7000 Matematik
1c + 2c Nivå
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Koordinatsystem
För att beskriva läget eller positionen av en punkt i ett plan behövs två koordinataxlar, en x-axel och en y-axel.
2326 Faktorisera genom att bryta ut en gemensam faktor.
a) 2 x + 6
a) 2 x + 6 = 2 · x + 2 · 3 = 2(x + 3)
2 är en gemensam faktor.
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
ÖVNINGSUPPGIFTER
3404 Låt f (x) = 4 x – 3 och beräkna a) f(0) b) f(0,5) c) f(–3)
1110 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13. Vilket svar får du?
2266 Lös ekvationen x 2 = x + 2 med digitalt verktyg och visa med prövning att lösningen är korrekt.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna. Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare. Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
3538 Minskningen var 14 % per år.
Ledtråd:
Lös ekvationen 2 500 · x3 = 1 600 x är en förändringsfaktor.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Programmering
Ekvationslösning
Historik
Algebra genom tiderna
KAPITELSLUT
Sant eller falskt?
Sammanfattning 4
Kan du det här?
BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
Blandade övningar 1–4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande. Du hittar fler aktiviteter i bokens lärarhandledning.
Minst en aktivitet per kapitel handlar om problemlösning med hjälp av programmering.
Teman till denna bok finns i lärarhandledningen och har teori och uppgifter som främst är kopplade till teknik och naturvetenskap.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll nivå 1c
1. Aritmetik och algebra 10
Inledande aktivitet: Lägga tal 11
1.1 Repetition av räkneregler 12
Tal och prioriteringsregler 12
Negativa tal 16
1.2 Repetition av bråk och decimaltal 20
Tal i bråkform 20
Tal i decimalform 25
Avrundning och gällande siffror 28
1.3 Algebraiska uttryck 30
Algebraiska uttryck 30
Förenkling av algebraiska uttryck 33
Aktivitet: Vilka uttryck är lika? 37
1.4 Linjära ekvationer 38
Lösning av linjära ekvationer 38
Mer om ekvationslösning 42
Uttryck, ekvationer och bråk 45
Historik: Algebra genom tiderna 49
Tillämpningar och problemlösning 50
1.5 Procent och förändringsfaktor 55
Repetition av procentberäkningar 55
Repetition av procentenheter och jämförelser 58
Förändringsfaktor 61
Procentuella förändringar i flera steg 65
Programmering: Procentuella förändringar 69
Aktivitet: Sant eller falskt? 71
Sammanfattning 1 72
Kan du det här? 74
Testa dig själv 1 75
Blandade övningar 1 76
2. Potenser och formler 80
Inledande aktivitet: Upptäck ett samband 81
2.1 Potenser 82
Potenslagar 82
Exponenten noll och negativa exponenter 86
Repetition av grundpotensform och prefix 88
2.2 Potensekvationer 91
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 91
Potensekvationen x n = a 95
Potenslagar och kvadratrötter 99
Ekvationslösning med digitalt verktyg 101
Programmering: Ekvationslösning 103
2.3 Uttryck och formler 105
Multiplikation av uttryck 105
Faktorisera 109
Aktivitet: Förenkla med digitalt verktyg 112
Formler 113
Lösa ut ur formler 117
2.4 Formler och generella samband 120
Algebra och geometriska formler 120
Upptäcka och uttrycka mönster 124
Upptäcka och uttrycka generella samband 126
Aktivitet: Sant eller falskt? 131
Sammanfattning 2 132
Kan du det här? 134
Testa dig själv 2 135
Blandade övningar 2 136
Blandade övningar 1–2 139
3. Funktioner 142
Inledande aktivitet: Hitta regeln 143
3.1 Grafer och funktioner 144
Koordinatsystem 144
Historik: René Descartes 144
Funktion – Formel, värdetabell och graf 148
Linjära samband 153
Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 157
Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 158
3.2 Räta linjens ekvation 160
Avläsa k-värdet och m-värdet 160
Bestäm räta linjens ekvation 165
Parallella och vinkelräta linjer 170
Olika former för räta linjens ekvation 173
3.3 Olikheter 176
Intervall 176
Linjära olikheter 179
3.4 Funktionsbegreppet 182
Skrivsättet f (x) 182
Grafisk lösning av ekvationer och olikheter 186
Aktivitet: Tårtljus 190
Definitionsmängd och värdemängd 191
3.5 Olika typer av funktioner 194
Linjära funktioner 194
Exponentialfunktioner 197
Potensfunktioner 201
Aktivitet: Para ihop formel och graf 206
Matematiska modeller –egenskaper och begränsningar 207
Aktivitet: Sant eller falskt? 213
Sammanfattning 3 214
Kan du det här? 216
Testa dig själv 3 217
Blandade övningar 3 218
Blandade övningar 1–3 222
4. Trigonometri och vektorer 226
Inledande aktivitet: Tangens för en vinkel 227
4.1 Trigonometri 228
Beräkna sträckor med tangens 228
Beräkna vinklar med tangens 231
Sinus och cosinus 233
Sträckor och vinklar i koordinatsystem 237
4.2 Vektorer 240
Vad är en vektor? 240
Beräkningar med vektorer 244
Vektorer i koordinatform 247
Aktivitet: Sant eller falskt? 250
Sammanfattning 4 251
Kan du det här? 252
Testa dig själv 4 253
Blandade övningar 4 254
Blandade övningar 1–4 256
5. Sannolikhet och statistik 258
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 259
5.1 Repetition av sannolikhet 260
Sannolikheten för en händelse 260
Sannolikhet och relativ frekvens 264
5.2 Slumpförsök i flera steg 266
Försök med två föremål 266
Träddiagram 269
Beroende händelser 273
Aktivitet: Byta eller inte byta? 275
Komplementhändelse 276
Programmering: Kasta fyra tärningar 278
5.3 Matematik och ekonomi 280
Lån, ränta och amortering 280
En introduktion till kalkylprogram 283
Lån, ränta och amortering
med kalkylprogram 285
5.4 Statistik 289
Stickprov och urvalsmetoder 289
Signifikans och felkällor 293
Korrelation och kausalitet 298
Aktivitet: Sant eller falskt? 303
Sammanfattning 5 304
Kan du det här? 306
Testa dig själv 5 307
Blandade övningar 5 308
Blandade övningar 1–5 310
Innehåll nivå 2c
6. Algebra 314
Inledande aktivitet: Vilken linje stämmer bäst? 315
6.1 Linjär regression och korrelation 316
Linjär regression 316
Korrelation och korrelationskoefficient 320
6.2 Linjära ekvationssystem 323
Lösning av ekvationssystem 323
Substitutionsmetoden 327
Additionsmetoden 330
Ekvationssystem med tre obekanta 333
Tillämpningar och problemlösning 335
Några speciella ekvationssystem 339
Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsreglerna 341
6.3 Uttryck med parenteser 342
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 342
Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 344
Faktorisera 346
Aktivitet: Sant eller falskt? 348
Sammanfattning 6 349
Kan du det här? 350
Testa dig själv 6 351
Blandade övningar 6 352
7. Algebra och ickelinjära modeller 356
Inledande aktivitet: Ekvationer med två rötter 357
