Alla rättigheter förbehållna. Ingen text- och datautvinning är tillåten.
Tredje upplagan
Första tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Livonia Print, Lettland 2025
Till användaren
Välkommen till Matte Direkt Bryggan!
Bryggan behandlar det centrala innehållet i Lgr22 och består av sex kapitel. Varje kapitel har följande struktur:
Ingress med kapitlets begrepp och innehåll.
Genomgångsrutor med tydliga förklaringar och exempel.
Minitest – för att regelbundet stämma av att du har förstått.
Kapiteltest – för att kontrollera att du behärskar kapitlets begrepp och metoder.
Blandat – med innehåll från både kapitlet och tidigare kapitel.
Problemlösning som förklarar användbara strategier för att lösa matematiska problem.
Uppslaget – med fokus på resonemang och problemlösning.
Dessutom finns:
Verktygslådan – en sammanställning av varje kapitels begrepp och metoder.
Facit – så att du kan kontrollera att du har tänkt rätt.
Lycka till med matematiken! önskar författaren
Synnöve Carlsson
Författare är Synnöve Carlsson - ämneslärare i matematik, lärarutbildare vid Uppsala universitet och erfaren läromedelsförfattare.
Innehåll
1 Tal
3 Algebra
2 Geometri
6 Statistik och
Addera
Multiplicera
Dividera
Tal
Multiplicera
Dividera
Samband
Kapitelinledningen visar det matematiska innehållet och de centrala begreppen för kapitlet.
Kapitelinnehåll
I det här kapitlet får du träna på att storleksordna tal avrunda tal multiplicera och dividera med 10, 100 och 1 000
räkna med tiopotenser använda grundpotensform använda prefix göra potensberäkningar
räkna med tal i kvadrat och kvadratrot faktorisera
räkna med negativa tal använda prioriteringsregler göra överslagsräkning
Begrepp
talsystem positionssystem siffra tal positiva tal negativa tal naturliga tal tallinje tiondel, hundradel decimaler decimaltal decimaltecken avrundning avrundningssiffra potensform exponent bas grundpotensform prefix kvadratrot delbarhet primtal faktorisering faktorträd prioriteringsregler överslagsräkning
Även mycket små tal kan skrivas i grundpotensform. Då är exponenten negativ.
a) 9 · 103 b) 8,2 · 106 c) 6 · 105
d) 3,6 · 107 e) 6,95 · 105 f) 2,79 · 106
78 Skriv talen i grundpotensform.
a) 4 000 b) 4 500 c) 45 000 d) 4 500 000
e) 3 750 f) 37 500 g) 495 000 h) 5 290 000
79 Skriv avståndet som ett tal i grundpotensform.
a) Avståndet från jorden till månen är cirka 400 000 000 meter.
b) Avståndet från jorden till solen är cirka 149 600 000 000 meter.
80 Skriv i grundpotensform.
a) 4 miljoner b) 82 miljoner c) 3 miljarder d) 95 miljarder
81 Skriv talen i storleksordning.
Börja med det minsta.
82 Skriv längden i grundpotensform. Välj i rutan.
a) Längden på en bladlus kan vara 0,002 m.
b) Längden på en bakterie kan vara 0,000 002 m.
83 a) Människokroppen består av ungefär 37 000 000 000 000 celler. Skriv antalet som ett tal i grundpotensform.
b) Längden på en cell kan vara 0,000 05 m. Skriv längden i grundpotensform.
Talen 1, 4 och 9 är exempel på kvadrattal. De kan skrivas som ett heltal multiplicerat med sig själv.
12 = 1 · 1 = 1 22 = 2 · 2 = 4
115 Skriv i potensform.
a) fem upphöjt till två b) sex i kvadrat
116 Beräkna a) 52 b) 62
= 3 · 3 = 9
82 e) 92 f) 102
Kvadratroten ur 9 är 3 eftersom 3 · 3 = 9
9√ = 3 32 = 9
Kvadratroten ur 16 är 4 eftersom 4 · 4 = 16
√ 16 = 4 42 = 16
Vilket värde har kvadratrötterna? 117
119 Rita en kvadrat som har arean 25 cm2. 9 4 1 32 3 i kvadrat 3 upphöjt till 2
Talen √ 16 , √ 20 och √ 25 är placerade på tallinjen.
√ 16 = 4 eftersom 4 · 4 = 16
√ 25 = 5 eftersom 5 · 5 = 25
√ 20 är större än 4 och mindre än 5. Med en räknare kan man beräkna att √ 20 ≈ 4,47.
120 Vilka tal pekar pilarna på? Välj i rutan.
121 Mellan vilka två heltal ligger
a) 3√ b) 5√ c) 8√ d) √ 12 e) √ 26 f) √ 95
122 Beräkna och avrunda till två decimaler.
a) 3√ b) 8√ c) √ 12 d) √ 26
I varje kapitel finns flera Minitest som kan användas för regelbundna avstämningar.
1 Avrunda
a) 15 432 till tusental b) 2,66666 till två decimaler
2 Beräkna a) 10 · 2,5 b) 100 · 49 c) 8 10
3 Skriv på vanligt sätt.
23
4 Beräkna
5 Hur många watt är 4 MW?
6 Skriv 2 millimeter i enheten meter.
Använd räknare.
Delbarhet
När ett tal är delbart med ett annat tal är kvoten ett heltal. Talet 6 är delbart med 1, 2, 3, och 6 eftersom kvoten är ett heltal.
6 1 = 6 6 2 = 3 6 3 = 2 6 6 = 1
Talet 18 är ett jämnt tal och alltså delbart med 2. 18 2 = 9
18 har siffersumman 1 + 8 = 9. 9 är delbart med 3. 18 3 = 6
Alltså är 18 delbart med 3.
18 är delbart med både 2 och 3. Alltså är 18 delbart med 6. 18 6 = 3
18 slutar inte på 5 eller 0. Alltså är 18 inte delbart med 5 eller 0.
