Inledning
1. En ska bort
2. Valet är ditt
3. Treaktare
4. Notera och fundera
5. Målfria problem
6. Grafberättelser
7. Gruppera och sortera
8. Generera exempel
9. Lusläsa en lösning
10. Mattekedjor
Uppgiftstyperna i praktiken
Referenser
Det finns inget beslut en lärare kan fatta som påverkar lärandet och matematikförståelsen i högre grad än valet och utformningen av de uppgifter som läraren låter eleverna arbeta med … (Lappan & Briars, 1995)
Som matematiklärare ska vi leverera en undervisning till heterogena grupper av elever, på ett sätt som möter varje elev där hen befinner sig. Vi ska se till att varje elev får goda möjligheter att tillägna sig det centrala innehållet och organisera undervisningen så att de får utveckla sina matematiska förmågor. Eleverna ska inte bara kunna utföra procedurer, som att addera bråk, beräkna lägesmått eller rita grafer – de ska också förstå och kunna resonera kring varför metoderna fungerar och kunna lösa matematiska problem med hjälp av sina kunskaper. Samtidigt ska vi försöka ge en rättvisande och intresseväckande bild av vilken användbar, logisk och kreativ vetenskap matematiken är. Allt detta på lektioner på ibland inte mer än 40 minuter och i klasser med tonåringar, som kanske inte tycker att matematik är det viktigaste i livet.
Hur gör vi för att möta dessa utmaningar? För att sätta i gång elevernas tankar, och göra matematiken begriplig, använder vi representativa exempel, förklarande bilder och simuleringar. Dessa kan förklara och visualisera, men de bästa språngbrädorna för matematiskt tänkande har vi ofta mitt framför oss, i form av de uppgifter som vi låter eleverna arbeta med. Det är genom att på djupet interagera med matematiska uppgifter – och få möjlighet att utbyta idéer om dem – som eleverna får en chans att brottas med och erövra det matematiska innehållet. Därför har det stor betydelse vilka uppgifter vi väljer att låta eleverna arbeta med i undervisningen. Uppgifterna behöver behandla det centrala innehållet, utveckla elevernas matematiska förmågor och samtidigt ge en rättvisande och nyanserad bild av vad matematik är. Det kräver att uppgifterna varieras. De tio uppgiftstyper som presenteras
i den här boken är valda för att bidra till just en sådan variation. Deras sinsemellan varierande karaktär låter eleverna erfara att matematiken kan vara både korrekt och kreativ, såväl mångtydig som stringent, både värd att studera för sin egen skull och ett fantastiskt verktyg för att förstå världen omkring oss. Var och en av uppgiftstyperna låter eleverna träna på en eller flera av de matematiska förmågor som är framskrivna i grundskolans kursplan i matematik (Skolverket, 2022). Dessutom går de att fylla med precis det matematiska innehåll som du arbetar med för stunden, vilket ger dig närmast oändliga möjligheter att skapa anpassade uppgifter.
Begreppsförmåga förmåga att använda och beskriva matematiska begrepp och samband mellan begrepp
Metodförmåga förmåga att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter
Problemlösningsförmåga förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik och värdera valda strategier
Resonemangsförmåga förmåga att föra och följa matematiska resonemang
Kommunikationsförmåga förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
Syftet med den här boken är att beskriva hur de tio uppgiftstyperna är uppbyggda, förklara vad de kan bidra med i din undervisning och ge exempel på hur du, på ett flexibelt sätt, kan anpassa både innehåll och utförande efter just dina elevers behov. För att du lätt ska komma i gång finns rikligt med användbara exempel, men när du väl lärt känna uppgiftsstrukturerna kommer du att kunna skapa egna övningar av varje uppgiftstyp.
Uppgiftstyperna jag presenterar har jag kommit i kontakt med i mitt arbete som matematiklärare, läromedelsförfattare och läromedelsredaktör. Jag har sett deras lärandepotential men samtidigt noterat att flera av dem ännu inte fått genomslag i svenska matematikklassrum. Idén till den här boken föddes av en önskan att pre-
sentera dessa uppgiftstyper för en större publik. En del av uppgifterna är skapade av matematikdidaktiker, ett par av dem är inspirerade av forskning kring hur hjärnan fungerar och några av dem har utvecklats av verksamma matematiklärare.
Boken riktar sig till dig som är, eller är på väg att bli, högstadielärare i matematik. Varje uppgiftstyp exemplifieras därför med matematiskt innehåll från högstadiet, men många av dem går att anpassa till såväl yngre som äldre elever.
Var och en av de tio uppgiftstyperna utmanar elevernas tänkande i en viss riktning. En del av dem introducerar nya matematiska begrepp. Andra tränar eleverna i att automatisera och förstå matematiska metoder. Ytterligare andra utmanar eleverna att föra matematiska resonemang eller ställa upp matematiska modeller. Även om uppgiftstyperna skiljer sig åt i vilka matematiska förmågor som de tränar, är de allesamman framtagna för att katalysera matematiskt tänkande i ditt klassrum. Låt mig peka ut fler utmärkande drag som uppgiftstyperna i den här boken delar.
Gemensamt för uppgiftstyperna är att de:
1. går att tillämpa flexibelt på hela det centrala innehållet.
