9789152365380

vux

3b/3c

Prov, övningsblad och aktiviteter

SANOMA UTBILDNING

Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm

Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm

Hemsida: www.sanomautbildning.se

E-post: info@sanomautbildning.se

Order /Läromedelsinformation

Telefon 08-587 642 10

Redaktion: Emelie Reuterswärd

Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius

Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs

Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson.

Foton: Shutterstock

Matematik Origo 3b/3c vux, Prov övningsblad och aktiviteter

ISBN 978-91-523-6538-0

© 2023 Niclas Larson, Daniel Dufåker, Emelie Reuterswärd och Sanoma Utbildning AB, Stockholm

Andra upplagan

Kapitel 1

Rubrik

Övningsblad 1.1 Polynom

1.2 Förenkla och faktorisera 1

1.3 Förenkla och faktorisera 2*

1.4 Polynomekvationer 1

1.5 Polynomekvationer 2*

1.6 Grafen till en polynomfunktion 1

1.7 Grafen till en polynomfunktion 2*

1.8 Vilka är polynomfunktionerna? *

1.9 Bråkräkning

1.10 Förkorta rationella uttryck 1

1.11 Förkorta rationella uttryck 2*

1.12 Rationella uttryck och ekvationer*

1.13 Gränsvärden

1.14 Kontinuerliga funktioner

1.15 Repetitionsuppgifter Kapitel 1

Aktiviteter 1.1 Ebolautbrott

1.2 Designa en funktion

1.3 Speed-dejting med rationella uttryck

1.4 Vad kan du om algebraiska uttryck?

1.5 Programmering: Kvadratrötter 3b

1.6 Programmering: Viètes samband 3b

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2 3b

1 Prov Kapitel 1 och 2 3c

Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.

Övningsblad

Rubrik

2.1 Räta linjens ekvation

2.2 Ekvationssystem och system av olikheter 3b

2.3 Linjär optimering 3b

2.4 Sekanter och tangenter

2.5 Derivatans definition

2.6 Att använda derivata

2.7 Villkor för deriverbarhet 3b

2.8 Deriverbarhet och absolutbelopp 3c

2.9 Repetitionsuppgifter Kapitel 2

Aktiviteter

2.1 Numerisk derivering

2.2 Fylla kärl

Prov 1 Prov Kapitel 1 och 2 3b

1 Prov Kapitel 1 och 2 3c

Kapitel 3

Övningsblad

Rubrik

3.1 Potenser och rotuttryck

3.2 Deriveringsregler 1

3.3 Deriveringsregler 2*

3.4 Repetition av tiologaritmer

3.5 Naturliga logaritmer

3.6 Derivatans tillämpningar

3.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 3

Aktiviteter

3.1 Derivatan av x2

3.2 Ränta med e

3.3 Begreppsloop

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4 3b 2 Prov Kapitel 3 och 4 3c

