Multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 37
Avrundning 39
Exempel 40
Uppgifter 42
1.4 Test – Decimaltal och avrundning 44
1.5 Potenser 45
Tiopotenser 45
Grundpotensform 45
Exempel 47
Uppgifter 48
1.5 Test – Potenser 49
1.6 Överslagsräkning 50
Exempel 51
Uppgifter 53
1.6 Test – Överslagsräkning 54
Diagnos 55
Gruppuppgift 56
Blandade övningar 57
Sammanfattning 59
2 Procent 60
2.1 Procent, promille och ppm 61
Procentenheter 62
Promille och ppm 62
Exempel 63
Uppgifter 64
2.1 Test – Procent, promille och ppm 67
2.2 Förändringsfaktor 68
Exempel 70
Uppgifter 72
2.3 Index 75
Exempel 76
Uppgifter 77
2.2–2.3 Test - Förändringsfaktor och index 80
2.4 Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit 81
Lån 81
Ränta 81
Amortering 82
Avbetalning 82
Kredit 82
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 83
Exempel 86
Uppgifter 88
2.4 Test – Lån, ränta, amortering, avbetalning och kredit 91
Diagnos 92
Gruppuppgift 93
Blandade övningar 94
Sammanfattning 97
3 Algebra 98
3.1 Algebraiska uttryck 99
Beräkna värdet av algebraiska uttryck 100
Exempel 101
Uppgifter 102
3.2 Uttryck med parenteser 104
Exempel 105
Uppgifter 107
3.1–3.2 Test – Algebraiska uttryck 108
3.3 Enkla ekvationer 109 Hur löser vi en ekvation? 110
Exempel 111
Uppgifter 112
3.4 Ekvationer med flera x 114
Exempel 115
Uppgifter 118
3.3–3.4 Test – Enkla ekvationer och ekvationer med flera x 120
3.5 Ekvationer med parenteser och bråk 121
Korsmultiplikation 121
Exempel 122
Uppgifter 126
3.6 Formler och formulär 128
Exempel 129
Uppgifter 131
3.5–3.6 Test – Ekvationer med parenteser, bråk, formler och formulär 133
3.7 Lös ekvationer med digitala verktyg 134
Exempel 136
Uppgifter 140
3.8 Problemlösning 142
Exempel 143
Uppgifter 146
3.7 och 3.8 Test – Digitala verktyg och problemlösning 149
Diagnos 150
Gruppuppgift 151
Blandade övningar 152
Sammanfattning 155
4 Geometri 156
4.1 Omkrets och area 157
Exempel 159
Uppgifter 161
4.1 Test - Omkrets och area 163
4.2 Kub, rätblock, cylinder och prisma 164
Rätblock och kub 164
Cylinder 164
Prisma 165
Exempel 166
Uppgifter 168
4.3 Pyramid, kon och klot 170
Pyramid 170
Kon 170
Klot 170
Exempel 171
Uppgifter 173
4.2–4.3 Test – Volym och begränsningsarea 174
4.4 Enhetsomvandlingar och prefix 175
Längdenheter 175
Areaenheter 175
Volymenheter 176
Prefix 177
Exempel 178
Uppgifter 180
4.4 Test - Enhetsomvandlingar och prefix 182
4.5 Skala och likformighet 183
Skala 183
Likformighet 184
Exempel 185
Uppgifter 186
4.5 Test - Skala och likformighet 188
4.6 Vinklar och symmetrier 189
Vinklar 189
Symmetrier 190
Exempel 191
Uppgifter 192
4.7 Pythagoras sats 193
Pythagoras sats 193
Exempel 194
Uppgifter 195
4.6-4.7 Test – Vinklar, symmetrier och Pythagoras sats 197
4.8 Trigonometri och vektorer 198
Trigonometri 198
Trigonometri med digitalt verktyg 199
Vektorer 200
Addition av vektorer 200
Exempel 201
Uppgifter 205
4.8 Test - Trigonometri och vektorer 207
Diagnos 208
Gruppuppgift 209
Blandade övningar 210
Sammanfattning 214
5 Funktioner 216
5.1 Koordinatsystemets uppbyggnad 217
Exempel 218
Uppgifter 219
5.2 Funktionsbegreppet 220
Exempel 221
Uppgifter 223
5.3 Skrivsättet f(x) 225
Exempel 226
Uppgifter 227
5.4 Vad är proportionalitet? 229
Exempel 230
Uppgifter 231
5.1–5.4 Test - Koordinatsystem, funktionsbegreppet och skrivsättet f(x) 232
5.5 Värdetabell och y = kx + m 233 k-värdet 234
Linjer med positivt eller negativt k-värde 235 m-värdet 235
Exempel 236
Uppgifter 238
5.5 Test – Värdetabell och y = kx + m 240
5.6 Bestäm räta linjens ekvation grafiskt 241
Exempel 242
Uppgifter 244
5.6 Test – Bestäm räta linjens ekvation grafiskt 247
5.7 Exponentialfunktioner 248
Exempel 250
Uppgifter 252
5.7 Test – Exponentialfunktioner 255
5.8 Rita funktioner med hjälp av digitala verktyg 256
Rita en graf från en funktion 256
Uppgifter 258
Diagnos 259
Gruppuppgift 260
Blandade övningar 261
Sammanfattning 264
6 Statistik och
sannolikhet 266
6.1 Enkla slumpförsök 267
Exempel 269
Uppgifter 270
6.2 Träddiagram – oberoende händelse 271
Exempel 273
Uppgifter 275
6.1–6.2 Test - Slumpförsök, träddiagram och oberoende händelse 277
6.3 Tärningsdiagram 278
Exempel 279
Uppgifter 281
6.4 Komplementhändelse 283
Exempel 283
Uppgifter 285
6.3–6.4 Test – Tärningsdiagram och komplementhändelse 286
6.5 Träddiagram – beroende händelse 287
Exempel 289
Uppgifter 291
6.5 Test - Träddiagram och beroende händelse 293
6.6 Statistik i samhället 294
Frekvenstabell 294
Stapeldiagram 294
Stolpdiagram 295
Cirkeldiagram 295
Linjediagram 296
Histogram 296
Vilseledande statistik 296
Exempel 297
Uppgifter 298
6.7 Lägesmått 302
Medelvärde 302
Median 302
Typvärde 303
Spridningsmått 303
Exempel 304
Uppgifter 306
6.8 Statistiska samband 308
Population 308
Urvalsmetoder 308
Mätfel 309
Korrelation 309
Kausalitet 310
Exempel 311
Uppgifter 312
6.6–6.8 Test – Statistik i samhället, lägesmått och statistiska samband 314
Diagnos 315
Gruppuppgift 316
Blandade övningar 317
Sammanfattning 320
7 Repetition 322
Blandade övningar 323
Yrkesspecifikt innehåll 328
Barn- och fritidsprogrammet 328
Bygg- och anläggningsprogrammet 330
Facit 331
Register 348
Formelblad 350
Centralt innehåll
● Hantering av algebraiska uttryck, inklusive att faktorisera och multiplicera uttryck.
● Metoder för att lösa linjära ekvationer.
● Hantering av formler som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv.
● Användning av digitala verktyg för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, t.ex. vid ekvationslösning.
● Hjälpmedel och verktyg som är relevanta för att hantera matematik inom karaktärsämnen såsom formulär, mallar, manualer m.m.
3 Algebra
Algebra är den del i matematiken då vi jobbar med bokstavsuttryck. Ordet algebra kommer troligen från det arabiska ordet al-jabr, som har hittats redan på 800-talet i arabiska matematikböcker. På den tiden betydde ordet inte bokstavsuttryck utan “att addera lika termer”. Grundläggande algebra, som exempelvis ekvationer, är en av matematikens hörnstenar. Genom att införa en bokstav för ett obekant tal kan du lösa många problem utan att klura allt för länge.
Sant eller falskt?
Diskutera följande tre påståenden med klasskompisar. Motivera varför du tycker som du gör.
Påstående Sant Falskt
1. Lösningen på en ekvation förändras inte om man byter plats på termerna inom samma led, så länge tecknen behålls.
2. Om ett tal multipliceras med sig själv och sedan minskas med det ursprungliga talet, blir resultatet alltid större än eller lika med 0.
3. Om summan av två positiva heltal är ett udda tal, måste ett av talen vara jämnt och det andra udda.
3.1 Algebraiska uttryck
Algebra
Vi ska redan från början skilja på två olika begrepp som många blandar ihop – uttryck och ekvationer. Begreppen är inte samma sak. Enklast att förklara skillnaden är att ekvationer alltid innehåller ett likhetstecken medan ett uttryck saknar det.
Några bra begrepp du behöver lära dig:
Algebra betyder ungefär bokstavsräkning och följer samma räkneregler som när vi räknar med vanliga tal. Ett algebraiskt uttryck har minst en bokstav, men inget likhetstecken.
Ett exempel på ett algebraiskt uttryck är 2x + 4.
I uttrycket 2x + 4 säger man att x är variabeln, det vill säga x kan variera. Eftersom variabeln kan ändras beroende på vilket värde x har så kan även uttrycket ändras.
Om x = 3 blir uttrycket 2 ⋅ 3 + 4 = 6 + 4 = 10.
När vi har långa uttryck vill vi förenkla uttrycket för att minimera risken att räkna fel. Om du har ett långt uttryck, som till exempel: 2x + 5 + 3x – x – 1 så kan vi förenkla detta uttryck genom att dela upp bokstäver för sig och tal för sig.
Det är viktigt att tänka på att varje tecken hör ihop med den variabel eller det tal som följer.
Vi får efter förenkling 4x + 4.
Algebraiskt uttryck
• innehåller inte ett likhetstecken
• visar ett värde eller beräkning
Lägg märke till att det alltid står ett ”osynligt” multiplikationstecken mellan ett tal och en variabel (bokstav).
3.1 Teori
Beräkna värdet av algebraiska uttryck
200 + 0,5x
konstant koefficient variabel
● Konstant = består enbart av ett tal, i vårt fall är det en fast avgift på 200 kr.
● Koefficient = talet som vi multiplicerar variabeln med, i vårt fall 0,50 kr/min.
● Variabel = bokstaven i uttrycket, som kan ha olika värden.
Det är lättare att förstå värdet av ett uttryck genom att titta på ett exempel.
Tänk dig ett mobilabonnemang som har en fast avgift på 200 kronor per månad, och dessutom kostar 0,50 kronor per minut när du ringer.
Hur mycket kostar det om du ringer i 100 minuter under en månad?
Vi vet då att x = 100 och ska sätta in detta i ditt uttryck.
Fast avgift - en avgift som är konstant och inte påverkas av hur mycket eller hur ofta en tjänst används, t.ex. en startavgift för ett taxipris.
Rörlig avgift - en kostnad som beror på hur mycket eller hur ofta en tjänst används, t.ex. en taxiresa där priset beror på antalet körda kilometer.
3.1 Uppgifter
Stödfrågor
• Kan du förenkla uttrycket?
• Får du veta vilket tal din variabel motsvarar, dvs. kan du byta ut din variabel mot ett tal?
Nivå 1
3101 Förenkla följande uttryck.
a) x + x + x + x
b) 6y + 3y
c) 7x – 3x
d) 5z – 4z
3102 Förenkla följande uttryck.
a) x + 2 + x + 5
b) 8 + 6y + 3 + 3y
c) 8 − 7x − 5 − 2x
d) 5z + 4 − 3z − 1
3103 Beräkna värdet av uttrycket 6 + 2x då
a) x = 3
b) x = 5
c) x = −2
d) x = −6
3104 Siv har en VVS-firma. När kunder vill anlita henne ger hon ut formeln K = 600 + 400x till kunderna för att man ska kunna räkna ut hur mycket det kostar att anlita henne. K står för kostnaden i kr och x står för antal timmar kunden anlitar henne. Vad kostar det att anlita Siv
a) i 3 timmar?
b) i 10 timmar?
3105 Som snickare ska du byta tak på ett hus och behöver en skylift. Ett uthyrningsföretag hyr ut en skylift enligt formeln K = 700 + 500x. K står för kostnaden i kr och x för antal dagar. Vad kostar det att hyra skyliften i
a) två dagar?
b) en vecka?
3106 Beräkna värdet av uttrycken då x = 3 och y = 4.
a) 2x + y
b) 4x − 2y
c) 5 − 2x + 4y
d) 3x − 5y − 2
3107 Beräkna värdet för uttrycket 4n + 5 − 3n − 1
om n = 3.
a) Före förenkling.
b) Efter förenkling.