Varje uppgiftstyp kan fyllas med det innehåll som du för tillfället arbetar med i undervisningen. Det gör att de går lika bra att applicera vid procentberäkningar som i arbetet med geometri eller ekvationer.
2. synliggör och bygger vidare på elevernas förkunskaper. För att undervisningen ska möta eleverna där de befinner sig i sin kunskapsutveckling finns två utmaningar: att ta reda på vilka kunskaper eleverna redan besitter och att ta tillvara den informationen i undervisningen. Uppgiftstyperna hjälper dig att få syn på elevernas förkunskaper och visar hur du kan bygga vidare på dessa i undervisningen.
3. stimulerar till samtal, både i små grupper och i helklass.
Genom att tala får vi tillfälle att ordna våra tankar och pröva dem i samtal med andra. Därför är samtal och samarbete en viktig del av många av de uppgiftstyper som jag presenterar. Det kan handla om att resonera tillsammans med
en kamrat, jämföra lösningar i små grupper eller diskutera tillvägagångssätt i helklass.
4. synliggör och diskuterar vanliga missuppfattningar.
När eleverna får samtala om sina matematiska tankar och metoder, får du som lärare inte bara syn på allt det de redan kan utan även på vad de kan ha missuppfattat. De tillfällena är små guldkorn att ta vara på i undervisningen, och flera av uppgifterna är utformade för att vaska fram dem.
5. fokuserar på resonemang och begripliggörande snarare än på rätt svar.
Uppgifterna i den här boken har ofta flera möjliga svar. Det flyttar fokus från det rätta svaret till de matematiska idéer, antaganden och bevekelsegrunder som ligger bakom ett lösningsförslag. Det ger också eleverna tillfälle att reflektera över vad som är ett rimligt och godtagbart svar i sammanhanget.
6. utmanar till djupt matematiskt tänkande.
Forskning visar att elevers möjligheter till lärande i matematik är starkt förknippat med deras möjligheter att arbeta med kognitivt utmanande uppgifter (Smith & Stein, 2018). Uppgiftstyperna tar fasta på detta genom att låta elever förklara, tillämpa, jämföra och resonera, snarare än att lära sig matematiska fakta och metoder utantill.
7. är utformade för att inkludera alla elever.
Att samla hela klassen kring samma uppgift ställer stora krav på att den kan möta elever med vitt skilda förkunskaper. Därför har jag valt uppgifter som har låg tröskel, dvs. är tillgängliga för alla elever, men samtidigt har högt i tak, dvs. är möjliga att fördjupa för dem som har kommit längre i sitt tänkande.
8. ger elever möjlighet att göra kopplingar mellan matematiska idéer och till världen runtomkring.
För att bygga en hållbar och flexibel förståelse för matematik behöver eleverna förstå hur olika matematiska idéer hänger ihop. Flera av uppgifterna är utformade för att bygga just sådana broar mellan matematiska idéer. Några av uppgifterna synliggör också hur matematiken kan användas för att beskriva och förklara vår omvärld.
9. drar nytta av fördelarna med digital teknik.
I den här boken nyttjas den digitala tekniken främst som ett verktyg för läraren. En del av uppgiftstyperna ger möjlighet att digitalt samla in elevsvar, så att de
kan jämföras och diskuteras, medan andra använder digitala medier – bilder, filmer och simuleringar – som utgångspunkt för matematiska diskussioner.
Listan här ovanför har varit min ledstjärna när jag valt ut uppgifter till den här boken. Forskare har nämligen kommit fram till att dessa egenskaper utmärker effektiva lärandesituationer och uppgifter i matematik (Swan, 2005; 2014). Min erfarenhet är att de dessutom bidrar till att stimulera elevers motivation och intresse för ämnet.
Var och en av de tio uppgiftstyperna behandlas i var sitt kapitel och beskrivs utifrån tre frågeställningar: Vad utmärker uppgiften? Varför är uppgiften värd att arbeta med? och Hur kan man arbeta med uppgiften i klassrummet? För att fördjupa framställningen anknyter jag till relevant forskning. Ibland har jag även haft förmånen att intervjua uppgiftens upphovsperson. Följande uppgiftstyper behandlas i boken:
1. En ska bort
I en En ska bort-övning studerar eleverna fyra matematiska objekt, till exempel tal, ekvationer eller grafer. Uppgiften består i att urskilja vilka tre objekt som har något gemensamt och vilket objekt som ”ska bort”. Varje svar är korrekt, så länge det följs av en godtagbar motivering.
2. Valet är ditt
I Valet är ditt ställs eleverna inför en valsituation med två eller flera alternativ och får använda matematik för att undersöka vilket som är mest fördelaktigt. Eleverna kan till exempel få ta reda på vilket elabonnemang som är mest prisvärt eller vilken rabattkupong de helst vill använda.
3. Treaktare
En Treaktare börjar med att eleverna får se en film som beskriver ett händelseförlopp. Filmen bryts mitt i, vilket inspirerar eleverna att formulera en eller flera frågeställningar om den fortsatta händelseutvecklingen. För att besvara frågorna, får eleverna använda sina matematikkunskaper. Det rätta svaret redovisas i en filmsekvens.
