Variabel C Lärarhandledning är ett stöd för dig med elever som arbetar med Variabel C1, C2 och C3. Lärarhandledningen innehåller bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna.
LÄRARHANDLEDNING
I Variabel behandlas olika matematiska områden. Efter en kortare introduktion följer en serie med problemlösningsuppgifter. Lärarhandledningen innehåller en text som beskriver matematiken i elevboken samt ett facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna.
DIGITAL LÄRARRESURS
Till varje avsnitt finns en kort filmad introduktion och i lärarhandledningen finns filmen även som en tavla så att läraren själv kan styra över presentationen.
Innehåller filmerna från elevböckerna samt en avskalad version som läraren själv kan styra över.
Fungerar på dator, surfplatta och mobiltelefon
Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
Studentlitteratur AB
Box 141
221 00 LUND
Besöksadress: Åkergränden 1
Telefon 046-31 20 00
studentlitteratur.se
Bilder: Shutterstock.com
Kopieringsförbud
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. Kopieringsunderlag får dock kopieras under förutsättning att kopiorna delas ut endast i den egna undervisningsgruppen. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.
Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.
Användning av detta verk för text- och datautvinningsändamål medges ej.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.
Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.
Grafisk formgivning, omslag och figurer: Karin Österlund
Figurer: Jonny Hallberg
Printed by Eurographic Group, 2024
FÖR O RD
Det här är den tredje delen av serien Variabel som består av Variabel A för lågstadiet, Variabel B för mellanstadiet och Variabel C för högstadiet. Materialet är avsett för elever som är begåvade, intresserade av matematik och/eller vill lära sig mera matematik. Ett syfte med Variabel är att ge elever möjligheter att utveckla matematiska förmågor som att
• lösa problem genom ett målinriktat resonemang och utgående från varierande matematiska strategier och modeller
• uppfatta innebörden i, och använda sambandet mellan, matematiska begrepp
• behärska och använda lämpliga metoder för de beräkningar som krävs vid problemlösning
• behärska ett språk som möjliggör en meningsfull kommunikation om matematik
• uppfatta och uppskatta matematikens estetiska natur.
När vi följer undervisningen i olika årskurser finner vi att undervisningen inte alltid handlar om dessa förmågor utan i första hand om att räkna. Det innebär att många elever aldrig ges möjligheter att lära sig de grundläggande matematiska begrepp som krävs för att utveckla ett matematiskt tänkande. Därmed hindras de från att möta den variation i undervisningen som kan väcka intresse för matematik och ge positiva attityder till ämnet.
Avsikten med Variabel är att erbjuda dig som lärare ett undervisningsmaterial som ger dina elever möjligheter att möta en intressant matematik och samtidigt uppleva hur olika delar av matematiken hänger samman i intressanta mönster
Lycka till med Variabel C.
Natalia Karlsson och Wiggo Kilborn
INNEH Å LL C1
INNEHÅLL,
Innehåll
Målgruppen för Variabel är begåvade och matematikintresserade elever 6
Med Variabel vill vi erbjuda elever fördjupade kunskaper i matematik 7
Forskares syn på matematikdidaktik och lärande 8
I Variabel får eleverna möta både centrala och grundläggande begrepp samt en inspirerande fördjupning 10
Den digitala delen 15
Presentation av författarna till Variabel 16
1
kroppar och Eulers polyedersats
som är inskrivna i en kub eller i en cylinder
INNEHÅLL, M Å LGRUPP
OCH SYFTE
Innehåll
Variabel C omfattar den här lärarhandledningen och tre elevböcker, C1, C2 och C3. Till uppgifterna ges här i lärarhandledning, avsnitt för avsnitt, en bakgrund till det innehåll som valts och förslag till hur man kan förhålla sig till problemen i elevböckerna. Till varje avsnitt i elevböckerna finns också en digital introduktion som beskriver vad avsnittet handlar om. Du kan använda den för att förbereda eleverna inför arbetet.
Målgruppen för Variabel är begåvade och matematikintresserade elever
När vi studerar vad som händer i undervisningen på högstadiet finner vi att många av de begåvade eleverna faktiskt saknar grundläggande begrepp och kunskaper som de borde ha utvecklat under tidigare skolår. Ofta tvingas de därför lära sig formler och tekniker som leder till rätt svar på förutsägbara uppgifter, men inte till några djupare kunskaper i matematik. Detta påverkar givetvis deras intresse för och attityder till ämnet, samtidigt som det utgör ett hinder vid fortsatta studier av matematik. Vi finner också att de begåvade och intresserade eleverna inte alltid möter en stimulerande matematik som gör det möjligt för dem att uppleva intressanta matematiska samband. En bidragande orsak till detta är att många lärare, i sin välvilliga ambition att alla elever ska kunna följa med i undervisningen, väljer att lägga undervisningen på en så enkel nivå att alla elever ska kunna följa med. Det blir på det sättet inte någon tid över för att ge de mer intresserade och begåvade eleverna den stimulans som krävs för att utveckla kunskaper och färdigheter på deras nivå. Detta gäller inte minst förmågan att resonera.
Just förmågan att resonera, med sig själv eller med andra, är fundamental i ämnet matematik som i grunden handlar om problemlösning och där själva problemlösandet handlar om ett målinriktat resonemang utgående från givna data och med hjälp av kända matematiska modeller. Ett meningsfullt resonemang förutsätter tre saker:
• Att man har något att resonera om
• Att man har ett språk och lämpliga termer att kunna resonera med
• Att man känner till lämpliga matematiska modeller som man kan utgå från i sitt resonemang.
En grundläggande idé i svensk skola är att varje elev ska få en undervisning anpassad till hans eller hennes intresse och förmåga. Detta förväntas ske genom individualisering av undervisningen. Eftersom matematik av många
elever uppfattas som ett svårt ämne, sker det i själva verket ofta en anpassning av undervisningen till de lägre presterande elevernas nivå, på bekostnad av de mer intresserade eleverna som behöver stimulans för att utveckla kunskaper på sin nivå. Under de senaste tiotalen år har detta uppmärksammats vid universitet och högskolor där man haft växande problem med studenters bristande ingångskunskaper i matematik (Karlsson, 2014a). Samtidigt har det saknats lämpliga och stimulerande material för mer begåvade elever. Detta har givetvis bidragit till svårigheter med att individualisera undervisningen för att möta dessa elevers behov av stimulans. Syftet med det här materialet är att du ska kunna erbjuda även de duktigare elevernas möjligheter att utveckla sina kunskaper och färdigheter, utgående från deras individuella förmågor. Samtidigt ges det möjligheter för dem att uppleva estetiska värden i sina möten med matematik och inte minst att erövra en allmänbildning i matematik.