Nivå 2
3108 Pierre behöver köpa en ny skåpbil till sina snickare. Han tar ett banklån på 200 000 kr för att köpa skåpbilen. Varje år ska han betala av (amortera) 30 000 kr på lånet. Uttrycket 200 000 − 30 000x visar lånets storlek i kr efter x år.
a) Hur stort är lånet efter två år?
b) Hur stort är lånet efter sex år?
3109 Sofias aktier har värdet q kr. Vilket eller vilka uttryck beskriver en halvering av aktiernas värde?
0,5q q 2 2 q 1 2q 1 2 q
3110 Misha behöver trycka upp reklamblad för sin firma. Tryckkostnaden för reklambladen kan beräknas med formeln
R = 400 + 1,6x där R är kostnad i kr och x är antal reklamblad.
a) Beräkna R då x = 1 000.
b) Hur mycket kostar det att trycka 3 500 reklamblad?
3.1 Uppgifter
3111 Sara driver en pizzeria där restaurangen använder sig av en vedugn. I vedugnen stiger temperaturen med konstant hastighet. Ugnens temperatur i grader Celsius kan beräknas med uttrycket 100 + 4x där x är antal minuter efter kl. 11.00.
a) Hur varmt är det i ugnen kl. 11.50?
b) Hur varmt är det i ugnen kl. 13.20?
Nivå 3
3112 Beräkna utan räknare värdet av uttrycken nedan då x = −4 och y = 2.
a) 3x + 4y
b) 6x − (3y + 10)
c) 2x + 3y y
3113 Beräkna uttryckets värde utan räknare då x = 5 och y = –4.
a) 4x − y
b) 2x + 3y
c) x − 2xy
3114 Rita av bilden i ditt häfte. Fyll i de tomma rutorna så att summorna i kvadraten blir
3a + 9 både lodrätt, vågrätt och diagonalt. Du får en diagonal rad du kan utgå från.
a + 5
a + 3
a + 1
3(x + 2) = 3 · x + 3 · 2 = = 3x + 6
3.2 Uttryck med parenteser
Om ett uttryck innanför en parentes inte enbart består av tal utan också av variabler måste vi använda oss av särskilda räkneregler för att förenkla dem.
När det är ett plustecken framför en parentes kan parentesen tas bort.
a + (b + c) = a + b + c a + (b – c) = a + b – c
När det står ett minustecken framför en parentes måste tecknet inne i parentesen ändras när du tar bort parentesen. a – (b + c) = a – b – c a – (b – c) = a – b + c
När vi ska multiplicera in ett tal i en parentes gäller distributiva lagen.
Distributiva lagen
a(b + c) = ab + ac
a(b – c) = ab – ac
Mellan talet (faktorn) och parentesen är det alltid ett osynligt multiplikationstecken om inget annat anges. Uttrycket 3(x + 2) betyder 3 ⋅ (x + 2) men vi skriver aldrig ut multiplikationstecknet.
Multiplikation kan alltid skrivas som upprepad addition. Till exempel kan uttrycket 3(x + 2) skrivas som:
(x + 2) + (x + 2) + (x + 2)
Eftersom det är plus framför alla parenteser kan vi ta bort dem:
x + 2 + x + 2 + x + 2 = 3x + 6
Det här sättet fungerar, men det kan vara omständligt. Om du lär dig distributiva lagen blir det enklare och minskar risken för slarvfel, eftersom den kräver färre steg.
Enligt distributiva lagen får vi: 3(x + 2) = 3 · x + 3 ⋅ 2 = 3x + 6.
3.2 Exempel
Förenkla uttryck 1
Förenkla uttrycket 4x + (6x – 3) + (4 – 2x)
Lösning
Vi tittar först på tecknen framför parenteserna och ser att det är plus framför båda parenteserna, dvs. vi behöver inte ändra tecknen inne i parenteserna när vi tar bort dem.
4x + 6x – 3 + 4 – 2x
Vi förenklar uttrycket.
4x + 6x – 3 + 4 – 2x = 8x + 1
Svar: När vi har förenklat uttrycket får vi 8x + 1.
Förenkla uttryck 2
Förenkla uttrycket 8a – (3 – 3a) – (2a + 5)
Lösning
Vi tittar först på tecknen framför parenteserna och ser att det är minus framför båda parenteserna, dvs. vi måste ändra tecknen inne i parenteserna när vi tar bort dem.
8a – 3 + 3a – 2a – 5
Vi förenklar uttrycket.
8a – 3 + 3a – 2a – 5 = 9a – 8
Svar: När vi har förenklat uttrycket får vi 9a – 8.
3.2
Exempel
Förenkla uttryck 3
Förenkla uttrycket 4(3 + 2x) + 2(5x – 4)
Lösning
Multiplicera in varje tal utanför parentesen med varje term inuti parentesen.
4(3 + 2x) + 2(5x – 4)
Vi får (4 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2x) + (2 ⋅ 5x – 2 ⋅ 4).
Ta bort parenteserna och kom ihåg att ändra tecken inne i de parenteserna som föregås av ett minustecken. Det behövs inte i detta fall.
12 + 8x + 10x – 8
Förenkla.
4 + 18x eller 18x + 4
Svar: När vi har förenklat uttrycket får vi 4 + 18x.
3.2 Uppgifter
Stödfrågor
• Vad har du för tecken framför parentesen?
• Ska något multipliceras in i parentes?
• Ta bort parentes, tänk på tecknet före parentes.
• Förenkla uttrycket om det går.
Nivå 1
3201 Förenkla följande uttryck.
a) 6x + (3 − 2x)
b) 9x + (3x − 7)
3202 Förenkla följande uttryck.
a) 9y − (3 − 7y)
b) 12z − (5z − 5)
3203 Förenkla följande uttryck.
a) 8y − (3 + 7y)
b) 18z + (5 − 6z)
3204 Förenkla följande uttryck.
a) (6 − 8z) − 4
b) (6x − 5) − 7
3205 Multiplicera in i parentesen.
a) 3(4b + 2)
b) 6(3 − 2x)
c) 4(3y − 8)
3206 Multiplicera in i parentesen och förenkla.
a) 6b + 3(4b + 2)
b) 6(3 − 2x) − 15
c) −4(2y − 3) + 2
3207 Du har uttrycket 7(4 − 2x) + 10x.
a) Förenkla uttrycket.
b) Beräkna värdet av uttrycket då x = 5.
3208 Du har uttrycket 4(2a + 4) − 3(3a + 5).
a) Förenkla uttrycket.
b) Beräkna värdet då a = 7.
Nivå 2
3209 Du har uttrycket 6(3y − 5z) − (14y − 20z).
a) Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
b) Beräkna värdet av uttrycket då y = 4 och z = −3.
3210 Vilket eller vilka av följande uttryck är samma som x(x − 2) − 2x(2 − x)? x2 − 7x 2x2 − 4x – 2 −6x 3x2 − 6x
Nivå 3
3211 Du har uttrycket 3x(y + x) − y(2x − 1) − 3x2
a) Förenkla uttrycket.
b) Beräkna uttryckets värde då x = −4 och y = −3.
3212 Karin är medlem i en klubb som samlar på autografer från kändisar. Karin har samlat x stycken autografer. Charlie, som också är medlem i klubben, har 15 autografer mer än Karin. Björn har dubbelt så många autografer som Charlie. Sofia har en autograf färre än dubbelt så många som Björn. Teckna ett uttryck för hur många autografer de har tillsammans och förenkla så långt som möjligt.
3.1–3.2 Test – Algebraiska uttryck
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Förenkla uttrycket.
3x + 5 − 2x + 7
2 Förenkla uttrycket.
4x − (3x + 2) + (6 + 2x)
3 Vilket värde har uttrycket 3x − 5 om x = 21?
4 Förenkla uttrycket.
4(x + 3) + 2 − x
5 Du har uttrycket 3(4 − 2x) + 7x.
a) Förenkla uttrycket. Svara med variabeln först.
b) Räkna ut vad uttrycket blir då x = 4.
6 Vilket värde har uttrycket 3x − 5y, om x = 6 och y = 2?
7 Om du hyr en grävmaskin i x dagar kostar
det 1 000 + 550x.
a) Vad kostar det att hyra grävmaskinen i fyra dagar?
b) Vad kostar det att hyra grävmaskinen i en vecka?
Behöver du träna mera?
Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
3.7 Lös ekvationer med digitala verktyg
Så här kan du lösa ekvationer med hjälp av ett digitalt verktyg, exempelvis GeoGebra.
1. Öppna ditt digitala verktyg, exempelvis GeoGebra.
2. I vänster hörn hittar du ett ”inmatningsfält”. Klicka på det.
3. Skriv in din ekvation i ”inmatningsfältet” med hjälp av det tangentbord som finns i ditt digitala verktyg. I GeoGebra hittar du det längst ner till vänster.
4. Läs av var din lodräta linje skär x-axeln – det är din lösning till ekvationen. I bilden nedan är ekvationen 2 + x = 5 inmatad och lösningen är x = 3.
5. Är det svårt att utläsa var din graf skär x-axeln, så kan du sätta ut en punkt där grafen skär x-axeln.
● Klicka på ”punkt med A” i verktygsfältet uppe till vänster.
● Välj en punkt och sätt ut din punkt på grafen där du vill ha den, där grafen skär x-axeln. I inmatningsfältet ser du nu din punkt.
● Är y-värdet inte lika med 0 behöver du ”dra” punkten så att y-värdet blir lika med 0. Då är x-värdet i din punkt lösningen till din ekvation.
I bilden nedan ser vi punkt A (3, 0). Det betyder att lösningen till ekvationen är x = 3.
Teori
3.7 Exempel
Ekvation 1
Lös ekvationen 3 + x = 6 med hjälp av ett digitalt verktyg.
Lösning
Skriv in din ekvation i ”inmatningsfältet” med hjälp av tangentbordet.
3 + x = 6
Läs av i koordinatsystemet vart din lodräta linje skär x-axeln, x = 3.
Svar: Lösningen till ekvationen 3 + x = 6 är x = 3.
Ekvation 2
Lös ekvationen x2 = 25 med hjälp av ett digitalt verktyg.
Lösning
Skriv in din ekvation i ”inmatningsfältet” med hjälp av tangentbordet.
x2 = 25
Läs av i koordinatsystemet var din lodräta linje skär x-axeln.
x1 = –5 och x2 = 5
Svar: Lösningen till ekvationen är x1 = –5 och x2 = 5.
Ekvation 3
Lös ekvationen x3 – 4x2 + 3x = 0 med hjälp av ett digitalt verktyg.
Lösning
Skriv in din ekvation i ”inmatningsfältet” med hjälp av tangentbordet. x3 – 4x2 + 3x = 0
Läs av i koordinatsystemet där din graf skär x-axeln.
Svar: x1 = 0 och x2 = 1 och x3 = 3.
Ekvation 4
Lös ekvationen 1 000x = 2x med hjälp av ett digitalt verktyg.
Lösning
Skriv in din ekvation i ”inmatningsfältet” med hjälp av tangentbordet. 1 000x = 2x
Klicka på funktionen där du kan sätta ut punkter uppe i verktygsfältet.
Klicka i grafen där du vill ha dina punkter (i bilden ovan är det markerat med A och B). Får du inte exakta värdet på y-koordinaten, dvs. där y = 0, så drar du punkten så att värdet blir 0 på y.
Läs av vad ditt x-värde är då y = 0.
Svar: x1 = 0 och x2 = 13,75.
3.7
Exempel
Formel för kaströrelse
Sture kastar en boll upp i luften. Efter x sekunder har bollen höjden h meter över marken enligt formeln h(x) = 10x – x2 .
a) Efter hur lång tid är bollen på 25 meters höjd? Lös ekvationen med hjälp av ett digitalt verktyg.
b) Efter hur många sekunder träffar bollen marken igen?
Lösning
a) Skriv in i ”inmatningsfältet” 10x – x2 = 25. Läs av där din graf skär x-axeln. Använd dig av funktionen i verktygsfältet och sätt ut en punkt på x-axeln. Du ser då att x = 5.
Svar: Efter fem sekunder är bollen på 25 meters höjd.
b) För att se hur lång tid bollen är i luften skriver du in 10x – x2 = 0 (eftersom h är höjden över marken och när bollen träffar marken är höjden = 0). Du ser då att bollen är i luften mellan 0–10 sekunder.
Svar: Efter tio sekunder träffar Stures boll marken igen.
