9789144139647

FAVORIT MATEMATIK 9 Lärarpaket – Digitalt + Tryckt

LÄS OCH PROVA LÄRARPAKETETS SAMTLIGA DELAR

ännu B ä t t r e

s n a m m a s l til

FAVORIT MATEMATIK 9 Lärarpaket – Digitalt + Tryckt Den beprövade, finska matematikserien Pii är översatt och bearbetad för svenska förhållanden och har blivit Favorit matematik 7-9.

Favorit matematik 7-9 är ett heltäckande läromedel där alla elever får det stöd och den stimulans de behöver. Favorit matematik innehåller varierat material oavsett vilken betygsnivå eleven strävar mot.

LÄRARHANDLEDNING

DIGITALA RESURSER

I Favorit matematik är varje lektion viktig och har ett tydligt mål. Författarna ger dig förslag på arbetsgång men du väljer! Alla lektioner har likadana resurser och i den tryckta lärarhandledningen finns länkar som visar att det finns mer innehåll i lärarens digitala resurs.

Bläddra och se här i smakprovet.

I den digitala delen finns lärarboken som e-bok, med klickbara länkar som bland annnat leder till: Förberedda genomgångar till varje exempel, facit, formativa frågor till varje lektion, GeoGebrasimuleringar, kapitelprov med bedömningsanvisningar samt alla kopieringsunderlag som nedladdningsbara filer.

KAPITELPROV

KOPIERINGSUNDERLAG

Kapitelproven finns i två versioner, med tillhörande bedömningsunderlag. Alla prov går att läsa på skärmen, att ladda hem som pdf och som redigeringsbara Word-filer.

I det tryckta kopieringsunderlaget finns, förutom kapitelprov i två versioner med tillhörande bedömningsunderlag, fyra kopieringsunderlag till varje lektion: Öva mer – E-uppgifter. Öva mer – E/C-uppgifter. Öva mer – C-uppgifter. Laborera mer.

Interaktiv version av lärarmaterialet, i vilken det går att söka, stryka under, anteckna och länka

klicka på bilden och prova

Här hittar du filmer, presentationer, kopieringsunderlag, facit, prov och mycket mer.

i Studentlitteratur AB Box 141 221 00 LUND Besöksadress Åkergränden 1 Telefon 046-31 20 00 studentlitteratur.se

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Redaktion: Ingeli Jönsson Stegmark, Tommy Lundahl Anpassning av uppgifter: Per Berggren, Maria Lindroth, Nafi Zanjani Omslag: Francisco Ortega Omslagsbild: Shutterstock Översättning: Cilla Heinonen Art.nr 39367 ISBN 978-91-44-11963-2 Upplaga 1:2 © 2020 Studentlitteratur AB för den svenska utgåvan Originalets titel: Nya Pi 9 © 2019 Publishing Company Otava, Helsingfors Heinonen, Luoma, Mannila, Rautakorpi-Salmio, Tapiainen, Tikka, Urpiola Printed by GPS Group, Austria 2021

Tidsplan

Tidsplan

i Arbeta med Favorit matematik 4 1 Sannolikhet 8 1 Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Fördjupning: Fakultet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Klassisk sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Tärningskast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Programmering: Kast med två tärningar . . . . 24 4 Flera händelser i följd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Statistisk sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6 Som minst eller som mest? . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Sant eller falskt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8 Kombinationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9 Produktprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Samband och funktioner 54 1 Samband och förhållanden . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Fördjupning: Valutakurser . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 Omvänd proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Grafer och tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6 Tolka grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7 Grafen till en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10 Rita en linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11 Punkter på en linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12 Linjens lutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 13 Linjens placering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 14 Bestäm räta linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . 106 15 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3 Geometriska kroppar och skala 116 1 Geometriska kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Fördjupning: Jordens yta . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2 Rita geometriska kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 Enhetsomvandlingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4 Begränsningsarean och volymen av rätblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5 Begränsningsarean av ett prisma . . . . . . . . . 134 6 Volymen av ett prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7 Begränsningsarean av en cirkulär cylinder . 142 8 Volymen av en cirkulär cylinder . . . . . . . . . . 146 9 Beräkningar av olika kroppar . . . . . . . . . . . . . 150 Fördjupning: Mått från världen . . . . . . . . . . . 153 10 Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Fördjupning: Gyllene snittet . . . . . . . . . . . . . . 157 11 Tillämpningar av skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12 Areaskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 13 Volymskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 14 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4 Pythagoras sats och fler geometriska kroppar 176 1 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Programmering: Pythagoras sats . . . . . . . . . 183 2 Beräkna hypotenusan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3 Beräkna kateterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4 Är triangeln rätvinklig? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Fördjupning: Rätvinklig triangel och cirkel . 195 5 Tillämpningar med Pythagoras sats . . . . . . . 196 6 Begränsningsarean av en pyramid . . . . . . . . 200 7 Volymen av en pyramid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8 Begränsningsarean av en cirkulär kon . . . . . 208 9 Volymen av en cirkulär kon . . . . . . . . . . . . . . 212 10 Begränsningsarean av ett klot . . . . . . . . . . . . 216 11 Volymen av ett klot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Fördjupning: Klot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 12 Geometriska kroppar i praktiken . . . . . . . . . 224 Programmering: Geometriska kroppar . . . . 228 13 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5 Repetition åk 7–9 234 1 Egenskaper hos tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 2 Heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 3 Grundpotensform och närmevärde . . . . . . . 244 4 Tal i bråkform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 5 Procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6 Procentuell förändring och jämförelse . . . . . 256 7 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 9 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 10 Algebraiska uttryck och dess värde . . . . . . . 272 11 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 12 Proportionalitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 13 Samband och formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 14 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 15 Linjens ekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 16 Vinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 17 Längd och area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 18 Cirkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 19 Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 20 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 21 Volymenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 22 Geometriska kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6 Inför NP 322 1 Taluppfattning och tals användning . . . . . . . 324 2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 3 Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 4 Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 5 Samband och förändring . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Facit till repetitionsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Facit till E/C och A-uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Lösningar till A-uppgifterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

i Arbeta med Favorit matematik Välkommen till Favorit matematik! Här får du en snabb introduktion till materialet.

Elevpaketet består av en tryckt bok och en mycket omfattande digital resurs. Eleven aktiverar den med hjälp av instruktionerna och koden på omslagets insida. I den digitala delen finns bland annat över 300 filmer som stöd för inlärningen. På samma sätt finns en mycket omfattande digital resurs till lärarpaketet. I den ingår även elevpaketets digitala resurs.

Bokens upplägg

I Favorit matematik 9 får eleven lära sig ett litet moment i taget. Momenten är indelade i lektioner. Lektionerna bygger oftast på varandra och kommer i en viss ordning för att det ska bli så lätt som möjligt att förstå.

Lektionerna inleds med förklaringar och räkneexempel. Dessa finns i den digitala delen som filmer, där erfarna matematiklärare förklarar för eleven och räknar igenom alla exempel. Efter förklaringarna kommer uppgifter som är ordnade efter svårighetsgrad och märkta med förmågor.

Repetitionsuppgifterna är på E/C-nivå och finns även som interaktiva uppgifter i den digitala delen. Vill eleven träna mer på lektionens moment, finns det i den digitala delen länkar till många extra uppgifter: Öva mer E, Öva mer E/C och Öva mer C. Lektionerna är samlade i kapitel. Varje kapitel avslutas med repetition och sammanfattning. I den digitala delen finns interaktiva uppgifter på kapitlets begrepp och metoder.

4

Filmer

EXEMPEL 1

Alla förklaringar och räkneexempel finns som filmer i den digitala delen. En erfaren matematiklärare går igenom lektionens innehåll. Eleven kan lyssna i sin egen takt, så många gånger eleven vill. Även alla räkneexempel finns som filmer där en annan lärare räknar exemplet och förklarar lugnt och metodiskt. Totalt finns det mer än 300 filmer som handlar om precis det som står i boken.

Eleven har varit sjuk och har missat matematiklektionerna förra veckan. Vad ska eleven göra?

Lösning:

Läs förklaringarna i boken. Om eleven inte förstår, logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen med texten Förklara!

Ett tal anger antal (mängd), ordning eller storhet (t.ex. vikt, längd, tid). Ett tal består av siffror. I det decimala talsystemet finns tio Förklara! siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. De kallas arabiska siffror.

EXEMPEL 2

Eleven klickar på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare förklarar precis det som står i boken.

Eleven var med på lektionen, men förstod inte riktigt när du räknade och förklarade.

Eleven läser räkneexemplet, men förstår inte riktigt ändå. Eleven behöver någon som förklarar en gång till. Vad ska eleven göra?

Lösning:

Räkna!

EXEMPEL 1

Logga in i den digitala delen, öppna den digitala boken och klicka på symbolen i marginalen vid räkneexemplet (under den första i varje lektion står det Räkna!). En lärare räknar igenom exemplet och förklarar. Eleven kan lyssna i egen takt, hur många gånger helst.

Skriv talet 2 356 i utvecklad form.

Lösning:

I talet 2 356 har siffrorna följande talsorter:

Eleven klickar på den röda symbolen för att starta filmen där en matematiklärare räknar exemplet i boken och förklarar.

Visa!

Det finns mycket mer i den digitala delen, t.ex. hela boken i digital form, inläst med textföljning (klicka på texten för att få den uppläst). Klicka på symbolen för att se en film om hur den digitala delen fungerar.

5

Bokens olika uppgifter

Det finns en kursplan som beskriver vad man ska kunna i matematik. För att det ska bli rättvist och tydligt, gör alla elever i Sverige ett nationellt prov i årskurs 9. Man får då göra uppgifter som är på olika nivå och som testar olika förmågor.

I Favorit matematik 9 är alla uppgifter indelade i grupper utifrån svårighetsgrad. Vi använder samma bokstäver som för betygen: E, C och A. E-uppgifter är de som eleven måste klara för att få godkänt. C-uppgifterna är svårare och A-uppgifterna svårast.

Det finns olika typer av E-, C- och A-uppgifter, som testar olika förmågor att lösa matematiska problem: • Begrepp (B) – testar om eleven förstår matematiska ord och begrepp, samt kan använda dem.

• Metod (M) – testar om eleven kan metoder för beräkningar.

• Problemlösning (P) – testar om eleven kan lösa olika problem som presenteras, och kan begreppen och metoderna som krävs för att kunna lösa problemet.

• Kommunikation (K) – testar om eleven med ord, bilder och symboler kan förklara ett matematiskt problem.

Begrepp och metod är en förutsättning för att eleven ska klara problemlösning och kommunikation. Därför lägger vi mycket fokus på de förmågorna i början.

I boken finns även många andra typer av uppgifter: Diskutera, Laborera, Resonera, Fördjupningar, Historiska nedslag och programmeringsuppgifter.

Märkning av uppgifter

Det är tydligt i boken hur svår uppgiften är och vilken förmåga den tränar. E/C-uppgifter kommer först, under en egen rubrik. Uppgifterna är ordnade efter svårighetsgrad, med den lättaste först. Gränsen mellan E- och C-uppgifter är markerad med en streckad linje.

E/C-UPPGIFTER

Uppgift 1 tränar framförallt förmågan Begrepp medan uppgift 9 framförallt tränar förmågan Metod.

