9789144129198

Elevers svårigheter att lära sig matematik Hur de kan förstås och avhjälpas

redak törer

Mogens Niss Uffe Thomas Jankvist

Originalets titel: Læringsvanskeligheder i matematik – hvordan kan de forstås og afhjælpes? © Frydenlund A/S, Frederiksberg, 2017

KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning.

Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 40183 ISBN 978-91-44-12919-8 Upplaga 1:1 © För den svenska utgåvan Studentlitteratur 2019 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Nils-Martin Lundsgård Sakgranskning: Linda Marie Ahl Formgivning inlaga: Jesper Sjöstrand/Metamorf Design Group Omslagslayout: Jesper Sjöstrand Omslagsbild: Shutterstock Printed by GraphyCems, Spain 2019

Innehåll

Förord till den svenska utgåvan 5 Introduktion 7 Bokens bakgrund 8 Bokens kapitel 11 Referenser 17

1 Begreppsutredning och struktur som metod 19 Inledning 19 Vikten av begreppsutredning 21 Struktur 24 Likhetstecknet och dess betydelse 34 Slutsats 36 Referenser 37

2 Bråk – hur förstår man dem? 39

© S T UDENTLIT TER AT UR

Inledning 39 Val av elev 42 Hur förstår man bråk? 43 Diagnostisering av elevens svårigheter med bråk 46 Intervention 50 Utvärdering av elevens ökade förståelse av bråkbegreppet 54 Avslutning – elevens fortsatta framsteg 55 Referenser 56

3 Modellering, matematisering och symbol- och formalismkompetens 57 Inledning 57 Teori 58 Fallstudier 61

Diagnostisering 63 Eftertest 72 Diskussion 73 Slutsats 76 Referenser 76

4 Matematisering i modellerings­sammanhang 79 Inledning 79 Teorier 81 Från teori till praktik 85 Fall från matematikvägledningen 86 Utdrag från interventionsfasen 94 Sammanfattning och rekommendationer 104 Referenser 106

5 Kompetensskala som verktyg 107 Inledning 107 Resonemangskompetens och kommunikationskompetens 108 Progression i kompetensen 109 Användning av kompetensskalan vid diagnostisering 117 Användning av kompetensskalan vid intervention 124 Erfarenheter hittills 129 Referenser 131

6 Matematiken på spel 133

Om författarna 153

4 Innehåll

© S T UDENTLIT TER AT UR

Inledning 133 Guy Brousseaus teori om didaktiska situationer 134 Skiss till spel att använda när ett variabelbegrepp ska etableras 136 Bokstavsspelet 138 Modelleringsspelet 146 Referenser 151

Kapitel 1

Begreppsutredning och struktur som metod Ӽ Ӽ M A R I A N N E BI E & H A N S B OLV I N K E L

© S T UDENTLIT TER AT UR

Inledning På gymnasiet stöter vi ofta på förklaringar som: ”... då hamnar 2x på andra sidan”, ”... funktionen f till x”, ”likhetstecknet”, ”... det gör man bara, jag kan inte förklara varför” och liknande. Det är formuleringar som uttrycker en språklig osäkerhet som enligt våra undersökningar speglar och avspeglas i en matematisk osäkerhet. Språket hänger ihop med det sätt på vilket vi uppfattar världen, och om de matematiska begreppen definieras oprecist för eleverna blir deras arbete med dem lika vaga.

Vi undersökte exempelvis ekvationslösning, och såg att många elever har svårt att ens definiera begreppet ekvation. Eleverna har en bild av vad en ekvation är, en bild som skapats i grundskolan men som sällan stämmer helt överens med definitionen av en ekvation. Det uppstår helt enkelt en diskrepans mellan elevernas begreppsbild och begreppsdefinitionen (Tall & Vinner 1981), vilket får ett avgörande inflytande på elevernas val av lös­ ningsmetod. Om eleverna inte uppfattar ett uttryck som en ekvation när det faktiskt rör sig om en sådan, vet de inte heller vilka lösningsverktyg de ska ta till när de stöter på uttrycket. Vad det innebär att lösa en ekvation verkar också vara oklart för eleverna. De är medvetna om att det handlar om att få x att stå för sig själv, men syftet med att isolera x och vad det egentligen

20

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

betyder och medför att x till exempel är lika med 2 står inte klart för dem.

Därmed blir ekvationslösning en esoterisk och ändamålslös övning. Det visade sig senare att den här gruppen elever kan hjälpas av en inledande begreppsutredning som följs av en fastlagd procedur som vilar på de exakta och väldefinierade matematiska begreppen.

Liknande problem observerades också i elevernas arbete med bevis­ föring. För en del elever på gymnasiet uppfattas bevisföring som en meningslös ritual som ska memoreras, snarare än den rad logiska argument som leder till att ett påstående kan sägas vara korrekt. De här eleverna kan hjälpas genom att först sätta ord på bevisets roll i matematikämnet och därefter, i likhet med tidigare nämnda grupp elever, knyta en rad fasta begrepp och procedurer till bevisföringen.

Totalt sett pekar våra undersökningar alltså på att en inledande begreppsutredning, en generell precision i språket och en fast strukturerad metod är avgörande i matematikundervisningen. En sådan process leder till en utveckling av två av de åtta matematiska kompetenser som beskrivs i Uddannelsesstyrelsens kompetensprojekt (Niss & Jensen 2002; hädanefter KOM-rapporten), nämligen kommunikationskompetensen och symbol- och formalismkompetensen. I de följande avsnitten kommer vi att fördjupa oss i dessa inslag från de tre projektrapporter som vi skrev i samband med mate­ matikvägledarutbildningen på RUC från september 2013 till januari 2015.