123 Går kolorna att dela lika på
a) 2 personer b) 3 personer
c) 4 personer d) 5 personer
124 Använd delbarhetsreglerna. Vilka av talen i rutan är delbara med
a) 2 b) 5 c) 10
125 a) Beräkna siffersumman för varje tal i rutan.
b) Vilka av talen är delbara med 3?
c) Vilka av talen är delbara med 6?
126 Vilka av talen i rutan är delbara med
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 10
127 Vilka siffror kan vara entalssiffra i det tresiffriga talet 6 4 om talet är delbart med 3?
Talet 5 är endast delbart med 1 och 5. 5 är exempel på ett primtal. Primtal är endast delbara med 1 och sig självt.
Delbarhetsregler
Tal delbara med
2 är alla jämna tal 3 är tal vars siffersumma är delbar med 3
5 är tal som slutar med 0 eller 5
6 är tal som är delbara med 2 och 3
10 är tal som slutar med 0
128 Ge exempel på ett annat tal än 5 som endast är delbart med 1 och sig självt och alltså är primtal.
Bryggan är uppgifter på läggande nivå tydlig progression
fylld med på en grundnivå med en progression
Faktorisering
För att dela upp ett tal i faktorer kan man göra ett faktorträd. Här är tre olika sätt att dela upp talet 30:
Du behöver endast göra ett faktorträd.
30 = 3
2 · 5
När det inte går att dela upp talet i fler faktorer är talet ett primtal. Talen som är inringade är primtal. primtal
Rita av och gör klart faktorträden.
129 a)
131 Dela upp talet i primtal genom att göra ett faktorträd.
a) 18 b) 45 c) 48 d) 64
132 Undersök vilket av talen i rutan som har det största primtalet som faktor. a) 32 33 35 b) 10 42 39
133 a) Vad ska stå i rutan?
b) Vilka tal är 30 delbart med?
134 Vilka tal är talet delbart med?
a) 16 b) 20 c) 50 d) 80
Kapiteltest 1
1 Vilka tal pekar pilarna på?
Med Kapiteltestet kan eleverna kontrollera att de har förstått och att de kan tillämpa kapitlets begrepp och metoder.
2 Avrunda
a) 32 465 till tusental b) 3,5666 till två decimaler
3 Beräkna
4 Skriv på vanligt sätt.
5 Beräkna
6 Vilken tiopotens hör ihop med prefixet? a) giga b) kilo c) milli
7 Beräkna
8 Beräkna
9 Elias har 1 250 kr på sitt konto. Han köper 3 kg apelsiner och 3 kg äpplen. Skriv ett uttryck med parentes och beräkna hur mycket han sedan har kvar på kontot?
Algebra
Kapitelinnehåll
I det här kapitlet får du träna på att skriva och tolka uttryck förenkla uttryck
undersöka och beskriva mönster undersöka och beskriva talföljder lösa ekvationer lösa problem med hjälp av ekvationer
Begrepp
algebra variabel uttryck förenkla talföljd mönster likhet ekvation prövning andragradsekvation
Variabler och uttryck
I algebra använder man både siffror och bokstäver som symboler för tal. En bokstav står för en variabel. En variabel kan ha olika värden.
Ett uttryck kan innehålla variabler, tal och tecken för olika räknesätt.
b + 2 x − 8 a 3 7y en tredjedel av a två mer än b åtta mindre än x sju gånger y
Vilket av uttrycken i rutan betyder
1 a) 4 mindre än a
b) 4 mer än a
c) 4 gånger a
2 a) 6 mer än x b) 6 mindre än x
c) 6 gånger x d) en sjättedel av x
Skriv ett uttryck som betyder
3 a) 3 mer än y b) 5 mer än y c) 6 mindre än y d) 8 mer än y
4 a) hälften av x b) dubbelt så mycket som x c) en åttondel av x
5 Alice plockar snäckor och lägger i en burk. Vi kallar antal snäckor för x. Vilket uttryck visar antalet när hon
a) lägger till 9 snäckor b) dubblar antalet snäckor x − 9 9x x + 9 2 + x x 2 2x
6 Etiketten visar ett uttryck för antal snäckor i burken. Hur många snäckor ligger i burken om x = 20?
a) x + 25 b) x 8 c) x 4 d)
Exemplen eleverna
Exemplen stöttar eleverna i arbetet uppgifterna.
Uttryck med parenteser
Exempel
Burkarna innehåller skruvar. Vi kallar antal skruvar i en liten burk för x. Det finns 8 fler skruvar i en stor burk. Skriv ett uttryck för det totala antalet skruvar i de stora burkarna.
3(x + 8) = 3 ∙ (x + 8) = 3
x + 3
8 = 3x + 24
Multiplicera varje term inuti parentesen med 3.
Svar: 3x + 24 är ett uttryck för antal skruvar i de stora burkarna.
23 Skriv ett uttryck för det totala antalet skruvar i burkarna a) med parentes b) utan parentes
Skriv uttrycket utan parentes.
24
26 Skriv ett uttryck för det totala antalet skruvar i burkarna
a) med parentes b) utan parentes
27 På en hylla står det krukor i två olika storlekar. De stora innehåller 4 dl mer än de små krukorna. Kalla de små krukornas volym för y. Skriv ett uttryck för volymen av 5 små och 2 stora krukor. Förenkla uttrycket.
+ 8) uttryck med parentes
1 Skriv ett uttryck som betyder a) 5 mer än x b) 5 gånger x c) en tredjedel av y
2 Vilket värde har uttrycket 2a + 5 när a har värdet 4?
3 Förenkla uttrycket 3y + 8 + 4x − 6 − y + 5x
4 Skriv uttrycket utan parentes.
a) 2 · (3 + a) b) 5(2y − 4) c) 3(x + 7) + 2x 3A
Talföljder och mönster
Talföljder och figurer som ökar regelbundet, som ett mönster, kan beskrivas med ett uttryck.
