9789147133581

ASRATIAN

n

BJÖRN

Den här boken är avsedd för grundläggande kurser i diskret matematik vid universitet och högskolor. Framför allt riktar

( ) =2

k=0

n k

n

a p−1 ≡ 1mod p

TURESSON

den sig till första- och andraårsstudenter på matematik-,

∑

data-, civilingenjörs- och högskoleingenjörsprogrammen.

Boken behandlar logik, mängdlära, funktioner, induktion, rekursion, kombinatorik, talteori, relationer, grafteori och boolesk algebra. Teoriavsnitten, som avslutas med

Diskret matematik

testfrågor, innehåller ett stort antal exempel och många tillämpningar. Dessutom ingår cirka 450 övningar med svar varav drygt 100 också har ledningar eller lösningar.

ARMEN ASRATIAN och ANDERS BJÖRN är professorer och BENGT OVE TURESSON är universitetslektor i matematik vid Linköpings universitet. De har alla mångårig erfarenhet av undervisning, speciellt i diskret matematik. De är också aktiva forskare. Armen Asratians specialitet är diskret matematik.

{Ø, {Ø}}

DISKRET MATEMATIK

v–e+r=2

Best.nr 47-13358-1 Tryck.nr 47-13358-1

ARMEN ASRATIAN ANDERS BJÖRN BENGT OVE TURESSON

Diskret matematik Armen Asratian Anders Bjรถrn Bengt Ove Turesson

Innehåll Förord

1

Introduktion

3

1.

2.

3.

Några grundläggande begrepp 1.1. Axiom och satser . . . . . . . . . . . .

1.2. Några typer av matematiska bevis . .

1.2.1. Existensbevis genom exempel 1.2.2. Direkt bevis . . . . . . . . . .

1.2.3. Bevis genom falluppdelning .

1.2.4. Bevis i flera steg . . . . . . .

1.2.5. Motsägelsebevis . . . . . . . .

1.3. Nödvändiga och tillräckliga villkor . .

1.4. Algoritmer . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Mängder 2.1. Mängder och delmängder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Mängdoperationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Likheter inom mängdläran . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1. Bevis med hjälp av definitionen av likhet . . . . . .

2.3.2. Bevis med hjälp av medlemskapstabeller . . . . . . .

2.3.3. Bevis med hjälp av venndiagram . . . . . . . . . . .

2.3.4. Bevis med hjälp av omskrivningar . . . . . . . . . .

2.4. Kartesiska produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5. Ändliga och oändliga mängder . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Unioner och snitt över indexmängder . . . . . . . . . . . . .

2.7. Fördjupning: Axiomatisk mängdlära . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1. Zermelo–Fraenkels axiomsystem med urvalsaxiomet (ZFC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funktioner 3.1. Grundläggande begrepp . . . . . . . . . .

3.2. Sammansättning av funktioner . . . . . .

3.3. Injektiva, surjektiva, bijektiva och inversa 3.3.1. Injektiva funktioner . . . . . . .

3.3.2. Surjektiva funktioner . . . . . . .

3.3.3. Bijektiva funktioner . . . . . . . iii

. . . . . . . . . . . . funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

5 5 7 8 8 8 9 9 10 11

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

13 13 17 19 19 20 21 21 23 24 28 29

. . .

29

. . . . . .

35 35 37 39 39 39 40

. . . . . .

. . . . . .

iv

Innehåll

3.4.

4.

5.

6.

7.

3.3.4. Invers funktion . . . . . . . . . . .

Fördjupning: Storlek på oändliga mängder 3.4.1. Bakgrund och motivering . . . . .

3.4.2. Samma kardinalitet . . . . . . . . .

3.4.3. Uppräkneliga och överuppräkneliga 3.4.4. Mindre kardinalitet . . . . . . . . .

3.4.5. Kontinuumhypotesen . . . . . . . .

Induktion och rekursion 4.1. Induktionsprincipen . . . . . .

4.2. Välordningsprincipen . . . . .

4.3. Den starka induktionsprincipen 4.4. Rekursiva definitioner . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mängder . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

41 43 43 44 45 48 50

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

55 55 61 61 63

Kombinatorik 5.1. Additionsprincipen . . . . . . . . . . . . .

5.2. Multiplikationsprincipen . . . . . . . . . .

5.3. Permutationer . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. Permutationer med upprepningar . . . . .

5.5. Kombinationer . . . . . . . . . . . . . . .

5.6. Kombinationer med upprepningar . . . .

5.7. Binomialsatsen . . . . . . . . . . . . . . .

5.8. Pascals triangel . . . . . . . . . . . . . . .

5.9. Multinomialsatsen . . . . . . . . . . . . .

5.10. Lådprincipen . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11. Principen om inklusion och exklusion . .

5.12. Fördjupning: Derangemang . . . . . . . .

5.13. Fördjupning: Antalet funktioner . . . . .

5.14. Tillämpning: Födelsedagsproblemet . . .

5.15. Tillämpning: Stabila högskoleantagningar

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

71 71 72 75 77 78 80 83 85 87 88 91 94 96 97 98

Linjära differensekvationer med konstanta koefficienter 6.1. Talföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Inledande exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3. Definitioner och grundläggande egenskaper . . . . . . . .

6.4. Homogena ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1. Homogena ekvationer av ordning 1 . . . . . . . .

6.4.2. Homogena ekvationer av ordning 2 . . . . . . . .

6.4.3. Homogena ekvationer av högre ordning . . . . . .

6.5. Inhomogena ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

107 107 108 110 113 113 113 117 119

Talteori 7.1. Delbarhet . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3. Divisionsalgoritmen . . . . . . . . . .

7.4. Positionssystem . . . . . . . . . . . .

7.5. Största gemensam delare och Euklides 7.6. Minsta gemensamma multipel . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

125 125 127 128 129 131 134

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . algoritm . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Innehåll 7.7.

7.8.

7.9.

Aritmetikens fundamentalsats . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diofantiska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.8.1. Linjära diofantiska ekvationer med två obekanta . . .

7.8.2. Linjära diofantiska ekvationer med minst tre obekanta Tillämpning: Felrättande koder . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9.1. Kodningsalgoritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.9.2. Felupptäckning, felrättning och avkodning . . . . . . .

. . . . . . .

v . . . . . . .

136 138 138 142 144 146 148

8.

Relationer 153 8.1. Definition och inledande exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.2. Reflexiva, symmetriska, antisymmetriska och transitiva relationer . 156 8.3. Ekvivalensrelationer och partitioner . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.4. Restriktion av relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.

Modulär aritmetik 9.1. Kongruensräkning . . . . . . .

9.2. Heltalen modulo n . . . . . . .

9.3. Linjära kongruensekvationer .

9.4. Kinesiska restsatsen . . . . . .

9.5. Fermats lilla sats . . . . . . . .

9.6. Tillämpning: RSA-kryptering .

9.7. Fördjupning: Eulers φ-funktion

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

167 . 167 . 171 . 172 . 175 . 178 . 179 . 183

10. Grafer 10.1. Grundläggande definitioner . . . . . . . . .

10.1.1. Grafer och enkla grafer . . . . . . .

10.1.2. Riktade grafer . . . . . . . . . . .

10.1.3. Gradtal . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.4. Fullständiga grafer . . . . . . . . .

10.1.5. Komplement . . . . . . . . . . . .

10.1.6. Delgrafer . . . . . . . . . . . . . .

10.1.7. Vägar . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1.8. Sammanhängande grafer . . . . . .

10.2. Isomorfa grafer . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3. Eulervägar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4. Hamiltongrafer . . . . . . . . . . . . . . . .

