket

2 1 + x−2 2− x

Lösning: 2 1 2 1 2 1 1 + = + = − = x − 2 2 − x x − 2 −(x − 2) x − 2 x − 2 x − 2

Förkortning av ett uttryck brukar alltid innebära en förenkling. Hur avgör man då om ett rationellt uttryck går att förkorta? Enkelt kan man säga att om du hittar samma faktor i både täljare och nämnare så går det att förkorta! Nyckeln heter alltså faktorisering. Det är långt ifrån alltid som det finns gemensamma faktorer, men vinsten i de fall det finns sådana är så stor att man alltid bör undersöka saken.

Som tidigare visats är att bryta ut ett sätt att faktorisera. Det tredje förenklingsknepet blir just bryta ut!

40

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.40 40

08-06-16 12.43.29

Rationella uttryck

Exempel

Faktorisering genom att bryta ut

1.128 Förenkla uttrycken

5x + 35 a)

10x + 25

3x 2 + 9 x b) x+3

Lösning: 5x + 35 5 ⋅ (x + 7) x+7 = = a) 10x + 25 5 ⋅ (2x + 5) 2x + 5 b)

Knep 3: Bryta ut 10x + 25 = 5 · 2x + 5 · 5 = = 5 · (2x + 5) 3x2 + 9x = 3x · x + 3x · 3 = = 3x · (x + 3)

3x2 + 9x 3x ⋅ (x + 3) = = 3x x+3 (x + 3)

Det kräver mycket träning för att bli duktig och lära sig ”se” hur man kan förenkla ett rationellt uttryck. Kanske lika viktigt som att veta vad du får göra är att veta vad du inte får göra!

Exempel

Ett varnande exempel

1.129 I detta exempel studerar vi ett vanligt förekommande fel! Vad är fel i föl-

jande förenkling och varför?



9a − 3b 3 ⋅ (3a − b) 3 a − b = = = 3−b 3a 3 ⋅a a Lösning: Felet ligger här i den andra förenklingen. Men varför får jag då inte förkorta a när det går bra att förkorta treorna? Jo, att förkorta är ju att dela med samma sak både i täljare och i nämnare och om vi delar med a både upp och nere blir det så här!

3a b − 3a − b (3a − b) / a b a a = = = 3− a a/a 1 a När vi delar med a i täljaren så måste båda termerna delas med a, inte bara 3a som sker i det varnade exemplet!

Vi går vidare med knep 4 och knep 5 vilka innebär faktorisering med kvadreringsreglerna respektive faktorisering med hjälp av konjugatregeln.

41

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.41 41

08-06-16 12.43.32

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Exempel

Faktorisering med konjugatregeln och kvadreringsregeln

1.130 Förenkla uttrycken

a)

x2 − 8x + 16

x−4

b)

2x2 − 200 c)

10 − x Knep 4: kvadreringsregeln x2 – 8x + 16 = = x2 – 2 · 4x + 42 = (x – 4)2 Knep 5 konjugatregeln x2 – 9 = x2 – 32 = = (x + 3)(x – 3)

4 x2 − 6 x + 9 4 x2 − 9

Lösning: a)

x2 − 8x + 16 (x − 4)2 (x − 4) ⋅ (x − 4) = = = x−4 x−4 x−4 (x − 4)

b)

2x2 − 18 2 ⋅ (x2 − 9) 2 ⋅ (x + 3) ⋅ (x − 3) = = = 2(x + 3) x−3 x−3 (x − 3)

c)

d)

2x2 − 200 2(x2 − 100) 2(x − 10)(x + 10) 2(x − 10)(x + 10) = = = = −(x − 10) 10 − x 10 − x 10 − x 2(x + 10) = = −2(x + 10) Bryt ut (–1) −1 4 x2 − 6 x + 9

=

4 x2 − 9 =

I övning 1.139–1.145 får du träna lite på knep 3, 4 och 5.

d)

2x2 − 18 x−3

(2x)2 − 2 ⋅ 3x + 32 (2x)2 − 32

=

(2x − 3)2 = (2x + 3)(2x − 3)

(2x − 3) ⋅ (2x − 3) 2x − 3 = (2x + 3) ⋅ (2x − 3) 2x + 3

Om man inte kan faktorisera genom att bryta ut eller använda kvadrerings- eller konjugatregler så finns också möjligheten att faktorisera genom att söka nollställen: Exempel

Faktorisering med hjälp av nollställen

1.131 Förenkla

2 x2 − 4 x − 6 x3 − x 2 − 2 x

Lösning: Vi kan faktorisera täljare och nämnare genom att söka nollställen. Täljaren först: 2x2 – 4x – 6 = 0

3 2(x2 – 2x – 3) = 0 ⇒ x = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 2 =  −1

Täljaren kan därför faktoriseras som 2(x – 3)(x – (–1)) = 2(x – 3)(x + 1).

Nu faktoriserar vi nämnaren: x3 – x2 – 2x = 0

x(x2 – x – 2) = 0 Testa gärna detta knep i övning 1.146 och 1.147.

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.42 42

1 ± 2

1 1 +2 = ± 4 2

9 2 = 4 −1

Nämnaren kan alltså faktoriseras som x(x – 2)(x – (–1)) = x(x – 2)(x + 1) Därmed kan hela bråket förenklas: 2 x2 − 4 x − 6 3

42

⇒ x = 0 eller x =

2

x − x − 2x

=

2(x − 3)(x + 1) 2(x − 3) = x(x − 2)(x + 1) x(x − 2)

08-06-16 12.43.37

Rationella uttryck

Den här metoden är arbetsammare än de andra, så man bör kontrollera om de går att använda innan man försöker med den här. Vi ska nu sammanfatta de sex förenklingsknep som vi presenterat samt studera ett exempel där de flesta av dessa knep behöver användas.

Dessa frågor kan man alltid prova med om man inte direkt ser vad som kan göras.

• Knep 1: ”Kan jag göra liknämnigt?”

• Knep 2: ”Kan jag bryta ut (–1)?”

• Knep 3: ”Kan jag bryta ut ett tal eller ett uttryck?”

• Knep 4: ”Kan jag faktorisera med någon kvadreringsregel?”

• Knep 5: ”Kan jag faktorisera med hjälp av konjugatregeln?”

• Knep 6: ”Kan jag faktorisera genom att söka nollställen?”

I exemplet nedan ser vi hur de flesta knepen kommer till användning

Exempel

Alla knep på en gång!

1.132 Förenkla uttrycket

2 x2 2x − 1 + 2(x − 1) 1 − x

Knep 2 Bryt ut (–1)

Lösning: 2x − 1 2 x2 2x − 1 2 x2 2x − 1 2x2 − = + = + = 2(x − 1) 1 − x 2(x − 1) − (x − 1) 2(x − 1) x − 1 = =

2 x2 2 ⋅ (2x − 1) 2x2 − 2(2x − 1) 2x2 − 4 x + 2 = = − = 2(x − 1) 2(x − 1) 2 ⋅ (x − 1) 2(x − 1) 2

2

2 ⋅ (x − 2x + 1) 2(x − 1) 2(x − 1)(x − 1) = x −1 = = 2(x − 1) 2(x − 1) 2(x − 1)

Kommentar: Att bli duktig på denna typ av förenklingar handlar mycket om att lära sig ”se” vad som går att göra. Hur lär man sig då att ”se”? Vi tror inte att det finns någon direkt genväg utan man får nog träna en hel del på detta. Efter ett tags träning går det både lättare och känns roligare.