När strävan är att så många elever som möjligt ska kunna tillgodogöra sig undervisningen i sammanhållen klass, förenklas ofta innehållet på ett sätt som gör det möjligt för de flesta av dem att lösa enkla, förutsägbara typer av uppgifter. Detta sker ofta med hjälp av något knep eller en formel, något som i sin tur ofta leder till att viktiga grundläggande kunskaper försummas. Exempel på detta är högstadieelevers, och även lärarstudenters, problem med att arbeta med tal i bråkform, med proportionalitet, med geometriska begrepp och inte minst med matematiska modeller vid problemlösning. De mer intresserade eleverna går därmed miste om en undervisning som skulle ge dem förutsättningar att utveckla en förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder. Detta utgör ett hinder för ett framgångsrikt fortsatt lärande.
Med Variabel vill vi erbjuda elever fördjupade kunskaper i matematik
Det har under flera år funnits ett intresse för särbegåvade elever, men man har ofta glömt bort att satsa på alla andra, intresserade och begåvade elever, som idag underpresterar i skolan relativt sina möjligheter. Det är dem vi vill satsa på med Variabel. Vi menar att det kan handla om tre till fem elever per klass, kanske fler. Vad vi vill erbjuda dessa elever är en matematik som ligger utanför vad de brukar erbjudas i skolan matematikundervisning. Samtidigt vill vi ge dem en mer strukturerad syn på matematik som möjliggör det för dem att uppfatta hur olika delar av matematiken hänger ihop och bildar övergripande mönster. Detta förutsätter att undervisningen fokuserar på en förståelse av centrala begrepp och metoder och att den samtidigt erbjuder en lämplig variation.
De flesta läromedel i matematik är av naturliga skäl skrivna för en medelelev och det är upp till den enskilde läraren att med visst stöd individualisera undervisningen. I grundskolan brukar sådan individualisering i första hand ägnas åt elever som har problem med att hänga med i undervisningen. När
det gäller de mer begåvade och intresserade eleverna krävs det emellertid helt andra resurser. Det gäller inte minst tillgång till individanpassade undervisningsmaterial. Det är här Variabel kommer in i bilden. Tanken är, att begåvade och intresserade elever, i stället för att lösa fler uppgifter av samma slag, fast krångligare, antingen ska kunna tränga djupare in i något område eller lära sig något nytt och intressant. Vad vi vill erbjuda dem är en rad exempel på hur olika delar av matematiken knyts samman av gemensamma idéer och mönster och hur det som ofta uppfattas som flera olika formler i själva verket är en och samma formel. Eleverna ges på det sättet möjligheter att upptäcka viktiga samband och hur vissa matematiska modeller (mönster) genomsyrar stora delar av skolans matematikinnehåll. Ett syfte med detta är att ge eleverna en allmänbildning i matematik som kan ge stöd åt dem som vill tränga djupare in i matematikens värld eller uppfatta matematiska modeller som används inom andra vetenskaper.
Forskares syn
på matematikdidaktik och
lärande
Inom de flesta yrken är det lätt att fastna i gamla rutiner. Man utför sitt arbete som man alltid har gjort och reflekterar inte över om det finns alternativa metoder att lösa de problem som uppstår. Detta gäller även läraryrket. När det uppstår problem i undervisningen så är det lättare att fokusera på en tillfällig lösning, som klarar av det akuta problemet, än att analysera hur problemet har uppstått och vad detta kan leda till för konsekvenser på länge sikt. Ofta kan sådana tillfälliga lösningar leda till nya och allvarligare problem, när det aktuella begreppet eller metoden på ett senare stadium ska generaliseras eller utvecklas.
År 2005 skrevs en intressant artikel Reaching for Common ground in K-12 Mathematics Education (Loewenberg Ball, FerriniMundy, Kilpatrick, Milgram, Schmid & Schaar). Artikeln är skriven av framstående forskare och från ett amerikanskt perspektiv, men den är mint lika viktig ur en svensk synvinkel. Vad artikeln utgår ifrån är det faktum att lärare som arbetar på olika skolor och på olika stadier inte alltid är överens om syfte och mål med matematikundervisningen. Ofta arbetar de enligt olika pedagogiska traditioner och till och med enligt olika kursplaner. Detta skapar problem när eleverna byter lärare, vilket normalt sker minst tre gånger under deras tid i grundskolan. Vad som krävs för att komma till rätta med detta, är en gemensam syn på kunskap och undervisning. Detta är inte minst viktigt när man bytt läroplan eller kursplan. I vår egen forskning har vi kunnat konstatera att många lärare fortfarande arbetar enligt 1980 års kursplan. (Karlsson & Kilborn, 2020a)
I artikeln lyfter Loewenberg Ball med flera fram ett antal missuppfattningar och vilka konsekvenser dessa kan leda till. De menar att lärare, i sin iver att tillrättalägga undervisningen för sina elever, ofta hoppar över eller förenklar viktigt innehåll på ett sätt som leder till konsekvenser under senare
årskurser. Ofta får de därvid stöd av mindre nogräknade didaktiker som torgför idéer som att man inte längre behöver kunna multiplikationstabellen, algoritmer eller tal i bråkform och att man bara ska lösa problem hämtade från vardagen. En avsikt med artikel är att reda ut vad som är sant och vad som är falskt i sådana påståenden och att försöka skapa en gemensam syn på matematik och lärande. Detta har samlats under fem rubriker. Vi gör här en sammanfattning av vad författarna skriver, med en viss anpassning till svenska förhållanden.
Basfärdigheter i matematik
Under första halvan av 1900talet ägnades stor uppmärksamhet åt skriftlig räkning. Eftersom man då saknade miniräknare gällde det att öva in de olika algoritmerna så att de kunde användas med stor säkerhet. Detta krävde i sin tur att eleverna behärskade additionstabell, subtraktionstabell och multiplikationstabell flytande. När alla elever fick tillgång till en miniräknare ansåg många lärare att dessa tabellkunskaper var överflödiga. Dessutom tar det lång tid för många elever att lära sig tabellerna. Detta var ett mindre bra beslut. För att kunna utföra olika typer av resonemang och beräkningar, inte minst när det gäller huvudräkning, krävs det ett flyt i räknandet (Computational fluency). Att detta är så viktigt beror på att vårt arbetsminne, där vi utför beräkningarna, är begränsat och därför inte bör belastas med onödiga grundläggande operationer. Dessa ska i stället finnas lätt tillgängliga i vårt långtidsminne.
