9789147146529

Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till läroplanen såsom den gäller från 2021.

Liber Matema tik

Utmärkande för Liber Matematik: • övningsuppgifter kopplade till förmågorna • betonar tydlighet och förståelse • ett stort antal klassrumsaktiviteter baserade på GeoGebra och Python.

Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b-, och c-spår.

LIBER

Matematik

3c

Best.nr 47-14652-9 Tryck.nr 47-14652-9

Omslag-Liber matematik 3c.indd All Pages

3c 23/09/22 12:21 PM

LIBER

matematik 3c

LIBER

3c.indb 1

2022-07-25 12:17

Välkommen till Liber Matematik 3c!

Den reviderade ämnesplanen

Historia och teoretisk bakgrund

Skolverkets ämnesplan från 2021 för kursen Matematik 3c bjuder inte på några stora förändringar jämfört med tidigare versioner. Vill man uttrycka det förenklat, kan man säga att cirkelns ekvation försvunnit och programmering som problemlösning tillkommit. Men läser man dokumenten noggrant upptäcker man också mer finstilta skillnader, som exempelvis den nya formuleringen ”Villkor för deriverbarhet”, den starkare skrivningen kring begreppet gränsvärde (nu inte endast ”orientering”) och utvidgade och preciserade användningsområden för digitala och symbolhanterande verktyg. Allt detta har vi efter bästa förmåga försökt beakta i detta läromedel.

Matematik 3c som kurs domineras av den så kallade envariabelanalysen, med introduktion av begreppen derivata och integral. Utvecklingen av denna gren av matematiken, så som vi möter den i gymnasiet, är nästan helt knuten till europeiskt sexton- till artonhundratal. Vi hoppas att det inte framstår som tanklös eurocentrism, när detta också präglar de historiska utvikningar vi har gjort.

Med och utan digitala verktyg Vi har delat in bokens övningsuppgifter i sådana som är avsedda att lösas utan andra verktyg än penna och papper och i sådana där digitala verktyg bör användas.

Vi har här förutsatt att de digitala verktygen är symbolhanterande, det vill säga att de innehåller något slags CAS-funktioner och att de är grafritande. Det vi har utgått ifrån är GeoGebras funktionalitet, men det går naturligtvis bra att använda även andra, jämförbara verktyg.

Nivåer och förmågor Liksom i tidigare läromedel i serien, har vi delat in övningsuppgifterna i tre svårighetsnivåer. Man bör dock inte göra den direkta översättningen ”E-, C- och Auppgifter”. En sådan kategorisering är mer komplex.

Liksom tidigare har vi också etiketterat uppgifterna efter de förmågor de efterfrågar: B för begrepp, P för Procedur, PL för Problemlösning, M för Modellering, R för Resonemang och K för Kommunikation. I de test som avslutar kapitlen finner man nivåer och förmågor i en avslutande matris.

Programmering och digitala verktyg Avsnitten under denna rubrik innehåller aktiviteter kring mer omfattande uppgifter som utgår från problemlösning med GeoGebra eller Python. Även här kan andra tekniska lösningar väljas, även om detta kanske i vissa fall kräver en del omarbetning.

Aktiviteterna är i första hand tänkta att lösas i grupp, under lärares översyn, och vi tror att gemensam uppföljning är betydelsefull. Många viktiga moment presenteras huvudsakligen eller endast inom ramen för dessa aktiviteter, och de ska alltså ses som en integrerad del av framställningen.

Den teoretiska grunden för momenten i Matematik 3c är på flera sätt ofta mer avancerad än för det mesta av stoffet i de föregående gymnasiekurserna. Ändå tror vi att den till sina viktigaste delar är möjlig för intresserade gymnasieelever att greppa. Hur djupt man väljer att gå här är alltid den undervisande lärarens val. Vi har märkt vissa avsnitt med fördjupning. Sådant som presenteras där tror vi exempelvis knappast kommer att prövas på nationella prov. Det går att nå ett gott resultat på kursen även dessa partier förutan.

Digital version Liber Matematik 3c finns också som heldigitalt läromedel. Teorimaterialet i detta är detsamma som i denna tryckta bok. Även övningsmaterialet är till stora delar likt, även om det i den digitala utgåvan ofta fått en mer interaktiv utformning. Liber Matematik 3c Digital erbjuder också utarbetade lösningsförslag till flertalet övningsuppgifter.