Formel för befolkningsökning
År 2018 hade Kalmar 45 000 invånare. Antal invånare förväntas öka med 1 % varje år. Detta innebär att vi kan beräkna invånarantalet med formeln y = 45 000 · 1, 01 x, där x är antal år efter 2018. Beräkna ekvationen 45 000 · 1, 01 x = 90 000 och beskriv det du har räknat ut.
Lösning
Skriv 45 000 · 1, 01 x = 90 000 i ditt digitala verktyg. Läs av var den röda linjen skär x-axeln. Använd dig av verktyget ”sätt ut en punkt” på din graf och sätt punkten där den skär x-axeln. Läs av att x = 70 år. Det betyder att det tar cirka 70 år för invånarantalet att fördubblas i Kalmar.
Svar: Kalmars invånarantal kommer att fördubblas på 70 år. År 2088 kommer Kalmar att ha 90 000 invånare om ökningen sker med 1 % varje år.
Ekvationslösning
Astrid är målvakt i fotboll och ska slå en inspark. Bollbanan kan beskrivas med funktionen y = 0,75x – 0,020x2 där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter från platsen där insparken sker. Hur långt från insparkspunkten landar bollen? (Du ska räkna ut ekvationen 0,75x – 0,020x2 = 0 och avrunda sedan ditt svar till hela meter).
Lösning
Lösning
Skriv in 0,75x – 0,020x2 = 0 i ditt digitala verktyg. Välj verktyget ”sätt ut en punkt” och markera där din graf skär x-axeln. Du ser då att kurvan skär x-axeln i 0 och 37,5. Bollen träffar alltså marken igen efter 37,5 meter.
Svar: Bollen landar 37,5 meter från insparkspunkten.
Observera att du måste skriva in en punkt istället för ett kommatecken då du skriver in decimaltal.
Observera att du måste skriva in en punkt istället för ett kommatecken då du skriver in decimaltal.
Stödfrågor
• Vad får du veta i uppgiften?
• Vad ska du räkna ut?
• Går det att rita upp din funktion?
• Är ditt svar rimligt?
Nivå 1
3701 Vad har ekvationen som är uppritad för lösningar?
3704 Jag tänker på ett tal. Jag adderar 8 till talet och multiplicerar sedan summan med 4. Därefter adderar jag 10 och dividerar hela uttrycket med 3. Då får jag talet 21. Vad hade jag för tal från början? Teckna en ekvation och lös problemet med hjälp av ett digitalt verktyg. Svara med tre värdesiffror.
3705 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Avrunda ditt svar till heltal. Finns det flera lösningar till ekvationen så börjar du med att skriva det minsta talet först.
a) x2 − 5x = −6
b) 2(x + 3)(x + 5) = 0
c) (x − 3)(x + 2)(x + 3) = 0
3706 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Finns det flera lösningar till ekvationen så börjar du med att skriva det minsta talet först.
a) 1,05x = 4. Svara med tre värdesiffror.
3702 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg.
a) 3x + 6 = 24 b) 3x 9 3 = 2x 5
c) x x + 4 + 1 = 16 x + 4
3703 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Avrunda ditt svar till heltal. Finns det flera lösningar till ekvationen så börjar du med att skriva det minsta talet först.
a) x2 = 9 b) (x + 2)(x − 1) = 0
c) x2 + 4x − 5 = 0
b) (x + 2)2 = 9
c) √x + 3 = x. Svara med två värdesiffror.
Nivå 2
3707 Formeln y = 2,3 + x − 0,10x2 beskriver en bolls bana där x är längd i meter och y är höjd i meter. Använd lämpligt digitalt verktyg för att lösa följande uppgifter.
a) Räkna ut hur långt bollen kommer vid ett kast (då y = 0). Avrunda ditt svar till två värdesiffror.
b) Från vilken höjd börjar bollen att kastas (då x = 0)? Avrunda ditt svar till två värdesiffror.
3.7 Uppgifter
3708 Pakistans tillväxt i invånarantal år 2015 kan beräknas med formeln y = 168 ⋅ 1,018x , där y är antal miljoner invånare och x är antal år efter 2015.
a) Hur många invånare har Pakistan år 2015?
b) Efter hur många år från 2015 når Pakistans befolkning cirka 200 miljoner?
3709 Idrottsläraren Klas får en fråga från en elev om hur långt han kan kasta en basketboll. Klas vet att han kan räkna ut detta med hjälp av formeln y = 0,75x − 0,020x2 , där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter från där han står och kastar.
a) Hur långt kastar Klas basketbollen enligt formeln? Svara med två värdesiffror.
b) Hur högt når basketbollen som högst?
3.8 Problemlösning
Ordet "problem" kan ibland uppfattas som något negativt, men i matematik handlar det om något positivt – som att lösa utmaningar. Problemlösning är en central del av matematiken, där du använder dina tidigare kunskaper för att hitta lösningar. På många sätt är det just problemlösningen som är höjdpunkten i matematik.
Det finns ingen enskild metod som alltid fungerar i problemlösning men det finns olika strategier du kan tänka på vid problemlösning som underlättar för dig. Det viktigaste är att du ska läsa och försöka förstå problemet. Börja med att rita eller tänka dig in i situationen. Det steg du tar i ditt tänkande kommer att leda dig vidare till nästa steg.
Problemlösningsstrategier
• Läs hela uppgiften flera gånger.
• Försök att sätta dig in i problemet och hur det kan se ut.
• Upprepa frågan för dig själv. För att lösa ett problem är det viktigt att förstå själva frågan först.
• Rita gärna en bild till problemet. Har du gjort någon liknande uppgift tidigare? Kanske samma strategi fungerar till detta problem?
• Skriv ner det viktiga från uppgiften. Exempelvis om du får en formel, ekvation eller funktion, skriv då ner den och skriv även vad bokstäverna står för.
• Bestäm räknesätt/strategi för att lösa problemet. Är det något du inte vet kan du föra in en variabel för detta. Oftast använder man bokstaven x som variabel.
• Skriv ner din lösning och visa hur du löser problemet.
• Reflektera över ditt svar. Verkar svaret rimligt?
3.8 Exempel
Gåta
Eros tänker på ett tal. När han fördubblar talet och lägger till 16 blir resultatet 76.
Vilket tal tänker Eros på?
Lösning
Ställ upp en ekvation för att lättast lösa problemet.
Det tal Eros tänker på kallar vi x
Att fördubbla talet betyder att vi får 2x.
Därefter ska vi lägga till 16 och då får vi 2x + 16.
Allt detta ska bli lika med 76.
Vi får då ekvationen 2x + 16 = 76 som vi ska lösa.
2x + 16 = 76
2x + 16 − 16 = 76 − 16
2x = 60
2x 2 = 60 2
x = 30
Kontroll
Vi börjar med att ta bort allt som inte har med x att göra i VL. Motsatt räknesätt till addition är subtraktion. Därför subtraherar vi båda led med 16.
Vi har nu 2x = 60 och vill enbart ha kvar x i VL. Motsatt räknesätt till multiplikation är division. Vi dividerar med 2 på båda sidor om likhetstecknet.
Vi kan kontrollera om x = 30 genom att sätta in 30 i vår ekvation från början för att se om det blir lika mycket på båda sidor om likhetstecknet.
VL: 2 ⋅ 30 + 16 = 76
HL: 76
Vi ser att VL = HL = 76. Vi har hittat rätt lösning till ekvationen.
Svar: Eros tänker på talet 30.
3.8
Exempel
Problem med procent
36 elever på en skola fick betyget C i matematik. Det var 9 % av alla elever. Hur många elever gick på skolan?
Lösning
Anta att antal elever på skolan är x.
9 % kan skrivas som 0,09 och 9 % av x kan skrivas som 0,09 ⋅ x.
Vi får då ekvationen 0,09 · x = 36 som vi ska lösa.
0,09 x 0,09 = 36 0,09
x = 400
Motsatt räknesätt till multiplikation är division. Därför dividerar vi båda led med 0,09.
En annan strategi är att använda oss av den formel vi lärde oss i procentavsnittet:
Andelen = Delen Det hela
Vi vet att andelen motsvarar 9 % och i decimalform blir det 0,09.
Vi vet delen, dvs. hur många elever som motsvarar 9 %, vilket är 36 elever.
Det hela vet vi inte och kallar det för x.
Vi får då ekvationen:
0,09 = 36 x Vi vill ta bort x från nämnaren.
0,09 ∙ x = 36 x ∙ x
Motsatt räknesätt till division är multiplikation. Vi multiplicerar med x på båda sidor om likhetstecknet. I HL kan vi nu förkorta bort x
0,09 · x = 36 Nästa steg är att enbart få x kvar i VL.
0,09 ∙ x 0,09 = 36 0,09
x = 400
Kontroll
Motsatt räknesätt till multiplikation är division. Därför dividerar vi båda led med 0,09.
Vi kan kontrollera om x = 400 genom att sätta in 400 i vår ursprungliga ekvation för att se om det blir lika mycket på båda sidor om likhetstecknet.
0,09 · 400 = 36
Vi ser att VL = HL = 36. Vi har hittat rätt lösning till ekvationen.
Svar: Det gick 400 elever på skolan.
Pengar
Jesper har dubbelt så mycket pengar som Caroline. Hugo har 100 kr mer än
Caroline. Tillsammans har de 1 900 kr. Hur mycket pengar har var och en?
Lösning
Caroline har x kr.
Jesper har 2x kr.
Hugo har x + 100 kr.
Tillsammans har de 1 900 kr.
Vi får då ekvationen
x + 2x + (x + 100) = 1 900 Detta kan vi förenkla först genom att addera variablerna med varandra.
4x + 100 = 1 900
4x + 100 – 100 = 1 900 – 100 Motsatt räknesätt till addition är subtraktion. Därför subtraherar vi båda led med 100.
4x = 1 800
4x 4 = 1 800 4
x = 450 kr
Motsatt räknesätt till multiplikation är division. Därför dividerar vi båda led med 4.
Nu kan vi svara på frågan hur mycket pengar var och en av dem har.
Caroline har 450 kr.
Jesper har 2 ⋅ 450 kr = 900 kr.
Hugo har 450 kr + 100 kr = 550 kr.
Kontroll
Kontrollera ditt svar med hjälp av din ekvation 4x + 100 = 1 900 där x = 450.
Vi får då:
VL: 4 ⋅ 450 + 100 = 1 900
HL: 1 900 dvs. vi har räknat rätt.
Svar: Caroline har 450 kr, Jesper har 900 kr och Hugo har 550 kr.
3.8 Uppgifter
Stödfrågor
• Vad får du veta i uppgiften?
• Vad ska du räkna ut?
• Vad blir din variabel?
• Kan du hitta en ekvation till problemet?
• Är ditt svar rimligt?
Nivå 1
3801 Linn tänker på ett tal, x. Hon multiplicerar talet med 3 och adderar 4 och får då talet 22. Vilket tal tänker Linn på?
A. talet 15
B. talet 6
C. talet 12
D. talet 9 (avrundat)
E. talet 8
3802 Saras farfar är 70 år. Han är fem gånger så gammal som Sara.
a) Med vilken ekvation kan du lösa problemet om du vill veta Saras ålder? Använd variabeln x i ekvationen.
b) Lös ekvationen och svara hur gammal
Sara är.
3803 Leo jobbar som idrottslärare och ska sätta upp en orientering som eleverna ska springa. Han ska sätta ut sex kontroller där det är x meter mellan varje kontroll, förutom till den sista kontrollen där det är 230 meter. Sammanlagt ska klassen springa 830 meter mellan alla kontroller.
a) Ställ upp en ekvation till problemet. Förenkla så långt det går.
b) Hur långt är det mellan kontroll två och tre?
3804 Linnea och Ulrika har varsin restaurang. En dag hade Linnea 123 gäster i sin restaurang. Det är tre gånger så många gäster som Ulrika hade i sin restaurang samma dag.
a) Ställ upp en ekvation som beskriver hur många gäster Ulrika hade i sin restaurang. Använd variabeln x i ekvationen.
b) Hur många gäster hade Ulrikas restaurang denna dag?
3805 Kostnaden för att hyra en elscooter kan räknas ut med formeln y = 250 + 40x där y är kostnaden i kr och x är antal timmar. Johan har 410 kr och hyr en elscooter för hela summan. Hur många timmar får han hyra elscootern?
A. 2 timmar
B. 3 timmar
C. 0,5 timmar
D. 4 timmar
E. 3,5 timmar
F. 1,5 timmar
3806 Klas har köpt in tre skåpbilar till sitt VVSföretag. Nu behöver han veta hur långt garaget ska vara för att alla tre skåpbilar ska få plats efter varandra. Mellan varje skåpbil ska det vara lite mellanrum. Han vill ha bilarna enligt bilden, mellanrummet är inräknat i bilden.
a) Vilken ekvation kan Klas använda för att räkna ut hur långt garaget behöver vara?
b) Hur långt garage behöver Klas bygga?