7.1 Andragradsekvationer och rotekvationer 358
Enkla andragradsekvationer 358
Kvadratkomplettering 361 En lösningsformel 363
Tillämpningar och problemlösning 367
Programmering: Lösningsformel för andragradsekvationer 369
Rotekvationer 371
Aktivitet: Andragradsfunktioner 374
7.2 Andragradsfunktioner 375
Andragradsfunktionens graf 375
Andragradsfunktionens största eller minsta värde 380
Från graf till formel 384
Problemlösning 387
Aktivitet: Grafen till y = 10 x 391
7.3 Logaritmer 392
Exponentialekvationer och logaritmer 392 Mer om logaritmer 394
Logaritmlagarna 397
7.4 Exponentialekvationer och potenskvationer 400
Likheter och skillnader 400
Aktivitet: Termosen 403
Aktivitet: Radioaktiva pärlor 403 Tillämpningar och problemlösning 404
7.5 Regressionsanalys 409
Regressionsananlys med olika modeller 409
Aktivitet: Sant eller falskt? 413
Sammanfattning 7 414
Kan du det här? 416
Testa dig själv 7 417
Blandade övningar 7 418
Blandade övningar 6–7 421
8. Geometri 424
Inledande aktivitet: Fyrhörningar 425
8.1 Bevis och logik 426
Några geometriska begrepp och definitioner 426
Sats och bevis 430
Historik: Geometri i tusentals år 433
Implikation och ekvivalens 434
8.2 Några klassiska satser i geometri I 436
Yttervinkelsatsen 436
Aktivitet: Randvinklar 439
Randvinklar och medelpunktsvinklar 440
Pythagoras sats 444
Historik: Pythagoras sats 447
8.3 Några klassiska satser i geometri II 448
Likformighet 448
Topptriangelsatsen och transversalsatsen 452
Bevis med likformighet 456
Kordasatsen och bisektrissatsen 458
8.4 Koordinatgeometri 460
Avståndsformeln och mittpunktsformeln 460
Problemlösning 464
Aktivitet: Sant eller falskt? 467
Sammanfattning 8 468
Kan du det här? 470
Testa dig själv 8 471
Blandade övningar 8 472
Blandade övningar 6–8 474
9. Statistik 478
Inledande aktivitet: Presentera data 479
9.1 Lägesmått och spridningsmått 480
Medelvärde, median och typvärde 480
Kvartiler och percentiler 484
Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 489
Lådagram 490
Standardavvikelse 496
9.2 Normalfördelning 499
Normalfördelat material 499
Normalfördelat material och digitala verktyg 503
Aktivitet: Sant eller falskt? 506
Sammanfattning 9 507
Kan du det här? 508
Testa dig själv 9 509
Blandade övningar 9 510
Blandade övningar 6–9 512
Svar, ledtrådar och lösningar 518
Register 621
ARITMETIK OCH ALGEBRA
Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.
Algebra, som lite förenklat kan beskrivas som bokstavsräkning, är en mycket viktig del av matematiken. Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-jabr som finns i titeln på en lärobok av en persisk matematiker, alKhwarizmi, som levde för ca 1 200 år sedan.
Centralt innehåll
• Hantering av algebraiska uttryck.
• Begreppen förändringsfaktor och beräkningar av förändringar i flera steg.
• Metoder för att lösa linjära ekvationer.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär, privatekonomi och samhällsliv.
• Exempel på hur programmering kan användas som verktyg i problemlösning.
Med andra ord
I början av kapitlet får du repetera viktiga räkneregler. Det gäller t.ex. i vilken ordning du ska räkna vid beräkningar med flera olika räknesätt och hur du räknar med negativa tal, bråktal och tal i decimalform.
I fortsättningen av kapitlet får du repetera och lära dig mer om hur du kan ställa upp och hantera uttryck och ekvationer.
För att beräkna förändringar i procent får du lär dig att använda förändringsfaktor, ett begrepp som kommer att återkomma många gånger under kursens gång.
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Skriv upp beräkningar och resultat.
Finns det flera lösningar till några av uppgifterna?
Arbeta gärna i par eller grupp.
Placera talen 1, 2, 5 och 7 i rutorna så att …
1 summan av de två tvåsiffriga talen + blir så nära 60 som möjligt.
2 produkten ( + ) ( + ) blir
a) så nära 60 som möjligt
b) så stor som möjligt.
Hur ändras beräkningen och resultatet om parenteserna tas bort?
3 Ersätt bokstäverna i uttrycket ab cd + + med
talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är
a) det rationella talet 2 3
b) decimaltalet 0,25.
4 Ersätt bokstäverna i uttrycket ab cd med
talen 1, 2, 5 och 7 så att uttryckets värde är
a) det naturliga talet 2
b) det negativa talet –2.
1.1 Repetition av räkneregler
Tal och prioriteringsregler
När vi räknar behöver vi olika typer av tal.
Vi börjar med att presentera de talmängder som vi använder i denna kurs.
talmängd En talmängd är en avgränsad samling av tal och beskrivs ofta med hjälp av symbolen { }.
naturliga tal Naturliga tal är tal som anger antal, dvs. talen i mängden N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Med naturliga tal klarar vi många beräkningar men inte t.ex. 6 – 8.
För det krävs negativa tal. De naturliga talen och de negativa heltalen hela tal bildar tillsammans de hela talen, Z .
Z = {…, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
rationella tal De rationella talen Q definieras på följande sätt:
Q = {alla tal a /b där både a och b är heltal och b ≠ 0}
Decimaltal kan skrivas som bråk, t.ex. 1,5 = 3 2 och 0,07 = 7 100
Men inte ens de rationella talen räcker till i alla situationer.
Det exakta värdet på diagonalen i en kvadrat med sidan 1 är 2 . irrationella tal Talet kan inte skrivas som ett bråk. 2 är ett exempel på ett irrationellt tal
reella tal Slutligen kan de reella talen R definieras på följande sätt:
R = {alla rationella tal tillsammans med alla irrationella tal}
Av figuren kan vi se att ett naturligt tal också är ett heltal, ett heltal också är ett rationellt tal och att alla talmängder ovan är exempel på reella tal.
Alla reella tal kan hittas på tallinjen, t.ex:
Vi kommer i de kommande sidorna att repetera räkneregler för olika typer av tal.
Exempel Hilda har börjat träna judo och har betalat
300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.
När hon tränat 10 gånger beräknar hon den genomsnittliga kostnaden i kr per träning:
300 10 70 10 = 300 700 10 = 1 000 10 = 100
Det har kostat 100 kr/träning.
Hon kontrollerar svaret på räknaren:
300+10*70/10 370
Räknaren visar 370. Varför blir det så?
Räknaren gör en annan beräkning än den Hilda tänkte sig:
300 + 10 · 70 /10 = 300 + 700 /10 = 300 + 70 = 370
För att få ett korrekt svar på räknaren finns två alternativ:
◗ Beräkna uttrycket i täljaren innan divisionen utförs:
300 10 70 10 = 1 000 10 = 100
◗ Använda en parentes: (300 + 10 · 70) /10 = 100
Prioriteringsreglerna anger i vilken ordning vi ska räkna:
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
Multiplikation och division beräknas före addition.
Prioriteringsreglerna
2 Därefter potenser (upphöjt till).
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 Till sist additioner och subtraktioner.
Ett uttryck med en upprepad multiplikation med samma faktor kan skrivas som en potens, t.ex. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 3 . bas 2 3 utläses ”två upphöjt till tre” och är en potens med basen 2 exponent och exponenten 3.
Exponent 23 Bas potens
De fyra räknesätten
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
summa
Addition: 4 + 3 = 7
term term summa
differens
Subtraktion: 4 – 3 = 7
term term differens
produkt
Multiplikation: 3 · 12 = 36
faktor faktor produkt
Division: 15 3 = 5
1101
Beräkna utan räknare.
a) 5 · 4 + 32 – 2 b) 10 + 4 · (5 – 2)
Vi använder prioriteringsreglerna.
a) 5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 = = 20 + 9 – 2 = 27
b) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 = = 10 + 12 = 22
1102
täljare kvot
nämnare kvot
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikation
Först parentesen
Sedan multiplikation
Beräkna med räknare 13 19 5 41750
Metod 1
Vi skriver uttrycket med parenteser: (13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14
Metod 2
Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först.
13 19 5 41750 = 252 18 = 14
Svar: 14
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
1103 Beräkna
a) (3 + 5) ∙ 8 c) 14 – 6/2
b) 3 + 5 ∙ 8 d) (14 – 6)/2
1104 Beräkna
a) 2 ∙ 52 c) 4 + 52
b) (2 ∙ 5)2 d) 4 + 5 ∙ 2
1105 Beräkna
a) 9 + 2 ∙ 3 – 1
b) 17 – 3 ∙ 2 + 5 – 18/3
c) 12 – 12/3 – 3 + 1
d) (12 + 12)/3 ∙ 2
1106 Beräkna
a) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
b) (8 – 2)2 /3 – 1
c) 32 2 34 2 34 22
1107 Elisa använder sin räknare till beräkningen
42 18 28 + +
Hon trycker 42 + 18 / 2 + 8.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Elisa?
c) Vilket är rätt svar?
1108 Beräkna
a) 138 17 31 + b) 6 279 6 23 39 ⋅
c) 3 ∙ (12 + 19) + 8 3 – 9 ∙ 3
1109 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5.
b) Eric skriver på ett prov: 2 ∙ 52 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
Svaret är rätt, men läraren ger ändå
Eric fel. Varför?
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
1110 Addera talen 237 och 387 och dividera därefter summan med produkten av 12 och 13.
Vilket svar får du?
1111 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ □ = 200
b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36
1112 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.
a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen. Bestäm det nya värdet.
b) Bestäm de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.
1113 Produkten av 39 ∙ 40 = 1 560. Vad är då
a) 39 ∙ 41 b) 39 ∙ 38 + 2 ∙ 39?
1114 Vi antar att siffertangenten 4 är trasig på din räknare. Hur räknar du då ut
a) 14 ∙ 34 b) 478 ∙ 444 ?
1115 Uttrycket (30 – a) /(2 + 4) har värdet 3. Vilket blir värdet om
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) båda parenteserna tas bort?
1116 För vilka positiva heltalsvärden på a är kvoten 36/(a /10)
a) mindre än 1 c) mindre än 9 b) större än 36 d) större än 3?
1117 Ett tal multipliceras med 4.
Från produkten subtraheras 7. Differensen divideras med 3.
Kvoten höjs upp med 3. Potensens värde är 27.
Vilket var det ursprungliga talet?
Programmering
Kasta fyra tärningar
Rubrik Special
Hur stor är sannolikheten att få poängsumman 12 när man kastar fyra tärningar?
1 FÖRSTÅ
När vi gör slumpförsök med fyra föremål kan vi inte bestämma sannolikheten med hjälp av ett diagram på samma sätt som med två föremål, se sidan 266. Istället kan vi bestämma sannolikheten experimentellt genom att göra ett stort antal försök och sedan beräkna den relativa frekvensen för en viss händelse.
Det är viktigt att vi gör många försök eftersom den relativa frekvensen närmar sig sannolikheten för en viss händelse när antalet försök ökar.
2 PLANERA
A Resultat
Om vi väljer att göra 1 000 tärningskast vill vi att programmet skriver ut följande resultat:
Hur många tärningskast vill du göra? 1000
Andel kast med poängsumman 12 (%):
där den relativa frekvensen ska stå istället för strecket.
B Lösning
Vi kastar tärningarna ett stort antal gånger och antecknar antalet kast som ger summan 12.
Detta är antalet gynnsamma utfall. Det totala antalet kast motsvarar antalet möjliga utfall.
Sannolikheten för summan 12 får vi genom att beräkna den relativa frekvensen:
P(summa 12) = antalet gynnsamma utfal l totala antalet utfall
C Variabler
Programmet ska använda följande variabler:
• antal för antalet kast med summan 12
• n för det totala antalet kast
• i för att räkna antalet kast
• t1, t2, t3 och t4 för tärningarnas poängtal
• summa för poängsumman
• andel för den relativa frekvensen.
D Algoritm
Vi sammanfattar hur programmet steg för steg ska lösa uppgiften.
• Spara värdet 0 i variabeln antal.
• Läs in antalet tärningskast och spara det i variabeln n.
• Upprepa följande procedur n gånger: slumpa fyra tal (kast) från 1 till 6, beräkna summan av talen och öka antal med 1 om summan är 12.
• Beräkna den relativa frekvensen för summan 12 och spara värdet i variabeln andel.
• Skriv ut den relativa frekvensen.
Aktivitet
3 GENOMFÖRA – KODA
I programspråket Python3 skriver vi programmet så här:
Rubrik Special
import random # Importerar slumpfunktion antal = 0 # Antal kast med summan 12
n = int(input("Hur många tärningskast vill du göra?"))
for i in range(n):
t1 = random.randint(1, 6) # Slumpar heltal från 1 till 6
t2 = random.randint(1, 6)
t3 = random.randint(1, 6)
t4 = random.randint(1, 6)
summa = t1 + t2 + t3 + t4
if summa == 12: antal += 1
# Antalet ökar med 1
andel = round(((antal / n) * 100), 1) # Relativ frekvens med en decimal
print("Andel kast med poängsumman 12 (%):", andel)
4 TESTA OCH VÄRDERA
Programmet bestämmer den relativa frekvensen för poängsumman 12 och presenterar resultatet med en decimals noggrannhet. Om man kör programmet flera gånger och väljer samma antal kast, varierar den relativa frekvensen. Ju större antal kast man väljer, desto mindre blir variationen.
Lös följande uppgifter med hjälp av programmering. Syftet är att du ska utveckla din problemlösningsförmåga och därför är det lämpligt att du följer alla stegen i strategin.
1 Skriv programmet i exemplet. Kör det och undersök om det fungerar.
2 a) Kör programmet och välj 2 000 tärningskast. Öka sedan antalet kast i steg om 2 000 och anteckna resultaten i en tabell. Lägg märke till hur den relativa frekvensen varierar.
b) Undersök hur många kast som krävs för att den relativa frekvensen ska stabilisera sig. Hur stor är sannolikheten att få poängsumman 12 när man kastar fyra tärningar?
KOMMUNIKATION
3 Skriv ett program som simulerar kast med fem tärningar. Sidorna ska vara märkta med heltalen från 1 till 6 och programmet ska beräkna poängsumman vid varje kast. Använd programmet för att bestämma sannolikheten för att få poängsumman 25 vid kast med fem tärningar.
ALGEBRA
Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
• Begreppet linjärt ekvationssystem.
• Metoder för att lösa linjära ekvationssystem.
• Motivering och hantering av konjugatoch kvadreringsreglerna.
• Problemlösning med särskild utgångspunkt i utbildningens karaktär.
Med andra ord
Kapitlet börjar med en repetition av de räkneregler som vi använder när vi förenklar uttryck och löser ekvationer.
En repetition av räta linjens ekvation förbereder för nästa moment.
Vi arbetar med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att arbeta både grafiskt och algebraiskt.
Kapitlet avslutas med multiplikation av parentesuttryck och du får lära dig att använda några algebraiska regler för detta.
Inledande aktivitet
VILKEN LINJE STÄMMER BÄST?
Arbeta tillsammans två och två.
Materiel: Digitalt verktyg
Moa har en träningsklocka som registrerar hur långt hon springer.
I tabellen nedan visas hur långt Moa sprungit i km var femte minut under löpturen.
Tid (min) 5 10 15 20 25
Sträcka (km) 1,1 2,3 3,3 4,4 5,3
a) Använd ett digitalt verktyg för att rita punkterna i ett koordinatsystem.
b) Rita följande linjer i samma koordinatsystem som punkterna:
y = 0,20 x + 0,13
y = 0,21 x + 0,13
y = 0,23 x
c) Vilken av linjerna tycker du stämmer bäst med de uppritade punkterna? Varför?
6.1 Linjär regression och korrelation
Linjär regression
Exempel
Astrid har gjort några mätningar av längden y cm av en stockros x dagar efter plantering.
x (dagar) 4 6 10 12 y (cm) 14 22 26 32
Astrid markerar sina uppmätta värden i ett koordinatsystem och vill beskriva hur stockrosen växer med en linjär modell:
y = k x + m
linjär anpassning
regression
Hon anpassar med ”ögonmått” en rät linje till sina uppmätta värden och använder sedan den inritade linjen som modell för hur längden varierar med tiden.
Linjens ekvation kan bestämmas med hjälp av avläsningar i koordinatsystemet.
Punkterna (0, 8) och (12, 32) ligger på linjen.
k = y x = 32 8 12 0 = 2
y = 2 x + 8
Metoden att anpassa en rät linje till uppmätta värden med ögonmått ger olika resultat beroende på hur linjen ritas.
I figuren är de vertikala avvikelserna mellan linjen och mätpunkterna markerade. Om vi summerar kvadraterna på avvikelserna, kommer den minsta summan d1 2 + d 2 2 + d 3 2 + d4 2 att ge oss en bra anpassning av linjen.
Ett digitalt verktyg kan hjälpa oss att anpassa en bästa linje. Metoden att på det här sättet skapa den räta linje som är bäst anpassad till kända data kallas linjär regression.
Många AI-modeller använder idéer från linjär regression för att hitta samband mellan data och för att göra smartare gissningar. Ett exempel är ”närmaste granne-klassificering”, där modellen letar efter tidigare liknande exempel för att avgöra vad som passar bäst. Även om AI i dag är mycket mer avancerat, bygger många grundtankar på enkla modeller med linjär regression.
linjär
6101 I tabellen är y stockrosens höjd i cm och x antalet dagar efter planteringen.
x (dagar) 4 6 10 12
y (cm) 14 22 26 32
a) Anpassa en rät linje till mätvärdena i tabellen, dvs. gör en linjär regression.
b) Tolka linjens k- och m-värde.
c) Det linjära sambandet kan ses som en modell för hur höjden beror av tiden. Använd modellen och beräkna stockrosens höjd efter 7 dagar.
d) Har modellen några begränsningar?
a) Vi använder ett digitalt verktyg med kalkylblad eller listor och skriver in x- och y-värdena i var sin kolumn eller lista.
Med hjälp av verktygets inbyggda funktion gör vi en linjär anpassning, vilket ger y = 2 x + 7,5.
Det kan till exempel se ut så här:
Y:B1:B4
X:A1:A4 20 10 30 3456789101112 y=2x+7.5
Linjärmodell
b) k = 2
Tolkning: Höjden ökar i genomsnitt med 2 cm per dag. m = 7,5
Tolkning: Höjden var 7,5 cm vid tiden för planteringen.
c) y = 2 x + 7,5 och x = 7 ger y = 2 ∙ 7 + 7,5 = 21,5
Svar: Höjden var 21,5 cm.
d) Ja, till exempel gäller modellen endast för positiva värden på höjden, dvs. y > 0.
Stockrosen kan inte bli hur hög som helst. Om tillväxthastigheten ändras, upphör modellen att gälla.
6102 I en laborationsrapport har Thea med ögonmått anpassat en rät linje till fyra mätpunkter.
a) Bestäm ekvationen för den linje som Thea har ritat.
b) Avläs de fyra punkterna och skriv in värdena i ditt digitala verktyg.
Anpassa en rät linje till punkterna.
6103 Ronja har gjort en linjär regression och fått följande resultat.
6105 Tabellen visar blodtrycket hos fem personer.
Undre tryck, x (mmHg) 65 75 75 80 90 Övre tryck, y (mmHg) 100 110 120 130 150
a) Gör en linjär regression.
b) En person har undre tryck 85 mmHg. Beräkna personens övre tryck enligt modellen.
6106 En villaägare i Sydsverige med en gammal oljepanna har studerat sin oljeförbrukning under ett år.
Månad Medeltemp (°C) Antal liter olja Jan 2,0 550
y=3x+12
Hon avläser m = 17,5 vid linjens skärning med y-axeln och undrar varför det inte stämmer med regressionslinjens ekvation y = 3 x + 12. Kan du förklara varför?
6104 a) Anpassa en rät linje till punkterna (–2, –5), (0, 0), (2, 4) och (3, 5).
b) Punkten A = (–10, y) ligger på den anpassade linjen.
Bestäm y. Avrunda till heltal.
Ställ upp en linjär modell och bestäm med hjälp av den oljeförbrukningen då medeltemperaturen är 4,0 °C. 2
6107 Dian vill ställa upp en linjär modell för hur A beror av B.
a) Vilket av följande koordinatsystem ska Dian utgå ifrån?
b) Hjälp Dian att ställa upp en linjär modell för hur A beror av B.
6108 Kati hänger vikter i en spiralfjäder för att bestämma ett samband mellan viktens massa, x kg, och fjäderns förlängning, y m.
6109
a) Anpassa en rät linje till punkterna i tabellen.
b) Tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang.
c) Hur förändras linjens ekvation om vi anger förlängningen i cm i stället?
d) Har modellen några begränsningar?
Mätvärdena ovan bör följa sambandet
U = E – R i ∙ I Ett av mätvärdena är fel.
Ta bort det felaktiga värdet och bestäm E och R i utifrån övriga värden.
6110 Pernilla brukar springa ett varv i ett motionsspår. Tabellen visar hennes tider och hennes puls vid målet vid åtta olika motionstillfällen.
Tid (min och s) Puls (slag/min)
17 min 3 s 157
17 min 24 s 136
16 min 38 s 162
18 min 11 s 129
16 min 24 s 154
18 min 59 s 148
16 min 19 s 170
17 min 9 s 146
a) Pernilla gör en linjär anpassning för hand. Hon omvandlar tiderna till minuter och prickar in punkterna i ett koordinatsystem. Sedan anpassar hon för hand en rät linje till punkterna. Använd den för att bestämma ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter.
(slag/min)
17 18
b) Bestäm ett linjärt samband mellan pulsen y slag per minut och tiden x minuter med hjälp av ett digitalt verktyg.
Börja med att skriva alla tiderna i minuter.
c) Vilken puls motsvarar tiden 17,60 min enligt det linjära sambandet i b)?
d) Det linjära sambandet ger en modell för hur pulsen beror av tiden.
Har modellen några begränsningar? Motivera ditt svar.
e) Tolka vad k-värdet i det linjära sambandet betyder i detta sammanhang.
Aktivitet
Rubrik Andragradsfunktioner
I den här aktiviteten ska du undersöka andragradsfunktioner. Det är funktioner som kan skrivas på formen y = a x 2 + b x + c där a, b och c är konstanter och a ≠ 0. Syftet är att du ska upptäcka sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på a, b och c.
1 Vilket värde har konstanterna a, b och c i följande funktioner?
a) y = 2 x 2 + 4 x + 8 c) y = – x 2 + 0,5x b) y = x 2 – 4 x – 12 d) y = 0,5 x 2 – 25
2 a) Rita i samma koordinatsystem
y = x 2 , y = x 2 + 1 och y = x 2 – 3
b) Funktionerna är alla av typen y = x 2 + c men de har olika värden på c.
Hur påverkar värdet på c grafens utseende?
c) Var i koordinatsystemet kan du avläsa värdet på c?
3 a) Rita i samma koordinatsystem
y = x 2 , y = 2 x 2 och y = 0,5 x 2
b) Funktionerna är alla av typen y = a x 2
Hur ändras grafen när a blir större respektive mindre?
c) Undersök hur grafen ser ut när a är negativt?
4 Rita graferna till
y = 2 x 2 + 3 x y = 0,5 x 2 + 3 x + 2
y = –2 x 2 + 3 x y = – 0,5 x 2 + 3 x + 2
Två av graferna har en maximipunkt.
5 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 3
Avläs nollställena, dvs. för vilka
x som y = 0.
b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 3 = 0 algebraiskt.
Jämför med svaret i a). Förklara!
6 a) Rita grafen till y = x 2 – 4 x + 5.
Skär grafen x-axeln?
b) Lös ekvationen x 2 – 4 x + 5 = 0 algebraiskt.
Finns det några reella värden på x som löser ekvationen?
c) Hur kan du på grafen till y = a x 2 + b x + c se om ekvationen
a x 2 + b x + c = 0 har några reella rötter?
Jämför resultatet i 5 a), b) och 6 a), b) och formulera en slutsats.
Materiel: Grafritande verktyg y x
Två av graferna har en minimipunkt.
Hur kan du se det i funktionernas formel?
7.2 Andragradsfunktioner
Andragradsfunktionens graf
Ekvationen y = 3 x – 5 beskriver en funktion vars graf är en rät linje.
Ekvationen y = 3 x 2 – 8 x + 12 beskriver en andragradsfunktion.
Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas y = ax 2 + bx + c där a, b och c är konstanter och a ≠ 0.
På det här uppslaget studerar vi graferna till några andragradsfunktioner. Vi ser att alla grafer har liknande utseende.
Grafen till en andragradsfunktion har antingen en minimipunkt eller en maximipunkt .
Den är symmetrisk runt en linje som är parallell med y-axeln.
symmetrilinje Linjen kallas symmetrilinje och delar kurvan i två delar som är varandras spegelbilder. Två punkter på kurvan med samma y-värde ligger därför på samma avstånd från symmetrilinjen.
Allmän andragradsfunktion minimipunkt maximipunkt x y symmetrilinje extrempunkt nollställen
extrempunkt Symmetrilinjen går genom kurvans extrempunkt som är en minimi- eller maximipunkt.
extremvärde y-värdet i extrempunkten kallas för extremvärde och kan vara ett minimivärde (minsta värde) eller ett maximivärde (största värde).
parabel Grafen till en andragradsfunktion är vad som kallas en parabel. Hur påverkar värdet på konstanterna a, b och c i formeln y = ax 2 + b x + c grafens utseende?
Om a > 0, dvs. när x 2 -termen är positiv, har funktionen en minimipunkt.
Om a < 0, dvs. när x 2 -termen är negativ, har funktionen en maximipunkt.
Sats och bevis
Frida mäter vinklarna i en triangel ABC
med gradskiva: ∧ A = 53°, ∧ B = 85° och
∧ C = 42°.
Vinkelsumman = = 53° + 85° + 42° = 180°
När hon mäter vinklarna i en annan triangel som har en annan form får hon andra värden på vinklarna men, vinkelsumman blir densamma, 180°.
Frida tänker:
Men detta är väl inget bevis? Kan jag verkligen vara säker på att vinkelsumman i alla trianglar är 180°?
Exempel Vi utgår från påståendet:
Vinkelsumman i en triangel är 180⁰.
Bevis
Ta en godtycklig triangel ABC .
Genom hörn C ritas en linje parallell med AB.
Motivering:
a = x Alternatvinklar vid parallella linjer.
b = y Alternatvinklar vid parallella linjer.
x + c + y = 180° bildar tillsammans en rak vinkel.
Vi sätter in x = a och y = b i ekvationen
x + c + y = 180° vilket ger
a + c + b = 180° VSB (Vilket Skulle Bevisas)
Vi kan nu säga att påståendet är en sats.
sats En matematisk sats är ett påstående som är bevisat.
axiom
Vissa grundläggande matematiska påståenden behöver inte bevisas.
De kallas axiom. Exempel på ett axiom är: Det finns exakt en rät linje som går genom två punkter.
bevis Ett bevis är en övertygande argumentation för att ett påstående är sant.
Varje steg i ett bevis ska motiveras med tidigare definierade begrepp, med axiom eller tidigare bevisade satser.
Ett bevis avslutas ofta med VSB, som betyder Vilket Skulle Bevisas.
När man visar att något gäller kan man i stället avsluta med VSV, som betyder Vilket Skulle Visas.
8118 Bevisa att varje vinkel i en regelbunden femhörning är 108°.
En femhörning kan delas i tre trianglar, se figur.