Tack Slutligen vill vi rikta ett stort tack till alla inblandade – författare, illustratör, formgivare, bildredaktörer, projektledare och andra, som gjort denna produktion möjlig!

Tack också till dig som valt att arbeta med Liber Matematik 3c i undervisningen. Vi hoppas att läromedlet ska motsvara dina förväntningar!

Redaktionen för Liber Matematik

Innehåll 1

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

1.1 1.2

Algebra . . . .

Funktioner. . .

BLANDADE UPPGIFTER .

KAPITELTEST . . . .

2 2.1 2.2

3.1 3.2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

2 18 34 37

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

40 52 72 75

FÖRÄNDRINGAR OCH DERIVATA

Två viktiga begrepp . . . . . Ändringskvoter och förändringshastighet . . . . . . . .

3.3 Gränsvärden . . . . . . .

3.4 Derivatans definition . . . .

3.5 Deriveringsregler . . . . .

BLANDADE UPPGIFTER . . . . . .

KAPITELTEST . . . . . . . . .

Andraderivatan . . . . . . .

Skissa grafer . . . . . . . .

Tillämpningar och problemlösning .

BLANDADE UPPGIFTER . . . . . . .

KAPITELTEST . . . . . . . . . .

5

POLYNOM OCH RATIONELLA UTTRYCK

Polynom . . .

Rationella uttryck BLANDADE UPPGIFTER .

KAPITELTEST . . . .

3

. . . .

4.2 4.3 4.4

78

. . . . . .

83 99 111 115 150 153

4

DERIVATAN I TILLÄMPNINGAR

4.1

Kurvor och derivator . . . . .

156

PRIMITIVA FUNKTIONER OCH INTEGRALER

5.1 5.2 5.3

Primitiva funktioner .

Integraler . . . . .

Integraler i tillämpningar BLANDADE UPPGIFTER . . .

KAPITELTEST . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

232 243 273 288 290

Rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln . . . .

6.2 Godtyckliga trianglar .

BLANDADE UPPGIFTER . . .

KAPITELTEST . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

294 314 328 330

SVAR TILL KONTROLLFRÅGOR

. . . .

333

6 .

190 201 205 225 227

TRIGONOMETRI

6.1

SVAR TILL PROGRAMMERING OCH DIGITALA VERKTYG . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

REGISTER . . . . . . . . . . .

BILDFÖRTECKNING . . . . . . . .

FACIT

338 341 373 376

1.1 Algebra Potenser Vi repeterar räknereglerna för potenser.

Räkneregler y

ax · ay = ax+y x

ax · bx = (a · b)

(ax ) = ax·y a x ax = bx b

För a ̸= 0 gäller ax = ax−y ay

EXEMPEL 1

Beräkna

a0 = 1

1 = a−x ax

2−2 · 27 23

Lösning Vi adderar exponenterna för multiplikationen i täljaren och subtraherar nämnarens exponent.

2−2 · 27 = 2−2+7−3 = 22 = 4 23

EXEMPEL 2

Förenkla −a1/4

4

Lösning −a1/4 = (−1) · a1/4 , så 4 4 −a1/4 = (−1) · a1/4 = (−1)4 · a4/4 = (−1)4 · a1 = a

EXEMPEL 3

Förenkla uttrycket

x7 · y 3 x4 · y −6

Lösning x7 · y 3 = x7−4 · y 3+6 = x3 y 9 x4 · y −6

2 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Hur gör man med exponenterna vid

KONTROLL

a) multiplikation av potenser med samma bas? b) division av potenser med samma bas?

Skriv

1 som en potens med bas 3 9

UTAN DIGITALA VERKTYG

B P PL M R K

NIVÅ 1

1101

B P PL M R K

1108

Förenkla uttrycken.

4

4

4

a) 4 + 4 + 4 + 4

254 b) 7 5 + 57 + 57

4

B P PL M R K

1109

B P PL M R K

1102

c) y −4

b) −a · a −3x

d)

x−2

b) x3

1112

Vad gäller alltid för en potens där ett negativt tal är upphöjt till ett b) udda tal?

Hur mycket är en fjärdedel av 410 ? Svara i potensform.

b) 649 = 410 · 16a

Förklara med hjälp av potensreglerna varför a0 = 1 för a ̸= 0

Förenkla uttrycket. −3/2

−

y −5 y −3

Utveckla parenteserna. a) (4x − 5)(4x + 5) c) 25x − 22x

B P PL M R K

1114

Beräkna. a)

362 4,52

b) 34x + 35x

2

2

Beräkna.