3807 På hantverksprogrammet fick 28 elever betyget B i matematik. Det motsvarar 7 % av alla elever på skolan.
a) Vilken ekvation kan du använda för att ta reda på hur många elever som gick på skolan?
b) Lös ekvationen.
Nivå 2
3808 Sofias syateljé har idag en vinst på 240 000 kr.
a) Ställ upp en ekvation för hur vinsten har ökat från förra årets vinst om den har ökat med 10 %.
b) Hur stor var vinsten förra året? Svara i hela kr.
3.8 Uppgifter
3809 Johan driver ett tvättcentrum. En dag fick han i uppdrag att tvätta en ny matta. Han läste på tvättrådsinstruktionerna till mattan att mattan krymper med 4 % vid första tvätten. Efter tvätten var mattan 280 cm lång.
a) Ställ upp en ekvation till problemet.
b) Hur lång var mattan före första tvätten? Svara i hela cm.
3810 Alexander ska göra en ny inhägnad till kossorna på sin bondgård. Han har 140 meter stängsel och vill göra en rektangulär kohage. Längden på kohagen ska vara 30 meter längre än bredden.
a) Vilken ekvation kan du ställa upp för att lösa problemet?
b) Hur stor area får kohagen?
3811 Maja och Noel tränar på gym. Som första övning i deras träningsprogram ska de springa sju km utomhus. Maja brukar springa en km på fem minuter och Noel springer en km på sex minuter. Hur lång tid ska Maja vänta med att starta om de vill komma fram samtidigt?
3812 På centralen i Stockholm går 52 passagerare på busslinje 105. Efter tio minuter stannar bussen och x antal passagerare går av och fyra går på bussen.
Vid andra hållplatsen går 1 3 av och tre personer går på. Nu finns det 25 passagerare på bussen. Hur många personer gick av vid den första hållplatsen? Lös problemet med en ekvation.
3.8
Uppgifter
Nivå 3
3813 Summan av tre på varandra följande heltal är 99.
a) Skriv en ekvation till problemet.
b) Vilka är talen? Börja med det minsta talet.
3814 Pia jobbar i en klädesbutik. En tröja ökade först med 5 % i pris men under mellandagsrean sänkte Pia priset med 30 %. Reapriset blev då 350 kr. Vad kostade tröjan innan första höjningen? Lös problemet med en ekvation och svara i hela kr.
3815 Carola samlar på femkronor och tiokronor och har totalt 215 mynt. Hur många tiokronor måste hon minst ha för att det sammanlagda värdet ska överstiga 1 500 kr?
3816 Gustav och Lovis jobbar i en djuraffär. Gustav tjänar 30 kr mindre per timme än Lovis. Båda arbetar 150 timmar var under en månad, och tillsammans tjänar de totalt 34 500 kr.
a) Låt x kr vara Lovis timlön. Skriv en ekvation som visar deras sammanlagda lön.
b) Lös ekvationen och ta sedan reda på hur mycket Gustav och Lovis tjänar per timme.
3.7 och 3.8 Test – Digitala verktyg och problemlösning
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Du tänker på ett tal du kallar x.
1. Addera talet med 2.
2. Multiplicera uttrycket med 3.
3. Addera uttrycket med 9.
4. Dividera uttrycket med 3.
5. Subtrahera det uttryck du har med x.
Vad får du för tal?
2 Björn jobbar som veterinär och behöver väga en kanin. Han tar kaninen i famnen och ställer sig själv på vågen. Då visar vågen 54,3 kg. Därefter väger Björn sig själv och får resultatet 49,6 kg på vågen.
a) Ställ upp en ekvation för situationen där du kallar kaninens vikt för x kg.
b) Lös ekvationen.
3 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Finns det flera lösningar till ekvationen så börjar du med att skriva det minsta talet först.
a) 1,3x = 4. Svara med två värdesiffror.
b) (x + 1)2 = 9. Svara med två värdesiffror.
4 En triangel med sidorna y, 3y och y + 30 har omkretsen 320 cm. Hur lång är den längsta sidan?
5 Ali tar ett lån med 3,5 % ränta. Ett år betalar han sammanlagt 24 500 kr i ränta.
a) Skriv en ekvation till problemet. Använd variabeln x för lånebeloppet.
b) Hur stort är Alis lån?
Behöver du träna mera?
Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
3 Diagnos
Syftet med diagnosen är att du ska se vad du kan och vad du kan behöva jobba mera med i detta kapitel.
1 Förenkla så långt som möjligt.
a) 4x + 6x − 2x
b) 3x + 5 − 2x + 2
Repetera mera i avsnitt 3.1
2 Beräkna värdet av uttrycket 7x − 4 då x = 3.
Repetera mera i avsnitt 3.1
3 Lös ekvationerna.
a) 4x − 7 = 9 b) 2x + 4x = 360
c) y 7 = 5 d) t 4 + 18 = 28
Repetera mera i avsnitt 3.3
4 Lös problemet.
a) Skriv en ekvation som beskriver meningen "30 % av x är 3 000".
b) Lös ekvationen.
Repetera mera i avsnitt 3.3
5 Leo är x år gammal. Skriv ett uttryck för
a) Saras ålder: Hon är tre gånger så gammal som Leo.
b) Alex ålder : Han är fyra år äldre än Sara.
Repetera mera i avsnitt 3.3
7 Är x = 2 en lösning till 15 x + 1 = 3?
Repetera mera i avsnitt 3.5
8 Lös ekvationen 6(3x − 4) = 30.
Repetera mera i avsnitt 3.5
9 Lös ekvationen 7x 10 x + 1 5 = 1.
Repetera mera i avsnitt 3.5
10 Lös ekvationen x x + 3 = 4 7.
Repetera mera i avsnitt 3.5
11 Kostnaden för att anlita en hantverkare kan räknas ut med formeln y = 1 700 + 250x, där y är kostnaden i kronor och x är antal arbetstimmar.
a) Vad kostar det att anlita hantverkaren i sex timmar?
b) Du har en budget på max 7 700 kr att anlita hantverkaren för. Hur många timmar kan du anlita hantverkaren?
Repetera mera i avsnitt 3.6
12 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg.
a) 2x2 + 12x − 32 = 0
b) 1,6x = 5. Svara med två värdesiffror.
Repetera mera i avsnitt 3.7
6 Lös ekvationerna.
a) 9x + 3 − 2x = 24 b) 4x − 6 = x + 21
Repetera mera i avsnitt 3.4
Hur gick det? Välj Blandade övningar utifrån hur det gick på Diagnosen.
Gruppuppgift
Spelkonstruktör
Du ska nu få göra ett eget spel. Du kommer samtidigt att lära dig hur du skriver matematiska uttryck och hur du sätter in siffror i ditt uttryck.
Förberedelser
1. Hitta två tärningar med olika färg. Kalla den ena tärningen för x och den andra tärningen för y.
2. Ta fram spelpjäser. Antalet spelpjäser beror på hur många som ska spela ditt spel samtidigt.
3. G ör en spelplan med hjälp av en dator eller på ett papper. Börja med att sätta ut START och MÅL. Mellan starten och målet gör du rutor, minst 20 stycken, men gärna fler.
4. Skriv ner olika matematiska uttryck (t.ex. 2x – y) i en tabell.
5. Fördela dina matematiska uttryck i rutorna på spelplanen.
6. Nu är spelet klart att börja spelas, ramarna är på plats och du har påbörjat ditt arbete som spelkonstruktör.
Spelregler
Spelarna turas om att slå med tärningarna. Om en spelare hamnar på rutan ”2x – y” betyder det att spelaren får flytta fram sin pjäs två gånger den röda tärningens prickar visar minus det antal prickar den blåa tärningen visar.
Tänk på att ni andra som är med i spelet behöver vara alerta eftersom ni ska kontrollera att spelaren har räknat rätt.
Får spelaren ett negativt tal ska spelpjäsen flyttas bakåt motsvarande steg, dock aldrig längre bak än startrutan.
Du kanske kan utveckla spelet ännu mer och får självklart hitta på egna regler. Låt din fantasi flöda!
Nivå 1
3 Blandade övningar
1 Beräkna värdet av uttrycket 4x + 7 − x − 16 om a) x = 3 b) x = −4
2 Förenkla så långt som möjligt. −17y − 13 − 8y − 7x − y + 3y + 8x − 2
3 Är x = 8 en lösning till x 2 6 = 2x 14?
4 Förenkla uttrycket 15 − 4(2y + 3) så långt som möjligt.
5 Lös ekvationen.
6x 7 3 = 3
6 Lös följande ekvationer.
a) 7x − 6 = 5x + 14
b) 6(x − 3) + 8 = 20
7 Rut, Ahmed och Siv har alla löst samma ekvation men kommit fram till olika svar.
Vem har löst ekvationen 2(x + 5) = 15 rätt?
Ruts lösning.
2(x + 5) = 15
2x + 10 = 15
2x = 25
x = 12,5
Ahmeds lösning.
2(x + 5) = 15
2x + 5 = 15
2x = 10 x = 5
Sivs lösning.
2(x + 5) = 15
x + 5 = 7,5
x = 2,5
8 Ett taxibolag tar betalt med en fast avgift som är 120 kr och en rörlig avgift som är 20 kr för varje kilometer du åker.
a) Skriv en formel för den totala avgiften y kr då du åker x kilometer.
b) Hur långt åkte Janne när han fick betala
300 kr för en taxiresa?
9 Lös ekvationen.
x 4 = 2 5
10 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Glöm inte att testa din lösning. Finns det flera lösningar så skriver du den minsta lösningen först.
a) 3x − 16 = 29
b) x2 − 13 = 23
11 Mona, Malin och Nathalie springer en stafett för sin skola i skol-DM. Malin springer på dubbelt så lång tid som Mona. Nathalie tar 30 minuter längre tid på sig än Malin. Tillsammans har de sprungit i 2 timmar och 45 minuter. Hur lång tid tog det för varje person i laget att springa sin sträcka?
12 Lös ekvationen.
x x + 10 = 3 5
13 Förenkla uttrycket a 3 3b 2 + a 2 + 2b så långt som möjligt.
14 Lös ekvationen. 5x 2 3 8 = 11 24 + 5x 4
15 Lös ekvationen 1 2x + 2 3 = 13 15 och svara i decimalform.
16 Lös följande ekvationer med lämpligt digitalt verktyg. Glöm inte att testa din lösning. Avrunda ditt svar till två värdesiffror.
a) 2t2 + 4t = 30 b) 250 ⋅ 1,2x = 500
17 Om du vet att 2x + 4y = 18, hur mycket är då x + 2y?
18 Hasse jobbar i en fabrik där de fryser ner livsmedel. När en frys stängs av stiger temperaturen enligt formeln y = 0,3x − 21 där y är temperaturen i grader Celsius efter x timmar.
a) Vad är frysens temperatur när den har varit avstängd i tre timmar?
b) Hur länge har frysen varit avstängd då temperaturen är 0 °C?
19 Ett 540 cm långt järnrör gick av för rörläggaren Leah när hon skulle installera vatten i ett badrum. Den längre delen av röret var fem gånger så lång som den kortare. Hur lång är respektive del av röret?
A. Korta delen av röret = 90 cm
Långa delen av röret = 450 cm
B. Korta delen av röret = 27 cm
Långa delen av röret = 108 cm
C. Korta delen av röret ≈ 77 cm
Långa delen av röret ≈ 308 cm
D. Korta delen av röret = 27 cm
Långa delen av röret = 135 cm
20 Figurerna nedan har samma omkrets. Bestäm rektangelns längsta sida.
21 Lös ekvationen.
x + 1 3 x 4 = 3
22 Beräkna värdet av uttrycket om x = 4 och y = −2.
a) xy – y2
b) x y + x 2 y
23 Fadi ska köpa lösgodis i en godisaffär. Affären har två olika priser på sitt lösgodis, det ena kostar 10 kr/hg och det andra kostar 6 kr/hg. Sammanlagt köper Fadi 4 hg godis och får betala 30 kr. Hur mycket har Fadi köpt av varje sorts godis?
24 Lös ekvationen.
15 x = 6 x – 3
Blandade övningar
Nivå 3
25 Lös ekvationerna. a) 12 3x + 2 = 4 b) z 0,2 0,2 = 1
26 Emanuel och Ibrahim jobbar på en syriansk restaurang. Emanuels timlön är 30 kr högre än Ibrahims. Ibrahim måste jobba 10 timmar för att tjäna lika mycket som Emanuel gör när han jobbar 8 timmar. Vilka timlöner har Emanuel och Ibrahim?
