Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 2a Röd är anpassad för samtliga yrkesprogram.
Matematik
2a
5000
5000
2a
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Teman gör undervisningen relevant för karaktärsämnen och yrkesliv Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Aktivitet och Historik bidrar till en varierad undervisning Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46269-4
9 789127 462694
M5000Plus_2a röd_Omslag_2201014.indd 1-3
2a
2022-10-14 14:51
Varje kapitel har följande innehåll och struktur KAPITELSTART I början av varje kapitel presenteras de delar av kursens Centrala innehåll som ingår i kapitlet. En kort och förenklad beskrivning av detta ges i Med andra ord.
Centralt innehåll Med andra ord
Inledande aktivitet
Den inledande aktiviteten är tänkt som en start på kapitlets första lektion.
TEORI OCH LÖSTA UPPGIFTER Lösning av ekvationssystem Linn och Alice har var sin ryggsäck som handbagage när de flyger. Vid incheckningen vägs handbagaget. Deras ryggsäckar väger tillsammans 13 kg. Skillnaden i vikt är 3 kg. Hur mycket väger deras ryggsäckar?
Avgör om funktionen y = x – 3x2 + 5 har en maximieller minimipunkt. Motivera. Grafen har en maximipunkt. Motivering: x2-termens koefficient är negativ.
3202
REPETITIONSUPPGIFTER 3202
2
Avgör om funktionen y = x – 3x + 5 har en maximi- eller minimipunkt. Motivera.
ÖVNINGSUPPGIFTER 2423 Lös ekvationen x2 – 8x + 12 = 0 med lösningsformeln och kontrollera att din lösning är korrekt. 2427 Lös ekvationerna algebraiskt. a) x2 – 6x + 34 = 125 2
b) x = 123x – 1 026 c) 2x 2 – 14,5x + 30 = x 2
SVAR
4
00_Kurs 2a_Kap 0_221014.indd 4
Teorin är skriven så att du ska kunna upptäcka och förstå matematiken.
Det viktigaste i teorin belyses med en eller flera lösta uppgifter. I dessa finns ofta en förklarande text.
I slutet av boken finns repetitionsuppgifter. De är identiska med bokens lösta uppgifter.
Övningsuppgifterna i boken är indelade i tre nivåer som är markerade med 1 2 3 . Nivåerna är inte kopplade till betygsstegen, men de visar en ökad svårighetsgrad. Nivå 1 är den enklaste nivån.
Uppgifter med en ram runt uppgiftsnumret får du lösa med hjälp av ett digitalt verktyg (räknare/dator). Uppgifter som saknar ram ska du försöka lösa utan digitalt verktyg. Algebraisk lösning betyder att du får använda ett numeriskt verktyg, men inte ett grafritande eller ekvationslösande.
I slutet av boken finns svar till alla uppgifter. Till en del uppgifter finns även en motivering, ledtråd eller lösning.
2022-10-14 14:34
VARIATION I UNDERVISNINGEN För att variera undervisningen och för att utveckla dina matematiska förmågor varvas bokens teoriavsnitt med olika aktiviteter. Till vissa aktiviteter behöver du digitala verktyg som t.ex. GeoGebra, Excel eller liknande.
Aktivitet Hur lång är en vit böna?
Teman i denna bok har teori och uppgifter som främst är kopplade till yrkesliv och programmens olika karaktärsämnen.
Tema Tillväxtkurvor
Historik Ekvationer och lösningsformler
KAPITELSLUT
Sant eller falskt? Sammanfattning 4 Kan du det här? BEGREPP
Blandade övningar 4 Blandade övningar 1–4
00_Kurs 2a_Kap 0_221014.indd 5
Sant eller falskt är en aktivitet som är tänkt att genomföras i par eller grupp. Här får du träna din resonemangs- och kommunikationsförmåga.
Här finns en kort sammanfattning av kapitlets viktigaste innehåll.
Kan du det här? är en lista med viktiga begrepp och procedurer som du behöver kunna.
PROCEDUR
Testa dig själv 4
I historiken med tillhörande uppgifter sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
Här kan du testa dig själv och dina grundläggande kunskaper med hjälp av uppgifter som testar kapitlets viktigaste begrepp och procedurer.
Blandade övningar finns i två varianter. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
5
2022-10-14 14:34
Innehåll 1. Algebra och linjära samband 8 Inledande aktivitet: Negativa tal och prioriteringsregler 9
1.1 Repetition 10 Negativa tal och prioriteringsregler 10 Beräkningar med tal i bråkform 13 Historik: Historiska bråk 15 Algebraiska uttryck 16 Ekvationer 20 Ekvationer med digitala verktyg 24 Aktivitet: Räta linjer med grafritande verktyg 26
1.2 Räta linjens ekvation 27 Inledning 27 Avläsa k-värde och m-värde 29 Beräkna k-värdet och rita linjer 34 Bestäm räta linjens ekvation 38 Parallella linjer 41 Olika former för räta linjens ekvation 43
1.3 Linjära ekvationssystem 46 Lösning av ekvationssystem 46 Substitutionsmetoden 50 Additionsmetoden 53 Tillämpningar och problemlösning 56 Några speciella ekvationssystem 60 Tema: Nollpunktsanalys 62 Tema: Utbud och efterfrågan 65 Tema: Kroppslängd 68 Tema: Lyftkraft och flygplan 70 Tema: Nu är det NOG 72 Aktivitet: Sant eller falskt? 74 Sammanfattning 1 75 Kan du det här? 76 Testa dig själv 1 77 Blandade övningar 1 78
6
00_Kurs 2a_Kap 0_221014.indd 6
2. Algebra och icke-linjära modeller 82 Inledande aktivitet: Vika papper 86
2.1 Potenser 84 Potenslagar 84 Exponenten noll och negativa exponenter 88 Aktivitet: Vilka är lika? 91 Mer om potenser och potenslagar 92
2.2 Potensekvationer 94 Kvadratrötter och ekvationen x2 = a 94 Repetition – förändringsfaktor 98 Potensekvationen xn = a 100 Ekvationslösning med digitalt verktyg 104
2.3 Uttryck med parenteser 106 Repetition – multiplikation av uttryck 106 Aktivitet: Konjugat- och kvadreringsreglerna 109 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 110 Mer om konjugat- och kvadreringsreglerna 112 Faktorisera 114
2.4 Andragradsekvationer 116 Enkla andragradsekvationer 116 En lösningsformel 120 Mer om andragradsekvationer 123 Tillämpningar och problemlösning 126 Historik: Ekvationer och lösningsformler 128
2.5 Geometri 130 Pythagoras sats 130 Beräkningar i koordinatsystem 134 Tema: Potenser 137 Tema: Konstruktioner med given area eller volym 138 Tema: Räta vinklar 140 Tema: Impedans 142 Tema: Poängberäkning 144 Aktivitet: Sant eller falskt? 147 Sammanfattning 2 148 Kan du det här? 150 Testa dig själv 2 151 Blandade övningar 2 152 Blandade övningar 1–2 154
INNEHÅLL
2022-10-14 14:34
3. Funktioner 158 Inledande aktivitet: Funktioner och grafer 159
3.1 Linjära funktioner 160 Funktionsbegreppet och skrivsättet f(x) 160 Bestämning av linjära funktioner 163 Aktivitet: Andragradsfunktioner 167
3.2 Andragradsfunktioner 168 Andragradsfunktionens graf 168 Andragradsfunktionens största eller minsta värde 173 Aktivitet: Rektanglar med en given omkrets 178 Problemlösning 179
3.3 Exponential- och potensekationer 183 Repetition – exponentialfunktioner 183 Potensfunktioner 186 Aktivitet: Para ihop formel och graf 190 Exponentialekvationer och potensekvationer 191 Tema: Termosen 194 Tema: Radioaktiva pärlor 195 Tillämpningar och problemlösning 196 Tema: Åldersbestämning med kol-14 200 Tema: Funktioner 202 Tema: Kondensatorn 203 Tema: Blodtryck 206 Tema: Oscilloskop 208 Aktivitet: Sant eller falskt? 210 Sammanfattning 3 211 Kan du det här? 212 Testa dig själv 3 213 Blandade övningar 3 214 Blandade övningar 1–3 217
INNEHÅLL
00_Kurs 2a_Kap 0_221014.indd 7
4. Statistik 220 Inledande aktivitet: Presentera data 221
4.1 Lägesmått och spridningsmått 222 Medelvärde, median och typvärde 222 Kvartiler och percentiler 226 Aktivitet: Vindhastigheter och snödjup 231 Lådagram 232 Standardavvikelse 238 Aktivitet: Hur lång är en vit böna? 241
4.2 Normalfördelning 242 Normalfördelat material 242 Tema: Tillväxtkurvor 246 Tema: Koniska kullager 249 Tema: Processtyrning 252 Aktivitet: Sant eller falskt? 254 Sammanfattning 4 255 Kan du det här? 256 Testa dig själv 4 257 Blandade övningar 4 258 Blandade övningar 1–4 260
Repetitionsuppgifter 266 Svar, ledtrådar och lösningar 272 Register 318
7
2022-10-14 14:34
1
ALGEBRA OCH LINJÄRA SAMBAND Algebra är ett fantastiskt redskap som används inom de flesta grenar i matematiken men även i många andra ämnen. Med hjälp av algebra kan vi bland annat lösa ekvationer och beskriva matematiska regler, lagar och samband.
