matematik
vux 1b /1c
Prov, övningsblad och aktiviteter
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08-587 642 10
Redaktion: Emelie Reuterswärd Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson. Foton: Shutterstock
Matematik Origo 1b/1c vux, Prov övningsblad och aktiviteter ISBN 978-91-523-6428-4 © 2022 Niclas Larson, Daniel Dufåker, Attila Szabo, Gunilla Viklund och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan
1b/1c
Innehåll
Kapitel 1 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
1.1
Negativa tal
1.2
Bråkräkning 1
1.3
Bråkräkning 2
1.4
Decimalsystemet
1.5
Potenser 1: Potenser med positiva heltalsexponenter
1.6
Potenser 2: Negativa exponenter och exponenten 0
1.7
Potenser 3: Mer om potenslagarna*
1.8
Potenser 4: Potenser med rationella exponenter
1.9
Grundpotensform och prefix
1.10
Prioriteringsregler
1.11
Repetitionsuppgifter Kapitel 1
1.1
Luffarschack med negativa tal
1.2
Tärningsspel med bråk
1.3
Memory med tiopotenser och prefix
1.4
Memory med prioriteringsregler
1.5
Programmering: Gissa ett tal
1.6
Programmering: Kvadratrötter
1
Prov Kapitel 1 och 2
1b
1
Prov Kapitel 1 och 2
1c
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c 1c
Övningsbladen innehåller i regel uppgifter på en grundläggande nivå. Undantaget är övningsblad markerade med stjärna (*), som även innehåller svårare uppgifter.
1b/1c
Innehåll
Kapitel 2 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
2.1
Förenkla uttryck
2.2
Multiplicera ihop och förenkla 1
2.3
Multiplicera ihop och förenkla 2
2.4
Multiplicera ihop och förenkla 3*
2.5
Faktorisera uttryck
2.6
Mer om ekvationer
2.7
Ekvationer med nämnare*
2.8
Potensekvationer
2.9
Olikheter
2.10
Formler i kalkylblad
2.11
Repetitionsuppgifter Kapitel 2
2.1
Algebrakapplöpning
2.2
Skapa ekvationer
2.3
Gruppuppgift: Problemlösning med ekvationer
2.4
Korsord
2.5
Mönster
2.6
Polygontal
2.7
Grodfamiljer
2.8
Programmering: Fibonacci
1
Prov Kapitel 1 och 2
1b
1
Prov Kapitel 1 och 2
1c
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c
1b/1c
Innehåll
Kapitel 3 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
3.1
Procentomvandling
3.2
Procenträkning
3.3
Promille och ppm
3.4
Procentenheter
3.5
Förändringsfaktor
3.6
Upprepade procentuella förändringar
3.7
Räntor, lån och index
3.8
Räntor och lån
3.9
Repetitionsuppgifter Kapitel 3
3.1
Procenttävling
3.2
Memory med andelar
3.3
Tips för din grafritande räknare
3.4
Moms och pålägg
3.5
iPad-index
3.6
SMS-lån
3.7
Sparkapital
3.8
Programmering: Perfekta tal
1b
1c
1b
2
Prov Kapitel 3 och 4
1b
2
Prov Kapitel 3 och 4
1c
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c
1b/1c
Innehåll
Kapitel 4 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
4.1
Koordinatsystem
4.2
Linjära samband
4.3
Räta linjens ekvation 1
4.4
Räta linjens ekvation 2
4.5
Räta linjens ekvation 3
4.6
Problemlösning med räta linjer*
4.7
Funktionsbegreppet 1
4.8
Funktionsbegreppet 2
4.9
Funktionsbegreppet 3*
4.10
Grafritande hjälpmedel
4.11
Potens- och exponentialfunktioner
4.12
Repetitionsuppgifter Kapitel 4
4.1
Fjäderns förlängning
4.2
Para ihop
4.3
Räta linjer till attack
4.4
En linjär modell
4.5
The Frozen Code
4.6
Para ihop funktioner
2
Prov Kapitel 3 och 4
1b
2
Prov Kapitel 3 och 4
1c
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1b/1c
Innehåll
Kapitel 5 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
5.1
Statistiska undersökningar*
5.2
Korrelation och kausalitet
5.3
Den klassiska sannolikhetsdefinitionen
5.4
Tärningsdiagram
5.5
Sannolikhet för händelser i flera steg*
5.6
Sannolikhet och poker*
5.7
Komplementhändelse*
5.8
Repetitionsuppgifter Kapitel 5
5.1
Sveriges användning av olja
5.2
Fickpengar
5.3
Chokladkulor
5.4
Monty Hall-problemet
5.5
Programmering: Slumpförsök med tärningar
3
Prov Kapitel 5
3
Prov Kapitel 5 och 6
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1b 1c
1c
1b/1c
Innehåll
Kapitel 6 Rubrik Övningsblad
Aktiviteter
Prov
6.1
Trigonometri 1
6.2
Trigonometri 2*
6.3
Vektorer 1
6.4
Vektorer 2 – Vektorer i koordinatform
6.5
Repetitionsuppgifter Kapitel 6
6.1
Pythagoras sats
6.2
Geometri och astronomi
6.3
Programmering: Approximera pi
3
1c 1c
1c
1c
Prov Kapitel 5 och 6
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c
1c
1c 1c
1c
1b/1c
Övningsblad 1:8
Potenser 4 Potenser med rationella tal i exponenten 1 Beräkna utan digitalt verktyg. a)