27 Lös ekvationen √x + 2 1 = 5 med hjälp av lämpligt digitalt verktyg.
28 Lös ekvationen.
5x + 6 4 5x 8 12 = 7x + 5 6
29 Lukas, som driver en reklambyrå, hyr en kopieringsmaskin till sitt företag. Företaget som hyr ut kopieringsmaskinen använder formeln K = 800 + 0,1x för att räkna ut vad kopiorna kostar att göra. K är kostnaden i kr och x är antal kopior.
Hur mycket billigare blir varje kopia om Lukas gör 10 000 kopior per månad jämfört med 5 000 kopior per månad?
A. Det blir 26 öre billigare per kopia att göra 10 000 kopior jämfört med 5 000 kopior.
B. Det blir 8 öre billigare per kopia att göra 10 000 kopior jämfört med 5 000 kopior.
C. Det blir 18 öre billigare per kopia att göra 10 000 kopior jämfört med 5 000 kopior.
30 Klara jobbar som fordonstekniker. Det dras 1 3 av hennes månadslön i skatt. Därefter betalar hon 1 4 av det som är kvar i hyra. När hon har betalat både skatt och hyra har hon 15 000 kronor kvar. Hur stor är Klaras månadslön?
31 Hawa har tre armband som hon vill värdera. Första armbandet väger 40 g mer än dubbelt så mycket som armband 2. Armband 3 väger exakt fyra gånger så mycket som armband 1. Medelvärdet av alla armbandens vikt är 120 g. Hur mycket väger det tyngsta armbandet?
Nu är du klar med Blandade övningar och kan göra ett Övningsprov som din lärare har till dig.
Sammanfattning
Algebra
Uttryck kan förenklas medan ekvationer kan lösas. När du har en ekvation, har du ett likhetstecken. Det som står till vänster om likhetstecknet kallas vänsterled (VL), och det som står till höger om likhetstecknet kallas högerled (HL).
Algebraiskt uttryck
16 + 4x kallas för ett algebraiskt uttryck, eftersom det inte finns något likhetstecken.
Ekvation
16 + 4x = 8 kallas för en ekvation, eftersom det finns ett likhetstecken. VL är 16 + 4x och HL är 8.
Ekvationslösning
En ekvation är en likhet där en eller flera tal är okända och betecknas med en bokstav (variabel). Ofta används bokstaven x men det kan vara vilken bokstav som helst.
Balansmetoden
Använd alltid en metod, exempelvis balansmetoden, oavsett svårighetsgrad på ekvationen när du ska lösa uppgiften.
När du löser en ekvation ska x blir ensamt kvar på ena sidan om likhetstecknet.
För att få x ”fritt” på ena sidan om likhetstecknet använder du motsatta räknesätt.
● Addition och subtraktion är motsatta räknesätt.
● Division och multiplikation är motsatta räknesätt.
Har du x på båda sidor om likhetstecknet ska du samla alla x på den sida om likhetstecknet där du har flest positiva x.
Om du har x i nämnaren på ett bråk ska du multiplicera båda leden (VL och HL) med x så att x försvinner från nämnaren.
3 x = 3 4
x · 3 x = 3 4 · x
3 = 3x 4
4x = 6
x = 1,5
När du ska multiplicera in ett tal i en parentes kan du rita pilar från talet till varje term i parentesen. På så sätt ser du tydligt vilka multiplikationer som ska utföras och minskar risken att missa någon del.
3(x + 4) = 15
3x + 12 = 15 x 2 = 3 4
När du har löst en ekvation kan du alltid kontrollera att du har räknat rätt. Det gör du genom att sätta in det tal du fått för variabeln i ekvationen och se om VL = HL. Stämmer det så har du räknat rätt.
Formler används för att beskriva och lösa matematiska problem på ett snabbt och effektivt sätt.
Med digitala verktyg, som grafräknare och matematikprogram, kan vi lösa ekvationer, testa formler och visualisera samband.
Vid problemlösning inom algebra gäller det att tolka problemet, välja rätt metod och kontrollera om svaret är rimligt.
5.6 Bestäm räta linjens
ekvation grafiskt
Att hitta räta linjens ekvation grafiskt betyder att du utifrån en uppritad graf ska skriva ekvationen för linjen. En rät linje kan alltid skrivas på formen y = kx + m där k är värdet på linjens lutning och m anger var linjen skär y-axeln. Om linjen skär genom origo säger man att linjen är proportionell.
Vilken av linjerna har störst k-värde?
Den röda linjen har större k-värde (k = 4) än den gröna linjen (k = 1).
Vi ser detta genom att titta på vilken av linjerna som är brantast.
Hur hittar vi räta linjens ekvation för den blå linjen?
För att hitta m-värdet ser vi var linjen skär y-axeln. I koordinatsystemet ser vi att den blå linjens m-värde är 0 eftersom den går genom origo.
För att hitta k-värdet sätter vi pennan där linjen skär y-axeln och går ett steg ut i x-led och ett steg uppåt i y-led till linjen, men då märker vi att vi inte kommer till linjen. Vi måste gå två steg i y-led för att komma till linjen.
Vi får då 1 i x-led och 2 i y-led.
För att hitta k-värdet finns det en formel att använda k
I denna formel har vi introducerat en ny symbol, en liten triangel (Δ).
Denna triangel kallas delta och ska ses som skillnaden mellan två tal (se blå linje i koordinatsystemet). I detta fall betyder Δx och Δy hur långt vi rör oss i x-led och y-led för att gå från en punkt på linjen till en annan punkt på linjen.
Nu kan vi ersätta k och m i räta linjens ekvation med våra värden. Det ger y = 2x + 0.
Eftersom vi vanligtvis inte skriver ut + 0, kan vi förenkla ekvationen till y = 2x.
Den blå linjen som är uppritad i koordinatsystemet är alltså y = 2x.
Denna modell kallas trappstegsmodellen.
5.6 Exempel
Räta linjens ekvation
Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m.
Lösning
Läs av var linjen skär y-axeln. Där hittar vi m-värdet.
m = −2
Sätt pennan där linjen skär y-axeln. Gå ett steg i x-led och tre steg i y-led så du möter linjen.
k = Δy Δx = 3 1 = 3
Titta om linjen ökar eller avtar hela tiden. Vi ser att den ökar vilket innebär att vi har ett positivt k-värde.
Vi kan nu skriva den räta linjen på formen y = kx + m.
y = 3x − 2
Svar: Linjens ekvation är y = 3x − 2.
Vad är räta linjens ekvation?
Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m.
Lösning
Läs av var linjen skär y-axeln. Där hittar vi m-värdet.
m = 3
Sätt pennan där linjen skär y-axeln. Gå ett steg i x-led och två steg nedåt i y-led så du möter linjen.
k = 2 (k = 2 1 = 2)
Titta om linjen ökar eller avtar hela tiden. Vi ser att den avtar och då har vi ett negativt k-värde. Vi kan även tänka att när vi går nedåt för att se hur många steg i y-led vi behöver gå så får vi ett negativt tal.
Vi kan nu skriva den räta linjen på formen y = kx + m.
y = −2x + 3 eller y = 3 − 2x
Svar: Linjens ekvation är y = 3 − 2x.
Räta linjens ekvation 2
Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m. Svara även om linjen är proportionell.
Lösning
Läs av var linjen skär y-axeln. Där hittar vi m-värdet.
m = 3
Sätt pennan där linjen skär y-axeln. Gå två steg i x-led och ett steg uppåt i y-led så du möter linjen.
k = 0,5 (k = 1 2 = 0,5)
Titta om linjen ökar eller avtar hela tiden. Vi ser att den ökar, dvs. vi har ett positivt k-värde.
Vi kan nu skriva den räta linjen på formen y = kx + m.
y = 0,5x + 3 eller y = 3 + 0,5x
Svar: Linjens ekvation är y = 0,5x + 3.
5.6 Uppgifter
Stödfrågor
• Var skär linjen y-axeln? Detta är ditt m-värde.
• Använd ”trappmodellen” för att hitta ditt k-värde.
• Ökar eller avtar din linje?
• Skriv din linje på y = kx + m.
Nivå 1
5601 Vad är m-värdet?
5602 Vad är m-värdet?
5604 Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m.
5603 Vad är m-värdet?
5605 Skriv räta linjens ekvation på formen
y = kx + m.
5606 Vilka påståenden stämmer på den räta linjen i koordinatsystemet?
A. Den räta linjen har ett negativt k-värde.
B. Den räta linjen är en proportionalitet.
C. k-värdet är −1.
D. m-värdet är 4.
E. Linjen avtar ju större x-värde vi har.
F. Linjen ökar ju större x-värde vi har.
G. När x = 3 så är också y = 3.
H. När y = 8 så är x = −4.
5607 Besvara frågorna utifrån grafen nedan.
a) Vilket m-värde har den räta linjen?
b) Vilket k-värde har den räta linjen?
c) Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m.
d) Är linjen en proportionalitet?
5608 Besvara frågorna utifrån grafen nedan.
a) Vilken av graferna tillhör den räta linjen y = 2x + 5? Svara med röd eller grön.
b) Vilken linje har störst k-värde? Svara med röd eller grön.
c) Vid vilket x-värde skär linjerna varandra?
d) Vilket är m-värdet för den röda linjen?
Nivå 2
5609 Besvara frågorna utifrån den räta linjen.
a) Vilket m-värde har linjen?
b) Vilket k-värde har linjen?
c) Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m.
5610 Besvara frågorna utifrån den räta linje du har nedan.
a) Vilket m-värde har linjen?
b) Vilket k-värde har linjen?
c) Skriv linjen på formen y = kx + m.
5611 Du har två mobilabonnemang, se graferna nedan.
5613 Besvara följande frågor utifrån grafen nedan.
a) Vilket abonnemang har störst grundavgift, röd eller blå?
b) För vilken samtalstid är kostnaden för abonnemangen samma?
5612 Du jobbar i en frukthandel och säljer bland annat clementiner. Priset på clementiner kan visas med hjälp av en graf.
a) Vilket m-värde har linjen?
b) Vilken lutning har linjen?
c) Skriv den räta linjens ekvation.
5614 I figuren visas grafen till y = f (x). Ange linjens ekvation.
a) Vilket är kilopriset på clementiner?
b) Skriv priset y kr som en funktion av vikten x kg.
Nivå 3
5615 En rät linje går genom punkten (–3, 5) och har lutningen k = −2.
a) Vilket m-värde har linjen?
b) Vilken ekvation kan skrivas till linjen?
5.6 Test – Bestäm räta linjens ekvation grafiskt
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Vilket m-värde har grafen nedan?
4 Vilka påståenden passar till grafen?
A. Den räta linjen är en proportionalitet.
B. m = 5.
C. m = −5.
D. Linjen ökar ju större x-värde du har.
E. Linjen avtar ju större x-värde du har.
F. Linjens ekvation är y = x − 5.
G. Linjens ekvation är y = 5 − x.
H. Linjens ekvation är y = 5 − 1x.
I. När y = 0 är x = 5.
J. När x = 10 är y = −5.
2 Vilket k-värde har grafen nedan?
3 Skriv ekvationen för den räta linjen på formen y = kx + m utifrån grafen nedan.
5 Skriv ekvationen för den räta linjen på formen y = kx + m utifrån grafen nedan. Avgör också om linjen beskriver en proportionalitet och motivera ditt svar.
Behöver du träna mera?
Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
5.7 Exponentialfunktioner
Noel har 10 000 kr på sitt sparkonto, och beloppet ökar med 2 % ränta per år. Förändringsfaktorn blir då 1,02 (eftersom 100 % + 2 % = 102 %, vilket i decimalform är 1,02). Efter ett år har Noel 10 000 · 1,02 = 10 200 kr på sitt sparkonto.
Om Noel låter pengarna vara kvar på sitt sparkonto i totalt två år kommer han att ha 10 200 ⋅ 1,02 = 10 404 kr. Vi kan även räkna ut det på följande sätt: 10 000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 = 10 404 kr. Som du ser ökar inte Noels sparande med samma belopp varje år. Hans sparande är inte en linjär förändring (första året ökar det med 200 kr och andra året med 204 kr) och vi kan inte skriva Noels sparande på formen y = kx + m. Noels sparande ökar dock med lika många procent varje år och detta kallas en exponentiell förändring och kan skrivas på formen y = C · ax. Noels sparande kan vi beskriva med hjälp av funktionen y = 10 000 · 1,02x, som med andra ord kan skrivas som sambandet nya värdet = gamla värdet ⋅ förändringsfaktornx där x är antal år som Noel sparar pengar på sitt konto.