1 Granska talet 67,103. Vilken är talets B a) heltalsdel b) decimaldel?

EC

9 Räkna utan miniräknare.

M a) 13 ∙ 2,4 b) 5,04 ∙ 3,9 c) 13,6 / 8 d) 6 / 0,2 Den streckade linjen visar gränsen mellan E- och C-uppgifter.

Under uppgiftsnumret ser eleven vilken eller vilka förmågor den uppgiften huvudsakligen tränar på: B = Begrepp, M = Metod, P = Problemlösning, K = Kommunikation.

6

A-uppgifterna är inte så många, men svårare. Eleven bör först vara säker på alla grunder på E- och C-nivå innan eleven går vidare med utmaningarna i A-uppgifterna och Resonera-/Laborera-uppgifterna. Eleven försöker först klara uppgifterna på egen hand innan eleven ber någon om hjälp. Det är viktigt att eleven verkligen förstår uppgifterna så att eleven klarar av att lösa liknande uppgifter själv på proven.

Det blir tydligt vad eleven kan och vad eleven behöver träna mer på

Till varje kapitel hör ett prov. Det ser ut precis som det nationella provet. När eleven får tillbaka provet finns en tabell, där eleven kan se vilka olika typer av uppgifter eleven har klarat. Eleven kan titta på den och se vilka typer av uppgifter eleven behöver träna mer på i fortsättningen.

Lycka till!

UPPGIFTER 1 Bläddra i boken och hitta exempel på a) E-uppgifter, C-uppgifter, A-uppgifter och extra E-, C- och A-uppgifter b) uppgifter som tränar problemlösning, metod, begrepp och kommunikation.

2 Vad är det för skillnad på en förklaring och ett räkneexempel?

3 Läs instruktionerna på omslagets insida och aktivera den digitala delen.

4 Öppna den digitala boken och gå till sidan 5. Titta på filmen om den digitala delen genom att klicka på länken längst ned på sidan.

5 Klicka runt i boken och hitta minst fem olika saker du kan göra. Jämför med resten av klassen och se om ni har hittat olika saker.

6 Fundera på hur du vill använda de olika delarna som finns i den digitala delen. Tänk igenom vad du tror passar dig bäst!

7

1

Sannolikhet

I det här kapitlet får du lära dig hur • Dirichlets lådprincip fungerar • den matematiska betydelsen av orden och, eller och inte används.

• olika kombinationer kan beräknas t.ex. med hjälp av träddiagram.

• produktprincipen och sannolikhet används.

• klassisk sannolikhet skiljer sig från statistisk sannolikhet.

• sannolikhet beräknas med vardagliga exempel som tärningar och kortlekar samt begrepp som beroende och oberoende händelser i ett och flera steg.

Centralt innehåll • Likformig sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikheten i vardagliga situationer.

• Hur kombinatoriska principer kan användas i enkla vardagliga och matematiska problem.

1 Sannolikhet i När det frågas efter hur möjligt det är att en viss händelse inträffar är det händelsens Förklara! sannolikhet som beräknas. Ju större möjligheten är för att en händelse ska inträffa, desto större är sannolikheten.

HUVUDRÄKNING i Skriv

Alla sektorer i lyckohjulet på bilden är lika stora.

V

57 % som ett decimaltal (0,57) 76 % som ett decimaltal (0,76) 27/100 som ett decimaltal (0,27) 3/10 som ett decimaltal (0,3) ½ i procent (50 %) ¾ i procent.

(75 %)

V

F

F V

Eftersom vinstsektorerna (V) är fler än förlustsektorerna (F) är sannolikheten för vinst större än sannolikheten för förlust.

Sannolikhet anges i bråk-, decimal- eller procentform. Sannolikheten för en omöjlig händelse är 0. För en säker händelse är sannolikheten 1, alltså 100 %. Sannolikheten befinner sig alltid inom intervallet 0–1, alltså 0–100 %. Sannolikheten betecknas med P från engelskans probability. En viss händelse kan betecknas med A. Sannolikheten för att händelse A inträffar är 0 ≤ P (A) ≤ 1. omöjlig

lika stor sannolikhet

säker

Räkna!

EXEMPEL 1

osannolik

sannolik

0

1

0%

100 %

1 6

1 = 50 % 2

”Vi får en fyra.”

”Vi får klave.”

2 3

”Bollen är blå.”

Hur stor är sannolikheten a) att du får antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 när du kastar en sexsidig tärning b) att du får en åtta när du kastar en sexsidig tärning?

Lösning och svar: a) När vi kastar en tärning är resultatet med säkerhet antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6.

Sannolikheten för resultatet 1–6 är 1, det vill säga 100 %. b) Sannolikheten för att få en åtta vid ett tärningskast är 0 %, eftersom 8 inte finns med på en sexsidig tärning.

10

EXEMPEL 2

Är sannolikheten för vinst större än sannolikheten för förlust, om var fjärde lott är en vinstlott?

Lösning:

Vinstmöjligheten är 1 = 25 % och förlustmöjligheten 3 = 75 % . Det finns tre gånger 4 4 så många tomma lotter som det finns vinstlotter.

TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT

TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT

TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT

TRISS- TRISS- TRISSLOTT LOTT LOTT

TRISSLOTT

TRISSLOTT

TRISSLOTT

TRISSLOTT

V

V

V

V

EXEMPEL 3

Svar: Det är mer sannolikt att du förlorar än att du vinner.

Enligt en väderleksrapport är sannolikheten för regn i morgon 30 %.

Vilken är sannolikheten för att det inte regnar i morgon?

Lösning:

Sannolikheten för att det inte regnar i morgon får vi genom att från 100 procent subtrahera sannolikheten för att det regnar.

100 % − 30 % = 70 % Svar: Sannolikheten för att det inte regnar i morgon är 70 %.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Bedöm för vilken färg sannolikheten för vinst i lyckohjulet är a) störst b) minst.

BM

2 Vi kastar en sexsidig tärning. Skriv utfallen från det mest osannolika till det mest sannolika.

A: Vi får 8.

B: Vi får ett jämnt tal.

C: Vi får högst 6.

D: Vi får 6.

BM

11

3 Skriv händelserna från den mest osannolika till den mest sannolika när vi lottar fram bokstäver ur alfabetet från A till Ö.

A: Vi får bokstaven A eller E. B: Vi får en annan bokstav än bokstaven Ä.

C: Vi får bokstaven Ä.

D: Vi får en konsonant.

BM

4 Skriv händelserna från den mest osannolika till den mest sannolika när vi singlar slant: A: Vi får krona.

B: Vi får krona eller klave.

C: Myntet ställer sig på kant.

D: Vi får klave.

BM

8 Med vilket lyckohjul är sannolikheten för vinst (V) a) störst b) minst?

MK

Lyckohjul 1 F

Lyckohjul 2 V

F

F

F V

F

F F

V

Lyckohjul 3

F

F F

F

V F

V F V

F F

F

9 I en simtävling lottas banorna ut till de åtta simmarna. Är det mer sannolikt, att en av deltagarna får a) bana 1, än någon av banorna 2–8 b) bana 1 eller 8, än bana 4 c) bana 5, än att hon inte får den d) någon av de två yttersta banorna, än någon av de två mittersta?

MK

5 Är det mer sannolikt att du vinner (V) eller förlorar (F)?

BM

F

V

F

F

V

F F

V

6 Hur stor är sannolikheten för uppehållsväder, om sannolikheten för regn är a) 25 % b) 80 % 1 c) ?

2

BM

7 Med hur stor sannolikhet sitter det inga fåglar på ett fågelbord, om sannolikheten för att det sitter fåglar på fågelbordet är a) 15 % b) 42 % 3 c) ?

4

BM

12

10 Är påståendet sant eller falskt?

BK Motivera. a) En mamma väntar sitt fjärde barn.

Barnet är med säkerhet en pojke, eftersom hennes tre första barn också är det. b) Eftersom sannolikheten för regn i morgon är 80 %, så är sannolikheten för att det inte regnar 20 %. c) Vi har singlat slant tre gånger och fått krona varje gång. Sannolikheten för krona och klave är lika stor i det fjärde kastet.

11 På en ostbricka ligger 30 bitar brie MK och 120 bitar hårdost. a) Är det mer sannolikt att en slumpmässigt utvald bit är en briebit? b) Hur många bitar måste William åtminstone ta, för att med säkerhet få en bit brie?

12 I en låda ligger tio svarta, sex blåa och MK fyra röda suddgummin. Du tar suddgummin ur lådan utan att se vilket du tar. a) Vilken färg på suddgummit är det mest sannolikt att du får? b) Vilken färg är det minst sannolikt att du får? c) Hur många suddgummin måste du ta ur lådan för att med 100 % säkerhet få två blå suddgummin?

13 Är sannolikheten för händelsen större MK eller mindre än hälften? Ett slumpmässigt utvalt naturligt tal som är mindre än en triljon är a) 10 b) delbart med talet 5 c) udda.

14 I en korg ligger 5 mössor, varav minst MK en är beige, en lila och en turkos. Lista ut hur många mössor det finns i varje färg, om sannolikheten för att en slumpmässigt vald mössa är lila eller turkos är lika stor och sannolikheten för att en slumpmässigt vald mössa är beige är a) störst b) minst.

15 På en idrottsplan finns 8 löparbanor.

MK Hur många gånger mer sannolikt är det att en löpare a) springer på bana 4 eller 5 än på bana 1 b) inte springer på bana 8 än att löparen gör det c) springer på en bana med ett jämnt nummer än på bana 3?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

13

REPETITION

i

16 Det finns 7 gula, 2 röda och 3 gröna M tuggummin i en burk. Du tar ett utan att titta. Skriv händelserna i ordning från det mest osannolika till det mest sannolika.

A: Du får ett rött.

B: Du får ett gult.

C: Du får ett rött eller ett gult.

D: Du får ett grönt.

17 Experterna uppskattar hemmalagets BM vinstchans till 45 % och sannolikheten för oavgjort till 20 %. Hur stor är sannolikheten för att hemmalaget a) antingen vinner eller spelar oavgjort b) förlorar?

18 I en hatt ligger tio sifferlappar med MK talen från ett till tio. Är sannolikheten större eller mindre än hälften för att talet du drar ur hatten är a) 7 b) 3–9 c) högst 3 d) 0 e) mindre än 20 f) udda?

19 Uppskatta med hur stor sannolikhet MK det a) kommer att vara minusgrader om en timme b) inte regnar i morgon på morgonen.

20 Ge ett exempel på en PK a) säker händelse b) möjlig men osannolik händelse.

A

A-UPPGIFTER 21 Vad är mest och vad är minst BK sannolikt av att a) slå 5–6 på en vanlig 6-sidig tärning b) få 1–4 på en 10-sidig tärning c) få 6–11 på en 20-sidig tärning?

era Reson

i

Du kastar en 20-sidig tärning.

Vilken är sannolikheten för att du får a) ett primtal b) ett tal som är delbart med 5 c) en faktor i talet 20?

14

22 I en låda finns det 4 vita, 5 svarta MK och 7 blå strumpor. Hur många strumpor måste du minst ta för att vara säker på a) att få två olika färger b) att få två av samma färg c) att få två blå?

Facit

Facit

Formativa frågor

FÖRDJUPNING Fakultet Fakulteten av ett naturligt tal är produkten av alla heltal från ett upp till talet självt.

