9789147115440

MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE

VUX 2 MATEMATIK FÖR GRUNDLÄGGANDE VUXENUTBILDNING

ISBN 978-91-47-11544-0 © 2014 Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Förläggare: Calle Gustavsson Formgivning: Eva Jerkeman Bildredaktion: Mikael Myrnerts Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl

Tredje upplagan 1 Repro: Exakta Tryck: Kina 2014

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen.

Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/ förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Telefon 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn: 08-690 93 30, fax: 08-690 93 01, e-post: kundservice.liber@liber.se

Till elever och lärare Serien VUX består av två böcker, VUX 1 och VUX 2. Tillsammans innehåller böckerna den matematik som ingår i grundskolans senare del (Lgr11). På pärmens baksida kan du se vad varje bok innehåller.

För båda böckerna gäller följande: 1 Varje kapitel avslutas med Sam man fattn i ng , B lan dad e u ppg i fte r och två Te ste r . Te st A ska göras utan räknare. Till uppgifterna i Te st B finns det lösningar. Dessa lösningar består av lösta exempel som det finns sidhänvisning till.

2 Efter Te st B finns hänvisning till R e petition su ppg i fte r och/ eller För dj u pn i ng savs n itt . Elever som siktar mot högre betyg bör göra samtliga fördjupningsavsnitt.

3 Avsnitten Träna m e ra består av fler grundläggande övningsuppgifter.

4

kom m e r d u i håg? är korta repetitionsavsnitt på tidigare kapitel. Använd gärna dessa som hemuppgifter.

5 Till vissa uppgifter finns L ös n i ngar /ti ps i ett speciellt avsnitt i slutet av facit. I facit har dessa uppgiftsnummer markerats med blått, se t ex facit till 6093 .

6 För att träna kommunikation finns DI S KUTERA-UPPGIFTER .

Varje kapitel har också en uppgift FÖRKLARA B eGREPP .

7

Mate mati k ti ll var dag s , laboration e r Tan ke nötte r

och kluriga hoppas vi ska ge extra stimulans och tankemöda.

Missa inte avsnittet R e petition 0 där viktiga delar av VUX 1 repeteras.

Lycka till med kursen!

Uppsala i mars 2014 Martin Holmström Eva Smedhamre

Innehåll

6

Potenser och negativa tal Potenser 2 Tiopotenser 4 Grundpotensform 5 Små tal i grundpotensform 8 Potenser med räknare 10 Träna mera 6A 11 Kommer du ihåg? 13 Negativa tal 14 Räkna med temperatur 16 Svaret blir minus 18 Addition av negativa tal 20 Subtraktion av negativa tal 22 Träna mera 6B 23 Multiplikation och division 24 Matematik till vardags 6: Räkna med recept 27 Sammanfattning 28 Blandade uppgifter 29 Test 6A 31 Test 6B 31

7

Geometri Area och omkrets 34 Cirkelns omkrets 38 Cirkelns area 42 Träna mera 7A 44 Förminskning 45 Förstoring 49 Mer om skala 51 Kommer du ihåg? 54 Enheter för volym 56 Liter och deciliter 59 Volymen av ett rätblock 60 Träna mera 7B 64

Cylinderns volym 65 Matematik till vardags 7: Tabell och diagram 67 Sammanfattning 68 Blandade uppgifter 70 Test 7A 73 Test 7B 75

8

uttryck och Ekvationer Förenkling av uttryck 78 Värdet av ett uttryck 81 Kommer du ihåg? 83 Vilket är talet? 84 Ekvationer 85 Mer om ekvationer 89 Träna mera 8A 91 Ekvationer med flera termer 92 Ekvationer med x i båda leden 94 Träna mera 8B 96 Skriv ett uttryck 97 Problemlösning med ekvationer 98 Matematik till vardags 8: Temperaturkurva 101 Sammanfattning 102 Blandade uppgifter 103 Test 8A 106 Test 8B 107

9

Statistik och sannolikhet Frekvenstabell och stolpdiagram 110 Medelvärde 113 Median och medelvärde 114 Träna mera 9A 116 Relativ frekvens 117 Klassindelning och histogram 119

Cirkeldiagram 121 Fler diagram och tabeller 123 Missvisande diagram 125 Kommer du ihåg? 126 Hur stor är chansen? 127 Matematik till vardags 9: Jämförelsepriser 131 Sammanfattning 132 Blandade uppgifter 133 Test 9A 136 Test 9B 137

Repetitionsuppgifter Repetition 0 139 Repetition 6 150 Repetition 7 155 Repetition 8 159 Repetition 9 163 Fördjupningsavsnitt 6A Multiplikation och division

av tiopotenser 168 6B Prefix 170 6C Mer om negativa tal 171 6D Promille 172 6E Procentenheter 174 7A Mer om area och omkrets 176 7B Begränsningsytor 179 7C Likformighet 181 7D Mer om skala 184 7E Symmetri 187 8A Mer om ekvationer 189 8B Prövning av rötter 190 8C Geometri med ekvationer 191 8D Uttryck med parenteser 193