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas y = C · ax C = en konstant (ange skärning med y-axeln) a = förändringsfaktor och a > 0
Om a > 1 är funktionen växande.
Om 0 < a < 1 är funktionen avtagande.
Om a = 1 är funktionen konstant.
Noel har från början 10 000 kr på sitt konto, C = 10 000 kr. Hans pengar ökar varje år med 2 % vilket innebär att förändringsfaktorn är 1,02 och då är a = 1,02. Vi kan nu skriva Noels sparande som en exponentialfunktion där x är antal år han sparar. Vi får exponentialfunktionen y = 10 000 · 1,02x .
Vi kan även beskriva Noels sparande grafiskt.
Vi har en funktion som inte ökar i jämn takt som en linjär funktion (en rät linje) gör. Vi har istället en procentuell förändring med en förändringsfaktor upphöjt till x. Det betyder att funktionen ökar allt snabbare ju större x blir. Förändringen sker alltså exponentiellt.
Exponentialfunktioner beskriver ofta problem som handlar om tillväxt eller motsvarande. Det kan handla om ekonomi och hur något ökar eller minskar i värde. Eller så kan det handla om befolkningspopulation och hur ett land ökar eller minskar i befolkningsmängd.
Befolkning
Teori
5.7 Exempel
Tolka exponentialfunktionen
Johanna bor i ett samhälle med 10 000 invånare. Hennes samhälle växer i population. Ökningen av befolkningen i samhället kan beskrivas med exponentialfunktionen y = 6 000 · 1,12x där y är antal invånare och x är antal år.
a) Hur många bodde det i samhället när mätningen startade?
b) Hur många procent ökar samhället med varje år?
Lösning
a) Vi tolkar y(x) = 6 000 · 1,12x och jämför med den allmänna formen av exponentialfunktioner, y = C · ax , där C är startvärde och a är förändringsfaktor. I detta exempel är C = 6 000.
b) I vår exponentialfunktion y(x) = 6 000 · 1,12x ser vi att förändringsfaktorn är 1,12, vilket innebär en ökning med 12 %.
Svar: a) Från början bodde det 6 000 personer i samhället.
b) Befolkningen ökar med 12 % varje år.
Hitta funktionen
Stella ska köpa en dator. Hon köper datorn för 8 000 kr och funderar på vad den kan vara värd efter x år. Stella vet att datorns värde halveras varje år.
Vilken funktion kan hon använda för att räkna ut hur mycket datorn är värd efter x år?
Lösning
Vi ska hitta en exponentialfunktion eftersom datorn halveras i värde varje år, vilket innebär att den sjunker i värde med 50 % varje år.
Exponentialfunktioner skriver vi på formen y = C · ax där C är startvärde och a är förändringsfaktor. Vi vet att datorns startvärde är C = 8 000 kr. Vi vet också att datorns värde halveras varje år, vilket ger förändringsfaktorn 100 % – 50 % = 50 %. Förändringsfaktor är alltid ett decimaltal och vi omvandlar 50 % till 0,5. Nu kan vi skriva vår sökta exponentialfunktion, y = 8 000 · 0,5x, där y är datorns värde i kr och x är antal år efter köpet.
Svar: Stella kan använda sig av exponentialfunktionen y = 8 000 · 0,5x där y är datorns värde i kr och x är antal år efter köpet.
Exponentialfunktionen
När Oskar föddes fick han 15 000 kr insatt på ett bankkonto till en effektiv räntesats på 2 %.
Hur mycket pengar har han på kontot efter 17 år? Avrunda till hela kronor.
Lösning
Vi skriver vår exponentialfunktion på formen y = C · ax.
Oskar har från början 15 000 kr och då är C = 15 000. Förändringsfaktorn är 1,02 eftersom hans pengar ökar med 2 % varje år och då får vi förändringsfaktorn 100 % + 2 % = 102 % = 1,02.
Nu skriver vi vår funktion y = 15 000 · 1,02x där x är antal år.
Vi vill veta hur mycket pengar Oskar har på kontot efter 17 år (då x = 17) och sätter in det i funktionen. Vi ska då räkna ut 15 000 · 1,0217 och detta blir cirka 21 004 kr.
Svar: Oskar har 21 004 kr på sitt sparkonto efter 17 år.
Exempel
5.7 Uppgifter
Stödfrågor
• Är det en exponentialfunktion?
• Vad är ditt startvärde dvs. var skär funktionen y-axeln (C i formeln)?
• Vad är din förändringsfaktor (a i formeln)?
• Står det vad ditt x är i uppgiften?
Nivå 1
5701 Vilket C-värde har exponentialfunktionen?
5703 Du har exponentialfunktionen
y = 3 000 · 1,08x som beskriver hur en akties värde förändras per månad. Vilka påstående passar in på denna exponentialfunktion? Aktiens värde är från början 3 000 kr.
A. Den ökar med 108 % varje månad.
B. 1,08 är en förändringsfaktor.
C. Aktiens värde efter två månader är ca 3 499 kr.
5704 Maria jobbar som butikschef och hennes lön kan beskrivas med funktionen
y = 30 000 · 1,12x där y är lönen i kr och x är antal år efter år 2015.
a) Vad hade Maria för månadslön år 2015?
b) Med hur många procent ökar hennes lön varje år?
5702 Klara har ett månadssparande där hon sparar 500 kr varje månad. Hennes pengar växer med 1 % varje månad tack vare bankens ränta. Vilken funktion beskriver hennes sparande efter första månaden?
A. y = 500 + 1,01x
B. y = 500 · 1,01x
c) Vilken lön hade Maria år 2019? Svara i hela kronor.
5705 Adam köper en EU-moped. Värdet på mopeden kan beskrivas med funktionen
y = 20 000 · 0,85x där y är värdet i kr efter x antal år.
a) Vad kostar EU-mopeden när Adam köper den?
b) Värdet på EU-mopeden minskar varje år. Hur många procent minskar värdet per år?
c) Efter tre år väljer Adam att sälja mopeden. Hur mycket får han för mopeden? Svara i hela kronor.
5706 Anna köper en ny dator. Den kostar 12 000 kr och beräknas minska i värde med 8 % varje år. Vilken exponentialfunktion kan beskriva värdeminskningen?
5707 Ett kapital, y kr, beror av tiden, x år, enligt y = 9 000 · 0,95x. Vilka av följande påståenden är rätt?
A. Vid tiden x = 0 är kapitalet 9 000 kr.
B. Vid tiden tre år är värdet ungefär 8 123 kr.
C. För varje år minskar y med 5 %.
D. Grafen till funktionen går genom punkten (0, 9 000).
E. På fem år har värdet minskat med ungefär 23 %.
5708 Milli är bilhandlare och beräknar värdet på en bil enligt formeln y = 130 000 · 0,8x där y är värdet för bilen i kr och x är antal år.
a) Med hur många procent minskar värdet på bilen varje år?
b) Vad är bilen värd efter två år? Svara i hela kronor.
c) Vad är bilen värd efter fem år? Svara i hela kronor.
Nivå 2
5709 Du jobbar med livsmedel och undersöker hur bakterier förökar sig i olika matvaror. En modell för antal bakterier i ett livsmedel efter x dygn ges av formeln y = 1 500 · 1,1x .
a) Med hur många procent ändras antalet bakterier varje dygn?
b) Gör en värdetabell för x = 0, 2, 4, 6 och 10. Avrunda dina svar till jämna hundratal i antal bakterier.
c) Rita en graf med hjälp av värdetabellen. Ta hjälp av din graf: Efter hur många dygn är antalet bakterier ungefär 3 200?
5710 Vilken graf och formel hör ihop?
A . Röd y = 1 · 1,1x
B. Blå y = 6 · 1,4x
C . Svart y = 1 · 0,8x
D. Grön y = 6 · 0,8x
5.7 Uppgifter
5711 Sofia tar med sig kaffe till jobbet i en termos. Temperaturen T °C i Sofias termos beskrivs av funktionen T = 96 · 0, 96 t där t är antal timmar efter att Sofia har hällt i kaffet i termosen. Hur många timmar har Sofia på sig att dricka kaffet innan det är svalare än 60 °C? Svara i hela timmar.
5712 Björn har 28 000 kr i månadslön. Varje år får han en löneökning och kan välja mellan två alternativ:
Alternativ 1: En höjning av månadslönen med 800 kr.
Alternativ 2: En höjning av månadslönen med 5 %.
a) Skriv en formel som visar Björns lön efter x år enligt alternativ 1.
b) Skriv en formel som visar Björns lön efter x år enligt alternativ 2.
Nivå 3
5713 Mia har ett företag som säljer kepsar. Företaget gör en vinst på 60 miljoner kr. Ställ upp en funktion som visar på vinsten y kr efter x år om vinsten
a) ökar med 20 % varje år.
b) minskar med 20 % varje år.
5714 Mia vill investera ännu mer i sitt kepsföretag och gör en investering på 50 000 kr. Hur lång tid tar det för investeringen att fördubbla sitt värde om värdet ökar med 20 % varje år? Svara i hela år.
5715 Vi har en exponentiell funktion, y = C · ax. Du får veta att när x = 0 så är y = 2 och när x = 1 så är y = 3. Bestäm vad y blir när x = 2.
5.7 Test – Exponentialfunktioner
Syftet med testet är att du ska se om du har förstått det du precis har jobbat med. Uppgifterna är på grundläggande nivå.
1 Vad är C-värdet i denna exponentialfunktion?
2 Moa får pengar av sin morfar som hon sparar på ett konto. Hon får 1 000 kr och dessa pengar ökar varje månad med 3 %.
Skriv en formel för hur Moas pengar y kr, ökar efter x månader.
3 Du har funktionen y = 100 000 · 0,95x som beskriver hur ett företags kapital, y kr, förändras med tiden, x år. Vilka påståenden stämmer in på denna funktion?
A. Företagets kapital är efter ett år
100 000 kr.
B. Företagets kapital minskar varje år med 95 %.
C. Företagets kapital från början är
100 000 kr.
D. Företagets kapital efter fem år är ungefär
77 378 kr.
E. Företagets kapital sjunker i värde med
5 % varje år.
4 Sara har en båt som kostar 150 000 kr i inköp. Båtens värde beräknas minska med 15 % varje år.
a) Skriv en formel som beskriver båtens värde, y kr, efter x år.
b) Hur mycket är båten värd efter fyra år?
Svara i hela kronor.
5 Para ihop rätt graf med rätt formel.
A. Röd y = 6 · 0,9x
B. Blå y = 2 · 1,1x
C. Lila y = 2x + 6
D. Grön y = 2 · 0,9x
Behöver du träna mera?
Fråga din lärare eller använd QR-koden för att gå till mängdträning.
5.8 Rita funktioner med hjälp av digitala verktyg
Inom detta område ska du använda dig av ett grafritande program (till exempel GeoGebra). Det finns flera program att välja mellan men alla påminner en hel del om varandra.
I beskrivningen nedan ska du få lära dig att rita olika typer av funktioner och även rita flera funktioner i samma koordinatsystem. När du har ritat två eller flera funktioner kan du undersöka likheter och olikheter mellan funktionerna, men också se om det finns några skärningspunkter mellan graferna.
Rita en graf från en funktion
1. Klicka på pilen uppe till vänster (blå ruta) så du får fram “inmatningsfält”.
2. Skriv in din funktion i “inmatningsfältet”. I bilden nedan är y = 2x + 1 inmatad.
3. När du har matat in din funktion i “inmatningsfältet” så ritas din graf in i programmet.
4. Vill du rita upp en graf till så går du ner till nästa “inmatningsfält” och skriver in den andra funktionen. Nedan är funktionen y = x2 inmatad.
5. Nu ritas den andra grafen in i samma koordinatsystem som den första. Till vänster i bilden ovan visas vilken färg varje funktion har, och grafen för respektive funktion har samma färg i bilden nedan.
6. Vill du nu undersöka var dessa två grafer skär varandra så väljer du den “knapp” i verktygsfältet över “inmatningsfältet” som är markerad med röd pil i bilden nedan. I “rullgardinen” väljer du "Skärning mellan två objekt".
7. Markera i koordinatsystemet de grafer du vill ha skärningspunkten mellan och så kommer dessa upp i “inmatningsfältet” automatiskt, se de röda pilarna i bilden nedan.
