9789144154459 by Smakprov Media AB

En bok om

LAPLACETRANSFORMEN Staffan Lundberg

Kopieringsförbud Kopiering, Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens utbildningsanordnarens huvudman huvudman eller eller Bonus Copyright Bonus Access.Copyright Access. Vid av detta detta verk verk som Vid utgivning utgivning av som e-bok, e-bok, är är e-boken e-boken kopieringsskyddad. kopieringsskyddad. Den Den som som bryter bryter mot mot lagen lagen om omupphovsrätt upphovsrättkan kanåtalas åtalas av av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i i upp erlägga ersättning till upp till till två två år år samt samt bli bli skyldig skyldig att att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteratur har både digital och traditionell Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljögäller papper och tryckprocess. anpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr xxxx Art.nr 44611 isbn 978-91-44-0xxxx-x ISBN 978-91-44-15445-9 Upplaga 1:1 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2021 © Författarna och Studentlitteratur 2021 studentlitteratur.se studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Tryckeriet, Lund 2012 Omslagsbild: Pierre Simon de Laplace/Wickimedia Commons Printed by Eurographic Group, 2021

INNEHÅLL

Förord 5

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Integraltransformer 7 Laplacetransformen 8 Egenskaper hos Laplacetransformen 13 Inverstransformering 20 Kausala funktioner 23 CAS i kapitel 1 25 Övningsuppgifter 28

KAPITEL 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Om Laplacetransformer och tidsderivator 31

Laplacetransform för första- och andraderivator 31 Laplacetransform för högre derivator 33 Om begynnelsevärdesproblem 34 System av differentialekvationer. Cramers regel 37 Tillämpning: Laplacetransformer i elektricitetslära och mekanik (*) 39 CAS i kapitel 2 51 Övningsuppgifter 54

KAPITEL 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Om Laplacetransformen 7

Om steg-, ramp- och impulsfunktioner 55

Heavisides stegfunktion 55 Fyrkantspuls 56 Enhetsramp 56 Diracs deltafunktion 58 Styckvis definierade funktioner 61 Fördröjd funktion 62 Periodiska funktioner 67

innehåll

3.8 3.9 3.10 3.11

Tillämpning: Dynamiska system (*) 70 Laplacetransform av Diracs deltafunktion (*) 76 CAS i kapitel 3 76 Övningsuppgifter 79

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Om Laplacetransformer och faltning 83

Faltning 83 Integralekvationer av faltningstyp 87 Om differential- och integralekvationer (*) 90 CAS i kapitel 4 91 Övningsuppgifter 92

KAPITEL 5

Svar till övningsuppgifter 95

BILAGA A

Tabell, Laplacetransformer 99

BILAGA B

Om partialbråksuppdelning 101

BILAGA C

Om handpåläggning 103

C.1 C.2

Handpåläggning 103 Komplex handpåläggning (*) 104

BILAGA D

Om kvadratkomplettering 107

Litteraturförteckning 109 Sakregister 111

KAPITEL 1

Om Laplacetransformen

I detta inledande kapitel presenterar vi ett effektivt verktyg, som bland annat används för att lösa vissa typer av differentialekvationer. Verktyget kallas Laplacetransform. I kapitlet ska vi titta närmare på några egenskaper hos Laplacetransformen.

1.1 Integraltransformer En integraltransform kan uppfattas som en avbildning där en given funktion f (t) avbildas på en funktion F(y) genom att, på ett givet integrationsintervall, integrera produkten mellan funktionen f (t) och en speciell funktion K(y,t), den så kallade kärnan. Genom att använda integraltransformer, blir vårt transformerade problem enklare att behandla än vårt ursprungliga problem. Antag att f är definierad på mängden X och F = T f är definierad på mängden Y. Se Figur 1.1. T f X FIGUR 1.1

Tf Y

Integraltransform som en avbildning T ∶ X ↦ Y.

1 om laplacetransformen

Definition 1.1 En integraltransform T, av speciellt stor betydelse i tekniska sammanhang, har följande generella definition: (T f )(y) =

∫ K(y,t) f (t) dt,

y ∈ Y,

där indata är funktionen f och utdata är en annan funktion F = T f .