4 6−4

a) 4−2 · 5 · 25

b) 3−4 ·

c) 9 · 6−1 − 43 + 72

d) 5 · 5−3 + 3 ·

B P PL M R K

1107

1 93

Bestäm talet a om

y −4/3 1113

b) 9x+9 =

−2 2 1 4 2 + + 3 3 3

35 − 32

Beräkna

a) 78 = 49a

c) x4

NIVÅ 2

1106

1111

4

(x2 )

Låt x = −2. Beräkna

a) jämnt tal?

1105

a) 6x+11 · 64 = 66x

1110

−12

7

a) x2 1104

Lös ekvationerna.

Skriv som en potens. a2 a) −6 a

1103

Vilket tal ligger mitt emellan 23 och 24 ?

1 52

b) 21/2 · 181/2

1.1. ALGEBRA

3

NIVÅ 3

1115

B P PL M R K

B P PL M R K

Bestäm talet a då 83 + a · 23 = 162

1116

Vilket av talen 3300 och 5200 är störst?

Motivera.

1117

Vad är 2−3x om 125x = 0,20?

Kvadratrötter Ett icke negativt tal är noll eller större.

Med kvadratroten ur ett icke √ negativt tal a menar vi det icke negativa tal vars kvadrat är a, så att ( a)2 = a √ En kvadratrot kan också skrivas i potensform: a = a1/2 Räkneregler för kvadratrötter

√ √ a· b= a·b r √ a a √ = b b √ 1/2 a=a √

(a, b ≥ 0) (a ≥ 0, b > 0) (a ≥ 0) √

EXEMPEL 1

Förenkla uttrycket

4· √

√

15

12

Lösning r √ √ √ √ 4 · 15 4 · 15 60 60 √ √ = √ =√ = = 5 12 12 12 12

EXEMPEL 2

Skriv om x7,5 genom att använda kvadratrotssymbolen.

Lösning x7,5 = x7+1/2 = x7 · x1/2 = x7 · eller x7,5 = x15·1/2 = x15

4 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER

1/2

=

√

√

x15

x

KONTROLL

√ 18 √ √ a) Förenkla √ + 3 · 27 2 1 √ b) Visa att x−1,5 = x· x

1124

UTAN DIGITALA VERKTYG NIVÅ 1

1118

Beräkna.

B P PL M R K

Bestäm hypotenusan √ i en rätvinklig triangel med kateterna 3a och a

a) 1125

1120

a)

Förenkla uttrycket. √ √ √ √ a+ b a− b Beräkna. r 16 a) 9

c) 1126

b)

√

a)

1123

Förenkla ett bråk.

√ 5− √ 5 5

till ett uttryck som inte är

Beräkna. √ 2,25 a) 2 2 b) 30,5 · 33 · 3/2 3 √ √ √ c) 3 · 12 − 27 √ √ √ √ d) 3+ 2 · 3− 2

√ b)

10

√ √ 3· 6 2 · 2 4

√ √

324

b)

144

d)

√ √

625 4 096

√

81x · x2,5 −

p

49x2 y 3

√

4x6

√ 1 b) √ · 15x2 3x √ √ d) 6z · 3z 2

NIVÅ 3

B P PL M R K

1122

c)

B P PL M R K

√ 4,5 a 1121 Bestäm a då √ =√ a 2

√

Förenkla.

16 · 4 · 9

NIVÅ 2

5 · 21/2 ·

Beräkna genom att först faktorisera talen under rottecknen.

B P PL M R K

1119

√

1127

B P PL M R K

Förenkla uttrycket √ √ 2 √ √ 2 a+ b − a− b a) med hjälp av kvadreringsreglerna. b) med hjälp av konjugatregeln.

r q p √ 1128 Skriv a a a a som en potens.

1.1. ALGEBRA

5

Förstagradsekvationer En ekvation är ett påstående om en likhet. Ekvationens vänstra led, VL, påstås vara lika med ekvationens högra led, HL. Ofta innehåller en ekvation en eller flera obekanta. Det är vanligt att beteckna dessa obekanta med bokstäver som till exempel x, y, eller z.

En förstagradsekvation är en ekvation där de obekanta endast förekommer i första potens, alltså inte som exempelvis kvadratrötter, nämnare i bråk eller kvadrater.

2x + 8 = 22 är en förstagradsekvation med en obekant.