Centralt innehåll
Med andra ord
• Räta linjens ekvation.
Vi börjar med en repetition av räkneregler, bråkräkning, algebraiska uttryck och ekvationer.
• Begreppet linjärt ekvationssystem. • Metoder för att lösa linjära ekvationssystem. • Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i yrkes- och samhällsliv.
Vi arbetar sedan med räta linjens ekvation. Du får utveckla dina kunskaper från kurs 1 om linjära grafer och om egenskaper hos linjära samband. Kapitlet avslutas med linjära ekvationssystem, dvs. flera ekvationer som hör ihop. Här får du lära dig att lösa ekvationssystem både grafiskt och algebraiskt.
8
2a kap 1_221014.indd 8
2022-10-14 14:17
Inledande aktivitet NEGATIVA TAL OCH PRIORITERINGSREGLER Arbeta tillsammans två och två. Använd fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna. 1 Välj två av lapparna och lägg dem så att a) summan blir så stor som möjligt b) differensen blir så stor som möjligt c) produkten blir så stor som möjligt d) kvoten blir så stor som möjligt. 2 Välj två av lapparna och lägg dem så att summan respektive produkten blir så liten som möjligt.
–5
3 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen ∙
+
∙
–3
2
4
4 Beräkna värdet på uttrycken B x2 – y
blir så
A x + 6y
a) stort som möjligt
a) då x = 2 och y = 4
b) litet som möjligt.
b) då x = –3 och y = –5.
9
2a kap 1_221014.indd 9
2022-10-14 14:17
1.1 Repetition Negativa tal och prioriteringsregler Vi börjar med att repetera regler för beräkningar med negativa tal. 1 Addition och subtraktion –5 + 7 = 2
–6
Vi startar vid talet –5 och går 7 steg åt höger.
–5
–4
–1 – 3 = –4
–6
–3
–2
–1
0
1
3
2
Vi startar vid talet –1 och går 3 steg åt vänster.
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 – (–3) = 4 + 3 = 7
Tecknen – (–) intill varandra ersätts med +
4 + (–3) = 4 – 3 = 1
Tecknen + (–) intill varandra ersätts med –
2 Multiplikation 7 · (–3) = (–7) · 3 = –21
Olika tecken på två faktorer ger negativ produkt.
(–7) · (–3) = 21
Lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.
3 Division 45 45 = = –5 −9 9
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot.
−45 =5 −9
Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
Vi sammanfattar reglerna:
Räkneregler för negativa tal
10
2a kap 1_221014.indd 10
Addition och subtraktion Multiplikation Division −a a a a + (–b) = a – b a · (–b) = (–a) · b = –ab = =– b b −b −a a a – (–b) = a + b (–a) · (–b) = ab = −b b
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:17
Vid beräkningar med flera räknesätt använder vi prioriteringsreglerna, som anger i vilken ordning vi ska räkna.
Prioriteringsreglerna
1101
1
Först beräknas uttryck inuti parenteser.
2
Därefter potenser (upphöjt till).
3
Sedan multiplikationer och divisioner.
4
Till sist additioner och subtraktioner.
Beräkna a) 5 – 9 c) –25 – (–50) b) 9 – 4 + 2
1102
d) 16 + (–9)
a) 5 – 9 = –4 c) –25 – (–50) = = –25 + 50 = 25
Tecknen – (–) ersätts med +
b) 9 – 4 + 2 = 7 d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7
Tecknen + (–) ersätts med –
Beräkna a) –3 + 5 ∙ 2 – 1
b) 6 + 2(1 – 5)
a) –3 + 5 ∙ 2 – 1 = = –3 + 10 – 1 =
c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 d)
4 ( 5) 1 3
Först multiplikation Därefter addition och subtraktion
=7–1=6 b) 6 + 2(1 – 5) = = 6 + 2 ∙ (–4) =
Först parentesen Därefter multiplikation
= 6 – 8 = –2 c) 4 – (–5) + 2 ∙ 32 =
Först potensen, 32 = 3 ∙ 3 = 9
= 4 – (– 5) + 2 ∙ 9 =
Sedan multiplikationen
= 4 – (–5) + 18 =
Därefter subtraktion: – (–) ersätts med +
= 4 + 5 + 18 = 27 d)
1.1 REPETITION
2a kap 1_221014.indd 11
4 ( 5) 20 = = 10 2 1 3
Uttrycken i täljaren och nämnaren beräknas först.
11
2022-10-14 14:17
1 1110 Beräkna
Beräkna 1103–1107
a) 32 + 2 ∙ 3 + 1
1103 a) 5 – 8 c) –3 – 12
b) 2 ∙ 42 – 5 ∙ 4 + 2
b) –7 + 2 d) –5 + 9
c) (–2)2 + 4 ∙ (–2) + 5 d) (–1)2 + 3 ∙ (–1) – 2
1104 a) 7 + (–3) c) –8 + (–2) b) 5 – (–4) d) –3 – (–9) 1105 a) 4 ∙ (–3) c) (–4) ∙ (–5) b)
1111 Nicole ska beräkna 15 – 2 ∙ (–3)2 och skriver (–3) ∙ (–3) = 9 ∙ 2 = 18 15 – 18 = –3
−15 −24 d) 3 −6
a) Är svaret –3 korrekt?
1106 a) 8 – 6 ∙ 2 d) 3 ∙ (4 – 5)
b) Nicoles beräkning är inte korrekt. Vad i beräkningen är felaktigt?
b) 16 – 6 + 4 e) (–3) ∙ (–2) ∙ (–4) c) 5 – 2 ∙ (–4) f) 8 – 2(3 – 7) 8 − (−4) 1107 a) 9 ( 6) c) −7 − (−1) 7 2 b)
−5 − (−7) −10 − 6 d) 1 − (−1) −5 − (−3)
1108 Beräkna a) 2,97 – (–1,68) b)
c) 3,5 ∙ (–26)
5, 7 − 1, 2 117 − 265 d) −2, 2 − 3, 8 4
1109 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är +38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C. Hur stor är temperaturdifferensen?
2
c) Visa en korrekt beräkning.
1112 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 18 –
= 30
b) 16 –
· 5 = –4 35 = –3 c) – 8 –
1113 Beräkna (−24) + 12 – (–4) ∙ 3 2 (−6) 18 b) +5∙ 2 (−3)2 a) –
1114 Hur ändras värdet av uttrycket 5 – 2 ∙ (1 – 4) – 32 om parentesen tas bort? 1115 Beräkna a) 14 – 32 – 4 ∙ 2 b) 14 + (–3)2 – 4 ∙ (–2) c) 14 – (–3)2 – 4 ∙ (–2)3 d) 14 + (–3)2 + (–2)3 Kontrollera dina svar med räknare.
* E n ram runt uppgiftens nummer, t.ex. 1108 , betyder att du får använda digitalt verktyg när du ska lösa uppgiften.
12
2a kap 1_221014.indd 12
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:17
Historik Historiska bråk Människan har länge haft ett behov av att kunna beskriva andelar och förhållanden. Historiska fynd visar att många äldre kulturer har skrivit och använt bråk men på olika sätt. En av de äldsta, bevarade matematiktexterna är den cirka 4 000 år gamla Rhindpapyrusen. Den är en drygt 5 m lång papyrusrulle som är en handbok i matematik. Den visar att man skrev och använde så kallade stambråk i dåtidens Egypten. Ett stambråk är ett bråk där täljaren är 1. Exempel 1 Anta att 7 personer ska dela på 4 bröd. Hur mycket får var
och en?