Femhörningens vinkelsumma är 3 ∙ 180° = 540°
Varje vinkel i en regelbunden femhörning är lika stora.
Varje vinkel = 540°/5 = 108°
VSB (Vilket Skulle Bevisas)
8119 En bisektris delar en vinkel mitt itu. Visa att bisektriserna till de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel skär varandra under vinkeln 135°.
Vi ska visa att vinkeln v i figuren är 135°.
Motivering:
2 x + 2 y + 90° = 180° Vinkelsumman är 180°
2 x + 2 y = 90°
2( x + y) = 90°
x + y = 45°
v + x + y = 180° Vinkelsumman är 180°
v + 45° = 180°
v = 135°
VSV
8120 De tre yttervinklarna till en triangel betecknas x, y och z.
Bevisa att summan x + y + z är lika med 360°.
Anta att triangelns vinklar är a, b och c, se figur.
Motivering:
x = 180° – a, y = 180° – b Sidovinklar är tillsammans 180°.
och z = 180° – c
Adderar vi x, y och z får vi
x + y + z =
= (180°– a) + (180°– b) + (180°– c) =
= 540°– a – b – c =
= 540˚– (a + b + c) = Triangelns vinkelsumma.
= 540˚– 180° = 360°
8121 Visa att alla vinklar i en liksidig triangel är 60°.
8122 Visa att y = 180° – 2 x.
8127 Bevisa att w = u + v (yttervinkelsatsen).
8123 Visa att vinkeln x = 55°.
8124 I triangeln ABC är AB = BC. CE är en bisektris.
Visa att vinkeln x = 75˚.
8125 Kalle påstår att en fyrhörning kan delas i fyra trianglar och därför är vinkelsumman
4 ∙ 180° = 720°.
8126 Visa att vinkeln v = 110°. y x A B
a) Vilket fel gör Kalle?
b) Hur kan du rätta till hans bevis?
8128 Hur stor är vinkelsumman i en a) 10-hörning b) n-hörning?
8129 Hur stor är en vinkel i en regelbunden a) 10-hörning b) n-hörning?
8130 Visa att om linjerna L1 och L2 är parallella, så är vinkeln x = 142°.
8131 I figuren är AB = BC och AC = CD = BD. Visa att vinkeln w = 144°.
8132 A B C D E är en regelbunden femhörning. B F är en bisektris till vinkeln A B E.
Visa att vinkeln C B F är rät.
8133 a) Visa att vinkelsumman i en 6-hörning är 720°.
b) Bevisa att vinkelsumman i en n-hörning är 180° ∙ (n – 2). v w u L1 L2 132° 86° x
Historik
Geometri i tusentals år
Geometriska metoder utvecklades tidigt för praktiska behov. I det gamla Egypten var man tvungen att mäta upp sina landområden varje år efter Nilens översvämningar och när de fantastiska pyramiderna uppfördes krävdes förfinade metoder.
Tack vare nästan 4 000 år gamla papyrusrullar och lertavlor känner vi till många av egyptiernas och babyloniernas metoder.
En av världshistoriens största vetenskapsmän är Euklides (ca 330 – 275 f.v.t.). Han växte upp och studerade i Athen i Grekland men levde och undervisade i Alexandria i Egypten.
I sin berömda bok Elementa ville Euklides samla och systematisera sin tids matematiska kunskap. I Elementa är geometrin en viktig del.
Olika förenklade versioner av delar av Elementa har under flera tusen år använts som läroböcker i skolor över hela världen. Den första svenska översättningen är från år 1744. Den kom ut i 20 olika upplagor och förekom i svenska skolor fram till i början av 1900-talet.
Euklides införde tre geometriska grundbegrepp: punkten, den räta linjen och planet, vilka han ansåg inte behövde förklaras.
Han formulerade även ett antal axiom, vilka var grundläggande påståenden som inte bevisades.
Exempel på ett axiom är: Genom två punkter kan man dra en och endast en rät linje.
Utifrån sina grundbegrepp och axiom fastställde Euklides ett antal definitioner med vars hjälp han bevisade ett stort antal geometriska satser.
1 För ca 4 600 år sedan byggdes Cheopspyramiden i Egypten med mycket stor precision. Sidorna vid pyramidens bas är 230,40 m ± 20 mm.
Hur stor är avvikelsen i promille?
2 I början av Elementa finns både satsen om triangelns vinkelsumma och Pythagoras sats.
Anta att vinklarna i en triangel förhåller sig som 2:3:5.
Visa att triangeln är rätvinklig.
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 I ett statistiskt material kan median, medelvärde och typvärde vara samma tal.
2 Median och kvartilavstånd är exempel på spridningsmått.
3 Om tre heltal har variationsbredden 14, medianen 30 och medelvärdet 30 så är det minsta talet 24.
4 Variationsbredden anger hur största värdet avviker från medianen.
5 Både medelvärde och kvartiler kan avläsas i ett lådagram.
6 Den 25:e percentilen och den nedre kvartilen har samma värde.
7 Ungefär 25 % av värdena i ett statistiskt material ligger mellan medianen och den övre kvartilen.
8 Vid linjär regression innebär korrelationskoefficienten r = –0,9 en starkare korrelation än r = –0,5.
9 Figuren visar lådagram för mätvärden i två grupper. Den 70:e percentilen för grupp B är större än den 70:e percentilen för grupp A.
Grupp A
Grupp B
10 I ett normalfördelat material ligger ungefär 34 % av värdena över medelvärdet.
11 Standardavvikelse är ett mått på hur mycket de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medianen.
12 Hos ett normalfördelat material ligger ca 50 % av observationerna i intervallet medelvärdet ± 1 standardavvikelse ( μ ± σ).
13 I ett normalfördelat material med medelvärdet 100 och standardavvikelsen 10 har cirka 16 % av observationerna ett värde som är mindre än 90.
Lägesmått
För ett statistiskt material gäller:
Sammanfattning 9
• Typvärdet är det vanligast förekommande värdet.
• Medianen är värdet i mitten då talen är ordnade i storleksordning. Om två tal står i mitten är medianen medelvärdet av dessa.
• Medelvärdet betecknas x för en hel population och μ för ett stickprov.
Medelvärdet = Summan av värdena Antalet värden
Standardavvikelse
Spridningsmåttet standardavvikelse är ett mått på hur de enskilda värdena i ett statistiskt material avviker från medelvärdet.
En stor standardavvikelse betyder stor spridning och tvärtom. Standardavvikelsen becknas σ för en hel population och s för ett stickprov.
Normalfördelning
En normalfördelad population med medelvärdet μ och standardavvikelse σ fördelar sig enligt följande kurva:
Spridningsmått
Exempel på spridningsmått:
Variationsbredd = Största värdet – Minsta värdet
Kvartilavstånd = Övre kvartil – Nedre kvartil
Övre och nedre kvartil får vi genom att först dela värdena i två halvor med hjälp av medianen.
Nedre kvartilen är sedan medianen av den nedre halvan och övre kvartilen är medianen av den övre halvan.
