Page 1

Y

Z

Extraboken är en fördjupningsbok som tar dig med på en utmanande resa i matematikens

EXTRABOKEN

värld. Boken erbjuder breddning och för­ djupning av högstadiets matematik och ger en god förberedelse för gymnasiets naturveten­ skapliga och tekniska program. Boken är tänkt att användas parallellt med Y Röd och Z Röd. Men boken kan användas oberoende av vilket läromedel som används i övrigt. Om du har frågor om innehåll och metodik är du välkommen att kontakta Lennart Undvall. Lennart Undvall Telefon: 021–14 49 10 e-post: undvall@vasteras.bostream.se

Best.nr 47-01886-4 Tryck.nr 47-01886-4

Matematikboken

X

MATEMATIKBOKEN

Extraboken

Extraboken FÖRDJUPNING

X Y Z

Undvall

Forsberg

Olofsson

Johnson


1

Procent och Potenser

5

Förändringsfaktor 6 1.2 Exponentiell förändring 10 1.3 Räkna med potenser 15 1.4 Potenser med negativa exponenter 19 1.5 Det binära talsystemet 23 Testa dig själv 26

2

Geometri Vinklar 30 Vinklar i en cirkel 36 2.3 Fyrhörning i en cirkel 42 2.4 Topptriangelsatsen 46 2.5 Längdskala och areaskala 50 Testa dig själv 53 2.1

5.1

6

2.2

3

Funktioner och ekvationer Funktioner 108 Den räta linjen 111 6.3 Mer om räta linjer 115 6.4 Grafisk ekvationslösning 119 6.5 Ekvationssystem 123 Testa dig själv 127 6.1 6.2

Rakna med narmevarden Närmevärden 56 Hur många gällande siffror? 60 3.3 Mer om gällande siffror 64 Testa dig själv 68

Algebra Kvadreringsreglerna 88 5.2 Konjugatregeln 91 5.3 Uppdelning i faktorer 93 5.4 Uppdelning i faktorer med kvadreringsreglerna 96 5.5 Rationella uttryck 98 5.6 Algebra och geometri 100 Testa dig själv 106

1.1

3.1 3.2

4

Trigonometri Tangens för en vinkel 70 4.2 Sinus och cosinus 75 4.3 Hur stor är vinkeln? 81 Testa dig själv 85

7

Andragradsekvationer Ekvationer med x2-termer 130 7.2 Kvadratkomplettering 134 7.3 Lösning med formel 137 7.4 Potensekvationer 141 Testa dig själv 144 7.1

4.1

Extraboken Z.indd 3

Facit 145 Lösningar 152 Begreppsregister 158

08-11-12 15.36.54


Förord Extraboken XYZ är en fördjupningsbok till Matematikboken XYZ. Men boken kan användas oberoende av vilket läromedel som används i övrigt. Boken vänder sig till elever som arbetar i ett högt tempo och som söker större utmaningar. Eleverna får bekanta sig med och utveckla sin kunskap i avsnitt som till exempel trigonometri, funktioner, ekvationssystem och andragradsekvationer. Boken ger en god förberedelse inför gymnasiets naturvetenskapliga och tekniska program. Extraboken bygger vidare på och breddar det som tas upp i Y- och Z-böckerna. Boken kan med fördel användas parallellt med huvudboken under lektionstid av de elever som arbetar snabbt. Uppgifter som kräver miniräknare har, precis som i XYZ-böckerna, fått en särskild markering. Till ett stort antal uppgifter finns lösningar. Dessa uppgifter är markerade med L . Varje kapitel i boken avslutas med ett avsnitt som heter ”Testa dig själv”. Uppgifterna där är hämtade från kapitlens exempelrutor. Den elev som har problem med någon eller några uppgifter kan därför lätt hjälpa sig själv genom att titta tillbaka på det aktuella exemplet. Författarna

4

Extraboken Z.indd 4

08-11-12 15.36.56


1001

Vilken är förändringsfaktorn vid en ökning med a) 3 %

1002

b) 30 %

c) 130 %

d) 3,5 %

Hur många procent är minskningen om förändringsfaktorn är a) 0,92

b) 0,6

c) 0,975

d) 0,15

1003

Månadshyran för en lägenhet var 4 950 kr. Hyran höjdes med 6 %. Vilken blev den nya hyran? Avrunda till tiotal kronor.

