9789144165646

BETONGBetongkonstruktion A SA A D A L MS SA D

KONSTRUKTION Tredje upplagan

ASAAD ALMSSAD

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39041 ISBN 978-91-44-16564-6 Upplaga 3:1 © Författaren och Studentlitteratur 2015, 2022 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Sakgranskning: Annika Moström Jenny Andersson Göran Lindberg Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock/Gabin Yury Printed by GraphyCems, Spain 2022

INNEHÅLL

INNEHÅLL

FÖRORD 7 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2

INLEDNING 9 Hållbarhet och miljöaspekter hos betong 10 Krav på bärande konstruktioner 12 Bärförmåga 12 Stadga 13 Beständighet 13 Osäkerheter vid dimensionering 13 Partialkoefficientmetoden 14 Laster 14 Variation i tiden 15 Variation i rummet 15 Gränstillstånd 16 Lastkombinationer 19

MATERIALEGENSKAPER OCH MATERIALMODELLER 23 Betong 23 Betongens tryckhållfasthet 23 Betongens draghållfasthet 26 Betongens respons vid tryck- och dragbelastning 29 Effekt av långtidslast, krypning 32 Effekt av uttorkningskrympning 39 Armeringsstål 42 Klassificering av armeringsstål enligt EC2 43 Varmvalsat stål 44 Kallbearbetat stål 45 Samverkan mellan armering och betong 48 Olika typer av armering 49 Vidhäftning 50

© r Ffatta er atu Fö ÖR A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud U D Ee N ntlitt TLITTER AT UR r ©F

33

In Nn NeEh Hå ÅlLlL

2.3.3 Täckande betongskikt 51 2.3.4 Tvärsnittsrespons 58

3 BALKAR 65 3.1 Dimensionering för böjande moment 65 3.1.1 Tvärsnittsrespons vid armerat tvärsnitt i en balkdel utsatt för böjning 66 3.2 Brottyper och sprickbilder för fritt upplagd balk belastad med transversal last 66 3.2.1 Inverkan av armeringsmängden 66 3.3 Beräkning av böjda tvärsnitt 69 3.3.1 Rektangulärt enkelarmerat tvärsnitt 69 3.3.2 Dimensionslösa storheter 88 3.3.3 Rektangulärt dubbelarmerat tvärsnitt 97 3.3.4 Flänsförsedda tvärsnitt 118 3.3.5 Dimensionering för böjande moment med normalkraft 131 3.3.6 Interaktion normalkraft – moment (interaktionsdiagram) 145 4

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5

44

DIMENSIONERING AV ARMERAD BETONGBALK FÖR TVÄRKRAFT 157 Inledning 157 Effekt av skjuvning på armerad betongbalk 158 Tvärkraftskapacitet hos snedsprucken konstruktionsdel utan tvärkraftsarmering 160 Olika typer av tvärkraftsbrott 162 Huvudspänningar i homogent isotropiskt material 163 Dimensionering av tvärkraftsbelastad betongbalk utan tvärkraftsarmering 165 Beräkningsprinciper för krossning av sned trycksträva (livtryckbrott) 165 Beräkningsprinciper för skjuvglidning i sneda skjuvsprickor (skjuvglidbrott) 167 Konstruktion med tvärkraftsarmering 176 Fackverksteori enligt EC2 176 Skjuvglidning i sned skjuvspricka (skjuvglidbrott, dragkraftskapacitet) 178 Krossning av sned trycksträva (livtryckbrott) 181 Armering för punktlaster nära upplag 182 Minsta mängd tvärkraftsarmering för vertikala byglar 184

©©F ö r Aatu F ÖrRfatta F A T T ArReNnA och O C H SStud TUDe E ntlitt N T L I T T Ee R T U Rr

nN nEe H hÅ å LlLl IIN

5

5.2.2 5.3 5.3.1

FÖRANKRING, AVSLUTNING OCH SKARVNING AV ARMERING 199 Vidhäftning och förankring 199 Bestämning av förankringslängd och vidhäftningshållfasthet 202 Bestämning av förankringslängd 202 Dimensionerande förankringslängd 205 Värden på dimensionerande täckskikt (cd) för balkar och plattor 207 Förankringsmetoder 207 Skarvning av armering 210 Avkortning vid stöd 213

