9789144137209

Byggnadsmekanik

Jean-Marc Battini

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden.

För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40629 ISBN 978-91-44-13720-9 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2020 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Sakgranskning: John Leander Formgivning inlaga: Jesper Sjöstrand/Metamorf Design Group Ombrytning inlaga: Henrik Hast Formgivning omslag: Lukas Möllersten, Lyth & co Omslagsbild: Shutterstock Printed by Interak, Poland 2020

Innehåll

Förord 9

1 Inledning 11 2 Kraft och moment 13 2.1 2.2 2.3

Kraft 13 Moment 14 Övningsuppgifter 17

3 Stöd och stödreaktioner 19 3.1 3.2 3.3

Stöd 19 Stödreaktioner 20 Övningsuppgifter 28

4 Fackverk 31 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Tvådimensionella fackverk 31 Knutpunktsmetoden 33 Snittmetoden 40 Statiskt obestämda fackverk 44 Övningsuppgifter 45

5 Snittkrafter i balkar 49 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Balk på två stöd 49 Konsol 51 Balk med inre led 53 Balk med triangulär utbredd last 54 Övningsuppgifter 56

6 NVM-diagram för balkar 57 6.1 6.2 6.3 6.4

Samband mellan q , V och M 57 N -, V- och M -diagram med snittmetoden 59 Alternativ metod för att rita V- och M -diagram 69 Övningsuppgifter 72

7 Spänning och töjning 75 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10

Normalspänning 75 Skjuvspänning 77 Normaltöjning 77 Skjuvtöjning 78 Materialegenskaper 79 Linjära elastiska stänger 80 Tvärkontraktion 84 Skjuvmodul 85 Termiska effekter 85 Övningsuppgifter 88

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Tyngdpunktsläge 93 Yttröghetsmoment 97 Steiners sats 98 Fysisk betydelse av yttröghetsmoment 102 Huvudtröghetsaxlar 103 Övningsuppgifter 104

9 Normalspänning i balkar 105 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Samband mellan moment och normalspänning 105 Kombination av moment och normalkraft 111 Excentrisk axiell last 114 Böjning i två riktningar 117 Samband mellan M -diagram och deformationer i en balk 118 Övningsuppgifter 120

10 Skjuvspänning i balkar 125 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

6 Innehåll

Horisontella och vertikala skjuvspänningar i en balk 125 Balk med rektangulärt tvärsnitt 126 Balk med I -tvärsnitt 131 Balk med T-tvärsnitt 135 Horisontella skjuvspänningar i en sammanfogad balk 138 Övningsuppgifter 139

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

8 Tvärsnittsegenskaper 93

11 Vridning av axlar 143 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Vridmoment 143 T-diagram 144 Samband mellan vridmoment och skjuvspänning 145 Polärt tröghetsmoment 148 Balkar med icke cirkulära tvärsnitt 152 Övningsuppgifter 152

12 Deformationer i balkar 155 12.1 12.2 12.3 12.4

Elastiska linjens differentialekvation 155 Randvillkor 156 Balktabeller 162 Övningsuppgifter 167

13 Statiskt obestämda balkar 171 © F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

13.1 13.2 13.3 13.4

Elastiska linjens ekvation 172 Kraftmetoden 177 Vinkeländringsmetoden 184 Övningsuppgifter 189

14 NVM-diagram för ramar 193 14.1 14.2 14.3 14.4

Teckenkonvention för ramar 193 Metod för att rita N -, V- och M -diagram 194 Statiskt obestämda ramar 203 Övningsuppgifter 203

15 Knäckning 205 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

Instabilitetsfenomenet 205 Knäckning av en ledad balk 207 Eulers fall 209 Andra ordningens effekter 212 Övningsuppgifter 215

Appendix Appendix A: Lastfall 221 Appendix B: Huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment 223 Appendix C: Svar till övningsuppgifter 227

Innehåll

7

Kapitel 3

Stöd och stödreaktioner

Syftet med det här kapitlet är att introducera de vanligast förekommande stöden och att förklara hur stödreaktioner beräknas.

3.1

Stöd

Anslutningen mellan en balk och dess omgivning kallas för upplag eller stöd. Dessa stöd kan se olika ut i verkligheten, men de modelleras ofta som fixlager, rullstöd eller fast inspänning.

Vid ett fixlager hindras balken att förflytta sig såväl vertikalt som horisontellt. Den tillåts dock att rotera.

Vid ett rullstöd hindras balken att förflytta sig vertikalt, men tillåts att både förflytta sig horisontellt och rotera.

Stöden förhindrar horisontella och vertikala rörelser genom motriktade krafter, s.k. stödreaktioner.

Vid ett fixlager kan det finnas både horisontella och vertikala stödreaktioner, medan det vid ett rullager endast kan finnas en vertikal stödreaktion.

19

Vid en fast inspänning hindras balken att förflytta sig såväl vertikalt som horisontellt, och den kan inte heller rotera.

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Vid en fast inspänning kan det finnas både horisontella och vertikala stödreaktioner och stödmoment.

3.2

Stödreaktioner

Stödreaktionerna för en balk beräknas genom att använda jämviktsekvationer.

För en kropp i jämvikt är summan av alla krafter som verkar på kroppen noll. Även summan av krafternas moment kring en godtyckligt vald punkt är noll. Tvådimensionella problem, dvs. problem för vilka alla krafter verkar i ett och samma plan, betraktas. Kraft­ ekvationen är en vektoriell ekvation som kan projiceras i två riktningar, oftast horisontellt och vertikalt.