Miniräknaren
Tillgången till billiga miniräknare har inneburit något av en revolution inom matematikundervisningen. Eleverna behöver vid problemlösning inte lägga tid på beräkningar utan kan koncentrera sitt arbete på resonemang och matematisk modellering. Men detta får inte innebära att man hoppar över skriftlig räkning och de grundläggande tabellerna. Arbete med algoritmerna bygger (liksom huvudräkning) på grundläggande algebraiska operationer. Genom att lyfta fram denna prealgebra i undervisningen kan man på sikt konkretisera den algebra som många elever har svårt att tillgodogöra sig. (Se vidare i Karlsson & Kilborn, 2014b.) Loewenberg Ball med flera lyfter i artikeln också fram vikten av att inte använda grafiska räknare på ett ensidigt sätt. Det är viktigt att eleverna ges en uppfattning om funktioner och grafer som kan användas oberoende av den grafritande räknaren.
Algoritmer
Författarna till artikeln menar också att alla elever ska behärska de grundläggande algoritmerna med flyt. Många lärare har en annan uppfattning. De menar att man inte längre behöver dessa algoritmer, det räcker med en mini
räknare. Så är det inte. En algoritm är en regel som talar om hur man stegvis kan beräkna något eller hur man stegvis kan lösa ett problem. Poängen med algoritmen är att den är generell och löser alla problem av ett visst slag med hjälp av en given metod. Algoritmen är inte minst viktig i datorernas värld. Vad man kan diskutera är emellertid vilka typer av algoritmer eleverna bör lära sig. Med hänsyn tagen till dagens användning av miniräknare menar vi att man att man borde se över valen av, och hur man arbetar med, algoritmer. Man bör kanske inte lära sig de snabbaste algoritmerna utan algoritmer som ger förståelse för algoritmernas algebraiska idé. (Se vidare Karlsson & Kilborn, 2015.)
Tal i bråkform
Här menar Loewenberg Ball med flera att förståelse för innebörden av begreppet rationellt tal är avgörande för elevers framgång i ämnet matematik. Innebörden i begreppen förhållande, proportionalitet och procent kan inte uppfattas utan förståelse för begreppet bråk. De påpekar också att bråkens aritmetik är viktig grund för att lära sig algebra. Detta har närmare utretts av Karlson & Kilborn (2020b). Att försumma arbetet med tal i bråkform till förmån för arbetet med tal i decimalform är således en kortsiktig och mindre lämplig strategi.
Skolans matematik ska utgå från vardagsproblem
Här menar författarna att användningen av vardagsproblem kan fungera som en metod att introducera ett nytt område. Men matematiken omfattar så mycket mera än vardagens problem. Att all matematik skulle finnas i vardagen är i själva verket en vilseledande myt. Verkligheten är den omvända. Matematiken finns inte alls i vardagen. Det är i stället människan, som utgående från sina kunskaper i och om matematik, förmår tolka omvärlden ur olika perspektiv. Ju mer matematik vi kan desto mer av vår omvärld kan vi uppfatta och förändra.
I Variabel får eleverna möta både centrala och grundläggande begrepp samt en inspirerande fördjupning
Tanken är att intresserade elever med hjälp av Variabel ska ges tillgång till ett kompletterande material som ger dem möjligheter att fördjupa sig i den matematik som skolan erbjuder och samtidigt låta dem möta nya aspekter av matematik och nya utmaningar. En del av innehållet består av en repetition av vad eleverna förhoppningsvis redan mött i skolan. Anledningen till denna repetition är att vi i vår forskning och vid undervisning av lärarstuderande upptäckt, att alldeles för många elever och studenter har missuppfattat väsentliga delar av skolans undervisning (Karlson & Kilborn, 2020a). Detta gäller inte minst deras uppfattningar av multiplikation med rationella och
irrationella tal, subtraktion med negativa tal, operationer med tal i bråkform, proportionalitet, grundläggande geometri, sannolikhet med mera. Samtidigt är en förståelse för grundläggande begrepp inom dessa områden helt avgörande för att eleverna ska kunna utveckla en hållbar matematisk förmåga, som kan ligga till grund för vidare studier i ämnet. Missuppfattningar inom viktiga områden av det här slaget kan nämligen ge allvarliga problem på längre sikt. Vi ger några exempel.
När elever lär sig matematik handlar det till en början om en tillrättalagd matematik som eleverna i yngre åldrar förmår uppfatta. Som exempel lär sig elever från början hur man opererar med naturliga tal och att multiplikation då kan uppfattas som är en upprepad addition. Men detta är en uppfattning som bara fungerar för naturliga tal (Karlsson & Kilborn, 2014b; 2018). Kinard och Kozulin (2012) skriver:
"Pedagogisk forskning har samlat tillräckligt många bevis för att barn, vilkas föreställningar om tal grundar sig på naturliga tal, får allvarliga svårigheter när de möter andra slags rationella tal såsom bråktal." (s. 72)
Det är mot denna bakgrund viktigt att elevers preliminära uppfattningar och definitioner utvecklas, från att enbart gälla för naturliga tal, till att gälla även för negativa tal, rationella tal och irrationella tal.
Ett annat exempel är hur elever lär sig uppfatta tal i bråkform. Till en början handlar detta oftast om att jämföra arean av andelar av en figur, med arean av hela figuren. Detta är emellertid en mycket begränsad aspekt av begreppet bråk, som efter hand måste utveckla till hur man opererar med tal i bråkform och på sikt till kunskaper i algebra. (Karlsson & Kilborn, 2014b; 2020a). Efter hand måste elevernas preliminära uppfattningar av tal i bråkform kompletteras med en rad andra, centrala aspekter av begreppet bråk (rationellt tal). Det här innebär att de måste utveckla, modifiera och byta ut uppfattningar de tidigare tillägnat sig. Detta förutsätter en väl genomtänkt planering och samverkan över stadiegränserna. Om detta misslyckas uppstår anomalier i elevernas tänkande.
Den internationella matematikdidaktiska forskningen har i flera år uppmärksammat de problemen som uppstår när elever efter hand tvingas byta ut preliminära uppfattningar mot mer generellt hållbara uppfattningar. Posner, Strike, Hewson & Herzog (1982) kallar detta för conceptual change. Ett problem är att elever som lärt sig uppfatta något på ett speciellt sätt och därefter övat detta, ofta är obenägna att göra en conceptual change. I stället för att ackommodera, alltså tänka om och utgå från en ny uppfattning, försöker de assimilera det nya, alltså att tolka det utgående från en tidigare, inte längre hållbar uppfattning. Detta leder tyvärr till anomalier i deras tänkande vilket innebär att de bygger upp nya, helt felaktiga, uppfattningar om det nya innehållet. Vi har i vår senaste forskning konstaterat att de flesta av de problem som elever och lärarstuderande har med rationella tal och med proportionalitet, är en följd av sådana anomalier (Karlsson & Kilborn, 2020a; 2020b).