Knep 1 Liknämnigt Knep 4 Kvadreringsregel Knep 3 Bryta ut ett tal

43

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.43 43

08-06-16 12.43.39

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på förenkling av rationella uttryck Förenkla följande uttryck 3 1

− 8 12 7 4 c)

− 3x 3x

1.133 a)

1 1

− b 3b 8 5 c)

− 9x 6x

1.134 a)

5x 1.135 a) 3x −

2 2 2 c) −

x (x − 1) 2 2

+ x −1 x +1 x c) −1 x −1

1.136 a)

2 7 5 − + 8 12 18 3 1 d) − 2a 2a

b)

4 3 − x 7x 1 3 5 d) − + 3a 4 a 12a

b)

2 a 3a b) 5a − − 3 2 x2 − 1 d) x − x 1 1 − x−3 x−2 1 2 − d) x − 1 x2 − 1 b)

3x + 1 2x − 1 2 2 b) + + x−5 5− x x−3 3− x 2 2 c) − x+h x

1.137 a)

1.138 f(x) = 3x och g (x) =

enklat uttryck för a) f(x) + g(x)

3x2 − 1 . Ange ett förx b) g(x) – f(x)

x2 − 9 1.142 a)

2x + 6 a +1 c) 2

a −1 1.143 a)

c)

b)

a3 − ab2 x +1 d) x +1 2

4 a2 + 12ab + 9b2 2a2b + 3ab2 4 x2 − 4 x 8x2 − 16x + 8

b)

2a2 − 12a + 18

2a − 6 x3 − 4 x c) 2

2 x − 8x + 8

1.144 a)

1.145 a)

c) 1.146 a)

c) 1.147 a)

x2 − 81

9− x 4 x2 − 4 x + 1 1 − 4 x2

8x 2 − 8x + 2 x2 − 2 x − 8

d)

d) b)

x2 − 4 x − 8x + 15

b)

b)

x2 − x − 6

x2 + 6 x + 8 4 x 2 − 8x + 3

d)

d) b)

2

Förenkla uttrycken i övningarna nedan så långt som möjligt 1.139 a)

12x2 y3

3xy 4 b(x − 5) c)

x−5

6(x − 3)2 1.140 a)

2(x − 3) 4x − 8 c)

8x + 4 1.141 a)

c)

b)

2 p 4 r 2t 3

4 pr 4t 3 3ab(a + 3) d) a(a + 3) b) d)

a(a − b)2 a2 (a − b) x2 − 4 x 2

x + 4x

x 2 + 3x

3x + 9

b)

a2b + ab2 a+b

x2 + 8x + 16

x+4

d)

x2 − 16 x+4

c)

a2 + 2ab + b2

x2 − 8x + 16

d)

25 − 4 y 2 25 + 20y + 4 y 2 s 2 − 3s 9 − s2 4 x2 − 28x + 49 2x2 − 98 18b2 − 2x2 9b2 − 6bx + x2 36x2 − 12x + 1 1 − 36x2 a2 − 1 a − a2 x 2 − 5x + 6 x2 − 2 x − 3 x2 − 6 x + 5 x 2 − 3x − 4 x2 + 6 x + 9 x2 + 7 x + 12 x3 − 2 x 2 − 8 x 3x2 − 15x + 12

1.148 Förenkla så långt som möjligt

f (x + h) − f (x) då h a) f(x) = 4x – 3 b) f(x) = 3x – x2 2 c) f(x) = x – 4x – 6 d) f(x) = x3 Förenkla så långt som möjligt x2 + xy

2y x − xy x − y 3 1 1 − − 2 b) a −1 a a − a

1.149 a)

2

−

5x 2 − 2 x − 9 2 x − 1 + 1.150 2x(x − 3) 3− x

44

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.44 44

08-06-16 12.43.59

Rationella uttryck

1.155 Finns det något fel i förenklingen nedan?

Begrepp

1.151 Begreppet gemensam nämnare är viktigt i

detta sammanhang. Formulera en regel för hur du hittar en gemensam nämnare till två rationella uttryck.

1.152 Stämmer nedanstående likheter? Motivera!

a 1 = ⋅a 3 3

c) 6a =

18 ⋅a 3

Problem

1.156 Då man subtraherar två tal där den ena näm-

Resonemang

a)

Vari ligger i så fall felet?

3x + 9 3 x + 9 3 + 9 = = = 12 x x 1

b) a + d)

a 4a = 3 3

b b − =0 a −1 1− a

1.153 Finns det något fel i förenklingen nedan?

naren är ett större än den andra och täljaren är ett kan ett tydligt mönster observeras.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , − = , − = − = 3 4 12 4 5 20 5 6 30 Försök att formulera en hypotes. Prova sedan den på ytterligare någon liknande differens. Bevisa sedan din hypotes.

Vari ligger i så fall felet?

2 −1 − x − x2 1 2 − x 1(x − 1) x(2 − x) x − 1 − 2x − x1.157 = Hitta på en uppgift där du utför en förenk− = − = 1) rationellt uttryck genom flera steg. x x − 1 x(x − 1) x(x − 1) x(x − 1) x(xav− ett ling

− x 1(x − 1) x(2 − x) x − 1 − 2x − x2 −1 − x − x2 = = − = − 1 x(x − 1) x(x − 1) x(x − 1) x(x − 1)

Du ska bryta ut ett tal, faktorisera med kvadreringsregel, faktorisera med konjugatregeln samt någon gång under förenklingen du 1.154 Finns det något fel i förenklingen nedan? bryta ut (–1) ur ett binom. Testa sedan uppVari ligger i så fall felet? giften på en kompis. x2 − 4 x+4 6 − x2 5 − x2 6 − x2 2(5 − x2 ) 2 = = + = − 2(x − 2) 2 − x 2(x − 2) 2(x − 2) 2(x −1.158 2) Bestäm 2 talet a så att uttrycket x − ax + 3 x2 − 9 x2 − 4 x+4 x2 6 − x2 2(5 − x2 ) kan förkortas. = = = − x 2(x − 2) 2(x − 2) 2(x − 2) 2

Multiplikation och division av rationella uttryck Vi börjar med en kortfattad repetition av de räkneregler som gäller för multiplikation respektive division av bråk.

3 2 3⋅2 6 ⋅ = = 7 5 7 ⋅ 5 35 Täljarna multipliceras med varandra och nämnarna med varandra.

3 7

2 3 5 15 = ⋅ = 5 7 2 14

Som du säkert minns så multiplicerar du täljaren, i detta fall 3/7, med inversen av nämnaren.

Definition

Invers

Inversen till det rationella talet

a b är b a

Samma räkneregler som finns för rationella tal gäller givetvis även för rationella utryck.

45

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.45 45

08-06-16 12.44.04

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Exempel

Multiplikation och division av rationella tal

1.159 Förenkla uttrycken 4a2 – 1 = (2a)2 – 12 = = (2a – 1) · (2a + 1)

4 a 2 − 1 5a

⋅ 15a 2a − 1 Lösning:

a)

b)

x+2 x

x+2 x2

a)

4 a 2 − 1 5a (4 a 2 − 1) ⋅ 5a (2a − 1) ⋅ (2a + 1) ⋅ 5a 2a + 1 ⋅ = = = 15a 2a − 1 15a ⋅ (2a − 1) (2a − 1) ⋅ 3 ⋅ 5a 3

b)

x+2 x

x+2 x2

=

x + 2 x2 (x + 2) ⋅ x2 (x + 2) ⋅ x ⋅ x ⋅ = = =x x x+2 x ⋅ (x + 2) x ⋅ (x + 2)

Kommentar: Observera att vi inte multiplicerar ihop uttrycken i täljare och nämnare, utan istället ser efter om vi kan utnyttja den faktorisering som redan finns där för att förenkla uttrycken.