Talföljden 4, 7, 10, 13, ... kan visas med stickor i ett mönster.
Figur 1 Figur 2 Figur 3
I varje ny figur ökar antalet stickor med 3.
I figur 4 är antalet stickor 3 ∙ 4 + 1 = 12 + 1 = 13.
I figur 10 är antalet stickor 3 ∙ 10 + 1 = 30 + 1 = 31.
I figur n är antalet stickor 3 · n + 1.
28
Figur 1 Figur 2 Figur 3
a) Rita den fjärde och den femte figuren.
b) Rita av och fyll i tabellen.
c) Hur många fler stickor behövs till varje figur?
d) Det går att skriva antalet stickor i figur n med uttrycket 2 · n + 1.
Visa att det stämmer för figur 5 då n = 5.
e) Hur många stickor behövs till figur 10?
29 Fortsätt talföljden med ytterligare tre tal.
3 5 7 9 11 30
Figur 1
Figur 2
a) Rita den fjärde och den femte figuren.
b) Rita av och fyll i tabellen.
Figur 3
c) Det går att skriva antalet stickor i figur n med uttrycket 5n + 1.
Visa att det stämmer för figur 3 och 4.
d) Hur många stickor behövs till figur 100?
31 a) Rita den fjärde och den femte figuren.
b) Hur många fler stickor behövs till varje figur?
c) Skriv ett uttryck för hur många stickor som behövs till figur n.
d) Hur många stickor behövs till figur 100?
32 Fortsätt talföljden med ytterligare tre tal.
5 9 13 17 21
Figur 1 Figur 2
33 Hur många blå plattor finns det i mönstret om det finns
a) 4 gula plattor b) 5 gula plattor c) 10 gula plattor
34 Kalla antalet gula plattor i mönstret för n. Skriv ett uttryck för antalet blå plattor.
35 Figur 1 Figur 2 Figur 3
a) Rita av och fyll i tabellen.
b) Skriv ett uttryck för hur många blå plattor som behövs till figur n.
36 Ett bord har plats för 4 personer. Hur många personer får plats om man sätter ihop
a) 2 bord b) 3 bord
c) 5 bord d) 10 bord
37 Skriv ett uttryck för hur många personer som får plats om man sätter ihop n bord.
38 Ett annat bord har plats för 6 personer. Om man ställer ihop två bord får 10 personer plats.
a) Hur många bord behövs det om det ska finnas plats för 50 personer?
b) Skriv ett uttryck för hur många personer som får plats om man sätter ihop n bord.
Figur 3
Figur Antal blå plattor
Ekvationslösning
En del ekvationer kan man se lösningen på direkt. Andra ekvationer kan man behöva en metod för att lösa. Balansmetoden är ofta användbar när man löser ekvationer.
Exempel
Lös ekvationen 4x − 5 = 27
4x − 5 = 27 Skriv av ekvationen.
4x − 5 + 5 = 27 + 5 Addera 5 på båda sidor.
4x = 32
4x 4 = 32 4 Dividera med 4 på båda sidor.
x = 8 Ekvationens lösning är x = 8.
likhetstecknen under varandra
Lös ekvationen. Börja med att skriva av den.
När man löser den här ekvationen tar man reda på värdet av x genom att se till så att x blir ensamt på ena sidan av likhetstecknet.
55 a) 2x − 4 = 10 b) 4x + 6 = 18
2x−4=104x+6=18
2x−4+4=10+44x+6−6=18−6
56 a) 5x + 8 = 28 b) 4x − 6 = 30 c) 6x + 12 = 24
57 a) 2x − 8 = 20 b) 5x + 3 = 28 c) 3x − 6 = 12
58 Vilka av ekvationerna har lösningen x = 3? A 5x + 7 = 22 B 4x − 8 = 3 C 20 = 8x − 4 D 6(x + 1) = 24
Lös ekvationen. Börja med att skriva av den.
59 a) 3
(x + 4) = 27 b) 4
(x − 5) = 12
6 ∙ (x + 5) = 48
60 a) 6(y − 3) = 42 b) 7(y + 5) = 49 c) 8(y − 2) = 32
61 På varje etikett står ett uttryck för mängden sylt i burken. Burkarna innehåller 40 dl sylt tillsammans. Hur mycket sylt finns det i varje burk?
Exempel
Lös ekvationen x 3 + 5 = 11
x 3 + 5 = 11 Skriv av ekvationen.
x 3 + 5 − 5 = 11 − 5
x 3 = 6
Subtrahera 5 från båda sidor.
3 ∙ x 3 = 3 ∙ 6 Multiplicera med 3 på båda sidor.
x = 18 Ekvationens lösning är x = 18.
Pröva din lösning:
x 3 + 5 = 11 Skriv av ekvationen.
18 3 + 5 = 11 Sätt in x = 18.
Exemplen visar hur man kan strukturera sina lösningar.
Pröva din lösning. Sätt in värdet av x i ekvationen och kontrollera om likheten stämmer.
6 + 5 = 11 Likheten stämmer, alltså är x = 18 lösningen på ekvationen.
Lös ekvationen på samma sätt som i genomgångsrutan.
62 a) x 2 + 2 = 10 b) x 5 + 2 = 3 c) 12 = x 3 + 4
63 a) x 5 + 6 = 9 b) x 7 + 10 = 13 c) 19 = x 3 + 15
64 a) x 3 − 6 = 4 b) x 2 − 1 = 20 c) 2 = x 4 − 8
65 Vilka av ekvationerna har lösningen x = 24? A x 6 + 5 = 15 B x 3 − 5 = 3 C 42 = 2x − 6 D 3(x + 1) = 78
Lös ekvationen. Börja med att skriva av den.