4. Notera och fundera
I Notera och fundera får eleverna studera matematiska objekt, till exempel bilder, diagram eller problemlösningsuppgifter, och svara på de två frågorna: Vad noterar du? Vad undrar du? Elevernas frågeställningar och iakttagelser ligger sedan till grund för klassens fortsatta arbete.
5. Målfria problem
Ett Målfritt problem innehåller samma information som ett vanligt problem, men det saknar ett specifikt och förutbestämt mål som eleven ska nå. I ett målfritt problem får eleverna i stället ta reda på så mycket de kan utifrån den givna informationen.
6. Grafberättelser
I en Grafberättelse får eleverna se en film av en vardaglig händelse och beskriva händelsen med hjälp av en graf.
7. Gruppera och sortera
Gruppera och sortera är ett samlingsnamn för tre uppgiftstyper där elever får sortera kort med matematiska objekt. I Gruppera ekvivalenta objekt parar eleverna ihop olika representationsformer av samma matematiska objekt. I Sortera i kategorier sorterar eleverna matematiska objekt i förutbestämda kategorier, och i Sortera för att klassificera grupperar eleverna matematiska objekt efter deras egenskaper.
8. Generera exempel
I Generera exempel får eleverna ge exempel på matematiska begrepp som uppfyller vissa villkor. Det tvingar dem att reflektera över begreppets egenskaper.
9. Lusläsa en lösning
Lusläsa en lösning är en familj av uppgifter som alla har det gemensamt att de låter elever studera och förklara färdiga lösningar.
10. Mattekedjor
En Mattekedja består av två eller flera sammanlänkade rutinuppgifter, där eleverna kan utnyttja svaret i den ena uppgiften för att ta reda på svaret i nästa.
Alla kapitlens exempel finns att tillgå i extramaterialet som hör till boken. Du finner instruktion och kod bakom fliken på omslagets insida. Extramaterialets digitala format gör det lätt att skriva ut uppgifterna eller projicera dem på tavlan i klassrum-
met. Tanken är att det ska underlätta för dig som vill pröva uppgiftstyperna i din egen undervisning. Ibland hänvisar jag till andra resurser, till exempel webbsidor eller böcker, där du kan hitta fler exempel och inspiration.
Även om rika och tänkvärda uppgifter är en bra utgångspunkt för effektiv undervisning är uppgifterna i sig ingen garant för lärande. Deras lärandepotential kan bara realiseras i samspel med eleverna. I varje kapitel ger jag förslag på hur du kan arbeta med uppgiften i klassrummet, men för att arbetsgången ska fungera i just ditt klassrum behöver du anpassa den efter det matematiska innehåll du vill behandla, den tid du har till ditt förfogande och din grupp av elever. Jag uppmuntrar och välkomnar att du gör varje uppgiftstyp till din egen. Till din hjälp finns i slutet av varje kapitel ett antal reflektionsfrågor som det kan vara givande att fundera över, antingen på egen hand eller tillsammans med kollegor.
Boken avslutas med kapitlet Uppgiftstyperna i praktiken. Det ger en översikt av de tio uppgiftstyperna och beskriver vad som kan vara bra att tänka på när du vill implementera dem i undervisningen.
Jag hoppas att den här boken ska göra att du får upp ögonen för uppgiftstyper som du inte har kommit i kontakt med förut och att du får nya perspektiv på de uppgiftstyper som du redan känner till. Jag är övertygad om att namnen på uppgifterna kan bli användbara kategorier som du kan dra dig till minnes när du vill utmana elevernas tänkande i en viss riktning.
För att elever ska lära sig matematik behöver de tänka djupt på matematiska idéer. Min förhoppning är att uppgiftstyperna i den här boken ska vara en språngbräda för sådant djupt matematiskt tänkande i ditt klassrum.
Titta på bilderna här nedanför. De föreställer en giraff, en svan, en struts och en talgoxe. Tre av djuren hör ihop på något sätt och ett ska bort. Kan du lista ut vilket och varför?
En ska bort-övning med fyra djur. Bilder från Shutterstock.
Utan att veta vilket svar du har tänkt dig kan jag vara så gott som säker på att du har gjort rätt. Alla fyra svar är nämligen korrekta så länge du kan erbjuda en övertygande motivering. Giraffen kan till exempel väljas bort eftersom den inte är en fågel. Svanen kan väljas bort för att den lever i vatten. Strutsen är ensam om att kunna springa snabbt på två ben, och talgoxen är det enda av djuren som inte har en lång hals. Du kan mycket väl ha andra, lika giltiga, motiveringar i åtanke.
För att avgöra vilket djur som skulle bort behövde du studera djurens egenskaper och urskilja deras likheter och skillnader. Genom att ersätta de fyra djuren med matematiska objekt – till exempel tal, grafer eller ekvationer – kan motsva -
rande övning bli en värdefull resurs också för lärande i matematik. Uppgiftstypen kallas för En ska bort.