Vi löser denna ekvation: [ställ upp ekvationen]

2x + 8 = 22 [subtrahera 8 från båda led]

2x + 8 − 8 = 22 − 8 [förenkla]

2x = 14 [dividera båda led med 2]

14 2x = 2 2 x=7 På varje ny rad i ekvationslösningen finns en ny ekvation som är ekvivalent med ekvationen ovanför, vilket innebär att likheten i den undre ekvationen gäller om och endast om likheten i den övre gäller. Hela lösningen består på detta sätt av en kedja av ekvivalenta ekvationer, som leder till slutsatsen att 2x + 8 = 22 är ett sant påstående om och endast om x = 7. Därmed är x = 7 den enda roten eller lösningen till ekvationen 2x + 8 = 22. En förstagradsekvation med en obekant, som förekommer i endast en term, har alltid precis en rot.

Andra typer av ekvationer kan ha flera rötter, eller ingen rot. Den fullständiga lösningen till en ekvation innehåller ekvationens samtliga rötter.

KONTROLL

Lös om möjligt ekvationerna.

1. 2x = 3x 2. x − 1 = x − 2 3. 6x + 5 = 1

6 KAPITEL 1. ALGEBRA OCH FUNKTIONER

Andragradsekvationer I kurs 2 behandlade vi ingående andragradsekvationer. I sådana ekvationer finns en obekant i andra potens, det vill säga i kvadrat. En andragradsekvation kan också innehålla termer med obekanta i första potens och konstanttermer.

En andragradsekvation kan ha två olika rötter, eller endast en rot, som i så fall kallas dubbelrot. En andragradsekvation kan också sakna rötter bland talen längs tallinjen. Vi säger då att ekvationen saknar lösning.

KONTROLL

1. Ge exempel på en andragradsekvation med lösningen x1 = −2, x2 = 2 2. Ge exempel på en andragradsekvation med dubbelroten x1 = x2 = 1 3. Ge exempel på en andragradsekvation som saknar lösning.

Det är lämpligt att välja olika lösningsmetoder till olika andragradsekvationer, beroende på hur de ser ut.

Till andragradsekvationer som saknar förstagradsterm använder vi kvadratrotsmetoden. Exempelvis löser vi ekvationen 3x2 −24 = 0 genom 2 att först skriva om till √ 3x2 = 24 och sedan √ till x = 8. Vi ser nu att det finns två rötter, x1 = 8 och x2 = − 8. Tillsammans utgör de två rötterna den fullständiga lösningen till ekvationen.

Andragradsekvationer som saknar konstantterm kan vi alltid uttrycka på formen ax2 +bx = 0 och lösa med den så kallade nollproduktsmetoden.

Ekvationen 2x2 = 6x skriver vi om till 2x2 − 6x = 0. Vi bryter ut 2x och skriver vänsterledet som en produkt av två faktorer: 2x(x − 3) = 0.

Om en produkt är noll så måste minst en faktor vara noll. Alltså är antingen 2x = 0 eller (x − 3) = 0, vilket ger rötterna x1 = 0 och x2 = 3.

Andragradsekvationer som innehåller såväl andragradsterm, som förstagradsterm och konstantterm kan vi lösa med hjälp av kvadratkomplettering, eller med en lösningsformel. I Sverige är den så kallade pq-formeln vanligast.

1.1. ALGEBRA

7

Register ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 abc-formeln . . . . . . . . . . . . . . 8 absolutbelopp . . . . . . . . . . 80 acceleration-tid-diagram 279 algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 allmän form . . . . . . . . . . . . 25 andraderivata . . . . . . . . . 194 graf . . . . . . . . . . . . . . . 213 andragradsekvationer . . . . 7 andragradsfunktioner . . . 29 graf . . . . . . . . . . . . . . . . 28 nollställen . . . . . . . . . . 29 på annan form . . . . . 50 andragradspolynom . . . . . 40 anta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 antiderivata . . . . . . . . . . . 232 arbete . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 arcuscosinus . . . . . . . . . . . 324 arcussinus . . . . . . . . . . . . . 312 areasatsen . . . . . . . . . . . . . 315 avbildning . . . . . . . . . . . . . . 18 barometrisk formel . . . . 152 bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 31 belopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 beroende variabel . . . . . . . 19 binom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 räkneregler . . . . . . . . . 41 bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 blandad form . . . . . . . . . . . 69 cosinus . . . . . . . . . . . 294, 306 cosinussatsen . . . . . . . . . . 323 Coulombs konstant . . . . . 38 Coulombs lag . . . . . . . . . . . 38 definiera funktion . . . . . . . . . . . 20