8E 8F 8G 8H 9A 9B

Andragradsekvationer 195 Pythagoras sats 198 Proportionalitet 200 Funktioner och förändring 203 Hur ofta inträffar en händelse? 210 Kombinatorik 211

Tankenötter 214 Laborationer 1 Negativa tal 215 2 Rita vinklar och cirklar 216 3 Rita och möblera en lägenhet 218 4 Vilken låda rymmer mest? 220 5 Tärningar och uttryck 221 6 Aktuell statistik 222 7 Statistisk undersökning 223 8 Sannolikheter genom experiment 224 Facit 226 Facit – Tankenötter 240 Facit – Laborationer 241 Facit – Till vardags 241 Lösningar och tips 242 Sakregister 246

6

POTENSER OCH NEGATIVA TAL

Visste du att detta meddelande har skickats till ”rymdvarelser”? År 1977 sändes rymdfarkosten Voyager från jorden för att undersöka de yttre planeterna i vårt solsystem. Nu på 2000-talet kan man fortfarande höra radiosignaler från Voyager. Rymdskeppet ska inte återvända till jorden och med på färden finns hälsningar till dem som kanske hittar farkosten.

Hälsningarna består av bilder och ljud från jorden och exempel på vad vi människor kan göra. Här finns bl a siffror och räknesätt. Se bilden. Kanske att eventuella rymdvarelserna kan tolka dessa!

POTENSER OCH NEGATIVA TAL

1

EXE M PE L 2

a) 15 =–5 –3

”två olika tecken ger minus”

b) –16 =–8 2 –12 c) =2 –6

”två lika tecken ger plus”

Beräkna 6120

a) 7 · (–2)

b) (– 4) · (–3)

c) (–5) · 10

6121

a) (–6) · (– 2)

b) 5 · (–5)

c) (–8) · 3

6122

a)

–6 3

6123

a)

– 24 4

6124

a) 8 · (–2)

b) (–1) · 35

c) (–10) · (– 0,4)

6125

a) (–12) · (–5)

b) (–23,4) · 0

c) 10 · (– 67)

6126

Vilka av följande påståenden är sanna?

6127

–12 2 50 b) –2 b)

a) –10 > (–5) · 3

b) 16 = (–2) · (–8)

c) –8 < 2 · (–3)

d)

c)

–8 –2

c)

– 21 –3

–30 > –16 2

Vilket tal ska skrivas i rutan för att påståendet ska bli sant? a) 3 ·

= –18

b)

–2

=5

c)

12

= –2

FÖR KLARA B EG R E PP

Förklara följande matematiska begrepp, gärna med exempel. exponent

26

tallinje

POTENSER OCH NEGATIVA TAL

bas

grundpotensform

Skriv utan tiopotens.

4

a) 5,1 · 102

b) 9,2 · 103

c) 6,18 · 104

EXEMPEL 4 S 6

5

a) 8 · 10–1

b) 5 · 10–3

c) 2,6 · 10–4

EXEMPEL 4 S 9

6

Beräkna med räknare. a) 9 000 000 · 50 000

7

b)

0, 008 200

EXEMPEL S 10

Ute är det – 3°. Därefter sjunker temperaturen med 6 grader för att sedan stiga med 2 grader. Vilken blir sluttemperaturen?

EXEMPEL 2 S 19

Beräkna 8

a) 3 + (–2)

b) 4 + (–7)

c) – 2 + (–5)

EXEMPEL 2 S 21

9

a) 6 – (–3)

b) – 4 – (–5)

c) – 9 – (–3)

EXEMPEL S 22

10

a) 2 · (–3)

b) (– 4) · 7

c) (– 6) · (–5)

EXEMPEL 1 S 25

11

a)

12

Jordens ålder beräknas till 4,7 · 109 år. Skriv detta tal utan tiopotens.

13

Vilket tal är störst? a) 53 eller 122

14

15 −3

−16 2

c)

b) 0,52 eller 0,53

−12 −6

EXEMPEL 2 S 26

c) 650 miljoner eller 8,5 · 107

Skriv rätt tecken i rutan. Använd <, > eller = . a) 10–3

15

b)

2 · 10–4

b) – 8

–3

c) 0,009

9 · 10–2

Hur många sekunder går det på ett år, dvs 365 dagar.

Skriv svaret i grundpotensform avrundat till en decimal.

DISKUTE RA

Kan du förklara varför 5 – (–3) = 5 + 3 ?

Repetitionsuppgifter till kapitel 6 finns på sidan 150.

Fördjupningsavsnitt till kapitel 6 finns på sidan 168.