Projektrapporternas titlar är Sprog og ligninger (’Språk och ekva­tioner’), Argumentationssystematik i bevisførelse (’Argumentationssystematik vid bevisföring’) och Struktur og modellering (’Struktur och modellering’).

Vart och ett av de tre projekten bestod av tre faser, så som beskrivits av Uffe Thomas Jankvist och Mogens Niss (2015). Eleverna ombads att göra ett detektionstest, och baserat på detta valdes två till fyra elever per klass ut för diagnostisering. Diagnostiseringen varade i cirka 20 minuter och hade ändamålet att identifiera de hinder som begränsade elevens lärande.

Under diagnostiseringen försökte vi att så långt som möjligt vara tysta.

Vi ville höra vad eleven tänkte och hens argument för sina tankar. En av poängerna med diagnostiseringen var just att höra en eventuellt felaktig argumentation för att på så vis kunna identifiera felaktiga uppfattningar.

Interventionen bestod av tre till fyra 20 minuter långa tillfällen i de första två projekten om ekvationslösning och bevisföring, och tre tillfällen

som varade längre i det sista projektet om modellering. Detta beror på att vi i de två första projekten endast vägledde en elev åt gången, medan vi i modelleringsprojektet arbetade med gruppintervention.

Vi arbetade i samtliga interventioner med elever i första och andra års­ kursen på den allmänna gymnasieutbildningen som läste matematik på B-nivå. En grupp på tre elever ingick i alla de tre projekten, då de började första året på gymnasiet i augusti 2013 och därmed var mitt i andra året på gymnasiet när vår vidareutbildning slutade i januari 2015.

© S T UDENTLIT TER AT UR

Vikten av begreppsutredning David Tall och Shlomo Vinner (1981) skiljer mellan begreppsbild och begreppsdefinition. Här är essensen att eleverna kan ha en bild av vad exempelvis en ekvation, ett bevis eller en modell är som inte stämmer överens med den korrekta och exakta definitionen av begreppet. Efter vårt arbete med de tre projekten är det tydligt för oss att en framgångsrik inter­ vention måste börja med att elev och vägledare kommer överens om vad de överhuvudtaget pratar om.

Elevernas bild av ett begrepp kan vara fragmentarisk och situations­ beroende, och de kan ha problem med att definiera begreppet precist. Elev­ ernas språk speglar således deras kunskap om ett ämne, och vår tes var att eleverna också skulle få lättare att skaffa sig ett bättre grepp om ämnet om de övade på att ha ett precist språk. Vokabulären skulle helst hjälpa på två sätt. För det första skulle de veta mer exakt vad som ryms i ett begrepp. För det andra ville vi skapa en viss struktur med hjälp av språket, så att eleverna lärde sig ord som till exempel faktor och led, men också lärde sig att sätta dem i relation till processen, oavsett om det rörde sig om ekvationslösning, bevisföring eller modellering.

I vårt första projekt om språk och ekvationer (Fuglsang-Damgaard, Bie & Bolvinkel 2014a) inledde vi interventionen med att visa eleverna en rad uttryck och be dem att peka ut de uttryck som inte var ekvationer. Här visade det sig att flera elever hade ett bristfälligt grepp om vad en ekvation är. Alltså avfärdades ekvationer som (x – 3)(x – 7) = 0 och 3x2 + 5x – 2 = 0 av en elev eftersom ”de ser konstiga ut”, medan en annan elev inte ansåg att 9 = m – 5 var en ekvation eftersom den inte innehöll något x. Något så

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

21

1 Stephen Toulmins argumentationsmodell skildrar arguments uppbyggnad med sex element, varav tre är fasta (påstående, grund, garant) och tre är fria (styrkemarkör, villkor, understöd).

Vi arbetade endast med grundmodellen, som består av argument med de tre fasta elementen.

22

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

enkelt som att läsa upp en kort definition av en ekvation, nämligen att ”en ekvation är en utsaga med ett likhetstecken och en eller flera obekanta” fick dem att rätta sina fel.

Likaledes var flera elever inte säkra på vad det egentligen innebar att lösa en ekvation – eller åtminstone inte i stånd att formulera det exakt, vilket uttalanden som ”att hitta” och ”det vill säga att hitta den obekanta; alltså ta reda på vad det är; i förhållande till likhetstecknet” vittnar om. Uttalandena är inte felaktiga i sig, men de är vaga och bristfälliga och vittnar om en ofullständig begreppsbild. Det är inte så konstigt att eleverna har svårt att lösa ekvationer när de inte vet vad de gör.

Vi försökte hjälpa eleverna med att sätta rätt ord på processen (vilket vi berättar mer om i nästa avsnitt) och baserat på elevernas prestation i den sista sessionen jämfört med deras prestation på diagnostiseringssamtalen var det till stor nytta för dem. En av eleverna gick från att beskriva division i en ekvation med ”... så ska man göra nåt sånt här” (ritar ett vågrätt streck) till ”jag dividerar med koefficienten”.

I vårt andra projekt, om argumentationsteknik i bevisföring (Fuglsang-Damgaard, Bie & Bolvinkel 2014b), blev eleverna vid diagnos­ tiseringen tillfrågade vad ett bevis är. Även här såg vi en mängd olika svar som alla hade något korrekt i sig, men som inte var fullständigt uttöm­ mande. Vi inledde interventionen med att tala om matematikens natur och bevisets roll, däribland varför vi överhuvudtaget har bevis. Betydelsen av ord som ”bevis” och ”sanning” är besvärliga att förstå för eleverna och är för övrigt något som har sysselsatt filosofer i tusentals år, så det är inte anmärkningsvärt att en elev utan att ha diskuterat ämnet har en oklar bild av dessa begrepp. De två begreppen diskuterades med eleverna genom att matematiken jämfördes med de naturvetenskapliga ämnena.

