9789152365823 by Smakprov Media AB

matematik

Prov, övningsblad och aktiviteter

SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Lars Julin, Emelie Reuterswärd Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson Foton: Shutterstock, Getty Images

Innehåll

Kapitel 1 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

1.1

Olika talbaser

1.2

Kongruensräkning

1.3

Talföljder

1.4

Summor

1.5

Repetitionsuppgifter kapitel 1

1.1

Geometriska serier

1.2

Kryptering med kongruenser

Prov 1 Kapitel 1 och 2 (E/C/A) Prov 1 Kapitel 1 och 2 (rak poängsättning)

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 2 Rubrik Övningsblad

2.1

Repetitionsuppgifter kapitel 2

Aktiviteter

2.1

Bevis av delbarhetsregler för 9 och 11

2.2

Tornet i Hanoi

Prov

Prov 1 Kapitel 1 och 2 (E/C/A) Prov 1 Kapitel 1 och 2 (rak poängsättning)

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 3 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

3.1

Vad är en differentialekvation?

3.2

Differentialekvationer av första ordningen

3.3

Differentialekvationer av andra ordningen

3.4

Repetitionsuppgifter kapitel 3

3.1

Riktningsfält med GeoGebra

3.2

Verhulsts logistiska tillväxtmodell

Prov 2 Kapitel 3 och 4 (E/C/A) Prov 2 Kapitel 3 och 4 (rak poängsättning)

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Innehåll

Kapitel 4 Rubrik Övningsblad

Aktiviteter

Prov

4.1

Mängdlära

4.2

Kombinatoriska problem

4.3

Repetitionsuppgifter kapitel 4

4.1

Vart tog den stygga lilla loppan vägen?

4.2

Lotto

4.3

Stryktipset

4.4

Principen om inklusion och exklusion

Prov 2 Kapitel 3 och 4 (E/C/A) Prov 2 Kapitel 3 och 4 (rak poängsättning)

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsblad 1:2

Kongruensräkning Kongruens Om två heltal a och b har samma rest vid division med ett heltal n > 1, så är a och b kongruenta modulo n. Vi skriver det som a � b (mod n).

Räkneregler för kongruenser Om a, b, c, d är heltal, n > 1 är ett heltal samt a � b (mod n) och c � d (mod n), så gäller 1. a + c � b + d (mod n) 2. a ∙ c � b ∙ d (mod n) 3. k · a � k · b (mod n)

k är ett heltal

4. ap � bp (mod n)

p är ett positivt heltal

Lös följande uppgifter utan digitalt hjälpmedel.

4 Ersätt x med minsta möjliga naturliga tal i följande beräkningar.

1 Vad blir resten om

a) 201 + 1 342 � x (mod 5)

a) 16 293 delas med 3

b) 101 + 14 ∙ 6001 � x (mod 3)

b) 416 + 3 412 ∙ 11 delas med 5

c) 21 ∙ 51 ∙ 1671 � x (mod 7)

2 Vi vet att a � 5 (mod 11). Bestäm resten vid a divisionen  ___ . 11

3 Det gäller att 137 � 5 (mod 11) och

5 Bestäm det minsta naturliga tal m, så att a) 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 � m (mod 7) b) 838 � m (mod 7) c) 114 � m (mod 9)

227 � 7 (mod 11). Bestäm resten när

a) 137 + 227 divideras med 11 b) 227 – 137 divideras med 11 c) 137 ∙ 227 divideras med 11

6 Om det är februari månad nu, vad blir det för månad om 9200 månader?

7 Om klockan nu visar 14:00, vad visar klockan om 7102 timmar?

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsblad 1:4

Summor Aritmetisk summa I en aritmetisk summa består termerna av elementen i en aritmetisk talföljd. Om en aritmetisk summa har n stycken termer med a1 som första term och an som sista term, så kan summan sn av de n termerna beräknas med formeln n(a + an) sn = _________   1   2

Geometrisk summa I en geometrisk summa är termerna element i en geometrisk talföljd. Om en geometrisk summa har n stycken termer med a1 som första term och kvoten k, så kan summan sn av de n termerna beräknas med formeln a (kn − 1) sn = _________   1   där k ≠ 1 k−1

1 Beräkna den aritmetiska summan –7 + 2 + 11 + … + 119

2 Ange kvoten och antalet termer i den geo

metriska summa som beräknas med uttrycket

5 Daisy har satt in 2 500 kr på ett bankkonto

i början av januari varje år med början år 2021. Direkt efter insättningen i januari 2027 kon trollerar hon hur mycket pengar som finns på kontot. Räntesatsen är konstant 0,85 %.

2 500 ∙ (1,027 − 1) _______________         

a) Förklara varför beloppet på kontot beskrivs av den geometriska summan

3,3(2,15 − 1) 2,1 − 1 geometrisk summa.

2 500 + 2 500 · 1,0085 + 2 500 · 1,00852 + + … + 2 500 · 1,00856

1,02 − 1

3 Uttrycket  ___________      beskriver en a) Hur många termer innehåller summan? b) Teckna summan genom att skriva ut varje term. c) Teckna summan genom att använda skrivsättet med ∑. d) Beräkna summan.

4 Beräkna de geometriska summorna. a) 4 + 4 ∙ 1,15 + … + 4 ∙ 1,1530 b) 53 ∙ 0,91 + 53 ∙ 0,912 + … + 53 ∙ 0,9135 c) (−1) + (−1)2 + … + (−1)70 000 d) 1 − 2 + 4 − 8 + 16 + … + 65 536

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

b) Hur stort är beloppet på kontot när Daisy kollar det?