10.5. Bipartita grafer . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6. Tillämpning: Schemaläggning i turneringar

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

187 187 187 189 189 190 191 191 192 192 193 195 198 201 204

11. Träd 11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

209 209 214 215 218 221

Karakterisering av träd . . . .

Uppspännande träd . . . . . .

Minimalt uppspännande träd .

Rotade träd . . . . . . . . . . .

Tillämpning: Datakompression

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

vi

Innehåll

12. Planära grafer och färgningar 12.1. Eulers formel . . . . . . . . .

12.2. Polyedrar och plana grafer .

12.3. Kuratowskis sats . . . . . . .

12.4. Färgningar . . . . . . . . . .

12.4.1. Kromatiska tal . . .

12.4.2. Kromatiska polynom 12.4.3. Rekursiv bestämning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . av kromatiska polynom

13. Ordnade mängder 13.1. Partialordnade mängder . . . . . . .

13.2. Ändliga po-mängder. Hassediagram 13.3. Topologisk sortering . . . . . . . . .

13.4. Lattice . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

229 229 233 236 238 238 242 244

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

249 249 252 254 256

14. Boolesk algebra 14.1. Booleska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.1.1. Grundläggande definitioner och egenskaper 14.1.2. Normalformer för booleska funktioner . . .

14.1.3. Tillämpning i digitala kretsar . . . . . . . .

14.2. Boolesk algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3. Fördjupning: Strukturen av booleska algebror . . . .

14.3.1. Partialordning på booleska algebror . . . .

14.3.2. Atomer och atomär representation . . . . .

14.3.3. Isomorfier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

259 259 259 261 264 265 269 269 271 273

15. Logik 15.1. Konnektiv och sanningsvärdestabeller . . . . . .

15.2. Logisk ekvivalens och implikation . . . . . . . .

15.3. Korrekta slutledningar . . . . . . . . . . . . . . .

15.3.1. Metoden med sanningsvärdestabeller . .

15.3.2. Direkt härledning . . . . . . . . . . . . .

15.3.3. Motsägelsebevis eller indirekt härledning 15.4. Predikat och kvantifierare . . . . . . . . . . . . .

15.4.1. Negering av kvantifierade predikat . . .

15.4.2. Två nya härledningsregler . . . . . . . .

15.5. Matematiska bevis i logisk terminologi . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

277 277 281 284 285 287 289 291 292 294 295

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Ledningar och lösningar

301

Svar

313

Sakregister

331

Förord Den här boken introducerar några viktiga delar av den diskreta matematiken. Den behandlar grundläggande teoretiska begrepp och resultat inom mängdlära, kombinatorik, talteori, grafteori, logik och booleska algebror. Dessa begrepp och resultat är nödvändiga för mer avancerade kurser i t.ex. datalogi och datateknik.

Boken är främst avsedd för grundläggande kurser i diskret matematik vid universitet och högskolor. Framför allt riktar den sig till första- och andraårsstudenter på data-, matematik-, civilingenjörs- och högskoleingenjörsprogrammen. Några av kapitlen avslutas med lite mer avancerade tillämpningar eller fördjupningar för läsare som vill veta mer om ämnet. Dessutom ingår ca 450 övningar med svar varav drygt 100 också har ledningar eller lösningar; de senare är markerade med (L) i marginalen.

Boken kan naturligtvis läsas från pärm till pärm, men det är ingalunda nödvändigt. T.ex. går det att hoppa över kapitel 3 och 6 utan att det får obehagliga dominoeffekter (även om dessa kapitel förstås innehåller intressant material). Likaså kan kapitel 8 eller 10 läsas direkt efter kapitel 2. Mängdlärans språk används genomgående i boken och induktionsbevis förekommer på många ställen. För att underlätta planeringen av kurser, har vi i tabellen på nästa sida försökt beskriva beroendet mellan kapitlen.

Kapitel 1 innehåller en introduktion till matematiska bevismetoder och grundläggande logisk terminologi, men ska kanske mer ses som en aptitretare för den intresserade läsaren. Det avslutande kapitlet, som behandlar logik, är också i stort sett oberoende av övriga kapitel (och kan därmed tas upp när så önskas eller inte alls). Givetvis används bevis och logiska resonemang fortlöpande i bokens alla kapitel, men på ett sådant sätt att läsaren kan förväntas förstå resonemangen även utan att läsa kapitel 1 eller 15.

I introduktionen, som följer direkt efter förordet, gör vi ett försök att förklara vad diskret matematik egentligen är och att beskriva vad som har drivit fram utvecklingen av detta område inom matematiken.

En del av texten har i kompendieform använts på olika kurser i diskret matematik vid Linköpings universitet. På så sätt har framställningen successivt förbättrats efter lärares och studenters kommentarer. Speciellt tack går till Daniel Carlsson, Carl Johan Casselgren, Danyo Danev, Gunnar Fogelberg, Milagros Izquierdo, Jesper Thorén och vår förläggare Calle Gustavsson. Armen Asratian tackar sina döttrar, Anna och Karina, för deras stöd och hjälp under arbetet med boken. Anders Björn tackar sin fru, Jana, och sina söner, Martin och Tomas, för deras stöd under arbetet med boken.

Linköping, februari 2020 AA, AB, BOT 1

2

Förord

Beroendet mellan bokens kapitel I tabellen nedan beskrivs hur respektive kapitel beror på tidigare kapitel. Alla kapitel fr.o.m. kapitel 3 beror på avsnitt 2.1–2.5 vilket inte anges direkt. Beroenden inom respektive kapitel anges inte heller, ej heller beroenden på något enstaka begrepp eller beteckning. Dessutom finns det många övningar som anspelar på tidigare kapitel. Speciellt finns det många övningar med kombinatoriska inslag i de flesta kapitel.

Kapitel/avsnitt 5 5.13 7 9 9.2 9.5 11 11.4 12 12.4 13 14.3

Kräver, utöver 2.1–2.5, förkunskaper motsvarande 4.1 även 3.1, 3.3.1–3.3.2 4.1 4.1, 7.1–7.3, 7.5, 7.7, 7.8.1 även 8.1–8.3 även binomialsatsen (sats 5.7) 4.1, 10.1–10.2 även 4.3 4.1, 10.1–10.2, 10.5, 11.1 även 4.3 4.1, 4.3, 8.1–8.2, 8.4, 10.1.1–10.1.2 13.1–13.2

Introduktion Det finns ett traditionellt sätt att dela in matematiken i områden som studerar olika typer av problem, nämligen analys, algebra, geometri, talteori, logik o.s.v. Man kan också klassificera matematiska problem utifrån storlekarna på och strukturerna hos de mängder som uppkommer i problemen. Man använder t.ex. uttrycken ändlig och oändlig matematik: Den ändliga matematiken studerar problem som handlar om ändliga mängder (d.v.s. mängder med ändligt antal element) och den oändliga matematiken problem som handlar om mängder med oändligt många element.