Uppgiftstypen En ska bort är sannolikt inte ny för dig. Den har bland annat förekommit i det kultförklarade barnprogrammet Fem myror är fler än fyra elefanter. Övningens kännetecknande drag är att den utgår från fyra objekt som organiseras i en fyrfältare. För att nyttja uppgiftstypen i matematikundervisningen fyller vi fyrfältaren med matematiska objekt, till exempel fyra tal, fyra grafer eller fyra algebraiska uttryck. Studera exempelvis de fyra talen arrangerade i ett rutnät här nedanför. Tre av talen hör ihop och ett ska bort. Ta dig tid att fundera på vilket tal som ska bort och varför.
Två möjliga svar är att det är talet 6 som ska bort eftersom det är det enda jämna talet eller att talet –45 ska bort för att det är negativt. Men det går lika bra att hävda att det är talet 7 som ska bort för att det är det enda primtalet eller att talet 9 ska bort för att det är ett kvadrattal. Varje alternativ är alltså korrekt, så länge man kan hitta en motivering.
En ska bort-övning med fyra heltal.
Det går till och med att hitta flera anledningar till att respektive tal ska bort.
Talet 6 är till exempel det enda perfekta talet men också det enda triangeltalet. Talet 7 är inte bara det enda primtalet utan också det enda talet som inte är delbart med 3. Talet –45 är både det minsta talet och det tal som ligger längst ifrån 0 på tal linjen (störst absolutbelopp), medan talet 9 inte bara är ett kvadrattal utan även det största av de fyra heltalen. Att jämföra de fyra talen på det här sättet ger tillfälle att använda flera talteoretiska begrepp som kvadrattal och triangeltal, udda och jämn, delbar och absolutbelopp.
Genom att byta ut de fyra matematiska objekten, mot exempelvis grafer, ekvationer eller beräkningar, kan det matematiska innehållet i uppgiften varieras.
Därmed kan uppgiftstypen En ska bort behandla alltifrån aritmetik till algebra och statistik.
En ska bort-övningar väcker ofta engagemang, men för att uppgiftstypen ska ha en plats i matematikundervisningen måste den också kunna bidra till elevernas lärande. I det här avsnittet beskriver jag hur En ska bort kan vara just en sådan resurs för lärande. Bland annat visar jag hur den kan bidra till att utveckla elevernas begrepps-, metod- och resonemangsförmåga.
När eleverna ska avgöra vilket av objekten i en En ska bort-övning som ska bort, behöver de studera objektens egenskaper och urskilja deras likheter och skillnader. Varje nytt svar som en elev ger sätter fokus på en ny egenskap hos de matematiska objekten. I övningen här nedanför kan eleverna exempelvis uppmärksamma att alla talföljder förutom 10, 12, 14, 16, … har talet 1 som första element eller att alla talföljder utom 1, −1, −3, −5, … är växande. De kan notera att man i A, B och D får nästa element i följden genom att addera en konstant, medan man i C får nästa element genom att multiplicera med en faktor, och att A är den enda talföljden som innehåller ett ändligt antal element. Övningen är på så sätt ett effektivt verktyg för att låta eleverna använda matematiska begrepp.
1, 4, 7, 10 1, –1, –3, –5, …
1, 3, 9, 27, … 10, 12, 14, 16, …
En ska bort-övning med fyra talföljder.
Ett sätt att förstå hur En ska bort-övningar utmanar elevernas begreppsförmåga är att se uppgiftstypen i ljuset av variationsteorin. Variationsteorin är en teori för lärande som utvecklades i början av 2000-talet av bland andra Ference Marton (2004). Teorin har gett värdefulla bidrag till förståelsen av hur vi människor lär oss begrepp.
För att vi ska lära oss ett matematiskt begrepp behöver vi enligt variationsteorin få erfara det med variation. Ska vi urskilja vad som utmärker en rektangel, behöver vi få se varierade exempel på hur en rektangel kan se ut. Bara då kan vi urskilja att rektanglar kan vara både stora och små (figurens storlek har ingen betydelse), att
de ibland, men inte alltid, har lika långa sidor (en kvadrat är också en rektangel) och att en rektangel som står på ett hörn också är en rektangel (figurens orientering saknar betydelse). Vi kan urskilja dessa aspekter tack vare att några centrala egenskaper hos de geometriska objekten hålls konstanta, medan andra varierar.
Genom att få se rektanglar med olika storlek, orientering och form kan vi lättare urskilja vad som utmärker en rektangel.
Att medvetet variera lärandeobjektet i en undervisningssituation är enligt variationsteorin ett av de kraftfullaste verktygen för att uppnå lärande (Attorps & Radic, 2016). Det är genom att hålla vissa egenskaper konstanta och variera andra som de kritiska aspekterna av lärandeobjektet blir synliga för eleven.
En av styrkorna med uppgiftstypen En ska bort är att den låter eleverna erfara denna typ av variation. I övningen med talföljder varierar exempelvis vilket som är talföljdens första element, den inbördes relationen mellan två på varandra följande element och antalet element i följden. Genom att studera talföljdernas likheter och skillnader får eleverna bland annat möjlighet att erfara att talföljder kan vara såväl växande som avtagande, ha ett ändligt eller oändligt antal element och innehålla både positiva och negativa tal.
En ska bort-övningar sätter de matematiska objektens egenskaper i centrum, men de ger även tillfälle att träna metodkunskaper. Betrakta exempelvis de fyra ekvationerna till höger.