En konsekvens av att elever successivt bygger upp och kumulerar anomalier under tidigare skolår är att det skapar problem för lärare på högstadiet. För att kunna resonera om proportionalitet, krävs det hållbara kunskaper om tal i bråkform och hur man opererar med dem. Det krävs också en förmåga att kunna följa ett resonemang om innebörden i begreppet proportionalitet. Vad vi kunnat konstatera i vår forskning är att lärare, på grund av rådande anomalier, ofta tvingats förenkla arbetet med proportionalitet till att omfatta enbart enkla förutsägbara problem som kan lösas med hjälp av givna formler (Karlsson & Kilborn, 2020a). Förlorarna är i det här fallet de begåvade eleverna som lär sig formler i stället för begrepp. Även detta kan betraktas som en anomali eftersom en kunskap som enbart bygger på formler sällan är utvecklingsbar.
Mot denna bakgrund har vi i Variabel C valt att repetera ett antal viktiga, grundläggande begrepp som är nödvändiga för att eleverna ska kunna uppmärksamma anomalier och ackommodera till mer hållbara uppfattningar. Det här handlar inte minst om att erbjuda eleverna en variation. Det räcker inte att veta vad något är. Lika viktigt är det att veta vad något inte är. Till skillnad från en definition, så omfattar ett begrepp oftast flera olika aspekter och ofta har elever bara lärt sig vissa av dessa aspekter eller en enda metod för att lösa enklare typer av problem. Detta leder till att de enbart kan lösa förutsägbara problem, men inte nya och varierande typer av problem. Ofta kan de inte heller skilja mellan räkning och matematik. En annan, större del av innehållet i Variabel C, handlar om en fördjupning inom olika områden av matematiken. Genom att bredda och fördjupa sina kunskaper inom olika områden av matematiken ges eleverna möjligheter att upptäckas hur en rad, till synes helt olika områden av matematiken, hänger ihop. De kommer då också att upptäcka att flera av de olika formler de lärt sig i själva verket inte alls är olika utan bygger på samma grundläggande idé. Detta gäller inte minst formler för hur man opererar med negativa tal och tal i bråkforn. Sådana grundläggande idéer ägnas stort utrymme i Variabel C. Det handlar i själva verket om att förstå matematikens grammatik, bland annat den grundläggande algebra som de flesta elever kan använda intuitivt när det gäller de naturliga talen men som de inte förmår generalisera till arbete med negativa tal, rationella tal eller irrationella tal.
När elever i skolan möter ett nytt begrepp eller en ny metod, möter de oftast bara en enda aspekt av begreppet eller metoden. Man hinner ofta inte med mer. Detta leder till att eleverna inte känner till andra aspekter av begreppet eller andra tillämpningar av metoden. Det är av det skälet angeläget att eleverna verkligen förstår de kritiska aspekterna, alltså vad som är avgörande för att förstå ett nytt innehåll. Men det räcker inte. De måste även erbjudas en variation som lyfter fram olika aspekter av begreppet eller metoden (Marton & Booth, 2000; Marton, 2015). Forskning visar att elever som bara har uppfattat en enda aspekt av ett begrepp ofta misslyckas när de möter andra aspekter av begreppet och ger då upp. Detta påverkar i sin
tur deras motivation och tillit till ämnet (Pajares, 1992). Detta gäller även för begåvade elever. Om elever som missuppfattat ett begrepp hade fått möta varierande aspekter av begreppet, hade deras uppfattning av begreppet sannolikt klarnat och eleven skulle ha fått helt andra attityder till ämnet. Variation har därför varit en viktig utgångspunkt vid utformningen av Variabel C.
För att undvika att elever ger upp, är Variabel C uppbyggt på ett sådant sätt att eleverna successivt och på ett aktivt sätt, leds fram till ett nytt begrepp eller en ny metod. I nästa steg erbjuds de varierande uppgifter som lyfter fram olika aspekter av begreppet och dess koppling till andra närliggande begrepp. Till varje uppgift finns det i allmänhet, inte bara ett svar i facit, utan även en förklaring till hur man kan lösa uppgiften. Det innebär att en elev som kört fast, kan reflektera över lösningen i facit och sedan gå vidare. Nya varierande uppgifter kan därefter bidra till att reda ut begreppet. Det här är något som alla som studerat matematik känner till. Ofta har man i sina studier kört fast på någon uppgift men lärt sig att inte ge upp. Eftersom varje sådant problem har lett till en reflektion har det också lett till en djupare förståelse av det aktuella området. Samtidigt är det stimulerande och bra för självförtroendet att reda ut och klara av för tillfället knepiga problem.
Vi vet nu att de rationella talen är oändligt många och att de ligger obegränsat tätt på tallinjen. Man kan då fråga sig var de irrationella talen såsom π och 5 får plats på tallinjen och hur många de irrationella talen är. För att få en bild av detta skapar vi ett antal intervall på följande sätt. En sträcka på 1 längdenhet delas först på mitten och den vänstra delen kallar vi för intervall 1. Därefter delas den högra delen i två lika stora delar och den vänstra av dessa delar kallar vi för intervall 2. Vi upprepar proceduren i all oändlighet.
Intervall 1 Intervall 2 3 I 4 I 5
Här är alltså intervall 2 hälften så stort som intervall 1, intervall 3 hälften så stort som intervall 2 och så vidare.
2.10 a) Hur många intervall blir det sammanlagt?
Svar:
b) Är intervallen uppräkneligt många?
Svar:
c) Vilka är ”flest”, de rationella talen eller antalet intervall?
Svar:
På tallinjen täcker vi nu det första rationella talet i Cantors uppräkning med intervall 1, det andra talet täcker vi med intervall 2, det tredje talet täcker vi med intervall 3 och så vidare.
2.11 a) Kan alla de rationella talen täckas med dessa intervall?
Svar:
b) Hur stor längd har dessa intervall tillsammans?
Svar:
c) Vad kan vi dra för slutsats av detta?
Svar:
2.12 Vad finns det på resten av tallinjen?
Svar:
Det här resultat är intressant. Under de år du går i grundskolan möter du först bara de naturliga talen och sedan de hela och de rationella talen. Irrationella tal som π och 3 möter du mer sällan och ändå är det den typen av tal som dominerar på tallinjen.
En annan intressant fråga är om de reella talen och därmed de irrationella talen också är uppräkneliga. Georg Cantor kunde visa att så inte är fallet. Beviset ser i huvudsak ut så här.
