9789144118079

UNGA

MATEMATIKER I ARBETE

BR Ã…K, D E CIMALTA L O C H PRO C ENT

CATHERINE TWOMEY FOSNOT & MAARTEN DOLK

Originaltitel: Young Mathematicians at Work: Constructing Fractions, Decimals, and Percents by Catherine Twomey Fosnot and Maarten Dolk.

Copyright English version © 2002 by Catherine Twomey Fosnot and Maarten Dolk. Translation © 2019 by Catherine Twomey Fosnot and Maarten Dolk.

All rights reserved.

First published by Heinemann, a division of Greenwood Publishing Group, Inc., 361 Hanover Street, Portsmouth, NH 03801, United States of America.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39551 ISBN 978-91-44-11807-9 Upplaga 1:1 © För den svenska utgåvan Studentlitteratur 2019 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Katarina Sjöwall Trodden Sakgranskning: Cecilia Kilhamn Omslagslayout: Jesper Sjöstrand/Metamorf Design Printed by Interak, Poland 2019

3

INNEHÅLL

Tack 5 Förord 7 Förord till den svenska utgåvan 11 Om boken 15 1 ”Matematik” eller ”matematiserande”? 17

Lärande och undervisning i klassrummet 18 Lärande som utveckling 29 Strategier, centrala idéer och modeller 34 Sammanfattning 37 2 Lärandets landskap 39

Kunskapens resa 40 Kontextens roll 43 En matematisk gemenskap 51 Sammanfattning 55 3 Ekvivalens vid horisonten 57

Dela lika – ekvivalensens historia 58 Mätkontexter 60 En växande marknad som kontext 62 Barns strategier för ekvivalens 64 Sammanfattning 71 4 Utveckla centrala idéer och strategier 73

Centrala matematiska idéer vid horisonten 74 Strategier vid horisonten 85 Sammanfattning 88 5 Matematiska modeller 91

Vad är en matematisk modell? 92 Modellera händelser och situationer 92 Kontextens betydelse för modellering 94 Sammanfattning 108 © Studentlitteratur

4

I n ne h å l l

6 Algoritmer kontra taluppfattning 111

Algoritmernas historia 117 Mot en bättre taluppfattning 119 Sammanfattning 123 7 Minilektioner 125

Minilektioner med huvudräkning 126 Välja strategi och tal med omsorg 129 Sammanfattning 142 8 Bedömning 143

Bedöma matematisering 148 Bedömning på ett nytt sätt 153 Testresultat 156 Sammanfattning 158 9 Lärare som matematiker 159

Lärarens förberedelser 160 Lära sig matematisera 162 Sammanfattning 173 Bilaga A – Lärandets landskap: bråk, decimaler och procent 175 Referenser 177 Sak- och personregister 181

© Studentlitteratur

Ekvivalens vid horisonten Sesostris […] delade upp Egyptens jordar bland befolkningen. […]

Om floden forslade bort en del av en mans tilldelning skickade kungen personer som undersökte och mätte ut exakt hur mycket som gått förlorat.

Herakleitos

Matematiken uppstod och fick sin näring i en kulturmiljö. Utan detta kulturella perspektiv går det knappast att skaffa sig en överblick över matematikens innehåll och dess ställning i dag.

R. L. Wilder

Ingenting är viktigare än att komma till insikt om uppfinningarnas källa, vilket i mitt tycke är långt mer intressant än uppfinningarna i sig.

G. W. Leibniz

© Studentlitteratur

3

58

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

Dela lika – ekvivalensens historia TIDIGA TALSYSTEM

Det är lätt att förstå varför människan uppfann talsystem. Hur förstår vi och kommunicerar begreppet ”hur många”? Även om vi kan uppfatta 5 eller färre objekt som en helhet med blotta ögat, så måste större mängder räknas eller brytas ner i mindre mängder som kan uppskattas och läggas ihop. Faktum är att om någon skulle hugga av oss fingrarna och sedan placera dem på bordet framför oss så skulle vi inte vid första anblicken uppfatta om alla fanns med (Guedj 1996). Eftersom vi inte kan ”se” stora mängder som en helhet utan måste utföra räkneoperationer för att fastställa antalet, har människan hittat på sätt att representera mängder med hjälp av symboler och att använda dessa symboler i kommunikationen sinsemellan – vi uppfann räkneord och räkneoperationer.

Många muntliga och nedtecknade system uppkom i olika kulturer under århundradenas gång. Trots att nya symboler uppfanns för att beteckna antal grupper snarare än enstaka företeelser inom de tidiga talsystemen, var antalet bilder oftast ett till ett, antingen i form av enstaka element eller antal grupper, och olika symboler användes för olika stora grupper. Mayaindianerna på Yucatánhalvön använde till exempel ett streck som symboliserade 5 och en punkt för ental. Talet 19 skrevs med tre streck och fyra prickar. De bildade grupper som bestod av 20 enheter, så 80 skrevs som fyra grupper av 20. De gamla egyptierna använde streck för ental, ett korghandtag symboliserade 10, ett hoprullat rep 100 och en utslagen lotusblomma på sin stjälk symboliserade 1 000. Talet 19 skrevs som ett korghandtag och nio streck. Det här var otympliga system för att göra beräkningar och beteckna höga tal, och till slut ersattes de av det hindu-arabiska positionssystem vi använder än i dag.

