Patrik Lundström
Algebra, trigonometri och analys
Algebra, trigonometri och analys PATRIK LUNDSTRÖM
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus
Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteratur har både digital och traditionell bok utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 46009
ISBN 978-91-44-16642-1
Upplaga 1:1
© Författaren och Studentlitteratur 2023
studentlitteratur.se
Studentlitteratur AB, Lund
Omslagslayout: Jens Martin
Omslagsbild: Shutterstock
Printed by Dimograf, Poland 2023
1Denh¨arboken 11 1.1Bokenssyfte........................... 11 1.2Vadfinnsiboken?........................ 12 2Grundbegrepp 17 2.1Logikochp˚ast˚aenden...................... 17 2.2Reellatalochintervall...................... 18 2.3Rakneoperationer........................ 19 2.4Potenser.............................. 20 2.5Rakneordning........................... 21 2.6Ekvationerochidentiteter.................... 22 2.7O¨andligatal........................... 25 2.8Koordinatsystemochrelationer................. 26 2.9Funktioner............................ 27 2.10Extrempunkterochextremvarden................ 28 2.11V¨axande,avtagandeochmonoton............... 29 2.12 Andligagransvarden....................... 30 2.13Oandligagransvarden...................... 31 2.14Kontinuitet............................ 32 2.15 ¨ Ovningsuppgifter......................... 34 2.16Svar................................ 43 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 3 © För Fattaren och Studentlitteratur 3
Inneh˚all
INNEH ˚ ALL 3Grundl¨aggandefunktioner 49 3.1Ratalinjer............................ 49 3.2Linj¨araekvationssystem..................... 55 3.2.1Substitution....................... 56 3.2.2Element¨araradoperationer............... 56 3.2.3Cramersregel...................... 59 3.3Parabler.............................. 61 3.4Absolutbelopp.......................... 68 3.5Monom.............................. 73 3.6Polynom............................. 78 3.7Rationellafunktioner....................... 87 3.8Rotfunktioner........................... 93 3.9Potensfunktioner......................... 97 3.10Sammans¨attningavfunktioner................. 101 3.11Inversarelationer......................... 102 3.12Inversafunktioner........................ 104 3.13 ¨ Ovningsuppgifter......................... 107 3.14Svar................................ 120 4Exponentialfunktionerochlogaritmer 139 4.1Exponentialfunktioner...................... 139 4.2Logaritmer............................ 140 4.3Eulerstal............................. 144 4.4Exponentialekvationer...................... 146 4.5Logaritmekvationer........................ 149 4.6 ¨ Ovningsuppgifter......................... 150 4.7Svar................................ 154 5Trigonometriskafunktioner 159 5.1Cirkul¨argeometri........................ 159 5.2Vinklar.............................. 162 5.3TrianglarochPythagorassats.................. 164 4 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 4
INNEH ˚ ALL 5.4Trigonometriir¨atvinkligatrianglar............... 165 5.5Sinusiallmannatrianglar.................... 168 5.6Areasatsen............................ 169 5.7Additionsformelnforsinus.................... 170 5.8Sinussatsen............................ 171 5.9Cosinusiallmannatrianglar................... 172 5.10Cosinussatsen........................... 174 5.11Additionsformelnforcosinus.................. 176 5.12Avst˚andiplanetochcirkelnsekvation............. 177 5.13Trigonometriskafunktioner................... 179 5.14Arcusfunktioner......................... 193 5.15Trigonometriskaekvationer................... 196 5.16Amplitud-fasvinkelform..................... 200 5.17 Ovningsuppgifter......................... 202 5.18Svar................................ 210 6Komplexatal 221 6.1Grundbegrepp.......................... 221 6.2Detkomplexatalplanet..................... 225 6.3Komplexaandragradsekvationer................ 230 6.4Komplexabinomiskaekvationer................. 233 6.5Komplexapolynomekvationer.................. 235 6.6Komplexatalp˚apotensform.................. 237 6.7Hyperboliskatrigonometriskafunktioner............ 239 6.8 Ovningsuppgifter......................... 240 6.9Svar................................ 244 7Derivata 253 7.1Medellutning........................... 253 7.2Medelf¨or¨andring......................... 255 7.3Medellutningikortaintervall.................. 258 7.4Definitionavderivata...................... 259 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 5 © För Fattaren och Studentlitteratur 5
INNEH ˚ ALL 7.5Tangentensochnormalensekvation............... 262 7.6H¨arledningavderivataigodtyckligpunkt........... 264 7.7Derivataavr¨atlinje....................... 266 7.8Derivataavpotensfunktion................... 267 7.9Derivataavlinjarkombinationer................. 268 7.10Derivataavproduktochkvot.................. 271 7.11Derivataavsammansattning.................. 274 7.12Implicitderivering........................ 275 7.13Derivataavinversfunktion................... 276 7.14Derivataavexponentialfunktionerochlogaritmer....... 277 7.15Derivataavtrigonometriskafunktioner............. 279 7.16Derivataavarcusfunktioner................... 282 7.17H¨ogrederivator.......................... 283 7.18H¨ogerderivataochv¨ansterderivata............... 285 7.19 ¨ Ovningsuppgifter......................... 287 7.20Svar................................ 303 8Derivataochgrafer 317 8.1Kritiskapunkter......................... 317 8.2Derivataochv¨axanderespektiveavtagandefunktion..... 319 8.3Andraordningenskritiskapunkter............... 321 8.4Andraderivataochkonvexrespektivekonkavfunktion.... 322 8.5Grafritningmedteckentabell.................. 326 8.6Andraderivatatestet....................... 335 8.7Tredjederivatatestet....................... 336 8.8Graftillrationellfunktion.................... 338 8.9V¨ardem¨angdiintervall...................... 348 8.10Optimeringmedandraderivatatestet.............. 351 8.11 Ovningsuppgifter......................... 356 8.12Svar................................ 364 6 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 6
INNEH ˚ ALL 9Talf¨oljderochsummor 379 9.1Explicitatalfoljder........................ 379 9.2Implicitatalf¨oljder........................ 381 9.3Aritmetiskatalfoljder...................... 381 9.4Geometriskatalf¨oljder...................... 383 9.5Summor.............................. 384 9.6Aritmetiskasummor....................... 386 9.7Geometriskasummor....................... 389 9.8Pascalstriangel.......................... 392 9.9Binomialsatsen.......................... 394 9.10 ¨ Ovningsuppgifter......................... 396 9.11Svar................................ 402 10Serier 407 10.1Konvergensochdivergensavtalf¨oljder............. 407 10.2Konvergensochdivergensavserier............... 408 10.3Ettkonvergenskriteriumf¨orserier............... 411 10.4Geometriskaserier........................ 412 10.5Maclaurinserier.......................... 413 10.6Maclaurinpolynom........................ 415 10.7Standardutvecklingar...................... 417 10.8TaylorserierochTaylorpolynom................. 421 10.9Feluppskattningavrestterm................... 424 10.10 ¨ Ovningsuppgifter......................... 427 10.11Svar................................ 432 11Obest¨amdintegral 437 11.1Primitivfunktion......................... 437 11.2Allaprimitivafunktioner.................... 438 11.3Konstantafunktioner...................... 439 11.4Potensfunktioner......................... 439 11.5Multiplikationochdivisionmedkonstant........... 440 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 7 © För Fattaren och Studentlitteratur 7
INNEH ˚ ALL 11.6Summaochdifferens....................... 441 11.7Trigonometriskafunktioner................... 442 11.8Exponentialfunktioner...................... 443 11.9N˚agraspeciellaobest¨amdaintegraler.............. 444 11.10Omv¨andakedjeregeln...................... 445 11.11Variabelbyte........................... 447 11.12Partialintegration........................ 450 11.13Formlernafordubblavinkeln.................. 454 11.14Rationellafunktioner....................... 455 11.14.1Monominamnaren................... 455 11.14.2Namnareavforstagraden............... 456 11.14.3Reducibeln¨amnareavandragraden.......... 458 11.14.4Irreducibeln¨amnareavandragraden......... 462 11.14.5N¨amnareavtredjegraden............... 466 11.14.6N¨amnareavh¨ogregrad................. 473 11.15Speciellavariabelbyten...................... 476 11.15.1 u = √x + a ....................... 476 11.15.2 u =tan(x)........................ 477 11.15.3 u =tan(x/2)....................... 479 11.16Additionsformlerforsinusochcosinus............. 480 11.17Primitivafunktionermedbivillkor............... 481 11.18 Ovningsuppgifter......................... 483 11.19Svar................................ 489 12Best¨amdintegral 497 12.1Definitionavbestamdintegral................. 497 12.2Insattningstecknet........................ 498 12.3Raknelagarforbestamdaintegraler............... 499 12.4Giltigaochogiltigaintegraluttryck............... 500 12.5Best¨amdintegralochvariabelbyte............... 501 12.6Best¨amdintegralochpartialintegration............ 503 8 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 8
INNEH ˚ ALL 12.7Best¨amdintegralsomfunktion................. 505 12.8Primitivfunktionsombestamdintegral............ 506 12.9Best¨amdintegralochbelopp.................. 507 12.10Definitionavgeneraliseradintegral............... 508 12.10.1Kontinuerligfunktion.................. 508 12.10.2Icke-kontinuerligfunktion................ 511 12.11J¨amf¨orelsekriterietf¨orintegraler................ 512 12.12Absolutkonvergensavintegraler................. 514 12.13 ¨ Ovningsuppgifter......................... 515 12.14Svar................................ 527 13Till¨ampningaravintegral 533 13.1Ackumulering........................... 533 13.2Areaundericke-negativgraf................... 539 13.3Areamellangrafer........................ 543 13.4Volymmedsnittformeln..................... 547 13.5Rotationsvolymkring x-axeln.................. 549 13.6Rotationsvolymkring y -axeln.................. 550 13.7Langdavgraf........................... 552 13.8Rotationsareakring x-axeln................... 555 13.9Summorochintegraler...................... 559 13.10Serierochgeneraliseradeintegraler............... 560 13.11Riemannsummor......................... 561 13.12 ¨ Ovningsuppgifter......................... 565 13.13Svar................................ 574 14Introduktiontilldifferentialekvationer 579 14.1Grundbegrepp.......................... 579 14.2Enklastetypen.......................... 581 14.3Bivillkor.............................. 582 14.4Linjaraforstaordningensdifferentialekvationer........ 584 14.5Separabladifferentialekvationer................. 586 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 9 © För Fattaren och Studentlitteratur 9
INNEH ˚ ALL 14.6Linj¨araandraordningenshomogenadifferentialekvationer.. 589 14.7Linj¨araandraordningensinhomogenadifferentialekvationer. 592 14.8 Ovningsuppgifter......................... 596 14.9Svar................................ 603 15Kompletterandeteori 609 15.1Axiomf¨orreellatal....................... 609 15.2Grundl¨aggander¨aknelagar.................... 610 15.3Olikheterochabsolutbelopp................... 612 15.4Supremumochinfimum..................... 614 15.5Induktionochsummor...................... 616 15.6Reellatalsomdecimaltal.................... 618 15.7Gr¨ansv¨arden........................... 620 15.8R¨aknelagarf¨orgr¨ansv¨arden................... 623 15.9Oegentligagransvarden..................... 626 15.10Kontinuitet............................ 627 15.11Derivata.............................. 633 15.12Cauchyfoljder........................... 635 15.13Existensavprimitivafunktioner................ 636 15.14Integraler............................. 639 15.15Dennaturligalogaritmfunktionen................ 640 15.16Dennaturligaexponentialfunktionen.............. 641 15.17Potenser.............................. 642 15.18Trigonometriskafunktioner................... 643 15.19Standardgr¨ansv¨arden...................... 646 15.20Riemannsummor......................... 648 15.21Differentialekvationer...................... 648 10
Studentlitteratur 10
c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och
Kapitel2 Grundbegrepp
2.1Logikochp˚ast˚aenden
V˚art spr˚ak best˚arav meningar som aruppbyggdaenligtvissap˚aforhand givna regler.Exempelvis ¨ ar”Kattenserhunden”ens˚adanmeningmedan ”Hatarsolremblindr¨od”inte ¨ ardet.Enmenings¨agsvara matematisk omden ¨ aruppbyggdavmatematiskasymbolerienlighetmedmatematiska regler.Uttrycket1+2 ¨ arenmatematiskmening,medan1+++2inte ¨ ardet. Enmenings¨agsvaraett p˚ast˚aende omdenkantolkassomattvaraantingen sann eller falsk,meninteb˚adeochsamtidigt.Betraktafoljandemeningar:
p :1+2=3 q :1/2+ √3 r :Glass argott
s : x +2=3 t :Rod,rodare,rodast. u :1 · 2=3
D˚a ¨ ar p, r , s och u p˚ast˚aenden,varavallautom r ¨ armatematiska.P˚ast˚aendet p ¨ arsantochp˚ast˚aendet u ¨ arfalskt.Huruvida r eller s ¨ arsannaellerfalska berorp˚akontexten.Idetf¨orraexempletberordetp˚avemmanfr˚agar,medan detidetsenareexempletberorp˚aom x =1ellerom x =1.Medhj¨alpav logiskaoperatorer kanmansammanfogaenklap˚ast˚aendentill sammansatta p˚ast˚aendenp˚aolikasatt.Viredogorforfems˚adanaoperatorer.
