Alla rättigheter förbehållna. Ingen text- och datautvinning är tillåten.
Första upplagan
Kapitel 1
Rubrik
Övningsblad 1.1 Negativa tal
1.2 Bråkräkning 1
1.3 Bråkräkning 2
1.4 Decimalsystemet
1.5 Potenser 1: Potenser med positiva heltalsexponenter
1.6 Potenser 2: Negativa exponenter och exponenten 0
1.7 Potenser 3: Mer om potenslagarna*
1.8 Potenser 4: Potenser med rationella exponenter
1.9 Grundpotensform och prefix
1.10 Prioriteringsregler
1.11 Repetitionsuppgifter Kapitel 1 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 1.1 Luffarschack med negativa tal
1.2 Tärningsspel med bråk
1.3 Memory med tiopotenser och prefix
1.4 Memory med prioriteringsregler
1.5 Programmering: Gissa ett tal 1c
1.6 Programmering: Kvadratrötter 1c
Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2 1b
1 Prov Kapitel 1 och 2 1c
Kapitel 2
Rubrik
Övningsblad 2.1 Förenkla uttryck
2.2 Multiplicera ihop och förenkla 1
2.3 Multiplicera ihop och förenkla 2
2.4 Multiplicera ihop och förenkla 3*
2.5 Faktorisera uttryck
2.6 Mer om ekvationer
2.7 Ekvationer med nämnare*
2.8 Potensekvationer
2.9 Olikheter
2.10 Formler i kalkylblad
2.11 Repetitionsuppgifter Kapitel 2 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 2.1 Algebrakapplöpning
2.2 Skapa ekvationer
2.3 Gruppuppgift: Problemlösning med ekvationer
2.4 Korsord
2.5 Mönster
2.6 Polygontal
2.7 Grodfamiljer
2.8 Programmering: Fibonacci 1c Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2 1b 1 Prov Kapitel 1 och 2 1c
Kapitel 3
Rubrik
Övningsblad 3.1 Procentomvandling
3.2 Procenträkning
3.3 Promille och ppm
3.4 Procentenheter
3.5 Förändringsfaktor
3.6 Upprepad procentuell förändring
3.7 Räntor och lån
3.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 3 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 3.1 Procenttävling
3.2 Memory med andelar
3.3 Tips för din grafritande räknare
3.4 Moms och pålägg
3.5 SMS-lån
3.6 Sparkapital
3.7 Programmering: Perfekta tal 1c
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4 1b
2 Prov Kapitel 3 och 4 1c
Kapitel 4
Rubrik
Övningsblad 4.1 Koordinatsystem
4.2 Linjära samband
4.3 Räta linjens ekvation 1
4.4 Räta linjens ekvation 2
4.5 Räta linjens ekvation 3
4.6 Problemlösning med räta linjer*
4.7 Funktionsbegreppet 1
4.8 Funktionsbegreppet 2
4.9 Funktionsbegreppet 3*
4.10 Grafritande hjälpmedel
4.11 Potens- och exponentialfunktioner
4.12 Repetitionsuppgifter Kapitel 4
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 4.1 Fjäderns förlängning
4.2 Para ihop
4.3 Räta linjer till attack
4.4 En linjär modell
4.5 The Frozen Code
4.6 Para ihop funktioner
Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4 1b
2 Prov Kapitel 3 och 4 1c
Kapitel 5
Rubrik
Övningsblad 5.1 Statistiska undersökningar*
5.2 Korrelation och kausalitet
5.3 Den klassiska sannolikhetsdefinitionen
5.4 Tärningsdiagram
5.5 Sannolikhet för händelser i flera steg*
5.6 Sannolikhet och poker*
5.7 Komplementhändelse*
5.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 5 Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 5.1 Sveriges användning av olja
5.2 Fickpengar
5.3 Chokladkulor
5.4 Monty Hall-problemet
5.5 Programmering: Slumpförsök med tärningar 1c
Prov 3 Prov Kapitel 5 1b
3 Prov Kapitel 5 och 6 1c
Kapitel 6
Övningsblad
Rubrik
6.1 Trigonometri 1 1c
6.2 Trigonometri 2* 1c
6.3 Vektorer 1 1c
6.4 Vektorer 2 – Vektorer i koordinatform 1c
6.5 Repetitionsuppgifter Kapitel 6 1c
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå.
Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
Aktiviteter 6.1 Pythagoras sats 1c
6.2 Geometri och astronomi 1c
6.3 Programmering: Approximera π 1c
Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6 1c
Räkneregler för negativa tal
Addition och subtraktion
Två olika tecken efter varandra ersätts med subtraktion.
a + (−b) = a − b t.ex. 6 + (−2) = 6 − 2 = 4
Två lika tecken efter varandra ersätts med addition
a − (−b) = a + b t.ex. 6 − (−2) = 6 + 2 = 8
Multiplikation
Två faktorer med olika tecken ger negativ produkt.
a ∙ (−b) = −(a ∙ b) t.ex. 6 ∙ (−2) = −12
Två faktorer med lika tecken ger positiv produkt.