6 Lucia har fått i uppgift att lösa ekvationen y + y · 1,52 + y · 1,54 + … + y · 1,518 = 45 Lucia har inte fördjupat sig i geometriska summor, men tror sig kunna lösa ekvationen ändå. a) Hur kan Lucia tänkas lösa ekvationen? Lös ekvationen utan att använda formeln för geometrisk summa. b) Lös ekvationen genom att använda formeln för geometrisk summa.

Övningsblad 1:5

Repetitionsuppgifter kapitel 1 SIDA 1 AV 2

1 Skriv 101010två i det decimala talsystemet. 2 Skriv följande tal i det binära talsystemet. a) 5tio

10 Ventilens läge i ett snurrande cykelhjul

bestäms av medelpunktsvinkeln v. Vid ett visst ögonblick är v = 130°. y

b) 434tio

3 Skriv talen i det decimala talsystemet.

130°

a) ABC1sexton

b) 3062åtta c) 243fem

4 Skriv talet 1 671tio i det oktala talsystemet. 5 Skriv följande tal som en produkt av primtal a) 20 b) 153

6 Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. a) 3 | 12 b) 18 | 6 c) 5 | (10n + 5) för heltal n

7 Talen 45 och 105 har flera gemensamma delare.

a) Ange en gemensam delare till 45 och 105. b) Ange samtliga delare till 45. c) Bestäm största gemensamma delare till 45 och 105.

8 Beräkna kvoten och resten vid följande divisioner 31 a)  ___  4 196 b)  ____   9

2 c)  __  6

Bestäm vinkeln v efter att hjulet snurrat ytter ligare 1 000°.

11 Använd Euklides algoritm för att bestämma den största gemensamma delaren till 4 066 och 3 819.

12 Avgör om talen 215, 158 och 92 a) är kongruenta modulo 2 b) är kongruenta modulo 3

13 Bestäm resten när summan av 114 och 47 divideras med 4.

14 Bestäm resten när produkten av 87 och 23 divideras med 7.

15 Bestäm resten när 17 · 2 361 + 2617 divideras med 5.

16 Vilken blir slutsiffran om man beräknar 47742?

17 Anita konstaterar att i dag är det tisdag. Vilken veckodag är det om 295 dagar?

18 Vi har en talföljd där första elementet är 4 och varje element är 7 större än det föregående. a) Ange en rekursiv formel för talföljden.

9 Primtalsfaktorisera talet 1 485.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

b) Ange en sluten formel för talföljden.

Aktivitet 1:2

Kryptering med kongruenser SIDA 2 AV 2

Exempel 2: Ett ord med fem bokstäver har krypterats till UACZU med

kryptot k ≡ 3m + 7 (mod 29). Vilket är ordet?

Vi löser ut m ur sambandet k ≡ 3m + 7 (mod 29):

Lösning:

k ≡ 3m + 7 (mod 29) Addera 22 till båda led k + 22 ≡ 3m + 29

29 är kongruent med 0 (mod 29)

k + 22 ≡ 3m

Multiplicera båda led med 10

10(k + 22) ≡ 30m

30 är kongruent med 1 (mod 29)

10k + 220 ≡ m

220 är kongruent med 17 (mod 29)

m ≡ 10k + 17 Kommentar: Vi kan inte subtrahera båda leden med 7 och sedan dividera med 3, eftersom k–7 m ≡ _____     (mod 29) inte ger heltalsvärden på m från 0 till 28 för alla värden 3 på k från 0 till 28. Vi gör en ny tabell med kryptotexten överst och bestämmer sedan k och m. Krypto

Klartext

m ≡ 10k + 17 = 10 ∙ 20 + 17 = 217 ≡ 14 (mod 29)

UACZU blir alltså ORIGO i klartext.

1 Kryptera ordet MATTE med kryptot k ≡ 5m + 12 (mod 29). 2 Kryptera ordet LÄRARE med kryptot k ≡ 8m + 3 (mod 29). 3 a) Lös ut m ur kryptot k ≡ 2m + 9 (mod 29). b) Dekryptera ordet ZGWROQ som har krypterats med kryptot k ≡ 2m + 9 (mod 29).

4 a) Lös ut m ur kryptot k ≡ 6m + 4 (mod 29). b) Dekryptera ordet RÖSMXLC som har krypterats med kryptot k ≡ 6m + 4 (mod 29).

5 a) Bestäm ett eget hemligt ord, tre till sex bokstäver långt. b) Bestäm en egen krypteringsnyckel i formen k ≡ am + b (mod 29), där a och b är heltal mellan 0 och 28. c) Kryptera nu ditt hemliga ord med krypteringsnyckeln du bestämde i deluppgift b). d) Para ihop dig med en kamrat (som kan bevara en hemlighet). e) Byt nu krypterat ord och tillhörande krypteringsnyckel med varandra och försök dekryptera era ord. f ) Jämför era svar. Fick ni fram rätt ord? Om inte, vad gick fel?

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Aktivitet 1:2

Kryptering med kongruenser SIDA 1 AV 2

Caesarkrypto

Människor har i alla tider haft behov av att skicka hemliga meddelanden. Ett sätt att göra det är att använda ett så kallat Caesarkrypto. Varje bokstav i meddelandet krypteras då genom att den förskjuts ett visst antal steg i alfabetet. Väljer vi exempelvis förskjutningen fem steg, så krypteras bokstaven A som F och bokstaven Y som A. Bokstav

Tal

Bokstav

Tal

Bokstav

Tal

Bokstav

Tal

Bokstav

Tal

När alfabetet tar slut, börjar man om från A igen. Det förklarar varför bokstaven Y krypteras som A.

Om vi numrerar bokstäverna i alfabetet från 0 till 28, kan ett Caesarkrypto med förskjutningen 5 beskrivas med funktionen k ≡ m + 5 (mod 29) där m står för numret för bokstaven i meddelandet och k står för numret för motsvarande bokstav i kryptot. Eftersom bokstaven A har numret 0, ska den enligt ekvationen krypteras som 0 + 5 (mod 29) = 5 (mod 29) vilket är numret för bokstaven F.