1004

Vilket blir det nya priset för kameran?

3 650 kr 20% REA

1005

1006

Priset på boken sänks i två omgångar, först med 40 % och sedan med ytterligare 20 %. Priset avrundas därefter till närmaste femtal kronor. Vilket blir det nya priset?

195 kr

Matilda funderar på att köpa en ny motorcykel men är lite orolig för hur värdet kommer att förändras med åren. Hon har hört att värdet på en motorcykel minskar med 25 % första året, med 20 % andra året och med 15 % det tredje året. Hur mycket kommer motorcykeln i så fall att vara värd efter tre år? Avrunda till tiotusental kronor. 298 000 kr

8

Extraboken Z.indd 8

08-11-12 15.37.20


1007

Under ett år såldes 12 695 exemplar av ett cykelmärke i Sverige. Året därpå sjönk försäljningen till 10 238 cyklar. Med hur många procent sjönk försäljningen? Avrunda till hela procent.

1008

Peters månadslön höjdes från 18 950 kr till 19 300 kr. Med hur många procent höjdes lönen? Avrunda till tiondels procent.

1009

Under ett år lånades 28 125 böcker ut på ett bibliotek. Det var en minskning med 25 % jämfört med året innan. Hur många böcker lånades ut då?

L

Vinsten i ett företag ökade under ett år med 55 % till 62 miljoner kronor. Hur stor var vinsten året innan?

L

David får en löneförhöjning på 2,5 % och efter det ett tillägg med 580 kr/mån. På så sätt kommer Davids årslön att bli 296 010 kr. Med hur många procent ökar Davids lön sammanlagt? Avrunda till hela procent.

L

1010

1011

9

Extraboken Z.indd 9

08-11-12 15.37.27


3.3

Mer om gällande siffror

Om man skriver talet 400 menar man oftast att endast siffran 4 är gällande siffra. Men naturligtvis kan även två, eller till och med alla tre siffrorna vara gällande siffror. Talet 400 kan ju till exempel stå för längden av ett varv på en löparbana. Den sträckan har mätts så noggrant att man med säkerhet vet att det är tre gällande siffror.

Men hur ska man då skriva talet 400 för att visa att till exempel alla tre siffrorna är gällande siffror? Svaret är att man använder sig av tiopotenser. 400 = 4,00 · 102

Tre gällande siffror

400 = 4,0 · 10

Två gällande siffror

400 = 4 · 10

ExEm

pel

2

En gällande siffra

2

Skriv följande tal med två gällande siffror och tiopotens. a) 760

b) 5 000

c) 6 390

d) 0,503 642

a) 760 = 7,6 · 102 b) 5 000 = 5,0 · 103 c) 6 390 ≈ 6 400 = 6,4 · 103 d) 0,503 642 ≈ 0,50 = 5,0 · 10-1

64

Extraboken Z.indd 64

08-11-12 17.46.59


3027

Skriv följande tal med två gällande siffror och tiopotens. a) 450

3028

b) 1,50 · 10-2

c) 2,00 · 106

d) 9 · 10-3

b) 6 400

c) 3 000

d) 0,458

Hur många siffror är gällande siffror? a) 6,0 · 104

3031

d) 4 000

Skriv med tre gällande siffror och tiopotens. a) 560

3030

c) 9 200

Hur många gällande siffror har talen? a) 3,5 · 103

3029

b) 700

b) 4 · 10-7

c) 2,600 · 105 d) 3,05 · 10-7

Skriv med en gällande siffra och tiopotens. a) 0,873 495

b) 86 500

c) 678,95

d) 0,004 157

I följande uppgifter är de ingående talen närmevärden. Beräkna med lämpligt antal gällande siffror och svara med tiopotens. 2 703 7,8

3032

a)

3033

a) 823,6 · 175

b) 3,7 / 48

3034

a) 3,4 · 102 · 7 · 105

b) 8,0 · 103 · 7,25 · 105

3035

5 a) 6, 75 ⋅102

b)

4,9 ⋅10

b) 2,9 · 4 875

9, 00 ⋅107 2, 65 ⋅104

65

Extraboken Z.indd 65

08-11-14 11.56.57


Svara på lämpligt sätt i följande uppgifter. Fundera över vilka tal som är närmevärden och vilka som är exakta.