Man skiljer även på kontinuerlig och diskret matematik. Den kontinuerliga matematiken studerar bl.a. objekt som kan beskrivas med hjälp av sammanhängande kurvor och ytor. Den här typen av matematik står i centrum i universitetens analyskurser, som tar upp begrepp som gränsvärde, kontinuitet, derivata, integral och differentialekvationer.

Vad är då diskret matematik? Ordet diskret betyder informellt åtskild. Man kan säga att diskret matematik behandlar problem som involverar mängder med åtskilda element; sådana mängder kallas diskreta. Alla ändliga mängder är diskreta.

Ett exempel på en oändlig diskret mängd är mängden Z av alla heltal. Punkterna på tallinjen, som motsvarar heltalen, är nämligen åtskilda eftersom det finns mellanrum mellan punkterna. Däremot är mängden av alla tal i intervallet [0, 1] inte diskret eftersom talen i intervallet inte är åtskilda.

Mer formellt kan man säga att diskret matematik behandlar mängder vars element kan räknas upp. Observera att elementen i varje ändlig mängd kan räknas upp och att heltalen kan ordnas i en följd (och därmed räknas upp) på t.ex. följande sätt: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ... .

Enligt den här definitionen innefattar diskret matematik några delar av matematikens traditionella områden: talteori, algebra, mängdlära och logik. Samtidigt spelar relativt nya områden inom matematiken, som kombinatorik, algoritmteori, kodningsteori och grafteori, en central roll i diskret matematik. Det finns dock ingen exakt definition av diskret matematik.

En stor del av den diskreta matematiken handlar om ändliga mängder och deras teori. Vanligtvis används diskret matematik när antalet objekt med givna egenskaper räknas, när relationer mellan ändliga mängder studeras och när processer med ett ändligt antal steg analyseras.

Några exempel på problem, som man löser i diskret matematik, är:

3

4

Introduktion – Hur många möjligheter finns det att välja ett lösenord i ett datasystem?

– Hur stor är chansen att vinna på Lotto?

– Vilken är den kortaste bilvägen mellan Linköping och Paris?

– Hur kan en ändlig följd av olika heltal sorteras i växande ordning?

Hur många steg behövs det för att göra en sådan sortering? *

Den diskreta och den kontinuerliga matematiken uppstod redan när människorna började räkna och mäta. Talteorin är den äldsta grenen av diskret matematik och handlar klassiskt om de hela talen, bl.a. om delbarhet, primtal och heltalslösningar till ekvationer. De problem som man studerar har ofta en mycket lång historia och kan vara mycket svåra.

Etableringen av differentialkalkylen under 1600-talet gjorde det möjligt att övergå från statik, som studerades i den antika världen, till att studera dynamiken i fysikaliska processer. Det var också vid denna tid som Leibniz1 formulerade sin kontinuitetsprincip: Naturen gör aldrig hopp. Under 1800-talet, som var en triumf för den kontinuerliga matematiken, lyckades dåtidens fysiker med hjälp av differentialekvationer beskriva beteendet hos materia och elektromagnetiska fält, som betraktades som kontinuerliga fenomen. Differentialekvationer var under lång tid det enda matematiska verktyget för modellering av den fysiska verkligheten.

Under 1900-talet stod det emellertid klart att naturen kan göra hopp. Fysikerna upptäckte kvantmekaniska fenomen och började studera atomer och elementarpartiklar. Även inom biologin började man att undersöka diskreta objekt som gener och DNA-koder.

Behovet av att knäcka tyska koder under andra världskriget ledde till framsteg inom kryptografi och stimulerade utvecklingen av datorer, som ursprungligen endast användes som kraftfulla räknemaskiner. Datorer har sedan dess revolutionerat informationsteknologin och används numera i alla former av mänsklig aktivitet, vilket har lett till många nya problem av diskret karaktär. I modern terminologi täcker termen diskret matematik ett mycket brett spektrum av matematiska områden som alla, på ett eller annat sätt, är relaterade till användningen av datorer. Det är på grund av datorernas utveckling som diskret matematik har blivit ett område att räkna med. Diskret matematik utgör den teoretiska grunden för datateknik och datalogi.

Sammanfattningsvis kan man säga att modern diskret matematik behandlar diskreta strukturer av mycket olika karaktär och utvecklar generella metoder för arbete med sådana strukturer.

1 Gottfried

Wilhelm Leibniz (1646–1716), tysk matematiker och filosof.

Kapitel 1

Några grundläggande begrepp I det här kapitlet inför vi grundläggande matematisk terminologi och introducerar informellt några typer av matematiska bevis.

1.1.

Axiom och satser

Matematiken är ett logiskt system som byggs upp enligt punkterna 1–3 nedan. Den första punkten handlar om de begrepp som används inom systemet: 1. Det finns ett antal grundläggande begrepp som inte definieras formellt. Sådana begrepp kan i stället förstås intuitivt.

Exempel 1.1.1. Två exempel på grundläggande begrepp inom geometrin är punkt och linje.

Nya termer och begrepp i ett logiskt system introduceras i form av definitioner.

Den andra punkten handlar om givna påståenden om de grundläggande begreppen: 2. Det finns ett antal påståenden om de grundläggande begreppen som man accepterar som sanna eller korrekta och som kallas axiom.

Exempel 1.1.2. Exempel på axiom är följande tre påståenden som brukar tas för givna för alla sorters objekt, d.v.s. inte bara för tal: – För varje objekt a gäller det att a = a.

– För alla objekt a och b gäller det att om a = b, så är b = a.

– För alla objekt a, b och c gäller det att om a = b och b = c, så är a = c.

Exempel 1.1.3. Ett annat exempel på ett axiom är följande påstående från den euklidiska geometrin, det s.k. parallellaxiomet: Om L är en rät linje och P är en punkt som inte ligger på L, så finns det en och endast en rät linje genom P som är parallell med L, d.v.s. som inte skär L. 5

6

1. Några grundläggande begrepp

Den tredje och sista punkten handlar om hur man kan skapa nya påståenden i systemet: 3. Det finns ett antal tillåtna logiska regler – s.k. härledningsregler – som man stegvis kan använda för att härleda ett nytt sant påstående från axiomen.

Den stegvisa process som används för att skapa ett nytt påstående kallas för ett bevis och det nya sanna påståendet kallas för en sats (eller ett teorem). Satserna kan sedan i sin tur utnyttjas som delar i bevis av ytterligare satser.

Följande två härledningsregler använder man inte bara i matematiken utan också i vardagliga resonemang: Regel 1. Om vi vet att ett påstående p medför ett påstående q och vi kan visa att p är sant, så är också q sant.

Regel 2. Om vi vet att ett påstående p medför ett annat påstående q och att q medför ett tredje påstående r, kan vi dra slutsatsen att p medför r.

En matematisk sats kan ofta formuleras på följande sätt: Om påståendet p är sant, så är också påståendet q sant.

Påståendet p kallas satsens förutsättning och påståendet q kallas satsens slutsats.1 Man säger också att q följer av p, och att p medför q.

Exempel 1.1.4. Vi kan som exempel nämna en av matematikens mest berömda satser, nämligen Pythagoras 2 sats: Om en triangel med sidorna a, b och c har en rät vinkel mellan sidorna a och b, så är a2 + b2 = c2 .