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.4 6.4.1 6.5 6.5.1 6.6

Olika typer av pelare 217 Avstyvande och icke-avstyvande pelare 217 Oslanka pelare (korta pelare) 219 Slanka pelare 220 Första och andra ordningens moment 220 Samband mellan knäcklängd (effektiv längd) och teoretisk knäcklast 223 Beräkning av första ordningens moment 224 Hänsyn till imperfektioner 224 Antagande om snedställning enligt EC2 225 Excentricitet på grund av formfel hos konstruktionsdel 227 Minsta excentricitet hos normalkraft 228 Bedömning av slankhet λ 229 Slankhetsgränser 230 Beräkningsmetod baserad på nominell styvhet enligt EC2 232 Förstorningsfaktor för moment 233 Krav på minimiarmering 235

5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1

7 7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.2 7.2.1

PELARE OCH VÄGGAR 217

DIMENSIONERING I BRUKSGRÄNSTILLSTÅND 263 Begränsning av spänningar enligt EC2 264 Beräkningsprinciper för tvärsnittsanalys i bruksstadiet 265 Ekvivalent betongtvärsnitt 265 Beräkning av påkänningar i stadium I 267 Beräkning av påkänningar i stadium II 273 Begränsning av deformationer 278 Begränsning av deformationer enligt EC2 279

© r Ffatta er atu Fö ÖR A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud U D Ee N ntlitt TLITTER AT UR r ©F

55

In Nn NeEh Hå ÅlLlL

7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.3.6 7.3.7

8 8.1 8.2 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 9 9.1 9.2 9.2.1 9.2.2

Beräkning av böjdeformationer 281 Deformation på grund av krympning 291 Begränsning av sprickbildning 293 Sprickor på grund av tvångskrafter 293 Sprickor på grund av yttre last 294 Begränsning av sprickbredd 294 Beräkning av sprickavstånd enligt EC2 294 Beräkning av sprickbredd (wk) enligt EC2 297 Minimiarmering för sprickfördelning 297 Sprickbreddsbegränsning utan direkt beräkning 298

BETONGPLATTOR 307

Plattor som bär i en riktning 308 Plattor som bär i två riktningar 309 Beräkningsmetoder 310 Elasticitetsteori 310 Gränslastteori 314 Tabellmetoden 324

GENOMSTANSNING AV PLATTOR 357

Lastfördelning och grundkontrollsnitt 359 Beräkning av stansning 361 Skjuvspänning vid genomstansning 362 Genomstansningslast eller bärförmåga utan stansarmering (analys) 364 9.2.3 Genomstansningslast eller bärförmåga med skjuvarmering 371

BILAGA A 379 BILAGA B 384

BILAGA C BEGREPPSFÖRKLARINGAR 401 BILAGA D SVENSK–ENGELSKT MINILEXIKON 409 BILAGA E TABELLER FÖR STANDARDMETOD 417 BILAGA F BETECKNINGAR BASERADE PÅ ISO 3898:1 987 419 ÖVNINGSTAL DEL 1 425 ÖVNINGSTAL DEL 2 449 REFERENSER 467

66

©©F ö r Aatu F ÖrRfatta F A T T ArReNnA och O C H SStud TUDe E ntlitt N T L I T T Ee R T U Rr

3 BALKAR

3 Balkar 3.1 Dimensionering för böjande moment

Vid dimensionering av armerad betong är samverkan mellan armering och betong av avgörande betydelse. Kombinationen av två skilda material med väsentligt olika materialegenskaper medför givetvis en del komplikationer. Beräkningsmetoderna grundar sig därför i hög grad på empiriska prov.

Väsentliga krav som ska tillgodoses vid dimensionering av en betongkonstruktion: 1. Brottssäkerheten ska vara betryggande.

2. Skadlig sprickbildning får inte uppkomma i bruksgränstillstånd.

3. Besvärande deformationer får inte uppkomma i bruksgränstillstånd.

Figur 3.1 Exempel på områden i en konstruktion där beräkningsmetoden för böjning kan tillämpas.

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

65 65

33 B BA a Ll K k AaRr

3.1.1 TVÄRSNITTSRESPONS VID ARMERAT TVÄRSNITT I EN BALKDEL UTSATT FÖR BÖJNING Kravet på brottssäkerhet är en självklarhet i varje konstruktion. En begränsning av betongens sprickbredd är nödvändig i första hand när armeringen riskerar att utsättas för korrosion, men är även motiverad ur estetisk synvinkel. Stora nedböjningar hos en bärande konstruktion, till exempel en balk eller platta, kan ge upphov till störande sprickor.

Uppkomsten av sprickor medför en kraftig minskning av konstruktionens styvhet. Detta måste beaktas vid deformationsberäkningar. Den genom sprickbildning ändrade styvhetsfördelningen ger i en statiskt obestämd konstruktion en annan fördelning av snittkrafter än den som erhålls vid beräkning för en osprucken sektion.