(−a) ∙ (−b) = a ∙ b t.ex. (−6) ∙ (−2) = 12
1 Beräkna
a) 22 + (−12)
b) 4 + (−7)
c) −30 + (−20)
d) −22 + (−8)
2 Beräkna
a) 5 − (−7)
b) 10 − 2 − 14
c) −3 − (−10)
d) −15 − (−5)
e) 5 + (−8) − (−10)
3 Beräkna
a) (−4) ∙ (−5)
b) 3 ∙ (−11)
c) −40 −10
d) (−2) ∙ (−6) ∙ (−5)
e) −20 4
Division
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
a b = a b = − ( a b ) t.ex. 6 −2 = −3
Samma tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
a b = a b t.ex. −6 −2 = 3
4 Beräkna
a) 4 + (−7) − (−3)
b) (−2) ∙ (−5) + (−12)
c) 7 −7 − (−5)
d) −2 − 7 − (−10)
e) (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1) ∙ (−1)
5 Vilket tal saknas i parentesen?
a) 5 − ( ) = −23
b) −2 ∙ ( ) = 0
c) 5 − ( ) = 11
d) −11 − ( ) = 13
e) 32 ( ) = −4
6 Ge exempel på en addition där summan är
−6 och där
a) båda termerna är negativa
b) ena termen är positiv och den andra negativ
Negativa tal
1 a) 10
b) −3
c) −50
d) −30
2 a) 12
b) −6
c) 7
d) −10
e) 7
3 a) 20
b) −33
c) 4
d) −60
e) −5
4 a) 0
b) −2
c) 4
d) 1
e) −1
5 a) 28
b) 0
c) −6
d) −24
e) −8
6 a) T.ex. (−4) + (−2)
b) T.ex. 10 + (−16)
Potenser 2
Negativa exponenter och exponenten 0
Potenslagar
Multiplikation av potenser med samma bas an ∙ am = an + m t.ex. 23 ∙ 25 = 23 + 5 = 28