Först antog Cantor att de reella talen är uppräkneligt många, vilket han sedan skulle motbevisa. Om de reella talen är uppräkneligt många så kan man ordna dem i en lista på samma sätt som de rationella talen. Han skrev därefter en (fiktiv) sådan lista med reella tal i form av decimalutvecklingar (varav nästan alla är oändliga). En sådan lista kan se ut så här.
I den här listan är den första decimalen i det första talet en sexa, den andra decimalen i det andra talet en etta, den tredje decimalen i det tredje talet en åtta osv. Dessa tal är markerade med fetare siffror och med dem bildas en ny decimalutveckling, 0,61871… Nu bytte Cantor ut alla ettor i det nya talet mot tvåor och alla andra tal mot ettor. På det sättet bildades en ny decimalutveckling, 0,12112… .
2.13 a) Vad innebär detta för det nya talet 0,21112…?
Svar:
b) Vad kan du dra för slutsats av detta angående de reella talens uppräknelighet?
Svar:
978-91-44-17470-9_02_book.indd
TAL I BRÅKF O RM OCH EKVIVALENSKLASSER
För de rationella talen gäller samma räknelagar som för de naturliga talen. En förutsättning för att kunna använda räknelagarna inom det här talområdet är emellertid, att man förstår en viktig egenskap hos de rationella talen, nämligen att de är indelade i ekvivalensklasser.
Två rationella tal a b och c d tillhör samma ekvivalensklass om ad = bc
Varje tal i bråkform kan alltså uttryckas på oändligt många olika sätt.
Poängen med dessa ekvivalensklasser blir tydliga när du ska jämföra, addera
eller subtrahera två rationella tal. En addition som 2 5 + 1 4 kan inte utföras direkt eftersom enheterna 1 5 och 1 4 är olika.
För att utföra additionen 2 5 + 1 4 kan du i de två ekvivalensklasserna välja två jämförbara representanter till exempel 8 20 respektive 5 20 och addera dem.
När man är medveten om detta kan man finna jämförbara tal på ett enklare sätt, genom förlängning. Genom att förlänga 2 5 med 4 och 1 4 med 5, får talen samma nämnare och därmed kan de jämföras, adderas eller subtraheras.
Samtidigt får man en teknik för att utan krångliga formler dividera tal i bråkform.
Begreppet ekvivalensklass är centralt inom matematiken. För att i grunden förstå begreppet kan det var bra att ta ett exempel på en annan ekvivalensklass nämligen vektorer.
Med en vektor menas en parallellförflyttning i planet (eller i rummet) som brukar beskrivas med hjälp av pil med en given längd och en given riktning. Se vidare Variabel C2 kapitel 2.
Liksom de rationella talen kan man addera, subtrahera och på olika sätt multiplicera vektorer. Att addera två vektorer a och b går till på följande sätt och resulterar i vektorn c (streckad).
Frågan är emellertid hur man adderar vektorerna a och b i följande fall?
För att svara på frågan måste man veta att vektorerna är indelade i ekvivalensklasser. Två vektorer som har samma längd och samma riktning tillhör samma ekvivalensklass. Det finns alltså oändligt många vektorer som tillhör samma ekvivalensklass. Man kan därför göra på samma sätt som vid addition av två tal i bråkform, alltså addera en lämplig representant från respektive ekvivalensklass. Dessa kan sedan fogas samman som i figuren till vänster.
I figuren till höger kan man på motsvarande sätt se addition b + a.
Observera två saker, dels att vektorn c i båda fallen är densamma eftersom strålarna har samma riktning och samma längd, dels att kommutativa lagen gäller eftersom a + b = b + a.
Vi återvänder nu till tal i bråkform och går från förlängning till dess invers, nämligen förkortning. När man ska förkorta ett bråk som 56 84 så handlar det om att finna gemensamma faktorer i täljare och nämnare. Genom att dela upp täljare och nämnare i faktorer, 2 · 2 · 2 · 7 2 · 2 · 3 · 7 finner man att både täljare och nämnare i det här fallet innehåller faktorn 2∙2∙7 = 28. Bråket 56 84 = 2 · 28 3 · 28 kan därför förkortas med 28 till 2 3 alltså till en enklare representant för samma ekvivalensklass.
I vissa fall kan man det vara krångligt att dela upp täljare och nämnare i faktorer, till exempel i fallet 143 165 . Man kan då använda en metod som kallas för Euklides algoritm. (Euklides var en grekisk matematiker som var verksam i Alexandria cirka 300 år f. Kr.) Algoritmen se ut så här:
Först utför man divisionen
165 / 143 som ger resten 22 och därefter utför man divisionen 143 / 22 som ger resten 11 och därefter divisionen 22 / 11 som går upp.
Observera hur algoritmen fungerar. Nämnaren i steg 1 blir täljare i steg 2 och resten i steg 1 blir nämnare i steg 2, osv. Resultatet visar att 11 är en faktor, inte bara till 22, utan även till 143 och 165. Det innebär att 143 165 kan förkortas med 11 vilket ger 13 15
I avsnitt 5 i den digitala delen finns ett Pythonprogram som utför Euklides algoritm. Genom att studera själva programmet kan man direkt se hur algoritmen är uppbyggd.
Om man vill dela upp större tal i faktorer kan man även finna ett program för detta i den digitala delen.
Det här avsnittet bör inte skapa några större problem eftersom det mesta redan är bekant och bara presenteras på ett nytt sätt. Möjligen kan någon fastna i Euklides algoritm, men det är då bara att följa med i facit tills man ser mönstret.
Film: Tal i bråkform och ekvivalensklasser
TAL I BRÅKF O RM OCH EKVIVALENSKLASSER
För de rationella talen gäller samma räknelagar som för de naturliga talen. För att kunna använda räknelagarna inom det här talområdet måste du förstå en viktig egenskap hos de rationella talen, nämligen att de är indelade i ekvivalensklasser
Två rationella tal a b och c d tillhör samma ekvivalensklass om ad = bc
2.14 a) Vilket enkelt samband gäller mellan a b och c d om de tillhör samma ekvivalensklass?
Svar:
b) Bestäm x så att bråken 3 4 och x 12 tillhör samma ekvivalensklass.
Svar:
2.15 a) Kan du på något annat sätt finna ett bråk med nämnaren 12 som tillhör samma ekvivalensklass som 3 4 ?
Svar:
b) Hur många tal finns det ekvivalensklassen 3 4 ? Ge några exempel.
Svar:
TAL I BRÅKFORM OCH EKVIVALENSKLASSER
Poängen med dessa ekvivalensklasser blir tydliga när du ska jämföra, addera eller subtrahera två rationella tal. En addition som 2 5 + 1 4 kan inte utföras direkt eftersom talen inte är direkt jämförbara. Däremot tillhör 2 5 ekvivalensklassen 2 5 = 4 10 = 6 15 = 8 20 = 10 25 = 12 30 = och 1 4 tillhör ekvivalensklassen 1 4 = 2 8 = 3 12 = 4 16 = 5 20 = 6 24 =
För att utföra additionen 2 5 + 1 4 kan du i de två ekvivalensklasserna välja två jämförbara representanter till exempel 8 20 respektive 5 20 och addera dem.
2.16
Hur kan du resonera för att på ett enklare sätt addera talen 2 5 och 1 4 ?
Svar:
När du ska addera tal som 5 12 och 7 30 kan du givetvis välja den gemensamma nämnaren 12 ∙ 30 = 360 och utföra additionen 150 360 + 84 360 = 234 360 för att slutligen förkorta bråket till 13 20
Detta kan emellertid utföras betydligt smartare. Genom att studera de två nämnarna 12 = 2 ∙ 6 och 30 = 5 ∙ 6 finner du att faktorn 6 förekommer i båda fallen. Det betyder att 2 ∙ 5 ∙ 6 = 60 är en lämplig nämnare eftersom 60 innehåller både faktorn 12 och faktorn 20.
Du får med den metoden 5 12 + 7 30 = 25 60 + 14 60 = 39 60 eller enklare 13 20 Man säger att 60 är den minsta gemensamma nämnaren till 5 12 och 7 30
2.17
Bestäm den minsta gemensamma nämnaren till följande bråk och addera dem sedan.
a) 4 15 och 3 10 Svar:
b) 5 12 och 7 18 Svar:
c) 13 30 och 17 70 Svar:
CIRKELNS EK V ATION
En cirkel definieras som en kurva vars alla punkter ligger på samma avstånd (radien) från en given punkt (medelpunkten). Studerar man den egenskapen i ett koordinatsystem finner man att avståndet från en punkt på cirkeln till origo är x2 + y2 . Om radien är r ger detta ekvationen x2 + y2 = r2
ELEVBOK: s. 73–75
Med samma teknik kan man visa att en cirkel med radien r och med medelpunkten i (a, b) har ekvationen (x – a)2 + (y – b)2 = r2 . Det här avsnittet ligger till grund för att förstå de övriga kägelsnitten. y r x (x, y)
CIRKELNS EK V ATION
En cirkel definieras som en kurva i planet vars alla punkter ligger på samma avstånd från en given punkt. Avståndet kallas för radien och den givna punkten för medelpunkten. Observera att passaren bygger på den principen och att avståndet mellan passarens spetsar utgör radien.
4.2 Bestäm
Film: Cirkelns ekvation y r x (
a) avståndet från en godtycklig punkt (x y) på cirkeln till cirkelns medelpunkt (0, 0) uttryckt i x och y
Svar: b) cirkelns ekvation genom att sätta avståndet mellan (x y) och (0, 0) lika med radien r
Svar:
4.3 Bestäm ekvationen för en cirkel som har medelpunkten origo (0, 0) och radien a) 1 Svar: b) 3
Svar: c) 0,5. Svar:
4.4 Bestäm ekvationen för en cirkel med radien 1 och som har medelpunkten
a) (2, 0)
Svar:
b) (0, 4)
Svar:
c) (2, 4)
Svar:
d) ( 2, 0)
Svar:
e) (0, 4)
Svar:
f) ( 2, 4).
Svar:
4.5 Bestäm ekvationen för en cirkel som har
a) radien 3 och medelpunkten i (1, 4)
Svar:
b) radien 1/2 och medelpunkten i (2, 1)
Svar:
c) radien 4 och medelpunkten i ( 3, 5).
Svar:
En tangent till en
Svar:
ELLI P SENS EKVATION
Vi börjar med att utgå från en cirkulär cylinder. Genom att göra ett plant snitt genom cylindern får vi en ellips. Observera att cirkeln är en speciell ellips liksom kvadraten är en speciell rektangel.
Om cylindern varit inskriven i ett rätblock hade basytan blivit inskriven i en kvadrat och snittet inskrivet i en rektangel.
Om vi ritar in de här figurerna i var sitt koordinatsystem och om cirkelns radie
är 1 längdenhet, finner vi att cirkelns ekvation är x2 + y2 = 1 och att cirkeln är omskriven av en kvadrat med sidan 2 längdenheter. Samtidigt finner vi att ellipsens ekvation är ( x 2 )2 + y2 = 1 och ellipsen är inskriven i en rektangel med sidorna 2 respektive 4 längdenheter.
Vid den här avbildningen kommer cirkeln att avbildas på en ellips. Medan cirkeln har en diameter kännetecknas ellipsen av två axlar. Den kortaste axeln, lillaxeln är lika stor som cirkelns diameter och den större axeln, storaxel är i det här fallet dubbelt så stor som cirkelns diameter. Eftersom cirkelområdets area är π 4 av kvadratområdets area så är ellipsområdets area π 4 av rektangelområdets area, alltså 2π.
Samtidigt är det så att cirkelns ekvation x 2 1 + y 2 1 =1 genom avbildningen övergår i ellipsens ekvation ( x 2 )2+ ( y 1 )2= 1. Mer generellt gäller att en ellips med medelpunkten i origo, storaxeln 2a och lillaxeln 2b har ekvationen ( x a )2+ ( y b )2= 1.
Cirkeln har en medelpunkt. Ellipsen har i stället två brännpunkter som i figuren benämns P och Q. Cirkeln bestäms av alla punkter i planet som har ett visst avstånd till medelpunkten. Ellipsen består i stället av alla punkter A i planet sådana att PA + QA är konstant. Konstanten är lika med längden av storaxeln. För att konstruera en ellips kan man således utgå från två brännpunkter P och Q och en sträcka som är lika stor som storaxeln.
För att rita en ellips med storaxeln 10 cm kan du fästa ändpunkterna på en 10 cm lång tråd i punkterna P och Q och därefter sträcka tråden till A med spetsen av en penna. Genom att successivt flytta punkten A med pennan kan du rita ellipsen.
En intressant egenskap hos ellipsen är att en stråle från brännpunkten P mot A reflekteras mot den andra brännpunkten Q, viket ger elipsen en rad praktiskt användbara egenskaper.
Det här avsnittet är, liksom avsnittet om parabeln, intressant eftersom det finns en rad naturvenskapliga tillämpningar. Om någon elev skulle få problem med det avsnittet så är det bara att successivt följa med i förklaringarna i facit.