3.2 Brottyper och sprickbilder för fritt upplagd balk belastad med transversal last 3.2.1 INVERKAN AV ARMERINGSMÄNGDEN

Figur 3.2 illustrerar brottstadiet för tre balkar med samma tvärsnitt, men med olika stor armeringsmängd As. För samtliga balkar gäller att betongens brottstukning är konstant och lika med εcu. Ståltöjningen vid brott kan därför beräknas ur uttrycket 𝜀𝜀1 =

"©◊ ◊

𝜀𝜀H2

(3.1)

För en balk med låg armeringsprocent gäller att dragresultant och tryckresultant är små (fall 1, figur 3.2). Detta betyder en liten tryckzon %¥ÿ och därmed att töjningen i armeringen εs överstiger värdet 𝜀𝜀1 = ï där ∑

Es = stålets elasticitetsmodul. En sådan balk kallas normalarmerad eller underarmerad balk.

Om armeringsmängden ökar kommer samtidigt drag- och tryckresultanterna att öka. Neutrala lagret NL vandrar då nedåt i tvärsnittet.

Värdet på x/d ökar och armeringstöjningen minskar. Vid en viss armeringsprocent uppnås ett gränsvärde, som kännetecknas av att sträckgräns uppnås i dragarmeringen samtidigt som brottsstukning uppnås vid tryckt kant i betongen (fall 2, figur 3.2). En balk med denna armeringsprocent benämns balanserad armering. Ökas armeringsmängden ytterligare uppnår stålet inte sträckgränsen innan betongen brottsstukas (fall 3, figur 3.2). Brottet känne-

66 66

©©F FöÖrRfatta eN ntlitt F A T T ArReNnA och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr

33 B BA a Ll K k AaRr

tecknas alltså av primärt stukbrott i betongen. Denna typ av balk kallas överarmerad balk.

Figur 3.2 Töjning och spänningsfördelning över betongtvärsnitt vid tre olika armeringsmängder.

3.2.1.1 Normalarmerat tvärsnitt och tvärsnitt med balanserad armering

Figur 3.3 Töjning, spänningsfördelning och brottbild för normalarmerat tvärsnitt och tvärsnitt med balanserad armering.

Med normalarmerat tvärsnitt avses enligt ovan ett tvärsnitt där sträckgränsen σs uppnås i dragarmeringen innan brottstukning εc uppnås i betongen, och där armeringsmängden i tvärsnittet är relativt liten.

Vid ökning av momentet genomgår ett sådant tvärsnitt olika skeden: 1. Töjningen i armeringen εs uppnår värdet 𝜀𝜀1 =

%¥ÿ ï∑

.

Betongstukningen εc är mindre än brottstukningen εcu.

2. Vid ökning av momentet ökar εs och εc tills dess att εc uppnår εcu.

Armeringsspänningen σs är konstant = fy under detta stadium. © FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

67 67

33 B BA a Ll K k AaRr

Dragresultanten är då konstant och därmed måste även tryckresultanten Fc vara konstant. En ökning av momentet kan ske genom att den inre hävarmen 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽 ökar, dvs. det neutrala lagret förskjuts uppåt.

3. Vid en mycket liten armeringsmängd kan töjningen i armeringen uppnå plasticeringstöjning innan betongen uppnår stukning εcu.

Brottet blir segt eftersom det inleds med att stålet flyter vilket ger balken ett plastiskt beteende. Stora plastiska deformationer ger förvarning innan brott inträffar.

Med balanserad armering avses enligt ovan den armeringsprocent, för vilken sträckgräns uppnås i dragarmeringen samtidigt som brottstukning uppnås vid tryckkanten.

Här antas att armeringen flyter, dvs. 𝜀𝜀1 ≥ 𝜀𝜀1Æ"

(3.2)

𝜎𝜎1 ≥ 𝑓𝑓Æ"

(3.3)

och

3.2.1.2 Överarmerat tvärsnitt

Överarmerat tvärsnitt innebär att ståltöjningen är lägre än flyttöjningen i brottgränstillståndet, och att tryckbrott inträffar i betongen innan armeringen flyter. Ett stort antal sprickor med liten bredd uppstår, även kallat betongkrossbrott. Tryckbrottet har stor utbredning, se figur 3.4. Ståltöjningen är lägre än flyttöjningen i brottgränsen, varför stålets hållfasthet inte utnyttjas fullt ut.

Vid överbelastning sker brott utan förvarning eftersom stålet inte flyter. Böjbrottet blir sprött och kan vara mycket explosivt. Vi kan därför inte förvänta oss en omfördelning av krafter och moment i statiskt obestämda konstruktioner, som vi kan vid underarmerat och normalarmerat tvärsnitt. Att överarmera en betongkonstruktion är därför oekonomiskt.