Teori
Nivå 1
5801 Rita grafen till y = 15 – 4x. Var skär grafen x- och y-axeln?
5802 Rita grafen till y = 4x – 5. Skriv därefter en ny funktionsformel för en linje som är parallell med den första grafen, men som skär y-axeln tre enheter högre upp.
5803 Rita upp graferna i samma koordinatsystem och avgör om de är proportionella.
y = –2x
y = 3x2 – 1
–x = y + 3
y = 3 ⋅ 2x
5804 Rita upp graferna och bestäm vilka som är parallella.
A. y = 7x – 3
B. 3x = 3 – y
C. y = 6 – 3x
D. y = 4 – 7x
5805 Rita upp grafen till y = 3 · 2x och läs av vad y-värdet är då x = –1.
Nivå 2
5806 Rita upp graferna y = 4 – x och y = 2x + 1 i samma koordinatsystem. I vilken punkt skär graferna varandra?
5807 Rita upp graferna y = x2 + 1 och y = 3 – x i samma koordinatsystem. Var skär graferna varandra?
5808 Vilken formel har den räta linje som skär grafen y = 2x – 1 med en rät vinkel i punkten (2, 3)?
5809 En villa köptes för 1 850 000 kr. Värdet på villan förväntas öka med ca 6 % per år.
a) Ställ upp en exponentialfunktion som beskriver värdet y kr och x år efter att villan köptes och rita upp det i ett digitalt verktyg.
b) Vad kommer villan vara värd efter tio år? Avrunda ditt svar till hela tusental.
c) Efter hur lång tid är villan värd tre miljoner kr?
5 Diagnos
Syftet med diagnosen är att du ska se vad du kan och vad du kan behöva jobba mera med i detta kapitel.
1 Vi har funktionen f (x) = 5 + 3x. Vad blir då f (−4)?
Repetera i avsnitt 5.3
2 Vi har funktionen f (x) = 8 − 3x. Beräkna.
a) f (0) b) f (−2)
c) x då f (x) = 23
Repetera i avsnitt 5.3
3 Är linjen y = 25x + 5 000 proportionell? Motivera ditt svar.
Repetera i avsnitt 5.4
4 Grafen visar hur Katarinas lön ser ut under en dag och hur den beror av den tid hon jobbar.
5 Shamun jobbar som partyfixare. Han tar 600 kr i en fast avgift samt 450 kr i timmen.
a) Vilken linjär modell kan du använda för att beskriva hur mycket det kostar att anlita Shamun till din fest?
b) Hur många timmar kan du hyra Shamun om din budget är 2 400 kr?
Repetera i avsnitt 5.5
6 Ligger punkten (−5, 9) på linjen y = −3x − 6?
Repetera i avsnitt 5.5
7 Skriv den räta linjens ekvation på formen y = kx + m till grafen nedan.
a) Hur lång tid behöver Katarina jobba för att hon ska tjäna 800 kronor en dag?
b) Hur stor är Katarinas timlön?
Repetera i avsnitt 5.5
Repetera i avsnitt 5.6
8 Fadi köper en ny bil. Han beräknar bilens värde y kr efter x år enligt modellen y = 220 000 · 0, 93 x
a) Vad kostade bilen när Fadi köpte den?
b) Med hur många procent sjunker bilens värde per år?
c) Hur mycket är Fadis bil värd efter fem år? Svara i hela kronor.
Repetera i avsnitt 5.7
Hur gick det? Välj Blandade övningar utifrån hur det gick på Diagnosen.
Gruppuppgift
Kontorsproblem
Ditt kontor behöver fler bord
För att ditt företag ska hålla nere kostnaderna bestämmer du dig för att tillverka borden i företaget. Kostnaden kommer att påverkas av material, arbetstid och fasta kostnader.
Förutsättningar
Det kostar 500 kr i material att tillverka ett bord.
Det tar 2 timmar att tillverka ett bord och timlönen är 200 kr (du tillverkar borden på din arbetstid).
Det finns fasta kostnader på 3 000 kr, i denna fasta kostnad ligger hyra för lokal, el och verktyg oavsett hur många bord du tillverkar.
Uppgift
Skapa en funktion f (x) som beräknar den totala kostnaden f beroende på antal bord x.
Beräkna den totala kostnaden om du tillverkar 5, 10 och 20 bord.
Rita upp graferna till uppgift ovan antingen med papper och penna eller med hjälp av ett digitalt verktyg.
5 Blandade övningar
Nivå 1
1 Vad har punkterna för koordinater?
4 Du har funktionen f (x) = 8 − 2x. Beräkna.
a) f (0) b) f (2) c) f (−4)
5 Ett lån på 150 000 kr amorteras med 12 000 kr varje år. Rita av tabellen och fyll i de tomma rutorna i värdetabellen. x y = 150 000 – 12 000x
2 Rita upp ett koordinatsystem i ditt rutade kollegieblock och markera var du hittar negativa x-värden och negativa y-värden.
3 I bilden nedan visas två räta linjers grafer.
6 Vilka alternativ stämmer?
A. En linjär funktion går alltid genom origo.
B. Om ett samband är proportionellt, så går grafen alltid genom origo.
C. Funktionen y = 3x skär aldrig x-axeln.
D. Funktionen y = 5x skär y-axeln i punkten (0, 5).
E. y = 5 000 − 40x är en linjär funktion.
F. y = 4 000 · 1, 3 x är en potensfunktion.
7 Grafen visar priset på bananer.
a) Vad är ekvationen till den röda linjen?
Skriv linjens ekvation på formen
y = kx + m.
b) Vad är ekvationen till den blåa linjen?
Skriv linjens ekvation på formen
y = kx + m.
c) Var skär linjerna varandra?
a) Är priset proportionellt mot vikten?
Svara med ja eller nej.
b) Vilket är kilopriset för bananerna?
c) Vad kostar 5 kg bananer?
Blandade övningar
8
Hawa har startat ett företag och behöver räkna på vad produktionskostnaden blir för att få så bra lönsamhet som möjligt i företaget. Produktionskostnaden P(kr) kan beräknas med P(x) = 15 000 + 3x där x är antal varor som tillverkas.
a) Vad kostar det att producera 200 varor enligt modellen?
b) Bestäm P(4 000).
c) Hur många varor kan Hawas företag tillverka för 60 000 kr?
9 En charterresa kostar 4 800 kr för två veckor och 5 800 kr för tre veckor. Är priset proportionellt mot antal veckor?
Motivera ditt svar.
10 Rita ett koordinatsystem och sätt in punkterna (-3, 0), (–3, 2), (0, 0), (3, 2) och (3, 0). Vilken bokstav ser du när du binder punkterna samman?
Nivå 2
11 Vilka alternativ passar på den räta linjen y = 5 − 3 4 x?
A. Linjen skär y-axeln i punkten (0, 5).
B. Linjen ökar för större x-värde.
C. Linjens lutning är −0,75.
D. Linjens m-värde är −5.
E. Linjens lutning är 3 4.
F. Punkten (4, 2) ligger på linjen.
G. Linjen är en proportionalitet.
12 3 kg vindruvor kostar 45 kr.
a) Vilket är jämförpriset?
b) Skriv priset y kr som en funktion av vikten x kg.
13 En rektangel har tre av sina hörn i punkterna (5, −1), (5, 3) och (0, −1).
Bestäm rektangelns omkrets.
14 Clas aktieportfölj är värd 8 000 kr. Under fem dagar minskar dock värdet på aktieportföljen med 2,7 % varje dag. Hur mycket är Clas aktieportfölj värd efter fem dagar?
15 Vilken ekvation har den räta linjen som har k = 5 och går genom punkten (2, 8)?
16 Julia skriver in följande funktioner i den inbyggda grafräknaren.
y = 2x , y = 3x , y = 4x och y = 22x Vad kommer Julia att se på sin grafräknare?
A. Fyra olika exponentialfunktioner.
B. Inga funktioner eftersom dessa inte går att rita upp.
C. Att alla funktioner skär y-axeln i punkten (0, 2).
D. Tre funktioner, eftersom två av de fyra funktionerna är samma funktion.
Grön y = 2 x + 3
Lila y = 3 x
Blå y = 2 2x − 1
Röd y = 4 x + 1
18 Saras kapital, K kronor efter t år, i en räntefond kan beskrivas med formeln
K(x) = 15 000 · 1, 034x .
a) Hur mycket satte Sara in från början i räntefonden?
b) Vilken är den årliga genomsnittliga räntesatsen?
c) Hur lång tid tar det tills kapitalet överstiger 20 000 kr? Svara i hela år.
Nivå 3
19 Du har den räta linjen med funktionen 4x − 8y = 48.
a) Beräkna m-värdet.
b) Vad har linjen för k-värde? Svara i decimalform.
20 Vad är ekvationen för den räta linjen?
21 Du vet att f (2) = −5 och f (−1) = 1. Dessa ligger på en rät linje. Vilket k-värde har linjen?
22 Bestäm den räta linjens ekvation som går genom punkten (2, 3) och är parallell med linjen y = 1,5x − 6,5.
23 G e exempel på en exponentialfunktion som går genom punkterna (0, 2) och (1, 4)?
Nu är du klar med blandade övningar och kan göra ett “övningsprov” som din lärare har att dela ut till dig.
Sammanfattning
Koordinatsystem
Ett koordinatsystem är uppbyggt av koordinataxlar med en pil på varje axel. Horisontellt har vi x-axeln och vertikalt har vi y-axeln.
Där x-axeln och y-axeln skär varandra hittar vi punkten (0, 0) som kallas origo.
2:a kvadranten
Formel
y = 4x kallas för en formel.
Värdetabell
x y = 4x
1 y = 4 1 = 4
2 y = 4 2 = 8
3 y = 4 3 = 12
3:e kvadranten
y x
kvadranten
4:e kvadranten
Funktionsbegreppet
En funktion är en regel som beskriver hur värdet på en variabel bestäms med hjälp av ett värde från en annan variabel. Vi kan till exempel ha en beroende variabel y som bestäms med hjälp av en oberoende variabel x. För varje x, får det endast finnas ett y-värde.
Det finns flera sätt att beskriva en funktion. Ett samband mellan exempelvis x och y kan uttryckas med en formel. Med hjälp av en formel kan vi göra en värdetabell där vi får fram flera punkter så vi kan rita upp grafen i ett koordinatsystem.
Skrivsättet f (x)
Om funktionen betecknas med f och den oberoende variabeln betecknas med x så betecknas den beroende variabeln med f (x).
Detta innebär att y = f (x) och detta utläses ”y är en funktion av x”.
Linjära funktioner
Graferna till y = 3x + 1 och y = 3x är räta linjer och kan ritas upp i ett koordinatsystem. Alla linjära funktioner kan skrivas på formen y = kx + m där k är linjens lutning och m är där linjen skär y-axeln (kan ses som ett startvärde också). Har en linje ett negativt k-värde så avtar linjen ju större x-värde vi har.
y = 3x + 1 har ett k-värde som är 3 (alltid siffran framför variabeln x) och m-värdet är 1.
Grafen till funktionen ser ut så här när vi ritar upp den i ett koordinatsystem.
Graf
Grafen till y = 3x är en rät linje som går genom origo (då m-värdet är 0). Ett sådant samband kallas en proportionalitet.
Exponentialfunktioner
Exponentialfunktioner är alltid skrivna på formen y = C · ax där C är där grafen skär y-axeln (kan ses som ett startvärde också) och a är en förändringsfaktor.
Definition
En exponentialfunktion kan allmänt skrivas som y = C · ax där
C = en konstant (anger skärning med y-axeln).
a = förändringsfaktor och a > 0
Om a > 1 är funktionen växande.
Om 0 < a < 1 är funktionen avtagande.
Om a = 1 är funktionen konstant.
En funktion kan till exempel ha ett C-värde som är 10 och ett a-värde som är 0,93 (förändringsfaktorn är 0,93 dvs. en procentuell minskning med 7 %).
Grafen till funktionen ser då ut så här när vi ritar upp den i ett koordinatsystem.
En annan funktion kan ha C = 1 och a = 1,3.
Grafen till funktionen ser då ut så här när vi ritar upp den i ett koordinatsystem (här är en förändringsfaktor mer än 1,0).
7 Repetition
Välkommen till repetitionskapitlet! Här hittar du blandade övningar som behandlar det viktigaste innehållet i matematik nivå 1a. Övningarna är utformade för att hjälpa dig repetera och förstå de viktigaste momenten i Matematik 1a.
Analysera alltid dina svar efter att du har löst varje uppgift. När du undersöker vad som blev rätt eller fel, får du syn på hur du tänker – och kan upptäcka om du har missförstått något.
