9789151114309

Fysik 1b

impul s

LARS FRAENKEL DANIEL GOTTFRIDSSON ULF JONASSON

Innehåll

Förord 3

1. Vad är fysik? 6

1.1 Vad är då fysik? 7

Lite historia 7

Vad har fysiken uträttat? 8

1.2 Vad är vetenskap? 9

Naturvetenskapliga bevis 10

Vetenskaplig metod – ett exempel 11

Fysikaliska modeller 12

Vad är ljus? – en modell 12

Skidåkning – en modell 13

Fysiken och matematiken 14

2. Fysikens grunder 17

2.1 Måttenheter 18

Prefix 21

2.2 Medelhastighet 24

2.3 Densitet 26

2.4 Mätningar och experiment 29

Experimentellt arbete 30

2.5 Konsten att lösa uppgifter 36

Att lösa uppgifter 36

3. Rörelse 46

3.1 Medelhastighet och momentan hastighet 47

Hastighet som vektor 47

3.2 Sträcka-tid-diagram 52

3.3 Acceleration 58

Tyngdacceleration 59

3.4 Hastighet-tid-diagram 63

Sträckan ur ett v-t-diagram 65

3.5 Acceleration-tid-diagram 74

3.6 Rörelse med konstant acceleration 77

4. Kraft 90

Newtons kraftlagar 91

4.1 Newtons första lag 92

Krafter 92

Tröghetslagen 94

4.2 Newtons andra lag 100

4.3 Newtons tredje lag 105

4.4 Tyngdkraft 109

4.5 Normalkraft 114

4.6 Diverse krafter 119

Gravitationskraft 119

Kraftfält 120

Hookes lag 121

4.7 Friktion 127

4.8 Lutande plan 131

4.9 Kraftmoment och tyngdpunkt 136

Kraftmoment 136

Tyngdpunkt 139

5. Energi och rörelsemängd 158

5.1 Arbete och energi 159

Arbete 160

Olika former av energi 161

Lägesenergi 162

Mekanikens gyllene regel 163

5.2 Rörelseenergi och energiprincipen 168

Energiprincipen 169

5.3 Effekt och verkningsgrad 175

Effekt 175

Verkningsgrad 176

5.4 Rörelsemängd och impuls 180

5.5 Kollisioner 186

Rörelsemängdens bevarande 186

Elastiska och fullständigt oelastiska stötar 187

6. Tryck 200

6.1 Vad är tryck? 201

6.2 Vätsketryck och lufttryck 204

Hydrauliska system 204

Lufttryck 206

Blodtryck 209

6.3 Arkimedes princip 214

6.4 Allmänna gaslagen 220

7. Värme och temperatur 230

7.1 Värmeöverföring 231

Temperaturändring 233

7.2 Fasändringar 237

Smälta och stelna 238

Plasma 241

7.3 Temperaturändring hos gaser 247

8. Elektricitet 258

8.1 Laddning 259

Atomen 262

Influens 264

Coulombs lag 264

8.2 Elektriska kretsar 270

Ström 272

Spänning 273

Resistans 273

Ledare, isolatorer, halvledare och supraledare 275

8.3 Elektriska kopplingar 281

Kopplingsschema 281

Seriekoppling av resistorer 283

Parallellkoppling av resistorer 284

Inkoppling av ampere- och voltmetrar 285

Serie- och parallellkoppling av resistorer 285

Serie- och parallellkoppling av batterier 286

8.4 Polspänning och effektutveckling i resistor 294

Effektutveckling i en resistor 296

8.5 Elektriska fält 300

Faradays bur 301

Elektrisk fältstyrka 302

8.6 Potential 309

Potential i olika punkter 309

Potential i kretsar 310

9. Partikel- och kärnfysik 324

9.1 Standardmodellen 325

Partiklar 325

Massa-energi-ekvivalensen 325

Bindningsenergi 326

Higgsmekanismen 326

Materia 327

Tre familjer 329

Krafterna 330

Gravitation 330

Elektromagnetism 330

Svag växelverkan 330

Stark kärnkraft 331

9.2 Elektromagnetisk strålning 333

9.3 Isotoper och nuklider 336

Isotopanalys 337

9.4 Kärnreaktioner 340

α-sönderfall 342

β+ , β– och elektroninfångning 343

Nukleonemission 344

Spontan fission 345

9.5 Aktivitet och halveringstid 350

Aktivitet 350

Halveringstid 351

Datering 352

9.6 Strålning möter materia 357

Protoner och α-partiklar 358

β -partiklar 359

β+-partiklar 359

Detektorer 361

9.7 Stråldoser 364

Absorberad dos 364

Ekvivalent dos 365

Effektiv stråldos 365

Vår strålmiljö 366

9.8 Fusion och fission 370

Fission 370

Kärnvapen 371

Kärnkraft 371

Fusion 372

9.9 Medicinska metoder 376

Röntgen 376

PET 378

Facit 390

Register 426

2. Fysikens grunder

Hur gör man när man mäter längden på ett föremål?

Lena och Peter och deras klasskamrater har samlats på stranden för att spela fotboll. De använder sina väskor som målstolpar. De vill naturligtvis att båda målen ska vara lika stora. Lena mäter upp det ena målet. Hon ropar till Peter, som mäter upp det andra målet, att det ska vara 4 steg stort. Han ropar tillbaka och undrar hur stora steg han ska ta. Lena inser då att hon inte tar lika stora steg varje gång. Hon byter då mätmetod och säger att målet ska vara 12 skolängder stort. Peter som vet att hans fötter är väldigt stora skrattar glatt. Det är nog bäst att du mäter upp vårt mål också, säger han. Lena får då en idé. Hon tar en pinne och bryter av den så att den blir lika lång som sin sko. Sedan kastar hon över den till Peter. Hon har nu skapat en längdenhet baserad på sin sko och hon har spridit en kopia av längdenheten till Peter. Om Lena framåt kvällen ringer och ber Peter ta med ett rep som är 42 skolängder så vet Peter hur långt repet ska vara.

2.1 Måttenheter

Dagens enhetssystem föddes i samband med franska revolutionen i slutet av 1700-talet. Napoleon Bonapartes forskare mätte upp avståndet från ekvatorn till nordpolen och så bestämde man sig för att en meter skulle vara 1/10 000 000 av det avståndet. Man lät tillverka en metallstav som skulle förvaras i Paris med precis rätt längd. Snart upptäckte man att man mätt lite fel på jordens storlek så egentligen hade metern lite fel längd. Då bestämde man att det var bättre att fortsätta att låta metallstavens längd vara definitionen av en meter. Metern spreds i Frankrike och alla andra linjaler, tumstockar och måttband tillverkades som kopior av den längden eller som kopior av andra kopior.

I slutet av 1800-talet höll man en internationell kongress där ett 30-tal länder var representerade. Varje land fick sin egen meterstav och de var så exakt tillverkade att de bara skilde några miljondels meter i längd. Enhetssystemet med meter och kilogram kompletterades med ytterligare några enheter och utvecklades med tiden till Système International d’Unités (SI). I dagsläget är det bara USA, Myanmar och Liberia som inte officiellt använder SI-enheter. Men i vetenskapliga sammanhang används ofta SI-enheter även i dessa länder.

I många sammanhang var precisionen på någon miljondels millimeter tillräcklig. Men, när man mäter storleken på atomer, som är mindre än en miljondels millimeter, är det en klumpig procedur att behöva utgå från en meterstav i Paris, som dessutom ändrar längd med temperaturen. Idag har man därför valt att definiera längden 1 meter som den sträcka som ljuset tillryggalägger i vakuum under tiden 1/299 792 458 sekund. Detta kan man göra genom att man har bestämt hur lång en sekund är och man har bestämt att ljusets hastighet i vakuum är exakt 299 792 458 m/s. På så sätt kan man mäta sträckor mycket noggrant på laboratorier runt om i världen utan att behöva besöka Paris.

Metern spreds över Frankrike genom att man satte upp meterlinjaler på offentliga byggnader i städerna så att den som ville kunde skapa egna meterlinjaler.

Det här innebar ett helt nytt sätt att se på enheter. Istället för att bestämma att 1 meter är exakt som längden av staven så väljer man att låta ljushastigheten i vakuum ha det exakta värdet 299 792 458 m/s. Då kommer ljushastigheten i vakuum inte att förändras när vi blir bättre på att mäta utan istället kommer längden 1 meter att justeras. År 2019 enades man om att även de andra grundstorheterna i SI-systemet ska definieras på liknande sätt utifrån fasta värden för några grundläggande fysikaliska konstanter. Tyvärr gör det att enheterna får väldigt krångliga definitioner som är omöjliga att förstå innan man lärt sig mer fysik. Enheten 1 kilogram var ursprungligen definierad som vikten av 1 liter vatten. Det var lätt att förstå men det var för oprecist. Därför valde man istället att det skulle vara vikten av en kilogramprototyp som förvarades i Paris. Det var fortfarande lätt att förstå men opraktiskt då man var tvungen att åka och jämföra sin egen kg-vikt med den som fanns i Paris. Den nya definitionen som infördes 2019 utgår från det fasta värdet 6,62607015 ∙ 10−34 kg · m2/s på Plancks konstant. Eftersom en meter (1 m) och en sekund (1 s) redan är väldefinierade blir också ett kilogram (1 kg) väldefinierad. Tanken är att ett välutrustat laboratorium var som helst i världen ska kunna mäta upp 1 m, 1 kg och de andra storheterna.