3036

Ljudets hastighet i luft är 3,4 · 102 m/s. Hur lång sträcka hinner ljudet på en minut?

3037

Ett blystycke har massan 3,4 · 103 g. Bly har densiteten 11,3 g/cm3 vilket innebär att 1 cm3 bly har massan 11,3 g. Hur stor volym har blystycket?

3038

Ljusets hastighet är 3,00 · 108 m/s. En ljusstråle behöver 4,8 · 102 s för att färdas från solen till jorden. Hur stort är avståndet?

3039

Tänk dig en miljard kronor i hundralappar lagda på varandra. Hur hög blir den stapeln? Räkna med att en hundralapp är 5 · 10-2 mm tjock.

L

66

Extraboken Z.indd 66

08-11-12 17.48.24


3040

Silverbägaren innehåller 6,02 · 1023 silveratomer. Hur många silveratomer finns det i 1 kg silver?

L

107,9 g

3041

Avståndet mellan jorden och solen kallas en astronomisk enhet. Det avståndet är lika med 1,496 · 108 km. Pluto, en dvärgplanet långt ut i vårt solsystem, befinner sig på avståndet 39,5 astronomiska enheter från solen. Hur lång tid tar det för en solstråle att nå fram till Pluto? L Ljusets hastighet är 2,998 · 108 m/s. Svara i timmar och minuter.

Pluto

Jorden

67

Extraboken Z.indd 67

08-11-12 17.48.47


TESTA DIG SJÄLV 3042

I en kommun var antalet invånare 13 863 personer. Avrunda till

EXEMPEL SID 56

a) fyra gällande siffror b) tre gällande siffror c) två gällande siffror 3043

3044

Avrunda till två gällande siffror. a) 7,3862

b) 0,0342

c) 2 135

d) 0,403 512

Hur många gällande siffror har följande tal? a) 605

b) 0,0345

c) 2,700

d) 0,000 02

EXEMPEL SID 57

EXEMPEL SID 57

3045

I ett stort företag betalades 45,6 miljoner kr ut i lön varje månad. Antalet anställda var 1 635. Vilken var medellönen?

EXEMPEL SID 61

3046

Skriv följande tal med två gällande siffror och tiopotens.

EXEMPEL SID 64

a) 760

b) 5 000

c) 6 390

d) 0,503 642

68

Extraboken Z.indd 68

08-11-12 17.48.50


4

trigonometri

69

Extraboken Z.indd 69

08-11-12 17.48.52


Rationella uttryck

5.5

När vi dividerar två heltal a och b får vi ett så kallat rationellt tal

a . b

Ett rationellt tal a är alltså ett bråk med täljaren a och nämnaren b. b

Om vi istället dividerar två uttryck som innehåller variabler med varandra får vi ett rationellt uttryck. Exempel på rationella uttryck är

2 2 x + 3 3x x 2 + xy , 3 och . 6x y x+ y

Ibland kan ett rationellt utryck förenklas genom förkortning. Då tillämpar du de potenslagar som du lärt dig i kapitel 1 och som vi sammanfattar nedan. am · an = am+n

ExEm

pel

(am)n = am · n

am = am–n an

a0 = 1

Förenkla 2 a) y − 3 y

y

2 2 c) x + 22 xy +2 y

b) 32a + 6ab 2

a + 2a b

x −y

a)

y2–3y y (y–3) = =y–3 y y

b)

3a+6ab 3a (1+2b) 3 = = a2+2a2b a2 (1+2b) a

c)

x2+2xy+y2 (x+y)2 (x+y) (x+y) x+y = = = x2–y2 (x+y) (x–y) (x+y) (x–y) x–y

Svar: a) y–3

b)

3 a

c)

Vi börjar med att dela upp täljaren i faktorer genom utbrytning. Därefter förkortar vi med y.

