Matteutmaning är för alla elever som vill ha kluriga och roliga utmaningar i matematik. Här finns uppgifter som stimulerar logiskt tänkande, undersökande aktiviteter, tips på smart huvudräkning och historiska tillbakablickar där man får pröva på att räkna som förr i tiden. Längst bak i boken finns ledtrådar om eleverna behöver hjälp med hur de ska komma i gång och facit som förklarar lösningar. Uppmuntra gärna eleverna att arbeta tillsammans, då det lockar fram viktiga matematiska resonemang kring uppgifterna. Matteutmaning ger eleverna möjlighet att få tänka matematiskt men framför allt få dem att uppleva att matematik är spännande och roligt!
Matteutmaning
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
Matteutmaning B
Matteutmaning B
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
åk 4–6
B
I serien finns böckerna:
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
A
Matteutmaning åk 4–6
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
B
Matteutmaning C
åk 4–6
Matteutmaning B
Matteutmaning A
Matteutmaning
Matteutmaning åk 4–6
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
012
01
23
45
67
C 3 456
789
89
01
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
23
45
67
01 89
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
23
45
67
89
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
ISBN 978-91-27-46383-7
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
9 789127 463837
Matteutmaning B_cover_ny.indd Alla sidor
2023-03-10 13:40
Innehåll Kapitel 1
Kapitel 5 43
5
Algebraiska uttryck 6 Likheter 8 Ekvationer 9 Talföljder 10 Undersök Algebra 11 Tänk smart Dela upp olika 12
Tiobas och fembas 44 Bråk 46 Problemlösning 48 Proportionalitet 50 Undersök Division med talet 11 Tänk smart Förkorta bråk 52
Kapitel 2
Kapitel 6 53
13 Problemlösning 14 Procent 18 Undersök Multiplikation och division 20 Tänk smart Procent, bråk och decimalform 22
Kapitel 3 23 Omkrets och area 24 Gamla areaenheter 26 Problemlösning 28 Undersök Tesselering 29 Tänk smart Dela upp figurer Tänk smart Area 32
51
Tiopotenser 54 Problemlösning 57 Funktioner 58 Problemlösning 60 Undersök Multiplikation 61 Tänk smart Stora tal 62
Kapitel 7 63
31
Kapitel 4 33 Logiskt tänkande 34 Japansk multiplikation 36 Problemlösning 38 Undersök Vinklar i månghörningar 40 Tänk smart Multiplikation och division 42
Koordinater 64 Babyloniernas talsystem 67 Problemlösning tid 68 Omkrets 70 Undersök Omkrets med mäthjul Tänk smart Tidsdifferenser 72
71
Kapitel 8 73 Samband mellan °F och °C 74 Lägesmått 76 Sannolikhet 77 Problemlösning 79 Undersök Magiska kvadrater 80 Tänk smart Lika tal 82
Ledtrådar 83 Facit 88
Matteutmaning B_inlay.indd 3
2023-03-10 13:52
Välkommen till Matteutmaning B Hoppas att du gillar utmaningar i matematik, för den här boken är fylld med kluriga och roliga uppgifter! Varje kapitel startar med ett antal frågor där du med hjälp av rätt svar kan bilda ett matematiskt ord. Sist i varje kapitel hittar du Undersök samt Tänk smart. På undersöksidorna finns aktiviteter där du får göra och pröva, och utifrån det dra slutsatser. Tänk smart-sidorna ger dig tips på användbara strategier för att lösa uppgifter med huvudräkning.
Arbeta strukturerat med textuppgifter Ha inte för bråttom när du ska lösa textuppgifter. Följ gärna en bestämd arbetsgång:
1 Läs hela uppgiften noga och berätta för dig själv vad som händer i uppgiften. 2 Ta reda på vad det frågas efter. 3 Läs en mening i taget och rita eller anteckna vad du får veta. Tänk på att rita enkelt. Exempelvis kan
representera tre hästar eller tre bilar.