Vi fortsätter med ytterligare ett exempel.

Exempel

Två metoder för samma förenkling!

1 1 − x y 1.160 Förenkla uttrycken a)

y−x Lösning (variant 1):

1 + a b) 1 − a

1 b 1 b

 xy xy  1 1  1 1 −  −  ⋅ xy  −  y  x (y − x) 1 x y  x y = = = = a) (y − x) ⋅ xy (y − x) ⋅ xy (y − x) ⋅ xy xy y−x 1 + b) a 1 − a

1 1 +  b = a 1 1 − b  a

 a ⋅ b a ⋅ b 1 + ⋅ ab   b  b + a b  a = =  a ⋅ b a ⋅ b b − a 1 − ⋅ ab  b  b   a

Kommentar: Här ser vi att vi hittar en gemensam nämnare i bägge fallen. (xy respektive ab). Då vi multiplicerar både uppe och nere med denna så får vi snabbt enklare bråk. Man kan givetvis också göra liknämnigt både uppe och nere för att sedan dividera de två rationella uttrycken med varandra. Vilket är bäst? Välj själv!

Lösning (variant 2): 1 1 1⋅ y 1⋅ x y−x − − y−x 1 (y − x) ⋅ 1 1 x y x⋅y y⋅x xy = = = ⋅ = = a) y−x y−x y−x xy y − x xy ⋅ (y − x) xy 1 1

46

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.46 46

08-06-16 12.44.08

Rationella uttryck

1 + a b) 1 − a

1 1⋅ b 1⋅ a b+a + b = a ⋅ b b ⋅ a = ab = b + a ⋅ ab = (b + a) ⋅ ab = b + a b−a 1 1⋅ b 1⋅ a ab b − a ab ⋅ (b − a) b − a − ab b a⋅b b⋅a

Övningar på multiplikation och division av rationella uttryck Förenkla de rationella uttrycken i övningarna nedan. x 2x 6x 2 1.161 a)

b) x 7 7 4 2 c) 16

x

2 d) 16 ⋅ x

15x2 4 1.162 a)

⋅ 8 9x c)

2

3 x+y x+y a+b a+b d) 6a 2a

x a −b ab b) x − 2 ⋅ 2 ⋅ a a−b x −4 2 3 2 b − 4 12b a − a b2 ⋅ ⋅ 2 c) d) b 6b3 b − 2 a −1

1.164 a)

1.165 a)

c)

(

)

4 x2 − 1 2 x − 1 2 b) 2 2 5x 15x y −1 x2 − 2 x + 1

x −1

3

x4

x

x2 − 2xy d) x+y 2

(x − 4) 1.166 a) x

x −y (4 − x)

2

y3 − y (y + 1) b) y −1

3x3 (a − b)2 10a − 20b c) ⋅ 2b − a b−a  1 2 7 d)  3x − x  3x

x2

Resonemang

1.169 Finns det något tal som saknar invers?

Problem

1.170 Ersättningsresistansen R för två parallell-

kopplade motstånd R1 och R2 kan beräknas 1 1 1 med sambandet = + . Visa att R R1 R2 R1 ⋅ R2 R= .

R1 + R2

8 y +1

x − 2y 2

1−

1 x 1

exempelvis a/b?

b)

2

c)

1+

1.168 Vad menas med det inverterade talet till

3(x − 4) 24 x a + 3 10a d) ⋅ ⋅ 8x x−4 5a a + 3

xy xy

4 2 3 1 c)

x+y x+y

1 x b) 1 x− x 1−

Begrepp

9x 20x ⋅ b) 5 3x 2

1.163 a)

x y 1.167 a) y 1+ x 1+

R1

R2

1.171 Förenkla så långt som möjligt

f (x) − f (a) x−a

1 . x 1.172 k(x) är kvoten mellan f(x) och g(x). Ange ett förenklat utryck för k(x) då x a a) f (x) = + och g(x) = 6x + 4a 2 3 1 1 b) f(x) = x – a och g (x) = − a x då f (x) =

47

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.47 47

08-06-16 12.44.19

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Mer om ekvationer I detta avsnitt ska vi studera några fler typer av ekvationer. Det finns inga generella metoder för lösning av polynomekvationer av högre grad än 4 men en del specialfall kan man klara ändå. Andra ekvationer går inte att lösa algebraiskt och då behöver man antingen en numerisk metod eller ett hjälpmedel som t.ex. en grafritande räknare eller en dator. Att kunna avgöra när man kan och när man inte kan lösa en ekvation är således också en kunskap.

Ekvationslösning med hjälp av substitution Vi ska nu titta på en metod som i vissa fall är användbar vid ekvationslösning. Denna metod gör att vi om ekvationen ser ”rätt” ut så kan vi lösa både fjärde- och sjättegradsekvationer! Metoden vi använder är substitution vilket betyder ersättning.

Vi tittar på ekvationen x4 – 4x2 + 3 = 0. Detta är en fjärdegradsekvation men till formen liknar den en ”andragradare” (x2 + px + q = 0).

Vi vet att (x2)2 = x4. Om vi nu gör substitutionen x2 = t så måste x4 = t2.

Ekvationen ser då ut så här: t2 – 4t + 3 = 0. Denna klarar vi av att lösa! t = 1 t2 – 4t + 3 = 0 ⇒ t = 2 ± 22 − 3 ⇒ t = 2 ± 1 ⇒  1 t2 = 3 Är vi klara nu? Nej vi skulle ju lösa x4 – 4x2 + 3 = 0. Vi vill alltså veta x och än så länge vet vi ju bara t. Vi måste nu ”byta” tillbaka. t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 1  2 t2 = 3 ⇒ x = 3 ⇒ x = ± 3 Denna fjärdegradsekvation har alltså följande fyra lösningar: x1 = 1; x2 = –1; x3 = 3 ; x4 = − 3 .

Som en liten bonus har vi fått reda på att fjärdegradspolynomet har följande faktorisering: x 4 − 4 x2 + 3 = (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3) .

48

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.48 48

08-06-16 12.44.21

Mer om ekvationer

Exempel

Två ekvationer som löses med substitution

1.173 Lös ekvationerna

a) (x + 3)2 – 8(x + 3) + 7 = 0

b) x − 2 x − 3 = 0

Lösning: a) (x + 3)2 – 8(x + 3) + 7 = 0 Sätt t = x + 3 ⇒ t2 = (x + 3)2 t 2 − 8t + 7 = 0 t = 4 ± 16 − 7

”Blått mot blått och ”rött mot rött” x4 – 4x2 + 3 = 0 x2 = t ⇒ x4 = t2 t2 – 4t + 3 = 0

t = 7 t = 4±3 ⇒  1 t2 = 1

t1 = 7 ⇒ x + 3 = 7 ⇒ x1 = 4  t2 = 1 ⇒ x + 3 = 1 ⇒ x2 = −2

b) x − 2 x − 3 = 0 Sätt t =

x ⇒ t2 = x

t 2 − 2t − 3 = 0 t = 1± 1+ 3 t = 3 t = 1± 2 ⇒  1 t2 − 1 t = 3 ⇒ x = 3 ⇒ x = 9 1 1 t = −1 ⇒ x = −1 ⇒ Saknar lösning. 2 Kommentar: Värt att notera är att i a) så hade vi kunnat lösa den genom att utveckla parenteserna. Detta är dock jobbigare. I b) finns bara en lösning eftersom att x aldrig kan vara negativt för reella x.