32

POTENSER OCH NEGATIVA TAL

GLÖM INTE FÖRDJUPNINGARNA!

En kvadrat har sidan 12 m och en cirkel har diametern 12 m. Är det sant att a) kvadratens omkrets är större än cirkelns? b) cirkelns area är ungefär 31 kvadratmeter mindre än kvadratens area?

FÖRMINsKNING Det här är en förminskad bild av denna boks framsida.

Bilden är endast 6 cm hög, medan boken är ungefär 24 cm.

Mät gärna och kontrollera!

Kvoten

6 1 kan även skrivas .

24 4

6 cm

7039

Bokens framsida är förminskad i skala ”ett till fyra”. Detta kan skrivas 1:4.

Skala 1:4 betyder att varje sträcka på bilden är en fjärdedel så lång som i verkligheten.

skala 1:4 kan även skrivas

1 4

eller 0,25

varje sträcka på bilden är en fjärdedel så lång som i verkligheten

geometri 2

45

LITeR OCH DeCILITeR Hemma i köket är de vanligaste måtten för volym liter, deciliter och milliliter.

1 liter = 10 deciliter (dl) 1 dl = 10 centiliter (cl) 1 cl = 10 milliliter (ml) Omvandlingstalet är 10

1 dm3 = 1 liter 1 cm3 = 1 ml

Ett mjölkpaket på 1 liter motsvarar alltså 1 dm3.

EXE M PE L 1

Omvandla till liter. a) 5 dm3 = 5 liter b) 8 dl =

8 liter = 0,8 liter 10

c) 13 dl =

eftersom 1 dm3 = 1 liter eftersom 10 dl = 1 liter

13 liter = 1,3 liter 10

EXE M PE L 2

Skriv som deciliter. a) 0,6 liter = 0,6 · 10 dl = 6 dl

1 liter = 10 dl

b) 20 cl = 2 dl

10 cl = 1 dl

c) 500 ml = 50 cl = 5 dl

geometri 2

59

7142

En tennisbana har form av en rektangel med sidorna 18 m och 36 m. a) Hur stor area har tennisbanan? b) En dag faller det 5 mm regn på tennisbanan. Hur många liter vatten är detta?

Ledning: Du ska beräkna volymen av ett rätblock.

Test 7A

Räknare får ej användas

1

Vilken area har en kvadrat där sidan är 7 cm?

2

En cirkel har diametern 10 cm. Hur stor är cirkelns omkrets?

Välj det bästa alternativet.

29 cm 31 cm

34 cm 36 cm

geometri 2

73

3

Bestäm arean. a)

(m)

b) (m)

3 5

4

12

4

3 5

En cirkel har radien 5 cm. Hur stor är arean?

Välj det bästa alternativet.

15 cm3

25 cm3

30 cm3

75 cm3

5

En karta har ritats i skala 1:2000. Said mäter att avståndet mellan två hus är 7 cm. Hur stort är detta avstånd i verkligheten?

6

Bestäm volymen av a) en kub där sidokanten är 5 cm b) ett rum där golvarean är 60 m2 och takhöjden 3 m.

7

Omvandla till dm3 a) 3000 cm3

b) 1,2 liter

c) 0,015 m3

Omvandla till dl a) 0,2 liter

b) 150 cl

c) 0,4 dm3

8

9

En 0,3 mm stor insekt ska avbildas i skala 50:1.

Hur stor blir bilden av insekten?

10

En skål är formad som en cylinder. Basytans area är 150 cm2 och höjden är 10 cm. Bestäm volymen i liter.

11

En romb har samma omkrets som en kvadrat men rombens area är bara hälften så stor som kvadratens.

Ge exempel på kvadratens och rombens bas och höjd.

DISKUTE RA

en cylindrisk burk rymmer 5 dl. Bestäm själv diameter och höjd på burken.

74

geometri 2

Test 7B 1

Vilken av följande geometriska figurer är en romb? a) b) c)

s 34, 35

s s

s

2

3

s

s

b

Bestäm arean av en parallellogram som har basen 15 cm och höjden 8 cm.

exempel 2 s 35

En cirkel har diametern 26 cm. Hur stor är omkretsen?

Avrunda svaret till hela cm.

exempel 1 s 40

4

Beräkna arean av en cirkel med diametern 12 cm.

Svara i hela cm2. exempel s 42

5

Bilden är en ritning av ett rum i skala 1:200.

Mät på ritningen i hela cm och bestäm rummets verkliga längd och bredd.

exempel 1 s 46

Den här insekten är avbildad i skala 10:1.

Hur stor är insekten i verkligheten?

exempel s 49

6

40 mm geometri 2

75

Vilket är talet?

Vilket tal ska skrivas i rutan så att likheten stämmer?