4 Skriv lösningen på mattespråket och räkna ut svaret. 5 Reflektera över om svaret är rimligt innan du lämnar uppgiften. Är svaret orimligt så försök hitta felet. Är det ett räknefel? Är det ett tankefel?
Ledtrådar Hur noga man än läser så kan det vara svårt att veta hur man ska lösa en uppgift. Därför finns det ledtrådar till många av uppgifterna, som hjälper dig med hur du kan komma igång. Om symbolen L står framför uppgiftens nummer så finns det en ledtråd, till exempel ”Jämför streckgubben och ramen”. När du har läst ledtråden, så kanske du kommer på hur du kan lösa uppgiften.
Facit Med hjälp av facit kan du själv rätta dina uppgifter. Om ditt svar inte stämmer, så titta på din lösning och kontrollera om du har gjort något räknefel eller om du har tänkt på fel sätt. Blir det ändå inte rätt, så jämför med någon kamrat som har räknat samma uppgift. Tillsammans kan ni säkert komma fram till rätt svar. Du får alltså gärna arbeta tillsammans med en kamrat och resonera om uppgifterna. Vi hoppas att du ska lära dig mycket matematik, men framför allt att du ska tycka att det är roligt och spännande med matematik och bli ännu mer intresserad. Ingrid och Cecilia
4 Matteutmaning B_inlay.indd 4
2023-03-10 13:52
Kap tel 1 Sex mynt ligger så här. Ta ett av mynten och flytta det så att båda raderna, lodrätt och vågrätt, har fyra mynt. Du får bara flytta ett mynt.
Du får bara flytta ett mynt.
5 Matteutmaning B_inlay.indd 5
2023-03-10 13:52
Algebraiska uttryck L
1 a) Vilket av uttrycken visar figurens omkrets? A 6a
B 7a
C 9a
a a
D 10a
b) Hur lång är omkretsen om triangelns sida är 5 cm? c) Hur lång är sidan a om omkretsen är 126 cm? L
2 En ananas kostar a kr. Ett päron är 10 kr billigare. a) Skriv ett uttryck för vad frukterna på fatet kostar tillsammans. b) Hur mycket kostar de fyra frukterna om en ananas kostar 17 kr? c ) Hur mycket kostar en ananas om alla frukterna tillsammans kostar 40 kr? 3 En apelsin kostar a kr. Alla fyra frukterna kostar (4a + 6) kr. a) Hur mycket mer kostar en banan än en apelsin? b) Hur mycket kostar en banan om alla frukterna kostar 22 kr? 4 Spela Algebratoppen. a) Du behöver två tärningar. Skriv av protokollet. Spelet går ut på att få så många poäng som möjligt. Regler: Slå en röd (R) och en vit (V) tärning samtidigt. I vilket uttryck ger dessa tal mest poäng? I varje omgång väljer du på vilken rad du skriver in tärningstalen. Beräkna hur många poäng uttrycket ger. Efter sex slag är omgången klar. Räkna ut poängsumman. Subtrahera eventuella minuspoäng. Vilket är ditt rekord efter några omgångar? Om ni är två som spelar tillsammans, så turas om att slå.
L
Omgång 1
Omgång 2
Tärningstal Poäng Tärningstal 2R
R=V=
2V
R=V=
R=V=
2 (R − V)
R=V=
R=V=
2 (V − R)
R=V=
R=V=
Par
R=V=
R=V=
Tal i följd R = V =
R=V=
Summa poäng
Par ger 20 poäng
Tal i följd ger 12 poäng
b) Spela med två tärningar 0–9. Vilken är den högsta poäng du kan få?
6 • KAPITEL 1 Matteutmaning B_inlay.indd 6
2023-03-10 13:52
5 Tänk på ett valfritt heltal. Dubblera talet. Addera 10. Dividera med 2. Subtrahera det tal som du tänkte på från början.