Här kan du hitta en del uppgifter som är hämtade från gamla nationella prov. Detta är ett perfekt tillfälle att identifiera dina styrkor och utvecklingsområden inför det riktiga nationella provet.
Lycka till!
7 Blandade övningar
Nivå 1
1 Hur stor del av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform.
2 Rita upp ett koordinatsystem och markera punkten med koordinaten (–4, −2).
3 Beräkna.
a) 5 + 3 ⋅ 4 b) 8 + 5 ⋅ 3
c) 35 – 6 ⋅ 5 d) 10 ⋅ 4 – 32
4
Beräkna. Svara i minuter.
a) 3 4 av 2 timmar b) 0,25 timmar
c) 5 6 av 2 timmar
5 Klara växlar 750 kr till filippinska peso och får 3 000 peso. Daniel växlar 500 kr. Hur mycket får han?
(NP Ma 1a Delprov B ht2014)
6 Vilket av följande tal är det bästa närmevärdet till 148 ⋅ 0,53? Ringa in ditt svar.
(NP Ma 1a Delprov B ht2013)
50 80 100 300 750
7 Koldioxidhalten i luften är 392 ppm. Hur skriver vi detta i decimalform?
8
Jeansstorlekar anges i hela tum. 1 tum motsvarar 2,54 cm. Joseph har midjemåttet 74 cm. Vilken tumstorlek på jeans ska han välja?
(NP Ma 1a Delprov D ht2015)
9 Den effektiva räntan på ett lån minskar från 25 % till 22 %. Med hur många procentenheter minskar räntan?
10 Vilken procentuell minskning eller ökning motsvarar följande förändringsfaktorer?
a) 0,4 b) 1,6 c) 0,85 d) 1,09
11 I en skål finns det vita och blåa godisbitar. Det finns dubbelt så många vita som blåa. Hur stor är chansen att en slumpvis vald godisbit är blå?
12 Beräkna vinkeln v i den rätvinkliga triangeln om en av vinklarna är 60°.
v
13 Beräkna volymen av en kub med bottenytan
a) 9 cm2 b) 36 cm2
14
Vilken/vilka linjer visar ett proportionellt samband?
21 En triangel har basen 18 cm och arean 72 cm². Beräkna höjden hos denna triangel.
22 Viking får en löneökning på 800 kr vilket motsvarar 4 % av hans lön före höjningen. Hur stor var hans månadslön före höjningen?
(NP Ma 1a Delprov D vt2014)
23 Ett banklån på 43 200 kr ska amorteras med samma belopp varje månad under 9 år. Hur mycket ska amorteras varje månad?
15 Bestäm värde av uttrycket 42 − x x då x = 7.
16 Lös följande ekvationer.
a) 4x + 80 = 20 b) 7x – 40 = 380
Nivå 2
17 Beräkna.
a) 6 + 12 + 3 5 − 2 2 b) 4 + 3 · 5 − (8 − 6)
c) 8 + 22 + 3 5 − 4 2
18 Vilka värden på x uppfyller INTE villkoret 2x + 1 > 5?
19 Man förpackar blomjord i påsar som rymmer 5 liter. Till hur många påsar räcker en kubikmeter blomjord?
(NP Ma 1a Delprov B vt2015)
20 En butik hade en rea där alla varor var nedsatta med 15 %. Om den ursprungliga priset på en jacka var 1 200 kr, hur mycket sparade kunden på rean?
24 För en bil med bra däck och bromsar kan den ungefärliga bromssträckan på torr asfalt räknas ut med formeln: s = v 2 200 där s är bromssträckan i meter och v är hastigheten i km/h.
Hur mycket längre blir bromssträckan enligt formeln om man kör i hastigheten 70 km/h jämfört med om man kör i hastigheten 50 km/h?
(NP Ma 1a Delprov D ht2012)
25 Tabellen visar kronans värde över tid. De vågräta raderna visar hur mycket kronans värde har utvecklats. De lodräta raderna visar hur priset har förändrats enligt index. År 1980 var medelpriset på en matchbiljett i fotboll 19,74 kr. Om priset på en matchbiljett skulle ha följt kronans värde från år 1980, vad skulle då en matchbiljett ha kostat år 2010? Svara i hela kronor.
År 1970 1980 1990 2000 2010
Källa: SCB
Lös ekvationerna.
a) 3x 4 + 9 = 24 b) 6 2x + 1 = 3
27 En rätvinklig triangel har en vinkel som är 34 grader. Hur stora är de två andra vinklarna?
28 Hur långt är det i verkligheten mellan Malmö och Helsingborg om avståndet på en karta är 72 mm och skalan är 1:750 000?
29 På väg till centrum går Alex över två övergångsställen. Träddiagrammet visar sannolikheten för röd respektive grön gubbe. Hur stor är sannolikheten att Alex får röd gubbe precis en gång?
(NP Ma 1a Delprov D ht13)
31 Bestäm f (x) = 6 med hjälp
32 Ange ekvationen för den räta linjen i grafen.
30 Nedan visas grafen till funktionen y = f (x). Lös ekvationen f (x) = 14 med hjälp av grafen.
(NP Ma 1a Delprov B vt2022)
33 Du har funktionen f (x) = 3x2. Beräkna f (4).
34 Vilket/vilka diagram är missvisande? Förklara så utförligt som möjligt.
(kr)
35
Diagrammet visar antalet miljarder mejl som skickas dagligen.
a) Av alla mejl som skickas uppskattas att cirka 82 procent är spam (oönskade mejl). Ungefär hur många spam skickades under en dag år 2010?
b) Diagrammet är missvisande. Vad är det som är missvisande i diagrammet?
c) Om man skulle rita diagrammet korrekt, hur skulle det påverka utseendet på diagrammet?
(NP Ma 1a Delprov D ht2016)
36 Eskil har erbjudits anställning på två olika företag. Han erbjuds en grundlön varje månad under hela året. Dessutom får han ett extra tillägg för varje månad som han är ute på uppdrag.
Arbetsgivare Grundlön (kr/månad)
Extra tillägg vid uppdrag (kr/månad)
Företag A 35 000 10 000
Företag B 40 000 3 000
a) Beräkna vad årslönen med extra tillägg blir för Eskil i Företag A respektive Företag B om han är ute på uppdrag i 5 månader under ett år.
b) Utgå från att Eskil är ute på uppdrag lika många månader på Företag A som på Företag B. Hur många hela månader måste Eskil minst vara ute på uppdrag under ett år för att totala årslönen ska vara högre hos Företag A?
(NP Ma 1a Delprov D vt2022)
Nivå 3
37 Beräkna värdet av uttrycket x 3 – x 2 då x = – 2.
38 Enligt en prognos beräknas hyran för en lägenhet öka med 8 % per år. Med hur många procent beräknas hyran totalt att öka under en åttaårsperiod enligt prognosen?
39 Guldhalten i en gruva är 1,2 g guld per ton malm. Ange guldhalten i promille. (NP Ma 1a Delprov B vt2015)
40 Lös ekvationen.
6 2x + 1 = 3 + 3 3x
41 Svante ska snurra de tre hjulen A, B och C. Vad är sannolikheten att summan av vad de tre hjulen kommer att visa blir udda? Redovisa din lösning.
(NP Ma 1a Delprov B ht2014)
Tre elever har löst samma ekvation men på tre olika sätt.
a) Vem har löst ekvationen korrrekt?
b) Vilka fel finns i de andra två lösningarna?
(NP Ma 1a Delprov B vt2014)
Oskar
3x – 2(5 – x) = 2x + 5
3x – 10 + x = 2x + 5
2x = 15 x = 7,5
Krister
3x – 2(5 – x) = 2x + 5
3x – 10 + 2x = 2x + 5
3x = 15 x = 5
Fredrik
3x – 2(5 – x) = 2x + 5
3x – 10 – 2x = 2x + 5
3x = 15 x = 5
43 Emre ska teckna nytt mobilabonnemang. Hans farmor bor i Turkiet och en genomsnittlig månad ringer Emre 3 timmar inrikessamtal och 2 timmar utrikessamtal.
a) Vilket av följande abonnemang är billigast för honom?
Abonnemang A Abonnemang B Fast månadskostnad 100 kr 289 kr
Samtalskostnad inrikes 0,49 kr/min 0,49 kr/min
Samtalskostnad utrikes 4,69 kr/min 0,49 kr/min
b) Ställ upp en formel för Abonnemang A och en formel för Abonnemang B där T är totalkostnaden per månad, i är antalet minuter för inrikessamtal och u är antalet minuter för utrikessamtal.
c) För vilka samtalstider (inrikes och utrikes) kostar de två abonnemangen lika mycket? (NP Ma 1a Delprov D vt2015)
44 Talet x ligger någonstans mellan talen 17 och 23. x är p % större än 17 och p % mindre än 23. Bestäm x.
(NP Ma 1a Delprov D vt2022)
45 Beräkna uttrycket: 10 102 + 10 100 10 100
(NP Ma 1a Delprov B vt2012)
Yrkesspecifikt innehåll
Många yrken har genomgått stora förändringar under de senaste årtiondena, och idag krävs ofta mer än bara praktiska färdigheter för att utföra arbetsuppgifter. För många yrkesroller är matematiska kunskaper minst lika viktiga som de praktiska färdigheterna. I detta avsnitt finns uppgifter som är särskilt anpassade för olika inriktningar inom yrkesprogrammen. För att få tillgång till uppgifter som täcker alla tolv program, skanna QR-koden vid avsnittets rubrik.
Barn- och fritidsprogrammet
Närvaro och planering av aktiviteter
Du jobbar på en förskola och har ansvaret för att planera och genomföra aktiviteter med en grupp barn. Du har fått i uppdrag att göra en planeringslista i ett kalkylblad där man kan skriva in aktiviteter och vilka barn som är närvarande.
Steg 1: Planering av aktiviteten Skapa ett kalkylblad
Börja med att skriva in rubriker i ett kalkylblad enligt bilden nedan. Skriv en rubrik i ruta A1 ”Närvarolista för aktiviteter” och datum på rad 2 från ruta B2 till F2. I ruta G2 skriver du in ”Summa”.
I kolumn A kan du sedan skriva in namn på ett antal barn. Det finns förslag på tre namn i bilden, men du kan skriva in fler och vilka namn som helst.
När du skrivit in alla namn du vill ha med, ska det stå ”Antal närvarande” i rutan under det sista barnet.
Därefter kan du ge förslag på olika aktiviteter. Vi har bara kallat dessa för ”Aktivitet 1” och ”Aktivitet 2”, men du kan vara mer konkret om vilka aktiviteter det är.
Steg 2: Beräkning av barnens närvaro
Skapa formler
Du ska skapa formler på raden där det står ”Antal närvarande”. Dessa formler ska summera hur många som deltar i en aktivitet en viss dag. Du ska även skapa formler i kolumn G som summerar hur många gånger varje barn deltar under denna vecka.
Skriv in talet 1 på barnens närvaro i de olika rutorna som du kan använda för att kontrollera dina formler.
Skapa en formel i ruta B6 som summerar antalet närvarande den 15:e maj. Har du fler än tre barn i listan kommer radnumret inte att vara 6 utan något annat. Kopiera denna formel till de övriga rutorna på rad 6 (eller den rad som du jobbar med).
Skapa en formel i ruta G3 som summerar hur många gånger Anton har varit närvarande. Kopiera denna formel så att alla andra barn som är med i listan får en summering av sin närvaro.
Steg 3: Redovisning
1 Sammanställ ditt arbete i form av ett Excelark.
2 Presentera och förklara dina beräkningar.
Visa ditt kalkylblad för din lärare eller de andra eleverna i klassen och förklara hur du har gjort för att få närvarorapporten att fungera.
3 Efterarbete.
Fortsätt att bygga på ditt kalkylblad med fler funktioner.
1a matematik
Prefix är en heltäckande läromedelsserie för matematik på gymnasiet. De tryckta och digitala läromedlen följer samma struktur vilket ger dig möjlighet att arbeta med antingen tryckta eller digitala läromedel, eller en kombination av båda. Lärarmaterialet till varje läromedel finns i den digitala versionen.
Prefix Matematik 1a är ett läromedel utvecklat för gymnasieskolans yrkesprogram och anpassat till Matematik 1a enligt Gy25. Boken har en tydlig struktur och erbjuder varierade övningar, kunskapskontroller samt uppgifter som täcker samtliga delar av Matematik 1a. Genom QR-koder får eleverna tillgång till lösningar för alla uppgifter i boken –ett värdefullt stöd i det dagliga arbetet och en god förberedelse inför nationella prov.