Nästa steg var precis som i det första projektet att introducera en struktur i beviset. Vi använde Stephen Toulmins argumentations­modell1 (Jørgensen & Onsberg 1987) och ord som ”grund” och ”påstående” och försökte därigenom visa för eleverna att ett matematiskt bevis är en

argumentationskedja och inte en godtycklig uppräkning av matematiska utsagor. Därför är det alltså möjligt att lära sig och komma ihåg ett bevis med hjälp av ett par hållpunkter, och att komma ihåg de grundläggande matematiska reglerna. Precis som i det första projektet tog eleverna orden till sig, vilket uttalanden som ”vår grund är att vi minns den här formeln från grundskolan” och ”vi påstår att ...” vittnar om.

I det tredje och sista projektet, om struktur och modellering (Fuglsang-Damgaard, Bie & Bolvinkel 2014c), arbetade vi med modeller. Återigen var det för vissa elever inte helt uppenbart vad en modell och ett samband mellan variabler egentligen är. Till exempel utspelade sig följande dialog med en elev som blivit ombedd att skriva upp sambandet mellan antalet lärare och elever på en skola (Niss & Jankvist 2013b) och fått veta att det var sex gånger så många elever som lärare på skolan: Michael: y = e · 6 + l, där e är eleverna, l är lärarna, och y är formeln, precis som y = ax + b.

Lärare: Vad innebär det när det står att något ska uttrycka ett samband?

© S T UDENTLIT TER AT UR

Michael: Öh ... det vet jag inte ... är det fel att göra en modell?

Liksom i de föregående projekten arbetade vi här med att strukturera processen för eleverna för att ge dem verktyg som skulle kunna hjälpa dem att hitta någonstans att börja. Den här gången valde vi att göra en gruppintervention, och upplevelsen var densamma som i de föregående två projekten, nämligen att eleverna med hjälp av en enkel procedur och tryggare begreppsanvändning kom mycket längre i processen än tidigare.

Sammanfattningsvis verkar det alltså som att en begreppsutredning och en struktur som härrör ur ett precist språkbruk var oumbärliga inslag i inter­ ventionen. Eleverna uttryckte själva stor entusiasm över hur mycket de fick ut på relativt kort tid (80–100 minuter). Deras ökade självsäkerhet efter inter­ ventionen var tydlig, och den generella tron på de egna färdigheterna inom matematik stärktes. Detta gällde både under de tre till fyra tillfällen som interventionen varade, och i de vanliga matematiklektionerna efter att den hade avslutats. Vår bedömning är dock att om effekterna ska vara hållbara även på ännu längre sikt så måste arbetet med dessa elever fortsätta kontinu­ erligt. Exempelvis skulle de kunna erbjudas korta uppfräschningskurser efter varje intervention eller repetitionsomgångar av tidigare genomgånget stoff.

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

23

Struktur När den inledande begreppsutredningen är avklarad gäller det att stödja sina elever i den fortsatta inlärningsprocessen så att deras utbyte blir så stort som möjligt. Här kommer vi att diskutera hur man kan strukturera strategiska provuppgifter och procedurer i undervisningen.

Språklig struktur i ekvationslösning När vi arbetade med ekvationslösning var första steget att reda ut vad en ekvation egentligen är. Därefter undersökte vi om eleverna kunde sätta ord på vad det innebär att lösa en ekvation, och vad det betyder att något är en lösning på en ekvation. Här tillfrågas Helle om vad det innebär att lösa en ekvation: Helle:

Man måste hitta x eller b eller c.

Lärare:

Vad gäller för det talet du hittar?

Helle:

Det vet jag inte.

Därefter löser Helle ekvationen 2x + 5 = 17 och får x = 6. Hon får en ny fråga: Lärare:

Vad innebär det att x = 6?

Helle:

Det vet jag faktiskt inte.

Lärare:

Är det rätt?

Helle:

Nej … eller jo. Är det en ekvation när det inte är något x?

Sekvensen visar att även om Helle kanske kan utföra de matematiska ope­ rationer som krävs för att lösa den här ekvationen så har hon inte riktigt någon aning om vad lösningen är ett uttryck för. Som lärare är man alltså tvungen att försäkra sig om att eleverna är medvetna om vad lösningen betyder, i både en matematisk och en verklighetsnära kontext.

Det är inte alla elever som vid gymnasiets början klarar av att lösa enkla

24

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

Hon ombeds att sätta x = 6 i den ursprungliga ekvationen och får 13 = 17, då hon räknar ut vänstersidan som 2 + 5 + 6.

förstagradsekvationer. Här följer ett par exempel på de svårigheter eleverna kan stöta på: En elev fick ekvationen 4b = 4 + b, som är tagen från detektionstest 1 (Niss & Jankvist 2013a): Lene:

Det irriterar mig att det inte står x.

Lärare:

Ska vi se hur den ser ut om det står x?

Lene:

Ja, är det inte det vi brukar göra?

Ekvationen lyder 4x = 4 + x.

Lene:

Man ska liksom minusa något här borta för att det ska bli isolerat.

Lene subtraherar x på båda sidor, så att det står 4x – x = 4.

Lene:

Det är väl bara 4 ... x?

Lene får hjälp och kommer till uttrycket 3x = 4.

Lene:

Sen ska man göra något sånt här.

© S T UDENTLIT TER AT UR

Lene ritar ett vågrätt streck under 3x och under 4.

Lärare:

Varför det?

Lene:

Det vet jag inte. Det måste man bara ...

Lärare:

Varför vill du dividera?

Lene:

Det måste man.