4 = 2x – 3 = 11
24 x
2y + 0,5 = 12,5 3x – 3 = x + 9
En ska bort-övning med ekvationer.
Via enbart inspektion kan eleverna urskilja att A är den enda ekvationen med den obekanta i nämnaren, att ekvation C är den enda med bokstaven y som obekant och att D är den enda ekvationen med den obekanta i båda leden. Men när eleverna går vidare och löser ekvationerna kan de dessutom lägga märke till att B är den enda ekvationen som inte har talet 6 som sin lösning.
På samma sätt får eleverna tillfälle till meningsfull metodträning när de tar sig an de fyra geometriska figurerna till vänster här nedanför. Visserligen kan eleverna upptäcka en del strukturella likheter och skillnader bara genom att studera figurernas utseende, men för att upptäcka skillnader i area och omkrets blir det nödvändigt att göra beräkningar.
En ska bort-övning med geometriska figurer.
Att lägga märke till utmärkande
egenskaper hos de algebraiska uttrycken är viktigt för att kunna förenkla dem.
En ska bort-övningar tränar metodförmågan även på ett mer indirekt sätt. För att kunna utföra en beräkning, lösa en ekvation eller förenkla ett uttryck är det först nödvändigt att göra några iakttagelser. Ska du exempelvis förenkla något av de algebraiska uttrycken i övningen till höger här ovanför, är det en god idé att notera om det är ett plustecken eller minustecken framför parentesen samt om det finns några termer av samma sort. Att arbeta med En ska bort tränar eleverna att lägga märke till sådana egenskaper hos matematiska objekt och tränar på så sätt en viktig aspekt av metodförmågan.
TRÄNAR RESONEMANGS- OCH KOMMUNIKATIONSFÖRMÅGAN
Eftersom alla svar i en En ska bort-övning är rätt, flyttas elevernas fokus från det rätta svaret till att resonera, argumentera och kommunicera sina matematiska idéer. Samtidigt får eleverna träna på att använda ett precist matematiskt språk och på att föra matematiska resonemang. Uppgiften med de geometriska figurerna på föregående sida inbjuder exempelvis till att använda matematisk vokabulär som bas, höjd och area och till att resonera om vilken figur som har störst omkrets.
En positiv egenskap hos En ska bort är dess ”låga tröskel” – så gott som alla elever kan hitta en anledning till att något av de matematiska objekten ska bort. I övningen här bredvid kan en elev till exempel motivera att det är (0, 0) som ska bort för att det är den enda punkten där x- och y-koordinaten är lika, eller att det är (–1, –2) som ska bort för att det är den enda punkten i tredje kvadranten. De många möjligheterna att finna ett godtagbart svar gör att alla elever kan bidra till diskussionen, vilket skapar ett brett engagemang i klassrummet.
–2)
4)
0)
5; –1)
En ska bort-övning med punkter i formen (x, y).
Även om i stort sett alla elever kan finna något rätt svar, måste även den mest matematikintresserade tänka till för att hitta en motivering till att vart och ett av de matematiska objekten ska bort. Det gör att En ska bort-övningar utmanar även de starkare eleverna.
För många elever är det utmanande och roligt att försöka hitta en anledning som alla andra har förbisett. Så bli inte förvånad om de hittar lösningar som du inte har tänkt på. (Har du exempelvis noterat att alla de tre punkterna (–1, –2), (0, 0) och (2, 4) ligger på samma räta linje?) Bli heller inte förvånad om det är de svagare eleverna som finner de mest oväntade svaren. Att arbeta med En ska bort kan på så sätt stärka deras självförtroende.
Det finns flera goda skäl att inkludera En ska bort -övningar i sin repertoar av klassrumsaktiviteter. Uppgiftstypen ger bland annat tillfälle att träna elevernas begrepps-, metod- och resonemangsförmåga. Dessutom tycker många elever att övningen är rolig, vilket gör det förhållandevis lätt att få i gång en diskussion. Men hur kan arbetet med En ska bort-övningar organiseras och varieras? Vad ska du tänka på som lärare? Och i vilka sammanhang är övningen mest effektiv?
Första gången en En ska bort-övning används kan det vara bra att genomföra den med fyra vardagliga objekt. Du kan till exempel välja de fyra djuren från kapitlets inledning. På så sätt får eleverna bekanta sig med övningens struktur innan de möter den i en matematisk kontext.
När du förklarar hur övningen går till är det bra att betona för eleverna att alla svar är rätt, bara de kan hitta en övertygande motivering, och att övningen inte handlar om att hitta några i förväg uttänkta svar. Tvärtom ser du fram emot att få se hur eleverna tänker och att få lära dig av dem.
Oavsett om du använder dig av vardagliga eller matematiska objekt i övningen, kan du nyttja följande arbetsgång, som inspirerats av Christopher Danielsons lärarguide till boken Which one doesn’t belong? (2016):
1. Presentera de fyra objekten för eleverna. Du kan välja att dela ut en stencil med objekten eller projicera dem som storbild i klassrummet.
2. Ge eleverna ca 30 sekunders betänketid. Ibland kan eleverna behöva längre tid att tänka, till exempel när de fyra objekten är ekvationer som eleverna behöver lösa eller algebraiska uttryck som de vill förenkla. Betona att betänketiden är tyst tid och att eleverna inte ska räcka upp handen eller på annat sätt signalera att de är klara. Om de blir klara innan betänketiden är slut, kan de nyttja tiden till att försöka hitta mer än ett svar.