49

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.49 49

08-06-16 12.44.24

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på ekvationslösning med hjälp av substitution Lös följande ekvationer 4

Begrepp

2

4

2

1.174 a) x – 4x + 3 = 0 b) x – 20x + 19 = 0 2

2

1.178 Vad menas med begreppet substitution?

2

c) (x + 5) – 16(x + 5) – 36 = 0 Resonemang

1.175 a) x − 5 x − 6 = 0

b) (x + 1) − 6 x + 1 + 5 = 0 c) (2x + 1) − 8 2x + 1 − 9 = 0 2/3

– 15x1/3 + 50 = 0 1 1 b) + − 650 = 0 t t

1.176 a) x

2/3

– 10x1/3 + 12 = 0 1 1 3 b) + − =0 x x 4

1.177 a) 2x

2

2

2

c) 2(y – 2y + 3) + 4(y – 2y + 3) – 6 = 0

1.179 Kalle utför följande substitution. Gör han

rätt? Om inte hur skulle han ha gjort?

2x4 – 2x2 – 20 = 0 sätt 2x2 = t ⇒ 2x4 = t2 t2 – t – 20 = 0 1.180 Skapa själv en ekvation som av typen

x + a x + b = 0 som har två reella ­lösningar.

Problem

1.181 Faktorisera fjärdegradspolynomet

f(x) = 3x4 – 15x2 + 18.

3

2

1.182 Rötterna till x + 4x – 7x – 10 = 0 är

–5, –1 och 2. Vilka är då rötterna till (x – 3)3 + 4(x – 3)2 – 7(x – 3) – 10 = 0.

Ekvationslösning med hjälp av nollfaktorlagen Vi har förut hävdat vikten av att kunna faktorisera polynom. Detta har ju kommit till nytta bland annat vid förenklingar. Nu ska vi studera hur faktorisering kan användas vid ekvationslösning. Det vi utnyttjar är att produkten av flera faktorer kan bli noll bara på ett sätt. Om vi har tre faktorer a, b och c kan ekvationen a · b · c = 0 bara lösas på tre sätt! Hur?

50

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.50 50

08-06-16 12.44.27

Mer om ekvationer

Faktorisering kan alltså användas vid ekvationslösning. Förutsättningen är att det ena ledet är faktoriserat och att det andra är noll. Till exempel 2x2 = 4x

Noll i ena ledet är en förutsättning

2x2 – 4x = 0

Andra ledet

faktoriserat

2x · (x – 2) = 0

2x = 0 ⇒ x1 = 0

x – 2 = 0 ⇒ x2 = 2

Då faktorerna är noll är ekvationen löst

Det vi använder här kallas nollfaktorlagen: Sats

Nollfaktorlagen

Om en produkt ska bli lika med noll så måste minst en av faktorerna vara noll

Exempel

Två ekvationer lösta genom faktorisering

1.183 Lös ekvationerna!

a) 2(2x – 3) · (x + 4) = 0

b) 6x3 – 30x2 = –36x

Lösning: a) 2(2x – 3) · (x + 4) = 0  3 2x − 3 = 0 ⇒ x1 =  2  x + 4 = 0 ⇒ x = −4 2  b) 6x3 – 30x2 = –36x

6x3 – 30x2 + 36x = 0

6x · (x2 – 5x + 6) = 0

6x = 0 ⇒ x1 = 0 2

x – 5x + 6 = 0 2

x=

 5 5 ±   −6 2  2

=

5 25 24 ± − 2 4 4

=

 x = 3 5 1 ± ⇒  2 2 2  x3 = 2

Notera arbetsgången: Flytta över så att vi får noll i ena ledet, faktorisera och kolla faktorernas nollställen.

51

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.51 51

08-06-25 12.49.49

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på ekvationslösning med nollfaktorlagen Lös ekvationerna

1.192 Fredrik löser snabbt ekvationen

1.184 a) 2x(x – 3) = 0

b) (x – 2)(x – 1) = 0 c) 2x(x + 3)(2x + 6)(x – 2) = 0 d) 2x(x – 3) = –8 3

1.185 a) 4x – x = 0

c) x3 = 9x 5

2

1.186 a) x = 8x 2

c) x + 5x = 84 3

b) 2x3 = 3x2 d) x2 – 4x4 = 0 b) 2x2 + 8x–6 = 0 d) x2 + 5x = 0

2

1.187 a) 2x – 8x + 8x = 0

b) 6x3 – 3x2 – 3x = 0 c) 8x3 – 8x2 + 8x = 0 d) x3 – 8x2 + 7x = 0

Begrepp

1.188 Formulera en regel för hur en ekvation ska

se ut för att du ska kunna lösa den med faktorisering.

Resonemang

1.189 Ange en ekvation som har lösningarna

1 x1 = 0, x2 = 5 och x3 = − .

3

(x – 5)(1 – x) = 1 med hjälp av faktorisering (som han precis lärt sig) på nedanstående sätt.  x = 5 (x – 5)(1 – x) = 1 ⇒  1  x2 = 1 Gör han rätt? Om inte lös den rätt.

Problem

1.193 Ett företag som säljer maskiner räknar med

att den totala vinsten blir V(x) tusen kronor vid en försäljning av x maskiner där V(x) = –0,0004x3 – 0,3x2 + 0,29x + 7, 0 ≤ x ≤ 9.

Lös ekvationen V(x) = 7 och tolka resultatet.

2

1.194 Ekvationen x + 6x + a = 0 har en lösning

x1 = –5. Bestäm den andra lösningen.

1.195 För polynomet f(x) gäller att f(x) = ax(x + a)

och f(3) = 12. Lös ekvationen f(x) = 0.

1.196 Hur lång är sidan i en kvadrat där arean och

omkretsen har samma värde?

1.190 Ställ upp en ekvation som har lösningen

x1 = 0 samt dubbelroten x2 = x3 = 2.

1.191 Fredrik löser en ekvation enligt nedan.

Gör han rätt? Motivera. x3 – 2x2 – 3x = 0 x 3 − 2 x 2 + 3x 0 = x x 2 x – 2x – 3 = 0 x = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 2  x = 3 ⇒  1  x2 = −1

52

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.52 52

08-06-16 12.44.30

Mer om ekvationer

Ekvationer med nämnare Vi ska nu studera några olika metoder för att lösa ekvationer med nämnare. Vi tittar på ekvationen 2x + x/3 = 7/2. I denna ekvation hittar vi gemensamma nämnaren 6. Detta kan sedan utnyttjas på två sätt.

Variant 1: 2x x 7 2x ⋅ 6 x ⋅ 2 7 ⋅ 3 12x 2x 21 ⇔ + = ⇔ + = + = 1 3 2 1⋅ 6 3⋅2 2⋅3 6 6 6 14 x 21 ⇔ ⇔ 14x = 21 ⇔ x = 1,5 = 6 6 Variant 2:  x 7 x 7 2x + = ⇔ 6 ⋅  2x +  = ⋅ 6 ⇔ 12x + 2x = 21 3 2 3 2  ⇔ 14x = 21 ⇔ x = 1,5 I variant 1 så förenklar vi båda leden genom att göra liknämnigt. Detta innebär att t.ex. vänsterledet hela tiden är det samma.