66 a) 10x + 15 = 40 b) 2x − 8 = 30
67 a) 4(x + 3) = 52
b) y 6 − 8 = 12
c) y 5 − 3 = 10
c) 6(y + 5) = 48
68 Amir tänker på ett tal. Han dividerar talet med 2 och sedan adderar han med 18. Summan är 40. Vilket tal tänker Amir på?
Blandat
Här tränar du på innehåll från kapitel 1, 2, 3 och 4. Använd Verktygslådan om du behöver.
155 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
2 5 9 · 10−3 7 % 0,2 √ 4
156 Dela upp talet i faktorer som är primtal. Rita faktorträd. a) 81 b) 42 c) 125 d) 400
157 Beräkna
a) 1,5 · 103 · 2 · 104 b) 305 10 c) 0,5 · 0,7
158 Hur många liter vatten finns det i barnpoolen om den är fylld till 80 %?
159 Lös ekvationen
a) 4(x + 5) = 28 b) 5x − 3 = 2x + 15
160 Hur många procent ändras kvadratens area om sidans längd a) ökar med 50 % b) minskar med 50 %
161 En påse socker väger 1 kg. Mario använder 1 4 av sockret när han bakar bullar. Sedan använder han 2 3 av det som är
kvar till en kaka. Hur många gram socker finns det nu kvar i påsen?
162 Hur många procent dyrare är det att köpa två små paket knäckebröd än ett stort?
163 Vera har 120 000 kr att betala i kontantinsats när hon köper en lägenhet. Kontantinsatsen är 15 % av vad lägenheten kostar. Resten kan hon låna av banken. Hur mycket kan hon låna?
I slutet av varje kapitel har vi Blandat innehåll från kapitlet men även från tidigare kapitel för att eleverna ska få regelbunden repetition.
Problemlösning
Här tränar du på strategin Arbeta baklänges.
Osman har en påse med halstabletter. Han ger 50 % till sin mamma. Sedan ger han tre fjärdedelar av det som är kvar till sin syster. Nu har han 8 tabletter kvar. Hur många var det i påsen från början?
Osman har 8 tabletter kvar efter att hans syster fått 3 4
1 4 är 8 tabletter 4 · 8 = 32
Osman har 32 tabletter kvar efter att hans mamma fått hälften.
1 2 är 32 tabletter 2 · 32 = 64
Från början var det 64 tabletter i påsen.
Kontrollera svaret: 64 2 = 32 32 4 = 8
Svar: Det var 64 tabletter i påsen från början.
164 Maja och hennes bror klipper gräset. Maja klipper först 50 % av gräsmattan. Sedan klipper hennes bror 75 % av det som är kvar. Då är det 30 m2 kvar att klippa. Hur stor är gräsmattan?
165 Joel har en korg med äpplen. Han tar hälften av äpplena, sedan tar Erik en tredjedel av de som är kvar. Då ligger det fyra äpplen kvar i korgen. Hur många äpplen var det från början?
166 Ada har plockat plommon. Hon äter upp 1 3 av dem.
Sedan bjuder hon sina kompisar på 3 5 av de plommon som är kvar. Hon har sedan 4 plommon kvar. Hur många hade hon från början?
I varje kapitel arbetar eleverna med användbara strategier för att lösa matematiska problem.
167 Stefan har fått lön. Han köper högtalare för en tredjedel av lönen och en jacka för hälften av det som är kvar. Sedan betalar han en skuld till sin bror med hälften av de pengar som är kvar. Nu har han 750 kr. Hur mycket fick han i lön?
168 a) Gör en egen uppgift som är lämplig att lösa med strategin Arbeta baklänges. b) Lös din uppgift.
Uppslaget
Affär A säljer ett par hörlurar för 200 kr. Hos konkurrenten i affär B kostar likadana hörlurar 250 kr.
1 Vilket påstående är rätt?
Affär B är 20 % dyrare än affär A.
Affär B är 25 % dyrare än affär A
2 Vilket påstående är rätt?
Affär A är 20 % billigare än affär B
Affär A är 25 % billigare än affär B.
3 Varför blir det inte samma tal i procentform i uppgift 1 som i uppgift 2?
Affär A
200 kr
Affär B
250 kr
4 Affär A höjer priset på hörlurarna med 50 %. Då lyckas de inte sälja några hörlurar. Med hur många procent måste de nu sänka priset för att de ska kosta 200 kr igen?
Vilken ska bort?
1 __ 4 2 __ 6 10 ___ 8 3 ___ 12
Välj en ruta i taget och motivera varför den ska bort.
På Uppslaget uppgifter tränar de förmågorna. användas eller i grupp.
Uppslaget finns som särskilt olika
förmågorna. Det kan individuellt grupp.
Vem eller vilka har rätt?
Nu är skorna gratis för rabatten är 100 %.
Det är 75 % rabatt på skorna.
Rea 50 % Nu 50 % på reapriset
Man ska betala 25 % av det ordinarie priset.
Problemlösning
Tre katter väger tillsammans 11 kg. Den minsta katten väger 3 kg mindre än den största. Den mellersta väger dubbelt så mycket som den minsta. Hur mycket väger den största katten?
Vad väljer du?
Du köper ett par jeans för 690 kr, en jacka för 995 kr och en tröja för 275 kr. Vilket erbjudande väljer du? A B C
Om skorna kostade 500 kr före rean så ska man betala 125 kr nu.
David
Sant eller falskt?
1 I bråket 5 8 är täljaren 5.
2 0,2 är större än 10 100
3 0,25 är en tredjedel av 3 4
4 En femtedel har samma värde som 5 %.
5 6 % skrivs 0,6 i decimalform.
6 Om priset ökar från 10 kr till 15 kr har det ökat med 5 %.
7 En halv fjärdedel är en åttondel.
8 En vara blir gratis om priset sänks med 50 % två gånger.
9 15 31 är mindre än 50 %.