För att eleverna helhjärtat ska kunna koncentrera sig på den efterföljande diskussionen, och slippa hålla sina svar i arbetsminnet, kan du uppmana dem att skriva ner sina svar och motiveringar.
3. Uppmana eleverna att vända sig till sin bordsgranne och diskutera sina svar. På så sätt får alla elever tillfälle att dela med sig av sina idéer. Dessutom ger det dem tid att formulera sina tankar, vilket kan göra det lättare för dem att våga delta i helklassdiskussionen.
4. Samla klassen i en helklassdiskussion. Lyssna på elevernas svar och låt dem motivera hur de tänker. Undvik att värdera svaren utifrån vad som är rätt eller fel. Bjud i stället in gruppen att reagera på varandras svar:
• Linus säger att det är alternativ A som ska bort för att alla andra uttryck bara har en variabel. Håller ni med om hans resonemang?
• Kan någon återberätta Amayas svar med andra ord?
• Är det någon som har en fråga till William?
Uppmana även kontinuerligt eleverna att betrakta uppgiften på nya sätt:
• Är det någon som har en annan förklaring till att alternativ A ska bort?
• Är det någon som kan tänka ut en anledning till att alternativ D ska bort?
• Atena, vill du berätta hur du har tänkt?
Ibland hittar inte eleverna motiveringar till vart och ett av de fyra matematiska objekten. Det gör ingenting. Det är helt okej att lämna något av alternativen därhän. Om du vill kan du behålla bilden på de fyra objekten någonstans på tavlan. Då kan du återkomma till den senare under lektionen, eller i början av nästa lektion, och se om någon har några nya tankar. Du kan också själv ge ett förslag på lösning som klassen får ge respons på eller berätta att en elev i en annan klass kom på en motivering. Vad tycker klassen om den?
Avsluta diskussionen med att sammanfatta vad eleverna har kommit fram till och tacka dem för ett givande samtal.
Noggrant förarbete
För att diskussionen kring en En ska bort-övning ska bli ett effektivt lärandetillfälle är det en god idé att i förväg skriva ner vilka likheter och skillnader som du lägger märke till när du studerar de fyra objekten, och att formulera alla tänkbara skäl till att respektive alternativ ska bort. Genom att försöka förutsäga elevernas
svar på det här sättet, blir det lättare att bemöta och bygga vidare på dem under helklassdiskussionen.
Ett viktigt led i förberedelserna är också att fundera på vilket mål du har med övningen. Att formulera ett sådant mål är ett verktyg för att hjälpa dig att fatta pedagogiska beslut under helklassdiskussionen. Vilka begrepp och metoder vill du särskilt lyfta fram? Vilka missuppfattningar kan elever komma att ge uttryck för och hur ska du bemöta dem? Är det någon särskild elev som du vill ge chansen att komma till tals i dag? Hur gör du om ingen kan komma på en anledning till att alternativ C ska bort? Genom att tänka igenom sådana frågeställningar i förväg, och göra anteckningar som du kan konsultera under genomgången, kan du avlasta ditt arbetsminne och göra det lättare att styra helklassdiskussionen i en produktiv riktning (Lemov, 2021).
Ordmoln
Ibland kan du som lärare vilja styra en En ska bort-övning i en viss riktning. Det kan till exempel handla om att du vill ge eleverna tillfälle att använda vissa specifika matematiska begrepp. Ett sätt att göra det är att skriva upp några matematiska ord på tavlan som eleverna kan använda sig av när de motiverar sina svar. Det styr inte bara uppgiften i en viss riktning, utan stöttar också dem som har svårt att komma i gång. De fyra potenserna här nedanför skulle till exempel kunna ackompanjeras av följande ordmoln: 25 33 (–1)501 (–7)2
D
Bas Exponent
Potens Udda
Jämn Positiv Negativ
Primtal
En ska bort-övning med potenser tillsammans med ordmoln.
Ordmolnets stöttande funktion kan även vändas till en utmaning. Kan eleverna använda alla ord i molnet?
Andraspråksinlärare
Att använda sig av ordmoln är också ett sätt att stötta andraspråksinlärare – det underlättar för dem att ha viktiga matematiska begrepp till hands. Ett annat sätt att stötta andraspråksinlärare är att skriva upp några ”börjor” på tavlan. Börjor är fraser som visar hur man kan inleda en mening och som eleverna kan fylla med innehåll, till exempel:
Jag tycker att … ska bort, för att …
En anledning till att … ska bort är att …
Jag tycker att … ska bort. Min motivering är att …
Att uttrycka matematiska tankar på ett annat språk än sitt modersmål är utmanande, och att få färdiga formuleringar att utgå ifrån kan stötta eleverna att delta i samtalet.
Hjälpmedel
Vissa En ska bort-övningar kräver att du tar ställning till huruvida eleverna ska ha tillgång till hjälpmedel, som räknare eller grafritare. Det gäller exempelvis när du ber eleverna studera fyra funktionsuttryck. Ska eleverna få möjlighet att rita upp graferna med ett digitalt verktyg, eller vill du att de funderar över funktionernas likheter och skillnader utan hjälpmedel? Ditt val kommer delvis att påverka vad eleverna kan urskilja, men också vad de får möjlighet att lära sig. Därför är det viktigt att du funderar över tillgången till hjälpmedel i förväg.
Träna matematiska begrepp
I helklassdiskussionen av en En ska bort-övning får du ett bra tillfälle att träna eleverna på att använda ett matematiskt språk. Du kan stötta dem genom att skriva upp viktiga ord på tavlan eller genom att omformulera elevernas tankar med mer precisa matematiska begrepp:
Elev: Jag tycker att C ska bort, för alla andra uttryck har en 6:a.
Lärare: Kan du förklara lite närmare vad du menar när du säger att alla andra uttryck har en 6:a?
Elev: Det står plus 6 i alla andra uttryck.
Lärare: Jag förstår. Du menar att alla andra uttryck har konstanttermen 6.
Ibland gör eleverna iakttagelser som de ännu inte har matematiska ord för att beskriva. Det är ett bra tillfälle att introducera nya matematiska begrepp.
Anteckna
I takt med att eleverna presenterar sina svar, kan du som lärare föra anteckningar på tavlan. Att anteckna under tiden gör att eleverna lättare får syn på den stora variationen av svar. Du får också en överblick, både av vad eleverna har urskilt och av vad de ännu inte har uppmärksammat. För att organisera dina anteckningar kan du använda samma rutstruktur som i uppgiften och kortfattat notera varför respektive objekt ska bort:
Enda kvadrattalet
Enda primtalet Minst
Enda talet delbart med 5 Negativt
Det enda jämna talet Störst
För gärna anteckningar under diskussionen, förslagsvis i ett rutsystem liknande det i uppgiften.
NÄR?
I början eller i slutet av en lektion
En En ska bort-övning behöver inte ta mer än 5–10 minuter. Det gör att den är ideal som en kort uppvärmning i början av en lektion, till exempel för att aktivera elevernas förkunskaper eller för att låta dem repetera viktiga begrepp från föregående lektion. Övningen kan också med fördel användas i slutet av en lektion, som ett sätt att sammanfatta det man har arbetat med (Hunter, 2018).
Flera i rad
Ibland kan det vara givande att göra tre eller fyra En ska bort -övningar i rad. Du kan till exempel börja med en övning där eleverna får urskilja likheter och skillnader hos tal i decimalform. Därefter kan eleverna få studera fyra tal som är skrivna i bråkform, decimalform och procentform. I ett sista steg kan de utmanas att urskilja likheter och skillnader bland tal skrivna i procentform, promille och ppm. Genom att ordna övningarna så att de bygger på varandra kan eleverna steg för steg urskilja allt mer detaljerade egenskaper hos de matematiska objekten.
I början av ett nytt ämnesområde
I en En ska bort -övning låter man vanligtvis eleverna arbeta med matematiska objekt som de är bekanta med, men det är också möjligt att låta dem studera främmande objekt. Tack vare uppgiftstypens inkluderande karaktär kommer alla elever att kunna lägga märke till några egenskaper hos de nya objekten. Uppgiftstypen kan därmed vara ett effektivt sätt att introducera ett nytt ämnesområde (Bourassa, 2015). Tänk dig till exempel att du ska inleda arbetet med räta linjens ekvation och att du presenterar följande fyra grafer för eleverna.
En ska bort-övning med grafer.
Det ger eleverna tillfälle att uppmärksamma grafernas likheter och skillnader. Eleverna kan till exempel lägga märke till att graf A är ensam om att luta nedåt, att graf
B utmärker sig genom att gå genom origo och att graf D är den enda som inte är en rät linje. Samtidigt kan du hjälpa dem att sätta ord på sina tankar genom att introducera matematiska begrepp som rät linje, växande, avtagande, skärning med y-axeln och proportionalitet. På bara ett par minuter har du aktiverat och byggt vidare på elevernas förkunskaper och samtidigt introducerat några av områdets viktigaste begrepp. Och det bästa av allt: idéerna har kommit från eleverna själva.
Små grupper
När uppgiftstypen är etablerad är det möjligt att ersätta helklassdiskussionen med diskussioner i små grupper. På så sätt kan alla elever lättare komma till tals. Som lärare går du runt i klassrummet och undervisar ”mellan borden”, dvs. du lyssnar, ställer frågor och utmanar elevernas tänkande när du märker att det behövs.
Vad är lika? Vad är olika?
Ett annat sätt att variera arbetet är att ersätta frågeställningen ”Vilken ska bort?” med ”Vad är lika och vad är olika?” (Hunter, 2018). Eleverna kan då mer förutsättningslöst studera objektens likheter och skillnader, utan att fastna i att alla utom ett måste ha en viss egenskap. Det ställer också mindre krav på uppgiftens utformning, eftersom samtliga objekt inte nödvändigtvis måste kunna ”väljas bort” och objekten inte måste vara precis fyra till antalet.
Fler av samma
Du kan utvidga En ska bort-övningar genom att låta eleverna ge fler exempel på objekt som har samma egenskap som det matematiska objekt de valt bort. Låt säga att elevgruppen har fått studera fyra tal och att en elev har motiverat att talet 16 ska bort för att det är det enda kvadrattalet. Gruppen kan då få i uppgift att ge exempel på fler kvadrattal. Någon elev kanske i stället motiverar att talet 45 ska bort för att det är det enda talet som är delbart med 5. Vilka andra tal är delbara med 5? Hur kan man veta det? Finns det något koncist sätt att skriva alla tal som är delbara med 5? I en annan kontext kanske en elev motiverar att ekvation C ska bort för att det är
den enda ekvationen som har ett negativt tal som lösning. Gruppen kan då få finna andra exempel på ekvationer som har negativa rötter. På det här sättet kan elevernas förståelse av de matematiska begreppen breddas och fördjupas.
Alternativa frågeställningar
De fyra objekten i en En ska bort-övning kan ibland användas som utgångspunkt för helt andra frågeställningar. I stället för att finna vilken av bråkberäkningarna här nedanför som ska bort kan eleverna till exempel få i uppgift att ordna dem efter storlek, och efter att ha studerat likheter och skillnader hos enheterna till höger, kan de få värdefull begreppsträning genom att ge exempel på vad man skulle kunna mäta med respektive enhet.
En ska bort-övning med bråkberäkningar.
En ska bort-övning med enheter.
Om eleverna arbetar med En ska bort-övningar i små grupper är den här typen av alternativa och utvidgande frågeställningar ideala att ha till hands till dem som snabbt blir klara eller behöver ytterligare utmaning.
Skapa egna övningar
Ytterligare ett sätt att fördjupa arbetet med En ska bort är att låta eleverna konstruera sina egna övningar. De kommer ganska snart att märka att det inte är någon enkel sak, åtminstone inte om de angriper problemet genom prövning. Christopher Danielson, författare till boken Which one doesn’t belong? (2016), använder sig av följande metod för att skapa uppgifter:
1. Bestäm dig för vilken typ av matematiskt objekt som övningen ska handla om (t.ex. algebraiska uttryck).
2. Välj ut fyra egenskaper som det här objektet kan ha (t.ex. innehåller bara en variabel, har talet 7 som konstantterm, innehåller inga parenteser, koefficienten framför x är 2).
3. Täck över den första egenskapen med ditt finger. Försök att finna ett matematiskt objekt som har alla de övriga tre egenskaperna, men inte den du har täckt över.
4. Fortsätt på samma sätt med egenskap 2, 3 och 4.
Metoden garanterar att varje objekt har någonting gemensamt med vart och ett av de övriga, men att det också har en egenskap som skiljer det från gruppen. Så här skulle en En ska bort-övning kunna se ut utifrån de fyra egenskaper jag valde här ovanför:
En ska bort-övning med algebraiska uttryck.
När eleverna har konstruerat sina egna En ska bort-övningar, brukar de tycka att det är kul att låta sina kompisar lösa dem. Om du har tur, har du på det här sättet fått en mängd En ska bort-övningar att hämta inspiration från.
Resurser
I det digitala extramaterialet till boken får du tillgång till ett antal En ska bortövningar med matematiskt innehåll från högstadiet.
Reflektionsfrågor
1. Vad skulle uppgiftstypen En ska bort främst kunna bidra med i ditt klassrum?
2. I det här kapitlet har du fått några tips på vad du kan tänka på när du implementerar En ska bort i undervisningen. Vilket eller vilka av de tipsen tar du särskilt med dig?
3. Vilka utmaningar och hinder kan du se med att implementera den här uppgiftstypen i ditt klassrum? Vilka strategier skulle du kunna använda för att överkomma dessa hinder?
4. Vilka för- och nackdelar kan det finnas med att jobba med en En ska bort i början av ett arbetsområde?
5. Det är möjligt att arbeta med En ska bort både i helklass och i små grupper. Vilka fördelar och nackdelar ser du med de två arbetssätten?
6. Under rubriken ”Skapa egna övningar” i slutet av kapitlet beskrivs hur du kan gå till väga för att skapa en En ska bort-övning. Välj ett valfritt matematiskt begrepp och skapa en En ska bort-övning genom att följa stegen i instruktionen.
Meningsfulla matematikuppgifter är en framgångsfaktor för lärande i matematik. Därför har urvalet av uppgifter stor betydelse för undervisningens kvalitet. De forskningsinspirerade uppgiftstyper som presenteras i den här boken är utformade för att träna de matematiska förmågorna och katalysera djupt matematiskt tänkande i ditt klassrum.
Var och en av uppgiftstyperna går att fylla med precis det matematiska innehåll som du arbetar med för stunden. Det ger dig som lärare närmast oändliga möjligheter att skapa uppgifter anpassade till din elevgrupp.
Varje uppgiftstyp beskrivs i ett separat kapitel utifrån frågeställningarna: Vad utmärker uppgiftstypen? Varför är den värd att arbeta med? Hur gör du i klassrummet? Du får rikligt med tips på hur du bäst använder uppgiftstyperna och konkreta exempeluppgifter att använda i undervisningen.
På nok.se/10uppgiftstyperimatematikhogstadiet finns många av bokens uppgifter tillgängliga som digitalt extra material. Du hittar instruktion och kod på insidan av omslaget.