I tekniska sammanhang betyder kärnan K(y,t) oftast impulssvar (Se sidan 72). Exempelvis kan många problem som modelleras med differentialekvationer vara rätt så besvärliga att lösa i den ursprungliga mängden X. Däremot kan problemet ofta bli enklare att både manipulera och att lösa i mängden Y. Denna lösning återförs därefter till ursprunglig mängd med hjälp av inverstransformering. Det existerar en mängd integraltransformer, där varje transform karaktäriseras av ett speciellt val av kärnan K(y,t). I många tillämpningar, till exempel inom mekaniken, är vi särskilt intresserade av integraltransformer, där integrationsintervallet är [0, ∞). Vi låter mängden X ⊂ R+ , mängden Y ⊂ C, och vi betraktar (för t ≥ 0) den generaliserade integralen ∞

∫

K(s,t) f (t) dt = lim

T→∞

∫ K(s,t) f (t) dt.

(1.1)

Det visar sig att integralen (1.1) konvergerar endast för vissa värden på variabeln s, vilket vi återkommer till längre fram i detta kapitel. Om kärnan K sätts till K(s,t) = e −st , ger detta val upphov till en mycket viktig integraltransform, nämligen Laplacetransformen.

1.2 Laplacetransformen En av de mest effektiva metoderna inom den tillämpade matematiken är den så kallade Laplacetransformen. Arkitekten bakom detta förnämliga verktyg är fransmannen Pierre Simon de Laplace (1749–1827), kallad ”Frankrikes Newton”. I sin forskning i sannolikhetsteori, publicerar Laplace en uppsats från 1814, där det förekommer en speciell integral som sedermera visat sig få enorm betydelse i lösningen av linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter och med föreskrivna begynnelsevärden, så kallade 8

1 om laplacetransformen

begynnelsevärdesproblem. Med Laplacetransformer i vår verktygslåda, förenklas lösningsarbetet avsevärt. Bland de tillämpningsområden där Laplacetransformer förekommer kan nämnas elektricitetslära, mekanik, signalbehandling och reglerteknik, för att ta några exempel. Definition 1.2 Antag att funktionen f (t) är definierad för t ≥ 0. Laplacetransformen F(s) = L{ f (t)}, definieras som F(s) =

∞

∫

f (t)e −st dt,

(1.2)

förutsatt att integralen (1.2) är absolutkonvergent. Talet s = σ + iω är komplext. Definitionen innebär, med s = σ + iω, att ∣e −st ∣ = ∣e −(σ+i ω)t ∣ = e −σ t . Vi konstaterar att (1.2) är absolutkonvergent då integralen ∞

∫ ∣ f (t)∣e

−σ t

dt,

med Re s = σ, är konvergent. Konvergenskravet innebär geometriskt halvplanet med Re s > σ0 , för något tal σ0 ∈ R+ , det så kallade konvergensområdet. Se Figur 1.2. Im(s)

σ0

FIGUR 1.2

Re(s)

Konvergensområde.

Låt σ ≥ σ0 , σ0 ∈ R+ . Om vi har konvergens i punkten σ0 + iω, så har vi därmed konvergens i varje punkt s med Re s ≥ σ0 , för något tal σ0 ∈ R+ .

1 om laplacetransformen

Anmärkning 1.3 • I Definition 1.2 formulerar vi den enkelsidiga Laplacetransformen. Det existerar också en dubbelsidig Laplacetransform, där integrationsintervallet är hela tallinjen. I denna bok ska vi enbart använda den enkelsidiga transformen. • I tillämpade sammanhang har t dimensionen tid, och s har dimensionen frekvens. Laplace-operatorn L transformerar funktionen f (t) på tidssidan till funktionen F(s) på frekvenssidan. Exempel 1.4 Bestäm F(s) = L{ f (t)} för nedanstående funktioner. (a) f (t) = 1,

(b) f (t) = t,

(d) f (t) = e . t2

a ∈ R,

Lösning. (a) F(s) =

(b)

∞

∫e

−st

e −st 1 dt = lim [ ] = , T→∞ (−s) s 0 T

Re s > 0,

så i detta exempel har vi σ0 = 0 (se sidan 9). Vi noterar att integralen K divergerar för Re s ≤ 0. Vi noterar också att L{K} = , K ∈ R. s F(s) =

∞

∫ te

−st

dt = (PI)

T ⎧ ⎪ ⎪ e −st ] − = lim ⎨[t T→∞⎪ (−s) 0 ⎪ ⎩

(PI=partiell integration)

∫

⎫ e −st ⎪ ⎪ 1 dt ⎬ = 2 , (−s) ⎪ s ⎪ ⎭

Re s > 0.