Idag skulle vi säga att de får 4/7 var. Men i det gamla Egypten skulle man för 4 000 år sedan ha löst problemet genom att först dela bröden i halvor och ge varje person ett halvt bröd var. Den åttonde halvan skulle man därefter ha delat i sju bitar så att varje person fick ytterligare en sjundedel av den åttonde halvan, dvs. en fjortondel.
På samma sätt kan vi dela upp 4/7 i två stambråk. 4 1 1 = + 7 2 14 Exempel 2 Omkring år 500 skrev man i Indien bråk med täljare
och nämnare, men utan bråkstreck. Bråken skrevs ofta tillsammans med ett heltal. Man har gjort historiska fynd med tabeller där bråk beskrivs så här: 3 5 7 1 2 –1 6 3 4
1 Beskriv med två stambråk hur mycket bröd var och en får om 10 personer delar på a) 6 bröd b) 7 bröd c) 3 bröd.
1.1 REPETITION
2a kap 1_221014.indd 15
(
)
3 1 2 −1 Översatt till dagens bråk blir det 3 , 5 och 7 =6 . 4 4 6 3
2 Talen är skrivna på gammalt indiskt vis med heltal och bråk. 3 2 5 4 –1 3 5 2 10 Beräkna och skriv resultatet på gammalt indiskt vis a) differensen av det största och minsta talet b) summan av alla tre talen.
15
2022-10-14 14:17
Aktivitet Räta linjer med grafritande verktyg I den här aktiviteten ska du undersöka graferna till några olika funktioner som alla är skrivna på formen y = kx + m där k och m är konstanter. Syftet är att du ska se sambanden mellan grafens utseende och formeln för olika värden på k och m. Materiel: Grafritande verktyg
1 Vilket värde har konstanten k och vilket värde har konstanten m i följande formler? a) y = 3x – 1
3 Avläs först värdet på konstanterna k och m och beskriv sedan grafen med en formel av typen y = kx + m. Kontrollera om du har rätt formel genom att skriva in den i ditt grafritande verktyg.
b) y = –4x + 6 c) y = 4 + 2x d) y = 3 – x
a)
b)
y
c)
8
2 Undersök hur ditt grafritande verktyg fungerar. Rita sedan de tre funktionerna i a)–d) i samma koordinatsystem.
6 5
Besvara därefter följande frågor:
4
• Vilka likheter finns mellan de tre graferna?
3 2
• Vilka likheter finns mellan de tre formlerna? • Var på grafen kan du avläsa värdet på m? a) y = x + 3 y = 2x + 3 y = 3x + 3
d)
7
1 x
‒4
‒3
‒2
‒1 0
1
2
3
4
5
6
‒1
y
e)
f)
g)
h)
i)
y
j)
b) y = x – 2 y = 2x – 2 y = 3x – 2
9
5
8
4
7
3
c) y = 2x y = 2x + 3 y = 2x – 1
6
2
5
1
d) y = –2x y = –2x + 3 y = –2x – 1
3
‒1
2
‒2
x
4
‒2
x
26
2a kap 1_221014.indd 26
‒1 0
1
2
3
‒3
1 ‒2
‒1 0
1
2
3
‒4
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:18
1.2 Räta linjens ekvation Inledning Exempel
Vi visar graferna till några linjära samband. y = 3x – 1
y=x+2
y
y = 3 – 2x y
y
1
1
x
x
1
x 1
1
1
Graferna är räta linjer. Man kan se sambanden som en ekvation med två variabler x och y.
Räta linjens ekvation
Det linjära sambandet y = kx + m där k och m är konstanter, kallas räta linjens ekvation. Grafen är en rät linje. I exempel ovan gäller y = 3x – 1 y=x+2 y = 3 – 2x
k=3 k=1 k = –2
m = –1 m=2 m=3
Vi tittar närmare på två specialfall av räta linjens ekvation. 1 y = kx + m och m = 0 ger y = kx y är proportionell mot x. Grafen går genom origo, punkten (0,0). T.ex: y = 4x y=x y = 0,5x y
2 y = kx + m och k = 0 ger y=m Grafen är horisontell. T.ex: y=3 y=1 y = –2
y
y = 4x
y=3
y=x 1 y = 0,5x x
1
y=1
x
1 y = –2
1
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2a kap 1_221014.indd 27
27
2022-10-14 14:18
1201
Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m. Ange konstanterna k och m om a) y = 3x – 1 c) y = 5 b) y = –2x d) y = 8 – x
1202
a) k = 3, m = –1
c) k = 0, m = 5
b) k = –2, m = 0
d) k = –1, m = 8
Skriv räta linjens ekvation y = kx+ m om a) k = 0,5 och m = 0
b) m = 20 och k = 10
a) y = 0,5x eller y = x/2 b) y = 10x + 20 eller y = 20 + 10x
1 1203 Räta linjens ekvation kan skrivas y = kx + m. Ange konstanterna k och m om
1207 Vilken eller vilka av ekvationerna A–E beskriver en rät linje y = kx + m a) där y är proportionell mot x
a) y = 7x + 5 c) y = –6x + 1
b) där k = 2
b) y = 8x – 6 d) y = 5 – 9x
c) som är horisontell
1204 Ange konstanterna k och m för följande räta linjer.
d) som går genom punkten (1, 3)? A y = 2x – 5 D y = –5x
a) y = 4x c) y = x – 1
B y = 2x E y = 5 – 2x
b) y = 10 d) y = –2x 1205 Skriv räta linjens ekvation om a) k = 3 och m = 7
C y=2 1208 Ange konstanterna k och m för följande räta linjer.
b) k = 0 och m = 2 c) k = –3 och m =0 d) k = 0,25 och m = –1 1206 Höjden, y cm, av en planta kan under en växtperiod beskrivas med formeln y = 4,5 + 0,5x, där x är tiden i dygn efter plantering. a) Hur hög var plantan när den planterades, vid tiden x = 0? b) Bestäm m-värdet.
28
2a kap 1_221014.indd 28
2
a) y + 1 = 4x b) y + 2x = 5
1209 Jonte påstår att de två räta linjerna 3x + 2 y = 0,75x + 0,5 och y = 4 har samma k- och m-värden. Har han rätt? Förklara. 1210 Ange konstanterna k och m för följande räta linjer. a) y = 3(x + 2)
c) Hur mycket växte plantan första dygnet?
b) y = 4(5 – 2x)
d) Bestäm k-värdet.
c) y = a(bx + c) algebra och linjära samband
2022-10-14 14:18
Avläsa k-värde och m-värde I räta linjens ekvation, y = kx + m, kan variablerna x och y stå för både positiva och negativa tal. Exempel 1
Vi ritar tre linjer med samma k-värde men med olika m-värde. y = 2 x – 4 y = 2 x + 1 y = 2 x + 3
y 4
k = 2 och m = –4 k = 2 och m = 1 k = 2 och m = 3
I den punkt där linjen skär y-axeln är x = 0.
2 x –2
2
Om x = 0 kan y = kx + m skrivas y = k · 0 + m. Vi får y = m. m-värdet Exempel 2
4
–2 –4
m-värdet är detsamma som y-värdet där linjen skär y-axeln. Vi undersöker hur y-värdet ändras då x-värdet ökar med 1 för linjer med olika k-värden. a) y = 3 x + 1
k = 3 och m = 1
+1
+1
x
0
1
2
3
y
1
4
7
10
+3
y
+3
1
+3
x 1
Om x-värdet ökar med 1, ökar y-värdet med 3. Linjen stiger. b) y = –2 x + 5 k = –2 och m = 5 +1
1 steg åt höger 3 steg uppåt k=3
+1
+1
y
1 steg åt höger 2 steg nedåt k = –2
+1 5
x
0
1
2
3
y
5
3
1
−1
–2
–2
–2
Om x-värdet ökar med 1, minskar y-värdet med 2. Linjen faller. k-värdet
x 1
k-värdet är ett mått på linjens lutning och anger hur mycket linjen stiger eller faller för varje enhet vi går åt höger i x-led.