91/2
b) 361/2
4 Vilka tal i rutan har samma värde?
___
√75
____
√100 751/3 ___
751/2
√75 10 0001/4 3
c) 641/3 d) (−1 000)1/3
2 Beräkna med digitalt verktyg. Avrunda till två decimaler. a) 3501/2 b) (−99)1/5 c) 71/4 d) 1001/10
3 Beräkna utan digitalt verktyg. a) 811/2 + 161/2 b) 271/3 + 641/3 c) (−27)1/3 + (−64)1/3 d) 161/4 + 491/2
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
5 Om man beräknar 10 0001/4 med ett digitalt
verktyg, så får man 10, men om man försöker beräkna (−10 000)1/4 med ett digitalt verktyg, får man ett felmeddelande. Varför är det så?
6 Beräkna utan digitalt verktyg. _______ √16 ∙ 25 a) _______ b) √49 ∙ 64 __
√____ √____
4 __ c) 9 d)
81 100
1b/1c
Övningsblad 1:8
Facit
Potenser 4 1 a) 3 b) 6 c) 4 d) −10
2 a) 18,71 b) −2,51
___ 4 √75 = 751/2 ___ 3 751/3 = √75 ____ √100 = 10 0001/4 5 10 0001/4 = 10 eftersom 104 = 10 000. Däre-
mot finns det inget reellt tal sådant att x4 = −10 000, för varje gång man upphöjer ett tal till en jämn exponent blir talet positivt.
c) 1,63 d) 1,58
6 a) 20 Kommentar: Vi utnyttjar att
3 a) 13
_______ ___ ___ √ 16 ∙ 25 = √ 16 ∙ √ 25 = 4 ∙ 5 = 20.
b) 7
b) 56
c) −7
2 c) __ 9
d) 9
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
9 d) ___ 10
1b/1c
Övningsblad 1:11
Repetitionsuppgifter kapitel 1 SIDA 1 AV 2
1 Temperaturen är −8 °C på natten och den stiger till 5 °C under dagen. Skriv ett uttryck för temperaturskillnaden och beräkna den.
2 Beräkna −8 b) 5 − ___ 2
a) −5 − 8 −63 c) _________ (−3) · (−7)
12 Skriv som en potens a) 25 ∙ 29
113 b) ____2 11
d) 23 ∙ 73
54 e) ___4 6
13 Skriv som en potens med basen 2. 29 b) ___ 64
a) 32
42 3 Skriv ___ i enklaste form.
14 Beräkna värdet av följande uttryck utan att
63
5 7 4 Finn ett bråk mellan __ och ___ 9
12
5 Beräkna och svara i bråkform 2 7 3 − __ + ___ 5 20
använda digitala hjälpmedel.
2 1 6 På en skola är __ av eleverna vegetarianer, ___ 9 12 veganer och resten äter kött. Hur stor andel av eleverna äter kött? 3 4 7 Hur mycket är __ av ___ ?
520 b) ___ + 52 518
a) 32 ∙ 23
15 Skriv följande tal utan att använda potenser. a) (52)0
8
c) (34)5
()
2 −1 c) __ 3
b) 4−3
16 Skriv som en potens med basen 5. 56 b) ___ 5−4
a) 5−3 · 59
17 Skriv talet 0,078
11
a) med hjälp av tiopotenser på två olika sätt
8 Beräkna 4 __
9 a) ____ 5 ___ 12
b) i grundpotensform
/
10 b) ___ 4 7
9 Skriv i decimalform
18 Bestäm utan digitalt hjälpmedel. _1
_1
a) 16 2
b) 8 3
19 Beräkna med digitalt hjälpmedel. Avrunda
a) fyra tiondelar
svaret till två decimaler.
b) sju hundradelar
a) (−2) 3
_1
c) två hela och fem tusendelar d) trettioen hundradelar 1 10 Ange ett närmevärde till __ 7
a) med två decimaler b) med fem värdesiffror
11 Beräkna och avrunda till lämpligt antal a) 54,867 m − 3,1 m b) 0,0345 cm · 4,6 cm matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
_1
b) (−2) 4
20 Beräkna utan digitalt hjälpmedel. _______ __ 1 __ a) (57) 14 ∙ √ 5 b) √16 ∙ 25 ____
√
36 c) ____ 121
21 Skriv med lämpligt prefix. a) 63 000 000 J
värdesiffror.