Motsatsen tillettp˚ast˚aendekallasdess negation.Exempelvis arnegationen tillp˚ast˚aendet”Imorgong˚arsolenupp”att”Imorgong˚arsoleninteupp”.
Konjunktionen avtv˚ap˚ast˚aenden ardetsammansattap˚ast˚aendesom arsant precisd˚ab˚ade p och q arsanna.Exempelvis arkonjunktionenavp˚ast˚aendet ”Imorgonblirdetbl˚asigt”ochp˚ast˚aendet”Imorgonblirdetregnigt”att ”Imorgonblirdetbl˚asigtochregnigt”.
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 17 © För Fattaren och Studentlitteratur 17
Disjunktionen avtv˚ap˚ast˚aenden ¨ ardetsammansattap˚ast˚aendesom ¨ arsant d˚aminstettavp˚ast˚aendena ¨ arsant.Disjunktionenutl¨ases eller.Exempelvis ¨ ardisjunktionenavp˚ast˚aendet”Imorgonblirdetplusgrader”ochp˚ast˚aendet ”Imorgonblirdetregnigt”att”Imorgonblirdetplusgraderellerregnigt”. Noteraattdettap˚ast˚aendeinnebarattdetimorgonkommerattvara plusgraderellerregnigtellerb˚adeoch.
Implikationen mellantv˚ap˚ast˚aenden p och q ¨ ardetsammansattap˚ast˚aendet att p medf¨or q .Dettaskrivs p ⇒ q .Omexempelvis p ¨ arp˚ast˚aendetatt”Kim boriSverige”och q ¨ arp˚ast˚aendetatt”KimboriEuropa”,s˚a ¨ ar p ⇒ q p˚ast˚aendetatt”OmKimboriSverige,s˚aborKimiEuropa”.
Ekvivalensen mellantv˚ap˚ast˚aenden p och q ardetsammansattap˚ast˚aendet att p ⇒ q och q ⇒ p.Detp˚ast˚aendetbetecknas p ⇔ q ochutlases p ar ekvivalentmed q .Omexempelvis p ¨ arp˚ast˚aendetatt”KimboriSverige” och q ¨ arp˚ast˚aendetatt”Kimborilandetd¨arMalm¨oligger”,s˚a ¨ ar p ⇔ q p˚ast˚aendet”AttKimboriSverige ¨ arekvivalentmedattKimborilandet d¨arMalm¨oligger”.
2.2Reellatalochintervall
Medett tal menarviiallm¨anhetett reellttal,detvills¨agaett decimaltal
M¨angdenavallatalbetecknas R.Atttv˚atal a och b ¨ ar lika respektive olika betecknas a = b respektive a = b.Allatalharendecimalutvecklingmed en heltalsdel (ental,hundratal,tusentaletc.skrivnafr˚anh¨ogertillv¨anster), f¨oljdaven decimaldel (tiondelar,hundradelar,tusendelaretc.skrivnafr˚an vanstertillhoger).Vikommerattanvandaen decimalpunkt forattseparera dessadelar.Exempelvis ar739/25=29 56,215/99=2 17171717 och
√2=1 414213
Denaturligatalen N best˚aravtalen1, 2, 3,... Heltalen Z utgorsavtalen0, ±1, ±2,... Br˚aktalen Q best˚aravtalp˚aformen a/b dar a och b ¨ arheltalmed b =0.D˚a ¨ ar N endelm¨angdtill Z somisintur ¨ aren delm¨angdtill Q som ¨ arendelm¨angdtill R.Reellatalsominte ¨ arbr˚aktal kallas irrationella.Mankanbevisaatts˚av¨al √2som π ¨ arirrationellatal.
Viforutsatterattlasaren arbekantmedatttalenkan ordnas.Dettaindikeras medsymbolerna <, >, ≤ och ≥ p˚afoljandesatt.Antagatt a och b artal.
Symbolen a<b betyderatt a ar mindre an b.Symbolen a ≤ b betyderatt
a ¨ ar mindre ¨ anellerlikamed b.Symbolen a>b betyderatt a ¨ ar st¨orre ¨ an
b.Symbolen a ≥ b betyderatt a ¨ ar st¨orre ¨ anellerlikamed b.Talenkan
c PatrikLundstromochStudentlitteratur
© För Fattaren och Studentlitteratur
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
18
18
nuinordnasi intervall p˚af¨oljandes¨att.Det ¨ oppnaintervallet (a,b) ¨ aralla tal x med a<x<b.De halv¨oppnaintervallen (a,b]och[a,b) ¨ arallatal x med a<x ≤ b respektive a ≤ x<b.Det slutnaintervallet [a,b] ¨ arallatal x med a ≤ x ≤ b.Intervallkanocks˚avara obegr¨ansade.Omintervallet ¨ ar obegr¨ansatned˚at(ellerupp˚at),s˚al˚atervi a = −∞ (eller b = ∞).
Exempel1.
(a) Intervallet( 3, 2) arallatal x med 3 <x< 2.
(b) Intervallet(4, 7] ¨ arallatal x med4 <x ≤ 7.
(c) Intervallet[ 6 5, 1 5) arallatal x med 6 5 ≤ x< 1 5.
(d) Intervallet[11/3, √17] ¨ arallatal x med11/3 ≤ x ≤ √17.
(e) Intervallet(−∞, 4) arallatal x med x< 4.
(f) Intervallet[12, ∞) ¨ arallatal x med12 ≤ x.
Vip˚aminnerl¨asarenomdens˚akallade tallinjen.Detta ¨ arenvisuell representationavtalend¨armant¨ankersigattdeplacerasiordningl¨angs medenhorisontelllinjemedtaleni okandeordningfr˚anvanstertillhoger:
2.3R¨akneoperationer
Talen ¨ arutrustademedettantal r ¨ akneoperationer. Addition avtalen a och b
betecknas a + b ochkallas summan av a och b. Multiplikation avtalen a och
b betecknas a · b ochkallas produkten av a och b.L¨asaren ¨ ars ¨ akerligensedan tidigarebekantmedfoljanderaknelagarforadditionsamtmultiplikation:
kommutativalagar: a + b = b + a och a · b = b · a
associativalagar: a +(b + c)=(a + b)+ c och a · (b · c)=(a · b) · c
distributivalagar: a · (b + c)= a · b + a · c och (a + b) · c = a · c + b · c
Iensumma(produkt)spelardet,enligtdekommutativalagarnaochde associativalagarnainten˚agonrollvaresigivilkenordningtermer(faktorer) st˚arellerhurparavparenteser ¨ arutplacerade.Vikommerd¨arf¨oroftaien s˚adansituationattf¨oljakonventionenattutananm¨arkningdelskastaom
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
0 1 2 5 3 5 √3 1 3 4 5
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 19 © För Fattaren och Studentlitteratur 19
ordningenmellantermer(faktorer)somvivill,delsutel¨amnaettellerflera paravparenteser.Vikommerocks˚aattanv¨andadetf¨orkortadeskrivs¨attet ab f¨orprodukten a b idesituationerd˚aingetmissf¨orst˚andkanuppst˚a.
Exempel2.
(a) 5+2=7och1+3+5=4+5=9eller1+3+5=1+8=9.
(b) 5 · 7=35och2 · 3 · 4=6 · 4=24eller2 · 3 · 4=2 · 12=24.
(c) 2(b +3)=2b +2 · 3=2b +6och(4a +5b)6=4a · 6+5b · 6=24a +30b.
Additivinvers avtalet a ¨ ardetunikatalbetecknat a med a +( a)=0.
Subtraktion avtalen a och b betecknas a b ochdefinierassom a +( b).
Uttrycket a b kallas differensen av a och b.
Exempel3. 5 3=5+( 3)=2+3+( 3)=2+0=2.
Multiplikativinvers avtalet a =0 ¨ ardetunikatalbetecknat a 1 s˚adantatt a a 1 =1. Division avtalen a och b =0betecknas a/b eller a b ochdefinieras som a · b 1 .Uttrycket a/b kallas kvoten av a och b.
Exempel4. 12/2=12 · 2 1 =6 · 2 · 2 1 =6 · 1=6.
2.4Potenser
Potens avtalen a och b betecknas ab ochben¨amns ¨ aven a upph¨ojttill b.
Harkallas a basen och b exponenten.L˚at n varaettnaturligttal.D˚adefinieras an somprodukten a · a ··· a (n faktorer)och a n definierassom(an ) 1 . Om a =0,s˚adefinieraspotensen a0 som1.Potensen00 definierasinte. Exempel5.