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2a kap 1_221014.indd 29
1
29
2022-10-14 14:18
Vi studerar några exempel på linjer med olika lutning. positiv lutning
y
Figuren visar tre linjer med positiv lutning. När x ökar så ökar y-värdet. k-värdet är positivt. Vi kan säga att linjerna stiger.
negativ lutning
1
x 1
Figuren visar tre linjer med negativ lutning.
y
Om x ökar så minskar y-värdet. k-värdet är negativt. Vi kan säga att linjerna faller.
1
x 1
Den röda linjen i figuren är parallell med x-axeln. Den är vågrät (horisontell). lutningen noll
För en sådan linje gäller att lutningen är noll, k = 0. När x ökar är y konstant. Linjen i figuren beskrivs av ekvationen y = 3.
1211
x=2
1
Den blå linjen i figuren är parallell med y-axeln. Den är lodrät (vertikal). saknar lutning
y
y=3
x 1
En sådan linje saknar lutning, den saknar k-värde. Linjen i figuren beskrivs av ekvationen x = 2. Den kan inte skrivas på formen y = kx + m. a) Rita en linje som går genom punkten (0, 6) och har lutningen –2. b) Bestäm linjens ekvation. a) Vi utgår från punkten (0, 6), går 1 steg åt höger och 2 steg ner och ritar där en punkt. Vi upprepar proceduren flera gånger.
y 5
Sedan drar vi en rät linje genom punkterna. b) Vi avläser skärningen med y-axeln för att få fram m-värdet. m=6 Lutningen –2 betyder att k = –2.
1
x 1
5
Svar: y = 6 – 2x eller y = –2x + 6
30
2a kap 1_221014.indd 30
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:18
1212
Se grafen i figuren.
12 10 8 6 4 2
a) Ange linjens ekvation. b) Bestäm y-värdet i punkten där x = 10.
y
x 1
a) Vi avläser linjens skärningspunkt med y-axeln till (0, 2), vilket ger m = 2.
12 10 8 6 4 2
För varje steg vi går åt höger i x-led ökar y-värdet med 4, vilket ger k = 4. Svar: Linjens ekvation kan skrivas y = 4x + 2.
2
3
y
+4 +1 +4 +1 +4 x
+1 1
2
3
b) Vi sätter in x = 10 i y = 4x + 2 vilket ger y = 4 · 10 + 2 = 42 Svar: y = 42
1 1213 Vilken eller vilka av linjerna A–F har b) negativ lutning
b) linjens ekvation
c) lutningen noll?
8 7
y
F
C
A
1
c) y-värdet i punkten där x = 10.
E
x 1
B
1215 Bestäm
6
a) linjens m-värde och k-värde
5 4
b) linjens ekvation
3
D
2 1
c) x-värdet i punkten där y = 25.
y
1
x 1
x 1
2
3
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2a kap 1_221014.indd 31
y
a) linjens m-värde och k-värde
a) positiv lutning
9
1214 Bestäm
4
5
6
7
8
31
2022-10-14 14:18
1216 Rita en linje som går genom punkten
1222 a) Para ihop graferna I, II, III och IV med rätt ekvation.
a) (1, 4) och har negativ lutning
I
b) (–1, 3) och har positiv lutning
III
y
c) (3, –2) och har lutningen noll.
1
y
x 1
1217 En linje går genom punkten (1, –2).
1
Rita linjen om
x 1
a) k = 1 c) k = –3 b) k = 4 d) k = 0
II
IV
y
1218 Avgör om linjen stiger eller faller när x-värdet ökar.
1
a) y = –3x + 2 c) y = –4 – x
y
x
1
1
1
b) y = –4 + x d) y = –5 Motivera.
x
x x + 2 D y = 2 2 B y = 2 x + 2 E y = 2 – 2 x A y=
1219 Vilken linje har
y A
B
C
a) störst k-värde
C y = 2 – 0,5 x F y = 2 x – 2
b) minst k-värde
D
c) störst m-värde?
x
b) R ita graferna till de två ekvationer som blev över i a). c) Kontrollera genom att rita graferna med ett digitalt verktyg.
1220 Vilka siffror ska stå i rutorna?
y
1223 Bestäm ekvationen för
4
a) linje L1 b) linje L2
3 y=
x+
y=
y=
300
1
x +
y
2
x
‒2
‒1 0 ‒1
x 1
2
3
100 50
y = x2 y = 3x + 1 x y = –5 y = 2
L2 L1
150
‒3
y = 5 – 2x y = x
2a kap 1_221014.indd 32
200
‒2
1221 Vilken eller vilka av följande samband har en graf som är en rät linje?
32
250
–2
x 2
4
6
8
1224 Förklara vad det betyder för linjen att ekvationen y = kx + m har k = 3 och m = –2.
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:18
2 1225 Värdetabellen beskriver en rät linje y = kx + m. x
0
1
2
3
y
−3
−5
−7
−9
1229 Figuren visar en rät linje y = kx + m. Använd den för att bestämma a) y när x = 35 b) x när y = 140. y
a) Bestän m.
40
b) Bestäm lutningen k.
30
c) Vilken är ekvationen?
20
1226 Bestäm ekvationen för en rät linje genom origo och punkten
10 x
a) (1, 3) c) (3, –12)
10 20 30 40 50
b) (2, 10) d) (–1, –2)
–10
1227 Linjerna har k-värdena –3, 0, 1/2, 1 och 5. En linje saknar k-värde. Tilldela varje linje rätt k-värde. y
1230 En rät linje går genom punkten (–2, 3). Vilken/vilka av punkterna (3, 4), (1, 1), (–3, 2), (–5, 3) och (–2, 5) kan ligga på linjen om
y f
c
a) k är ett positivt tal b
e
a d
x
b) k är ett negativt tal c) k = 0
x
3 1228
y
A
d) linjen saknar lutning?
1231 För en rät linje y = kx + m gäller: ◗ k-värdet är två mer än m-värdet
4
◗ y = 3 när x = 4 2
B
Bestäm linjens ekvation.
C x
–2
2
4
–2
Ange ekvationen för en rät linje som går genom punkterna
1232 Sant eller falskt? a) En linje som går genom origo och punkten (2, a) har samma lutning som en linje som går genom origo och punkten (4, 2a).
a) A och B
b) En linje som går genom origo och punkten (b, 3) har större lutning än en linje som går genom origo och (–b, –4).
b) A och C
Motivera dina svar.
c) B och C.
1.2 RÄTA LINJENS EKVATION
2a kap 1_221014.indd 33
33
2022-10-14 14:18
Tema
Kroppslängd Bestämning av kroppslängden har stor betydelse för att kunna bedöma en persons tillväxt, hälsa och välmående. Om en person inte har möjlighet att stå upp, exempelvis på grund av funktionshinder, ryggradsdeformationer eller muskelsvaghet, kan kroppslängden uppskattas genom att mäta armbågsbenets längd. Kroppslängden i cm kan beräknas med de linjära sambanden:
Armbågsbenets längd
L = 2,77a + 95,6 (1) L = 3,60a + 79,2 (2) där ekvation (1) är kroppslängden för kvinnor, ekvation (2) kroppslängden för män och a är armbågsbenets längd i cm. Exempel
Linjen i figuren visar sambandet mellan kroppslängd och armbågsbenets längd för män.
cm
L kroppslängd
200
Falak mäter armbågsbenet på en manlig patient till 28 cm.
180
Hon kan bestämma patientens kroppslängd genom att:
140
◗ avläsa L-värdet i figuren där a = 28. L = 180 cm
100
160 120 80 60
◗ använda tabellen nedan och avläsa kroppslängden när armbågsbenet är 28 cm.
40 20
◗ använda formeln och beräkna L då a = 28. Patientens kroppslängd är 180 cm.
a 4
8 12 16 20 24 28 32 36 cm
Uppskattning av kroppslängd utifrån armbågsbenets längd Armbågsbenets längd (cm)
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Män
Kroppslängd (cm)
148
151
155
158
162
166
169
173
176
180
184
187
191
194
Kvinnor
Kroppslängd (cm)
148
151
154
156
159
162
165
168
170
173
176
179
181
184
68
2a kap 1_221014.indd 68
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:19
Tema 1 Aron ska utreda om en funktionshindrad kvinna får i sig tillräckligt med näring och måste därför bestämma hennes längd.