8034

a)

+ 5 = 8

b)

+ 2 = 6

c)

+ 3 = 10

8035

a)

– 2 = 9

b)

– 6 = 4

c)

– 10 = 25

8036

a) 2 ·

8037

a)

2

= 14 = 4

b) 3 · b)

3

= 18 = 5

c) 5 · c)

4

= 40 =3

Nu har du löst några grundläggande ekvationer. Ordet ekvation betyder likhet och det gäller att hitta ett tal så att likheten stämmer.

Ofta använder man bokstaven x i ekvationer, men en liten röd ruta går också bra!

I nästa avsnitt får du träna på flera ekvationer.

84

uttryck och ekvationer

ekVatiONer Bilden visar en balansvåg som väger jämnt.

I den högra skålen finns det 5 vikter på vardera 1 kg. I den vänstra vågskålen finns ett paket tillsammans med 3 vikter på vardera 1 kg. Hur mycket väger paketet?

Med hjälp av en ekvation kan vi bestämma paketets vikt.

x+3

5

Om x betyder paketets vikt får vi följande ekvation: x+3 vänster led

=

5 höger led

Precis som balansvågen har två vågskålar har en ekvation två led med likhetstecken mellan leden.

Både när det gäller balansvågen och ekvationen, måste det hela tiden vara jämvikt. Det ska alltid vara lika mycket på vänster sida som på höger sida.

Vad händer om vi tar bort 3 vikter från den vänstra skålen? Jo, jämvikten rubbas.

För att det ska bli jämvikt igen, måste vi ta bort 3 vikter även från den högra vågskålen.

I nästa bild ser vi att det åter är jämvikt.

Eftersom den vänstra skålen enbart innehåller paketet, måste paketet väga 2 kg.

Genom att subtrahera 3 från både det vänstra och det högra ledet, har vi löst ekvationen x + 3 = 5 och fått svaret x = 2.

x

2

uttryck och ekvationer

85

8116

Lisa och Pelle samlar in pengar till en skolresa. Lisa samlar in 125 kr mindre än Pelle. Tillsammans lyckas de samla in 895 kr.

Hur mycket samlade Pelle in?

8117

Tillsammans tjänar Frida och Andreas 36 860 kr/månad.

Andreas månadslön är 280 kr mindre än Fridas.

Bestäm Andreas månadslön.

8118

Gia, Carlos och Viktor har plockat 65 liter lingon. Gia har plockat dubbelt så mycket som Viktor. Carlos har plockat 5 liter mer än Viktor. Hur många liter har Viktor plockat?

FÖR KLARA B EG R E PP

Förklara följande matematiska begrepp, gärna med exempel. uttryck

100

koefficient

uttryck och ekvationer

variabel

ekvation

M ate M ati k ti ll Va r D a G S 8

Temperaturkurva Bilden visar temperaturen från klockan 6 på morgonen till klockan 7 på kvällen under en vinterdag. På den stående axeln kan vi avläsa temperaturen i °C (Celciusgrader). På den liggande axeln avläser vi tiden. °C

temperatur

7 6 5 4 3 2 1 0 –1

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

tid

–2 –3 –4 –5

Använd temperaturkurvan när du löser följande uppgifter.

1

Bestäm temperaturen klockan a) 8.00 b) 11.00

2

När är temperaturen a) +7 °C b) – 5 °C?

3

Hur många grader stiger temperaturen från klockan 7.00 till 9.00?

4

Hur många grader sjunker temperaturen från klockan 9.00 till 12.00?

5

Avläs temperaturen klockan a) 14.00 b) 17.00

6

Hur många grader sjunker temperaturen a) från 13.00 till 15.00 b) från 10.00 till 14.00?

7

Hur många grader stiger temperaturen a) från 06.30 till 09.00 b) från 17.00 till 19.00?

8

Vid vilka tidpunkter är temperaturen +5 °C?

9

Under hur lång tid sjönk temperaturen?

10

Mellan vilka tidpunkter var det minusgrader? uttryck och ekvationer

101

S a M M a N Fat tN i N G 8 Förenkling av ett uttryck

Uttrycket 3x – 5 + x – 6 består av fyra termer.

När man förenklar uttrycket slås likformiga termer ihop.

Det förenklade uttrycket blir 4x – 11. Ett förenklat uttryck har så få termer som möjligt.

Koefficient Variabel

I uttrycket 4x – 11 kallas 4 koefficient och x variabel.

4x kallas x-term och –11 kallas sifferterm.

Sifferterm

Värdet av ett uttryck

Ekvation

Då x = 5 har uttrycket 4x – 11 värdet 4 · 5 – 11 = 20 – 11 = 9.

En ekvation är en likhet som innehåller en obekant, vilken ofta betecknas x.