(b) 40 =1och( 4)0 =1och10 =1men01 =0
Antagatt a> 0ochl˚at n varaettnaturligttal.Potensen a1/n definierassom denunikapositivalosningentillekvationen xn = a.Uttrycket a1/n betecknas aven n √a ochbenamnsd˚asomden n-terotenur a.Om m arettannat naturligttals˚adefinieras am/n och a m/n som(a1/n )m respektive(am/n ) 1
Ispecialfallet n =2betecknas a1/2 som √a ochkallasd˚abara rotenur a.
c PatrikLundstromochStudentlitteratur
© För Fattaren och Studentlitteratur
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(a) 23
· 2 · 2=8och2 3 =(23 ) 1 =(2 · 2 · 2) 1 =8 1 =1/8
=2
20
20
Potensuttryckmedicke-positivbaskandefinierasforvissaexponenter.L˚at a>
Forattdefinierapotensuttryck ab forallmannatal a> 0och b kravsbetydligt merteorivarforviharendastmotiverarhurens˚adanpotenskantolkas.
2.5R¨akneordning
Vidberakningavsammansattauttryckskafoljande rakneordning foljas:
1)parenteser2)potenser3)multiplikationochdivision
4)inversf¨oraddition5)additionochsubtraktion
Utoverdettagallerfoljande.Uttryckmedmultiplikationerochdivisioner blandat,elleradditionerochsubtraktionerblandat,skaberaknasfr˚anvanster tillhoger.Vidareskabr˚akuttryckmedl˚angabr˚akstreckalltidtolkassomatt detfinnsparenteserkringtaljareochnamnare.
Exempel8.
(a) 3+4 5=3+20=23och(3+4) 5=7 5=35
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP Exempel6. (a) 81/3 =2eftersom23 =8och √25=5eftersom52 =25 (b) 84/3 =(81/3 )4 =24 =2 2 2 2=16 (c) 253/2 =(251/2 )3 =(√25)3 =53 =5 · 5 · 5=125 (d) 16 1/4 =(161/4 ) 1 =2 1 =1/2 (e) 8 2/3 =(82/3 ) 1 =((81/3 )2 ) 1 =(22 ) 1 =4 1 =1/4
p och q varaheltal.Om p ¨ arj¨amntoch q ¨ arudda,s˚adefinieras ( a)p/q = ap/q .Omb˚ade p och q ¨ arudda,s˚adefinieras( a)p/q = ap/q . Exempel7. (a) ( 8)2/3 =82/3 =(81/3 )2 =22 =2 · 2=4
1
3
271/3 = 3
0ochl˚at
(b) ( 27)
/
=
Antagexempelvisattvivilldefiniera2π .D˚a π =3 14159265358 definierar
π
3 , 23 1 , 23 14 , 23 141 , 23 1415 ,... n ¨ armarsig d˚aantaletdecimalersuccessivt ¨ okas.Slutligen,om b> 0,s˚adefinieras0b =0.
vi2
somdettalsomtalf¨oljden2
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 21 © För Fattaren och Studentlitteratur 21
2.6Ekvationerochidentiteter
En
arenlikhetsominneh˚allerenellerfleraobekantavariabler.Ett valavv¨ardenp˚adessavariablersomg¨orattv¨ansterledet(VL)
5+1=11ochHL= 4 5+31=11.D¨aremot ¨ ar x =3 inte enl¨osning tillsammaekvationd˚aVL=2 3+1=7ochHL= 4 3+31=19 =7.
x
y
z
2 =25.D¨aremot ¨ ar x =2, y =3och z =4 inte enl¨osningtillsammaekvationd˚aVL=22 +32 =4+9=13ochHL=42 =16 =13.
Enekvationsomgallerforallatill˚atnavalavvariablernakallasen identitet. Medtill˚atnavalmenarvivariabelvals˚aattalladeing˚aendeuttrycken ar definierade.Har arn˚agrakandaidentiteterforhanteringavminustecken:
L¨asaren ¨ ars ¨ akertbekantmeddensammanfattandeminnesregelnf¨or sambandenovansoms¨ageratt likateckengerplus,olikateckengerminus.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (b) 3+42 =3+16=19och(3+4)2 =72 =49 (c) 4 · 5 3 · 4=20 12=8och 45 9 +5 · 3=5+15=20 (d) 6+8 2 = 14 2 =7och 6 8 2 = 48 2 =24 (e) 15/(8 3)+4 · 32 10=15/5+4 · 9 10=3+36 10=29 (f) 8/4 · 2=2 · 2=4och8/(4 · 2)=8/8=1 (g) 8/4/2=2/2=1och8/(4/2)=8/2=4 (h) 8/22 =8/4=2och(8/2)2 =42 =16
tillekvationen. Exempel9. Ekvationen2x +1= 4x +31har x =5somenl¨osningd˚a
Exempel10.
ekvation
¨ arlikamed h¨ogerledet(HL)kallasen l¨osning elleren rot
VL=2
Ekvationen
2 + y 2 = z 2 har x =3,
=4och
=5somen l¨osningd˚aVL=32 +42 =9+16=25ochHL=5
a =( 1)a ( a)= aa +( b)= a ba ( b)= a + b (a + b)= a b ( a)b = a( b)= ab ( a)( b)= ab (a b)= a + b ( a)/b = a/( b)= a/b ( a)/( b)= a/b
22 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 22
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP Exempel11. (a) ( 3)=3och5+( 3)=5 3=2och5 ( 3)=5+3=8 (b) (a +2b)= a 2b och (4a 3b)= 4a +3b (c) ( 2) · 3= (2 · 3)= 6och( 3)( 7)=3 · 7=21 (d) ( 12)/3= 12/3= 4och14/( 2)= 14/2= 7 (e) ( 100)/( 10)=100/10=10och ( ( 7))= 7 (f) 2(x2 x) 2(x2 + x)=2x2 2x 2x2 2x = 4x (g) 2x ( 3x)= 2 3 x x = 6x2 (h) ( 4a)( 6a)=4 · 6 · a · a =24a2 H¨ar ¨ arn˚agraidentiteterf¨orbr˚akr¨akningsoml¨asarens¨akert ¨ arbekantmed: a b ± c b = a ± c b a b ± c d = ad ± bc bd ac bc = a b a b · c d = ac bd a b c d = ad bc Exempel12. (a) 3 7 + 2 7 = 3+2 7 = 5 7 och 3 7 2 7 = 3 2 7 = 1 7 (b) 3 7 + 2 5 = 3 · 5+7 · 2 7 5 = 15+14 35 = 29 35 (c) 2x 3 7x 5 = 2x 5 7x 3 3 · 5 = 10x 21x 15 = 11x 15 = 11x 15 (d) 7 2x + 5 3 = 7 · 3+2x · 5 2x · 3 = 21+10x 6x (e) 7 12 + 1 28 = 7 · 28+1 · 12 12 · 28 = 208 336 = 13 · 16 21 · 16 = 13 21 Dennakalkyl f¨orenklasombr˚akenf¨orstf¨orl¨angstill minstagemensamman¨amnare : 7 12 + 1 28 = 7 · 7 12 · 7 + 1 · 3 28 · 3 = 49 84 + 3 84 = 52 84 = 13 · 4 21 · 4 = 13 21 (f) 3 7 · 2 5 = 3 · 2 7 · 5 = 6 35 och 8x 35 2x 49 = 8x · 49 35 · 2x = 28 · 14x 5 · 14x = 28 5 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 23 © För Fattaren och Studentlitteratur 23
H¨ar ¨ arn˚agrav¨alk¨andaidentiteterf¨orpotensr¨akning:
Har arn˚agraanvandbaraidentiteterforkvadratiskaochkubiskauttryck:
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (g) 1 2 · 3 5 · 7 10 = 1 · 3 · 7 2 · 5 · 10 = 21 100 (h) 5 · 3 7 5 11 = 5 1 · 3 7 5 11 = 5 · 3 1 · 7 5 11 = 15 7 5 11 = 15 · 11 7 · 5 = 165 35 = 33 7
ab · ac = ab+c ab /ac = ab c (ab )c = abc (a · b)c = ac · bc (a/b)c = ac /bc Exempel13. (a) a6 · a4 = a6+4 = a10 och a6 /a4 = a6 4 = a2 (b) a3 /a7 = a3 7 = a 4 och a3 /a 9 = a3 ( 9) = a3+9 = a12 (c) (a3 )5 = a3 5 = a15 och(a 4 ) 5 = a( 4) ( 5) = a 20 (d) (2x)3 =(2 · x)3 =23 · x3 =8x3 samt x 3 2 = x2 ( 3)2 = x2 9 (e) (a2 )3 (b 3 )2 c8 a5 · b 4 · (c5 ) 2 = a6 b 6 c8 a5 · b 4 · c 10 = a 6 5 b 6 ( 4) c 8 ( 10) = ab 2 c 18
konjugatregeln: (a + b)(a b)= a2 b2 f¨orstakvadreringsregeln: (a + b)2 = a2 +2ab + b2 andrakvadreringsregeln: (a b)2 = a2 2ab + b2 f¨orstakuberingsregeln: (a + b)3 = a3 +3a2 b +3ab2 + b3 andrakuberingsregeln: (a b)3 = a3 3a2 b +3ab2 b3 Exempel14. (a) (2a +3b)(2a 3b)=(2a)2 (3b)2 =22 a2 32 b2 =4a2 9b2 (b) (5a + b)2 =(5a)2 +2 5ab + b2 =52 a2 +10ab + b2 =25a2 +10ab + b2 (c) (x 7)2 = x2 2 · x · 7+72 = x2 14x +49 (d) (12)3 =(10+2)3 =103 +3 · 102 · 2+3 · 10 · 22 +23 =1728 (e) (a b/2)3 = a3 3a2 b/2+3a(b/2)2 (b/2)3 = a3 3a2 b/2+3ab2 /4 b3 /8 Exempel15. Dessareglerkanocks˚aanvandasforatt faktorisera uttryck. Exempelvis ¨ ar a2 100= a2 102 =(a +10)(a 10)och4a2 +24a +36= (2a)2 +2 2a 6+62 =(2a +6)2 och x2 6x +9= x2 2 x 3+32 =(x 3)2 . 24 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 24
2.7O¨andligatal
Langreframskaviberaknas˚akallade gransvarden foruttryckdaren variabelalltmernarmarsig oandligheten ∞ eller minusoandligheten −∞ S˚adanaberakningarkanmanivissafallmedfordelgoragenomattbehandla ∞ och −∞ somvanligatal,givetattvissf¨orsiktighetiakttas.H¨arvidt¨anker mansigatt ∞ och −∞ ¨ artalsombefinnersig”l¨angst˚ath¨oger”respektive ”l¨angsttillv¨anster”p˚atallinjen.L˚at a varaantingenettvanligttaleller enderaav ∞ och −∞.Videfinierarnuf¨oljander¨aknereglerf¨oro¨andligatal:
1. Om a> −∞,s˚a ¨ ar a + ∞ = ∞.Om a< ∞,s˚a ¨ ar a −∞ = −∞.
2. Om −∞ <a< ∞,s˚a ¨ ar a/(±∞)=0.
3. Om0 <a ≤∞,s˚a ar a · (±∞)= ±∞ och ∞a = ∞.
4. Om a< 0,s˚a ar a · (±∞)= ∓∞ och ∞a =0.
5. Om0 <a< 1,s˚a ar a∞ =0och a−∞ = ∞
6. Om a> 1,s˚a ar a∞ = ∞ och a−∞ =0.
7. Om p och q ¨ arnaturligatalmed p j¨amnoch q udda,s˚a ¨ ar(−∞)p/q = ∞ och(−∞)( p/q ) =0.
8. Givetatt p och q ¨ aruddanaturligatal,s˚a ¨ ar(−∞)p/q = −∞ och (−∞)( p/q ) =0.
9. Uttrycken ∞−∞, ±∞· 0,(±∞)/(±∞)och(−∞)(±∞) definierasinte. Motivationenfordessadefinitionerbordevaratamligenuppenbarforlasaren. L˚atossexempelvismotiveralikheten0.1∞ =0Omvibildaralltstorre potenserav0 1f˚asalltmindretal0 11 =0 1, 0 12 =0 01, 0 13 =0 001,... Darfor ardetrimligtattdefiniera0 1∞ =0.Vilamnarmotivationenforde resterandedefinitionernatilll¨asaren.