Nedre kvartilen Q1, medianen Q2 och övre kvartilen Q3 delar det statistiska materialet i fjärdedelar.
Variationsbredd kvartilavstånd
På motsvarande sätt kan man dela in ett storleksordnat material i hundradelar. De 99 gränserna kallas percentiler och betecknas P1, P2 , P3 osv.
Om P3 = 125 betyder det att 3 % av värdena är mindre än 125 och 97 % är större än 125.
Normalfördelningskurvan (den gröna ovan) är symmetrisk kring medelvärdet. 2 2
Max Övre kvartil Median Nedre kvartil Min
Kan du det här?
Delkapitel BEGREPP
9.1 Lägesmått och spridningsmått
Medelvärde, median och typvärde
Variationsbredd
Kvartil och kvartilavstånd
Percentil
Standardavvikelse
PROCEDUR
• bestämma medelvärde, median och typvärde
• bestämma variationsbredd, kvartiler och kvartilavstånd
• konstruera och tolka lådagram
• bestämma och tolka percentiler
• beräkna standardavvikelse med hjälp av ett digitalt verktyg.
9.2 Normalfördelning Normalfördelning
• avläsa och tolka data med hjälp av en normalfördelningskurva
• bestämma sannolikheter hos ett normalfördelat material med hjälp av ett digitalt verktyg.
9.1 Lägesmått och spridningsmått
Testa dig själv 9
1 Under två veckor avlästes kl. 12.00 följande temperaturer (°C):
–3 3 –2 1 0 –3 4
–2 0 –1 –2 1 –1 –2
a) Bestäm variationsbredden.
b) Bestäm medianen och typvärdet.
c) Bestäm övre kvartilen.
d) Bestäm kvartilavståndet.
e) Hur påverkas medianen om det största värdet tas bort?
2 Almin undersökte batteritiden på ett stort antal datorer. Han visade resultatet i ett lådagram.
0 01 2 34567 89 10 11
Är påståendet sant eller falskt? Motivera.
a) Det var fler datorer med batteritid mellan 2 h och 5 h än mellan 5 h och 6,5 h.
b) Medelvärdet var 5 h.
c) Variationsbredden var 11 h.
d) 75 % av datorerna hade en batteritid på mer än 2 timmar.
3 Ludvig tränar längdhopp. Tabellerna visar två
stickprov av hans träningsresultat.
Vilket av stickproven visar störst spridning?
Motivera ditt svar.
Stickprov 1 Stickprov 2
n 6
n 8
4 En undersökning av mobilanvändandet på en skola med 894 elever visade följande resultat:
Värdet på den 15:e percentilen var 2 timmar per dag.
Hur många elever använde mobilen mer än 2 timmar per dag?
5 Lönestatistik från ett företag:
Median = 38 000 kr per månad
85:e percentilen = 51 000 kr per månad
På företaget arbetar 77 personer med en lön mellan 38 000 kr och 51 000 kr per månad.
Hur många personer arbetar på företaget?
9.2 Normalfördelning
6 Ett normalfördelat material har medelvärdet 440. 10 % av värdena ligger mellan 440 och 480.
Rosa påstår att man utan räknare kan bestämma andel värden som ligger mellan 400 och 440, men inte andelen mellan 480 och 520.
Stämmer det? Motivera.
7 Livslängden (antal körda mil) för bildäcket GoldYear25 antas vara normalfördelad med medelvärdet 3 600 och standardavvikelsen 600.
Hur stor andel av däcken
a) kan köras mellan 3 000 och 4 200 mil
b) behöver bytas före 3 000 mil
c) kan köras mer än 4 000 mil?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 9
1 Ett normalfördelat material har medelvärdet 8,0 och standardavvikelsen 2,0.
Hur många procent av observationerna ligger inom det färgade området?
4 Tre olika, positiva heltal har medelvärdet 6, medianen 8 och variationsbredden 8.
a) Vilka är de tre talen?
b) Albert påstår att man kan bestämma de tre talen även om man bara känner till medelvärdet och medianen.
Är detta sant? Motivera ditt svar.
5 En veckas mätningar av kvävedioxid på en trafikerad gata har visat följande:
Den 98:e percentilen för medelvärdet under en timme är 90 μg/m 3 (mikrogram per kubikmeter).
2 Under en säsong spelar Kevin golf 13 gånger. Hans resultat under säsongen blev:
81 82 100 86 89 91 85 91 99 87 101 83 95
a) Bestäm medianen.
b) Bestäm nedre och övre kvartil.
c) Är det sant att kvartilavståndet är mindre än halva variationsbredden?
Motivera ditt svar.
d) Presentera Kevins resultat i ett lådagram.
3 Figuren visar två normalfördelningskurvor.
Är det sant att
a) B har ett större medelvärde än A?
b) B har mindre standardavvikelse än A?
Motivera ditt svar. 812 10 46
Förklara vad det betyder.
6 Vid ett språktest deltog 200 elever från
Skola A och 200 elever från Skola B.
Maximipoängen var 80.
Resultatet framgår av lådagrammen.
Kan lådagrammet för samtliga 400 elever ha följande utseende? Motivera ditt svar.
7 Ett normalfördelat material har medelvärdet µ.
47,7 % av värdena återfinns i intervallet
a ≤ x ≤ µ.
a) Teckna ett uttryck för standardavvikelsen.
b) I vilket intervall finns ca 95 % av värdena symmetriskt fördelade runt medelvärdet?
Med digitala verktyg 1
8 Priset på en dator av samma modell i fem slumpvist utvalda butiker var (kr):
5 395 5 495 5 995 6 495 6 595
a) Bestäm medianen, variationsbredden, medelvärdet och standardavvikelsen.
b) Priset 5 495 kr ändras till 5 795 kr och priset 6 495 ändras till 6 195 kr.
Bestäm samma statistiska mått som i a).
c) Ange vilka av de statiska måtten i a) som förändras då priserna ändras. Förklara varför.
9 Roger har konstaterat att vikten på de räkor han fångar är normalfördelade med medelvärdet 12 g och standardavvikelsen 2 g.
a) Hur stor andel av räkorna väger mellan 10 g och 16 g?
b) De räkor som väger mindre än 8 g går inte att sälja. Hur många räkor kan han sälja om han fångar 3 000 räkor?
c) Hur många räkor behöver han fånga för att få 500 räkor som väger 15 g eller mer?
10 Tabellen visar medeltemperaturen på en ort i Sverige några dagar under en oktobermånad.
Datum Temperatur (°C)
5 8,5
10 9,2
15 6,7
20 7,0
25 6,2
30 4,0
a) Bestäm med linjär regression en ekvation som beskriver sambandet mellan temperaturen y °C och månadens datum x.
b) Medeltemperaturen den 20:e har blivit fel i tabellen. Det rätta värdet ska vara 5,2. Blir korrelationen starkare eller svagare med det korrekta värdet? Motivera ditt svar. 3
11 Fem olika positiva heltal har medelvärdet 60, medianen 70 och variationsbredden 90. Ett av talen är 55.
Undersök vilka de andra talen kan vara.