Figur 3.4 Töjning–spänningsfördelning och brottbild för överarmerat tvärsnitt.

68 68

©©F FöÖrRfatta eN ntlitt F A T T ArReNnA och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr

33 B BA a Ll K k AaRr

Antag en idealiserad arbetskurva, så att armeringen förblir elastik, d.v.s., vilket ger

𝜀𝜀1 < 𝜀𝜀1Æ"

(3.4)

𝜎𝜎1 < 𝑓𝑓Æ"

(3.5)

𝜎𝜎1 = 𝐸𝐸1 ∙ 𝜀𝜀1

(3.6)

och

där

3.3 Beräkning av böjda tvärsnitt

3.3.1 REKTANGULÄRT ENKELARMERAT TVÄRSNITT När betongens brottsstukning uppnås är tvärsnittet på gränsen till brott dvs. tvärsnittet har nått brottgränstillståndet. Brottgränstillståndet vid böjning är ett specialfall av stadium III. Beräkningarna enligt EC2, 6.1(2)(P) bygger på följande förutsättningar: • vidhäftning mellan armering och betong är fullgod upp till brott • Bernoullis hypotes om plan töjningsfördelning gäller • spännings- och töjningsegenskaper enligt EC2, 3.1.7 gäller • betongstukning εc kan ej överstiga värdet av εcu • betongens draghållfasthet försummas.

Figur 3.5 visar ett element av en enkelarmerad betongbalk med rektangulärt tvärsnitt. Elementet har bredden b och höjden h.

Armeringen, med total tvärsnitt As, är placerad i ett lager med tyngdpunkten på avståndet d från överkanten. Elementet är utsatt av ett rent böjmoment MEd som representerar lasteffekten. Vid böjning erhålls en tryckzon med höjden x.

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

69 69

33 B BA a Ll K k AaRr

Figur 3.5 Beräkningsmodell, momentkapacitet.

Tvärsnittets kapacitet för böjning behöver definieras när brottet inträffar, dvs. ett brottkriterium ska väljas.

Brottkriterier (när betongens brottsstukning uppnås) när betongens tryckbrottsstukning uppnås är tvärsnittet på gränsen till brott, vilket innebär att 𝜀𝜀H = 𝜀𝜀H2 , εcu2 eller εcu3 beroende på det spännings–töjnings-samband som väljs enligt EC2, figur 2.5 och 2.6.

• brott i armeringen nås då 𝜀𝜀H1 = 𝜀𝜀2" .

•

Enligt figur 3.5 varierar töjningen linjärt i tryckzonen från εc = 0 vid neutrala lagret till 𝜀𝜀H = 𝜀𝜀H2 vid balktvärsnittets överkant.

Enligt beräkningsförutsättningen ska spännings- och töjningsegenskaper i EC2, figur 3.5 och 3.6, användas. Det ger oss möjlighet att beräkna storlek och angreppspunkt för tryckresultanten Fc, uttryckt i tryckzonshöjden x. σc ges som funktion av εc. Tryckzonhöjden infört i uttrycket för σc vid den absoluta storleken y, se figur 3.5. εc = εcu motsvarar y = x, varför sambandet mellan εc och y kan uttryckas som

𝜀𝜀H =

70 70

yz⁄ ◊

∙ 𝑦𝑦

(3.7) ©©F FöÖrRfatta eN ntlitt F A T T ArReNnA och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr

33 B BA a Ll K k AaRr

Tryckresultanten (dimensionerande värde) kan beräknas enligt 𝐹𝐹H = ∫’

îz

fi ∂z

𝑑𝑑𝐴𝐴›

(3.8)

där AT är tryckzonsarean.

För det rektangulära tvärsnittet är d AT = b·dy, varför ekvation 3.6 kan skrivas som 𝐹𝐹H =

¿ ◊ ∫ 𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∂z < H

Tryckresultantens angreppspunkt kan i allmänhet ha î

𝐹𝐹H ∙ 𝑦𝑦› = ∫’ z ∙ 𝑦𝑦𝑦𝑦𝐴𝐴› fi∂ z

(3.9)

(3.10)

där yT är avståndet från neutrallagret (N.L.) till tryckresultantens angreppspunkt.

För det rektangulära tvärsnittet kan ekvation 3.10 skrivas som

𝐹𝐹H ∙ 𝑦𝑦› =

¿ ◊ ∫ 𝜎𝜎 ∂z < H

∙ 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦

(3.11)

Värdet på Fc och yT kan beräknas genom att utföra integraler i ekvation 3.9 och 3.10.