10 Två av fem är detsamma som 8 av 20.
Ada
Cecilia
Ben
Kapiteltest 4
1 Skriv bråken i storleksordning.
Börja med det minsta.
2 Skriv bråken med nämnaren 18. a) 5 6 b) 24 36
3 Beräkna. Svara i blandad form om det går.
a) 3 8 − 1 4 b) 3 4 + 5 6 c) 3 · 5 9
4 I en förening spelar en fjärdedel av alla medlemmar pingis. Av de som spelar pingis spelar en femtedel även fotboll. Hur stor andel spelar både pingis och fotboll?
5 Beräkna
a) 0,3 + 4 5 b) 0,8 · 6 c) 0,6 · 0,3 d) 7 0,5
6 Ett kilogram ost kostar 90 kr. Vad kostar 0,7 kilogram?
7 Skriv som procent. a) 1 4 b) 8 100 c) 0,26 d) 0,03
8 Axel får 5 % rabatt när han köper en gitarr. Den blir då 120 kr billigare. Hur mycket kostar gitarren utan rabatt?
9 Beräkna
a) 12 % av 450 kr b) 8 % av 3 200 kr
10 En konsertbiljett kostar 680 kr. Priset sänks med 15 %. Vad kostar biljetten efter sänkningen? Använd förändringsfaktor.
11 Hur många procent dyrare är läppstiftet jämfört med mascaran?
12 Andelen väljare i ett parti ökar från 16 % till 20 %. Hur stor är ökningen i
a) procentenheter b) procent
Samband
5
Kapitelinnehåll
I det här kapitlet får du träna på att
använda formler
uttrycka samband i tabeller, med diagram och formler
använda och tolka proportionaliteter och andra linjära samband använda räta linjens ekvation
Begrepp
formel samband
linjärt samband koordinater graf y-axel x-axel proportionellt samband origo koordinatsystem funktion räta linjens ekvation
Proportionella samband
Tabellerna visar sambandet mellan kostnad och vikt för två olika sorters nötter.
Vikt (hg)Kostnad (kr) 0 0
Här kostar varje hektogram lika mycket. Här kostar inte varje hektogram lika mycket. Det är ett proportionellt samband Det är inte ett proportionellt samband mellan mellan kostnad och vikt. kostnad och vikt.
22 Förklara vilka tabeller som a) visar ett proportionellt samband b) inte visar ett proportionellt samband A
23 Alla tabellerna visar samband som är proportionella. Vad ska det stå i stället för A–F?
AntalKostnad
24 Fem pennor kostar 245 kr. Kostnaden är proportionell mot antalet pennor.
a) Vad kostar en penna?
b) Vad kostar tre pennor?
25 Åtta tröjor kostar 960 kr. Vad kostar fem tröjor om priset är proportionellt mot antalet?
26 Skriv receptet för
a) 12 bullar b) 60 bullar
Recept för 48 bullar
1 paket jäst
6 dl mjölk
180 g smör
900 g vetemjöl
120 g socker
27 På en restaurang kostar 10 bitar sushi 120 kr och 12 bitar kostar 138 kr. Är kostnaden proportionell mot antalet bitar? Motivera.
28 I kiosk A kostar en strut med 2 glasskulor 50 kr och en strut med 3 kulor kostar 60 kr. I kiosk B kostar en strut med 3 glasskulor 48 kr och en strut med 4 kulor kostar 64 kr. Man betalar inte för struten. Är priset proportionellt mot antalet kulor i någon av kioskerna? Förklara.
29 Rita ett diagram och markera tabellens värden som punkter. Dra en linje genom dem. Visar linjen ett proportionellt samband?
a) Vikt (hg)Kostnad (kr)
0 0
b) Vikt (hg)Kostnad (kr)
30 a) Vilka linjer visar samband som är proportionella? Förklara.
b) Förklara varför den linje som blir över inte visar ett proportionellt samband.
Använd samma diagram för a) och b).
1 Lös ut x ur formeln
a) K = 5 · x b) K = 2 · x + 1
2 Linjen visar sambandet mellan kostnad och vikt för te som man köper i en burk. Hur mycket kostar
a) burken
b) ett hektogram te utan burk
3 Sambandet mellan kostnad och vikt är proportionellt. Vad ska det stå i stället för A och B?
200
100 123 krKostnad Vikt hg Antal 23 B Kostnad 18 kr A 54 kr
4 Tre meter tyg kostar 342 kr. Hur mycket kostar 5 meter tyg om kostnaden är proportionell mot antalet meter tyg?
Uppslaget
A Olika bägare fylls med en jämn vattenstråle. Graferna visar hur höjden på vattnet ändras när bägarna fylls. När bägare A fylls ser grafen ut som i diagram 1.
Para ihop rätt bägare med rätt graf.
B Diagrammet visar sambandet mellan några personers längd och deras ålder.
Para ihop rätt person med rätt punkt i diagrammet.
AnnaBoel Cia
DennisErikFridaGustav
Vilken ska bort?
Välj en tabell i taget och motivera varför den ska bort.
A ViktKostnad
0 hg0 kr
1 hg20 kr
2 hg25 kr
3 hg27 kr
B ViktKostnad
0 hg5 kr
1 hg25 kr
2 hg45 kr
3 hg65 kr
C ViktKostnad
0 hg0 kr
1 hg20 kr
2 hg40 kr
3 hg60 kr
Uppslaget kan man arbeta med vid olika tillfällen under kapitlets gång.
Vem eller vilka har rätt?
Två linjer beskrivs med formlerna i rutorna.
Linjerna är parallella.
A y = 3 · x + 2
Linje A har en brantare lutning än B
Problemlösning
Hur lång tid tar det för ett tåg som är
150 m att köra igenom en tunnel som är 150 m? Tåget kör med hastigheten 15 m/s.
Vad väljer du?
Säljarna på ett företag kan välja mellan tre olika modeller för sin lön enligt graferna i diagrammet.
kr Lön antal sålda varor C A B
A Förklara vad lönemodellerna innebär.