5x = 2x + 6 5x – 2x = 6 3x = 6 x=6 3 x=2

102

uttryck och ekvationer

6 kg

5x

2x + 6

9

Statistik och sannolikhet

Visste du att man har haft en pristävling för att få svar på frågan: Varför flyttar så många från Sverige varje år? Premier skulle ges till dem som skaffade många barn och särskilda förmåner skulle ges till invandrare. Allt detta hände på mitten av 1700-talet, då man tyckte att vårt land hade alldeles för få invånare.

För att sammanställa fakta om Sveriges folkmängd startades Tabellverket i Stockholm år 1749. Här samlade man in data om antalet födda och döda för att mäta hur folkmängden förändrades.

Man kan säga att ämnet statistik hade fötts! Idag samlar Statistiska Centralbyrån in mycket intressant statistik som du hittar på adressen www.scb.se Statistik och sannolikhet

109

9073

9074

Hur stor ska medelpunktsvinkeln vara i ett cirkeldiagram, om sektorn ska motsvara 1 1 ? a) 15 % b) 80 % c) d) 4 5 Eleverna i en klass fick frågan ”Hur många syskon har du?”

Stolpdiagrammet visar hur eleverna svarade. a) Hur många elever svarade ”3 syskon”? b) Hur många elever besvarade frågan? c) Vilken är relativa frekvensen för svaret ”inget syskon”?

134

Statistik och sannolikhet

9075

Ge exempel på tre olika vikter så att medelvikten blir 4 kg.

9076

Nämn fem tal så att talens median blir 7.

9077

Pia kastar diskus. En säsong fick hon dessa tävlingsresultat: 45 44 39 44 38 38 41 40 39 42 44 45 47 41 42

35 37 37 48 46 34 35 37 36 40

Fyll i tabellen och rita motsvarande histogram. längd (m)

antal kast

30 ≤ x < 35 35 ≤ x < 40 40 ≤ x < 45 45 ≤ x < 50 9078

Hur stor är sannolikheten att man är född på en måndag?

9079

Vid ett test mätte man reaktionstiden hos några personer. Se tabellen. a) Hur många personer deltog i testet? b) Redovisa tabellens värden i ett stolpdiagram. c) Hur många procent hade reaktionstiden 10 sekunder. tid i sekunder

frekvens

10 11 12 13 14

7 5 4 3 1

FÖR KLARA B EG R E PP

Förklara följande matematiska begrepp, gärna med exempel. median

P(vinst)

histogram

cirkeldiagram

StatiStik och Sannolikhet

135

9065

Vid en lottodragning finns 35 kulor i en behållare.

Kulorna är numrerade från 1 till 35. En maskin drar slumpmässigt en av kulorna. Bestäm sannolikheten i procent att den första kulan som dras har nummer a) 15 b) 15 eller 16 c) 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller 7.

9066

Titta på hjulet från dragningen på Bingolotto.

Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på a) 3 miljoner b) 1/2 miljon c) 2 miljoner eller mer?

DISKUTE RA

Nedan ser du hur två summor av heltal har multiplicerats. Svaret blir 24.

(2 + 2) · (4 + 2) = 4 · 6 = 24

Här är alla termer jämna.

a) Kan svaret bli udda om alla 4 termerna är udda? b) Ge ett exempel där alla termer är jämna och svaret blir 100. Alla termer ska vara större än 1. c) Ge ett exempel där alla termer är udda. d) Kan svaret bli 100 om alla termerna är lika?

130

STATISTIK OCH SANNOLIKHET

R

REPETITION

REPETITION 0 Här repeteras viktiga delar ur boken Vux 1. term

Addition

15 + 4 = 19

summa

term

Subtraktion

40 – 10 = 30

differens

faktor

Multiplikation

6 · 7 = 42

produkt

täljare

Division

8 =4 2

kvot

nämnare

FLERA RÄKNESÄTT I SAMMA UPPGIFT 1) Först multiplikation och division 2) Sedan addition och subtraktion

EXE M PE L 1

a) 5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11 8 = 12 – 4 = 8 2 c) 15 – 2 · 0 = 15 – 0 = 15

b) 3 · 4 –

R1

Bestäm summan av termerna 450 och 10.

R2

Ali köper en bok och betalar med tre hundralappar och en femtiolapp. Han får 11 kr tillbaka. Vad kostade boken?

R E PETITION

139

F

Fördjupning

6A M ultiplikation och division av tiopotenser Vad blir 102 · 104?

Vi omvandlar tiopotenserna och får:

102 · 104 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 102 104 När man multiplicerar potenser som har samma bas, adderar man exponenterna.

102 · 104 = 102 + 4 = 106

105 Vad blir 2 ?

10

Vi omvandlar tiopotenserna och får: 105 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = = 10 · 10 · 10 = 103 2 10 · 10 10 När man dividerar potenser som har samma bas, subtraherar man exponenterna.

10

5

10

2

Vad blir

= 105 – 2 = 103

102 ?

