BAS FAVORIT MATEMATIK 8 Elevpaket – Tryckt + Digitalt
LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS SAMTLIGA DELAR
BAS FAVORIT MATEMATIK 8 Elevpaket – Tryckt + Digitalt Favorit matematik 7-9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential.
ELEVBOK Bas Favorit matematik är en förbrukningsbok. När eleverna skriver direkt i boken är det enklare att fokusera på matematiken. Det blir enklare för eleven att skriva i boken och det ger en härlig känsla när en del blir färdig.
DIGITALT LÄROMEDEL I elevpaketet ingår ett digitalt läromedel som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Det finns även programmeringsövningar i Python och Javascript med tillhörande editor, samt instruktioner och filmer till båda programmeringsspråken.
Interaktiv version av b oken, inläst med autentiskt tal och textföljning
Interaktiva övningar
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
klicka på bilden och prova
Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se
Produktionsstöd till detta läromedel har erhållits från Specialpedagogiska skolmyndigheten.
KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 43960 ISBN 978-91-44-17478-5 Upplaga 1:2 Artikeln är tryckt i två delar. Detta är del 1. © 2022 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Pi 8 E Matematiikka © 2016 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by Interak, Poland 2023
i Arbeta med Favorit matematik 4
2 Statistik
1 Procent
1 Tolka diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Stapel- och stolpdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Fördjupning: Befolkningspyramid . . . . . . . . . . 84 Fördjupning: Gapminder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3 Cirkel- och linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4 Bearbeta och presentera statistik . . . . . . . . . . 92 5 Medelvärde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 Typvärde och median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7 Variationsbredd och fördelning . . . . . . . . . . . 104 8 Blandade statistiska begrepp . . . . . . . . . . . . . 108 9 Samla in data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10 Vilseledande statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Fördjupning: Vilseledande statistik . . . . . . . 121 11 Rita linje- och stapeldiagram . . . . . . . . . . . . . 122 12 Rita cirkeldiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Digitala verktyg: Rita diagram i ett kalkylprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 13 Kategorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14 Statistisk undersökning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8
1 En hel är hundra procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Bråk i procentform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Från procent till decimaltal . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 Hur många procent? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fördjupning: Problemlösning med procent och stavmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Procent av en helhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 Hur mycket är 100 %? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Fördjupning: Problemlösning med procent . . 33 7 Förändring i procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8 Procentuell jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Fördjupning: Ökning eller minskning? . . . . . . 41 9 Beräkna det ursprungliga värdet . . . . . . . . . . . 42 10 Rabatter och prishöjningar . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Fördjupning: Flera procentuella förändringar 53 12 Räkna med procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 13 Matematik i ekonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Fördjupning: Ränta på ränta . . . . . . . . . . . . . . . 63 14 Matematik i kemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Fördjupning: Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
72
Facit till repetitionsuppgifter Register
i Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till elevpaketet så att du kan lära dig så mycket som möjligt.
Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital del. Du aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat cirka 300 filmer som stöd för inlärningen.
Bokens upplägg
I Favorit matematik 8 får du lära dig ett moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå. Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor. Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill du träna mer på lektionens moment, finns det länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder.
Filmer
EXEMPEL 1
Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Du kan lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det cirka 300 filmer som handlar om precis det som står i boken. Du har varit sjuk och matematiklektionerna förra veckan. Vad ska du göra? Lösning:
Läs förklaringarna i boken. Om du inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara! Precis som stora tal kan små tal skrivas om med tiopotenser. Positiva tal mindre än noll har negativ exponent i tiopotensen, till Förklara! exempel 0,01 = 10−2.
EXEMPEL 2
Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar precis det som står i boken.
Du var med på lektionen, men du förstod inte riktigt när läraren räknade och förklarade. Du läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Du behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska du göra? Lösning:
Räkna!
EXEMPEL 3
Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Lyssna i din egen takt, så många gånger du vill. Skriv talet 12,036 i utvecklad form med tiopotenser. Lösning och svar:
12,036 = 1 ∙ 10 + 2 ∙ 1 + 0 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,01 + 6 ∙ 0,001
Klicka på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar och förklarar exemplet i boken.
Visa!
Det finns mycket mer i den digitala delen, till exempel hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en liten film om hur den digitala delen fungerar.