ELLI P SENS EKVATION
Vi börjar med att utgå från en cirkulär cylinder. Genom cylindern gör vi ett plant snitt. Snittets form blir då en ellips.
978-91-44-15783-2_02_book.indd
Om cylindern varit inskriven i ett rätblock hade basytan blivit inskriven i en kvadrat och snittet inskrivet i en rektangel.
Om vi ritar in de här figurerna i var sitt koordinatsystem och om cirkelns radie är 1 längdenhet, finner vi att cirkelns ekvation är x2 + y2 = 1 och att cirkeln är omskriven av en kvadrat med sidan 2 längdenheter. Samtidigt finner vi att ellipsens ekvation är (x 2)2 + y2 = 1 och att ellipsen är inskriven i en rektangel med sidorna 2 respektive 4 längdenheter.
y x y x
4.9 Vilken area har ellipsområdet i figuren?
Svar:
En cirkel har en diameter. Ellipsen har i stället två axlar. Den längsta axeln (blå i föregående figur) kallas för storaxeln. Den kortaste axeln (röd i föregående figur) kallas för lillaxeln. I figuren är storaxeln 4 längdenheter och lillaxeln 2 längdenheter.
En ellips vars storaxel går i x-led och är 2a längdenheter och vars lillaxeln går i y-led och är 2b längdenheter har ekvationen (x a)2+ ( y b)2= 1.
4.10 Följande ellipser har medelpunkten i origo. Bestäm storaxelns och lillaxelns storlek och rita grafen så noggrant du kan.
a) (x 3)2 + y2 = 1 y x 12345 -5 -4-3-2 -2 -3 -1 -1 2 3 1
Det förra avsnittet handlade om Pascals triangel och hur man kan uttrycka
talen i tabellen i formen ( n k ). Vi ska nu gå ett steg till och mot denna bakgrund studera sambandet mellan de så kallade triangeltalen, kvadrattalen och kubiktalen.
Triangeltalen, alltså talen 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 finner du som det tredje talet i Pascals triangel (från och med rad 2). Triangeltalen har här skrivits med fetare stil.
Triangeltalen kan således skrivas i formen ( n 2 ). Genom att studera tabellen närmare finner man att summan av de fyra första triangeltalen, alltså 1 + 3 + 6 + 10 = 20. Talet 20 finner man i sin tur till höger om talet 10 och på raden nedanför. Detta kan man uttrycka som ( 2 2 ) + ( 3 2 ) + ( 4 2 ) + ( 5 2 ) = ( 6 3 )
Mer generellt gäller, att eftersom det n:te triangeltalet är ( n + 1 2 ) = (n + 1) · n 2 · 1 så är summan av de n första triangeltalen ( n + 2 3 ) = (n + 2) (n + 1) · n 3 · 2 · 1
Vi övergår därefter till att studera de udda talen och finner då att de ger upphov till kvadrattalen
1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Det finns i själva verket också ett samband mellan kvadrattalen och triangeltalen vilket framgår av följande mönster där additionen sker kolumnvis:
Summan av triangeltal (n – 1) och triangeltal n är alltså lika med kvadrattal n Detta leder i sin tur till att summan av de n första kvadrattalen kan skrivas ( n + 2 3 ) + ( n + 1 3 ).
På motsvarande sätt finns det ett intressant samband mellan kubiktal, kvadrattal och triangeltal. Kubiktalen är 1, 23, 33, 43, 53, 63, … alltså talföljden 1, 8, 27, 64, 125, 216, …
Genom att studera addition av kubiktal kan man också finna ett mönster som länkar samma kubiktal och kvadrattal:
Det här ger oss en formel för att addera kubiktal:
13 + 23 + 33 + 4 3+ … n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2. Eftersom summan inom parentes är det nte triangeltalet, alltså (n + 1)n 2 så finner vi att
13 + 23 + 33 + 4 3+ … n3 = = (n + 1)2 n 2 4
Vi avslutar avsnittet med två intressanta satser.
Varje naturligt tal kan skrivas som en summa av högst tre triangeltal.
Varje naturligt tal kan skrivas som summan av högst fyra kvadrattal.
I det här avsnittet visas hur de udda talen, triangeltalen, kvadrattalen och kubiktalen är sammanlänkade av intressanta samband. Tanken är att detta ska ge exempel på en viktig struktur i ämnet matematik, nämligen att den består av intressanta samband, inte av en rad lösryckta formler.
Det här kapitlet bör inte läsas i ett sträck utan del för del och med eftertanke. I annat fall ser eleverna inte de intressanta sambanden utan bara en massa formler. Detta är inte heller tanken att eleverna ska lära sig de här formlerna utantill. Det gäller i stället att kunna följa med i härledningarna.
ELEVBOK: s. 16–23
Film: Triangeltal, kvadrattal och kubiktal
TRIANGELTAL, KVA D RATTAL OCH K U BIKTAL
Vi ska i det här avsnittet arbeta vidare med Pascals triangel och studera triangeltal, kvadrattal och kubiktal. Du har kanske mött de här talen tidigare i Variabel B.
Triangeltalen är de tal du får om du i tur och ordning adderar de naturliga talen:
+ 5 = 15 osv.
1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 +
Namnet triangeltal beror på att man kan beskriva talen som trianglar:
1.26 Vilket är det
a) sjätte triangeltalet?
b) sjunde triangeltalet?
c) åttonde triangeltalet?
Om du studerar Pascals triangel lite närmare finner du att summan av de tre första triangeltalen, alltså 1 + 3 + 6 = 10. Talet 10 finner du i Pascals triangel till höger om talet 6 och på raden under.
Det betyder att ( 2 2 ) + ( 3 2 ) + ( 4 2 ) = ( 5 3 )
1.27 Gäller detta även för de 4, 5 och 6 första triangeltalen? Undersök detta i triangeln och ange summan.
I Pascals triangel finner du både de naturliga talen och triangeltalen. De naturliga talen finner du som det andra talet från vänster, och triangeltalen som det tredje talet från vänster, i triangeln. I figuren har triangeltalen skrivits med fetare stil.
Vi ska nu studera vad detta innebär algebraiskt. Det femte triangeltalet är ( 6 2 ) = 15 återfinns som det tredje talet på rad 6 i Pascals triangel.
978-91-44-15784-9_01_book.indd 16 2024-02-12
978-91-44-15784-9_01_book.indd 17
Genom att generalisera det här resonemanget finner vi att det n:te triangeltalet är ( n + 1 2 ) = (n + 1) · n 2 · 1 och att summan av de n första triangeltalen är (n + 2) (n + 1) · n 3 · 2 · 1
1.28 För att kontrollera om det här gäller generellt kan vi addera summan av de n första triangeltalen alltså (n + 2 3 ) med det (n + 1):a triangeltalet, alltså (n + 2 2 ) Beräkna summan av dessa två tal och se om det stämmer med formeln.