Sekvensen visar dels att Lene har en snäv begreppsbild av vad en ekvation är, dels att hon uppfattar ekvationslösning operationellt och inte strukturellt (Sfard 1991). Ekvationslösning blir alltså för Lene en process som innehåller en rad handlingar och tillvägagångssätt som hon har svårt att motivera men som hon i någon utsträckning klarar att genomföra. Det tyder därför också på att hon har en instrumentell infallsvinkel på ekvationslösning snarare än en relationell, då detta skulle kräva att hon utöver att kunna genomföra de konkreta operationerna också skulle veta varför hon genomförde dem (Skemp 1979) (det relationella tillvägagångssättet). Detta är en omfattande

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

25

minnesprocess, och enbart med den strukturella uppfattningen (som är kopplad till det matematiska objektet) kan eleverna känna igen objektet och manipulera det i andra sammanhang. Det tyder på brister inom både symbol- och formalismkompetensen och kommunikationskompetensen (Niss & Jensen 2002). Eftersom Lene inte förstår spelreglerna för ekvations­ lösning kan hon inte heller sätta ord på sin metod, som därför blir en svår och kanske meningslös procedur för henne.

Vi kan dock hjälpa Lene (och andra i hennes situation) genom att lära henne ämnesvokabulären (uttryck, led, faktor, koefficient med flera) och de regler som är kopplade till de olika beståndsdelarna i ekvationslösning, samt insistera på att hon använder de rätta orden och beteckningarna. Mer konkret ger vi Lene en ordlista som består av två pelare – en begreppspelare och en exempelpelare – varefter vägledaren går igenom ett begrepp genom att förklara vad det innebär och när det används. Därefter används det på ett exempel så att eleven kan höra hur begreppet används i en mening.

Slutligen försöker eleven själv genom att gå igenom ett par exempel.

REGLER FORMULER ADE I ORD

• Reglerna introduceras genom exempel.

• Man måste addera samma tal på båda sidorna av likhetstecknet.

• Man måste subtrahera samma tal på båda sidorna av likhetstecknet.

• Man måste multiplicera med samma tal i alla uttryck i ett led på båda sidorna av likhetstecknet (dock inte 0).

• Man måste dividera med samma tal i alla uttryck i ett led på båda sidor

Efter denna lilla intervention upplevde vi överraskande nog att de förhål­ landevis svaga elever som vi hade arbetat med nu hade en reell lösnings­ strategi baserad på handlingar som rent språkligt var inlärda. Exempelvis sker Lenes lösning av ekvationen nu med följande resonemang: ”Det är två uttryck på höger sida och ett uttryck på vänster sida”, ”jag samlar uttryck med den obekanta på höger sida”, ”jag drar ifrån 4 på båda sidorna” och ”jag dividerar med koefficienten till den obekanta på båda sidorna”.

26

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

av likhetstecknet (dock inte 0).

Begrepp

Exempel

Likhetstecken

=

Räkneoperationer

Addera Subtrahera Multiplicera Dividera

Uttryck åtskiljs av + och –

8x + 4 – 3y

Uttryck som adderas ger en summa

5y + 3y = 8y, där 5y och 3y är uttryck, och 8y är summan (och ett uttryck) 3x + 14x + x = 18x 9 + 2 + 4 + 3 = 17

Uttryck som subtraheras ger en differens

3a – a = 2a, där 3a och a är ett uttryck, och 2a är differensen (och ett uttryck) p – 8p = –7p

Man multiplicerar faktorer med varandra och man får en produkt

5 · 6 = 30, där 5 och 6 är faktorer, och 30 produkten 3z · 8 = 24z

Den obekanta

I en ekvation anges den obekanta med en symbol, exempelvis x, m eller t, och det är värdet av den obekanta som ska bestämmas

Koefficient är den faktor som står framför den obekanta

4 · y, där 4 och y är faktorer, 4 är koefficient, och y är obekant

Det korrekta matematiska språket hjälper till att ge stöttning för att känna igen mönster och ökar därigenom elevernas förståelse av ekvationen och dess element. Därmed har eleverna lyckats stärka två kompetenser från KOM-rapporten, nämligen kommunikationskompetensen och symboloch formalismkompetensen genom den fasta proceduren att konsekvent använda begreppen från ord- och regellistan.

© S T UDENTLIT TER AT UR

Språklig struktur i bevisföring Bevisföring är en väsentlig del av matematikundervisningen och en obliga­ torisk del av den muntliga examen på B- och A-nivå, men hur försäkrar man sig om att det inte bara blir en utantillinlärning? Vi mötte hos våra elever uppfattningar om bevisföring som ”långt och invecklat”, ”kräver mycket förklaring” eller bara ”konstigt” (Fuglsang-Damgaard, Bie & Bolvinkel

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

27

28

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

2014b), vilket är helt naturligt, särskilt med tanke på att bevisföring som ämne är något helt nytt för dem. Som tidigare nämnts är det viktigt att reda ut begreppen så att eleverna redan från början får en känsla för vilken status bevisföring har i matematik, nämligen en status som i grunden skiljer sig från den status bevisföring har i alla andra ämnen. Därefter kan man, precis som med ekvationer, ge stöttning till elevernas förståelse med hjälp av en rad strategiska hållpunkter.

Vi utgick från Toulmins argumentationsmodell och Christine Knippings (2008) användning av den genom att visa eleverna att det alltid finns fasta mönster och strukturer som kan kopplas till Toulmins begrepp.