Bokens olika uppgifter
Det finns en kursplan som beskriver vad eleven ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Eleven får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor. I Favorit matematik 8 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. I boken används samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som eleven måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast. Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om du förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem. • Metod (M) – testar om du kan metoder för beräkningar. • Problemlösning (P) – testar om du kan lösa olika problem som presenteras för dig, och att du kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet. • Kommunikation (K) – testar om du med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem. Begrepp och metod är en förutsättning för att du ska klara problemlösning och kommunikation. Därför läggs stor vikt vid de förmågorna i början. I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och Programmeringsuppgifter.
Märkning av uppgifter
Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerade med en streckad linje. E/C-UPPGIFTER
Uppgift 1 tränar framförallt förmågan Begrepp medan uppgift 9 framförallt tränar förmågan Metod.
1 Granska talet 67,103. Vilken är talets B a) heltalsdel b) decimaldel?
EC
9 Räkna utan miniräknare. M a) 13 ⋅ 2,4 b) 5,04 ⋅ 3,9 c) 13,6 / 8 d) 6 / 0,2 Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.
Under uppgiftsnumret ser du vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen handlar om: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.
A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Du bör först vara säker på att du kan alla grunder på E- och C-nivå innan du går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Försök först klara uppgifterna på egen hand innan du ber någon om hjälp. Det är viktigt att du verkligen förstår uppgifterna så att du klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.
Det blir tydligt vad du kan och vad du behöver träna mer på!
Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När du får tillbaka provet finns en tabell, där du kan se vilka olika typer av uppgifter du har klarat. Du kan titta på tabellen och se vilka typer av uppgifter du behöver träna mer på i fortsättningen! Lycka till!
UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problemlösning, metod, begrepp och kommunikation. 2 Vad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel? 3 Läs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.
4 Öppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan. 5 Klicka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med de andra i klassen och se om ni har hittat olika saker. 6 Fundera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!
8
1
Procent
I det här kapitlet får du lära dig hur • du räknar med procent i olika sammanhang • du hanterar övergången mellan bråkform, decimalform och procentform • rabatter och prisförändringar beräknas • förändringsfaktor kan användas • procentuella förändringar och procentuell jämförelse beräknas • procent kan tillämpas i ekonomi och kemi.
Centralt innehåll • Procent och förändringsfaktor för att uttrycka förändring samt beräkning med procent i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden. • Formulering av matematiska frågeställningar utifrån olika situationer och ämnesområden. • Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.
9
1 En hel är hundra procent Procent betyder hundradel och en helhet motsvarar 100 %. En helhet kan till exempel vara hundra rutor i en kvadrat, alla elever i en klass, det maximala antalet Förklara! poäng på ett prov, längden av en lektion eller det totala priset på ett inköp. Ordet procent kommer från latinet, där pro centum betyder ”för hundra” eller ”på hundra”.
Räkna!
EXEMPEL 1
Procent kan användas för att till exempel • uttrycka hur stor del eleverna i en klass utgör av det totala elevantalet i en skola • räkna ut hur stor del rabatten är på en vara • jämföra tal • ange prisförändring • räkna ut det hela, då en viss andel i procent är känt. Alla kvadrater nedan består av hundra rutor. Hur många procent av kvadraten har färglagts? a)
b)
c)
Svar: a) 100 %
b) 10 %
c) 1 %
a
Diskute r Procent kan användas i många sammanhang. Vilka har du stött på?
10
EXEMPEL 2
Figuren består av fyra lika stora trianglar. Hur många procent av figuren färglagd?
Lösning:
EXEMPEL 4
EXEMPEL 3
Eftersom hela figuren är 100 % utgör en triangel 100 % = 25 % av den totala figuren. 4 Svar: 25 % av figuren är färglagd. Selma har laddat ner 58 % av en fil. Hur många procent av filen är kvar att ladda ner? Lösning och svar:
Selma har 100 % − 58 % = 42 % kvar att ladda ner. Hur lång är den totala staven, om den del vi ser på bilden är 20 % av staven?
Lösning:
Eftersom 100 % = 5 ∙ 20 %, är längden på den totala staven 5 ∙ 3 = 15 rutor. En femtedel av det hela är 20 %.
Svar: Hela staven är 15 rutor.
EC
E-UPPGIFTER 1 Hur många procent av rutorna i kvadraten är färglagd?
BM
a)
2 Hur många procent av figuren är färglagd?
BM
b)
a)
b)
3 Hur många procent av figuren har färgats?
BM
a)
b)
11
4 Färglägg
BM
a) 50 % b) 20 %
8 Varje vecka går 25 % av Adams arbets M tid till möten. Hur många timmar i veckan arbetar Adam, om han sitter i möten sammanlagt 9 timmar per vecka?
c) 90 %.