Division av potenser med samma bas an am = an − m t.ex. 25 23 = 25 − 3 = 22
1 Skriv som en potens med basen 6.
Exempel: 1 63 = 6−3
a) 1 62
b) 1 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6
c) 1 6
d) 62 ∙ 6−3 ∙ 64
e) 60 ∙ (65)−1
2 Skriv i bråkform.
Exempel: 3−2 = 1 32 = 1 9
a) 10−2
b) 5−1
c) 3−3
d) 2−4
e) 3 ∙ 2−2
f) 5 ∙ 4−1
3 Skriv följande tal som tiopotenser.
a) 0,001 b) 1 104
c) 1 10 d) 0,1 107
Potens av potens (an)m = an ∙ m t.ex. (25)3 = 25 ∙ 3 = 215
Negativ exponent a n = 1 an t.ex. 2−3 = 1 23 = 1 8
Exponenten noll a0 = 1 t.ex. 20 = 1
4 Skriv som en potens med basen a.
a) (a−2)3
b) a2 ∙ a0 ∙ a−3
c) a4 ∙ a6 a12
d) a15 a−3
5 Beräkna utan digitalt verktyg.
a) 70 − 7−1
b) 50 ∙ 70 ∙ 40
c) 60 + 100 − 2 ∙ 40
d) 2−2 − 4−1
e) 7−2 ∙ 72 + (7−1)2
f) 15−3 ∙ 150 15−4
6 För vilket värde på n gäller likheterna?
a) 304 ∙ 30n = 302
b) 152 15n = 15−5
c) 79 7n = 712
d) (10n)2 = 100
7 Vilket tal är störst?
a) 10−3 eller 103
b) (−2)3 eller 2−3
c) 2−4 eller (−2)−4
d) 5−2 eller 5 ∙ 10−2
Potenser 2
1 a) 6−2
b) 6−4
c) 6−1
d) 63
e) 6−5
2 a) 1 100
b) 1 5
c) 1 27
d) 1 16
e) 3 4
f) 5 4
3 a) 10−3
b) 10−4
c) 10−1
d) 10−8
4 a) a−6
b) a−1
c) a−2
d) a18
5 a) 6 7
b) 1
c) 0
d) 0
e) 50 49
f) 15
6 a) n = −2
b) n = 7
c) n = −3
d) n = 0
7 a) 103
b) 2−3
c) Lika stora
d) 5 ∙ 10−2 (5−2 = 1 25 = 0,04 och
5 ∙ 10−2 = 5 ∙ 0,01 = 0,05)
Multiplicera ihop och förenkla 1
Multiplicera och förenkla uttrycken
Exempel: (x + 8)(x − 10) = x ∙ x − x ∙ 10 + 8 ∙ x − 8 ∙ 10 = x2 − 2x − 80
1 x(x + 3)
2 y(2 − y)
3 2a(8 − b)
4 x2(x + 17)
5 (x + 2)(x + 3)
6 (2 + x)(8 + x)
7 (y + 1)(y − 1)
8 (a + 7)(a − 11)
9 (x − 5)(x − 5)
10 (x + 4)(10 − x)
11 (5 + 3y)(6 + y)
12 (4a − 1)(a − 2)
13 (x + 7)(3 − 2x)
14 (2a + b)(3a + 1)
Varje term i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen.
Multiplicera ihop och förenkla 1
1 x2 + 3x
2 2y − y2
3 16a − 2ab
4 x3 + 17x2
5 x2 + 5x + 6
6 x2 + 10x + 16 7 y2 − 1
Olikheter
1 Lös olikheterna
a) 2x + 3 ≤ 18
b) x + 7 < −13
c) 3(x + 5) > 2x + 22
2 Ange minst tre olika värden på x som löser olikheten i uppgift 1 a).
3 Lös olikheterna
a) −4x ≥ 16
b) −2(x + 3) < 0
c) 3(x + 7) + 17 > −(13 − 20x)
4 Vilket är det största heltalet som löser olikheten i uppgift 3 c)?
5 Hur många lösningar har
a) ekvationen 2x + 2 = 15
b) olikheten 2x + 2 > 15
6 a) Lös olikheterna 3x ≥ 24 och 3x > 24.
b) Liselott säger att alla värden på x som löser olikheten 3x ≥ 24 också löser olikheten 3x > 24. Har Liselott rätt? Motivera ditt svar.
7 Peter tränar inför Vasaloppet. Hittills i vinter har han åkt 38 km och han räknar med att i fortsättningen åka 15 km i veckan.
a) Ställ upp en ekvation som kan användas för att besvara frågan: ”Efter hur många veckor har Peter åkt totalt 200 km i vinter?”.
b) Ställ upp en olikhet som kan användas för att besvara frågan: ”Efter hur många veckor har Peter totalt åkt mer än 200 km i vinter?”.
c) Lös olikheten i b) och besvara frågan.
8 I en stad finns två dansstudior, A och B. I dansstudio A kostar det 110 kr per lektion och 250 kr i medlemsavgift. Dansstudio B har ingen medlemsavgift, men där kostar det 125 kr per lektion.
a) Vilken fråga kan du besvara genom att lösa olikheten 250 + 110x ≤ 1 900?
b) Lös olikheten och besvara frågan i a).
c) Ställ upp en olikhet som kan användas för att besvara frågan: ”Hur många danslektioner ska man ta för att den totala kostnaden för dansstudio A ska bli lägre än den totala kostnaden för dansstudio B?”.
d) Lös olikheten och besvara frågan i c).
Olikheter
1 a) x ≤ 7,5
b) x < −20
c) x > 7
2 T.ex. x = 7,5, x = 1 och x = −188
3 a) x ≤ −4
b) x > −3
c) x < 3
4 x = 2
5 a) En lösning (x = 6,5)
b) Oändligt många lösningar (x > 6,5, dvs. alla tal som är större än 6,5 löser olikheten)
6 a) x ≥ 8 respektive x > 8.
b) Liselott har fel. x = 8 löser den första olikheten men inte den andra. I övrigt har de precis samma lösningar.
7 a) 38 + 15x = 200
b) 38 + 15x > 200
c) Efter 11 veckor (x > 10,8)
8 a) Hur många lektioner kan man ta i dansstudio A om man vill betala högst 1 900 kronor?
b) Man kan ta högst 15 lektioner (x ≤ 15)
c) 250 + 110x < 125x
d) Minst 17 lektioner ( x > 50 3 ≈ 16,7 )
Förändringsfaktor
Förändringsfaktor
Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet
Vid en minskning är förändringsfaktorn mindre än 1.
1 Vilken förändringsfaktor motsvarar
a) en ökning med 2 %
b) en minskning med 2 %
c) en ökning med 30 %
d) en minskning med 30 %
2 Bestäm förändringsfaktorn när ett värde
a) minskar från 80 kr till 50 kr
b) ökar från 1 200 kr till 1 400 kr
c) ökar från 500 kr till 2 500 kr
d) minskar från 980 kr till 353 kr
3 Ange för var och en av deluppgifterna i
uppgift 2 med hur många procent värdet har ökat eller minskat.