VL = 2x +

x 2x ⋅ 6 x ⋅ 2 12x 2x 14 x = + = + = 3 1⋅ 6 3⋅2 6 6 6

I variant 2 så utnyttjar vi att i en ekvation så är VL = HL. Det är t.ex. tilllåtet att multiplicera med 6 i båda leden eftersom 6 · HL = 6 · VL. Om vi även här tittar på ekvationens vänsterled ser vi dock VL = 2x +

 x x ≠ 6 ⋅  2x +  = 12x + 2x = 14 x 3 3 

Bägge varianterna är helt korrekta men det är ändå viktigt att veta vad man gör. I nedanstående exempel vill vi peka på skillnaden mellan en förenkling och en ekvationslösning.

Exempel

Skillnaden mellan ekvation och förenkling

1.197 a) Lös ekvationen x −

3 = 0 x−2

3 =0 x−2  3  = 0 ⋅ (x − 2) (x − 2) ⋅  x − x − 2   x−

(x − 2) ⋅ 3 =0 x−2 x(x – 2) – 3 = 0 x2 – 2x – 3 = 0  x1 = 3 x = 1 ± 2 ⇒   x2 = −1

(x − 2) ⋅ x −

b) Förenkla uttrycket x −

x−

3 x−2

3 = x−2

=

x 3 − 1 x−2

=

x ⋅ (x − 2) 3 − 1 ⋅ (x − 2) x − 2

=

x(x − 2) − 3 x−2

=

x2 − 2 x − 3 x−2

53

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.53 53

08-06-16 12.44.37

Kapitel 1 algebra och ekvationer

I förenklingen är uttrycket det samma hela tiden. I ekvationen gör vi vänsterledet (x – 2) gånger större, men det är tillåtet eftersom vi samtidigt har gjort högerledet (x – 2) gånger större.

Vi studerar nu tre ekvationer med nämnare!

Exempel

Tre ekvationer med nämnare

1.198 Lös ekvationerna

a)

x+3 x+4

= 1+ 2 5

b)

a+3 a 2− a 2− a a+2 2 c) − = + = 3a 6 2a 9 a − 3 3a − 1 3

Lösning: a)

c)

Falska rötter

En rot till en ekvation är ett tal som ”passar in” om man sätter in det i ekvationen.

Ibland får man vid ekvationslösning svar som inte fung­ erar. Dessa kallas falska rötter. De kan bland annat dyka upp då man ”multipli­ cerar upp” nämnare.

x+3 x+4 = 1+ 2 5   x + 3 x + 4 = 10 ⋅  1 + 10 ⋅   5    2  10(x + 3) 10(x + 4) = 10 + 2 5 5(x + 3) = 10 + 2(x + 4) 5x + 15 = 10 + 2x + 8 3x = 3 x = 1

b)

2− a a+2 + = 9 a − 3 3a − 1 2− a a+2 + = 3(3a − 1) 3a − 1

a+3 a 2−a − = 3a 6 2a  2 − a  a + 3 a 6a ⋅  −  = 6a ⋅   2 a   3a 6 6 a(a + 3) 6 a ⋅ a 6 a(2 − a ) − = 3a 6 2a 2 2(a + 3) – a = 3(2 – a) 2a + 6 – a2 = 6 – 3a a2 – 5a = 0 a(a – 5) = 0 a1 = 5  (a2 = 0 s.k. falsk rot)

2 3 2 3

 2  2− a a+2 = 3(3a − 1) ⋅   3(3a − 1) ⋅  +   3  3(3a − 1) 3a − 1 3(3a − 1)(2 − a) 3(3a − 1)(a + 2) 3(3a − 1)2 + = 3(3a − 1) 3a − 1 3 2 – a + 3(a + 2) = 2(3a – 1) 2 – a + 3a + 6 = 6a – 2 4a = 10 a = 5/2

Kommentar: När man löser ekvationer med nämnare så måste man tänka på att om man får lösningar som ger noll i nämnaren så är det s.k. falska rötter som ekvationen inte är definierad för. I b) så får ju a inte vara lika med noll. När vi löser ekvationen får vi en av lösningarna a = 0. Då måste vi dra slutsatsen att ekvationen är löst endast för den andra a = 5. I c) är ekvationen inte definierad för a = 1/3. Detta blir inget problem eftersom vi endast fick lösningen a = 5/2.

54

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.54 54

08-06-16 12.44.42

Mer om ekvationer

Övningar på ekvationer med nämnare.

Lös ekvationerna a+3 5 3 5 1.199 a) − a = b) + 4 = 4 8 x 3x 1 2 c) + −1= 0 3 x−3

1.209 Om du multiplicerar en ekvation med näm-

nare med minsta gemensamma nämnaren så försvinner alla nämnarna. Varför?

Resonemang

1.200 a) Lös ekvationen

x − 1 3x − 7 2x − 3 + − =0 4 6 3 x − 1 3x − 7 2x − 3 b) Förenkla + − 4 6 3

1.210 Är det något fel i beräkningarna nedan?

Motivera ditt svar!

Lös ekvationen x − (x − 2)(x −

1 1 1

= + 2 x 6 3x 9 c) x + = 10 x

1.202 a)

b)

8 1 = 5+ x 2x

2y 2 2 8 x2 +4= − =2 b) y −1 y −1 2(x + 4) x + 4

a+3 a 2− a − = 3a 6 2a y +1 1 y − 2 − = b) 3y 15 5y x +1 x + 2 x +3 c) + = x 2x 3x x + 3 3x − 6 x d) + = 2x 8x 6

1.203 a)

2x − 3 6 − x x + 12 − = 4x 5x 7 5 4 b) = 5− 2+ x x−2

a +1 a −1 1.205 + =2 a −1 a + 2 5 1 2x − = 3 − 2x 3 2x − 1 1 3 1 − 1.207 = 2 x x −x 6 1.206

1 x + 8x + 16

−

2x + 1 2

x − 16

=

x = 1 ± 12 + 8 x1 = 4, x2 = –2

1 1+ x + 2 x x 1 1+ x 1− + 2 = x x 1 1+ x = x2 (1 − + 2 ) = x x 2 = x – x + 1 + 1 + x = x2 + 1 Förenkla 1 −

1.211 Beskriv steg för steg hur du löser ekvationen

1.204 a)

2

8 =0 x−2

8 )=0 x−2 x(x – 2) – 8 = 0 x2 – 2x – 8 = 0

Lös ekvationerna i övningarna nedan.

1.201 a)

1.208

Begrepp

18 4−x

x x x + + = 2 . Om du vill kan du först ge a b c a, b och c värden för att sedan formulera generellt hur du går till väga.

Problem

1.212 Körsträckan y km per liter bensin för en viss

bil kan beräknas med sambandet 750x y= 2 x + 2500 där x är hastigheten i km/h.

Vid vilken hastighet hinner man 5 km på 1 liter bensin?

55

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.55 55

08-06-16 12.44.51

Kapitel 1 algebra och eKvationer

1.213 Från optiken känner vi igen linsformeln

1 1 1 + = . a b f En lins har brännvidden f = 15 cm. Bilden av ett föremål fångas upp på en skärm. Om avståndet mellan föremålet och skärmen är 100 cm kan man hitta två lägen för linsen som ger en skarp bild! Bestäm dessa två lägen genom att utnyttja linsformeln samt att vi vet att a + b = 100.

a

f = 15

b skärm

a

f = 15

b

ekvationslösning med grafritande räknare Att kunna lösa ekvationer med hjälp av grafritande hjälpmedel är ett bra stöd i många problemlösningsammanhang. Framförallt är det en bra metod när ekvationen ifråga inte går eller är väldigt jobbig att lösa algebraiskt.