Vi började med att lägga vikt vid att ordet ”sats” hänvisar till två olika saker, beroende på om man använder det i danskämnet (motsvarande svensk­ ämnet i svensk skola, ö.a.) eller i matematik. Det är viktigt eftersom eleven ofta bara har referensen från danskämnet (eller den allmänna definitionen av ordet) och för att förstå vad innehållet av en matematisk sats är måste man alltså se längre än den definitionen. En matematisk sats uppfattas mer som ett påstående, och för att argumentera för dess korrekthet kan man använda sig av argumentationsanalys och fråga: ”Varför gäller den här satsen?” I matematik följer sedan en rad motiveringar eller belägg som i slutändan kommer att hamna i huvudpåståendet. Vi ville försöka hjälpa eleven till en tryggare bevisstrategi genom att alltid börja med att skriva upp huvudpåståendet, teckna en eventuell skiss samt komma ihåg en till två hållpunkter under bevisföringens gång. Vi hoppades att en elev som kände sig säker på hur beviset var uppbyggt skulle kunna gå igenom ett bevis utan att känna sig tvungen att lära sig det utantill eller läsa upp från ett papper (Fuglsang-Damgaard, Bie & Bolvinkel 2014b). Vokabulären som ska läras in och övas är påstående, belägg, definition, sats, argumentationskedja, förutsättning, kända fakta och hållpunkter, och i illustrationen nedan visas hur eleverna kan stödjas genom att termerna används. Här handlar det om beviset för en av formlerna för arean av en triangel, och meningen är att eleverna utifrån dessa punkter ska kunna genomföra beviset.

Sats: (Huvudpåstående) I en slumpmässig triangel ABC gäller att arean T = 21 ∙ a ∙ b ∙ sin(C).

Bevis: (Argumentationskedja) A Hållpunkter: Skiss

Kända fakta

b

c

ha

C

a

B

Kända fakta:

1) Arean av en triangel T = 21 ∙ h ∙ a

2) Sinusformel i rätvinklig triangel sin(v) = mod hyp Hur låter det då när en elev ska använda begreppen efter att ha presenterats för dem? Här möter vi Mette, som just ska gå igenom beviset för areaformeln utan anteckningar: Mette:

Utan?!

Lärare:

Ja, utan att du tittar i dina anteckningar.

Mette:

Så jag får inte ens titta på dem?!

© S T UDENTLIT TER AT UR

Mette påminns nu om begreppen huvudpåstående, påstående, belägg, argumentationskedja och hållpunkt, varefter hon sätter fart med att skriva upp huvudpåståendet och ritar en skiss som fungerar som hållpunkt.

Mette: Sedan har jag ett påstående som heter sin(C ) är lika med höjden från A dividerad med b. Mitt belägg för det är då alltså det här motstående påståendet [Mette pekar på sin (v) = hypotenusa ]. Och jag vet ju också att den motstående kateten ... det tog jag reda på att det var ha, för om jag tog den här rätvinkliga triangeln här uppe i min hållpunkt så heter den motstående kateten ha, höjden från A. Och jag vet att ... hypotenusan heter lilla b.

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

29

Lärare:

Ja.

1

Mette: Sen har jag ett nytt påstående som lyder T = 2 ∙ a ∙ sin(C) ∙ b.

Belägget för det är då både det här påståendet [Mette pekar på areaformeln för en rätvinklig triangel] och det här påståendet h h [pekar på sin(C) = ba ]. I det här [pekar återigen på sin(C) = ba ] måste ha isoleras. Det gör jag genom att multiplicera med b på båda sidor.

När Mette har genomfört beviset konfronteras hon med att hon har genom­ fört beviset utan att titta på sitt papper.

Mette: Ja. Jag försökte komma ihåg vad som stod på pappret, men det kunde jag inte helt och så tänkte jag ok, det är bara påstående, belägg, påstående, belägg.

Lärare:

Hjälpte den här metoden dig att genomföra beviset?

Sekvensen antyder att Mette har fått ett verktyg för att kunna läsa bevis, så att hon lättare kan förstå och överskåda de olika steg som ingår i ett mate­ matiskt bevis – och inte minst varför de olika stegen uppträder i beviset. Vi ska dock påpeka att inte alla våra elever klarade det fullt så bra. Detta beror emellertid inte på användningen av begrepp och hållpunkter, som var till stor hjälp för alla. Snarare visade det sig att problemen uppstod vid ut­föran­ det av de algebraiska manipulationerna. Det är förargligt att det är dessa som ska bromsa flytet i bevisföringen, när nu eleverna faktiskt både vet vad ett bevis är och känner till och kan använda argumentationsterminologin.

Det pekar dock också på att ekvationslösning och algebraisk säkerhet är fundamentala egenskaper i många av gymnasiematematikens grenar.

30

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

Mette: [Tankepaus] Det tycker jag ... eftersom att när jag skulle öva på det därhemma igår så tittade jag inte heller på de här pappren och så tänkte jag bara att jag måste komma ihåg att jag ska ha huvud­ påstående, påstående och belägg och hållpunkt. Sedan tittade jag också igenom andra bevis och sedan tänkte jag att nu går det faktiskt ihop. Nu vet jag vad som är vad och sådär.

Språklig struktur i modellering Arbetet med matematiska modeller i gymnasiet kan se ut på olika sätt.

Eleverna kan exempelvis manipulera en känd modell för att hitta värdet av en okänd variabel, de kan få i uppgift att förklara betydelsen av konstanter och variabler i en modell, eller bli ombedda att ställa upp en matematisk modell baserat på en språklig beskrivning. I vårt tredje projekt koncentre­ rade vi oss på denna sistnämnda matematisering, det vill säga den konkreta översättningen från språk till matematik.

Precis som i de tidigare projekten ville vi strukturera elevernas arbete med matematisering genom språket. Vidare ville vi undersöka huruvida uppgifter i en lättigenkännlig extramatematisk domän var enklare att arbeta med för eleverna än uppgifter som de fått i en extramatematisk domän som är svårare att känna igen. Med andra ord ville vi undersöka om elever har lättare för modelleringsuppgifter som handlar om datorspel, klädinköp och liknande än uppgifter som handlar om hur mycket en spigg förbränner i timmen vid olika åldrar.