Kapitel 4

Övningsblad

Rubrik

4.1 Derivatans nollställen

4.2 Teckentabell 1

4.3 Teckentabell 2

4.4 Största och minsta värde

4.5 Derivatans graf*

4.6 Andraderivata

4.7 Extremvärdesproblem*

4.8 Repetitionsuppgifter Kapitel 4

Aktiviteter

4.1 Folkmängden förändras

4.2 Memory med derivata

4.3 Vilken volym är störst?

4.4 Begreppskarta

Prov 2 Prov Kapitel 3 och 4 3b

2 Prov Kapitel 3 och 4 3c

Kapitel 5

Övningsblad

Rubrik

5.1 Primitiva funktioner 1

5.2 Primitiva funktioner 2

5.3 Primitiva funktioner 3

5.4 Arean under en kurva

5.5 Samband mellan derivata och integral 1

5.6 Samband mellan derivata och integral 2*

5.7 Arean av området mellan två kurvor

5.8 Tillämpningar av integraler* 3b

5.9 Tillämpningar av integraler* 3c

5.10 Repetitionsuppgifter Kapitel 5

Aktiviteter 5.1 Ginikoefficienter

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6 3b

3 Prov Kapitel 5 och 7 3c

Övningsblad

Rubrik

6.1 Talföljder och mönster

6.2 Geometriska talföljder

6.3 Geometrisk summa

6.4 Tillämpningar av talföljder och summor*

6.5 Repetitionsuppgifter Kapitel 6

Aktiviteter 6.1 Annuitet och nuvärde i kalkylprogram

6.2 Geometriska serier

6.3 Räkna med studielån

6.4 Antal foreller

6.5 Programmering: Geometrisk talföljd och summa

6.6 Programmering: Summor och gränsvärden

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 6

Övningsblad

Rubrik

7.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar

7.2 Enhetscirkeln

7.3 Trigonometriska ekvationer 1

7.4 Trigonometriska ekvationer 2*

7.5 Triangelsatserna 1

7.6 Triangelsatserna 2*

7.7 Repetitionsuppgifter Kapitel 6

Aktiviteter 7.1 Trigonometrisk tabell

7.2 Sinussatsen

7.3 Att mäta avstånd

7.4 Programmering: Buffons nålproblem

Prov 3 Prov Kapitel 5 och 7

Polynomekvationer 1

En andragradsekvation av formen x2 + px + q = 0 har rötterna

x1 = − p 2 + √ ( p 2 ) 2 − q och x2 = − p 2 − √ ( p 2 ) 2 − q

1 Lös andragradsekvationerna.

a) x2 + 6x − 7 = 0

b) x2 + 4,5x + 5 = 0

c) x2 = 4x + 4

d) 100x2 − 30x = −2

2 Lös ekvationerna.

a) x(x − 3) = 0

b) (x + 10)(x − 4) = 0

c) (x + 1)(x − √7 ) = 0

d) 2(x − 4)(2x + 1) = 0

3 Peter säger att 2x(x + 4) = 0 är en andragradsekvation och att (x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 är en tredjegradsekvation.

a) Har Peter rätt? Motivera ditt svar.

b) Lös de två ekvationerna.

4 Lös ekvationerna.

a) x(x − 12)(x − 15) = 0

b) 8(x + 1)(x − 2,5)(x − 13) = 0

c) 5x(3x + 1)(7 − x) = 0

5 Lös ekvationerna genom att först bryta ut x.

a) x3 − 4x = 0

b) x3 + 2x2 − 48x = 0

c) x3 = 8x2 − 16x

6 a) Visa att uttrycket x4 − 16x2 kan skrivas i faktorform x2(x + 4)(x − 4).

b) Lös ekvationen x4 − 16x2 = 0 genom att utnyttja ditt svar i a).

7 a) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 0 jämfört med (x + 2)(x − 4)(x − 5) = 10?

b) Varför är det lättare att lösa ekvationen (x + 4)(x − 3)(x − 9) = 0 jämfört med x3 − 8x2 − 21x + 108 = 0?

8 Låt p(x) = x4 + 10x4 − x2 − 10x

a) Visa att polynomet kan skrivas i formen x(x + 1)(x − 1)(x + 10).

b) Lös ekvationen p(x) = 0.

9 Lös tredjegradsekvationen x3 − 16x + 15 = 0 med grafritande hjälpmedel.

Polynomekvationer 1

1 a) x1 = 1; x2 = −7

b) x1 = −2,5; x2 = −2

c) x = −2 (dubbelrot)

d) x1 = 0,1; x2 = 0,2

2 a) x1 = 0; x2 = 3

b) x1 = −10; x2 = 4

c) x1 = −1; x2 = √7

d) x1 = 4; x2 = −0,5

3 a) Ja, för om man förenklar uttrycken i vänsterleden får man ett andragradsuttryck respektive ett tredjegradsuttryck.

b) Ekvationen 2x(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = 0 och x2 = −4. Ekvationen

(x + 1)(x − 1)(x + 4) = 0 har rötterna

x1 = −1, x2 = 1 och x3 = −4.