Både täljare och nämnare delas upp i faktorer genom utbrytning. Sedan kan vi förkorta med a och med (1+2b).

x+y x–y

Med hjälp av första kvadreringsregeln och konjugatregeln kan täljare och nämnare faktoruppdelas. Därefter kan vi förkorta med (x+y).

98

Extraboken Z.indd 98

08-11-07 14.43.58


Förenkla 5056

a) ab + b

5057

a)

5058

a) 2ab + 4a

5059

2 2 a) a − 9b

b) 2 xy + 2 x

b

2x

3a 3a + 6a

b)

2

x− y xy − y 2

2 b) 5a – 10a 15(a–2)

2a

a + 3b

b)

2x − y 4 x2 − y 2

b)

2a − 3b 4a 2 − 9b 2

5060

a) 4ab +24ac

5061

På en provräkning skulle man förenkla

8a

Erika fick svaret

2 c) x − xy

x

2 c) 4ab + 8b

2(a + 2b)

c) 3(2x − y2) x −y

c)

10b + 2 3a (5b + 1)

2 xy c) 7 x − 14 3

14 x

2 xy − 4 y 2 . x 2 − 2 xy

2y x

4y2 . x2

och Mathilda

Vem räknade rätt?

Förenkla 2 b) x +2 4 x + 4

2 2 c) a − 6ab +29b

2 2 a) x + 9 y − 6 xy

3 2 2 b) 12a 2b 2− 4a b 3

c)

3 a) 3x 2− 27 x

2 b) 15a 3 − 10a

2 x3 c) 20 x − 60 x + 45 2

5062

a)

5063

5064

a 2 − b2 a − 2ab + b 2 2

3

2

4 x − 12 x y

3x − 9 x

x + 2x

24a b − 8ab 9a − 4a

L

ab − 3b

x 2 − 16 y 2 3x 2 ( x + 4 y)

L

14 x − 21x

L

99

Extraboken Z.indd 99

08-11-07 14.44.01


7017

Sara är 4 år yngre än sin syster Emilia. Om man multiplicerar barnens åldrar får man samma resultat som när man adderar föräldrarnas åldrar. Hur gamla är barnen?

39 år 38 år

7018

Hur långa är rektangelns sidor?

A = 80 cm2 O = 36 cm

Lös ekvationerna 7019

a) y2 + 10y – 11 = 0

b) z2 – 8z + 15 = 0

7020

a) x2 – 16x + 11 = 28

b) y2 + 18y + 100 = 23

7021

a) z2 – 5z + 7 = 5 – 2z

b) x2 + 8x + 60 = 4 – 7x

7022

Produkten av två tal är –48. Det ena talet är 14 större än det andra. Vilka är talen?

7023

Ekvationen x2 – 3x + a = 0 har en lösning x = 7. Vilken är den andra lösningen?

L

L

136

Extraboken Z.indd 136

08-11-07 15.13.25


Lösning med formel

7.3

I det här avsnittet får du lära dig en formel med vilken man kan lösa andragradsekvationer. Innan vi går igenom formeln löser vi en ekvation med kvadratkomplettering, men på ett något annorlunda sätt än i föregående avsnitt. För att du lättare ska förstå formelns utseende börjar vi med ett numeriskt exempel. x2 + 12x + 11 = 0 x2 + 12x = –11 12

För att vänstra ledet ska bli en jämn kvadrat adderar vi med ( ) 2 = 36. 2 Sedan måste vi göra samma sak i högra ledet. Vi får då: x2 + 12x + (12 ) 2 = (12 ) 2 – 11 2

2

x2 + 12x + 36 = 36 – 11

Vänstra ledet kan nu skrivas som en kvadrat. Vi får då: (x + 12 )2 = (12 ) 2 – 11

(x + 6)2 = 25

12 12 = ± ( ) 2 − 11 2 2

x + 6 = ± 25

2

x+

x=–

2

12 12 ± ( ) 2 − 11 2 2

x = –6 ±5

137

Extraboken Z.indd 137

08-11-07 15.13.28


Låt oss nu se hur en allmän lösning ser ut. Vi skriver då ekvationen som x2 + px + q = 0 och använder samma metod som ovan. x2 + px + q = 0 x2 + px = –q p 2

p 2

x2 + px + ( ) 2 = ( ) 2 – q (x + p )2 = ( p ) 2 – q 2

2

x + p = ± ( p )2 − q 2

2

x = – p ± ( p )2 − q 2

2

Hälften av faktorn före x med ombytt tecken.