Men varför uppfann man bråk? Det verkar inte som om stenåldersmänniskan hade något behov av bråk. Rationella tal utvecklades ganska sent under mänsklighetens historia och var i allmänhet inte kopplade till utvecklingen av heltal. Och decimaltal hänger mer ihop med den moderna matematiken än med antiken (Boyer 1991).

STAMBRÅK

I de mer högtstående kulturerna under bronsåldern, till exempel maya­ kulturen och i det antika Egypten, ställdes man inför problem som krävde ett sätt att uttrycka proportioner och delar av helheter. Männi­ skor har i alla tider och kulturer sedan dess varit uppfinningsrika och hittat sätt att uttrycka ekvivalens mellan bråk. © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

59

I det gamla Egypten började man använda stambråk – bråk med täljaren 1 – för att hantera situationer där man behövde dela lika. Man ritade till exempel ett bröd över åtta markeringar för att representera ett bröd som räcker till 8 personer. Bråk mindre än 1, till exempel 53 , användes inte – förutom 23 , som ansågs vara ett speciellt tal likvärdigt med 21 + 61 . Man råkade naturligtvis ut för situationer där man behövde dela 3 bröd mellan 5 personer, men det representerades inte som 53 , utan med hjälp av stambråken 31 + 51 + 151 . Det är helt logiskt i kontexten dela lika. Man får föreställa sig hur de 2 första bröden delas i 3 och det sista i 5 bitar. Dessa kan sedan lätt delas ut till de 5 personerna. En tredjedel av det andra brödet blir över och måste delas i 5 bitar, vilket betyder 151 mer till varje person (se figur 3.1).

Man tror att användandet av stambråk härrör från egyptiernas förkärlek för bråk som härstammar från de ”naturliga” bråken 21 , 31 och 32 samt halverandet av dem (Boyer 1991). Försök med en annan situation: 2 bröd ska delas mellan 15 personer. För att uttrycka 152 som summan av stambråk så börjar man med att halvera varje bröd: 51 av 21 , (5 skivor från vardera av de 3 halvorna) ger de första 15 skivorna. Den sista halvan måste delas i 15 skivor, vilket ger varje person 310 mer bröd. Hos de gamla egyptierna representerades 2 bröd delade mellan 15 personer alltså som 1 + 1 (se figur 3.2). För att utföra operationen använde de en rambråks 10 30 tabell som nedtecknades av skrivaren Ahmes mellan 1680 och 1620 f.Kr. Nuförtiden tänker vi oss 106 som ett rationellt tal, som 0,6, som 60 procent och som ett bråk som kan förkortas till 53 . Hur utvecklades dessa ekvivalenssystem? Hur uttryckte man ekvivalens inom andra kulturer?

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 1 15 15 15 15 15

1 5

1 5

1 5

1 5

1 3

3 bröd till 5 personer 1 1 1 + + 3 5 15

© Studentlitteratur

1 5

Figur 3.1 5 personer delar på 3 bröd.

60

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

1 2 1 10

1 10

1 10 _1 Den sista 2 delas i 15 skivor

2 bröd till 15 personer 1 1 + 10 30

Figur 3.2 15 personer delar på 2 bröd.

Mätkontexter DET SEXAGESIMALA TALSYSTEMET

Babylonierna levde i Mesopotamien, vilket inte var så långt från Egypten.

Mesopotamien var en bördig slätt belägen mellan floderna Eufrat och Tigris i nuvarande Irak. Omkring 3500 f.Kr. var regionen centrum för den högtstående sumeriska civilisationen som byggde städer och bevattningssystem, stiftade lagar och utövade byråkrati; de hade till och med ett postväsende. Skrivkonsten utvecklades och man räknade med hjälp av ett talsystem med basen 60. Akkaderna invaderade området omkring 2300 f.Kr., och under en tid blandades den akkadiska och den sumeriska kulturen. Akkaderna uppfann kulramen (abakusen) samt en ganska osmidig aritmetik där addition, subtraktion, multiplikation och division ingick. Men sumererna gjorde uppror mot det akkadiska styret, och 2100 f.Kr. hade de återtagit kontrollen. Den babyloniska civilisationen ersatte med tiden den sumeriska. Babylonierna använde sig av ett platsvärdesystem baserat på 60 för att representera bråk, särskilt när det gällde olika typer av mått. De delade till exempel upp dagen i 24 timmar, varje timme i 60 minuter och varje minut i 60 sekunder.