Fakultet betecknas med !. Fakultet gör det möjligt att beräkna på hur många sätt ett antal element kan placeras i olika ordningsföljd. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n − 1) ∙ n

där n är ett naturligt tal

EXEMPEL 5

EXEMPEL 4

1! = 1 2! = 2 ∙ 1 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 och så vidare n! = n ∙ (n −1)!

Beräkna a) fakulteten av talet 4

b) 5!

Lösning och svar: a) 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

b) 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

10! = 3 628 800. Hur mycket är då 11!?

Lösning och svar:

11! = 11 ∙ 10!

11! = 11 ∙ 3 628 800 = 39 916 800

C

C-UPPGIFTER 23 Beräkna.

BM a) 1! b) 2!

c) 6!

d) 13!

24 Beräkna.

BM a) 9! b) 10! c) Jämför resultaten för a) och b).

Vad märker du?

25 På hur många olika sätt kan du ordna MP a) siffrorna 0–9 b) bokstäverna A–N? 26 Vilket tal är det frågan om, om MP fakulteten av talet är 479 001 600 och fakulteten av talet som är ett mindre än vårt tal är 39 916 800? Beräkna svaret utan att beräkna fakulteten av något tal.

15

2 Klassisk sannolikhet i Olika händelser som kan inträffa kallas utfall. Utfallen är lika sannolika och ett utfall Förklara! kan inte inträffa samtidigt som något annat utfall. Den klassiska sannolikheten för att en händelse ska inträffa beräknas genom att det antal utfall som leder till en given händelse, det vill säga alla gynnsamma utfall, divideras med det totala antalet utfall. P(A) utläses ”P av A” och betyder sannolikheten att händelse A inträffar.

i 7HUVUDRÄKNING ∙4/2 (14)

EXEMPEL 2

Räkna!

EXEMPEL 1

P(A) = antalet gynnsamma utfall totala antalet utfall

15 / 3 ∙ 4 16 + 2 ∙ 5 16 − 2 ∙ 5 36 / 9 + 12 25 ∙ 2 − 36

Du singlar slant en gång. Vilken är sannolikheten för att du får krona?

Lösning:

(20) (26) (6) (16) (14)

Det gynnsamma utfallet är att du får krona.

Det finns totalt två utfall – ”krona” eller ”klave”.

Sannolikheten är 1 = 0,5 = 50 %.

2 Svar: Sannolikheten för att du får krona är 50 %.

Vilken är sannolikheten för att lyckohjulet a) stannar på en sektor med 0 b) inte stannar på en sektor med 0?

Lösning: a) Alla sektorerna är lika sannolika, eftersom de är

200

0

100

300

0

400 500

0

lika stora. Det finns 3 gynnsamma utfall och sammanlagt 8 möjliga utfall, alltså är sannolikheten 3 .

8 b) Det finns 5 gynnsamma utfall och sammanlagt 8 möjliga utfall, alltså är sannolikheten 5 .

8 3 Svar: a) Sannolikheten är .

8 5 b) Sannolikheten är .

8

a

Diskute r

Sannolikhet används ofta vid beräkningar i spel. Kan du komma på andra situationer så det pratas om sannolikhet?

16

i

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Du ska singla slant och hoppas på klave. a) Hur många gynnsamma utfall finns det? b) Hur många olika utfall finns det? c) Vilken är sannolikheten för att du får klave?

BM

6 En klass lottar fram sina sittplatser.

Vilken är sannolikheten för att en elev får en plats a) i främsta raden b) vid fönstret c) längst bak?

BM

lärare

2 Du vill ta en gul boll ur lådan. a) Hur många gynnsamma utfall finns det? b) Hur många olika utfall finns det? c) Vilken är sannolikheten för att du får en gul boll?

BM

fönster

7 Du drar ett kort ur en vanlig kortlek med 52 kort. Vilken är sannolikheten för att kortet du drar är a) hjärter ess b) 7 eller 8 c) klöver knekt, klöver drottning eller klöver kung?

BM

3 Du har singlat slant nio gånger. Du har fått klave varje gång. Vilken är sannolikheten för att du får a) klave b) krona nästa gång?

BM

4 Sektorerna är lika stora. Vilken är sannolikheten för att du lottar fram en a) rosa b) gul c) blå eller rosa d) blå, rosa eller lila sektor?

BM

5 Du drar ett kort ur en vanlig kortlek med 52 kort. Vilken är sannolikheten för att kortet du drar är a) rött b) en kung c) ruter?

BM

8 En vanlig kortlek innehåller till en början 52 kort. Du har dragit klöver två, klöver åtta och ruter två ur leken.

Vilken är sannolikheten för att det fjärde kortet du drar är a) spader b) 2 c) klöver d) 7 eller 8?

BM

9 En påse innehåller vita, blå och svarta MP pärlor. Om du tar en pärla ur påsen är sannolikheten för en vit pärla 2 och 11 sannolikheten för en blå 4 .

11 a) Vilken är sannolikheten för att få en svart pärla? b) Hur många pärlor kan påsen ha innehållit till en början?

17

10 Du kan slumpmässigt välja en bokstav PK ur ett ord. Ge exempel på ett ord för vilket påståendet är sant. a) Sannolikheten för att du väljer ett A är 20 %. b) Sannolikheten för att du väljer ett S är 50 %. c) Sannolikheten för att du väljer en vokal är 2 .

3 11 Du tar en penna från bordet utan att BM se efter. Vilken är sannolikheten för att du a) tar en bläck- eller blyertspenna b) inte tar en tuschpenna c) inte tar en tusch- eller bläckpenna?

13 Lotterna som säljs på en marknad är MP numrerade från ett till hundra. Alla lotter med ett tal som är delbart med fem är vinstlotter. Vilken är sannolikheten för att a) den första som köper en lott vinner b) den andra som köper en lott vinner, om den första köparen vann c) den tredje som köper en lott vinner, om de två första köparna inte vann?

14 Vilken är sannolikheten för att MP a) den första slumpmässigt utvalda frukten är en banan b) den fjärde slumpmässigt utvalda frukten är en persika, om de tre första var persika, äpple och plommon c) den tredje slumpmässigt utvalda frukten är ett äpple, om de första två var äpplen d) den sista slumpmässigt utvalda frukten är ett päron, om du redan har tagit 5 plommon, 6 äpplen, 2 päron och 2 persikor?

12 Vilken är sannolikheten för att ett BM slumpmässigt utvalt naturligt tal mellan 1–30 är a) jämnt b) delbart med talet 5 c) ett- eller tvåsiffrigt d) något annat än ett heltal? Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

18

i

REPETITION

15 Du ska slumpmässigt välja en av BM biljetterna på bordet. Vilken är sannolikheten för att biljetten är a) rosa b) blå c) gul?

T ET

LJ

BI

T

T

TT

JET

BI L J ET

T

B IL

B IL JE

ET

BI

JET

TT

LJ

ET

T

BIL

JET

T

TT

BI L J ETT

BIL

E LJ

B IL JE

ET

T LJ

T

B IL JE

BI

BI

BILJ ETT

T

TT

JET

BILJETT

JET

B IL JE

B IL

BI

LJ

TT

T

B IL

BILJ ETT

BILJETT

16 Vilken är sannolikheten för att du BM öppnar en hundrasidig bok på sidan a) 150 b) 1–100 c) 50?

17 En klass ska delta i en videotävling.

BM Agnes, Nova, Liv, Nils, Moa och Max har anmält sig frivilliga som filmare.

Klassen lottar fram filmaren. Vilken är sannolikheten för att det a) blir Max b) blir en flicka c) inte blir Agnes?

18 Axel tar upp ett kort i spelet memory.

BM Hur stor är sannolikheten för att han får ett par, om det finns kvar a) ett kort b) fem kort c) 11 kort?

A

A-UPPGIFTER 19 I ett spel finns en påse med fyra kulor, PK två vita och två röda. Två personer spelar mot varandra genom att dra en kula var. Den ena vinner om kulorna har olika färg och den andra vinner om de har samma färg. Vem har störst chans att vinna?

Facit

ra a LaLbaobroerer

Facit

20 I en påse finns det röda, vita och PK svarta kulor. Sannolikheten för att få en vit kula ur påsen är 25 och sannolikheten att få en röd kula är 13 . a) Hur stor är sannolikheten att få en svart kula? b) Hur många kulor av de olika färgerna kan det finnas i påsen?

Formativa frågor

i

2–3 personer spelar med två tärningar.

Turas om att kasta tärningarna och bilda det största möjliga talet: välj den ena tärningen till tiotalssiffran och den andra till entalssiffran. Följande spelare ska sedan kasta tärningarna och försöka bilda ett tal som är större än det föregående. Den som bildar störst tal vinner.

19

3 Tärningskast i

HUVUDRÄKNING i Hur många procent är

1?

2 1?

4 När en tärning kastas är det alltid det totala antalet utfall samma. De möjliga 1?

5 Förklara! utfallen är 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Oavsett hur många gånger tärningen kastas förändras 3 inte antalet möjliga utfall. Tärningskast är ett exempel på en oberoende händelse. 4 ?

2?

5 7?

När två tärningar kastas kan utfallen bli: 20

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

Räkna!

EXEMPEL 1

Totalt är det 6 ∙ 6 möjliga utfall. Kastas tre tärningar så blir det 6 ∙ 6 ∙ 6 möjliga utfall.

Antalet möjliga utfall beräknas med multiplikation.

Vilken är sannolikheten för att summan är högst 8 vid kast med två tärningar?

Lösning:

Vi gör en tabell över kasten och motsvarande summor.

7

8

9 10 11 12

6

7

8

9 10 11

5

6

7

8

9 10

4

5

6

7

8

9

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

Det finns 36 möjliga utfall, varav 26 är gynnsamma.

Sannolikheten är 26 = 0,722... ≈ 0,72 = 72 %.

36 Svar: Sannolikheten för att summan är högst 8 är 72 %.

20

Sannolikhet brukar uttryckas i procentform.

(50 %) (25 %) (20 %) (75 %) (40 %) (35 %)

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Hur stor är sannolikheten för att du får en etta, när du a) kastar en sexsidig tärning en gång b) fick en etta på det förra kastet c) fick en sexa på det förra kastet?

BM

2 Du kastar en tärning. Vilken är sannolikheten för att du får a) 3 b) 1 eller 2 c) 3, 4, 5 eller 6?

BM

3 Vilken är sannolikheten för att du kastar ett kast med en tärning och hamnar i ruta a) Ä b) U c) V?

BM

7 Stellas rollspelstärningar har olika antal sidor. Den fyrsidiga tärningen visar 1–4, den sexsidiga tärningen 1–6 och så vidare. Vilken är sannolikheten för att hon får max tre, om hon kastar en tärning med a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 f) 20 sidor?

MP

8 Du kastar två likadana tärningar.

Vilken är sannolikheten för att summan är a) mindre än 5 b) minst 9 c) minst 4 men högst 8?

MP

9 Du kastar två likadana tärningar.

Vilken är sannolikheten för att du får a) åtminstone en trea b) samma ögontal på båda tärningarna c) ögontalen 1 och 6?

MP

4 Vilken är sannolikheten för att du i fallet i uppgift 3 kommer till a) högst ruta T b) ruta Ä eller Ö c) åtminstone till ruta S?

MP

5 Du kastar en tärning. Vilken är sannolikheten för att du får ett tal som är a) mindre än 5 b) minst 4 c) högst 6?

MP

6 Du kastar två likadana tärningar.

Vilken är sannolikheten för att du får summan a) 5 b) 12 c) 1?