Ekvationen x2 + px + q = 0 har lösningarna x = –

p p ± ( )2 – q 2 2

Konstanta termen med ombytt tecken.

Hälften av faktorn före x i kvadrat.

ExEm

pel

Lös ekvationen x2 + 8x + 15 = 0.

x + 8x + 15 = 0 2

I den här ekvationen motsvaras p av talet 8 och q av talet 15.

x = –4 –+ √42–15 x = –4 –+ √16–15 x = –4 –+ 1 x1 = –3

x2 = –5

Svar: x1 = –3, x2 = –5

138

Extraboken Z.indd 138

08-11-07 15.13.34


ExEm

pel

(cm)

Hur långa är triangelns kateter? 15 (21 – x)

Pytagoras sats ger x

x + (21 – x) = 15 2

2

2

x2 + 441 – 42x + x2 = 225 2x2 – 42x + 216 = 0

För att kunna använda lösningsformeln måste faktorn före x2-termen vara 1. Vi dividerar därför alla termer med 2.

x2 – 21x + 108 = 0 x = 10,5 –+ √10,52–108 x = 10,5 –+ 1,5 x1 = 12

x2 = 9

x = 12 ger kateterna 12 cm och 9 cm x = 9 ger samma resultat

Den ena kateten är 12 cm och den andra (21 – 12) cm = 9 cm.

Svar: Kateterna är 12 cm och 9 cm. Lös ekvationerna 7024

a) x2 + 6x + 8 = 0

b) z2 – 6z + 8 = 0

7025

a) y2 + 2y – 15 = 0

b) x2 + 10x + 21 = 0

7026

a) z2 + 4z – 77 = 0

b) y2 – 9y + 14 = 0

7027

a) x2 + 15x + 21 = 5x

b) y2 – 5y + 12 = 2y

7028

a) 3z2 – 12z + 9 = 0

b) 2x2 – 8x + 46 = 200

7029

a) 4y2 – 22y = 2y – 32

b) 5z2 + 2z – 30 = 4z2 + 5

139

Extraboken Z.indd 139

08-11-07 15.13.36


7030

(cm)

Hur långa är kateterna? 20

(28 – x)

x (cm)

7031

Triangelns area är 12 cm2. Hur lång är triangelns bas respektive höjd?

(x + 1)

2x

Lös ekvationerna 7032

a) 7x2 = 5x2 – 6x + 260

b) 4y2 + 7y – 10 = 4 – 3y2

7033

a) 5z – 6 – z2 = 8,8z – 2z2

b) x2 – 3,3x + 12,5 = 3,2x + 2,5

7034

En gräsmatta är rektangelformad med en bas som är 4 m längre än höjden. Från ett hörn av gräsmattan till hörnet mitt emot är det 20 m. Hur långt är det staket som går runt gräsmattan?

L

Per har två barn. Joakim är 2 år äldre än Jenny. Om man kvadrerar deras åldrar och sen adderar svaren, får man 290. Hur gamla är Pers barn?

L

7035

140

Extraboken Z.indd 140

08-11-07 15.13.38


Potensekvationer

7.4

Potenser med bråk som exponent Vad menas med 51/2? Potenslagarna: am · an = am+n

(am)n = am · n

am = am–n an

a0 = 1

a–m =

1 am

Vi ser i den första av potenslagarna att 51/2 · 51/2 = 51 = 5. Som bekant gäller också att 5 · 5 = 5. Alltså är 51/2 = 5 . Vad menas då med 81/3? Samma potenslag ger oss att 81/3 · 81/3 · 81/3 = 8. Men 2 · 2 · 2 är också 8. Alltså är 81/3 = 2. 81/3 kan även skrivas 3 8 och uttalas då ”tredjeroten ur åtta”.