Tänk på ett heltal.
a) Vilket tal har du nu? b) Gör samma beräkning fler gånger och pröva med talen 40, 27 och 120. Vilka sluttal får du? c ) Visa hur det blir om du skriver a för det tal du väljer från början. 6 a) En bakterie delar sig en gång var 20:e minut. Vid varje delning blir det dubbelt så många bakterier. Hur många bakterier finns det efter 3 timmar? L
b) Efter 4 timmar är det 4 096 bakterier. När var det hälften så många bakterier?
L
7 Antalet apelsiner som läggs i en låda fördubblas för varje minut. Efter 7 minuter är lådan full. a) När var lådan halvfull? b) När var lådan fylld till en fjärdedel? Tänk till nu!
KAPITEL 1 •
Matteutmaning B_inlay.indd 7
7
2023-03-10 13:52
Likheter L
8 Hur mycket väger kuben, klotet respektive cylindern i var och en av uppgifterna? Visa hur du löser uppgifterna. a) 15 kg
9 kg
A
B
C
b) 14 kg
12 kg
A
B
C
c) 22 kg
15 kg
A
B
C
d) 10 kg
A
B
C
e) 24 kg
A
B
C
8 • KAPITEL 1 Matteutmaning B_inlay.indd 8
2023-03-10 13:52
Ekvationer
Lös uppgifterna, både med och utan hjälp av ekvationer.
Vilket var enklast?
Tänk efter noga vad du ska välja som x, så att räknandet blir enkelt. Kontrollräkna sedan. L
9 I ett rum finns fyrbenta stolar och trebenta pallar. Det är totalt 16 sitsar och 58 ben. Hur många stolar och hur många pallar är det i rummet?
L
10 Det är fyra personer på ett foto. Lo är 42 år och dubbelt så gammal som Emre. Han är tre gånger så gammal som Noel och 5 år äldre än Farah. Hur gammal är varje person?
L
11 Tre systrar är 11 år tillsammans. Moa är dubbelt så gammal som Rut och 1 år yngre än Seval. Hur många år är var och en av systrarna?
L
12 Personerna A, B och C ska dela på 7 000 kr. B får dubbelt så mycket som A. C får 1 000 kr mer än A. Hur mycket får var och en?
L
13 En kanin åt 80 små morötter på fem dagar. Varje dag åt kaninen fyra morötter fler än dagen innan. Hur många morötter åt kaninen den första dagen?
Att använda ekvationer är ofta en smart metod.
KAPITEL 1 •
Matteutmaning B_inlay.indd 9
9
2023-03-10 13:52
Talföljder
Aritmetiska talföljder Vid alla aritmetiska talföljder gäller det att uppfatta mönstret, den regel som ger själva sambandet mellan talen. Pröva alltid att regeln stämmer på de givna talen innan du fortsätter en talföljd.
1
Skriv gärna ut skillnaden mellan talen:
6
7
6
13
6
19
Ibland ändras även skillnaden, den blir som en egen talföljd:
1
3
4
6
10
3
3
9
19
12
31
3
Om talen i en talföljd inte har något samband, så är talföljden inte aritmetisk:
1
9
13
73
14 Skriv av varje talföljd. Skriv regeln. Fortsätt talföljden. a) 3
20
37
54
Regel:
b) 1
3
7
13
Regel:
c) 1
2
5
10
17
L
d) 2
3
5
9
16
L
e) 1
4
13
33
69
Regel:
f ) Skriv två egna talföljder och regler för var och en.
FIBONACCISERIEN En välkänd talföljd är Fibonacciserien som matematikern Fibonacci presenterade i Liber Abaci ca år 1200. Det märkliga är att dessa tal kan avläsas i naturen, till exempel som antalet ”spiraler” i solrosor och tallkottar.
15 Lista ut regeln och fortsätt Fibonacciserien. 0
1
1
2
3
5
8
13
Regel:
10 • KAPITEL 1 Matteutmaning B_inlay.indd 10
2023-03-10 13:52
!
UNDERSÖK
16 a) Addera talen i den färgade "fyra-rutan" korsvis och jämför summorna. Välj andra ”fyra-rutor” i kalendern och gör samma sak. Vad upptäcker du?