Satsens förutsättning är påståendet ”En triangel med sidorna a, b och c har en rät vinkel mellan sidorna a och b” och dess slutsats är ”a2 + b2 = c2 ”.

En enkel sats som används för att bevisa en mer komplicerad sats kallar man för en hjälpsats (eller ett lemma). En sats som enkelt kan bevisas med hjälp av en annan sats kallas för en följdsats (eller ett korollarium).

För att visa att ett påstående är falskt kan man hitta ett exempel som visar att påståendet inte gäller. Ett sådant exempel kallas för ett motexempel.

Exempel 1.1.5. T.ex. är följande påstående falskt: a Om a, b och är heltal, så är b ≤ a. b Vi ser att påståendet är falskt om vi låter a = −10 och b = 2 eftersom a, b och då är heltal, men b > a. I det här fallet ges alltså motexemplet av talen a och b.

a b

För att formulera nya satser studerar man ofta olika specialfall och försöker med hjälp av dessa få en inblick i allmänna företeelser. Sedan formulerar man ett påstående (en gissning) som man inte vet om det är sant eller falskt. Ett sådant påstående kallas för en förmodan (eller en hypotes). Ibland kan det ta lång tid att avgöra om en förmodan är sann eller inte. Det görs genom att antingen bevisa den eller ge ett motexempel som visar att den är falsk.

1 Observera

att det är möjligt att en sats har flera förutsättningar.

(500-talet f.Kr.), grekisk filosof och matematiker.

2 Pythagoras

1.2. Några typer av matematiska bevis

7

Exempel 1.1.6. Ett av de mest berömda problemen i matematiken var länge fyrfärgsproblemet: Alla kartor kan färgläggas med fyra färger på så sätt att länder som gränsar till varandra i mer än enstaka punkter får olika färger. Denna förmodan formulerades 1852 av Guthrie3 och bevisades först 1976, av Appel4 och Haken.5 Deras bevis reducerade problemet till 1 476 fall som kontrollerades med hjälp av datorer.

Exempel 1.1.7. Den franske matematikern Fermat6 formulerade 1637 följande förmodan (som brukar kallas Fermats stora sats): Ekvationen xn + y n = z n saknar positiva heltalslösningar för varje heltal n ≥ 3. Först 358 år senare bevisade Wiles7 att Fermats förmodan är sann.

Exempel 1.1.8. En liknande förmodan inom talteorin fick ett annat svar. Under 1700-talet formulerade Euler8 följande förmodan: Ekvationen x4 + y 4 + z 4 = t4 saknar positiva heltalslösningar. När datorerna kom började man ganska snart ta dem till hjälp för att försöka hitta lösningar till Eulers ekvation. Det gav dock ingen framgång, vilket verkade stödja Eulers förmodan. Först 1988 hittade Elkies9 identiteten 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 vilket visar att Euler faktiskt hade fel.

1.2.

Några typer av matematiska bevis

Vanligtvis påstår man i en sats att satsens slutsats gäller för oändligt många objekt av en viss sort. För att bevisa en sådan sats kan man använda följande regel.

Man bevisar att slutsatsen är sann för ett visst, inte närmare specificerat, objekt x som är slumpvist utvalt bland alla tänkbara objekt av en viss sort. Man kallar ett sådant objekt för ett godtyckligt objekt. Eftersom objektet är godtyckligt kan samma resonemang tillämpas på alla andra objekt av samma sort. Därför är slutsatsen sann för alla objekt av denna sort. Denna regel, som är en av matematikens härledningsregler, formuleras så här: Regeln för generalisering. Ett påstående gäller för alla tänkbara objekt av en viss sort om vi kan visa att det är sant för ett godtyckligt objekt x av denna sort.

Vi ger nu en översikt över några olika typer av matematiska bevis. I kapitel 4 ska vi studera ytterligare en typ av matematiska bevis, nämligen induktionsbevis. En mer formell beskrivning av vad ett matematiskt bevis är ges också i kapitel 15.

3 Francis

Guthrie (1831–99), sydafrikansk matematiker och botaniker.

Appel (1932–2013), amerikansk matematiker.

5 Wolfgang Haken, tysk matematiker, verksam i USA sedan mitten av 1960-talet.

6 Pierre de Fermat (1601–65), fransk advokat och statstjänsteman. Fermat är mest känd för sina insatser inom talteorin, men han bidrog också till analysens utveckling.

7 Andrew Wiles, engelsk matematiker verksam i USA. 8 Leonhard Euler (1707–83), schweizisk matematiker verksam i St Petersburg och Berlin under långa perioder. En av världshistoriens mest produktiva matematiker och 1700-talets kanske främste matematiker.

9 Noam Elkies, amerikansk matematiker.

4 Kenneth

8

1. Några grundläggande begrepp

1.2.1.

Existensbevis genom exempel

För att bevisa att ett objekt med givna egenskaper existerar, räcker det med att ange ett sådant objekt.

Exempel 1.2.1. Bevisa att ekvationen x2 + y 2 = z 2 har minst en positiv heltalslösning.

Bevis. Sätt x = 3, y = 4 och z = 5. Eftersom 32 + 42 = 52 har ekvationen minst en positiv heltalslösning.

Symbolen

1.2.2.

betecknar att beviset är färdigt.

Direkt bevis

För att bevisa att ett objekt har en viss egenskap är det ibland tillräckligt att verifiera egenskapen enligt definitionen. Här följer ett exempel som handlar om jämna heltal. Vi påminner om att ett heltal a kallas jämnt om a = 2n för något heltal n.

Exempel 1.2.2. Bevisa att om a och b är två jämna heltal, så är summan a + b jämn.

Bevis. Låt a, b vara ett godtyckligt par av jämna heltal. Från definitionen av ett jämnt heltal följer det att a = 2n och b = 2m för några heltal n och m. Därför är a + b = 2n + 2m = 2(n + m).

Alltså är a + b = 2(n + m), där n + m är ett heltal. Detta betyder enligt definitionen att a + b är ett jämnt heltal. Vi visade att påståendet gäller för paret a, b, men eftersom paret a, b är godtyckligt, gäller påståendet för alla par av jämna heltal enligt regeln för generalisering.

I fortsättningen ska vi inte hänvisa till regeln för generalisering, men den används egentligen som avslutning i många bevis.

1.2.3.

Bevis genom falluppdelning

Om det finns ett begränsat antal möjliga fall och vi kan visa att ett påstående p är sant i vart och ett av fallen, kan vi dra slutsatsen att påståendet p är sant eftersom det inte finns något fall då det är falskt.

Nästa exempel handlar om en egenskap för absolutbeloppet. Vi påminner om att absolutbeloppet |a| av ett reellt tal a definieras på följande sätt: |a| =

(

a om a ≥ 0, −a om a < 0.

1.2. Några typer av matematiska bevis

9

Exempel 1.2.3. Bevisa att |ab| = |a| · |b| för alla reella tal a och b.

Bevis. Låt a och b vara godtyckliga reella tal. Vi delar upp problemet i fyra fall.

Fall 1. a ≥ 0 och b ≥ 0. Likheten är sann eftersom |a| = a, |b| = b och |ab| = ab = |a| · |b|.