BM

10 Du kastar två tärningar. Vilken är MP sannolikheten för att summan av ögontalen är a) mindre än produkten av dem b) större än produkten av dem?

11 Du kastar en vit och en svart tärning.

MP Vilken är sannolikheten för att du får a) en sexa enbart med den svarta tärningen b) en sexa enbart med den vita tärningen c) en sexa med båda tärningarna?

21

12 I backgammon kastas två tärningar MP för att flytta en eller flera brickor. Om du får samma tal på tärningarna använder du dem två gånger. Du kan stanna på alla spetsar, utom sådana där motståndaren har två eller flera brickor. Om en spelare stannar på en spets där motståndaren har en bricka slås den brickan ut. Hur stor är sannolikheten för den röda spelaren att slå ut en av den vita spelarens brickor?

13 Du ska kasta två tärningar. Är det MP vettigt att slå vad om att åtminstone den ena tärningen kommer att visa a) 5 b) minst 5?

14 Du kastar två tärningar. Vilken är MP sannolikheten för att du a) inte får en sexa på någon av tärningarna b) får en sexa med bara den ena tärningen c) en sexa med åtminstone den ena tärningen?

15 Du ska kasta tre tärningar. Är det MP vettigt att slå vad om att åtminstone en av tärningarna kommer att visa a) ett b) ett jämnt tal?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

Laborera

i

Kasta två tärningar. Beräkna summan av tärningarna. Beräkna sannolikheten att det blev just din summa.

Upprepa tre gånger.

22

i

REPETITION

16 Du har kastat en tärning en gång och MP fått en etta. Vilken är sannolikheten för att du på nästa kast får a) 1 b) ett tal som är större än 1 c) ett udda tal?

19 Du kastar en tärning två gånger.

MP Vilken är sannolikheten för att a) det andra kastet ger ett större tal än det första b) det andra kastet är mindre eller lika med det första kastet?

17 Du kastar en grön och en orange MP tärning. Vilken är a) den mest sannolika summan av tärningarna b) sannolikheten för att summan är minst 8 c) sannolikheten för att summan är ett jämnt tal?

20 I Yatzy får du full poäng om du lyckas MP slå en yatzy, det vill säga om alla 5 tärningar visar samma tal. Du har 3 försök på dig, och du får efter varje omgång låta bli att kasta de tärningar som redan visar det antal du samlar på. Hur stor är sannolikheten för att du får yatzy a) på första kastet b) på det sista kastet, om du har lämnat kvar två femmor på bordet c) med de två sista kasten, om du på det första kastet fick 4 sexor?

18 Du kastar en tärning två gånger.

MP Vilken är sannolikheten för att a) båda kasten ger samma tal b) summan av kasten är mindre än 8?

A

A-UPPGIFTER 21 Du kastar två sexsidiga tärningar.

PK Är sannolikheten större att du slår två 5:or eller två 6:or med två slag jämfört med att du slår en 5:a och en 6:a med två slag?

Facit

Facit

22 Två sexsidiga tärningar har 7 som PK den mest sannolika summan. Om en tärning har två sidor mer och en annan har två sidor färre, vad är då den vanligaste summan?

Formativa frågor

23

Kast med två tärningar Python

Med programmering kan tärningskast enkelt simuleras. Kommandot Math.random används i exemplet för att simulera ett tärningskast. En sexsidig tärning kan simuleras genom en kombination av Math.random multiplicerat med antalet sidor på tärningen adderat med 1. Kommandot Math.floor används för att avrunda decimaltalet som Math.random slumpar ut nedåt till närmsta heltal. På så sätt skapas ett slumpmässigt tal mellan 1 och 6. För att kunna spara resultat från flera tärningskast sparas resultatet i en array (variabel som kan innehålla flera värden samtidigt).

I programmet i exemplet nedan presenteras resultatet av kast med två tärningar i en tabell.

Kommandon i JavaScript Math.floor() metod som avrundar ett tal nedåt till närmsta heltal Math.random() metod som slumpar ett decimaltal som är större än 0 och mindre än 1 Array.push() metod som adderar nytt värde i slutet av en array

EXEMPEL 2

Programmering

<JAVASCRIPT: KAST MED TVÅ TÄRNINGAR>

Skapa en slumpgenerator som kastar två tärningar och beräknar summan av tärningskasten. Resultatet ska presenteras i en tabell. <script> var antalSidor = 6; var resultat = skapaResultatMatris(antalSidor); var antalKast = prompt("Ange antal tärningskast: "); for (var k = 0; k < parseInt(antalKast); k++) { var tarning1 = kastaTarning(); var tarning2 = kastaTarning(); resultat[tarning1 - 1][tarning2 - 1] += 1; } skrivUtResultat(); function kastaTarning() { return Math.floor(Math.random() * antalSidor) + 1; }

24

Programmering

EXEMPEL 2, FORTS.

function skapaResultatMatris(antalSidor) { var matris = []; for (var x = 0; x < antalSidor; x++) { var kolumn = []; for (var y = 0; y < antalSidor; y++) { kolumn.push(0); } matris.push(kolumn); } return matris; }

Vi döper vår array till matris.

function skrivUtResultat() { document.write("Ditt utfall (siffra inom parentes är antalet träffar):"); document.write("<table border=’1’ cellpadding=’5’ cellspacing=’3’ style=’border-collapse:collapse’>"); for (x = antalSidor; x > 0; x--) { document.write("<tr>"); for (y = 1; y <= antalSidor; y++) { var traffar = resultat[x-1][y-1]; if (traffar > 0) { document.write("<td style=’background-color:green; width:40px’>", x + y, " (", traffar, ")</td>"); } else { document.write("<td style=’width:40px’>", x + y, "</td>"); } } document.write("</tr>"); } document.write("</table>"); } </script>

UPPGIFTER 1 Sannolikheten att du får summan 7 6 alltså när du kastar två tärningar är 36 1 6 . Beräkna den statistiska sannolikheten att du får 7 när du kastar tärningen i programmet ovan a) 10 gånger b) 100 gånger c) 1000 gånger d) 10 000 gånger.

Vad kan du dra för slutsats?

2 a) Hur stor är den klassiska sannolikheten för att du får summan 9? b) Beräkna statistiska sannolikheten efter att du kastat tärningen 1000 gånger. c) Jämför resultaten för a) och b).

25

4 Flera händelser i följd i

HUVUDRÄKNING i Skriv som decimaltal.

Räkna!

EXEMPEL 1

När sannolikheten ska beräknas för flera händelser i följd multipliceras Förklara! sannolikheten för händelserna med varandra.

Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får krona båda gångerna?

Lösning, metod 1:

1 2 1 2

1 2

51 %

(0,51)

70 %

(0,7)

18 .

100 9.

10 11 .

25 17 .

20

(0,18)

1 2 1 2

1 2 Det gynnsamma utfallet är ”krona och krona”.

Det finns 4 möjliga utfall, krona-krona, krona-klave, klave-krona, klave-klave, varav 1 är gynnsamt, krona-krona. Sannolikheten är 1 .

4 Lösning, metod 2:

Sannolikheten för att få krona på det första kastet är 1 . Eftersom kasten inte är 2 beroende av varandra är sannolikheten för att du ska få krona på det andra kastet också 1 .

2 Vi beräknar sannolikheten genom att multiplicera Sannolikheten är 1 ⋅ 1 = 1 . sannolikheterna med varandra.

2 2 4 klave

krona

✗✗ ✓✗ krona

klave

Svar: Sannolikheten för att få krona båda gångerna är

1.

4

Om antalet möjliga utfall förändras efter föregående händelse kallas det för beroende händelse. Exempel på detta är kortdragning utan återläggning. Om utgångsläget är 52 kort och ett kort delats ut finns det bara 51 kort kvar.

26

(0,9) (0,44) (0,85)

EXEMPEL 2

En börs innehåller en 20-kronorssedel, en 50-kronorssedel, en 100-kronorssedel och en 200-kronorssedel. Du tar slumpmässigt två sedlar ur börsen. Hur stor är sannolikheten för att du först tar 50-kronorssedeln och sedan 20-kronorssedeln, om du a) lägger tillbaka den första sedeln i börsen b) inte lägger tillbaka sedeln i börsen?

Lösning: a) 1 ⋅ 1 = 1

4 4 16

b) 1 ⋅ 1 = 1

4 3 12 1 .

16 b) Sannolikheten är 1 .

12

Svar: a) Sannolikheten är

Då sedeln läggs tillbaka förändras inte nämnaren, alltså är det oberoende händelser.

Då en sedel tagits bort finns det bara tre kvar och nämnaren ändras, alltså är det beroende händelser.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får först a) krona och sedan klave b) klave och sedan krona?

BM

2 Du kastar en sexsidig tärning två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får a) två treor b) först en etta och sedan en sexa?

BM

3 Du singlar slant två gånger. Vilken är sannolikheten för att du får a) samma svar b) olika svar?

BM

4 Hur stor är sannolikheten för att två slumpmässigt utvalda flickor är födda a) på en fredag b) samma veckodag c) olika veckodagar?

BM

5 På måndag är sannolikheten för regn 60 %, på tisdag 70 % och på onsdag 20 %. Vilken är sannolikheten för att det regnar på a) måndag och tisdag b) tisdag och onsdag c) måndag, tisdag och onsdag d) måndag, men inte på tisdag?

BM

6 Utgå från uppgift 5. Vilken är sannolikheten för att det a) regnar på tisdag, men inte på onsdag b) regnar på måndag och tisdag, men inte på onsdag c) regnar på måndag och tisdag d) regnar på måndag, tisdag och onsdag?

MK

7 Du kastar två tärningar. Vilken är sannolikheten för att du får a) samma ögontal två gånger b) två olika ögontal?

BM

27

8 Bollar säljs i nät med 30 bollar i varje.

I ett nät finns 8 blå, 7 gröna, 5 rosa, 6 lila och 4 gula bollar. Beräkna sannolikheten för att, om du slumpvis tar en boll, får en a) grön eller blå b) gul eller blå c) gul, blå eller rosa d) någon annan färg än lila?

BM

9 Du tar två bollar ur påsen i föregående uppgift. Vilken är sannolikheten för att a) den första bollen är blå och den andra rosa b) den första bollen är rosa och den andra blå?

BM

11 Fyra av alfapetbokstäverna lottas ut.

MK Vilken är sannolikheten för att ordet som kan bildas är a) BADA, om du lägger tillbaka bokstäverna varje gång b) GICK, om du inte lägger tillbaka bokstäverna varje gång?

12 Klaras lillebror har barnkalas och BM då får alla barnen varsin slumpvis ballong. Vilken är sannolikheten för att a) första barnet får en rosa ballong b) ingen av de två första barnen får en rosa ballong c) båda de första barnen får en blå ballong d) de tre första barnen får gröna ballonger e) de tre första barnen får varken rosa eller gula ballonger f) inte något av de tre första barnen får en vit eller svart ballong?