∞

∫

e −st e at dt = lim [ T→∞

e −t(s−a) 1 , ] = −(s − a) 0 s − a T

Re s > a.

1 om laplacetransformen

(d) Funktionen f (t) = e t går inte att Laplacetransformera, eftersom integralen 2

F(s) =

∞

∫e

t 2 −st

är divergent, oavsett värde på s. Genomför gärna denna härledning på egen hand. ◻

Exempel 1.4 visade, att för att kunna Laplacetransformeras, duger inte vilka funktioner som helst. I exemplet presenterade vi en funktion som ”skenade iväg” obegränsat, för växande värden på t. Vilka egenskaper måste f (t) ha, för att Laplacetransformen ska existera? För att kunna besvara denna fråga, kräver vi att funktionen f (t) dels uppfyller vissa regularitetsvillkor, dels har vissa inskränkningar beträffande dess tillväxt då t → ∞. För att kunna ange tillräckliga villkor för Laplacetransformens existens, behöver vi introducera begreppen styckvis kontinuitet respektive exponentiell ordning. STYCKVIS KONTINUERLIGA FUNKTIONER

I många tillämpningar, till exempel i elektricitetslära och elektronik, stöter man på funktioner som inte är kontinuerliga över hela sin definitionsmängd, utan har språngdiskontinuiteter i vissa punkter. Som exempel kan nämnas Heavisides stegfunktion Θ(t), vilken vi har anledning att återkomma till i ett senare kapitel.

1 om laplacetransformen

Definition 1.5 En funktion f (t) är styckvis kontinuerlig på ett slutet intervall I, om I kan indelas i ett ändligt antal delintervall där f är kontinuerlig och har existerande och ändliga höger- och vänstergränsvärden i ändpunkterna i varje delintervall. Se Figur 1.3.

FIGUR 1.3

Styckvis kontinuerlig funktion.

EXPONENTIELL ORDNING

Vi ska fortsättningsvis anta att de funktioner vi ska arbeta med, är styckvis kontinuerliga. Vi ska också anta att ” f inte växer för fort”, vilket motiverar följande definition: Definition 1.6 En funktion f (t) sägs vara av exponentiell ordning då t → ∞, om det finns ett reellt tal α och positiva konstanter M, T med ∣ f (t)∣ ≤ Me α t ,

för t > T.

Man brukar alternativt säga att f växer högst exponentiellt. Sådana funktioner passar bra att Laplacetransformera. Vi formulerar det i en existenssats: Sats 1.7 (Existenssats för Laplacetransformer) Antag att f (t) är styckvis kontinuerlig på [0,∞) och är av exponentiell ordning. Då existerar Laplacetransformen F(s) då ”Re s är tillräckligt stort”, det vill säga för s ∶ Re s > α. Bevis. Vi delar integralen (1.2) i två termer: T

∫

f (t)e

−st

dt +

∞

∫

f (t)e −st dt,

(1.3)

1 om laplacetransformen

där vi väljer T enligt Definition 1.6. Den första termen i (1.3) existerar ändligt, eftersom f (t) är styckvis kontinuerlig på intervallet [0,T]. För att visa att andra termen i (1.3) är konvergent, nyttjar vi ett jämförelsekriterium för generaliserade integraler. Vi sätter s = σ + iω. Eftersom f (t) är av exponentiell ordning, gäller för t > T ∣e −st f (t)∣ = e −σ t ∣ f (t)∣ ≤ Me −t(σ−α) .

För Re s > α får vi, tack vare jämförelsekriteriet, konvergens i andra termen i (1.3), därför att ∞

∫ Me

−t(s−α)

dt < ∞.

Eftersom de två integralerna i (1.3) existerar ändligt, innebär det därmed att Laplacetransformen F(s) existerar för varje s ∶ Re s > α. Beviset är därmed klart. ◻

Anmärkning 1.8 Man kan oftast räkna som att s är reellt. Men rent teoretiskt (till exempel för att kunna inverstransformera) måste vi anta att s är komplext.

1.3 Egenskaper hos Laplacetransformen I detta avsnitt ska vi, med ett antal typexempel, beröra några viktiga egenskaper hos Laplacetransformen. LINEARITET

Eftersom Laplacetransformen är en integral, gäller linearitetsegenskapen: L{a f (t) + b д(t)} =

∞

∫e

−st

(a f (t) + b д(t)) dt = . . . = a L{ f (t)} + b L{д(t)}.