Exempel16.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(a)
∞
∞ och 238+ ∞ = ∞ och ∞ + ∞ = ∞. (b) 14 −∞ = −∞ och81783 −∞ = −∞ och −∞−∞ = −∞. (c) 23/∞ =0och 45/∞ =0och762/(−∞)=0och 872/(−∞)=0. (d) 2 ·∞ = ∞ och10 · (−∞)= −∞ och ∞4 = ∞ och ∞∞ = ∞ (e) ( 2) ·∞ = −∞ och( 10) · (−∞)= ∞ och ∞ 4 =0och ∞−∞ =0. (f) 0 1∞ =0och0 1−∞ = ∞ och3∞ = ∞ och3−∞ =0. (g) (−∞)2 = ∞ och(−∞) 2/3 =0och(−∞) 5 =0och(−∞)5/3 = −∞. c PatrikLundstromochStudentlitteratur 25 © För Fattaren och Studentlitteratur 25
7+
=
2.8Koordinatsystemochrelationer
Ett koordinatsystem best˚aravtv˚atallinjer,enhorisontellochenvertikal. Dessatallinjerskavaljasvinkelrataochdeskaskaravarandradarb˚ada tallinjerna arnoll.Dennaskarningspunktkallas origo.Omkoordinatsystemet placerasidettv˚adimensionellaplanet,s˚aharvarjepunkt P delsenunik position x horisontellt,delsenunikposition y vertikalt,relativttallinjerna, vilketviskriversom P =(x,y ).H¨arvidkallas(x,y )ett koordinatpar f¨or punkten P ochtallinjernaben¨amns koordinataxlar.Denf¨orstakoordinaten kallas x-koordinatenochdenandrakoordinatenkallas y -koordinaten.D¨arf¨or kallasdenhorisontellaochdenvertikalatallinjen x-axelnrespektive y -axeln. Omkoordinataxlarnatasbortfr˚anplanet,s˚a˚aterst˚arfyraolikaomr˚aden somkallasdefyra kvadranterna.Denforsta(andra;tredje;fjarde)kvadranten best˚aravallapunktermedkoordinater(x,y )s˚adanaatt x> 0och y> 0 (x< 0och y> 0; x< 0och y< 0; x> 0och y< 0).
Exempel17. Har arn˚agrapunkterinplaceradeiettkoordinatsystem:
Punkterna(5, 2),( 8, 2),( 4, 2)och(7, 1)tillhorrespektiveforsta, andra,tredjeochfjardekvadranten.Punkternap˚akoordinataxlarnatillhor inten˚agonkvadrant.
Meden relation menasenmangdavkoordinatpariettkoordinatsystem. Definitionsmangden tillenrelation aralla x-koordinatersomforekommeri relationenoch vardemangden tillenrelation aralla y -koordinatersom f¨orekommerirelationen.Processenattritainrelationensallakoordinatpar iettkoordinatsystemkallasattkonstruerarelationens graf.
Exempel18. Mangdenavkoordinatparfr˚anforeg˚aendeexempel( 8, 2), ( 4, 2),( 3, 0),(0, 1),(0, 0),(0, 2),(5, 2),(7, 1),(9, 0) aren andlig relation.Relationensdefinitionsm¨angd ¨ artalen 8, 4, 3,0,5,7,9och dessv¨ardem¨angd ¨ artalen 2, 1,0,2.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(0, 0)=origo (5, 2) ( 8, 2) (0, 2) (7, 1) ( 4, 2) (0, 1) ( 3, 0) (9, 0) x y
26 c PatrikLundstromochStudentlitteratur ©
Studentlitteratur 26
För Fattaren och
Exempel19. Betraktaden o ¨ andliga relationenvarsgrafseruts˚ah¨ar:
Relationensdefinitionsmangd ardetslutnaintervallet[1, 19]ochdess vardemangd ardetslutnaintervallet[1, 3].
Exempel20. Ommanvill inkludera vissapunkterienrelationritasdei grafensom ifyllda cirklar.Ommanvill exkludera vissapunkterienrelation ritasdesom ofyllda cirklar.Antagattviiforeg˚aendeexempelvillinkludera punkterna(4, 2),(5, 2),(6, 2)menexkluderapunkterna(1, 2),(10, 3),(19, 2) irelationen.Dennyarelationensgraff˚ard˚af¨oljandeutseende:
Relationensdefinitionsmangd arnudet oppnaintervallet(1, 19)ochdess vardemangd ardethalvoppnaintervallet[1, 3).
2.9Funktioner
Meden funktion f menasenrelationmedegenskapenattdettillvarje x i definitionsmangdenfinnsprecisett y ivardemangdens˚aattpunkten(x,y ) tillhorrelationen.Dettaskrivssom y = f (x).Harvidkallas y vardet till funktionensomh¨ortill argumentet x Grafen tillenfunktion f ¨ arallapunkter (x,y )s˚adanaatt y = f (x).
Exempel21.
(a) Relationenbest˚aendeavpunkterna(2, 7),(2, 5),(3, 2),(4, 10) ¨ ar inte enfunktiond˚a x-koordinaten2finnside olika punkterna(2, 7)och(2, 5).
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y
x y
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 27 © För Fattaren och Studentlitteratur 27
(b) Relationen f best˚aendeavpunkterna(0, 4),(1, 2),(2, 8)och(3, 2) ¨ arenfunktioneftersomvarje x-koordinatintefinnsimer ¨ anenpunkt. H¨arvidg¨alleratt f (0)=4, f (1)= 2, f (2)=8och f (3)= 2.
Exempel22.
(a) Punkten(3, 9)tillh¨orgrafentill y = x2 eftersom32 =9.
(b) Punkten( 8, 2)tillh¨orintegrafentill y = 3 √x d˚a 3 √ 8= 2 =2.
Etturvalpunkterp˚agrafentillenfunktionkallasen v ¨ ardetabell.Senareska vi skissa grafentillenfunktion.Meddetmenasattviutifr˚anenv¨ardetabell, eventuelltinneh˚allandes x = ∞ och x = −∞,placerarinmotsvarande punkteriettkoordinatsystemochdareftersammanbinderdemtillenbild avhurgrafentillfunktionenserut.
2.10Extrempunkterochextremv¨arden
L˚at f varaenfunktiondefinieradiettintervall I .L˚at a varaenpunkti I
• Punkten a s ¨ agsvaraen(lokal) maximipunkt f¨or f i I omdetintefinns n˚agrafunktionsv¨ardenst¨orre ¨ an f (a)i I (n¨ara a).Is˚afallkallas f (a)(ett lokalt) maximum eller(ettlokalt) st¨orstav¨arde f¨or f i I .Analogtdefinieras begreppen(lokal) minimipunkt samt(lokalt) minimum/minstav¨arde f¨or f i I .
• Punkten a s ¨ agsvaraen(lokal) extrempunkt f¨or f i I om a ¨ aren(lokal) maximipunktelleren(lokal)minimipunktfor f i I .Is˚afallkallas f (a) (ettlokalt) extremum eller(ettlokalt) extremvarde for f i I
Exempel23. Forgrafernanedangallerfoljande:
x =1 ¨ arenmaximipunktoch y =3 armaximum. x =3 arenlokalmaximipunktmedlokaltmaximum y =2.
x =2 arenminimipunktoch y =0
arminimum. x =0 arenlokalminimipunktmedlokaltminimum y =1. x
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
y 28
28
c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur
x =0 ¨ arenmaximipunktoch y =2 ¨ armaximum.Lokalaminimipunkter saknas.
Lokalamaximipunktersaknas. x =0 ¨ ar enminimipunktoch y =0 ¨ arminimum.
Alla x-v ¨ ardeni[2, 3] ¨ armaximipunkter och y =2 armaximum. x =4 arenminimipunktoch y =0 arminimum. x =0 och x =4samtalla x-vardeni(2, 3) ar lokalaminimipunktermedlokalaminimivarden y =1, y =0och y =2.
Alla x-v ¨ ardeni[0, 2) ¨ armaximipunkter och y =3 ¨ armaximum.Minimipunktersaknas.Alla x-v ¨ ardeni[0, 2)och (2, 3) ¨ arlokalamaximipunktermedlokalamaximivarden y =3och y =2.Alla x-vardeni[0, 3) arlokalaminimipunktermedlokalaminimivarden y =3eller y =2beroendep˚aompunktenfinnsi [0, 2)elleri[2, 3).
2.11V¨axande,avtagandeochmonoton
Antagattviharenfunktionsom ¨ ardefinieradiettintervall I
• Funktionens¨agsvara str¨angtv¨axande(str¨angtavtagande) i I omvihela tidenr¨orossupp˚at(ned˚at)d˚avir¨oross˚ath¨ogerl¨angsdessgrafi I .
• Funktionens¨agsvara v ¨ axande(avtagande) i I omdenomv¨axlande ¨ ar str¨angtv¨axande(str¨angtavtagande)ochkonstanti I .
• Funktionens¨agsvara (str¨angt)monoton i I omden ¨ ar(str¨angt)v¨axande i I eller(str¨angt)avtagandei I .
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y
x y
x y
x y
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 29 © För Fattaren och Studentlitteratur 29
Exempel24. F¨orgrafernanedang¨allerf¨oljande:
Funktionen ¨ arstr¨angtavtagandei [1, 2]ochstr¨angtv¨axandei[2, 3].
Funktionen ¨ arstr¨angtmonotoni[1, 2] ochi[2, 3].Funktionen arintemonoton i[1, 3].
Funktionen ¨ arv ¨ axandei(0, 2]och strangtvaxandei(0, 1].Funktionen ar avtagandei[1, 3]ochstrangtavtagande i[2, 3].Funktionen armonotoni(0, 2] ochi[1, 3]menintei(0, 3].