_2
c) 27 3
b) 43 000 000 000 000 Wh c) 0,007 g
1b/1c
Övningsblad 1:11
Repetitionsuppgifter kapitel 1 SIDA 2 AV 2
a) 4,57 MV (megavolt)
10 24 2 3 − 11 a) utan digitalt hjälpmedel
b) 16 kkr (kilokronor)
b) med digitalt hjälpmedel
22 Skriv utan prefix.
24 Beräkna 4 ∙ 32 − ___ + ______
c) 520 μm (mikrometer)
23 Fredrik cyklar 30,0 minuter med den genom-
snittliga hastigheten 4,8 m/s. Beräkna Fredriks genomsnittliga hastighet uttryckt i km/h. Ange resultatet med lämpligt antal värde siffror.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
25 Beräkna utan digitalt hjälpmedel _________ 7√14 − 2 ∙ 5
1b/1c
Övningsblad 1:11
Facit
Repetitionsuppgifter kapitel 1 1 Temperaturskillnaden är 13 °C. Exempel 1 s. 10
2 a) −13
b) 9
c) −3
2 3 Exempel 1 s. 13
3 __
1 b) ___ 64 Exempel 1 s. 30
3 c) __ 2
15 a) 1
16 a) 56
b) 510
Exempel 2 s. 30
41 72 Exempel 2 s. 13
5 9
7 12
4 ___ är ett bråk mellan __ och ___
17 a) 7,8 ∙ 10−2
b) 7,8 ∙ 10−2
78 ∙ 10−3 Exempel s. 31
59 20 Exempel s. 15
5 ___
18 a) 4
b) 2
c) 9
Exempel 1 s. 34
25 36 Exempel s. 16
6 ___ av eleverna äter kött.
19 a) 1,26
_1
b) (−2) 4 är inte definierat. Exempel 2 s. 34
3 22 Exempel 1 s. 18
7 ___
20 a) 5
b) 20
Exempel s. 35
16 15 Exempel 2 s. 18
5 b) ___ 14
8 a) ___
6 c) ___ 11
21 a) 63 MJ b) 43 TWh c) 7 mg
9 a) 0,4
Exempel 1 s. 38
b) 0,07
c) 2,005
d) 0,31
Exempel 1 s. 22
22 a) 4 570 000 V b) 16 000 kr
10 a) 0,14
b) 0,14286
c) 0,000 520 m Exempel 2 s. 38
Exempel 2 s. 22
11 a) 51,8 m
b) 0,16 cm2
23 Fredriks genomsnittliga hastighet är 17 km/h. Exempel 3 s. 38
Exempel 3 s. 22
d) 143
b) 50
Exempel 2 s. 27
Exempel 2 s. 10
12 a) 214
14 a) 72
c) 320
b) 11
()
4
5 e) __ 6
Exempel 1 s. 27 matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
Exempel 1 s. 42
25 14
Exempel s. 26
13 a) 25
24 a) 28
b) 23
Exempel 2 s. 42
b) Resultatet blir 28.
1b/1c
Övningsblad 3:6
Upprepade procentuella förändringar 1 Mohammed sätter in 10 000 kr på ett konto med räntan 1 %.
a) Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med 1 %? Hur mycket pengar har Mohammed på sitt konto efter b) ett år c) tre år
invånare förväntas minska med 2,5 % per år de närmaste åren. a) Hur många invånare har staden om fem år enligt prognosen? b) Med hur många procent har folkmängden totalt minskat under femårsperioden?
5 Under en fyraårsperiod ökar priset på villor
d) tio år
med 3 % per år.
2 Kerstin köper en båt för 250 000 kr. Enligt en
enkel modell minskar båtens värde med 15 % per år. Vilken eller vilka av beräkningarna visar båtens värde efter 3 år? A 250 000 ∙ 0,15 ∙ 3 B 250 000 − 250 000 ∙ 0,15 C 250 000 ∙
4 Staden Nyby har 1 400 invånare. Antalet
0,153
D 250 000 ∙ 0,853
3 En dator kostar 12 000 kr. Priset sänks först med 10 % och höjs därefter med 10 %.
a) Vilken av beräkningarna visar datorns pris efter de två prisförändringarna?
12 000 ∙ 0,9 ∙ 1,1 12 000 ∙ 0,1 ∙ 1,1 12 000 ∙ 0,9 ∙ 0,1 b) – Efter de två prisförändringarna kommer priset att vara 12 000 kr igen, säger Liselott. Har Liselott rätt? Motivera.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
a) Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med 3 %? b) Vad får man reda på om man beräknar 1,034?
6 Under en tioårsperiod minskar antalet turister i ett land med 1,5 % per år.
a) Vilken förändringsfaktor motsvarar en minskning med 1,5 %? b) Vad får man reda på om man beräknar 0,98510?
1b/1c
Övningsblad 3:6
Facit
Upprepade procentuella förändringar 1 a) 1,01
4 a) Ca 1 230 st (1233,5)
b) 10 100 kr
b) 12 % (11,9)
c) 10 303 kr
5 a) 1,03
d) 11 046 kr
2 D 250 000 ∙
0,853
3 a) 12 000 ∙ 0,9 ∙ 1,1 b) Liselott har fel. Efter de två prisförändring arna är priset 11 880 kr, dvs. lägre än utgångspriset. Det beror på att sänkningen med 10 % beräknades på 12 000 kr (och motsvarade 1 200 kr), medan höjningen med 10 % beräknades på det lägre priset 10 800 kr (och motsvarade 1 080 kr).