Fall 2. a ≥ 0 och b < 0. Likheten är sann eftersom |a| = a, |b| = −b och |ab| = −ab = a · (−b) = |a| · |b|.

Fall 3. a < 0 och b ≥ 0. Likheten är sann eftersom |a| = −a, |b| = b och |ab| = −ab = (−a) · b = |a| · |b|.

Fall 4. a < 0 och b < 0. Likheten är sann eftersom |a| = −a, |b| = −b och |ab| = ab = (−a) · (−b) = |a| · |b|.

1.2.4.

Bevis i flera steg

För att bevisa att ett påstående p är sant kan man ibland göra följande: Man övergår stegvis från ett sant påstående q1 till ett annat sant påstående q2 som följer från q1 .

Sedan övergår man till ytterligare ett påstående q3 som följer från q1 och/eller q2 o.s.v. ända tills man når fram till påståendet p.

Exempel 1.2.4. Bevisa att för alla reella tal a och b är (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

Bevis. Låt a och b vara godtyckliga reella tal. Enligt definitionen av kvadraten på ett tal är (a + b)2 = (a + b)(a + b), och enligt egenskaperna hos multiplikation är (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb.

Eftersom ba = ab, ser vi att aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2 .

Alltså är (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

1.2.5.

Motsägelsebevis

För att bevisa en sats kan man ibland göra följande: Man antar att satsens slutsats är falsk och visar att detta antagande leder till ett påstående som motsäger förutsättningarna. Eftersom en motsägelse inte kan vara sann, kan man då dra slutsatsen att antagandet var falskt, d.v.s. att slutsatsen i själva verket är sann. Ett sådant bevis kallas för ett motsägelsebevis.

10

1. Några grundläggande begrepp

Exempel 1.2.5. Bevisa att om n är ett heltal sådant att n2 < 100, så är n < 10.

Bevis. Låt n vara ett godtyckligt heltal sådant att n2 < 100. Vi ska alltså visa att n < 10.

Antag att detta är falskt, d.v.s. att n ≥ 10. Denna olikhet medför att 10n ≥ 100 och att n2 = nn ≥ 10n. De två olikheterna medför tillsammans att n2 ≥ 100.

Alltså leder vårt antagande att n ≥ 10 till en motsägelse: n2 < 100 samtidigt som n2 ≥ 100, vilket är omöjligt. Detta betyder att vårt antagande att n ≥ 10 är falskt, d.v.s. att n < 10 gäller.

Exempel 1.2.6. Bevisa att produkten ab av ett rationellt tal a 6= 0 och ett irrationellt tal b är ett irrationellt tal. Vi påminner om att ett tal a kallas rationellt om a = m 6 0. Varje reellt tal som inte är rationellt, n , där m och n är heltal och n = kallas irrationellt.

Bevis. Antag att påståendet är falskt, d.v.s. att ab är ett rationellt tal. Då kan ab skrivas på formen ab = pq , där p och q är heltal och q 6= 0. Eftersom a är ett 6 0. rationellt tal, kan det skrivas på formen a = m n , där m och n är heltal och n = Vi ser nu att p m = ab = b. q n Härifrån får vi att np b= , mq vilket betyder att b är ett rationellt tal. Därmed leder vårt antagande att ab är ett rationellt tal till en motsägelse: b är både ett rationellt och ett irrationellt tal, vilket är omöjligt. Alltså är vårt antagande att ab är rationellt falskt, d.v.s. ab är ett irrationellt tal.

1.3.

Nödvändiga och tillräckliga villkor

Betrakta en sats på formen: Om ett påstående p är sant, så är ett annat påstående q också sant.

Man kan uttrycka ett sådant påstående på olika sätt. Vi har redan sagt ovan att man säger att q följer av p och att p medför q. Man säger också att p är ett tillräckligt villkor för q och att q är ett nödvändigt villkor för p. Nästa exempel motiverar de senaste två uttrycken.

Exempel 1.3.1. Enligt definitionen kallas en fyrhörning i planet för en kvadrat om alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. Därför är följande påstående sant: Om fyrhörningen ABCD är en kvadrat, så är alla sidor hos ABCD lika långa.

Låt p vara påståendet ”Fyrhörningen ABCD är en kvadrat” och låt q vara påståendet ”Alla sidor hos ABCD är lika långa”. Eftersom varje kvadrat måste ha lika långa sidor, är q ett nödvändigt villkor för p och p är ett tillräckligt villkor för q.

Observera att det finns fyrhörningar med lika långa sidor som inte är kvadrater.

Alltså är q inte ett tillräckligt villkor för p.

1.4. Algoritmer

11

Antag nu att två påståenden p och q uppfyller följande två villkor samtidigt: Om p är sant, så är också q sant och Om q är sant, så är också p sant.

Detta förhållande kan uttryckas på olika sätt: – p är ekvivalent med q, – p gäller om och endast om q gäller, – ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att p ska gälla är att q gäller.

Exempel 1.3.2. Låt p vara påståendet ”En triangel med sidorna a, b och c har en rät vinkel mellan sidorna a och b”. Låt vidare q vara påståendet ”a2 + b2 = c2 ”.

Enligt Pythagoras sats gäller det att om p är sant, så är också q sant. Man kan även visa omvändningen, d.v.s. att om q är sant, så är p sant. Det följer nämligen av cosinussatsen att om γ är vinkeln mellan sidorna a och b, så är c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ, vilket innebär att om a2 + b2 = c2 , så är cos γ = 0, d.v.s. γ är en rät vinkel. Detta innebär att p gäller om och endast om q gäller: En triangel med sidorna a, b och c har en rät vinkel mellan sidorna a och b om och endast om a2 + b2 = c2 .

Annorlunda uttryckt har vi sett att: Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en triangel med sidorna a, b och c har en rät vinkel mellan sidorna a och b är att a2 + b2 = c2 .

1.4.

Algoritmer

I många sammanhang vill man skapa ett objekt eller en mängd av objekt med givna egenskaper. Sådana problem betraktades redan i Euklides10 bok Elementa skriven för mer än 2 300 år sedan. En del satser i boken är egentligen lösningar till konstruktionsuppgifter: De visar hur man enbart med hjälp av en passare och en ograderad linjal11 kan rita upp eller konstruera figurer med vissa egenskaper. Låt oss undersöka ett exempel.

Exempel 1.4.1. Låt A och B vara två punkter i planet. Hitta mittpunkten på sträckan AB enbart med hjälp av en passare och en ograderad linjal.

Lösning. Mittpunkten på sträckan AB kan hittas stegvis på följande sätt: 1. Rita en cirkel C1 med punkten A som medelpunkt, som går genom punkten B. 10 Euklides

(ca 300 f.Kr.), grekisk matematiker. en ograderad linjal menar man en linjal utan mm-markeringar eller liknande. Linjalen får bara användas för att dra räta linjer genom två givna punkter. (Det är inte heller tillåtet att utnyttja att en linjal ofta har två parallella sidor, i så fall får bara ena sidan användas.)

11 Med

12

1. Några grundläggande begrepp 2. Rita en cirkel C2 med punkten B som medelpunkt, som går genom punkten A. 3. Dra en rät linje genom punkterna S1 och S2 , där S1 och S2 är skärningspunkterna mellan cirklarna C1 och C2 .