2.12 ¨ Andligagr¨ansv¨arden
L˚at f varaenfunktionsom ¨ ardefinieradstraxtillh¨ogerochstraxtill v ¨ ansteromenpunkt a,menkanskeintei a.Etttal A s ¨ agsvara gr ¨ ansv ¨ ardet av f (x)d˚a x g˚armot a omvikanf˚a f (x)hurn¨ara A vivill,baravi valjer x tillrackligtnara a.Is˚afallskrivervilimx→a f (x)= A.Symbolen lim arenforkortningforlatinets limes sombetyder grans.Analogt definieras hogergransvarde och vanstergransvarde i a om x narmarsig a fr˚an hoger respektive vanster.Dessagransvardenbetecknaslimx→a+ f (x) respektivelimx→a f (x).Mankanvisaattlimx→a f (x)existerarprecisd˚a b˚adelimx→a+ f (x)ochlimx→a f (x)existeraroch ¨ arlika.Is˚adantfallg¨aller likheternalimx→a f (x)=limx→a+ f (x)=limx→a f (x).
Exempel25. Grafentillenfunktion f harf¨oljandeutseendei[ 5, 10):
c PatrikLundstromochStudentlitteratur
© För Fattaren och Studentlitteratur
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y
x y
x y 30
30
Fr˚angrafenkanviutl¨asaf¨oljande:
• limx→−5+ f (x)= 2= f ( 5).
• limx→−4 f (x)=limx→−4+ f (x)= 1.Dettainneb¨arattgr¨ansv¨ardet limx→−4 f (x)ocks˚aexisteraroch ¨ arlikamed 1.Noteraatt f ( 4)= 1.
• limx→−3 f (x)=3ochlimx→−3+ f (x)=1.Dettainneb¨arattgr¨ansv¨ardet limx→−4 f (x)ejexisterar.Noteraatt f ( 3)=1.
• limx→3 f (x)=limx→3+ f (x)=2.Dettainneb¨arattgr¨ansv¨ardet limx→3 f (x)ocks˚aexisteraroch ¨ arlikamed2.Noteraatt f (3)= 1 =2.
• limx→6 f (x)= 2ochlimx→6+ f (x)=1.Dettainneb¨arattgr¨ansv¨ardet limx→6 f (x)ejexisterar.Noteraatt f (6)= 2.
• limx→8 f (x)=2ochlimx→8+ f (x)=1.Dettainnebarattgransvardet limx→8 f (x)ejexisterar.Noteraatt f (8)=3 =1, 2.
• limx→10 f (x)=1.
2.13O¨andligagr¨ansv¨arden
Idefinitionenavgransvardeovankantalen a och A till˚atasattvaraoandliga. Forattillustreraattgransvardetavenfunktion ar ∞ eller −∞ indikerar manemellan˚atdettaigrafenmedpilarpekandesupp˚atrespektivened˚at.
Exempel26. Grafentillenfunktion f harfoljandeutseende:
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y c PatrikLundstromochStudentlitteratur 31 © För Fattaren och Studentlitteratur 31
Fr˚angrafenkanviutl¨asaf¨oljande:limx→−∞ f (x)= 1,limx→∞ f (x)=1, limx→−1 f (x)=0,limx→−1+ f (x)= 1,limx→1 f (x)=1,limx→1+ f (x)=3, limx→0 f (x)= −∞ ochlimx→0+ f (x)= ∞.
Exempel27. Omgrafentillenfunktion f harf¨oljandeutseende:
skadettolkassomattlimx→−∞ f (x)= ∞ ochlimx→∞ f (x)= −∞.
2.14Kontinuitet
Enfunktion f s ¨ agsvara kontinuerlig ienpunkt a omden ¨ ardefinieradi a, straxtillh¨ogerom a,straxtillv¨ansterom a ochlimx→a f (x)= f (a).
Omenfunktion ¨ ardefinieradienpunkt a menej ¨ arkontinuerligi a s ¨ agsden vara diskontinuerlig i a.Mankanocks˚adefinierabegreppenkontinuerligi a fr˚anh¨ogerochfr˚anv¨anstergenomattanv¨andasigavh¨ogergr¨ansv¨arde respektivevanstergransvardeistallet.Enfunktionsagsvara kontinuerligiett intervall omden arkontinuerligiallapunkteriintervallet.Omintervallets vanstra(hogra) andpunktraknasmediintervalletkravsidennapunkt endastkontinuitetfr˚anhoger(vanster).
Exempel28. Funktioneniexempel25 arkontinuerligihelaintervallet [ 5, 10)forutomipunkterna 3,3,6och8.Idessapunkter arfunktionen diskontinuerligoch:
• Funktionen arhogerkontinuerligi 3.
• Funktionen ¨ arvarkenv¨ansterkontinuerligellerh¨ogerkontinuerligi3och8.
• Funktionen ¨ arv ¨ ansterkontinuerligi6.
Exempel29. Funktioneniexempel26 arkontinuerligforalla x =0forutom ipunkterna 1och1.Idessapunkter ¨ arfunktionendiskontinuerligmen h¨ogerkontinuerligi 1ochv¨ansterkontinuerligi1.
c PatrikLundstromochStudentlitteratur
© För Fattaren och Studentlitteratur
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y
32
32
Mankanbevisaattomenkontinuerligfunktionharettintervallsom definitionsm¨angd,s˚a ¨ ardessv¨ardem¨angdalltidettintervall.Omdessutom definitionsm¨angden ¨ arett slutet intervallkanmanbevisaattv¨ardem¨angden alltid ¨ arett slutet intervall.Omdefinitionsm¨angden ¨ arettintervallsominte arslutetkanvardemangdendaremotbliettslutetintervall,etthalvoppet intervallellerett oppetintervall,beroendep˚asituationen. Exempel30. Forgrafernanedangallerfoljande:
Funktionen arkontinuerligochdess definitionsmangd ardetslutnaintervallet[1, 3].Funktionensvardemangd ar detslutnaintervallet[0, 3].
y
Funktionen arkontinuerligochdess definitionsmangd ardet oppnaintervallet(0, 3).Funktionensvardemangd ar dethalvoppnaintervallet(0, 2]. x
Funktionen arkontinuerligochdess definitionsmangd ardethalvoppna intervallet[ 1, 2).Funktionensv¨ardem ¨ angd ¨ ardetslutnaintervallet[1, 3].
y
Funktionen ardiskontinuerligi1och dessdefinitionsmangd ardetslutna intervallet[0, 3].Funktionensvardem ¨ angd ¨ ardet ¨ oppnaintervallet(1, 3). x
y
Ettspecialfallavresonemangetovan ar satsenommellanliggandevarde som sagerattom f arenkontinuerligfunktioniintervallet[a,b]och f (a) = f (b), s˚aantar f allavardenmellan f (a)och f (b)idet oppnaintervallet(a,b).
Exempel31. L˚at f varaenkontinuerligfunktioni[0, 2]s˚adanatt f (0)=7, f (1)= 3och f (2)= 18.Enligtsatsenommellanliggandevardefinns minstettnollst¨alle x1 till f i(0, 1),eftersom 3 < 0 < 7,ochdetfinns minstetttal x2 i(1, 2)s˚adantatt f (x2 )= 12,eftersom 18 < 12 < 3.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x y
x
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 33 © För Fattaren och Studentlitteratur 33
2.15 ¨ Ovningsuppgifter
2.1
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
Bytutsymbolen
(a)2 5(b)0 2(c)3 1(d) 4 2(e) 4 3(f) π 3 (g) √7 3(h) √2 1(i) 3/5 1/2(j)( 2)2 ( 2)3
Vilkaavfoljandep˚ast˚aenden arsannarespektivefalska? (a)7 < 10(b)7 ≤ 10(c)3 ≤−3(d) 3 ≤ 3(e)2 < 2(f)2 ≤ 2 (g)1+2=4(h)1+( 1)=( 2)+2(i)2+4/2=(2+4)/2
Ordnaf¨oljandetalfr˚andetminstatilldetst¨orsta. (a) 3, 22/7, √5, 3.2, 0(b) √2, √3, 1.6, 3/2 2.4 Beskrivintervallennedanmedolikhetssymboler: (a)(2, 4)(b)[ 2, 4)(c)(1 2, 4 7)(d)( 10, ∞)(e)[2, 16](f)(−∞, 1] 2.5 Beskrivolikheternanedanmedintervallsymboler: (a)1 <x< 2(b) 4 ≤ x< 3(c)0.5 <x< 6(d) x< 7(e) x ≥ 3 (f)10 ≤ x ≤ 11(g)13 ≤ x< 18(h) −∞ <x< ∞ 2.6 Berakna. (a)18+7+3(b)18 7+3(c)18 7 3(d)18 (7 3)(e)1 3 (f)( 5) 8(g)( 2)+3(h)3 ( 5)(i)( 7) ( 5)(j)3 ( 1) (k)8 8(l)5+( 2)(m)( 4)+( 2)(n)( 4)+4(o)18+( 7)+( 3) (p)( 18) ( 7)+( 3)(q)( 18)+7 ( 3)(r)( 18) (( 7) ( 3)) (s)( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 10(t)10 (9 (8 (7 ( 6)))) 2.7 Ber¨akna. (a)3 ( 1)(b)6 ( 2)(c)10 ( 7)(d)( 3) ( 5)(e)( 8) 2 (f)( 1) · ( 2) · 3(g)( 10) · ( 2) · ( 5)(h)2 · ( 3) · 4(i)0 · ( 100) 2.8 Berakna. (a)4/( 1)(b)( 6)/2(c)35/( 7)(d)( 30)/5(e)( 80)/( 2) (f)6/( 2)/3(g)0/10(h)0/( 10)(i)( 0 5)/( 0 25)(j)( 1)/1 34 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 34
mot < eller > s˚aattp˚ast˚aendenablirsanna:
2.2
2.3
2.14 Beraknasumman s,differensen d,produkten p ochkvoten k avfoljande paravbr˚aktal.
2.15 (a)Hurl˚angthinnermanp˚a1h40min,ommank¨ormedenmedelhastighetav75km/h?
(b)Hurstorblirmedelhastigheten,ommankorenstrackap˚a84kmp˚a tiden1h20min?