definitionsmängd . . . . . . . 18 begränsad. . . . . . . . .161 delbart med . . . . . . . . . . . . 70 delintervall . . . . . . . . . . . . 171 derivata . . . . . . . . . . . . . . . . 93 √ av x . . . . . . . . . . . . 121 av x1 . . . . . . . . . . . . . . 119 av ax . . . . . . . . . . . . . 141 av ekx . . . . . . . . . . . . 139 av kf (x) . . . . . . . . . . 129 av xn . . . . . . . . 124, 127 av funktioner . . . . . 115 av hastighet . . . . . . 275 av rät linje . . . . . . . . 116 av sträcka . . . . . . . . 233 av summor. . . . . . . .129 definition . . . . . . . . . 111 deriveringsregler . . 143 graf . . . . . . . . . . . . . . . 185 i GeoGebra . . . . . . . 132 med GeoGebra CAS 148 ursprung . . . . . . . . . . 122 deriveringsregler . . . . . . . 143 differenskvot . . . . . . . . . . . . 86 differentialer . . . . . . . . . . . 123 diskontinuitet . . . . . . . . . 165 dubbelrötter . . . . . . . . . . . . . 7 e . . . . . . . . . . . . . . . . . 107, 135 effekt-tid-diagram . . . . . 279 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 266 ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . 6 kvadrera . . . . . . . . . . . 11 lösning . . . . . . . . . . . . . . 6 lösningsformler . . . . . . 8 lösningsmetoder . . . . . 7

prövning . . . . . . . . . . . 12 rationella . . . . . . . . . . 63 saknar lösning . . . . . . . 7 ekvivalent . . . . . . . . . . . . . . . 6 elektrisk effekt . . . . . . . . . . 10 enhetscirkeln . . . . . . . . . . 305 enklaste form . . . . . . . . . . . 52 Euler, Leonhard . . . . . . . 123 exponent . . . . . . . . . . . . . 2, 31 exponentialfunktioner . . . 31 extrempunkter . . . . . . . . 176 extremvärden . . . . . . . . . . 176 faktorform . . . . . . . . . . . . . . 42 faktorisera . . . . . . . . . . . 5, 45 falska rötter . . . . . . . . 11, 66 fullständig lösning . . . . . . . 6 funktioner . . . . . . . . . . . . . . 18 avtagande . . . . . 32, 169 avtagande i ett intervall . . . . . . 170 begränsade. . . . . . . .258 deriverbara . . 147, 165 diskontinuerliga . . . 165 entydiga . . . . . . . . . . . 21 form . . . . . . . . . . . . . . . 19 icke deriverbara . . 146, 165 konkava. . . . . . . . . . .191 konstanta . . . . . . . . . . 25 kontinuerliga . . 78, 103 konvexa . . . . . . . . . . . 191 linjära . . . . . . . . . . . . . 24 primitiva. . . . . . . . . .232 till k · f (x) . . . . . 235 till xn . . . . . . . . . . 235 till exponentialfunk-

tioner . . . . . . . . 239 till summor . . . . . 237 rationella . . . . . . . . . 103 sammanhängande . . 78 strängt avtagande . 170 strängt växande . . . 170 växande . . . . . . . 32, 169 växande i ett intervall 170 funktionssamband . . . . . . 20 funktionsvärde . . . . . . . . . . 18 förstaderivata . . . . . . . . . 194 graf . . . . . . . . . . . . . . . 213 förstagradsekvationer . . . . 6 förändringsfaktor . . . . . . . 31 förändringshastighet . . . . 90 förändringskvot . . . . . . . . . 90 Galileo Galilei . . . . . . . . . 233 gemensamma faktorer . . 44 genomsnittlig förändring 83 genomsnittlig lutning . . . 88 gradtal . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 gravitationskonstanten 280 gränsvärden . . . . . . . . . . . . 99 av differenser . . . . . 106 av kvoter . . . . . . . . . 106 av produkter . . . . . . 106 av rationella uttryck 106 av summor. . . . . . . .106 egentliga . . . . . 100, 101 från höger . . . . . . . . 100 från vänster . . . . . . . 100 går mot . . . . . . . . . . . . 99 i en punkt . . . . . . . . 102 i GeoGebra . . . . . . . 134 mot oändligheten . 102 oegentliga . . . . 100, 101 räkneregler. . . . . . . .106 Gustav Riemann . . . . . . 266 hastighet-tid-diagram . . 279 hastighetsändring. . . . . .279 heltalskvot . . . . . . . . . . . . . 69 Hookes lag . . . . . . . . . . . . 282 höger led . . . . . . . . . . . . . . . . 6 icke negativt tal . . . . . . . . . 4 impuls. . . . . . . . . . . . . . . . .279 inflexionspunnkt . . . . . . . 192