102

Vi använder regeln för division och får: 102 100 Samtidigt gäller att: 2 = 100 = 1 10 Slutsats: 100 = 1

102 = 102 – 2 = 100 102

När en potens har exponenten 0 är dess värde alltid 1.

168

FÖR DJ U PN I NG

7c likForMiGhet När man gör en förstoring eller en förminskning av ett föremål, får man en bild som är likformig med föremålet. Bilden har samma form som föremålet. (cm)

Dessa två trianglar är likformiga.

8

10

5

4

3

x

Att trianglarna är likformiga betyder att förhållandet mellan motsvarande sidor är samma.

8 10 T ex = = 2 Den stora triangelns sidor är 2 gånger större än lilla 4 5 triangelns sidor.

Två geometriska figurer är likformiga om de har samma form.

EXE M PE L

Titta på de två likformiga trianglarna ovan.

Beräkna sidan x.

Vi skriver förhållandet (kvoten) mellan motsvarande sidor.

Det är ofta enklast att börja med den okända sidan x i ekvationen. x 10 = 3 5 3 ⋅ 10 x= 5 x=6

Svar: Sidan är 6 cm.

FÖR DJ U PN I NG

181

F66

De två trianglarna är likformiga. Beräkna längden av den sida som betecknats med x. Måtten är i meter.

x 4 7

F67

14

Rektanglarna är likformiga. Beräkna längden av den sida som betecknats med x. Måtten är i meter.

10 x 6

15

F68

Bestäm x. x 12 x 30 5 x = = b) c) a) = 5 3 7 15 15 6

F69

Ali påstår att alla cirklar är likformiga.

Olga säger att alla kvadrater är likformiga.

Har båda rätt?

F70

Fyrhörningarna är likformiga. Hur stora är sidorna i den större fyrhörningen? (cm) y 16

x

12

z

4 14

F71

35

Är de två rektanglarna likformiga? Förklara hur du tänker.

12

(mm) 30

20 42

182

FÖR DJ U PN I NG

F89

En kub har volymen 0,4 cm3. Vilken volym får kuben då den avbildas i skala b) 3:1 c) 5:1 a) 2:1

F90

I Borås finns en skulptur som föreställer sagofiguren Pinocchio.

Konstnären är Jim Dine. Skulpturen är 9 m hög. Det finns också en modell av skulpturen, endast 60 cm hög. a) I vilken skala är modellen gjord? b) Hur många gånger större volym har skulpturen jämfört med modellen?

7E Symmetri En pepparkaksgris är inte så lätt att dela så att båda delarna blir alldeles lika.

Däremot går det bra att dela ett pepparkakshjärta på mitten, eftersom hjärtat är symmetriskt.

Bilden visar tre kvadrater.

A

B

C

I kvadraterna B och C har vi ritat symmetrilinjer. En symmetrilinje delar en figur i 2 identiska halvor. Om man viker ihop kvadraten längs en symmetrilinje så täcker halvorna varandra. En symmetrilinje är en spegellinje, eftersom varje halva är spegelbild av den andra halvan.

Kan vi rita någon mer symmetrilinje i en kvadrat?

Ja, titta på bilderna D och E. Bilden F visar en kvadrat med samtliga 4 symmetrilinjer ritade.

Symmetrilinjen i bild B ovan är lodrät.

D

E

F

Symmetrilinjen i bild D är vågrät.

FÖR DJ U PN I NG

187

8F pYthAGorAs sAts

PYTHAGORAS SATS: För alla rätvinkliga trianglar

a c us t en o hyp katet a

gäller att summan av kvadraterna på kateterna är lika med kvadraten på hypotenusan. a2 + b2 = c2

katet

Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas hypotenusa.

Lägg märke till att hypotenusan alltid finns mitt emot den räta vinkeln.

De andra två sidorna, de som bildar den räta vinkeln, kallas kateter.

b

Omvänt gäller: Om en triangel har sidorna a, b, och c och det gäller att a2+ b2= c2, så är triangeln rätvinklig.

EXE M PE L

Bestäm sidan x.

(cm)

a) Pythagoras sats ger x2 = 62 + 82

x

6

x = 36 + 64 2

8

x2 = 100 + x x= =( ± ( -)) 100

Vi förkastar den negativa lösningen eftersom en sträcka inte kan vara negativ.

x = 10 b) Pythagoras sats ger x2 + 82 = 92 x =9 –8 2

2

(cm)

2

9

x2 = 81 – 64 x2 = 17

8

x

x = (+-±) 17 = 4,12…

Med räknare får vi x direkt så här: 9

x2

–

8

Svar: a) x = 10 cm b) x ~ 4,1 cm

198

FÖR DJ U PN I NG

x2

=

√ˉˉ

8e AndrAGrAdsekvAtioner En kvadrat har arean 25 m2.

Hur stor är kvadratens sida?

25 m²

Eftersom kvadratens area A = s · s och 5 · 5 = 25 så är kvadratens sida 5 m.

s

s

Hur stor är sidan om arean är 20 m2?