10 Du kastar en tärning tre gånger.

BM Vilken är sannolikheten för att du a) får tre tvåor b) inte får någon trea c) får tre av samma?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A 28

Laborera mer

i

REPETITION

13 Du singlar slant tre gånger.

17 Av medlemmarna i en orkester spelar BM MK Vilken är sannolikheten för att du får 40 % fiol. Av violinisterna är 70 % a) klave tre gånger b) krona tre gånger? kvinnor. Hur stor är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald 14 En fyrsidig tärning har siffrorna orkestermedlem BM a) inte är violinist 1, 2, 3, och 4. Vilken är sannolikheten b) är en kvinnlig violinist för att du får a) en trea på ett kast c) inte är en kvinnlig violinist? b) två treor på två kast 18 I kortspelet ”tecknet” (även kallat MK 15 Du kastar tre tärningar. Vilken är ”kotte”) används endast 16 kort MK sannolikheten för att du får (knektarna, damerna, kungarna och a) samma ögontal essen). Vilken är sannolikheten för att b) olika ögontal på varje tärning? a) de två första korten du får är ess 16 Du kastar en fyrsidig tärning tre b) det första MK gånger. Vilken är sannolikheten för att kortet du får du får är en knekt, det a) en etta på första kastet och en fyra andra en dam och på de två följande det tredje en kung b) minst 2 på varje kast? c) du ska få fem ess?

A

A-UPPGIFTER 19 I en fruktkorg finns det 4 äpplen och MP 2 päron. Hur stor är sannolikheten att få två äpplen om du tar 3 frukter?

Resonera

i

En portfölj har två tresiffriga sifferkoder. En person försöker öppna portföljen genom att pröva olika koder.

Hur många olika kombinationer måste personen som mest pröva för att med säkerhet få upp portföljen?

20 I ett spel finns en påse med fyra PK kulor, en röd och tre gula.

Två personer spelar mot varandra genom att dra en kula var.

Den ena vinner om kulorna har olika färg och den andra vinner om de har samma färg. a) Vem har störst chans att vinna? b) Spelar det någon roll vem som börjar? c) Om du vill att spelarna ska ha lika stor chans att vinna men med fler kulor, hur många kulor av respektive färg ska det vara då?

Facit

Facit

Formativa frågor

29

5 Statistisk sannolikhet i

HUVUDRÄKNING i Räkna.

Med hjälp av klassisk sannolikhet kan till exempel sannolikheten för att ett barn Förklara! som föds är en flicka beräknas. För att kunna beräkna sannolikheten för detta måste en slumpmässig grupp människor väljas ut för att sedan beräkna hur stor del av dem som är flickor. I sådana fall talas det om statistisk sannolikhet. Ju större antal observationer, desto noggrannare är den statistiska sannolikheten.

Räkna!

EXEMPEL 1

statistisk sannolikhet =

antal gynnsamma observationer totalt antal observationer

( 14 ) ( 16 ) ( 252 ) ( 14 ) (101 ) (121 )

1⋅1.

2 2 1 ⋅1.

2 3 2 ⋅1.

5 5 3 ⋅1.

4 3 2⋅1.

5 4 3⋅2.

8 9

Amir räknar antalet tändstickor i tio askar. Han får följande värden: 50, 49, 50, 50, 52, 49, 51, 50, 50 och 50. Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald tändsticksask innehåller 50 tändstickor?

Lösning:

EXEMPEL 2

Enligt Amirs undersökning innehåller sex av tio askar 50 tändstickor, alltså är sannolikheten Genom att undersöka ett större antal askar 6 = 0,6 = 60 %. skulle vi få ett mer exakt svar.

10 Svar: Sannolikheten för att asken ska innehålla 50 stickor är 60 %.

Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är från Asien?

Världsdel Asien Afrika Europa Nordamerika Sydamerika Oceanien Sammanlagt Uppskattat 4 298 723 000 1 110 635 000 742 452 000 355 361 000 616 645 000 38 304 000 7 162 119 000 invånarantal Källa: Förenta Nationerna (2013)

Lösning:

4 298 723 000 = 0,600... ≈ 60 % 7 162 119 000

Sannolikheten är förhållandet mellan antalet asiater och det totala antalet människor.

Svar: Sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är från Asien är 60 %.

a

Diskute r

Statistisk sannolikhet utgår ifrån insamlad data.

Kan du komma på sammanhang där det används?

30

i

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Ungefär 15 % av alla människor är vänsterhänta. Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald person är a) vänsterhänt b) högerhänt?

5 Utgå från informationen i uppgift 4 och beräkna sannolikheten för att ett barn som föds nu a) föds i Europa b) föds i Asien c) inte föds i Afrika d) föds i Amerika.

BM

MK

2 Vilken är sannolikheten för att en kompis till dig som är född i början av 2000-talet är en a) pojke b) flicka?

BM

BM

År 2000 2001 2002 2003 2004

Flickor 43 821 44 328 46 628 48 043 48 953

Pojkar 46 620 47 138 49 187 51 114 51 975

6 Stapeldiagrammet visar könsfördelningen för eleverna som deltar på en lägerskola.

Totalt 90 441 91 466 95 815 99 157 100 928

40 35 30 25 20 15 10 5 0

Källa: SCB (2018)

3 Tabellen visar hur bloddonatorer är fördelade efter blodgrupper. Rh står för rhesusfaktor. Vilken är sannolikheten för att en person har a) blodgrupp AB Rh+ b) blodgrupp A c) en blodgrupp med Rh–?

Andel 39 % 27 % 15 % 7%

Blodgrupp A RhO RhB RhAB Rh-

Andel 5% 4% 2% 1%

4 Vilken världsdel kommer ett barn som föds nu a) mest sannolikt födas i b) minst sannolikt födas i?

Världsdel Asien Afrika Sydamerika Europa Oceanien Nordamerika

Antal födda per år 73 500 000 35 500 000 7 500 000 7 600 000 600 000 4 700 000

Källa: UNData (2011)

MK

årskurs 7

pojke flicka

årskurs 8

årskurs 9

Hur stor är sannolikheten för att en elev som deltar på lägerskolan a) går i årskurs 9 b) är en flicka c) är en pojke i årskurs 7?

BM

Blodgrupp A Rh+ O Rh+ B Rh+ AB Rh+

antal

7 Kasta en tändsticksask 50 gånger och räkna hur många gånger den landar på rygg, på långsidan och på kortsidan.

Hur stor är sannolikheten för att asken landar a) på rygg b) på långsidan c) på kortsidan?

MK

8 Några som slagit vad om slutresultatet i en fotbollsmatch tror att hemmalaget vinner med 50 % sannolikhet.

Sannolikheten för oavgjort uppskattas till 30 %. Vilken är den uppskattade sannolikheten för hemmalaget för a) förlust b) förlust eller oavgjort c) oavgjort eller vinst?

BM

31

9 Hur stor är sannolikheten för att en slumpmässig förbipasserande är a) en kvinna b) en man?

BM

100

105

män kvinnor

10 Utgå från informationen i uppgift 9 MP och beräkna sannolikheten för att de som passerar dig nästa gång är a) två kvinnor b) tre män.

11 Linje 13 stannar på en viss hållplats MP med 20 minuters mellanrum. Vilken är sannolikheten för att en person som inte har koll på tidtabellen och som ställer sig på hållplatsen a) måste vänta högst 5 min b) måste vänta minst 10 min c) missar den senaste bussen med mindre än 2 minuter?

12 a) Kasta en tärning 50 gånger och BM skriv in resultaten i en tabell.

Beräkna sannolikheten för de olika ögontalen i dina kast. b) Slå samman dina resultat med de andra elevernas resultat och beräkna sannolikheten för de olika ögontalen.

ra Labore

i

Gör en spelplan med storleken 5 x 5 rutor. Planen ska ha rutor i fyra olika färger och sannolikheten för färgerna i en slumpmässigt utvald ruta ska vara 16 %, 20 %, 28 % och 36 %.

Hur ska spelplanen se ut?

32

13 Undersök om krona och klave är MP statistiskt lika sannolika. a) Singla slant 100 gånger. Anteckna antalet kronor under de tio senaste kasten i en tabell. b) Räkna ut sannolikheten för att få krona efter vart tionde kast. c) Efter hur många kast är den statistiska sannolikheten för att få krona mest pålitlig?

14 a) Kasta ett häftstift 100 gånger.

MP Anteckna antalet gånger stiftet landar med spetsen uppåt under de senaste tio kasten i en tabell. b) Räkna ut sannolikheten för att stiftet ska landa med spetsen uppåt efter vart tionde kast. c) Hur stor är sannolikheten för att ett kastat stift landar med spetsen uppåt?

15 Studera dina klasskamrater och MP beräkna sannolikheten för att en högstadieelev har a) jeans på sig b) fler än två syskon c) tagit med sig en penna till lektionen. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

i

REPETITION

16 Bestäm den statistiska sannolikheten MP för att du använder din telefon mellan att skolan slutar och du går och lägger dig.

s vin t

vins

vins t

17 a) Vilket är mest sannolikt, vinst eller BM förlust? b) Mät den information du behöver i bilden och beräkna sannolikheten för vinst. t

18 Utgå ifrån bokstäverna i satsen ”Med BM hjälp av klassisk sannolikhet” för att beräkna sannolikheten för att följande förekommer i en svenskspråkig text. a) bokstaven A b) bokstaven Ö c) en vokal

20 En 6-sidig tärning är målad med fyra PK olika färger på sidorna. Samma färg kan finnas på fler än en sida. Efter 11 kast har röd och vit kommit upp lika många gånger. Blå har kommit upp fler gånger än röd. Gul har kommit upp 5 gånger. Om tärningen kastas 90 gånger, hur många gånger kan du då räkna med att se de olika färgerna?

Facit

Antal rum och kök

Antal

1

7 304

2

19 453

3

12 570

4

8 011

5

3 563

6

920

minst 7

281

okänt

364

Vilken är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald bostad har a) 1 rum och kök b) 3−5 rum och kök c) minst 7 rum och kök?

A

A-UPPGIFTER

Facit

19 Följande data har samlats in över MK antalet rum i bostäderna i en stad:

21 Hur stor är sannolikheten att få MP minst en 6:a om du slår en 6-sidig, en 8-sidig, en 10-sidig och en 12-sidig tärning?

Formativa frågor

33

6 Som minst eller som mest? i i

HUVUDRÄKNING

5 200 / 100 (52) 0,975 ∙ 1 000 (975) 48 / 2 (24) 78 / 3 (26) 34 ∙ 5 (170) 28 / 4 ∙ 3 (21)

Räkna!

EXEMPEL 1

En flock duvor flyger till ett duvslag med flera hålor. Om det finns fler duvor i flocken än det finns hålor i duvslaget kommer minst två av duvorna att flyga Förklara! till samma håla. Den här enkla principen kallas för duvslagsprincipen, postfacksprincipen eller Dirichlets lådprincip efter den tyske matematikern Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Det är en matematisk sats som används inom en inriktning av matematiken som heter diskret matematik. Åtta brev ska delas ut i 5 brevlådor. Åtminstone hur många brev måste delas ut i en brevlåda där det redan ligger ett brev?

Lösning:

De fem första breven läggs i varsin brevlåda.

Efter det måste tre brev läggas i en brevlåda där det redan finns ett brev.

EXEMPEL 2

Svar: Åtminstone tre brev måste läggas i en brevlåda där det redan ligger ett brev.

I en låda ligger sex par stövlar i samma storlek, men i olika färger. Hur många stövlar måste i kolmörker plockas ur lådan för att med säkerhet få ett par i samma färg?

Lösning:

För att garanterat få ett par stövlar i samma färg måste vi ta upp sju stövlar. Om vi lyckas ta en av varje färg och det finns sex färger så måste den sjunde stöveln bilda ett par av samma färg.