För ett 2D-problem finns det således tre jämviktsekvationer där summan av de horisontella krafterna är noll summan av de vertikala krafterna är noll summan av momenten kring en punkt A är noll

Pilarna ovan anger positiva riktningar vid uppställning av jämviktsekvationer.

20

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

För att bestämma stödreaktionerna i en balk friläggs först balken från omgivningen. En friläggningsfigur ritas där samtliga krafter och moment som verkar på balken finns med. En positiv riktning för respektive stödreaktion väljs. Om beräkningarna resulterar i ett negativt värde innebär det att reaktionen pekar åt andra hållet.

Exempel 3.2-1

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Stödreaktioner för balken ska bestämmas.

⇒ Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

När stödreaktionerna har beräknats kan en ny friläggningsfigur ritas.

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

21

Exempel 3.2-2 Stödreaktioner för balken ska bestämmas.

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Den sneda kraften ersätts med en horisontell och en vertikal komposant enligt

⇒ Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

22

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

Det negativa värdet för RA innebär att RA pekar nedåt. Det kan illustreras i friläggningsfiguren.

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

För att förstå att stödreaktionen i A pekar nedåt kan man beakta vad som skulle hända om stödet i A togs bort. Punkt A skulle då röra sig uppåt. Det innebär att stödreaktionen måste vara riktad nedåt för att förhindra denna rörelse.

Exempel 3.2-3 Balkar belastas ofta med utbredda laster. Dessa utgörs av balkens egenvikt och/eller andra element.

Stålbalken nedan med bredden 0.6 m och höjden 0.4 m belastas av sin egenvikt. Stöd­ reaktioner för balken ska bestämmas.

Ståls densitet: ρ = 7850 kg/m3

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

23

Egentyngden för en 1 m lång del av balken är

⇒ Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

När stödreaktionerna har beräknats kan en ny friläggningsfigur ritas.

24

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Balken belastas således med en konstant utbredd last som är 18.5 kN/m. Vid beräkning av stödreaktionerna kan den utbredda lasten ersättas med en resultant, vilken verkar vid kraftrektangelns tyngdpunkt.

Exempel 3.2-4 Balken nedan är fast inspänd i väggen, vilket innebär att det finns ett stödmoment kring punkt A. Stödreaktioner för balken ska bestämmas.

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

⇒

Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

MA och RA ersätts med de värden som beräknats ovan i syfte att kontrollera att momentet är noll enligt

När stödreaktionerna har beräknats kan en friläggningsfigur ritas.

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

25

Exempel 3.2-5 Balken nedan belastas med en triangulär last. Stödreaktioner för balken ska bestämmas.

Den utbredda lastens resultant är

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

och verkar vid krafttriangelns tyngdpunkt G.

⇒ Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

När stödreaktionerna har beräknats kan en friläggningsfigur ritas.

26

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

Exempel 3.2-6

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Nedanstående exempel är ett fackverk, för vilket stödreaktionerna ska bestämmas. Fackverk studeras mer ingående i kapitel 4.

⇒ Resultatet kan kontrolleras genom att ställa upp en momentekvation kring B enligt

När stödreaktionerna har beräknats kan en friläggningsfigur ritas.

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

27

3.3

Övningsuppgifter

3-1

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

Bestäm stödreaktionerna för balkarna och fackverken nedan.

Kontrollera resultaten genom att ställa upp en momentekvation kring en annan punkt.

Rita en friläggningsfigur för varje balk respektive fackverk.

28

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

Kapitel 3 Stöd och stödreaktioner

29

© F ÖRFAT TAREN OCH S T UDEN TL IT TER AT UR

J E A N - M A R C B AT T I N I är professor i Strukturmekanik vid Kungliga Tekniska högskolan (K T H). Han har lång erfarenhet av undervisning på kandidat-, masteroch doktorandnivå. Hans forskning fokuserar på utveckling och implementering av nya numeriska modeller som kan användas för att möta ökande krav på moderna infrastrukturer och byggnader. Genom att kombinera fältmätningar med avancerade finita elementmodeller är det möjligt att förstå strukturernas mekaniska beteende på djupet och därefter optimera deras design.

Byggnadsmekanik Byggnadsmekanik behandlar analys av interna krafter, spänningar och deformationer hos enkla tvådimensionella balkar, axlar, ramar och fackverk. Boken förutsätter i huvudsak enbart gymnasiala grundkunskaper i matematik och fysik (framför allt statik).

Läsaren bör även vara bekant med dubbelintegraler samt enkla differentialekvationer, detta för att förstå yttröghetsmoment och härledning av knäckningslaster.

Tanken med denna bok är att introducera ämnet på ett rigoröst men enkelt sätt, med hjälp av många exempel. Syftet är att visa hur de begrepp som introduceras kan tillämpas i praktiken. Innehållet i varje avsnitt är begränsat till vad studenterna som upptäcker ämnet kan ta till sig. I slutet av varje kapitel ges exempel på övningsuppgifter, där flertalet har samma svårighetsgrad som de exempel som presenteras.

Byggnadsmekanik är lämplig som kursmaterial för de första kurserna i byggnadsmekanik på högskoleingenjörs- och civilingenjörsutbildningarna.

Art.nr 40629

studentlitteratur.se