B Vilken skulle du välja? Motivera.
Båda linjerna går genom punkten (1, 5).
B y = 2 · x + 3
Linjerna skär y-axeln i samma punkt.
Ben
David
Sant eller falskt?
1 Om man bryter ut R ur formeln U = R · I får man R = U I
2 x-axeln är alltid den vågräta axeln.
3 En rät linje genom origo visar ett proportionellt samband.
4 Sambandet K = 4 · x är ett proportionellt samband.
5 Sambandet K = 300 · x + 200 är ett proportionellt samband.
6 På linjen y = 3x finns punkterna (2, 6) och (5, 8).
7 Linjen y = 2x − 3 skär y-axeln i punkten (0, −3).
8 Formeln y = 0,7 · x kan visa att priset sänkts med 30 %.
9 Linjen har negativ lutning. y x
Ada
Cecilia
Kapiteltest 5
1 Lös ut p ur formeln.
a) z = p · q b) s = 5 · p 2 c) t = 3 · p + v
2 Tabellen visar ett proportionellt samband. Vad ska stå i stället för A och B?
3 I diagrammet finns tre grafer som visar tre olika resor med moped. Vilken graf visar
a) ett proportionellt samband
b) att hastigheten ökar på slutet
4 Kostnaden för att anlita en rörmokare visas i diagrammet.
a) Hur stor är den fasta avgiften?
b) Vad är priset per timme?
5 Vilken av formlerna beskriver kostnaden?
K = 600 · x + 200 K = 600 · x K = 200 · x + 600
6 I koordinatsystemet finns en linje.
a) Gör en tabell med x och y som rubriker. Skriv koordinaterna för fyra valfria punkter som ligger på linjen.
b) Beskriv med ord vilket samband som finns mellan y och x i varje punkt.
c) Välj den formel i rutan som visar sambandet mellan x och y.
y = 3 y = x + 1 y = x − 1
7 Skriv formeln för en linje som är parallell med den gula linjen, men som skär y-axeln i punkten (0, 3).
AntalKostnad
2 hg32 kr
5 hg A
kr
I Verktygslådan hittar du en sammanställning av begrepp och metoder som du kan ha nytta av i ditt arbete med matematiken.
Innehåll
och sannolikhet
I Verktygslådan har vi samlat hela bokens begrepp och metoder.
Verktygslådan
Problemlösning
När man löser matematiska problem kan man använda olika strategier. I varje kapitel presenteras en strategi:
Rita en bild
35 Pröva dig fram med tabell
75 Hitta mönster
97 Arbeta baklänges
1 Tal
Tiosystemet
I vårt talsystem använder vi siffrorna
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.
Med dessa siffror kan vi skriva alla tal.
De fyra räknesätten
12 + 3 = 15
129 Grafer i diagram
decimaler
153
term summa term differens faktor produkt täljare nämnare kvot
Tiopotenser
Tabellen visar talsystemets positioner skrivna som tiopotenser. 1 000 000 000 1 000 000 1 00010010 1 0,10,010,001
Här visar exponenten hur många tior som multipliceras.
105 = 10
10
10
10 · 10 = 100 000
Prefix
Verktygslådan vid behov och extra användbar arbetet med
exponent bas
Prefix är ord som man skriver före en enhet för att göra enheten större eller mindre.
Prefix Namn Tal Tiopotens
giga, G miljard 1 000 000 000109
mega, M miljon 1 000 000106
kilo, k tusen 1 000103
hekto, h hundra 100102
Potensform
23 är skrivet i potensform.
23 = 2 · 2 · 2 = 8
Prefix Namn Tal Tiopotens
deci, d tiondel 0,110−1 centi, c hundradel 0,0110−2 milli, m tusendel 0,00110−3
mikro, µ miljondel 0,000 00110−6
Grundpotensform
Här visar exponenten hur många tvåor som multipliceras.
Räkna med tal i potensform
23 · 24 = 23 + 4= 27 27 23 = 27 − 3 = 24 23
Addera exponenterna. Subtrahera exponenterna.
Kvadratrot
√ 49 = 7 eftersom 7 · 7 = 49
Talen 8,75 · 106 och 5 · 10−3 är skrivna i grundpotensform. Talet framför tiopotensen är ett tal som är större än 1 men mindre än 10.
8,75 · 106 = 8,75 · 1 000 000 = 8 750 000
5 · 10−3 = 5 · 0,001 = 0,005
Räkna med tal i grundpotensform
Verktygslådan ger stöd och kan vara användbar vid med Blandat.
Delbarhet
När ett tal är delbart med ett annat tal är kvoten ett heltal.
Talet 6 är delbart med 1, 2, 3 och 6 eftersom kvoten är ett heltal. 6 1 = 6 6 2 = 3 6 3 = 2 6 6 = 1
Talet 18 är ett jämnt tal och alltså delbart med 2.
18 har siffersumman 1 + 8 = 9. 9 är delbart med 3.
Alltså är 18 delbart med 3.
18 är delbart med både 2 och 3. Alltså är 18 delbart med 6.
6 = 3
18 slutar inte på 5 eller 0. Alltså är 18 inte delbart med 5 eller 0.
Faktorisering
Talet 24 kan faktoriseras på flera sätt: 2 · 12, 3 · 8, 4 · 6, 1 · 24.
Det betyder att 24 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24.
Ett primtal är ett positivt heltal större än 1 som endast är delbart med 1 och sig självt.
Negativa tal
−10 −9 −8 −6 −4
Addition
Delbarhetsregler
Tal delbara med 2 är alla jämna tal
3 är tal vars siffersumma är delbar med 3
5 är tal som slutar med 0 eller 5
6 är tal som är delbara med 2 och 3
10 är tal som slutar med 0
inringade talen är primtal.
Negativa tal är mindre än noll. Positiva tal är större än noll.