4 Ange den procentuella ökningen eller minskningen som svarar mot förändringsfaktorn
a) 1,03
b) 0,35
c) 0,87
d) 2,25
e) 7
5 En butiksägare vill beräkna det nya priset på en vara som i nuläget kostar x kronor. Vilket tal ska han multiplicera x med om han vill
a) sänka priset med 60 %
b) höja priset med 100 %
c) höja priset med 245 %
d) sänka priset med 5,3 %
Vid en ökning är förändringsfaktorn större än 1.
Om förändringsfaktorn är lika med 1, så betyder det att det inte har skett någon värdeförändring.
6 Antalet elever på en skola var ett år 780 stycken. Året därpå minskade antalet elever med 5 % för att nästa år öka med 10 %. Vilken av följande beräkningar ska du genomföra om du vill beräkna antalet elever på skolan efter förändringarna?
7 Vilken blir den totala procentuella förändringen om ett pris
a) först höjs med 20 % och sedan sänks med 10 %
b) först sänks med 50 % och sedan höjs med 50 %
c) höjs med 11 % och sedan höjs igen med 11 %.
8 Birger tycker att svaret i uppgift 7b är konstigt. Han tycker att om ett pris först sänks med 50 % och sedan höjs med 50 % så borde man komma tillbaka till ursprungspriset. Förklara för Birger varför det inte är så.
9 Lös följande problem genom att utgå från formeln Förändringsfaktorn = Nya värdet Gamla värdet och ställa upp en ekvation.
a) En butik hade utförsäljning och sålde alla kläder till nedsatt pris. En tröja som var nedsatt 15 % kostade 340 kr. Vad hade tröjan kostat före utförsäljningen?
b) Utsläppen av en farlig kemikalie ökade från år 2021 till 2022 med 30 %. År 2022 var utsläppen 30 ton per år. Hur stora var utsläppen år 2021?
Förändringsfaktor
1 a) 1,02
b) 0,98
c) 1,3
d) 0,7
2 a) 0,625
b) 1,17 (1,166…)
c) 5
d) 0,36
3 a) 37,5 % minskning
b) 17 % ökning
c) 400 % ökning
d) 64 % minskning
4 a) 3 % ökning
b) 65 % minskning
c) 13 % minskning
d) 125 % ökning
e) 600 % ökning
5 a) 0,4
b) 2
c) 3,45
d) 0,947
6 C 780 ∙ 0,95 ∙ 1,10
7 a) Ökning med 8 %
b) Sänkning med 25 %
c) Ökning med ca 23 %
8 Om du sänker ett pris på 100 kr med 50 % så blir det nya priset 50 kr. När du sedan höjer det nya priset med 50 %, så blir det nya värdet 75 kr. Anledningen till att vi inte kommer tillbaka till ursprungspriset är att sänkningen sker med 50 % av ursprungspriset (100 kr) medan höjningen sker med 50 % av det nya priset (50 kr). Sänkningen och höjningen är alltså lika stora mätt i procent, men inte mätt i kronor.
Total förändringsfaktor blir 0,5 · 1,5 = 0,75, dvs. minskning med 25 %.
9 a) 400 kr
b) 23 ton
Trigonometri 1
1 Bestäm följande värden med hjälp av figuren.
a) tan v
b) tan u
c) sin v d) sin u
e) cos v f) cos u
2 Bestäm vinklarna u och v i triangeln i uppgift 1. Svara med en decimals noggrannhet.
3 Bestäm tan 55,8° både med digitalt verktyg och med hjälp av figuren. Jämför sedan resultaten.
4 Bestäm x.
a) tan 30° = x 3
b) sin 45° = 11 x
c) cos 60° = 2x 15
5 Bestäm längden av sidorna x och y 10,0 38,7° (cm) x y
6 Bestäm vinkeln v om
a) tan v = 1,5
b) sin v = 0,5
c) cos v = 0,45
7 Från fönstret till ett radiotorn
ser man en räv under en vinkel av 72°. Radiotornets fönster är på en höjd av 138 m. Hur långt bort längs marken befinner sig räven från tornet?
8 Bestäm vinkeln u med en decimal. u 21 (cm)
9 Beräkna höjden och diagonalen i rektangeln. 110 (cm)
10 Undersök med hjälp av din räknare om tan 2v = 2 ∙ tan v genom att testa olika värden på v för 0⁰ < v < 180⁰. Vilken slutsats kan du dra?
11 Rita en rätvinklig triangel med en vinkel v så att tan v = 1 3
12 I en rätvinklig triangel är sin v = motstående katet hypotenusan
Kan man rita en rätvinklig triangel så att sin v > 1? Motivera ditt svar.