Strömchiffer

Ett Caesarkrypto, eller Caesarchiffer som det också kallas, är dock ganska enkelt att dekryptera. Ett mer avancerat krypto får man om man i stället använder ett så kallat Strömchiffer som krypterar enligt funktionen k ≡ am + b (mod 29) där a och b är heltal mellan 0 och 28. Ett krav för att Strömchiffret ska fungera är dock att funktionen är inverterbar, dvs. att man kan lösa ut m ur formeln. Vi visar hur kryptering och dekryp tering kan gå till med två exempel. Exempel 1: Kryptera ordet NATUR med kryptot k ≡ 3m + 7 (mod 29).

Det är lämpligt att göra en tabell, där du för in ordet i meddelandet.

Lösning:

Bestäm sedan m och k för en bokstav i taget. Klartext

Krypto

Ordet NATUR krypteras alltså till RHGJA.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

k ≡ 3m + 7 ≡ 3 ∙ 17 + 7 = 58 ≡ 0 (mod 29)

Aktivitet 1:2

Lärarhandledning

Kryptering med kongruenser SIDA 1 AV 2

Syfte

I den här aktiviteten får eleverna kryptera och dekryptera meddelanden med hjälp av sina kun skaper om kongruensräkning. Det stärker inte bara elevernas kunskaper i kongruensräkning utan ger dem också tillfälle att pröva på kryptering, en viktig tillämpning av matematik både i dag och genom historien.

Materiel

Aktivitetsblad Kryptering med kongruenser.

Genomförande

Aktiviteten kan med fördel introduceras genom att ge ett konkret exempel på en enkel Caesar kryptering, t.ex. att du som lärare krypterar ditt eget namn genom att förskjuta alla bokstäver ett visst antal steg. Dela sedan ut aktivitetsbladet Kryptering med kongruenser till eleverna och låt dem arbeta med det enskilt eller i par. Uppmana gärna eleverna att återkoppla till dig för att få en uppfattning om de har förstått hur man löser upp gift 1 och 2 innan de går vidare. Ett alternativ är att, efter en stund, samla klassen för en gemen sam genomgång av uppgift 1 och 2.

Lösningar 1 OMUUD 2 EQXDXG 3 a) m ≡ 15k + 10 b) INVERS

4 a) m ≡ 5k + 9 b) HEMLIGT

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Utvidgning och variation

Deluppgift 5, där eleverna bestämmer ett eget hemligt ord och en egen krypteringsnyckel, kan naturligtvis upprepas flera gånger för de elever som önskar. Det hemliga ordet kan också utökas till en hel mening.

Att lyfta fram

Betona gärna att kryptering spelar, och har spelat, en viktig roll i samhället. Under andra världskriget var dekryptering av tyskarnas hemliga meddelan den en viktig faktor i de allierades vinst, och i dag möjliggör kryptering till exempel att vi kan handla säkert på nätet. I stället för kryptera och dekryp tera kan begreppen koda och avkoda användas. Kongruensräkningen som förekommer i Caesar kryptering kan vara lite tidskrävande. För att underlätta beräkningarna kan eleven använda en så kallad Cayleytabell för N28, som ger det inverterade talet (mod 29) till alla tal som tillhör N28 = {0, 1, 2, ..., 28}. Tabellen läses genom att följa raden för ett givet tal n tills du kommer till talet 1, och talet p i den kolumnen är då det inverterade talet (mod 29) till n, dvs. n ∙ p ≡ 1 (mod 29). Ska du t.ex. lösa ut k ur kryptot k = 7m + 12 (mod 29), adderar du båda leden med 17 och multiplicerar båda leden med 25, eftersom 7 ∙ 25 ≡ 1 (mod 29) enligt Cayleytabellen. Alfabetstabellen och Cayleytabellen kan vara bra hjälpmedel för eleverna, speciellt för uppgift 5. De finns med som separat kopieringsunderlag.

Övningsblad 2:1

Repetitionsuppgifter kapitel 2 1 Triangeln ABC är likbent och ∧CDA = 90°. Bevisa att AD är bisektris till ∧BAC.

__ 6 Visa att √ 2 är ett irrationellt tal med hjälp av ett motsägelsebevis.

7 Visa med hjälp av induktion att n

∑  2k = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) B

2 Visa att 2n3 + 3n2 + n är ett jämnt tal, om n är ett heltal.

3 Visa att n2 + 25 ≥ 10n för alla n. 4 Visa att följande påstående är falskt genom att finna ett motexempel.

Om p är ett primtal så är 2p − 1 ett primtal.

5 Bevisa att om kvadraten av ett heltal är udda, så är heltalet udda.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

k =1

8 Visa med hjälp av induktion att summan n

  2 ∑ k = 1 + 2 + 4 + … + 2n

k=0

kan beräknas med uttrycket 2n + 1 − 1 för n ≥ 0.

9 Visa med hjälp av induktion att

3 | (n3 + 3n2 + 2n + 3) för alla heltal n ≥ 0.

10 Visa med hjälp av induktion att 2n > n2 för alla heltal n > 4.

Övningsblad 2:1

Facit

Repetitionsuppgifter kapitel 2 SIDA 1 AV 3

1 AD möter BC i rät vinkel. Det betyder att

5 Vi ska alltså bevisa att om a är ett heltal så

∧CDA = ∧ADB

gäller a2 udda ⇒ a udda

∧DBA = ∧ACD

I det här fallet är det lättare att bevisa det kontrapositiva påståendet

∆ABD ~ ∆ACD ∧BAD = ∧DAC Eftersom ∧BAD = ∧DAC är AD en bisektris till ∧BAC. v.s.b. Exempel 1 s. 64

2 Vi utgår ifrån att n i uttrycket 2n3 + 3n2 + n är ett heltal. Vi vet att jämna tal är delbara med 2. Vi försöker faktorisera uttrycket för att avgöra om det är delbart med 2.