Ett förenklat betraktelsesätt kan tillämpas för rektangulära tvärsnitt, vilket ger samma beräkningsresultat. I EC2, 3.1.7(3) används den rektangulära spänningsfördelning som visas i figur 3.6, där faktorn λ definierar den effektiva höjden till tryckzonen och faktorn η definierar den effektiva tryckhållfastheten.

För betongens hållfastheterklasser (fck) ≤ 50 MPa (C50/60) gäller λ = 0,8

η = 1,0

För betongs hållfasthetsklasser (fck) ˃ 50 MPa mer än C50/60 gäller λ = 0,8 −

η = 1,0 −

𝑓𝑓H' − 50 400

𝑓𝑓H' − 50 200

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

71 71

39041_Almssad.docx, senast sparat 2020-02-26 16:21 39041_Almssad.docx, senast sparat 2020-02-26 16:21

33 B BA a Ll K k AaRr 3 BALKAR 3 BALKAR

Tabell 3.1 Faktorerna λ och η beskriver det förenklade rektangulära tryckblocket enligt figur 3.6.

Tabell 3.1 Faktorerna λ och η beskriver det förenklade rektangulära C12/15 tryckblocket enligt figur 3.6. η beskriver Tabell 3.1 TILL Faktorerna λ och C55/67 C60/75det förenklade C70/85 rektangulära C85/95 C90/105 tryckblocket enligt figur 3.6.

C50/60 C12/15 0,8 0,788 0,775 0,750 0,725 0,700 λ C12/15 TILL C55/67 C60/75 C70/85 C85/95 C90/105 1,0 0,975 momentkapacitet.

0,950 0,900 0,850 0,800 TILL C55/67 C60/75 C70/85 C85/95 C90/105 η 3.5C50/60 Figur Beräkningsmodell, C50/60 0,8 0,788 0,775 0,750 0,725 0,700 λ η · fcd fcd 0,8 0,788 0,775 0,750 0,725 0,700 λ 1,0 0,975 0,950 0,900 0,850 0,800 η

Tvärsnittets kapacitet för böjning behöver definieras när brottet 1,0 0,975 Fc 0,950 0,900 0,850 0,800Fc η inträffar, dvs. ett brottkriterium ska väljas.

0,8x d x M Ed Brottkriterier (när betongens brottsstukning uppnås) λx

d – 0,4x

när betongens tryckbrottsstukning uppnås är tvärsnittet på gränsen Fs Fs 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 , ε till brott, vilket innebär att cu2 eller εcu3 beroende på det H H2 Neutrala lagret Neutrala lagret spännings–töjnings-samband som väljs enligt EC2, figur 2.5 och 2.6. ηfcd fcd • brott i armeringen nås då 𝜀𝜀H1εcu= 𝜀𝜀2" .

•

F

0,5λx

c Tryckxy från εc = 0 vid Enligt figur 3.5 varierar töjningen linjärt i tryckzonen x zon y neutrala lagret till 𝜀𝜀H = 𝜀𝜀H2 vid balktvärsnittets överkant.

MEd Enligt ska spännings- och töjningsDragz h dberäkningsförutsättningen zon figur 3.5 och 3.6, användas. Det ger oss möjlighet att egenskaper i EC2, A Figur 3.6 Beräkningsförutsättningar vid noggrann respektive förenklad metod Fs FF beräkna storlek soch angreppspunkt för tryckresultanten s c, uttryckt i för rektangulärt tvärsnitt. c εs tryckzonshöjden x.

Töjningar Spänningar b Figurσc3.6 vid noggrann respektive metod gesBeräkningsförutsättningar som funktion av εc. Tryckzonhöjden infört iförenklad uttrycket för σc för rektangulärt tvärsnitt.

Figur 3.6 Beräkningsförutsättningar vid noggrann respektive förenklad Tryckresultanten från ekvation för3.5. rektangulärt spänningsblock blir y = x,metod varför vid den absoluta storleken y, se3.9 figur εc = εcu motsvarar

för rektangulärt tvärsnitt.