4 a) x1 = 0, x2 = 12 och x3 = 15

b) x1 = −1, x2 = 2,5 och x3 = 13

c) x1 = 0, x2 = − 1 3 och x3 = 7

5 a) x1 = 0, x2 = 2 och x3 = −2

Lösning: x3 − 4x = x(x2 − 4) = 0. Om produkten av två faktorer är noll, så måste någon av faktorerna vara noll. Detta ger

x1 = 0 eller

x2 − 4 = 0 som ger x2 = −2 och x3 = 2.

b) x1 = 0, x2 = 6 och x3 = −8

c) x1 = 0, x2,3 = 4 (dubbelrot)

6 a) x2(x + 4)(x − 4) = x2(x2 − 16) = x4 − 16x2 , v.s.v.

b) x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4

Lösning: x4 − 16x2 = 0 ⇔ x2(x + 4)(x − 4) = 0 som ger x1,2 = 0, x3 = 4 och x4 = −4.

7 a) Om produkten av ett antal faktorer är noll, så vet vi att någon av faktorerna måste vara noll. Om produkten av ett antal faktorer är 10, så kan vi inte med säkerhet säga något om värdet av de ingående faktorerna.

b) Det är lättare att lösa den första ekvationen eftersom den står i faktorform och högerledet är noll. Då vet vi att någon av faktorerna i vänsterledet måste vara noll. På så sätt kan vi finna lösningarna till ekvationen.

8 a) x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = = x(x2 − 1)(x + 10) = (x3 − x)(x + 10) = = x4 + 10x3 − x2 − 10x = p(x)

b) x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10

Lösning: p(x) = 0 ger x(x + 1)(x − 1)(x + 10) = 0 som ger x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1 och x4 = −10. 9

Derivatans definition

1 Låt f(x) = 5x2

a) Bestäm f(1) och f(1 + h)

b) Förenkla uttrycket f(1 + h) − f(1) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

d) Vad har du beräknat i c)?

2 Låt f(x) = x2 − 4.

a) Bestäm f(2) och f(2 + h).

b) Förenkla uttrycket f(2 + h) − f(2) h så långt som möjligt.

c) Bestäm lim h → 0 f(2 + h) − f(2) h

d) Vad är värdet av f’(2)?

3 Låt f(x) = −2x − 3

a) Bestäm lim h → 0 f(1 + h) − f(1) h

b) Bestäm lim h → 0 f(−3 + h) − f(−3) h

c) Jämför resultaten i uppgift a) och b) och förklara varför det blir så.

4 Bestäm f’(6) = lim h → 0 f(6 + h) − f(6) h för f(x) = x2 + 4x.

5 Låt y = 2x2 + x och beräkna kurvans lutning i den punkt där x = 3.

6 Bestäm f’(2) med hjälp av derivatans definition om f(x) = x3 + 3x − 1. Du kan ha nytta av att känna till att (2 + h)3 = 8 + 12h + 6h2 + h3

7 Visa med hjälp av derivatans definition att för f(x) = x2 + C har f’(−4) samma värde oavsett värdet på C

Derivatans definition

Tips

7 Teckna f’(−4) med hjälp av derivatans definition och förenkla. Vad händer med konstanten

C i beräkningarna?

Svar

1 a) f(1) = 5 och f(1 + h) = 5 + 10h + 5h2

b) 10 + 5h

c) 10

d) Derivatan för f i punkten där x = 1, dvs. f’(1).

Kommentar: Ett annat möjligt svar är att vi har beräknat riktningskoefficienten för tangenten till f i punkten (1, 5).

2 a) f(2) = 0 och f(2 + h) = h2 + 4h

b) h + 4

c) 4

d) f’(2) = 4

3 a) f’(1) = −2

b) f’(−3) = −2

c) f beskriver en rät linje med riktningskoefficient k = −2. Eftersom linjens lutning är konstant så är även derivatan lika för alla värden på x.