?
b) Använd algebra för att visa att det här sambandet gäller för alla ”fyra-rutor”. Addera korsvis och jämför de två summorna.
4 ? a
en vecka senare
a+1
a+7 a+8
a+a+8=2a+8
5
(a + 1) + (a + 7) = 2 a + 8
+ ½ Visst är det smart att använda bokstäver!
Matteutmaning B_inlay.indd 11
Ti
Ons
Lö
Sö
1
2
To
Fre
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 20 21
5
22 23
24 25 26 27 28 29 30
dagen efter dagen efter en vecka senare
lika
Nu har du visat att det här sambandet gäller för alla ”fyra-rutor” i kalendern. Välj en ”fyra-ruta” och sätt in det lägsta talet i rutan för a i uttrycket 2a + 8. Kontrollräkna.
7
17 a) Utgå från en ”nio-ruta”. Kalla talet i mitten för a. Skriv uttrycken som saknas. Addera alla tal i rutan. Vilket uttryck får du för summan? Jämför med facit innan du räknar vidare.
=
b) Välj en ”nio-ruta” i kalendern, exempelvis: Vilken är summan av alla nio talen? Sätt in talet 15 för a i ditt uttryck ovan. Vilken summa får du? Pröva med andra ”nio-rutor”.
6
Må
4 L
KALENDER
?
Algebra
a–7
2 en vecka tidigare
a a+7
7
8
?
14
15
16
21
22
23
en vecka senare
9
KAPITEL 1 •
11
2023-03-10 13:52
Tänk smart
Dela upp olika
Eleverna A och B ska dela på 19 kr. B ska ha 5 kr mer än A. Hur mycket får var och en?
Lösning med ekvation: A får x kr B får (x + 5) kr
x + (x + 5) = 19 2 x = 14 x=7
Lösning genom att tänka ut: Hur många kronor ska delas lika?
19 – 5 = 14
Båda ska alltså ha 14 = 7 kr och B 5 kr mer.
2
A får 7 kr B får 7 kr + 5 kr = 12 kr
A får 7 kr B får 7 kr + 5 kr = 12 kr
Kontrollräkna: 7 kr + 12 kr = 19 kr
Kontrollräkna: 7 kr + 12 kr = 19 kr
Det var väl enkelt att tänka ut?
Jämför de två lösningarna ovan. Vilken är enklast att använda vid den här uppgiftstypen? Ekvationer är bra, men ibland är det enklare att tänka ut svaret.
18 Pröva nu att tänka ut svaren. a) Eleverna C och D ska dela på 29 kr. D ska ha 7 kr mer än C. Hur mycket får var och en?
b) Eleverna E och F ska dela på 530 kr. F ska ha 50 kr mer än E. Hur mycket får var och en?
c) I Centralskolan går 243 elever. Det är 17 fler elever på lågstadiet än på mellanstadiet. Hur många elever är det på lågstadiet och mellanstadiet?
d) Eleverna G, H och I ska dela på 660 kr. G ska ha 10 kr mer än H. I ska ha 20 kr mer än H. Hur mycket får var och en?
e) Skriv två liknande uppgifter och lös dem. Byt sedan uppgifter med en kamrat.
12 • KAPITEL 1 Matteutmaning B_inlay.indd 12
2023-03-10 13:52
LEDTRÅDAR
L
Kapitel 1 a) Cirklarnas diameter är a.
14 d)
2
3 1
e) 1
9
2
16
4
27
7
11
1
2
3
4
4
13
33
69
3
b) Sätt in värdet 5 för a i uttrycket.
5
9 6
2 Om en ananas kostar a kr, så kostar ett päron
20 11
5
36 16
5
126 57
21 5
(a – 10) kr.
4 b) Vid 2(R – V) är R = 9 och V = 0 maxpoäng på den raden, dvs 18 poäng.
6 b) Tänk på att antalet bakterier fördubblas var 20:e minut.