1 om laplacetransformen

Exempel 1.9 Bestäm L{3t − 4e 3t }. Lösning.

Laplacetransformen är linjär. Vi transformerar termvis. L{3t − 4e 3t } = +

∞

∫ (−4)e

∞

∫

3t −st

(3t − 4e 3t )e −st dt =

dt = 3

= 3L{t} − 4L{e 3t }.

∞

∫ te

−st

dt − 4

∞

∫ 3te

0 ∞

∫e

−st

3t −st

Vi följer tankegången i Exempel 1.4, och får L{t} =

1 , s2

L{e 3t } =

vilket till sist ger L{3t − 4e 3t } =

1 , s−3

3 4 , − 2 s s−3

Re s > 3.

◻

Exempel 1.10 Bestäm L{sinh bt}. Lösning.

Notera att sinh bt =

1 bt (e − e −bt ). 2

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 L{sinh bt} = L⎨ (e bt − e −bt )⎬. ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩

Eftersom Laplacetransformen är linjär, får vi L{sinh bt} = 14

1 1 b 1 . ( − ) = ... = 2 2 s−b s+b s − b2

◻

1 om laplacetransformen

Exempel 1.11 Bestäm L{ f (t)}, då a) f (t) = cos bt, b) f (t) = sin bt. Lösning.

Vi transformerar den komplexvärda exponentialfunktionen f (t) = e ibt = cos bt + i sin bt och identifierar därefter real- och imaginärdelar. L{e =

ibt

∞

∫e

−st ibt

dt =

∞

∫e

−t(s−ib)

s + ib s b 1 = 2 = 2 +i 2 . 2 2 s − ib s + b s +b s + b2

Identifiera real- och imaginärdelar, vilket ger L{cos bt} =

s , s2 + b2

L{sin bt} =

b . s2 + b2

Alternativ lösning: Med hjälp av Eulers formler, skriver vi om f (t) = cos bt. Därefter Laplacetransformerar vi f (t) efter omskrivningen. (a)

1 L{cos bt} = L{e ibt + e −ibt } 2 1 1 1 + = ( ) 2 s − ib s + ib s 2s 1 = , = ⋅ 2 2 s + b2 s2 + b2

som förväntat.

(b) Genomför analoga kalkyler för f (t) = sin bt som nyttig övning.

◻ 15

1 om laplacetransformen

Exempel 1.12 Bestäm F(s) = L{ f (t)} för nedanstående funktioner. (a) f (t) = t 2 . (b) f (t) = t n , n ∈ N. Lösning. (a) Låt f (t) = t 2 . För Re s > 0 är L{t 2 } =

∞

∫

t 2 e −st dt = [t 2

∞

e −st 2 2 ] + L{t} = . . . = 3 . (−s) 0 s s

(b) Låt f (t) = t n , n ∈ N. Med upprepad partiell integration får vi för Re s > 0 n n(n − 1) L{t n−1 } = L{t n−2 } = . . . s s2 n! n(n − 1) ⋅ ⋯ ⋅ 2 ⋅ 1 L{1} = n+1 , = sn s

L{t n } =

och vi är klara.

◻ FREKVENSDERIVERING

I detta avsnitt ska vi derivera Laplacetransformen. I tillämpade sammanhang talar vi om frekvensderivering. Lemma 1.13 För funktionen f (t), med tillhörande Laplacetransform F(s), gäller L{t f (t)} = −F ′ (s).

Bevis. Enligt Definition 1.2 gäller F(s) = 16

∞

∫

f (t)e −st dt.

(1.4)

1 om laplacetransformen

Vi deriverar (1.4) m.a.p. s, och får, under små matematiska tilläggsförutsättningar, att F ′ (s) = =

d ds

∞

∫

f (t)e −st dt =

∫ (−t) f (t) e

−st

∞

∫ ds f (t)e

−st

dt = −L{t f (t)},

och beviset är klart. ◻ Anmärkning 1.14 Utgående från Lemma 1.13, kan man bevisa följande, mer generella, sats. Vi utelämnar beviset, men ber läsaren att utföra beviset som nyttig övning. Sats 1.15 Låt F(s) = L{ f (t)} och antag att f (t) är styckvis kontinuerlig och av exponentiell ordning. Då gäller L{t n f (t)} = (−1)n

dn F . ds n

Exempel 1.16 Med utgångspunkt i Exempel 1.4, noterar vi snabbt att L{e −t } =

1 . s+1

Bestäm L{t 2 ⋅ e −t }. Lösning.