Trigonometri 1
1 a) tan v = 4 7
b) tan u = 7 4
c) sin v = 4 √65
d) sin u = 7 √65
e) cos v = 7 √65
f) cos u = 4 √65
2 v = 29,7° och u = 60,3°
3 Med digitalt verktyg: tan 55,8° ≈ 1,47
Enligt figuren: tan 55,8° = 25 17 ≈ 1,47
4 a) x = 3 ∙ tan 30° ≈ 1,7
b) x = 11 sin 45° ≈ 15,6
c) x = 15 ∙ cos 60° 2 = 3,75
5 x = 8,0 cm, y = 12,8 cm
6 a) v ≈ 56,3°
b) v = 30°
c) v ≈ 63,3°
7 45 m
8 u = 49,0°
9 Höjden är 49 cm och diagonalen är 120 cm.
10 tan 2v ≠ 2 ∙ tan v
11 T.ex:
12 Nej, hypotenusan är alltid längre än var och en av kateterna, så kvoten motstående katet hypotenusan är alltid mindre än 1, dvs. sin v < 1. (cm) 3,0 9,0 v
Memory med tiopotenser och prefix
Syfte och centralt innehåll
I de här aktiviteterna får eleverna repetera storleken av tiopotenser respektive bedöma storleken av mätetal skrivna med prefix.
Materiel
Aktivitetsstencil Memory med tiopotenser respektive Memory med prefix, sax.
Genomförande
u Dela in klassen i grupper om 2−4 elever och dela ut stencilen Memory med tiopotenser eller stencilen Memory med prefix.
u Uppmana eleverna att klippa ut lapparna, blanda dem och sprida ut dem på bordet med baksidan uppåt, så att eleverna inte ser vad som står på lapparna. Om spelet ska användas flera gånger kan det vara en god idé att laminera lapparna.
u Spelaren som börjar vänder upp två kort. Om det som står på det ena kortet är lika mycket som det som står på det andra kortet, behåller spelaren korten och får vända upp två kort till. Om korten inte är lika, vänder man tillbaka dem på samma plats som innan.
Lösning: Tiopotenser
u Vinnare är den som har flest par när alla kort på bordet är slut.
När en elev hittar ett par lappar som hör ihop ska hon motivera varför talen på lapparna är lika. På så sätt får eleverna kontrollera varandras svar och träna kommunikations och resonemangsförmågan.
Utvidgning och variation
En enklare variant av spelet är att lägga lapparna med framsidan uppåt, så att eleverna ser samtliga lappar. Varje elev får då i tur och ordning välja två lappar som de tycker hör ihop och motivera sitt svar. Då tar aktiviteten kortare tid och man kan inte alltid kora en vinnare.
Att lyfta fram Aktiviteten ger möjlighet att lyfta fram att tal kan skrivas med tiopotenser på olika sätt, t.ex. 4 000 = 4 ∙ 103 = 40 ∙ 102, och med olika prefix 0,2 GB = 200 MB. Man kan också lyfta fram skillnaderna mellan 42 och 4 ∙ 102, respektive 4 ∙ 102 och 4 ∙ 10−2
Lösning: Prefix
Gruppuppgift
Syfte och centralt innehåll
Den här aktiviteten består av en gruppuppgift.
Varje elev i respektive grupp får en lapp med information, som kan bidra till lösningen av problemet. Elevernas lösningar kan sedan redovisas i helklass eller i tvärgrupper. Problemet kan lösas genom att göra en tabell, rita grafer eller ställa upp en ekvation. Här finns alltså möjlighet att beröra centralt innehåll i både kapitel 2 och kapitel 4.
Materiel
Aktivitetsstencil Gruppuppgift – Problemlösning med ekvationer isärklippt i lappar.
Genomförande
Förbered aktiviteten genom att bestämma dig för hur många grupper du vill dela in klassen i. För att alla elever ska vara aktiva i problemlösningen kan det vara en god idé att hålla nere elevantalet i grupperna. Tre till fyra elever per grupp kan vara lagom. Förbered dig innan lektionen genom att klippa ut lapparna och problemformuleringen till respektive grupp.
Dela ut lapparna med information så att varje elev i gruppen får två (eller ev. tre) lappar var. Problemformuleringen blir en egen lapp. Varje elev redogör muntligt för vad som står på hans eller hennes lappar och gruppen utnyttjar informationen för att tillsammans försöka lösa det givna problemet. Gruppens lösning kan lämnas in, redovisas i helklass eller presenteras i tvärgrupper.
Till problemformuleringen finns sju lappar med nödvändig information och en lapp med överflödig information. Lappen med överflödig infor-
mation erbjuder möjligheten att göra uppgiften något svårare. Då tvingas eleverna att själva plocka ut den information som är relevant för att lösa problemet.