72 72 70 72

sambandet mellan εc och y kan uttryckas som 𝐹𝐹H = λx ∙ η𝑓𝑓H" ∙ b (3.12) Tryckresultanten från ekvation 3.9 för rektangulärt spänningsblock blir Tryckresultanten från ekvation 3.9 för rektangulärt spänningsblock blir Inre hävarmen Z beräknas som 𝐹𝐹 (3.12) H = λx ∙ η𝑓𝑓H" ∙ b 𝐹𝐹H = λx ∙ η𝑓𝑓H" ∙ b (3.12) z = d − 0,5λx = d − 0,4x (3.13) Inre hävarmen Z beräknas som Inre hävarmen Z beräknas som då zTryckresultanten = d − 0,5λx = dblir − 0,4x (3.13) z = d − 0,5λx = d − 0,4x (3.13) 𝐹𝐹H = 0,8x ∙ 1,0𝑓𝑓H" ∙ b (3.14) Tryckresultanten blir då Tryckresultanten blir då Momentet inre ∙krafter uttrycker dimensionerande momentkapacitet 1,0𝑓𝑓 (3.14) 𝐹𝐹H = 0,8x ∙ av H" b M R 𝐹𝐹H = 0,8x ∙ 1,0𝑓𝑓H" ∙ b (3.14) Momentet av inre krafter uttrycker dimensionerande momentkapacitet 𝑀𝑀 = 𝐹𝐹H ∙ av z inre krafter uttrycker dimensionerande momentkapacitet (3.15) Momentet M¨" R MR yz⁄ 𝜀𝜀Insatt = ∙ 𝑦𝑦 (3.7) 𝑀𝑀H¨" =◊för 𝐹𝐹H F∙ czoch z från ekvation 3.13 och 3.14 ges momentkapaciteten (3.15) 𝑀𝑀¨" = 𝐹𝐹H ∙ z (3.15) Insatt för Fc och z från ekvation 3.13 och 3.14 ges momentkapaciteten ©©F Fö3.14 eN ntlitt ÖrRfatta F A Tges T ArReNn A och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr Insatt för Fc och z från ekvation 3.13 och momentkapaciteten ©FÖR FATTARNA OC H STUDEN TLITTERA TUR ©FÖR FATTARNA OC H STUDEN TLITTERA TUR

MEd

Momentet av inre krafter uttrycker dimensionerande momentkapacitet MR

𝑀𝑀¨" = 𝐹𝐹H ∙ z

(3.15)

Insatt Fc och z från ekvation 3.13 och 3.14 ges momentkapaciteten 𝑀𝑀¨" =för 0,8x ∙ 1,0𝑓𝑓 (3.16) H" ∙ b(d − 0,4x)

33 B BA a Ll K k AaRr 3 BALKAR

𝑀𝑀 = 0,8x ∙ 1,0𝑓𝑓H" ∙ b(d − 0,4x)kan därmed dragresultanten (3.16) För överarmerat tvärsnitt Fs vid ¨" ett ©FÖR FATTARNA OC H STUDEN TLITTERA TUR armeringstöjningen uttryckas som För ett överarmerat tvärsnitt kan därmed dragresultanten Fs vid 𝐹𝐹1 = 𝜎𝜎1 ∙ A1 = 𝐸𝐸1 ∙ 𝜀𝜀1uttryckas ∙ 𝐴𝐴1 (3.17) armeringstöjningen som 𝜎𝜎1 ∙balanserat A1 = 𝐸𝐸1 ∙ 𝜀𝜀1respektive ∙ 𝐴𝐴1 (3.17) 𝐹𝐹 För underarmerat tvärsnitt blir dragresul1 = ett tanten Fs vid armeringstöjningen enligt följande: För ett balanserat respektive underarmerat tvärsnitt blir dragresul„¥µ tanten Fs∙ vid armeringstöjningen enligt följande: 𝐹𝐹 A1 = 𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1 (3.18) 1 = ∂∑

„¥µ

𝐹𝐹1 = ∙ A1 = 𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1 ∂∑ Överarmerat 3.3.1.1 tvärsnitt (εs ˂ εsy)

(3.18)

Antagandet om rätlinjig töjningsfördelning och fullständig samverkan 3.3.1.1 Överarmerat tvärsnitt (εs ˂ εsy) mellan armeringsstål och omgivande betong (Naviers hypotes) ger oss Antagandet ombetongens rätlinjig töjningsfördelning funktionen för kantstukning enligtoch fullständig samverkan mellan armeringsstål och omgivande betong (Naviers hypotes) ger oss funktionen för betongens kantstukning enligt

𝜀𝜀1 =

"©◊ ◊

"©◊

∙ 𝜀𝜀H2

𝜀𝜀Insatt ∙ 𝜀𝜀 i ekvation 3.17 fås dragresultanten 1 = för ◊ εs H2 Insatt för"©◊ ε i ekvation 3.17 fås dragresultanten 𝐹𝐹 1 = 𝐸𝐸1 ∙ ◊s ∙ 𝜀𝜀H2 ∙ 𝐴𝐴1 "©◊

(3.19) (3.19)

(3.20)

𝐹𝐹 ∙ 𝜀𝜀H2 ∙ 𝐴𝐴1 jämvikt enligt figur 3.5 innebär att tryck(3.20) 1 = 𝐸𝐸1 ∙ om Villkoret och ◊ horisontell dragresultanterna måste vara lika stora, dvs.