Svar: Vi måste som mest ta sju stövlar ur lådan.

a

Diskute r

Kan du komma på fler exempel där lådprincipen kan användas?

34

i

EXEMPEL 3

En bank har 15 000 kunder. Har banken kunder som har samma fyrsiffriga pinkod till sitt bankkort?

Lösning:

De fyrsiffriga pinkoderna är talen 0000, 0001, …, 9999.

De är sammanlagt 10 000 till antalet.

Vi delar in bankens kunder i tiotusen klasser enligt deras pinkoder.

Eftersom det finns 15 000 kunder och 10 000 pinkoder måste minst 5 000 kunder ha samma pinkod som någon annan kund.

Svar: Banken har kunder som har samma fyrsiffriga pinkod till sitt

bankkort som någon annan kund.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 I ett omklädningsrum finns 20 skåp.

M Kan alla elever få ett eget skåp, om det finns a) 18 b) 20 c) 24 elever?

2 Hur många vantar måste Oscar ta ur lådan utan att titta, för att med säkerhet få ett par a) röda vantar b) blå vantar?

MK

3 En grupp elever använder tuschpennor i olika färger. Vilken elev i ordningen måste använda en penna i samma färg som någon annan, om det finns a) röda och svarta b) svarta, blå och gröna c) svarta, blå, gröna och röda tuschpennor?

4 I en strumplåda ligger svarta och vita strumpor utan ordning. Maja vill ha två strumpor i samma färg. Hur många strumpor måste Maja ta ur lådan för att få ett par a) som minst b) som mest?

MK

5 Hur många gånger måste du singla slant a) som minst, för att kunna få samma resultat två gånger b) som mest, för att med säkerhet få samma resultat två gånger?

MK

krona

PK

klave

6 Januari har 31 dagar. Hur många måndagar är det i januari a) som minst b) som mest?

MK

7 En bok har 52 kapitel med olika rubriker. Kan vi vara säkra på att minst två kapitel börjar med samma a) bokstav b) ord?

MK

35

8 Olivia kastar en sexsidig tärning. Minst hur många av kasten ger samma resultat som ett tidigare kast, om Olivia kastar tärningen a) 7 gånger b) 13 gånger c) 4 gånger?

MK

9 På ett bord ligger en kortlek med 52 kort. Hur många kort måste du ta ur högen för att med säkerhet få två kort a) i samma färg b) i samma valör?

MP

10 Ett operahus har plats för 1 300 MK besökare. Om alla platser är fyllda, finns det då minst två personer i publiken som är födda samma a) år b) år och dag?

11 En skola har sammanlagt 570 elever i MP årskurs 1−9. Åtminstone hur många elever a) måste det gå i årskursen med flest elever b) måste ha samma födelsemånad?

12 I en löptävling deltar 18 000 kvinnor MK från hela Sverige. Är det möjligt att alla deltagare har olika a) födelsedag b) inledande del i sitt personnummer c) personnummer?

13 Nycklarna till sex elevskåp har MP blandats ihop. Du bestämmer dig för att pröva dig fram till vilka skåp nycklarna passar. Du öppnar alla skåp.

Hur många försök behöver du a) som minst b) som mest?

14 Under ordinarie matchtid får ett lag MK 3 poäng för vinst och 0 poäng för förlust. Vinst under förlängning ger laget 2 poäng och 1 poäng till laget som förlorar.

Efter de fyra första matcherna har ett lag sammanlagt 8 poäng. Hur många matcher har laget vunnit under den ordinarie matchtiden a) som mest b) som minst?

15 Hur många matcher har laget i MK uppgift 14 förlorat a) som mest b) som minst? Öva mer – E

nera Reso

i

Alla fem medlemmar i ett elevråd skakar hand med åtminstone en annan medlem.

Kommer det då att finnas minst två medlemmar som har skakat hand lika många gånger? Motivera.

36

Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

REPETITION

i

16 I en biljardturnering vinner den MK spelare som vinner 6 omgångar av 11.

Ställningen just nu är 3−5. Hur många omgångar återstår a) som minst b) som mest?

17 Hundrasen Labrador kan vara svarta, MK gula eller bruna. Av labradorerna på en kennel har bara två samma färg.

Hur många labradorer kan det finnas på kenneln a) som minst b) som mest?

18 På en tennisplan finns fem tomma MP bollkorgar. Åtminstone hur många av bollarna måste du lägga i en korg där det redan finns en annan boll om du lägger a) 8 bollar b) 10 bollar c) 18 bollar?

19 Hur stor måste en grupp med MP ungdomar vara, för att det ska finnas minst två medlemmar som är födda a) samma veckodag b) samma månad c) samma dag i månaden?

20 Alma och Isak bestämmer att den MK som först vinner fyra sten, sax och påse-spel får bestämma efterrätt.

Hittills har Alma vunnit två och Isak tre spel. Hur många omgångar måste de spela innan saken är avgjord a) som minst b) som mest?

A

A-UPPGIFTER 21 Hur många kort måste du dra ur en MP kortlek som minst för att vara säker på att få a) ett par b) en triss c) två olika par?

22 I en skola måste minst tre elever ha PK samma födelsedag. Hur många elever måste det gå som minst på skolan för att du ska vara säker på att det finns minst tre elever som har samma födelsedag?

23 Hur många elever måste det minst gå PK i en klass om du ska vara säker på att 5 elever fyller år samma veckodag?

Facit

Facit

Formativa frågor

37

7 Sant eller falskt? i

i 14HUVUDRÄKNING ∙5 (70)

5 ∙ (4 + 2) 6+4∙6 (4 + 6) ∙ 6 Orden och, eller samt inte är vanliga både i talat och skrivet språk.

45 − 9 ∙ 4 I matematiska sammanhang och i programmering har orden en exakt betydelse. (36 − 6) ∙ 3 Förklara!

– om ”och” binder samman två satser i ett påstående betyder det att påståendet är sant om båda satserna är sanna.

eller

– om ”eller” binder samman två satser i ett påstående betyder det att påståendet är sant om det ena, andra eller båda satserna är sanna.

inte

– om ”inte” skrivs framför en sats i ett påstående är påståendet sant om satsen är falsk.

EXEMPEL 1

Räkna!

och

(30) (30) (60) (9) (90)

Är påståendet sant eller falskt? a) Talet 2 är jämnt och talet 4 är udda. b) Talet 7 är delbart med 2 eller talet 7 är ett primtal. c) Talet 9 är inte ett primtal eller talet 9 är delbart med 3. d) En triangel har inte fyra hörn.

Lösning och svar: a) Påståendet är falskt eftersom satsen ”talet 4 är udda” är falsk. b) Påståendet är sant eftersom satsen ”Talet 7 är ett primtal” är sant. c) Påståendet är sant eftersom båda satserna ”talet 9 är inte ett primtal” och ”talet 9 är

delbart med 3” är sanna. d) Påståendet är sant eftersom satsen ”En triangel har fyra hörn.” är falsk.

Ett påstående kan innehålla ett villkor. Då börjar villkoret med ordet om. Om villkoret är sant uppfylls påståendet efter orden så. Orden alla/alltid och inga/aldrig är också vanliga i matematiska sammanhang för att beskriva logiska resonemang.

a

Diskute r Kom på ett påstående till bilderna som är sant eller falskt.

38

i

EXEMPEL 2

Är påståendet sant eller falskt? a) Du läser aldrig en bok. b) Alla islänningar talar isländska. c) Om den här månaden har 30 dagar, så kommer nästa månad att ha 31 dagar.

Lösning och svar: a) Påståendet ”du läser aldrig en bok” är falskt, eftersom du läser boken Favorit

matematik 9 just nu. b) Påståendet ”alla islänningar talar isländska” är falskt, eftersom till exempel nyfödda inte talar något identifierbart språk alls. c) Påståendet ”om den här månaden har 30 dagar, så kommer nästa månad att ha 31 dagar” är sant, eftersom april, juni, september och december följs av månader med 31 dagar.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 Kan fartyget ta sig genom slussarna i K Och-floden om a) både den västra och östra slussen är öppen b) den västra slussen är öppen och den östra stängd c) den västra slussen är stängd och den östra öppen d) både den västra och östra slussen är stängd?

3 Kommer fartyget genom slussarna i K Eller-floden om a) både den norra och södra slussen är öppen b) den norra slussen är öppen och den södra stängd c) den norra slussen är stängd och den södra öppen d) både den norra och södra slussen är stängd? norra slussen

Och-floden västra slussen

Eller-floden

östra slussen

2 Kan fartyget åka genom den södra K kanalen i Inte-floden, om den a) norra kanalen är öppen b) norra kanalen är stängd c) södra kanalen inte är stängd? norra slussen Inte-floden

södra slussen

södra slussen

4 Är påståendet sant eller falskt? a) Talet 7 är ett jämnt tal. b) Talet −2 är mindre än 5. c) Ordet ASK består av fyra bokstäver.

BK

5 Är påståendet sant eller falskt? a) Talet 8 är inte ett jämnt tal. b) Talet 7 är inte större än 10. c) Talet 100 är inte ett tresiffrigt tal.

BK

39

6 Är påståendet sant eller falskt? a) Talen 6 och 7 är jämna tal. b) Talen 0,5 och ½ är lika stora. c) Orden BJÖRK och LÖK består av fyra bokstäver.

BK

7 Är påståendet sant eller falskt? a) Talet 10 är jämnt eller udda. b) Talet 6 är jämnt, eller så är talet 5 udda. c) Ordet TALL består av fyra eller sex bokstäver.

BK

8 Är påståendet sant eller falskt?

K a) Alla husdjur är hundar. b) Inga spindlar har åtta ben. c) Alla valar är däggdjur.

9 Är påståendet sant?

K a) Av husdjuren är 4 grå och 6 är hundar. b) Alla katter är grå. c) Ingen av katterna är brun. d) Av husdjuren är 5 katter eller så är 3 vita.

nera Reso

40

i

Välj fem av talen 1, 2, 3, …, 8. Är följande påstående sant? a) Bland de valda talen finns två tal vars summa är 10. b) Bland de valda talen finns två tal vars summa är 9. c) Bland de valda talen finns tre tal vars summa är 22. d) Bland de valda talen finns tre tal vars summa är 5.

10 Kan fartyget ta sig genom slussarna K om a) den nordvästra och nordöstra slussen är öppen eller den sydvästra och sydöstra slussen är öppen b) den sydvästra och sydöstra slussen inte är stängd, men den nordvästra och nordöstra slussen är stängd c) den nordvästra och sydöstra slussen inte är öppen? nordvästra slussen

nordöstra slussen

sydvästra slussen

sydöstra slussen

11 Är påståendet sant eller falskt?

K a) Det är inte så, att namnet Åke börjar och slutar med bokstaven E. b) Det är inte så, att namnet Åke börjar eller slutar med bokstaven Å.

12 Är påståendet sant eller falskt?

K a) Namnet Åke börjar eller slutar med bokstaven E och har bokstaven K eller L i mitten. b) Namnet Åke börjar och slutar med bokstaven E eller har bokstaven K eller L i mitten.

13 Är påståendet sant eller falskt?

MK a) Om den första dagen i en månad infaller på en tisdag kommer den andra dagen i månaden att vara en onsdag. b) Om ett fordon har två hjul är det en skoter. c) Om en person från ett engelsktalande land heter Robin kan vi inte dra slutsatsen att hen är en kvinna eller en man.

