9789144157801

VARIABEL C1

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

LÄS OCH PROVA ELEVPAKETETS

SAMTLIGA DELAR

VARIABEL C1

Elevpaket – Tryckt + Digitalt

Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

ELEVBOK

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie problemlösningsuppgifter som alla ger en variation av samma princip för att lösa problemet, samtidigt som eleverna succesivt leds fram till nya begrepp eller nya metoder.

DIGITALT LÄROMEDEL

Materialet innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje uppgift finns också en kort filmad introduktion.

Interaktiv version av boken, inläst med autentiskt tal och textföljning

Filmade introduktioner

Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon

Studentlitteratur AB

Box 141

221 00 LUND

Besöksadress: Åkergränden 1

Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

Bilder:

Sid. 14, 80: wpap/Shutterstock.com

Sid. 93: Vectorstock.com

Övriga bilder: Shutterstock.com

Kopieringsförbud

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Det är ett engångsmaterial och får därför, vid tillämpning av Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, överhuvudtaget inte kopieras för undervisningsändamål. Inte ens enstaka sida får kopieras, dock får enstaka fråga/övning kopieras för prov/skrivning. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 45078

ISBN 978-91-44-15780-1

Upplaga 1:1

© 2022 Författarna och Studentlitteratur AB

Grafisk formgivning, omslag och figurer: Karin Österlund

Printed by Dimograf, Polen 2022

INNEH Å LL

REELLA

1101112 20314152212223 4 25 30 31 32

1

DE HELA T A L EN

Under de första skolåren arbetade du med de naturliga talen.

De naturliga talen är 0, 1, 2, 3, 4, 5 och så vidare.

Efter hand utvidgas talområdet till de negativa talen, de rationella talen och de reella talen. Eftersom samma räknelagar gäller för de reella talen som för de naturliga talen, är det angeläget att du behärskar viktiga egenskaper hos de naturliga talen. Du slipper då att börja om på ruta 1 varje gång du möter ett nytt talområde. Många av dessa egenskaper är samtidigt intressanta i sig. Det är det som kapitlet handlar om.

För att ge en klarare bakgrund till hur vårt talsystem är uppbyggt, jämför vi i det första avsnittet vårt talsystem med basen 10 med motsvarande talsystem med basen 6.

Film: Vårt talsystem

VÅRT TALS Y STEM

När du skriver tal som 257 använder du dig av ett positionssystem med basen 10. Det betyder att siffran 5 svarar mot 5 · 10 och att siffran 2 svarar mot 2 · 10 · 10. Om en siffras position i ett tal flyttas ett steg åt vänster blir alltså värdet 10 gånger större. I ett positionssystem med basen 10 ska alltså talet 257 tolkas som 2 · 102 + 5 · 10 + 7. Detta leder till en hel del speciella egenskaper som till exempel skiljer vårt talsystem från det romerska talsystemet. Några intressanta egenskaper för hur vårt talsystem fungerar finner du i multiplikationstabellen:

• Produkten av två udda tal är ett udda tal. Om en av faktorerna i en produkt är ett jämnt tal så är produkten ett jämnt tal.

• En multiplikation med basen 10 ger en produkt med entalssiffran 0.

• En produkt med halva basen, alltså med 5, har entalssiffran 0 om den andra faktorn är ett jämnt tal och entalssiffran 5 om den andra faktorn är ett udda tal.

• Ett tal som är delbart med 9, alltså basen minus 1, har en siffersumma som är delbar med 9.

• Multiplikationstabellen är symmetrisk vilket visar att den kommutativa lagen för multiplikation gäller.

Vi ska nu studera vilka av de här egenskaperna som är så generella att de gäller även om vi väljer en annan talbas. Hur ser det till exempel ut om vi väljer ett positionssystem med basen 6? För att inte blanda samman de två talbaserna skriver vi i fortsättning tal i basen 6 med fetare siffror.

I ett positionssystem med basen 6 är de sex första siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5. Eftersom basen är 6 är nästa tal 10, alltså 1 gånger basen plus 0. De första 20 talen i ett positionssystem med bas 6 är alltså 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32

Talet 45 = 62 + 6 + 3 skrivs alltså så här: 102 + 10 + 3 = 113

1.1 a) Hur ser de tio tal ut som följer efter 32 i bas 6?

Svar:

b) Hur skrivs talen 36 och 51 i bas 6?

Svar:

c) Hur skrivs talen 210 och 342 i bas 10?

Svar:

Anledningen till att vi valt ett talsystem med basen 10 är att vi har 10 fingrar. Detta ger ett visst stöd när vi lär oss addera. För att finna en motsvarande konkretisering i bas 6 kan vi tänka oss äggkartonger med 6 ägg. 1 fylld kartong och 0 lösa ägg tecknas då 10. Vi ger några fler exempel:

Bas 10 Äggkartonger och ägg Bas 6

I bas 6 ser additionstabellen ut så här:

Du ska nu studera multiplikationstabellen på liknande sätt.