4. Skärningspunkten mellan sträckorna AB och S1 S2 är mittpunkten på sträckan AB.

Problemet att skapa ett objekt med givna egenskaper eller att söka efter och hitta ett sådant objekt uppkommer också ofta i datalogiska sammanhang. Vi ger ett enkelt exempel på detta.

Exempel 1.4.2. Hitta det minsta talet i en lista med n ≥ 2 heltal.

Lösning. Man kan lösa problemet stegvis på följande sätt: 1. Notera det första talet.

2. För varje återstående tal i listan, ta ställning till om det är mindre än det dittills minsta talet. Notera det i så fall i stället för det tidigare noterade talet.

3. När hela listan gåtts igenom, är det senast noterade talet det minsta.

Observera att man tittar på varje tal i listan, men endast en gång för varje tal.

Vi har ovan löst två olika typer av problem genom att beskriva de instruktioner som visar hur man bildar eller hittar de önskade objekten. Dessa instruktioner är exempel på algoritmer.

Begreppet algoritm är ett av de viktigaste begreppen i matematik och datalogi.

Informellt är en algoritm en ändlig lista av instruktioner för att lösa en specifik typ av problem, inte endast ett specialfall. Instruktionerna utförs stegvis och varje steg måste beskrivas på ett enkelt och entydigt sätt så att det kan utföras av en maskin. Varje steg i algoritmen måste vara så elementärt att det i princip kan utföras exakt och inom en ändlig tidsrymd. En algoritm har indata, d.v.s. ett eller flera värden som ges till algoritmen innan den startas. Dessa tas från en speciell (vanligtvis oändlig) samling av objekt som kallas tillåtna indata. En algoritm har också utdata, d.v.s. ett eller flera värden som produceras av algoritmen. Algoritmen måste garanterat bli färdig efter ett ändligt antal steg för varje möjlig kombination av tillåtna indata. Sammanfattningsvis kan man säga att en algoritm är en ändlig lista av instruktioner för att lösa en specifik typ av problem som från givna tillåtna starttillstånd (indata) med säkerhet leder till något givet sluttillstånd (utdata) och avslutas efter ändligt antal steg och inom en ändlig tidsrymd.

T.ex. är indata för den första algoritmen ovan en godtycklig sträcka AB i planet och utdata är mittpunkten på sträckan AB. I den andra algoritmen är indata en godtycklig (ändlig) lista av heltal och utdata är det minsta talet i listan.

Ytterligare ett exempel på en algoritm är den regel som vi använder för att addera två n-siffriga heltal. Reglerna för de tre andra aritmetiska operationerna – multiplikation, subtraktion, division – är också algoritmer. I den här boken kommer vi att möta några viktiga algoritmer inom olika områden, bl.a. i talteori, kryptografi, grafteori och kodningsteori.

Sakregister ⌊·⌋, 35 ⌈·⌉, 36 3-regeln, 170 9-regeln, 186 a Knight’s Tour, 202 absorptionslag, 19, 261, 267, 282 additionsprincipen, 71, 72 Adleman, L., 180 al-Hakim Abu Zakariya, 202 algebraiskt tal, 47 algebrans fundamentalsats, 37, 113, 114 algoritm, 11, 12 allkvantifieraren ∀, 291 alternativa induktionsprincipen, 62 antagning, 99 antisymmetrisk, 157, 163 Appel, K., 7, 240 aritmetikens fundamentalsats, 136 aritmetisk summa, 56 associativ lag, 19, 261, 267, 282 sammansättning av funktioner, 38 atom, 271 avbildning, 35 avkryptering, 179 avkrypteringsnyckel, 180 avstånd, 192 axiom, 5 of choice, 29 axiomatisk mängdlära, 29 barn, 218 bassteg, 56 begynnelsevillkor, 111 begynnelsevärde, 63, 108, 111 begynnelsevärdesproblem, 111 Bernstein, F., 49 beslutsträd, 220 bevis, 6

Bézout, É., 133 Bézouts identitet, 133 bijektion, 40 bijektiv funktion, 40, 42 bild, 35, 36 binomialkoefficient, 79, 84, 86 binomialsatsen, 83 binär källkod, 221 representation, 130 binära talsystemet, 130 binärt träd, 220 bipartit graf, 201, 203, 232 fullständig, 202 bipartition, 201 bitsekvens, 144, 221 Boole, G., 259 boolesk algebra, 265 funktion, 259 operation, 259 variabel, 259 båge, 187 caesarchiffret, 180 Cantor, G., 13, 27, 29, 45–47, 49, 50 Cantors diagonalförfarande, 47 Cartesius, 23 Cayley, A., 209, 240 cirkelns kvadratur, 48 Cohen, P., 51 cykel, 192, 203, 211 de Moivre, A., 116 de Moivres formel, 116 De Morgan, A., 19 De Morgans lag, 19, 29, 261, 267, 282 decimala talsystemet, 130 Dedekind, R., 50 definition, 5

331

332

Sakregister

definitionsmängd, 36 delare, 125 trivial, 127 äkta, 127 delbarhetsrelationen, 158 delgraf, 191, 211 delmängd, 14, 30 äkta, 14 derangemang, 94 Descartes, R., 23 differens, 18 symmetrisk, 17 differensekvation, 108 homogen, 110 inhomogen, 110 linjär, 110 differenslag, 19 Diffie, W., 180 digital krets, 264 diofantisk ekvation, 138–140, 142 Diofantos, 138 Dirac, G., 200 Dirac, P., 200 direkt bevis, 8, 295 härledning, 287 disjunkt, 18 parvis, 18 disjunktiv förstärkning, 286 syllogism, 286 diskret matematik, 3 distributiv lag, 19, 261, 265, 282 divisionsalgoritmen, 128 dodekaeder, 198, 235, 236 dominationslag, 19, 261, 267, 282 dubbel negation, lag om, 282 dubbelt komplement, lag om, 19, 261, 267 duvslagsprincipen, 88 e, 48 ekvivalens, 11, 281 logisk, 292 ekvivalensklass, 160, 161 ekvivalenslag, 281, 282 ekvivalensrelation, 158–161, 163, 171 element, 13 Elkies, N., 7 ellereliminering, 286 enkel graf, 187 väg, 192, 201, 210

ettfunktion, 260 Euklides, 11, 127, 235 algoritm, 132 primtalssats, 127 Euler, L., 7, 178, 187, 195, 233 eulergraf, 196 Eulers φ-funktion, 183–185 formel för konvexa polyedrar, 234 formel för plana grafer, 231 sats, 183 eulerväg, 195, 196 existensbevis, 8 existenskvantifieraren ∃, 291 explicit, 63 φ (Eulers φ-funktion), 183–185 fakultet, 75 falluppdelning, 8, 288 felrättande kod, 145 femfärgssatsen, 240 Fermat, P. de, 7, 178 Fermats lilla sats, 178, 184 stora sats, 7 Fibonacci, 64 fibonaccital, 64, 110, 116 Fraenkel, A., 29 Freshman’s dream, 178 fullständig bipartit graf, 202 disjunktiv normalform, 262 graf, 190 konjunktiv normalform, 262 ordningsrelation, 250 fullständiga induktionsprincipen, 62 fullständigt binärt träd, 220 m-värt träd, 219 fundamentaldisjunktion, 261 fundamentalkonjunktion, 261 funktion, 35, 155 bijektiv, 40, 42 boolesk, 259 golvfunktion ⌊·⌋, 35 injektiv, 39, 42, 97 invers, 41, 42 karakteristisk, 93 likhet, 36 sammansättning, 37 surjektiv, 39, 42, 97 takfunktion ⌈·⌉, 36