Vi söker alltså ett tal som multiplicerat med sig självt ska bli 20.

20 m²

Vi provar med några tal!

4 · 4 = 16

För litet!

5 · 5 = 25

För stort!

4,5 · 4,5 = 20,25

Nu kom vi mycket nära!

Det tal vi söker kallas ”kvadratroten ur 20” och skrivs Vi använder räknarens tangent √ˉˉ och ser att

20 .

20 ≈ 4,742 4,472… 

Vissa tal är det enkelt att ”dra roten ur”, t ex 25, 16, 9, 4 och 1.

Dessa tal kallas ”jämna kvadrater”.

25 = 5 eftersom 5 · 5 = 25 16 = 4

9=3

4=2

1= 1

EXE M PE L 1

a)

81 = 9

Innebär att 9 · 9 = 81

b)

144 = 12

Innebär att 12 · 12 = 144

c)

7 = 2,6457

Innebär att 2,6457… · 2,6457… = 7

Avrundat till tre decimaler får vi

7 ≈ 2,646

FÖR DJ U PN I NG

195

8G Proportionalitet Elin köper lösviktsgodis.

Grafen visar priset.

kr

pris

15 10 5 vikt 1

2

3

hg

Från grafen ser vi att 1 hg kostar 5 kr och 2 hg kostar 10 kr, dvs dubbelt så mycket.

När kostnaden ökar i samma takt som mängden (vikten) har vi en proportionalitet.

Matematiskt kan vi säga att: Kostnaden y är proportionell mot vikten x.

Formeln y = 5x beskriver kostnaden då Elin köper x hekto godis.

Om x = 3 får vi y = 5 · 3 = 15

Det betyder att 3 hg godis kostar 15 kr

Om x = 4,2 får vi y = 5 · 4,2 = 21 Det betyder att 4,2 hg godis kostar 21 kr

y = 5x är exempel på en proportionalitet • Grafen är en rät linje som utgår från origo • 5 kallas proportionalitetskonstant och betyder här ”5 kronor per hekto”

200

FÖR DJ U PN I NG

EXE M PE L

Grafen visar att Elliots lön är proportionell mot den tid han jobbar.

Bestäm Elliots timlön.

kr

lön

500

Pilarna visar att 2 timmars jobb ger lönen 500 kr.

500 kr Timlön = = 250 kr/timme 2 timmar

tid 1

2

3

tim

Lägg märke till att proportionalitetskonstanten är 250 kr/timme.

Svar: 250 kr/timme

F157

Jon jobbar extra och får betalt per timme. För 4 timmars arbete får han 780 kr. a) Bestäm proportionalitetskonstanten i kr/timme. b) Hur mycket tjänar Jon då han jobbar 5 timmar?

F158

Den röda linjen i diagrammet visar priset på tomater. a) Vad kostar 2 kg tomater? b) Vilket är kilopriset? c) Bestäm proportionalitetskonstanten i kr/kg. kr 90 60 30

1

F159

2

3

kg

Kostnaden för bensin är proportionell mot volymen (antal liter).

För 20 liter bensin får Anna betala 280 kr. a) Bestäm proportionalitetskonstanten i kr/liter? b) Hur mycket kostar 50 liter av bensinen?

FÖR DJ U PN I NG

201

EXE M PE L 1

Grafen visar hur kostnaden (kr) för en taxiresa beror på avståndet (km).

kr

kostnad

400

Vilken är kostnaden per km?

300

Kostnaden för 2 km är 200 kr.

200

Kostnaden för 5 km är 350 kr.

100

350 – 200 5–2 sträcka

350 − 200 150 Kostnad per km = = = 50 5− 2 3

1

2

3

4

5

km

Svar: Det kostar 50 kr/km

EXE M PE L 2

Grafen visar hur temperaturen i grader har ändrats under 12 timmar.

Vi kan t ex avläsa följande från grafen: a) Punkterna A, B, C och D visar att det är plusgrader. b) F och G visar minusgrader. c) I punkten E är det noll grader. d) I punkterna A och B ser vi att temperaturen stiger (ökar). e) Punkten D visar att det är plusgrader men att temperaturen sjunker (minskar). °C

temperatur C

6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

204

FÖR DJ U PN I NG

B D A E 1

2

3

4

5

tid 7 dag

6 F

G

F167

Besvara frågorna med hjälp av temperaturgrafen. °C

temperatur

60 50 40 30 20 10

tid 10

20

30

40

min

a) Vilken är den högsta temperaturen? b) Hur många minuter ökar temperaturen? c) Är det sant att temperaturen från början ökar med ca 5 grader/minut?