14 Är påståendet sant eller falskt?

BK a) Inga jämna tal är delbara med talet 5. b) Alla jämna tal är delbara med talet 4. c) Alla jämna tal är delbara med talet 1 och sig självt. d) Alla udda tal är delbara med sig själva men inte med talet 2. Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

i

REPETITION

15 Är påståendet sant eller falskt?

MK a) Talet 6 är mindre än talet 4. b) Talet 5 är större än talet 4 och mindre än talet 12. c) Talet 0 är varken jämnt eller udda.

17 Är påståendet sant eller falskt?

K a) Om det är tisdag i dag är det onsdag i övermorgon. b) En bil har 3 eller fler än 3 däck. c) Det är inte natt i något land just nu.

16 Är påståendet sant eller falskt?

BK a) Om du kastar två tärningar får du alltid ett jämnt tal och ett udda tal. b) Dörren till ett klassrum är stängd eller öppen. c) En vegetarisk hamburgare innehåller inte kött.

18 Är påståendet sant eller falskt?

K a) En människa har blå eller bruna ögon. b) Om jorden kretsar kring solen så kretsar jorden kring månen.

A

A-UPPGIFTER 19 Om den 14:e i en månad är en tisdag, PK är det då sant att den 14:e i månaden efter kommer att vara antingen en torsdag eller fredag?

Facit

Facit

20 Klass 9A med 27 elever har fler killar PK än 9B med 25 elever. Är det sant att antalet flickor i 9B är fler än antalet flickor i 9A?

Formativa frågor

41

8 Kombinationer i

i 15HUVUDRÄKNING ∙4 (60)

Räkna!

EXEMPEL 1

Det går att ta reda på antalet kombinationer i en given situation genom att till exempel räkna upp alla eller genom att rita ett träddiagram.

Förklara!

En given situation kan till exempel vara olika klädkombinationer utifrån ett visst antal olika klädesplagg.

Prislista

Sigrid är på ett café och beställer en dryck och ett bakverk. Hur många olika kombinationer av dryck och bakverk kan hon välja mellan utifrån prislistan?

Kaffe Te Saft

28 kr 20 kr 15 kr

Lösning, metod 1:

45 / 5 63 / 3 6∙4+2 3∙8−4 7∙8+6∙4

Bulle Munk Wienerbröd Bakelse

(9) (21) (26) (20) (80)

24 kr 20 kr 34 kr 45 kr

Vi räknar upp alla alternativ: kaffe och bulle, kaffe och munk, kaffe och wienerbröd, kaffe och bakelse, te och bulle, te och munk, te och wienerbröd, te och bakelse, saft och bulle, saft och munk, saft och wienerbröd, saft och bakelse.

Lösning, metod 2:

Vi ritar ett träddiagram över alternativen. kaffe bulle

munk

wienerbröd

saft bakelse bulle

bulle

te munk

wienerbröd

munk

wienerbröd

bakelse

bakelse

Alla tre drycker kan kombineras med fyra bakverk.

Det finns sammanlagt 3 ∙ 4 = 12 alternativ.

Svar: Ada kan välja mellan 12 olika kombinationer.

a

Diskute r

Kan du komma på fler vardagliga sammanhang där det går att beräkna antalet kombinationer?

42

i

EXEMPEL 2

Fem ungdomar skakar hand med varandra. Hur många gånger skakar ungdomarna hand?

1

Lösning, metod 1:

2

5

Vi ritar en bild och använder den för att beräkna antalet.

3 4

Den första personen skakar hand med fyra personer.

Den andra personen skakar inte på nytt hand med den första personen, utan endast med de tre återstående personerna. Den tredje personen skakar hand med de två återstående personerna och den fjärde endast med den femte personen. Den femte personen har redan skakat hand med alla Antalet personer som skakar hand minskar alltid med en.

4 + 3 + 2 + 1 = 10 Lösning, metod 2:

Alla fem ungdomar skakar hand med fyra andra.

Om vi räknar så här skulle vi få resultatet 5 ∙ 4 = 20.

I så fall skulle vi räkna med varje handslag två gånger, därför är det verkliga antalet handslag 20 = 10.

2 Svar: Ungdomarna skakar hand tio gånger.

EC

E/C-UPPGIFTER 1 a) Räkna upp alla olika kombinationer av byxor och överdelar. b) Hur många olika kombinationer finns det?

MP

2 a) Rita ett träddiagram BM över de olika mackorna du kan välja. b) Hur många alternativ finns det?

Café

Favo

3 Alla medlemmar i en schackklubb M spelar mot varandra. Hur många partier spelas totalt i klubben om antalet medlemmar är a) 2 b) 3 c) 4 4 Hur många olika kombinationer M a) innehåller inte ketchup b) innehåller ketchup c) innehåller eller innehåller inte ketchup?

FavoBurger Bröd

ljust fullkorn

Burgare

nötfärs vegetarisk fisk

Majonnäs

med ägg utan ägg

Sås

ketchup

43

5 Räkna upp alla tre bokstäver långa ord M som du kan bilda av de givna bokstäverna. Ordet behöver inte nödvändigtvis betyda något. a) DIY b) LOL c) OMG 6 Alla personer i ett kompisgäng skickar M vändagskort till varandra. Hur många kort skickar gänget sammanlagt, om det består av a) 5 b) 6 c) 7 personer?

7 I en innebandyturnering med sex lag M möter alla varandra en gång. Hur många matcher a) spelar varje lag b) består turneringen av?

8 Hur många olika kombinationer av M huvudrätt och efterrätt kan du välja mellan, om det finns fyra huvudrätter och a) 1 efterrätt b) 2 efterrätter c) 3 efterrätter?

ra Labore

i

Alla i klassen ställer sig i en ring eller på ett led. En person börjar med att hälsa på alla. Hur många handskakningar blir det om alla i klassen ska hälsa på varandra en gång?

44

9 Liam har två par shorts. På hur många M sätt kan Liam kombinera sina shorts och tröjor, om han har a) 2 tröjor b) 3 tröjor c) 4 tröjor?

10 I ett spel ska tärningar kastas och M resultatet adderas. Hur många möjliga summor finns det, om du kastar a) 2 tärningar b) 3 tärningar?

11 På ett möte deltar 12 personer. Alla M ger sitt visitkort till varandra. Hur många visitkort a) delar varje deltagare ut b) delas det sammanlagt ut på mötet?

12 Otto kastar 5 pilar på en piltavla med MP poängen 1−10. Han får resultatet 44. a) Åtminstone hur många av pilarna måste träffa tavlan? b) Hur många olika kast med fem pilar ger summan 44, om pilarnas ordning inte spelar någon roll?

13 Vi bildar tresiffriga, naturliga tal av MP siffrorna 1, 4 och 7. Hur många olika tal kan vi bilda om samma siffra får förekomma a) bara en gång i varje tal b) flera gånger i varje tal?

14 Hur många olika fyrsiffriga, naturliga MP tal kan vi bilda av siffrorna 1, 3, 4 och 7, då alla siffror ska användas en gång och talet ska vara a) jämnt b) udda? Öva mer – E

Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

i

REPETITION

15 Kunderna på ett café kan välja MP mellan tre olika sorters bröd och tre fyllningar till sin baguette. Hur många olika kombinationer finns det a) allt som allt b) om baguetteutbudet minskas till två c) om en av fyllningarna är slut?

Fylld baguette 59 kr Baguette: vete, flerkorn, ost Fyllning: rostbiff, ägg, feta Alla baguetter

innehåller sallad!

16 8 lag deltar i en bandyturnering. Hur MP många matcher spelas det i den inledande serien, om alla lag möter varandra a) en gång på hemmaplan och en gång på bortaplan b) bara en gång?

21 Elliot bjuder hem tre familjer. Den PK första familjen består av 3 personer, den andra av 4 personer och den sista av 5 personer. Alla hälsar på varandra, utom på den egna familjen. Hur många hälsningar blir det totalt?

Facit

18 Du kastar en tärning tre gånger.

MP På hur många olika sätt kan summan bli 5?

19 Hur många tvåsiffriga, naturliga MP tal kan du bilda av talen 0, 1, 2, …, 8 och 9?

20 Tvåsiffriga, naturliga tal bildas av MP siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 genom lottning. Hur många olika tal finns det, om varje siffra kan förekomma a) enbart en gång b) flera gånger i talet?

A

A-UPPGIFTER

Facit

17 I en frågesport deltar flickorna Penny, MP Alva och Märta och pojkarna Theo och Viktor. Hur många olika finaler kan det bli om det i finalen står mellan a) en flicka och en pojke b) Alva och någon av pojkarna c) två flickor?

22 Fyra djur ska placeras i fyra hagar PK som ligger på rad så att det finns ett djur per hage. Två av djuren kan inte vara i hagar som ligger bredvid varandra. På hur många olika sätt kan djuren placeras?

Formativa frågor

45

9 Produktprincipen i Räkna!

EXEMPEL 1

Enligt produktprincipen kan det totala antalet valmöjligheter beräknas genom att multiplicera de enskilda valmöjligheterna med varandra.

Förklara!

Ester har fyra tröjor, tre kjolar och två par skor. På hur många olika sätt kan hon kombinera sina kläder och skor?

Lösning:

Ester kan kombinera varje tröja med tre kjolar. Till varje kjol och tröjkombination kan hon välja mellan två par skor. Vi får fram det totala antalet olika kombinationer med följande multiplikation: 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24.

skor kjolar blusar

EXEMPEL 2

Svar: Ester kan kombinera sina kläder och skor på 24 olika sätt.

Fyra löpare tävlar i ett lopp. I hur många olika ordningar kan de placera sig?

Lösning:

Vi beräknar produkten av de enskilda alternativen.

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 Svar: Det finns 24 möjliga ordningar.

46

i 8HUVUDRÄKNING ∙7 (56) 5∙3∙2 6∙5∙2 10 ∙ 5 ∙ 2 5∙4∙3∙2 7∙8∙9∙0

(30) (60) (100) (120) (0)

EC

E/C-UPPGIFTER 1 På hur många sätt kan en kö bildas av a) 2 elever b) 3 elever c) 4 elever?

MP

2 På hur många sätt kan Alina placera 6 olika berlocker i ett armband?

MP

6 Hur många olika tre tecken långa teckenföljder kan du bilda av bokstäverna? a) OAS b) ULL c) ZOO

MP

7 Alla hörförståelseuppgifter i ett test har tre svarsalternativ. En elev besvarar alla uppgifter. På hur många olika sätt kan en elev svara på, om antalet uppgifter i hörförståelsen är a) 2 b) 3 c) 4?

MP

3 Hedda väljer en jacka, ett par jeans och ett par skor. Hur många olika kombinationer kan hon välja mellan a) totalt b) om en jacka har blivit för liten c) om ett par skor har gått sönder?

MP

8 Hur många olika vägar finns det från a) Korsholm till Korstorp b) Korsby till Korsnäs c) Korsholm till Korsby? d) Korsholm till Korsnäs och tillbaka e) Korsnäs till Korsby och tillbaka f) Korsnäs till Korsby och därifrån till Korstorp?

MK

Korsholm

4 En resväska har en sifferkod som består MP av siffrorna 0, 1, 2, …, 9. Hur många möjliga koder finns det, om koden består av a) 2 b) 3 c) 4 siffror?