5
Aron mäter kvinnans armbågsben till 26 cm. Bestäm kvinnans längd genom att a) använda tabellen
knähöjd
b) använda formeln för L c) rita grafen till L = 2,77a + 95,6 med ett digitalt verktyg och bestämma L då a = 26. 2 Sambanden mellan kroppslängd och armbågsbenets längd är av typen y = kx + m. Ange och tolka k-värdet till den ekvation som anger sambandet för a) kvinnor
b) män.
3 Ekvationerna som anger sambanden mellan kroppslängd och armbågsbenets längd för kvinnor och män kan bilda ett ekvationssystem. a) Vilket är ekvationssystemet? b) Lös ekvationssystemet algebraiskt. c) Lös ekvationssystemet grafiskt. d) Vad betyder lösningen i detta sammanhang? 4 Kroppslängden minskar med åldern. För män över 65 år kan följande samband användas för att bestämma kroppslängden, G, i cm: G = 3,15a + 86,2
T 1, 87h 72,1 T 1, 87h 67, 7
(1) (2)
a) Ange och tolka k-värdet för ekvation (1). b) Beräkna och tolka T i ekvation (2) då h = 51,5. c) Använd ekvation (1), lös ekvationen T = 180 och tolka svaret. d) Lös ekvationssystemet och tolka vad lösningen betyder i detta sammanhang. 6 Kroppslängden, i cm, för kvinnor över 65 år kan bestämmas med följande samband:
där a är armbågsbenets längd i cm.
G = 3,26a + 79,8
Leja mäter längden på armbågsbenet till 25,0 cm på en äldre man som har svårt att stå upp.
där a är armbågsbenets längd i cm.
Använd formeln ovan och tabellen på föregående sida och uppskatta hur mycket mannens kroppslängd har minskat med åldern.
algebra och linjära samband
2a kap 1_221014.indd 69
Kroppslängden T cm kan också uppskattas med hjälp av knähöjden h cm. Följande linjära ekvationer ger ett samband mellan h och kroppslängden T för män (1) och för kvinnor (2):
Denna ekvation bildar tillsammans med sambandet G = 3,15a + 86,2 (kroppslängden för män över 65 år) ett ekvationssystem. Lös ekvationssystemet och tolka vad lösningen betyder i detta sammanhang.
69
2022-10-14 14:19
Tema
Lyftkraft och flygplan Den kraft som gör att ett flygplan lyfter från marken kallas lyftkraft. Den påverkas bland annat av flygplanets hastighet och vingarnas area och form.
x
anfallsvinkel
Lyftkraftkoefficienten, CL, anger hur bra en flygplansvinge är på att skapa lyftkraft. CL påverkas främst av vingens form samt vinkeln mellan vingen och luftströmmen. Den vinkeln kallas anfallsvinkeln. Lyftkraftkoefficienten ökar linjärt tills planet hamnar i överstegring (stall). Detta sker när anfallsvinkeln blir för stor. Det visas grafiskt i figuren. Vi ser att när anfallsvinkeln är cirka 10° (x = 10) så avtar CL. Planet tappar då lyftkraft och får överstegring. Den linjära delen av grafen kan beskrivas med ekvationen CL = kx + m Vi bestämmer linjens ekvation. Vi avläser m-värdet där linjen skär y-axeln. m = 0,35 Vi läser av två punkter (0; 0,35) och (5; 0,8) på linjen och beräknar k: k=
y 1,4 Lyftkraftskoefficienten, CL
Exempel
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 x 2
4
6
8
10
Anfallsvinkel i grader
0, 8 0, 35 0, 45 = = 0,09 5 5 0
Linjens ekvation är CL = 0,09x + 0,35.
70
2a kap 1_221014.indd 70
algebra och linjära samband
2022-10-14 14:19
Tema 1 Diagrammet visar hur ett flygplans lyftkraftskoefficient, CL, beror av anfallsvinkeln x. y
1,2
y
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
x 2 4
6
8 10 12
Anfallsvinkel i grader
a) Då lyftkraftskoefficienten börjar minska tappar flygplanet lyftkraft. Vid vilken anfallsvinkel sker detta?
2
2,0 osymmetrisk profil 1,5 1,0 symmetrisk profil
0,5
x 5
10
15
Anfallsvinkel i grader
b) Den linjära delen av grafen kan beskrivas med ekvationen CL = kx + m Bestäm värdet på m och k.
I den del där graferna är parallella räta linjer kan lyftkraftskoefficienten, CL, för de olika vingprofilerna beskrivas med ekvationerna
c) Vilken är linjens ekvation?
(1) CL = kx CL = kx + m (2)
Lyftkraftskoefficienten, CL, vid anfallsvinkeln x grader kan för en flygplansvinge beskrivas med ekvationen CL = 0,108x + m En flygplansvinge med klaffar har CL-värdet 1,8 vid anfallsvinkeln 4°. Bestäm ekvationens m-värde.
3 Hos en viss typ av flygplansvinge är lyftkraftskoefficienten 0,39 vid anfallsvinkeln 5°. Sambandet mellan lyftkraftskoefficienten CL och anfallsvinkeln x beskrivas med ekvationen CL = kx. a) Bestäm k-värdet. b) Flygplanet tappar lyftkraft och får stall när anfallsvinkeln är ca 15°. Rita en enkel skiss av sambandet mellan CL och x.
algebra och linjära samband
2a kap 1_221014.indd 71
Lyftkraftskoefficienten, CL
Lyftkraftskoefficienten, CL
1,4
4 I figuren nedan visas hur lyftkraftskoefficienten beror av anfallsvinkeln för två olika typer av flygplansvingar, en med symmetrisk profil och en med osymmetrisk profil.
där x är anfallsvinkeln i grader. a) I ekvation (1) är CL = 0,5 då anfallsvinkeln är 5°. Bestäm värdet på k. b) Vilken är ekvationen för linjen som hör till vingen med symmetrisk profil? Motivera ditt svar. c) I ekvation (2) är CL = 1,2 då anfallsvinkeln är 9°. Bestäm värdet på m. d) Vilken är ekvationen för linjen som hör till vingen med osymmetrisk profil? e) Beräkna CL för de olika vingprofilerna när anfallsvinkeln är 12°. f) Vid vilken anfallsvinkeln är CL = 0,7 för de olika vingprofilerna?
71
2022-10-14 14:19
Aktivitet Rektanglar med en given omkrets
I den här aktiviteten ska du undersöka egenskaperna hos rektanglar. Syftet är att du ska utveckla din förmåga att formulera en matematisk modell utifrån en verklig situation. Materiel: Linjal
1 a) R ita några rektanglar med omkretsen 24 cm. Låt basen vara 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm respektive 10 cm. b) Beräkna arean av dina rektanglar. Visa resultatet i en tabell där du anger bas, höjd samt area för varje rektangel. 2 a) Visa resultatet i ett koordinatsystem. Sätt rektangelns bas på x-axeln och dess area på y-axeln. b) Din graf visar en andragradsfunktion. Ange grafens symmetrilinje. c) Vilket är det största möjliga värdet på arean och vilken form har rektangeln då?
3 a) Vilket värde får summan av basen och höjden hos de olika rektanglarna? b) Låt basen vara x cm och höjden h cm. Vilket är sambandet mellan x och h? Lös ut h ur detta samband. c) Skriv en formel för hur arean, y cm2 , beror av basen, x cm. (Formeln beskriver den andragradsfunktion vars graf du har ritat i koordinatsystemet.) d) Lös ekvationen y = 0 både grafiskt och algebraiskt. 4 För funktionen gäller 0 < x < a och 0 < y ≤ b. Bestäm a och b.
178
2a kap 3_221014.indd 178
funktioner
2022-10-14 14:09
Tema
Kondensatorn För arbeten inom el- och energibranschen behövs kunskaper och förståelse om hur ström och spänning påverkar energioch effektutveckling i olika elektriska kretsar. kapacitans
Kondensatorn är en elektronisk komponent. Kapacitans är ett mått på kondensatorns förmåga att lagra elektrisk energi. Då en kondensator laddas upp eller laddas ur kan vi med hjälp av exponentialfunktioner beskriva hur spänningen u volt över kondensatorn beror av tiden t sekunder. Uppladdning: u = U ∙ 1 2, 72
u U
u = Spänning över kondensatorn i volt (V) U = Spänning i kretsen i volt (V) t = Tiden i sekunder (s) R = Resistans i ohm (Ω) C = Kondensatorns kapacitans i farad (F)
Urladdning: t RC
Volt
u = U ∙ 2, 72
u U
Tid s
t RC
Volt
Tid s
Produkten RC kallas tidskonstant och brukar betecknas med den grekiska bokstaven τ (tau).