F168

Lina hyr en bil under ett dygn. Kostnaden beror på hur långt hon åker, enligt grafen. kr

kostnad

1200 1000 800 600 400 200

sträcka 10

20

30

mil

a) Vad blir kostnaden då Lina kör 30 mil? b) Hur långt har hon kört om kostnaden blir 1200 kr? c) Vilken är den fasta kostnaden? d) Bestäm milkostnaden uttryckt i kr/mil.

FÖR DJ U PN I NG

205

F169

Grafen visar temperaturen i en ugn från kl 7 till kl 13. a) Vilken tid börjar temperaturen minska? b) Hur många timmar minskar temperaturen?

Hur stor är temperaturförändringen i grader/timme c) under de 2 första timmarna d) mellan kl 8 och kl 10 e) mellan kl 10 och kl 12 f) mellan kl 12 och kl 12.30? °C

temperatur

120 100 80 60 40 20 tid 7

F170

8

9

10

11

En hink står på en våg.

Grafen visar vikten då man häller en vätska i hinken. a) Hur mycket väger hinken då den är tom? b) Vad väger 1 liter av vätskan?

13

12

kg

h

vikt

8 7 6 5 4 3 2 1

volym 1

206

FÖR DJ U PN I NG

2

3

4

5

6

liter

Bildförteckning Omslag: David De Lossy/Digital Vision/Getty Images Nasa 1 Hemera Technologies/Ablestock/Getty Images 3 Christopher Arnesen/The Image Bank/Getty Images 7 Julia Ivantsova/Shutterstock 10 Göran Billeson/TT 12 Interfoto/IBL 15 Tor Larsson/Västerbottenskuriren/TT 15 David Monniax 27 Joakim Berglund/Expressen/TT 33 Warut Prathaksithorn/Shutterstock 39 Vankad/Shutterstock 43 iko/Shutterstock 48 Feng Yu/Shutterstock 49(1) Cosmin Manci/Shutterstock 49(2) O. Meckes / N. Ottawa/Eye of Science/Science Phoito Library/IBL 50 Sergio33/Shutterstock 53 Maxim Ibragimov/Shutterstock 59(1) Design56/Shutterstock 59(2) Christian Vinces/Shutterstock 63 Vipman/Shutterstock 64 André Maslennikov/IBL 71 Elise Amendola/AP/TT 73 Cosmin Manci/Shutterstock 75 Cyril Le Tourneur d'Iso/Gamma/IBL 77 iStockphoto/Getty Images 78 Dmitry Kalinovsky/Shutterstock 84 Sixten Jonsson/Naturfotograferna/IBL 90 Tamara Kulikova/Shutterstock 97 Elina Manninen/Shutterstock 100 Ingela Isaksson/Shutterstock 105 Jurek Holzer/SvD/Scanpix 109 Karl-Josef Hildenbrand/DPA/TT 112 iStockphoto/Getty Images 113 Björn Magnusson 128 Mates/Shutterstock 131 (1,3) Northsweden/Shutterstock 131 (2) Susanne Walstrom/Johner/Getty Images 134 PicturePartners/iStock/Getty Images 137 Kesu/Shutterstock 141 PicturePartners/iStock/Getty Images 148

Mark Earthy/TT 152 Calle Jismark/TT 154 Valentina Proskurina/Shutterstock 163 Dan Gerber/Shutterstock 167(1) Nattika/Shutterstock 167(2) Skånemejerier 175 (1) BMJ/Shutterstock 175 (2) Monika Hunackova/Shutterstock 187 Olga Popova/Shutterstock 192 Africa Studio/Shutterstock 200 Nattika/Shutterstock 201 Hans Van Ijzendoorn/iStock/Getty Images 215 Interfoto /IBL 219 Gjermund/Shutterstock 221 Stefan Holm/Shutterstock 222

249

Serien VUX består av två böcker, VUX 1 och VUX 2.

Tillsammans innehåller böckerna den matematik som ingår i grundskolans senare del (Lgr11). Böckerna riktar sig i första hand till elever på • komvux • uppdragsutbildning • distanskurser • folkhögskolor VUX-böckerna har ett enkelt språk. Här finns många lösta

typexempel och mycket vardagsmatematik. Till samtliga kapitel finns förutom Grundkurs, även Fördjupnings- och Repetitionsavsnitt. Varje kapitel avslutas med två tester.

I facit finns lösningar till svåra uppgifter.

VUX 1

VUX 2

0. Siffror och tal 1. De fyra räknesätten 2. Geometri 1 3. Bråk 4. Procent 5. Grafer

6. Negativa tal och potenser 7. Geometri 2 8. Ekvationer 9. Statistik och sannolikhet

Grundkurs tillsammans med Fördjupningar täcker samtliga moment i kursplanen för Lgr11.

I boken VUX 2 finns dessutom laborationer samt ett avsnitt Repetition 0 där viktiga delar i VUX 1 repeteras.

Best.nr 47-11544-0 Tryck.nr 47-11544-0