2.16 Berakna.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP 2.9 Ber¨akna. (a)3+4 · 5(b)(3+4) · 5(c)3+42 (d)(3+4)2 (e)4 · 5 3 · 4 (f) 45 9 +5 · 3(g) 6 · 8 2 (h) 6+8 2 (i)6+8/2(j)9 1+5 · 3 4 (k)25 3 · 8 4+2 · 3(l)15/(8 3)+4 · 32 10(m)3 · (2+9)+ 6 · 7 34 2 (n)4 · 3+ 4 · (11 2) 3 2 3(o)8/4/2(p)8/(4/2)(q)8/22 2.10 Forkortas˚al˚angtsommojligt. (a)42/12(b)25/20(c)35/25(d)24/9(e)54/36(f)30/24(g)45/36 (h)36/27(i)63/18(j)72/48(k)126/108(l)160/140(m)1500/650 2.11 Beraknaochforkortas˚al˚angtsommojligt. (a)(1/2) · (3/5)(b)(2/13) · (5/6)(c)9 · (8/9)(d)(2/3) · 6(e)2 · ( 2/9) (f)( 3) · ( 7/6)(g)( 6/5) · ( 11/8)(h)( 3/7) · ( 11/8) 2.12 Beraknaochforkortas˚al˚angtsommojligt. (a)(1/3)/(2/7)(b)3/(2/7)(c)(3/2)/7(d)( 2)/(7/4)(e)( 12/7)/( 9/5) (f)(8/9)/(1/5)(g)(1/6)/( 5/3)(h)(5/8)/( 15/8)(i)( 9/10)/(3/2)
Skrivsomettbr˚ak. (a)1/3+4/3(b)4/3 1/3(c)1/3 4/3(d)1/3+5/3(e)11/6+7/6 (f)2 15/8(g)3/5+5/4(h)1/2 11/6(i)2/5+3/4(j)1/2 1/10 (k)2/3 ( 1/6)+4/3(l)25/21 8/7+4/3(m)1+1/3 1/9
2.13
(a)1/3och1/6(b)2/5och3/4(c) 4/15och 11/24
(a)32 (b)53 (c)( 3)2 (d)( 5)3 (e)04 (f)( 1)100 (g)3 2 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 35 © För Fattaren och Studentlitteratur 35
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (h)( 5) 3 (i) ( 2)5 (j) ( 2) 5 (k)( 0 1) 3 (l)( 1/3) 2 (m)23 (n)5 · 32 (o)24 · 26 (p)25 · 52 (q)(34 · 33 )/32 (r)52 · 53 /57 (s)(23 )2 (t) (34 )3 · (32 )4 ( 3)15 · 34 (u) 38 35 42 · 24 26 +3 · ( 2)3 (v)170 2.17 Skrivsomenpotens. (a)32 · 33 (b)27 · 23 (c)27 /23 (d)32 /34 (e) x2 · x4 (f)(x4 )3 (g)(x4 ) 3 (h)(x 4 ) 3 (i) x10 /x7 (j) x10 /x 7 (k)(x10 )2 /(x6 )3 (l)(x 7 )3 /x 2 2.18 Berakna. (a) √25(b) √81(c) √49(d) √144(e) √0.36(f) √0.01 (g) √100(h) √0.04(i) √106 (j) 1/4(k) 25/49(l) √0 (m) √0.09(n) √0.64(o) √0.25(p) 1/100(q) √0.0036(r) √0.0081 2.19 Berakna. (a)272/3 (b)322/5 (c) 3 √64(d) 4 √256(e) 3 √ 216(f)2433/5 (g)1252/3 813/4 (h) √9+( 3 √ 125)2 (i)( 8)2/3 + 4 √16(j)163/4 272/3 (k) ( 64) 2/3 4 √81 ( 27) 1/3 (l)( 1)1/3 · ( 1)2/5 · ( 1)1/7 2.20 Beraknavardetavfoljandeuttryckfor x =2, y = 3, z =5, a =1/2 och b = 2/3. (a)2x + y (b)3x 2y 4z (c)4x2 y (d) x3 +4y 2a 3b (e) x y 2 3 b a 3 2.21 (a) Ar x = 1enl¨osningtillekvationen4(x 2)+2=4x 2(2 x)? (b) Ar x = 2enl¨osningtillekvationen 6x 15=17 9x?
Ar x = 1enl¨osningtillekvationen(4x 9)2 =169?
Ar x =4enl¨osningtillekvationen6x 2(x +3)=22 3x?
Ar x = 3enl¨osningtillekvationen12+3(x +7)=10+ x?
Ar x =2enl¨osningtillekvationen2x +3x =13?
Ar x =2/3enl¨osningtillekvationen x2 + x 1=0?
¨ Ar x =3och y = 2enl¨osningtillekvationen 2x(4+ y )=5y 2? 36 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 36
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
2.22
6( x 3)(k) 3(5x 4)(l)4(2x 1) 5(x 2)
(m) 2(5x 3y )(n) 8(3x 2)(o) 2( 3x 4)+4(6 2x)
(p) 8(2x +4) 5(x +4)(q) 2(x/2+2) 3(x/3 4)
(r)12(2x 7) 9(3 4x)+6(4y 9)(s)5(x 2) 7( 4x +3) 3( 2x)
2.24 Utvecklaochf¨orenkla.
(a)2x(3x 4)(b) 4x(x 4)(c) 2y (3yx +2)
(d) 2x(x2 2y +1) x( 4xy + y )(e)2x(y +1) y (x +3)
(f)2x(x +5y )+3y (y +3)(g)2y (2x +2) 4(2x +2)(h)6
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
F¨orenkla. (a)4x 5 2x (b)5x2 3x +7x2 4x +9(c)7x +12x 4 (d)7x +3x 5x (e)9x +20 5x (f)5 10x 2x 7(g)7x2 +7+20x2 +3x (h)3 8x2 +4x2 +6x2 10(i)5x 4 3x +7 2 3 6(j)3 4x 2 5x2 +2 2x2 (k)6x +3 · 7y 2 · 5z 9+2 · 4z
Utvecklaochforenkla. (a)5(3x +2)+2(2x 1)(b)2(4x +5)+8(c)12(5x 8)+4y +3 (d)6(2x +3y )+8(5y +4z )(e)10(x +2)+7(3 4x)(f)6(x y )+4(2y 3) (g)5(3x +4)+3(4x +10)+2(8x +9)(h)8(2x 3)+9(4x 5)+4(3x +7) (i) 7(2x +1)(j)
2.23
y (yx 4)+5(yx 4) (i)7x(3y + z ) 4y (7x +2z )(j)2x(2x2 x)+ x(2x 8)+3x(x 4) (k)2x(y 9) y (x 7)+ xy (4 3x)(l)2x(x +3)+6x(x 1) (m)(x +3)(x 2) x(x 5)(n)6x(x 3)+(2x +1)(5x 1)
1) (3
1)(2
Forenkla. (a) 6x4 2x2 (b) 12x5 4x (c) 25x4 15x3 (d) x2 x6 (e) x5 x5 (f) x3 x4 (g) 2x 4x2 (h) 8x3 y 3 2xy 2 (i) 6x2 y 3xy 2 (j) 3xy 2 6xy (k) 8y 3 z 2 8y 2 z 3 (l) x(2x + y ) x (m) 2x(y +3) y (y +3) (n) 4x2 (x 5) 2x(x 5) (o) 5x2 (y z ) 10x(y z ) (p) 12y 4 (y +3) 6y 3 (y +3) (q) x4 y 5 5x2 y 3 (r) 12x2 y (x + y ) 9xy 2 (x + y ) (s) (x + y )2 x + y (t) 6x3 (x + y ) 3x2 (x + y )2 (u) 18xy 2 (2x y )2 15xy 2 (2x y ) (v) 5x3 (x y )3 10x(x y )2 (x) 28x2 y 3 (x y )3 14x3 y 2 (x y ) c PatrikLundstromochStudentlitteratur 37 © För Fattaren och Studentlitteratur 37
(o)3xy (2xy
xy
xy +1)+ xy (xy 4) 2.25
2.26 F¨orenkla.
(a) x 4 · 8 x (b) x y 2 · y x (c) x
2.27
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
2
5
10
4
2
2 2
14
5
2 y · y
x (d)
x y · y
x (e)
x
3y · y
x (f) 10x 7y ·
y 3
x
2
2
y (i) y z 2x2
4
2 (y z )2
2
4
2
2
(k) 12yz (y + z )2
(y + z )3 24y 2 z
6
14
+1)2 (m) 15x2 y (y z ) 4x2 (y + z ) 8xy (y + z ) 5x(y z )2 (n) x 2
4
3
y
3 8x5 (2x + y )3 x(x 2y )2 (o) 2x2 (2x 3) 9x3 y 27x5 y 2 2x 3
(g) x + y x · x2 x + y (h) (x y )
y
· y x
·
x
(j)
x y
xy · 8x
y
x y
·
(l)
x2 (x +1)3 21y 3
y x(x
y
x
(2x +
)
Forenkla. (a) 5x y x 2y (b) 4x2 y 2 4x 3y (c) 14y 5z 2 7y 2 10z (d) 12x3 5y 8x2 3y 2 (e) 5x 18y 2 15x 6y 2 (f) 9x2 5y 2 9x2 6y 2 (g) x y y 2 x y 2y (h) y z 4x (y z )2 8x (i) (x y )2 5xy (x y )2 5x2 y (j) 6x2 y 2 x y 3x2 y 3 x y (k) (y z )3 x y (y z )2 x y (l) 4(x y ) 9y (x y )2 3y 2 (m) 6(x y )2 5(y z ) 9(x y ) (y z )2 (n) 12xy 2 5(x y )2 6y 2 x y 2.28 Utveckla. (a)(x +3)2 (b)(3x +1)2 (c)(2y +3)2 (d)(3x + y )2 (e)(x 5)2 (f)(2y 1)2 (g)(4z 3)2 (h)(5x y )2 (i)(x +4)(x 4)(j)(2x + y )(2x y ) (k)(3x 2y )(3x +2y )(l)(x +3y )2 (m)(4x 1)2 (n)(4y +3x)(3x 4y ) (o)(x +7y )2 (p)(5x 2y )2 (q)(2 3z )2 (r)(7x +2)2 (s)(4y +0.5)(4y 0.5)(t)(x +0.3)2 (u)(xy 1)2 (v)(x/2+3)(x/2 3) (x)(3x +0.1)(3x 0.1)(y)(2xy +3)2 (z)(xy 3z )2 2.29 Utvecklaochf¨orenkla. (a)(x+4)2 +(x+4)(x 4)(b)(x+3)2 (x+3)(x 3)(c)(2x+1)2 +(1 2x)2 (d)(x 4)2 (x +1)(x 1)+8x (e)(x 3)(x +3) (x +5)2 (f)(2x +3y )(2x 3y ) (2x +3y )2 +8xy 38 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 38
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (g)(x +2y )(x 2y )+5y (2x y )+(2x 3y )2 (h)(4x 3y )(4x +3y )+10xy (3x 2y )2 +(x +2y )2 (i)(2xy +5)2 (3xy 4)(4+3xy )+5x2 y 2
Utveckla. (a)(x +1)3 (b)(x 1)3 (c)(x +2)3 (d)(x 2)3 (e)(2x +1)3 (f)(2x 1)3 (g)(2x +5)3 (h)(2x 5)3 (i)(x/2+ y )3 (j)(x y/2)3 2.31 Faktoriseraf¨oljandeuttryckmedutbrytning. (a)3x +6y (b)4x +8y (c)4xy +4x (d)4xy +8y (e)4x +12xy (f)5z 2 +10z (g)9x2 +3x (h)2x2 8xy (i)7y 2 14y 3 (j)6x2 +6x (k)5x2 y +10xy 2 (l)3xy 2 +6x2 y (m)10y 2 z 10y (n)4xy +8x2 y (o)9x2 12x (p)7x2 14xy (q)3xy +6x2 y (r)15yz +10z 2 2.32 Faktoriseraf¨oljandeuttryckmedutbrytning. (a) x3 x2 (b)4x3 +2x (c)3z 3 9z 2 (d) x2 y 2xy (e)5x2 y +10xy (f) x3 y 4 + x2 y 3 (g)4x2 y 2 16x2 y (h)25xy 2 15x2 y (i)2x2 4x3 6x4 (j)3xy 2 +2x2 y x2 y 2 (k)12x3 y 9xy 15xy 2 (l)8x2 y 2 4x3 y +12x2 y 3 2.33 Faktoriseraf¨oljandeuttryckmedkonjugatregeln. (a) x2 25(b) x2 16(c) y 2 36(d) x2 9(e)9 x2 (f) x2 64 (g) x2 81(h) x2 y 2 (i) x2 4y 2 (j) x2 9y 2 (k)25x2 y 2 (l) x2 100y 2 (m)9x2 16y 2 (n)4x2 25y 2 (o) x2 0.16(p)4y 2 0.25z 2 (q) x2 y 2 y 2 z 2 (r) x2 0.01(s)9x2 0.25(t)4x2 y 2 z 2 (u)25x2 y 2 49z 2 2.34 Faktoriseraf¨oljandeuttryckmedkvadreringsreglerna. (a) x2 + y 2 +2xy (b) y 2 + z 2 2yz (c) x2 +4y 2 4xy (d)4x2 + y 2 4xy (e)4x2 + y 2 +4xy (f)4x2 +9y 2 12xy (g)16x2 + y 2 +8xy (h) x2 +9 6x (i)4x2 +25+20x (j)4x2 +25 20x (k)16x2 + y 2 8xy (l)9z 2 +1+6z (m)16x2 +9 24x (n)25y 2 +4+20y (o)9x2 +4y 2 12xy (p)9y 2 +25z 2 +30yz (q)16x2 +1 8x (r)36y 2 +60yz +25z 2 (s)4x2 +0.25y 2 2xy (t)64x2 +6.25+40x (u) x2 +1/16 x/2(v)4y 2 +1/9+4y/3(x)0.01x2 +0.04y 2 0.04xy c PatrikLundstromochStudentlitteratur 39 © För Fattaren och Studentlitteratur 39