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
b) Man får reda på den totala förändrings faktorn som visar med hur många procent villapriset ökat totalt under fyraårs perioden.
6 a) 0,985 b) Man får reda på den totala förändrings faktorn som visar med hur många procent antalet turister minskat totalt under tioårs perioden.
1b
Övningsblad 3:7 3:1
Räntor, lån och index 1 Julianna har ett banklån på 850 000 kronor
där räntesatsen är 4,1 %. Hon behöver inte börja betala tillbaka lånet förrän om fem år. a) Hur mycket ska Julianna betala i ränta varje år?
5 Stapeldiagrammet visar prisutvecklingen för ett månadskort i kollektivtrafiken i Stock holm. Tabellen visar utvecklingen av KPI under samma period. 930
b) Hur mycket ska Julianna betala i ränta den första månaden?
790 600
2 Niklas lånade 25 000 kronor för att renovera
690
450
sitt kök. Efter ett år betalade han tillbaka lånet med 26 300 kr. Hur stor var årsräntesatsen?
3 Tabellen visar hur priset för en Bamsetidning
har förändrats sedan år 1980. En kolumn i tabellen visar också hur KPI förändrats under samma tidsperiod. År
Pris/tidning (kr)
Index KPI
1980
3,50
100
1990
9,00
207,8
2000
19,50
260,7
2010
25,00
303,46
2020
39,00
336
a) Gör en indextabell för priset för en Bamse tidning med år 1980 som basår. b) Med hur många procent har priset för en Bamsetidning ökat mellan år 2000 och 2020? c) Undersök om prisökningen för Bamse tidningen har följt KPI. Vilka slutsatser kan du dra?
4 Ett företag som ger SMS-lån har sina låne
villkor på sin hemsida. Lånevillkoren är sam manställda i tabellen här nedanför. Låna
Månadsränta i kr
500
129
1 000
245
5 000
850
År
KPI
2000
260,7
2005
280,4
2010
303,46
2015
313,35
2020
335,92
2000 2005 2010 2015 2020
a) Med hur många procent har priset för ett månadskort ökat mellan år 2000 och år 2020? b) Med hur många procent har den allmänna prisnivån i samhället ökat under samma period? c) Vad skulle ett månadskort ha kostat år 2020 om det följt KPI från år 2000 till år 2020?
6 Yngve sätter in 15 000 på ett bankkonto
1 januari år 2020 och låter sedan pengarna stå på kontot utan att röra dem. I januari år 2021 har Yngve 15 120 kronor på kontot. a) Hur stor var årsräntan i kronor? b) Hur stor var årsräntan i procent? c) Om Yngve låter pengarna vara kvar på kontot utan att röra dem, hur mycket har han då på kontot i januari år 2025?
7 Vad betyder det att amortera på ett lån? 8 Sanna och Lisa har lånat 240 000 kronor för
att köpa en lägenhet tillsammans. De räknar med att kunna amortera 1 200 kr per månad.
a) Hur stor är månadsräntan i procent om man lånar 500 kronor?
a) Hur lång tid kommer det att ta innan de har betalat tillbaka lånet?
b) Hur stor är årsräntan i procent om man lånar 500 kronor?
b) Hur mycket betalar de i ränta den första månaden om årsräntan är 2,75 %?
c) Hur mycket har du betalat totalt om du lånar 5 000 kronor och betalar tillbaka lånet efter 7 månader?
c) Kommer de att betala lika mycket i ränta den andra månaden? Motivera.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1b
Övningsblad 3:7 3:1
Facit
Räntor, lån och index 1 a) 34 850 kr
5 a) Priset har ökat med ungefär 107 %.
b) 2 904 kr
b) KPI har ökat med ungefär 29 %. c) Det hade kostat ungefär 580 kr.
2 5,2 % 3 a)
6 a) 120 kr År
Pris/tidning (kr)
Index
1980
3,50
100
1990
9,00
257
2000
19,50
557
2010
25,00
714
2020
39,0
1 114
b) 100 % c) Bamsetidningen har inte följt KPI. Den allmänna prisnivån (KPI) har lite mer än tredubblats sedan 1980 medan priset för en bamsetidning lite mer än elvadubblats.
4 a) 25,8 % b) 310 % (309,6) c) 10 950 kr
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
b) 0,8 % c) 15 610 kr
7 Att amortera betyder att man betalar tillbaka på sin skuld (sitt lån).
8 a) 200 månader, dvs. 16 år och 8 månader b) 550 kr c) Nej, för då beräknas räntan utifrån den kvarvarande delen av skulden, dvs. på det lägre beloppet 240 000 − 1 200 = 238 800 kr.
1c
Övningsblad 3:8
Räntor och lån 1 Julianna har ett banklån på 850 000 kronor
där räntesatsen är 4,1 %. Hon behöver inte börja betala tillbaka lånet förrän om fem år. a) Hur mycket ska Julianna betala i ränta varje år? b) Hur mycket ska Julianna betala i ränta den första månaden?
2 Niklas lånade 25 000 kronor för att renovera
sitt kök. Efter ett år betalade han tillbaka lånet med 26 300 kr. Hur stor var årsräntesatsen?
3 Ett företag som ger SMS-lån har sina låne
villkor på sin hemsida. Lånevillkoren är sam manställda i tabellen här nedanför. Låna
Månadsränta i kr
500
129
1 000
245
5 000
850
a) Hur stor är månadsräntan i procent om man lånar 500 kronor? b) Hur stor är årsräntan i procent om man lånar 500 kronor? c) Hur mycket har du betalat totalt om du lånar 5 000 kronor och betalar tillbaka lånet efter 7 månader?
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
4 Yngve sätter in 15 000 på ett bankkonto
1 januari år 2020 och låter sedan pengarna stå på kontot utan att röra dem. I januari år 2021 har Yngve 15 120 kronor på kontot. a) Hur stor var årsräntan i kronor? b) Hur stor var årsräntan i procent? c) Om Yngve låter pengarna vara kvar på kontot utan att röra dem, hur mycket har han då på kontot i januari år 2025?
5 Vad betyder det att amortera på ett lån? 6 Sanna och Lisa har lånat 240 000 kronor för
att köpa en lägenhet tillsammans. De räknar med att kunna amortera 1 200 kr per månad. a) Hur lång tid kommer det att ta innan de har betalat tillbaka lånet? b) Hur mycket betalar de i ränta den första månaden om årsräntan är 2,75 %? c) Kommer de att betala lika mycket i ränta den andra månaden? Motivera.
1c
Övningsblad 3:8
Facit
Räntor och lån 1 a) 34 850 kr b) 2 904 kr
2 5,2 % 3 a) 25,8 % b) 310 % (309,6) c) 10 950 kr
4 a) 120 kr b) 0,8 % c) 15 610 kr
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
5 Att amortera betyder att man betalar tillbaka på sin skuld (sitt lån).
6 a) 200 månader, dvs. 16 år och 8 månader b) 550 kr c) Nej, för då beräknas räntan utifrån den kvarvarande delen av skulden, dvs. på det lägre beloppet 240 000 − 1 200 = 238 800 kr.
1c
Övningsblad 6:1
Trigonometri 1 1 Bestäm följande värden med hjälp av figuren a) tan v b) tan u
___
u
√65
c) sin v d) sin u
v
e) cos v
(cm) 4,0
7,0
7 Från fönstret till ett radiotorn ser man en räv under en vinkel av 72°. Radiotornets fönster är på en höjd av 138 m. Hur långt bort längs marken befinner sig räven från tornet?
72°
f ) cos u
2 Bestäm vinklarna u och v i triangeln i upp gift 1. Svara med en decimals noggrannhet.
3 Bestäm tan 55,8° både
med hjälp av räknaren och med hjälp av defini tionen. Jämför sedan resultaten.
(cm)
(cm) 25 55,8° 17
4 Bestäm x.
8 Bestäm vinkeln u med en decimal.
x a) tan 30° = __ 3
32 u 21
11 b) sin 45° = ___ x
9 Beräkna höjden och diagonalen i rektangeln. (cm)
2x c) cos 60° = ___ 15
5 Bestäm längden av sidorna x och y. x
10,0
24°
110
(cm) y
38,7°
10 Undersök med hjälp av din räknare om
tan 2v = 2 ∙ tan v genom att testa olika värden på v. Vilken slutsats kan du dra?
11 Rita en rätvinklig triangel med en vinkel v 6 Bestäm vinkeln v om a) tan v = 1,5 b) sin v = 0,5 c) cos v = 0,45
1 så att tan v = __ . 3
12 I en rätvinklig triangel är motstående katet sin v = ______________ hypotenusan Kan man rita en rätvinklig triangel så att sin v > 1? Motivera ditt svar.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c
Övningsblad 6:1
Facit
Trigonometri 1 4 7
6 a) v ≈ 56,3°
7 b) tan u = __
c) v ≈ 63,3°
1 a) tan v = __
b) v = 30°
4
4 c) sin v = ____ ___ √ 65
7 45 m
7 d) sin u = ____ ___ √ 65
8 u = 49,0°
7 e) cos v = ____ ___ √ 65
9 Höjden är 49 cm och diagonalen är 120 cm.
4 f ) cos u = ____ ___ √ 65
10 tan 2v ≠ 2 ∙ tan v
2 v = 29,7° och u = 60,3° 3 På räknaren: tan 55,8° ≈ 1,47 25 Enligt definitionen: ___ ≈ 1,47 17
4 a) x = 3 ∙ tan 30° ≈ 1,7 11 b) x = ______ ≈ 15,6 sin 45° 15 ∙ cos 60° c) x = __________ = 3,75 2
5 x = 8,0 cm, y = 12,8 cm
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
11
(cm) 3,0 v 9,0
12 Nej, hypotenusan är alltid längre än var och en av kateterna, så kvoten
motstående katet ______________ hypotenusan
är alltid mindre än 1, dvs. sin v < 1.