2n3 + 3n2 + n = 2n3 + 2n2 + n2 + n = = 2n2(n + 1) + n(n + 1) = = (n + 1)(2n2 + n) = (n + 1)n(2n + 1) = = n(n + 1)(2n + 1) I uttrycket n(n + 1)(2n + 1) är antingen n eller n + 1 ett jämnt tal, eftersom de är två på var andra följande heltal. Av detta följer att antingen n eller n + 1 kan skrivas som 2 ∙ k, där k är ett heltal. Det innebär att hela uttrycket innehåller en faktor 2 och alltså är ett jämnt tal. Vi har visat att om n är ett heltal, så är 2n3 + 3n2 + n ett jämnt tal. v.s.v. Exempel 2 s. 64

3 Att visa att n2 + 25 ≥ 10n är ekvivalent med att visa att

n2 − 10n + 25 ≥ 0 Vi utgår från vänsterledet och gör några omskrivningar. n2 − 10n + 25 = (n − 5)2 Eftersom ett reellt tal i kvadrat alltid är större än eller lika med noll, gäller att (n − 5)2 ≥ 0, dvs. n2 − 10n + 25 ≥ 0. Exempel 1 s. 65

4 T.ex. p = 11. Exempel 2 s. 65

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

a jämnt ⇒ a2 jämnt Vi antar alltså att a är jämnt. Det betyder att a kan skrivas a = 2m, där m är ett heltal. Då följer att a2 = (2m)2 = 4m2 = 2 ∙ 2m2 som betyder att a2 är ett jämnt tal, eftersom det innehåller en faktor 2. Vi har alltså visat att ett jämnt tal har en jämn kvadrat. Det är logiskt ekvivalent med påstå endet vi ville bevisa, nämligen att om kvadra ten av ett heltal är udda, så måste talet vara udda. v.s.b. Exempel s. 69

6 Vi börjar med att __ anta att påståendet inte är √ sant, dvs. att 2 är ett rationellt tal. I så fall __ a kan √ 2 skrivas i formen  __ , där a och b är

b eltal. Eftersom ett bråk alltid kan skrivas i h enklaste form kan vi anta att bråket är förkor tat så långt som möjligt. __ a a2 √ 2  = __     ⇒ 2 = ___   2  ⇒ 2b2 = a2 b b Vi konstaterar att 2b2 är ett jämnt tal. Men då är också a2 ett jämnt tal, vilket medför att även a är ett jämnt tal. Därför kan vi skriva a = 2m, där m är ett heltal. Detta leder till 2b2 = (2m)2 ⇒ 2b2 = 4m2 ⇒ b2 = 2m2 Vi ser att 2m2 är ett jämnt tal. Men då måste b2, och därmed även b, vara jämna tal. Nu har vi kommit fram till att både a och b är jämna a tal, vilket strider mot antagandet att bråket  __  b var förkortat så långt som möjligt. Vi har nått en motsägelse.

Antagandet att √2 kan skrivas som kvoten av två heltal måste därmed vara felaktigt. Alltså __ √ är 2 ett irrationellt tal. v.s.v. Exempel s. 71

Aktivitet 2:2

Tornet i Hanoi Tornet i Hanoi är ett klassiskt pusselspel där man ska flytta en uppsättning skivor med varierande storlek från stolpe 1 till stolpe 3 med så få förflytt ningar som möjligt, se figur nedan.

Spelet startar med att skivorna är staplade på stolpe 1 i storleksordning, med den största skivan underst och den minsta skivan överst. Målet med spelet är att flytta hela tornet till stolpe 3 med hjälp av mittenstolpen. Man kan endast flytta en skiva åt gången och den kan endast flyttas till en tom stolpe eller läggas ovanpå en större skiva. Spelet är slutfört när hela tornet har flyttats från den första stolpen till den tredje med skivorna i rätt ord ning, se figur nedan.

1 Bestäm det minimala antalet förflyttningar som krävs om tornet

består av 3 skivor. Du kan gå till sidan www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html och göra en simule ring av spelet om du vill.

2 Bestäm det minimala antalet förflyttningar som krävs om tornet består av 4 skivor.

Tips: För att kunna flytta den största skivan till den tredje stolpen behöver du först flytta de tre översta till mittenstolpen

3 Använd resultatet ovan och försök skriva en rekursiv formel för antalet förflyttningar.

4 För att flytta 5 skivor krävs 31 förflyttningar och för att flytta 6 skivor

krävs 63 förflyttningar. Föreslå en sluten formel an för antalet förflytt ningar med n skivor och bevisa därefter formeln med hjälp av induktion.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Aktivitet 2:2

Lärarhandledning

Tornet i Hanoi Syfte

I den här aktiviteten får eleverna befästa och öva på induktionsbevis med utgångspunkt i det klas siska problemet Tornet i Hanoi. Syftet med aktivi teten är att befästa och öva på bevisföring och matematisk argumentation.

Materiel

Aktivitetsblad Tornet i Hanoi.

Genomförande

Aktiviteten kan inledas med att i helklass se på det klassiska problemet Tornet i Hanoi. På sidan www.mathsisfun.com/games/towerofhanoi.html kan du visa en animering av problemet och till sammans med eleverna lösa problemet när anta let skivor är tre. När eleverna hittat en lösning till problemet med tre skivor kan de delas in i par och aktivitetsbladet delas ut. Eventuellt kan du kont rollera att eleverna kommit fram till korrekt antal förflyttningar innan de försöker göra induktions beviset.