2.30
2.35 F¨orenklagenomfaktoriseringochf¨orkortning.
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(a) xy + y y (b) 2xy +2x 2x (c) x2 xy x (d) 2xy +4x 2x (e) 2x2 4x x 2 (f) 3xy 6y 3(x 2) (g) x2 y + xy 2 x + y (h) 5x2 10x 15(x 2) (i) 3x 3x2 +6x (j) x y xy y 2 (k) 4xy +8y 2 2(x +2y ) (l) 3(x y ) x2 y 2 (m) x2 9y 2 x +3y (n) 2x y 4x2 y 2 (o) 9y 2 z 2 z (3y z ) (p) 4xy +4xz 8x2 (q) 7x2 14xy 14x3 (r) 2x2 4xy 2x2 +4xy (s) x2 y 2 x2 + y 2 2xy (t) x2 +4x +4 x2 +2x (u) x2 +9y 2 6xy xy 3y 2 (v) x2 6x +9 x2 9 (x) 4x2 +12xy +9y 2 2x2 y +3xy 2 (y) 12x3 y 4x2 y 2 24x2 y 2 8xy 3 (z) 20x 60x2 +45x3 14x 21x2 2.36 Skrivsomettbr˚ak. (a) x 3 + x +2 7 (b) 4x 1 4 3x +5 5 (c) x +1 2 + x +9 8 (d) x2 2x +1 6 x2 +4x +4 4 (e) x2 +6x +8 3 + x2 +5x +6 5 (f) x2 1 6 4x2 16 12 (g) x2 5x 24 8 + 8x2 +2x 3 12 (h) 3y 2 +17y +20 10 8y 2 2y 3 5 (i) y 2 1 4 y 2 4 5 y 2 9 10 (j) 2x2 +3x 9 2 3x2 +4x 4 3 + 4x2 +3x 1 8 (k) 2x2 + x +1 15 + 4x2 +8x +3 2 + 8x2 +14x +3 10 6x2 +11x +4 5 2.37 Skrivsomettbr˚ak. (a) 5 x + 3 2x (b) 5 2x 7 3x (c) 5 3x + 3 7y (d) 7 10x + 1 20y (e) 5 x + y 3 x (f) 1 x + y + 1 x y (g) 4 x 2 x + y (h) 3 x 1 + 2 x +1 (i) 2 x y 2 x + y 40 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 40
arfunktioner?
(a)(1, 1),(2, 1),(3, 1)(b)(1, 1),(1, 2),(1, 3)(c)(2, 4),(3, 9),(5, 25)
(d)(π, 0),(2π, √7),(1,π )(e)(5, 0),(1, 2),(1, 3)
(f)( 2, 4),(1, 8),( 2, 1)
(g)Allakoordinatpar(x,y )s˚adanaatt y = x2
(h)Allakoordinatpar(x,y )s˚adanaatt y 2 = x
2.40 Grafentillfunktionen f gesav:
Bestamommojligt:
(a)Lokalamaximipunkter(b)Lokalamaxima(c)Maximipunkter
(d)Maximum(e)Lokalaminimipunkter(f)Lokalaminima
(g)Minimipunkter(h)Minimum(i)Lokalaextrempunkter
(j)Lokalaextremv¨arden(k)Extrempunkter(l)Extremv¨arden
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (j) x x + y + y x y (k)3 2y x + y (l) 2x x y 1(m) x 1 x x x 1 (n) x x2 y 2 x + y (o) x x + y + x2 y 2 x(x + y ) (p) xy +3y 2 3xy + x y x 2.38 Ber¨akna. (a)13+ ∞ (b) 12+ ∞ (c)13 −∞ (d) 387 −∞ (e)100/∞ (f) π/∞ (g)50/(−∞)(h) √2/(−∞)(i)3 ·∞ (j)4 · (−∞) (k) ∞2 (l)( 3) ·∞ (m)( π ) · (−∞)(n) ∞ 3 (o)0.5∞ (p)0.3−∞ (q)1.5∞ (r)1.5−∞ (s)(−∞)4 (t)(−∞) 4/3 (u)(−∞) 3 (v)(−∞)7/5
2.39 Bestamdefinitionsmangdochvardemangdtillnedanst˚aenderelationer. Vilkaavrelationerna
x y
c PatrikLundstromochStudentlitteratur 41 © För Fattaren och Studentlitteratur 41
Best¨amvarfunktionen ¨ ar:
(m)Str¨angtv¨axande(n)V¨axande(o)Str¨angtavtagande
(p)Avtagande(q)V¨ansterkontinuerlig(r)H¨ogerkontinuerlig
(s)Kontinuerlig
2.41 Grafentillfunktionen f gesav:
y
Best¨amomm¨ojligt:
(a)Lokalamaximipunkter(b)Lokalamaxima(c)Maximipunkter
(d)Maximum(e)Lokalaminimipunkter(f)Lokalaminima
(g)Minimipunkter(h)Minimum(i)Lokalaextrempunkter
(j)Lokalaextremv¨arden(k)Extrempunkter(l)Extremv¨arden
Best¨amvarfunktionen ¨ ar:
(m)Str¨angtv¨axande(n)V¨axande(o)Str¨angtavtagande
(p)Avtagande(q)Vansterkontinuerlig(r)Hogerkontinuerlig
(s)Kontinuerlig
2.42 Grafentillfunktionen f gesav:
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x
x
42
42
y
c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur
Best¨amomm¨ojligt:
(a)Lokalamaximipunkter(b)Lokalamaxima(c)Maximipunkter
(d)Maximum(e)Lokalaminimipunkter(f)Lokalaminima
(g)Minimipunkter(h)Minimum(i)Lokalaextrempunkter
(j)Lokalaextremv¨arden(k)Extrempunkter(l)Extremv¨arden
Best¨amvarfunktionen ¨ ar:
(m)Strangtvaxande(n)Vaxande(o)Strangtavtagande
(p)Avtagande(q)V¨ansterkontinuerlig(r)H¨ogerkontinuerlig
(s)Kontinuerlig
2.43 L˚at f varaenkontinuerligfunktiondefinieradi[3, 9]medvardetabell:
(a)Motiveravarforfunktionenharminstfemolikanollstallen.
(b)Finnsdetetttal a s˚adantatt f (a)=11?
(c)Visaattdetfinnsminsttv˚aolikataliintervalletmedfunktionsvardet √47.
(d)Tillhortalet 9 3vardemangdentill f ?