Système International d’Unités (SI)

Det finns några grundläggande fysikaliska konstanter med definierade värden. Dessa används för att definiera enheterna i SI-systemet.

Elementarladdningen e = 1,602176634 ∙ 10–19 C

Plancks konstant h = 6,62607015 · 10–34 Js

Ljushastigheten i vakuum c = 299 792 458 m/s

Boltzmanns konstant k = 1,380649 · 10–23 J/K

Frekvens för den ostörda övergången för de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium-133

Δf Cs = 9 192 631 770 Hz

Avogadros tal N = 6,02214076 ∙ 1023

SI-enheterna infördes som svensk standard 1964, vilket bl.a. innebär att lagtexter om gränsvärden och andra storheter nästan alltid anges i SIenheter.

SI baseras på sju grundenheter som presenteras i tabellen på nästa sida. Utöver dessa finns en rad andra enheter som är härledda ur dessa sju grundenheter. De formler vi använder i det här läromedlet bygger på att man använder SI-enheter.

Fram till 2019 definierades ett kilogram av en vikt som förvarades i Paris.

Storhet Enhet

Benämning Beteckning Benämning Beteckning

Definition

tid t 1 sekund 1 s 1 sekund är värdet av 9 192 631 770 ΔfCs

Det innebär att 1 sekund är varaktigheten av 9 192 631 770 perioder av den strålning som motsvarar övergången för de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen cesium-133

längd l, s 1 meter 1 m

massa m 1 kilogram 1 kg

En meter är längden av den sträcka som ljuset tillryggalägger i vakuum under tiden 1/299 729 458 sekund

1 kilogram är värdet av 1,4755214 · 1040 · h · ΔfCs c2

elektrisk ström I 1 ampere 1 A 1 ampere är värdet av 6,789687 · 108 · e · ΔfCs

Detta innebär att 1 ampere är flödet av 1 1,602176634 ∙ 10–19 elementarladdningar/s

temperatur T 1 kelvin 1 K 1 kelvin är värdet av 2,2666653 · h · ΔfCs k

ljusstyrka I 1 candela 1 cd 1 candela är ljusstyrkan i en given riktning hos en monokromatisk strålning vars frekvens är 540 · 1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian.

substansmängd n 1 mol 1 mol 1 mol är antalet 6,02214076 · 1023 stycken.

Utöver dessa sju grundenheter finns det härledda enheter som också ingår i systemet. De har ofta fått namn efter fysiker som gjorde stora bidrag inom olika områden inom fysiken. T.ex. är enheten för kraft egentligen 1 kgm/s2 men vi kallar den för 1 newton. På samma sätt kallas enheten för energi 1 joule i stället för 1 kgm2/s2. Tanken är att du alltid ska använda grundläggande SI-enheter som kg, m/s, m3 när du sätter in storheter i formler. Då blir det alltid rätt. Ibland kan det fungera med timmar, km/h och liter men då måste du hålla reda på vilken enhet svaret får.

Fundera och diskutera

2.1 SI-enheter är ett bra exempel på hur standardisering kan underlätta spridande av kunskap och befrämja handel. Finns det fler fördelar med ett globalt enhetssystem? Finns det några nackdelar?

2.2 Finns det något föremål som vi vet exakt hur långt det är? Motivera.

Prefix

Förr i tiden hade man olika enheter för olika långa sträckor t.ex. tum, aln, famn, fjärdingsväg. Inom SI-systemet finns egentligen bara meter. Men för att slippa säga t.ex. 0,000034 meter så kompletteras SI-enheterna av ett system med prefix som t.ex. centi, deci och kilo. Fördelen med det systemet är att det är lätt att omvandla mellan olika enheter eftersom det baseras på basen 10. I tabellen kan du se alla prefix. Man försöker oftast välja prefix så att mätetalet hamnar mellan ett och tusen.

I SI-systemet klarar man lätt enhetsomvandlingar med vanlig huvudräkning. Det är bara tiopotenserna som ändras.

När vi omvandlar areor måste vi tänka på att enheten påverkar både längden och bredden. På en kvadratkilometer ryms det 1 000 rader med 1000 kvadratmeter i varje, dvs. totalt 1 000 000 m2 på varje km2. När vi skriver km2 så menar vi egentligen km · km = (km)2. Men det skriver vi normalt inte ut. Men när vi ska omvandla enheter så måste vi tänka på det. (1 km)2 = (1 000 m)2 = 1 000 000 m2

Motsvarande för volymer blir då naturligtvis att enheten upphöjs till 3 eftersom det blir lager på höjden också. När det gäller volymer så använder vi till vardags ofta enheten 1 liter. Det är ett annat mått för 1 dm3.

Prefix med basen tio

1024 yotta Y

1021 zetta Z

1018 exa E 1015 peta P 1012 tera T 109 giga G

mega M 103 kilo k 102 hekto h 101 deka da

10–1 deci d

10–2 centi c

10–3 milli m

10–6 mikro

10–9 nano n

10–12 piko p

10–15 femto f

10–18 atto a

10–21 zepto z

10–24 yokto y

dm3 = 1 000 cm3

Det är bra att lära sig prefixen utantill. Man kan ha nytta av att kunna prefixen resten av sitt liv. Det sparar tid och ofta när man stöter på dem är det i situationer när det inte passar att börja slå upp dess värde.

Exempel 2.1

Grundenheten för massa är 1 kg. Det innebär att vi ofta kommer att omvandla vikter till kg innan vi sätter in dem i våra formler. Omvandla 1,3 mg till enheten kg.

1,3 mg = 1,3 ∙ 10−3 g (Vi byter ut prefixet milli mot 10−3.)

1,3 ∙ 10−3 g = 1,3 ∙ 10−6 kg

När vi inför prefixet kilo gör vi enheten 1 000 gånger större. Då måste mätetalet bli 1 000 gånger mindre.

Svar: 1,3 ∙ 10−6 kg

Exempel 2.2

Sara har mätt avståndet till sin skola, vilket blev 1,24 kilometer. Hur många cm motsvarar det?

1,24 km motsvarar 1,24 · 103 m (vi byter ut prefixet kilo mot 103)

1,24 · 103 m = 1,24 · 105 cm

När vi inför prefixet centi gör vi enheten 100 gånger mindre. Då måste mätetalet bli 100 gånger större.

Svar: 1,24 · 105 cm

Exempel 2.3

Daniel mäter volymen av ett stort glas till 340 cm3.

a) Hur många dm3 motsvarar det?

b) Hur många liter motsvarar det?

På 1 dm går det 10 cm. Det innebär att på 1 dm3 går det 103 cm3.

Då gäller att 340 cm3 = 0,34 dm3

1 liter är samma sak som 1 dm3.

Svar: a) 0,34 dm3 b) 0,34 liter

Resultatet av en mätning anges alltid med mätetal och enhet.

När du gör enhetsomvandlingar är det alltid viktigt att försöka se situationen framför dig. Är det rimligt att ett glas rymmer 0,34 liter?

2.1 Uppgifter

201 Vad blir följande värden utan prefix?

a) 12 ms = s

b) 370 µm = m

c) 0,15 dm = m

d) 170 GW = W

e) 64 cm 2 = m 2

f) 123 km 3 = m 3

g) 23 Mm 2 = m 2

202 Omvandla till enheten inom parentes.

a) 13 Gm (Mm)

b) 4,5 ns (s)

c) 2,5 liter (cm 3)

d) 1,4 dm 2 (cm 2)

e) 0,76 km 2 (m 2)

f) 1,5 ∙ 10 −4 µm (pm)

g) 1 638 s (h)

h) 0,42 dl (m 3)

203 Ordna följande vikter så att den tyngsta kommer först.

a) 0,0015 ton b) 0,14 kg c) 963 g

d) 1,74 · 109 g e) 4,568 hg

204 Ordna följande areor så att den största arean kommer först.

a) 0,012 m 2 b) 1,4 dm 2 c) 135 cm 2

d) 1 894 mm 2 e) 1,4 · 10 –7 km 2

205 Ordna följande volymer så att den största volymen kommer först.

a) 0,012 m 3 b) 0,3 liter c) 135 cm 3

d) 18 940 mm 3 e) 1,5 cl f) 176 ml

206 Vilket eller vilka påståenden är sanna?

A) SI-enheten för tid är timmar.