1b/1c
Aktivitet 2:1
Algebrakapplöpning SIDA 1 AV 4
Syfte och centralt innehåll
Aktiviteten Algebrakapplöpning är en klassisk övning som på ett lekfullt sätt tränar eleverna i att beräkna värdet av ett uttryck.
Materiel
Varje grupp behöver en spelplan, utskriven på A4eller A3-papper. Eleverna behöver två spelpjäser vardera, till exempel färgade gem eller lappar, och två tärningar i olika färger. Har man inte tärningar i olika färger, kan eleverna slå vardera tärningen på ett rött respektive ett vitt papper.
Genomförande
Eleverna arbetar två och två eller tre och tre. u
u
Den elev som börjar slår båda tärningarna. Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på den vita tärningen kallar vi för v. I alla rutor, utom i hörnen, står algebraiska uttryck. Eleven ska flytta sin pjäs lika många steg som tärningen visar. • Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen. • Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen, måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
u
I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser. Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
u
Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner.
Det kan vara bra att eleverna har papper och penna till hands för att kunna göra noteringar under spelets gång. För att eleverna ska förstå reglerna kan man inleda spelet med att varje elev bara har en spelpjäs.
Utvidgning och variation
På aktivitetsstencilerna som följer hittar du tre olika spelplaner, som spelas med en, två respektive tre tärningar. På så sätt kan du enkelt variera spelets svårighetsgrad. Ytterligare en möjlighet är att låta en av tärningarna representera negativa tal.
Att lyfta fram
Efter att eleverna har spelat spelet kan man gemensamt diskutera vad eleverna har lärt sig och vilka strategier de har använt. Uttrycken på spelplanen ger också möjlighet att diskutera algebraiska förenklingar, t.ex. att 5 − (v + r) = 5 − v − r r r och att __ + __ = r. Man kan också uppmärksamma 2 2 att talet (r − v)2 alltid är ett tal större än eller lika med 0.
1b/1c
Aktivitet 2:1
Algebrakapplöpning 1 SIDA 2 AV 4
Arbeta två och två eller tre och tre. Ni behöver två spelpjäser per spelare och två tärningar i olika färger, t.ex. en röd och en vit tärning. u
Den första spelaren slår båda tärningarna.
u
Värdet på den röda tärningen kallar vi för r och värdet på den vita tärningen kallar vi för v.
u
I alla rutor utom i hörnen står algebraiska uttryck. Spelaren ska flytta sin pjäs lika många steg som värdet av uttrycket visar. • Om uttryckets värde är negativt backar pjäsen. • Om pjäsen hamnar på någon av rutorna i hörnen måste den pjäsen flyttas tillbaka till Start.
u
I varje spelomgång flyttar spelaren en av sina pjäser. Spelaren väljer själv vilken pjäs som ska flyttas.
u
Den spelare som först får båda pjäserna i mål vinner.
START/MÅL
r−1
r+2
2r
3−r
−r
r
r−2
1+r
(r − 3)2
r−5
r−1
2r − 7
−2r
2(r − 1)
r+3
r r __ + __ 2 2 r
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
6−r
2r − r
r2 − 5
4−r
1b
Aktivitet 3:5 3:1
iPad-index Big Mac-index, som mäter köpkraften i ett land genom att jämföra vad McDonalds populära Big Mac-burgare kostar på olika platser i världen, har fått konkurrens. Nu får surfplattan iPad en liknande roll på den internationella valutamarknaden. En av Australiens största banker, the Commonwealth Bank, använder sig av iPad-index för att jämföra valutan och köpkraften i 46 länder världen över. Tabellen visar priserna i US-dollar på en iPad Air 256 GB i några olika länder i juli 2021. Land
Pris (US-dollar)
Mexico
1 119
Indien
1 082
Sverige
1 209
Danmark
1 194
Storbritannien
1 183
Japan
950
USA
963
Thailand
904
Australien
988
Källa: Business Insider Australia
a) Gör en indextabell som jämför priserna i Sverige med priserna i de övriga länderna. b) Hur många procent billigare är en iPad Air 256 GB i Indien jämfört med i Sverige? c) Hur många procent dyrare är en iPad Air 256 GB i Sverige jämfört med i USA? d) En iPad Air 256 GB kostade 1 209 dollar i Sverige. Det motsvarade 10 380 kronor. Hur många kronor skulle den ha kostat i Indien? e) Gör om din indextabell och använd i stället USA som basland. f ) Leta aktuella priser på några försäljningsställen i Sverige och gör en procentuell jämförelse med hjälp av en indextabell.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
Tips! Använd gärna ett kalkylprogram.