Lösningar 1 För att flytta 3 skivor krävs 7 förflyttningar. 2 För att flytta 4 skivor krävs 15 förflyttningar. 3 För att flytta hela tornet med n skivor måste

man först flytta de n – 1 översta skivorna till stolpe 2 vilket kräver an − 1 förflyttningar. Sedan flyttas nedersta skivan till pinne 3 vilket kräver 1 förflyttning. De n – 1 översta skivorna flyttas nu till den nedersta skivan vilket kräver an − 1 förflyttningar. T otalt krävs alltså an = 2an – 1 + 1 förflyttningar.

4 Enligt mönstret så är an = 2n – 1. Vi bevisar med induktion att formeln stämmer:

Induktionsbas: För n = 1 är VL = a1 = 1 och HL = 21 – 1 = 1. VL = HL, dvs. påståendet är sant för n = 1. Induktionsantagande: Anta att för n = k äller att ak = 2k – 1. g Induktionssteg: För n = k + 1 är VL = ak + 1 = 2ak + 1 = 2(2k – 1) + 1 = = 2k + 1 – 2 + 1 = 2k + 1 – 1 = HL. Alltså är VL = HL även för n = k + 1 och påståendet är sant för alla positiva heltal n.

Att lyfta fram

Det kan vara värt att under introduktionen lyfta den rekursiva strategin. Ett sätt att göra det är att uppmärksamma eleverna på hur man kan lösa problemet med 4 skivor genom att först flytta 3 skivor till stolpe 2.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Övningsblad 3:3

Differentialekvationer av andra ordningen Den allmänna lösningen till y'' + ay' + by = 0 Om den karakteristiska ekvationen till differentialekvationen y’’ + ay’ + by = 0 har u två olika reella rötter r1 och r2 så har ekvationen den allmänna lösningen y = C1er1x + C2er2x,

där C1 och C2 är konstanter u en dubbelrot r0 så har differentialekvationen den allmänna lösningen y = (C1x + C2) ∙ er0x,

där C1 och C2 är konstanter u två icke-reella rötter r1 = α + βi och r2 = α − βi, så har differentialekvationen den allmänna

lösningen y = eαx(A cos βx + B sin βx), där A och B är konstanter.

Nivå 1

Nivå 2

1 Bestäm den karakteristiska ekvationen till

6 Bestäm den lösning till y’’ + 4y’ = 8x som

differentialekvationerna. a) y’’ + 4y’ + 2y = 0 b) 2y’’ − 12y’ + 8y = 0

2 Visa att y = C1e2x + C2e−3x är en lösning till differentialekvationen y’’ + y’ − 6y = 0.

3 Bestäm den allmänna lösningen till differen tialekvationen

a) y’’ + 9y’ + 20y = 0 b) y’’ − 2y’ + 2y = 0

4 Givet differentialekvationen y’’ + 4y’ + 8y = 0. a) Ange den karakteristiska ekvationen till differentialekvationen. b) Bestäm den allmänna lösningen till diffe rentialekvationen. c) Bestäm den lösning som uppfyller villkoren __π π y(0) = 0 och y  __      = 2e −   2 . 4

( )

5 Visa att a) yp = 6x + 1 är en partikulärlösning till differentialekvationen y’’ + y’ − 3y = 3 − 18x b) yp = x2 – 4 är en partikulärlösning till differentialekvationen y’’ − 4y = 18 − 4x2

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

uppfyller villkoren y(0) = 0,5 och y’(0) = 7.

7 Visa att den allmänna lösningen till differential ekvationen N’’ – 2N’ + N = 2t – 7 kan skrivas som N(t) = 2t − 3 + et(Ct + D).

8 En vikt med massan 0,1 kg

är upphängd i en fjäder med fjäderkonstanten k = 0,8 N/m. Vikten påverkas av kraften F = −ky då den befinner sig y meter från jämviktsläget. 0 Med hjälp av Newtons andra m y(t) lag, F = m · a, kan vi ställa upp differentialekvationen k y’’ + __    y = 0 m a) Bestäm den allmänna lösningen till diffe rentialekvationen. b) Bestäm den lösning som uppfyller begyn nelsevillkoren y(0) = 0,05 och y’(0) = 0.

9 En odämpad fjäderpendel som påverkas av en

drivande kraft F = 0,05 cos 2t kan beskrivas med differentialekvationen d2y ____   2  + 4y = 0,05 cos 2t, dt där y är avståndet från jämviktsläget vid tiden t sekunder. Använd digitalt verktyg och bestäm den lösning till differentialekvationen som uppfyller villkoren y(0) = 0,1 och y’(0) = 0.

Övningsblad 3:3

Facit

Differentialekvationer av andra ordningen 1 a) r2 + 4r + 2 = 0 b) r2 − 6r + 4 = 0

2 y = C1e2x + C2e−3x ger y’= 2C1e2x − 3C2e−3x och y’’ = 4C1e2x + 9C2e−3x, vilket ger:

VL = y’’ + y’ – 6y = 4C1e2x + 9C2e−3x + + 2C1e2x − 3C2e−3x − 6(C1e2x + C2e−3x) = = 4C1e2x + 9C2e−3x + 2C1e2x − 3C2e−3x − − 6C1e2x − 6C2e−3x = 0 = HL v.s.v.