4 f’(6) = 16

5 y’(3) = 13

6 f’(2) = 15

Kommentar: f’(2) =

= lim h → 0 (2 + h)3 + 3(2 + h) − 1 − (23 + 3 · 2 − 1) h =

= lim h → 0 8 + 12h + 6h2 + h3 + 6 + 3h − 1 − 13 h =

= lim h → 0 h(15 + 6h + h2) h = lim h → 0 (15 + 6h + h2) = 15

7 f’(−4) = lim h → 0 f(−4 + h) − f(−4) h =

= lim h → 0 (−4 + h)2 + C) − ((−4)2 + C) h =

= lim h → 0 (16 − 8h + h2 + C) − (16 + C) h =

= lim h → 0

−8 + h2 h

I beräkningen ser vi att C i första respektive andra termen i täljaren tar ut varandra. Det ”finns inget C kvar” i uttrycket när man går vidare med beräkningen. Alltså är f’(−4) obe

roende av värdet på C

Geometrisk summa

Geometrisk summa

Den geometriska summan sn = a1 + a1 ∙ k + a1 ∙ k2 + … + a1 ∙ kn − 1

kan beräknas med formeln sn = a1(kn − 1) k − 1 (för k ≠ 1)

1 Ange kvoten och antalet termer i den geometriska summan

2 500 ∙ (1,027 − 1) 1,02 − 1

2 Avgör om summorna är geometriska summor.

a) 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 120

b) 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82

c) 3 ∙ 0,9810 + 3 ∙ 0,9811 + … + 3 ∙ 0,9850

3 Den geometriska summan:

3 + 6 + 12 + 24 + 48 kan skrivas

5 3 ∙ 2n − 1

n = 1

Skriv på samma sätt följande geometriska summor med hjälp av summatecknet ∑.

a) 3 + 3 ∙ 1,02 + 3 ∙ 1,022 + 3 ∙ 1,024 + + 3 ∙ 1,025

b) 10 ∙ 1,510 + 10 ∙ 1,511 + … + 10 ∙ 1,530

4 Uttrycket 3,3(2,15 − 1) 2,1 − 1 beskriver en geometrisk summa.

a) Hur många termer innehåller summan?

b) Teckna summan genom att skriva ut varje term.

c) Teckna summan genom att använda skrivsättet med ∑.

d) Beräkna summan.

5 Beräkna de geometriska summorna.

a) 4 + 4 ∙ 1,15 + … + 4 ∙ 1,1530

b) 53 ∙ 0,91 + 53 ∙ 0,912 + … + 53 ∙ 0,9135

c) (−1) + (−1)2 + … + (−1)70 000

d) 1 − 2 + 4 − 8 + 16 + … + 65 536

6 Beräkna de geometriska summorna

10 1,25m − 1

a) ∑ m = 1

100 5,2 · 1,04n − 1

b) ∑ n = 1

25 3 · (−1,18)k

c) ∑ k = 0

d) ∑ m = 11

20 1 50 · 0,955m

7 a) Ställ upp ett uttryck för den geometriska

b) Vad händer med värdet av summan när n → ∞?

Tips

5 d) När termernas tecken varierar är kvoten negativ.

Svar

1 Det är 7 termer i summan och kvoten är 1,02 dvs. n = 7 och k = 1,02.

2 a) Nej, kvoten mellan två på varandra följande termer är inte konstant. Kvoten mellan de två första termerna är 10/5 = 2, medan kvoten mellan de två sista termerna är 120/80 = 1,5.

b) Nej, kvoten mellan två på varandra följande termer är inte konstant.

c) Ja, kvoten mellan två på varandra följande termer är konstant (i det här fallet 0,98).

1 Använd enhetscirkeln här nedanför och bestäm

a) sin 30°

b) sin 120°

c) cos 60°

d) cos 245°

2 Använd enhetscirkeln och bestäm den eller de vinklar mellan 0° och 360° som uppfyller att sin v = −0,5.

3 Punkten P = (−0,6; −0,8) ligger på enhetscirkeln. Bestäm

a) sin v

b) cos v

c) tan v

4 Ange koordinaterna för den punkt på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln

a) 0°

b) 90°

c) 180°

d) 270°

e) 360°

5 Bestäm den vinkel mellan 0° och 360° som har visaren i samma läge som visaren till

a) −40°

b) 430°

c) 540°

6 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln

a) sin 90° + sin 270°

b) sin 90° − sin 270°

c) cos 0° + sin 90°

d) cos 180° − sin 90°

7 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln

a) sin 30° + sin 210°

b) sin 30° + sin 150°

c) cos 60° + sin 210°

d) cos 60° + sin 90°

8 Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta.