Villkoret om horisontell jämvikt enligt figur 3.5 innebär att tryck- och 𝐹𝐹 dragresultanterna måste vara lika stora, dvs.

H − 𝐹𝐹1 = 0 𝐹𝐹H − 𝐹𝐹1 = 0

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

73 73 73

33 B BA a Ll K k AaRr

Från ekvation 3.20 och 3.14 erhålls

0,8x ∙ 𝑓𝑓H" ∙ b − 𝐸𝐸1 ∙

"©◊ ◊

∙ 𝜀𝜀H2 ∙ 𝐴𝐴1 = 0

(3.21)

3.3.1.2 Balanserad armering och underarmerat tvärsnitt (εs ≥ εsy) För horisontell jämvikt gäller 𝐹𝐹H − 𝐹𝐹1 = 0

Inför utrycken på 𝐹𝐹H och 𝐹𝐹1 fås 0,8x ∙ 𝑓𝑓H" ∙ b − 𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1 = 0

(3.22)

%¥ÿ ‰ ï∑ yz⁄

(3.23)

Likformiga trianglar enligt figur nedan ger

=

"©◊ ◊

Neutrallagrets läge xbal för fallet balanserad armering ges därmed av 𝑥𝑥¿®k =

yz⁄ ï∑ "

(3.24)

%¥ÿ öyz⁄ ï∑

Om armeringsmängden i tvärsnittet motsvarar balanserad armering eller underarmering så att armeringen uppnår flyttöjning samtidigt som betongen når brottgränsen, erhålls horisontell projektionsjämvikt Fs från ekvation 3.12, med Fs från ekvation 3.18 0,8x¿®k ∙ 𝑓𝑓H" ∙ b − 𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1,¿®k = 0 eller

%

𝐴𝐴1,¿®k = 0,8𝑥𝑥¿®k ∙ 𝑏𝑏 % zÿ

¥ÿ

74 74

(3.25) ©©F FöÖrRfatta eN ntlitt F A T T ArReNnA och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr

33 B BA a Ll K k AaRr

EXEMPEL 3.1 Beräkna momentkapaciteten i brottgränstillstånd för det enkelarmemomentkapaciteten i brottgränstillstånd för det rade rektangulära balktvärsnittet nedan. enkelarmerade rektangulära balktvärsnittet nedan.

Betong C25/30; dragarmering ϕ20 B500BT; Es = 200 GPa. Betong C25/30; dragarmering ϕ20 K500-CT; Es = 200 GPa.

LÖSNING Materialegenskaper Betong C25/30 Dragarmering ϕ20B500BT K500-CT Dragarmering ϕ20

(fcd = 16,7 MPa) (fyd = 435 MPa)

𝐴𝐴1 = 3∅20 = 3 ∙ 314 = 942 mm= εÊÁ =

fÁË 435 ∙ 10™ = = 2,175 ∙ 10©U EÊ 200 ∙ 10g

Antag att armeringen flyter

εÊ ≥ εÊÁ ⇒ σÊ = fÁË

Balanserat armeringstvärsnitt bestäms

𝑥𝑥¿®k =

𝜀𝜀H2 𝐸𝐸1 𝑑𝑑 3,5 ∙ 10©U ∙ 200. 10g ∙ 0,365 = = 0,225 𝑚𝑚 𝑓𝑓Æ" + 𝜀𝜀H2 𝐸𝐸1 435 ∙ 10™ + 3,5 ∙ 10©U ∙ 200 ∙ 10g

𝐴𝐴1,¿®k = 0,8𝑥𝑥¿®k ∙ 𝑏𝑏

16,7 𝑓𝑓H" = 0,8 ∙ 0,225 ∙ 0,25 = 1 728 𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝑓𝑓Æ" 435

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

75 75

33 B BA a Ll K k AaRr

dvs. 𝐴𝐴1 < 𝐴𝐴1,¿®k vilket innebär att tvärsnittet är underarmerat.