B) 1 cl är samma sak som 10 cm 3 .

C) SI-enheten för massa är gram.

D) I bokens formler ska vi använda SI-enheter.

207 Para samman följande vikter med rätt föremål.

En mygga 9 ∙ 105 mg

Ett marsvin 4 ∙ 10 -5 kg

En katt 6 ∙ 10 4 hg

En ko 6 ∙ 1011 µg

En elefant 4 ∙ 10 -4 ton

3.2 Sträcka-tid-diagram

När man studerar en rörelse så sker det ofta genom att man mäter hur avståndet till föremålet förändras med tiden. Ofta använder man inte måttband utan avståndsmätare med pulsat ljud eller ljus, t.ex. ekolod och radar. De sänder iväg en kort ljud- eller ljuspuls och mäter sedan den tid det tar för ekot att komma tillbaka. Eftersom både ljud- och ljushastigheten är kända kan man enkelt beräkna avståndet till föremålet. Hur avståndet förändras med tiden redovisas sedan i ett sträcka-tid-diagram (s-t-diagram). Man kan då lätt få en överblick över rörelsen.

I ett s-t-diagram kan man naturligtvis avläsa sträckan vid olika tidpunkter. Men vi kan också beräkna hastigheten som kvoten mellan sträckan och tiden enligt v m = Δs Δt

I stället för sträcka-tiddiagram borde man skriva läge-tid-diagram eftersom det är hur föremålets läge i förhållande till en viss punkt förändras med tiden som diagrammet visar. Men traditionen är att kalla det för sträcka-tid-diagram så vi har valt att göra det.

hög hastighet

låg hastighet

står stilla

s (m) t (s)

backar med låg hastighet

Grafens lutning i s­t-diagrammet ovan motsvarar föremålets hastighet. När grafen lutar brant uppåt så rör det sig en lång sträcka på en kort tid. Då är hastigheten hög. När grafen inte lutar alls så betyder det att tiden går men föremålet flyttar sig inte. Då är hastigheten noll. Om grafen lutar neråt så innebär det att föremålet rör sig åt andra hållet.

Om grafen har konstant lutning i ett intervall kan man beräkna hastigheten enligt v = Δs Δt som i kommande figur.

Grafens lutning i ett s-t-diagram motsvarar hastigheten.

Om vi vill beräkna hastigheten i ett visst ögonblick och grafen inte har en konstant lutning i det området, får vi ändå försöka beräkna hur mycket grafen lutar i just den punkten. Vi gör det genom att dra en tangent och sedan beräknar vi tangentens lutning enligt figuren nedan. Tangenten ska luta på samma sätt som grafen gör i den punkten där vi vill bestämma hastigheten. Här bestäms hastigheten vid tiden t.

Att beräkna grafens lutning är detsamma som att beräkna riktningskoefficienten (k-värdet) för en linje.

Enheten för riktningskoefficienten är alltid y-axelns enhet delat med x-axelns enhet.

Exempel 3.3

Diagrammet visar rörelsen hos två löpare.

a) Hur långt försprång hade löpare A när mätningen började?

b) Vilken medelhastighet hade respektive löpare under mätningen?

c) Vilken medelhastighet hade löpare B under de två sista sekunderna?

d) Vilken löpare hade högst momentanhastighet vid tiden 4 sekunder?

Sträcka (m)

a) Vid tiden t = 0 s är löpare A 20 meter från nollpunkten medan löpare B är 5 meter bort. Det innebär att löpare A hade försprånget 20 m – 5 m =15 m.

Svar: Löpare A hade försprånget 15 meter.

b) Löpare A är 50 meter bort vid tiden 12 s. Då har han sprungit sträckan

ΔsA = s2 – s1 = 50 m – 20 m = 30 m, på tiden

Δt = t2 – t1 = 12 s – 0 s = 12 s.

Då blir medelhastigheten v m = Δs Δt = 30 12 m/s = 2,5 m/s

Löpare B är 55 meter bort vid tiden 12 s. Då har han sprungit sträckan

ΔsB = s2 – s1 = 55 m – 5 m = 50 m, på tiden Δt = t2 – t1 = 12 s – 0 s = 12 s

Då blir medelhastigheten v m = Δs Δt = 50 12 m/s = 4,2 m/s

Svar: Löpare A hade medelhastigheten 2,5 m/s och löpare B hade medelhastigheten 4,2 m/s.

c) Vi ser att löpare B är 55 meter bort hela tiden under de två sista sekunderna. Det innebär att han står stilla.

Svar: Löpare B har medelhastigheten 0 m/s under de sista två sekunderna.

d) Hastighet är ett mått på hur många meter man rör sig varje sekund. Det innebär att lutningen på en graf är ett mått på hastigheten. Ju brantare en graf är desto fler meter rör sig löparen per sekund. Vi ser att löpare B har högre momentanhastighet än löpare A eftersom hans graf lutar brantare vid tiden 4 sekunder.

Svar: Löpare B har högst momentanhastighet.

Exempel 3.4

Diagrammet visar rörelsen för en robot.

a) När rör sig roboten som snabbast?

b) När står roboten stilla?

c) När är robotens hastighet positiv?

(m) 4 2 0

a) När grafen är som brantast.

Svar: t = 0 s

b) När grafens lutning är noll.

Svar: t = 2 s och t = 7 s

c) När grafen lutar uppåt höger.

Svar: Mellan 2 s och 7 s

3.4 Hastighet-tid-diagram

Det finns några olika metoder för att mäta ett föremåls hastighet. En metod är att man mäter föremålets medelhastighet genom att mäta sträckan det förflyttat sig under en kort tid. Man kan också mäta hur snabbt ett hjul med en viss radie roterar. Den metoden används t.ex. till hastighetsmätare på cyklar och bilar.

Ofta är man intresserad av hur hastigheten förändras med tiden. Då presenteras mätningarna ofta i ett hastighet-tid-diagram (v-t-diagram).

I ett v­t-diagram kan man läsa av hastigheten vid olika tider. Men man kan också se hur föremålets hastighet förändras med tiden, dvs. hur föremålet accelererar.

v (m/s)

ingen acceleration liten acceleration större acceleration konstant hastighet

bromsar kraftigt stor negativ acceleration liten negativ acceleration

backar tillbaka

t (s)

När grafen inte lutar är hastigheten konstant och då är accelerationen noll. Om grafen lutar uppåt ökar hastigheten vilket innebär att föremålet accelererar. Ju brantare grafen lutar uppåt desto snabbare ökar hastigheten, accelerationen är större. Om grafen går under t-axeln så innebär det att hastigheten är negativ, föremålet rör sig åt andra hållet.

Grafens lutning i ett v-t-diagram motsvarar accelerationen.

Om grafen har konstant lutning i ett intervall kan man beräkna accelerationen enligt a = Δv Δt som i figuren nedan.

(m/s)

Ska accelerationen beräknas i ett visst ögonblick och grafen inte har en konstant lutning i det området får man dra en tangent i den punkten där accelerationen ska beräknas och sedan bestämma tangentens lutning (k-värde). Tangenten ska luta på samma sätt som grafen gör i den punkten. I figuren nedan bestäms accelerationen vid tiden t.

tangent

Grafens lutning i ett v­t­diagram motsvarar accelerationen.

Sträckan ur ett v-t-diagram

Man kan också beräkna sträckan ur ett v­t-diagram. Vi tittar på diagrammet till höger.

Sträckan är som alltid Δs = v m · Δt. Eftersom hastigheten här är konstant (v), kan vi skriva Δs = v ∙ Δt. Vi ser att sträckan motsvarar arean av en rektangel med höjden v och basen Δt. Vi tittar på ett annat exempel med en varierande hastighet.

Hastighet (m/s)

Här är medelhastigheten v m = 0 + v 2 = v 2 och Δt = t − 0 = t

Sträckan blir då Δs = v m · Δt = v 2 · Δt. Detta motsvarar arean av en triangel med höjden v och basen t. Det gäller generellt att arean mellan grafen och t-axeln i ett v­t­diagram motsvarar sträckan.

Om hastigheten är mer varierande kan det vara svårt att beräkna sträckan. Vi får då göra vårt bästa genom att dela in området i rektanglar eller trianglar och beräkna dessa var och en för sig, för att slutligen summera den sammanlagda sträckan.

Om hastigheten är negativ så innebär det att föremålet rör sig åt andra hållet. Då kommer sträckan också att räknas som negativ.

(m/s)

Sträcka framåt

∆s2

Sträcka bakåt

Arean under grafen i ett hastighet­tid­diagram anger sträckan. Om arean är över tidsaxeln blir sträckan positiv och om den är under tidsaxeln blir den negativ.

Hastighet (m/s)

Arean mellan grafen och t-axeln i ett v-t-diagram motsvarar sträckan.