Vårt arbete med eleverna avslöjade att språket ännu en gång var ett hinder. Först och främst var eleverna osäkra på betydelsen av matema­ tiska begrepp som samband och modell. Detta syns på Michaels tidigare uttalande, där han trodde att ett samband skulle representeras på ett sätt som var välkänt för honom och därmed valde den linjära modellen utan att reflektera över vad uppgiften egentligen gick ut på. Detta visas också i följande samtal, där Rikke (andra året på gymnasiet) ombeds att skriva upp ett samband som illustrerar att det är sex gånger så många elever som lärare på en skola: Rikke: [skriver x + 6x] Jag tänker att antalet lärare måste vara x och så måste antalet elever vara 6x.

© S T UDENTLIT TER AT UR

Lärare: Vad tänker du när det står att du ska ställa upp ett samband mellan antalet lärare och elever? Vad gäller frågan egentligen?

Rikke:

Det vet jag inte ...

Dessutom störde flera icke-matematiska ord eleverna i deras arbete. Det var både ord som normalt kopplas samman med andra ämnen och ”vardags­ ord” som träkub och omkostnader.

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

31

Precis som tidigare var vår första insats därför att hjälpa eleverna att skapa ordning och reda i uppgiften, och vi formulerade med det ändamålet en rad hjälpfrågor utifrån Cardelle-Elawar (1995): 1 Förståelse. Förstår du ordens betydelse? Förstår du meningen med uppgiften?

2 Visualisering. Kan du rita en modell av problemställningen? Kan du visualisera den?

3 Sortering. Har du all nödvändig information? Vilken information är viktig och vilken är oviktig?

4 Symboler och exempel. Namnge variabler och konstanter. Försök att göra ett exempel där du sätter in talvärden.

5 Formel. Skriv ner sambandet mellan variabler och konstanter i en formel.

Vi valde att arbeta med grupper om tre–fyra elever i den här interventio­ nen eftersom vi tänkte att eleverna skulle ha nytta av att diskutera med varandra i stället för att tänka högt inför läraren. Den tredje hjälpfrågan är avsedd att få eleverna att inse att en matematisk modell inte kan införliva samtliga variabler. I den första utgåvan av våra hjälpfrågor utelämnades uträkningsexemplet i fråga fyra. Arbetet med eleverna visade dock att de tyckte mycket om att arbeta med konkreta värden och att ett konkret exem­ pel hjälpte dem att ställa upp det generella sambandet.

Eleverna fick nu en rad uppgifter som de diskuterade medan läraren observerade och hjälpte dem på traven när och om det behövdes. Upp­ gifterna såg vid första anblick mycket olika ut. Vissa hade en lättigenkänn­ lig kontext medan andra var mer tekniska och skrivna med ett språk som innehöll ett stort antal främmande ord. De underliggande matematiska modellerna skilde sig inte nämnvärt åt i svårighetsgrad; det var bara ”inpackningarna” som skilde sig åt. Detta var helt medvetet, då vi ville undersöka om kontexten hade en betydelse för elevernas förmåga att lösa uppgifterna på den motsatta sidan:

32

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

6 Beräkning. Hur beräknar jag lösningen? Vilka matematikoperationer har jag problem med?

• Hur länge räcker en flaska schampo?

• Priset på en taxiresa kan beskrivas med y = 5x + 25, där x anger antalet körda kilometer medan y anger det totala priset. Är det en bra modell?

• Ett vattenkraftverk är en anläggning för produktion av elektricitet där man utnyttjar en vattenmassas fallhöjd (potentiell energi) till att driva en vattenturbin som är kopplad till en generator. Hur mycket behöver en kilowattimme kosta för att täcka omkostnaderna för att ha ett vattenkraftverk?

• Ge ett förslag på ett betalningssystem i ett parkeringshus bredvid ett varuhus som varken skrämmer bort kunderna eller resulterar i att de står där 24 timmar om dygnet.

• Ställ upp en matematisk modell som kan avgöra vilken kö man ska välja i en stormarknad.

Efter den inledande begreppsutredningen av begrepp som samband, modell, variabler och konstanter kastade eleverna sig över uppgifterna.

Redan vid första samtalet observerade vi att eleverna hade lätt att inse att en modell inte kan passa samtliga variabler och att vissa variabler därför måste sorteras bort. I början var matematiseringsdelen riktigt besvärlig, men hjälpfråga fyra, som utgår från ett konkret exempel, visade sig ge eleverna den sista puffen de behövde. Följande samtal utspelade sig i en grupp första­ årselever som arbetade med den sista uppgiften, där de skulle ställa upp en matematisk modell som kunde avgöra vilken kö man ska välja i mataffären:

© S T UDENTLIT TER AT UR

Henriette: Man skulle kunna välja att säga hur lång tid det tog en kund i genomsnitt att komma igenom med x antal varor. Men då måste man bestämma sig för något.

Mark: Men du måste också ha ett starttal, för det tar ju, vadå, 20 sekunder att betjäna varje kund? Så det skulle kunna vara y = x ∙ 20 + 20, där x är antalet varor.

Amanda:

Men tar det 20 sekunder för varje vara?

Mark:

Ska vi säga 3 sekunder?

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

33

Därefter ställer läraren upp sambandet y = 3x + 20p för eleverna, där x är antalet varor i kön och p är antalet personer. Det här formaliserar de ytterligare så att de får y = qx + zp, där q är antal sekunder per vara och z är antal sekunder per person som betjänas.