5 Mässing är en legering (blandning) av C-UPPGIFTER M koppar och zink. Mässing består till 63 % av koppar. Till hur många procent 9M Hur lång är den totala staven, om den del vi ser på bilden utgör består mässing av zink? a) 100 % b) 50 % c) 75 %?
6 41 % av eleverna i en skola går till M skolan, 34 % cyklar och resten tar sig dit på något annat sätt. Hur många procent av eleverna tar sig dit på något annat sätt?
10 Hur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 50 % b) 25 % c) 20 %?
7 Människor har blodgruppen A, 0, B M eller AB. I Sverige har 44 % av befolk ningen blodgrupp A, 38 % blodgrupp 0 och 12 % blodgrupp B. Resten har AB. Hur många procent av befolkningen i Sverige har blodgrupp AB?
11 Bestäm hur mycket det hela är, alltså BM 100 %, då a) 8 % är 12
b) 36 % är 27.
Öva mer – E Öva mer – E/C 12
Öva mer – C
REPETITION 12 Hur många procent av figuren har M
16 Bestäm hur mycket det hela är, alltså BM 100 %, då a) 50 % är 4
a) färglagts b) inte färglagts?
13 Luft består till cirka 78 % av kväve och M 21 % syre. Hur många procent av luften utgörs av andra gaser?
b) 30 % är 12
c) 70 % är 28.
14 Hur lång är den totala staven, om den M del vi ser på bilden utgör a) 20 % b) 40 % c) 30 %?
17 60 % av eleverna i en grupp läser MP spanska och 35 % franska. 5 % av eleverna läser båda språken. Hur många procent av eleverna läser varken spanska eller franska?
15 En person har 20 % kvar av sin MP samtalstid för en månad, vilket motsvarar 120 minuter. Hur mycket taltid hör det till abonnemanget per månad?
neerraa R Reessoon Hur många procent av stjärnan är färglagd? 13
2 Bråk i procentform Ett bråk beskriver en helhet och dess delar. Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procent genom att det skrivs som hundradelar. Förklara!
Räkna!
EXEMPEL 1
1 = 1% 100
1 = 0,5 = 50 % 2 1 = 0,333… ≈ 33 % 3
1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,2 = 20 % 5
1 = 0,125 = 12,5 % 8 1 = 0,10 = 10 % 10
Hur stor del av figuren är färglagd? Skriv andelen i bråkform och i procentform. a)
b)
c)
Lösning och svar:
Vi omvandlar bråket som anger andel genom att förlänga det till hundradelar.
EXEMPEL 2
a)
1 = 1 ∙ 50 = 50 = 50 % 2 2 ∙ 50 100
Skriv i procentform. a) 31 b) 7 100 10 Lösning och svar: a) 31 = 31 %
100
c)
13 = 13 ∙ 4 = 52 = 52 % 25 25 ∙ 4 100
b)
1 = 1 ∙ 25 = 25 = 25 % 4 4 ∙ 25 100
c) 13
25
c)
2 = 2 ∙ 20 = 40 = 40 % 5 5 ∙ 20 100
d) 14
200
b)
7 = 7 ∙ 10 = 70 = 70 % 10 10 ∙ 10 100
d)
14 = 14 / 2 = 7 = 7 % 200 200 / 2 100
Vid behov förlänger eller förkortar vi bråket till hundradelar.
a
Diskute r
Beskriv sambandet mellan bråk och procent. När passar det ena eller det andra?
14
EXEMPEL 3 EXEMPEL 4
Skriv i bråkform. a) 29 % b) 20 %
c) 45 %
d) 4 %
Lösning och svar: a) 29 % =
29 100
b) 20 % =
c) 45 % =
45 = 45 / 5 = 9 100 100 / 5 20
d) 4 % =
20 = 20 / 20 = 1 100 100 / 20 5
4 = 4/4 = 1 100 100 / 4 25
En familj spenderar en fjärdedel av sina inkomster på boende, en femtedel på mat, en tiondel på fritidsintressen och tre tiondelar på övrig konsumtion. Resten sparar de. Hur många procent av inkomsterna sparar familjen? Lösning:
Vi anger andelarna i procent. En fjärdedel är 100 % = 25 %, 4
sparande boende 1 4
en femtedel 100 % = 20 % och 5 en tiondel 100 % = 10 %. 10 Tre tiondelar är därmed 3 ∙ 10 % = 30 %.
övrig konsumtion 3 10
mat 1 5 fritidsintressen 1 10
25 % + 20 % + 10 % + 30 % = 85 %. Familjen sparar 100 % − 85 % = 15 %. Svar: Familjen sparar 15 procent av sina inkomster.