sin 3°, sin 93°, sin 183°, sin 272°

Enhetscirkeln

1 a) sin 30° = 0,5

b) sin 120° ≈ 0,85

c) cos 60° = 0,5

d) cos 245° ≈ −0,4

2 v = 210° och v = 330°

3 a) sin v = −0,8

b) cos v = −0,6

c) tan v = 4 3

4 a) (1, 0)

b) (0, 1)

c) (−1, 0)

d) (0, −1)

e) (1, 0)

5 a) 320°

b) 70°

c) 180°

6 a) 0

b) 2

c) 2

d) −2

7 a) 0

b) 1

c) 0

d) 1,5

8 sin 273°, sin 183°, sin 3°, sin 93°

Memory med derivata

Syfte och centralt innehåll

Den här aktiviteten syftar till att utveckla förståelsen för sambandet mellan funktionens graf och grafen till dess derivata.

Materiel

Färdigklippta lappar från stencil 1 och 2.

Genomförande

Dela in klassen i grupper om 2–3 elever och dela ut färdigklippta lappar från stencil 1 och 2. Lapparna sprids ut, med textsidan uppåt, på ett bord. Eleverna turas om att försöka para ihop varje funktionsgraf med grafen till dess derivata.

När en elev hittar ett par som hör ihop ska hon motivera sitt val för de andra i gruppen. Om de övriga eleverna godtar motiveringen får eleven ta de två lapparna och räkna dem som ett ”par”.

Sedan går turen över till nästa elev. Aktiviteten fortsätter tills alla lapparna har parats ihop, och den elev vinner som har samlat ihop flest ”par”.

Om en elev inte kan hitta två lappar som hör ihop säger eleven pass och turen går över. Vill man kunna använda spelet flera gånger kan det vara en god idé att laminera lapparna.

Utvidgning och variation

Om man vill kan låta eleverna spela det här spelet som ett riktigt memory, dvs. lägga lapparna upp och ner och låta eleverna vända på två lappar i taget och avgöra om de hör ihop. Då tar aktiviteten något längre tid.

På stencil 3 har vi lagt till lappar med funktionsuttrycken till funktionerna på stencil 1. Då kan aktiviteten även användas i kapitel 1 i samband med avsnittet om polynomfunktioner och nollställen.

En annan utvidgning är att låta eleverna finna funktionsuttrycket till respektive funktions derivata eller skissa grafen till funktionens andraderivata.

Att lyfta fram

Det är en god idé att följa upp aktiviteten tillsammans med eleverna och redovisa vad som är rätt svar. Det viktiga är att eleverna får formulera varför graferna hör ihop och att lägga vikt vid att de använder ett korrekt språkbruk.

Det gäller att eleverna förstår att positiva värden på derivatan motsvarar att funktionen är växande, medan negativa värden på derivatan motsvarar att funktionen är avtagande. I punkter där derivatan är noll har funktionen en vågrät tangent, och därmed t.ex. en maximi­, minimi­ eller terrasspunkt.

För polynomfunktionerna kan man också lyfta fram sambandet mellan graden för funktionen och graden för motsvarande derivatafunktion.

Derivatan till en andragradsfunktion är ju till exempel alltid en rät linje. Det sambandet kan användas för att snabbt avgöra om två grafer kan höra ihop.

En kritisk aspekt kan vara att eleverna i den ena grafen ska avläsa funktionsvärdena (derivatans graf), medan de i den andra ska fokusera på grafens lutning (funktionens graf).

Memory med derivata

Programmet här nedanför beräknar det n:te elementet i en geometrisk talföljd.

n = int(input("Ange elementets index n:")) print("Elementet med index", n, "i talföljden är", 5 * 2**(n - 1))

1 Ange talföljdens

a) första element

b) kvot

2 Ändra i programmet så att det skriver ut det n:te elementet i den geometriska talföljden

1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , …

3 Ändra programmet som du skrev i uppgift 2, så att det skriver ut de

a) 100 första elementen i talföljden

b) m första elementen i talföljden, där användaren matar in talet m

Om man adderar elementen i en geometrisk talföljd, får man en geometrisk summa.