Sakregister fyrfärgsproblemet, 7, 229, 239 fyrfärgssatsen, 240 färgning, 238 korrekt, 238 födelsedagsproblemet, 97 följdsats, 6 förmodan, 6 förutsättning, 6, 284 förälder, 218 Gale, D., 98 Gale–Shapleys algoritm, 99 gemensam delare, 131 multipel, 134 geometrisk representation, 188 summa, 59 godtyckligt objekt, 7 golvfunktion ⌊·⌋, 35 gradtal, 189, 190 för region, 230 graf, 188 bipartit, 201, 203, 232 enkel, 187 fullständig, 190 fullständig bipartit, 202 för funktion, 35 komplement, 191 komplett, 190 oriktad, 189 plan, 229 planär, 229 riktad, 189 sammanhängande, 192 viktad, 215 granne, 187 graykodning, 207 greedyalgoritm, 216, 241 grind, 264 grundmängd, 14 Guthrie, F., 7, 240 Gödel, K., 51 Haken, W., 7, 240 al-Hakim Abu Zakariya, 202 Hamilton, W. R., 198, 240 hamiltoncykel, 198–200 hamiltongraf, 198 hamiltonväg, 201 Hamming, R., 146 hammingkod, 146

handelsresandeproblemet, 198 handskakningslemmat, 190 Hanois torn, 109 harmoniskt tal, 68 Hasse, H., 252 hassediagram, 252 Heawood, P., 240 hela talen Z, 15 Hellman, M., 180 Hermite, C., 48 hexaeder, 235, 236 Hilbert, D., 50 Hippasus, 137 hjälpsats, 6 homogen differensekvation, 110 lösning, 119 Huffman, D. A., 221 Huffmans algoritm, 225 hypotes, 6, 289 härledning direkt, 287 indirekt, 289 härledningsregel, 287 högskoleantagning, 99 höjd, 218 hörn, 187 isolerat, 188 hörnmängd, 187 idempotens, 19, 261, 267, 282 identitetslag, 19, 261, 265, 282 idrottsturnering, 204 ikosaeder, 235, 236 implikation, logisk, 283, 292 implikationslag, 281, 282 indata, 12 index, 28 indexmängd, 28 indirekt härledning, 289 induktionsantagande, 56 induktionsbevis, 56 induktionsprincipen, 56 alternativa, 62 fullständiga, 62 starka, 61 induktionssteg, 56 inferensregel, 287 inhomogen differensekvation, 110 injektiv funktion, 39, 42, 97 instabil, 99, 101 intervall, 15

333

334

Sakregister

invers funktion, 41, 42 lag, 19, 261, 265, 282 multiplikativ, 174, 176, 179 irrationellt tal, 15 √ 2, 137 ISBN, 168 isolerat hörn, 188 isomorf boolesk algebra, 273 graf, 193, 194 isomorfi boolesk algebra, 273 graf, 193 jämnt tal, 129 kancelleringslag, 267 kant, 187 multipel, 188 kantmängd, 187 kantunderdelning, 236 karakteristisk funktion, 93 kardinalitet, 24, 44–46, 48, 49 kartesisk produkt, 23, 24 Kempe, A., 240 kinesiska restsatsen, 176 Kirchhoff, G., 209 klassiska konstruktionsproblem, 48 kodord, 145, 221 kombination, 78, 79 med upprepning, 81 kombinatorik, 71 kommutativ lag, 19, 261, 265, 282 sammansättning av funktioner, 38 komplement, 18, 191 komplett, 190 komponent, 192 kongruensekvation, 172–174 kongruent, 167–169, 171 konjunktionsregeln, 286 konjunktiv förenkling, 286 konnektiv, 278 konstruktionsproblem, 48 kontinuerlig matematik, 3 kontinuumhypotesen, 50 kontradiktion, 280 kontraktion, 244 kontrapositiv lag, 281, 282 kontrollbit, 145 kontrollsiffra, 168

konvex polyeder, 233 korollarium, 6 korrekt färgning, 238 kromatiskt polynom, 242, 244 tal, 238 Kruskal, J., 216 Kruskals algoritm, 216, 217 kryptering, 179 krypteringsnyckel, 180 kryptosystem, 180 kub, 202, 207, 233, 235 kubens fördubbling, 48 Kuratowski, K., 237 Kuratowskis sats, 237 kvadratfri, 267 kvantifierare, 291 kvot, 128 König, D., 187 Königsbergs broar, 187, 195 lag om dubbel negation, 282 dubbelt komplement, 19, 261, 267 lattice, 256 Leibniz, G. W., 4 lemma, 6 lexikografisk ordning, 250 likhet funktioner, 36 mängder, 15 Lindemann, F., 48 linjal, 48 linjär differensekvation, 110 kongruensekvation, 172–174 linjärkombination, 126, 133 Linus dröm, 178 Liouville, J., 48 logisk ekvivalens, 281, 292 implikation, 283, 292 operation, 259 loop, 188, 189 Lucas, É., 109 lådprincipen, 88, 89 generaliserade, 90 längd av väg, 192 för en prefixkod, 222 löv, 211, 212 m-värt träd, 219

Sakregister matchning, 202, 204 matematik diskret, 3 kontinuerlig, 3 oändlig, 3 ändlig, 3 maximalt element, 250 maxterm, 261 medlemskapstabell, 20 mgm, 134, 135 minimalt element, 250 minsta element, 250 gemensamma multipel, 134, 135 gemensamma nämnare, 134 övre begränsning, 256 minterm, 261 mod, 167–169, 171 modulo, 167–169, 171 modus ponens, 286 tollens, 286 de Moivre, A., 116 de Moivres formel, 116 motexempel, 6 motsägelse, 280 motsägelsebevis, 9, 289, 296 multimängd, 188 lika, 188 ändlig, 188 multinomialkoefficient, 87 multinomialsatsen, 87 multipel, 125 kant, 188 minsta gemensamma, 134, 135 multiplicitet, 113 multiplikationsprincipen, 72, 73 multiplikativ funktion, 184 invers, 174, 176, 179 målmängd, 36 mängd, 13 disjunkt, 18 likhet, 15 oändlig, 24 parvis disjunkt, 18 ändlig, 24 mängdklamrar, 13 N, 15 n-tuppel, 24 naturliga talen N, 15

von Neumann, J., 30 nioregeln, 186 nod, 187 nollfunktion, 260 numrerbar, 27, 45, 46 nödvändigt villkor, 10, 279