Årtan är en liten and som häckar sällsynt i södra Sverige. Den delar en del problem med cyklande människor. De vill t.ex. ta sig från en plats till en annan utan att använda så mycket energi. Ibland, som vid flygturen över Sahara, är det livsviktigt att energin räcker för alla 160 milen. Effekten anger hur mycket energi per tidsenhet som fågeln använder, och denna effekt kan som funktion av fågelns hastighet beskrivas med sambandet P(v) = 0,008v3–0,08v2 + 6 där P är effekten i watt och hastigheten v mäts i m/s. En normal årta kan under en längre tid antas utveckla effekten 15 W. Hur fort flyger den då?

Vi behöver lösa ekvationen 0,008v3 – 0,08v2 + 6 = 15. Detta klarar vi än så länge inte algebraiskt, men genom att rita upp funktionerna för vänsterrespektive högerledet kan vi hitta en lösning.

56

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.56 56

08-06-16 12.44.55

MER OM EKVATIONER

Funktionskurvornas skärningspunkt är givetvis lösningen till ekvationen.

Fåglarna verkar alltså utveckla effekten 15 W vid hastigheten 15 m/s. Värt att notera är här att fåglarna utvecklar minst effekt vid hastigheten 6,5 m/s.

Då verkar de vara som energisnålast.

EXEMPEL:

Vi löser en ekvation med räknaren 3

2

1.214 Lös ekvationen x – 4x = 2x – 3 med hjälp av grafritande räknare.

Lösning: Rita graferna till funktionerna f(x) = x3 – 4x2 och f(x) = 2x – 3.

Som vi ser kan alla ekvationer lösas med räknaren genom att man ritar upp grafen för högerledet respektive vänsterledet och sedan kollar skärningspunkterna. Dessa kan här avläsas till x1 = –1,0, x2 = 0,70 och x3 = 4,30.

Kommentar: I det här fallet är ekvationen en tredjegradare, och vi vet att en sådan kan ha högst tre lösningar. Eftersom vi har hittat tre stycken så kan vi vara säkra på att vi fått tag i alla som finns. I andra fall kan det vara knepigare. Hur kan man vara säker på att det inte finns lösningar utanför det område som man har ritat upp? Att avgöra sådant kan kräva ganska avancerad analys. Vi tar inte upp mer om det här, men det är viktigt att vara medveten om problemet.

57

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.57 57

08-06-16 13.43.49

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på ekvationslösning med grafritande räknare 2

2

1.215 Lös ekvationen x – 4x = –x – 4x + 10 med

hjälp av din grafritande räknare.

1.216 Anders har fått en grafritande miniräknare.

Förklara hur han ska göra för att lösa ekvationen x3 – 6x2 = 1 – 9x med hjälp av sin graf­ritande räknare.

(NP Matematik C VT 2005)

x − 4 = x2 − 4 x − 10 med hjälp av din räknare.

1.217 Lös ekvationen

1.218 Givet är funktionen

f(x) = x3 – 9x2 – 48x + 52. Lös ekvationerna med din grafritande räknare. a) f(x) = 0 b) f(x) = 52 (Denna kan du lösa algebraiskt också! Prova)

1.221 Ett företag som säljer maskiner räknar med

att den totala vinsten blir V(x) tusen kronor vid en försäljning av x maskiner där V(x) = –0,0004x3 – 0,03x2 + 0,29x + 7, 0 ≤ x ≤ 9 Lös ekvationen V(x) = 7,5 och tolka resultatet.

3

1.222 Volymen i cm av 1 kg vatten kan i tempera-

turintervallet 0 ≤ x ≤ 30°, där x är temperaturen i °C, beskrivas med funktionen f(x) = 999,87 – 0,0642x +

+ 0,008504x2 – 0,0000679x3 a) Vid vilken temperatur är volymen av 1 kg vatten 1000 cm3? b) Vid vilken temperatur är densiteten (massan/volymen) maximal?

Problem

1.219 Två banker tävlar om att få dig som kund.

Den ena banken ger dig följande linjära modell för hur en insatt tusenlapp växer med antalet år x. K(x) = 1000 + 100 · x. Den andra banken ger dig en exponentiell modell enligt följande K(x) = 1000 · 1,04x. Lös ekvationen 1000 + 100 · x = 1000 · 1,04x och tolka resultatet.

1.220 En matematikintresserad far berättar för sin

son Isaac att hans vikt följer den rationella funktionen f (x) =

67, 5x2 + 4, 5 x2 + 8x + 1

där x är åldern i år. Isaac undrar vid vilken ålder han kommer att väga 40 kg. a) Hjälp Isaac och bestäm detta med hjälp av din grafritande räknare b) Isaac litar inte på ”den där apparaten” utan vill att du ska lösa problemet algebraiskt också. Gör det!

58

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.58 58

08-06-16 12.45.00

Generella metoder

Generella metoder I betygskriterierna för mycket väl godkänt i kursen Matematik C står bland annat följande.

Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk.

Vad menas då med en generell metod? Ordet generell betyder allmängiltig.

Att inom matematiken visa att något gäller generellt är att visa att det alltid gäller. Hur gör man det då? Vi exemplifierar på följande sätt: Betrakta de konsekutiva talen 9, 10 och 11.

Multiplicera talet i mitten, 10, med sig själv och subtrahera sedan produkten av det största och minsta.

Konsekutiv betyder på varandra följande.

102 – 9 · 11 = 1 Det blev ett. Vi gör samma sak med några andra konsekutiva tal: 4, 5 och 6: 52 – 4 · 6 = 1 Återigen ett! Blir det alltid så? Vi provar med talen 12, 13 och 14.

132 – 12 · 14 = 1 Det verkar som att det alltid blir ett. Hur många exempel måste vi ta för att visa att detta gäller generellt? Svaret är att vi inte kan visa det med en mängd exempel. Hur många exempel vi än tittar på så finns ju alltid möjligheten att sambandet inte stämmer för ett av de exempel som som vi inte kollat! Istället måste vi använda en generell metod. Vi ska alltså visa att oavsett vilka tre tal vi väljer så blir det alltid ett. Detta kan göras på följande sätt: Anta att det mittersta talet är x. Detta ger att det första talet är x – 1 och det tredje talet är x + 1. Vi gör nu samma sak med detta generella uttryck. x2 – (x – 1) · (x + 1) = x2 – (x2 – 12) = x2 – x2+1 = 1 V.S.V. Nu har vi visat att oavsett vilka värden vi väljer på x så blir det med detta sätt att räkna ett. Lägg märke till att i en hel del av problemen som är märkta med så är det just en generell metod som krävs. I bokens kommande kapitel kommer det då och då att dyka upp problem där du måste använda en generell metod!

V.S.V. betyder Vilket Skulle Visas

59

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.59 59

08-06-16 12.45.01

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Övningar på generella metoder 1.223 Läs texten i exemplet på förra sidan och för-

sök förutsäga resultatet om differensen mellan de tre talen är 10. (t.ex. 11, 21 och 31 eller 5, 15 och 25). Bevisa vad som gäller då skillnaden mellan talen är 10.

1.224 Vad gäller om differensen av talen är någon

annan? Formulera och bevisa en generell slutsats.

1.225 Ett udda tal kan skrivas på formen 2n + 1

där n är ett heltal och ett jämnt tal kan på samma sätt skrivas på formen 2n. a) Visa att summan av två udda tal är jämn. b) Visa att kvadraten på ett jämnt tal är jämn. c) Visa att kvadraten på ett udda tal är udda.