1.2 Hur ser du i additionstabellen att den kommutativa lagen för addition gäller, alltså att a + b = b + a?

Svar:

1.3 Vad gäller för regler för addition av jämna respektive udda tal?

Svar:

1.4 Utför följande operationer i en algoritm (uppställning).

a) 455 + 244 b) 523 – 145

1.5 Komplettera multiplikationstabellen i bas 6.

1.6 Hur kan du i tabellen se att den kommutativa lagen för multiplikation gäller?

Svar:

1.7 Vad gäller för regler för multiplikation av jämna respektive udda tal?

Svar:

1.8 Vad gäller för regel vid multiplikation med 3, alltså med halva basen?

Svar:

1.9 Vad kan du iaktta för mönster vid multiplikation med 5, alltså med basen minus 1?

Svar:

1.10 Utför följande multiplikation i en algoritm 5 · 234. Vi kan konstatera att grundläggande egenskaper hos talen i bas 10 gäller även för tal i bas 6. Innan vi går vidare vill vi påpeka att om talbasen är ett udda tal såsom 5 blir strukturen annorlunda. Du kan se detta i följande uppgift.

1.11 Hur ser multiplikationstabellen ut i bas 5 och gäller samma regler som för bas 6?

Film: Primtal och sammansatta tal

PRIM T AL OCH

SAMMANSATTA TAL

Du har kanske mött primtalen tidigare i Variabel B1? För säkerhets skull inleder vi ändå med en repetition, innan vi går vidare och fördjupar oss inom området.

De naturliga talen 2, 3, 4, 5 … kan delas upp i primtal och sammansatta tal.

Ett primtal är ett tal större än 1 som bara kan delas med 1 och sig självt.

Exempel på primtal är talen 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Ett tal som 15 som kan delas med faktorerna 3 och 5 kallas för sammansatt tal

1.12 a) Vilka är de fem primtal som kommer efter 13 i talraden?

Svar:

b) Vilka är de fem första sammansatta talen i talraden?

Svar:

1.13 I följande tabell har vi först tagit bort alla tal som är delbara med 2 och därefter alla tal som är delbara med 3, 5 och 7. Alla tal som är kvar är då primtal.

Hur kan du veta det? Vi har ju inte prövat med tal som 11, 13 och 17.

Svar:

Det här innebär att det finns 25 primtal som är mindre än 100 och inte är skuggade i tabellen. Alla de övriga talen är sammansatta tal. Metoden att steg för steg undersöka om ett tal är delbart med 2, 3, 5, 7 också vidare kallas för Eratosthenes såll.

Matematikern Eratosthenes var verksam i Alexandria omkring år 200 f.Kr. och är bland annat känd för att ha mätt jordens omkrets mer än tusen år innan den första människan ens kunnat resa halvvägs runt jorden.

1.14 Du ska nu använda Eratosthenes såll för att ta reda på vilka tal från 100 och till och med 121 som är primtal.

a) Hur kan du utföra det?

Svar:

b) Vilka är primtalen?

Svar:

FACIT VARI A BEL C1

1

DE HELA TALEN

VÅRT TALSYSTEM

1.1 a) 33, 34, 35, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 50

b) 100 (alltså 1 ∙ 62) och 123 (alltså 1 ∙ 62 + 2 ∙ 6 + 3).

c) 210 = 2 · 100 + 10 alltså 2 · 36 + 6 = 78 i bas 10 och

342 = 3 · 100 + 4 · 10 + 2 alltså 3 · 62 + 4 · 6 + 2 = 134 i bas 10.

1.2 Tabellen är symmetrisk kring diagonalen 0, 2, 4, 10, 12, 14

1.3 Desamma som för bas 10. Summan av två udda eller två jämna tal är ett jämnt tal och summan av ett jämnt och ett udda tal är ett udda tal.

1.4 a)

1.6 Tabellen är symmetrisk kring diagonalen 1, 4, 13, 24, 41, 100.

1.7 Detsamma som för bas 10. Produkten av två udda tal är ett udda tal. Om en av faktorerna är ett jämnt tal så är produkten ett jämnt tal.

1.8 Ungefär som vid basen 10. Multiplikation av 3 med ett jämnt tal ger entalssiffran 0 och multiplikation med ett udda tal ger entalssiffran 3 .

1.9 Produktens siffersumma är delbar med 5.

1.10 För att göra operationerna tydligare utför vi multiplikationen i en lång algoritm.

Observera att i bas 5 är 3 · 3 = 14 och 4 · 4 = 31 där 14 är ett udda tal och att 31 är ett jämnt tal. Däremot kan man se att kommutativa lagen gäller och att multiplikationer med 4 (alltså med basen minus 1) ger produkter där siffersumman är 4.

PRIMTAL OCH SAMMANSATTA TAL

1.12 a) 17, 19, 23, 29, 31. b) 4 = 2 ∙ 2, 6 = 2 ∙ 3, 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2, 9 = 3 ∙ 3, 10 = 2 ∙ 5.

1.13 Nästa tal att pröva med är talet 11. Men 2·11, 3·11, 5·11 och 7·11 är redan bortsållade. Nästa tal, alltså 11 ·11 är större än 100 så behöver man inte pröva talet 11. Motsvarande gäller för primtalen 13, 17, 19 och så vidare.

”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”

(Karlsson, Kilborn)

Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.

I Variabel behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som alla erbjuder en variation av metoder och lösningar. Eleverna leds successivt fram till nya begrepp eller nya metoder.

I det digitala läromedlet har eleven tillgång till filmer och inläst text. Utförligt facit finns till alla uppgifter.

Elevboken innehåller ca 100 problem och annan intressant, matematisk information. Idén med Variabel är att de elever som redan tillgodogjort sig det innehåll klassen arbetar med ska kunna arbeta med något som utmanar dem. Det här innebär att intresserade elever kan tränga djupare in i något område och lära sig något nytt och intressant. Elever kan avbryta arbetet var de vill i Variabel och vid annat tillfälle fortsätta där de slutade senast.

Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.

Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning.