7000 Matematik 1a Nivå
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE MATHILDA LENNERMO SELIN
Varje kapitel har följande innehåll och struktur
KAPITELSTART
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER
Tiopotenser
Stora och små tal kan skrivas med hjälp av potenser.
1 miljon = 1 000 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 6 6 tior
2169 Förenkla
a) 9 + (2 x – 8)
a) 9 + (2 x – 8) = = 9 + 2 x – 8 = 2 x + 1
ÖVNINGSUPPGIFTER
Ta bort parentes utan att ändra något.
REPETITIONSUPPGIFTER
2169 Förenkla
a) 9 + (2 x – 8)
2172 Multiplicera in i parentesen.
a) 4(x + 2) b) 3(2 x – 5)
3307 Värdeminskningen på en ny bil som kostar
310 000 kr är 12 % under första året.
Hur mycket är bilen värd efter ett år?
3434 Lös ekvationerna med digitalt verktyg. Svara i bråkform och i decimalform.
a) x 2 = 0,64 (x > 0) b) x 3 = 2,744
2208 a) y = –17
Ledtråd: Börja med att multiplicera båda leden med 6.
I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade efter tre svårighetsgrader som är markerade med 1 2 3 . Dessa är inte kopplade till betygsstegen.
Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan räknare, alltså i huvudet eller med papper och penna.
Uppgifter med streckad ram får du lösa med funktionsräknare, alltså med en "vanlig" räknare.
Uppgifter med heldragen ram får du lösa med avancerad räknare, t.ex. grafräknare eller ekvationslösande verktyg.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
VARIATION I UNDERVISNINGEN
Aktivitet
Historik
Från vargben till datorer
KAPITELSLUT
Sant eller falskt?
Sammanfattning 4
Kan du det här?
Blandade övningar 1–4 BEGREPP
Testa dig själv 4
Blandade övningar 4
För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till yrkesliv och programmens olika karaktärsämnen.
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
Testa dig själv innehåller uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Innehåll
1. Tal och beräkningar
– grundläggande begrepp och metoder 8
Inledande aktivitet: Lägga tal 9
1.1 Tal i olika former 10 I vilken ordning ska vi räkna? 10
Negativa tal 14
Aktivitet: Multiplikation och division med 10 och 100 17
Tal i decimalform 18
1.2 Tal och beräkningar 21
Avrundning 21
Överslagsräkning och uppskattningar 24
Enhetsbyten 27
Aktivitet: Det är inte bara svaret som räknas! 30
Tiopotenser 31
Prefix 34
Historik: Från vargben till datorer 37
Tema: Måttenheter i köket 38
Tema: Läkemedel 40
Tema: Foderstater 42
Tema: Begrepp som utvecklas under förskoleåldern 44
1.3 Andelar och förhållanden 46
Tal i bråkform 46
Beräkningar med tal i bråkform 49
Beräkning av andelen i procent 52
Beräkningar när vi vet procentsatsen 56
Proportionalitet 59
Tema: Moms 62
Tema: Promille och ppm 64
Tema: Vinst, förlust och vinstmarginal 66
Tema: Svinnberäkningar i restaurang och dagligvaruhandel 68
Tema: Gyllene snittet 70
Tema: Underhållsservice och reparation 72
Tema: Prissättning av aktiviteter 75
Aktivitet: Sant eller falskt? 77
Sammanfattning 1 78
Kan du det här? 80
Testa dig själv 1 81
Blandade övningar 1 82
2. Algebra 86
Inledande aktivitet: Värdet av ett algebraiskt uttryck 87
2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer 88
Algebraiska uttryck 88
Aktivitet : Vilka uttryck är lika? 91
Skriva och förenkla uttryck 92
Linjära ekvationer 94
Ekvationer med flera variabeltermer 98
Uttryck med parenteser 102
Ekvationer med parenteser 104
2.2 Mer om algebraiska uttryck och ekvationer 106
Bråk i uttryck och ekvationer 106
Problemlösning med ekvationer 110
Multiplikation av uttryck 114
Faktorisera 117
2.3 Formler 120
Beräkningar med formler 120
Skriva och tolka formler 123
Lösa ut ur formler 126
Upptäcka och beskriva mönster 129
Upptäcka och uttrycka generella samband 131
Tema: Wilsonformeln (EOQ-formeln) 135
Tema: Dos, styrka och mängd 136
Tema: Glykemisk belastning 138
Tema: Kondition 140
Tema: Virkestransporter 142
Tema: Stoppsträcka 144
Aktivitet: Sant eller falskt? 146
Sammanfattning 2 147
Kan du det här? 148
Testa dig själv 2 149
Blandade övningar 2 150
3. Funktioner 154
Inledande aktivitet: Hitta regeln 155
3.1 Grafer och funktioner 156
Koordinatsystem 156
Funktion – formel, värdetabell och graf 159
Aktivitet: Graf, formel, tabell och beskrivning 162
Rita grafer med digitala verktyg 164
Tema: Bostonmatris 166
3.2 Linjära funktioner 168
Linjära samband 168
Egenskaper hos linjära funktioner 172
Problemlösning med linjära funktioner 175
3.3 Procentuella förändringar och exponentialfunktioner 177
Förändringsfaktor 177
Procentuella förändringar och jämförelser 181
Beräkning av förändringar i flera steg 184
Aktivitet: Exponentialfunktioner y = C · a x 188
Exponentialfunktioner 189
Tema: Avskrivning och värdeminskning 192
3.4 Funktionsbegreppet 194
Skrivsättet f (x) 194
Grafisk lösning av ekvationen f ( x) = a 197
Ekvationslösning med digitalt verktyg 201
3.5 Matematiska modeller 203
Linjär funktion som modell 203
Exponentialfunktion som modell 206
Matematiska modeller –egenskaper och begränsningar 208
Tema: Nollpunktsanalys 212
Tema: Hur länge är läkemedlet verksamt? 214
Tema: Proportionell styrning 216
Aktivitet: Sant eller falskt? 217
Sammanfattning 3 218
Kan du det här? 220
Testa dig själv 3 221
Blandade övningar 3 222
Blandade övningar 1–3 225
4. Sannolikhet och statistik 228
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 229
4.1 Repetition av sannolikhet 230
Sannolikheten för en händelse 230
Sannolikhet och relativ frekvens 233
4.2 Slumpförsök i flera steg 235
Försök med två föremål 235
Träddiagram 238
Aktivitet: Lika eller olika färg? 242
Beroende händelser 243
Komplementhändelse 245
4.3 Matematik och ekonomi 247
Repetition av procent och procentenheter 247
Lån, ränta och amortering 249
En introduktion till kalkylprogram 252
Lån, ränta och amortering med kalkylprogram 254
Tema: Index 258
Tema: Kostnadsberäkning med kalkylprogram 260
4.4 Statistik 263
Stickprov och urvalsmetoder 263
Aktivitet: Ett modellförsök av en väljarundersökning 266
Signifikans och felkällor 267
Aktivitet: Finns det några samband i clementiner? 271
Korrelation och kausalitet 272
Tema: Nöjd-kund-index 277
Tema: Statistik med Gapminder 278
Aktivitet: Sant eller falskt? 279
Sammanfattning 4 280
Kan du det här? 282
Testa dig själv 4 283
Blandade övningar 4 284
Blandade övningar 1–4 286
5. Geometri – repetition och fördjupning 290
Inledande aktivitet: Omkrets och area 291
5.1 Geometri och formler 292
Omkrets och area 292
Tema: Stora och små planteringar 297
Volym 300
Begränsningsarea 305
Tema: Djur i bur 307
Tema: Hjärtats slagvolym 309
Tema: Turismens klimatpåverkan 311
5.2 Längdberäkningar 313
Likformighet, skala och ritningar 313
Kvadratrötter och ekvationen x 2 = a 316
Pythagoras sats 319
Repetitionsuppgifter 323
Svar, ledtrådar och lösningar 331
Register 378
TAL OCH BERÄKNINGAR –
GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
OCH METODER
Bokens första kapitel innehåller repetition av grundläggande matematiska begrepp och metoder inom området aritmetik.
Aritmetik kallas ibland ”läran om talen”. Ordet kommer från grekiskans arithmos och betyder just tal.
En rubrik i det centrala innehållet i kursen Matematik 1a
är ”Program- eller yrkesspecifikt innehåll”.
Kapitlet har en direkt koppling till detta område.
Centralt innehåll
• Begrepp som är relevanta för arbetslivet, t.ex. proportionalitet, procent och andelar samt vinstmarginal.
• Beräkningsmetoder som är relevanta för arbetslivet, t.ex. uppskattningar, spill- och svinnberäkningar, överslagsräkning och avrundning.
• Hantering av storheter och enheter som är relevanta för karaktärsämnen och yrkesliv, t.ex. enhetsbyten samt beräkning av kostnader och förbrukningsmaterial.
• Problemlösning med utgångspunkt i yrkesliv, privatekonomi och samhällsliv.
Med andra ord
Du börjar kapitlet med att repetera en del grunder så som beräkningar med flera räknesätt, med negativa tal och med tal i decimalform.
Därefter behandlas stora och små tal, enhetsbyten, prefix, avrundningar och uppskattningar.
Du avslutar med tal i bråk- och procentform.
Kapitlet innehåller också ett antal yrkesnära Teman.
Vissa beräkningar gör du för hand, andra med hjälp av räknare eller andra digitala verktyg.
Inledande aktivitet
LÄGGA TAL
Arbeta tillsammans två och två.
Skriv siffrorna 2, 5, 1 och 7 på fyra papperslappar.
3 Välj bland lapparna och lägg dem så att produkten ∙ blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 100 som möjligt.
4 Multiplikation beräknas före addition.
Välj bland lapparna och lägg dem så att + ∙ blir så
a) liten som möjligt
1 Med hjälp av lapparna kan du lägga olika fyrsiffriga tal. Lägg dem så att du får
a) ett så stort tal som möjligt
b) ett så litet tal som möjligt
c) ett tal så nära 5 000 som möjligt
d) ett tal så nära 6 000 som möjligt
e) ett tal så nära 1 400 som möjligt.
2 Välj bland lapparna och lägg dem så att summan + blir så
a) liten som möjligt
b) stor som möjligt
c) nära 60 som möjligt. 2 7 1 5
b) stor som möjligt
c) nära 20 som möjligt.
5 Skriv siffrorna 1 till 9 på nio andra papperslappar.
Kan du lägga lapparna så att alla tre beräkningarna stämmer? Du får bara använda varje siffra en gång.
1.1 Tal i olika former
I vilken ordning ska vi räkna?
De allra flesta beräkningar vi möter till vardags och i yrkesliv kan vi utföra med de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division.
Om vi vill göra en beräkning som innehåller flera olika räknesätt, måste vi beräkna dem i rätt ordning. Den ordningen bestäms av prioriteringsreglerna.
Exempel 1 Hilda har börjat träna judo och har betalat 300 kr i medlemsavgift och 70 kr per träningstillfälle.
Kostnaden K kr att träna x gånger kan beräknas med formeln
K = 300 + 70 ∙ x
Vi beräknar kostnaden i kr för 8 träningar (x = 8) med räknare
K = 300 + 70 ∙ 8 = 860
Om vi gör denna beräkning för hand måste vi veta i vilken ordning vi ska räkna.
K = 300 + 70 ∙ 8 = 300 + 560 = 860
Vi beräknar multiplikation före addition. Många räknare gör detta automatiskt. Kontrollera hur din räknare gör.
När vi gör beräkningar med flera räknesätt måste vi använda reglerna som talar om i vilken ordning vi ska räkna.
1 Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2 Därefter potenser (upphöjt till).
Prioriteringsreglerna
3 Sedan multiplikationer och divisioner.
4 Till sist additioner och subtraktioner.
2 3 är en potens som utläses
”2 upphöjt till 3”.
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Exempel 2 Hur gör vi beräkningen
1 060 185 37 88 på räknaren?
Metod 1: 1 060 185 37 88 = 875 125 = 7
Metod 2: (1 060 – 185)/(37 + 88) = 7
Glömmer vi parenteserna och skriver
1 060 – 185/37 + 88 får vi fel svar.
Vi beräknar täljaren och nämnaren först.
Vi skriver först parenteser runt täljaren och nämnaren.
Vi repeterar några begrepp kopplade till de fyra räknesätten:
De fyra räknesätten
Addition: 4 + 3 = 7
term term summa
differens
Subtraktion: 4 – 3 = 7 term term differens
Division: 15 3 = 5 summa
produkt
Multiplikation: 3 · 12 = 36 term term produkt
täljare kvot nämnare
1101 Beräkna utan räknare.
a) 4 + 5 · 7 b) 5 · 4 + 32 – 2
Vi använder prioriteringsreglerna.
a) 4 + 5 · 7 = = 4 + 35 = 39
b) 5 · 4 + 3 2 – 2 = = 5 · 4 + 9 – 2 = = 20 + 9 – 2 = 27
c) 10 + 4 · (5 – 2) = = 10 + 4 · 3 = = 10 + 12 = 22
Först multiplikation
Sedan addition
c) 10 + 4 · (5 – 2)
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
Sedan multiplikation
Först parentesen
Sedan multiplikation kvot
1102
Beräkna med räknare
13 19 5 41750
Metod 1:
Vi beräknar uttrycken i täljaren och nämnaren först.
13 19 5 41750 = 252 18 = 14
Metod 2:
Vi skriver uttrycket med parenteser.
(13 · 19 + 5)/(4 · 17 – 50) = 14
( 13 × 19 + 5 ) ÷ ( 4 × 17 – 50 )
Svar: 14
* En streckad ram runt uppgiftens nummer t.ex. 1102 betyder att du får använda funktionsräknare, dvs. en enklare räknare, när du ska lösa uppgiften. Uppgifter utan ram ska du kunna lösa utan hjälp av räknare.
1
1103–1106: Gör först beräkningen för hand. Kontrollera sedan ditt svar med räknare.
1103 a) 3 · 5 + 8 c) 18 – 6/3
b) 3 + 5 · 8 d) 18/6 – 3
1104 a) 4 + 52 c) (7 + 2) ∙ 6 b) (4 + 5) · 2 d) 7 + 2 ∙ 6
1105 a) 14 8 24 c) 14 – 6/2
b) 14 – 4 ∙ 2 d) (14 – 6)/2
1106 a) 6 ∙ 7 + 3 ∙ 8 b) (17– 32) /4
1107 Elisa använder sin räknare till beräkningen 42 18 28 + +
Hon trycker 42 + 18/2 + 8.
a) Vilket resultat visar räknaren?
b) Vilket fel gör Elisa?
c) Vilket är rätt svar?
1108 Kostnaden K kr att anlita en hantverkare x timmar en dag kan beräknas med formeln K = 350 + 480 ∙ x
a) Vilket är priset per timme?
b) Beräkna kostnaden för 2,5 timmar.
c) Beräkna kostnaden för 6,5 timmar.
d) Vad blir genomsnittspriset per timme om man anlitar hantverkaren 5 timmar?
1109 Beräkna
a) 138 17 31 + b) 6 279 6 23 39 ⋅
1110 Beräkna
a) 2 ∙ 32 b) (2 ∙ 3)2
1111 a) Beräkna 2 ∙ 52 – 5.
b) Eric skriver på ett prov:
2 ∙ 5 2 – 5 = 5 ∙ 5 = 25 ∙ 2 = 50 – 5 = 45
Svaret är rätt, men läraren ger ändå Eric fel. Varför?
c) Ge exempel på hur man kan skriva en korrekt beräkning.
1112 I en musikförening kostar det 500 kr per år att vara medlem. För medlemmar är priset per konsert 150 kr.
Hassan är medlem i föreningen och går på 10 konserter. Genomsnittskostnaden i kr per konsert kan beräknas med
500 + 10 · 150 10
Vilken är genomsnittskostnaden?
1113 Beräkna
a) 10 210 10 210 () b) 10 810 10 810 ()
1114 Vid beräkningar med de fyra räknesätten använder vi ofta bestämda matematiska begrepp.
Vid en addition, t.ex. 2 + 3 = 5, säger vi term + term = summa.
Skriv på motsvarande sätt
a) en subtraktion
b) en multiplikation
c) en division. 2
1115 Beräkna
a) 32 + 5 ∙ (3 – 1)
b) (8 – 4)2 + 3 ∙ 2
c) 7 + 3 ∙ 2 2
d) 28 – 3 ∙ (2 + 5) + 18/3
e) (8 – 2)2 /3 – 1
1116 Rörelseenergin kan beräknas med formeln
W = mv ⋅ 2 2
där rörelseenergin W joule beror på massan m kg och hastigheten v m/s.
Beräkna rörelseenergin hos en
a) bil med massan 1 200 kg som färdas med hastigheten 25 m/s (90 km/h)
b) cyklist med massan 60 kg som färdas med hastigheten 5 m/s (18 km/h).
1117 Vilket tal ska stå i rutan?
a) 8 ∙ 50 – 40 ∙ □ = 200
b) 4 + 8 ∙ (□ – 1) = 36
1118 Uttrycket (30 – 12)/(2 + 4) har värdet 3.
Vilket blir värdet om
a) parentesen runt täljaren tas bort
b) parentesen runt nämnaren tas bort
c) båda parenteserna tas bort?
1119 Värdet av uttrycket 2 ∙ 32 + 3 ∙ 4 är 30.
a) Sätt in en parentes som ändrar räkneordningen.
Bestäm det nya värdet.
b) Bestäm alla de värden som är möjliga att få med hjälp av en parentes.
1120 För vilka positiva heltalsvärden på a
är kvoten 36/(a /10)
a) mindre än 1 c) mindre än 9
b) större än 9 d) större än 3?
Graf, formel, tabell och beskrivning
I den här aktiviteten ska du koppla samman grafer, formler, värdetabeller och funktionsbeskrivningar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att växla mellan de olika sätten att representera en funktion.
Materiel: En kopia av rutorna på uppslaget. Kopieringsunderlag finns i lärarhandledningen.
Arbeta i par eller grupp.
Varje rad i tabellen nedan och på nästa sida innehåller fyra rutor:
1 En graf 3 En värdetabell
2 En formel 4 En funktionsbeskrivning
Tabellen är inte korrekt ordnad radvis.
Placera den graf, formel, tabell och beskrivning som representerar samma funktion på en rad.
Formel Värdetabell
y är dubbla x 1 x y 1 y = 3 x – 3 x y –1 –0,5 0
är ett mindre än dubbla x
y är tre gånger så mycket som x minus tre
är tre minskat med x
y är kvadraten på x
3124
*
Rita grafer med digitala verktyg
När vi ritar grafen till en funktion med hjälp av ett digitalt verktyg behöver vi inte göra en värdetabell. Vi skriver in formeln direkt i verktyget, som sedan ger oss grafen som en sammanhängande linje eller kurva.
Utgå från funktionen y = 7 – 2 x och lös uppgiften med ett grafritande verktyg.
a) Rita grafen till funktionen.
b) Bestäm grafiskt y då x = 2,2.
c) Bestäm grafiskt x då y = 4,5.
a) Vi skriver in y = 7 – 2 x i ett grafritande verktyg.
b) Vi skriver in x = 2,2 och y = 7 – 2 x och avläser skärningspunkten mellan graferna.
Skärningspunkten är (2,2; 2,6).
Svar: Då x = 2,2 är y = 2,6.
c) På motsvarande sätt skriver vi in y = 7 – 2 x och y = 4,5
Skärningspunkten är (1,25; 4,5).
Svar: Då y = 4,5 är x = 1,25.
f : y = 7 2x
f : y = 7 2x
Ekv1 : x = 2.2
A = Skärning (f, Ekv1) (2.2, 2.6)
tänk på att många program använder decimalpunkt i stället för decimalkomma. Hur är det i ditt program?
f : y = 7 2x
g : y = 4.5
B = Skärning (f, g) (1.25, 4.5)
* En heldragen ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 3124 , betyder att du får använda ett avancerat digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften, till exempel ekvationslösande verktyg, kalkylprogram eller grafräknare.
3125 Rita grafen till y = 8,6 – 2,4 x.
Bestäm grafiskt
a) y-värdet då x = 2
b) y-värdet då x = 6
c) x-värdet då y = 4
d) x-värdet då y = 0.
3126 Rita graferna till funktionerna
y = 5 – 3 x och y = x – 3
med grafritande verktyg och avläs skärningspunkten mellan graferna.
3127 Rita grafen till funktionen
y = 3 + 1,5 x och avläs skärningspunkten mellan grafen och
a) x-axeln b) y-axeln.
3128 Om en bil håller hastigheten x km/h, kan stoppsträckan y m vid ett visst väglag beräknas med formeln
y = 0,3 x + 0,0063 x 2
a) Rita grafen till formeln.
Bestäm med hjälp grafen
b) stoppsträckan när hastigheten är 50 km/h
c) hastigheten som ger stoppsträckan 60 m
d) hur mycket stoppsträckan ökar om hastigheten ökar från 70 km/h till 110 km/h.
3129 a) Rita grafen till funktionen y = 0,5 x 2 – 1.
b) Rita av och fyll i värdetabellen med hjälp av grafen.
x –4 –2 2 4
y –1
3130 Nedan ser du två grafer.
Wilma säger att det är samma funktion. Kan hon ha rätt?
Motivera ditt svar.
3131 Rita grafen till y = 2 x –5 och punkterna A = (–2, –8) och B = (1, –3).
Ligger någon av punkterna på grafen?
3132 Mängden, y mg, av ett läkemedel varierar i blodet enligt formeln
y = 25 + 2 x ∙ 0,98 x där x är tiden i timmar efter en injektion.
Rita grafen till funktionen och bestäm
a) mängden läkemedel i blodet efter 2 h
b) när mängden läkemedel i blodet är över 60 mg.
Tema
Bostonmatris
En Bostonmatris är ett diagram som kan användas för att analysera verksamheten i ett företag.
Inom restaurangbranschen kan analysen handla om vilka maträtter och priser som ska finnas på menyn för att ge största möjliga lönsamhet.
I diagrammet nedan visas vinsten i kr per maträtt på y-axeln och antal rätter som säljs under en tidsperiod på x-axeln.
Diagrammet delas in i fyra delar av en lodrät linje (medelvärdet av antal sålda rätter) och en vågrät linje (medelvärdet på vinsten per rätt).
I diagrammets fyra olika delar finns fyra olika kategorier:
◗ Frågetecken Har bättre vinst än genomsnittet men säljer sämre än genomsnittet.
◗ Stjärnor Har bättre vinst och säljer bättre än genomsnittet.
◗ Byrackor Har sämre vinst och säljer sämre än genomsnittet.
◗ Kassakor Har sämre vinst än genomsnittet men säljer bättre än genomsnittet.
Exempel 1
En restaurang med 5 rätter på menyn säljer totalt 420 rätter under en period på två veckor. Vinsten under perioden är 42 500 kr.
Medelvärdet av antal sålda rätter =
= Totalt antal sålda rätter Antal huvudrätter = 420 5 = 84 rätter
Medelvärdet av vinsten per såld rätt =
= Total vinst Antal sålda rätter = 42 500 420 kr rätter ≈ 100 kr per rätt
Den lodräta linjen i matrisen ovan ligger vid x = 84 st.
Den vågräta linjen ligger vid y = 100 kr.
Exempel 2 Restaurangen har en huvudrätt med fisk som visas i matrisen ovan. Vi tolkar fisksymbolens läge:
Fiskrätten ger ungefär 120 kr i vinst ( y-värdet).
Restaurangen säljer ungefär 50 fiskrätter under perioden (x-värdet).
Tema
1 Restaurangen i exemplet har fem huvudrätter: fisk, vegetarisk, kyckling, nötkött och hamburgare. Använd figuren på föregående sida till följande uppgifter:
a) Hur många vegetariska huvudrätter säljer restaurangen under perioden?
b) Vilken vinst gör restaurangen på en vegetarisk huvudrätt?
c) Vilka huvudrätter ger samma vinst?
d) Vilken huvudrätt säljer restaurangen mest av?
2 Restaurang Hamburgar-E har fyra olika hamburgare A – D på menyn. De gör en menyanalys enligt Bostonmatrisen.
Kr Vinst
50 100 Frågetecken
a) De olika hamburgarnas plats i Bostonmatrisen kan anges med koordinater på formen (antal, vinst).
Ange koordinaterna för hamburgare A – D.
b) Beräkna medelvärdet för antal sålda hamburgare.
Kontrollera ditt svar med figuren.
c) Beräkna medelvärdet för vinsten per hamburgare.
Kontrollera ditt svar med figuren.
d) Restaurangen vill öka vinsten för hamburgare B så att den blir en ”stjärna”. Hur mycket måste vinsten minst öka för att det ska vara möjligt?
3 Fiskrestaurangen östra/västra gör en menyanalys över huvudrätterna torsk, hummer, räka och laxkotlett.
Kr Vinst
a) Ange koordinaterna för huvudrätterna hummer och räka.
b) Restaurangen vill öka vinsten på laxkotletten från 75 kr till 105 kr. Dock kommer antalet sålda rätter minska med 10 för varje 10 kr som restaurangen ökar sin vinst.
Bestäm de nya koordinaterna för laxrätten.
c) Gör en ny Bostonmatris där du lägger in de fyra rätterna med den nya vinsten för laxrätten.
Tänk på att medelvärdet för antal respektive vinst nu har ändrats.
4 En restaurang som har fem olika rätter gör en sammanställning av försäljningen under en tvåveckorsperiod.
Varmrätt Antal Vinst, kr
Lamm 40 110
ren 75 80
Älg 65 95
Vildsvin 30 65
Hjort 50 100
Gör en Bostonmatris med hjälp av tabellen.
Aktivitet
Lika eller olika färg?
I den här aktiviteten ska du bestämma sannolikheten för ett slumpförsök, både experimentellt och teoretiskt. Syftet är bland annat att du ska förstå vad som menas med en beroende händelse.
Materiel: En skål eller burk, två kulor i en färg och tre i en annan färg. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Ta slumpvis upp två kulor ur burken, en efter en.
2 a) Har de två kulorna lika eller olika färg?
b) Tror du att ditt resultat är vanligast förekommande om försöket utförs många gånger?
c) Utför försöket några gånger till. Vilket utfall tror du nu har störst sannolikhet: Lika eller olika färg på de två kulorna?
3 Utför försöket 50 gånger och redovisa resultatet i en tabell med frekvens och relativ frekvens för de två utfallen.
4 a) Gör en teoretisk beräkning av sannolikheterna för de två utfallen med hjälp av ett träddiagram.
b) Jämför värdet på sannolikheten med värdet på relativa frekvensen.
c) På vilket sätt påverkas sannolikheten om du istället tar upp båda kulorna samtidigt?
Beroende händelser
Exempel En straff i basket leder vanligtvis till två straffkast. Keith har följande statistik på sina straffkast.
Sannolikheten för mål:
1:a kastet, 80 %
2:a kastet om första lyckades, 90 %
2:a kastet om första misslyckades, 70 %
Vi visar detta med ett träddiagram:
Sannolikheten att lyckas i det andra kastet påverkas av resultatet i det första kastet. När sannolikheten i en senare händelse påverkas av en tidigare händelse, säger vi att händelserna är beroende.
4226 I en skål ligger karameller med lakrits- och jordgubbssmak.
Emmy tar två karameller ur skålen.
Hur stor är sannolikheten att
a) båda smakar lakrits b) de har olika smak?
Vi ritar ett träddiagram där vi markerar smakerna med färg och med L (lakrits) och J (jordgubb).
När Emmy ska ta den andra karamellen finns det bara 7 karameller kvar i skålen.
Multiplicera sannolikheterna längs grenarna. addera grenarna.
4227 Åtta paket delas slumpmässigt ut till åtta personer. I tre av de åtta paketen ligger guldvinster.
a) Hur stor är sannolikheten att första personen får en guldvinst?
b) Om den första personen får en guldvinst, hur stor är då sannolikheten att nästa person får det?
c) Om de två första personerna får var sin guldvinst, hur stor är då sannolikheten att den tredje personen får det?
4228 I kylskåpet står fyra burkar läsk, två med colasmak och två med apelsinsmak. Du tar slumpvis två burkar. Svara i bråkform.
a) Vad är sannolikheten att den första burken läsk har colasmak?
b) Anta att den första burken har colasmak.
Vad är då sannolikheten att även den andra har colasmak?
c) Vad är sannolikheten att båda burkarna har colasmak?
2
4229 I ett kortspel finns åtta kort av vardera färgen röd, gul, grön och blå.
På korten står det en siffra från 1 till 8.
Alla kort är olika.
Du drar slumpmässigt tre kort.
a) Hur stor är sannolikheten att alla korten är gröna?
b) Hur stor är sannolikheten att det står 8 på alla korten?
4230 Olga har fyra konservburkar med tomater och fem med persikor. Men tyvärr har alla etiketter ramlat av.
Hon öppnar två burkar på måfå.
a) Vad är sannolikheten att de har olika innehåll?
b) Vad är sannolikheten att de har samma innehåll?
4231 Antalet elever i två skolklasser är
24 i klass A och 32 i klass B.
Tre elever ska slumpmässigt väljas ut för att representera klasserna i en tävling.
Hur stor är chansen att det blir
a) tre från klass A
b) tre från samma klass?
4232 I en låda ligger 4 blå, 4 vita och 4 svarta strumpor av samma sort. Du tar två strumpor utan att titta.
Hur stor är sannolikheten att
a) du får en blå och en vit strumpa
b) samma färg på strumporna?
4233 Karameller med samma storlek, men olika färg och smak är placerade i två skålar.
Det ligger en röd och tre svarta i den första skålen och två röda och två svarta i den andra skålen.
Lea tar en karamell från den första skålen och lägger den i den andra skålen. Sen tar hon en karamell ur den andra skålen.
Hur stor är sannolikheten att den karamellen är röd?
4234 Ninni spelar på Lotto. I spelet ska man välja sju av talen 1–35. Talen slumpas fram vid dragningen.
När tre tal har slumpats fram har hon två rätt.
a) Hur stor är sannolikheten för att detta ska ske?
b) När hon har två rätt av tre, hur stor är då sannolikheten att hon får sex rätt på sin Lottorad?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Sannolikheten att en familj med två barn har två flickor är 0,25.
2 Om antalet gynnsamma utfall för en händelse är detsamma som antalet möjliga utfall, är sannolikheten 0,5.
3 Vid ett kast med två vanliga tärningar är P (7 poäng) = P (högst 4 poäng).
4 Om B är en komplementhändelse till A, så är alltid P ( B ) mindre är P ( A ).
5 Sannolikheten att ett frö ska gro är 0,8. Om tre frön sätts, så är chansen mindre än 50 % att alla tre fröna gror.
6 I en burk ligger en svart och tre vita kulor. Om du tar två kulor ur burken, så är P (lika färg) = P (olika färg).
7 Om räntan på ett lån är hög, så är även amorteringen hög.
8 I ett kalkylprogram ligger cellen B3 till höger om cellen B2.
9 Om räntesatsen under lånetiden är konstant, så minskar räntekostnaden efter varje amortering.
10 Inom statistiken är ett stickprov detsamma som ett mindre urval av en population.
11 En totalundersökning innebär att man samlat in alla data från ett slumpmässigt urval av populationen.
12 Om försäljningen av glass minskar samtidigt som lufttemperaturen minskar, innebär det en negativ korrelation.
13 Två stickprovsundersökningar visade en ökning från 2,0 % till 3,0 %.
Felmarginalen var ±0,4 % vid båda tillfällena. Det betyder att resultatet är statistiskt signifikant.
Enkla slumpförsök
Sammanfattning
Sammanfattning 4
Antalet gynnsamma utfall
Sannolikhet = Antalet möjliga utfall
Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1.
Exempel:
Vi bestämmer sannolikheten att ta en grön kula om vi slumpvis tar en kula. 3 gynnsamma utfall (3 gröna kulor) och 7 möjliga utfall (totalt 7 kulor) ger
P (grön) = 3 7
Motsvarande för en vit kula är
P (vit) = 4 7
Summan av sannolikheterna är 1 = 100 %.
3 7 + 4 7 = 7 7 = 1 = 100 %
Slumpförsök i flera steg
En skytt skjuter två skott mot en tavla. För båda skotten gäller:
P (träff) = 0,7 P (miss) = 0,3
Försöket kan beskrivas med ett träddiagram:
0,7 0,3
0,3 0,7 träff miss träff miss träff miss 0,49 0,21 0,09 0,21
Sannolikheten för ”en gren” är produkten av sannolikheterna längs grenen.
Summan av sannolikheterna för alla grenar är 1.
0,7 ∙ 0,7 + 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 + 0,03 ∙ 0,03 = 1
Exempel:
P (träff, träff) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49
P (en träff) = P (träff, miss) + P (miss, träff) = = 0,7 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
Beroende händelser
Exempel:
Skålen innehåller 3 röda och 2 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Färgen på den första kulan påverkar sannolikheten
för färgen på den andra.
Vi beräknar sannolikheten att ta två röda kulor.
Sannolikheten för den första:
P (röd) = 3 5
Sannolikheten för den andra om en röd är tagen:
P (röd) = 2 4
P (röd, röd) = 3 5 · 2 4 = 6 20 = 3 10
Komplementhändelse
Exempel:
Skålen innehåller 7 röda och 3 vita kulor.
Vi tar två kulor.
Händelse A = minst en röd
Händelse B = ingen röd
Tillsammans täcker händelserna A och B alla utfall.
Det betyder att B är komplementhändelsen till A och tvärtom. Det gäller att P (A) + P (B) = 1
Om vi vill beräkna P (A) är det i detta fall enklare att beräkna P (B):
P (B) = 3 10 ∙ 2 9 = 6 90 = 1 15
P (A) = 1 – P (B) = 1 – 1 15 = 14 15
Lån, ränta och amortering
Att låna pengar kostar. Ränta är en kostnad som anges med en räntesats i procent, vanligen årsvis.
När vi betalar tillbaka lånet betalar vi ränta samt amorterar, dvs. betalar av på själva lånet.
Vid beräkningar av ränta och amorteringar kan vi använda kalkylprogram.
Kalkylprogram
I cellerna i ett kalkylblad kan vi skriva text, tal eller en formel.
Exempel:
I A2 skriver vi lånets storlek i kr: 10 000
I B2 skriv vi räntan i %: 5
I C2 skriver vi en formel: =A2*B2/100
I C2 kommer värdet 500 att visas.
AB C
1 Lån i kr Ränta i % Ränta i kr
2 10 000 5 =A2*B2/100
Om vi ändrar lånet eller räntesatsen ändras värdet i C2 automatiskt.
Stickprov och urvalsmetoder
Den grupp människor, föremål eller mätningar som en statistisk undersökning avser kallas population.
En totalundersökning innebär att man samlar in data från en hel population.
Oftast väljer man ut och undersöker en mindre del av populationen, dvs. man gör en stickprovsundersökning eller en urvalsundersökning
Om man gör ett genomtänkt urval av populationen, kan resultatet från stickprovet (med vissa felmarginaler) överföras till hela populationen.
Ett urval kan vara:
• systematiskt
• slumpmässigt
• stratifierat.
Felkällor och signifikans
Vid statistiska undersökningar kan det finnas många felkällor, t.ex. urvalsfel, för litet stickprov, stort bortfall, mätfel eller tolkningsfel.
Resultatet av en stickprovsundersökning anges ofta tillsammans med en felmarginal
Om en förändring är större än felmarginalen kan man säga att förändringen är statistiskt säkerställd eller statistiskt signifikant.
Korrelation och kausalitet
Om det finns ett samband mellan två variabler kan vi säga att det finns en korrelation mellan variablerna.
Om en ökning av den ena variabeln är orsaken till att den andra variabeln ökar eller minskar har vi ett orsakssamband. Detta kallas en kausalitet. negativ korrelation ingen korrelation
Positiv korrelation
Delkapitel BEGREPP
4.1 Repetition av sannolikhet
4.2 Slumpförsök i flera steg
Sannolikhet
Utfall
Händelse
P (händelse)
Frekvens
Kan du det här?
Kan du det här?
PROCEDUR
• beräkna sannolikheten för en händelse när du vet antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall
• bestämma sannolikheten för en händelse med hjälp av statistik.
Relativ frekvens
Beroende och oberoende händelser
Träddiagram
Komplementhändelse
4.3 Matematik och ekonomi Ränta
Amortering
Kalkylprogram
4.4 Statistik Population
Urvalsmetoder
Stickprov
Felmarginal
Konfidensintervall
Spridningsdiagram
Signifikans
Korrelation
Kausalitet
• beräkna sannolikheter vid slumpförsök i flera steg
• bestämma och beräkna komplementhändelser.
• göra beräkningar av ränta och amortering av lån med hjälp av kalkylprogram.
• ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhälle och yrkesliv.
4.1 Repetition av sannolikhet
Testa dig själv 4
1 I en burk ligger 2 röda, 3 svarta och 5 vita kulor. Du tar slumpvis en kula ur burken.
Beräkna sannolikheten
a) att du tar en svart kula
b) att du tar en kula som inte är svart.
4.2 Slumpförsök i flera steg
2 Två vanliga tärningar kastas.
a) Vad är sannolikheten för poängsumman 5?
b) Ungefär hur många gånger kan du förvänta dig att få poängsumman 5 om du kastar två tärningar 100 gånger?
3 En bågskytt skjuter två pilar mot en måltavla.
P (träff) = 0,4 för varje pil.
a) Rita ett träddiagram till denna händelse.
b) Beräkna P (miss, miss).
c) Beräkna sannolikheten att precis en av pilarna träffar.
4 I en låda ligger fyra uppladdningsbara batterier. Två är fulladdade och två är urladdade. Rasmus tar två batterier på måfå.
Hur stor är chansen att han tar de två som är fulladdade?
5 För en viss sorts värmepumpar gäller att 8 av 10 fungerar efter 15 år.
Om tre sådana pumpar installeras samtidigt, hur stor är risken att
a) ingen fungerar efter 15 år
b) minst en har slutat fungera efter 15 år?
4.3 Matematik och ekonomi
6 I ett kalkylblad visas saldot på ett konto. Värdet i cell C2 beräknas med en formel.
AB C
1 Saldo i kr Ränta i % Saldo i kr e er
Vilket tal visas i cell C2 om värdet i cell B2 ändras till 1,5?
7 Karin har ett lån på 50 000 kr som ska amorteras med lika stora belopp varje år under 10 år. Årsräntan är 5,2 %.
Använd ett kalkylprogram för att beräkna hur mycket hon har betalat totalt i ränta när lånet är avbetalat.
4.4 Statistik
8 Ge exempel på några felkällor vid statistiska undersökningar.
9 På en skola finns 740 elever i 24 olika klasser. Vid en stickprovsundersökning fick fem slumpmässigt utvalda elever i varje klass rösta om ett förslag från elevrådet. Av de utvalda eleverna svarade 75 och av dessa var 60 elever positiva.
a) Hur stor var populationen, stickprovet respektive bortfallet?
b) Hur många av skolans elever kan man förvänta sig var positiva, om vi antar att andelen positiva i bortfallet var densamma som bland de som svarade?
10 x 5 10 15 20 y 64 72 93 102
Finns det någon korrelation mellan variablerna x och y?
11
Vid en väljarundersökning svarade 12,8 % att de tänkte rösta på A-partiet. Vid senaste valet före undersökningen fick partiet 10,7 %. Partiets uppgång i undersökningen är statistiskt signifikant.
Vad vet man då om felmarginalen?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 4
1 När man snurrar på ett chokladhjul är
chansen att vinna lika stor för alla siffrorna från 0 till 9.
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
Hur stor är chansen att hjulet stannar på
a) 5
b) 5 två gånger i rad
c) 5 tre gånger i rad?
2 En familj ska flytta från Stockholm till Melbourne i Australien. De hittar följande statistik över genomsnittliga månadstemperaturer.
Månad Stockholm ( °C) Melbourne ( °C)
Jan –3 26
Mars –1 24
Maj 10 17
Juli 18 13
sept 12 17 nov 3 22
Rita ett spridningsdiagram och avgör om det finns någon korrelation mellan temperaturerna i Stockholm och Melbourne.
3 Vid en väljarundersökning får ett parti 3,6 % av rösterna. Felmarginalen är 0,5 procentenheter. Är det statistiskt säkerställt att partiet ligger under fyraprocentspärren som gäller för att komma in i riksdagen?
Figuren visar ett kalkylblad där man i cellen A2 ska skriva lånets storlek och i B2 årsräntan i procent. En formel beräknar sedan årsräntan i kronor och skriver den i cell C2.
a) Vilket tal visas i cell C2 om man skriver 2 000 i cell A2 och 5 i cell B2?
b) Vilket tal har man skrivit in i cell B2 om det står 1 000 i cell A2 och 120 i cell C2?
c) Vilken formel ska skrivas i cell C2 för att programmet ska räkna ut räntekostnaden? 2
5 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel.
Spelet går till så här: Programledaren kastar två tärningar som du inte ser.
Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna?
Motivera varför. (NP)
Daniel tar två kulor ur skål A och Sofia tar två kulor ur skål B. Vem har störst chans att få
a) två gula kulor
b) en kula av varje färg
c) minst en gul kula?
Motivera dina svar. AB C 2 1 Lån i kr Årsränta i % Årsränta i kr
Med digitala verktyg 1
7 Av de senaste 12 matcherna har ett fotbollslag vunnit 5 gånger, spelat oavgjort 4 gånger och förlorat resten.
Anta att laget fortsätter med samma fördelning mellan vinst, oavgjort och förlust.
Vad är sannolikheten att laget kommer att
a) vinna de två följande matcherna
b) förlora de två följande matcherna?
8 Tabellen visar åldersfördelningen hos de anställda i ett företag.
Ålder i år 18−34 35−49 50−65
Antal 250 150 100
Man ska välja ut 60 personer så att urvalet blir representativt för åldersfördelningen på företaget.
Hur många ska väljas ut från varje åldersgrupp?
2
9 Hamsa ska baka en kaka och tar två ägg ur en kartong med fem ägg. Hon vet inte att två av äggen i kartongen är kokta.
a) Vad är sannolikheten för att båda äggen som Hamsa tagit är kokta?
b) Hur stor är sannolikheten att inget av äggen är kokta?
10 I ett spel kostar en spelomgång 20 kr.
Spelet är konstruerat så att på en miljon spelomgångar slumpas vinster ut enligt:
Antal Vinst i kr
10 000 250
5 000 500
2 500 750
500 5 000
Vilken är den förväntade vinsten eller förlusten i kronor om man spelar 1 000 gånger?
11 Vid en stickprovsundersökning i en kommun fick 1 500 personer ta ställning till om ett konserthus borde byggas.
Av de 1 140 som svarade var 40 % positiva. En särskild undersökning av bortfallet visade att där var 20 % positiva.
Hur många procent var positiva till konserthusbygget enligt denna undersökning, om man tar hänsyn till bortfallet?
12 Joar tar ett lån på 15 000 kr som ska återbetalas på ett år med lika stora amorteringar varje månad. Månadsräntan är 2,3 %.
Använd ett kalkylprogram och beräkna Joars a) ränta och amortering efter första månaden
b) ränta och amortering efter andra månaden c) sammanlagda ränta under året. 3
13 Adam och Bobby spelar ett datorspel.
Sannolikheten för vinst är 0,7 för Adam och 0,3 för Bobby. En dag tävlar man så att den segrar som först vunnit två gånger.
Hur stor är sannolikheten att Bobby segrar?
Utan digitala verktyg 1
Blandade övningar 1
Blandade övningar 1–4
1 En viss typ av bräda kostar 18,75 kr per meter.
Ungefär hur många meter kan du köpa för
1 000 kr? Gör en överslagsberäkning.
2 Sara ska beräkna ett nytt pris genom att multiplicera det gamla priset med en förändringsfaktor.
Vilken förändringsfaktor ska hon använda om det gäller
a) en ökning med 4 %
b) en minskning med 12 %
c) en ökning med 7,5 %?
3 Utgå från funktionen y = 2 x + 6.
Bestäm x då y = 20.
4 Bensintanken i en bil fylls med konstant hastighet. Före påfyllningen fanns 20 liter bensin i tanken och under tiden 40 sekunder ökar volymen till 50 liter.
a) Med vilken hastighet, i liter per sekund, sker påfyllningen?
b) Skriv en formel som visar volymen V liter bensin i tanken x sekunder efter påfyllningens början.
5 Lös ekvationerna.
a) x + 15 = 5 x – 9
b) 3(2 x – 1) = 12 + 4x x
6 I figuren visas graferna A , B, C och D.
Kombinera följande formler med de fyra graferna ovan.
I y = 2 x III y = 2
II y = −x – 2 IV y = x + 2
7 Förenkla uttrycket 18 3 3 xx
8 Vilket värde har uttrycket 40 – 3(x – 6) om x = 10?
9 Figuren visar ett kalkylblad. En formel beräknar i cell C2 amorteringen i kronor.
1 Lånebelopp (kr) Amorterings d (år) Amortering per år (kr)
2 450 000 15 30 000
a) Vilket tal visas i cell C2 om man skriver 25 i cell B2?
b) Vilken formel är skriven i cell C2 för att programmet ska beräkna det belopp som ska amorteras varje år. y x
Kapitel 1
1103 a) 23 c) 16
b) 43 d) 0
1104 a) 29 c) 54
b) 18 d) 19
1105 a) 1 c) 11
b) 6 d) 4
1106 a) 66 b) 2
1107 a) 59
b) Hon ska beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs. Det gör hon inte.
c) 6
Lösning: Metod 1 Beräkna täljaren och nämnaren innan divisionen utförs.
42 18 28 + + = 60 10 = 6
Metod 2 Skriv parenteser runt täljaren respektive nämnaren.
42 18 28 + + = = (42 + 18)/(2 + 8) = 6
1108 a) 480 kr/h
b) Kostnaden är 1 550 kr.
c) Kostnaden är 3 470 kr.
d) Genomsnittspriset är 550 kr/h.
1109 a) 5 b) 42
1110 a) 18 b) 36
1111 a) 45
b) Eric använder likhetstecknen på ett felaktigt sätt.
c) 2 ∙ 52 – 5 = 2 ∙ 25 – 5 = = 50 – 5 = 45
1112 Kostnaden är 200 kr.
1113 a) 4
Ledtråd: Beräkna 120/30
b) 2
1114 a) Vid subtraktion, t.ex. 8 – 6 = 2, gäller att term – term = differens.
b) Vid multiplikation, t.ex. 3 ∙ 5 = 15, gäller att faktor ∙ faktor = produkt.
c) Vid division, t.ex. 20 5 = 4, gäller att täljare nämnare = kvot.
1115 a) 19
b) 22
Lösning:
(8 – 4)2 + 3 · 2 = = 42 + 3 · 2 = = 16 + 6 = 22
c) 19
Ledtråd: Beräkna potensen först.
d) 13
e) 11
Lösning:
(8 – 2)2 /3 – 1 = 62 /3 – 1 = = 36/3 – 1 = 12 – 1 = 11
1116 a) Rörelseenergin är 375 000 joule.
b) Rörelseenergin är 750 joule.
1117 a) 5 b) 5
1118 a) 28 b) 13 c) 28
1119 a) T.ex. (2 · 32 + 3) · 4 = 84 b) 42, 84 och 96
1120 a) 361, 362, 363 osv.
Ledtråd: a 10 är större än 36.
b) 39, 38, 37… 3, 2, 1
c) 41, 42, 43 osv.
d) 119, 118, 117… 3, 2, 1
1123 a) –5 °C b) –2 °C c) –7 °C
1124 –4
1125 a) –2 b) –8 c) 2
1126 a) –6 b) –6 c) –10
1127 a) Saldot är 0 kr.
b) Saldot är 50 kr.
c) Saldot är –100 kr.
d) Saldot är –650 kr.
1128 a) 5 + (–2) = 5 – 2 = 3
b) –5 + (–2) = –5 – 2 = –7
c) 5 + (–7) = 5 – 7 = –2
1129 a) 8 – (–2) = 8 + 2 = 10
b) –9 – (–5) = –9 + 5 = –4
c) –4 – (–6) = –4 + 6 = 2
1130 –12 ska minskas med 5. Resultatet blir –17.
Kalle tänker nog:
Två minustecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken. Minustecknen står inte intill varandra.
–12 – 5 innebär att vi utgår från –12 och minskar talet med 5. Resultatet blir ett ännu mindre tal, –17.
1131 a) –63 c) 12 b) –3 d) –1
1132 a) –17
b) –4
c) –6
Ledtråd: Skriv om uttrycket.
Ersätt – (–) med + d) 7 e) –18 f) –1
1133 a) Det negativa talet –18.
b) Det positiva talet 8.
c) Det positiva talet 19.
d) Det negativa talet –2.
7000 Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2025.
Nivå 1a
Matematik 7000 är ett modernt och heltäckande läromedel anpassat till den nya gymnasieskolan Gy25. Med bokens tydliga progression får eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik.
I Matematik 7000 hittar du:
digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter utvecklande och utmanande uppgifter på alla svårighetsgrader aktiviteter, teman och historik som bidrar till en varierad undervisning kapitelavslutning med testa dig själv och blandade övningar utförligt facit med många lösningar och ledtrådar elevwebb och digital lärarhandledning.
LENA ALFREDSSON HANS HEIKNE MATHILDA LENNERMO SELIN