L{t 2 ⋅ e −t } = (Sats 1.15) = (−1)2 ... =

2 . (s + 1)3

d2 1 ) ( 2 ds s + 1

◻

1 om laplacetransformen

DÄMPNING

Låt oss betrakta ett förlopp, som dämpas exponentiellt med tiden, det vill säga dess amplitud avtar snabbt mot noll då t → ∞. Denna egenskap, en exponentiell dämpning, kan vi modellera med funktionen e −at f (t), där a > 0. Hur bestämmer man dess Laplacetransform? Sats 1.17 (Dämpningssatsen) Antag att F(s) = L{ f (t)} och antag att f (t) är styckvis kontinuerlig och av exponentiell ordning. Då gäller L{e −at f (t)} = F(s + a).

Bevis. För Re s + a > 0 är L{e =

−at

∞

∫e

f (t)} =

−t(s+a)

och vi är klara.

∞

∫e

−st −at

f (t) dt

f (t) dt = F(s + a),

◻

Anmärkning 1.18 • En dämpning på tidssidan innebär en translatering på frekvenssidan. • Minnesregel: L{e −at f (t)} = L{ f (t)}s→s+a , där s → s + a betyder att vi ersätter s med s + a i F(s). • Begreppen tids- och frevenssida förklaras i Anmärkning 1.3. Exempel 1.19 Bestäm F(s) = L{ f (t)}, då f (t) = e −3t cos t.

Lösning.

s . Enligt minnesregeln i +1 Anmärkning 1.18 ska vi på frekvenssidan ersätta s med s + 3. Vi noterar i Exempel 1.11: L{cos t} = L{e −3t cos t} = L{cos t}s→s+3 =

s+3 s+3 = . (s + 3)2 + 1 s 2 + 6s + 10

◻

1 om laplacetransformen

SKALNING

Ibland kan ett byte av tidsskala underlätta kalkylerna. Det visar sig, att en komprimering på tidssidan resulterar i en expansion på frekvenssidan, och omvänt. Sats 1.20 Antag att funktionen f (t) har Laplacetransformen F(s) och antag att f (t) är styckvis kontinuerlig och av exponentiell ordning. Antag vidare att a > 0 är en konstant. Då gäller L{ f (at)} =

s 1 F( ). a a

Bevis. Enligt Definition 1.2 gäller:

L{ f (at)} = =

1 a

∞

∫

∞

∫

f (at)e −st dt = (Variabelbyte: u = at)

f (u)e −su/a du =

s 1 F( ), a a

och vi är klara. ◻ Exempel 1.21 Använd skalning för att bestämma L{sin 3t}. Lösning.

Enligt Exempel 1.11 har vi L{sin t} = F(s) = direkt att f (t) = sin 3t har transformen s 1 1 3 1 F( )= = , 3 3 3 (s/3)2 + 1 s 2 + 9

1 . Med skalning följer +1

som förväntat.

Fil.dr Staffan Lundberg har arbetat som universitetslektor i matematik vid Luleå tekniska universitet. Han har mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på diverse civil- och högskoleingenjörsprogram. Hans forskningsprofil är operatorteori på speciella funktionsrum i den harmoniska analysen, med tillämpning på partiella differentialekvationer. Författaren har varit en populär föreläsare och har nominerats till teknologkårens pris för bästa lärare.

En bok om

LAPLACETRANSFORMEN Denna bok är tänkt att användas som kurslitteratur i en grundläggande kurs i Laplacetransformer. Syftet med boken är dels att förmedla en lättläst men tydlig framställning av den grundläggande teorin för Laplacetransformer, dels att peka på hur Laplacetransformer får sin tillämpning i ett antal problemställningar. En bok om Laplacetransformen är avsedd att användas i en första kurs i Laplacetransformer, den vänder sig i första hand till teknologer på olika ingenjörsprogram på universitet och högskolor, men lämpar sig dessutom utmärkt för självstudier. I boken samverkar transformteorin med två välbekanta datoralgebrasystem (CAS): Matlab respektive Python. Typexempel där CAS används, finns presenterade i varje kapitel.

Art.nr 44611

studentlitteratur.se