1.226 Välj ett naturligt tal större än 1. Dra sedan

bort talet från kuben av samma tal. Dela sedan med 6. Vad händer?

Tal 4 ger: 43 – 4 = 64 – 4 = 60; 60/6 = 10 Tal 23 ger: 233 – 23 = 12167 – 23 = 12144; 12144/6 = 2024 Det går att dela med 6 i båda fallen. Är det alltid så? Visa detta.

1.228 Nedan ser du tre uträkningar. Försök att

hitta ett mönster. Ställ upp en hypotes.

4 3 1 5 4 1 6 5 1 , − = , − = − = 5 4 20 6 5 30 7 6 42 Bevisa sedan din hypotes.

1.229 Tove vet att lösningarna till en andragrads-

ekvation är x1 = 3 och x2 = 7. Hon kan då direkt skriva upp ekvationen som x2 – 10x + 21 = 0. Det beror på att hon känner till det som du ska bevisa längre ned! a) Visa att summan av lösningarna till en andragradsekvation, x2 + px + q = 0, är x1 + x2 = –p. b) Visa att produkten av lösningarna till en andragradsekvation, x2 + px + q = 0, är x1 · x2 = q.

1.230 Visa följande sats: Om p och q är udda tal så

är p2 + q2 jämnt.

1.231 Visa att

x y + ≥ 2 om x ≥ 0 och y ≥ 0. y x

1.227 Studera exemplet nedan.

• Välj ett tvåsiffrigt tal • Låt siffrorna byta plats • Beräkna skillnaden mellan det större och det mindre av de två talen En gång till!

• Välj ett tvåsiffrigt tal • Låt siffrorna byta plats • Beräkna differensen mellan det större och det mindre av de två talen

84 48

84 – 48 = 36 38 83

83 – 38 = 45

Både 45 och 36 är delbara med 9. Visa att det alltid är så.

60

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.60 60

08-06-16 12.45.03

REPETITION AV KAPITLETS BEGREPP

REPETITION AV KAPITLETS BEGREPP Varje ord i vänstra spalten ska paras ihop med något som passar i högra spalten. a. definitionsmängd

A. x som t.ex. ger nämnaren = 0

b. värdemängd

B. då

c. binom

p2 −q =0 4 C. när x = 2 så är y = 3

d. falsk rot

D. punkt där graf skär x-axeln

e. generell

E. a · b = 0 då a = 0 eller b = 0

f. rationellt uttryck

F. (a + b)(a – b) = a2 – b2

g. f(2) = 3

G. 3x2 – 3x + 2

h. dubbla produkten

H. de värden som man kan få ut

i. faktorisera

I. kvoten mellan två polynom

j. nollställe

J. 2ab

k. substitution

K. allmängiltig

l. nollfaktorlagen

L. bryta ut

m. konjugatregeln

M. tillåtna x-värden

n. andragradspolynom

N. består av två termer.

o. dubbelrot

O. att ersätta

bra ord att kunna på engelska uttryck gemensam nämnare faktorisering lösa förenkla utveckla andragradsekvation

= = = = = = =

expression common denominator factorisation solve simplify expand quadratic equation

61

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.61 61

08-06-16 12.45.03

Kapitel 1 algebra och ekvationer

Repetitionsövningar 1.237 Jordens folkmängd ökade från 3,0 miljarder

Potenser

1.232 Förenkla

a) (2x)3

b)

c) (3x2y3)3

d)

(x

2,5 3

)

2

x x−3 (x−0,5 )6

1.233 Beräkna utan räknare

a) 161/2 c) 82/3

b) 1251/3 d) 32–4/5

1.234 Förenkla uttrycket så långt som möjligt

a) c)

x ⋅ x −4,2 ⋅ x0,3 x −1,9

b)

år 1960 till 6,1 miljarder år 2000. Vilken årlig procentuell ökning motsvarar detta?

(a5 ⋅ b−1,5 )4 a 4 ⋅ b−6

(6a2b3 )3

1.238 Hållbarheten för inlagda räkor beror på tem-

peraturen. Hållbarheten h mätt i dygn avtar med temperaturen x som mäts i °C. Detta avtagande kan beskrivas med en s.k. exponentialfunktion h(x) = b · ax. Givet är att om temperaturen är 0 °C så är hållbarheten 300 dygn och om temperaturen är 25 °C så är hållbarheten 6 dygn. a) Bestäm konstanterna a och b i sambandet h(x) = b · ax. b) Hur lång är hållbarheten då temperaturen är 15 °C?

(3a−2 )3 (4b0,5 )2 Funktionsbegreppet

1.235 På grund av inflationen har svenska kronans

värde minskat från 1 kr till 54 öre på 10 år. Vilken årlig procentuell minskning innebär detta?

1.236 Kraften mellan två laddade partiklar, t.ex.

protonen och elektronen i en väteatom, kan beräknas med Coulombs lag som ser ut så här: F=

k ⋅ Q1 ⋅ Q2 a2

där Q1 och Q2 är partiklarnas laddning och a är avståndet mellan dem. Använd potenslagarna för att förklara vad som händer med kraften om avståndet mellan två laddade partiklar a) dubblas. b) blir tre gånger så stort. c) halveras.

2

1.239 Givet är funktionen f(x) = 2x – 3x + 2.

Beräkna/förenkla a) f(–2) b) f(a) d) f(a2) e) 2f(a) f) f(a + h) – f(a)

c) f(2a)

1.240 Nedan syns grafen till funktionen y = f(x).

Bestäm ur grafen a) f(3) b) f(0) c) x så att f(x) = 0 d) x så att f(x) = 6 e) f(f(2)) f) a så att ekvationen f(x) = a får en lösning. y 6 5 4 3 2 1 –1 –1

x 1

2

3

–2

62

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.62 62

08-06-16 12.45.06

Repetitionsövningar

1.241 Figuren visar en cylinder med diametern

20 dm som ska fyllas med vatten. f(x) är den totala tid i sekunder som det tar att fylla cylindern till höjden x dm. f(x) = –x3 + 30x2; 0 ≤ x ≤ 20. a) Bestäm f(3) och tolka resultatet. b) Hur lång tid tar det att fylla cylindern? c) Bestäm vattenhöjden 3600 sekunder efter x det att påfyllningen startade.

1.242 Förenkla g(x + h) – g(x) då

a) g(x) = 2x + 3

b) g(x) = 1/x

Utveckla och faktorisera

Förenkla utrycken i övningarna nedan

1.250 Bestäm talet a så att ekvationen

x2 – 2x + a = 0 får a) två lösningar b) dubbelrot c) ingen reell lösning.

1.251 Avgör om funktionerna har en max- eller

minpunkt. Bestäm sedan koordinaten för den punkten. a) f(x) = 2x2 + 8x + 2 b) f(x) = –4x2 – 16x – 7 1.252 Faktorisera polynomen

a) f(x) = x2 + 8x + 15 b) h(t) = 4t2 – 8t + 5 c) y(z) = z2 + 9z + 14 d) f(x) = 2x2 – 10x + 12

1.253 Teckna uttrycket till funktionerna nedan.

a)

b) y

1.243 a) 5(x – 2) – 3(x – 4)

x

2

b) 3y(y – 6) – 2(y – 9y – 1) c) (2x + 3)(2x – 3) d) (2x + 3)2 1.244 a) 4(3x + 1)(3x – 1) – (4x + 1)(9x – 4)

b) x(x – 1) – 2(3 + x)2 + 2(2 – 2x) – – (x – 5)2

1.245 a) (a – 1)(a + 1)(a + 2)(a – 2)

b) (x + 3)(2x – 4)(x + 3)(2x + 4) Faktorisera uttrycken i övningarna nedan 2

1.246 a) 6a + 8b

c) 3x4 – 6x2 2

1.247 a) x – 6x + 9 2

c) 100 – 4x 5

1.248 a) a – a

c) y4 + 2y3 + y2

b) 2x – 6x d) 3x4 – 6x3 + 12x2 b) 1 – x2 1 d) x − x + 4 2

b) 8x2 – 8x + 2 d) (a4 – 2a2 + 1)

Andragradsfunktionen och andragradsekvationen

1.249 Lös ekvationerna

a) x2 – 10x + 9 = 0 b) 2x2 + x – 10 = 0 c) 2x2 – 6x = –4

–1

1

2

3

y x

–2 –3

–1

–4

–2

–5

–3

–6

–4

–7

–5

1

2

Rationella uttryck

1.254 För vilka x-värden är de rationella uttrycken

definierade?

2− x a) 2

x − 25

b)

6x 2

x + 25

Förenkla uttrycken i övningarna 1.255–1.26. x x + 3 2 1 1 1 c) − − z 2 z 3z

1.255 a)

1 1 +

x x +1 1 c) 1 − x +1

1.256 a)

b)

1 1 − 3a 4 a

b)

1 1 + x −1 x +1

63

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.63 63

08-06-16 12.45.10

Kapitel 1 algebra och ekvationer

2 2 x y b) + + x−2 2− x x−y y−x 1 1 + c) 2 a + ab b2 + ab

Ekvationer

1.257 a)

1.258 a)

c) 1.259 a)

c) 1.260 a)

c)

x −x

x −1 3x2 − xy

1.262 a)

2

x − 2x + 1

4 x2 − 4 x + 1 a + a3

1

x +1 b2

4 x

)(

)

1 y 3 = 0 b) − =1 2x y−2 y 1 1 c) + =3 1− x 1+ x

4 x2 − 9 y 2

b)

4 x2 − 6xy

3 = 3 t −1 4 4 − =0 c) 2 t t−t

1.269 a) t −

x −1 1 ⋅ x + 1 x2 − 1

b)

1.270

1 =2 x

2 4 6 + = 1+ x x + 2 x + 3 x mol/dm3 i en 0,02 molar enprotonig syra, vars s.k. protolyskonstant är 0,005 mol/dm3 uppkommer ekvationen.

x − 2y x2 − y 2

b)

b) x +

1.271 Vid beräkning av vätejonkoncentrationen

x2 − 9 2x

x2 = 0, 005 .

0, 02 − x Bestäm vätejonkoncentrationen.

9 − a2 2 a − 6a + 9 2 a a + 3 4 d) a a − 3 4

3+

2

1.268 a) 8x −

a−b ⋅ 2 b a − b2

(

x −4

5

2

b) 4x3 – 4x2 + x = 0

  2x b) 4 x + 7 x − 2, 5  − 1 = 0   5

2

c)

1.263 a)

2

c) 4x2 – 12x3 = 0

x + 4x + 4

b)

4 x2 − 1

x2 − 2xy b) x+y

3

1.266 a) x – 8x = –7x

2

2x2 − 12x + 18

x2 − 6 x + 9 x

b) (x2 – 4)2 – 2(x2 – 4) – 15 = 0

4

1− a x 2 − 3x

a−a

2

1.267 a) x = 4x

1.261 a) (x + 1) ⋅

c)

x −x

b)

3xy − y 2 2

4

1.265 a) y – 10y + 9 = 0

2

2

1− a

Lös ekvationerna nedan

1.272 Lös ekvationen x

1 + 1− x

1,2

= 2 – 1,5x för x > 0.

1 1−

1 x

1.264 Förenkla följande rationella uttryck

1 2 6x − 2 − + 1 − 2 x 1 + 2x 4 x2 − 1

64

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.64 64

08-06-16 12.45.21

blanDaDe problem

blanDaDe problem 1.273 Intäkten I kr vid försäljning av en viss vara

1.279 Norea fyller på vatten i sina leksaksburkar

som funktion av priset x kr kan bestämmas med funktionen I(x) = 20000x – 500x2.

Bestäm det pris som ger den största intäkten.

Hur stor är intäkten då?

3

1.274 Lös ekvationen 3x = 4x(2x – 1).

a)

som har olika former enligt nedan. Hon tar vattnet från kranen och vattenflödet ar lika stort hela tiden. Skissa nu fyra stycken grafer som beskrivet vattenhöjden h som funktion av tiden t. Motivera dina skisser. b) c) d) e)

2

1.275 En rektangel har arean 800 m och omkret-

sen 140 m. Beräkna längden av rektangelns sidor 1.276 Förenkla

1 f (2 + h) − f (2) då f (x) = . x −1 h

1.277 Fyll i tabellen nedan fullständigt. Då

f(x) = x2 – 1 och g(x) = 2x + 1. x

f(x)

g(x)

g(f(x))

f(g(x))

8 0 1.278 I denna uppgift ska vi studera lösningen till

ekvationen ax2 + bx + x = kx + m. Som du ser är vänsterledet ett andragradspolynom. a) Lös ekvationen x2 – 4x + 2 = x – 2.

Rita sedan funktionerna f(x) = x – 2 och g(x) = x2 – 4x + 2 på din räknare och förklara vad det är du räknat ut! b) Bestäm talet a så att ekvationen x2 – 4x + 2 = x – a endast får en lösning.

Rita sedan upp på samma sätt som i a och förklara ditt resultat. c) Bestäm talet b så att ekvationen x2 – 4x + b = x – 2 endast får en lösning.

Rita sedan upp på samma sätt som i a och förklara ditt resultat.

1.280 Visa att följande likhet gäller.

(x + x ) − (x − x ) 2

1.281 Visa att om x =

2

1 − a2 2

= 4x x och y =

2a

1+ a 1 + a2 så är x2 + y2 konstant, dvs. uttrycket beror inte på a.

1.282 Undersök hur antalet rötter till funktionen

x2 + 10ax + a = 0 beror av värdet på a. x

1.283 För funktionen f(x) = A · b gäller att om

x ökar från 8 till 9 så ökar funktionsvärdet med 25 % Dessutom vet vi att f(2) = 25.

Bestäm A och b.

1.284 För polynomet p(x) gäller att

p(x) = (2x – 3)2. Beräkna p(p(–1)).

1.285 Rita grafen med din räknare till funktio-

nerna f(x) = x0, f(x) = x1, f(x) = x2, f(x) = x3, f(x) = x4, f(x) = x5 och f(x) = x6 samt studera likheter och skillnader!

Prova sedan också när exponenten är hög som t.ex. f(x) = x99 och f(x) = x100.

65

Tal&Rum NT c+d - s 7-66 - Kap 1.65 65

08-06-16 12.45.24

Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet.

Tal & R u m är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier.

Författargruppen består av gymnasielärare, lärar­ utbildare och en matematikprofessor.

tal & rum Mate mati k

tal & r u m

tal & rum

Ki m mo E r i ksson • jonas sj u n n esson • M i kae l Jonsson • H i llevi Gave l

NT Best.nr 47-01922-9 Tryck.nr 47-01922-9

OMSLAG NT CD.indd 1

C+D

li b e r

NT A +­­B C+D E 08-06-18 08.48.44