Exempel 3.7

I diagrammet kan man se hur Filippas hastighet förändras när hon är ute och cyklar. Använd diagrammet för att svara på följande frågor.

a) Vilken medelacceleration har Filippa mellan 0 s och 2 s?

b) Vilken medelacceleration har Filippa mellan 2 s och 6 s?

c) Vilken medelacceleration har Filippa mellan 6 s och 10 s?

d) Beskriv hela rörelsen med ord.

a) Vi ser att hastigheten är 5 m/s under hela intervallet. Det innebär att accelerationen är noll.

Svar: Medelaccelerationen är 0 m/s2.

b) Mellan 2 s och 6 s ökar hastigheten från 5 m/s till 15 m/s. Det ger medelaccelerationen. a

= 15 – 5 6 – 2 m/s2 = 2,5 m/s2

Svar: Medelaccelerationen är 2,5 m/s2.

c) Mellan 6 s och 10 s minskar hastigheten från 15 m/s till 11 m/s. Det ger medelaccelerationen. a

= Δ

c Δt c = 11 – 15 10 – 6 m/s2 = –1,0 m/s2

Svar: Medelaccelerationen är –1,0 m/s2.

d) Svar: Filippa åker med konstant hastighet 5 m/s i två sekunder. Sedan börjar hon att accelerera med 2,5 m/s2 under fyra sekunder för att slutligen retardera med 1,0 m/s2 i ytterligare fyra sekunder.

Exempel 3.8

Diagrammet visar hur en radiostyrd bil rör sig under 10 sekunder. Använd diagrammet för att svara på följande frågor.

a) Hur långt kör bilen innan den krockar?

b) Hur långt från startpunkten är bilen när mätningen avslutas?

a) Det framgår av diagrammet att bilen krockar efter 7 sekunder eftersom hastigheten byter riktning. Under de första 3 sekunderna har bilen konstant hastighet 5 m/s.

Vi beräknar körsträckan enligt Δs1 = v m · Δt = 5 · 3 m = 15 m.

Lägg märke till att detta motsvarar arean under grafen. Därefter minskar hastigheten från 5 m/s till 3 m/s med konstant retardation under 4 sekunder. Medelhastigheten under denna tid är 4 m/s. Sträckan som bilen rör sig under denna tid är då Δs1 = v m · Δt = 4 · 4 m = 16 m. Detta motsvarar arean under grafen. Den arean kan också beräknas genom att beräkna arean av ett parallelltrapets.

Δs2 = 4(5 + 3) 2 m = 16 m

Den totala körsträckan före krocken är 15 m + 16 m = 31 m

Svar: Bilen kör 31 m innan den krockar.

b) Efter krocken rullar bilen i 3 sekunder med hastigheten –2 m/s. Vi beräknar körsträckan enligt Δs3 = v m · Δt = –2 · 3 m = –6 m.

Totalt är då bilen 31 m – 6 m = 25 m från startpunkten.

Svar: Bilen är 25 meter från startpunkten.

Exempel 3.9

Diagrammet visar rörelsen för en häst. Använd diagrammet för att svara på följande frågor.

a) Stannar hästen vid något tillfälle?

b) Bestäm medelaccelerationen i intervallet 1,0 s till 3,0 s.

c) När är inbromsningen som störst och hur stor är accelerationen då?

d) Hur långt hinner hästen under den tid mätningen pågår?

e) Vilken medelhastighet har hästen haft under mätningen?

a) Svar: Nej, hastigheten är bara noll i startögonblicket.

b) Hastigheten ändras från 1,5 m/s till 10,5 m/s. Det ger medelaccelerationen

Hastighet (m/s)

Svar: Medelaccelerationen är 4,5 m/s2.

Tid

c) Retardationen är som störst när grafen lutar som brantast neråt vid t = 3,5 s. Vi bestämmer grafens lutning i denna punkt på kurvan genom att rita en tangent i punkten. Sedan väljer vi två punkter på den linjen (3,3 s, 12 m/s) och (4,2 s, 0 m/s). Det ger accelerationen

a2 = Δv2 Δt2 = 12 – 0 3,3 – 4,2 m/s2 = –13 m/s2

(m/s)

Svar: Accelerationen är som störst vid 3,5 s. Då är den –13 m/s2

d) Sträckan motsvarar arean under grafen. Det verkar svårt att bestämma den arean. Men att bestämma den ungefärliga arean går att göra på många olika sätt. Mätvärden är aldrig exakta så det handlar alltid om ungefärliga värden. Vi approximerar arean genom att dela in området i en rektangel och en triangel som har ungefär samma area som arean under grafen.

(m/s)

s1 = 8 · 3 2 m = 12 m

s2 = 6 · 3 m = 18 m ger den totala sträckan

s = 12 m + 18 m = 30 m.

Svar: 30 m

e) Vi beräknar medelhastigheten enligt

v m = Δs Δt = 30 6 m/s = 5 m/s

Vi tittar sedan i diagrammet för att se att 5 m/s verkar rimligt.

Svar: Medelhastigheten är 5 m/s.

4.9 Kraftmoment och tyngdpunkt

Kraftmoment

En krafts förmåga att vrida ett föremål kring en vridningsaxel kallas kraftmoment. Ofta används även uttrycken vridmoment eller bara moment. Ett exempel: Man vill lossa en hjulbult i ett hjul för att byta däck. Man fäster ett verktyg i hjulbulten och drar. Det krävs ett visst moment för att kunna vrida runt bulten.

Om det ska lyckas så måste man dra med tillräckligt stor kraft F. Men det beror också på hur långt verktyget är. Om man inte orkar rubba bulten i figur a, så kanske det går med verktyget i figur b. Momentet blir mycket större eftersom hävarmen är längre.

Kraftmomentet på bulten i den högra bilden är dubbelt så stort eftersom hävarmen är dubbelt så lång, förutsatt att kraften är lika stor i båda fallen.

Avståndet l i figurerna kallas momentarm eller hävarm. Vad är då det?

Tänk dig ett föremål och en kraft F som verkar i en viss punkt. Tänk dig också att föremålet kan vridas runt kring en viss punkt O, som kallas momentpunkten. Om du vill avgöra hur lång momentarmen är, ska du först rita en linje som sammanfaller med kraften. Momentarmen definieras som det vinkelräta avståndet (dvs. det kortaste avståndet) från momentpunkten O till en linje som går genom kraften. Denna linje kallar vi riktningslinjen.

Kraftmoment

Kraftmoment betecknas M och definieras som M = F · l

där F är kraften och l är momentarmen. Kraften och momentarmen är vinkelräta mot varandra. Enheten för kraftmoment är newtonmeter (Nm).

Ofta har man en situation då man vill vrida runt ett föremål med en kraft, där kraften inte är vinkelrät mot avståndet till vridningspunkten. För att bestämma hur stort momentet är kan man alternativt komposantuppdela kraften i en komposant som är vinkelrät mot detta avstånd och en som är parallell med avståndet. Det är då bara den vinkelräta komposanten som har ett moment och man behöver inte ta hänsyn till den andra komposanten.

Verktyget har längden l och vrids snett neråt med kraften F. Kraften är inte vinkelrät mot l och delas upp i komposanterna F1 och F2. Kraftmomentet med avseende på vridningspunkten O är M = F1 · l.

Alternativet, som vi har beskrivit ovan, är att rita ut riktningslinjen genom F och låta momentarmen l vara vinkelrät mot denna. l får inte samma längd i de båda figurerna men momentet blir detsamma. Här kan vi räkna ut momentet enligt M = F · l.

Krafter kan vrida åt olika håll, dvs. ha moment medurs eller moturs. Det är viktigt att hålla reda på åt vilket håll momentet är riktat.

Det är normalt inget problem att bestämma momentpunkt. När man löser jämviktsproblem, dvs. där ett föremål är i vila, kan man välja denna punkt godtyckligt. Om ett föremål inte vrider sig kring någon viss punkt, så vrider det sig ju inte heller kring någon annan punkt! Det är ofta lämpligt att välja momentpunkten i en punkt, där flera krafter verkar. Om en kraft(pil) eller dess förlängning går genom momentpunkten är momentarmen noll och följaktligen är denna krafts moment noll. Vi behöver då inte ta hänsyn till en sådan kraft vid beräkningen av momentet. Ibland finns okända krafter som verkar i någon viss punkt. Om vi då väljer denna punkt som momentpunkt, behöver vi inte bekymra oss om dessa krafter. Beräkningarna underlättas väsentligt. Moment medurs Moment moturs

Om ett föremål är i vila och inte vrider sig, säger man att föremålet befinner sig i momentjämvikt. Då är summan av alla vridande moment lika med noll.

Momentlagen

Låt M1 vara summan av de moment som vrider ett föremål medurs kring någon viss punkt O och M2 summan av de moment som vrider föremålet moturs kring denna punkt. Om föremålet är i vila så måste M1 = M2 gälla. Man säger att föremålet är i momentjämvikt och det vrider sig då inte kring någon punkt.

För att ett föremål ska vara i jämvikt ska två villkor vara uppfyllda:

1) Det ska råda kraftjämvikt, dvs. summan av alla krafter som verkar på föremålet ska vara noll.

2) Det ska råda momentjämvikt, dvs. summan av alla vridande moment på föremålet ska vara noll.

Tyngdpunkt

Som vi har nämnt tidigare är det naturligtvis så, att varje enskild atom i ett föremål har en viss tyngd och därmed också ett visst moment med avseende på någon vridningsaxel. Om vi skulle behöva ta hänsyn till detta, skulle vi få oöverstigliga problem vid beräkningen av momenten. Vi förenklar därför alla beräkningar genom att tänka oss att varje föremål har en tyngdpunkt.

Tanken är att vi låter föremålets hela tyngd mg verka i denna punkt och vi tänker oss då att alla andra punkter i föremålet är tyngdlösa.

Tyngdpunkten är vald så att det totala momentet på föremålet blir detsamma trots denna förenkling.

I ett föremål som är jämntjockt och gjort av ett homogent material, ligger dess tyngdpunkt alltid mitt i föremålet. I annat fall kan tyngdpunkten ligga på något annat ställe.

Ett sätt att undersöka tyngdpunktens placering i ett föremål, är att hänga upp föremålet i en tråd i olika punkter. Om föremålet kan vrida sig fritt, kommer alltid tyngdpunkten att sträva efter att komma så lågt som möjligt. Tyngdpunkten hamnar således alltid någonstans på lodlinjen. Hänger vi successivt upp föremålet i två olika punkter befinner sig alltså tyngdpunkten i skärningen mellan de båda lodlinjerna.

Om vi vet var ett föremåls tyngdpunkt befinner sig, kan vi ofta avgöra om föremålet kommer att befinna sig i ett stabilt läge eller välta kring någon vridningsaxel O. Föremålet kommer att välta om tyngdpunkten därigenom hamnar lägre. Figuren nedan visar en hammare som ligger över en bordskant. Hammarens tyngdpunkt T är markerad.

Kommer hammaren att falla till golvet?

Hammaren kommer inte att falla eftersom tyngdpunkten T ligger innanför bordskanten.

Hammaren kommer att falla till golvet eftersom tyngdpunkten T ligger utanför bordskanten.

Om ett föremåls tyngdpunkt ligger innanför stödjeytan, kommer det att vara i jämvikt.

Prova själv

4.2 Se efter om du kan balansera en full läskedrycksburk på den kant som löper längs bottnen på burken. Drick ur allt utom ca 10 cl. Försök igen. Drick ur alltihop. Försök igen.

Exempel 4.34

I figurerna a) – f) nedan verkar en kraft F på ett föremål. Föremålet vill vrida sig kring momentpunkten O. Vi har markerat dels riktningslinjen r genom kraften, dels också momentarmen l.

a) Lisa gungar med sin äldre bror. Hennes tyngd är F.

b) Flaggan hänger snett ut från en flaggstång på väggen. Dess tyngd är F och den är koncentrerad till en punkt längst ut på flaggstången.

c) En person reser en stege som ligger på marken.

d) Olle vill välta en tung låda och trycker på i övre änden av lådan. Lådan glider inte utan välter.

e) Stegen står mot väggen. F är normalkraften från huset.

f) Barnet försöker lyfta den tunga stenen genom att hänga i ena änden av spettet. F är barnets tyngd.

Exempel 4.35

Hur stort vridande moment utövar kraften F i figuren nedan om O är vridningsaxeln?

80 cm är det vinkelräta avståndet mellan kraften och O. Momentarmen är således 80 cm.

Momentet är M = F · l = 200 · 0,80 Nm = 160 Nm

Svar: Momentet är 160 N

Exempel 4.36

Vi har klippt ut en triangel av papper. Var ligger dess tyngdpunkt?

Vi hänger upp triangeln i två av dess hörn och markerar lodlinjerna. Tyngdpunkten T ligger där dessa skär varandra.

Vi kan kontrollera genom att rita lodlinjen även genom det tredje hörnet. Även denna går genom tyngdpunkten. Vi kan också kontrollera genom att balansera triangeln på spetsen av en penna och konstatera att triangeln balanserar bra kring denna punkt.

Fundera och diskutera

4.7 Vi har klippt ut en triangel i papper. Vi har sedan klippt bort ett stort cirkulärt hål mitt i triangeln. Har vi klippt bort tyngdpunkten?

Lodlinje

Lodlinje

Lodlinje

4.37

En enmeterslinjal är försedd med hål efter varje decimeter. Man hänger upp linjalen i ett stift i hålet vid 5 dm. Runt detta stift kan den rotera friktionsfritt. Sedan hänger man i vikter som väger 100 g, en vid markeringen 0 och två vikter vid markeringen 8.

a) Hur stort är då det totala vridande momentet på linjalen med avseende på momentpunkten O?

b) Var ska man hänga upp ytterligare en 50 g­vikt för att linjalen ska befinna sig i jämvikt?

a) Förutom tyngden av vikterna påverkas linjalen av sin egen tyngd och av en uppåtriktad normalkraft från stiftet. Dessa krafter verkar i punkten O och de har inget moment med avseende på punkten O. Vi behöver alltså inte ta hänsyn till dessa när vi beräknar det totala momentet.

Tyngden av 100 g-vikten vid markeringen 0 har ett moment moturs.

Momentarmen är 0,50 m.

Det ger M1 = F1 · l1 = 0,100 · g · 0,50 = 0,100 · 9,82 · 0,50 Nm = 0,49 Nm

Tyngden av de två 100 g-vikterna vid markeringen 8 har ett moment medurs. Momentarmen är 0,30 m.

Det ger M2 = F2 · l2 = 0,200 · g · 0,30 = 0,200 · 9,82 · 0,30 Nm = 0,59 Nm Det totala vridande momentet är M2 – M1 = (0,59 – 0,49) Nm = 0,10 Nm medurs.

Svar: 0,10 Nm medurs

b) För att få linjalen i jämvikt måste vi hänga upp 50 g-vikten på vänster sida. Den måste ge ett moment moturs på 0,10 Nm. Dess momentarm ska vara l3, där F3 · l3 = 0,10 Nm.

0,050 · g · l3 = 0,10 ⇒ l3 = 0,10 g ⋅ 0,050 = 0,10 9,82 ⋅ 0,050 m = 0,20 m

Vikten ska hänga så att dess tyngd har momentarmen 0,20 m, dvs. i hålet vid markeringen 3.

Svar: I hålet vid markeringen 3

5.5 Kollisioner

Varför tacklar en tung ishockeyspelare hårdare än en lätt? Varför gör det ondare att bli träffad av ett hårt skott än ett löst? Styrkan i stötar och kollisioner beror på både massa och hastighet, men hur ser sambandet ut? Vi börjar med att analysera en kollision mellan två föremål.

Rörelsemängdens bevarande

Allt vi hittills berättat om rörelsemängd och impuls har haft ett mål. Målet är att hitta en egenskap som inte förändras vid kollisionen. Med hjälp av den egenskapen skulle vi kunna studera föremål före kollisionen och räkna ut hur de rör sig efteråt. Kunskaper om denna egenskap är viktiga bl.a. för biltillverkare och biljardspelare.

Enligt Newtons tredje lag påverkar föremålen A och B varandra med samma, fast motriktade, impulser, dvs. –ΔpA = ΔpB.

Detta innebär att pA1 – pA2 = pB2 – pB1, vilket i sin tur leder till följande viktiga samband: pA1 + pB1 = pA2 + pB2 eller med ord:

Summan av rörelsemängderna före kollisionen är lika med summan av rörelsemängderna efter kollisionen. Det är alltså summan av rörelsemängderna som inte förändras vid en kollision.

Lagen om rörelsemängdens bevarande

Summan av rörelsemängderna ändras inte vid en kollision.

pA1 + pB1 = pA2 + pB2 eller mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2

Före

Kollisionen Efter

Elastiska och fullständigt oelastiska stötar

Vi har sett att den sammanlagda rörelsemängden bevaras vid kollisioner. Vi har också sett att den totala rörelseenergin inte nödvändigtvis bevaras. Som två extremfall definierar vi nu begreppen elastisk och fullständigt oelastisk stöt.

Elastisk stöt:

summan av rörelseenergierna ändras inte vid kollisionen

Fullständigt oelastisk stöt: de båda föremålen fastnar i varandra

Dessa båda fungerar som teoretiska gränsfall. De allra flesta stötar uppför sig som mellanting där rörelseenergin minskar, men utan att föremålen helt fastnar i varandra. Det är enklast att räkna på fullständigt oelastiska stötar, så vi börjar med dem.