∅, 16 oktaeder, 235, 236 oordnat par, 23 urval, 78 optimal prefixkod, 222 ordnat par, 23, 33 urval med upprepning, 77 ordning, 110 lexikografisk, 250 oriktad graf, 189 oändlig matematik, 3 mängd, 24 π, 48 par oordnat, 23 ordnat, 23, 33 parallellaxiomet, 5, 51 partialordnad mängd, 249 partialordning, 158, 163, 249 partiell ordningsrelation, 158 partikulärlösning, 119 partition, 159, 160 parvis disjunkta, 18 Pascal, B., 85 Pascals triangel, 85 passare, 48 perfekt, 150 permutation, 75 med upprepning, 77 Petersen, J., 237, 240 petersengrafen, 237 PIE, 92 pigeonhole principle, 88 plan graf, 229 inbäddning, 229 planär graf, 229 Platon, 235 platonska kroppar, 235, 236 po-mängd, 249 polyeder, 233

335

336

Sakregister

konvex, 233 regelbunden, 235 polynom, 36 kromatiskt, 242, 244 positionssystem, 129 positiva heltalen Z+ , 15 postfacksprincipen, 88 potensmängd, 27, 49 predikat, 277, 291 predikatlogik, 291 prefixkod, 221 optimal, 222 primitiv utsaga, 278 primtal, 127 oändligt många, 127 primtalsfaktorisering, 136 principen om inklusion och exklusion, 25, 92 prioritetsregler i logik, 279 propositionslogik, 277 pseudoprimtal, 179 public key cryptography, 180 Pythagoras, 6, 137 Pythagoras sats, 6 Q, 15, 46 R, 15 R+ , 36 rationella talen Q, 15, 46 reduktionsmetoden, 290 reella talen R, 15 reflexiv, 156, 163 regelbunden polyeder, 235 regeln för generalisering, 7, 294 specialisering, 294 region, 230 yttre, 230 reguljär, 189 rekursionsformel, 63 rekursiv definition, 63 relation, 154 relativt prima, 131 rest, 128 restriktion av relation, 163 riktad graf, 189 Rivest, R., 180 rot, 218 rotat träd, 218 Roth, A., 99 RSA-kryptografi, 180 rumskamratsproblemet, 101

Russell, B., 29 Russells paradox, 29, 31 Σ, 58 sammanhängande graf, 192 sammansatt tal, 127 utsaga, 278 sammansättning av funktioner, 37 sanningsvärdestabell, 285 sats, 6 satslogik, 277 schackbräde, 202 schemaläggning, 204 Schröder, E., 49 Schröder–Bernsteins sats, 49 sgd, 133–135 Shamir, A., 180 Shapley, L., 98 shatranj, 202 siffersumma, 170 skog, 209, 213 sluten utsaga, 277 väg, 192 sluthörn, 189, 192 slutledning, 284 slutsats, 6, 284 snitt, 17, 28 av grafer, 243 stabil, 99, 101 staketproblem, 81 starka induktionsprincipen, 61 starthörn, 189, 192 stereografisk projektion, 234 stig, 192 största element, 250 gemensamma delare, 131 undre begränsning, 256 substitutionsregel, 283 summa aritmetisk, 56 geometrisk, 59 summaindex, 58 summasymbol Σ, 58 Sun Zi, 175, 176 surjektiv funktion, 39, 42, 97 syllogismregeln, 286 Sylvester, J. J., 187 symmetrisk, 156, 163 differens, 17

Sakregister Tait, P. G., 240 takfunktion ⌈·⌉, 36 tal algebraiskt, 47 harmoniskt, 68 helt, 15 irrationellt, 15 jämnt, 129 kromatiskt, 238 naturligt, 15 rationellt, 15, 46 reellt, 15 sammansatt, 127 transcendent, 47 udda, 129 talföljd, 63, 107 talsystem, 15, 129 tautologi, 280 teorem, 6 ternärt träd, 219 tetraeder, 235, 236 tillhör, 13 tillräckligt villkor, 10, 279 tomma mängden ∅, 16 topologisk sortering, 254, 255 totalordning, 250 transcendent tal, 47 transitiv, 157, 163 treregeln, 170 trivial delare, 127 träd, 209–214 binärt, 220 fullständigt binärt, 220 fullständigt m-värt, 219 m-värt, 219 rotat, 218 ternärt, 219 träddiagram, 73 tuppel, 24 turnering, 204 udda tal, 129 underdelning, 236 undre begränsning, 256 union, 17, 28 av grafer, 243 universala adressystemet, 219 universum, 14, 291 upprepad kvadrering, 170, 182 uppräknelig, 45 uppspännande delgraf, 214

träd, 214 urbild, 35 urval oordnat, 78 ordnat med upprepning, 77 urvalsaxiomet, 29, 31 utdata, 12 utsaga, 277 primitiv, 278 sammansatt, 278 sluten, 277 öppen, 277, 291 valens, 189 Venn, J., 14 venndiagram, 14, 21 vikt, 198 viktad graf, 215 villkor nödvändigt, 10, 279 tillräckligt, 10, 279 vinkelns tredelning, 48 Vogt, H. G., 252 von Neumann, J., 30 väg, 192 enkel, 192, 201, 210 sluten, 192 öppen, 192 välordningsprincipen, 61 värdemängd, 36 Wiles, A., 7 Wilson, J., 186 Wilsons sats, 186 yttre region, 230 Z, 15 Z+ , 15 Zermelo, E., 29 Zermelo–Fraenkels axiomsystem, 29, 51 ZF, 29 ZFC, 29, 31, 51 äkta delare, 127 delmängd, 14 ändlig matematik, 3 multimängd, 188 mängd, 24

∅, 16

337

338

Sakregister

ögla, 188 öppen utsaga, 277, 291 väg, 192 överuppräknelig, 45 övre begränsning, 256

Diskret matematik ISBN 978-91-47-13358-1 c 2020 Författarna och Liber AB

Förläggare: Calle Gustavsson Illustrationer: Författarna Omslag: Birgitta Dahlkild Produktionsledare: Helene Ågren

Upplaga 1:1 Repro: Integra Software Services, Indien Tryck: People Printing. Kina, 2020

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrätts organisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm Kundservice tfn 08-690 90 00 kundservice.liber@liber.se www.liber.se

ASRATIAN

n

BJÖRN

Den här boken är avsedd för grundläggande kurser i diskret matematik vid universitet och högskolor. Framför allt riktar

( ) =2

k=0

n k

n

a p−1 ≡ 1mod p

TURESSON

den sig till första- och andraårsstudenter på matematik-,

∑

data-, civilingenjörs- och högskoleingenjörsprogrammen.

Boken behandlar logik, mängdlära, funktioner, induktion, rekursion, kombinatorik, talteori, relationer, grafteori och boolesk algebra. Teoriavsnitten, som avslutas med

Diskret matematik

testfrågor, innehåller ett stort antal exempel och många tillämpningar. Dessutom ingår cirka 450 övningar med svar varav drygt 100 också har ledningar eller lösningar.

ARMEN ASRATIAN och ANDERS BJÖRN är professorer och BENGT OVE TURESSON är universitetslektor i matematik vid Linköpings universitet. De har alla mångårig erfarenhet av undervisning, speciellt i diskret matematik. De är också aktiva forskare. Armen Asratians specialitet är diskret matematik.

{Ø, {Ø}}

DISKRET MATEMATIK

v–e+r=2

Best.nr 47-13358-1 Tryck.nr 47-13358-1

ARMEN ASRATIAN ANDERS BJÖRN BENGT OVE TURESSON