Horisontell jämviktsekvation

𝐹𝐹H − 𝐹𝐹1 = 0

Ekvation 3.21 ger

0,8x ∙ 𝑓𝑓H" ∙ b − 𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1 = 0

𝑥𝑥 =

𝑓𝑓Æ" ∙ 𝐴𝐴1 435 ∙ 3 ∙ 314 ∙ 10©™ = = 0,123 𝑚𝑚 𝑓𝑓H" ∙ 𝑏𝑏 ∙ 0,8 16,7 ∙ 0,25 ∙ 0,8

Töjningskontroll εs=

Ë ©Ï Ï

εÌÓ =

<,U™h©<,:=U <,:=U

∙ 3,5 ∙ 10©U = 6,88 ∙ 10©U > εÊÁ = 2,17 ∙ 10©U

Momentekvation kring dragkraftresultanten Fs

MË = 0,8x ∙ fÌË ∙ b(d − 0,4x)

MË = 0,8 ∙ 0,123 ∙ 16,7 ∙ 10™ ∙ 0,25(0,365 − 0,4 ∙ 0,123) = 129,7 kNm

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆: MË = 129,7 kNm

3.3.1.3 Dimensionering av tvärsnitt Om man vill att betongtryckzonen ska vara fullt utnyttjad i brottgränstillståndet, bör det yttre dimensionerande böjmomentet, lasteffekten MEd, vara lika med dimensionerande momentkapacitet för betongens tryckzon MRd.

𝑀𝑀¨" = 𝑀𝑀ï"

Beräkningsmetod: 1. Välj b, d

2. Beräkna x ur momentekvationen

𝑀𝑀ï" = FH ∙ z = 𝑓𝑓H" ∙ b ∙ 0,8x(d − 0,4x)

76 76

©©F FöÖrRfatta eN ntlitt F A T T ArReNnA och O C H SS tud TUDE T L I T T EeRrAatu T U Rr

33 B BA a Ll K k AaRr

eller

𝑀𝑀ï" = A1 ∙ 𝑓𝑓Æ" ∙ (d − 0,4x)

Om x blir större än d behövs större tvärsnitt eller större tryckarmering.

3. Beräkna ståltöjningen ur deformationsvillkoret d−x ε x ÌÓ

εÊ =

Om ståltöjningen är mindre än flyttöjningen blir tvärsnittet överarmerat, vilket bör undvikas genom val av större effektiv höjd eller mer tryckarmering.

4. Bestäm stålspänningen ur σÊ = EÊ . εÊ = EÊ .

d−x ε x ÌÓ

5. Beräkna erforderlig armeringsarea ur 𝐴𝐴1 =

Mï" 𝑓𝑓Æ" ∙ (d − 0,4x)

6. Beräkna erforderligt antal armeringsstänger och placera dessa i tvärsnittet n=

AÊ ∅

Om armeringen inte ryms i ett lager, måste beräkningen göras om enligt nya förutsättningar.

EXEMPEL 3.2

Bestäm momentkapaciteten samt tillhörande armering för balken i figuren nedan, om den utförs med balanserad armering.

Betong C30/37; armering ∅20 K500-CT; B500BT; exponeringsklass XC1; dg = 32 mm; vcte = 0,9; L100.

© FF Ö öRrFfatta r Tatu A T T A RrNeAn Ooch C H S STtud UDEe N ntlitt T L I T T E Re A UR r ©

77 77

Asaad Almssad är civilingenjör i väg och vatten samt teknologie doktor i betongkonstruktion.

Han är docent i byggteknik vid Karlstads universitet, med särskild inriktning mot betongkonstruktion.

Han har mångårig erfarenhet av industri samt undervisning och forskning från bland annat Umeå universitet, Karlstads universitet och andra, såväl europeiska som utomeuropeiska, lärosäten.

BETONGKONSTRUKTION Denna bok behandlar dimensionering och analys av betongkonstruktioner enligt Eurocode 2.

Boken består av en teoridel som innefattar: • • • • • • •

Böjning och böjning med normalkraft Tvärkraft Förankring, avslutning och skarvning av armering Pelare och väggar Genomstansning Plattor Beräkning i bruksgränstillståndet

Bild 30x30 Kanin me band Kommission -30% (435kr) =

Bokens konkreta pedagogiska värden är, utöver ett stort antal övningsexempel med lösningar och svar, ett avsnitt med utvecklande övningsuppgifter som studenterna kan lösa själva. Svaren till dessa uppgifter finns i boken och utförliga lösningsförslag finns på www.studentlitteratur.se/39041.

Till boken finns även en formelsamling. Den är framtagen för att användas som hjälpmedel vid examination i högskole- och universitetskurser inom betongkonstruktion.

Denna tredje upplaga av boken har genomgått flertalet justeringar och tillägg och anpassats efter nya beteckningar för armeringsstål. Målet med boken är att täcka behoven på de flesta akademiska grundkurser i ämnet, i första hand på de tekniska högskole- och universitetsprogrammen för väg- och vattenbyggnad, samhällsbyggnad samt byggteknik. Boken vänder sig även till yrkesverksamma som handbok eller fördjupning.

Tredje upplagan

Art.nr 39041

studentlitteratur.se