EXEMPEL 5
Ett bråk är större än 1 om täljaren är större än nämnaren eller om bråket skrivs i blandad form. Bråket kan då omvandlas till ett procenttal större än 100%. Skriv 21 i procentform a) 1 25
b) 230 % i bråkform.
Lösning och svar: a) 1
21 = 1 + 21 ∙ 4 = 1 + 84 = 100 % + 84 % = 184 % 25 25 ∙ 4 100
b) 230 % =
230 = 2 30 / 10 = 2 3 100 100 / 10 10 15
E
E-UPPGIFTER 1 a) Hur stor del av figuren är färglagd? M b) Hur många procent av figuren är färglagd?
6 Hur stor del av figuren är färglagd? Ange andelen i bråkform och i procentform.
BM
a)
A
a) b)
b)
B
a) c)
b) C
a)
7 Skriv i procentform. 3 3 a) = b) = 4 5
b)
BM
2 Skriv i procentform. M 1 = 43 = a) b) 100 100 10 = c) d) 99 = 100 100
c)
2= 2
d)
24 = 25
8 Hur många procent M av figuren är färglagd?
3 Skriv i bråkform. M
a) 57 % =
b) 93 % =
c) 19 % =
d) 3 % =
9 Skriv i bråkform.
BM
4 a) Hur stor del av M figuren är färglagd? b) Hur många procent av
figuren är färglagd?
a) 44 % =
b) 90 % =
c) 24 % =
d) 6 % =
10 Ange andelen i procentform. BM
a) hälften av alla svenskar b) en fjärdedel av cyklarna
5 Skriv i procentform.
BM
a) 2 =
b)
13 = c) 25
19 = d) 50
10
16
9 = 20
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C
REPETITION 11 Färglägg M a) 30 %
14 Skriv i procentform. BM a) 4 = 5 17 b) = 20 c) 3 = 3 130 = d) 200
b) 27 %
c) 89 %.
15 2 av eleverna på en skola dricker 5 BM mjölk till lunchen. Övriga dricker vatten. Hur många procent av eleverna dricker vatten?
12 Hur stor del av figuren är färglagd? BM Ange andelen i bråkform och i procentform. a)
b)
c)
13 Skriv i procentform. BM 1 = 1 a) b) = 2 4
1 = c) 5
neerraa R Reessoon
1 = d) 10
16 Ange andelen i procentform. BM
a) tre tiondelar b) en fjärdedel c) tre femtedelar.
Vilka är talen a, b och c, a b c då = = och 3 4 6 abc = 576? 17
3 Från procent till decimaltal Delar av det hela går att uttrycka i procentform, bråkform eller decimalform. Ett tal i procentform kan på ett enkelt sätt omvandlas till decimalform. Först skrivs andelen i Förklara! bråkform, med talet 100 som nämnare. Därefter skrivs bråket som ett decimaltal.
Räkna!
EXEMPEL 1
1 % = 1 = 0,01 100 Skriv som ett decimaltal. b) 7 %
a) 23 %
Tiondel 0
c) 92 %
Hundradel 1
d) 125 %
Lösning och svar: a) 23 % = 23 = 0,23
100 92 = 0,92 c) 92 % = 100
EXEMPEL 2
Ental 0,
b) 7 % =
7 = 0,07 100
d) 125 % =
Skriv i procentform. b) 0,03
a) 0,42
125 = 1,25 100
c) 1,05
d) 2,30
Lösning och svar: a) 0,42 =
42 = 42 % 100
b) 0,03 =
3 =3 % 100
c) 1,05 =
105 = 105 % 100
d) 2,30 =
230 = 230 % 100
EXEMPEL 3
Ett bråk som uttrycker en andel kan omvandlas till procentform genom att bråket förlängs eller förkortas till hundradelar. Om det inte går att förlänga eller förkorta till hundradelar beräknas divisionen i bråket med till exempel miniräknare eller med uppställning. Resultatet anges då i decimalform som sedan kan skrivas om till procentform.
Skriv i procentform. Ange svaret med en noggrannhet på en tiondels procent. a) 1 b) 3 3 13 Lösning och svar: 1 a) = 0,3333... ≈ 0,333 = 33,3 %
3
18
b)
3 = 0,2307... ≈ 0,231 = 23,1 % 13
Procent kan även illustreras med stavar eller block. Då illustreras en viss procent med en viss längd av en stav. Sambanden kan ses mellan den stav och andra stavar med motsvarande procent. Hundra procent motsvarar hela stavens längd. ursprunglig stav
100 %
50 % av den ursprungliga staven
50 %
EXEMPEL 4
100 %
50 %
150 % av den ursprungliga staven
Rita en stav som är 50 % större än den ursprungliga staven.