Rörelsemängden före är lika med rörelsemängden efter, vilket ger

mA vA + mB vB = (mA + mB) ⋅ v Observera att vi ritat alla hastigheter åt höger. Skulle någon hastighet vara riktad år vänster måste vi sätta in ett negativt värde.

Fullständigt oelastisk stöt

m A v A + m B v B = (mA + m B) ⋅ v där m A och m B är massorna, v A och v B är hastigheterna före stöten och v är den gemensamma hastigheten efter stöten.

Prova själv

5.7 Lägg en enkrona på bordet. Skicka en annan enkrona rakt mot den första och studera hur de studsar. Är stöten elastisk eller inte? Vad händer om du träffar snett? Försök rita hur enkronorna rör sig och mät vinkeln mellan banorna.

För en elastisk stöt blir matematiken lite krångligare, men resultatet blir desto enklare. Återigen räknar vi positiv riktning åt höger. Skulle någon hastighet vara negativ innebär det att den är riktad åt vänster.

Eftersom rörelsemängden bevaras får vi

mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2 vilket kan skrivas

mA(vA1 vA2) = mB(vB2 vB1)

och om rörelseenergin bevaras får vi

mA vA1 2 2 + mB vB1 2 2 = mA vA2 2 2 + mB vB2 2 2 vilket kan skrivas

mA(vA1 2 vA2 2 ) 2 = mB(vB2 2 vB1 2 ) 2 eller om vi multiplicerar med 2 och använder konjugatregeln

mA(vA 1 vA 2)(vA 1 + vA 2) = mB(vB 2 vB 1)(vB 2 + vB 1)

Eftersom mA(vA 1 vA 2) = mB(vB 2 vB 1)enligt ovan, så kan dessa förkortas bort på respektive sida. Vi får då det enkla sambandet

vA1 + vA2 = vB2 + vB1eller vA1 vB1 = vB2 vA2.

Med ord kan vi säga att differensen mellan hastigheterna bevaras (med omvänt tecken). Detta samband gäller alltså oberoende av föremålens massor, men bara vid elastiska stötar.

Elastisk stöt

{mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2 vA1 vB1 = vB2 vA2

där mA och mB är massorna, där vA1 och vB1 är hastigheterna före stöten samt vA2 och vB2 är hastigheterna efter stöten.

Vagn

Vagn

Ofta förekommer mellanting mellan fullständigt oelastisk och elastisk stöt. För att beskriva dessa mellanting används begreppet studskoefficient som betecknas e.

Studskoefficient

e = vB2 vA2 vA1 vB1

där vA1 och vB1 är hastigheterna före stöten samt vA2 och vB2 är hastigheterna efter stöten. För fullständigt oelastisk stöt är e = 0 och för elastisk

stöt är e = 1

Fundera och diskutera

5.6 Hur känns det att tackla någon om studskoefficienten är hög respektive låg?

Exempel 5.16

På ett tivoli kan man kasta bollar mot plåtburkar. Veronica kastar en boll som väger 100 g med hastigheten 15 m/s mot en burk som väger 50 g. Efter träffen får burken hastigheten 20 m/s. Vilken hastighet får bollen?

Enligt lagen om rörelsemängdens bevarande ändras inte summan av rörelsemängderna. Före träffen är burken stilla och summan är

pföre = mboll ⋅ v = 0,1 ⋅ 15 kgm/s = 1,5 kgm/s

Efteråt är summan

pefter = mboll ⋅ vboll + mburk ⋅ vburk = 0,1 ⋅ vboll + 0,05 ⋅ 20 = 0,1 ⋅ vboll + 1,0 kgm/s

Enligt lagen om rörelsemängdens bevarande är pefter = pföreoch vi får 0,1 ⋅ vboll + 1,0 kgm/s = 1,5 kgm/s.

Vi löser ekvationen och får vboll = 5 m/s.

Svar: Efter träffen har bollen hastigheten 5 m/s.

Exempel 5.17

En stor klump lera och en kanonkula frontalkrockar enligt figuren.

a) Vilken hastighet får de om kanonkulan fastnar i lerklumpen?

b) Hur mycket ändras rörelseenergin?

c) Vad har hänt med den försvunna rörelseenergin?

Positiv riktning

m/s 6 m/s

5 kg

8 kg

a) Vi börjar med att räkna ut rörelsemängden före kollisionen. Vi betecknar lerklumpen med index A och kanonkulan med index B. Enligt lagen om rörelsemängdens bevarande är summan av rörelsemängderna lika stor före och efter kollisionen. Om vi räknar positiv riktning åt höger får vi:

pA = mA vA = 5 ⋅ 6 kgm/s = 30 kgm/s

pB = mB vB = 8 ⋅ ( 5) kgm/s = − 40 kgm/s

Summan av rörelsemängderna före blir pföre = − 10 kgm/s.

Efteråt är den gemensamma massan 13 kg och den gemensamma hastigheten v och rörelsemängden pefter = m ⋅ v = 13 ⋅ v.

Enligt lagen om rörelsemängdens bevarande är pefter = pföreoch vi får 13 ⋅ v = − 10 kgm/s, vilket ger v = − 0,77 m/s

Svar: Leklumpen och kanonkulan får den gemensamma hastigheten 0,77 m/s åt vänster.

b) Före kollisionen är summan av rörelseenergierna

Ek = mA vA 2 2 + mB vB 2 2 = 5 6 2 2 J + 8 5 2 2 J = 190 J

Efter kollisionen är rörelseenergin Ek = m v 2 2 = 13 ⋅ 0,77 2 2 J = 3,85 J.

Svar: Rörelseenergin minskar från 190 J till 4 J.

c) Enligt energiprincipen kan energi inte försvinna, bara omvandlas.

Svar: Rörelseenergin har omvandlats till andra energiformer (exempelvis värme och ljud).

Före

Efter

Exempel 5.18

Två amerikanska fotbollsspelare tacklar varandra. Den ena väger 90 kg och springer med 7 m/s mot den andre spelaren som väger 105 kg och springer med 4 m/s mot den förste spelaren. Efter tacklingen flyger den lättare spelaren bakåt med 2 m/s. Bestäm studskoefficienten.

Först får vi räkna ut den tyngre spelarens hastighet efter tacklingen. Vi kan välja positiv riktning som den lätta spelarens ursprungliga riktning. Vi har då vA1 = 7 m/s, vB1 = –4 m/s och vA2 = –2 m/s mA · vA1 + mB · vB1 = mA · vA2 + mB · vB2

90 ⋅ 7 + 105 ⋅ ( 4) = 90 ⋅ ( 2) + 105 ⋅ vB 2

Vi löser ekvationen och får vB2 = 3,71 m/s

Studskoefficienten blir e =

Svar: Studskoefficienten blev 0,5.

Exempel 5.19

En kula som väger 100 g hänger i ett 2,0 m långt snöre. Kulan dras ut vinkeln 30°, släpps och träffar en stillaliggande träkloss som väger 300 g, se figuren. Efter stöten glider klossen 16 cm innan den stannar. Friktionstalet mellan trä kloss och bänk är 0,35. Vilken hastighet får kulan efter stöten?

Lösning:

Vi kallar kulan A och träklossen B. Vi har givet att vB1 = 0.

Vi väljer positiv riktning år vänster. Vi måste först räkna ut kulans hastighet vA1 före stöten och träklossens hastighet vB2 efter stöten.

Kulans lägesenergi omvandlas till rörelseenergi: mgΔh = m vA1 2 2 som ger vA1 = √2gΔh

Höjdskillnaden ges av Δh = 2,0 ⋅ (1 − cos 30°) m = 0,268 m och vi får vA1= 2,294 m/s.

Träklossens rörelseenergi bromsas bort av friktionsarbetet:

μmg · Δs m vB2 2 2 som ger vB2 = √2μg ⋅ Δs = 1,049 m/s.

30°

∆h

2,0 m

Lagen om rörelsemängdens bevarande ger nu: mA vA1 = mA vA2 + mB vB2 och slutligen vA2 = mA vA1 mB vB2 mA = − 0,852 m/s

Svar: Kulan studsar tillbaka åt höger med hastigheten 0,85 m/s.

Energi

Exempel 5.20

En stålkula med massan 50 g och hastigheten 10 m/s åt höger kolliderar med en stålkula som väger 150 g och har hastigheten 8 m/s åt vänster. Vilka blir kulornas hastigheter efter kollisionen om stöten är fullständigt elastisk?

Vi får två samband (den lätta kulan kallar vi A och den tunga B):

mA · vA1 + mB · vB1 = mA · vA2 + mB · vB2 enligt lagen om rörelsemängdens bevarande och

vA1 – vB1 = vB2 – vA2 som gäller vid fullständigt elastiska stötar.