1 τ är tiden i sekunder det tar för kondensatorn att ladda till 63 % av spänningen och spänningen i kondensatorn att minska med 63 % vid urladdning.
funktionEr
2a kap 3_221014.indd 203
203
2022-10-14 14:10
Tema Exempel 1
Figuren visar en elektrisk krets. Spänningen U = 10 V Resistansen R = 10 kΩ Kapacitansen C = 30 μF Vi beräknar tidskonstanten, τ: τ = RC = 10 ∙ 103 ∙ 30 ∙ 10 –6 = 0,3
R = 10 kΩ C = 30 μF U = 10 V
Det tar 0,3 sekunder att ladda upp kondensatorn till 63 % av spänningen. Exempel 2
Under uppladdningen beskrivs spänningen u över kondensatorn t av funktionen u = 10 ∙ 1 2, 72 0 ,3
Vi beräknar spänningen u då tiden t = 0,15 s: 0 ,15 u = 10 ∙ 1 2, 72 0 ,3 V ≈ 3,94 V
Spänningen över kondensatorn är 3,94 V då tiden t = 0,15 s. Exempel 3
Vi vill bestämma tiden t då spänningen u = 8,0 V. Detta leder till ekvationen 10 ∙ 1 2, 72
t 0, 3
= 8,0
Vi tar hjälp av ett digitalt verktyg och skriver g(x) = 10 (1 2,72
t 0,3
)
h:y=8 A = Skärning (g, h) (0.48, 8)
Vi avläser grafernas skärningspunkt (0,48; 8).
Spänning u volt
10 8 6 4 2 Tiden t i sekunder
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Efter tiden 0,48 s är spänningen över kondensatorn 8,0 V.
204
2a kap 3_221014.indd 204
funktionEr
2022-10-14 14:10
Tema 1 I en elektisk krets med en resistor och en kondensator är spänningen U = 12 V, resistansen R = 8,0 kΩ och kapacitansen C = 20 μF.
4
R = 5 kΩ C = 12 μF
U = 40 V
a) Bestäm tidskonstanten, τ. b) Spänningen över kondensatorn är från början noll. Beräkna spänningen över kondensatorn då tiden t = 0,40 s. 2 En kondensator med kapacitansen 50 μF ansluts till en krets med spänningen 16 V och resistansen 300 Ω. a) Bestäm tidskonstanten, τ. b) Spänningen över kondensatorn är från början noll. Beräkna spänningen över kondensatorn då tiden t = 60 ms. c) När kondensatorn är helt laddad är spänningen 16 V. Vad är spänningen, u, över kondensatorn efter tiden 60 ms vid urladdning? 3 Till en krets med spänningen 4,5 V och resistansen 5 kΩ kopplas en kondensator med kapacitansen 8,0 μF. Grafen i figuren visar hur spänningen över kondensatorn beror av tiden vid urladdning. u
V
Spänningen över kondensatorn i figuren är från början noll. a) Efter hur lång tid är spänningen över kondensatorn 20 V? b) Efter hur lång tid är kondensatorn laddad till 99 %? c) Den fulladdade kondensatorn börjar laddas ur. Efter hur lång tid är spänningen över kondensatorn 25 V? 5 I en elektisk krets är spänningen 10 V, resistansen R = 10 kΩ och kapacitansen C = 2,2 μF. Efter hur lång tid är spänningen 6,0 V vid a) uppladdning
6 Efter 5 tidskonstanter (τ) räknas en kondensator som fulladdad eller helt urladdad. Grafen i figuren visar hur andelen spänning, u, i kondensatorn beror av tiden, t. u
5
b) urladdning?
100 %
4
3 2
37 %
1
4 0,1
8
2 0,1 0
0,1
0,0
2
6 0,0 4
0,0
0,0
0
t s
1
2
5% 2%
3
4
1% t 5 6
a) Vad är spänningen över kondensatorn när den är fulladdad?
I en krets är spänningen 16 V, resistansen 800 Ω och kapacitansen 700 μF.
b) Bestäm tidskonstanten.
a) Hur lång tid tar det innan kondensatorn är helt urladdad?
c) Vilken funktion beskrivs av grafen? d) Bestäm spänningen över kondensatorn 0,06 sekunder efter att urladdningen har startat.
funktionEr
2a kap 3_221014.indd 205
14 %
b) Efter hur lång tid har spänningen över kondensatorn sjunkit till 75 %?
205
2022-10-14 14:10
Sant eller falskt?
Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar. Arbeta gärna i par eller grupp.
1 Grafen till den linjära funktionen f(x) = 10 – 2x går genom punkten (–3, 4).
7 Grafen till andragradsfunktionen y = 2x2 + 2x + 6 har symmetrilinjen x = –1.
2 Grafen till en andragradsfunktion skär alltid y-axeln.
8 Exponentialfunktionen y = C ∙ a x saknar nollställen.
3 Ekvationen 5x = 92 är ett exempel på en potensekvation.
9 Grafen till y = 12x – x 2 har en minimipunkt i origo.
4 Om f(x) = 5x3 så är f (2) = 1 000. 5 En rät linje genom punkterna (0, 4) och (2, –2) kan beskrivas med linjära funktionen y = 4 – 3x 6 För funktionen f(x) = 100x2 gäller att om x ökar med 1, ökar funktionens värde med 100.
210
2a kap 3_221014.indd 210
10 Om grafen till andragradsfunktionen y = ax 2 + bx + c inte skär x-axeln, så saknar ekvationen ax 2 + bx + c = 0 reella lösningar. 11 Om f(x) = 0,5 ∙ 10x så har ekvationen f(x) = 5 000 lösningen x = 4. 12 För en funktion som avtar exponentiellt sker en halvering av värdet på samma tid oavsett startvärdet.
FUNKTIONER
2022-10-14 15:18
Sammanfattning 3 Bestämning av linjära funktioner
Exponentialfunktioner
En linjär funktion kan beskrivas med räta linjens ekvation y = kx + m, där m är y-värdet där linjen skär y-axeln och k anger linjens lutning.
Funktionen y = C ∙ a x, där C och a är konstanter (a > 0, a ≠ 1), kallas exponentialfunktioner. C ger skärningen med y-axeln (”startvärdet”). a kan ses som en förändringsfaktor.
Exempel: En rät linje genom punkterna (0, 7) och (–2, 1) 7 1 6 = =3 har m = 7 och k = 0 ( 2) 2 Linjen kan beskrivas med den linjära funktionen f(x) = 3x + 7.
y 15 C = 10 C =5
y = 5 ∙ 1,5x
10
y = 10 ∙ 0,6x
5
x 1
Andragradsfunktioner En andragradsfunktion kan skrivas y = a x 2 + b x + c, där a ≠ 0.
2
3
a >1 funktionen växer. a <1 funktionen avtar.
4
Exponentialekvationer
Grafen till en andragradsfunktion • har en extrempunkt som är en maximi- eller minimipunkt • har en maximipunkt om a < 0
f(x) = 100 ∙ 1,02 x och f(x) = 160 ger exponentialekvationen 100 ∙ 1,02 x = 160. Den kan lösas grafiskt eller med hjälp av ett digitalt verktyg med ekvationslösare. Exempel grafisk lösning: 100 ∙ 1,02 x = 160 Rita graferna till y = 100 ∙ 1,02 x och y = 160. Avläs x-värdet i skärningspunkten.
• har en minimipunkt om a > 0 • skär y-axeln i (0, c) • är symmetrisk kring symmetrilinjen. Exempel: y = 2 x 2 – 8x + 6
Potensfunktioner
Ekvationen 2 x 2 – 8x + 6 = 0 har rötterna x1 = 1 x2 = 3
Funktionen y = C ∙ xa, där C och a är konstanter, är en potensfunktion. Exempel på potensfunktioner är 1 5 y = 2x3 y = x 2 = x y = 5x –1 = x
Funktionen har nollställena x = 1 och x = 3.
Potensekvationer
Symmetrilinjen är x = 2 (mitt emellan nollställena)
Ekvationen xa = b har lösningen x = b1/a
a > 0 Funktionen har en minimipunkt. c = 6 Grafen skär y-axeln i (0, 6).