Eleverna kan få redovisa lösningarna i helklass eller i tvärgrupper. Väljer du att låta eleverna redovisa för varandra i tvärgrupper, är det den ursprungliga gruppens ansvar att alla förstår lösningen så bra att de senare kan redovisa den för andra.
Lösning
Det finns flera sätt att lösa problemet, till exempel genom att göra en tabell, använda grafer eller ställa upp och lösa en ekvation. Återvänd gärna till uppgiften i kapitel 4 och lös den med en grafisk metod.
Svar:
1 Per kör om Amina kl. 08.40
2 Lisbeth kör om Amina kl. 09.45
3 Lisbeth kör om Per kl. 10.50
Utvidgning och variation
På uppgiftsbladet finns den överflödiga informationen att hotellet ligger 5 km söder om Göteborg. Man kan välja om man vill inkludera denna överflödiga information till eleverna eller ej. En annan variant är att inte dela ut alla de sju lappar som eleverna behöver för att kunna lösa problemet. Då får eleverna fundera på vilken information de saknar och fråga efter ytterligare information eller göra egna antaganden.
En utvidgning av uppgiften är att låta eleverna beräkna hur långt från hotellet som Per, Amina och Lisbeth befinner sig när de kör om varandra.
Gruppuppgift – Problemlösning med ekvationer
1 Vad är klockan när Per kör om Amina?
2 Vad är klockan när Lisbeth kör om Amina?
3 Vad är klockan när Lisbeth kör om Per?
Per cyklar med hastigheten 20 km/h. Amina går med hastigheten 5 km/h.
Lisbeth åker moped med hastigheten 35 km/h.
Per lämnar hotellet en halvtimme efter Amina.
Per, Amina och Lisbeth lämnar ett hotell vid olika tidpunkter, men de åker längs samma väg.
Amina lämnar hotellet kl. 08.00.
Lisbeth lämnar hotellet en timme efter Per.
Hotellet ligger 5 km söder om Göteborg.
Mönster
Här nedanför finner du ett antal figurer som växer enligt ett visst mönster. Skriv för varje mönster en formel som beskriver sambandet mellan figurens nummer n och antalet prickar P
Formler:
a) P = b) P =
c) P =
e) P =
P =
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Mönster
a) P = 4n − 3
b) P = n2
c) P = 2n + 2
d) P = 2n + 6
e) P = 5n + 3
Programmering: Fibonacci
Leonardo Fibonacci levde omkring år 1200. Under sina många resor runt Medelhavet kom han i kontakt med både arabiska och grekiska matematiker. I boken Liber abbaci, som utkom år 1202, sammanfattade han vad han hade lärt sig om aritmetik (räknekonst) och algebra. I den boken presenterade han också de siffror vi använder i dag. Men mest känd är Fibonacci för att han har gett namn åt en talföljd. Talföljden börjar med 0 och följs sedan av två ettor. Varje tal i talföljden är sedan summan av de två föregående talen.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
1 Vilka är de nästa två talen i följden?
2 Skriv ett program som skriver ut de 50 första Fibonaccitalen.
3 Vilken slutsiffra har det 159:e Fibonaccitalet?
4 Ändra programmet så användaren får ange hur många Fibonaccital som ska skrivas ut.
Om vi dividerar varje Fibonaccital med det föregående talet i talföljden, får vi en ny talföljd:
1 1 , 2 1 , 3 2 , 5 3 , 8 5 , 13 8 , …
5 Skriv ett program som skriver ut de 20 första talen i denna talföljd. Ser du något mönster?
Drönarnas stamtavla
Hanbiets stamtavla växer precis som Fibonaccis talföljd.
hanbi honbi
Tips! I Python3 kan du använda dig av kommandot int(input()) när du vill låta användaren mata in ett heltal.
Programmering: Fibonacci
Syfte
I den här aktiviteten får eleverna ta reda på slutsiffran i det 159:e Fibonaccitalet och undersöka kvoten mellan två på varandra följande Fibonaccital. Aktiviteten passar bra i algebrakapitlet i Matematik Origo nivå 1c, t.ex. i samband med avsnittet Mönster och formler eller i avsnittet Historia på sidan 120 i elevboken. Eleverna får naturligtvis använda valfritt programspråk, men vi kommer att visa lösningar i programspråket Python 3.