3 a) y = C1e−4x + C2e−5x b) y = ex(C1 cos x + C2 sin x)

4 a) r2 + 4r + 8 = 0 b) y = e−2x(C1 cos 2x + C2 sin 2x) c) y = 2e−2x sin 2x

5 a) yp’ = 6 och yp’’ = 0 ger

VL = yp’’ + yp’ – 3yp = 0 + 6 – 3(6x + 1) = = 6 – 18x – 3 = 3 – 18x = HL v.s.v.

b) yp’ = 2x och yp’’ = 2 ger VL = yp’’ – 4yp = 2 – 4(x2 – 4) = = 2 – 4x2 + 16 = 18 – 4x2 = HL v.s.v.

matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

x 2

19 8

15 8

6 y = x2 – __     +  ___  −  ___  e−4x 7 Den allmänna lösningen till differential

ekvationen N’’ – 2N’ + N = 0 ges av Nh(t) = Ctet + Det = et(Ct + D). Vi ansätter sedan partikulärlösningen Np = 2t – 3 och får Np’ = 2 och Np’’ = 0 vilket ger VL = 0 – 2 ∙ 2 + 2t – 3 = 2t – 7 = HL. Partikulärlösningen är alltså Np = 2t – 3 och den allmänna lösningen till differentialekva tionen blir N(t) = Nh + Np = = 2t – 3 + et(Ct + D) v.s.v.

__ __ 8 a) y = C1 cos 2√2  t + C2 sin 2√2  t __ b) y = 0,05 cos 2√2  t t sin 2t 80

cos 2t 10

9 y = _______     + ______    

Övningsblad 4:2

Kombinatoriska problem SIDA 2 AV 3

5 Bobby har placerat en pjäs på fältet A1 nere

i vänstra hörnet på schackbrädet. Nu undrar han på hur många olika sätt man kan flytta pjäsen till fältet H8 i övre högra hörnet. Man får endast flytta pjäsen ett steg åt gången, antingen åt höger eller framåt på brädet.

6 Spelet Lotto går ut på att tippa vilka 7 num-

mer från 1 till 35 som dras fram som vinnande rad. De sju numren dras utan hänsyn till ordning och varje nummer förekommer bara en gång. a) Hur många olika Lottorader finns det? b) Hur stor är sannolikheten att vinna på Lotto? c) Tänk dig att man i stället tippar 8 nummer från 1 till 35. Hur många olika Lottorader finns det då? d) Tänk dig en variant av lotto där man tippar 8 nummer från 1 till n. Vilket är det största värde på n som gör att chansen att få alla rätt är större än i vanlig Lotto?

7 På hur många olika sätt kan tio bollar

fördelas i fyra krukor, om

a) både krukorna och bollarna är olika b) krukorna är olika, men bollarna är i dentiska.

En tänkbar väg i Bobbys variant.

a) Hjälp Bobby att lösa problemet. b) Magnus kommer på en variant av problemet, där det också är tillåtet att flytta pjäsen ett steg diagonalt framåt åt höger. På hur många sätt kan man då flytta pjäsen från A1 till H8?

Nivå 3 8 På midsommarafton har familjen Tais en täv-

ling, där det går ut på att kasta ner tio burkar (se figur). Burkarna måste kastas ner en och en, vilket innebär att man varje gång behöver träffa burken högst upp i en stapel. I hur många olika ordningsföljder kan man kasta ner burkarna?

9 Lös ekvationen

Två möjliga vägar i Magnus variant.

a) P(x, 2) = 30 b) P(7, x) = 210 c) P(x, 3) = 720 d) 3 ∙ P(x, 2) = P(x, 3)

Övningsblad 4:2

Kombinatoriska problem SIDA 3 AV 3

Tips

7 a) Kan ses som ett fall med repetition och

4 Här gäller det att inse att antalet palindromer

är samma som antalet permutationer av första halvan av ordet, bokstaven i mitten borträknad om det är udda antal bokstäver. Ett tips för att komma på det knepet kan vara att ställa frågan hur många palindromer man kan skriva av ABBA, ABCCBA och ABBBBA. Här kan eleven lista upp alla varianterna och därmed inse att det har med permutationer att göra.

5 a) Ett möjligt tips är att tänka på hur många

förflyttningar som behövs åt höger respektive framåt. Eller påpeka att HHHHHHHFFFFFFF, dvs. sju steg åt höger följt av sju steg framåt, är en möjlig lösning och ställa frågan hur man hittar resten.

b) En svårighet här kan vara att inse att en flyttning diagonalt reducerar antalet förflyttningar med ett. Så ett tips kan vara att ställa frågan hur många förflyttningar det totalt blir om man tar ett steg diagonalt. Hur många förflyttningar blir det om man väljer att ta två steg diagonalt? Etc. Det gäller också att tänka på att det blir åtta olika varianter här, beroende på hur många steg man går diagonalt (0–7 steg).

med hänsyn till ordning.

b) Kan ses som ett fall med repetition men utan hänsyn till ordning.

8 Svårigheten är nog främst att komma på vilken kombinatorisk modell man kan använda. Ett tips kan vara att se på ett lättare fall, där man kan lista samtliga möjligheter, t.ex. ta bort stapel A.

En möjlig lösning är att se detta som antalet permutationer av AAAABBBCCD. Den första av en viss sorts bokstav representerar då den översta burken.

9 Man kan lösa a) genom att skriva VL i formen x(x − 1) och därefter lösa en andragradsekvation. På motsvarande sätt kan man lösa c) med en tredjegradsekvation och ett digitalt hjälpmedel.

Övningsblad 4:2

Facit

Kombinatoriska problem

( ) 4! 2! 2!

1 a) 6 ord   _____

5 a) 3 432 vägar (om H är ett steg åt höger och

b) TOVE består av fyra olika bokstäver, medan KAKA har två K och två A. Eftersom varje K och varje A kan byta plats i alla ord så har vi två möjliga placeringar för dessa bokstäver som fortfarande ger samma ord. Vi måste därför dela med 2 för var och en av bokstäverna och då blir resultatet 6 ord för KAKA, när det är 24 ord för TOVE.

(

7! c) 420 ord _____     eftersom KAKADUA har 3! 2!