Potensekvationer Vilken lösning har ekvationen x3 = 10? Det tal som gånger sig själv tre gånger blir 10 är talet 101/3. Potenslagen säger ju att 101/3 · 101/3 · 101/3 = 10. Alltså är x = 101/3. På din miniräknare finns säkert en tangent på vilken det står yx. För att räkna ut ett närmevärde på 101/3 trycker du så här: 1

0

yx

(

1

÷

3

)

=

Du får då att 101/3 = 2,154… Alltså är x ≈ 2,15. ExEm

pel

Beräkna med huvudräkning a) 361/2

b) 16–1/2

c) 91,5

a) 361/2 = √36= 6 Enligt den femte av potenslagarna 1 . ovan får vi att 16– = b) 16–1/2 = 11/2 = 1 = 1 16 √16 4 16 c) 91,5 = 91 · 90,5 = 9 · √9 = 9 · 3 = 27 Svar: a) 6 b) 1 c) 27 4 1/2

1/2

141

Extraboken Z.indd 141

08-11-07 15.13.42


BEGREPPSREGISTER alternatvinklar 30 andra kvadreringsregeln 88 andragradsekvationer 120, 131 andragradsfunktioner 110 areaskala 50 astronomisk enhet 67 bas 10, 15, 23 basvinklar 30 binära talsystemet 23 bisektris 30 cirkel 36, 100 cirkelbåge 36, 42 cirkelsegment 104 cirkelsektor 102 cosinus 75 diameter 36, 100 ekvationssystem 123 exakt värde 61 exponent 10, 15 exponentiell förändring 10 fallande 112, 116 funktion 108 förhållande 46, 71, 75 förminskning 50 förstagradsekvationer 119 första kvadreringsregeln 88 förstoring 50 förändringsfaktor 6

graf 108 grafisk metod 115, 119, 123 grafritande räknare 130 grundpotensform 15 gällande siffror 56, 60, 64 halvcirkelbåge 37 hypotenusa 70 inskriven fyrhörning 42 katet 70 konjugatregeln 91 konstant 111, 134 koordinatsystem 108 korda 36 kvadrat 100 kvadratkomplettering 134 kvadreringsreglerna 88, 134 likbelägna vinklar 30 likbent triangel 30 likformiga figurer 46 liksidig triangel 30 linjes ekvation 111 linjära funktioner 109 längdskala 50 medelpunkt 36 medelpunktsvinkel 36, 42, 102 motstående katet 70

158

Extraboken Z.indd 158

08-11-07 15.14.28


negativa tal 19, 21 närliggande katet 70 närmevärde 56, 60 parallella 112 parallellogram 100 parallelltrapets 101 position 23 potens 10, 15, 141 potensekvation 141 potenslagar 16, 98, 141 radie 36, 100 randvinkel 36, 42 rationellt tal 98 rationellt uttryck 98 rektangel 100 riktningskoefficient 112, 115 romb 101 rätvinklig triangel 30, 70

uppdelning i faktorer 93, 96 utbrytning 93 variabel 111, 123 vertikalvinklar 30 vinkelsumma i triangel 31 värdetabell 109, 124 x-axel 108 y-axel 108 yttervinkel 31, 37

sidovinklar 30 sinus 75 skala 50 stigande 112 tangens 71 tangent 36 tangeringspunkt 36 tiopotens 15 tiosystemet 23 topptriangel 46 topptriangelsatsen 46 triangel 30, 100 trigonometri 70

159

Extraboken Z.indd 159

08-11-07 15.14.34


BILDFÖRTECKNING PhotoAlto/Backgrounds & Textures 5 Photodisc Object Series/Working Bodies 6 Haléns 7(1) Photodisc Object Series/Musical Instruments 7(2) Haléns 8(1) Photodisc Object Series/Everyday Objects 8(2) Triumph Motorcycles 8(3) Photodisc Volumes/Sports and Recreation 2 9 Photodisc Volumes/Health and Medicine 10 Photodisc Volumes/US Landmarks and travel 11 Photodisc Oject Series/Objects of Nature 12 Photodisc Object Series/Supporting Cast-Individuals 13(1) Photodisc Volumes/Spacescapes 13(2) Provector/Coast 14(1) Bengt Nilsson/Scanpix 14(2) Frank Rumpenhorst/DPA/Scanpix 17 Photodisc Object Series/Everyday Objects 1 18(1) Photodisc Volumes/Agriculture 18(2) Photodisc Object Series/Everyday Objects 3 19(1) Photodisc Object Series/Everyday Objects 3 20(2) Photodisc Object Series/Everyday Objects 3 21(3) Photodisc Object Series/Suppoting Cast-Individuals 22 Photodisc Signature Series/Time and Tecnology 23 Photodisc Object Series/Everyday Animals 25(1,3) Photodisc Object Series/Animal Attraction 25(2) Haléns 26 Photodisc Object Series/Musical Instruments 26 Photodisc Volumes/US Landmarks and Travel 27 PhotoAlto/Backgrounds & Textures 29 Photodisc Volumes/Education 33 PhotoAlto/Nature 55 Photodisc Volumes/European People Business and Lifestyle 56 Photodisc Object Series/Suppoting Cast-Individuals 57