10 Symmetrilinje x=2
Exempel: Ekvationen x5 = 9 har lösningen x = 91/5 ≈ 1,55.
x = 1 och x = 3 är nollställen.
6
Minimipunkt (2, – 2) 10
2
Minsta värde –2 2
funktionEr
2a kap 3_221014.indd 211
211
2022-10-14 14:10
Kan du det här? Delkapitel
BEGREPP
3.1 Linjära funktioner
Linjär funktion
PROCEDUR • bestämma linjära funktioner.
m-värde och k-värde 3.2 Andragradsfunktioner
Andragradsfunktion Parabel, nollställen och symmetrilinje Extrempunkt, maximi- och minimipunkt Extremvärde, största/minsta värde Algebraisk lösning och grafisk lösning
3.3 Exponential- och potensfunktioner
Exponentialfunktion Exponentialekvation Potensfunktion Potensekvation
• avgöra om grafen har maximi- eller minimipunkt och om nollställen finns • bestämma skärningspunkter med koordinataxlarna • bestämma symmetrilinje, extrempunkt och största/minsta värde • använda och tolka andragradsfunktioner i olika tillämpningar.
• använda och tolka exponentialfunktioner i olika tillämpningar • ställa upp och lösa exponentialekvationer med grafritande eller ekvationslösande verktyg • använda och tolka potensfunktioner i olika tillämpningar • ställa upp och lösa potensekvationer.
212
2a kap 3_221014.indd 212
funktionEr
2022-10-14 14:10
Testa dig själv 3 3.1 Linjära funktioner
8 Grafen visar en andragradsfunktion y = f ( x).
1 Bestäm den linjära funktion vars graf visas i figuren. 3 2
−1
b) Bestäm symmetrilinjens ekvation.
y y = f (x )
1 1 2 3 4 5 6 7
2 Bestäm den linjära funktion y = kx + m som har en graf som går genom punkterna (0, –5) och (4, 9). 3 Bestäm den linjära funktion y = f(x) för vilken gäller f (–3) = 4 och f (2) = –6. 3.2 Andragradsfunktioner 4 Utgå från grafen till y = 3x – x2 – 5 a) Har grafen en maximi- eller minimipunkt? b) I vilken punkt skär grafen y-axeln? Motivera dina svar. 5 Beräkna funktionens nollställen med algebraisk metod. Kontrollera grafiskt. b) y = –2 x 2 + 4 x – 4
6 Bestäm symmetrilinjens ekvation samt största/minsta värde för funktionen y = x 2 – 6 x + 10. 7 Höjden, y m, för en boll som rört sig x m framåt från utgångspunkten kan beskrivas av funktionen y = x – 0,04 x 2 a) Vad är höjden då bollen rört sig 10 m framåt? b) Hur långt från utgångspunkten slår bollen ner?
funktionEr
2a kap 3_221014.indd 213
y
1
c) Bestäm a så att f(a) = 3 x
a) y = x 2 – 4 x
a) Bestäm funktionens nollställen.
x 1
d) Vilket värde är minst, f (10) eller f (–10)? Motivera ditt svar. 3.3 Expotential- och potensfunktioner 9 Lös ekvationerna och svara med två decimaler. a) 10x = 450
b) 100 ∙ 1,08x = 275
10 Potensfunktionen f ges av f ( x) = 4x5. Lös ekvationen f ( x) = 250. Svara med två decimaler. 11 Ge exempel på en exponentialfunktion som går genom punkten (1, 4). 12 En patient får en injektion av ett läkemedel. Exponentialfunktionen y = 250 ∙ 0,977 x beskriver hur mycket som återstår av läkemedlet i kroppen efter x timmar. Efter hur lång tid återstår 50 %? Lös uppgiften både grafiskt och med ett verktyg med ekvationslösare. 13 a) I en stad ökade invånarantalet med 5 % varje år. Hur många år krävdes det för att invånarantalet skulle öka från 50 000 till 80 000? b) I en annan stad minskade antalet invånare från 80 000 till 50 000 på 15 år. Vilken årlig procentuell minskning motsvarar det?
213
2022-10-14 14:10
Blandade övningar 3 1 1 Utan digitala verktyg 1 Grafen visar den sträcka y m som en bil kör på tiden x s.
m
4 Grafen till en andragradsfunktion har maximipunkten (2, 7). Grafen går genom punkten (1, 6).
sträcka
150 100
Ange en tredje punkt på grafen.
50
tid 1
2
3
4
5
6 s
Beskriv med en formel den linjära funktion som anger hur sträckan beror av tiden. 2 Figuren visar grafen till en andragradsfunktion f så att y = f ( x). y
1
x
5 Ge exempel på en andragradsfunktion vars graf skär x-axeln där x = 10 och x = 20.
2
6 Har funktionen y = ( x – 2)2 + 5 några nollställen? Motivera ditt svar. 7 Bestäm f(4) om funktionen f beskrivs av f ( x) = 6 ∙ x0,5 8 Vilka y-värden är möjliga för funktionen
1
a) y = 1 – x 2
b) y = x 2 – 2 x – 3?
Lös uppgiften utan att rita grafen. Motivera ditt svar. a) Ange ekvationen för grafens symmetrilinje.
9 Figuren visar grafen till andragradsfunktionen f ( x) = ax 2 + bx + c. y
b) Ange funktionens nollställen. c) Ange funktionens minsta värde. 1
d) Bestäm f (1). e) Vilket av värdena f (8) och f (–5) är störst? Motivera ditt svar.
x 1
f) För funktionen f gäller att f ( x) = x 2 + b x. Bestäm konstanten b. 3 A f ( x) = 10 – 2x B f ( x) = 10 ∙ x 3
C f ( x) = x 2 + 10x D f ( x) = 10 ∙ 2 x
Ett av alternativen A–D beskriver a) en andragradsfunktion. Vilken? b) en linjär funktion. Vilken? c) en exponentialfunktion. Vilken? d) en potensfunktion. Vilken?
a) Förklara var i figuren man kan avläsa värdet på konstanten c. b) Bestäm konstanterna a, b och c. c) Ligger punkten (10, 152) på grafen? Motivera ditt svar. d) Lös ekvationen f ( x + 1) = 0
214
2a kap 3_221014.indd 214
funktionEr
2022-10-14 14:10
1
10 Para ihop funktionerna f, g och c med rätt graf (A, B eller C). 6
A
y
13 Temperaturen y ˚C i en kopp kaffe avtar enligt y = 62 · 0,97 x + 18 där x är tiden i minuter efter att man hällt upp kaffet i koppen.
C
5 4 3
Beräkna och tolka y-värdet då
B
a) x = 0
2 1
x
–4 –3 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
–2
b) x = 10
14 Vinsten i ett nystartat företag var 2,8 miljoner kr första året. Vinsten ökade sedan linjärt och var 7,5 miljoner kr det femte året efter starten. Ställ upp en linjär funktion y = kx + m där y är företagets vinst i miljoner kr x år efter starten.
–3
f(x) = 3x0,5
15 Andragradsfunktionen f beskrivs av f ( x) = 50x – 2x2
g(x) = x3 c(x) = x2/2
3
Med digitala verktyg
a) Beräkna f(15).
Motivera ditt svar.
b) Bestäm funktionens nollställen. c) Bestäm funktionens största värde.
11 För en funktion gäller att f(0) = 4 och f(2) = 8 Bestäm f(1) om funktionen är a) linjär
b) exponentiell.
12 Ett rektangulärt fotografi kan skrivas ut i olika storlekar. Grafen visar höjden h som funktion av basen x. Arean A av samma fotografi är också en funktion av x. Ange och rita funktionen y = A(x).
16 Belysningen, B lux, rakt under en lampa beskrivs av potensfunktionen 350 B(x) = 2 x där x är avståndet i meter under lampan. a) Beräkna belysningen då avståndet är 0,75 m.
2
b) På vilket avstånd är belysningen 250 lux?
16
17 Utgå från ett tal x och multiplicera talet med ett dubbelt så stort tal. Multiplicera sedan produkten med ett tal som är tre gånger så stort som x.