ingående värde . . . . . . . . . 18 inre punkter . . . . . . . . . . . 161 insättningsformeln 260, 269 integraler . . . . . . . . . 243, 256 bestämda . . . . . . . . . 256 historik . . . . . . . . . . . 265 i GeoGebra . . . . . . . 270 i verkligheten . . . . . 275 nedre gräns . . . . . . . 257 räkneregler. . . . . . . .263 övre gräns . . . . . . . . 257 integralkalkylens fundamentalsats 268 integralkalkylens medelvärdessats 267 integralkalyl . . . . . . . . . . . 243 integrand . . . . . . . . . . . . . . 257 intervall . . . . . . . . . . . . . . . 161 halvöppet . . . . . . . . . 161 slutet . . . . . . . . . . . . . 161 öppet . . . . . . . . . . . . . 161 inverterade tal . . . . . . . . . . 62 inverterade uttryck . . . . . 62 Isaac Barrow . . . . . . . . . . 265 Isaac Newton . . . . . . . . . . 220 James Gregory . . . . . . . . 265 Jean Gaston Darboux . 266 k-form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 karaktär . . . . . . . . . . . . . . . 176 katet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 motstående . . . . . . . 294 närliggande . . . . . . . 294 komposanter . . . . . . . . . . 297 konjugatregeln . . . . . . . 5, 41 konvergera . . . . . . . . . . . . 224 korda. . . . . . . . . . . . . . . . . .190 kraft-sträcka-diagram . . 279 kraft-tid-diagram . . . . . . 279 kvadratrotsfunktionen . . 21, 78 kvadratrotsmetoden . . . . . 7 kvadratrötter . . . . . . . . . . . . 4 räkneregler . . . . . . . . . . 4 kvadreringsregler . . . . . 5, 41 andra . . . . . . . . . . . . . . 41 första . . . . . . . . . . . . . . 41

laddning. . . . . . . . . . . . . . .279 Lagrange, Joseph-Louis 123 Leibniz, Gottfried Wilhelm 123 likhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 lim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ljusets hastighet . . . . . . . . 10 logaritmer naturliga . . . . . . . . . . 136 luftmotstånd . . . . . . . . . . . 10 lutning . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 marginalkostnad . . . . . . . 151 massenergi . . . . . . . . . . . . . 10 maximipunkt . . . . . . . . . . 156 maximum . . . . . . . . . . . . . 156 globala. . . . . . . . . . . .159 lokala . . . . . . . . . . . . . 159 MGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 minimipunkt . . . . . . . . . . 156 minimum . . . . . . . . . . . . . . 156 globala. . . . . . . . . . . .159 lokala . . . . . . . . . . . . . 159 minsta gemensamma nämnare. . . . . . .60 mittpunktsformeln. . . . .286 monom . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 naturliga logaritmen . . . 136 negativ riktning . . . . . . . 309 Newton Raphson-metoden 221 Newtons avsvalningslag220 Newtons metod. . . . . . . .221 nollproduktsmetoden . . . . 7 obekanta . . . . . . . . . . . . . . . . 6 oberoende variabel. . . . . .19 odefinierad . . . . . . . . . . . . . 52 omgivning . . . . . . . . . . . . . 159 optimering . . . . . . . . . . . . 205 oändligheten . . . . . . . . . . 100 parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 polynom . . . . . . . . . . . . . . . . 40 division . . . . . . . . . . . . 69 grad . . . . . . . . . . . . . . . 40 nollställen . . . . . . . . . . 44 polynomdivision . . . . . . . . 69 positiv riktning . . . . . . . . 305 potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 andra . . . . . . . . . . . . . . . 7