Extraboken Z.indd 160

Photodisc Volumes/European Landmarks and Travels 59(1,2) Frida Hedberg/Scanpix 60 Photodisc Volume/Meetings and Groups 61 Photodisc Object Series/Animal Attraction 62 Photodisc Volumes/Industry and Transportation 63 Jonas Lindkvist/Scanpix 64 Photodisc Object Series/Animal Attraction 65 Photodisc Object Series/Everyday Animals 66 Photodisc Object Series/Spiritually Speaking 67 Photodisc Volume/Meetings and Groups 68 PhotoAlto/Backgrounds & Textures 69 Jan-Erik Henriksson/Scanpix 80 Photodisc Volumes/World Landmarks and Travel 83 Photodisc Volumes/Sports and Recreation 2 84 PhotoAlto/Backgrounds & Textures 87 Photodisc Object Series/Working Bodies 90 Photodisc Object Series/Working Bodies 92 Photodisc Object Series/Everyday Animals 94 Photodisc Object Series/Everyday Animals 95 Photodisc Object Series/Animal Attraction 97 PhotoAlto/Nature 107 Maria Olsson/Tiofoto 108 Photodisc Object Series/Animal Attraction 114 Edelpix/Beautiful Sweden 1 116 Photodisc Object Series/Animal Attraction 118 Photodisc Object Series/Animal Attraction 120 Photodisc Object Series/Animal Attraction 125 Photodisc Volumes/Business and Transportation 126 PhotoAlto/Backgrounds & Textures 129 Texas Instruments 130 Photodisc Object Series/Suppoting Cast-Individuals 135 Lennart Romberg/Scanpix 136 Photodisc Volumes/Far Eastern Business and Culture 143(2) Omslag: Christina Sjögren/Scanpix

08-11-07 15.14.35


ISBN 978-91-47-01886-4 © 2009 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Karl-Gerhard Olofsson, Svante Forsberg och Liber AB Redaktion: Peter Larshammar, Sara Ramsfeldt Formgivning och layout: Lotta Rennéus Bildredaktör: Mikael Myrnerts Illustrationer: Björn Magnusson Faktor: Annika Eronn Tredje upplagan 1 Repro: Resultat Grafisk Form & Produktion Tryck: Sahara Printing, Nasr City, Egypten 2009

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, till exempel kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 90 00 www.liber.se kundservice 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Extraboken Z.indd 2

08-11-12 15.36.53


Y

Z

Extraboken är en fördjupningsbok som tar dig med på en utmanande resa i matematikens

EXTRABOKEN

värld. Boken erbjuder breddning och för­ djupning av högstadiets matematik och ger en god förberedelse för gymnasiets naturveten­ skapliga och tekniska program. Boken är tänkt att användas parallellt med Y Röd och Z Röd. Men boken kan användas oberoende av vilket läromedel som används i övrigt. Om du har frågor om innehåll och metodik är du välkommen att kontakta Lennart Undvall. Lennart Undvall Telefon: 021–14 49 10 e-post: undvall@vasteras.bostream.se

Best.nr 47-01886-4 Tryck.nr 47-01886-4

Matematikboken

X

MATEMATIKBOKEN

Extraboken

Extraboken FÖRDJUPNING

X Y Z

Undvall

Forsberg

Olofsson

Johnson

9789147018864  

M a t e m a t ik b o k e n Extraboken FÖRDJUPNING Undvall Forsberg Olofsson Johnson