Lösning och svar:
100 % = 50 % = 150 % =
EC
E-UPPGIFTER 1 Skriv som ett decimaltal. M
5 Fyll i tabellen.
a) 33 % =
b) 76 % =
c) 29 % =
d) 50 % =
M
Procentform
a) 5 %
=
c) 135 % =
21 100
=
3 Skriv i procentform. M
0,39
b) 100 % = d) 1 %
Decimalform
17 %
2 Skriv som ett decimaltal. M
Bråkform
a) 0,71 =
b) 0,04 =
c) 0,85 =
d) 1,38 =
6 Hur många procent av figuren är M färglagd? Ange svaret med en noggrannhet på en tiondels procent. a)
b)
4 Skriv i procentform. M
a) 0,08 =
b) 0,8
=
c) 1,08 =
d) 1,0
=
c)
19
7 Hur många procent av figuren är M ofärgad? a) b)
C-UPPGIFTER 12 Rita en stav som jämfört med den M ursprungliga staven a) är 10 % större b) är 40 % mindre c) är 80 % mindre d) är 25 % större.
c)
8 Uppskatta om andelen i procent är mer M eller mindre än 50 %. mer mer 12 27 a) b) mindre mindre 21 52 c)
37 76
mer mindre
d)
57 115
mer mindre
9 Skriv i procentform. Ange svaret med M en noggranhet på en tiondels procent. 1 = 1 = a) b) 3 6 c) 1
=
8
d) 1 =
12
10 Skriv i procentform. Ange svaret med M en tiondels procents noggrannhet. 2 = 5 = a) b) 7 9 c) 6 =
6
13 Hur lång är den 12 cm M ursprungliga sträckan, om sträckan på bilden har förstorats till a) 200 %
b) 300 %?
d) 9 =
11
11 Fyll i tabellen. M
Procentform
Bråkform
Decimalform
4% 11 25
14 Hur lång är skalbaggen M i sin naturliga storlek, om den på bilden har förstorats till a) 150 % b) 400 %?
1,07
Öva mer – E Öva mer – E/C 20
Öva mer – C
REPETITION 15 Skriv som ett decimaltal.
18 Skriv i procentform. Använd räknare M och avrunda till tiondelar. a) 8 = 9
M
a) 18 % =
b) 90 % =
c) 125 % =
d) 150 % =
b) 5 =
6
c) 6 =
16 Skriv i procentform.
11
M
a) 0,07 =
b) 0,24 =
c) 1,05 =
d) 1,85 =
19 Hur många procent av figurens yta är M
17 Fyll i tabellen. M
Procentform
Bråkform
Decimalform
31 %
a) färglagd 33 50
b) inte färglagd?
1,3
neerraa R Reessoon Priset på en aktie på börsen är 250 kronor. Priset stiger först 100 % och sjunker sedan 50 %. Vad kostar aktien efter förändringarna? 21
4 Hur många procent? Förhållandet mellan två tal eller värden kan uttryckas som en division. Andelen av det hela är ett bråk som beräknas med en division. Andelen skrivs ofta i procentform. Förklara!
Räkna!
EXEMPEL 1
delen = andel hela Av 25 par skor är 11 par blå. Hur många procent av skorna är blå? Lösning:
Vi skriver andelen blå skor som förhållandet 11/25 = 11 . 25
EXEMPEL 2
Andelen blå skor är alltså 11 = 11 ∙ 4 = 44 = 44 %. 25 25 ∙ 4 100 Svar: 44 % Ange i procent hur stor andel av figuren som är färglagd.
Lösning:
EXEMPEL 3
Fem av åtta kvadrater i figuren är färglagda. 5 Vi betecknar den färgade delen av figuren med bråket 8 . Den färgade andelen i procent är 5 = 0,625 = 62,5 %. 8 Svar: 62,5 % Hur många procent av ett dygn är 7 timmar? Skriv svaret med en decimals noggrannhet. Lösning:
Den efterfrågade andelen är
7h = 0,29166... ≈ 0,292 = 29,2 %. 24 h
Svar: 7 timmar av ett dygn är ungefär 29,2 %.
Beräkning av andel i procent: 1. Skriv andelen i bråkform. 2. Beräkna divisionen. 3. Skriv decimaltalet i procentform. 22
Vi omvandlar tiderna till samma enhet.