första . . . . . . . . . . . . . . . 6 räkneregler . . . . . . . . . . 2 potensform . . . . . . . . . . . . . . 4 potensfunktioner. . . . . . . .31 pq-formeln. . . . . . . . . . . . . . . 8 prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 punkter icke deriverbara . . . 164 karaktär . . . . . . . . . . 176 stationära . . . 167, 172, 173 radianer . . . . . . . . . . . . . . . 312 rationella uttryck . . . . . . . 52 addition. . . . . . . . . . . .60 division . . . . . . . . . . . . 62 förkorta . . . . . . . . . . . . 55 förlänga . . . . . . . . . . . . 56 multiplikation . . . . . . 61 subtraktion . . . . . . . . 60 restterm . . . . . . . . . . . . . . . . 69 riktningskoefficient . . . . . 24 rotekvationer . . . . . . . . . . . 11 med kvadrering . . . . 14

rymddiagonal. . . . . . . . . .298 räta linjer . . . . . . . . . . . . . . 24 ekvationer . . . . . . . . . 24 horisontella . . . . . . . . 25 lodräta. . . . . . . . . . . . .25 vertikala . . . . . . . . . . . 25 vågräta . . . . . . . . . . . . 26 rörelseenergi . . . . . . . . . . . . . 9 rötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 samband . . . . . . . . . . . . . . . 18 sekant . . . . . . . . . . . . . . 88, 90 sinus . . . . . . . . . . . . . 294, 306 sinussatsen . . . . . . . . . . . . 318 stambråk . . . . . . . . . . . . . . . 74 steglängd . . . . . . . . . . . . . . 283 sträcka . . . . . . . . . . . . . . . . 279 ström-tid-diagram . . . . . 279 substitution . . . . . . . . . . . . 13 symmetrilinje . . . . . . . . . . . 29 symmetrisk kurva. . . . . . .29 tangens. . . . . . . . . . .294, 306 tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 tangentlinje. . . . . . . . . . . . .93

tangeringspunkt . . . . . . . . 95 Taylorutveckling . . . . . . . . 42 teckentabell . . . . . . . . . . . 176 terrass. . . . . . . . . . . . . . . . .179 terrasspunkter . . . . . . . . . 174 torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 trapetsmetoden. . . . . . . .283 triangulering . . . . . . . . . . 322 tyngdacceleration . . . . . . . 10 tyngdkraft . . . . . . . . . . . . . 280 undersummor . . . . . . . . . 252 utvecklade form . . . . . . . . 41 variabelfaktor . . . . . . . . . 104 vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 vänster led. . . . . . . . . . . . . . .6 värdemängd . . . . . . . . . . . . 18 värdetabell . . . . . . . . . . . . . 20 äkta rötter . . . . . . . . . . 15, 64 ändpunkter . . . . . . . . . . . . 161 ändringskvot. . . . . . . .84, 86 översummor . . . . . . . . . . . 254

ISBN 978-91-47-14652-9 © 2022 Liber AB PROJEKTLEDARE: Theres Lagerlöf REDAKTÖR: Jonas Klingberg FÖRFATTARE: Jonas Klingberg och Mikael Cronhjort, Jaime Dols Duxans, Olof Klingberg, Anders Lundkvist, Andreas Rung, Jonas Sjunnesson, Eva von Heijne, Wictor Zawadzki OMSLAG: Tove Freiij (foto), Lotta Rennéus (form) FORMGIVNING: Nette Lövgren, Cecilia Frank, Typesetters, OK Education BILDREDAKTÖR: Lena Andersson, Margareta Söderberg ILLUSTRATIONER: Björn Magnusson PRODUKTION: Eva Runeberg Påhlman Första upplagan 1 REPRO: Integra Software services TRYCK: Livonia Print, Lettland 2022

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm KUNDSERVICE TFN 08-690 90 00 www.liber.se E-POST kundservice.liber@liber.se

Liber Matematik är en läromedelsserie för gymnasiet, helt anpassad till läroplanen såsom den gäller från 2021.

Liber Matema tik

Utmärkande för Liber Matematik: • övningsuppgifter kopplade till förmågorna • betonar tydlighet och förståelse • ett stort antal klassrumsaktiviteter baserade på GeoGebra och Python.

Serien innehåller fullständiga och fristående tryckta och digitala läromedel och kommer på sikt att omfatta samtliga matematikkurser på gymnasiets a-, b-, och c-spår.

LIBER

Matematik

3c

Best.nr 47-14652-9 Tryck.nr 47-14652-9

Omslag-Liber matematik 3c.indd All Pages

3c 23/09/22 12:21 PM