Förkunskaper i programmering
Det finns många olika sätt att skriva program som skriver ut Fibonaccitalen, men eleverna behöver veta hur man använder kommandona print och input, hur man sparar tal i variabler och hur man skriver slingor med for eller while
Genomförande
I aktivitetens inledning presenterar vi Fibonaccitalen. Presentera dem gärna gemensamt i helklass, kanske utifrån hanbiets stamtavla. Om eleverna har nödvändiga förkunskaper i programmering kan du låta dem arbeta med resten av elevstencilen enskilt eller i par. I annat fall kan du tillsammans med eleverna skriva ett program som skriver ut Fibonaccitalen, t.ex.
a = 0 #Vi sparar de första två Fibonaccitalen, 0 och 1, i variablerna a och b b = 1
print("De 10 första Fibonaccitalen är:") for n in range (1, 11): #Programmet ska upprepa följande kod 10 gånger: print(a) #Skriv ut värdet av variabeln a c = b #Spara värdet av variabeln b i c. b = a + b #Det nya värdet på b ska vara summan av a och b a = c #Det nya värdet på a ska vara värdet på c, dvs. det gamla värdet på b
Diskutera med eleverna hur koden är uppbyggd och låt dem sedan arbeta vidare med uppgifterna på aktivitetsstencilen. Om eleverna arbetar i par kan det vara bra att låta den elev som har minst erfarenhet av programmering sköta datorn. Är båda eleverna lika erfarna kan de turas om.
I aktiviteten bygger vi stegvis upp mot frågeställningen vilken slutsiffra det 159:e Fibonaccitalet har, men det går också bra att låta lektionen helt utgå från den frågeställningen. Det ger aktiviteten en mer problemlösande karaktär.
Lösning
1 34 och 55
2 T.ex.
a = 0 #Vi sparar de första två Fibonaccitalen, 0 och 1, i variablerna a och b
b = 1
print("De 50 första Fibonaccitalen är:")
for n in range (1, 51): #Programmet ska upprepa följande kod 50 gånger: print(a) #Skriv ut värdet av variabeln a
c = b #Spara värdet av variabeln b i c.
b = a + b #Det nya värdet på b ska vara summan av a och b
a = c #Det nya värdet på a ska vara värdet på c, dvs. det gamla värdet på b
3 Det 159:e Fibonaccitalet är 468340976726457153752543329995929. Slutsiffran är alltså 9.
Programmering: Fibonacci
4 T.ex.
a = 0
b = 1
n = int(input("Det här programmet skriver ut de n första Fibonaccitalen. Ange n:"))
print("De", n, "första Fibonaccitalen är:")
for n in range (1, n + 1): print(a)
c = b
b = a + b
a = c
5 Kvoten stabiliserar sig kring ca 1,618. Talet brukar kallas för det gyllene snittet och kan exakt skrivas 1 + √5
2 . Uppgiften kan
t.ex. lösas med programmet:
a = 0
b = 1
for n in range (1, 21):
c = b
b = a + b
a = c print(b/a)
Att lyfta fram
I den sista deluppgiften får eleverna undersöka kvoten mellan två konsekutiva Fibonaccital.
Eleverna kommer att märka att kvoten stabiliserar sig kring talet 1,618. Lyft gärna fram att talföljden konvergerar mot det så kallade gyllene snittet: 1 + √5
2 .
Det finns många olika sätt att lösa deluppgift 2. Här nedanför visar vi fyra olika program, som utnyttjar olika programmeringskommandon. Det första programmet använder en stödvariabel. Det andra programmet är elegant, eftersom det uppdaterar värdet på variablerna a och b på en enda rad. Det tredje programmet lägger Fibonaccitalen i en lista och skriver ut listan. Det fjärde programmet utnyttjar rekursion. Det kan vara intressant att jämföra programmens körningstid och diskutera varför det fjärde programmet tar så lång tid att köra.
(1) Med stödvariabel
a = 0 #Vi sparar de första två Fibonaccitalen, 0 och 1, i variablerna a och b
b = 1
print("De 50 första Fibonaccitalen är:") for n in range (1, 51): #Programmet ska upprepa följande kod 50 gånger: print(a) #Skriv ut värdet av variabeln a c = b #Spara värdet av variabeln b i c. b = a + b #Det nya värdet på b ska vara summan av a och b a = c #Det nya värdet på a ska vara värdet på c, dvs. det gamla värdet på b
(2) Med två variabler
a = 0 b = 1 for n in range (1, 51): print(a) a, b = (b, a + b) #Här sätter vi värdet av variabeln a till b och värdet av variabeln b till a + b
(3) Med listor:
print("Det här programmet skriver ut de 50 första Fibonaccitalen")
Fibonacci = [0, 1, 1] for n in range (2, 49):
Fibonacci.append(Fibonacci[n 1] + Fibonacci[n])
print(Fibonacci)
(4) Med rekursion:
def fib(a): #Vi definierar en funktion som tar fram Fibonaccital nummer a if a == 1:
return (0) if a == 2: return 1 else:
return (fib(a - 1) + fib(a - 2)) for n in range (1, 51):
print(fib(n)) #Vi anropar funktionen och skriver ut alla Fibonaccital mellan 1 och 50
Programmering: Fibonacci
Utvidgning och variation
Fibonaccitalen har många intressanta egenskaper som man kan undersöka med hjälp av programmering, t.ex.