Vi ska nu studera kvadrattalen och börjar med att koppla samman dem med de udda talen
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 … Vi finner då att 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32
1.29 Pröva om detta mönster gäller även för fler termer.
Svar:
1.30 Teckna det n:te talet serien 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Svar:
2024-02-12
TRIANGELTAL, KVADRATTAL OCH KUBIKTAL
Du kan komma fram till samma resultat genom att studera följande figur.
Om du börjar i det övre vänstra hörnet finner du en gul ruta. Kring den gula rutan finner du tre vita rutor. Summan av dessa två tal, alltså 1 och 3 är en kvadrat med arean 22. Kring den nya kvadraten finner du fem gula rutor. Summan av alla rutorna alltså 1 + 3 + 5 är återigen en kvadrat men arean 32. Osv. När du så småningom adderar
2n – 1 rutor så får du den n:e kvadraten med arean n2. Detta ger formeln 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2
Vi ska nu bestämma summan av en serie med kvadrattal genom att jämföra kvadrattalen med triangeltalen. Vi börjar med att skriva upp två rader med triangeltal och därefter addera dem
1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66
+ 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121
1.31 Studera summan av de två triangeltaken i respektive kolumn ovan. Vad kan du dra för slutsats om relationen mellan kvadrattal och triangeltal?
Svar:
2024-02-12 16:23
978-91-44-15784-9_01_book.indd 19
Vi ska nu gå vidare och studera relationen mellan kubiktalen och triangeltalen.
Att summan av det sjätte triangeltalet och det sjunde triangeltalet är lika med det sjunde kvadrattalet kan illustreras så här:
Du vet redan att summan av de n första triangeltalen är
( n + 2 3 ) = (n + 2) (n + 1) · n 3 · 2 · 1 vilket också kan skrivas n3 + 3n 2 + 2n 6
Du vet också att summan av de n-1 första triangeltalen är ( n + 1 3 ) vilket kan skrivas n3 n 6
Du finner alltså att summan av de n första kvadrattalen är
Du har därmed en formel för att bestämma summan av de n första kvadrattalen. Ofta är det emellertid enklare att direkt använda sig av ( n + 2 3 ) + ( n + 1 3 )
1.32 Bestäm summan av de a) 4 första kvadrattalen.
b) 6 första kvadrattalen.
c) 10 första kvadrattalen.
1.36 Vad kan du dra för slutsats av detta om n är ett mycket stort tal?
Svar:
Kubiktalen är 1, 23, 33, 43, 53, 63, … alltså talföljden
1, 8, 27, 64, 125, 216, … När det gällde både triangeltalen, och kvadrattalen kunde du hitta samband med de positiva udda heltalen. Nu är frågan om du kan finna motsvarande mönster för kubiktalen.
1.37 Försök finna kubiktal genom att gruppera talen i följande talföljd.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31… ?
Svar:
1.38 Pröva om detta mönster gäller även för större tal.
Svar:
Genom att studera addition av kubiktal kan du också finna ett mönster
Det här ger oss en formel för att addera kubiktal:
13 + 23 + 33 + 43 + … n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2
Lägg nu märke till att 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = det n:te triangeltalet.
1.33 Hur många enhetskuber behöver du för att bygga en pyramid av det här slaget som är a) 4 enhetskuber hög?
b) 10 enhetskuber hög?
c) n enhetskuber hög?
av kubiktal
vi
våra kunskaper om kvadrattal med en speciell uppgift.
1.34 Hur många enhetskuber behöver du för att bygga en kub som är
a) 4 enhetskuber hög?
b) 10 enhetskuber hög?
c) n enhetskuber hög?
1.35 Bestäm förhållandet mellan pyramidens volym och kubens volym när båda är n enhetskuber höga.
Svar:
978-91-44-15784-9_01_book.indd 21 2024-02-12
TRIANGELTAL, KVADRATTAL OCH KUBIKTAL
1.39 Ge mot denna bakgrund en formel för att bestämma summan av de första n kubiktalen.
Svar:
1.40 Bestäm summan av de 10 första kubiktalen.
Svar:
Vi avslutar det här kapitlet med att studera några andra intressanta egenskaper hos triangeltal och kvadrattal. Du kommer säkert ihåg Goldbachs förmodan som säger att varje jämnt tal kan skrivas som summan av två primtal. Som exempel är
42 = 5 + 37 = 11 + 31= 13 + 29 = 19 + 23.
Det finns flera andra summor av motsvarande slag. Till skillnad från Goldbachs förmodan finns det bevis för att följande satser gäller.
Varje naturligt tal kan skrivas som en summa av högst tre triangeltal.
1.41 Visa att följande tal kan skrivas som summan av högst tre triangeltal.
a) 17
b) 26
c) 35
Varje naturligt tal kan skrivas som summan av högst fyra kvadrattal.
1.42 Visa att följande tal kan skrivas som summan av högst fyra kvadrattal.
”Med Variabel vill vi ge intresserade elever fördjupade kunskaper i matematik och en inblick i ämnets estetiska kvaliteter.”
(Karlsson, Kilborn)
Elever som visar en hög nivå i matematik och behöver stimulans och utmaning i matematikundervisningen, har nu tillgång till ett unikt läromedel i problemlösning och matematik.
I Variabel C1, Variabel C2 och Variabel C3 behandlas olika matematiska områden. Varje område består av en serie problemlösningsuppgifter som erbjuder en variation av metoder och lösningar. Till respektive bok hör ett digitalt läromedel. I elevernas digitala läromedel finns filmer och inläst text samt utförligt facit till alla uppgifterna.
Variabel C Lärarhandledning används till elevböckerna Variabel C1, Variabel C2 och Variabel C3. Lärarhandledningen bland annat ett omfattande facit med stöd och förklaringar till hur man kan lösa problemen och de olika uppgifterna. Till varje avsnitt finns också en kort filmad introduktion och en power pointpresentation. Inledningen till boken presenterar den forskning som författarna utgått från när de skapade serien Variabel.
Natalia Karlsson är docent och lektor i matematik med inriktning mot didaktik. Hon arbetar för närvarande som lärarutbildare vid Södertörns högskola och hennes forskning behandlar elevers och studenters uppfattning om matematik.
Wiggo Kilborn var tidigare universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och arbetar nu som konsult inom utbildningsområdet. Han har mångårig erfarenhet av lärarutbildning och skolforskning. studentlitteratur.se