2.16Svar
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
x 3 4 5 6 7 8 9 f (x) 2 5 1 7 2 10 3
2.1 (a)2 < 5(b)0 < 2(c)3 > 1(d) 4 < 2(e) 4 < 3(f) π> 3 (g) √7 < 3(h) √2 < 1(i) 3/5 < 1/2(j)( 2)2 > ( 2)3 2.2 (a)sann(b)sann(c)falsk(d)sann(e)falsk(f)sann(g)falsk (h)sann(i)falsk 2.3 (a) 3 2 < 3 < 0 < √5 < 22/7(b) √3 < 1 6 < 3/2 < √2 2.4 (a)2 <x< 4(b) 2 ≤ x< 4(c)1.2 <x< 4.7(d) 10 <x (e)2 ≤ x ≤ 16(f) x ≤−1 2.5 (a)(1, 2)(b)[ 4, 3)(c)(0 5, 6)(d)(−∞, 7)(e)[3, ∞)(f)[10, 11] (g)[13, 18)(h)(−∞, ∞) c PatrikLundstromochStudentlitteratur 43 © För Fattaren och Studentlitteratur 43
/7(m)30/13
2.11 (a)3/10(b)5/39(c)8(d)4(e) 4/9(f)7/2(g)33/20(h)33/56
2.12 (a)7/6(b)21/2(c)3/14(d) 8/7(e)20/21(f)40/9(g) 1/10
(h) 1/3(i) 3/5
2.13 (a)5/3(b)1(c) 1(d)2(e)3(f)1/8(g)37/20(h) 4/3
(i)23/20(j)2/5(k)13/6(l)29/21(m)11/9
2.14 (a) s =1/2, d =1/6, p =1/18, k =2
(b) s =23/20, d = 7/20, p =3/10, k =8/15
(c) s = 29/40, d =23/120, p =11/90, k =32/55
2.15 (a)125km(b)63km/h
2.16 (a)9(b)125(c)9(d)-125(e)0(f)1(g)1/9(h) 1/125(i)32
/32(k) 1000(l)9
(m)8(n)45(o)1024(p)800(q)243(r)1/25(s)64(t) 3
2.18 (a)5(b)9(c)7(d)12(e)0.6(f)0.1(g)10(h)0.2(i)1000
/2(k)5/7(l)0(m)0 3(n)0.8(o)0.5(p)1/10(q)0 06(r)0 09
(k) 9/16(l)1
2.20 (a)1(b) 8(c) 48(d) 4/3(e)68/9
2.21 (a)Ja(b)Nej(c)Ja(d)Ja(e)Nej(f)Ja(g)Nej(h)Ja
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP 2.6 (a)28(b)14(c)8(d)14(e) 2(f) 13(g)1(h)8(i) 2(j)4 (k)0(l)3(m) 6(n)0(o)8(p) 14(q) 8(r) 14(s) 2(t) 4 2.7 (a) 3(b) 12(c) 70(d)15(e) 16(f)6(g) 100(h) 24(i)0 2.8 (a) 4(b) 3(c) 5(d) 6(e)40(f) 1(g)0(h)0(i)2(j) 1 2.9 (a)23(b)35(c)19(d)49(e)8(f)20(g)24(h)7(i)10(j)5 (k)13(l)29(m)37(n)52(o)1(p)4(q)2 2.10 (a)7/2(b)5/4(c)7/5(d)8/3(e)3/2(f)5/4(g)5/4(h)4/3 (i)7/2(j)3/2(k)7/6(l)8
(j)1
(u)
2.17 (a)35 (b)210 (c)24 (d)3 2 (e) x6 (f) x12 (g) x 12 (h) x12 (i) x3 (j) x17 (k) x2 (l)
19
1(v)1
x
(j)1
6(f)27(g) 2(h)28(i)6(j) 1
2.19 (a)9(b)4(c)4(d)4(e)
44 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 44
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(a)2x 5(b)12x2 7x +9(c)19x 4(d)5x (e)4x +20 (f) 2 12x (g)27x2 +3x +7(h)2x2 7(i) 7x 4(j)12x 6x2 (k) 2z +21y +6x 9
(a)19x +8(b)8x +18(c)60x +4y 93(d)12x +58y +32z (e) 18x +41(f)6x +2y 12(g)43x +68(h)64x 41(i) 14x 7 (j)6x +18(k) 15x +12(l)3x +6(m) 10x +6y (n) 24x +16 (o)32 2x (p) 21x 52(q)8 2x (r)60x +24y 165(s)39x 31 2.24 (a)6x2 8x (b)16x 4x2 (c) 6xy 2 4y (d) 2x3 +4x2 y +3xy 2x (e) xy +2x 3y (f)2x2 +10xy +3y 2 +9y (g)4xy 8x +4y 8 (h)6xy 2 +5xy 24y 20(i) 7xy +7xz 8yz (j)4x3 +3x2 20x (k) 3x2 y +5xy 18x +7y (l)8x2 (m)6x 6(n)16x2 15x 1 (o) x2 y 2 8xy +1 2.25 (a)3x 2 (b)3x 4 (c) 5x 3 (d) 1 x4 (e)1(f) 1 x (g) 1 2x (h)4x 2 y (i) 2x y (j) y 2 (k) y z (l)2x + y (m) 2x y (n)2x (o) x 2 (p)2y (q) x2 y 2 5 (r) 4x 3y (s) x + y (t) 2x x + y (u) 6(2x y ) 5 (v) x2 (x y ) 2 (x) 2y (x y )2 x 2.26 (a)2(b) 1 y (c) xy (d) 1 2 (e) 2xy 3 (f)4y 2 (g) x (h) x y y (i) 2 y z (j)2x (k) (y + z ) 2y (l) 4x(x +1) y 2 (m) 6y 2 y z (n) 2x x 2y (o)6x 4 y 2.27 (a)10(b) 3x y (c) 4 yz (d) 9xy 10 (e) 1 9 (f) 6 5 (g) 2 y (h) 2 y z (i) x (j) 2 y (k) y z (l) 4y 3(x y ) (m) 2(x y )(y z ) 15 (n) 2x 5(x y ) 2.28 (a) x2 +6x +9(b)9x2 +6x +1(c)4y 2 +12y +9(d)9x2 +6xy + y 2 (e) x2 10x +25(f)4y 2 4y +1(g)16z 2 24z +9(h)25x2 10xy + y 2 (i) x2 16(j)4x2 y 2 (k)9x2 4y 2 (l) x2 +6xy +9y 2 (m)16x2 8x +1 (n)9x2 16y 2 (o) x2 +14y +49y 2 (p)25x2 20xy +4y 2 (q)9z 2 12z +4 c PatrikLundstromochStudentlitteratur 45 © För Fattaren och Studentlitteratur 45
2.22
2.23
y/2+3xy 2 /4 y 3 /8
2.31 (a)3(x +2y )(b)4(x +2y )(c)4x(y +1)(d)4y (x +2)(e)4x(1+3y )
(f)5z (z +2)(g)3x(3x +1)(h)2x(x 4y )(i)7y 2 (1 2y )(j)6x(x +1)
(k)5xy (x +2y )(l)3xy (y +2x)(m)10y (yz 1)(n)4xy (1+2x)
(o)3x(3x 4)(p)7x(x 2y )(q)3xy (1+2x)(r)5z (3y +2z )
2.32 (a) x2 (x 1)(b)2x(2x2 +1)(c)3z 2 (z 3)(d) xy (x 2)(e)5xy (x +2)
(f) x2 y 3 (xy +1)(g)4x2 y (y 4)(h)5xy (5y 3x)(i)2x2 (1 3x)(x +1)
(j) xy ( xy +2x +3y )(k)3xy (4x2 5y 3)(l)4x2 y ( x +3y 2 +2y )
2.33 (a)(x +5)(x 5)(b)(x +4)(x 4)(c)(y +6)(y
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP (r)49x2 +28x +4(s)16y 2 0 25(t) x2 +0 6x +0 09(u) x2 y 2 2xy +1 (v) x2 /4 9(x)9x2 0.01(y)4x2 y 2 +12xy +9(z) x2 y 2 6xyz +9z 2 2.29 (a)2x2 +8x (b)6x +18(c)8x2 +2(d)17(e) 10x 34 (f) 4xy 18y 2 (g)5x2 2xy (h)8x2 +26xy 9y 2 (i)20xy +41 2.30 (a) x3 +3x2 +3x +1(b) x3 3x2 +3x 1(c) x3 +6x2 +12x +8 (d) x3 6x2 +12x 8(e)8x3 +12x2 +6x +1(f)8x3 12x2 +6x 1 (g)8x3 +60x2 +150x +125(h)8x3 60x2 +150x 125 (i) x3 /8+3x2 y/4+3xy 2 /2+ y 3 (j) x3 3x2
6)(d)(x +3)(x 3) (e)(3+ x)(3 x)(f)(x +8)(x 8)(g)(x +9)(x 9)(h)(x + y )(x y ) (i)(x +2y )(x 2y )(j)(x +3y )(x 3y )(k)(5x + y )(5x y ) (l)(x +10y )(x 10y )(m)(3x +4y )(3x 4y )(n)(2x +5y )(2x 5y ) (o)(x +0 4)(x 0 4)(p)(2y +0 5z )(2y 0 5z )(q) y 2 (x + z )(x z ) (r)(x +0.1)(x 0.1)(s)(3x +0.5)(3x 0.5)(t)(2xy + z )(2xy z ) (u)(5xy +7z )(5xy 7z ) 2.34 (a)(x + y )2 (b)(y z )2 (c)(x 2y )2 (d)(2x y )2 (e)(2x + y )2 (f)(2x 3y )2 (g)(4x + y )2 (h)(x 3)2 (i)(2x +5)2 (j)(2x 5)2 (k)(4x y )2 (l)(3z +1)2 (m)(4x 3)2 (n)(5y +2)2 (o)(3x 2y )2 (p)(3y +5z )2 (q)(4x 1)2 (r)(6y +5z )2 (s)(2x 0.5y )2 (t)(8x +2.5)2 (u)(x 1/4)2 (v)(2y +1/3)2 (x)(0.1x 0.2y )2 46 c PatrikLundstromochStudentlitteratur © För Fattaren och Studentlitteratur 46
KAPITEL2.GRUNDBEGREPP
(f)
(g) xy (h)
3
1 x +2 (j) 1 y (k)2y (l) 3 x + y (m) x 3y (n) 1 2x + y (o) 3y + z z (p) y + z 2x (q) x 2y 2x2 (r) x 2y x +2y (s) x + y x y (t) x +2 x (u) x 3y y (v) x 3 x +3 (x) 2x +3y xy (y) x 2y (z) 10 15x 7 2.36 (a) 10x +6 21 (b) 8x 25 20 (c) 5x +13 8 (d) x2 16x 10 12 (e) 8x2 +45x +58 15 (f) 7 x2 6 (g) 19x2 11x 78 24 (h) 13y 2 +21y +26 10 (i) 29 y 2 20 (j) 12x2 +13x 79 24 (k) 26x2 +49x +16 15 2.37 (a) 13 2x (b) 1 6x (c) 9x +35y 21xy (d) x +14y 20xy (e) 2x 3y x(x + y ) (f) 2x x2 y 2 (g) 2x +4y x(x + y ) (h) 5x +1 x2 1 (i) 4y x2 y 2 (j) x2 + y 2 x2 y 2 (k) 3x + y x + y (l) x + y x y (m) 1 2x x(x 1) (n) y (o) 2x2 y 2 x(x + y ) (p) 4 3 2.38 (a) ∞ (b) ∞ (c) −∞ (d) −∞ (e)0(f)0(g)0(h)0(i) ∞ (j) −∞ (k) ∞ (l) −∞ (m) ∞ (n)0(o)0(p) ∞ (q) ∞ (r)0 (s) ∞ (t)0(u)0(v) −∞ c PatrikLundstromochStudentlitteratur 47 © För Fattaren och Studentlitteratur 47
2.35 (a) x +1(b) y +1(c) x y (d) y +2 (e)2x
y
x
(i)
Patrik Lundström är professor i matematik vid Högskolan
Väst och hans forskningsområde är icke-kommutativ algebra. Patrik har arbetat med forskning och undervisning i matematik på högskolenivå i mer än 25 års tid inom såväl ingenjörsutbildning som lärarutbildning.
Algebra, trigonometri och analys
I Algebra, trogonometri och analys presenteras det matematiska stoffet på ett kärnfullt och tillgängligt sätt. Varje nytt begrepp, samband eller resultat introduceras noggrant och förklaras genom åtskilliga lösta räkneexempel som kompletteras av fler liknande övningsuppgifter, som är samlade i slutet av varje kapitel. I boken finns fler än 1300 lösta räkneexempel samt knappt 4 000 liknande övningsuppgifter. Detta ger studenten mycket goda möjligheter att träna och befästa sina matematiska färdigheter.
Bokens framställning liknar föreläsningsanteckningar mer än en traditionell lärobok. Algebra, trogonometri och analys lämpar sig därför mycket väl för egenstudier, inte bara för traditionell undervisning, utan också för alternativa populära pedagogiska upplägg, som distansundervisning och flipped classroom. Bokens koncentrerade upplägg underlättar även för läraren vid planering av sin undervisning. För att lätta upp bokens framställning hålls teorin till ett minimum i den löpande texten, med betoning på intuitiva resonemang framför rigorösa bevis. För kurser med mer fokus på matematisk teori samt för studenter som är särskilt teoretiskt intresserade, har ett ingående teoriavsnitt samlats i bokens sista kapitel.
Algebra, trigonometri och analys riktar sig till studenter som påbörjat en matematikintensiv utbildning på högskola eller universitet. Boken är utformad för att dels vara en naturlig överbryggning mellan gymnasiet och högskolan, dels tillhandahålla en stadig grund för vidare matematiska studier.
Art.nr 46009
studentlitteratur.se