8 + (−2) = 8 − 2 = 6
Multiplikation
8 · (−2) = −16
(−8) · (−2) = 16
Addera med ett negativt tal, värdet minskar.
Multiplicera med ett negativt tal, produkten är negativ.
Multiplicera två negativa tal, produkten är positiv.
Subtraktion
8 − (−2) = 8 + 2 = 10 Subtrahera med ett negativt tal, värdet ökar.
Division
8 (−2) = −4
(−8)
(−2) = 4
Dividera med ett negativt tal, kvoten är negativ.
Dividera två negativa tal, kvoten är positiv.
2 Geometri
Vinklar
rät = 90° spetsig < än 90° trubbig > än 90°
y x 35°
Vinklar som ligger på samma linje är 180° och kallas sidovinklar. x + 35 = 180°
Vinklarna som ligger mitt emot varandra är lika stora och kallas vertikalvinklar. y = 35°
Trianglar
Summan av en triangels vinklar är alltid 180°.
Vinkelsumman = 100° + 45° + 35° = 180°
Rätvinklig
En vinkel är rät.
Trubbvinklig En av vinklarna är trubbig.
Pythagoras sats
I alla rätvinkliga trianglar finns det ett samband mellan triangelns sidor:
a2 + b2 = c2
a b c
Sambandet heter Pythagoras sats.
Liksidig
Likbent
=
Alla sidor är lika långa. Alla vinklar är 60°.
Två av sidorna är lika långa. Två av vinklarna är lika stora.
Triangeln är rätvinklig. Vi kan använda Pythagoras sats för att beräkna sidan x.
42 + 52 = x2
16 + 25 = x2
41 = x2
√ 41 = x
x = √ 41 cm
5 4 x (cm)
x ≈ 6,4 cm exakt värde avrundat värde
Omkrets
Skala – area och volym
Area
En figurs omkrets är hur långt det är runt om figuren.
b b a
a
Omkrets = a + b + a + b = 2a + 2b
När längdskalan är 2:1 så är areaskalan 4:1. Arean är 2 · 2 gånger så stor. 2 4 2 1
Areaskala 22:12
Areaskalan är längdskalan upphöjt till 2.
Omkrets = π · d ≈ 3,14 · d
Likformighet
Area
Volym
Arean av ett område är storleken på en yta.
När längdskalan är 2:1 så är volymskalan 8:1.
Volymen är 2 · 2 · 2 gånger så stor. 2 2 1 4 4 2
Volymskala 23:13
Volymskalan är längdskalan upphöjt till 3.
Likformiga figurer är förstoringar eller förminskningar av varandra. Om de har samma form och är lika stora är de även kongruenta.
Volym
Volymen av en kropp är ett mått på hur mycket kroppen rymmer.
Rektangel A, B och C är likformiga.
Rektangel A och C är även kongruenta.
1 liter = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml
1 liter = 1 dm3 = 1 000 cm3
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 liter
Rektanglarna är likformiga. Förhållandet mellan motsvarande sidor i rektanglarna är: 8 24 = 1 3 x = 1 3 · 15 cm = 5 cm x = 5 cm
Olika kroppars volym
Rätblock
Flickan och hennes skugga är likformig med flaggstången och dess skugga.
Hon är 150 cm och skuggan är 4,5 m.
Flaggstångens skugga är 18 m.
flaggstångens skugga flickans skugga = 18 m 4,5 m = 4
Flaggstångens skugga är 4 gånger så lång som flickans skugga.
Flaggstångens höjd: 4 · 1,5 m = 6 m
beräknar konens volym:
= Volymen
Facit
1 Tal
1 a) hundratal b) tiotal c) tusental d) miljontal
2 a) 2 b) 5 c) 5 d) 4 e) 9
3 a) 9 b) 7 c) 6 d) 0 e) 2
4 a) 3 751 b) 3 060 c) 24 500 d) 90 008
5 a) 30 b) 30 000 c) 200 900 d) 40 900
6 a) 4 050 b) 30 700 c) 500 075 d) 4 090 000
7 a) 9 652 b) 2 596 c) 9 625 d) 5 269
8 a) 5 13,8 b) −7 −2 c) 5
9 Negativa tal ligger längre till vänster på tallinjen.
10 A −9 B −3 C 3 D 9
11 A −100 B 400 C 950 D 1 250
12 A −1 000 B 2 000 C 9 5000 D 12 000
13 A 124 B 250 C 375
14 a) 0 100 10 50 95 b) 0 10 −10 −2 15
15 A −0,1 B 0,1 C 0,7 D 1,1
16 A 1,1 B 1,6 C 2,1 D 2,4
17 a) 0,8 0,9 1,0 b) 0,8 1,0 1,2 c) 1,9 2,2 2,5 d) 0,7 0,3 −0,1
18 a) 16 b) 1,6 c) 32 d) 3,2
Bryggan innehåller Facit med svar till alla uppgifter så att eleverna kan kontrollera att de gjort rätt.
19 a) 0,9 b) 1,1 c) 2,1
20 a) 0,7 b) 0,4 c) 0,5
21 a) 0,2 b) 0,4 c) 2,1 22 a)
23 a) −0,05 b) 0,06 c) 0,19 d) 0,62
24 a) 1,15 b) 1,38 c) 1,53 d) 2,05
25 a) 0,08 0,09 0,10 b) 0,08 0,10 0,12 c) 1,21 1,24 1,27 d) −0,04 −0,07 −0,10
26 a) 101 b) 1,01 c) 199 d) 1,99
27 a) 0,09 b) 0,11 c) 1,01
28 a) 0,04 b) 0,75 c) 0,02
29 a) 0,26 b) 0,07 c) 0,99
30 a) T.ex. 1,05 b) T.ex. 0,98 c) T.ex. 2,15 d) T.ex. 1,89
31 a) 2 b) 1 c) 2 d) 3
32 a) 5,304 b) 0,835 c) 8,709 d) 7,023
33 a) 0,5 b) 0,9 c) 1,1
34 a) 0,04 b) 0,94 c) 1,04
35 a) 0,006 b) 0,065 c) 0,650
36 a) Jämför vi entalen ser vi att det finns flest ental i 4,01. b) 3,08 och 3,423 har lika många ental men 3,08 har mindre antal tiondelar än 3,423 därför är 3,08 minst.