Den matematiska modellen är således inte längre ett främmande begrepp för eleverna, och att introducera variabler i en matematisk modell har blivit något som de gör av sig själva. Begreppsutredningen har gjort att de kan samtala om en modell genom att använda korrekta matematiska begrepp, och användningen av ett konkret talexempel har fungerat som katalysator för arbetet mot en färdig modell.

Interventionen visar också att det är en björntjänst gentemot eleverna att ställa dem inför modeller som beskriver invecklade vetenskapliga samband.

Det är mycket möjligt att sådana modeller har en bakgrund i den verkliga världen, men det är störande för eleverna. Snarare bör introduktionen till modellering ske genom användning av enkla, lättigenkännliga modeller skrivna på vardagligt språk och med igenkännliga kontexter. I uppgiften om vattenkraftverket sa en elev exempelvis: ”Jag måste läsa den [texten] en miljard gånger och det tar för lång tid att göra det. Även om jag läser och förstår orden har jag svårt att hålla fokus.” En hel grupp visste inte ens vad en kilowattimme är.

Bristande symbol- och formalismkompetens var ett ständigt problem i alla de tre projekten. Det var inte så överraskande i första projektet, där problem med att förstå likhetstecknets betydelse naturligtvis resulterade i svårigheter med ekvationslösning. Eleven Helle hade som tidigare nämnts svårt att svara på om 13 = 17 är korrekt. Exemplet visar att likhetstecknet inte nödvändigtvis uttrycker ekvivalens för eleven och därmed inte heller uppfattas som ett relationellt eller operationellt tecken.

I det tredje projektet om matematisk modellering ses några av de pro­ blem med likhetstecknet som förekom i det första projektet. Matias skriver relationen ”1 = 6”, som ska innebära att för varje lärare finns det sex elever.

Precis som för Helle betyder det inte att båda sidorna är lika, och det är inte heller en uppmaning att utföra en räkneoperation. Det är lätt att misstänka

34

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

Likhetstecknet och dess betydelse

© S T UDENTLIT TER AT UR

att Matias inte förstår vad uppgiften går ut på, men det visar en senare förklaring att han gör. Faktiskt uttrycker han mycket precist den linjära relation som finns mellan antal lärare och antal elever: ”Formeln ska vara ungefär så här: för varje ny lärare, det vill säga när den växer med 1, så ska den gå upp 6.” Men han poängterar faktiskt precis före detta också vad problemet är. Han bemästrar helt enkelt inte det språk som krävs för att uttrycka den matematiska relationen: ”Problemet är att jag inte riktigt vet hur jag ska formulera det.” Kommunikationskompetensen är alltså begränsad eftersom han saknar de matematiska byggstenarna i form av det symbolspråk som han behöver uttrycka sig med.

Hur får då Helle och Matias idén om att godta uppenbart felaktiga uttryck? Det händer olika saker hos dem, även om exemplen kan se lika­ dana ut. Vad beträffar Matias tror vi att hans problem beror på att var­ dagsspråket har tagit över i modelleringskontexten. Om vi tittar på hur man i vardagsspråket använder formuleringar som ”vi sätter likhetstecken mellan” avslöjar en snabb Googlesökning ett hav av olikartade uttryck. I en RUC-uppgift om folkhälsa (Hasanbegovic 2013) hittar vi ett citat: ”detta i så hög utsträckning att det finns en tendens att sätta likhetstecken mellan att vara smal och att vara hälsosam”. Och i en artikel i Ugeskrift for Læger (Eika & Malling 2013) hittar vi: ”Ett annat förslag har varit att sätta likhetstecken mellan professionalism i utövandet av läkaryrket och förmågan att kunna argumentera för (reflektera över) de val man gör.”

Detta är endast två exempel på hur ”att sätta likhetstecken mellan” används i vetenskapliga sammanhang i en icke-matematisk kontext. Men i matematisk mening skulle dessa likhetstecken vara lika ogiltiga som de som Matias arbetar med, eftersom det verkar stå klart att det inte finns någon ekvivalens mellan att vara smal och att vara hälsosam, eller mellan att vara professionell och att kunna argumentera för sina val. Vi anser därför att denna användning av likhetstecknet är kopplad till en språk­ lig uppfattning där det i symbolen ligger en gömd förkortning av en rad språkliga element. Tecknet kan skifta karaktär efter det sammanhang det används i och uttrycker inte ekvivalens. Men det kan uttrycka essensen av uppgiftens logiska förbindelseord (för varje lärare finns det sex elever) eller orsakssamband (om det finns en lärare så finns det sex elever). Det kan också innehålla småord som i en matematisk kontext är avgörande,

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

35

men som i vardagsspråket inte har särskilt stor betydelse. Ett exempel på detta finns i en uppgift om en tärning där Matias skriver ”6 = sidor”. Till höger borde det stå ”antal sidor” om likhetstecknet ska uttrycka ekvivalens.

Vi försökte i våra tre projekt hjälpa eleverna genom att göra insatser på två fronter. För det första arbetade vi med att reda ut begrepp för att det skulle finnas en enighet om vad samtalen handlade om och att begreppen skulle avmystifieras. För det andra skapade vi struktur inom de olika matematiska områdena genom att använda begreppen på ett systematiskt sätt.

Resultatet var övervägande positivt. Eleverna tog till sig begreppen och gjorde stora framsteg, oavsett om det rörde ekvationslösning, bevisföring eller modellering. Därutöver ökades deras självtillit och glädje för ämnet, även om effekten av att bli sedd och att få tid själv med läraren inte bör underskattas.

Vi har samtidigt blivit mycket medvetna om att vissa brister inom symbol- och formalismkompetensen lägger krokben för eleverna inom alla matematiska områden. Detta understryker vikten av att ha fokus på den algebraiska manipulationen.