4 Skriv ett program som adderar de m första termerna i den geometriska summan

1 + 1 3 + 1 9 + 1 27 + …

5 Undersök värdet av den geometriska summan i uppgift 4 för

m = 10, 20, 30, 40, …

a) Vilken slutsats drar du?

b) Bevisa din slutsats.

Syfte och centralt innehåll

Den här aktiviteten syftar till att fördjupa elevernas kunskaper om programmering, geometriska talföljder och summor.

För att aktiviteten ska vara lämplig att använda i Matematik Origo 3b, där eleverna inte tidigare har arbetat med programmering som problemlösningsverktyg i gymnasieskolan, har vi valt att presentera ett färdigt program som eleverna får modifiera och bygga vidare på.

Materiel

Dator med lämplig kompilator (t.ex. IDLE). Förslag på kod som presenteras här nedanför är gjord i Python 3.

Lämpliga förkunskaper i programmering

Det är en fördel om eleverna är bekanta med kommandona print och input() och att de känner till hur man skriver for­ satser.

Genomförande

Hur aktiviteten ska genomföras beror på elevernas förkunskaper i programmering. Här presenteras ett förslag på hur aktiviteten kan genomföras för elever som inte har så stor erfarenhet av programmering.

u Gå igenom koden som presenteras i aktivitetens inledning och diskutera vad varje rad i koden gör. Förklara kommandona print(), input() och int() och betydelsen av tecken som citattecken och kommatecken. Kör koden och diskutera den första uppgiften.

u Låt eleverna arbeta med aktiviteten två och två med en dator. Uppmana dem att låta den som känner sig minst van vid datorer och programmering sköta datorn. Är båda lika vana kan de turas om.

u När eleverna löser uppgift 3 behöver de använda sig av en for­ sats. Gå vid behov gemensamt igenom hur man använder for­ satser för att upprepa kod.

Lösning

1 a) 5 b) 2

2 Ändra uttrycket 5 * 2**(n - 1)

på sista raden i programmet till 1 * (1/3)**(n - 1).

3 a) for n in range (1, 101):

print(“Element", n, “är", 1 * (1/3)**(n - 1))

b) m = int(input("Ange m:"))

for n in range (1, m + 1):

print("Element", n, "är", 1 * (1/3)**(n - 1))

4 T.ex.

m = int(input(”Ange m:”))

summa = 0

for n in range (1, m + 1):

summa = summa + 1 * (1/3)**(n - 1)

print(summa)

Eller med listor:

m = int(input("Ange m:"))

lista = []

for n in range (1, m + 1):

lista.append(1 * (1/3)**(n - 1))

print(sum(lista))

5 a) Summan verkar konvergera mot 1,5.

b) Med formeln för geometrisk summa får vi:

Att lyfta fram

Aktiviteten ger möjlighet att introducera och befästa programmeringskommandon som print(), input(), int() och for­ satser.

Den geometriska summan i uppgift 5 närmar sig 3/2 när antalet termer ökar. Att serien konvergerar mot 3/2 kan eleverna bevisa med formeln för geometrisk summa och ett gränsvärdesresonemang. Det är värt att lyfta fram att programmet ger resultatet 1,5 redan för m = 40, men att serien i verkligheten aldrig når 1,5. Att programmet ändå ger svaret 1,5, beror på att det utför beräkningarna med begränsad noggrannhet.

Aktiviteten är ett exempel på hur programmering kan användas för att göra hypoteser som sedan bevisas matematiskt.

Utvidgning och variation

Elever som behöver extra utmaning kan få använda programmering för att undersöka konvergensen av andra serier, t.ex.

Eleverna kan också använda programmering för att beräkna element i aritmetiska talföljder, eller i talföljder som varken är geometriska eller aritmetiska, t.ex. Fibonaccis talföljd.

Aktiviteten kan även utvidgas till att lösa problem relaterade till annuitetslån. (Se aktiviteten Olika typer av lån)