E
E-UPPGIFTER 1 Skriv andelen färgade rutor i bråkform M och i procentform. a)
6 Tariq har ett 1kronorsmynt, ett M 2kronorsmynt och en 20kronorssedel. Hur många procent av Tariqs pengar, med en procents noggrannhet, är a) mynt
b)
b) sedlar?
c)
2 Hur många procent av M rutorna i kvadraten har färgats
7 Vilken veckodag har störst andel M konsonanter i namnet?
a) rosa b) gröna
c) blå?
3 Hur många procent av figuren är M färgad? a) b) c)
4 Hur många procent är talet 20 av talet M
a) 100 =
b) 50 =
c) 40 =
d) 25? =
5 Hur många procent är talet 48 av talet M
a) 100 =
b) 80 =
c) 50 =
d) 48? =
8 Ta reda på hur många procent av M eleverna i din klass som a) cyklade till skolan i dag
b) läser spanska
c) har svarta byxor på sig.
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C
23
REPETITION 9 Hur många procent utgör talet 8 av M talet a) 10
12 Hur många procent är M a) 15 minuter av en timme
b) 16 c) 25 b) 32 centimeter av en meter?
d) 64?
10 I en skål ligger 11 äpplen och 13 M clementiner. Hur många procent av frukten är a) äpplen
b) clementiner?
13 När du handlar i en webbshop får du PK 300 kronors rabatt när du beställer för minst 1 200 kronor. Hur många hela procent är rabatten, om du handlar för a) 1 149 kr
11 Tiokronorsmyntet innehåller 5,874 g M koppar, 0,33 g zink, 0,33 g aluminium och 0,0066 g tenn. Hur många procent koppar innehåller myntet? Avrunda svaret till hela procent.
b) 1 698 kr?
c) Hur många procent kan rabatten
vara som störst?
nera Reso 19 av 28 elever i en klass har valt att ha slöjd. Av dem som valt slöjd har 3 elever också valt bild. 5 elever har varken slöjd eller bild. Hur många procent av eleverna i klassen har valt bild? 24
FÖRDJUPNING
EXEMPEL 4
Problemlösning med procent och stavmodellen Utifrån 1 400 svar på en kundenkät besökte 1 218 kunder ett köpcentrum och 448 kunder en klädaffär. Hur många procent av kunderna besökte både köpcentrumet och klädaffären a) som minst b) som mest? Lösning och svar:
1 218 = 0,87 = 87 %. av kunderna besökte köpcentrat. 1 400 448 = 0,32 = 32 %. av kunderna besökte klädaffären. 1 400 De 87 % som besökte köpcentrat.
De 87 % som besökte köpcentrat.
100 % De som besökte båda.
De 32 % som besökte klädaffären.
100 % De 32 % som besökte klädaffären.
De som inte besökte någondera.
a) Minst (87 % + 32 %) − 100 % = 119 % − 100 % = 19 % besökte båda. b) Andelen kunder som besökte båda som mest är samma som den andel kunder
som besökte klädaffären, det vill säga 32 %.
C
C-UPPGIFTER 14 Av de 30 eleverna i en klass sysslar MP 21 med idrott och 15 med musik. Hur många av eleverna sysslar med både musik och idrott a) som mest 15 musik
varken eller
15 Tre fjärdedelar av eleverna i en klass MP spelar fotboll. Hälften av eleverna spelar basket. Hur många procent av eleverna i laget spelar både fotboll och basket a) som mest
30 totalt 21 idrott
b) som minst? 15 musik
b) som minst?
30 totalt 21 idrott
21 + 15 = − 30 = 25
5 Procent av en helhet Ofta efterfrågas hur mycket en viss procent är av något. Hur stor del av en helhet något är beräknas genom att helheten multipliceras med det decimaltal som motsvarar Förklara! procentandelen.
Räkna!
EXEMPEL 1
delen = andel hela
delen = andel ∙ det hela
eller
Staven är 15 rutor lång. Bestäm 20 procent av stavens längd.
Lösning 1:
Eftersom 20 procent är en femtedel delar vi staven i fem lika långa delar. 100 %
20 %
20 procent av stavens längd är en femtedel av 15 rutlängder, det vill säga 3 rutlängder. Lösning 2:
Omvandla 20 % till decimalform: 20 = 0,20 100 Beräkna 20 % av 15: delen = 0,20 ∙ 15 = 3 andel
det hela
Svar: 20 procent av stavens längd är 3 rutor.
a
Diskute r Det finns lite
olika sätt att tänka och räkna när du beräknar procent. Hur skulle du räkna ut antal procent blommor som finns i en viss färg, ljudnivån eller lediga platser på en läktare?