7 Tänk på att antalet apelsiner fördubblas för varje minut.
8 a) T ex våg B: Ta bort en cylinder på vardera + väger 9 kg. Jämför med sidan. våg A och bestäm vikten av . b) T ex våg A: Ta bort ett klot på vardera + väger 12 kg. Jämför med sidan, våg B. Bestäm . c) T ex jämför vågarna A och C: Vad väger ? d) T ex jämför vågarna A och C: Vad väger ? e) T ex jämför vågarna A och C: Hur många väger ? Ta bort ett på var sida av väger ? Byt ut våg A. Hur många och mot på våg B. Bestäm .
9 Sätt x för antalet stolar. Antalet pallar blir då (16 − x).
10 Sätt x för Farahs ålder. Noel är då (x + 5) år. Emre är 3(x + 5) år. Lo är 2 ∙ 3(x + 5), vilket är 42 år.
11 Sätt x för Ruts ålder. Moa är då 2x år och Seval är (2x + 1) år.
12 Antag att A får x kr. B får då 2x och C får (x + 1 000) kr.
13 Antag att kaninen äter x morötter den första dagen. Den äter då: dag 2 (x + 4) morötter dag 3 (x + 8) morötter dag 4 (x + 12) morötter dag 5 (x + 16) morötter
17 a)
a–8
a–7
a–6
a–1
a
a+1
a+6
a+7
a+8
Räkna ut summan av alla talen.
Kapitel 2 Det röda talet i varje figur är bildat av de tre svarta efter en viss regel. a) Subtrahera de två udda talen från det jämna talet. b) Multiplicera de två udda talen. Subtrahera det jämna talet från produkten.
5 Börja bakifrån. Vilket tal adderat med 4 är 10? osv.
6 Det är lättare att räkna med 100 än med 97. Hur mycket skulle du betalat om mobilskalen kostat 100 kr/st? Hur mycket mer blir det för varje mobilskal?
7 a) 7 ∙ 100 – 7 ∙ 1 = 700 – 7 b) 3 ∙ 200 – 3 ∙ 2 = 600 – 6
13 a) Välj samma enhet, kr. Använd innehållsdivision. c) A. Innehållsdivision: Hur många 7 l innehåller 112 l? 112 l Täljare och nämnare 7l har samma enhet. B. Delningsdivision: De 7 pojkarna delar lika på bären. 112 l 7 d) Innehållsdivision: T ex En påse innehåller bara 5-kronor. Hur många 5-kronor är det om värdet är 85 kr. Delningsdivision: T ex Fem elever delar lika på 85 kr. Hur mycket får var och en?
LEDTRÅDAR •
Matteutmaning B_inlay.indd 83
83
2023-03-10 13:54
Matteutmaning är för alla elever som vill ha kluriga och roliga utmaningar i matematik. Här finns uppgifter som stimulerar logiskt tänkande, undersökande aktiviteter, tips på smart huvudräkning och historiska tillbakablickar där man får pröva på att räkna som förr i tiden. Längst bak i boken finns ledtrådar om eleverna behöver hjälp med hur de ska komma i gång och facit som förklarar lösningar. Uppmuntra gärna eleverna att arbeta tillsammans, då det lockar fram viktiga matematiska resonemang kring uppgifterna. Matteutmaning ger eleverna möjlighet att få tänka matematiskt men framför allt få dem att uppleva att matematik är spännande och roligt!
Matteutmaning
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
Matteutmaning B
Matteutmaning B
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
åk 4–6
B
I serien finns böckerna:
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
A
Matteutmaning åk 4–6
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
B
Matteutmaning C
åk 4–6
Matteutmaning B
Matteutmaning A
Matteutmaning
Matteutmaning åk 4–6
Logiskt tänkande och smart huvudräkning
012
01
23
45
67
C 3 456
789
89
01
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
23
45
67
01 89
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
23
45
67
89
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
ISBN 978-91-27-46383-7
Ingrid Olsson • Cecilia Johansson
9 789127 463837
Matteutmaning B_cover_ny.indd Alla sidor
2023-03-10 13:40