Om man kvadrerar Fibonaccitalen, får man en ny följd av tal. Om man adderar två på varandra följande tal i den följden, så får man alltid ett Fibonaccital.
Ett annat sätt att utvidga aktiviteten är att introducera Binets formel. Det är en sluten formel för det n:te Fibonaccitalet.
1 √5 ∙ ( 1 + √5 2 )n − ( 1 − √5 2 )n
Man kan också låta eleverna undersöka de så kalllade Lucastalen. Den talföljden är uppbyggd på samma sätt som Fibonaccitalen, men med 2 och 1 som de första elementen i stället för 0 och 1.
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, …
Det finns intressanta samband mellan Lucastalen och Fibonaccitalen, som eleverna kan undersöka med hjälp av programmering, t.ex.
Ln = Fn − 1 + Fn + 1 , n > 1.
Chokladkulor
I den här aktiviteten får ni en påse med tio chokladkulor i olika färger. Er uppgift är att ta reda på hur många kulor det finns av varje färg. Men ni får inte kika i påsen! Det enda som är tillåtet är att (utan att titta) sticka ner en hand i påsen, ta upp en chokladkula, notera dess färg och lägga tillbaka den igen. Det får ni göra hur många gånger ni vill. Hur många kulor av varje färg finns det i påsen?
Chokladkulor
Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten får eleverna en ogenomskinlig påse eller behållare med tio chokladkulor i olika färger. Deras uppgift är att med hjälp av experiment – och utan att titta – bestämma hur många kulor det finns av varje färg. Aktiviteten anknyter till avsnittet i elevboken som handlar om hur man bestämmer sannolikheter med hjälp av experiment.
Materiel
En ogenomskinlig påse med tio chokladkulor (m&m:s) till respektive grupp. Påsen kan exempelvis innehålla 1 gul, 3 röda och 6 blå chokladkulor. Det kan vara fördelaktigt för den efterföljande klassrumsdiskussionen att varje påse har precis samma innehåll.
Genomförande
u Dela in eleverna i par och dela ut en aktivitetsstencil och en förberedd påse till varje par. Det kan vara en god idé att särskilt poängtera att eleverna inte får äta några godisar ur påsen – åtminstone inte förrän experimentet är över!
u Gå igenom instruktionen gemensamt med eleverna. Uppgiften är att ta reda på hur många kulor av varje färg det finns i påsen, men de får inte tjuvkika. Det enda de får göra är att – utan att titta – ta upp en kula ur påsen, notera dess färg och lägga tillbaka den igen. Det får de göra hur många gånger de vill.
u Låt eleverna fundera på hur de skulle kunna lösa uppgiften. Förhoppningsvis kommer de på att de kan föra statistik över sina dragningar och därigenom uppskatta sannolikheten att en chokladkula i påsen har en viss färg. Med hjälp av informationen om att det finns tio kulor i påsen, kan de sedan dra slutsatser om antalet kulor av varje färg. Har de exempelvis fått blå kulor i två tredjedelar av sina dragningar, så kan de anta att ungefär två tredjedelar (dvs. 6 eller 7) av kulorna i påsen är blå. Om inte alla elever kommer i gång, kan det vara nödvändigt att samla klassen för en gemensam diskussion kring hur man kan gå till väga.
u Om alla elever får påsar med precis samma innehåll, kan två elevpar samarbeta för att snabbare samla ihop tillräckligt mycket statistik för att kunna dra några slutsatser.
u Sammanfatta elevernas slutsatser gemensamt i helklass. Hur många av varje färg tror grupperna att det finns i påsen? Hur säkra är de på sitt svar? Diskutera gärna med eleverna hur de skulle kunna bli ännu säkrare på sina förutsägelser. Ett sätt är att aggregera alla gruppernas resultat och beräkna den totala relativa frekvensen över det totala antalet försök. Den experimentella sannolikheten närmar sig ju den teoretiska sannolikheten när antalet slumpförsök ökar. (Detta bygger dock på att alla grupperna har fått påsar med precis samma innehåll.) När klassen enats om en gemensam hypotes om antalet kulor av respektive färg i påsen, får eleverna hälla ut påsens innehåll och kontrollera svaret. Det brukar vara en uppskattad avslutning att låta eleverna äta upp chokladkulorna!
Att lyfta fram
Diskutera i vilka sammanhang man behöver ta hjälp av experiment, statistik eller simulationer för att beräkna en sannolikhet, eftersom det inte är möjligt att bestämma sannolikheten teoretiskt.