26
EXEMPEL 2
Hur mycket är 42 % av talet 500? Lösning:
Omvandla 42 % till decimalform: 42 = 0,42. 100 Beräkna 42 % av talet 500: 0,42 ∙ 500 = 210.
EXEMPEL 3
Svar: 42 procent av talet 500 är 210.
Hur mycket är 30 % av talet 230? Lösning:
Omvandla 30 % till decimalform: 30 % = 30 = 0,30. 100 Beräkna sedan multiplikationen 0,30 ∙ 230 = 69.
EXEMPEL 4
Svar: 30 procent av talet 230 är 69.
I en ishall finns 4 700 åskådarplatser, varav 30 % är ståplatser och resten är sittplatser. 10 % av sittplatserna är loger. Hur många sittplatser finns det sammanlagt i logerna? Lösning:
Sittplatserna är 100 % − 30 % = 70 %. Sittplatserna är 0,70 ∙ 4 700 = 3 290. I logerna finns 10 % av sittplatserna, det vill säga 0,10 ∙ 3 290 = 329 sittplatser. Svar: Det finns 329 sittplatser i logerna.
Beräkning av andelen med hjälp av procent: 1. Omvandla procent till decimalform. 2. Multiplicera decimaltalet med helheten.
27
E
E-UPPGIFTER 1 Hur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är
5 Beräkna, av talet 300, M
a) 10 %
0,1 · 300 =
b) 5 % a) 100 % b) 50 % c) 25 %?
c) 1 %
6 Beräkna, av 400 kronor, M
2 Hur lång är en stav jämfört med staven M på bilden, om dess längd är
a) 50 %
b) 25 % c) 20 %
7 Hur mycket är 15 % av talet M
b) 20 %
a) 25 %
a) 300 b) 140
c) 10 %?
3 Hur lång är en stav jämfört med en stav M som är 8 rutor lång, om dess längd är
a) 50 %
c) 80?
8 Bestäm 30 % av talet M
a) 600
b) 50 %
b) 150
c) 75 %?
c) 60.
4 Med vilket decimaltal ska du M multiplicera talet, när du vill ha a) 90 % b) 25 % c) 3 %?
9 En lärare har 40 häften. Hur många M häften delar läraren ut till sina elever, om det delas ut a) 20 % b) 70 % c) 5 %?
Resonera Isak har gått 100 % mer än vad han har kvar av sin 1 200 meter långa väg till skolan. Hur långt har han kvar att gå? 28
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C
REPETITION 10 Beräkna, av talet 360, M
a) 20 % b) 10 % c) 5 %
13 Sidan i en kvadrat är 8,0 cm. Hur M lång är kvadratens sida om sidan förminskas till (ange svaret med en decimal) a) 90 procent
11 Hur mycket är M a) 2 % av talet 150 b) 75 procent
b) 37 % av talet 300 c) 50 procent? c) 85 % av talet 180?
12 En mässingstaty innehåller M 72 % koppar och resten zink. Beräkna hur mycket koppar och zink det är i statyn som väger 1 500 kg.
14 När ett tåg startar från Malmö har P det 400 passagerare. I Halmstad stiger 20 % av passagerarna av och 40 nya passagerare stiger på. I Göteborg stiger en fjärdedel av passagerarna av tåget och 30 nya passagerare stiger på. Hur många passagerare har tåget när det åker från Göteborg?
29
6 Hur mycket är 100 %? I vissa situationer är endast delen och andelen i procent kända men inte helheten, 100 %. Helheten kan beräknas på olika sätt, till exempel genom att först beräkna vad 1 % Förklara! motsvarar eller genom att dividera delen med andelen i procent.
Räkna!
EXEMPEL 1
delen = andel hela
eller
delen = hela andel
Hur lång är hela staven, om bilden visar 20 % av staven? Lösning och svar:
EXEMPEL 2
Eftersom 20 procent är en femtedel av 100 procent är längden för hela staven 5 ∙ 2 = 10 rutor. Av eleverna i en klass har 30 procent, det vill säga sex elever, glasögon. Hur många elever går i klassen? Lösning, metod 1:
Lösning, metod 2:
Vi beräknar antalet elever i klassen genom att först räkna ut vad en procent motsvarar.
Vi gör en tabell och listar ut antalet elever i klassen med hjälp av tabellen.
30 procent är 6. 1 procent är 6 = 0,2. 30 100 procent är 100 ∙ 0,2 = 20.
Andel av eleverna (%)
Antal elever
30
6
10
2
100
20
Svar: Det går 20 elever i klassen.
a
Diskute r Vad är 100 %? Kan 100 % förändras?
30
EC
E-UPPGIFTER 1 Hur lång är hela staven, om bilden M visar 10 % av staven?
C-UPPGIFTER 5 Lönernas andel i ett projekt utgör 30 %. M Hur mycket är de totala kostnaderna för projektet, om lönekostnaderna är 45 000 kr?
2 Vilket är talet, då M
a) 50 % är 28 b) 25 % är 7 c) 20 % är 14 d) 5 % är 3?
6 I ett möte deltar sex personer, vilket är M 75 % av hela arbetsgruppen. Hur många personer ingår i arbetsgruppen?
3 Av vilket tal är 6 M a) 20 %
b) 4 %
7 Av Jolines månadslön går 30 % till att M betala hyran. Hur mycket tjänar Joline, om hennes hyra är 6 300 kr?
c) 1 %?
4 20 % av barnen i en familj är pojkar. M Hur många barn ingår i familjen, om det finns en pojke i familjen?
8 25 % av eleverna i en grupp är flickor. M Hur många flickor är det i gruppen, om antalet pojkar är nio?
Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C
31
REPETITION 9 Av vilket tal är 4 M
a) 25 % b) 5 % c) 2 %?
12 Mässing är en legering av koppar och M zink, och innehåller 63 % koppar. Du har tillgång till 8,5 kg zink. Hur mycket mässing kan du framställa av zinkmängden?
10 En orkester har 12 manliga musiker. M Männens andel av musikerna är 40 %. Hur många musiker spelar i orkestern? 13 På ett bord ligger en 100 och en M 50kronorssedel samt ett 10kronors och ett 5kronorsmynt. De utgör 75 % av Selmas pengar. Hur mycket pengar har Selma sammanlagt? 11 5 % av alla invånare i Sverige har M blodgruppen AB. Hur många elever går det utifrån den här informationen i en klass, om två av eleverna har blodgrupp AB?
14 65 % av tillverkningskostnaderna för M en vara är materialkostnader. Hur mycket kostar varan, om materialkostnaderna är 455 kr?
Resonera En rektangel har basen 7 rutlängder och höjden 4 rutlängder. Basen ökar med 2 rutlängder och höjden med 1 rutlängd. Hur många procent ökar rektangelns area? 32
FÖRDJUPNING
EXEMPEL 3
Problemlösning med procent Just nu är Noomis månadslön 23 500 kr. I början av nästa år stiger lönen med 2,0 % och i början av maj med ytterligare 1,5 %. a) Beräkna Noomis lön efter årsskiftet. b) Beräkna Noomis lön efter maj. c) Vilken månadslön skulle Noomi få om lönen steg med 3,50 % på en gång? Lösning: a) Ökningen är 0,02 ∙ 23 500 kr = 470 kr, alltså är lönen efter årsskiftet
23 500 kr + 470 kr = 23 970 kr.
b) Ökningen är 0,015 ∙ 23 970 kr = 359,55 kr, alltså är lönen efter maj månad
23 970 kr + 359,55 kr = 24 329,55 kr.
c) Ökningen är 0,035 ∙ 23 500 kr = 822,50 kr, alltså skulle lönen efter förhöjningen
vara 23 500 kr + 822,50 kr = 24 322,50 kr.
Svar: a) 23 970 kr
b) 24 329,60 kr
C-UPPGIFTER 15 En skola får 4,2 % rabatt på en MP beställning på läroböcker. Dessutom får de ytterligare 1,5 % rabatt på det rabatterade priset eftersom de betalar direkt. Vilket är det slutgiltiga priset på beställningen, om priset var 149 605 kr innan rabatterna?
c) 24 322,50 kr
C 16 Normalpriset på en cykelhjälm är MP 990 kr. Vid en rea får du ytterligare 20 procent rabatt på alla redan rabatterade varor. Hur mycket kostar hjälmen efter tilläggsrabatten, om priset redan var nedsatt med 15 %?
33
Favorit matematik 8 – Bas Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där eleverna får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential. På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkneexempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C-uppgifter i stigande svårighetsgrad och repetitionsuppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas. I elevpaketet ingår en digital del som består av elevboken i digital form med alla texter inlästa. Här finns även filmade genomgångar och räkneexempel samt en stor mängd extra uppgifter på olika nivåer. Repetitionsuppgifterna finns som interaktiva övningar. Inloggningen till den digitala delen är giltig i ett år. Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematikserien Pii, och är bearbetad för svenska förhållanden.
Art.nr 43960 Bok 1
studentlitteratur.se