)

tre A och två K

(

6 a) 6 724 520 st (C(35, 7))

)

11! d) 831 600 ord   _________      3! 2! 2! 2!

1 b) __________  per spelad rad 6 724 520 c) 23 535 820 st (C(35, 8))

2 325 ord

(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

  5      5! +   5      4! +   5      3! +   5      2! +   5      1! 5 4 3 2 1

3 Cirka 0,87

(( )

( )

)

+ 0,8710

d) 2

d) n = 30 (lös olikheten C(n, 8) < 6 724 520, där n är ett naturligt tal)

7 a) 1 048 576 (410)

  10      ∙ 0,878 ∙ 0,132 +   10      ∙ 0,879 ∙ 0,13 + 8 9

4 a) 2

F är ett steg framåt, så söker vi samtliga permutationer av sju H och sju F, som vi 14! finner genom   _____  ) 7! 7! b) 48 639 (Förutom vägarna i deluppgift a) så tillkommer olika varianter beroende på hur många gånger man väljer att gå diagonalt, dvs. 1–7 gånger. T.ex. gäller att för fem diagonala steg så blir det alla permutationer 9! av fem D, två H och två F, dvs.  _______  .) 5! 2! 2!

(

)

− 1   b) 286   10 + 4   10

(

10! 4! 3! 2! 1!

)

8 12 600 sätt   _________      b) 120 (5!)

c) 1

e) 12

f) 2

g) Det finns ett udda antal av både R och E. Man kan ha udda antal av högst en sorts bokstav och då måste en av dessa stå i mitten av ordet. h) Säg att vi har 2a1 st av bokstav 1, 2a2 av bokstav 2, etc. upp till 2an av bokstav n. Då ser vi på hur många permutationer man kan bilda av halva antalet bokstäver, (a1 + … + an)! dvs.  ____________      . Om vi skulle ha udda a1! ∙ … ∙ an! antal av en bokstav, säg bokstav n, så kan vi skriva det antalet som 2an + 1 och använda samma formel.

9 a) x = 6 (lös ekvationen x(x − 1) = 30) 7! b) x = 3 (lös ekvationen  _______  = 210) (7 − x)! 10! c) x = 10 (utnyttja t.ex. att  ____ = 720 eller 7! att VL = x(x − 1)(x − 2) och att primfaktoriseringen av HL är 24 ∙ 32 ∙ 5 = 10 ∙ 9 ∙ 8) d) x = 5 (efter omskrivning kan man få t.ex. 3x(x − 1) = x(x − 1)(x − 2) och därefter inse att x − 2 = 3)

Aktivitet 4:1

Vart tog den stygga lilla loppan vägen? SIDA 1 AV 3

Tänk dig att en loppa står mitt på en planka. I båda ändarna av plankan gömmer sig en groda som äter upp loppan om den hoppar dit. Från mitten av plankan till änden är det n stycken hopp, där n � Z+ (n är ett positivt heltal). Loppan hoppar slumpvis åt vänster eller höger och sannolikheten 1 för respektive riktning är  __ . För varje hopp är det alltså lika sannolikt att 2 loppan hoppar åt vänster som åt höger.

n=2

n=5

I den här aktiviteten ska du föra kombinatoriska resonemang om hur stor den teoretiska sannolikheten är att någon av grodorna fångar loppan efter s hopp, för olika värden på n. Du ska också få köra en programkod som simulerar en loppa som hoppar och jämföra resultaten med de teoretiska sannolikheterna.

1 Vi börjar med en planka där n = 1. Hur stor är sannolikheten att loppan blir fångad av någon av grodorna efter a) ett hopp b) två hopp c) fler än två hopp

2 Nu låter vi n = 2. Hur stor är sannolikheten att loppan blir fångad av någon av grodorna efter a) ett hopp

b) två hopp

c) tre hopp

d) fyra hopp

e) fem hopp

f ) sex hopp

g) Ställ upp en hypotes för hur stor sannolikheten är att loppan ska bli fångad efter s hopp, där s ≤ 6. Konstruera en formel som beskriver din hypotes. Gäller formeln även för s > 6?

Aktivitet 4:1

Vart tog den stygga lilla loppan vägen? SIDA 2 AV 3

Du ska nu få simulera den här övningen i ett program i Python. Här nedanför finns en kod som du kan utgå ifrån. När du kör den koden ska du ange värdet på n samt hur många simuleringar du vill köra.

Om programmeringskoden kopieras direkt från skärm och klistras in i t.ex. Replit, behöver indrag av rader göras manuellt.

import random def hopp(): return random.choice(['höger', 'vänster']) planklängd = int(input("Vad är värdet på n?")) antal_försök = int(input("Hur många försök vill du göra?")) summa = 0 fångad = 0 flykt = 0 antal_hopp = 0 äten = False frekvens = [] for x in range(antal_försök): while äten != True: resultat = hopp() antal_hopp += 1 if resultat == 'höger': summa += 1 else: summa -= 1 if abs(summa) == planklängd: fångad += 1 äten = True frekvens.append(antal_hopp) antal_hopp = 0 summa = 0 fångad = 0 flykt = 0 äten = False frekvens.sort() print('Antal hopp \t Frekvens \t\t Relativ frekvens') while len(frekvens) != 0: freq = frekvens.count(frekvens[0]) print(frekvens[0], '\t\t\t', freq,'\t\t\t', round(freq/antal_försök,3)) for x in range(freq): frekvens.remove(frekvens[0])

3 Gör en simulering för n = 2. a) Notera de relativa frekvenserna i utfallet för s = 1 till och med s = 6. b) Reflektera över hur väl sannolikheterna du beräknade i uppgift 2 stämmer överens med utfallet i simuleringen. c) Hur väl stämmer din hypotes från uppgift 2 g) överens med utfallet i simuleringen? Om du bedömer det som lämpligt kan du göra fler simuleringar och därefter modifiera din hypotes så att den stäm mer bättre. matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna

Aktivitet 4:1

Lärarhandledning

Vart tog den stygga lilla loppan vägen? SIDA 1 AV 3

Syfte

Det här är en utmanande aktivitet, som involverar både kombinatorik, sannolikhet och programme ring. Aktiviteten har också stort fokus på under sökande arbetssätt.