Den här tidsindelningen har nu använts i 4 000 år. Sättet att uttrycka 5 timmar, 25 minuter och 30 sekunder (5t 25’ 30’’) innebär ett blandat tal 25 30 med två sexagesimala bråk: 5 60 . Babylonierna utvecklade även 3 600 1 en tabell för sexagesimala tal: 2 är lika med 0,30; 31 är lika med 0,20 etcetera. (De använde inte decimalkomma eller bråkstreck som vi gör här, men deras ekvivalenstabell var anmärkningsvärd.) © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

61

UPPKOMSTEN AV BRÅK

Grekerna använde i någon mån bråkform (ca 300 f.Kr.) för att uttrycka proportioner i mätsammanhang och inom geometrin. (Se t.ex. förhållandet mellan längden av linjen AB och linjen AC i figur 3.3.) De hade även olika sätt att beräkna ekvivalenta proportioner. Eudoxus skrev följande: Storheter sägs förhålla sig lika till varandra, den första till den andra och den tredje till den fjärde när man tar vilken gemensam multipel som helst till den första och den tredje, och vilken gemensam multipel som helst till den andra och den fjärde, och de förstnämnda ekvivalenta multiplarna är större än, lika med eller mindre än de sistnämnda ekvivalenta multiplarna i motsvarande ordning.

Eudoxus (citerad i Boyer 1991)

Den här väldigt utförliga definitionen av proportionalitet är, enkelt uttryckt, inte helt olik den formel man i dag använder för bråk: a/b = c/d om och endast om ad = bc. Men även om grekerna fascinerades av proportionalitet så föredrog de i fortsättningen i allmänhet stambråks­ ekvivalenser för att utföra beräkningar. De delade helt enkelt upp sträckor, vikt och valuta så effektivt att de kunde utföra beräkningar genom att använda multiplar av välkända tal: 60 hade långt fler faktorer än 10, och därför kunde man få fram många fler delmängder med ett talsystem som utgår från talet 60 än med ett som är baserat på 10.

a

e

d

© Studentlitteratur

B

C

Figur 3.3 En geometrisk mätkontext där grekerna använde sig av bråk för att få fram förhållandet AB/AC.

62

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

UPPKOMSTEN AV DECIMALER

I motsats till ovanstående använde de tidiga kinesiska civilisationerna (ca 300 f.Kr.) en kulram baserad på talet 10, men utan 0. Man utvecklade 1 här ett tidigt decimalsystem, 101 , 103 , 100 etcetera, som utgick från kul­ ramen. Kineserna kände även till hur man räknar med bråk eftersom de kände till hur man får fram gemensamma nämnare. Intressant nog kallade man täljaren ”son” och nämnaren ”mor”, och man utvecklade regler för bråkräkning som utgick från yin och yang. Eftersom de flesta beräkningar utfördes på en kulram uttrycktes bråk i allmänhet i decimal­form. På kulramen uttryckte man 53 som 6 av 10.

En växande marknad som kontext Trots detta fåtal föregångare till vårt sätt att använda bråk och decimaler tog det ytterligare nästan 1 500 år innan bråk och decimaler som vi känner dem i dag utvecklades.

Sexagesimaler och stambråk var den vanligaste metoden som användes för att representera och räkna ut delbelopp fram till medeltiden, och det var egentligen inte förrän långt in på renässansen som de ersattes av ett notationssystem för decimaler och bråk. Användandet av bråkstreck som vi använder det i dag uppkom på den arabiska halvön i form av det hindu-arabiska talsystemet och spreds med hjälp av en bok skriven av Leonardo av Pisa (ca 1180–1250), mer känd som Fibonacci. Han inleder sin bok om räknekonsten (Liber Abaci) med tanken att geometri och aritmetik hör samman. Fibonacci beskriver i sin bok det hinduarabiska talsystemet (siffrorna 1–9 samt 0) och hur det kan användas vid affärstransaktioner. Men han nämner intressant nog inte något decimalsystem.

Det slumpar sig så att den främsta fördelen med ett noteringssystem för platsangivelse – dess användning för att markera bråk – nästan helt och hållet undgick de som använde sig av det hindu-arabiska talsystemet under de första tusen åren (Boyer 1991). Fibonacci använde sig i stället av tre olika typer av bråk (stambråk, vanliga bråk och sexagesimala bråk) i samband med följande typ av problem: Om 1 romersk solidus, som motsvarar 12 romerska denarer, säljs för 31 Pisa-denarer, hur många Pisa-denarer får man för 11 romerska denarer? Han visade med hjälp av en algoritm hur man får fram svaret 125 28. Fibonacci placerade alltid bråkdelen eller bråkdelarna i ett blandat tal före heltalsdel; vi skulle skriva samma tal så här: 28 125 . I stället för att skriva 11 65 skrev han 1 + 21 11, där följden av stambråk och heltal symboliserade addition 3 © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

(Boyer 1991). Likaså skriver han i ett annat av många räkneproblem som handlar om valutaomvandling i Liber Abaci att om 41 32 av en rotulus är 83 11 värd 71 61 52 av en bezant, så är 81 49 107 av en bezant värd en 43 10 8 149 12 rotulus.

1 4 7 Med denna märkliga notation avsåg Fibonacci att talet 8 9 10 betydde 4 7 den addition vi i dag skulle skriva så här: 8 1 ∙ 9 ∙ 10 + 9 ∙ 10 + 10 . Tänk att de medeltida handelsmännen använde ett så omständligt system!

I takt med att handeln utvidgades under renässansen och handelsmän lärde sig det hindu-arabiska systemet började decimalsystemet att utvecklas. Francoise Viete (1540–1603), rådgivare åt Henrik IV, menade att Sexagesimaler och sextiobaser ska användas sällan eller aldrig inom matematiken, och tusendelar och tusental, hundradelar och hundratal, tiondelar och tiotal och liknande, stigande eller fallande, ska användas ofta eller endast.

Viete (citerad i Boyer 1991, s. 303)

Viete älskade matematik, och han ägnade en stor del av sin lediga tid till att göra om tabeller och beräkningar som användes vid den tiden till decimaltal. Decimalkomma började strax därefter att användas, bruket tillskrivs vanligen antingen Magini eller Clavius, båda vänner till den berömde astronomen Johannes Kepler.

För att utföra beräkningar av förhållanden, som de man möter när man handlar på marknaden, använder vi numera helt enkelt multiplikation och division, troligen med hjälp av en miniräknare! Med tanke på att våra valutasystem numera är baserade på decimaler är det lätt att till och med räkna ut förhållanden med hjälp av huvudräkning. Till exempel: Vilket är bäst, 20 burkar kattmat för 23 dollar eller 12 burkar för 15 dollar? Du kan nog komma på flera snabba sätt att räkna ut det på.

Hur kommer det sig att det tog så lång tid för mänskligheten att skapa enkla representationer för proportioner och strategier för ekvivalens? Det är en sak att inse att den numeriska symbolen (t.ex. 6) kan användas för att representera antal (6 föremål eller 6 grupper). Bara det här var ett enormt framsteg när man väl kom på det. Men bråk handlar om förhållanden mellan storheter och proportioner (3 bröd som ska delas mellan 5 personer); de representerar operationer utförda med hjälp av multiplikation och division (3 delat med 5 och 3 gånger 51 ); de är relationer på relationer (a/b = c/d om och endast om ad = bc). De är resultatet av att man arbetar med tal i relation till varandra i syfte att komma fram till nya tal och av att man har hittat nya sätt att representera rationella grupper. Det visar att många olika former är ekvivalenta trots att de inte ser likadana ut.

Matematiska idéer uppstår när människor brottas med problem de © Studentlitteratur

63

64

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

stöter på (eller lägger fram) inom det egna kulturella sammanhanget.

Idéer som tidigare har formulerats inom kulturen, kulturens redskap samt de rådande talsystemen påverkar utvecklingen av nya idéer. I takt med att kulturer sprids, går samman med andra kulturer och har utbyte med varandra fortsätter nya problem och nya insikter att driva utvecklingen vidare. Att matematisera är en kumulativ process. Människor bygger upp den ena idén efter den andra, och de överger eller omformulerar ofta tidigare idéer. De upptäcker dem inte, de uppfinner dem i och med att de matematiserar omvärlden. Genom att utforska de historiska rötterna kan vi få ökad insikt om lärandelandskapet. När vi arbetar med de unga matematikerna i våra klassrum kan vi känna igen olika landmärken när vi passerar dem och därmed förutse vad som blir nästa steg.

Barns strategier för ekvivalens I det första kapitlet såg vi hur Carol Mosessons elever hittade på sätt att hantera olika dela lika-situationer. Vi såg hur de konstruerade stambråk och bråk mindre än 1; de brottades med hur multiplikation och division relaterar till bråk; de utarbetade strategier för ekvivalens. Det här är inte några triviala idéer eller strategier. Det har tagit mänskligheten hundratals år att komma fram till dem!

Låt oss nu besöka ett annat klassrum, den här gången är det en sjätteklass där eleverna arbetar med vilken kattmat som är billigast (20 burkar för 23 dollar eller 12 burkar för 15 dollar). Deras lärare, Joel Spengler, har bett barnen om hjälp att bestämma vilket märke som är billigast. Han har just köpt en kattunge, och han har upptäckt att priset på kattmat i Marias butik och i Bobs butik inte är detsamma.

Helaina och Lucy samarbetar på ett stort pappersark. ”Vi låtsas att maten kostar 1 dollar burken på båda ställena”, inleder Helaina. ”Då får vi 3 dollar över på båda ställena.” ”Då vet vi att en burk kostar lite mer än 1 dollar”, säger Lucy. ”Men problemet är hur mycket mer!” suckar Helaina. Flickorna kämpar med att hitta ett sätt att jämföra priserna. Vad kan de använda som helhet? Vad är en bra jämförelsefaktor? ”Vi kan väl bara dividera?” föreslår Lucy. ”Vi ser efter exakt hur mycket varje burk kostar.” De bestämmer sig för att jämföra enheter – hur mycket en burk kostar i vardera butiken. De delar 15 med 12 och får 1 41 . ”Det blir 1 dollar och 25 cent”, säger Lucy. Sedan delar de 23 med 20 och får 1 203 . ”Så hur mycket blir det?” frågar Lucy. Nu har de stött på ett problem: Hur ska de komma fram till decimalformen?

Chloe och Josephine i andra änden av rummet jobbar med samma © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

problem, fast de har en annan utgångspunkt. De började med att göra om 1512 till 45 45 45 och förklarar: ”Det finns tre grupper med 5 dollar för 4 burkar. Om vi delar vart och ett av dessa tal”, säger hon och pekar på 15 och sedan på 12, ”så får vi priset för 4 burkar, alltså 5 dollar.” Till en början trodde de att de skulle få fram priset för 4 burkar i Marias butik och jämföra det med priset för 4 burkar i Bobs butik, men det blev för svårt. De sistnämna är inte lika lätta att dela upp. ”Jag tycker vi tar reda på vad en burk kostar”, föreslår Chloe. Men deras strategi är inte division, som Lucy och Helaina prövade. De ställer upp stambråk. Chloe går vidare: ”Fem fjärdedelar är detsamma som fyra fjärdedelar plus en fjärdedel, eller en plus en fjärdedel, så en burk kostar 1 dollar 25 cent. Men hur ska vi få fram 23 tjugondelar?”

Flickorna är förbryllade. ”Jag har en idé”, säger Josephine. ”Det blir en plus tre tjugondelar, eller hur?” Chloe nickar. Det här förstod hon också, men hon undrar vad Josephine ska göra nu. ”Tre tjugondelar är detsamma som en tjugondel plus en tjugondel plus en tjugondel.” Chloe nickar. ”Okej”, säger Josephine, ”så hur mycket är en tjugondel av 1 dollar?”

Chloe tänker efter och försöker med: ”Fem cent?” ”Javisst”, säger Josephine. ”Och gånger 3, det blir 15 cent!” ”Wow”, säger Chloe imponerat. ”Så det är billigare. Burkarna kostar 1 dollar och 15 cent i den butiken.”

De fyra flickorna har närmat sig problemet genom att fastställa en jämförelse per burk, men de har använt sig av olika strategier. Lucy och Helaina använder division för att få fram kostnaden per enhet, medan Josephine och Chloe har fått fram ekvivalenta bråk genom att förenkla och ta fram stambråk.

Dylan och Tristan använder sig av en tredje strategi; de ställer upp en tabell över sambandet. De använder den sedan för att kombinera belopp och fastställa ekvivalens. Medan de funderar över vilka belopp per enhet de ska jämföra med varandra (priset på ett visst antal burkar) kommer de på den lysande idén att använda en gemensam multipel. ”Vi provar med 60 burkar!” föreslår Dylan. ”Sextio är jämnt delbart med både 12 och 20.” De skriver till 60 i sin tabell och upptäcker att priset blir 69 dollar hos Maria och 75 dollar hos Bob. Klassrummet består av unga matematiker i arbete. Därför kan man konstatera att olika arbetssätt är likvärdiga; man ser olika typer av matematiserande. Några elever arbetar med något som påminner om babyloniska stambråk, och andra använder sig av tabeller och gemensamma multiplar; ytterligare andra försöker med division. Eftersom klassrummet består av flera individer som arbetar tillsammans finns © Studentlitteratur

65

66

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

det en rik mångfald. Ekvivalens är horisonten när Joel funderar på vart han är på väg, men varje barn befinner sig vid olika landmärken under sin resa. Det tar Joel fasta på när han kallar till mattekongress.

MAT TEKONGRESS

”I går när ni undersökte vilken butik som hade det bästa erbjudandet för kattmat lade jag märke till flera olika strategier, och det ska vi ta och prata om nu. Helaina och Lucy … skulle ni vilja börja och berätta om hur ni arbetade?”

Helaina och Lucy visar sina anteckningar för klassen. ”Vi upptäckte att om vi bestämde att varje burk kostade 1 dollar i båda butikerna skulle vi ha 3 dollar över”, börjar Helaina. ”3 dollar delat med 12 blev 41 dollar som är 25 cent. Så i Bobs butik kostar kattmaten 1 dollar och 25 cent.”

Lucy avrundar med att säga: ”Vi hade 3 dollar över i Marias butik, och det är 3 tjugondels dollar till för varje burk, och det är tre stycken 5-centare, det blir 15 cent! Så priset var 1 dollar och 15 cent.” ”Vem kan förklara hur Helaina och Lucy har jobbat?” Joel ser till att alla har förstått genom att vända sig till hela gruppen. I stället för att själv förklara problemet, så låter han eleverna kommunicera med varandra och se till att de förstår hur de andra har arbetet. Det gör han för att eleverna tänker på matematik på ett djupare plan och lär sig hur de kan förmedla matematiska idéer till varandra medan de diskuterar. När det verkar som att alla har förstått Helainas och Lucys strategi vänder sig Joel till Tristan och Dylan, och ber dem att dela med sig av sin strategi.

De har jobbat med en tabell. ”Vi började med att halvera”, förklarar Dylan. ”Om 12 burkar kostar 15 dollar så borde 6 burkar kosta 7,50 dollar, och 3 burkar skulle kosta 3,75 dollar. Vi kunde inte halvera igen eftersom det skulle bli en och en halv burk. Så vi tog en tredjedel och fick fram priset på en burk, 1,25 dollar. Sedan gjorde vi samma sak med Marias burkar. Om 20 burkar kostar 23 dollar så kostar 10 burkar 11,50. Det betyder att 5 burkar kostar 5,75 och en burk kostar 1,15.”

Sedan följer en diskussion där barnen försöker sätta sig in i hur Dylan och Tristan har kommit fram till sina jämförelser. När alla är överens föreslår Joel att han ska rita en tabell, så han ritar upp de båda tabellerna i figur 3.4. ”Finns det några andra tal vi hade kunnat använda?” frågar Joel Chloe och Josephine. ”Hur gjorde ni?” ”Vi letade efter en gemensam multipel, inte en faktor. Vi valde 4 eftersom det gick jämnt upp i 20 burkar och i 12 burkar”, förklarar Chloe. © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

Bob

Maria

12 burkar

$ 15,00

20 burkar

$ 23,00

6 burkar

$ 7,50

10 burkar

$ 11,50

3 burkar

$ 3,75

5 burkar

$ 5,75

1 burk

$ 1,25

1 burk

$

1,15

”I Marias butik fanns det 20 burkar. Det är 5 grupper om 4. Så 4 burkar kostar 4,60 dollar. I Bobs butik fanns det 12 burkar. Det är 3 grupper om 4. Så 4 burkar där kostar 5 dollar.”

Joel skriver till värdena i tabellen. ”Säger vi nu att alla dessa är likvärdiga?” Han skriver 1512 = 7,50 6 . ”Är de här båda likvärdiga? Diskutera med din granne en stund.” För att försäkra sig om att alla elever aktivt tänker på ekvivalensen ber Joel eleverna samtala i par i stället för tillsammans i klassen. Det gör att alla är involverade i diskussionen om den övergripande idén – ekvivalens. Efter att ha lyssnat till några konversationer återgår han till klassdiskussionen. ”Ilit? Vad pratade du och din kompis om?” ”Vi tror att de är likvärdiga”, säger Ilit, ”eftersom 15 dividerat med 2 är 7,50. Det är halva täljaren. Och nämnaren … 12 delat med 2 är 6.

Det är också hälften.” ”Håller ni alla med Ilit? Är det någon som har något att tillägga, Kevin?” ”Jag håller med Ilit. Om man gör samma sak i både täljaren och nämnaren är de fortfarande likvärdiga.” ”Håller ni alla med? Om vi gör samma sak med alla burkarna som med pengarna, är de likvärdiga då?” Joel håller sig till kontexten för att låta eleverna upptäcka vad de håller på med. När han ser att alla verkar ha förstått fortsätter han. ”Kan jag lägga till de här bråken också?”

Joel för in de övriga sambanden från tabellen till sin ekvation. På tavlan står det nu: 15 7,50 3,75 1,25 5 = = = = 12 6 3 1 4

© Studentlitteratur

Figur 3.4 Joels T-tabell.

67

68

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

”Ja”, säger flera elever högt, andra nickar instämmande. ”Så, kan jag göra likadant med Marias burkar?” Joel skriver: 23 11,50 5,75 1,15 4,60 = = = = 20 10 5 1 4 Återigen nickar eleverna instämmande, så Joel fortsätter med att ställa upp likvärdiga bråk. ”Andres och Zach … ni använde 60 burkar som jämförelse. Kan ni förklara varför?” ”Det var en gemensam nämnare. Vi multiplicerade 20 med 3 och 12 med 5.”

Joel lägger till 60? till varje ekvation i takt med att Andres och Zach berättar hur de arbetat. Men i stället för att låta dem fortsätta förklara hur de räknade ut priset för 60 burkar i de båda butikerna avbryter han dem och ber klassen diskutera två och två. Han vill att alla ska vara med och räkna ut de ekvivalenta bråken. ”Så hur tror ni att Andres och Zach gjorde? Om jag köper 60 burkar i vardera butiken … diskutera hur mycket 60 burkar skulle kosta i vardera butiken en stund.”

Efter att ha lyssnat till några konversationer noterar Joel att hans elever verkar kunna komma fram till täljaren utan problem. Han ber Zev att förklara vad de flesta eleverna har pratat om. ”Tjugotre dollar för 20 burkar, så 69 dollar för 60 burkar. Det är bara gånger 3 eftersom burkarna är gånger 3.” ”Corinne … hur är det med Bobs butik?” Joel låter en ny röst göra sig hörd. ”Vi … jag tror det är rätt. Eftersom du multiplicerade 12 med 5 och fick 60, så måste man multiplicera 15 med 5 också. Så vi får det till 75 dollar för 60 burkar.”

Joel lägger till dessa likvärdiga bråk och frågar: ”Så alla de här är likvärdiga? Måste vi göra samma sak i täljaren som i nämnaren?”

När han ser att alla håller med så återgår Joel till tabellen och uppmanar eleverna att använda den som ett verktyg för att illustrera sambandet. ”Finns det något annat antal burkar vi också kan jämföra med?”

Joel initierar återigen samtal i par och ber sedan Ga-yen att berätta hur hon har gjort. Varje gång han låter eleverna diskutera i par ger han fler och fler möjlighet att delta i samtalet. ”Ga-yen … kan du beskriva vad du och Felisha pratade om?” ”Vi tänkte att om man delar 75 med 2 och 60 med 2 så får man ännu en likvärdig fördelning.” ”Och vad kom ni fram till?” frågar Joel. ”37,50 för 30 burkar.” © Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

”Och i Marias butik? Hur mycket kostar 30 burkar där? Jeremy? ”34,50 … det är hälften av 69.” ”Finns det andra antal burkar vi kan jämföra med? … Chloe?”

Chloe har använt det lätta talet 10. ”Det blir 11,50 för 10 burkar, så 3 gånger den blir … 34,50 för 30 burkar”, förklarar hon självsäkert. ”Och hur blir det med 20 burkar? Joel fortsätter att engagera dem i arbetet med tabellen. ”Skulle vi kunna räkna ut hur mycket de skulle kosta i vardera butiken? … Carol?” ”Det blir dubbelt så mycket som 10. Man kan lägga ihop kostnaden för 20 burkar och kostnaden för 10 burkar för att få fram priset för 30 burkar”, säger Carol upprymt.

Joels elever har kommit på många olika sätt att få fram och bevisa ekvivalens. De använder sig av frekvenstabellen; de multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare med samma tal för att komma fram till ekvivalens – genom att multiplicera eller dividera det ursprungliga bråket med 1. De får fram ekvivalenser och bråk. De konstruerar och representerar ett sätt att tänka kring bråk som det har tagit mänskligheten århundraden att komma fram till!

UT TRYCK A EK VIVALENS I DECIMALFORM OCH PROCENT

Joels elever kan uttrycka ekvivalenta decimaltal och bråk. Men det är för att de arbetar med pengar. Eftersom vi har ett decimalbaserat valutasystem är det en utmärkt kontext1 för att arbeta med landmärket ekvivalenser (0,5, 0,50, 50; 10 procent, 0,10, 0,1; 25, 25 procent etcetera).

Men det är viktigt, för att inte säga nödvändigt, att generalisera även andra decimal- och procentekvivalenser. Vilka kontexter kan man då arbeta med?

Liza Hernandez har utvecklat en lapptäckeskontext där man arbetar med rutsystem eftersom hennes elever just då höll på med kolonialtiden i samhällskunskapen. Låt oss besöka Lizas klass där hennes elever arbetar med att räkna ut hur många procent kulört tyg som behövs för varje lapptäckesruta. ”Jag har räknat till totalt 16”, förklarar Xavier för sin kompis Frederico när de diskuterar det rutsystem som framgår av figur 3.5. ”Och sex av dem är rosa.”

Frederico håller med och lägger till: ”Så det blir sex sextondelar. Men 1 Eftersom Sverige inte längre använder ören är valutan inte en lika rik kontext att arbeta med som dollar och cent eller euro och cent. Dessutom är dagens elever snart så ovana vid kontanter att de inte kan se pengarna som en realistisk kontext. (Sakgranskarens anmärkning.)

© Studentlitteratur

69

70

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

vad är det ekvivalent med?” Sedan besvarar han själv frågan. ”Vi skulle kunna förkorta det till tre åttondelar. Men titta här, om man lägger handen på diagonalen finns det 3 av 8 rutor på varje sida.” Båda pojkarna tycker det är spännande och de ritar ett streck längs med diagonalen för att visa Liza (se figur 3.6).

Liza gratulerar dem till hur snyggt de har bevisat ekvivalensen och frågar sedan: ”Hur många procent motsvarar det?”

Xavier tänker efter, sedan säger han: ”Jag vet hur man kan räkna ut en åttondel.” ”Bra!” säger Liza uppmuntrande. ”Hur gör du då?” ”En åttondel är hälften av en fjärdedel, och en fjärdedel är 25 procent.”

Frederico ler, ”Wow. Så det blir 12,5 procent.” ”Då har vi löst en åttondel”, säger Liza. ”Hur är det med tre åttondelar?” ”Det är 3 gånger 12,5 …” Frederico funderar en stund och slutför sedan operationen ”… det blir 36, 37, 37,5!” ”Alltså 37,5 procent”, säger Xavier och har därmed räknat om bråket tre åttondelar till procent.

Men Liza går vidare. ”Hur visste ni så snabbt att en fjärdedel är lika med 25 procent?” frågar hon. ”Därför att 4 går jämt upp i 100 tjugofem gånger. Det är samma som att 5 går jämt upp i 100 tjugo gånger”, säger Xavier sakligt och Frederico håller med. ”Så att halvera en fjärdedel var ett jättebra sätt att komma fram till en åttondel. Ni hittade ett utmärkt samband, och ni använde er av det.

Det är jättebra.” Liza går sedan ännu längre och undrar: ”Vad gör vi när siffrorna inte är så lätta? Tänk om det hade varit tre femtedelar i stället för tre åttondelar?”

Figur 3.5 Lapptäcke.

Figur 3.6 Xavier och Frederico märker ut diagonalen i lapptäcket.

© Studentlitteratur

3 E k vivalens vid horisonten

Pojkarna ser frågande ut, men sedan säger Frederico: ”Vi skulle kunna få fram en femtedel genom att dela 100 med 5. Det blir 20.” ”Och sedan?” ”Gånger 3?” Han är tveksam till en början, men sedan fortsätter han självsäkert: ”Jo, därför att en femtedel är 20 procent. Så tre femtedelar är 60 procent. Man bara dividerar och multiplicerar.” ”Fungerar det alltid? Skulle ni kunna bevisa det för oss på mattekongressen om en stund?”

Vi ser här hur barnen får stöd när de räknar andelen i procent av varje tyg som används. De uppmuntras att matematisera situationen, att hitta sätt att förstå att 166 och 83 är ekvivalenta. Det gör de genom att dela upp rutnätet symmetriskt med hjälp av sina händer. Det här är det som Treffers (1987) kallar ”horisontellt” matematiserande – att matematisera kontexten. Men Liza uppmuntrar dem också att matematisera ”vertikalt” – att generalisera samband, att leka med tal. De tar fram ett generaliserat arbetssätt som kan användas för alla ekvivalensproblem, ett arbetssätt som kan representeras algebraiskt så här:

om

a c ad = så gäller också att =c b d b

Sammanfattning Människan har konstruerat bråk som ett sätt att representera och hantera situationer där man ska dela lika. Herakleitos-citatet i början av kapitlet beskriver just ett sådant scenario: ” Sesostris […] delade upp Egyptens jordar bland befolkningen. […] Om floden forslade bort en del av en mans tilldelning skickade kungen personer som undersökte och mätte ut exakt hur mycket som gått förlorat.” Och R. L. Wilder påminner oss om att ”matematiken uppstod och fick sin näring i en kulturmiljö. Utan detta kulturella perspektiv går det knappast att skaffa sig en överblick över matematikens innehåll och dess ställning i dag”.

De gamla egyptierna dubblerade och halverade, och förutom bråket 2 använde de sig endast av stambråk. Babylonierna använde sig av ett 3 talsystem baserat på 60 och bildade sexagesimaler. Kineserna använde sig av en tidig form av decimaler när de räknade på kulramar, men det var inte förrän under renässansen som de bråk och decimaltal vi använder oss av i dag blev vanliga. De hindu-arabiska tiobassystemet och fördelningsproblem inom handeln gjorde att man började använda vanliga bråk och decimaler. © Studentlitteratur

71

72

3 E k v i va l e n s v i d h o ris ont en

När man ser hur lång tid det tog för dessa idéer att utvecklas är det lätt att förstå hur barn kämpar med att förstå förhållande och ekvivalens. Matematikern G. W. Leibniz har sagt att ”ingenting är viktigare än att komma till insikt om uppfinningarnas källa, vilket i mitt tycke är långt mer intressant än uppfinningarna i sig”. När vi ser hur barnen i Carols, Joels och Lizas klasser uppfinner dessa idéer medan de brottas med dela lika, bästa priset och procent av tyg kan vi börja förstå och uppskatta den roll rika kontexter har för lärandet och för ett klassrumsklimat som stödjer matematisering.

© Studentlitteratur

Catherine Twomey Fosnot är professor emeritus i pedagogik vid City College of New York och grundare av Mathematics in the City.

Maarten Dolk är forskare och utvecklare vid Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education i Utrecht.

UNGA MATEMATIKER I ARBETE BRÅK, DECIMALTAL OCH PROCENT

I serien Unga matematiker i arbete beskrivs elevers lärande i matematik som en spännande resa i ett landskap bestående av centrala matematiska idéer, strategier och modeller. I den här andra boken, i en serie om tre, får vi möta lärare som låter eleverna utforska de matematiska idéerna bakom rationella tal och sambanden mellan bråk, decimaler och procent.

I boken • beskrivs och illustreras vad det innebär att utforska matematik • erbjuds tips och strategier för hur lärarna kan arbeta med workshoppar • undersöks den historiska och kulturella utvecklingen av bråk, decimaltal och deras motsvarigheter samt de sätt på vilka barn utvecklar liknande strategier och idéer • definieras och ges exempel på modellering samt vikten av sammanhanget • förklaras hur algoritmer fungerar.

Boken behandlar matematikundervisning i årskurs 3–6 och vänder sig till lärarstuderande och yrkesverksamma lärare.

Art.nr 39551

studentlitteratur.se