Med insatta värden får vi

0,05 · 10 – 0,15 · 8 = 0,05vA2 + 0,15vB2 och

10 – (–8) = vB2 – vA2

Detta ger ekvationssystemet

{0,15 vB 2 + 0,05 vA 2 = − 0,7 vB 2 vA 2 = 18 som har lösningen {vA 2 = − 17 m/s vB 2 = 1 m/s

Svar: Den lätta kulan får hastigheten 17 m/s åt vänster och den tunga 1 m/s åt höger.

9. Partikel- och kärnfysik

Kärnfysik inleddes 1896 när fransmannen Henri Becquerel arbetade med fluorescensfenomen i uransalter. Fluorescens innebär att ett ämne sänder ut strålning när det blivit belyst av ljus. Becquerel försökte undersöka om uransaltet sände ut röntgenstrålning. En regnig dag upptäckte han att uransaltet strålade utan att först ha blivit belyst av solen. Han visade att strålningen inte bestod av röntgenstrålning utan av laddade partiklar.

Fysikern Marie Curie kallade fenomenet radioaktivitet och lyckades visa att även torium var radioaktivt. Tillsammans med sin man Pierre, som var professor i fysik, började hon analysera det märkliga uransaltet uraninit. Stora högar med uranmalm bearbetades till pulver och sedan använde de allt sitt kemiska kunnande för att sönderdela och isolera den strålande delen av uransaltet.

Det visade sig att det inte var uranet som strålade mest, det var två helt nya grundämnen. De döpte det ena till radium som betyder ”den strålande” och det andra till polonium efter Maries hemland Polen. Tillsammans med Becquerel fick de nobelpriset i fysik 1903 för arbetet med radioaktivitet. Pierre Curie dog i en trafikolycka med en hästdroska 1906, men Marie fortsatte arbetet och 1911 fick hon ytterligare ett nobelpris, denna gång i kemi för upptäckten av radium och polonium.

Kärnfysik studerades intensivt under början av 1900-talet. Man tillsatte radioaktiva ämnen till en mängd olika föremål som t.ex. glasvaser och klockor som kunde lysa i mörkret, tändstift, raklödder och tvålar.

Gradvis förändrades attityden och efter andra världskriget ansågs allting som hade med radioaktivitet att göra som livsfarligt. Numera används radioaktiva preparat på våra sjukhus för att rädda liv varje dag. Inom forskning och industri används allt fler tillämpningar med radioaktiva ämnen.

9.1 Standardmodellen

Partiklar

En atom består av elektroner, protoner och neutroner. Man tänker sig en liten kärna som består av protoner och neutroner och som innehåller mer än 99,9 % av atomens massa, men som bara är en tiotusendel av atomens diameter. Resten av atomens volym tillhör elektronerna som man tänker sig kretsa runt kärnan. Standardmodellen beskriver hur protoner, neutroner och alla andra partiklar är uppbyggda och hur de påverkar varandra.

Ordet partikel betyder i det här sammanhanget att någon form av energi finns inom ett litet begränsat område. I standardmodellen finns partiklar av två olika typer, fermioner som bygger upp materia och bosoner som förmedlar krafter mellan partiklarna.

Massa-energi-ekvivalensen

Varför har partiklarna den massa de har? Svaret kommer från två olika håll. Det ena bidraget kommer från Albert Einsteins (1879–1955) speciella relativitetsteori som bl.a. säger att massa är en form av energi. Detta sammanfattas med fysikhistoriens mest berömda ekvation, E = m · c2 , som kallas massa­energi­ekvivalensen. Mer om denna ekvation kan du läsa i fysik nivå 2. Det andra bidraget till partiklarnas massa kommer från Higgsmekanismen.

Atomfysiker och kemister mäter gärna massa i den atomära massenheten u och energi i enheten elektronvolt, eV. En elektronvolt är den energi som en elektron får av spänningen en volt, det vill säga

E = U · Q = 1 V · 1, 602 · 10 −19 C = 1, 602 · 10 −19 J

Enligt massa-energi-ekvivalensen motsvaras massan 1 u av energin

E = m · c 2 = 1, 660539067 · 10 −27 · 299792458 2 J = = 1, 492418086 10 −10 J.

Omräknat till elektronvolt blir det 931,4941027 MeV. Det är vanligt att partikelfysiker använder enheten MeV när de egentligen borde använda en massenhet. Exempelvis väger en proton 1,007267 u eller om man så vill 938,2724 MeV. En elektron väger bara 0,511 MeV.

Elektronvolt

1 eV = 1,602 · 10–19 J

Atommassenheten

1 u = 1,660539067 · 10–27 kg

1 u = 1 g/mol

Massa-energi-ekvivalensen

E = m · c2

Massan 1 u motsvarar energin 931,49 MeV

Bindningsenergi

I en atomkärna är protoner och neutroner bundna till varandra med en bindningsenergi. Vi kommer senare i detta avsnitt se att även de partiklar som bygger upp protoner och neutroner hålls samman av en stark kraft med stor bindningsenergi. Denna bindningsenergi motsvarar en massa enligt massa-energi-ekvivalensen. Ungefär 99 % av atomens massa har detta ursprung.

Higgsmekanismen

En fri elektron som inte är bunden till en atom har ingen bindningsenergi, ändå har den massa. Hur uppstår denna massa? År 1964 föreslog Peter Higgs (1929–2024) med flera, att det finns ett kraftfält som kallas higgsfält som finns överallt och som påverkar de övriga krafterna på ett sådant sätt att en del partiklar bromsas upp och uppför sig som om totala energin delvis omvandlas till massa. Den här typen av påverkan förmedlas av higgsbosonen. Om higgsfältet inte fanns skulle alla partiklar sakna massa och röra sig med ljusets hastighet. Higgs-bosonen upptäcktes vid CERN under 2012 och upptäckten bekräftades officiellt den 14 mars 2013. Higgsbosonen har energi motsvarande en massa på cirka 125 GeV, vilket gör den till den tyngsta kraftpartikeln.

En vanlig liknelse av Higgsfältet är ett mingelparty. En partikel, i form av en kändis, försöker passera genom partyt. Eftersom alla minglande gäster vill krama kändisen blir till slut kändisen både långsam och tung.

Materia

Kvarkar

En laddad partikel som roterar ger upphov till ett magnetiskt fenomen som kallas ”magnetiskt dipolmoment”, vilket betyder att den ställer in sig som en kompassnål i ett yttre magnetfält. Egendomligt nog ger även neutrala neutroner upphov till ett nästan lika starkt magnetiskt dipolmoment som protoner.

Under 1960-talet hade man byggt partikelacceleratorer och skapat mängder med nya partiklar. Man upptäckte att det blev mycket enklare att beskriva protonens och neutronens (och alla de nyskapade partiklarnas) egenskaper om man antog att de består av mindre partiklar. De små partiklarna fick namnet kvarkar

För att laddning, och därmed de magnetiska egenskaperna, ska stämma med verkligheten tvingas man anta att protoner och neutroner består av två olika typer av kvarkar.

Man tänker sig att den ena sorten har laddningen + 2 3 elementarladdningar. Den kallas för  u-kvark. Den andra sorten har laddningen 1 3  och kallas  d­kvark.  u står för  up och  d  står  down. Benämningarna upp och ner har inget med riktning att göra utan är bara namn för de olika kvarkarna.

Protonen består av två  u-kvarkar och en  d­kvark, vilket ger den sammanlagda laddningen + 2 3 + 2 3 1 3 = + 1. Neutronen består av en  u-kvark och två d-kvarkar, vilket ger den sammanlagda laddningen + 2 3 1 3 1 3 = 0.

Protonen består av två u­kvarkar och en d­kvark och kan betecknas (uud). Neutronen består av en u­kvark och två d­kvarkar och kan betecknas (udd).

Man har aldrig sett fria, ensamma kvarkar. Kvarkar uppträder alltid antingen tre och tre, som vi sett hos protoner och neutroner, eller två och två med en kvark och en antikvark. Partiklar med tre kvarkar kallas för baryoner och de med två kvarkar kallas mesoner. Mesoner är aldrig långlivade eftersom partiklar och antipartiklar förintar varandra.

Baryoner består av tre kvarkar. Mesoner består av en kvark och en antikvark.

9. Partikel- och kärnfysik

Proton

Neutron

Leptoner

Det finns partiklar som kan uppträda fritt, utan att vara bundna till andra partiklar. Sådana partiklar kallas leptoner. Exempelvis kan elektroner vara bundna i en atom, men de kan också vara fria.

Flera radioaktiva ämnen, t.ex. kol-14, sönderfaller genom att omvandla en neutron till en proton. I den processen sänds en elektron iväg. Om man väger atomerna före och efter sönderfallet och använder formeln E = mc2 upptäcker man att elektronerna får för lite energi. Var kommer elektronen ifrån och vart tog den saknade energin vägen? I nästa avsnitt om krafter ska vi förklara hur elektronen uppkommer. För att förklara den felande energin krävs en helt ny partikel.