12 En forskare väljer slumpmässigt ut några päron från ett genmodifierat päronträd och väger dem.
De väger (i gram):
145 176 123 132 196
171 169 117 154 146
165 151 156 129 160
a) Beräkna medelvärde och standardavvikelse för detta stickprov.
b) För ett annat stickprov på 10 päron är medelvärdet 160 g och standardavvikelsen 23,5 g.
Vad händer med medelvärdet och standardavvikelsen i detta stickprov om ytterligare två päron med vikterna 140 g och 180 g räknas med?
Kapitel 1
1103 a) 64 c) 11
b) 43 d) 4
1104 a) 50 c) 29
b) 100 d) 14
1105 a) 14 c) 6
b) 10 d) 16
1106 a) 13 b) 11 c) 1
1107 a) 59
b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte. c) 6
Lösning:
Metod 1
Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.
42 18 28 + + = 60 10 = 6
Metod 2
Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
42 18 28 + + = (42 + 18)/(2 + 8) = 6
1108 a) 5 b) 42 c) 578
1109 a) 45
b) Det matematiska språket är inte korrekt. Likhetstecknen används felaktigt.
c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
1110 4
1111 a) Talet 5 ska stå i rutan.
b) Talet 5 ska stå i rutan.
1112 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84
b) 42, 84 och 96
1113 a) 1 599 b) 1 560
1114 a) T.ex. (15 – 1) ∙ (33 + 1)
b) T.ex. (500 – 22) ∙ (500 – 56)
1115 a) 28 b) 13 c) 28
Ledtråd: a = 12
1116 a) För a större än 360.
Ledtråd:
Kvoten har värdet 1 då a = 360.
b) För alla positiva heltal mindre än 10.
c) För a större än 40.
d) För alla positiva heltal mindre än 120.
1117 Talet är 4.
1120 a) –2 < 5 c) –2 > –5 b) 5 > –2 d) 0 > –7
1121 a) –4 c) –5
b) –9 d) 150
1122 a) –3
b) –10
Lösning: –8 + (–2) = = –8 – 2 = –10
c) 4
d) 8 e) 1 f) 7
1123 a) –10 c) 12
b) –4 d) 5
1124 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17.
Kalle tänker nog:
Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra, dvs. de är inte två negativa tal multiplicerade med varandra.
–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5.
Resultatet blir ett ännu mindre tal än –12, nämligen –17.
1125 a) 5
Lösning: Summan av de två talen dividerat med 2 ger medelvärdet.
37 2 + = 10 2 = 5
b) 2
c) 1
d) –5
e) –2,5 f) –14
1126 a) –3
Lösning: 20 5 41 = 15 5 = –3
b) 4
c) –1
Lösning:
45 45 () () = 45 45 = 1 1 = –1
d) 3
e) –2 f) 11
1127 a) Nej.
Motivering: Summan av två negativa tal är alltid negativ, t.ex. –10 + (–10) = –20
b) Ja.
Motivering:
T.ex. –25 – (–5) = –20
1128 a) –8 c) –27
b) –20 d) –4
1129 a) 2 c) –36
b) –9 d) 32
1130 a) –1
b) 36
c) –13
1131 a) T.ex. (–4) ∙ (–8) = 32
b) T.ex. (–4) + (–6) = –10
c) T.ex. (–4) – (–12) = 8
d) T.ex. (–12) – (–4) = –8
1132 –4
Motivering:
b – a = – a + b = –(a – b) = –4
1133 a) –1 – (–1) ∙ () () 1 1 = = –1 + 1 ∙ 1 = 0
b) –12 – (–1)2 ∙ () () 1 1 = = –1 – 1 ∙ 1 = –2
1134 a) –3
Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = 14 – 9 – 8 = –3
b) 31
Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
c) –11
d) 15
1135 Värdet ändras från 2 till –10.
1136 a) 40 c) 30
b) –7 d) –5
1137 a) –14 b) –7
1138 a) Ja, 6 rätt och 4 fel ger 0 poäng.
b) Nej, det krävs 5 frågor, 3 rätt för varje 2 fel om summan ska bli noll. Antalet frågor måste vara 5, 10, 15 ...
1139 Din kompis har rätt.
Motivering:
Skillnaden mellan två på varandra följande udda tal är 2. Skillnaden mellan två udda tal är därför alltid något tal multiplicerat med 2, vilket är ett jämnt tal.
1140 Förklaring: (–3) ∙ (–4) = 12 kan tolkas ”För tre dagar sedan var glaciären 12 dm längre fram eftersom den minskar 4 dm varje dag”.
1206 a) 9/24 b) 24/64
1207 a) 1 6 c) 1 20
b) 3 4 d) 1 12
1208 2/3 = 4/6 = 10/15
1209 a) 18 min
b) 36 min
c) 16 min
1210 a) 3 9 = 1 3 är färgad och
6 9 = 2 3 är ofärgad.
b) 5 8 är färgad och 3 8 är ofärgad.
1211 Lösning:
3 8 = 9 24 och 1 3 = 8 24
9 24 > 8 24
1212 a) 1 : 4 eller 1 4 b) 5 : 3 eller 5 3
1213 a) 3/8 c) 1/6
b) 1/4 d) 3/22
1214 a) 1/4
b) 3/8
Ledtråd: 1/2 = 4/8
c) 2/15
d) 3 15 = 1 5
1215 a) 6/7 d) 35/12
b) 6/18 = 1/3 e) 1/10
c) 1/6 f) 7/18
1216 a) 5/6 c) 3/7
b) 3/4 d) 2/3
1217 a) 10/27 c) 2/13
b) 8 d) 5/7
1218 a) 23/24 c) –9/10
b) 3/5 d) –10
1219 a) 5 1 5 c) 1 8
b) 3/40 d) 4
1220 a) Värdet blir dubbelt så stort.
b) Värdet blir hälften så stort.
c) Värdet blir dubbelt så stort.
1221 a) 4 13 b) 3 7
Utan digitalt verktyg: 108 252 = 108 /2 252 /2 = 54 126 = = 54 /2 126 /2 = 27 63 = 27 /9 63 /9 = 3 7
Med digitalt verktyg: Förenkla ( ) 108 252 3 7
1222 a) 11/16 b) 13/9 c) 6/11
1223 a) 5 12 c) 67 112 b) 5 8 d) 47 48
1224 a) 1 3 c) 2 9 b) 3 1 30 = 91 30 d) 5 12
1225 a) 34/9 b) 3/5
1226 a) 1/28
Ledtråd:
Beräkna differensen av 2/7 och 1/4.
b) 1/4
1227 a) 32 c) 14/15 b) 9/4 d) 8
1228 25/48
Ledtråd: Beräkna summan och dividera med 3.
1229 Dela upp täljare och nämnare i faktorer. Det första bråket kan förkortas med 3 eftersom faktorn 3 finns i både täljaren och nämnaren.
39 66 = 313 322 = 13 22
I det andra bråket har täljare och nämnare ingen gemensam faktor.
35 66 = 57 23 11
7000 Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Nivå
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar
utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning. 1c + 2c
LENA ALFREDSSON SANNA BODEMYR HANS HEIKNE