1b
Aktivitet 3:5 3:1
Facit
iPad-index a)
Land
Index
e)
Land
Pris (US-dollar)
Index
Mexico
92,6
Mexico
1 119
116
Indien
89,5
Indien
1 082
112
Sverige
1 209
126
Sverige
100
Danmark
98,8
Danmark
1 194
124
Storbritannien
97,8
Storbritannien
1 183
123
Japan
78,6
Japan
950
USA
79,7
USA
963
Thailand
74,8
Thailand
904
Australien
81,7
Australien
988
b) 10,5 % c) 25,5 % d) 9 290 kr
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
f) –
98,7 100 93,9 103
1b/1c
Aktivitet 5:3
Chokladkulor I den här aktiviteten får ni en påse med tio chokladkulor i olika färger. Er uppgift är att ta reda på hur många kulor det finns av varje färg. Men ni får inte kika i påsen! Det enda som är tillåtet är att (utan att titta) sticka ner en hand i påsen, ta upp en chokladkula, notera dess färg och lägga tillbaka den igen. Det får ni göra hur många gånger ni vill. Hur många kulor av varje färg finns det i påsen?
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1b/1c
Aktivitet 5:3
Lärarhandledning
Chokladkulor Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten får eleverna en ogenomskin lig påse eller behållare med tio chokladkulor i olika färger. Deras uppgift är att med hjälp av experiment – och utan att titta – bestämma hur många kulor det finns av varje färg. Aktiviteten anknyter till avsnittet i elevboken som handlar om hur man bestämmer sannolikheter med hjälp av experiment.
påsen, kan de sedan dra slutsatser om antalet kulor av varje färg. Har de exempelvis fått blå kulor i två tredjedelar av sina dragningar, så kan de anta att ungefär två tredjedelar (dvs. 6 eller 7) av kulorna i påsen är blå. Om inte alla elever kommer i gång, kan det vara nödvändigt att samla klassen för en gemensam diskussion kring hur man kan gå till väga. u
Om alla elever får påsar med precis samma innehåll, kan två elevpar samarbeta för att snabbare samla ihop tillräckligt mycket statistik för att kunna dra några slutsatser.
u
Sammanfatta elevernas slutsatser gemensamt i helklass. Hur många av varje färg tror grup perna att det finns i påsen? Hur säkra är de på sitt svar? Diskutera gärna med eleverna hur de skulle kunna bli ännu säkrare på sina förut sägelser. Ett sätt är att aggregera alla gruppernas resultat och beräkna den totala relativa frekven sen över det totala antalet försök. Den experi mentella sannolikheten närmar sig ju den teo retiska sannolikheten när antalet slumpförsök ökar. (Detta bygger dock på att alla grupperna har fått påsar med precis samma innehåll.) När klassen enats om en gemensam hypotes om antalet kulor av respektive färg i påsen, får elev erna hälla ut påsens innehåll och kontrollera svaret. Det brukar vara en uppskattad avslut ning att låta eleverna äta upp chokladkulorna!
Materiel
En ogenomskinlig påse med tio chokladkulor (m&m:s) till respektive grupp. Påsen kan exempel vis innehålla 1 gul, 3 röda och 6 blå chokladkulor. Det kan vara fördelaktigt för den efterföljande klassrumsdiskussionen att varje påse har precis samma innehåll.
Genomförande u
Dela in eleverna i par och dela ut en aktivitets stencil och en förberedd påse till varje par. Det kan vara en god idé att särskilt poängtera att eleverna inte får äta några godisar ur påsen – åtminstone inte förrän experimentet är över!
u
Gå igenom instruktionen gemensamt med elev erna. Uppgiften är att ta reda på hur många kulor av varje färg det finns i påsen, men de får inte tjuvkika. Det enda de får göra är att – utan att titta – ta upp en kula ur påsen, notera dess färg och lägga tillbaka den igen. Det får de göra hur många gånger de vill.
u
Låt eleverna fundera på hur de skulle kunna lösa uppgiften. Förhoppningsvis kommer de på att de kan föra statistik över sina dragningar och därigenom uppskatta sannolikheten att en chokladkula i påsen har en viss färg. Med hjälp av informationen om att det finns tio kulor i
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
Att lyfta fram
Diskutera i vilka sammanhang man behöver ta hjälp av experiment, statistik eller simulationer för att beräkna en sannolikhet, eftersom det inte är möjligt att bestämma sannolikheten teoretiskt.
1c
Aktivitet 1:6
Programmering: Kvadratrötter I den här aktiviteten får du skriva program som beräknar ett närmevärde till kvadratroten av ett positivt tal. För att beräkna ett närmevärde till kvadratroten ur 2 kan man först göra en gissning och därefter använda följande formel. 2 Gissning + _______ Gissning Nästa värde = ________________ 2 __ Nästa värde kommer att vara ett bättre närmevärde till √ 2 än gissningen. Genom att låta Nästa värde vara Gissning i formeln, får man ett ännu bättre närmevärde. Proceduren kan man sedan upprepa tills man får ett så bra __ värde på √ 2 som man önskar.
__ 1 Skriv ett program som beräknar ett närmevärde till √ 2 med hjälp av en gissning och formeln här ovanför.
2 Utgå från formeln__här ovanför och skriv ett program som beräknar ett närmevärde till √ . 3
__ 3 Skriv ett program som beräknar ett närmevärde till √ x , där x är ett tal som användaren matar in i programmet.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
1c
Aktivitet 1:6
Lärarhandledning
Programmering: Kvadratrötter SIDA 1 AV 2
Syfte och centralt innehåll
I den här aktiviteten får eleverna använda program mering för att numeriskt bestämma kvadratrötter. Eftersom uppgiften inte kräver så mycket kod, passar den bra för att introducera programmering. Programmen som eleverna skriver är rätt så enkla och det är lätt att jämföra resultaten med kända värden. Aktiviteten är lämplig att använda som en första programmeringsaktivitet i Matematik Origo 1c.