Korsnäs

Korstorp

Korsby

9 En sådan här strömbrytare används till exempel i luftkonditioneringsapparater.

I hur många olika lägen kan spakarna på strömbrytaren stå, om det finns a) 4 b) 6 c) 8 spakar?

MP

5 På hur många sätt kan du göra en glasstrut, om du har 6 olika smaker att välja på och ska göra en glasstrut med a) 1 kula b) 2 kulor med olika smak?

MP

47

10 I Jokerlotten lottas sju vinnande MP siffror mellan 0−9. Samma siffra kan förekomma flera gånger i den sju siffror långa serien. Hur många möjliga sifferserier finns det?

11 Stryktipset är ett spel som går ut på att MP tippa 1, X eller 2 (hemmaseger, oavgjort, bortaseger) i 13 fotbollsmatcher som spelas i Sverige och England. Hur många olika kombinationer av resultat finns det i de 13 matcherna?

12 Svarsalternativen på frågorna i ett MP inträdesprov är rätt (R) och fel (F).

Dessutom kan de låta bli att svara.

Hur många olika sätt att svara finns det, om provet består av a) 2 frågor b) 3 frågor c) 4 frågor?

13 Alla produkter som ett företag MP tillverkar har en kod som består av tre bokstäver och tre siffror. Bokstäverna är A−Z och siffrorna 0−9. Hur många olika kombinationer kan bildas a) totalt b) om sifferdelen inte får börja med 0?

14 I en ställning ligger bowlingklot i olika MP färger. Det finns fem lättare och fem tyngre klot. På hur många olika sätt kan du ta a) ett klot b) två lika tunga klot c) två klot oavsett vikt?

Öva mer – E Öva mer – E/C Öva mer – C/A Laborera mer

era Reson

i

Skriv talen 5, 6, 8, 9, 11 och 12 i en likadan magisk kvadrat som på bilden, så att summan i alla lodräta och vågräta rader samt diagonaler är 24.

7 4 10

48

i

REPETITION

15 För att logga in i en mobiltelefon kan MP en PIN-kod krävas som består av 4−8 siffror. Hur många olika alternativa PIN-koder finns det, om koden består av a) 4 siffror b) 5 siffror c) 8 siffror?

16 En affär säljer fyra skotermärken i fem MP olika färger. Hur många möjliga alternativ finns det, om du kan köpa skotern a) med eller utan visir b) med eller utan visir och med eller utan en pakethållare?

Märke A

Märke C

Märke B

Märke D

visir

pakethållare

20 Hur många olika jämna fyrsiffriga tal PK kan du bilda av siffrorna 1, 0, 4, 3 och 5, då siffrorna får användas en gång i varje tal?

Facit

18 I hur många olika ordningar kan MP deltagarna i ett stafettlag springa, om laget består av a) 4 b) 6 c) 10 personer?

19 Informationsenheten byte kan MP presenteras som en kombination av två hexadecimala tecken, det vill säga en bokstav A−F eller en siffra 0−9.

Hur många byte a) som består av två bokstäver finns det b) finns det sammanlagt c) finns det som består av först en bokstav och sedan en siffra?

A

A-UPPGIFTER

Facit

17 Hur många olika, naturliga MP femsiffriga tal kan vi bilda av siffrorna 1, 2, 4, 5 och 8, om varje siffra får förekomma a) hur många gånger som helst b) bara en gång i talet?

21 På hur många olika sätt kan du bygga PK ett torn med 3 kuber där två kuber av samma färg inte får ligga på varandra? Kuberna är gula, blå, röda, lila och gröna.

Formativa frågor

49

10 Repetition i

HUVUDRÄKNING i Lista ut genom slutledning:

y + 7 = 12 3z − 2 = 10 27 − x = 16

Facit

Sannolikhet

1 Vilket är mest sannolikt? a) att vinna huvudvinsten på lotto eller att vinna i sten, sax och påse b) att singla slant och få klave eller att gissa i vilken hand någon håller ett mynt c) att kasta en tärning och få en etta eller att kasta två tärningar och få en etta med båda

Klassisk sannolikhet

2 I ett spel kan du antingen vinna eller förlora. Sannolikheten för att du vinner är 20 %. Hur många gånger större är sannolikheten för förlust jämfört med sannolikheten för vinst?

MK

3 10 pojknamn och 15 flicknamn har skrivits på lappar som lagts i en hatt. Hur stor är sannolikheten om du i blindo drar en lapp att du får a) ett flicknamn b) ett pojknamn c) ett flick- eller pojknamn d) ett namn som inte är ett pojknamn?

MP

4 En affär säljer vykort med 5 olika motiv.

MP Dessa ligger slumpvis blandade. Hur stor är sannolikheten att du får ett kort med a) ett annat kort än en rosa buss b) med palmer?

4 st 20 st

50

2x + 3 = 21 5−y=8 2z + 4 = 0

(x = 9) (y = −3) (z = −2)

Tärningskast

MK

12 st

(y = 5) (z = 4) (x = 11)

60 st

24 st

5 Du kastar en tärning. Hur stor är sannolikheten för att du får a) ett udda tal b) 3−5 c) ett udda tal eller en sexa?

BM

Flera händelser i följd

6 Hur stor är sannolikheten för att du vinner ett spel a) två gånger på raken, om sannolikheten att vinna en omgång är 50 % b) tre gånger på raken, om sannolikheten att vinna en omgång är 100 %?

BM

Statistisk sannolikhet

7 Enligt undersökningen Unga i rörelse (2013) har 7 % av alla ungdomar fler än 10 nära vänner, 17 % har 8−10, 10 % 6−7, 36 % 4−5 och 27 % 2−3 samt 3 % högst en nära vän. Hur stor är sannolikheten för att en slumpmässigt utvald ungdom har a) fler än 10 nära vänner b) högst 5 nära vänner?

MP

Som minst eller som mest?

8 Ett memoryspel består av 24 kort. För att få ett par, hur många kort måste en spelare ta a) som minst b) som mest?

MK

Sant eller falskt?

9 Är påståendet sant? a) Alla svampar är giftiga. b) Adam är ett pojknamn och Isa ett flicknamn. c) I dag är det en skoldag eller en ledig dag.

BK

Facit

Kombinationer

10 a) Hur många olika halsband kan du MP göra, om du kan välja mellan två olika långa kedjor och fyra berlocker? b) Hur många olika halsband kan du göra om du kan välja mellan tre olika långa kedjor i två olika färger och fyra berlocker?

16 I tabellen ser du de olika världsdelarnas BM area exklusive havsområden. Hur stor är sannolikheten för att a) en meteorit som träffar ett landområde slår ner i Asien b) rymdskräp som träffar ett landområde slår ner i Syd- eller Nordamerika?

Världsdel

Area (km2)

Asien

44 579 000

Afrika

30 065 000

Nordamerika

24 474 000

Sydamerika

17 819 000

Antarktis

13 209 000

Produktprincipen

Europa

9 938 000

12 På hur många olika sätt kan en kö bildas MP av tre pojkar och två flickor, om a) flickorna ska stå först i kön b) flickorna ska stå sist i kön c) pojkarna ska stå först i kön?

Australien och Oceanien

8 112 000

11 Fyra spelare deltar i en turnering. Alla MP möter varandra. Hur många matcher a) spelar varje deltagare b) spelas det i turneringen?

Sammanfattande uppgifter

13 Erik kommer ihåg att hans fyra siffror MK långa kortkod börjar med 8.

Hur många olika alternativ blir kvar, om han a) inte kommer ihåg någonting om de tre sista siffrorna b) vet att den fjärde siffran är antingen 1 eller 2?

14 En människa har högst 200 000 MK hårstrån. Finns det minst två svenskar som har exakt lika många hårstrån?

15 Du singlar slant fem gånger. Hur många BM a) kast måste ge samma resultat b) gånger får du krona?

Källa: Fact Monster

17 Harry och Ida spelar ett kortspel. Den MK som först vinner tre omgångar vinner spelet. De tvingas avbryta spelet när Harry leder 1–0. Med vilka olika resultat skulle Harry ha kunnat vinna hela spelet? Vi utgår från att spelarna är lika skickliga.

18 Du kastar en tärning fyra gånger.

MK Hur stor är sannolikheten för att du med varje kast får a) samma ögontal b) ett udda ögontal c) olika ögontal?

19 En nyckel har 9 skåror. Det finns sex MP alternativa djup för varje skåra. Hur många olika nycklar kan tillverkas med den här metoden?

51

Sammanfattning i

Antal möjliga utfall för en tärning är 6.

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

Sannolikheten • för en omöjlig händelse är 0 • för en säker händelse är 1, 100 % • betecknas med P • för en viss händelse A är P(A) • 0 < P(A) < 1 P(A) = antalet gynnsamma utfall totala antalet utfall

Antalet möjliga utfall för två tärningar är 6 ∙ 6 = 36 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

Sannolikheten för flera händelser i följd beräknas med multiplikation. statistik sannolikhet = antal gynnsamma observationer totalt antal observationer

Dirichlets lådprincip Om du har fler brev än brevlådor kommer någon brevlåda att innehålla minst två brev, om du lägger varje brev i något av postfacken.

52

Sant eller falskt? och

– om ”och” binder samman två satser i ett påstående betyder det att påståendet är sant om båda satserna är sanna.

eller

– om ”eller” binder samman två satser i ett påstående betyder det att påståendet är sant om det ena, andra eller båda satserna är sanna.

inte

– om ”inte” skrivs framför en sats i ett påstående är påståendet sant om satsen är falsk.

– om ett påstående innehåller ett villkor börjar det med om och följs av ett så.

om

Kombinationer Med produktprincipen kan antalet kombinationer beräknas t.ex. antalet kombinationer av 5 olika tröjor, 4 olika byxor och 3 par skor är 5∙4∙3.

PROV KAPITEL 1

Träna på begreppen Resonera mer

v. 1

v. 2

Läs på skärmen Pdf för utskrift Redigerbar Word-fil 53

Favorit matematik 9 Lärarbok Favorit matematik 7–9 är ett heltäckande läromedel där alla elever får det stöd och den stimulans de behöver. Genom att introducera och befästa matematiken på ett grundligt och strukturerat sätt, i många små steg, får alla elever möjlighet att nå sin fulla potential.

På lektionens första uppslag finns genomgångar som följs av räkne­ exempel. På det andra uppslaget finns uppgifter för eleven att arbeta med. Uppgifterna är uppdelade i E/C­uppgifter i stigande svårighetsgrad, repetitionsuppgifter och A­uppgifter. Alla uppgifter är markerade med vilka förmågor som i huvudsak tränas.

Lärarpaketet består av tre tryckta delar: Lärarbok, Kopierings­ underlag och Kapitelprov. Det finns kopieringsunderlag till varje lektion på olika nivåer och kapitelproven finns i två versioner med bedömningsanvisningar. I den tryckta lärarboken finns facit till samtliga uppgifter och lösningar till bokens A­uppgifter samt ikoner till allt det digitala materialet.

Lärarpaketet består också av en digital resurs. Där finns bl.a. lektionskommentarer, förberedda genomgångar, Geogebra­ simuleringar, kopieringsunderlag, formativa frågor, redigerbara kapitelprov med bedömningsanvisningar och utskrivbart facit.

Favorit matematik 7–9 bygger på den beprövade, finska matematik­ serien Pii och är översatt och bearbetad för svenska förhållanden.

Art.nr 39367

studentlitteratur.se