Långtidseffekterna av matematikvägledningen för våra elever är svårare att säga något entydigt om. En enskild elev valde matematik på A-nivå och klarade sig över genomsnittet. Vid det skriftliga examensprovet som­ maren 2015 klarade sig alla de elever som gjorde provet med medelbetyg eller bättre. Inga träd växer dock till himlen. Två elever som både deltog i matematikvägledningen under första året på gymnasiet och återigen under andra året fick det underkända betyget 00 (motsvarar F i Sverige, men Danmark har två grader av underkänt, 00 och –3, ö.a.) på sina terminsprov.

Detta visar oss att det krävs en målinriktad insats från både elever och lärare även efter att vägledningsförloppet nått sitt slut för att de positiva effekterna av vägledningen ska kunna kvarstå.

Vi hade under vägledningsarbetet fokus på begreppsutredning och struktur som en metod för att avhjälpa matematiksvårigheter hos svaga elever. Det är dock en metod som inte uteslutande är förbehållen väg­ ledningssituationen. Vi har båda kunnat överföra den till klassunder­

36

Marianne Bie & Hans Bolvinkel

© S T UDENTLIT TER AT UR

Slutsats

visningen, där resten av klassens elever har exakt lika mycket behov av tydliga strukturer och precision i språket som de svaga eleverna har.

© S T UDENTLIT TER AT UR

Referenser Cardelle-Elawar, M. (1995). Effects of metacognitive instruction on low achievers in mathematics problems. I Teaching and Teacher Education 11, s. 81–95.

Eika, B. & Malling, B.V. (2013). Speciallægeuddannelsens rolle som professional er kompleks og bør omdefineres. I Ugeskrift for Læger 175 (24), s. 1709–1712.

Fuglsang-Damgaard, A.C., Bie, M. & Bolvinkel, H. (2014a). Sprog og ligninger, projekt­ uppgift 1, matematikvägledarutbildningen. Roskilde Universitet.

Fuglsang-Damgaard, A.C., Bie, M. & Bolvinkel, H. (2014b). Argumentationsteknik i bevisførelse, projektuppgift 2, matematikvägledarutbildningen. Roskilde Universitet.

Fuglsang-Damgaard, A.C., Bie, M. & Bolvinkel, H. (2014c). Struktur og modellering, projektuppgift 3, matematikvägledarutbildningen. Roskilde Universitet.

Hasanbegovic, A., Højmark, M., Laursen, P., Uldahl, U. & Sørensen, C.O. (2013). Når sundheden skal frem & vægten skal ned! Hvad er der på spil i en sundhedsfremmende kommunal intervention? Master i folkhälsa. Roskilde Universitet.

Jankvist, U.T. & Niss, M. (2015). A framework for designing a research-based ”maths counsellor” teacher programme. Educational Studies in Mathematics 90(3), s. 259–284.

Jørgensen, C. & Onsberg, M. (1987). Praktisk argumentation. Viby: Teknisk Forlag. I svensk översättning av Orla Vigsø (2008): Praktisk argumentation. Grundbok i retorisk argumentation. Åstorp: Retorikförlaget.

Knipping, C. (2008). A method revealing structures of argumentations in classroom proving processes. I ZDM – The international Journal on Mathematics Education 40, s. 427–441.

Niss, M. & Jankvist, U.T. (2013a). 57 Spørgsmål fra Professoren (detektionstest 1). Material utlämnat på matematikvägledarutbildningen vid Roskilde Universitet.

Niss, M. & Jankvist, U.T. (2013b). 13 Spørgsmål fra Professoren (detektionstest 3). Material utlämnat på matematikvägledarutbildningen vid Roskilde Universitet.

Niss, M. & Jensen, T.H. (2002). Kompetencer og matematiklæring– idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. Köpenhamn: Undervisningsministeriet.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. I Educational Studies in Mathematics 22, s. 1–36.

Skemp, R.R. (1979). Goals of learning and qualities of understanding. I Mathematics Teaching 88, s. 44–49.

Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. I Educational Studies in Mathematics 12, s. 151–169.

Kapitel 1 Begreppsutredning och struktur som metod

37

Mogens Niss är professor emeritus i matematik och matematik­ didaktik vid Roskilde universitet. Uffe Thomas Jankvist är professor i matematikdidaktik vid Aarhus universitet, gästprofessor vid Uppsala universitet och extern lektor vid Roskilde universitet.

Tillsammans leder Niss och Jankvist matematikvägledarprogrammet vid Roskilde universitet. Samtliga kapitelförfattare är utbildade vid matematikvägledarprogrammet.

Elevers svårigheter att lära sig matematik Hur de kan förstås och avhjälpas

Vad gör du som lärare när du möter elever som har svårt att lära sig matematik, trots att de inte har några diagnostiserade inlärningssvårigheter? Många lärare vill hjälpa dessa elever att inte ge upp i ämnet, med allt vad det kan innebära i form av personliga nederlag, hinder för vidare utbildning och minskade framtida jobbmöjligheter. Men hur kan man göra för att faktiskt hjälpa eleverna?

I den här boken presenteras sex fallstudier där danska matematik­ lärare berättar om hur de har arbetat med gymnasieelever med svårigheter att lära sig matematik. Alla bokens författare har gått vidareutbildningen till matematikvägledare vid Roskilde universitet och boken bygger på deras projekt under utbildningen samt egna erfarenheter och analyser.

Detta är den andra boken i en serie som förmedlar erfaren­ heterna från matematikvägledarutbildningen och från den efterföljande yrkesutövningen. Den första boken, Från stötesten till byggsten, utkom på svenska 2019.

Elevers svårigheter att lära sig matematik vänder sig till blivande och verksamma lärare i matematik, både på gymnasiet och på högstadiet.

Art.nr 40183

studentlitteratur.se