Materiel
Dator med lämplig kompilator (t.ex. IDLE). Förslag på kod som presenteras här nedanför är gjord i Python 3.
Lämpliga förkunskaper i programmering Eleverna bör känna till hur man skriver slingor med hjälp av for-satser.
Genomförande
Hur aktiviteten ska genomföras beror på elever nas förkunskaper i programmering. Här presente ras ett förslag på hur aktiviteten kan genomföras för elever som inte har så stor erfarenhet av pro grammering. u
Dela upp eleverna så att de arbetar två och två med en dator. Uppmana dem att låta den som känner sig minst van vid datorer och program mering sköta datorn. Är båda lika vana kan de turas om.
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
u
Eftersom uppgifterna kräver relativt lite kod kan det räcka med att påminna eleverna om hur man skriver for-satser, kanske genom att till sammans skriva ett program som skriver ut de 100 första positiva heltalen:
for n in range (1, 101): print (n) u
För att lösa uppgift 2, kan eleverna modifiera koden i uppgift 1 på lämpligt sätt. Det är lätt att tro att man kan ersätta talet 2 i koden med talet 3, men det är bara den övre 2:an i formeln som ska bytas ut mot en 3:a. För att kunna lösa upp giften, måste eleverna alltså först förstå hur programmet fungerar. Det kan vara klokt att gå igenom detta gemensamt i klassen efter att eleverna har arbetat med uppgift 1: Nästa värde är medelvärdet av två tal, där det __ √ 2 och det andra talet ena talet är större än __ __ är 2 , mindre än √ 2 . Om Gissning är större __ än __ √ √ √ 2 2 2 ∙ kommer nämligen ________ = ________ Gissning Gissning
__
att vara mindre än √ 2 . Omvänt gäller att om __ 2 Gissning är mindre än √ 2 , så är ________ Gissning
__
är rimligt att medelvärdet__av större än √2 . Det __ mindre än √ 2 , är ett tal större än √ 2 och ett tal __ √ en bättre approximation av 2 än den första Gissningen. På så sätt ger__iteration en bättre och bättre uppskattning av √ 2 .
1c
Aktivitet 1:6
Lärarhandledning
Programmering: Kvadratrötter SIDA 2 AV 2
Lösning 1 gissning = float(input("Gissa ett
värde på roten ur 2:")) #Vi låter användaren mata in ett decimaltal och sparar det som gissning for n in range(1, 15): nästavärde = (gissning + 2/gissning)/2 gissning = nästavärde #Vi döper om så att nästavärde blir gissning vid nästa iteration print(gissning) print(gissning, "är ett bra närmevärde till roten ur 2.")
Kommentar: Roten ur 2 är med 15 decima lers noggrannhet: 1,414213562373095.
2 gissning = float(input("Gissa ett värde på roten ur 3:")) for n in range(1, 15): nästavärde = (gissning + 3/gissning)/2 gissning = nästavärde print(gissning) print(gissning, "är ett bra närmevärde till roten ur 3.")
Kommentar: Roten ur 3 är med 15 decima lers noggrannhet: 1,732050807568877
3 x = float(input("Ange det tal x som du vill dra roten ur:"))
gissning = float(input("Gissa ett värde på roten ur x:")) for n in range(1, 15): nästavärde = (gissning + x/gissning)/2 gissning = nästavärde print(gissning) print(gissning, "är ett bra närmevärde till roten ur", x)
matematik origo © Sanoma Utbildning och författarna
Att lyfta fram
Låt gärna eleverna undersöka hur många iteratio ner som behöver göras för att få önskat antal kor rekta värdesiffror i svaret. Diskutera hur svaret beror på precisionen i den första gissningen. Lyft gärna fram att liknande algoritmer används i miniräknare och datorer för att beräkna närme värden till t.ex. kvadratroten ur två och kvadrat roten ur tre.
Utvidgning och variation
En utvidgning av aktiviteten är att ge eleverna föl jande kod och låta dem försöka lista ut vad pro grammet gör. Programmet utnyttjar en liknande strategi som den föregående algoritmen. I det här programmet får dock användaren göra två giss __ ningar: en gissning som är större än √ 2 och en __ gissning som är mindre än √ 2 , och programmet använder därefter intervallhalvering för att hitta __ 2 ett närmevärde till √ . print("Skriv ett tal som är större än roten ur 2.") gh = float(input()) #gh står för gissning_hög print("Skriv ett tal som är mindre än roten ur 2.") gl = float(input()) #gl står för gissning_låg m = (gh + gl)/2 #Den nya uppskattningen m är medelvärdet av de två gissningarna for x in range (0, 100): if m * m > 2: gh = m m = (m + gl)/2 print (m) else: gl = m m = (m + gh)/2 print (m)