12
Vilket tal är x om resultatet är 998 250?
cm 24
h y = h (x )
20
8 4
x 2
funktionEr
2a kap 3_221014.indd 215
4 6
8
10 12 cm
18 Bestäm ekvationen för en exponentialfunktion som går genom punkterna (0, 20) och (20, 800).
215
2022-10-14 14:10
SVAR Kapitel 1
1112 a) –12
1103 a) –3 b) –5
1113 a) 36
d) 4
1114 Värdet ändras från 2 till –10.
c) –10 Lösning: –8 + (–2) = =–8 – 2 = –10 d) 6 c) 20 d) 4
1106 a) –4 b) 14
d) –3 e) –24 f) 16 1107 a) 3 b) 1 Lösning: −5 − (−7) 5 7 2 = = =1 2 1 − (−1) 1 1 c) –2 d) 8 c) –91
b) –37
d) –0,75
1109 Differensen är 71,8 °C. 1110 a) 16
c) 1
b) 14
d) –4
1111 a) Ja. b) På den första raden används inte likhetstecknen på ett korrekt sätt. (–3) · (–3) ≠ –18 2
c) 15 – 2 ∙ (–3) = = 15 – 2 · 9 = = 15 – 18 = –3
272
2a_Facit_HM221014.indd 272
1119 a) 8 25 b) 3 7
c) 5 6 d) 8 9
1120 a) 3 5 17 b) 10
c) 39 10 d) 27 10
25 36
1 16
b) 31 Lösning: 14 + (–3)2 – 4 · (–2) = = 14 + 9 + 8 = 31
1121 a)
c) 37 Lösning: 14 – (–3)2 – 4 · (–2)3 = = 14 – 9 – 4 · (–8) = = 14 – 9 + 32 = 37
1122 a) Värdet blir dubbelt så stort.
d) 15 Lösning: 14 + (–3)2 + (–2)3 = = 14 + 9 + (–8) = = 14 + 9 – 8 = 15
c) 13 Lösning: 5 – 2 ∙ (–4) = = 5 + 8 = 13
1108 a) 4,65
b) –13
1115 a) –3 Lösning: 14 – 32 – 4 · 2 = =14 – 9 – 8 = –3
b) 9
b) –5
c) –7
c) –15
1104 a) 4
1105 a) –12
b) 4
1117 a) 6 7 3 b) 8 1 c) 3 Ledtråd: Förkorta så långt som möjligt. d) 4 5 1118 a) 1 2 Ledtråd:
Förläng 1 med 2. 3 b) 3 5 Ledtråd: Förläng 2 till nämnaren 15. 3 Kom ihåg att förkorta svaret. c) 11 12 Ledtråd: Förläng båda bråken till nämnaren 12.
b) 23 24
c)
d) –
9 10
b) Värdet blir hälften så stort. 1123 a) 1 3 b) 3
1 91 = 30 30
c) 2 9 15 d) 49
1124 1 50 Historik: Historiska bråk 1
a) Var och en får 1/2 och 1/10. b) Var och en får 1/2 och 1/5. c) Var och en får 1/4 och 1/20.
2
a) 4 –1 5 b) 10 3 5
1130 a) 7x + 4 b) 4a + 7 1131 a) 5y + 2 b) y + 4
c) 2 – 8x d) –6y c) 12x – 5 d) 3x – 5
1132 a) Uttryckets värde är 4. b) Uttryckets värde är 40.
d) 5 12
SVAR
2022-10-14 13:30
1133 Uttrycket kan skrivas 4x – 6. Ledtråd: Omkretsen är summan av de fyra sidornas längder. x + (x – 3) + x + (x – 3) 1134 a) 8a + 2
c) b – 2
b) 15a + 12
d) –11b + 2
1135 6x + 560 Ledtråd: Uttrycket kan skrivas 4(x + 140) + 2x 1136 a) 2x – 3y b) 11y – 9 c) 3y – 9x 1137 B C E F 1138 a) Uttryckets värde är 0. b) Uttryckets värde är 16. Ledtråd: Sätt in –3 i en parentes, (–3). 1139 a) Omkrets i m: 4x + 260 2
b) Area i m : x(x + 130) eller x 2 + 130x Kommentar: Båda uttrycken är korrekta. b) 4y 2
c) 6b – 3b2 d) 2y 2 – 3y
1141 a) x 2 + x b) 3x 2 + 2x – 5 c) 3x 2 + 4x Ledtråd: (2x)2 = 2x · 2x = 4x 2 d) x 2 – 4x + 7 1142 a) 1. Han ändrar inte tecken när han tar bort första parentesen med minustecken framför. 2. Han multiplicerar inte –3 med både termerna i andra parenteserna. b) 30 – (x – 6) – 3(6 – x) = = 30 – x + 6 – 18 + 3x = = 2x + 18
SVAR
2a_Facit_HM221014.indd 273
a) (6x + 10) år Ledtråd: Fredrik är (x + 2) år. Pappa är 4(x + 2) år. b) (6y – 2) år.
1152 Uttryckets värde är 60.
c) x = 4,5
b) Arean i cm : x 2 + 4x Ledtråd: Triangelns area b⋅h A= 2
d) x = 7,5 Lösning: 40 = 10 + 4x 40 – 10 = 10 + 4x – 10 30 = 4x 30 4 x = 4 4 30 =x 4 30 15 x= = = 7,5 4 2
1145 a) –2x 2 – 5x + 4 b) 2x2 + 15
1158 a) y = 8
c) 2a – 2
c) y = –2
b) y = 3
d) 3b – 2
d) y = 4
1159 a) x = 24
1146 a) Arean A: a(a + 2) Arean A1 + A 2: a2 + 2a
b) x = 36 Ledtråd: Börja med att addera 2 till båda leden.
b) a(a + 2) = a2 + 2a Kommentar: Rektanglarna har samma area, vilket innebär att uttrycket a(a + 2) kan skrivas som a 2 + 2a och tvärtom. 2 1 x+ 3 2
y 7x + 12 3 Ledtråd: x− y y x – + =– 12 12 12
b) x = 7
2
1147 a)
1151
1157 a) x = 4
1144 a) Höjden i cm: 2x + 8
c) Arean är 96 cm 2 . Ledtråd: Lös ekvationen 2x + 8 = 24
d) 3x – 3y + 7
1140 a) 4a – 8
1143 Deras sammanlagda ålder är
b)
x2 6
1148 4a – 4b Ledtråd: Förenkla 3(2a – b) – (2a + b) 1149 Uttryck B och D. Motivering: x(x – 1) kan skrivas x 2 – x 3 · (x 2 – x) = 3x 2 – 3x och –1 · (x 2 – x) = –x 2 + x = x – x 2 Stämmer med B och D. 1150 a) Uttryckets värde är 14. b) Uttryckets värde är 20. c) Uttryckets värde är 1.
c) x = 30 d) x = –6 1160 a) y = 3 + x b) y = x Ledtråd: Addera y till båda leden. c) y = 5x d) y = –3x 1161 a) x = 7 b) x = –5 c) y =
2 3
d) y = –
5 = –2,5 2
1162 Lösning: Vi sätter in x = 2,5 i både VL och HL. VL = 4(2 · 2,5 + 3) = 4(5 + 3) = 4 · 8 = 32 HL = 10 · 2,5 + 7 = 25 + 7 = 32 VL = HL Lösningen är korrekt.
273
2022-10-14 13:30
Lena Alfredsson • Hans Heikne • Mathilda Lennermo Selin
Matematik
för gymnasiet och vux är framtaget enligt ämnesplanen för 2021. Matematik 5000+ 2a Röd är anpassad för samtliga yrkesprogram.
Matematik
2a
5000
5000
2a
Matematik
5000
För reviderad ämnesplan!
Matematik 5000+ är ett omtyckt och väl fungerande läromedel som finns till alla gymnasiets olika matematikkurser. Läromedlet erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning och lyfter fram allt centralt innehåll och samtliga förmågor i ämnesplanen. I kombination med en tydlig progression ger det eleverna de bästa förutsättningarna att utveckla sina kunskaper i matematik. Utvecklande och utmanande uppgifter på alla nivåer Digitala verktyg i teori, övningar och aktiviteter Teman gör undervisningen relevant för karaktärsämnen och yrkesliv Kapitelavslutning befäster begrepp och procedurer Aktivitet och Historik bidrar till en varierad undervisning Utförligt facit med många lösningar och ledtrådar
ISBN 978-91-27-46269-4
9 789127 462694
M5000Plus_2a röd_Omslag_2201014.indd 1-3
2a
2022-10-14 14:51