37 a) Alla talen har lika många ental men 3,9 har flest antal tiondelar därför är det störst.
b) 3,423 har minst antal tiondelar.
38 a) 0,09 0,15 0,46 0,89
b) 1,45 2,09 2,3 3,12
c) 0,05 0,16 0,5 0,75
d) 0,98 1,023 1,03 1,2 1,32
39 a) T.ex. 2,3 och 2,4
b) T.ex. 0,22 och 0,32
c) T.ex. 1,51 och 1,53
d) T.ex. 0,47 och 0,475
40 a) 0,1 0,02 0,11
b) 0,2 0,05 0,204
c) 0,09 0,095 0,805
41 a) 1,91 b) 1,89
c) 2,01 d) 1,99
42 A 2,134 B 20,122 C 200,21 D 500,249
Minitest 1A
1 a) tusental b) tiondel
c) miljontal
2 A 0,2 B 0,95
3 1,4
4 3,09 3,789 3,79 3,8
5 T.ex. 0,99
6 a) 7 3,5 12 b) −4 −8,6
c) −4 7 12 d) 7 12
43 a) 30 000 b) 28 000
c) 28 500
44 a) 200 000 b) 170 000
c) 169 730
45 a) 40 000 m b) 42 000 m
c) 42 200 m
46 a) 11 000 000 b) 10 500 000
c) 10 549 000
47 50 liter
48 50 000 m
49 a) 0,5 b) 1,6 c) 3,8 d) 12,9
50 a) 0,23 b) 3,66 c) 2,48 d) 2,50
51 a) 1,783 b) 0,147 c) 0,793 d) 0,330
52 a) 0,14 b) 0,11 c) 0,09 d) 0,57
53 a) 1,67 m b) 167 cm
54 a) 0,29 m b) 29 cm
55 a) T.ex. 2,41 och 2,39 b) 2,35
56 a) 27,5 b) 275 c) 2750 d) 30,9 e) 56 f) 560 g) 5 600 h) 890
57 a) 496 b) 4 960 c) 49 600 d) 5 270 e) 8,9 f) 89 g) 890 h) 620
58 Rätt svar är 10 ∙ 2,40 = 240. Lina tänker fel, 2,4 och 2,40 har samma värde, 2 ental och 4 tiondelar och 0 hundradelar.
Albin har inte gjort talet 10 gånger större utan bara multiplicerat 2 med 10.
59 a) 100 b) 10 c) 100 d) 6,29 e) 6,09 f) 3,465
60 a) 18 g b) 36 g c) 360 g d) 3 600 g
61 a) 245 g b) 490 g c) 2 450 g d) 4 900 g
62 a) 109,8 b) 1 098 c) 10 980 d) 205,5 e) 2 055 f) 20 550
63 a) 42,3 b) 4,23 c) 0,423 d) 4,02 e) 74,2 f) 7,42 g) 0,742 h) 7,05
64 a) 4,5 b) 0,45 c) 0,045 d) 40,5 e) 8,9 f) 0,89 g) 0,089 h) 80,9
65 52 är inte 10 gånger så litet som 502. 502 10 = 50,2, vilket är
10 gånger så litet som 502: entalen (2) står nu på tiondelarnas position (0,2) och hundratalet 5 står nu på tiotalens position. Peter har tagit bort nollan i 502 och inte förskjutit 502 i positionssystemet.
66 a) 10 b) 100 c) 100
d) 1 000 e) 4 150 f) 105
g) 3 250 h) 2 090
67 a) 2,79 kr b) 0,325 kr
68 a) 20,8 b) 2,08 c) 8,4 d) 0,84
69 a) 102 b) 104 c) 105 d) 107
70 a) 100 b) 10 000
c) 100 000 d) 10 000 000
e) 1 f) 0,1
g) 0,01 h) 0,001
71 a) 104 b) 105 c) 107 d) 109 e) 10−1 f) 10−2 g) 10−3 h) 10−4
114 a) 1 000 − 100 = 900 b) 10 000 + 1 000 = 11 000 c) 8 + 32 = 40 d) 125 − 25 = 100
e) 2 000 + 400 = 2 400 f) 25 000 − 5 000 = 20 000
115 a) 52 b) 62
116 a) 25 b) 36 c) 49 d) 64
e) 81 f) 100
117 a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 f) 8 g) 9 h) 10
Bryggan riktar sig främst till elever som ännu inte är godkända i grundskolans matematik.
Bryggan kan till exempel användas under senare delen av högstadiet, på lovskola, gymnasiets introduktionsprogram och inom grundläggande vuxenutbildning.
Bryggan har en tydlig struktur, luftig och lugn layout, ett lättillgängligt språk samt varierade uppgifter. Boken är fylld med konkreta och vardagsnära exempel.
Bryggan innehåller sex kapitel och varje kapitel har följande struktur:
Ingress med begrepp och innehåll
Genomgångsrutor med tydliga exempel
Minitest för regelbunden avstämning
Kapiteltest som testar begrepp och metoder
Blandat – med innehåll från olika kapitel
Problemlösning med strategier för att lösa problem
Uppslaget som har fokus på resonemang och problemlösning.
Dessutom finns Verktygslådan med bokens begrepp och metoder samt Facit.
I serien finns även Bryggan Skriva, Lärarmaterial med arbetsblad, prov, aktiviteter och repetitioner samt sex Bryggan bas-häften med innehåll från åk 4–6. I appen Alva hittar du digitalt stöd till Bryggan.