År 1930 påstod  Wolfgang Pauli (1900–1958) att den felande energin förs bort av en partikel som senare fick namnet  neutrino. För att både energi, laddning och rörelsemängd ska bevaras krävs att neutrinon är neutral och har extremt liten massa. Det dröjde till 1956 innan neutriner kunde detekteras. För att kunna smita iväg med energi måste neutrinon kunna uppträda fritt. Elektroner och neutriner är alltså leptoner.

Idag finns det  ingenting som tyder på att elektroner, neutriner eller kvarkar består av mindre partiklar. All stabil materia runt omkring oss består alltså av fyra olika odelbara partiklar, nämligen u-kvarkar, d-kvarkar, elektroner och neutriner.

Bilden visar väte­bubbelkammaren vid Argonne i USA (november 1970) och är det första fotografiet på en neutrinoinfångning. I en bubbelkammare kan man bara se laddade partiklar. Den neutrala neutrinon syns alltså inte. Neutrinon träffar en proton i nedre delen av bilden där tre linjer startar. Neutrinon omvandlas till en myon (det långa, tunna, mittersta strecket) och en positiv partikel (det vänstra strecket, denna partikel har fått namnet pion). Protonen studsar åt höger (det högra strecket). Lägg märke till att positiva partiklar svänger åt vänster och negativa åt höger i det pålagda magnetfältet. Vi ser att myonen är negativ.

Tre familjer

När man studerade instabila partiklar upptäckte man att det inte räcker med dessa fyra partiklar. Man tvingas acceptera att det finns ytterligare två familjer av partiklar. Varje familj innehåller, liksom den första, två kvarkar och två leptoner. Skillnaden är att partiklarna i de två nya familjerna har större massa och är, så när som på neutrinerna, instabila.

Tunga kvarkar fanns i det tidiga universum då energin var tillräckligt stor. På jorden kan partiklar från de nya familjerna skapas tillfälligt i partikelacceleratorer där rörelseenergin i en kollision omvandlas till massa enligt E = mc2 .

Antimateria

År 1928 publicerade Paul Dirac (1902–1984) en artikel med en ekvation som kopplar ihop kvantmekanik med Einsteins speciella relativitetsteori. Lösningarna till ekvationen innehåller s.k. antipartiklar, t.ex. positiva elektroner. År 1932 upptäcktes för första gången positiva elektroner. Dessa fick namnet ”antielektroner” eller positroner. Senare upptäckte man att alla partiklar har en antikopia som har exakt samma massa fast motsatt laddning. Om en partikel och en antipartikel kommer i kontakt med varandra, förintas de genom att deras massa omvandlas till energi, ofta i form av gammastrålning. Antipartiklar betecknas med samma symboler som vanlig materia, fast med ett streck ovanför. Det finns alltså inte bara tolv, utan 24 olika fermioner.

Standardmodellens partiklar

Figuren visar alla tre familjerna av fermioner. Familj 1 bygger upp allting som du någonsin har sett.

Tabellen visar alla tre familjerna av fermioner och bosonerna som förmedlar krafter, mer om dessa i nästa avsnitt. Samtliga partiklar på bilden har detekterats i partikelacceleratorer.

Krafterna

I naturen finns fyra grundläggande krafter plus higgs-mekanismen som ger partiklar massa. Standardmodellen beskriver dessa med närmast uppseendeväckande noggrannhet, så när som på gravitationen som standardmodellen inte lyckas beskriva alls.

Kraft Utbytes-boson

Räckvidd

Påverkar

Gravitation inte upptäckt/finns inte? oändlig alla partiklar

Elektromagnetism 1 foton oändlig laddade partiklar

Svag växelverkan 3 bosoner W+, W–, Z 10–17 m fermioner

Stark kärnkraft 8 gluoner 10–15 m kvarkar

Higgs-mekanismen 1 boson H0 finns överallt ger partiklar massa

Gravitation

Om vi tittar på tabellen med standardmodellens partiklar, ser vi att det inte finns någon boson som förmedlar gravitation. Gravitationen skapar en attraktiv kraft mellan alla föremål med massa och standardmodellens enda bidrag är att förklara hur massan uppstår. Vår bästa beskrivning av gravitationen är Einsteins allmänna relativitetsteori från 1916, även den uppseendeväckande noggrann. Enligt denna är gravitation inte en kraft utan en egenskap hos tid och rum.

Elektromagnetism

Elektromagnetismen känner vi till från vardagslivet. Elektromagnetism uppstår p.g.a. att föremål har laddning. Precis som gravitationen har elektromagnetismen oändlig räckvidd. Ändå dominerar gravitationen på långa avstånd. Det beror på att de flesta föremål innehåller lika många positiva som negativa laddningar och alltså ger upphov till lika mycket attraktion som repulsion. Elektromagnetismen förmedlas av fotoner. Fotonen brukar betecknas med γ.

Svag växelverkan

Vissa radioaktiva sönderfall skapar elektroner och neutriner. Man tänker sig att det finns en kraft, som man kallar svag växelverkan, som kan omvandla en kvark till en annan sorts kvark eller en lepton till en annan sorts lepton. Detta åstadkoms genom att kvarken sänder ut en utbytesboson som kallas W-boson. W-bosonen kan vara positivt eller negativt laddad och tar med sig laddning från kvarken.

Om t.ex. en d-kvark med laddning  1 3 skickar ut en W–-boson, så ökar kvarkens laddning till  + 2 3  och den har blivit en u-kvark. W–-bosonen är instabil och sönderfaller mycket snabbt till en elektron och en antineutrino.

W-bosoner sönderfaller alltid till en partikel och en antipartikel, antingen två olika leptoner eller två olika kvarkar. Räckvidden för den svaga växelverkan är mycket kort, ungefär en hundradels protondiameter. År 1968 försökte man beskriva den svaga växelverkan och man räknade ut ungefär vad en W-boson måste väga och hur lång livslängd den har. Teorin krävde även en neutral boson som de kallade Z-boson. År 1973 upptäckte man både W- och Z-bosonerna vid partikelacceleratorn CERN och massorna stämde nästan exakt med teorin.

Stark kärnkraft

Hur kan en atomkärna vara stabil när protonerna repellerar varandra? Vilken kraft håller ihop de tre kvarkarna i en proton eller neutron? Denna kraft har fått namnet stark kärnkraft. För att hålla ihop tre kvarkar krävs att den starka kärnkraftens utbytesbosoner kan ha tre olika typer av så kallad ”färgladdning”. Denna laddning kallas color och typerna kallas r, g och b. Dessa kan kombineras till åtta olika bosoner som saknar massa och som kallas gluoner. I en atomkärna bidrar både protoner och neutroner med attraktiv stark kärnkraft, medan endast protonerna bidrar med repulsiv elektromagnetism. Om antalet neutroner och protoner är lämpligt kan atomkärnan vara stabil.

Exempel 9.1

En �� +­partikel har kvarksammansättningen (uus) och kan beskrivas som en proton där d­kvarken blivit utbytt mot en s­kvark. Denna partikel är instabil med halveringstiden 8 ⋅ 1 0 −11 s. Den kan sönderfalla till en proton och en π 0­meson. Vilken energi frigörs i reaktionen �� + → p + + π 0?

I formelsamling eller på nätet letar vi upp partiklarnas massor. Σ +-partikeln väger 1189 MeV, protonen väger 938,3 MeV och π 0-mesonen väger 135 MeV. Massan före reaktionen är alltså 1 189 MeV och efter reaktionen 938,3 MeV + 135 MeV = 1073,3 MeV. Massan har minskat med 115,7 MeV. Detta motsvarar den frigjorda energin.

Svar: Energin 116 MeV frigörs.

Den frigjorda energin blir till rörelseenergi hos protonen och π 0 -mesonen

Inom kärnfysik anger man ofta partiklarnas massor med motsvarande mängd energi.

Fysik 1b

impul s

Impuls fysik 1b är anpassad efter gymnasiets ämnesplan som gäller från den 1/7 2025. Nytt är att området kraftmoment har tillkommit. Området relativitetsteori, som tidigare ingick i kurs 1, har flyttats till fysik nivå 2. Områden som tidigare fanns i kurs 1 som behandlade klimat, väder och energiförsörjning har utgått helt.

Helt nytt är att det nu finns QR-koder i boken som ger tillgång till filmer och lösningsförslag till uppgifterna. Detta gör att digitala funktioner blir en mer integrerad del av den tryckta boken.

Boken finns även i digitalt format för den som föredrar det. Där finns en möjlighet för både lärare och elever att utnyttja fler digitala funktioner. Lärarmaterialet finns samlat i en digital lärarlicens som innehåller ytterligare material i form av lektionstips, laborationer och prov som läraren kan använda sig av.

Författare till Impuls fysik 1b är Lars Fraenkel, Daniel Gottfridsson och Ulf Jonasson. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av fysikundervisning.