Materiel

Dator med möjlighet att köra kod i Python samt aktivitetsblad Vart tog den stygga lilla loppan vägen?.

Genomförande

Aktiviteten passar bäst att genomföra i par eller grupper, eftersom det är en krävande aktivitet. De teoretiska härledningarna kräver systematiskt resonemang och noggrannhet, och att komma fram till en formel kan vara en utmaning framför allt för n = 3. Det krävs dock ingen nämnvärd pro grammeringskunskap, eftersom man kan använda programkoden som är angiven i aktiviteten. Hur många simuleringar man ska köra för varje värde på n beror delvis på vilken hård- och mjuk vara eleverna använder. Det är bra om man kan köra minst 100 000 simuleringar, men gärna fler. I uppgift 4 är det viktigt att eleverna inser att de först ska finna de teoretiska sannolikheterna. Det kan vara bra att uppmärksamma dem på det, eftersom de precis har genomfört simuleringar i uppgift 3. Simuleringar för n = 3 kommer först i uppgift 4 f ). När eleverna ska finna de teoretiska sannolikhe terna för n = 2, kan det vara svårt att inse hur man bör tänka. För s = 2 gäller att loppan måste

hoppa två gånger i rad åt samma håll, antingen åt vänster eller åt höger. Om eleverna har svårt att komma in i uppgiften, kan man tipsa om att börja med att räkna ut sannolikheten för att loppan hoppar ut åt höger efter två hopp. För s = 4 blir det ännu mer avancerat. Man kan ge stöttande frågor som t.ex. u Hur många gånger ska loppan hoppa åt vänster,

för att bli fångad av grodan till höger efter fyra hopp när n = 2? u Hur många gånger ska loppan hoppa åt höger? u Hur många olika varianter finns det som gör

att loppan blir fångad till höger efter precis fyra hopp? u Hur stor är sannolikheten för att loppan blir

fångad till höger efter precis fyra hopp? I uppgift 4 e) ska eleverna finna en formel för sannolikheten att loppan blir uppäten efter s hopp när n = 3. Det är förmodligen en rejäl utmaning. Ett tips kan vara att sannolikheterna bildar en geometrisk talföljd. Man kan ställa frågor som t.ex. u Hur stor är sannolikheten för s = 3, dvs att

loppan blir uppäten efter tre hopp? u Hur stor är sannolikheten för s = 5? u Vilken är kvoten mellan dessa två sannolikheter? u Vilken är kvoten mellan sannolikheten för s = 7

och s = 5?

Aktivitet 4:1

Lärarhandledning

Vart tog den stygga lilla loppan vägen? SIDA 2 AV 3

9 d)  ___  64

Lösningar 1 a) 1

b) 0

c) 0

2 a) 0 1 b)  __  2 Kommentar: Det finns en variant åt varje håll, dvs. HH och VV, och sannolikheten 1 2 för var och en av dem är     __     . 2

()

c) 0 1 d)  __  4 Kommentar: Det finns två varianter åt varje håll. Åt höger är dessa VHHH och HVHH och sannolikheten för var och en av dem 1 4 är     __     . 2

()

e) 0 1 f )  __  8 Kommentar: Det finns fyra varianter åt varje håll. Åt höger är dessa VHVHHH, VHHVHH, HVVHHH och HVHVHH. Sannolikheten 1 6 för var och en av dem är     __     . 2

() ( __ ) ( __ ) _s

1 s 1  2  g) P(s) = 2 ∙ 2 2 ∙           =           2 2 för s = 2, 4, 6, …; P(s) = 0 för s = 1, 3, 5, … _  s  – 1

Kommentar: Det finns nio varianter åt varje håll. Åt höger är dessa VVHHHHH, VHVHHHH, VHHVHHH, VHHHVHH, HVVHHHH, HVHVHHH, HVHHVHH, HHVVHHH och HHVHVHH. Sannolikheten 1 7 för var och en av dem är     __     . 2

()

____   s −2 3 s–3 ___ 1 e) P(s) = 2 ∙ 3  2  ∙     __     = _____   3   s

2 2s − 1 för s = 3, 5, 7, … och P(s) = 0 för s = 4, 6, 8, … samt för s < 3. 1 8

5 a)  __  Kommentar: Det finns en variant åt varje håll och sannolikheten för var och en av 1 4 dem är är     __     . 2 1 b)  __  8

()

Kommentar: Man kan inse att för bokstä verna VHHHHH finns det fyra permuta tioner som gör att loppan blir fångad till höger efter sex hopp, dvs. samtliga sex permutationer utom HHHHVH och HHHHHV som bägge gör att loppan blir uppäten redan efter fyra hopp. Därmed 1 6 blir det 2 ∙ 4 ∙     __     . 2

()

1 16

6 a)  ___ 

1 4

4 a)  __  Kommentar: Det finns en variant åt varje håll, HHH och VVV, och sannolikheten 1 3 för var och en av dem är     __     . 2

()

b) 0 3 c)  ___  16 Kommentar: Det finns tre varianter åt varje håll. Åt höger är dessa VHHHH, HVHHH och HHVHH. Sannolikheten för var och en 1 5 av dem är     __     . 2

()

Kommentar: Det finns en variant åt varje håll och sannolikheten för var och en av 1 5 dem är     __     . 2

()